CONTORNANDO LIMITAÇÕES FUNDAMENTAIS DO CONTROLE ADAPTATIVO ... · o Controle Suave por Modos Deslizantes (SSC) e o Controle Adaptativo Binário Por Modelo de Referência (BMRAC)

CONTORNANDO LIMITAÇÕES FUNDAMENTAIS DO CONTROLE ADAPTATIVO L1 ATRAVÉS DOCONTROLADOR ADAPTATIVO BINÁRIO POR MODELO REFERÊNCIA ESTENDIDO

LIU HSU, ANDREI BATTISTEL, EDUARDO V.L. NUNES∗

∗Programa de Engenharia ElétricaCOPPE/Universidade Federal do Rio de Janeiro, C.P. 68504

21945-970-Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Email: [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract— Two techniques proposed in the 90’s are combined to circumvent the fundamental limitations of the L1 AdaptiveController (L1-AC). Both the Smooth Sliding Control (SSC), based on sliding mode control; and the Binary Model ReferenceAdaptive Control (BMRAC), a smooth transition between sliding mode and adaptive control; share common features with theL1-AC. A combination of both techniques, called extended BMRAC (eBMRAC) is shown to overcome fundamental limitations ofthe L1-AC, such as poor tracking performance to time-varying reference signals, the use of excessive large gains and the need toredesign the algorithm to different applications. The combination leads to a simpler output feedback controller.

Keywords— L1 Adaptive Control, Binary MRAC, Smooth Sliding Control

Resumo— O objetivo deste trabalho é apresentar uma combinação de duas técnicas de controle propostas na década de 90:o Controle Suave por Modos Deslizantes (SSC) e o Controle Adaptativo Binário Por Modelo de Referência (BMRAC). Estacombinação tem características em comum com o Controle Adaptativo L1 (L1-AC) recentemente proposto. Mostra-se que aestrutura básica do L1-AC é similar à do SSC, com exceção de que este usa modos deslizantes ao invés de adaptação. Por outrolado, o BMRAC provê uma transição suave entre os controles adaptativo e por modos deslizantes. Assim, uma combinação naturalentre ambas técnicas, chamada BMRAC estendido (eBMRAC) é utilizada para contornar limitações importantes do L1-AC, comoa inabilidade de rastrear referências variantes no tempo, a necessidade de ganhos de adaptação excessivamente altos e a dificuldadede estendê-lo para realimentação de saída. Ao contrário do L1-AC, o novo controlador de realimentação de saída obtido nãoprecisa ter sua arquitetura ajustada para diferentes tipos de sistemas.

Palavras-chave— Controle Adaptativo L1, MRAC Binário, Modos Deslizantes

1 Introdução

O recentemente proposto Controle Adaptativo L1 (L1-AC) tem sido objeto de discussão e atraído atençãoconsiderável na literatura nos últimos anos. Primeira-mente publicado em (Cao and Hovakimyan, 2006a)-(Cao and Hovakimyan, 2006b) e posteriormente con-solidado no livro (Hovakimyan and Cao, 2010), estealgoritmo afirma obter rápida adaptação com garan-tias de desempenho dos transitórios. Basicamente, ocontrolador consiste em uma modificação do ControleAdaptativo por Modelo de Referência (MRAC) base-ada em uma filtragem da entrada e lei de adaptaçãotipo projeção.

Embora possam ser encontrados na literatura di-versos trabalhos onde o L1-AC é aplicado com su-cesso, vide (Hovakimyan et al., 2011) e referên-cias, diversos outros trabalhos questionam a eficiên-cia da técnica, como (Ortega and Panteley, 2014a),(Boskovic and Mehra, 2013).

Críticas comuns ao L1-AC são o uso de ganhosde adaptação excessivamente altos; a incapacidade derastrear um sinal de referência variante no tempo; e aobtenção do um sinal de controle de um controlador PIde estado completo, sugerindo que a adaptação é des-necessária no algoritmo (Ortega and Panteley, 2013).

