Razão

Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida.

Razão de duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que exprimem as suas medidas racionais, tomadas na mesma unidade.

Assim, sendo a e b dois números racionais, com b 0, denomina-se razão

entre a e b ou razão de a para b o quociente b

a ou a : b. O termo a é

chamado de antecedente e o termo b é chamado de conseqüente.

Exemplos:

1º) Determinar a razão de 12 para 40.

Resolução:

12 : 40 = 10

3

40

12 . Neste caso, se lê: 3 está para 10 ou simplesmente 3 para

10.

2º) Numa partida de basquete, o jogador A fez 15 arremessos e acertou 9. Nestas condições, responda:

a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos do jogador?

Resolução:

9 : 15 = 5

3

15

9 . 3 para 5, ou seja, para cada 5 arremessos dados, o jogador

acertou 3.

b) Qual a razão entre o número de arremessos que o jogador acertou e o número de arremessos que ele errou?

Resolução: 15 – 9 = 6

SECRETARIA DO ESTADO DA EDUCAÇÃO

C.E. PROF. ELYSIO VIANNA – ENSINO FUNDAMENTAL E PROFISSIONAL

CURSO TÉCNICO EM MEIO AMBIENTE

Disciplina Estatística: Professor Marcio R Lopes.

NOME: _____________________________________________________ Nº _______

TURMA: __________ MODALIDADE:_________________ VALOR: ____ NOTA: ___

9 : 6 = 2

3

6

9 . 3 para 2, ou seja, para cada 3 arremessos acertados, o jogador

errou 2.

3º) Nos retângulos ao lado, encontre a razão da área do retângulo 1 para o retângulo 2.

Resolução:

Área 1 60 cm x 40 cm = 2 400 cm2.

Área 2 1,2 m x 1 m = 1,2 m2 ou 12 000 cm2.

2400 :12000 = 5

1

12000

2400 . 1 para 5, ou seja, a área do retângulo 2 é cinco

vezes a área do retângulo 1.

4º) Na prova de Matemática de um aluno, a razão do número de questões certas para o número de questões foi de 3 para 4. Sabendo-se que a prova era composta de 16 questões, quantas questões o aluno acertou?

Resolução:

Chamando de x o número de questões certas, e sendo a razão dos acertos para o total de questões de 3 para 4, temos:

4

3

16

x 4 . x = 3 . 16 4x = 48 x =

4

48 x = 12. Resposta: 12

questões.

Atividades

1) Determine a razão entre as medidas abaixo.

a) 5 cm e 20 cm b) 10 cm e 50 cm c) 12 l e 15 l

d) 800 g e 2000 g e) 1 m2 e 0,5 m2 f) 4 cm e 20 000 000 cm

2) Resolva os problemas abaixo:

a) Num teste de 20 questões, o aluno B acertou 16. Responda:

Qual a razão do número de acertos para o número total de questões? ................

Qual a razão do número de erros para o número total de questões do teste?................

Qual a razão entre o número de acertos e o número de erros? ........................

b) Um retângulo A tem 10 cm e 15 cm de dimensões e um retângulo B tem 8 cm e 12 cm de dimensões. Qual é a razão entre:

o perímetro do retângulo A para o perímetro do retângulo B? ....................

a área do retângulo A para a área do retângulo B? ....................

c) Uma cidade A possui o triplo de habitantes de uma cidade B. Responda:

Qual a razão do número de habitantes de A para o número de habitantes de B? ..........

Qual a razão d número de habitantes de B para o número de habitantes de A? ..........

Algumas razões comuns ao cotidiano

Velocidade Média

Denomina-se velocidade média (Vm) de um veículo a razão entre a distância total percorrida (d) pelo veículo e o tempo (t) por ele gasto para percorrê-la. Vm

= d

Vm.

Exemplo:

Um ônibus percorreu uma distância de 453 km em 6 horas. Qual foi a velocidade média do ônibus?

Resolução:

Vm = km/h 75,5 6

453

d

Vm .

