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    Contents

    1 Problemas que deram origem mecnica quntica 31.1 Radiao de corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.1.1 Teoria de troca de Prevost . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Leis de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Lei de Stefan-Boltzman . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 Leis de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.5 Lei de Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.6 Lei de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2 Efeito fotoeltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Radiao eletromagntica de tomos . . . . . . . . . . . . . 14

    1.3.1 O tomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Postulados de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.4 Calor especfico dos slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 Modelo de Dulong e Petit . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 Modelo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Modelo de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2 Mecnica ondulatria 332.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Dualidade onda-partcula: hiptese de de Broglie . . . . . . 342.3 Princpio da incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . 382.4 Pacotes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Equao de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 Interpretao da funo de onda (x, t) . . . . . . . . . . . 44

  • ii Contents

    2.7 Reviso dos conceitos de probabilidade . . . . . . . . . . . . 482.8 Valores esperados de varivels dinmicas. Operadores. . . . 50

    2.8.1 Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8.2 Definio de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8.3 Equao de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . 582.8.4 Relaes de comutao . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3 Equao de Schrdinger independente do tempo 633.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Estados estacionrios em uma dimenso . . . . . . . . . . . 653.3 Estados estacionrios de uma partcula numa caixa: o poo

    quadrado infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Outros potenciais unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . 73

    3.4.1 O potencial degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.2 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.3 O poo de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    3.5 O oscilador harmnico simples . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.6 Outro mtodo de soluo do problema do oscilador . . . . . 108

    3.6.1 Normalizao das funes de onda do oscilador har-mnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    3.6.2 Ortogonalidade das funes de onda . . . . . . . . . 119

    4 A equao de Schrdinger em trs dimenses 1214.1 O potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    4.1.1 Momento angular. Relaes de comutao . . . . . . 1254.1.2 Equaes de autovalores para L2 e Lz . . . . . . . . 129

    4.2 Funes associadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.1 Mtodo das sries de potncia . . . . . . . . . . . . . 1314.2.2 Mtodo de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    4.3 Soluo da equao radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.3.1 A partcula livre em trs Dimenses: coordenadas es-

    fricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.3.2 Expanso de ondas planas em harmnicos esfricos . 160

    4.4 Outros potenciais tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . 1624.4.1 Poo quadrado de potencial . . . . . . . . . . . . . . 1624.4.2 O oscilador harmnico tridimensional isotrpico . . . 167

    5 O tomo de hidrognio 1815.1 Sistema de duas partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.2 Estados ligados do tomo de hidrognio (E < 0) . . . . . . 183

    5.2.1 Exemplos de funesRn,l (r) para o tomo de hidrognio1915.3 Observaes sobre as solues para o tomo de hidrognio . 193

    5.3.1 Nveis de energia e a notao espectroscpica . . . . 1935.3.2 Distribuio de probabilidades . . . . . . . . . . . . 194

  • Contents 1

    6 Interao de eltrons com campo eletromagntico 1996.1 Sistema clssico sujeito a um potencial eletromagntico . . 2006.2 Sistema quntico sujeito a um potencial eletromagntico . 203

    6.2.1 Efeito Zeeman normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

    7 Adio de momentos angulares. Coeficientes de Clebsch-Gordan 2097.1 Anlise clssica de um sistema de partculas no-interagentes 2107.2 Anlise clssica de um sistema de partculas interagentes . . 2117.3 Adio de dois spins 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

    7.3.1 Autovalores de Sz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.3.2 Autovalores de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

    7.4 Adio de dois momentos angulares arbitrrios . . . . . . . 2177.5 Coeficientes de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . 224

    8 Teoria de perturbao 2278.1 Teoria de perturbao independente do tempo . . . . . . . . 228

    8.1.1 Estados no-degenerados . . . . . . . . . . . . . . . 2288.1.2 Aplicaes da teoria de perturbao de primeira ordem2348.1.3 Estados degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.1.4 Efeito Stark no tomo de hidrognio . . . . . . . . . 240

    Index 246

  • 2 Contents

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    1Problemas que deram origem mecnica quntica

    No final do sculo passado, os fsicos se depararam com alguns problemasque no tinham respostas dentro da Fsica Clssica, cujas bases j estavambem estabelecidas naquela poca. So eles:

    Radiao do corpo negro Efeito fotoeltrico Radiao eletromagntica dos tomos Calor especfico dos slidos

    Atualmente esses problemas so comumente relacionados com a origemda Mecnica Quntica:

  • 4 1. Problemas que deram origem mecnica quntica

    1.1 Radiao de corpo negro

    Neste captulo, vamos estudar a radiao de corpo negro. Com base emresultados experimentais, podemos dizer que:

    a) Todos os corpos emitem radiao eletromagntica quando aquecidos.

    b) medida que a temperatura aumenta, o corpo muda da coloraovermelha ao branco.

    c) baixa temperatura a radiao est no infravermelho e, por isso,invisvel.

    d) Mesmo um corpo estando a uma temperatura mais baixa que o meioambiente ele continua a irradiar.