É interessante notar que a arquitetura do L1-AC deve ser modificada de acordo com a aplica-ção. Por exemplo, se o ganho de entrada da plantaé desconhecido, o algoritmo tem de ser modificadopara uma arquitetura significativamente mais com-plexa (Hovakimyan and Cao, 2010)[pp.35]. O mesmo

acontece para realimentação de saída.

A ideia de empregar alto ganho e filtragem de en-trada não é nova. O Controle Suave por Modos Des-lizantes (SSC, Smooth Sliding Control), proposto em(Hsu, 1997) como uma solução para evitar chatteringem sistemas de modos deslizantes, também é baseadoem filtragem e malha de predição, assim como o L1-AC. O alto ganho aparece naturalmente, uma vez queo sinal de controle é gerado por um relé de amplitudemodulada e então filtrado, provendo um sinal suave. Asimilaridade entre as duas técnicas, no entanto, não écompleta, uma vez que o SSC emprega explicitamenteum modelo de referência - o que não ocorre n L1-AC.Assim, é possível seguir uma referência variante notempo com erro residual.

O uso de projeção nas leis de adaptação, por ou-tro lado, está presente em diversos trabalhos na área decontrole adaptativo. Um destes é o MRAC binário (B-MRAC), proposto em (Hsu and Costa, 1994). Sabe-se que a projeção permite obter sistemas adaptativosmais robustos, permitindo resolver, por exemplo, pro-blemas de instabilidade causados por dinâmicas não-modeladas.

Neste contexto, este trabalho busca discutir comocontornar algumas das dificuldades vistas no L1-ACcombinando os esquemas do SSC e do BMRAC. Aideia central é usar a projeção e parametrização doBMRAC com a arquitetura de filtragem e predição doSSC. O algoritmo resultante é chamado de BMRACEstendido (eBMRAC) e este é comparado com o L1-AC usando exemplos simples. Simulações mostram

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

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que é possível obter uma melhor performance com oeBMRAC em diferentes situações.

Este trabalho é organizado como se segue: a se-ção 4 apresenta o Controle Suave por Modos Desli-zantes, a seção 3 apresenta o algoritmo B-MRAC. Acombinação de ambos é discutida na seção 6. A com-paração com o L1-AC é discutida na seção 5. Resulta-dos de simulação são mostrados na seção 7 e a seção 8contém considerações finais.

2 Equação do Erro no MRAC

Considera-se um sistema SISO linear invariante notempo dada por:

xp = Apxp + bpu , yp = hTp xp , (1)

onde xp∈Rn é o estado, u∈R é a entrada e yp∈R é asaída. O modelo entrada-saída correspondente é dadopor:

yp = Gp(s)u, Gp(s) = KpNp(s)

Dp(s),

onde Kp ∈ R é o ganho de alta frequência, Np(s) eDp(s) são polinômios mônicos.

Considera-se que os parâmetros da planta sãoincertos e são conhecidos apenas limitantes finitos.Assume-se que as hipóteses usuais do MRAC se apli-cam:

A1) Gp(s) é de fase mínima.

A2) A planta é controlável e observável.

A3) A ordem da planta (n) é conhecida.

A4) O grau relativo da planta n∗ é conhecido.

A5) O sinal de Kp é conhecido e assumido positivosem perda de generalidade.

O sinal de referência ym é gerado pelo seguintemodelo de referência:

ym = M(s)r (2)

onde M(s) é estável e tem grau relativo n∗. O ob-jetivo é obter uma lei de controle u tal que o erro desaída e0 := yp− ym tenda assintoticamente para zero,para condições iniciais arbitrárias e sinais de referên-cia contínuos por partes e uniformemente limitadosr(t).

