Continuidade e Limite - Inovadora, Transformadora e Pluraleach.uspnet.usp.br/acsouzafilho/calLCN20131/aula17-20CLCN.pdf · Assunto Aplicação de limites Interpretação geométrica

AssuntoAplicação de limites

Interpretação geométrica da derivadaA função derivada

Continuidade e Limite

Antônio Calixto de Souza Filho∗

Escola de Artes, Ciências e Humanidades∗

Universidade de São Paulo

20 de maio de 2013

A. C Souza Filho Cálculo para LCN



1 Aplicação de limitesRemoção da indeterminação 0

0

2 Interpretação geométrica da derivadaTaxa Instantânea de Variação

3 A função derivadaPropriedades da derivadaDerivada de xn, quando n é um número inteiro negativoAplicação de derivadas




Remoção da indeterminação 00

subject


0







Para o que segue, é importante compreender que limx→x0 f (x),quando existe, é um número real que satisfaz a propriedade derepresentar a imagem de f para valores próximos de x0, ou seja, éum conceito local. Se a função f é contínua, então este limite éf (x0). Muitos cálculos de limites, portanto, podem ser obtidos apartir deste resultado. Este é o caso quando ocorre umaindeterminação do tipo 0

0 e os fatores envolvidos são polinômios.





Na aula anterior, vimos, quando x0 ∈ Domf o limitelimx→x0

f (x)−f (x0)x−x0

é a derivada da função f em x0, que denotamospor f ′(x0). Como consequência da definição, este limite apresentauma indeterminação 0

0 . Quando f é uma função polinomial,sempre é possível remover esta indeterminação. Uma técnica deremoção é a divisão de polinômios, outra é conhecida porAlgorítimo de Briot-Ruffini, que apresentamos a seguir





Seja p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0 uma funçãopolinomial. Podemos calcular a imagem de p(x0) do seguintemodo: construímos uma tabela com duas linhas e n + 2 colunas.Para a primeira linha, na primeira coluna está x0 nas demais estãoos coeficientes de p do maior grau para o menor grau. Para asegunda linha, repetimos na segunda coluna o coeficiente an, asdemais colunas são o produto de x0 com a coluna anterioradicionado ao valor da mesma coluna da linha anterior. Observeque a última coluna da segunda linha resulta em p(x0), comoabaixo.x0 an an−1 · · · a1 a0

an anx0 + an−1 · · · anxn−10 n + · · ·+ a1 anxn

0 + · · ·+ x0a1 + a0





ExemploSe p(x) = −5x4 + 20x2 − 4x + 18 e x0 = −3, teremos:

−3 −5 0 20 −4 −180−5 −3 ∗ (−5) + 0 −3 ∗ 15 + 20 −3 ∗ (−25) − 4 −3 ∗ 71 − 18−5 15 −25 71 −195

ExemploSe p(x) = 3x5 − 5x4 + 4x2 − 32 e x0 = 2, teremos:2 3 −5 0 4 0 −32

3 1 2 8 16 0





O algorítimo de Briot-Ruffini é a construção da tabela acima comas seguintes propriedades:

1 A última coluna da linha abaixo da linha de x0 é a imagem dopolinômio em x0.

2 Se x0 é uma raiz de p, p(x0) = 0, cujo grau é n, então opolinômio q obtido com os coeficientes da linha abaixo dalinha de x0, em que na primeira coluna está o coeficiente dotermo de grau n− 1, é o quociente da divisão de p por x − x0,ou seja p(x) = (x − x0) ∗ q(x).

ExemploNo exemplo anterior, p(x) = 3x5 − 5x4 + 4x2 − 32 tem x0 = 2como raiz. O polinômio q(x) = 3x4 + x3 + 2x2 + 8x + 16 ep(x) = (x − 2)(3x4 + x3 + x2 + 8x + 16).





Podemos aplicar o algorítimo para calcular a derivada depolinômios.Por exemplo de f (x) = 3x3 + 2x2 + 7,f ′(−4) = limx→−4

f (x)−f (4)x−4 .

Calculamos f (−4) = 3(−4)3 + 2(−4)2 + 7 = −153 de modoque f ′(−4) = limx→−4

3x3+2x2+160x−4 . Como vimos o limite

resulta na indeterminação 00 e aplicamos o algorítimo para

remoção.−4 3 2 0 160-4 3 −10 40 0-4 3 −22 128

Assim 3x3 + 2x2 + 160 = (3x2 − 10x + 40)(x − 4), podemoscancelar (x − 4), entãof ′(−4) = limx→−4 3x2 − 10x + 40 = q(−4) pois q é umafunção contínua. A última linha fornece portantoq(−4) = 128 que é o valor de f ′(−4).






f (x)−f (4)x−4 .




remoção.−4 3 2 0 160-4 3 −10 40 0-4 3 −22 128







f (x)−f (4)x−4 .




remoção.−4 3 2 0 160-4 3 −10 40 0-4 3 −22 128







f (x)−f (4)x−4 .




remoção.−4 3 2 0 160-4 3 −10 40 0-4 3 −22 128





Taxa Instantânea de Variação

subject


0







Seja f uma função real. Vimos que o número f (x1)−f (x2)x1−x2

, a taxamédia de variação, representa o coeficiente angular da reta definidapelos pontos (x1, f (x1)) e (x2, f (x2)). Por exemplo se f (x) = x2,os pontos do gráfico de f : (−1, 1) e (5, 25), determinam uma retar(x) = ax + b, em que a = 25−1

5−(−1) = 4. Logo r(x) = 4x + b,como os dois pontos são de r , podemos determinar b, porexemplo, r(5) = 4 ∗ 5+ b = 25 e b = 5. Assim r(x) = 4x + 5 é aequação da reta definida pelos pontos (−1, 1) e (5, 25) do gráficode f . Tal reta é denominada reta secante.





