CONTROL DE UN SISTEMA NO LINEAL CON RETRASO …

CONTROL DE UN SISTEMA NO LINEAL CON RETRASOVENTILADOR-PLACA

Marıa Macarena Sevilla, David Barcena, Inaki Dıaz, Emilio Sanchez, Jorge Juan GilTECNUN - Escuela de Ingenieros, Universidad de Navarra

Paseo Manuel Lardizabal 13, 20018 San Sebastian (Guipuzcoa)[email protected]

Resumen

En este artıculo se presenta un problema practicode control de un sistema ventilador-placa, es decir,un sistema compuesto por un ventilador que pro-voca el giro controlado de una placa de aluminio.Se describe el metodo de diseno de un controladorPI, en base a un modelo sencillo de la planta. Laobtencion de dicho modelo es uno de los objetivosdel presente trabajo, ya que el sistema presentano linealidades y retrasos variables. El comporta-miento experimental del sistema controlado sirvepara validar el modelo de la planta.

Palabras clave: Ventilador-placa, control, auto-matizacion, Arduino

1. INTRODUCCION

La ingenierıa de control, como disciplina univer-sitaria, presenta importantes retos docentes. Porun lado, brinda al ingeniero herramientas que lepermiten controlar casi cualquier sistema fısico.Esto requiere un elevado nivel de abstraccion ma-tematica (los modelos del sistema) que puede ha-cer perder de vista la dimension practica de laasignatura. Por otro lado, al aplicar los conoci-mientos teoricos en casos reales, puede ocurrir locontrario: perder de vista la generalidad de losmetodos aprendidos.

Para conjugar estos desafıos, la Escuela de Inge-nieros de la Universidad de Navarra (TECNUN)posee en su laboratorio de robotica varios siste-mas de control que permiten a los alumnos traba-jar tanto en la obtencion de modelos como en eldiseno de controladores. El presente artıculo des-cribe el problema practico de control de uno deestos puestos conocido como ventilador-placa. Es-te es un ejemplo de sistema de control habitual enambitos didacticos [4, 11].

Junto al reto que supone el diseno practico de uncontrolador, en el laboratorio de robotica de TEC-NUN se estan reemplazando muchos controladoresanalogicos antiguos por tarjetas comerciales de ba-jo coste. Ası, el presente trabajo usara una tarjetaArduino que, ademas de bajo precio, se programa

de forma sencilla en un lenguaje basado en C.

En los siguientes apartados se ofrece primero unadescripcion del sistema fısico que se desea contro-lar. A continuacion se presentan las respuestas delsistema a varias entradas escalon. Con dicha infor-macion, se propone un primer modelo lineal conretraso para el sistema y se ajusta un controladorPI para dicho modelo. Usando este controlador, seanaliza la respuesta experimental del sistema con-trolado y se propone una correccion del modelo dela planta incluyendo cierta no linealidad. Final-mente, el controlador PI ajustado para el nuevomodelo se valida experimentalmente.

2. DESCRIPCION DELSISTEMA

El sistema fısico que se desea controlar se puededividir en dos partes: el conjunto ventilador-placay el hardware electronico, compuesto a su vez prin-cipalmente por la tarjeta Arduino.

2.1. VENTILADOR-PLACA

La Fig. 1 muestra el conjunto ventilador-placa. Lahelice del ventilador se mueve por medio de unmotor de corriente continua de 12 V. El aire im-pulsado por la helice produce el giro de la placade aluminio que pivota sobre su eje superior.

Figura 1: Conjunto ventilador-placa

Actas de las XXXVI Jornadas de Automática, 2 - 4 de septiembre de 2015. Bilbao ISBN 978-84-15914-12-9 © 2015 Comité Español de Automática de la IFAC (CEA-IFAC) 1042

La entrada del sistema es la tension aplicada almotor DC del ventilador. La salida del sistema esel angulo girado por la placa de aluminio. Dichoangulo se puede medir gracias a un potenciome-tro (Vishay ECO78ES de 5 kΩ) colocado en el ejede giro de la placa. El objetivo del proyecto escontrolar la tension de entrada para obtener unadeterminada inclinacion en la placa.

2.2. MODULO DE CONTROL

Como se ha mencionado anteriormente, la tarjetacontroladora de bajo coste pertenece a la familiaArduino. Concretamente la que se utiliza en esteproyecto es la tarjeta Arduino Mega 2560 [1]. Estatarjeta se ha preferido respecto a otras de la mis-ma familia porque es posible configurar hasta seisentradas digitales para generar interrupciones. Es-to posibilita la lectura simultanea de tres encodersopticos, que —si bien no es una necesidad del pre-sente proyecto— la convierte en una plataformaversatil para otros sistemas de control del labora-torio.

A la tarjeta controladora se le ha acoplado un am-plificador para alimentar motores de corriente con-tinua. En concreto se ha empleado el Pololu dualVNH5019 que incorpora dos puentes H capaces dedar 12 A en continuo (30 A de pico) por canal.

El conjunto de hardware electronico se comple-ta con una pequena fuente conmutada AC/DC de60 W modelo TOP 60112. Todos los componen-tes se disponen dentro de una pequena carcasafabricada con tecnicas de prototipado rapido poralumnos de TECNUN. En [7] se describe de formamas extensa esta controladora (Fig. 2).