Escala

Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala.

Quando queremos representar com um desenho certos objetos (móveis, automóveis, etc.), a planta de uma casa, a maquete de um prédio ou fazer um mapa, usamos uma escala.

Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no desenho e o correspondente comprimento real, medidos com a mesma

unidade. Em geral, utilizamos as medidas em centímetros para determinar uma escala.

Escala = real ocompriment

desenho no ocompriment

Exemplo:

Em uma mapa, a distância entre duas cidades é de 3 cm. Sabendo-se que a distância real entre as cidades é de 300 km, qual a escala utilizada no mapa?

Resolução:

Comprimento no desenho = 3 cm; comp. real = 300 x 100 000 = 30 000 000 cm

Escala = 000 000 10

1

000 000 30

3

real ocompriment

desenho no ocompriment

Densidade demográfica

O cálculo da densidade demográfica de uma região é também uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado dessa região. Assim, densidade demográfica de uma região é a razão entre o número de seus habitantes e a área ocupada pela

região, ou seja: Dens. dem. = área

hab. n.

Exemplo:

No Brasil vivem pouco mais de 190 milhões de brasileiros (CENSO 2010) , num território de pouco mais de 8,5 milhões de quilômetros quadrados . Qual é a densidade demográfica do Brasil ?

Resolução:

Dens. Dem. = 000 500 8

000 000 190

área

hab. n. 22,4 hab/km2

Densidade de um corpo

Outra aplicação de razão entre duas grandezas esta no cálculo do valor da densidade de um corpo. Assim, densidade de um corpo é a razão entre a

massa desse corpo e o seu volume. Densidade = corpo do volume

corpo do massa. A unidade

no Sistema Internacional é kg/m3.

Exemplo:

Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 m3. Qual é a sua densidade?

Resolução:

Densidade = 3kg/m 8,75

16

140

corpo do volume

corpo do massa .

Atividades

3) Resolva os problemas abaixo:

a) Um automóvel percorreu 400 km em 5 horas. Qual foi a velocidade média desse automóvel no percurso?

b) A distância entre Curitiba e São Paulo é de 405 km. Qual é a velocidade média:

de um carro que faz este percurso em 5 horas? ........................

de um ônibus que faz este percurso em 6 horas? .........................

de um caminhão que demora 7 horas para realizar o percurso? ....................

c) Calcule a densidade demográfica de Tanguá (RJ) , sabendo que a área territorial é 146 Km² , e a população é 30 700 habitantes ( CENSO 2010) .

d) Calcule a densidade demográfica de Rio Bonito (RJ) , sabendo que sua área territorial é 462 km² e a população é 55.500 habitantes ( CENSO 2010) .

e) Se um corpo tem a massa de 20 g em um volume de 5 cm3 , qual é a sua densidade ?

Proporção

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando a razão do primeiro para o segundo é igual à razão do

terceiro para o quarto. a : b = c : d ou d

c

b

a ( Lê-se: a está para b assim como

c está para d.)

Os números a, b, c e d são denominados termos da proporção.

O primeiro e quarto termos são denominados extremos, enquanto o segundo e o terceiro são denominados meios.

Considere a seguinte situação:

Verifique se os números 6, 9, 12 e 18, na ordem que aparecem, são proporcionais.

Resolução:

d

c

b

a

18

12

9

6

6 : 18

6 : 12

3 : 9

3 : 6

3

2

3

2 . Neste caso, como as proporções

são iguais, diz-se que os números, na ordem que aparecem, são proporcionais.

Atividades

4) Verifique se os números abaixo são, na ordem que aparecem, proporcionais.

a) 4, 6, 20 e 30 b) 1, 6, 3 e 12

c) 1, 2, 3 e 5 d) 40 e 4

1 ,80 ,

2

1

5) Encontre o valor de x nas proporções.

a) 12

8

3

x b)

21

14

x

2 c)

8

x

2

5

d) x

5

6

1 e)

2

3

x

12 f)

3

x

5

6

Resolvendo problemas por regra de três simples.

