Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Conteúdo do curso 1. Capítulo 1, A lei de Coulomb

2. Capítulo 2, O campo Elétrico

3. Capítulo 3, A lei de Gauss

4. Capítulo 4, Potencial Elétrico

5. Capítulo 5, Capacitância e Capacitores

6. Capítulo 6, Corrente & Resistência

7. Capítulo 7, Circuitos Elétricos

8. Capítulo 8, O Campo Magnético

9. Capítulo 9, A lei de Ampère

10. Capítulo 10, A lei de Faraday

11. Capítulo 11, Oscilações Eletromagnéticas

12. Capítulo 12, Equações de Maxwell

Se seu navegador não suporta applets, atualize-o aqui.

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

www.if.ufrgs.br/tex/fis142

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod00/index.html [13/03/2004 16:14:15]

Eletricidade & Magnetismo

Conteúdo do curso 1. Capítulo 1, A lei de Coulomb

2. Capítulo 2, O campo Elétrico

3. Capítulo 3, A lei de Gauss

4. Capítulo 4, Potencial Elétrico

5. Capítulo 5, Capacitância e Capacitores

6. Capítulo 6, Corrente & Resistência

7. Capítulo 7, Circuitos Elétricos

8. Capítulo 8, O Campo Magnético

9. Capítulo 9, A lei de Ampère

10. Capítulo 10, A lei de Faraday

11. Capítulo 11, Oscilações Eletromagnéticas

12. Capítulo 12, Equações de Maxwell

Se seu navegador não suporta applets, atualize-o aqui.

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

www.if.ufrgs.br/tex/fis142

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod00/m00.html [13/03/2004 16:14:17]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 1

Capítulo 1 - A LEI DE COULOMB

Conteúdo do Capítulo Processos de Eletrização

Condutores e Isolantes

Força Eletrostática

Exemplo

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/index.html [13/03/2004 16:14:19]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 2

Capitulo 2 - O CAMPO ELÉTRICO

Conteúdo do Capítulo Ação a distancia

Linhas de Força

Campo de um Dipolo Elétrico

Exemplo

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/index.html [13/03/2004 16:14:21]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 3

Capítulo 3 - A Lei de GaussConteúdo do Capítulo

Fluxo do Campo Elétrico

A lei de Gauss

A lei de Gauss e a Lei de Coulomb

Campo de uma Carga Puntiforme

Distribuição Esfericamente Simétrica

Esfera Condutora

Esfera Dielétrica

Distribuição Linear Infinita

Plano Infinito de Cargas

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/index.html [13/03/2004 16:14:23]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 4

Capitulo 4 - POTENCIAL ELÉTRICO

Conteúdo do Capitulo Energia Potencial

Potencial

Potencial de uma carga puntiforme

Potencial de um dipolo

Potencial acelerador

Gradiente de potencial

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/index.html [13/03/2004 16:14:26]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 5

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E

CAPACITORESConteúdo do Capítulo

Componentes Elétricos & Eletrônicos

Definições

Capacitor de placas paralelas

Capacitor cilindrico

Capacitor esferico

Associação de capacitores

Capacitores com dielétricos

Armazenando energia num campo elétrico

Exemplo

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/index.html [13/03/2004 16:14:28]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 6

Capítulo 6 - CORRENTE & RESISTÊNCIA

Conteúdo do Capítulo Modelo Microscópico

Corrente Elétrica

Resistência, Resistividade e Conductividade

Lei de Ohm

Energia e Potencia

Unidades no Sistema SI

Exemplo

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/index.html [13/03/2004 16:14:30]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 7

Capítulo 7 - CIRCUITOS ELÉTRICOS

Conteúdo do Capítulo Lei dos Nós & Lei das Malhas

Lei das Malhas (Lei de Kirchhoff)

Lei dos Nós

Circuitos com mais de uma Malha

Exemplo

Circuito RC Série

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/index.html [13/03/2004 16:14:33]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 8

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO

Conteúdo do Capítulo A força de Lorentz

A descoberta do Eletrón

O Efeito Hall

Movimento de uma carga num Campo Magnético

Força sobre uma Corrente

Força sobre uma Espira de Corrente

Unidades

Exemplo 8.1

Exemplo 8.2

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/index.html [13/03/2004 16:14:35]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 9

Capítulo 9 - A LEI DE AMPÈRE

Conteúdo do Capítulo A Descoberta de Oersted

Campo de um fio retilíneo infinito

Cilindro Infinito

Interação entre fios infinitos paralelos

Campo de um Solenóide

Exemplos

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/index.html [13/03/2004 16:14:37]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 10

Capítulo 10 - A LEI DE FARADAY

Conteúdo do Capítulo Indução Eletromagnética

Leis de Faraday e Lenz

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/index.html [13/03/2004 16:14:40]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 11

Capítulo 11 -OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS

Conteúdo do Capítulo Indutância

Indutância de um Solenóide

Auto-indução

Circuito RL

Densidade de Energia em Campos Elétricos e Magnéticos

Circuito LC

Circuito RLC

Freqüência Natural

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/index.html [13/03/2004 16:14:42]

Eletricidade, Magnetismo & Física Moderna

Capítulo 12

Capítulo 12 - EQUAÇÕES DE MAXWELL

Conteúdo do Capítulo Equações de Maxwell

Exercícios

Hipertexto premiado pelo Programa de Apoio à Pesquisa em Educação a Distância PAPED - Linha 2/2003 MEC - CAPES

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod12/index.html [13/03/2004 16:14:44]

Download Java Software

Home | Contact | Help | FAQ | Developers | Sun.com

Windows Automated Downloads

We encountered an issue while trying to automatically install Java™ software onto your machine. As a result, Java software was not installed properly.

You may not have the right system requirements to support Java software (see the box below). Most other issues can be resolved. Please consult the Help or FAQ sections for assistance.

If the Java software has not begun downloading automatically, you may want to perform a manual download.

System Requirements

Windows 98 (1st and 2nd edition) or

Windows ME or

Windows NT (service pack 6a) or

Windows 2000 (service pack 3) or

Windows XP Home or

Windows XP Professional (service pack 1)

You'll also need Pentium 166MHz or faster with minimum 67MB free space a minimum of 32MB of RAM.

http://www.java.com/en/download/windows_automatic.jsp (1 de 2) [13/03/2004 16:15:06]

Download Java Software

© Sun Microsystems, Inc | Legal Notices | License | Developers

http://www.java.com/en/download/windows_automatic.jsp (2 de 2) [13/03/2004 16:15:06]

CAPES / MEC

Sábado, 13 de março de 2004

a

INFORMAÇÕES Pró-Coleta ProfessorEstá disponível o Pró-Coleta Professor 2.5. POSSEJorge Almeida Guimarães toma posse na presidência da Capes Programa de Qualificação Institucional - PQIAcesse o formulário referente ao Relatório de Atividades Ciências AgráriasAcesse os critérios de avaliação para a grande área (2001-2003)e os critérios específicos para avaliação de cursos novos e programas de pós-graduação entre Instituição de Ensino Superior (IES) e Instituto de Pesquisa (IP). Coleta de DadosA Diretoria de Avaliação informa que o prazo de entrega dos dados da Coleta relativos a 2003, assim como o re-envio dos dados de 2001 e 2002 é dia 31 de março de 2004, não havendo possibilidade de adiamento. Trata-se de um ano de Avaliação que atribuirá conceitos e o cronograma já estabelecido para a realização do processo deve ser seguido. AplicativoA Coordenação de Acompanhamento e Avaliação disponibiliza a carta-consulta sobre proposta de cursos de mestrado e doutorado. Comissão Mista Capes/CNPq Apresentação do Relatório Final (Sumário Executivo)

CAPES ALERTA Programa PICDTInformamos aos bolsistas do Programa PICDT, que os pagamentos referentes aos meses de Janeiro e Fevereiro/2004 já estão sendo regularizados. Entrevista de Candidatos a Bolsa de Doutorado no ExteriorCAPES realiza a última etapa da seleção dos candidatos a bolsas de doutorado no exterior. Mestrados e Doutorados sem validade.São consideradas ilegais, no Brasil, as atividades acadêmicas das instituições de ensino estrangeiras que não tenham sido reconhecidas pelo MEC. Leia a íntegra da notícia. Resolução CNE/CES 001/2001 alterada pela Resolução CNE/CES 24/2002.Novos prazos para solicitação de reconhecimento dos programas e necessidade de autorização do MEC para instalação de convênios entre IES brasileiras e estrangeiras que ofertem mestrados/doutorados associados são as novidades. Confira o texto.

http://www.capes.gov.br/ [13/03/2004 16:15:28]

Antes de Començar

Informações Gerais Introdução

Exigências de hardware e software

Introdução

O curso está formatado de acordo com a pedagogia construtivista, a partir de uma abordagem baseada na solução de problemas. O conteúdo é distribuído em 12 capítulos. Para acessá-los, diriga-se ao sumário

O conteúdo é explorado através de uma variedade de objetos de aprendizagem interativos. Ao final apresenta-se uma lista de exercícios.

Alguns objetos de aprendizagem foram extraidos ou adaptados dos seguintes autores, que permitiram seu uso nas condições desta disciplina.

Wolfgang Christian, editor da página Physlets.

Michael W. Davidson, editor da página Molecular Expressions: Electricity and Magnetism

Walter Fendt, editor da página Java Applets on Physics

Exigências de hardware e software

Para maior eficiência, convém observar os seguintes aspectos:

1. Nestcape Navigator ou Microsoft Internet Explorer são os navegadores mais apropriados. Eles podem ser obtidos livremente na web.

2. Para as animações, seu navegador tem que suportar Java.

Exigências de Hardware

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod00/antes_de_comencar_01.html (1 de 2) [13/03/2004 16:15:31]

Antes de Començar

PC com procesador de 90 MHz ou superior.

16 Mb RAM ou superior.

Monitor SVGA ou compatible.

Resolução mínima de 800x600 (recomendado 1024x768) pixels.

Modem de 28.8 kbps ou superior

Exigências de software

Nestcape Navigator (Versão 4.0 ou superior). Use este endereço http://www.nestcape.com para carregá-lo.

Microsoft Internet Explorer (Versão 4.0 ou superior). Use este endereço http://www.microsoft.com/ie/ para carregá-lo.

Plugin de Java - Applets http://www.java.com/en/download/windows_automatic.jsp.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod00/antes_de_comencar_01.html (2 de 2) [13/03/2004 16:15:31]

Physlets Home Page

Welcome to the Physlets resource page. Physlets, Physics Applets, are small flexible Java applets designed for science education. You do not need to

become a Java expert in order to use Physlets. The links on the right contain tutorials, download instructions, and example problems to help you use

Physlets in your teaching.

Physlets run on the Mac using OS X Panther and the latest Safari browser.

For a CD containing over 800 ready to run Physlet-based Illustrations, Exercises, and Problems see the Physlet Physics book.

For an introduction to scripting see thee Physlet book. This book will soon be available in Spanish!

For a discussion of how to use Physlets with Just-in-Time Teaching see the JiTT book.

To learn more about Physlets you may want to:

Attend a Physlet workshop. Preview Physlet Physics, a book of ready to run Physlet-based

Illustrations, Explorations, and Problems. Search the Kaiserslautern Physlet database. Sign up on the Physlet list-server.

The Physics Teacher recently contained a feature article describing the Optics Bench Physlet. Examples from this article are available on the the Physlet Resource site.

The applet on the right is a Physlet. It simulates the relativistic and non-

relativistic Doppler effect.

Send questions or comments about this site toWolfgang Christian: wochristian@davidson.edu

http://webphysics.davidson.edu/Applets/Applets.html (1 de 2) [13/03/2004 16:16:09]

Physlets Home Page

Since 2/1/2001

This PIRA Webring site is owned byWolfgang Christian.

< prev | List Sites | next >

http://webphysics.davidson.edu/Applets/Applets.html (2 de 2) [13/03/2004 16:16:09]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

Galleria

License Info

Image Use

Custom Photos

Partners

Site Info

Contact Us

Publications

Home

The Galleries:

Photo Gallery

Silicon Zoo

Pharmaceuticals

Chip Shots

Phytochemicals

DNA Gallery

Microscapes

Vitamins

Amino Acids

Birthstones

Religion Collection

Pesticides

BeerShots

Cocktail Collection

Screen Savers

Win Wallpaper

Mac Wallpaper

Movie Gallery

Welcome to the Molecular Expressions website featuring our acclaimed photo galleries that explore the fascinating world of optical microscopy. We are going where no microscope has gone before by offering one of the Web's largest collections of color photographs taken through an optical microscope (commonly referred to as "photo-micro-graphs"). Visit our Photo Gallery for an introductory selection of images covering just about everything from beer and ice cream to integrated circuits and ceramic superconductors. These photographs are available for licensing to commercial, private, and non-profit institutions.

Powers of Ten - Soar through space starting at 10 million light years away from the Milky Way down through to a single proton in Florida in decreasing powers of ten (orders of magnitude). Explore the use of exponential notation to understand and compare the size of things in our world and the universe.

Olympus FluoView Laser Scanning Confocal Microscopy - The new Olympus FluoViewTM FV1000 is the latest in point-scanning, point-detection, confocal laser scanning microscopes designed for today's intensive and demanding biological research investigations. Excellent resolution, bright and crisp optics, and high efficiency of excitation, coupled to an intuitive user interface and affordability are key characteristics of this state-of-the-art optical microscopy system.

Purchase Nikon's Small World 2004 Calendar - The Nikon Small World 2004 Calendar is printed in full color on 8.5 x 11 semi-gloss paper and spiral bound for mounting on the wall. Included in the calendar are the top 20 prize winners and thumbnail images from all of the 17 honorable mentions. Winning entries included several images of rat and mouse brain cells, nematode worms, a computer chip, muscle cells, a diatom, snowflakes, plant hair cells, thin films, and chemical crystals. This year's contest drew entrants from 46 countries, as well as from a diverse range of academic and professional disciplines. Winners came from such fields as chemistry, biology, materials research, botany, and biotechnology.

Microscope: Basics and Beyond (50 pages; 20.7 Mbytes) - Download the latest PDF edition of Mortimer Abramowitz's renowned introduction to optical microscopy in full color. The volume covers all of the important basic concepts, ranging from simple magnifiers to complex compound microscopes, including illumination, objectives, eyepieces, condensers, aberration, Köhler illumination, resolution, numerical aperture, and depth of field. Numerous appendices review focusing of the microscope and oil immersion, and contain useful numbers, formulas, and a short bibliography.

The Olympus MIC-D Digital Microscope - Olympus has thrown the doors open to a new era in optical microscopy education with the introduction of the MIC-D inverted digital microscope. Designed specifically for a wide spectrum of applications ranging

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (1 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

from basic classroom instruction to more advanced laboratory analysis, this versatile microscope features a palette of contrast enhancing techniques that rival many research-level instruments.

Nikon MicroscopyU - The MicroscopyU website is designed to provide an educational forum for all aspects of optical microscopy, digital imaging, and photomicrography. Together with the scientists and programmers at Molecular Expressions, Nikon microscopists and engineers are providing the latest state-of-the-art information in microscope optics and imaging technology including specialized techniques such as fluorescence, differential interference contrast (DIC), phase contrast, reflected light microscopy, and microscopy of living cells. We invite you to explore MicroscopyU and discover more about the exciting world of optics and microscopy.

Burgers 'n Fries - Join us for a microscopic examination of America's culinary favorite: the ubiquitous hamburger and French fries. Discover how this delightful classic is just as beautiful as it is tasty.

Chemical Crystals - Chemical compounds can exist in three basic phases, gaseous, liquid, or solid. Gases consist of weakly bonded atoms and expand to fill any available space. Solids are characterized by strong atomic bonding and have a rigid shape. Most are crystalline, having a three-dimensional periodic atomic arrangement. Some, such as glass, lack this periodic arrangement and are noncrystalline, or amorphous. Liquids have characteristics that fall in between gases and solids. This cinemicrographic collection presents time-lapse movies of various chemical compounds as they change physical states.

Scanning Electron Microscopy - We have teamed up with award-winning electron microscopist Dennis Kunkel to produce a virtual Scanning Electron Microscope (vSEM). Visitors can adjust the focus, contrast, and magnification of microscopic creatures viewed at thousands of times their actual size.

Laser Scanning Confocal Microscopy - (approximately a 30 second download on 28.8K modems) Several methods have been developed to overcome the poor contrast inherent with imaging thick specimens in a conventional microscope. Specimens having a moderate degree of thickness (5 to 15 microns) will produce dramatically improved images with either confocal or deconvolution techniques. The thickest specimens (20 microns and above) will suffer from a tremendous amount of extraneous light in out-of-focus regions, and are probably best-imaged using confocal techniques. This tutorial explores imaging specimens through serial z-axis optical sections utilizing a virtual confocal microscope.

Stereoscopic Zoom Microscopy - Many stereoscopic microscopes feature the ability to perform a continuous magnification change by means of a zoom lens system placed between the objective and the eyepieces. Explore zoom magnification, focus, and illumination intensity in stereoscopic microscopes with this interactive Flash tutorial.

Java-powered QX3 Computer Web Microscope - This virtual QX3 microscope is broadcasting images over the Web at 20 frames/second, which can be viewed in a specially designed Java client run through your Web browser at frame rates up to 18 frames/second. No additional software is needed, but don't try this unless you have a fast connection (10 Mbits/sec Ethernet or higher). With this software, you can

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (2 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

capture single digital images, record movies, and perform time-lapse cinematography experiments.

Museum of Microscopy - Featuring 3-D Studio Max drawings of ancient microscopes, this unique gallery explores many of the historic microscopes made during the last four centuries. Visit the gallery and download a copy of our Windows screen saver containing selected images of these beautiful microscopes.

Silicon Zoo - This popular gallery features images of cartoon characters and other doodling placed onto computer chips by their designers.

Featured Microscopist - Our featured microscopist for Spring 2002 is noted Dutch photomicrographer Loes Modderman. Born in Amsterdam in 1944, Modderman received her first microscope by age 13 and has never lost her sense of wonder at the minute beauties available with this instrument. Many years ago, Loes initiated a series of chemical crystallization experiments, which allowed her to meld longtime interests in nature, art, science, and photography to form her abstract photomicrographs into a colorful celebration of form and structure. A wide spectrum of these photomicrographs are featured in this gallery.

Cell and Virus Structure - Although the human body contains over 75 trillion cells, the majority of life forms exist as single cells that perform all the functions necessary for independent existence. Most cells are far too small to be seen with the naked eye and require the use of high-power optical and electron microscopes for careful examination.

Fluorescence Microscopy Digital Image Gallery - Featuring specimens collected from a wide spectrum of disciplines, the fluorescence gallery contains a variety of examples using both specific fluorochrome stains and autofluorescence. Images were captured utilizing either a Nikon DXM 1200 digital camera, an Optronics MagnaFire Peltier-cooled camera, or classical photomicrography on film with Fujichrome Provia 35 millimeter transparency film.

Pond Life - Freshwater ponds provide a home for a wide variety of aquatic and semi-aquatic plants, insects, and animals. The vast majority of pond inhabitants, however, are invisible until viewed under the microscope. Beneath the placid surface of any pond is a microscopic metropolis bustling with activity as tiny bizarre organisms pursue their lives; locomoting, eating, trying not to be eaten, excreting, and reproducing. In this collection of digital movies, observe the activities of microscopic organisms taken from a typical North Florida pond.

Concepts in Digital Imaging Technology - Explore the basic concepts in digital imaging with our illustrated discussions and interactive tutorials. Topics covered include CCD operation, image capture, digital manipulation of images and a wide spectrum of other issues in this emerging field.

Science, Optics & You - Explore our science curriculum package being developed for teachers, students, and parents. Activities are designed to promote the asking and answering of questions related to light, color, and optics. The program begins with basic information about lenses, shadows, prisms, and color, leading up to the use of sophisticated instruments scientists use to help them understand the world.

Intel Play QX3 Computer Microscope - Take a moment to visit our in-depth

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (3 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

discussion of this incredible toy microscope. Included topics are the QX3 hardware (microscope), interactive microscope software, suggested specialized techniques, and digital image galleries from the QX3 microscope.

Creative Photomicrography - By employing multiple exposure photomicrography, we have succeeded in generating a series of unusual micrographs which we have termed microscapes. These micrographs are intended to resemble surrealistic/alien landscapes.

10 Best Interactive Java Tutorials

Digital Image Processing Interactive Java Tutorials - Explore the basic concepts of digital image processing applied to specimens captured in the microscope. Techniques reviewed include contrast, color balance, spatial resolution, image sampling frequency, geometric transformation, averaging, measurements, histogram manipulation, convolution kernels, filtering digital images, compression, noise reduction, and binary digital images.

Full-Frame CCD Operation - Having the simplest architecture and being the easiest devices to build and operate, full-frame charged coupled devices (CCDs) feature high-density pixel arrays capable of producing digital images with the highest resolution currently available. Explore how images are captured and transferred to serial output registers with this interactive Java tutorial.

Intel Play QX3 Computer Microscope Simulator - Discover how the hardware and software of this amazing "toy" microscope work together to produce images that you can digitally manipulate with a personal computer.

Geometrical Construction of Ray Diagrams - A popular method of representing a train of propagating light waves involves the application of geometrical optics to determine the size and location of images formed by a lens or multi-lens system. This tutorial explores how two representative light rays can establish the parameters of an imaging scenario.

Reflected Light Confocal Microscopy - Explore microscopy of integrated circuits using real-time confocal observations at a resolution of 0.18 microns with this interactive Java tutorial.

Building A Charged Coupled Device - Explore the steps utilized in the construction of a charged coupled device (CCD) as a portion of an individual pixel gate is fabricated on a silicon wafer simultaneously with thousands or even millions of neighboring elements.

Astigmatism - Astigmatism aberrations are similar to comatic aberrations, however these artifacts are not as sensitive to aperture size and depend more strongly on the oblique angle of the light beam. The aberration is manifested by the off-axis image of a specimen point appearing as a line or ellipse instead of a point.

Video Signal Generation - A video signal is a recoverable train of electrical impulses generated by scanning a two-dimensional image produced by the optical train of a microscope. The image is sequentially scanned in narrow strips and

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (4 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

combined to produce the final signal. This interactive tutorial explores the relationship between the microscope image, scan lines, and the video signal.

Airy Pattern Formation - When an image is formed in the focused image plane of an optical microscope, every point in the specimen is represented by an Airy diffraction pattern having a finite spread. This occurs because light waves emitted from a point source are not focused into an infinitely small point by the objective, but converge together and interfere near the intermediate image plane to produce a three-dimensional Fraunhofer diffraction pattern.

Fluorescence Microscope Light Pathways - This interactive tutorial explores illumination pathways in the Olympus BX51 research-level upright microscope. The microscope drawing presented in the tutorial illustrates a cut-away diagram of the Olympus BX51 microscope equipped with a vertical illuminator and lamphouses for both diascopic (tungsten-halogen) and epi-fluorescence (mercury arc) light sources. Sliders control illumination intensity and enable the visitor to select from a library of five fluorescence interference filter combinations that have excitation values ranging from the near ultraviolet to long-wavelength visible light.

Condenser Alignment - This tutorial demonstrates how the condenser is centered in the optical path and the size of the field diaphragm opening is determined when adjusting a microscope for proper Köhler illumination.

New Microscopy Primer Entries

If you need information about optical microscopy, how to set up a microscope, or how to take photographs with a microscope, then visit our Microscopy Primer for a detailed discussion.

Basic Concepts in Digital Image Processing - Digital image processing enables the reversible, virtually noise-free modification of an image in the form of a matrix of integers instead of the classical darkroom manipulations or filtration of time-dependent voltages necessary for analog images and video signals. Even though many image processing algorithms are extremely powerful, the average user often applies operations to digital images without concern for the underlying principles behind these manipulations. The images that result from careless manipulation are often severely degraded or otherwise compromised with respect to those that could be produced if the power and versatility of the digital processing software were correctly utilized.

Introduction to CMOS Image Sensors - CMOS image sensors are designed with the ability to integrate a number of processing and control functions, which lie beyond the primary task of photon collection, directly onto the sensor integrated circuit. These features generally include timing logic, exposure control, analog-to-digital conversion, shuttering, white balance, gain adjustment, and initial image processing algorithms. Inexpensive CMOS image sensors are entering the field of optical microscopy in educational instruments that combine acceptable optical quality with user-friendly control and imaging software packages.

