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Bases MatemáticasTeorema do Confronto e Limites Laterais
Rodrigo Hausen
v. 2016-8-17 1/13
Definição de limite
Dados uma função real f ∶ R→ R e números reais a e L, dizemosque
limx→a
f (x) = L,
se para todo número real ε > 0, existe algum número real δ > 0 talque a implicação abaixo é válida
0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
Dois limites fundamentais:Se c é constante, lim
x→ac = c
limx→a
x = x
v. 2016-8-17 2/13
Regras algébricas dos limites
Teorema. Sejam f ,g funções tais que limx→a
f (x) = L elimx→a
f (x) = M. Então:
● limx→a
(f (x) + g(x)) = L +M
● limx→a
(f (x) ⋅ g(x)) = L ⋅M
● Se M ≠ 0, limx→a
f (x)g(x)
=LM
● Se n é natural, limx→a
(f (x))n= Ln
● Se n é natural ímpar, limx→a
n√
f (x) = n√L
● Se n é natural par e M ≥ 0 ou f (x) ≥ 0 para todo x ,limx→a
n√
f (x) = n√L
● limx→a
∣f (x)∣ = ∣L∣
v. 2016-8-17 3/13
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Palpite: este limite é igual a 0.Podemos demonstrar usando a definição.
Tem um jeito mais fácil?
Veja que o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos um teorema para isto!
v. 2016-8-17 4/13
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0,
mas limx→0
sen(1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Palpite: este limite é igual a 0.Podemos demonstrar usando a definição.
Tem um jeito mais fácil?
Veja que o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos um teorema para isto!
v. 2016-8-17 4/13
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Palpite: este limite é igual a 0.Podemos demonstrar usando a definição.
Tem um jeito mais fácil?
Veja que o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos um teorema para isto!
v. 2016-8-17 4/13
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Palpite: este limite é igual a 0.Podemos demonstrar usando a definição.
Tem um jeito mais fácil?
Veja que o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos um teorema para isto!
v. 2016-8-17 4/13
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Palpite: este limite é igual a 0.Podemos demonstrar usando a definição.
Tem um jeito mais fácil?
Veja que o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos um teorema para isto!
v. 2016-8-17 4/13
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Palpite: este limite é igual a 0.Podemos demonstrar usando a definição.
Tem um jeito mais fácil?
Veja que o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos um teorema para isto!
v. 2016-8-17 4/13
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Palpite: este limite é igual a 0.Podemos demonstrar usando a definição.
Tem um jeito mais fácil?
Veja que o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2,
e que limx→0
x2= lim
x→0−x2
= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos um teorema para isto!
v. 2016-8-17 4/13
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Palpite: este limite é igual a 0.Podemos demonstrar usando a definição.
Tem um jeito mais fácil?
Veja que o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0.
Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos um teorema para isto!
v. 2016-8-17 4/13
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Palpite: este limite é igual a 0.Podemos demonstrar usando a definição.
Tem um jeito mais fácil?
Veja que o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos um teorema para isto!
v. 2016-8-17 4/13
Teorema do Confronto
Demonstre que limx→0
x2sen(1x) = 0.
Tentando pela regra do produto: limx→0
x2= 0, mas lim
x→0sen(
1x) = ???
Vamos fazer um gráfico para tentar estimar limx→0
x2sen (1/x).
Palpite: este limite é igual a 0.Podemos demonstrar usando a definição.
Tem um jeito mais fácil?
Veja que o gráfico de x2sen (1/x) está “ensanduichado” entre osgráficos de x2 e de −x2, e que lim
x→0x2
= limx→0
−x2= 0. Será que disto
podemos concluir que limx→0
x2sen(1x) = 0?
Felizmente, temos um teorema para isto!
v. 2016-8-17 4/13
Teorema do Confronto
Teorema do confronto ou Teorema do sanduíche ouTeorema dos dois policiais e um bêbado:
Sejam f ,g ,h funções tais que ambas as propriedades abaixo sãoválidas:
para todo x ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto quecontém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
Interpretação gráfica na lousa.