Podemos resolver problemas por diferentes processos. Existem, porém, certos problemas que podemos resolver facilmente através de proporções. Os dados do problema são apresentados em forma de proporção.

Sendo desconhecido um dos termos da proporção formada, podemos encontrá-lo aplicando uma das propriedades das proporções. Três dos termos da proporção sempre são conhecidos. Daí o fato de chamarmos esse processo de regra de três.

Exemplos:

1º) Uma pessoa comprou 3 bolas por R$ 60,00. Se essa pessoa tivesse comprado 5 bolas, quanto pagaria?

Resolução:

bolas R$

3 60

5 x

Observe que temos neste exemplo duas grandezas: bolas e reais. Estas grandezas variam na mesma proporção e, por conseguinte, são grandezas diretamente proporcionais. Sendo assim, resolvemos da seguinte maneira.

3 ------------ 60

5 ------------ x

A proporção fica:

100 x 3

300 x 300 3x 60 . 5 x . 3

x

60 5

3 R = R$ 100,00

2º) Um carro percorreu certa distância, em 8 horas, à velocidade de 120 km/h. Em quanto tempo este carro faria o percurso a 80 km/h?

Resolução

Tempo(h) Velocidade km/h)

8 120

x 80

Observe que as grandezas “horas” e “velocidade” são grandezas inversamente proporcionais. Neste caso, resolvemos assim:

8 ------------ 120

x ----------- 80

Muita atenção!

Ao formarmos a proporção com grandezas inversamente proporcionais invertemos uma das razões. Fica assim:

120

80

x

8 Observe que a razão

120

80 foi invertida.

Resolvendo a proporção:

12 x 80

960 x 960 80x 120 . 8 x . 80 R = 12 horas.

Atividades

6) Resolva os problemas abaixo:

a) Na extremidade de uma mola é colocado um corpo com massa de 10 kg e verifica-se que o comprimento da mola é 42 cm. Se colocarmos um peso de 15 kg na extremidade dessa mola, qual será o comprimento da mola?

b) A partir de um treino de Fórmula 1 para a disputa da pole position, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?

c) Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes?

Porcentagem: As razões escritas na forma percentual

Além da forma fracionária e da forma decimal, uma razão pode ser representada na forma percentual, com o símbolo %. Mas, antes de abordarmos o conceito matemático, é interessante situarmos a porcentagem no contexto histórico.

Podemos dizer que razão, proporção, porcentagem e regra de três são considerados conteúdos básicos da matemática financeira, constituindo um sistema de conhecimentos pela relação existente entre eles. A porcentagem, também conhecida por “percentagem”, ou, ainda, por “taxa de porcentagem”, é utilizada quase diariamente nos meios de comunicação, especialmente na divulgação de pesquisas de opinião e em indicadores econômicos. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem.

Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem. A expressão “por cento”, aparece nas primeiras obras de aritmética do século XV, na Itália, e o símbolo % teria surgido como uma abreviatura da palavra “cento”, utilizada nas operações mercantis. Hoje, não há como entender o mundo do capital, das compras, das vendas, do planejamento financeiro, etc. sem entender porcentagem. Precisamos entendê-la para realizar cálculos e interpretar gráficos.

De outra forma diz-se que toda razão b

a, na qual b = 100, chama-se

porcentagem.

Podemos dizer que:

Toda razão a

b , na qual b = 100 pode ser escrita na forma de porcentagem.

Assim, temos:

Forma Fracionária Forma decimal Forma percentual ou forma de percentagem

30

100

0,3 30,00%

Observação: uma razão b

a, com b 100, também pode ser escrita na forma

de %.