Introduction to Prisms and Beamsplitters - Prisms and beamsplitters are essential components that bend, split, reflect, and fold light through the pathways of both simple and sophisticated optical systems. Cut and ground to specific tolerances and exact angles, prisms are polished blocks of glass or other

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (5 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

transparent materials that can be employed to deflect or deviate a light beam, rotate or invert an image, separate polarization states, or disperse light into its component wavelengths. Many prism designs can perform more than one function, which often includes changing the line of sight and simultaneously shortening the optical path, thus reducing the size of optical instruments.

Stereomicroscopy - Stereomicroscopes have characteristics that are valuable in situations where three-dimensional observation and perception of depth and contrast is critical to the interpretation of specimen structure. These instruments are also essential when micromanipulation of the specimen is required in a large and comfortable working space. The wide field of view and variable magnification displayed by stereomicroscopes is also useful for construction of miniature industrial assemblies, or for biological research that requires careful manipulation of delicate and sensitive living organisms.

Basic Microscope Ergonomics - In order to view specimens and record data, microscope operators must assume an unusual but exacting position, with little possibility to move the head or the body. They are often forced to assume an awkward work posture such as the head bent over the eye tubes, the upper part of the body bent forward, the hand reaching high up for a focusing control, or with the wrists bent in an unnatural position.

Image Formation - In the optical microscope, image formation occurs at the intermediate image plane through interference between direct light that has passed through the specimen unaltered and light diffracted by minute features present in the specimen. The image produced by an objective lens is conjugate with the specimen, meaning that each image point at the intermediate plane is geometrically related to a corresponding point in the specimen.

Basic Properties of Digital Images - Continuous-tone images are produced by analog optical and electronic devices, which accurately record image data by several methods, such as a sequence of electrical signal fluctuations or changes in the chemical nature of a film emulsion that vary continuously over all dimensions of the image. In order for a continuous-tone or analog image to be processed or displayed by a computer, it must first be converted into a computer-readable form or digital format. This process applies to all images, regardless the origin and complexity, and whether they exist as black and white (grayscale) or full color. A digital image is composed of a rectangular (or square) pixel array representing a series of intensity values and ordered through an organized (x,y) coordinate system.

Introduction to Confocal Microscopy - Confocal microscopy offers several advantages over conventional optical microscopy, including controllable depth of field, the elimination of image degrading out-of-focus information, and the ability to collect serial optical sections from thick specimens. The key to the confocal approach is the use of spatial filtering to eliminate out-of-focus light or flare in specimens that are thicker than the plane of focus. There has been a tremendous explosion in the popularity of confocal microscopy in recent years, due in part to the relative ease with which extremely high-quality images can be obtained from specimens prepared for conventional optical microscopy, and in its great number of applications in many areas of current research interest.

Electronic Imaging Detectors - The range of light detection methods and the wide

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (6 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

variety of imaging devices currently available to the microscopist make the selection process difficult and often confusing. This discussion is intended to aid in understanding the basics of light detection and to provide a guide for selecting a suitable detector for specific applications in optical microscopy.

Troubleshooting Classical and Digital Photomicrography - Photography through the microscope is undergoing a transition from film to digital imaging. New digital technologies are producing higher resolution micrographs, but the quality still falls short of that obtainable with film. Microscope configuration errors represent the greatest obstacle to quality photomicrographs, followed by errors in filter selection, film choice, aberration, dirt and debris, and processing mistakes.

Oblique or Anaxial Illumination - Achieving conditions necessary for oblique illumination, which has been employed to enhance specimen visibility since the dawn of microscopy, can be accomplished by a variety of techniques with a simple transmitted optical microscope. Perhaps the easiest methods are to offset a partially closed condenser iris diaphragm or the image of the light source. In former years, some microscopes were equipped with a condenser having a decenterable aperture iris diaphragm. The device was engineered to allow the entire iris to move off-center in a horizontal plane so that closing the circular diaphragm opening would result in moving the zeroth order to the periphery of the objective rear focal plane. In advanced models, the entire diaphragm was rotatable around the axis of the microscope so that oblique light could be directed toward the specimen from any azimuth to achieve the best desired effect for a given specimen.

Multiphoton Excitation Microscopy - Multiphoton fluorescence microscopy is a powerful research tool that combines the advanced optical techniques of laser scanning microscopy with long wavelength multiphoton fluorescence excitation to capture high-resolution, three-dimensional images of specimens tagged with highly specific fluorophores.

Best of the Silicon Zoo

Flying Osprey - A Hewlett-Packard design team headed by Howard Hilton in Lake Stevens, Washington was responsible for placing what is perhaps the World's smallest rendition of an osprey on a decimation filter integrated circuit utilized in signal analyzer instruments.

Snoopy - The silicon version of Snoopy illustrated in this section was discovered by Richard Piotter of New Ulm, Minnesota, who also loaned the 4-inch wafer (made by a 1980s-era semiconductor company named Trilogy) from which the image is derived.

The Con Artist - We found this guy in a trench coat trying to hock some fake Rolex watches (that are probably "hot") on a Hewlett-Packard PA-RISC microprocessor. Housed near the clock circuitry on the chip, the silicon artwork signifies a pun on higher-end microprocessor clock systems that utilize a more complex feature set.

Pac-Man - A silicon version of the famous game character was photographed gobbling the initials GAAS (gallium arsenide) on a TEMIC Semiconductors silicon-germanium radio frequency integrated circuit.

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (7 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

Milhouse Van Houten - Simpson's cartoon character Milhouse was spotted on a Silicon Image Sil154CT64 digital transmitter integrated circuit.

Godzilla - This mythical Japanese creature was discovered lurking on a pad within the Silicon Graphics MIPS R10000 microprocessor (this chip is sure crowded with silicon creatures).

Tux, the Linux Penguin - Tux is nesting within the pad ring on an integrated circuit of unknown function (perhaps the latest new microprocessor designed to run the Linux operating system).

Starship USS Enterprise - This famous Star Trek icon was discovered on a Texas Instruments bipolar logic integrated circuit.

The Pepsi Generation - Perhaps the smallest soft drink advertisement ever created, this 750 micron Pepsi commercial was discovered on a Hewlett-Packard CPU-support chip.

The Rolex - An intricate bitmap-like pattern of vias (interconnect shafts) was used to construct this incredible likeness of a Rolex wristwatch.

The Stay Puft Marshmallow Man - Coming to you from "GhostBusters", the Stay Puft Marshmallow Man was cooked in a frying pan within the circuitry of a Weitek math coprocessor designed in 1988.

Thor: God of Thunder - Probably the best silicon artwork we have yet seen, this image was discovered on a Hewlett-Packard graphics chip.

The Chip Smurf - An orange silicon Smurf is pulling a wagon containing the copyright symbol around the pad ring on a Siemens integrated circuit of unknown function.

New Photo Gallery Entries

Observing Mitosis with Fluorescence Microscopy - Mitosis, a phenomenon observed in all higher eukaryotes, is the mechanism that allows the nuclei of cells to split and provide each daughter cell with a complete set of chromosomes during cellular division. This, coupled with cytokinesis (division of the cytoplasm), occurs in all multicellular plants and animals to permit growth of the organism. Digital imaging with fluorescence microscopy is becoming a powerful tool to assist scientists in understanding the complex process of mitosis on both a structural and functional level.

Brightfield Microscopy Digital Image Gallery - Brightfield illumination has been one of the most widely used observation modes in optical microscopy for the past 300 years. The technique is best suited for utilization with fixed, stained specimens or other kinds of samples that naturally absorb significant amounts of visible light. Images produced with brightfield illumination appear dark and/or highly colored against a bright, often light gray or white, background. This digital image gallery explores a variety of stained specimens captured with an Olympus BX51 microscope coupled to a 12-bit QImaging Retiga camera system.

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (8 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

Polarized Light Microscopy Digital Image Gallery - As a contrast-enhancing optical technique, polarized light microscopy is unsurpassed in the magnificent array of colors and beautiful textures generated through interference between orthogonal wavefronts at the analyzer. Useful for observation of mineral thin sections, hairs, fibers, particles, bones, chemical crystals, polymers, and a wide variety of other specimens, polarized light can be employed for both quantitative as well as qualitative investigations. Visit this gallery to observe how polarized light can be of advantage in the observation of specimens that would otherwise exhibit poor contrast and be difficult to distinguish from the background.

Differential Interference Contrast Digital Image Gallery - Thin unstained, transparent specimens are excellent candidates for imaging with classical differential interference (DIC) microscopy techniques over a relatively narrow range (plus or minus one-quarter wavelength) of bias retardation. The digital images presented in this gallery represent a wide spectrum of specimens, which vary from unstained cells, tissues, and whole organisms to both lightly and heavily stained thin and thick sections. In addition, several specimens exhibiting birefringent character are included to demonstrate the kaleidoscopic display of color that arises when anisotropic substances are imaged with this technique.

Confocal Microscopy Digital Image Gallery - Scroll through serial optical sections from a wide variety of specimens, including tissue culture cells, thin and thick sections, and entire organisms, in this Java-powered image gallery.

The DNA Gallery - DNA undergoes a number of liquid crystalline phase transitions both in vitro and in vivo. This gallery explores the microscopic textures exhibited by various liquid crystalline DNA phases and their transition states.

The Phytochemical Collection - Acclaimed by Newsweek as being "better than Vitamins", phytochemicals are blazing a new frontier in the arena of cancer-prevention research. Explore the beautiful crystalline patterns displayed by phytochemicals captured in polarized light.

Intel Play QX3 Microscope Galleries - Check out digital images captured with this incredible microscope using contrast enhancing techniques such as polarized light, darkfield, brightfield, and Rheinberg illumination.

Phase Contrast Gallery - By "converting" phase objects such as living material into amplitude specimens, phase contrast illumination allows scientists to see details in unstained and/or living objects with great clarity and resolution. Explore the wide spectrum of biological specimens presented in this gallery of digital images.

Hoffman Modulation Contrast Gallery - The modulation contrast technique takes advantage of optical phase gradients to yield a pseudo three-dimensional effect on images seen in the microscope.

Darkfield Microscopy Gallery - Darkfield illumination provides good contrast for specimens that are often lacking in sufficient detail using other illumination techniques.

Dinosaur Bones - Photographs of thin sections made from bones left behind by dinosaurs that have been extinct for over 70 million years.

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (9 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

Electricity & Magnetism Interactive Java Tutorials

Electricity & Magnetism Interactive Java Tutorials - Visit our interactive tutorials on electricity and magnetism to explore how these two forces of nature operate in our everyday lives.

Building A Transistor - Explore how an individual Field Effect (FET) transistor is fabricated on a silicon wafer simultaneously with millions of its neighbors.

Pulsed Magnets - Pulsed magnets are among the strongest magnets in the world, and come in two forms: destructive and non-destructive. Of these two, non-destructive magnets are more suited towards scientific research, as they can reach some of the highest magnetic fields experimentally possible. This applet demonstrates how a non-destructive short pulse magnet works, and shows the relative field strengths generated.

How a Compact Disc Works - This tutorial explores how a laser beam is focused onto the surface of a spinning compact disc, and how variations between pits and lands on the disc surface affect how light is either scattered by the disc surface or reflected back into a detector.

Electrophoresis - Explore how electrical potential can cause migration and separation of macromolecules according to size in a cross-linked gel.

In the upcoming weeks and months, we will be adding more galleries, interactive Java tutorials, Silicon Zoo artwork, Chip Shots and new entries for the image collections on our website so please come back from time to time and check out our new additions.

BACK TO THE TOP

Questions or comments? Send us an email.

© 1995-2004 by Michael W. Davidson and The Florida State University. All Rights Reserved. No images, graphics, software, scripts, or applets may be reproduced or used in any manner without

permission from the copyright holders. Use of this website means you agree to all of the Legal Terms and Conditions set forth by the owners.

This website is maintained by ourGraphics & Web Programming Team

in collaboration with Optical Microscopy at theNational High Magnetic Field Laboratory.

Last modification: Thursday, Mar 04, 2004 at 09:44 AM

Access Count Since September 12, 1995: 3011717

Microscopes provided by:

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (10 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Molecular Expressions: Images from the Microscope

http://micro.magnet.fsu.edu/index.html (11 de 11) [13/03/2004 16:16:54]

Java Applets on Physics (Java 1.4)

Java Applets on PhysicsWalter Fendt

English version www.walter-fendt.de/ph14e

www.walter-fendt.de/ph11e

(Java 1.4, 46 applets, 2004-03-11)(Java 1.1, 41 applets, 2002-12-27)

Download

Important notice, especially for Internet Explorer version 6:The applets will only work if a Java runtime environment (version 1.4) is installed on your computer.Download is possible from Sun Microsystems.

MechanicsMotion with Constant Acceleration 11/02/2000 - 01/18/2003

Equilibrium of Three Forces 03/11/2000 - 01/18/2003

Resultant of Forces (Addition of Vectors) 11/02/1998 - 01/18/2003

Resolution of a Force into Components 05/30/2003 - 07/01/2003

Pulley System 03/24/1998 - 01/18/2003

Lever Principle 11/02/1997 - 01/18/2003

Inclined Plane 02/24/1999 - 01/18/2003

Newton's Second Law Experiment 12/23/1997 - 01/18/2003

Projectile Motion 09/13/2000 - 01/18/2003

Elastic and Inelastic Collision 11/07/1998 - 01/18/2003

Newton's Cradle 11/04/1997 - 01/18/2003

Carousel (Centripetal Force) 03/10/1999 - 01/18/2003

Kepler's First Law 03/25/2000 - 01/18/2003

http://www.walter-fendt.de/ph14e/ (1 de 3) [13/03/2004 16:17:14]

Java Applets on Physics (Java 1.4)

Kepler's Second Law 04/04/2000 - 01/18/2003

Hydrostatic Pressure in Liquids 02/03/1999 - 01/18/2003

Buoyant Force in Liquids 04/19/1998 - 01/18/2003

Oscillations and WavesSimple Pendulum 05/21/1998 - 01/18/2003

Spring Pendulum 05/24/1998 - 01/18/2003

Coupled Pendula 07/05/1998 - 01/18/2003

Forced Oscillations (Resonance) 09/11/1998 - 01/18/2003

Beats 10/21/2001 - 01/18/2003

Standing Wave (Explanation by Superposition with the Reflected Wave)

New! (11/02/2003)

Standing Longitudinal Waves 06/08/1998 - 01/18/2003

Interference of two Circular or Spherical Waves 05/22/1999 - 01/18/2003

Doppler Effect 02/25/1998 - 01/18/2003

ElectrodynamicsMagnetic Field of a Bar Magnet 04/20/2001 - 01/18/2003

Magnetic Field of a Straight Current-Carrying Wire 09/18/2000 - 01/18/2003

Lorentz Force 06/01/1998 - 01/18/2003

Direct Current Electrical Motor 11/29/1997 - 01/18/2003

Generator 05/08/1998 - 01/18/2003

Ohm's Law 11/23/1997 - 11/27/2003

Combinations of Resistors 09/11/2002 - 07/04/2003

Simple AC Circuits 06/13/1998 - 01/18/2003

Electromagnetic Oscillating Circuit 12/08/1999 - 01/18/2003

Electromagnetic Wave 09/20/1999 - 01/18/2003

OpticsRefraction of Light 12/20/1997 - 01/18/2003

Reflection and Refraction of Light Waves (Explanation by Huygens' Principle)

03/05/1998 - 11/01/2003

Refracting Astronomical Telescope 03/08/2000 - 01/18/2003

Interference of Light at a Double Slit 10/07/2003 - 11/01/2003

http://www.walter-fendt.de/ph14e/ (2 de 3) [13/03/2004 16:17:14]

Java Applets on Physics (Java 1.4)

Diffraction of Light by a Single Slit 10/11/2003 - 11/01/2003

ThermodynamicsSpecial Processes of an Ideal Gas 12/25/1999 - 01/18/2003

Theory of RelativityTime Dilation 11/15/1997 - 01/18/2003

Physics of AtomsPhotoelectric Effect 02/20/2000 - 01/18/2003

Bohr's Theory of the Hydrogen Atom 05/30/1999 - 01/18/2003

Nuclear PhysicsRadioactive Decay Series 07/20/1998 - 01/18/2003

Law of Radioactive Decay 07/16/1998 - 01/18/2003

Walter Fendt, March 11, 2004

Mathematics Applets Astronomy Applets Homepage E-Mail

Copyright

Awards and Links

http://www.walter-fendt.de/ph14e/ (3 de 3) [13/03/2004 16:17:14]

http://www.microsoft.com/ie/

The Internet Explorer home page has moved to www.microsoft.com/windows/ie/default.htm. Please update your Favorites.

http://www.microsoft.com/ie/ [13/03/2004 16:17:18]

Internet Explorer Home Page

Microsoft.com Home|Site Map

Search Microsoft.com for:

Windows Home|Internet Explorer Site Map|Worldwide Sites

Internet Explorer Home

Technology

Technical Resources

Using Internet Explorer

Downloads

Support

Related Technologies

Previous Versions

Windows Family

Technology overview

Download now

Order the CD (U.S. and Canada only)

Worldwide Downloads

Top Stories

Mydoom Virus Alert: What to Do

Find out how to tell if your computer is infected with the Mydoom worm variants and what recovery steps you should take.

Get the latest Security Update

Download the Windows and Internet Explorer update for February 2, 2004. This critical patch includes new and previous updates, and can help protect you from having your personal information sent to a malicious website.

Surfing, Browsing, and Finding Your Way

Learn how to quickly maneuver through Web sites, save your favorite sites, and find your way back again.

Featured Content

Internet Explorer 6 SP1 users: Having trouble with Internet

transactions?

Use Outlook Express to stay in touch

The Microsoft Virtual Machine for Java is not included in Internet

Explorer

How to prevent pop-up ads

Looking for Internet Explorer 5.5 SP2?

Download Internet Explorer 6 Service Pack 1

Get More from the Web

Work Faster and Smarter on

the Web

Watch how-to videos

Security and privacy essentials

Customize Internet Explorer 6

Get e-mail and news with

Outlook Express

Quick Question?

Get answers to your most

asked questions

Top 10 Downloads

Get the most popular internet

explorer downloads

Security Updates

Windows security update for

February 2 2004

Maintain security with Internet

Explorer

Use Office Update to protect

your PC

Special Offers

Don't want to download? Order

the CD

http://www.microsoft.com/windows/ie/default.asp (1 de 2) [13/03/2004 16:17:59]

Internet Explorer Home Page

Information For...

Developers: Articles, technologies, and newsgroups

Corporations: Read more about how to deploy and manage Internet

Explorer

Internet Service Providers (ISPs): Reduce distribution time and support

costs

Internet Content Providers (ICPs): Customize the browser appearance

and the Setup program

Independent Software Vendors (ISVs): Create custom browser software

packages

Mac Users: Find Internet Explorer download and troubleshooting

information

IT Pros and System Administrators: What to learn before deploying

Internet Explorer on Windows Server 2003

Last Updated: March 08, 2004

Manage Your Profile |Contact Us |E-Mail This Page

©2004 Microsoft Corporation. All rights reserved. Terms of Use |Privacy Statement

http://www.microsoft.com/windows/ie/default.asp (2 de 2) [13/03/2004 16:17:59]

1.2 PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO

Capítulo 1 - A LEI DE COULOMB

PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO

Essencialmente, existem dois tipos de portadores de carga elétrica: prótons (+) e elétrons(-). Em condições de equilíbrio, qualquer material é eletricamente neutro, contendo igual número de prótons e elétrons. Um material é eletricamente positivo quando tem excesso de prótons, ou falta de elétrons. Da mesma forma, ele será negativamente carregado se tiver um excesso de elétrons.

Um material pode ser eletrizado através de dois processos:

Eletrização por atrito

Eletrização por indução

Eletrização por atrito ocorre quando materiais não condutores são atritados uns contra outros. Nesse processo, um dos materiais perde elétrons e outro ganha, de modo que um tipo de material fica positivo e outro fica negativo. Uma experiência simples consiste em carregar um pente passando-o várias vezes no cabelo. A comprovação de que ele ficou carregado é obtida atraindo-se pequenas partículas, por exemplo, de pó de giz.

A figura ilustra as etapas essenciais do processo de eletrização por indução. Na

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/m_s01.html (1 de 2) [13/03/2004 16:18:14]

1.2 PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO

ilustração, tem-se inicialmente um corpo carregado e outro descarregado ( para que o processo seja factível, este corpo deve ser condutor). A aproximação do corpo positivamente carregado atrai as cargas negativas do corpo eletricamente neutro. A extremidade próxima ao corpo carregado fica negativa, enquanto a extremidade oposta fica positiva.

Mantendo-se o corpo carregado próximo, liga-se o corpo eletricamente neutro à terra. Elétrons subirão da terra para neutralizar o “excesso” de carga positiva. Cortando-se a ligação à terra, obtém-se um corpo negativamente carregado.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/m_s01.html (2 de 2) [13/03/2004 16:18:14]

1.3 A LEI DE COULOMB

Capitulo 1- A LEI DE COULOMB

Condutores e Isolantes No contexto do eletromagnetismo, podemos classificar os materiais em:

Condutores

Isolantes (ou dielétricos)

Semicondutores

Supercondutores.

Para o momento, vamos nos deter apenas nos condutores e nos dielétricos. Como os nomes sugerem, um material condutor tem facilidade para conduzir a eletricidade, enquanto um dielétrico não conduz a eletricidade. Na verdade, seria melhor dizer que um dielétrico quase não conduz a eletricidade. Há circunstâncias (veremos mais tarde) em que ele também conduz.

Podemos dizer, numa linguagem bastante simples, que um dielétrico é diferente de um condutor porque este tem elétrons livres, que se encarregam de conduzir a eletricidade. Assim, quando uma certa quantidade de carga elétrica é colocada num material dielétrico, ela permanece no local em que foi colocada. Ao contrário, quando esta carga é colocada num condutor, ela tenderá a se distribuir até que o campo no interior do material seja nulo.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/m_s02.html [13/03/2004 16:18:17]

1.4 LEI DE GAUSS & LEI DE COULOMB

Capitulo 1 - A LEI DE COULOMB

FORÇA ELETROSTÁTICA Numa abordagem bastante geral, podemos dizer que dois corpos eletrizados interagem através da atração gravitacional e da interação eletromagnética. Esta abordagem pode ser simplificada desprezando-se a atração gravitacional frente à interação eletromagnética. Na maioria dos casos tratados aqui essa é uma boa aproximação. Podemos fazer outra simplificação, considerando apenas as cargas estacionárias. Eletrostática é esta área do eletromagnetismo que aborda interações entre cargas estacionárias ou quase estacionárias.

Coulomb descobriu, experimentalmente, que a força entre cargas q1 e q2 é dada por:

(1.1)

onde =8.99x109 Nm2/C2 é uma constante que tem

essa forma para atender necessidades de ajustes dimensionais e para simplificar as equações de Maxwell.

ε0=8.85x10-12 C2/Nm2, é uma constante muito importante no eletromagnetismo, denominada permissividade elétrica no vácuo.

No aplicativo acima, vê-se duas cargas elétricas.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/m_s03.html (1 de 2) [13/03/2004 16:18:20]

1.4 LEI DE GAUSS & LEI DE COULOMB

1) Altere os sinais das cargas e observe os sentidos das forças de interação eletrostática.2) Clique sobre uma carga e veja, na barra amarela que fica na parte de baixo da moldura, o valor das coordenadas e da força.3) Fixe uma das cargas, e movimente a outra ao longo do eixo dos x's. Faça o gráfico de F versus a distância entre as cargas. Use pelo menos 10 pontos para fazer gráfico.4) Você consegue explicar porquê foi sugerido que a carga se movimentasse ao longo dos eixo dos x's?

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/m_s03.html (2 de 2) [13/03/2004 16:18:20]

3.4 EXEMPLO 1.1

Capitulo 1 - A LEI DE COULOMB

EXEMPLO 1.1 Duas cargas positivas puntiformes, Q1 e Q2, são colocadas no eixo dos y, nos pontos y=+a e y=-a. Calcule a força dessas duas cargas sobre uma terceira carga, q, colocada no eixo dos x. Vamos tomar a primeira providência, válida em quase todos os problemas de física: fazer um desenho que represente o enunciado. A figura 1.2 é a expressão gráfica do enunciado acima.