Deixaremos a demonstração para depois. Vamos aplicá-lo.
v. 2016-8-17 5/13
Teorema do Confronto
Teorema do confronto ou Teorema do sanduíche ouTeorema dos dois policiais e um bêbado:
Sejam f ,g ,h funções tais que ambas as propriedades abaixo sãoválidas para todo x ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto quecontém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
Interpretação gráfica na lousa.
Deixaremos a demonstração para depois. Vamos aplicá-lo.
v. 2016-8-17 5/13
Teorema do Confronto
Teorema do confronto ou Teorema do sanduíche ouTeorema dos dois policiais e um bêbado:
Sejam f ,g ,h funções tais que ambas as propriedades abaixo sãoválidas para todo x ∈ I ∖ {a} onde I é um intervalo aberto quecontém a:
(1) f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e (2) limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
ENTÃO, limx→a
g(x) = L.
Interpretação gráfica na lousa.
Deixaremos a demonstração para depois. Vamos aplicá-lo.
v. 2016-8-17 5/13
Teorema do Confronto: limites fundamentaisTeorema. lim
x→0sen (x) = 0
Demonstração. Veja que, para −π/2 < x < π/2, é verdade que−∣x ∣ < sen (x) < ∣x ∣ (argumento geométrico na lousa). Comolimx→0
∣x ∣ = 0 e limx→0
−∣x ∣ = 0, então limx→0
sen (x) = 0. ∎
Para casa:1) use o Teorema do Confronto para demonstrar quelimx→0
cos (x) = 1
2) usando a definição de limite, demonstre que se limx→0
f (x + a) = Lentão lim
x→af (x) = L.
3) demonstre que limx→a
sen (x) = sen (a), e limx→a
cos (x) = cos (a).Dica para problema 3: use o limite fundamentalrecém-demonstrado, identidades trigonométricas e as propriedadesdemonstradas em (1) e (2).
v. 2016-8-17 6/13
Teorema do Confronto: limites fundamentaisTeorema. lim
x→0sen (x) = 0
Demonstração. Veja que, para −π/2 < x < π/2, é verdade que−∣x ∣ < sen (x) < ∣x ∣ (argumento geométrico na lousa).
Comolimx→0
∣x ∣ = 0 e limx→0
−∣x ∣ = 0, então limx→0
sen (x) = 0. ∎
Para casa:1) use o Teorema do Confronto para demonstrar quelimx→0
cos (x) = 1
2) usando a definição de limite, demonstre que se limx→0
f (x + a) = Lentão lim
x→af (x) = L.
3) demonstre que limx→a
sen (x) = sen (a), e limx→a
cos (x) = cos (a).Dica para problema 3: use o limite fundamentalrecém-demonstrado, identidades trigonométricas e as propriedadesdemonstradas em (1) e (2).
v. 2016-8-17 6/13
Teorema do Confronto: limites fundamentaisTeorema. lim
x→0sen (x) = 0
Demonstração. Veja que, para −π/2 < x < π/2, é verdade que−∣x ∣ < sen (x) < ∣x ∣ (argumento geométrico na lousa). Comolimx→0
∣x ∣ = 0 e limx→0
−∣x ∣ = 0, então limx→0
sen (x) = 0. ∎
Para casa:1) use o Teorema do Confronto para demonstrar quelimx→0
cos (x) = 1
2) usando a definição de limite, demonstre que se limx→0
f (x + a) = Lentão lim
x→af (x) = L.
3) demonstre que limx→a
sen (x) = sen (a), e limx→a
cos (x) = cos (a).Dica para problema 3: use o limite fundamentalrecém-demonstrado, identidades trigonométricas e as propriedadesdemonstradas em (1) e (2).
v. 2016-8-17 6/13
Teorema do Confronto: limites fundamentaisTeorema. lim
x→0sen (x) = 0
Demonstração. Veja que, para −π/2 < x < π/2, é verdade que−∣x ∣ < sen (x) < ∣x ∣ (argumento geométrico na lousa). Comolimx→0
∣x ∣ = 0 e limx→0
−∣x ∣ = 0, então limx→0
sen (x) = 0. ∎
Para casa:1) use o Teorema do Confronto para demonstrar quelimx→0
cos (x) = 1
2) usando a definição de limite, demonstre que se limx→0
f (x + a) = Lentão lim
x→af (x) = L.