Quando a planta é conhecida, uma lei de controleque obtém o casamento entre a função de transferên-cia em malha fechada e M(s) é dada por u∗ = θ∗Tω,onde o vetor de parâmetros é escrito como θ∗ =[θ∗T1 θ∗T2 θ∗3 θ

∗4

]T, com θ∗1 , θ

∗2 ∈Rn−1, θ∗3 , θ∗4 ∈R e o

vetor regressor ω = [ωTu ωTy yp r]

T ∈ R2n é obtido defiltros de entrada-saída dados na forma das equaçõesde estado abaixo:

ωu = Λωu + gu, ωy = Λωy + gyp, (3)

onde Λ ∈ Rn−1×n−1 é Hurwitz e g ∈ Rn−1 é esco-lhido tal que o par (Λ, g) é controlável. A condiçãode casamento requer que θ∗4 = Km/Kp, conforme(Ioannou and Sun, 1996), e para n = 1 os filtros deentrada-saída não são necessários.

Define-se o vetor de estados X = [xTp , ωTu , ω

Ty ]T

cuja dinâmica é descrita por:

X = A0X + b0u, yp = hTc X (4)

Assim, somando e subtraindo b0θ∗Tω em (4) e no-

tando que existem matrizes Ω1 and Ω2 tal que ω =Ω1X+Ω2r, tem-se

X = AcX + k∗bc[θ∗4r + u− u∗], yp = hTc X,

ondeAc=A0+b0θ∗TΩ1, bc=θ∗4b0 e k∗ = 1/θ∗4 . Uma

vez que (Ac, bc, hTc ) é uma realização não mínima de

M(s) O modelo de referência pode ser descrito por:

Xm = AcXm + k∗bc[θ∗4r] ym = hTc Xm

Assim, a dinâmica do estado do erro (xe :=X−Xm)é dada por:

xe = Ac xe + k∗bc [u− u∗], e0 = hTc xe, (5)

ou na forma entrada-saída (vide (Ioannou and Sun,1996, section 9.3.3)):

e0 = k∗M(s) [u− u∗] (6)

3 Controle Adaptativo Binário por Modelo deReferência (BMRAC)

O MRAC Binário para plantas de grau relativo arbitrá-rio foi proposto em (Hsu and Costa, 1994) e consisteem um MRAC com alto ganho e lei de adaptação dotipo projeção. O sistema resultante apresenta um me-lhor desempenho transitório e robustez a dinâmica nãomodelada em comparação a controladores adaptativosconvencionais.

Uma vez que o vetor de parâmetros não é conhe-cido, a lei de controle utiliza um estimado θ do parâ-metro ideal θ∗. O sinal de controle é então dado por:

u(t) = θT (t)ω(t) (7)

Onde θ é obtido por uma lei de adaptação com proje-ção:

θ(t) = −σθ − γe0ω (8)

com

σ =

0 , se ‖θ‖ < Mθ ou σeq < 0

σeq , se ‖θ‖ ≥Mθ e σeq ≥ 0(9)

onde

σeq =−γe0θTω||θ||2

(10)

O esquemático do BMRAC é visto na Fig. 1.


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Figura 1: diagrama de blocos do BMRAC

4 Controle Suave por Modos Deslizantes (SSC)

O Controle Suave por Modos Deslizantes foi propostoem (Hsu, 1997) como uma maneira de evitar chatte-ring em sistemas de estrutura variável. A arquiteturado L1-AC é bastante similar à do SSC, à exceção de al-guns pontos importantes: o L1-AC i) não emprega ummodelo de referência explicitamente; ii) utiliza adap-tação do tipo projeção ao invés de controle chaveado;iii) necessita de realimentação de estados e conheci-mento do ganho de entrada; e iv) é incapaz de seguirum sinal de referência variante no tempo com erroaceitável como será visto na Seção 6.

Neste trabalho, aborda-se o caso n∗ = 1 por sim-plicidade, uma vez que apenas pequenas modificaçõessão necessárias para obter a extensão para o caso degrau relativo arbitrário, conforme (Hsu, 1997).