Pelo princípio da superposição, .

Tendo em conta as posições das cargas, conforme figura acima, e que Q1=Q2=Q=q, tem-se

F1=F2=kq2/r2.

Por simetria chega-se à conclusão que a força resultante sobre a terceira carga tem a direção do eixo x. Portanto, o

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/m_s04.html (1 de 2) [13/03/2004 16:18:24]

3.4 EXEMPLO 1.1

módulo da força resultante será

Mostre que a força resultante é máxima no ponto .

Substituindo o valor negativo de x na expressão , obtém-

se um resultado positivo, em aparente contradição com os apontamentos ao lado. Tente descobrir onde está o equívoco.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/m_s04.html (2 de 2) [13/03/2004 16:18:24]

1.6 Exercicios

Capitulo 1 - A LEI DE COULOMB

Exercicios.

Pergunta 1

1.1 Duas partículas igualmente carregadas, com um afastamento de 3x10-3 m entre elas, são largadas a partir do repouso. As partículas têm massas iguais a 7,0x10-7 kg e 5,4x10-7 kg, e a aceleração inicial da primeira partícula é de 700 m/s2. Quais são: (a) a aceleração da segunda partícula? (b) O módulo da carga comum?R.: 900 m/s2; 7x10-10 C.

Pergunta 2

1.2 Considerando, na figura 1.3, q=2x10-6 C e a=10 cm, determine as componentes horizontais e verticais da força resultante que atua na carga –q (canto superior direito). As cargas estão em repouso absoluto.R.: 1,94kq2/a2; 0,06kq2/a2.

Figura 1.3

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/m_ex.html (1 de 3) [13/03/2004 16:18:30]

1.6 Exercicios

Pergunta 3

1.3 Duas cargas pontuais livres, +q e +9q, estão afastadas por uma distância d. Uma terceira carga é colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Determine a posição, o módulo e o sinal da terceira carga. (b) Mostre que o equilíbrio é instável. R.: Carga –9q/16, colocada entre as cargas +q e +9q, a uma distância d/4 a partir da carga +q.

Pergunta 4

1.4 Cargas iguais a +Q são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado L. Determine a posição, o módulo e o sinal de uma carga colocada no interior do triângulo, de modo que o sistema fique em equilíbrio. R.: Carga

colocada na bissetriz, a uma distância

a partir do vértice.

Pergunta 5

1.5 Uma carga Q igual a 2x10-19 C é dividida em duas, (Q-q) e q, de modo que a repulsão coulombiana seja máxima. Calcule a distância que uma deve ficar da outra, para que esta força seja igual 9x10-9 N. R.: 1Å

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/m_ex.html (2 de 3) [13/03/2004 16:18:30]

1.6 Exercicios

Pergunta 6

1.6 Duas cargas pontuais idênticas, de massa m e carga q, estão suspensas por fios não condutores de comprimento L, conforme ilustra a figura 1.4. Considerando o ângulo θ tão pequeno de modo que seja

válida a aproximação , mostre que

Figura 1.4

Pergunta 7

1.7 (a) Quantos elétrons deverão ser removidos de uma pequena esfera, para deixá-la com carga igual a +1,6x10-9 C? (b) Supondo que a esfera seja de cobre, e tenha massa igual a 3,11 g, calcule a fração dos elétrons totais da esfera que corresponde ao valor encontrado em (a). R.: 1010 elétrons; 1/1014.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod01/m_ex.html (3 de 3) [13/03/2004 16:18:30]

2.2 Ação a Distancia

Capitulo 2 - O CAMPO ELÉTRICO

Ação a DistanciaA força coulombiana, assim como a força gravitacional, são interações à distância, um conceito mal compreendido, desde Newton até meados do século passado, quando Faraday introduziu a idéia de campo. De acordo com o conceito de campo, a interação entre duas cargas, Q1 e Q2, ocorre através da ação do campo de uma delas sobre a outra. Operacionalmente, o campo é assim definido

(2.1)onde a carga de prova, q0, é tão pequena quanto possível. Isto é, para se conhecer o valor do campo elétrico em determinado ponto, basta colocar uma carga de prova naquele ponto e dividir a força medida pelo valor da carga.

Apresenta-se nesta simulação, a configuração de campo elétrico criado por uma certa distribuição de carga. Uma carga de prova (vermelha) pode ser usada para se determinar o valor de E em qualquer ponto no interior da moldura. Coloque o cursor sobre a carga e veja o valor de E. O valor é positivo, logo, a carga líquida na distribuição é positiva. Tente colocar a carga de prova em vários pontos com y=0 (aproximadamente igual a zero) e diferentes valores de x. Use uma dessas medidas e determine o valor da carga líquida da distribuição. Faça um gráfico de E versus x. Compare este gráfico "experimental" com um teórico, obtido com o uso da eq.2.1.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_s01.html [13/03/2004 16:18:32]

1.2 LINHAS DE FORÇA

Capitulo 2- O CAMPO ELÉTRICO

LINHAS DE FORÇA Com a introdução do conceito de campo, logo surgiu a dúvida sobre como ele se apresentava no espaço. Faraday propôs o conceito de linhas de força.

Existe uma bem definida relação entre campo e linhas de força, de modo que conhecendo-se um, determina-se o outro.

Em cada ponto do espaço, a direção do campo é determinada pela tangente à linha de força.

Em cada ponto do espaço, o valor do campo é determinado pelo número de linhas por unidade de área transversal. Quanto maior a densidade de linhas de campo, maior a intensidade do campo.

Uma forma bastante simples para visualizar linhas de campo, no caso do campo magnético: (1) colocar um ímã sob uma cartolina; (2) espalhar limalha de ferro sobre a cartolina.

No aplicativo ao lado, são visualizadas as linhas de campo de quatro esferas carregadas. As esferas podem ser colocadas em qualquer ponto do espaço definido pela moldura; basta colocar o apontador do mouse sobre a carga e arrastá-la para o ponto desejado. Coloque as esferas em diferentes posições, e determine o sinal da carga de cada uma. Ordene as esferas de acordo com o módulo das suas cargas.

Se tiver dúvida, entre no teleduc e tente tirá-la com o professor ou com algum colega.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_s02.html (1 de 2) [13/03/2004 16:18:34]

1.2 LINHAS DE FORÇA

No aplicativo ao lado, vê-se duas cargas, e as linhas de campo (outra denominação também usada para linhas de força) da configuração. A carga à esquerda é positiva e tem valor fixo. A carga à direita pode ser positiva ou negativa, e tem seu valor ajustado através da barra de controle. Quando o cursor da barra de controle está na extremidade direita, a carga é máxima, e quando está na extremidade esquerda a carga é próxima de zero. Movimente o cursor, de uma extremidade à outra, e tente descrever o que acontece com as linhas de campo. Para se introduzir o conceito de campo elétrico no início deste capítulo, utilizamos uma carga de prova, "tão pequena quanto possível". Use o experimento que você acabou de fazer, e tente justificar por quê a carga de prova tem que ser "tão pequena quanto possível". DICA: a carga de prova serve para a medida do campo elétrico da outra carga. Isto significa que ela serve para se avaliar as linhas de campo da outra carga.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_s02.html (2 de 2) [13/03/2004 16:18:34]

2.4 CAMPO DE UM DIPOLO ELÉTRICO

Capitulo 2 - O CAMPO ELÉTRICO

CAMPO DE UM DIPOLO ELÉTRICO Dada uma carga puntiforme, q, e uma carga de prova, q0, a uma distância r da primeira, tem-se

(2.2)

Portanto, pela definição de campo, eq. (2.1), tem-se o campo de uma carga puntiforme

(2.3)

Dipolo elétrico é uma configuração muito importante para o tema que estamos tratando. Consiste de um par de cargas de mesmo valor e sinais contrários, separadas por uma distância d.

Figura 2.1

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_s03.html (1 de 3) [13/03/2004 16:18:40]

2.4 CAMPO DE UM DIPOLO ELÉTRICO

Pelo princípio da superposição,

Use a eq. (2.3) e mostre que o campo do dipolo, num ponto da sua mediatriz, x»d, é dado por

(2.4),

onde p=qd é o momento de dipolo elétrico do dipolo.

Teta = Ey = E(- = abaixo, +=acima) Q (verde = "+" vermelho = "-") =

C

Esta simulação permite analisar o efeito de um campo elétrico uniforme, representado pelas linhas de força verticais (verdes), sobre um dipolo elétrico. Os vetores azuis sobre cada carga representam as forças sobre elas. Vários parâmetros podem ser alterados pelo usuário. O campo elétrico é sempre na direção y, mas pode ter o sentido + ou -, além disso, seu módulo pode assumir qualquer valor. Teta é o ângulo entre a mediatriz do dipolo e a direção do campo elétrico. A carga verde é positiva, e a vermelha, é negativa. Ambas têm o mesmo valor, como deve ser no caso de um dipolo. A carga pode assumir qualquer valor.

Inicialmente, coloque teta=0, E=+1 e Q=1 C. Tecle no botão "iniciar" e observe o movimento do dipolo. Tente explicar o movimento. Para facilitar a tarefa, faça o seguinte: Clique no botão "pausa" quando o dipolo estiver em diferentes posições; analise as forças sobre as cargas, e leve em conta

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_s03.html (2 de 3) [13/03/2004 16:18:40]

2.4 CAMPO DE UM DIPOLO ELÉTRICO

a energia cinética adquirida por cada carga. Examine o movimento do dipolo, passo a passo, clicando nos botões "1 passo>>" e "<<1 passo". Depois, analise o movimento para diferentes valores de teta, E e Q.

Faça uma descrição o mais detalhada possível do movimento e coloque no seu "portfólio".

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_s03.html (3 de 3) [13/03/2004 16:18:40]

2.4 EXEMPLO 2.1

Capitulo 2- O CAMPO ELÉTRICO

EXEMPLO 2.1 Um elétron é lançado horizontalmente com uma velocidade V0, em um campo uniforme entre as placas paralelas da figura 2.2. A direção do campo é vertical, e seu sentido é para cima. Supondo que o elétron penetra no campo em um ponto eqüidistante das placas, e tangencia a borda da placa inferior ao sair, determine o valor do campo elétrico.

Figura 2.2

O movimento do elétron é semelhante ao de um projétil lançado no campo gravitacional. Ao invés do peso, tem-se sobre o elétron a força Coulombiana F=eE. Ao invés da aceleração da gravidade, g, tem-se a aceleração a=eE/m. Do que sabemos sobre lançamento de projétil (ver cálculo ao lado), conclui-se que

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_s04.html [13/03/2004 16:18:43]

1.6 Exercicios

Capitulo 2 - O CAMPO ELÉTRICOExercicios.

Pergunta 1

2.1 Um elétron é solto a partir do repouso, num campo elétrico uniforme de módulo igual a 5x103 N/C. Ignorando o efeito da gravidade, calcule a aceleração do elétron. R.: 8,78x1014 m/s2

Pergunta 2

2.2 Quais são o módulo e a direção do campo elétrico que equilibrará o peso de uma partícula α (2 prótons e 2 nêutrons)? R.: 2,1x10-7 N/C; de baixo para cima.

Pergunta 3

2.3 Na figura 2.3 as cargas estão fixas nos vértices de um triângulo equilátero. Determine o módulo e o sinal da carga Q, para os quais o campo elétrico total no ponto P (encontro das bissetrizes) será nulo. R.: 2,0 µC.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_ex.html (1 de 4) [13/03/2004 16:18:47]

1.6 Exercicios

Figura 2.3

Pergunta 4

2.4 Duas cargas, –3q e +q, são fixas e separadas por uma distância d. Localize o(s) ponto(s) onde o campo elétrico é nulo. R.: 1,36d, à direita da carga +q.

Pergunta 5

2.5 Considere um dipolo elétrico com momento igual a 2x10-29 C.m. Faça um desenho representando este dipolo e calcule sua força (módulo, direção e sentido) sobre um elétron colocado no eixo do dipolo, a uma distância de 300 Å do seu centro, considerando que 300 Å>>d. R.: 1,06x10-15 N.

Pergunta 6

2.6 Considere positivas as cargas na figura 2.4. Mostre que o campo elétrico num ponto situado ao longo do eixo que une as cargas, distando x (x>>d), do ponto médio entre elas, vale

.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_ex.html (2 de 4) [13/03/2004 16:18:47]

1.6 Exercicios

Figura 2.1

Pergunta 7

2.7 Um próton é projetado na direção indicada na figura 2.5, com velocidade 5x105 m/s. Considerando θ=30o, E=3x104 N/C, d=2 cm e L=15 cm, determine a trajetória do próton até que ele atinja uma das placas, ou saia da região sem atingi-las. Despreze o efeito da gravidade. R.: 4,6x10-8 s depois de lançado, o próton atinge a placa superior. O ponto do choque dista 1,99 cm do início da placa.

Figura 2.5

Pergunta 8

2.8 Na figura 2.6 um elétron é projetado ao longo do eixo que passa no meio entre as placas de um tubo de raios catódicos, com velocidade inicial de 2 x 1017 m/s. O campo elétrico uniforme existente entre as placas tem uma intensidade de

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_ex.html (3 de 4) [13/03/2004 16:18:47]

1.6 Exercicios

20000 N/C e está orientado para cima. (a) De quanto o elétron se afastará do eixo quando ele chegar ao fim das placas? (b) A que ângulo, em relação ao eixo, o elétron se move no instante em que está saindo das placas? (c) A que distância, abaixo do eixo, o elétron atingirá a tela fluorescente S? R.:(a) 7x10-23 m; (b)θ aprox. igual a zero!; (c)4,9x10-22

Figura 2.6

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod02/m_ex.html (4 de 4) [13/03/2004 16:18:47]

3.1 PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO

Capitulo 3 - A LEI DE GAUSSFLUXO DO CAMPO ELÉTRICOVamos iniciar por uma idéia simples e intuitiva. Quem ouve rádio no verão em Porto Alegre está a todo momento sendo informado que passam tantos carros por minuto no posto da Polícia Federal da auto-estrada. Quanto maior o número de carros por minuto, maior o fluxo. Pronto, já introduzimos o conceito de fluxo. Da mesma forma, o proprietário de uma loja mede a sua clientela pela quantidade de gente que passa pela porta de entrada, em determinado intervalo de tempo.

Qualquer que seja o caso, veremos facilmente que o fluxo depende da quantidade daquilo que flui e da área através da qual passa o "fluido". Portanto, quanto maior o número de clientes ou quanto maior a porta de entrada, maior será o fluxo de clientes para o interior da loja.

Essa noção intuitiva está na origem daquilo que podemos denominar fluxo do campo elétrico (E). Numa primeira abordagem, podemos dizer que

Fluxo de campo elétrico = intensidade de campo elétrico X área perpendicular ao campo

Logo veremos que essa definição é muito simplificada, e tem pouco valor operacional, porque em geral o valor de E varia ao longo da superfície, e nem sempre esta é perpendicular ao campo. Podemos melhorar a definição, dividindo a superfície em elementos tão pequenos quanto possível, de modo que E seja constante nessa área infinitesimal. A esta

área associamos um vetor , cuja direção é perpendicular à área e cujo módulo é igual à área. Podemos manter a idéia intuitiva definindo fluxo infinitesimal,

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s01.html (1 de 2) [13/03/2004 16:18:50]

3.1 PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO

(3.1)

Assim, o fluxo através de determinada área S é dado pela integral de superfície

(3.2)

No caso de uma superfície fechada, o vetor área é convencionalmente dirigido de dentro para fora. O fluxo através de uma superfície fechada é assim representado

(3.3)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s01.html (2 de 2) [13/03/2004 16:18:50]

3.3 A LEI DE GAUSS

Capitulo 3 - A LEI DE GAUSSA Lei de Gauss Seja uma carga Q. Imagine uma superfície qualquer, fechada, envolvendo esta carga. A lei de Gauss estabelece que

(3.4)

A lei de Gauss é válida para qualquer situação, com campo uniforme, ou não, e para qualquer tipo de superfície fechada, também denominada superfície Gaussiana. Todavia, para ser operacionalmente útil ela deve ser usada apenas em determinadas circunstâncias. Uma circunstância favorável ocorre quando a superfície Gaussiana é tal que o produto escalar entre o campo e o vetor superfície é facilmente obtido

Isso é sempre possível quando a distribuição de cargas apresenta alta simetria. Existem três tipos de simetrias que facilitam o uso da lei de Gauss

Simetria planar;

Simetria cilíndrica ou axial;

Simetria esférica

A simetria planar aplica-se no caso de uma distribuição de cargas num plano infinito, ou no caso em que se possa fazer a aproximação de plano infinito. Por exemplo, um plano finito pode ser considerado infinito, se o campo elétrico for calculado num ponto muito próximo do plano. Isto é, se a distância do plano ao ponto for muito menor do que as dimensões do plano

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s02.html (1 de 3) [13/03/2004 16:18:54]

3.3 A LEI DE GAUSS

A simetria cilíndrica, ou axial, aplica-se no caso de uma distribuição linear infinita. Existem dois casos clássicos:

Linha infinita de cargas;

Cargas distribuídas num cilindro infinito.

De modo análogo ao caso anterior, um cilindro finito pode ser considerado infinito em determinadas circunstâncias.

Existem dois casos típicos de simetria esférica:

Carga puntiforme;

Distribuição esférica de cargas.

Veremos mais adiante como usar a lei de Gauss para calcular o campo devido a cada uma dessas distribuições.

Detector 1

Detector 2

Detector 3

Detector 4

Nesta animação, o espaço definido pela moldura é dividido em duas regiões: dentro e fora do círculo cinza. Uma certa quantidade de carga elétrica é distribuída dentro da moldura. Dispomos de quatro tipos de detetores de fluxo elétrico, cujos valores medidos são apresentados na barra à esquerda da moldura. Observe que a lei de Gauss, expressa na eq. 3.4, significa que o fluxo através de uma superfície fechada é proporcional à carga englobada por esta superfície. Então, quando usamos um desses detetores, para medir fluxo elétrico, estamos englobando uma certa quantidade de carga elétrica, o valor medido é proporcional à carga englobada. Se o fluxo for positivo (negativo), é porque a carga é positiva (negativa). Qual é a diferença essencial entre um detetor e outro? É o tamanho. Quanto maior o detetor, mais carga ele vai englobar. Então, se numa região tivermos cargas positivas e negativas, próximas umas das outras, precisamos escolher um detetor com tamanho apropriado para distinguir os tipos de carga.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s02.html (2 de 3) [13/03/2004 16:18:54]

3.3 A LEI DE GAUSS

Use os diferentes detetores e descreva como a carga é distribuída no espaço definido pela moldura.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s02.html (3 de 3) [13/03/2004 16:18:54]

3.4 LEI DE GAUSS & LEI DE COULOMB

Capitulo 3 - A LEI DE GAUSSLEI DE GAUSS & LEI DE COULOMB. A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de abordar o mesmo problema. Portanto, o cálculo do campo elétrico para determinada distribuição de carga fornece o mesmo resultado, quer seja realizado através de uma ou outra lei.

Então, quando e por que usar uma ou outra lei? Como regra, o uso de uma ou outra lei é determinado pelas seguintes circunstâncias:

Distribuição de cargas com alta simetria ... Lei de Gauss

Distribuição de cargas com baixa simetria ...Lei de Coulomb.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s03.html [13/03/2004 16:18:55]

3.4 CAMPO DE UMA CARGA PUNTIFORME

Capitulo 3 - A LEI DE GAUSSCAMPO DE UMA CARGA PUNTIFORMEPor argumentos de simetria, é fácil chegar à conclusão de que o campo de uma carga puntiforme deve ter simetria esférica. Isto é, o valor do campo é o mesmo para qualquer ponto sobre uma esfera. Mais do que isso, o campo deve ser normal a esta esfera.

Portanto, a melhor Gaussiana para calcular o campo a uma distância r de uma carga puntiforme é uma esfera de raio r.

Em qualquer ponto sobre a Gaussiana, o produto escalar será simplesmente EdS. Então, tendo em conta que E é constante, teremos

A integral fechada sobre a superfície corresponde à área da esfera, 4πr2. Portanto, o campo de uma carga puntiforme, q, a uma distância r, é dado por

(3.5)

Como era de se esperar, a expressão (3.5) é igual à expressão (2.3), obtida com o uso da lei de Coulomb.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s04.html [13/03/2004 16:18:58]

3.5 DISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTE SIMÉTRICA

Capitulo 3 - A LEI DE GAUSSDISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTE SIMÉTRICA No caso de uma distribuição de cargas com simetria esférica, convém distinguir algumas situações. Em primeiro lugar, dependendo do material o tratamento será bem diferente.

Material condutor - Já sabemos que quando uma certa quantidade de carga elétrica é colocada num material condutor, ela se distribuirá de modo a manter o campo nulo no interior do material. Numa esfera a carga ficará uniformemente distribuída na sua superfície. Portanto, para um material condutor não há diferença entre uma esfera e uma casca esférica. Em ambos os casos, a carga elétrica se distribuirá uniformemente na superfície externa.

Material dielétrico - Quando o material é não-condutor, a situação é bem diferente. A carga não se distribui como no caso do condutor; grosso modo, ela fica onde a colocamos. Para esse tipo de material não é suficiente conhecermos a quantidade de carga, há que se saber a forma como ela está sendo distribuída. Isto é, necessitamos conhecer a densidade de carga no interior do material. Portanto, em termos de cálculo de campo elétrico e uso da lei de Gauss, uma esfera dielétrica pode ser bastante diferente de uma casca esférica.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s05.html [13/03/2004 16:18:59]

3.6 ESFERA CONDUTORA

Capitulo 3 - A LEI DE GAUSSESFERA CONDUTORA Já vimos acima que no caso de material condutor, pouco importa se temos uma esfera maciça, oca ou se temos uma simples casca esférica; qualquer que seja o objeto, o campo interno sempre será nulo.

De modo análogo ao caso da carga puntiforme, argumentos de simetria nos levam à conclusão de que o campo de uma esfera condutora tem simetria esférica, de modo que a melhor Gaussiana será uma esfera concêntrica com a distribuição de cargas. O campo é igual ao de uma carga puntiforme, dado na eq. (3.5).

Portanto, uma esfera condutora de raio R comporta-se, para pontos externos,r>R, como se toda sua carga estivesse concentrada no seu centro.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s06.html [13/03/2004 16:19:01]

3.7 ESFERA DIELÉTRICA

Capitulo 3 - A LEI DE GAUSSESFERA DIELÉTRICA Vamos considerar o caso em que a distribuição de cargas é uniforme. Isto é, a densidade ρ, dada em C/m3, é constante. Poderíamos ter uma distribuição mais complexa, na qual a densidade variasse com a distância ao centro.

Região I - r > Raio da distribuição (R)

O cálculo é análogo ao do campo de uma carga puntiforme. O resultado tem a mesma forma apresentada na eq. (3.5). Se a carga total, Q, for conhecida, basta colocá-la no lugar de q. Se ao invés disso, conhecermos a densidade, ρ, então a carga será dada pelo produto da densidade pelo volume da esfera, Q=4πR3ρ/3, resultando

(3.6)

Portanto, uma esfera condutora de raio R comporta-se, para pontos externos,r>R, como se toda sua carga estivesse concentrada no seu centro.

Região II - r < R

A carga que aparece na lei de Gauss;

é aquela envolvida pela superfície Gaussiana, isto é, a carga no interior do volume 4πr3/3. Se conhecemos a densidade de carga, teremos Q=4πρr3/3. O campo no interior da esfera será dado por

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s07.html (1 de 2) [13/03/2004 16:19:06]

3.7 ESFERA DIELÉTRICA

(3.7)

O variação do campo, em função do raio, é representada na figura abaixo.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s07.html (2 de 2) [13/03/2004 16:19:06]

3.8 DISTRIBUIÇÃO LINEAR INFINITA

Capitulo 3 - A LEI DE GAUSSDISTRIBUIÇÃO LINEAR INFINITA

Vamos considerar o caso em que a distribuição de cargas é uniforme. Isto é, a densidade ρ, dada em C/m3, é constante. Poderíamos ter uma distribuição mais complexa, na qual a densidade variasse com a distância ao centro.

Argumentos de simetria permitem concluir que o campo apresenta simetria cilíndrica. Isto é, a intensidade é a mesma em qualquer ponto da superfície lateral de um cilindro, cujo eixo coincide com o eixo da distribuição da cargas, e a direção é perpendicular a esta superfície lateral.