3) demonstre que limx→a
sen (x) = sen (a), e limx→a
cos (x) = cos (a).Dica para problema 3: use o limite fundamentalrecém-demonstrado, identidades trigonométricas e as propriedadesdemonstradas em (1) e (2).
v. 2016-8-17 6/13
Teorema do Confronto: limite fundamental
Teorema. limx→0
sen (x)x
= 1
Demonstração. Por comparação de áreas no círculotrigonométrico, veja que cos (x) < sen (x)
x< 1 (na lousa). Note
que limx→0
cos (x) = 1 e que limx→0
1 = 1, logo pelo Teorema do
Confronto temos que limx→0
sen (x)x
= 1. ∎
Agora, podemos adotar limx→0
sen (x)x
= 1 como um limitefundamental.
v. 2016-8-17 7/13
Teorema do Confronto: limite fundamental
Teorema. limx→0
sen (x)x
= 1
Demonstração. Por comparação de áreas no círculotrigonométrico, veja que cos (x) < sen (x)
x< 1 (na lousa).
Noteque lim
x→0cos (x) = 1 e que lim
x→01 = 1, logo pelo Teorema do
Confronto temos que limx→0
sen (x)x
= 1. ∎
Agora, podemos adotar limx→0
sen (x)x
= 1 como um limitefundamental.
v. 2016-8-17 7/13
Teorema do Confronto: limite fundamental
Teorema. limx→0
sen (x)x
= 1
Demonstração. Por comparação de áreas no círculotrigonométrico, veja que cos (x) < sen (x)
x< 1 (na lousa). Note
que limx→0
cos (x) = 1 e que limx→0
1 = 1, logo pelo Teorema do
Confronto temos que limx→0
sen (x)x
= 1. ∎
Agora, podemos adotar limx→0
sen (x)x
= 1 como um limitefundamental.
v. 2016-8-17 7/13
Teorema do Confronto: limite fundamental
Teorema. limx→0
sen (x)x
= 1
Demonstração. Por comparação de áreas no círculotrigonométrico, veja que cos (x) < sen (x)
x< 1 (na lousa). Note
que limx→0
cos (x) = 1 e que limx→0
1 = 1, logo pelo Teorema do
Confronto temos que limx→0
sen (x)x
= 1. ∎
Agora, podemos adotar limx→0
sen (x)x
= 1 como um limitefundamental.
v. 2016-8-17 7/13
Limites laterais
Já vimos, por exemplo, que limx→1
⌊x⌋ nãoexiste, pois a função piso não se aproximade um valor único à medida que x tendea um número inteiro.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Porém, note que se x tende a 1 pela esquerda (ou seja, parax < 1), o valor de ⌊x⌋ tende a 0. Por outro lado, se tende a 1 peladireita, o valor de ⌊x⌋ tende a 1.
● valor de f (x) para x tendendo a a pela esquerda: limx→a−
f (x)
● valor de f (x) para x tendendo a a pela direita: limx→a+
f (x)
v. 2016-8-17 8/13
Limites laterais
Já vimos, por exemplo, que limx→1
⌊x⌋ nãoexiste, pois a função piso não se aproximade um valor único à medida que x tendea um número inteiro.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Porém, note que se x tende a 1 pela esquerda (ou seja, parax < 1), o valor de ⌊x⌋ tende a 0.
Por outro lado, se tende a 1 peladireita, o valor de ⌊x⌋ tende a 1.
● valor de f (x) para x tendendo a a pela esquerda: limx→a−
f (x)
● valor de f (x) para x tendendo a a pela direita: limx→a+
f (x)
v. 2016-8-17 8/13
Limites laterais
Já vimos, por exemplo, que limx→1
⌊x⌋ nãoexiste, pois a função piso não se aproximade um valor único à medida que x tendea um número inteiro.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Porém, note que se x tende a 1 pela esquerda (ou seja, parax < 1), o valor de ⌊x⌋ tende a 0. Por outro lado, se tende a 1 peladireita, o valor de ⌊x⌋ tende a 1.