Figura 2: diagrama de blocos do SSC

4.1 O caso n∗ = 1

O SSC baseia-se no paradigma do MRAC, de modoque as equações do erro são dadas por (5)-(6). O SSCemprega uma entrada filtrada e uma malha de predi-ção, tal como no L1-AC. A lei de controle suave éobtida por meio de uma filtragem com constante detempo τ suficientemente pequena, tal que o controle

u é substituído por uav0 , uma aproximação do controleequivalente (u0)eq . A lei de controle é:

u = unom − uav0 ; uav0 = (1/Fav(τs))u0 (11)u0 = f(t)sign(ε0) (12)

onde ε0 é um erro de predição de saída associado coma malha de predição

ε0 = e0 − e0; e0 = knomM [u0 − uav0 ]; (13)

uma vez que e0 pode ser interpretado como um erro depredição de saída considerando knom e u0 como esti-mativas de k∗ e unom − u∗, respectivamente. Com asestimativas corretas, a predição seria exata, conformea Eq.(7). A função de modulação f(t) é escolhida demaneira que f(t) ≥ |u∗(t)− unom(t)| ;∀t. A arqui-tetura do SSC é vista na Fig. 2

5 Limitações do L1-AC

A formulação do L1-AC considera a planta como

x(t) = Ax(t) + b(u(t) + θTx(t)), y(t) = cTx(t);(14)

onde A ∈ IRn×n, b, c ∈ IRn são conhecidos(Hovakimyan and Cao, 2010)(pp.18). A estrutura decontrole utilizada é

u(t) = um(t) + uad(t), um(t) = −kTmx(t) (15)

onde km ∈ IRN é tal que Am , A − bkTm é Hurwitz,enquanto uad(t) corresponde à parte adaptativa, a serdefinida a seguir. Com a realimentação estática, o sis-tema com malha fechada (parcialmente) é dado por.

x(t) = Amx(t) + b(θTx(t) +uad(T )), y = cTx(t)(16)

Utiliza-se o seguinte preditor de estado

˙x(t) = Amx(t) + b(θTx(t) +uad(T )), y = cT x(t)(17)

onde x(t) ∈ IRn é o estado do preditor θ(t) ∈ IRneé a estimativa do parâmetro θ, obtida por uma lei deadaptação com projeção.

˙θ = γProj(θ(t),−xT (t)Pbx(t)), θ(0) = θ0 ∈ Θ;

(18)o erro de predição é definido como x(t) , x(t)−x(t),γ ∈ IR+ é o ganho de adaptação, P = PT é a soluçãoda equação de Lyapunov ATmP + PAm = −Q paraQ = QT > 0 simétrica e arbitrária. A projeção erestrita ao conjunto Θ. O sinal de controle adaptativoé dado no domínio da frequência como

uad(s) = −C(s)(η(s)− kgr(s)) (19)

onde r(s) e η(s) são as transformadas de Laplace der(t) e η(t) = θT (t)x(t), respectivamente. O ganhode entrada kg , −1/(cTA−1m b) é suposto conhecido eC(s) é um filtro estável. Tais equações são ilsutradasno diagrama de blocos da Fig. 3. É interessante notar


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Figura 3: Arquitetura do L1-AC

que a arquitetura do L1-AC deve ser modificada paraser aplicada a sistemas diferentes. Por exemplo, se osestados não são disponíveis, o algoritmo mostrado nãopode ser empregado. De maneira similar, se o ganhode entrada é desconhecido a arquitetura de controledeve ser redefinida. Além disso, desvantagens do L1-AC incluem a incapacidade de rastrear uma referênciavariante no tempo e a não obtenção de convergênciaparamétrica.

Em (Ortega and Panteley, 2014a) e (Ortega andPanteley, 2014b), mostra-se que o sinal de controle ge-rado pelo L1-AC é equivalente ao de um controladorPI de estado completo, sugerindo que a adaptação édesnecessária neste contexto.