É óbvio que a superfície Gaussiana mais apropriada é o cilindro indicado na figura ao lado. A integral fechada da lei de Gauss pode ser desdobrada, transformando-se numa soma de integrais de superfície, ao longo das bases do cilindro e ao longo da superfície lateral.

Em qualquer ponto das bases, os vetores E e dS são perpendiculares entre si, de modo que as duas primeiras integrais são nulas. Na superfície lateral, o campo é

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s08.html (1 de 2) [13/03/2004 16:19:12]

3.8 DISTRIBUIÇÃO LINEAR INFINITA

constante e tem a mesma direção do vetor dS. Portanto,

Portanto, uma esfera condutora de raio R comporta-se, para pontos externos,r>R, como se toda sua carga estivesse concentrada no seu centro.

A carga no interior da Gaussiana é q=λh. Portanto, o campo criado por uma distribuição linear infinita, a uma distância r do eixo da distribuição, é dado por

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s08.html (2 de 2) [13/03/2004 16:19:12]

3.9 PLANO INFINITO DE CARGAS

Capitulo 3 - A LEI DE GAUSSPLANO INFINITO DE CARGAS Vamos considerar uma distribuição infinita de cargas, com densidade uniforme +σ, conforme figura abaixo

Por simetria conclui-se que o campo é perpendicular ao plano de cargas, e que sua intensidade é constante ao longo de qualquer plano paralelo ao plano de cargas. Portanto, o cilindro da figura acima é uma boa escolha como superfície Gaussiana. De modo análogo ao procedimento adotado no caso da simetria cilíndrica, a integral fechada pode ser desdobrada em integrais abertas, ao longo das bases e da superfície lateral da Gaussiana

Em qualquer ponto da superfície lateral, os vetores E e dS são mutuamente perpendiculares, de modo que o produto

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s09.html (1 de 2) [13/03/2004 16:19:17]

3.9 PLANO INFINITO DE CARGAS

escalar é nulo. Por outro lado, tanto na base1, quanto na base2, E é constante e paralelo a dS, de modo que

A carga no interior da superfície Gaussiana é q=σA, resultando

(3.9)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_s09.html (2 de 2) [13/03/2004 16:19:17]

3.11 Exercicios

Capitulo 3 - A LEI DE GAUSSExercicios.

Pergunta 1

3.1 Uma rede de caçar borboleta está numa região onde existe um campo elétrico uniforme, como ilustra a figura 3.1. A extremidade aberta é limitada por um aro de área A, perpendicular ao campo. Calcule o fluxo de E através da rede.

Pergunta 2

3.2 Uma linha infinita de cargas produz um campo de 3x104 N/C a uma distância de 3 m. Calcule a densidade linear de carga. R.: 5x10-6 C/m

Pergunta 3

3.3 A figura 3.2 mostra parte de dois longos e finos cilindros concêntricos de raios a e b. Os cilindros possuem cargas iguais e opostas, com densidade linear

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_ex.html (1 de 6) [13/03/2004 16:19:28]

3.11 Exercicios

λ. Use a lei de Gauss para mostrar que: (a) E=0 para

r<a e (b) entre os cilindros

Figura 3.2

Pergunta 4

3.4 A figura 3.3 mostra um cilindro condutor muito longo, de comprimento L, contendo uma carga +q e envolvido por uma fina casca cilíndrica, também condutora e de comprimento L, contendo uma carga –2q. Use a lei de Gauss para calcular: (a) o campo elétrico na região externa à casca cilíndrica; (b) A distribuição de cargas na parte interna e na parte externa da casca cilíndrica; (c) o campo elétrico na região entre os cilindros. R:(a)E=(1/2πε0)(q/Lr), apontando de fora para o centro do cilindro; (b)-q em cada superfície; (c)idem ao ítem (a), apontando do centro do cilindro para fora.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_ex.html (2 de 6) [13/03/2004 16:19:28]

3.11 Exercicios

Figura 3.3

Pergunta 5

3.5 Um cilindro infinitamente longo, de raio R, contém uma carga uniformemente distribuída, com densidade ρ. Mostre que a uma distância r do eixo do cilindro (r<R),

Pergunta 6

3.6 A figura 3.4 mostra uma esfera com massa m e carga q, suspensa no campo gravitacional da terra por um fio de seda que faz um ângulo θ com uma placa não condutora infinita e uniformemente carregada. Calcule a densidade superficial de carga da placa, σ. R: σ=2mgε0tgθ/q

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_ex.html (3 de 6) [13/03/2004 16:19:28]

3.11 Exercicios

Figura 3.4

Pergunta 7

3.7 A figura 3.5 mostra duas placas infinitas com suas superfícies internas carregadas com densidades superficiais de carga +σ e -σ. Determine o campo elétrico: (a) na região à esquerda das placas; (b) na região entre as placas; (c) na região à direita das placas. R: E=0 fora do capacitor; E=σ/ε0 no interior do capacitor.

Figura 3.5

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_ex.html (4 de 6) [13/03/2004 16:19:28]

3.11 Exercicios

Pergunta 8

3.8 Uma fina casca esférica metálica de raio ra possui uma carga qa. Concêntrica com esta casca, existe outra fina casca metálica de raio rb (rb>ra) e carga qb. Calcule o campo elétrico nas regiões onde: (a) r<ra; (b) ra<r<rb; (c) r>rb.

R: (a)E=0; (b)E=(1/4πε0r2)(qa);

(c)E=(1/4πε0r2)(qa+qb)

Pergunta 9

3.9 A figura 3.6 mostra uma esfera condutora de raio ra, com carga +q, concêntrica com uma casca esférica condutora de raios rb e rc e carga -2q. Calcule o campo elétrico nas regiões em que: (a) r<ra; (b) ra<r<rb; (c) rb<r<rc; (d) r>rc. (e) Use a lei de Gauss para mostrar como as cargas se distribuirão na parte interna e na parte externa da casca esférica. R: (a)E=0; (b)E=q/(4πε0r2), apontando para fora; (c)E=0;

(d)E=q/(4πε0r2), apontando para o centro da esfera.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_ex.html (5 de 6) [13/03/2004 16:19:28]

3.11 Exercicios

Figura 3.6

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod03/m_ex.html (6 de 6) [13/03/2004 16:19:28]

4.2 ENERGIA POTENCIAL

Capitulo 4 - POTENCIAL ELÉTRICO

ENERGIA POTENCIALJá vimos que a força eletrostática tem a mesma forma da força gravitacional. Mais importante do que isso, esse tipo de força, conhecida como força central, leva ao teorema da conservação da energia cinética mais energia potencial. Por isso são também conhecidas como forças conservativas. Assim, tudo o que já aprendemos com o potencial gravitacional, pode ser inteiramente transposto para o caso do potencial elétrico. Já sabemos que dada uma força central, é possível definir uma função dependente da posição denominada simplesmente potencial, com propriedades muito interessantes referente ao princípio da conservação da energia

Vamos relembrar algumas noções fundamentais. Tomando como exemplo o clássico problema de uma mola e uma massa, em movimento oscilatório, vimos que a conservação de energia manifesta-se pela transformação de energia potencial em energia cinética, e vice-versa. Vimos que o trabalho realizado sobre a massa era dado pela variação da energia cinética

W = ∆K

Da conservação da energia, ∆U+∆K=0, conclui-se que

W = - ∆U (4.1)

Sabemos que o trabalho para levar um objeto de uma posição i até uma posição f, é dado pela integral de linha

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s01.html (1 de 3) [13/03/2004 16:19:31]

4.2 ENERGIA POTENCIAL

(4.2)

onde F é a força que atua sobre o objeto. dl é um elemento de integração tangente ao percurso entre i e f, e sempre aponta de i para f. Um dado importante é que o trabalho calculado em (4.2) não depende do caminho, depende apenas dos pontos iniciais e finais. Para ilustrar, vejamos o caso de uma força uniforme, cuja direção no plano é dada na figura abaixo.

Figura 4.1

Vamos escrever a eq. (4.1) de outra forma:

Uf - Ui = -Wif (4.3)

Este resultado é absolutamente geral, sempre tem-se diferença de energia potencial, jamais energia potencial absoluta. Isso implica na possibilidade de se definir, arbitrariamente, uma "origem".

Por exemplo, no caso do potencial gravitacional, costuma-se arbitrar

Uterra=0

No caso eletrostático, a menos que se diga o contrário, usa-se

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s01.html (2 de 3) [13/03/2004 16:19:31]

4.2 ENERGIA POTENCIAL

Ui = U? = 0 Uf = U = -W?

Assim, dada uma configuração de cargas, criadora de um campo, a energia potencial desse sistema e uma carga de prova situada em determinado ponto, é o negativo do trabalho realizado pelo campo para trazer a carga de prova do infinito até o ponto considerado.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s01.html (3 de 3) [13/03/2004 16:19:31]

4.3 POTENCIAL

Capitulo 4 - POTENCIAL ELÉTRICO

POTENCIAL

No sistema de unidades SI, a unidade de potencial é o Volt (V). É por isso que na linguagem popular, potencial elétrico é mais conhecido como voltagem.

Ao invés de trabalhar com energia potencial, é mais conveniente trabalhar com o potencial, assim definido

(4.4)

Do que foi discutido acima, pode-se mostrar que a diferença de potencial entre dois pontos "i" e "f", é dado pela relação

(4.5)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s02.html [13/03/2004 16:19:33]

4.4 POTENCIAL DE UMA CARGA PUNTIFORME

Capitulo 4 - POTENCIAL ELÉTRICO

POTENCIAL DE UMA CARGA PUNTIFORME O potencial no ponto P, a uma distância r da carga q, é de acordo com (4.5),

Como dl=-dr', V?=0, e E é dado pela expressão (3.5), mostra-se facilmente que

(4.6)

Figura 4.2

Agregar carga:

Linhas de campo:

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s03.html [13/03/2004 16:19:36]

4.5 POTENCIAL DE UM DIPOLO

Capitulo 4 - POTENCIAL ELÉTRICO

POTENCIAL DE UM DIPOLO No capítulo 2 calculamos o valor do campo elétrico de um dipolo num ponto da sua mediatriz [eq. (2.4)]. Através de um cálculo similar, é possível calcular o campo num ponto da linha que une as duas cargas.

Já o cálculo num ponto qualquer, fora dessas duas direções privilegiadas, é bastante complicado. Qualquer que seja o caso, o que interessa é calcular o campo em pontos muito distantes, isto é, em pontos cuja distância ao centro do dipolo seja muito maior do que a distância entre as cargas. Veremos agora que não existe dificuldade para se calcular o potencial num ponto qualquer, também muito distante.

Se r » d, seguem-se as seguintes aproximações

Com a lei de Gauss podemos obter o campo entre os cilindros, cujo resultado é

Pelo princípio da superposição,

Usando esta expressão para o caso do dipolo, tem-se

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s04.html (1 de 2) [13/03/2004 16:19:41]

4.5 POTENCIAL DE UM DIPOLO

Com as aproximações acima, obtém-se

(4.7)

Figura 4.3

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s04.html (2 de 2) [13/03/2004 16:19:41]

4.6 POTENCIAL ACELERADOR

Capitulo 4 - POTENCIAL ELÉTRICO

POTENCIAL ACELERADORA expressão (4.4) estabelece uma relação entre potencial e energia potencial:

U = qV

Isto significa que se uma carga q for submetida a um potencial V, ela adquirirá uma energia potencial U. Se a carga tiver liberdade para se movimentar, a energia potencial vai transformar-se, pelo princípio da conservação de energia, em energia cinética.

Um elétron (q=1.6x10-19 C) acelerado por um potencial de 1 V, adquire energia igual 1.6x10-19 J. Essa energia é conhecida como o elétron volt.

1 eV = 1.6x10-19 J

Quando uma partícula qualquer, com carga múltipla da carga do elétron, q=Ne, é acelerada por um potencial de V volt, ela adquire uma energia igual a NV eV. Por exemplo, se uma partícula alfa for acelerada por um potencial de 1000 V, ela adquire a energia de 2000 eV.

Nas simulações a seguir, vamos explorar o conceito de potencial acelerador. A primeira simulação mostra um campo uniforme, por exemplo gerado por um plano infinito de cargas. Vamos aproveitar esta simulação para introduzir o conceito de superfície eqüipotencal. Trata-se de uma superfície, ao longo da qual o potencial tem o mesmo valor.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s05.html (1 de 3) [13/03/2004 16:19:45]

4.6 POTENCIAL ACELERADOR

Mostrar o campo eletrico.

Nesta primeira simulação vê-se uma carga de provas. Coloque o cursor sobre ela e mantenha o botão do mouse pressionado; na barra amarela, embaixo, à esquerda, lê-se a posição (x,y) da carga, e a sua velocidade. Para iniciar o aplicativo a carga deve ser colocada em algum ponto da região onde existe campo elétrico. Arraste-a com o mouse. Ela inicia com V=0. Clique no botão "iniciar" e veja que a velocidade cresce com o passar do tempo (marcado em cima, à esquerda). O movimento pode ser interrompido, clicando em "pausa". Pode avançar ou retroceder, passo a passo, com intervalo de tempo igual a 0,02. Com os dados obtidos nesta simulação, é possível obter a relação entre a carga e a massa da carga de prova. Use as equações 4.3 e 4.4 e demonstre que isso é verdade.

x= y=

A simulação mostra um dipolo elétrico com as linhas de força do seu campo elétrico. Uma carga de prova pode ser colocada em ponto (x,y) no interior da moldura. Ao clicar no botão iniciar, esta carga será submetida ao campo do dipolo.

Inicialmente, coloque x=0 e y=2. Observe o movimento da carga. Deixe passar um tempo superior a 1 minuto, e observe o movimento de ida e volta da carga. Explique, qualitativamente, este movimento.

Costuma-se dizer que uma carga de prova segue as linhas de campo. Isso acontece nesta simulação? Por que?

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s05.html (2 de 3) [13/03/2004 16:19:45]

4.6 POTENCIAL ACELERADOR

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s05.html (3 de 3) [13/03/2004 16:19:45]

4.7 GRADIENTE DE POTENCIAL

Capitulo 4 - POTENCIAL ELÉTRICO

GRADIENTE DE POTENCIALDa relação (4.5), mostra-se que as coordenadas cartesianas do campo elétrico são obtidas a partir das seguintes relações

(4.8)

Portanto, o campo elétrico é dado pelo gradiente do potencial. Como exemplo, vejamos o cálculo do campo de uma carga puntiforme, a partir do potencial.

Como o potencial só tem uma variável, segue-se que

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_s06.html [13/03/2004 16:19:47]

5.7 EXERCÍCIOS

Capitulo 4 - POTENCIAL ELÉTRICO

EXERCÍCIOS.

Pergunta 1

4.1 No movimento de A para B (figura 4.4) ao longo de uma linha de campo elétrico, o campo realiza 3,94 x 10-

19 J de trabalho sobre um elétron. Quais são as diferenças de potencial elétrico: (a) VB - VA; (b) VC – VA; (c) VC – VB? R.: 2,46 Volts; 2,46 Volts; zero

Figura 4.4

Pergunta 2

4.2 A densidade de carga de um plano infinito é σ =

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_ex.html (1 de 3) [13/03/2004 16:19:51]

5.7 EXERCÍCIOS

0,10 µC/m2. Qual é a distância entre as superfícies eqüipotenciais cuja diferença de potencial é de 50 V? R.: 8,85 mm

Pergunta 3

4.3 Duas grandes placas condutoras, paralelas entre si e afastadas por uma distância de 12 cm, têm cargas iguais e sinais opostos nos faces que se confrontam. Um elétron colocado no meio da distância entre as duas placas experimenta uma força de 3,9 x 10-15 N. (a) Determine o campo elétrico na posição do elétron; (b) qual é a diferença de potencial entre as placas? R.: 2,44 x 104 N/C; 2928 Volts

Pergunta 4

4.4 (a) Mostre que 1 N/C = 1 V/m. (b) Estabelece-se uma diferença de potencial de 2000 V entre duas placas paralelas no ar. Supondo que o ar se torna eletricamente condutor quando a intensidade do campo elétrico ultrapassa 3 x 106 N/C, qual a menor separação possível entre as placas?

Pergunta 5

4.5 Um anel de raio R, carregado positiva e uniformemente, é colocado no plano yz, com seu centro na origem do sistema de coordenadas. (a) Construa um gráfico do potencial V em pontos do eixo x, em função de x. (b) Construa, no mesmo diagrama, um gráfico da intensidade do campo elétrico E.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_ex.html (2 de 3) [13/03/2004 16:19:51]

5.7 EXERCÍCIOS

Pergunta 6

4.6 Uma esfera metálica de raio Ra apóia-se sobre um pedestal isolante, no centro de uma esfera metálica oca de raio interno Rb. Existe uma carga +q sobre a esfera interna e uma carga –q sobre a externa. (a) Mostre que a ddp entre as esferas é

(b) Mostre que a intensidade do campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas é

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod04/m_ex.html (3 de 3) [13/03/2004 16:19:51]

5.2 COMPONENTES ELÉTRICOS & ELETRÔNICOS

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

COMPONENTES ELÉTRICOS & ELETRÔNICOSApós a introdução dos conceitos básicos de força eletrostática, campo elétrico e potencial elétrico, vamos agora prepararmo-nos para estudar as aplicações elétricas e eletrônicas, iniciando pelas aplicações mais simples.

Qualquer circuito elétrico ou eletrônico, necessita de pelo menos um dos seguintes componentes:

Resistor (R);

Capacitor (C);

Indutor (L).

Mais adiante estudaremos em detalhe o resistor e o indutor, mas é interessante, já neste capítulo, fazer uma discussão geral da utilidade de cada um desses componentes. Já vimos que uma forma de produzir campo elétrico numa região, é carregar duas placas paralelas com cargas iguais e de sinais contrários. Quando colocado num circuito, um capacitor tem a propriedade de acumular cargas, ou, dito de outra forma, tem a capacidade de acumular energia elétrica. Veremos, mais adiante, que o indutor exerce um papel semelhante relativamente ao campo magnético. Podemos dizer, de forma simples, mas sem erro, que um indutor é simplesmente um fio condutor enrolado na forma de uma bobina. Quando uma corrente passa por essa bobina, cria-se no seu interior um campo magnético. Portanto, o indutor serve como um acumulador de energia magnética. O resistor serve para conduzir a corrente elétrica. Nesse processo, uma parte da energia é perdida por efeito Joule (veremos isso

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s01.html (1 de 2) [13/03/2004 16:19:57]

5.2 COMPONENTES ELÉTRICOS & ELETRÔNICOS

mais tarde). Portanto, num circuito contendo esses três componentes, dois deles conservam energia, enquanto o terceiro desperdiça.

Nos capítulos seguintes estudaremos circuitos RC, RL, LC e RLC, nos quais os processos de acumulação e transferência de energia serão discutidos detalhadamente.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s01.html (2 de 2) [13/03/2004 16:19:57]

5.3 DEFINIÇÕES

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

DEFINIÇÕES Quando as placas do capacitor estão carregadas com cargas iguais e de sinais diferentes, estabelece-se entre as placas uma diferença de potencial V que é proporcional à carga.

Q = CV (5.1)

A constante de proporcionalidade, C, é denominada capacitância e depende tão somente da geometria das placas, conforme veremos a seguir.

No sistema SI, a unidade de capacitância é o Farad, 1 F = 1 Coulomb/Volt.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s02.html [13/03/2004 16:20:06]

5.4 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS

>-->

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS Um capacitor de placas paralelas é esquematizado na figura 5.1. Para todos os efeitos práticos, e para simplificar os cálculos, vamos supor que as placas sejam planos infinitos. Mesmo que elas sejam finitas, como são na realidade, a aproximação de plano infinito pode ser usada se a distância entre as placas for muito menor do que as suas dimensões. Podemos resumir essa situação, dizendo simplesmente que efeitos de borda estão sendo desprezados. Na figura 5.2, as linhas de campo são traçadas para ilustrar o que significa desprezar efeitos de borda. A figura 5.2(a) representa a situação real, enquanto na figura 5.2(b) a idealização do plano infinito é ilustrada. Veja que as linhas de campo são idênticas em toda a extensão do capacitor, porque estamos desprezando os efeitos de borda.

Figura 5.1

Figura 5.2a

Figura 5.2b

Vejamos como calcular a capacitância, para o caso do capacitor de placas paralelas. Já vimos que a diferença de potencial entre as placas relaciona-se com o campo de acordo com a relação V=Ed.

Por outro lado, usando a lei de Gauss determinamos que o

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s03.html (1 de 2) [13/03/2004 16:21:11]

5.4 CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS

campo de uma placa infinita é dado por E = σ/2ε0. Portanto, no caso de um par de placas com cargas iguais e de sinais contrários, o campo entre as placas será E = σ/ε0.

A densidade de carga, σ, é dada por q/A, onde A é a área da placa (não há inconsistência, a placa é “infinita” apenas para efeito de cálculo, como uma aproximação). Portanto, E=q/Aε0, de onde se obtém q = EAε0.

Da relação (5.1), Q = CV, obtém-se EAε0 = CEd, ou,

C = ε0A/d (5.2)

A relação (5.2) mostra que a capacitância só depende de uma constante universal, a constante dielétrica no vácuo, ε0, e das dimensões do capacitor. Esse tipo de resultado é geral. Para qualquer capacitor, a capacitância só depende da constante dielétrica do meio entre entre as placas, e de propriedades geométricas. Vejamos mais dois exemplos.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s03.html (2 de 2) [13/03/2004 16:21:11]

5.5 CAPACITOR CILINDRICO

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

CAPACITOR CILINDRICO Vamos considerar um par de cilindros de comprimento L, e raios a e b. O cilindro interno está carregado com carga +q, enquanto o externo está carregado com carga –q. Para calcular a capacitância, necessitamos estabelecer a relação entre potencial e carga.

Da relação (4.5), temos que:

(5.3)

Com a lei de Gauss podemos obter o campo entre os cilindros, cujo resultado é

(5.4)

Substituindo (5.4) em (5.3), obtém-se

Portanto, a capacitância de um capacitor cilíndrico será:

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s04.html (1 de 2) [13/03/2004 16:21:27]

5.5 CAPACITOR CILINDRICO

(5.5)

Figura 5.3

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s04.html (2 de 2) [13/03/2004 16:21:27]

5.6 CAPACITOR ESFÉRICO

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

CAPACITOR ESFÉRICO Use um procedimento análogo ao anterior, e mostre que a capacitância de um capacitor esférico é dado por

(5.6)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s05.html [13/03/2004 16:21:46]

5.7 ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORESEm geral, os circuitos elétricos e eletrônicos são constituídos de vários componentes, associados de diferentes maneiras. Uma forma simples de abordar esse tipo de problema é considerar a associação dos componentes de um mesmo tipo. Veremos agora como tratar a associação de capacitores.

Figura 5.4 Capacitância

equivalente de uma associação em

paralelo

A associação em paralelo é ilustrada na Figura 5.4, para o caso de dois capacitores. O que caracteriza esse tipo de associação é a igualdade de potencial entre as placas dos capacitores. Na ilustração, as placas superiores estão com o mesmo potencial, dado pelo pólo positivo da baterial. Da mesma forma, as placas inferiores estão com o mesmo potencial negativo. Portanto, as diferenças de potencial são iguais, i.e., V1=V2=V.

Pela equação (5.1), obtém-se

Q1 = C1V (5.7a) Q2 = C2V (5.7b)

A carga, Q, fornecida pela bateria, é distribuída entre os capacitores, na proporção de suas capacidades. Assim, Q=Q1+Q2. Substituindo (5.7a) e (5.7b), tem-se:

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s06.html (1 de 2) [13/03/2004 16:22:33]

5.7 ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES

Q = (C1+C2)V

Portanto, Ceq = C1+C2

Figura 5.5Capacitância

equivalente de uma associação

em série

No caso mais geral, com ‘n’ capacitores,

(5.8)

No caso da associação em série (Figura 5.5), é fácil concluir que são iguais as cargas acumuladas nas placas de todos os capacitores. Então, se as cargas são iguais, mas as capacitâncias são diferentes, então os potenciais também serão diferentes. Portanto,

Q1 = Q2 = Q = C1V1 = C2V2

Portanto,

(5.9)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s06.html (2 de 2) [13/03/2004 16:22:33]

5.8 CAPACITORES COM DIELÉTRICOS

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

CAPACITORES COM DIELÉTRICOS A rigor, o título desta seção pode causar alguma confusão, porque sendo o ar, em condições normais, dielétrico , qualquer capacitor terá um dielétrico entre suas placas. O que se quer enfocar aqui é o que acontece quando, ao invés do ar, coloca-se outro dielétrico entre as placas do capacitor. Esse problema foi abordado pela primeira vez por Faraday, por volta de 1837. Vamos discutir duas das suas experiências para investigar o efeito de diferentes dielétricos sobre o comportamento de um capacitor.