    A partir desses resultados nasce a questo: Por que um corpo no seesfria at o zero absoluto?A resposta a esta questo pode ser construda com base nas observaes

    de vrios pesquisadores. Cronologicamente, tem-se:

    1.1.1 Teoria de troca de Prevost

    1809 Teoria de Troca de Prevost

    Existe um intercmbio permanente de calor entre os corposvizinhos, cada um irradiando como se os outros no estivessempresentes; no equilbrio, cada um absorve exatamente tanto quantoemite.

    1.1.2 Leis de Kirchoff

    1859 Lei de Kirchoff

    A razo entre a emitncia e absortncia de um corpo s de-pende da frequncia da radiao e da temperatura do corpo, e independente da sua natureza.

    Definition 1 Emitncia (E) a energia radiante emitida por um corpocom frequncias no intervalo e +d por unidade de tempo e por unidadede rea.

    Definition 2 Absortncia (A) a frao da energia incidente, dentro dointervalo de frequncia e + d, que absorvida pelo corpo.

  • 1.1 Radiao de corpo negro 5

    Placa 1S, E, A

    ES (1-a)

    aES (1-a)(1-A)

    aES ES

    ES - aES = ES (1-a)

    ES (1-a) (1-A)

    Placa 2S, e, a

    FIGURE 1.1.

    Para uma frequncia , podemos calcular a quantidade de radiao ab-sorvida pela placa 2.

    a) Devido emisso da placa 1:

    1 7 2= ES + aES(1 a)(1A)

    + aES(1 a)2(1A)2 + aEscrevendo k = (1 a)(1 A) < 1 e substituindo na expresso acima,encontra-se

    1 7 2= aES + aESk + aESk

    2 + = aES(1 + k + k

    2 + )=

    aES

    1 konde usamos o resultado da soma de uma PG com razo q < 1.

    b) Devido emisso da placa 2:

  • 6 1. Problemas que deram origem mecnica quntica

    Placa 1S, E, A

    eS (1-a)(1-A)

    eaS (1-A)

    eS eS

    eS - AeS = eS (1-)

    eS (1-a) (1-A)

    Placa 2S, e, a

    eS (1-a) (1-A)2

    ES (1-a) (1-A)2

    FIGURE 1.2.

    2 7 2= ae(1A)S + aeS(1 a)(1A)2= aeS(1 a)2(1A)3 + = ae(1A)S (1 + k + k2 + )=

    ae(1A)S1 k

    Aplicando a lei de troca de Prevost para a placa 2, obtem-se:

    eS =aES

    1 k +ae(1A)S

    1 ke(1 k)S = aE + ae(1A)

    e [1 (1 a)(1A)] = aE + ae(1A)eA = aE

    ea

    =EA

    Este resultado nos diz que a relaoEA

    independe da natureza dos corpos e,

    portanto, dependemos apenas da frequncia e da temperatura T. Podemosento dizer que

  • 1.1 Radiao de corpo negro 7

    n

    S

    d

    u(,T)

    FIGURE 1.3.

    EA

    = f(, T ), funo universal de e T.

    1860 - Kirchoff introduziu o conceito de Corpo Negro (A = 1)A partir desse conceito Kirchoff concluiu que a funo de distribuio

    f(, T ) igual ao poder emissivo de um corpo negro, isto

    E = f(, T ) poder emissivo de um corpo negro

    A partir desse resultado, estabeleceu tambm a relao entre a radiaoemitida por um corpo negro e por uma cavidade (um forno, por exemplo),atravs do Teorema da Cavidade, cujo enunciado diz que

    A radiao dentro de uma cavidade isotrmica temper-atura T do mesmo tipo que a emitida por um corpo negro.

    Por este teorema tornou-se possvel calcular a funo universal f(, T ),atravsdo poder emissivo de uma cavidade. Seja u(, T ) a densidade de energiaradiante com frequncia entre e +d emitida por uma cavidade que pos-sui um orifcio de rea S. A energia contida no volume V = cS cos no memso intervalo de frequncia u(, T )V d. Assim, a energia emi-tida pelo orifcio num ngulo slido d, considerando o espao isotrpido, d4 u(, T )cS cos d. Integr