Tal constatação pode ser ilustrada utilizando umfiltro de primeira ordem para o L1-AC, embora tam-bém seja válido para filtros quaisquer, de acordo com(Ortega and Panteley, 2013). Note que a entrada fil-trada pode ser escrita como

u = −k(u− θTx) (20)

o sinal de controle gerado por (20) coincide com asaída de um controlador PI LTI com perturbação

v = kb†Amx− µkθTx (21)u = v − kb†x (22)

onde b† é a pseudo-inversa de b, dada por b† =(bT b)−1bT . A partir daí pode-se concluir que se o erroparamétrico converge para zero, o controle obtido con-verge para um controlador LTI que poderia ser obtidosem a necessidade de adaptação.

Cabe também notar que a análise do L1-ACnão garante erro zero de rastreamento para sinais dereferência variantes no tempo, como mostrado em(Hovakimyan and Cao, 2010). O mesmo se aplica aoerro paramétrico, tal que apenas o erro de predição éuniformemente limitado.

Note que este controlador requer medição de to-dos os estados e o conhecimento do ganho de entrada,o que é bastante restritivo na prática. Embora a teo-ria do L1-AC permita estender a ideia para contornareste tipo de problema, convém notar que isto é obtidomediante mudanças na arquitetura de controle.

O controlador proposto permite contornar estasdificuldades, uma vez que não requer conhecimento doganho de entrada, permite rastrear com erro residualum sinal de referência variante no tempo e utiliza rea-

limentação de saída. Tais resultados são obtidos sem anecessidade de modificar o esquema de controle.

6 Combinação do SSC com o BMRAC

A ideia central deste trabalho é discutir um controla-dor que utiliza a arquitetura do SSC e a adaptação doBMRAC . Para tal, o relé do SSC é substituído poruma lei de adaptação com projeção utilizando reali-mentação de saída e a parametrização convencional doMRAC. Este esquema é visto na Fig. 4.

Considera-se as equações do erro do MRAC (5)-(6). Assim como o SSC, o eBMRAC emprega um si-nal de controle filtrado

u = C(s)[u0]; u0 = θTω (23)

onde θ é um parâmetro adaptativo. Por simplicidade,o ganho de alta frequência, Kp é assumido conhecido.O caso onde apenas sign(Kp) é conhecido pode sertratado utilizando um desenvolvimento similar a (Hsu,1997).

e0 = k∗M(s)[u− u0], ε0 = e0 − e0 (24)

A lei de adaptação com projeção é

θ(t) = −σθ − γε0ω (25)

σ =

0 , se ‖θ‖ < Mθ ou σeq < 0

σeq , se ‖θ‖ ≥Mθ e σeq ≥ 0(26)

σeq =−γε0θTω||θ||2

(27)

As equações do eBMRAC são e = yp − ym,Eq. (23)–(27) com ω definido na seção 2. O diagramade blocos pode ser visto na Fig. 4. A dinâmica do erro

Figura 4: Diagrama de blocos do eBMRAC

predito e0 pode ser escrita como

˙xe = Ac xe + k∗bc [u− u0], e0 = hTc xe, (28)

o que permite obter a dinâmica do estado para o errode predição

xε = Ac xε+k∗bc [u0−u∗], ε0 = hTc xε, (29)


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ε0 = k∗M(s)[u0 − u∗]; (30)

Note que o erro de predição não depende da entradafiltrada

As seguintes propriedades são obtidas pelo uso dalei de adaptação com projeção:

Teorema 1 Considere o sistema do erro descrito por(5)-(6) e os erros auxiliares (24),(29). O sinal decontrole é dado por (7) com lei de adaptação (25)–(27). Assume-se que as hipóteses (A1)-(A4) são váli-das, ||θ(0)|| ≤ Mθ e Kp é conhecido. Se τ é suficien-temente pequeno, tem-se

i) ||θ|| ≤Mθ,∀t ≥ 0;

ii) ||xε(t)||2 ≤ c1e−λ1t ||xε(0)||2 + O(γ−1),∀t ≥ 0

para constantes positivas c1 and λ1;

iii) O erro de predição ε0 tende assintoticamente azero;

iv) e0 tende exponencialmente a um resíduo de or-dem τ .