Para representar uma razão na forma percentual, temos dois casos a considerar:

1o caso: O conseqüente ou denominador b é um fator natural de 100.

a) 1

2.50

50=

50

100= 50 %

2o caso: o conseqüente ou denominador b não é um fator natural de 100.

a) %5,37100

37,5

100

100 x 0,375 0,375

8

3 ou 37,5% 100 x 0,375

8

3

b) 58,3% 100

58,3

100

100 x 0,583 0,583

12

7 ou 58,3% 100 x 0,583

12

7

Uma razão escrita na forma percentual pode ser representada também na forma fracionária e na forma decimal. Abaixo, estão alguns exemplos.

Situação dada Forma fracionária Forma decimal

35,00% 35

100 = 7

20 35

100 = 0,35

160,00% 160

100=

8

5 100

160= 1,60

Observe, abaixo, outros exemplos que envolvem porcentagem.

1º exemplo: um desconto de R$ 7 000,00 sobre um preço de R$ 25 000,00 representa quanto % de desconto?

Resolução:

25000

7000= 0,28 =

100

28

100

100 x 0,28 = 28%

Pode, também, resolver assim:

25000

7000= 0,28 x 100 = 28 %.

2º exemplo: Um lucro de R$ 12 000,00 sobre um preço de R$ 150 000,00

representa quanto em % de lucro?

Resolução:

100

100 x 0,08 0,08

150000

120008%

100

8

Pode, também, resolver assim:

% 8 100 x 0,08 150000

12000

Atividades

7) Escreva na forma de porcentagem e na forma decimal as seguintes razões:

a) 51

100 = ................................. b)39

100 = ..................................

c) 6

100 = ................................. d) 127

100 = .................................

8) Escreva na forma de porcentagem e na forma fracionária cada número decimal abaixo:

a) 0,03 = b) 0,35 = c) 1,42 =

d) 0,62 = e) 0,45 = f) 0,22 =

9) As razões abaixo estão na forma de percentagem. Escreva-as na forma de números fracionários. Escreva-as de forma irredutível, ou seja, faça as simplificações.

a) 55 % = b) 8 % = c) 10 % =

d) 120 % = e) 0,4 % = f) 7,5 % =

10) Numa pesquisa de opinião sobre determinado show musical produzido por um canal de televisão, foram entrevistadas 100 pessoas. O resultado da pesquisa está no quadro seguinte:

Opinião No de pessoas

ótimo 42

bom 37

regular 10

ruim 6

não assistiram 5

Observe o quadro e escreva a porcentagem correspondente a cada uma das opiniões.

a) ótimo............... b) bom........ c) regular...... c) ruim....... d) não assistiram.........

11) Um aumento de R$ 90,00 sobre um preço de R$ 200,00 representa quanto % de aumento?

12) Um aluno acertou 38 das 50 questões de uma prova. Esse acerto representa quanto %?

13) Em um colégio, 6 professores entre 30 professores que o colégio tem ensinam Matemática. A quantidade de professores de Matemática representa quanto % do total de professores que o colégio tem?

MEDIDAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal. Metro A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil, o metro foi adotado oficialmente em 1928. Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe, abaixo, o quadro:

Múltiplos Unidade Fundamental

Submúltiplos

Quilômetro

Hectômetro

Decâmetro

Metro Decímetro

Centímetro

Milímetro

Km hm dam m dm cm mm

1000 m 100 m 10 m 1 0,1 m 0,01 m 0,001

m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos o mícron (µ) e o angströn (Å). O valor de cada medida é: mícron (µ) = 10-6 m e angströn (Å) = 10-10 m.

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz, ou seja, a distância percorrida pela luz em um ano. Um ano-luz é igual a 9,5 · 1012 km O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, mas são muito utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé = 30,48 cm

Polegada = 2,54 cm

Jarda = 91,44 cm

Milha terrestre = 1.609 m

Milha marítima = 1.852 m

Observe que: 1 pé = 12 polegadas e 1 jarda = 3 pés Medidas de comprimento Leitura das Medidas de Comprimento

A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Veja os exemplos abaixo: 1º ) Leia a seguinte medida: 15,048 m. Resolução: Seqüência prática 1º) Escrever o quadro de unidades:

Km hm dam m dm cm mm

2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.