Figura 5.6a

Na Figura 5.6(a) temos um capacitor carregado com carga Q. O dielétrico entre as placas é o ar. Um voltímetro está sendo usado para medir a diferença de potencial entre as placas. Como o voltímetro é um dispositivo com grande resistência interna, segue-se que o capacitor está isolado, pelo menos para efeitos práticos. Portanto, a carga acumulada permanecerá constante.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s07.html (1 de 3) [13/03/2004 16:22:56]

5.8 CAPACITORES COM DIELÉTRICOS

Figura 5.6b

Suponha que um dielétrico seja colocado entre as placas. Pelo que sabemos, é fácil concluir que a polarização resultará num excesso de cargas negativas na parte superior do dielétrico, e igual quantidade de cargas positivas na parte inferior, como ilustrado na Figura 5.6(b). O campo efetivo entre as placas diminuirá, provocando a diminuição do potencial.

A eq. (5.1), Q=CV, implica que a capacitância deve aumentar, em relação à capacitância do capacitor com ar. Então,

C = kCar onde k é a constante dielétrica do material colocado entre as placas.

Para o vácuo, k=1, e para o ar, k=1,00054. Nesta experiência, o capacitor está sendo carregado por uma bateria, de modo que a diferença de potencial entre as placas, dada pela ddp da bateria, é constante.

A introdução de um dielétrico entre as placas [Figura 5.7(b)] resulta na redução da diferença de potencial. Como a baterial fornece uma ddp constante, isso implica no aumento de Q. Da eq. (5.1), conclui-se que C deve aumentar, como no caso da experiência anterior.

Figura 5.7a

Figura 5.7b

Figura 5.7c

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s07.html (2 de 3) [13/03/2004 16:22:56]

5.8 CAPACITORES COM DIELÉTRICOS

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s07.html (3 de 3) [13/03/2004 16:22:56]

5.9 ARMAZENANDO ENERGIA NUM CAMPO ELÉTRICO

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

ARMAZENANDO ENERGIA NUM CAMPO ELÉTRICO Como o capacitor produz um campo elétrico entre suas placas, ter acumulação de energia num capacitor é equivalente a ter acumulação de energia num campo elétrico.

Suponha que um capacitor, com capacitância C, contenha uma certa carga q, e suas placas estejam a uma diferença de potencial V. Para transferir uma carga dq de uma placa para outra, é necessário realizar um trabalho.

Como já vimos,

(5.10)

EXERCÍCIO INTERATIVO: Neste aplicativo temos um capacitor de placas paralelas. Temos quatro dielétricos diferentes, quatro possibilidades de áreas das placas, e quatro distâncias entre elas. Use a fórmula da capacitância de um capacitor de placas paralelas com diferentes dielétricos, e cheque o resultado.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s08.html [13/03/2004 16:22:58]

5.10 EXEMPLOS

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

EXEMPLOS

Figura 5.8a

Os capacitores da Figura 5.8(a), inicialmente descarregados, são carregados com a chave S aberta. Capacitâncias em µF. (a) Qual é a diferença de potencial Vab? (b) Qual é o potencial do ponto b, após a chave S ter sido fechada? (c) Quanta carga fluirá através da chave, enquanto ela estiver fechada?

Figura 5.8b

Quando os capacitores são carregados de acordo com a configuração da Figura 5.8(a), os capacitores 6 µF e 3 µF, à esquerda estão ligados em série, da mesma forma que os capacitores 3 µF e 6 µF, à direita.

Mostre que o circuito da Figura 5.8(a) transforma-se no circuito da Figura 5.8(b).

Mostre que a carga acumulada em cada capacitor da Figura 5.8(b) será 400 µC.

Mostre que, enquanto a chave S estiver aberta, o potencial no ponto b será Vb=66,7 volts, e o potencial no ponto a será Va=133,3 volts. Portanto Vab=66,7 volts (resposta do ítem a).

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s09.html (1 de 2) [13/03/2004 16:23:02]

5.10 EXEMPLOS

Figura 5.8c

Fechando-se a chave S, o circuito ficará como o representado na Figura 5.8(c).

Mostre que a Figura 5.8(c) transforma-se na Figura 5.8(d).

Mostre a carga fornecida pela bateria será 900 µC.

Mostre que V1=100 volt (resposta do ítem b).

Mostre que a carga no capacitor de 6 µF [Figura 5.8(c)] é 600 µC, enquanto no capacitor de 3 µF é 300 µC. Portanto, mostre que a carga que flui através da chave S é 300 µC.

Figura 5.8d

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_s09.html (2 de 2) [13/03/2004 16:23:02]

5.11 EXERCÍCIOS

Capítulo 5 - CAPACITÂNCIA E CAPACITORES

EXERCÍCIOS.

Pergunta 1

5.1 Um capacitor a ar, consistindo de duas placas paralelas bastante próximas, tem uma capacitância de 1000 pF. A carga em cada placa é de 1 µC. (a) Qual é a ddp entre as placas? (b) Se a carga for mantida constante, qual é a ddp entre as placas se a separação for duplicada? R: (a)1000 Volts; (b)2000 Volts.

Pergunta 2

5.2 Na figura 5.9 C1=3 µF e C2=2 µF. (a) Calcule a capacitância equivalente da rede entre os pontos ‘a’ e ‘b’. (b) Calcule a carga em cada um dos capacitores C1 mais próximos de ‘a’ e ‘b’ quando Vab=900 V. (c) Com Vab=900 V, calcule Vcd. R:(a)1 µF; (b)900 µC; (c)300 Volts.

Figura 5.9

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_ex.html (1 de 3) [13/03/2004 16:23:05]

5.11 EXERCÍCIOS

Pergunta 3

5.3 Um capacitor de 1 µF e outro de 2 µF são ligados em série a uma fonte de tensão de 1200 V. (a) Determine a carga de cada um deles e a diferença de potencial através de cada um. (b) Os capacitores carregados são desligados da fonte e um do outro e religados com os terminais de mesmo sinal juntos. Determine a carga final em cada capacitor e a diferença de potencial através de cada um. R:(a)800 µC, 800 V, 400 V; (b)533,33 µC, 1066,67 µ, 533,33 V.

Pergunta 4

5.4 Quer-se construir um capacitor de placas paralelas, usando borracha como dielétrico, tendo esta uma constante dielétrica igual a 3 e rigidez dielétrica de 2 x 105 V/cm. A capacitância do capacitor deve ser 0,51 µF e ele deve ser capaz de suportar uma diferença de potencial máxima de 6000 V. Qual é a área mínima que as placas do capacitor podem ter? R:5,76 m2

Pergunta 5

5.5 Um capacitor esférico consiste de uma esfera metálica interna, de raio Ra, apoiada num pedestal isolante situado no centro de uma esfera metálica oca de raio interno Rb. Há uma carga +Q na esfera interna e outra –Q na externa. (a) Qual é a ddp Vab entre as

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_ex.html (2 de 3) [13/03/2004 16:23:05]

5.11 EXERCÍCIOS

esferas? (b) Prove que a capacitância é

R:(a)Va-Vb=(q/4πε0) (Ra+Rb)/RaRb.

Pergunta 6

5.6 Um cabo coaxial consiste de um cilindro condutor, sólido, interno, de raio Ra, suportado por discos isolantes, ao longo do eixo de um tubo condutor de raio interno Rb. Os dois cilindros são carregados com cargas opostas, com densidade linear λ. (a) Qual é a ddp entre os dois cilindros? (b) Prove que a capacitância de um comprimento L do cabo é

R:Veja a resposta na apostila, antes da eq. (5.5).

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod05/m_ex.html (3 de 3) [13/03/2004 16:23:05]

6.2 MODELO MICROSCÓPICO

Capítulo 6 - CORRENTE & RESISTÊNCIA

MODELO MICROSCÓPICOAté agora, abordamos situações em que cargas elétricas são consideradas estáticas, ou quase estáticas. Mesmo as situações em que levamos em conta movimento de cargas, como no caso dos capacitores, isso foi feito para facilitar o raciocínio, pois a situação analisada era a do equilíbrio eletrostático. Neste capítulo vamos iniciar o estudo de situações em que cargas elétricas estão em movimento. O estudo geral da eletrodinâmica é bastante complexo, havendo necessidade do uso da teoria da relatividade restrita.

Cargas elétricas podem movimentar-se sob a ação de campos elétricos e magnéticos, e em diversos ambientes. Vamos cuidar de distinguir bem cada um desses casos. Inicialmente vamos tratar de elétrons movendo-se em resistores, em regime estacionário, sob a ação de um campo elétrico provido por uma bateria.

Microscopicamente, a corrente elétrica consiste num fluido de elétrons movendo-se ao longo de uma estrutura cristalina. A rede cristalina forma obstáculos, de modo que o movimento dos elétrons, quando visto microscopicamente, parece caótico. Cada vez que um elétron aproxima-se de um desses obstáculos da rede cristalina, seu movimento é desviado, algumas vezes retroativamente. Esse movimento tipo zig-zag é ilustrado na Figura 6.1, onde são indicados o

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s01.html (1 de 3) [13/03/2004 16:23:08]

6.2 MODELO MICROSCÓPICO

sentido do campo elétrico, o movimento de um elétron e a velocidade de deriva. Esta velocidade define o movimento efetivo do elétron. A relação entre o movimento efetivo e o movimento em zig-zag, é semelhante ao de uma pessoa que dá dois passos para a frente e um para trás; no final das contas ela vai andar para a frente.

Figura 6.1

Entre os vários fatores que afetam o movimento eletrônico num condutor, a temperatura é um dos mais importantes. Teremos oportunidade de discutir isso mais adiante, mas é conveniente adiantar uma abordagem qualitativa a esse problema. O primeiro efeito da temperatura é fazer vibrar a rede cristalina, de modo que os obstáculos ilustrados na Figura 6.1 estão constantemente mudando de lugar. Na Figura 6.1 eles estão fixos; isso representa uma situação irreal, onde a temperatura é absolutamente nula. Neste caso, poderiam haver alguns canais de trânsito livre para o elétron, como o indicado pela

seta , na Figura 6.1. À medida que a temperatura aumenta vibrações são introduzidas, de modo que desordens localizadas impedem mais efetivamente o movimento eletrônico. Veja que o canal que existia na Figura 6.1 deixa de existir na Figura 6.2, que ilustra uma situação desordenada.

Figura 6.2

Este aplicativo simula a situação descrita acima. As esferas

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s01.html (2 de 3) [13/03/2004 16:23:08]

6.2 MODELO MICROSCÓPICO

amarelas representam os átomos na rede cristalina, e os pontos vermelhos representam os elétrons livres. Aumente o valor da corrente, deslocando para a direita, o cursor da barra abaixo da modura. Para observar com mais precisão, use uma corrente baixa.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s01.html (3 de 3) [13/03/2004 16:23:08]

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s02.html

Capítulo 6 - CORRENTE & RESISTÊNCIA

CORRENTE ELÉTRICA Define-se intensidade de corrente elétrica como a quantidade de cargas que atravessa a seção reta de um condutor, por unidade de tempo. Isto é,

(6.1)

A corrente elétrica por unidade de área transversal define o módulo do vetor densidade de corrente J.

(6.2)

Podemos relacionar essas grandezas de outra forma,

Do ponto de vista microscópico, há uma relação muito importante entre a densidade de corrente e a velocidade de deriva. Vamos deduzi-la.

Seja um segmento de condutor, L, como ilustrado na Figura 6.3. Suponha que existam ‘n’ elétrons por unidade de volume; esta é a densidade de portadores do material. Portanto, a densidade de cargas no condutor será ‘ne’, e a carga total no segmento de condutor será

∆q = neAL

Um elétron percorrerá este segmento no intervalo de tempo

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s02.html (1 de 2) [13/03/2004 16:23:12]

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s02.html

∆t = L/Vd

onde Vd é a velocidade de deriva. Da definição de corrente, obtém-se

i = ∆q/∆t = neAVd

Da definição de densidade de corrente, obtém-se

J = neVd (6.3)

A corrente é o fluxo da densidade de corrente!

Figura 6.3.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s02.html (2 de 2) [13/03/2004 16:23:12]

6.4 RESISTÊNCIA, RESISTIVIDADE & CONDUTIVIDADE

Capítulo 6 - CORRENTE & RESISTÊNCIA

RESISTÊNCIA, RESISTIVIDADE & CONDUTIVIDADE Os obstáculos impostos ao movimento eletrônico, conforme discussão qualitativa acima, são todos representados por uma propriedade mensurável, denominada resistência, e definida pela relação

R = V/i (6.4)

Essa definição significa que, quando se aplica uma diferença de potencial (ddp), V, entre os extremos de um resistor, R, uma corrente, i, circulará, de tal modo que a relação (6.4) será satisfeita. A forma mais conhecida de (6.4) é

V = Ri (6.5)

As grandezas relacionadas em (6.4) são todas macroscópicas e facilmente mensuráveis com um ohmímetro (para medir R), com um voltímetro (para medir V) ou com um amperímetro (para medir i). Cada uma tem uma contrapartida microscópica,

V E; i J; R ρ

A contrapartida microscópica da resistência é denominada resistividade, ρ, e a relação microscópica correspondente a (6.5) é

E = ρJ (6.6)

No regime estacionário, E e J são uniformes, de modo que, para o segmento L da Figura 6.3,

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s03.html (1 de 3) [13/03/2004 16:23:14]

6.4 RESISTÊNCIA, RESISTIVIDADE & CONDUTIVIDADE

V = LE = LρJ

e i = JA

Substituindo V e i na relação (6.4), obtém-se

(6.7)

A relação (6.7) mostra que a resistência de um condutor é diretamente proporcional ao seu comprimento, e inversamente proporcional à sua seção reta. A constante de proporcionalidade, ρ, varia com a temperatura conforme a relação empírica

ρ - ρ0 = αρ0(T-T0) (6.8)

onde ρ0 é a resistividade medida na temperatura T0, e α é o coeficiente de temperatura da resistividade.

possível deduzir a relação entre a resistividade e algumas propriedades microscópicas do material. O movimento eletrônico estacionário, com velocidade de deriva, é proporcionado pelo campo elétrico, E, de tal modo que em média, cada elétron possui aceleração

a = eE/m

onde ‘e’ e ‘m’ são, respectivamente, a carga e a massa do elétron. Supondo que o tempo médio entre duas colisões do elétron com a rede cristalina seja τ, e admitindo que a velocidade de deriva é aproximadamente igual à velocidade média entre colisões, tem-se que

Vd = aτ = eEτ/m

Usando a relação (6.3), obtém-se

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s03.html (2 de 3) [13/03/2004 16:23:14]

6.4 RESISTÊNCIA, RESISTIVIDADE & CONDUTIVIDADE

E = mJ/ne2τ

Finalmente, com o uso de (6.6) chega-se à relação

(6.9)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s03.html (3 de 3) [13/03/2004 16:23:14]

6.5 LEI DE OHM

Capítulo 6 - CORRENTE & RESISTÊNCIA

LEI DE OHMCostuma-se afirmar, equivocadamente, que a lei de Ohm é expressa pela eq. (6.5). Na verdade, esta equação representa simplesmente a definição de resistência. O que a lei de Ohm diz é que para alguns materiais, ditos materiais ôhmicos, a razão entre ‘V’ e ‘i’ é constante.

V = Ri (6.5)

Este aplicativo serve para explorar conceitos básicos de um circuito simples. Tem-se um resistor (com resistência variável) ligado a uma bateria (força eletromotriz, ou voltagem, variável). Em série com o resistor, tem-se um amperímetro, equipamento usado para medir corrente elétrica (por que ele é ligado em série com o resistor?). Em paralelo com o resistor, tem-se um voltímetro, equipamento usado para medir diferenças de potencial (por que ele é ligado em paralelo?). Na parte de cima do painel verde, há uma escala para o voltímetro (1 - 1000 V) e outra para o amperímetro (1 mA - 10 A). Essas escalas definem os valores máximos que os equipamentos podem medir. Se o valor superar, eles podem "queimar".

Fixe um determinado valor da voltagem, e tente colocar a "voltagem máx" menor do que esse valor. Explique o que acontece. Coloque U=10, Vmax>10 V e Imax= 1A. Diminua o valor da resistência até ela atingir 9 Ohms. Explique o que acontece.

Tente explicar qual a finalidade das escalas nos aparelhos de

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s04.html (1 de 2) [13/03/2004 16:23:17]

6.5 LEI DE OHM

medida.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s04.html (2 de 2) [13/03/2004 16:23:17]

6.6 ENERGIA, & POTÊNCIA

Capítulo 6 - CORRENTE & RESISTÊNCIA

ENERGIA, & POTÊNCIA Para se produzir uma corrente elétrica, há que se produzir um fluxo de cargas elétricas; no caso mais geral de metais condutores, isto significa produzir fluxo de elétrons. Isso é feito às custas da energia de uma fonte; no caso mais simples, uma bateria. Se uma carga dq é transportada de A para B, no condutor da Figura 6.4, a bateria terá que fornecer uma energia

dU = dqVAB = idtVAB

Por definição, a potência é dada por

(6.10)

Fazendo uso da relação (6.5), chega-se a uma relação bastante conhecida

P = Ri2 (6.11)

Figura 6.4

A expressão (6.11), que dá a potência dissipada num resistor, R, quando ele é atravessado por uma corrente, i, é também conhecida como potência Joule. A energia assim transferida, manifesta-se sob a forma de calor no resistor.

Na seguinte demostração, podemos mudar o valor de V e R. Qual serão os valores certos para que a lampada funcione?

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s05.html (1 de 2) [13/03/2004 16:23:35]

6.6 ENERGIA, & POTÊNCIA

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s05.html (2 de 2) [13/03/2004 16:23:35]

6.7 UNIDADES NO SISTEMA SI

Capítulo 6 - CORRENTE & RESISTÊNCIA

UNIDADES NO SISTEMA SI

Grandeza Unidade

Corrente Ampere (A)

Resistência Ohm (Ω)

Resistividade Ohm.metro(Ω.m)

Condutividade Ohm.metro recíproca (Ω.m)-1

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s06.html [13/03/2004 16:23:43]

6.8 EXEMPLO

Capítulo 6 - CORRENTE & RESISTÊNCIA

EXEMPLO 6.1Quando se aplica uma ddp suficientemente alta entre dois eletrodos em um gás, este se ioniza, os elétrons movendo-se para o eletrodo positivo e os íons positivos para o eletrodo negativo. a) Qual é a corrente num tubo de descarga de hidrogênio se, em cada segundo, 4x1018 elétrons e 1,5x1018 prótons movem-se em sentidos opostos através de uma seção transversal do tubo? b) Qual é o sentido da corrente?

Solução: Corrente de elétrons num sentido é igual a corrente de íons positivos no sentido contrário. Portanto, a corrente será i = 5,5x1018x1,6x10-19 = 0,88 A.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_s07.html [13/03/2004 16:23:45]

5.11 EXERCÍCIOS

Capítulo 6 - CORRENTE & RESISTÊNCIA

EXERCÍCIOS.

Pergunta 1

6.1 Um fio de prata de 1 mm de diâmetro conduz uma carga de 90 C em 1h15min. A prata contém 5,8 x 1028 elétrons livres por m3. (a) Qual é a corrente no fio? (b) Qual é a velocidade de arrastamento dos elétrons no fio? R:(a)20 mA; (b)2,7x10-6 m/s.

Pergunta 2

6.2 Quando se aplica uma ddp suficientemente alta entre dois eletrodos em um gás, este se ioniza, os elétrons movendo-se para o eletrodo positivo e os íons positivos para o eletrodo negativo. (a) Qual é a corrente num tubo de descarga de hidrogênio se, em cada segundo, 4 x 1018 elétrons e 1,5 x 1018prótons movem-se em sentidos opostos através de uma seção transversal no tubo? (b) Qual é o sentido da corrente? R:(a)0,88 A; (b)O sentido do movimentos dos prótons.

Pergunta 3

6.3 A corrente em um fio varia com o tempo segundo a

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_ex.html (1 de 4) [13/03/2004 16:23:49]

5.11 EXERCÍCIOS

relação i = 4 + 2t2, onde i é dada em ampères e t em segundos. (a) Quantos coulombs passam através de uma seção transversal do fio num intervalo de tempo entre t=5 s e t=10 s? (b) Que corrente constante transportaria a mesma carga no mesmo intervalo de tempo? R:(a)603,34 C; (b)120,67 A.

Pergunta 4

6.4 Um fio de 100 m de comprimento e 2 mm de diâmetro tem uma resistividade de 4,8 x 10-8 Ωm. (a) Qual é a sua resitência? (b) Um segundo fio do mesmo material tem o mesmo peso que o anterior, mas seu diâmetro é o dobro. Qual é a sua resitência? R:(a)1,53 Ω; (b)9,25x10-2 Ω

Pergunta 5

6.5 Enquanto a chave S estiver aberta, o voltímetro V, ligado aos terminais da pilha seca da figura 6.5, marca 1,52 V. Quando se fecha a chave, a leitura do voltímetro cai para 1,37 V e o amperímetro A lê 1,5 A. Determine a fem e a resistência interna da pilha. R:1,52 V; 0,1 Ω.

Figura 6.5

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_ex.html (2 de 4) [13/03/2004 16:23:49]

5.11 EXERCÍCIOS

Pergunta 6

6.6 A ddp entre os terminais de uma bateria é 8,5 V, quando existe na mesma uma corrente de 3 A dirigida do terminal negativo para o positivo. Quando a corrente for de 2 A no sentido inverso, a ddp torna-se 11 V. (a) Qual é a resistência interna da bateria? (b) Qual é a fem da bateria? R:(a)0,5 Ω; (b)10 V.

Pergunta 7

6.7 A voltagem entre os terminais de uma fonte em circuito aberto é de 10 V e sua corrente em curto-circuito é 4,0 A. Qual será a corrente quando a fonte for ligada a um resistor linear de 2 Ω? R:2,22 A.

Pergunta 8

6.8 (a) Exprima a taxa de dissipação de energia num resistor em termos de (i) ddp e corrente; (ii) resistência e corrente; (iii) ddp e resistência. (b) Energia é dissipada num resistor a uma taxa de 40 W, quando a ddp entre os terminais é de 60 V. Qual é a sua resistência? R:(a)P=Vi=Ri2=V2/R; (b) 90 Ω.

Pergunta 9

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_ex.html (3 de 4) [13/03/2004 16:23:49]

5.11 EXERCÍCIOS

6.9 No circuito da figura 6.6, determine: (a) a taxa de conversão de energia interna em energia elétrica dentro da bateria; (b) a taxa de dissipação de energia na bateria; (c) a taxa de dissipação de energia no resistor externo. R:(a)24 W; (b)4 W; (c)20 W

Figura 6.6

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod06/m_ex.html (4 de 4) [13/03/2004 16:23:49]

7.2 LEI DOS NÓS & LEI DAS MALHAS

Capítulo 7 - CIRCUITOS ELÉTRICOS

LEI DOS NÓS & LEI DAS MALHAS O que conhecemos como lei dos nós e lei das malhas são, na realidade, dois procedimentos para resolver circuitos elétricos simples. Elas são baseadas em princípios de conservação de energia e de carga, e suas aplicações são facilitadas se feitas a partir das regras apresentadas abaixo.

Entende-se por malha, um circuito fechado, incluindo vários componentes elétricos; fem e resistências, no caso mais simples, como ilustrado na Figura 7.1.

Entende-se por nó, o ponto de encontro de três ou mais ramos de um circuito, tendo cada ramo um ou mais componentes elétricos. Na Figura 7.1, o ponto A é um nó, unindo a malha da esquerda à malha da direita.