Além disso, este conceito está relacionado a uma média. Porexemplo, se f (t) é a posição de uma partícula no instante t, a taxamédia representa a velocidade média da particula entre osinstantes t1 e t2. Quando f é uma função contínua, veremos maisà frente que no intervalo entre t1 e t2, existe um instante t o quala velocidade da partícula é precisamente a velocidade média.





Geometricamente, dados os pontos (x1, f (x1)) e (x2, f (x2)),podemos calcular a equação da reta definida por estes dois pontos.Estamos interessados em calcular qual seria a equação da retatangente ao gráfico de f , isto é, que LOCALMENTE, tem umúnico ponto em comum com este gráfico. Isso deverá ocorrerquando x1 → x2; como vimos, x1 6= x2, assim se supormos x1 < x2,existem x , x0 ∈ [x1, x2] e x1 → x2 equivale a x → x0. Nessascondições o número f (x1)−f (x2)

x1−x2é a taxa instantânea de variação e

pode ser calculado por limx→x0f (x)−f (x0)

x−x0= f ′(x0), ou seja, a

derivada f ′(x0) é a taxa instantânea de variação que tambémrepresenta o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de fem x0.





ExemploA equação da reta tangente à curva f (x) = x2 em x0 = 3 er(x) = ax + b, sendo a = f ′(3). O cálculo def ′(3) = limx→3

f (x)−f (3)x−3 = limx→3

x2−32

x−3 = limx→3 x + 3 = 6.Assim r(x) = 6x + b. Sendo r a reta tangente ao gráfico de f em3, a reta passa no ponto (3, f (3)), logo r(3) = 6 ∗ 3+ b = 9 eb = −9. Assim r(x) = 6x − 9 é a equação da reta tangente.





Vamos calcular a taxa instantânea para f (x) = x2 − 3x + 1em x0 = 2. Calculamos f (x0) = −1Precisamos calcular o limitelimx→2

f (x)−f (x0)x−x0

= limx→2x2−3x+2

x−2 , como há umaindeterminação tipo 0

0 , estamos nas condições do casoanterior.Assim, fatoramos (por algum dos métodos vistos)x2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) e retomamos o cálculo:limx→2

(x−1)(x−2)x−2 .

Uma vez que x → 2 e 2 não está no domínio da função(x−1)(x−2)

x−2 , então podemos simplificar o fator x − 2 6= 0, daílimx→2

x2−3x+2x−2 = limx→2(x − 1). Como a função

q(x) = x − 1 é contínua, o limite L = q(2) = 1






f (x)−f (x0)x−x0

= limx→2x2−3x+2



(x−1)(x−2)x−2 .










f (x)−f (x0)x−x0

= limx→2x2−3x+2



(x−1)(x−2)x−2 .










f (x)−f (x0)x−x0

= limx→2x2−3x+2



(x−1)(x−2)x−2 .









Ainda no exemplo anterior, vimos que a taxa instantânea def (x) = x2 − 3x + 1 em x = 2 é 1.Isso significa que a reta tangente tem inclinação de 450 emrelação a horizontal.Podemos determinar a equação da reta tangente, poisconhecemos o coeficiente angular, que é a taxa instantânea,ou seja 1.Assim r(x) = 1 ∗ x + b, e r(2) = 2+ b = −1 e b = −3. Logor(x) = x − 3 é a equação da reta tangente à f no pontox0 = 2.




















ExemploVamos calcular a taxa instantânea da funçãof (x) = 3x3 − 4x2 + 5, no ponto x0 = 1.





Devemos calcular o limite:limx→1f (x)−f (1)

x−1 .Assim calculamos f (1) = 4 e portantof (x)− f (1) = 3x3 − 4x2 + 1 e sabemos que o limite resultaem uma indeterminaçãoAssim, devemos fatorar 3x3 − 4x2 + 1 = (x − 1)(3x2 − x − 1)O limite limx→1

f (x)−f (1)x−1 = limx→1(3x2 − x − 1). Sendo

q(x) = 3x2 − x − 1 contínua, o limite L = q(1) = 1.




