Km hm dam m dm cm mm

15, 0 4 8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma, ou seja, 15 metros e 48 milímetros Outros exemplos: 6,07 km - lê-se: "seis quilômetros e sete decâmetros” 82,107 dam - lê-se: "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros” 0,003 m – lê-se: "três milímetros". Transformação de Unidades Para realizarmos a transformação de unidades devemos multiplicar ou dividir.

Multiplicamos por quantos 10 forem necessários, quando precisarmos transformar de uma unidade maior para uma menor.

Dividimos por quantos 10 forem necessários, quando precisarmos transformar de uma unidade menor para uma maior.

Observe as seguintes transformações: 1ª) Transforme 16,584 hm em m. Resolução:

Km hm dam m dm cm mm

16,584 x 10 x 10

16,584 x 10 x 10 = 1 658, 4 ou 16,584 x 100 = 1 658,4. Então: 16,584hm = 1 658,4m 2ª) Transforme 1,463 dam em cm.

Resolução:

Km hm dam m dm cm mm

1,463 x 10 x 10 x 10

Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10). Fica assim: 1,463 x 10 x 10 x 10 = 1,463 ou 1 463 x 1000 = 1 463 Logo, 1,463 dam = 1 463 cm 3ª) Transforme 179,9 m em dam. Resolução:

Km hm dam m dm cm mm

10 : 176,9

Para transformar 176,9 m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10. Fica assim: 176,10 : 10 = 17,69 Logo, 179,9 m = 17,69 dam 4ª) Transforme 978 m em km. Resolução:

Km hm dam m dm cm mm

10 : 10 : 10 : 978

Para transformar 978 m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 10 três vezes ou dividir direto por 1000. Fica assim: 978 : 1.000 = 0,978 Então: 978 m = 0,978 km. Atividades: 1) Transforme em metros (m): a) 25 dm = b) 13 km = c) 827 cm = d) 11,5 dam = e) 0,01 hm = f) 112 cm = g) 1,23 km = h) 0,02 km = i) 1 003 mm = 2) Expresse em centímetros (cm) as seguintes medidas: a) 1,4 m = b) 37 mm = c) 0,28 m = d) 2,5 mm =

Cálculo do perímetro de uma figura geométrica A soma das medidas dos lados de um polígono chama-se medida do perímetro ou, simplesmente, perímetro desse polígono. Veja alguns exemplos:

1º) Calcule o perímetro do polígono ABCDE. Resolução Indicando por P o perímetro do polígono ABCDE, temos: P = 5 cm + 2,8 cm + 3,1 cm + 2 cm + 1,8 cm P = 14,7 cm. 2o) Calcule o perímetro do triângulo abaixo: Resolução Inicialmente, precisamos passar todas as medidas para uma mesma unidade. Vamos passá-las para centímetros: 0,04 m = (0,04 x 100) cm = 4 cm 32 mm = (32 : 10) cm = 3,2 cm Então: P = 5,6 cm + 4 cm + 3,2 cm P = 12,8 cm Atividades 3) Determine o perímetro dos polígonos abaixo:

4) Calcule o perímetro de um campo de futebol que tem comprimento 10 dam e largura 40 m.

5) Quantos metros de arame são necessários para cercar um terreno de forma retangular medindo 10 m de frente por 25 m de fundo, sabendo que a cerca terá 5 fios de arame? 6) O comprimento de uma estrada A é 7,65 km, de uma estrada B é de 7 842 m e de uma estrada C é 2,87 km. Calcule, em metros, a soma dos comprimentos das três estradas.

Cálculo do comprimento da circunferência A circunferência é um polígono cujos pontos têm todos a mesma distância do seu centro (ponto O). Essa distância chama-se raio da circunferência. O raio da circunferência é indicado pela letra r.