O caso mais geral, quando apenas sign(Kp) é conhe-cido e há presença de dinâmicas não modeladas (in-cluindo atrasos), pode ser considerado seguindo o de-senvolvimento apresentado em (Hsu, 1997)

7 Resultados de Simulação

7.1 Exemplo 1

A fim de comparar o controlador proposto com o L1-AC, utiliza-se inicialmente uma planta simples de pri-meira ordem. Considera-se a seguinte planta, preditorde estado e filtro:

x = 3x+ u+ θx; ˙x = −2x+ u; C(s) =c

s+ c(31)

Deseja-se seguir uma referência senoidal, dada porr(t) = 10 sin(0.5t). Utiliza-se alto ganho, conformesugerido em (Hovakimyan and Cao, 2010). Nestecaso, Γ = 104 e c = 160. Assume-se que parâme-tro desconhecido pertence ao conjunto θ = [−10, 10].Para θ = −5 o resultado é visto na Fig. 5. Note que asaída não segue a referência. A mesma planta, modelode referência e filtro são usados para o eBMRAC, istoé

G(s) =1

s− 3− θ; M(s) =

1

s+ 1; Fav =

1

τs+ 1(32)

Parâmetros de projeto são escolhidos como γ = 10;Mθ = 10 e τ = 0.02. O resultado é mostrado na Fig. 6e pode-se notar um bom desempenho de rastreamento.

Figura 5: desempenho do L1-AC para o Exemplo 1

Figura 6: desempenho do eBMRAC para o Exemplo 1


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7.2 Exemplo 2

7.2.1 L1-AC:

Considera-se agora o sistema de segunda ordem apre-sentado em (Cao and Hovakimyan, 2006a; Cao andHovakimyan, 2006b), incluindo o parâmetro desco-nhecido θ da Eq. (14), isto é:[

x1x2

]=

[0 1−1 −1.4

]+

[01

]u; y = [1 0]

[x1x2

](33)

O sinal de referência é r(t) = 100cos(0.2t) e o fil-tro escolhido é C(s) = 160/(s + 160). O ganho deadaptação é Γ = 104 e assume-se que θ pertence aoconjunto θi = [−10, 10], i = 1, 2.

Note que a função de transferência desta plantatem grau relativo n∗ = 2. Porém, tratando-se de reali-mentação de saída, é possível obter uma saída de graurelativo n∗ = 1. Os resultados da Fig. 7 reproduzemos resultados de (Cao and Hovakimyan, 2006b), ondeé possível notar um mau desempenho de rastreamentoe comportamento oscilatório nos parâmetros.

As limitações do L1-AC ficam mais evidentes emdois outros casos: i) aumentando-se a frequência, odesempenho é bastante deteriorado, conforme visto naFig. 8 quando o sinal é r(t) = 100cos(t); e ii) se oganho de entrada é desconhecido. Neste caso, a arqui-tetura do L1-AC deve ser modificada, o que torna oalgoritmo mais restritivo. A Fig. 8 mostra que o L1-AC sequer segue um degrau unitário nesta condição.

Figura 7: L1-AC: Exemplo 2 com r(t)=100cos(0.2t)

7.2.2 eBMRAC:

A mesma planta da Eq. (33) é utilizada assumindoque há conhecimento prévio suficiente dos estados dosistema para a obtenção de uma saída de grau rela-tivo n∗ = 1. Considerando que ambos estados sãomensuráveis, uma saída de grau relativo unitário é ob-tida combinando os estados de maneira que a saída éyp = Pbpxp.