● valor de f (x) para x tendendo a a pela esquerda: limx→a−
f (x)
● valor de f (x) para x tendendo a a pela direita: limx→a+
f (x)
v. 2016-8-17 8/13
Limites laterais
Já vimos, por exemplo, que limx→1
⌊x⌋ nãoexiste, pois a função piso não se aproximade um valor único à medida que x tendea um número inteiro.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Porém, note que se x tende a 1 pela esquerda (ou seja, parax < 1), o valor de ⌊x⌋ tende a 0. Por outro lado, se tende a 1 peladireita, o valor de ⌊x⌋ tende a 1.
● valor de f (x) para x tendendo a a pela esquerda: limx→a−
f (x)
● valor de f (x) para x tendendo a a pela direita: limx→a+
f (x)
v. 2016-8-17 8/13
Limites laterais
Já vimos, por exemplo, que limx→1
⌊x⌋ nãoexiste, pois a função piso não se aproximade um valor único à medida que x tendea um número inteiro.
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Porém, note que se x tende a 1 pela esquerda (ou seja, parax < 1), o valor de ⌊x⌋ tende a 0. Por outro lado, se tende a 1 peladireita, o valor de ⌊x⌋ tende a 1.
● valor de f (x) para x tendendo a a pela esquerda: limx→a−
f (x)
● valor de f (x) para x tendendo a a pela direita: limx→a+
f (x)
v. 2016-8-17 8/13
Limites laterais: definição
Dados f função real e a,L números reais. . .
Limite pela esquerda: . . . dizemos que limx→a−
f (x) = L se, paratodo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < a − x < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x < a)
Limite pela direita: . . . dizemos que limx→a+
f (x) = L se, para todoε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < x − a < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x > a)
Para os limites laterais também valem as regras algébricas e oTeorema do Confronto.
v. 2016-8-17 9/13
Limites laterais: definição
Dados f função real e a,L números reais. . .
Limite pela esquerda: . . . dizemos que limx→a−
f (x) = L se, paratodo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < a − x < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x < a)
Limite pela direita: . . . dizemos que limx→a+
f (x) = L se, para todoε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < x − a < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x > a)
Para os limites laterais também valem as regras algébricas e oTeorema do Confronto.
v. 2016-8-17 9/13
Limites laterais: definição
Dados f função real e a,L números reais. . .
Limite pela esquerda: . . . dizemos que limx→a−
f (x) = L se, paratodo ε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < a − x < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x < a)
Limite pela direita: . . . dizemos que limx→a+
f (x) = L se, para todoε > 0, existe δ > 0 tal que 0 < x − a < δ ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
(note, pelo antecedente da implicação, que x > a)
Para os limites laterais também valem as regras algébricas e oTeorema do Confronto.
v. 2016-8-17 9/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
=
limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx=
limx→0+
1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 =
1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
=
limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
=
limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 =
− 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe!
Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Exemplo. Determine limx→0+
x∣x ∣
e limx→0−
x∣x ∣
.
Solução. Note que, para x > 0 temos que ∣x ∣ = x , logolim
x→0+x∣x ∣
= limx→0+
xx= lim
x→0+1 = 1.
Para x < 0 temos que ∣x ∣ = −x , logolim
x→0−x∣x ∣
= limx→0−
x−x
= limx→0−
−1 = − 1. ∎
Veja que limx→0
x∣x ∣
não existe! Aliás, podemos mostrar que. . .
Teorema. limx→a
f (x) = L ⇔ limx→a+
f (x) = limx→a−
f (x) = L.
Consequência: se limx→a+
f (x) ≠ limx→a−
f (x), então limx→a
f (x) não existe.
v. 2016-8-17 10/13
Limites laterais: exemplos
Soluções na lousa.
demonstre que limx→0
∣x ∣ = 0
determine se limx→4
f (x) existe, onde
f (x) = {
√
x − 4 se x > 48 − 2x se x < 4.
Se o limite existir, determine-o.
v. 2016-8-17 11/13
Para casa
Stewart: seções 2.3 (toda) e 2.4 (exceto limites infinitos).Exercícios: 1 a 5, 8 a 9, 13 a 17 da Lista 9.
v. 2016-8-17 12/13
Demonstração do Teorema do Confronto
Por hipótese, temos que limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L.
Ou seja, para todo ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣h(x) − L∣ < ε
Seja δ = min{δ1, δ2}. Assim, se 0 < ∣x − a∣ < δ então temos queL − ε < f (x) e h(x) < L + ε são verdade.