Chama-se “queda de potencial”, a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito; por exemplo, entre A e B ou entre A e C, na Figura 7.1.

Figura 7.1

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s01.html [13/03/2004 16:23:51]

7.3 LEI DAS MALHAS (LEI DE KIRCHHOFF)

Capítulo 7 - CIRCUITOS ELÉTRICOS

LEI DAS MALHAS (LEI DE KIRCHHOFF)

Quando se percorre um circuito fechado, o somatório das quedas de potencial deve ser nulo, pois os pontos inicial e o final são os mesmos. Vejamos, nas regras seguintes, como cada queda de potencial é usada nesse somatório.

A seta indica que o circuito está sendo percorrido no sentido de ‘a’ para ‘b’, logo ∆V= Vb – Va. Se a corrente convencional, indicada pela seta , vai de ‘a’ para ‘b’, é porque os elétrons vão de ‘b’ para ‘a’. Logo, Vb<Va, e

∆V = - Ri

Σ ∆V = 0

Quando se “atravessa” uma resistência no mesmo sentido da corrente convencional, a queda de potencial é negativa (Figura 7.2a).

Neste caso, ∆V= Va – Vb = Ri > 0

Figura 7.2a

Quando se “atravessa” uma resistência no sentido contrário ao da corrente convencional, a queda de potencial é positiva (Figura 7.2b).

Figura7.2b

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s02.html (1 de 2) [13/03/2004 16:23:54]

7.3 LEI DAS MALHAS (LEI DE KIRCHHOFF)

Quando se “atravessa” uma fem do pólo negativo para opositivo, a queda de potencial é positiva (Figura 7.2c).

Figura 7.2c

Quando se “atravessa” uma fem do pólo positivo para o negativo, a queda de potencial é negativa (Figura 7.2d).

Figura 7.2d

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s02.html (2 de 2) [13/03/2004 16:23:54]

7.4 LEI DOS NÓS

Capítulo 7 - CIRCUITOS ELÉTRICOS

LEI DOS NÓS A segunda regra básica refere-se ao somatório das correntes, e é conhecida como lei dos nós: o somatório das correntes que entram num nó, é igual à soma das correntes que saem.

ΣIentram = ΣIsaem

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s03.html [13/03/2004 16:23:56]

7.5 CIRCUITO COM MAIS DE UMA MALHA

Capítulo 7 - CIRCUITOS ELÉTRICOS

CIRCUITO COM MAIS DE UMA MALHAQuando um circuito possui ‘n’ malhas, as regras acima são aplicadas a (n-1) delas, arbitrariamente escolhidas. Da mesma forma, a lei dos nós é aplicada em (n-1) nós, arbitrariamente escolhidos.

Nas aplicações das regras acima, existem mais duas arbitrariedades importantes:

Arbitra-se o sentido em que cada malha será “percorrida”.

Arbitra-se o sentido da corrente em cada trecho do circuito. Se ao final determinada corrente tiver valor negativo, é porque o sentido correto é o contrário daquele arbitrado.

O circuito apresentado neste aplicativo tem três malhas e dois nós. Os valores das fem's podem ser variados, entre 1 e 10 V, e as resistências variam entre 1 e 10 ohm. Isso é feito simplesmente clicando nas extremidades de cada componente. Quando uma fem atinge 1 V, o próximo clique no terminal negativo (azul) inverte seu sentido. Em cada ramo do circuito há um amperímetro, e um voltímetro é conectado em paralelo com cada resistor.

Use o aplicativo para treinar a solução de circuitos com mais de uma malha. Coloque arbitrariamente alguns valores nas fem's e nos resistores e verifique se a solução do circuito coincide com os valores medidos nos amperímetros e nos voltímetros. Lembre que um circuito com 3 malhas e 2 nós implica num sistema de 3 equações e 3 incógnitas. Como temos 3 correntes e 2 voltagens, pelo menos um desses

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s04.html (1 de 2) [13/03/2004 16:23:57]

7.5 CIRCUITO COM MAIS DE UMA MALHA

deve ser conhecido.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s04.html (2 de 2) [13/03/2004 16:23:57]

7.6 EXEMPLO 7.1

Capítulo 7 - CIRCUITOS ELÉTRICOS

EXEMPLO 7.1 O circuito apresenta 2 nós e 3 malhas (ABEF, ACDF e BCDE). Portanto, teremos 1 equação com a lei dos nós e duas equações com a lei de Kirchhoff.

Considerando o nó B, vê-se que a corrente I3 “entra”, enquanto I1 e I2 “saem” do nó. Assim,

I3=I1+I2 [7.1(a)]

Considerando as malhas ABEF e BCDE sendo percorridas nos sentidos indicados, e as regras sobre as quedas de potencial, teremos as seguintes equações

R1I1-ε1-R2I2=0 [7.1(b)] -R2I2-ε2-R3I3=0 [7.1(c)]

Suponha que R1=1 Ω, R2=2 Ω, R3=1/3 Ω, ε1=6 V e ε2=10 V, para mostrar que I1= -2 A, I2= -4 A e I3= -6 A.

Como se vê, as intensidades das 3 correntes são negativas, significando que os sentidos arbitrados devem ser invertidos.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s05.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:00]

7.6 EXEMPLO 7.1

Na figura, as direções das correntes, bem como as direções em que as malhas são “percorridas”, foram arbitrariamente escolhidas

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s05.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:00]

7.7 CIRCUITO RC SÉRIE

Capítulo 7 - CIRCUITOS ELÉTRICOS

CIRCUITO RC SÉRIE

A figura 7.3 mostra um circuito RC série, que recebe esta denominação porque o resistor e o capacitor estão em série com a fem.

Vamos usar o princípio da conservação da energia para determinar a equação diferencial que descreve o comportamento deste circuito. Inicialmente, quando a chave S é conectada ao ponto ‘a’, o capacitor está descarregado. A partir deste momento ele começa a ser carregado pela bateria.

Figura 7.3

Para cada carga dq fornecida pela bateria, esta realiza um trabalho

dW=εdq

Este trabalho transforma-se em energia dissipada no resistor,

Ri2dt

e em energia acumulada no capacitor,

onde V é a diferença de potencial entre as placas do

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s06.html (1 de 4) [13/03/2004 16:24:05]

7.7 CIRCUITO RC SÉRIE

capacitor.

Pela conservação de energia,

Levando em conta que , obtém-se

(7.2)

A eq. (7.2) tem como solução

q(t) = εC(1 – e-t/RC) (7.3)

O crescimento da carga no capacitor (figura 7.4) tem uma componente exponencial, de modo que, rigorosamente, ela só atingirá seu valor final, εC, num tempo infinito.

Figura 7.4

Para cada circuito RC há um tempo característico, τ=RC, denominado constante de tempo capacitiva. Quando t=RC, a carga no capacitor atinge 63% do seu valor máximo.

A partir de (7.3) obtém-se

(7.4)

Decorrido um longo intervalo de tempo (p.ex., t=10RC)), a

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s06.html (2 de 4) [13/03/2004 16:24:05]

7.7 CIRCUITO RC SÉRIE

chave S é desconectada de ‘a’ e conectada em ‘b’. A partir deste momento inicia-se o processo de descarga do capacitor. Colocando-se ε=0 na eq. (7.2) obtém-se

(7.5)

Por integração direta chega-se à expressão que descreve a variação da carga durante a descarga do capacitor,

q(t) = εCe-t/RC (7.6)

Figura 7.5

Figura 7.6

O aplicativo acima apresenta o comportamento de um circuito RC. Concentre sua atenção no processo de carga e descarga do capacitor. Para iniciar o processo clique sobre a chave preta que conecta os diferentes ramos do circuito. As barras azuis mostram o valor da ddp em cada um dos componentes: bateria, capacitor e resistor. O gráfico apresentado é o da ddp entre as placas do capacitor. Quando o capacitor estiver mais de 99% carregado (Quando isto acontece?) mude a posição da chave e passe a descarregar o capacitor. O resitor tem resistência de 100 kΩ e o capacitor uma capacitância de 100 µF. Analise os resultados obtidos e descreva o que observou.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s06.html (3 de 4) [13/03/2004 16:24:05]

7.7 CIRCUITO RC SÉRIE

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_s06.html (4 de 4) [13/03/2004 16:24:05]

7.7 EXERCÍCIOS

Capítulo 7 - CIRCUITOS ELÉTRICOS

EXERCÍCIOS.

Pergunta 1

7.1 Três resistores iguais são ligados em série. Quando se aplica uma certa ddp a esta combinação, a potência total consumida é de 10 W. Que potência seria consumida se os três resistores fossem ligados em paralelo à mesma ddp? R:90 W.

Pergunta 2

7.2 (a) Determine a resistência entre os pontos ‘a’ e ‘b’ da rede mostrada na figura 7.7. (b) Que ddp entre ‘a’ e ‘b’ resultará em uma corrente de 1 A no resistor de 4 Ω? R:(a)7 Ω; (b)14 V.

Figura 7.7

Pergunta 3

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_ex.html (1 de 3) [13/03/2004 16:24:09]

7.7 EXERCÍCIOS

7.3 Determine as fem ε1 e ε2 no circuito mostrado na figura 7.8 e a ddp entre ‘a’ e ‘b’. R:ε1=18 V; ε2=7 V; Vab=13 V

Figura 7.8

Pergunta 4

7.4 (a) Calcule a ddp entre os pontos ‘a’ e ‘b’ da figura 7.9. (b) Se ‘a’ e ‘b’ forem ligados, calcule a corrente na bateria de 12 V. R:(a)Vab=0,22 V; (b)0,466 A.

Figura 7.9

Pergunta 5

7.5 Considere, na figura 7.3, ε=100 V, R=10 MΩ, C=2 µF. O capacitor está inicialmente descarregado. A chave

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_ex.html (2 de 3) [13/03/2004 16:24:09]

7.7 EXERCÍCIOS

é ligada na posição ‘a’ durante 20 s e depois rapidamente é ligada na posição ‘b’. (a) Construa gráficos para i(t), q(t), ddp no resistor e ddp no capacitor para um intervalo de tempo de 60 s depois da chave ter sido ligada pela primeira vez. (b) Quanta energia é dissipada no resistor? R:(b)0,0997 J.

Pergunta 6

7.6 Quantas constantes de tempo devem decorrer antes que um capacitor em um circuito RC esteja carregado com 99% de sua carga de equilíbrio? R: t = 4,605 RC

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod07/m_ex.html (3 de 3) [13/03/2004 16:24:09]

8.2 A FORÇA DE LORENTZ

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO.

A FORÇA DE LORENTZ Geralmente os textos introdutórios sobre magnetismo iniciam com um histórico da descoberta do fenômeno, ocorrida na cidade de Magnésia, por volta do ano 121 DC. Tanto o Halliday-Resnick quanto o Sears-Zemanski fazem esse tipo de abordagem.

Do ponto de vista formal, devemos ter em mente que é impossível tratar cargas elétricas em movimento sem levar em consideração a existência do campo magnético. Veremos logo adiante que cargas em movimento criam um campo magnético. Por outro lado, havendo um campo magnético em determinada região do espaço, este exercerá uma força sobre uma carga em movimento.

Existem duas formas básicas de criação de um campo magnético. A primeira tem a ver com a descoberta do fenômeno; trata-se do campo de um ímã permanente. A segunda forma tem a ver com o campo criado por uma carga em movimento; trata-se do campo criado por uma corrente elétrica.

Não importa, para o momento, qual a fonte de criação, o que importa é que dado um campo magnético, B, este exerce uma força sobre uma carga, q, em movimento, dada por

F = qvxB (8.1)

onde v é a velocidade da carga. A força magnética é nula em duas circunstâncias:

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s01.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:11]

8.2 A FORÇA DE LORENTZ

Carga estacionária (v=0);

Velocidade paralela ao vetor campo magnético.

No caso geral, em que temos um campo elétrico, E, e um campo magnético, a força sobre uma carga em movimento é dada por

(8.2)

A força expressa em (8.2) é conhecida como força de Lorentz.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s01.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:11]

8.3 A DESCOBERTA DO ELÉTRON

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO.

A DESCOBERTA DO ELÉTRON A expressão (8.2) foi usada por Thomson quando este realizava os trabalhos que resultaram na descoberta do elétron. Thomson usou um campo elétrico perpendicular a um campo magnético, para desviar o feixe de elétrons num tubo de raios catódicos, conforme esquematizado na figura 8.1.

Figura 8.1

Joseph John Thomson (1856-1940), descobriu o elétron em 1897. Ganhou o Prêmio Nobel de física de 1906.

Pela eq. (8.2) vê-se que a força elétrica é perpendicular à força magnética. Controlando-se os parâmetros externos, E, B e v, é possível fazer

FE=FB eE=evB v=E/B.

A velocidade dos elétrons resulta da aceleração através de um potencial V, tal que

Das expressões acima, obtém-se

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s02.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:14]

8.3 A DESCOBERTA DO ELÉTRON

(8.3)

A razão entre a carga e a massa do elétron, ou de qualquer partícula carregada que penetre no tubo de raios catódicos, é calculada através de parâmetros controlados experimentalmente. Estes são ajustados de tal forma que o feixe permaneça em linha reta, isto é, de tal forma que a força elétrica equilibre a força magnética.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s02.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:14]

8.4 O EFEITO HALL

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO.

O EFEITO HALLA expressão (8.2) também permitiu a descoberta do efeito Hall que, como veremos, é extremamente útil na indústria microeletrônica.

A figura 8.2 esquematiza o arranjo experimental para o estudo do efeito Hall. Tem-se uma fita condutora com seção reta A (=Ld) através da qual circula um feixe de elétrons com velocidade v.

Figura 8.2

Aplicando-se um campo magnético na direção horizontal, conforme indicado na figura 8.2, resulta numa força magnética na direção perpendicular ao movimento eletrônico, no sentido de cima para baixo. Esta força fará com que o movimento dos elétrons seja desviado para baixo. Com o tempo, cargas negativas acumulam-se na face inferior, e cargas positivas na face superior.

O excesso de cargas positivas e negativas, funciona como um capacitor de placas paralelas, com um campo elétrico conhecido como campo Hall. Chegará um momento em que a força Hall equilibra a força magnética,

qEH = qvB

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s03.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:18]

8.4 O EFEITO HALL

Usando a eq. (6.3), J=nqv, e a definição da densidade de corrente, J=i/A, obtém-se

Por outro lado, EH = VH/d. Resulta daí que

Tendo em conta que a seção reta é dada por A=Ld, obtém-se

(8.4)

O efeito Hall permite a obtenção de dois resultados importantes. Em primeiro lugar, é possível determinar o sinal da carga dos portadores, bastando medir a diferença de potencial entre as superfícies superior e inferior. Em segundo lugar, a eq. (8.4) fornece o valor da densidade de portadores.

Esses dois resultados são de extrema importância na indústria eletrônica, pois permite a fabricação de dispositivos que dependem do tipo (elétrons ou lacunas) e da quantidade de portadores.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s03.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:18]

8.5 MOVIMENTO DE UMA CARGA NUM CAMPO MAGNÉTICO

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO.

MOVIMENTO DE UMA CARGA NUM CAMPO MAGNÉTICO A eq. (8.1) mostra que se a velocidade da partícula tiver a mesma direção do campo magnético, a força será nula, resultando num movimento retilíneo uniforme. Por outro lado, se o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor campo magnético for diferente de zero, podemos decompor o vetor velocidade em duas direções: uma na direção de B, e outra perpendicular. Isto é,

Portanto, o movimento de uma partícula, de massa m e carga q, numa região do espaço onde existe um campo magnético, é sempre composto de um movimento retilíneo uniforme e de um movimento circular. Este tipo de movimento é esquematizado na figura 8.3. Como se vê a força centrípeta, que proporciona o movimento circular, é igual à força magnética.

Figura 8.3

Assim, a partícula movimenta-se num círculo com raio

r = mv/qB (8.5a)

Da relação v=ωr, obtém-se a velocidade angular

ω = qB/m (8.5b)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s04.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:20]

8.5 MOVIMENTO DE UMA CARGA NUM CAMPO MAGNÉTICO

Da relação ω=2πf, obtém-se a freqüência

F = qB/2πm (8.5c)

e o período

T = 1/f = 2πm/qB (8.5d)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s04.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:20]

FORÇA SOBRE UMA CORRENTE

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO.

FORÇA SOBRE UMA CORRENTE Se um campo magnético exerce uma força sobre uma carga em movimento, é óbvio que ele exercerá uma força sobre uma corrente elétrica. Vejamos como calcular esta força.

A força sobre um elétron é dada por

F=evB

Supondo que existam N elétrons no segmento L do fio (seção reta A), tem-se que a densidade eletrônica será

n=N/LA

Sabemos que J=nev, logo,

A partir desses resultados, temos que a força sobre um elétron será

Portanto, a força sobre o segmento de fio será

A expressão geral é dada por

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s05.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:24]

FORÇA SOBRE UMA CORRENTE

(8.6)

O sentido da força é obtido pela regra da mão direita para o produto vetorial. No caso da Figura 8.4, a força aponta para baixo.

Figura 8.4

Neste aplicativo você pode visualizar o efeito de um campo magnético sobre uma corrente elétrica. A força sobre o fio é conseqüência da força de Lorentz sobre cada elétron que compõe a corrente. Use a equação 8.6 e verifique a força que age sobre o fio em diferentes situações (invertendo o sentido da corrente e a polaridade do ímã.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s05.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:24]

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s06.html

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO.

FORÇA SOBRE UMA ESPIRA DE CORRENTE

Na figura 8.5 mostra-se uma espira retangular, de lados a e b, percorrida por uma corrente i, na direção indicada. De acordo com a eq. (8.6), as forças sobre os lados a e b são dadas por

F1=iaB F2=ibB

Figura 8.5

Forças F1 (F2) atuam em lados opostos a (b). Vê-se facilmente que as forças F2 equilibram-se, enquanto as forças F1 produzirão um torque na espira. Para melhor analisar esse torque, vejamos a figura 8.5 sob outra perspectiva, conforme ilustra a figura 8.6.

Figura 8.6

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s06.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:29]

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s06.html

O torque será

Substituindo F1=iaB, A=ab e cos θ=senθ, obtém-se

τ=iABsenθ

Para o caso de uma bobina com N espiras,

τ=NiABsenθ

Para uma espira, define-se seu momento de dipolo magnético µ=iA. Da mesma forma, para uma bobina, com N espiras, define-se µ=NiA. Portanto, o torque sobre uma espira ou sobre uma bobina, será

(8.7)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s06.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:29]

8.8 UNIDADES

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO.

UNIDADESAté aqui utilizamos o conceito genérico de campo magnético, ao qual associamos o símbolo B. Esse tratamento torna-se mais complicado quando temos de abordar uma situação prática, para a qual torna-se indispensável o uso de um sistema de unidade. Essa é uma questão bastante complicada no caso do eletromagnetismo em geral, e mais ainda no caso especial do magnetismo.

Para avaliarmos esse nível de complexidade, vejamos o que está escrito em Sears & Zemanski (Vol. 3, 1a edição, p. 534):

O campo magnético, tal como o campo elétrico, é um campo vetorial e seu valor e orientação em qualquer ponto são especificados por um vetor B chamado indução magnética.

O campo magnético é chamado de indução magnética? A confusão vem do fato que, na prática, “campo magnético” não é a mesma coisa que “indução magnética”! Esta equivalência é geralmente usada para simplificar, mas causa o mistério colocado na definição acima. No capítulo 41, ao discutir as propriedades magnéticas da matéria, Sears & Zemanski coloca a questão no contexto correto. Portanto, mantém o

Para materiais paramagnéticos e diamagnéticos:

B=µ H µ = permeabilidade

magnética Para materiais

ferromagnéticos:

B=f(H) depende do material e do processo de magnetização.

H está relacionado com a corrente que o produz.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s07.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:31]

8.8 UNIDADES

leitor confuso ao longo de 4 capítulos.

No sistema SI, a unidade de B é o Tesla (T), enquanto no sistema CGS, sua unidade é o Gauss (G), onde 1 T = 104 G = 1 Weber/m2. Por outro lado, a unidade de H é A/m no sistema SI e Oersted (Oe) no sistema CGS (1 A/m = 4πx10-3 Oe).

B depende tanto da corrente quanto da magnetização do meio.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s07.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:31]

8.9 EXEMPLO 8.1

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO.

EXEMPLO 8.1

Um exemplo clássico de força magnética sobre uma partícula em movimento é o espectrômetro de massa. Como esquematizado na Figura 8.7, uma partícula de massa m e carga +q, é acelerada através de um potencial V antes de penetrar numa região onde existe um campo magnético B, perpendicularmente dirigido para fora do papel. Sob a ação da força magnética a partícula percorrerá o semi-círculo indicado na figura, até tocar no anteparo, a uma distância x do ponto de entrada.

Figura 8.7

Antes de penetrar na região do campo magnético, a partícula terá adquirido energia pela aceleração através do potencial V. Dito de outra forma, a partícula terá adquirido velocidade v, satisfazendo as seguintes relações:

E=qV=½mv2

Ao penetrar na região do campo magnético, a partícula estará sujeita à força magnética, conforme a eq. (8.1). Esta força será igualada à força centrípeta, de modo que facilmente obtém-se

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s08.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:34]

8.9 EXEMPLO 8.1

Portanto, medindo-se a distância do impacto, x, pode-se calcular a massa da partícula, a partir da sua carga e de parâmetros experimentais controláveis, B e V. Este é o princípio de funcionamento do espectrômetro de massa.

Este aplicativo simula um espectrômetro semelhante a este que você acabou de estudar no exemplo 8.1. Ao invés de m, calcule o raio da órbita da partícula no interior do espectrômetro (r=x/2). Use alguns valores de v e B e cheque seu resultado.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s08.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:34]

8.10 EXEMPLO 8.2

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO.

EXEMPLO 8.2A espira retangular da Figura 8.8 é “pivotada” no eixo y e conduz uma corrente de 10 A no sentido indicado. Supondo que exista um campo magnético uniforme de 0,2 T paralelo ao eixo x, calcule as forças e o torque sobre a espira, de modo que ela seja mantida na posição indicada. Sobre os lados de 6 cm, atuam forças iguais 0,12 N, sendo a superior orientada na direção x, e a inferior orientada na direção –x. Elas anulam-se e não exercem qualquer torque sobre a espira. Sobre os lados de 8 cm, atuam forças F=0,16 N, orientadas de acordo com a Figura 8.9. Portanto, a espira permanecerá na posição indicada, se uma força igual a 0,16cos(30), com torque anti-horário, for aplicada no lado de 8 cm não-pivotado.

Figura 8.8

Figura 8.9

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_s09.html [13/03/2004 16:24:36]

8.12 EXERCÍCIOS

Capítulo 8 - O CAMPO MAGNÉTICO.

EXERCÍCIOS.

Pergunta 1

8.1 Um elétron no ponto A da figura 8.10 tem uma velocidade v0=107 m/s. Determine: (a) o módulo e a orientação da indução magnética que fará o elétron seguir a trajetória semicircular de A a B; (b) o tempo necessário para o elétron se mover de A para B. R:(a) 1,14x10-3 T, perpendicular e entrando no plano da folha; (b)15,68 ns.

Figura 8.10

Pergunta 2

8.2 Um elétron e uma partícula α (átomo de hélio duplamente ionizado) movem-se ambos em trajetórias circulares em um campo magnético, com a mesma velocidade tangencial. Compare o número de revoluções que eles fazem por segundo. A massa da partícula α é 6,68 x 10-27 kg. R:fe/fα=3,7x103.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_ex.html (1 de 3) [13/03/2004 16:24:39]

8.12 EXERCÍCIOS

Pergunta 3

8.3 (a) Qual é a velocidade de um feixe de elétrons, quando a influência simultânea de um campo elétrico de intensidade 34 x 104 V/m e de um campo magnético de intensidade 2 x 10-3 T, ambos normais entre si e ao feixe, não produz deflexão alguma nos elétrons? (b) Mostre em um diagrama as orientações relativas dos vetores V, E e B. (c) Qual é o raio da órbita eletrônica, quando o campo elétrico for removido? R:(a) 1,7x108 m/s; (c)0,484 m.

Pergunta 4

8.4 Um íon de Li7 com uma carga elementar tem uma massa de 1,16 x 10-23 g. Ele é acelerado através de uma ddp de 500 V e depois penetra perpendicularmente em um campo magnético B=0,4 T. Qual é o raio de sua trajetória no campo magnético. R:21,29x10-3 m.