Comprimento da Circunferência Uma circunferência possui um comprimento. O comprimento da circunferência é sua medida linear, ou seja, é como se esticássemos e, com uma régua, medíssemos o tamanho de seu comprimento. Na figura abaixo, temos uma circunferência com seu diâmetro e, à sua direita, um segmento com o mesmo comprimento da circunferência. Então, encontrar o comprimento de uma circunferência é o mesmo que cortá-la, esticar e medir.

Diâmetro (d) da circunferência

O segmento ABé o diâmetro da circunferência.

O diâmetro (d) é igual a AO+ OB

Então podemos escrever d = r + r. Logo, d = 2r

Raio e centro da circunferência

O ponto O é o centro da circunferência

O segmento AOé o raio da circunferência

Atividades 7) Abaixo, estão algumas circunferências com seu diâmetro e seu comprimento. Divida o comprimento pelo diâmetro e observe o resultado.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Ao realizar as divisões acima, você obteve sempre o mesmo resultado, ou seja,

3,14. Daí concluímos que a divisão do comprimento (C) da circunferência pelo

diâmetro (d) é sempre igual a 3,14, ou seja, d

C= 3,14. O número 3,14 é

chamado pela letra grega pi ( ).

Então, a fórmula que calcula o comprimento de uma circunferência é:

d

C π

2r

C C = 2 . r . π

Daí temos que comprimento da circunferência é C = 2 . r . π

Atividades 8) Por meio da fórmula C = 2 . r . π , calcule o comprimento das circunferências

abaixo:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

9) Calcule o comprimento de uma circunferência quando: a) o raio mede 7 cm b) o raio mede 2,5 cm c) o diâmetro mede 3 m

Superfície e área Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro Quadrado

A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado (m2). Como vimos acima, o metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. Veja o quadro abaixo:

Múltiplos Unidade Fundamental

Submúltiplos

Quilômetro

quadrado

Hectômetro

quadrado

Decâmetro

quadrado

Metro quadrado

Decímetro

quadrado

Centímetro

quadrado

Milímetro

quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

0,000001 m2

0,0001 m2

0,01 dam2

1 m2 100 m2 10 000

cm2

1 000 000 mm2

Medidas Agrárias As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).

Unidade agrária

hectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalência de valor

100 a 1 a 0,01a

Lembre-se: 1 ha = 1hm2 1a = 1 dam2 1ca = 1m2

O Alqueire Embora não sejam unidades oficiais, os “alqueires” constam em documentação de terras e são de uso corrente no campo.

O chamado “alqueire paulista” dá 24 200 m2 e, portanto equivale a 2,42 ha. O chamado “alqueire mineiro”, ou “goiano”, ou “mato-grossense”, é o dobro do paulista, tendo, portanto 48 400m2, que são 4,84 ha. Transformação de unidades No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície que está à esquerda é 100 vezes maior que a unidade imediatamente que se encontra à direita. Assim, para realizarmos a transformação de unidades devemos multiplicar ou dividir.

Multiplicamos por quantos 100 forem necessários, quando precisarmos transformar de uma unidade maior para uma menor.

Dividimos por quantos 100 forem necessários, quando precisarmos transformar de uma unidade menor para uma maior.

Exemplos: 1º) Transforme 2,36 m2 em mm2. Resolução:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

2,36 x 100 x 100 x 100

Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100 x 100 x 100). 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2 Assim: 2,36 m2 = 2 360 000 mm2 2º) Transforme 580,2 dam2 em km2. Resolução:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

100 : 100 : 580,2

Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 ou dividir por 100 duas vezes. 580,2 : 10.000 = 0,05802 Assim: 580,2 dam2 = 0,05802 km2 ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS. Estudando o quadrado e o retângulo

Retângulo. Retângulo é um quadrilátero que tem todos os ângulos iguais e, conseqüentemente, retos. A área de um retângulo é dada pelo produto de sua base pela sua altura. Área = base x altura A = b . h Quadrado Quadrado é um quadrilátero que tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. A área do quadrado é dada pelo quadrado de seu lado. Área = lado x lado A = l2