Como também temos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) por hipótese, então
L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε
toda vez que 0 < ∣x − a∣ < δ, ou seja,0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣g(x) − L∣ < ε. ∎
v. 2016-8-17 13/13
Demonstração do Teorema do Confronto
Por hipótese, temos que limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L.
Ou seja, para todo ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣h(x) − L∣ < ε
Seja δ = min{δ1, δ2}. Assim, se 0 < ∣x − a∣ < δ então temos queL − ε < f (x) e h(x) < L + ε são verdade.
Como também temos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) por hipótese, então
L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε
toda vez que 0 < ∣x − a∣ < δ, ou seja,0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣g(x) − L∣ < ε. ∎
v. 2016-8-17 13/13
Demonstração do Teorema do Confronto
Por hipótese, temos que limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L.
Ou seja, para todo ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ − ε < f (x) − L < ε
0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣h(x) − L∣ < ε
Seja δ = min{δ1, δ2}. Assim, se 0 < ∣x − a∣ < δ então temos queL − ε < f (x) e h(x) < L + ε são verdade.
Como também temos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) por hipótese, então
L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε
toda vez que 0 < ∣x − a∣ < δ, ou seja,0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣g(x) − L∣ < ε. ∎
v. 2016-8-17 13/13
Demonstração do Teorema do Confronto
Por hipótese, temos que limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L.
Ou seja, para todo ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < L + ε0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ ∣h(x) − L∣ < ε
Seja δ = min{δ1, δ2}. Assim, se 0 < ∣x − a∣ < δ então temos queL − ε < f (x) e h(x) < L + ε são verdade.
Como também temos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) por hipótese, então
L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε
toda vez que 0 < ∣x − a∣ < δ, ou seja,0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣g(x) − L∣ < ε. ∎
v. 2016-8-17 13/13
Demonstração do Teorema do Confronto
Por hipótese, temos que limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L.
Ou seja, para todo ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < L + ε0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ L − ε < h(x) < L + ε
Seja δ = min{δ1, δ2}. Assim, se 0 < ∣x − a∣ < δ então temos queL − ε < f (x) e h(x) < L + ε são verdade.
Como também temos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) por hipótese, então
L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε
toda vez que 0 < ∣x − a∣ < δ, ou seja,0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣g(x) − L∣ < ε. ∎
v. 2016-8-17 13/13
Demonstração do Teorema do Confronto
Por hipótese, temos que limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L.
Ou seja, para todo ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < L + ε0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ L − ε < h(x) < L + ε
Seja δ = min{δ1, δ2}. Assim, se 0 < ∣x − a∣ < δ então temos queL − ε < f (x) e h(x) < L + ε são verdade.
Como também temos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) por hipótese, então
L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε
toda vez que 0 < ∣x − a∣ < δ, ou seja,0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣g(x) − L∣ < ε. ∎
v. 2016-8-17 13/13
Demonstração do Teorema do Confronto
Por hipótese, temos que limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L.
Ou seja, para todo ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < L + ε0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ L − ε < h(x) < L + ε
Seja δ = min{δ1, δ2}. Assim, se 0 < ∣x − a∣ < δ então temos queL − ε < f (x) e h(x) < L + ε são verdade.
Como também temos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) por hipótese, então
L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε
toda vez que 0 < ∣x − a∣ < δ,
ou seja,0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣g(x) − L∣ < ε. ∎
v. 2016-8-17 13/13
Demonstração do Teorema do Confronto
Por hipótese, temos que limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L.
Ou seja, para todo ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
0 < ∣x − a∣ < δ1 ⇒ L − ε < f (x) < L + ε0 < ∣x − a∣ < δ2 ⇒ L − ε < h(x) < L + ε
Seja δ = min{δ1, δ2}. Assim, se 0 < ∣x − a∣ < δ então temos queL − ε < f (x) e h(x) < L + ε são verdade.
Como também temos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) por hipótese, então
L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε
toda vez que 0 < ∣x − a∣ < δ, ou seja,0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ ∣g(x) − L∣ < ε. ∎
v. 2016-8-17 13/13