Pergunta 5

8.5 A figura 8.11 representa uma fita de cobre com as seguintes dimensões: L=2 cm e d=1 mm. Quando B=5 T e i=100 A, verifica-se que o potencial Hall é VH=45,4 µV. Qual é a concentração de elétrons livres? R: n = 3,44 x 1027 elétrons/m3.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_ex.html (2 de 3) [13/03/2004 16:24:39]

8.12 EXERCÍCIOS

Figura 8.11

Pergunta 6

8.6 Qual é o torque máximo sobre uma bobina de 600 espiras, com dimensão 5 cm x 12 cm, quando por ela passa uma corrente de 10-5 A, em um campo uniforme B=0,10 T. R: τ = 3,6 x 10-6 Nm

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod08/m_ex.html (3 de 3) [13/03/2004 16:24:39]

9.2 A DESCOBERTA DE OERSTED

Capítulo 9 - A LEI DE AMPÈRE.

A DESCOBERTA DE OERSTED

Já conhecemos o efeito do campo magnético sobre cargas em movimento e sobre correntes em circuitos elétricos. Vimos que uma das fontes de campo magnético são os ímãs permanentes, como a magnetita (Fe3O4). Em 1819, Oersted descobriu que uma corrente elétrica produz um campo magnético, e que para o caso de um fio retilíneo, as linhas de campo são círculos em planos perpendiculares ao fio, como ilustra a Fig. 9.1. O sentido do campo é dado pela regra da mão direita: com o polegar no sentido da corrente, os outros dedos dão o sentido de B.

Figura 9.1

Logo após a apresentação do trabalho de Oersted, em 1820, Ampère realizou outras experiências e formalizou a relação entre corrente elétrica e campo magnético. Ele mostrou que o campo produzido pela corrente, i, é dado pela lei que recebeu seu nome

(9.1)

onde µ0=4πx10-7 N/A2 é a permeabilidade magnética do vácuo.

Em (9.1), a integral é realizada ao longo de uma linha

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s01.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:43]

9.2 A DESCOBERTA DE OERSTED

fechada arbitrária, que alguns autores denominam linha amperiana, pela sua correspondência com a superfície gaussiana no caso da eletrostática. Portanto, a lei de Ampère está para o magnetismo, assim como a lei de Gauss está para a eletrostática. É possível agora estabelecer um quadro conceitual relacionando esssas áreas, onde as setas indicam produção. Assim, cargas em movimento produzem campo elétrico e campo magnético e podem produzir corrente elétrica, no caso estacionário.

Figura 9.2

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s01.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:43]

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s02.html

Capítulo 9 - A LEI DE AMPÈRE.

CAMPO DE UM FIO RETILÍNEO INFINITO Vamos usar a lei de Ampère para calcular o campo de um fio retilíneo infinito. Sabemos, das experiências de Oersted, que as linhas de campo são círculos em planos perpendiculares ao fio. Este resultado é consistente com a simetria do problema, que também permite-nos afirmar que o campo tem o mesmo módulo em qualquer ponto do círculo. Diz-se que o campo tem simetria axial. Portanto, a amperiana apropriada para se calcular o valor de B a uma distância r do fio é o círculo de raio r.

Use (9.1) e mostre que o campo é dado por

(9.2)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s02.html [13/03/2004 16:24:45]

9.4 CILINDRO INFINITO

Capítulo 9 - A LEI DE AMPÈRE.

CILINDRO INFINITO

Vejamos agora o caso de um cilindo infinito, de raio R, transportando uma corrente io, com densidade uniforme. Na Figura 9.3 vemos uma seção reta do cilindro, com duas amperianas, uma com r<R, e outra com r>R. Vamos calcular o valor de B nos dois casos.

Figura 9.3 Valor de B para pontos internos: r menor ou igual a R

Pelo procedimento anterior, obtém-se uma expressão igual a

, onde i será a corrente que atravessa a amperiana de raio r. Como a densidade de corrente é uniforme, tem-se que

Substituindo i em (9.2), obtém-se

(9.3)

Valor de B para pontos externos: r maior ou igual a R

É fácil mostrar que este resultado é absolutamente igual a (9.2). Portanto, para um cilindro com raio R, transportando

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s03.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:49]

9.4 CILINDRO INFINITO

uma corrente i, o campo magnético varia com a distância ao eixo do cilindro conforme a figura 9.4.

Figura 9.4

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s03.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:49]

9.5 INTERAÇÃO ENTRE FIOS INFINITOS PARALELOS

Capítulo 9 - A LEI DE AMPÈRE.

INTERAÇÃO ENTRE FIOS INFINITOS PARALELOSSejam dois fios infinitos e paralelos, transportando correntes i1 e i2, como ilustra a Figura 9.5.

Figura 9.5

Sendo d a distância entre eles, tem-se que o fio 1 cria um campo

na posição do fio 2. Este campo exercerá a força

sobre o segmento L do fio 2. Da mesma forma, sobre o

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s04.html (1 de 2) [13/03/2004 16:24:52]

9.5 INTERAÇÃO ENTRE FIOS INFINITOS PARALELOS

segmento L do fio 1 agirá uma força F21, com módulo igual a F12, mas com sentido contrário. Portanto, quando as corrente circulam no mesmo sentido, os fios atraem-se. É fácil mostrar que há repulsão quando as correntes circulam em sentidos opostos.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s04.html (2 de 2) [13/03/2004 16:24:52]

CAMPO DE UM SOLENÓIDE

Capítulo 9 - A LEI DE AMPÈRE.

CAMPO DE UM SOLENÓIDE

Obtém-se um solenóide quando um fio é enrolado sob a forma de uma bobina, como ilustra a Figura 9.6(a). Na discussão que se segue consideraremos o solenóide infinito. Na Figura 9.6(b) temos um corte longitudinal do solenóide. Usando argumentos de simetria é fácil mostrar que são nulos os campos entre os fios e na parte externa do solenóide. No interior do solenóide o campo tem o sentido indicado (da esquerda para a direita).

Figura 9.6

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s05.html (1 de 3) [13/03/2004 16:25:03]

CAMPO DE UM SOLENÓIDE

Vamos usar a lei de Ampère para calcular o módulo de B no interior do solenóide. A corrente que atravessa o retângulo abcd (a amperiana selecionada) é igual à corrente, i, multiplicada pelo número de espiras que atravessa a amperiana. Como o solenóide tem um número infinito de espiras (na prática, um número muito grande de espiras), a corrente que entra na lei de Ampère é calculada em termos da densidade de espiras. Supondo que temos n espiras por unidade de comprimento, a corrente que atravessa a amperiana será nLi. Assim,

O sentido do campo magnético no interior do solenóide pode ser determinado pela regra da mão direita: o polegar dará o sentido de B quando os outros dedos indicarem o sentido da corrente

A integral fechada pode ser desdobrada, resultando

Na região externa ao solenóide, B=0, de modo que

Na região interna, o campo magnético é perpendicular às linhas ab e cd, de modo que

Portanto, a integral que resta resulta em

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s05.html (2 de 3) [13/03/2004 16:25:03]

CAMPO DE UM SOLENÓIDE

BL=µ0nLi

Finalmente, o campo no interior do solenóide será

B=µ0ni (9.4)

Esta simulação permite visualizar o efeito geométrico de um solenóide, sobre as linhas de campo magnético. A equação 9.4 foi deduzida supondo-se um solenóide infinito. É óbvio que isso é uma idealização. Na prática, usa-se um solenóide longo, isto é, um solenóide em que a razão entre o seu comprimento e o diâmetro da sua seção reta seja tão grande quanto possível. Quanto maior esta relação, mais próximo do caso ideal. No aplicativo podemos variar o raio do solenóide, entre 2,5 e 6,0. Para cada raio, clique em iniciar e observe atentamente as linhas de campo. Qual a principal diferença entre as linhas de campo do solenóide com raio 2,5, e aquelas do solenóide com raio 6,0?

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s05.html (3 de 3) [13/03/2004 16:25:03]

Exemplos

Capítulo 9 - A LEI DE AMPÈRE.

ExemplosInstruções

Agora que você viu a lei de Ampère, você pode tentar isto. Para utilizar os seguintes applets, você tem que conhecer:

A tabela debaixo assume que você tem um mouse de três-botão, como é achado na maioria computadores Unix. Se você estiver usando um PC, e possível que você so tenha um mouse de dois-botão. Para simular o botão do medio, você devera usar naquele caso o botão esquerdo, enquanto oprime a tecla ALT. Em resumo:

Mouse Buttons

Unix Left Middle Right

PC Left Alt-Left Right

Indicadores de campo

A seta que acompanha o cursor indica o campo.

Para desenhar uma seta de campo, tecle shift-control-alt e clique o botão do mouse. .

Para desenhar todas as setas de campo, tecle a letra A.

Linhas de campo

Para desenhar uma linha de campo, clique o botão esquerdo do mouse. O arco-íris de cor ao longo da linha indica a intensidade do campo; vermelho é forte, e azul é fraco.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s06.html (1 de 2) [13/03/2004 16:25:06]

Exemplos

Amperianas

Desenhando uma amperiana: :

Para desenhar um retângulo, arraste o botão da esquerda.

Para desenhar um círculo, arraste o botão da esquerda teclando Ctrl.

O aplicativo calcula e imprime a integral de linha do campo ao longo da amperiana traçada.

Para apagar a amperiana e a integral, clique o botão esquerdo novamente.

Apagando

Para apagar as linhas, tecle a letra E, a tecla backspace, ou Del.

Thin Wires

Oh, the pain, the pain....

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_s06.html (2 de 2) [13/03/2004 16:25:06]

EXERCÍCIOS

Capítulo 9 - A LEI DE AMPÈRE.

EXERCÍCIOS.

Pergunta 1

9.1 Dois longos fios retilíneos e paralelos estão separados por uma distância 2a, conforme figura 9.7. Se os fios conduzem correntes iguais em sentidos opostos, qual é o campo magnético no plano dos fios em um ponto (a) a meia distância entre eles e (b) a uma distância 'a' acima do fio superior? R:(a)B=µ0i/πa, perpendicular à linha que une os fios e apontando para a direita de quem olha; (b)B=µ0i/3πa.

Figura 9.7

Pergunta 2

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_ex.html (1 de 4) [13/03/2004 16:25:13]

EXERCÍCIOS

9.2 Ainda em relação à figura 9.7, calcule o campo magnético resultante no ponto P. R:B=µ0ia/ π(a2+x2).

Pergunta 3

9.3 Suponha que na figura 9.7 exista um terceiro fio longo e retilíneo, paralelo aos outros dois, passando pelo ponto P e que cada fio conduza uma corrente I=20 A. Considere a=30 cm e x=40 cm. Determine o módulo e a orientação da força por unidade de comprimento que atua sobre o terceiro fio, se a corrente nele entra no plano da folha. R:1,92x10-4 N/m, perpendicular ao fio, apontando para baixo.

Pergunta 4

9.4 O fio longo e retilíneo da figura 9.8 conduz uma corrente de 20 A. Uma espira retangular, cujos lados maiores são paralelos ao fio, conduz uma corrente de 10 A. Determine o módulo, a direção e o sentido da força resultante exercida sobre a espira pelo campo magnético do fio. R:7,2x10-4 N, perpendicular ao fio, apontando para a esquerda de quem olha.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_ex.html (2 de 4) [13/03/2004 16:25:13]

EXERCÍCIOS

Figura 9.8

Pergunta 5

9.5 A figura 9.9 mostra um corte transversal de um condutor longo de um tipo denominado cabo coaxial. Seus raios (a, b, c) são mostrados na figura. Correntes uniformes e opostas, de valor I, existem nos dois condutores. Encontre expressões para B(r) nas regiões em que: (a) r<c; (b) c<r<b; (c) b<r<a; (d) r>a. R:(a)B=µ0ir/2πc2, anti-horário, se a corrente interna estiver saindo da folha; (b)B=µ0i/2πr, anti-horário;

(c)B=µ0i(a2-r2)/ 2πr(a2-b2), anti-horário; (d)B=0.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_ex.html (3 de 4) [13/03/2004 16:25:13]

EXERCÍCIOS

Figura 9.9

Pergunta 6

9.6 Constrói-se um solenóide de 30 cm de comprimento com duas camadas de enrolamento de fio. A camada interna consiste de 300 espiras e a externa, de 250. A corrente é de 3 A no mesmo sentido em ambas as camadas. Qual é o valor do campo magnético em um ponto próximo do centro do solenóide? R:0,07 T.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod09/m_ex.html (4 de 4) [13/03/2004 16:25:13]

10.2 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

Capítulo 10 - A LEI DE FARADAY.

INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICACom a descoberta de Oersted e a lei de Ampère aprendemos que uma corrente elétrica origina um campo magnético. Na década de 1830, Faraday descobriu o inverso. Isto é, um campo magnético pode criar uma corrente elétrica. Isso é possível através do surgimento de uma força eletromotriz (fem) induzida.

Vamos examinar essa questão a partir do problema esquematizado na figura 10.1. Nesta região do espaço existe um campo magnético, B, com o sentido indicado (para dentro da folha). Uma placa metálica é deslocada, por um agente externo qualquer (não importa qual), com velocidade uniforme, v. Os elétrons livres da placa estarão submetidos a uma força magnética dada por

F = evB

cujo sentido aponta para baixo. Logo haverá um excesso de carga negativa na parte inferior da placa e uma quantidade igual de carga positiva na parte superior, produzindo uma fem. Diz-se que essa fem foi induzida pelo movimento das cargas. Vejamos quanto vale essa fem.

Figura 10.1

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_s01.html (1 de 3) [13/03/2004 16:25:55]

10.2 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

W=Fh é o trabalho necessário para transportar uma carga de uma extremidade à outra da placa. Como a fem é dada por

ε=W/q

segue-se que

ε=vBh (10.1)

Analisemos o mesmo problema de outra forma. Vamos imaginar que a placa metálica desliza sobre um trilho metálico, conforme ilustra a figura 10.2. Quando a placa é deslocada, a área hachuriada varia, variando o fluxo de B, ΦB=Bhx, através dela.

Derivando o fluxo, em relação a t, tem-se

Portanto, a variação temporal do fluxo do campo magnético é numericamente igual à força eletromotriz induzida pelo movimento, eq. (10.1). Isto é,

(10.2)

Figura 10.2

Como a carga positiva acumula-se na parte superior, a corrente induzida tem o sentido indicado na fig. 10.2.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_s01.html (2 de 3) [13/03/2004 16:25:55]

10.2 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

As equações (10.1) e (10.2), apresentam resultados idênticos àqueles obtidos com a lei de Faraday. Por causa disso, costuma-se confundir a fem induzida pelo movimento, com a fem induzida pela lei de Faraday. O que discutimos acima foi a fem induzida pelo movimento. Vejamos agora a fem induzida pela lei de Faraday.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_s01.html (3 de 3) [13/03/2004 16:25:55]

10.3 LEIS DE FARADAY E LENZ

Capítulo 10 - A LEI DE FARADAY.

LEIS DE FARADAY E LENZ

Na fig. 10.3, uma espira metálica é colocada (imóvel) numa região onde existe um campo magnético variável. Em (a) o módulo de B cresce com o tempo, enquanto em (b) ele decresce. Em 1831, Faraday mostrou que no primeiro caso, a corrente induzida circula no sentido anti-horário, enquanto no segundo caso ela circula no sentido horário. A fem induzida é dada por

(10.3)

Outra forma de apresentar a equação (10.3) é a seguinte

Em 1834, Lenz estabeleceu a lei que permite interpretar o significado do sinal negativo em (10.3). Numa tradução livre, a lei é a seguinte:

O sentido da fem induzida é aquele que tende a se opor à variação do fluxo magnético através da espira.

Na fig. 10.3(a) o fluxo magnético está

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_s02.html (1 de 2) [13/03/2004 16:25:59]

10.3 LEIS DE FARADAY E LENZ

crescendo. A corrente induzida terá o sentido anti-horário para criar um campo magnético contrário ao campo B e opor-se à variação do fluxo magnético.

Na fig. 10.3(b) o fluxo magnético está decrescendo, de modo que a corrente no sentido horário produzirá um campo magnético no mesmo sentido do campo aplicado, de modo a opor-se à diminuição do seu fluxo.

Figura 10.3

Demonstração

Tecle o botão iniciar e observe o movimento da barra. Você também pode arrastar a barra arrastando-a com o mouse.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_s02.html (2 de 2) [13/03/2004 16:25:59]

EXERCÍCIOS

Capítulo 10 - A LEI DE FARADAY.

EXERCÍCIOS.

Pergunta 1

10.1 Na figura 10.4, o fluxo magnético que atravessa a espira cresce com o tempo de acordo com a expressão

ΦB=6t2+7t,onde ΦBé dado em miliwebers e t em segundos. (a) calcule o módulo da fem induzida na espira quando t=2,0 s. (b) Determine o sentido da corrente através de R. R:(a)31 mV; (b)Horário.

Figura 10.4

Pergunta 2

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_ex.html (1 de 4) [13/03/2004 16:26:09]

EXERCÍCIOS

10.2 Seja ΦB(0) o fluxo magnético para t=0, na figura 10.4. Suponha que o campo magnético esteja variando de forma contínua mas não especificada, tanto em módulo quanto em direção, de modo que num instante t o fluxo seja dado por ΦB(t). (a) Mostre que a carga total q(t) que passou através do resistor R no tempo t é q(t) = 1/R [ΦB(0) -ΦB(t)], independentemente do modo pelo qual B variou neste mesmo intervalo.

Pergunta 3

10.3 A figura 10.5 representa uma espira quadrada (lado igual a 2,0 m) perpendicularmente disposta em relação um campo magnético B, sendo que metade da espira está no interior da região onde existe o campo. A espira contém uma bateria de 20 V, cuja resistência interna é desprezível. O módulo do campo magnético varia de acordo com a relação B=0,042-0,87t, sendo B dado em Tesla e t em segundos. (a) Qual é o sentido da corrente que passa através da bateria? (b) Qual é a fem total através do circuito? R:(a)Anti-horário; (b)21,74 V.

Figura 10.5

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_ex.html (2 de 4) [13/03/2004 16:26:09]

EXERCÍCIOS

Pergunta 4

10.4 Dois trilhos condutores retilíneos formam um ângulo reto no ponto de junção entre suas extremidades. Uma barra condutora em contato com os trilhos parte do vértice no instante t=0 e se move com velocidade constante v=5,2 m/s de cima para baixo, como ilustra a figura 10.6. Um campo magnético B=0,35 T aponta para fora da página. Calcule: (a) o fluxo magnético através do triângulo isósceles formado pelos trilhos e a barra no instante t=3,0 s e (b) a fem induzida no triângulo neste instante. (c) Como a fem induzida no triângulo varia com o tempo? R:(a) 85,2 Wb; (b) 56,8 V; (c) ε(t)=2Bv2t.

Figura 10.6

Pergunta 5

10.5 O campo B na figura 10.7 decresce à taxa de 0,1 T/s. (a) Qual é a fem induzida no anel condutor circular de raio igual a 10 cm? (b) Quais são o módulo e a orientação do campo elétrico induzido em qualquer ponto desse anel? (c) Qual é a corrente induzida no anel, se sua resistência vale 2 Ω? R:(a) 3 mV, anti-horário; (b) 5 mV/m; (c) 1,5 mA.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_ex.html (3 de 4) [13/03/2004 16:26:09]

EXERCÍCIOS

Figura 10.7

Pergunta 6

10.6 Na figura 10.8 a corrente I percorre o fio infinito na direção indicada, e cresce constantemente à razão de 2 A/s. (a) Qual é o fluxo total, em determinado tempo t, através da espira cujas dimensões estão indicadas na figura. (b) Qual é a fem induzida na espira? R:(a) 2,3µ0I/10π; (b) 4,6µ0/10π, anti-horário.

Figura 10.8

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod10/m_ex.html (4 de 4) [13/03/2004 16:26:09]

11.1 INDUTÂNCIA

Capítulo 11 - OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS

INDUTÂNCIA Já vimos que o capacitor é um dispositivo apropriado para gerar um campo elétrico. No Cap. 9 vimos que uma corrente elétrica cria um campo magnético. Em particular, calculamos o campo magnético de um solenóide. Este dispositivo está para o magnetismo, assim como o capacitor está para a eletricidade. Há uma completa analogia entre os dois dispositivos. Assim, correspondendo à capacitância, definida na eq. (5.1), podemos definir a indutância, L,

(11.1)

Onde N é o número de espiras no solenóide. Portanto, NΦ é o fluxo magnético total através do indutor (denominação também usada para um solenóide), e i é a corrente que o atravessa. A unidade de indutância no sistema SI é o Henry.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s01.html [13/03/2004 16:26:11]

11.2 INDUTÂNCIA DE UM SOLENÓIDE

Capítulo 11 - OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS.

INDUTÂNCIA DE UM SOLENÓIDE Vamos usar um solenóide infinito (ou muito maior do que a área da sua seção reta, A), assim como fizemos no Cap. 9. A densidade linear de espiras é n, de modo que

NΦ=nlΦ= nlBA

Usando o valor de B para um solenóide infinito, eq. (9.4), obtém-se a indutância por unidade de comprimento, L/l,

L/l = µ0An2 (11.2)

Convém comparar este resultado com aquele obtido para a capacitância de um capacitor de placas paralelas, eq. (5.2). Em ambas as equações temos o produto de uma constante universal (µ0 ou ε0) com parâmetros geométricos do respectivo dispositivo.

Figura 11.1

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s02.html [13/03/2004 16:26:13]

11.3 AUTO-INDUÇÃO

Capítulo 11 - OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS.

AUTO-INDUÇÃOUma corrente elétrica percorrendo um solenóide origina um fluxo magnético. No momento em que se inicia a passagem da corrente, esta, de acordo com a lei de Faraday, induz o surgimento de uma fem. Como se trata de uma fem induzida por uma corrente no próprio solenóide, diz-se que esta fem é auto-induzida. Portanto, tem-se uma auto-indução, que deve satisfazer à seguinte relação

Como NΦ=Li, segue-se que

(11.3)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s03.html [13/03/2004 16:26:15]

11.4 CIRCUITO RL

Capítulo 11 - OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS.

CIRCUITO RL Vamos usar o princípio da auto-indução para estudar o circuito RL em série. No momento em que a chave S, na figura 11.2, for ligada na posição ‘a’, uma corrente surgirá no circuito. Imediatamente, o indutor reagirá, produzindo uma fem εL, dada pela eq. (11.3). Aplicando a regra de Kirchhoff na malha externa (chave ligada em ‘a’), tem-se

ε - Ri - εL = 0

(11.4)

Figura 11.2 Figura 11.3

Observe que na equação acima, aparentemente o sinal negativo da eq. (11.3) não foi levado em conta. Na verdade, ele foi levado em conta quando se definiu o sentido de εL na fig. 11.2.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s04.html (1 de 3) [13/03/2004 16:26:21]

11.4 CIRCUITO RL

Figura 11.4

A eq. (11.4) é formalmente idêntica à eq. (7.2), para o circuito RC série. Assim, a solução para a eq. (11.4) será obtida a partir da eq. (7.2), substituindo-se os elementos correspondentes, de acordo com a tabela abaixo.

Circuito RC Circuito RL

R L

1/C R

εC ε/RRC L/R

Portanto,

(11.5)

O comportamento da corrente, descrito pela eq. (11.5), é ilustrado na fig. (11.3). Este comportamento é similar ao comportamento da carga no capacitor do circuito RC. A corrente de saturação, ε/R, ocorre quando o indutor entra em “curto”.

Em t=0, i=0, o que significa circuito “aberto”. Portanto o comportamento do indutor é o contrário do comportamento do capacitor.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s04.html (2 de 3) [13/03/2004 16:26:21]

11.4 CIRCUITO RL

t=0 t0

Capacitor “curto-circuito” “circuito aberto”

Indutor “circuito aberto” “curto-circuito”

O fator τL=L/R é denominado constante de tempo indutiva. Quando t=τL, a corrente no circuito atinge 63% do valor de saturação.