Propriedades da derivadaDerivada de xn , quando n é um número inteiro negativoAplicação de derivadas

subject


0







DefiniçãoSeja f uma função real que a todo x0 ∈ Domf existe f ′(x0). Afunção que a todo x0 ∈ domf associa a f ′(x0) é denominadafunção derivada de f e denotado por f ′, também chamada dederivada de f .ExemploSe f (x) = x, a função derivada de f é a função constante 1, pois fé uma reta e sendo f ′(x0) o coeficiente angular da reta tangente,f ′(x0) = 1 para todo x ∈ R, logo f ′ é a função constante 1, ouf ′(x) = 1.

Exemplo

Se f (x) = x2, f ′(x0) = limx→x0f (x)−f (x0)

x−x0= limx→x0

x2−x20

x−x0=

limx→x0 x + x0 = 2x0. Assim f ′(x) = 2x é a função derivada de x2,ou a derivada de x2.





Vamos determinar a função derivada de f (x) = x3;f ′(x0) = limx→x0

f (x)−f (x0)x−x0

= limx→x0x3−x3

0x−x0

. Pelo algorítimo:x0 1 0 0 −x3

01 x0 x2

0 0Então f ′(x0) = limx→x0 x2 + x0x + x2

0 = 3x20 . Assim a derivada de

x3 é 3x2, que podemos escrever na forma (x3)′ = 3x2.





De modo análogo, podemos aplicar o algorítimo para (xn)′, ou sejaf ′(x0) = limx→x0

xn−xn0

x−x0.

x0 1 0 · · · 0 −xn0

1 x0 · · · xn−10 0

Assimf ′(x0) = limx→x0 xn−1 + x0xn−2 + · · ·+ xk

0 xn−k−1 + · · ·+ xn−10 = nxn−1

0e portanto (xn)′ = nxn−1.





Sejam f e g funções cujas funções derivadas são, respectivamente,f ′ e g ′ e k ∈ R um número real. Sendo a derivada uma casoparticular de limites, valem as propriedades:

(kf )′ = kf ′

(f + g)′ = f ′ + g ′





Sejam f e g funções cujas funções derivadas são, respectivamente,f ′ e g ′ e k ∈ R um número real. Sendo a derivada uma casoparticular de limites, valem as propriedades:

(kf )′ = kf ′

(f + g)′ = f ′ + g ′





Pelas propriedades anteriores, se f é um polinômio de grau grau n,seja f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0, entãof ′(x) = nanxn−1 + (n − 1)an−1xn−2 + · · ·+ a2x + a1, pois aderivada de cada somando de f , (akxk)′ = ak(xk)′ = kakxk−1 ebasta aplicar a proprieadade 2 acima de modo conveniente.

Exemplo(3x6 − 2x5 + 12x3 − 3x + 2)′ = 18x5 − 10x4 + 36x2 − 3





A derivada de xn é nxn−1, para n ∈ Z. Ora quando n ≥ 0, então né um número natural. Quando n < 0, podemos ver isso do seguintemodo: se n < 0, então −n = m > 0. Se f (x) = xn = x−m = 1

xm ,

f ′(x0) = limx→x0

1xm− 1

xm0

x−x0reduzimos ao mesmo denominador e

f ′(x0) = limx→x0xm

0 −xm

xmxm0 (x−x0)

= − 1xm

0limx→x0

xm−xm0

xm(x−x0), mas vimos

que xm−xm0

x−x0= xm−1 + x0xm−2 + · · ·+ xk

0 xm−k−1 + · · ·+ xm−10 , portanto

f ′(x0) = − 1xm

0limx→x0(xm−1+x0xm−2+ · · ·+xk

0 xm−k−1+ · · ·+xm−10 )∗ 1

xm

que é uma função contínua, daíf ′(x0) = −x−m

0 ∗m ∗ xm−10 ∗ x−m

0 = −mx−m−10 = nxn−1

0 .

Exemplo(x−3)′ = −3x−4, ou escrito de outro modo ( 1

x3 )′ = − 3

x4 .





ExemploDetermine a equação da reta tangente ao gráfico da funçãof (x) = 2

x no ponto de coordenadas (x , f (x)), para x = 13 . Solução:

f ′(x) = − 2x2 e f ′(1

3) = −2

( 13 )

2 o coeficiente angular a da retatangente, logo a = −18. Sendo r(x) = ax + b e r(1

3) = f (13) = 6,

pois o ponto é comum à reta e à função, temos 6 = −18 ∗ 13 + b e

b = 12. Assim r(x) = −18x + 12 é a equação da reta tangente aográfico de f no ponto (1

3 , 6).





Seja a função f (x) = 12x5 − 25x3 + 15x − 5. Explique se próximoao ponto −1 a função f é crescente ou decrescente.solução: A derivada f ′(−1) é o coeficiente angular da retatangente no ponto (−1, f (−1)); f ′(x) = 60x4 − 25x2 + 15, logof ′(−1) = 60− 25+ 15 = 70 > 0. Então a reta tangenter(x) = 70x + b é crescente, portanto, próximo a x = −1 a funçãof é crescente. Por exemplo, se f representa a posição de umapartícula em função do tempo, no instante t = −1 a velocidade dapartícula esta aumentando.





Na próxima aula, veremos que (xpq )′ = p

q xpq−1 com p, q ∈ Z, ou

seja (xα)′ = αxα−1 se α ∈ Q


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