Exemplos: 1º) Num retângulo, a base mede 8 cm e altura, 3,5 cm. Calcular a área desse retângulo. A = b . h A = 8 cm x 3,5 cm A = 28 cm2 2º) Um quadrado possui 20 cm de lado. Qual é sua área? A = l . l A = 20 cm x 20 cm A = 400 cm2

Atividades 10) São dadas as figuras abaixo. Calcule, para cada uma delas, a área. a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

11) Calcule a área das figuras abaixo: a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

12) Determine a área de cada um dos trapézios abaixo: a) b)

c) d)

e) f)

13) Calcule a área dos triângulos abaixo: a) b)

c) d)

e) f)

14) Encontre a área da região circular representada nas figuras abaixo: a) b)

c) d)

15) Resolva os problemas abaixo: a) Calcule a área de um círculo de diâmetro 20 cm. b) Para a figura ao lado, encontre a área da região colorida.

c) Calcule a área de um círculo de: c1) r = 2 cm e r = 1 cm c2) r = 6 cm e r = 3 cm c3) r = 8 cm e r = 4 cm c4) r = 10 cm e r = 5 cm

Medidas de volume Freqüentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Cálculo do volume

Volume do Cubo

Volume = área da base x altura

Como o cubo tem todos os lados iguais, vem:

V = lado . lado . lado

V = l . l . l ou V = l3

Volume do Paralelepípedo Retângulo

Volume = área da base x altura

V = comprimento da base x largura da base x altura

V = a . b . h

Mas, antes de realizarmos algum cálculo, vamos conhecer o m3 seus múltiplos e submúltiplos, bem como compreender como trabalhar com as transformações de unidades. Veja a seqüência de figuras abaixo: Figura 1 Figura 2

V=l . l . l V = l . l . l V = 1 x 1 x 1 V = 10 x 10 x 10 V = 1 m3 V = 1000 dm3 Figura 3 Figura 4

V = l . l . l V = l . l . l V = 100 x 100 x 100 V = 1000 x 1000 x 1000

V = 1 000 000 cm3 V = 1 000 000 000 mm3 Pelos cálculos acima, percebemos que: 1m3 = 1 000 dm3, ou seja, para transformarmos 1m3 em dm3 devemos multiplicar por 10 x 10 x 10 ou direto por 1 000 . 1m3 = 1 000 000 cm3, ou seja, para transformarmos 1m3 em cm3 devemos multiplicar por 100 x 100 x 100 ou direto por 1 000 000. 1m3 = 1 000 000 000 mm3, ou seja, para transformarmos 1m3 em mm3 devemos multiplicar por 1000 x 1000 x 1000 ou direto por 1 000 000 000. Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é a medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Unidade

Fundamental Submúltiplos

Quilômetro Cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico decímetro

cúbico centímetro

cúbico milímetro

cúbico

km3 hm

3 dam

3 m

3 dm

3 cm

3 mm

3

1.000.000.000 m3

1.000.000 m

3

1.000 m3 1 m

3 0,001 m

3

0,0000001 m

3

0,0000000001 m

3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas de comprimento e de superfície. Devemos utilizar porém, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s).

Exemplos.

Leia a seguinte medida: 75,84m3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos". Leia a medida: 0,0064dm3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

0, 006 400

Lê-se "6 centímetros cúbicos e 400 milímetros cúbicos". Transformação de unidades

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Olhe o esquema abaixo. Seguindo este esquema vamos realizar algumas transformações.

Observe os exemplos abaixo: 1º) Transformar 2,45 m3 para dm3.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

2,45

Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000. Assim, temos: 2,45 x 1.000 = 2.450 dm3 2º) Transformar 3 800 000 m3 para hm3.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

3 800 000

Para transformar m3 em hm3 (duas posições à direita) devemos dividir por 1.000 duas vezes ou dividir direto por 1 000 000. Assim, temos: 3 800 000 : 1 000 : 1 000 ou 3 800 000 : 1 000 000 = 3,8 hm3

16) Calcule o volume das figures abaixo: a) b)

c) d)