No caso do circuito RC, vimos que à medida que a carga no capacitor aumentava, aumentava a energia acumulada no capacitor (UC=½CV2=q2/2C). No caso do circuito RL, também há acumulação de energia; neste caso, tem-se acumulação de energia no campo magnético. Multiplicando-se a eq. (11.4) por i, tem-se

Portanto,

Resulta daí que a energia acumulada no indutor é dada por

UL=½Li2 (11.6)

Depois de um longo tempo (p. ex. t>10τL) ligado em ‘a’, a corrente atinge seu valor de saturação. Se nesse instante a chave for ligada em ‘b’, a energia será devolvida pelo indutor e consumida no resistor. Fazendo ε=0 na eq. (11.4), é fácil mostrar que a corrente fluirá de acordo com a relação

(11.7)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s04.html (3 de 3) [13/03/2004 16:26:21]

DENSIDADE DE ENERGIA EM CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS

Capítulo 11 - OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS.

DENSIDADE DE ENERGIA EM CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOSA partir das energias acumuladas em campos elétricos e magnéticos, dadas pelas eqs. (5.10) e (11.6), podemos calcular as respectivas densidades de energia, isto é, energia por unidade de volume.

Vejamos, inicialmente, o caso do campo elétrico. Consideremos um capacitor de placas paralelas, com área ‘A’ e distância ‘d’ entre elas. Usando a eq. (5.10), obtém-se

Tendo em conta que a capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por C=ε0A/d, e que V=Ed (E é o campo entre as placas do capacitor), obtém-se

Embora tenha sido deduzida para o caso particular de um capacitor de placas paralelas, a expressão acima é absolutamente geral; ela fornece a densidade de energia de um campo elétrico em determinada região do espaço, não importando como ele tenha sido produzido. Então, ao invés de desginá-la uC, convém usar a designação mais geral uE.

(11.8)

Para calcular a densidade de energia num campo magnético, vamos usar um solenóide infinito. Partindo das expressões

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s05.html (1 de 2) [13/03/2004 16:26:23]

DENSIDADE DE ENERGIA EM CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS

(9.4), (11.2) e (11.6), e da definição UB/Al, obtém-se

(11.9)

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s05.html (2 de 2) [13/03/2004 16:26:23]

CIRCUITO LC

Capítulo 11 - OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS.

CIRCUITO LC Vamos analisar um circuito LC, como ilustrado na fig. 11.5. Suponhamos que inicialmente o capacitor encontra-se carregado com um potencial V. No momento que o indutor é ligado, uma corrente surge no circuito, através da qual a energia acumulada no capacitor, ½CV2, passa a se transferir para o indutor.

O processo atinge um ponto máximo quando toda a energia do capacitor tiver sido transferida para o indutor. A partir desse momento, a energia acumulada no indutor passa a se transferir para o capacitor, através do surgimento de uma corrente contrária à corrente inicial. Resulta daí que a corrente é nula quando a carga no capacitor for máxima, e a corrente será máxima quando a carga no capacitor for nula.

Este circuito apresenta um comportamento, em termos de variação de energia, análogo ao apresentado pelo conjunto massa-mola, na ausência de qualquer tipo de atrito. Neste caso, energia potencial acumulada na mola é transformada em energia cinética da massa, e vice-versa.

Um resistor no circuito da fig. 11.5 exerce o mesmo papel que o atrito no sistema massa-mola. Através do efeito Joule, parte da energia transferida do capacitor para o indutor (e vice-versa) será consumida no resistor.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s06.html (1 de 2) [13/03/2004 16:26:26]

CIRCUITO LC

Figura 11.5

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s06.html (2 de 2) [13/03/2004 16:26:26]

CIRCUITO RLC

Capítulo 11 - OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS.

CIRCUITO RLC

A fig. 11.6 é um exemplo sim-ples de circuito RLC. Ele é semelhante ao circuito RL, onde a fem foi substituída por um capacitor. Portanto, a equação que descreve o comportamento do circuito é igual à eq. (11.4), substituindo-se ε por V.

Figura 11.6

(11.10)

Num instante qualquer,

e

Substituindo essas expressões na eq. (11.10), obtém-se a equação diferencial que descreve o comportamento do potencial nas placas do capacitor,

(11.11)

A solução desta equação deve satisfazer duas propriedades:

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s07.html (1 de 3) [13/03/2004 16:26:31]

CIRCUITO RLC

deve ser oscilatória;

deve ter um fator de amortecimento.

Uma solução particular que satisfaz tais condições, é a seguinte:

V(t)=Ae-αtcos(ωt) (11.12)

Da relação entre i e V, obtém-se

Substituindo (11.12) em (11.11), resulta que

α=R/2L

e

(11.13)

Uma situação interessante é aquela em que a oscilação é fracamente amortecida. Isso acontece quando a resistência tem um valor muito pequeno. Dito de outra forma,

α/ω=0

ou

ω>>α

Sob esta condição,

i(t)=ACω e-αtsen(ωt) (11.14)

Vamos analisar os valores de i(t) e V(t) em pontos especiais.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s07.html (2 de 3) [13/03/2004 16:26:31]

CIRCUITO RLC

t=0 V(0)=A [valor máximo de V(t)] i(0)=0

t=π/2ω=1/4f=T/4 (1/4 do período de oscilação) V(π/2ω)=0 i(π/2ω)=ACω [valor máximo de i(t)]

Portanto, V(t) e i(t) estão defasadas de π/2. Quando V(t) é máximo, toda a energia está acumulada em C. Quando i(t) é máxima, toda a energia está acumulada em L. A cada ¼ de período, a energia passa de um dispositivo para o outro.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s07.html (3 de 3) [13/03/2004 16:26:31]

FREQÜÊNCIA NATURAL

Capítulo 11 - OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS.

FREQÜÊNCIA NATURALO circuito RLC oscila com a freqüência dada pela eq. (11.13). Quando R aproxima-se de zero, o circuito RLC apresenta um comportamento similar ao de um circuito LC. No limite, R=0, a freqüência será

Esta freqüência é conhecida como freqüência natural. Isto é, a freqüência natural de um circuito RLC, é a freqüência do circuito LC correspondente.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_s08.html [13/03/2004 16:26:49]

EXERCÍCIOS

Capítulo 11 - OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS.

EXERCÍCIOS.

Pergunta 1

11.1 Um determinado comprimento de fio de cobre transporta uma corrente de 10 A uniformemente distribuída. Calcule: (a) a densidade de energia magnética e (b) a densidade de energia elétrica na superfície do fio. O diâmetro do fio é 2,5 mm e sua resistência por unidade de comprimento é de 3,3 Ω/km. R:(a) 1,02 J/m3; (b) 4,8x10-15 J/m3.

Pergunta 2

11.2 Considere o circuito RL da fig. 11.2. Em termos da constante de tempo, para que instante após a bateria ser ligada, a energia armazenada no campo magnético do indutor terá a metade do seu valor estacionário? R:1,23 τL

Pergunta 3

11.3 Uma bobina com uma indutância de 2,0 H e uma resitência de 10 Ω é subitamente conectada a uma bateria de resistência desprezível, com ε=100 V. Para 0,10 s após a conexão ter sido feita, qual será a taxa

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_ex.html (1 de 3) [13/03/2004 16:27:12]

EXERCÍCIOS

com a qual: (a) a energia está sendo armazenada no campo magnético? (b) a energia térmica aparece? (c) a energia está sendo fornecida pela bateria? R:(a) 238,5 W; (b) 154,5 W; (c) 393 W.

Pergunta 4

11.4 Uma bobina é ligada em série a um resistor de 10 kΩ. Quando uma bateria de 50 V é colocada no circuito, a corrente atinge um valor de 2,0 mA após 5,0 ms. (a) Determine a indutância da bobina. (b) Qual a energia acumulada na bobina neste momento? R:(a) 125 H; (b) 2,5x10-4 J.

Pergunta 5

11.5 Num circuito LC oscilante, L=1,1 mH e C=4,0 µF. A carga máxima em C é 3,0 µC. Calcule: (a) a energia total máxima acumulada. (b) a corrente máxima que pode circular. R:(a) 1,125 µJ; (b)0,042 A.

Pergunta 6

11.6 Considere o circuito indicado na fig. 11.7. Quando a chave S1 está fechada e as outras duas chaves abertas, a constante de tempo vale τC. Quando a chave S2 está fechada e as outras duas abertas, o circuito possui uma constante de tempo τL. Mostre que quando a chave S3 está fechada e a outras duas estão abertas,

o circuito oscila com um período .

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_ex.html (2 de 3) [13/03/2004 16:27:12]

EXERCÍCIOS

Figura 11.7

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod11/m_ex.html (3 de 3) [13/03/2004 16:27:12]

12.1 LEIS EXPERIMENTAIS

Capítulo 11 - EQUAÇÕES DE MAXWELL.

Leis ExperimentaisVimos e estudamos quatro leis experimentais sobre fenômenos elétricos e magnéticos, reproduzidas na tabela abaixo.

Lei de Gauss para a eletricidade

Lei de Gauss para o magnetismo

Lei de Faraday-Lenz

Lei de Ampère

Maxwell explorou as propriedades matemáticas dessas equações escritas na forma diferencial, para propor sua teoria eletromagnética. Embora esse procedimento esteja fora do nosso alcance, vamos fazer um exercício analítico através da exploração da simetria dessas equações.

Por exemplo, se a variação do ΦΒ origina um campo elétrico (lei de Faraday), por que não

ΦE B ?

Para manter a simetria, uma tentativa natural seria escrever

Há dois erros nessa equação. O primeiro é que a experiência

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod12/m_s01.html (1 de 3) [13/03/2004 16:27:16]

12.1 LEIS EXPERIMENTAIS

mostra que o sinal deve ser positivo. O segundo é um erro dimensional. É fácil mostrar que o membro da esquerda tem unidades de µ0i, enquanto o da direita tem unidades de i/ε0. Portanto, a “lei” correta deverá ser

(12.1)

Observe que o fator multiplicativo, que surgiu devido aos ajustes dimensionais, é o produto µ0ε0. É a primeira vez que eles dois aparecem numa única equação. Antes, ε0 relacionava-se com fenômenos elétricos, e µ0 relacionava-se com fenômenos magnéticos. A equação acima tem algo diferente. Ela representa a inclusão da ótica na fenomenologia do eletromagnetismo. Pode-se mostrar que a velocidade da luz no vácuo é dada por

Agora podemos escrever a lei de “Ampère - Maxwell”

(12.2)

É interessante observar que iniciamos tentando escrever uma “lei de Faraday-Lenz” para a indução magnética, mas encontramos a eq. (12.1). Portanto, não existe uma lei de Lenz para a indução magnética.

Vamos analisar melhor a eq. (12.1). Uma realização experimental possível seria um capacitor com campo elétrico variável, como ilustrado na fig. 12.1. O campo E surge quando há uma corrente i carregando o capacitor. Esta corrente, que dará origem a um campo magnético (lei de Ampère), de repente “desaparece” entre as placas do capacitor, aparecendo depois da outra placa.

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod12/m_s01.html (2 de 3) [13/03/2004 16:27:16]

12.1 LEIS EXPERIMENTAIS

Figura 12.1

Esse “mistério” é resolvido com a eq. (12.2). A corrente entre as placas, conhecida como corrente de deslocamento,

id, é dada pelo termo .

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod12/m_s01.html (3 de 3) [13/03/2004 16:27:16]

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod12/m_ex.html

Capítulo 12 - EQUAÇÕES DE MAXWELL.

EXERCÍCIOS.

Pergunta 1

12.1 Mostre que tem dimensão de corrente

Pergunta 2

12.2 Mostre que i=id.

Pergunta 3

12.3 Mostre que a corrente de deslocamento num capacitor de placas paralelas pode ser escrita assim

Pergunta 4

10.4 Na fig. 12.2, a fem é dada por ε=εmsen(ωt). O capacitor de placas circulares e paralelas, tem raio R. (a) Sabendo que o valor máximo da corrente de

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod12/m_ex.html (1 de 2) [13/03/2004 16:27:19]

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod12/m_ex.html

deslocamento é I, calcule o valor máximo de dΦE/dt. (b) Mostre que a distância entre as placas do capacitor é dada por πR2ε0εmω/I. (c) Mostre que o valor máximo do módulo de B entre as placas, a uma distância r do eixo de simetria do capacitor é dado por µ0I/2πr.

Figura 12.2

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/mod12/m_ex.html (2 de 2) [13/03/2004 16:27:19]

The Source for Java Technology

Home | Contact | Help | FAQ | Developers | Sun.com

Java Desktop System - Join the Secure Revolution »

LandlordMaxAffordable property management software

Big TreeGo exploring with Greentop

Mars Exploration RoverAlmost like walking on Mars

JBuddy MessengerJava technology-based instant messaging

Black WidowDon't get tangled in her web!

Visual CAVEWhere virtual reality and biology meet

Desktop Games

Education

Productivity

Messaging & Sharing

Mobile Games

Messaging & Sharing

Productivity

News & Information

Java Technology Video

Java Technology- Enabled Webcams

©Sun Microsystems, Inc| Legal Notices| License| Developers

http://www.java.com/en/index.jsp [13/03/2004 16:28:37]

Java Technology, Contact Us

Home | Contact | Help | FAQ | Developers | Sun.com

We welcome feedback! We want to know how much you like Java software as well as any issues you may encounter. If you have a question or need an issue resolved, you will find many answers in our FAQ or Help sections.

Check carefully through the Help and FAQ pages, since we cannot respond to questions already answered on Java.com.

If you have written an applet or application using Java technology and would like it featured on Java.com, please submit this form.

Note: required information is marked with an *

Nature of Feedback*

Name*

Email

If you would like us to contact you regarding your comments/suggestions, please fill out the email address field. We will not put you on any mailing list and we will not give your name or address to anyone.

Your Feedback *

Your Operating System*

Please provide any of the following additional information about your Operating System in the box below if applicable: 1. Windows Service Pack Number 2. Linux Distribution and Version 3. Other Operating System & Version (i.e., Macintosh OS9)

Other Operating System Info

http://jal.sun.com/webapps/bugreport/contact.jsp?language=en (1 de 2) [13/03/2004 16:29:02]

Java Technology, Contact Us

Your Browser* Internet Explorer

Mozilla

Netscape

Opera

Other

Browser Version

Please provide us with the Java version information in the box below.

If you're using Windows, this information can be obtained by opening the Control Panel and double clicking the Java Plug-in Control Panel icon. Click on the "About" tab to find the version number.

If you're using Solaris™ or Linux, this information can be obtained by typing "java -version" at your command prompt.

If you're using Macintosh, this information can be obtained by going into Applications -> Utilities -> Java -> Java Plugin Settings. See the information in the "About" tab.

If you don't have a Java plug-in, simply write N/A.

Java Version*

Legal Notices | License | Developers | Sun.com

http://jal.sun.com/webapps/bugreport/contact.jsp?language=en (2 de 2) [13/03/2004 16:29:02]

Java Technology Help

Home | Contact | Help | FAQ | Developers | Sun.com

Welcome to Java™ Runtime Environment Help

We appreciate your interest in Java™ technology. Java.com is a consumer-oriented site for download and installation of the Java Runtime Environment (JRE). The JRE enables your computer to run applications and applets that use Java technology.

The Help section contains solutions for issues that you might encounter during the installation and running of the JRE. There are instructions for dealing with specific error messages and solutions to problems when running applications and applets written with Java technology.

We highly encourage you to spend some time reading the solutions here and in the FAQ section.

Top Reported JRE Issues

Related Information:

Information for System Administrators

Information for Software Developers

Learn more about Java Technology

JRE for Apple Macintosh

Download Instructions »

Installing, uninstalling and using Java Software »

Error and Warning Messages »

© Sun Microsystems, Inc | Legal Notices | License | Developers

http://www.java.com/en/download/help/index.jsp [13/03/2004 16:29:10]

Java Technology FAQ

Home | Contact | Help | FAQ | Developers | Sun.com

Welcome to Java™ Runtime Environment Frequently Asked Questions

We appreciate your interest in Java™ technology. Java.com is a consumer-oriented site for download and installation of the Java Runtime Environment (JRE). The JRE enables your computer to run applications and applets that use Java technology.

The FAQ section contains answers to general questions related to Java technology. Users may find answers to questions about what Java technology is and what it can do for you. It also includes explanations about different applications of Java technology.

We highly encourage you to spend some time reading the solutions here and in the Help section.

Top Reported JRE Issues

Related Information:

Information for System Administrators

Information for Software Developers

Learn more about Java Technology

JRE for Apple Macintosh

General Questions »

Mobile Java Technology (J2ME) Questions »

© Sun Microsystems, Inc | Legal Notices | License | Developers

http://www.java.com/en/download/faq/index.jsp [13/03/2004 16:29:18]

Learn about Java Technology. Developers

Home | Contact | Help | FAQ | Developers | Sun.com

For Developers

It's not surprising that more than three million programmers worldwide are creating great software using Java technology. If you are creating a program using Java technology, we're here to help. Sun Microsystems provides resources to programmers of all levels for developing software using Java Technology. In addition, Sun also offers services to help get the programs you've created out into the world.

J2EE 1.4 is here - get the SDK today!The J2EE 1.4 platform delivers Web Services Interoperability as it introduces new Web Services, Deployment, and Management APIs, and many other new features. To get started using the new J2EE 1.4 platform, download the SDK today.

Develop with Java Software

It's easy for both new and experienced programmers to develop software with Java technology. Check out the sites below for more details.

New to Java Programming CenterIf you've never programmed in Java before, or have only a little experience, this is the site for you.

Experienced DevelopersIf you are an experienced Java developer, you'll find a wealth of useful tips here including tutorials and code samples.

Java Technology as a Gaming PlatformRead a Q&A with Sun's Chief Gaming Officer to learn why Java technology is an excellent game development platform.

Java Games CommunityJoin the open source community that estabilishes Java standard APIs for gaming software.

CollaborateIf you would like to collaborate with others in discussion groups, blogs, and code development, check out this source for Java technology collaboration.

Submit Your Java Application

http://www.java.com/en/learn/developers.jsp (1 de 3) [13/03/2004 16:30:11]

Learn about Java Technology. Developers

Mobile PhonesHave you created a mobile application based on Java technology? If so, you should get enrolled in the Sun Developer Network Mobility Program and take advantage of the new Go-To-Market Services. Applications meeting the industry-driven test criteria can be submitted into the Sun Content Catalog where they will be promoted to top-tier, global operators and handset manufacturers. Applications in the Sun Content Catalog are automatically candidates to appear in the Explore section of this Web site. If selected, you will be contacted.

Desktops, PDAs, and Other DevicesIf you've created an application for the desktop, a PDA, or some other cool device, click here to submit it. Your submitted application will be reviewed and, if selected, you will be contacted to get approval to feature the application in the Explore section of this Web site.

Link to Java.com

Does your product use Java technology? Then you may want to host the Java - Get It Now! button on your Web site and give your customers a free and easy way to get the latest version of the Java software download. Click here to read the "Download Button Permission Application/Agreement" and begin the free button registration process.

Other Sites for Developers

Java Upgrade ProgramRead about the benefits of upgrading the MS VM to the official Sun JRE and visit the Upgrade Program Site where you'll find developer resources, including a detailed technical guide, a forum, and more.

Sun Java StudioThe Sun Java Studio integrates Sun's world class developer tools, support, and services into a comprehensive platform for developing and deploying services with the Sun Java Enterprise System.

JavaOne OnlineExperience a virtual JavaOne conference year-round with opportunities for ongoing education, community interaction, and industry solutions.

Java Everywhere VideoView a cool video about all the ways Java technology is touching your life.

Java Wear and Books Online StoreShow the world you love Java technology! Buy clothing, gifts, and executive items. Don't forget to check out the special values.

http://www.java.com/en/learn/developers.jsp (2 de 3) [13/03/2004 16:30:11]

Learn about Java Technology. Developers

© Sun Microsystems, Inc | Legal Notices | License | Developers

http://www.java.com/en/learn/developers.jsp (3 de 3) [13/03/2004 16:30:11]

Sun Microsystems

sun.com How To Buy | My Sun | Worldwide Sites

On this SiteProducts & Services

Support & Training

Solutions

Downloads

Documentation

Research & Development

News

Resources forDevelopers

System Admins

Partners

Executives

Investors

Education & Research

Learn aboutJava

Java System

Sun and AMD Opteron

N1 Grid

Low Cost Computing

New from Sun Microsystems Press - J2EE Platform Web Services: Build robust, scalable, end-to-end business solutions with J2EE Web Services.

A Mobile Media Mogul - Forbes.com highlights Java technology as a key to the evolution of cell phones.

V for value, Z for zoom - Powered by AMD Opteron processors, the new Sun Fire V20z server delivers extreme performance at a compelling price.

see all news and events » see all features »

© Sun Microsystems 2004 Contact | Company Info | Employment | Privacy | Terms of Use | Trademarks

http://www.sun.com/ [13/03/2004 16:31:40]

Download Java Software

Home | Contact | Help | FAQ | Developers | Sun.com

To complete your download, please select from the list below. Once you've got Java™ software, you'll have access to a whole new world of interactivity. Please note that downloads are subject to our license agreement.

Get Java Software on CDYou can also choose to receive Java software on a CD through a free subscription service or a one-time purchase.

Windows (Installation) - Instructions

Windows (Offline Installation) - Instructions

Windows (Mozilla 1.2 or Netscape 6.2.x and higher)

Macintosh (Apple Mac OS X) - Instructions

Macintosh (Apple Mac OS 9 & earlier) - Instructions

Solaris™ SPARC™ (32-bit) - Instructions

Solaris™ SPARC™ (64-bit) - Instructions

Solaris™ x86 (Solaris 7, 8, 9) - Instructions

Linux RPM (self-extracting file) - Instructions

06/30/03 - If you are using Internet Explorer to download the Linux Java plug-in, use right-click to save this file to your computer. Use 'Save Target As'.

-Java.com Consumer Support

Linux (self-extracting file) - Instructions

06/30/03 - If you are using Internet Explorer to download the Linux Java plug-in, use right-click to save this file to your computer. Use 'Save Target As'.

-Java.com Consumer Support

http://www.java.com/en/download/manual.jsp (1 de 2) [13/03/2004 16:31:54]

Download Java Software

© Sun Microsystems, Inc | Legal Notices | License | Developers

http://www.java.com/en/download/manual.jsp (2 de 2) [13/03/2004 16:31:54]

Learn about Java Technology. Overview

Home | Contact | Help | FAQ | Developers | Sun.com

Java technology is computer software that helps you get connected and makes being connected more exciting. Invented by Sun Microsystems in 1995, Java technology lets devices of all kinds run just about any kind of program, giving you the cool games, tools, and information you want most.

Java technology is everywhere. It's embedded in 150 million mobile phones; it's in PDAs and pagers; it's inside video games, TVs, and Web sites. It's pre-installed on personal computers. It's even in cars and on the planet Mars.

The Java brand, with its well-known cup and steam, is also everywhere. It's one of the most widely recognized technology brands in the world! Look for it on games, handsets, and Web sites that are powered by Java technology. Wherever you find the cup and steam, you'll find Java technology and a great digital experience.

© Sun Microsystems, Inc | Legal Notices | License | Developers

http://www.java.com/en/learn/index.jsp [13/03/2004 16:32:22]

Explore Java Technology

Home | Contact | Help | FAQ | Developers | Sun.com

LandlordMaxAffordable property management software

Big TreeGo exploring with Greentop

Mars Exploration RoverAlmost like walking on Mars

JBuddy MessengerJava technology-based instant messaging

Black WidowDon't get tangled in her web!

Visual CAVEWhere virtual reality and biology meet

© Sun Microsystems, Inc | Legal Notices | License | Developers

http://www.java.com/en/explore/index.jsp [13/03/2004 16:32:55]

The Source for Java Technology

•• | •••• | •• | •••• | ••• | Sun.com

Java Desktop System - Join the Secure Revolution »

JBuddy MessengerJava technology-based instant messaging

Black WidowDon't get tangled in her web!

Visual CAVEWhere virtual reality and biology meet

Table SoccerFoosball on your PC

MicroCalcA sophisticated calculator on your phone

AirportMonitorWatch air traffic from your PC

Desktop Games

Education

Productivity

Messaging & Sharing

Mobile Games

Messaging & Sharing

Productivity

News & Information

Java Technology Video

Java Technology- Enabled Webcams

©Sun Microsystems, Inc| Legal Notices| License| •••

http://www.java.com/zh/ [13/03/2004 16:33:55]