Cabe salientar que este procedimento é adotadoapenas para fins de comparação, uma vez que o L1-AC utiliza realimentação de estado. Embora a ver-são mais geral do eBMRAC permite tratar sistemas

Figura 8: L1-AC: Exemplo 2 com r(t) = 100cos(t)

Figura 9: Resposta ao degrau do L1-AC quando o ga-nho de entrada é desconhecido no Exemplo 2


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de grau relativo superior, este trabalho trata de siste-mas com grau relativo unitário a fim de prover umacomparação mais simples e ilustrativa com o L1-AC.

O filtro é projetado com τ = 0.02, e os filtros deentrada-saída são Λ(s) = 1/(s + 1). Os parâmetrosda adaptação com projeção são γ = 10 e Mθ = 10.

Conforme se vê nas Figs. 10, um bom desem-penho de rastreamento é obtido com erro residual.Quando a frequência é aumentada, o resultado é si-milar, visto na Fig. 11. Erro de rastreamento nulo éobtido também quando kp é desconhecido. Quandoknom = 1.2, o resultado é visto na Fig. 12. Noteque não é necessária a utilização de ganhos ex-cessivamente altos e que o erro pode ser reduzidodiminuindo-se τ .

Figura 10: eBMRAC: Exemplo 2 com r(t) =100cos(0.2t)

Figura 11: eBMRAC: Exemplo 2 com r(t) =100cos(t)

Cabe frisar que o eBMRAC mantém a caracterís-tica de robustez do SSC a dinâmicas não modeladas,como atrasos e dinâmicas de fase não-mínima.

8 Conclusão

Este trabalho apresenta a combinação de duas es-tratégias de controle, o Smooth Sliding Control e o

Figura 12: resposta ao degrau do eBMRAC quandoKp é desconhecido no Exemplo 2

MRAC Binário. O resultado é um controlador adap-tativo capaz de contornar as limitações fundamentaisdo L1-AC, como o uso de ganho de adaptação exces-sivamente alto e o mau desempenho de rastreamento.Ainda, ao contrário do L1-AC, o novo controlador ésimples e sua arquitetura não precisa ser modificadapara aplicação em problemas de diferentes complexi-dades.

9 Prova do Teorema 1

Prova: A propriedade (i) é obtida considerando a seguintecandidata a função de Lyapunov: 2Vθ = θT θ. A derivada é:

V = (σeq−σ) ||θ||2=(σeq−σ)V/2 (34)

de (9) tem-se que (σeq−σ) ≤ 0 para ||θ|| ≥ Mθ , tal que||θ||≤Mθ é positivamente invariante e θT θ é uniformementelimitado.

A propriedade (ii) is obtida através da seguinte candi-data a função de Lyapunov: V = xTε Pxε +

1γθT θ. A deri-

vada é:

V = −xTε Qxε −2σ

γθT θ (35)

Uma vez que ||θ|| é uniformemente limitada V ≤ xTε Pxε +O(γ−1) A partir do qual é possível estabelecer que V ≤−λ1

[V −O(γ−1)

]onde λ1 = λmin(Q) λmax(P ), com

λmin(Q) e λmax(P ) sendo os autovalores mínimo e má-ximo de Q e P , respectivamente. A prova de (ii) é entãoestabelecida através de um lema de comparação.

Seguindo os mesmos argumentos de (Ioannou andSun, 1996)(pp. 205), conclui-se que ε0 → 0. Assim,visto que ε0 = k∗M(s)[u0 − u∗], é possível estabelcerque u0 → u∗. Consequentemente, para o erro de rastre-

amento: e0 = k∗M(s)

[u∗

τs+ 1− u∗

]. O que equivale a

e0 = k∗M(s)

[−τsτs+ 1

]u∗. Seguindo passos similares aos

da prova do Teorema 2 em (Hsu, 1997), pode-se mostrar queω é limitado e assim u∗ também é limitado. Como M(s) é

de fase mínima, segue-se que∣∣∣∣∣∣∣∣k∗M −τs

τs+ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ τK1. as-

sim ||e0|| ≤ τK + c2e−λ2t para constantes positivas c2 and

λ2


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