Figura 2: Hardware electronico de control

Gracias a esta controladora es posible alimentar elmotor DC del ventilador. El duty-cycle de la senalde pulsos que gobierna el puente H del amplifica-dor se controla con un registro cuyo valor va desde0 a 400 (para duty-cycle de 0 % a 100 %). Comoel amplificador se alimenta a 12 V, los valores deactuacion de 0 a 400 se convierten en tensiones de0 a 12 V en el motor del ventilador.

3. RESPUESTA DEL SISTEMAEN LAZO ABIERTO

En este apartado se analiza la respuesta del sis-tema en lazo abierto ante entradas constantes detension (entradas escalon). La Fig. 3 muestra elangulo girado por la placa ante tensiones de entra-da de 4.5, 6 y 8.5 V (que corresponden a valoresde 150, 200 y 250 en el registro que modifica elduty-cycle del puente H). El periodo de muestreodel programa que ejecuta el experimento en lazoabierto es de 1 ms. Este periodo de muestreo esmucho mas rapido que la dinamica del sistema.

Tiempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Áng

ulo

(gra

dos)

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

8.5V

6V

4.5V

Figura 3: Respuesta experimental del sistema enlazo abierto

Las respuestas del sistema presentan sobreimpulsocon respecto al regimen permanente. El maximode la respuesta no se produce en el mismo instantede tiempo, sino que se produce antes cuanto ma-yor es la actuacion. Esto es logico ya que cuantomayor es la actuacion mas rapido es el flujo de ai-re del ventilador hacia la placa. Esto tambien seaprecia en el tiempo muerto de las respuestas, quees mayor cuanto menor es la actuacion. Por tanto,el sistema presenta un retraso temporal variable.

Respecto a los valores de regimen permanente, esimposible obtener una relacion lineal entre ten-sion aplicada y angulo final alcanzado. Aumentan-do indefinidamente la tension, el angulo final solose acercara asintoticamente a 90. Por tanto, laganancia estatica del sistema [6] depende de la ac-tuacion. Ademas, se ha comprobado que tensionesde entrada entre 0 y 2.55 V no consiguen mover laplaca (aunque el ventilador sı gire lentamente).

Identificados todos estos fenomenos, a saber, el re-traso temporal variable con la actuacion, la ganan-


cia estatica dependiente de la actuacion y la zonamuerta, parece difıcil proponer un modelo simplepara el conjunto ventilador-placa. Con el proposi-to de encontrar el modelo mas sencillo que captesuficientemente el comportamiento del sistema, enuna primera aproximacion se buscara un modelolineal de segundo orden con retraso temporal y,vistas sus limitaciones, se propondra otro modelono lineal de cuarto orden tambien con retraso.

4. MODELO LINEAL DE 2o

ORDEN CON RETRASO

Suponiendo que el sistema sea lineal, el modelomas sencillo que podrıa ajustarse al comporta-miento de la planta es una funcion de transferenciade segundo orden subamortiguado con retraso:

G(s) =a

s2 + bs+ ce−τs (1)

Donde hay cuatro parametros que ajustar: a, b, cy el retraso temporal τ .

El sistema de segundo orden subamortiguado pue-de captar el sobreimpulso del sistema (Fig. 3). Co-mo la planta no es lineal, se ajustara el modelopara la respuesta experimental a la actuacion in-termedia (la tension de 6 V), confiando en que lasdesviaciones del sistema respecto este punto inter-medio sean pequenas y que un controlador ajus-tado para el modelo de la planta con la actuacionintermedia sera robusto al cambio de la dinamicade la planta en todo el rango de actuacion.

Figura 4: Modelo SIMULINK del sistema lineal desegundo orden.

El ajuste del modelo con la respuesta experimen-tal se ha realizado con MATLAB [9] y SIMULINK[10]. En la Fig. 4 se muestra el modelo del sis-tema. Como se puede observar se van a obtenerlos parametros del modelo tomando como entradael valor 200 (registro equivalente a 6 V). De es-ta forma, las unidades de la ganancia estatica delmodelo son grados sexagesimales por unidad deregistro (no por voltio). Esto permitira luego ajus-tar los parametros del PI de forma que se puedanprogramar en C tomando el error en grados y laactuacion del PI directamente en valor del registroque impone el duty-cycle.

Para determinar el modelo se realiza un ajuste por

mınimos cuadrados [8]. Para tal fin, se ha progra-mado en MATLAB un proceso de optimizacion[3] cuya funcion objetivo a minimizar es la sumade las diferencias al cuadrado de la respuesta ex-perimental y el modelo durante los tres primerossegundos de la respuesta a la entrada escalon. Es-to requiere dar unos valores iniciales a los cuatroparametros del modelo (a, b, c y τ).

Tiempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Áng

ulo

(gra

dos)

-5

0

5

10

15

20

25

30

Respuesta experimental

Respuesta modelo

Figura 5: Respuesta experimental del sistema ydel modelo lineal de segundo orden.

La Fig. 5 muestra la respuesta experimental delsistema (con 6 V de entrada) y la del modelo linealde segundo orden con retraso que mejor se ajusta.La funcion de transferencia resultante es:

G(s) =6.9511

s2 + 7.583s+ 67.88e−0.39s (2)

La ganancia estatica de (2) vale 0.1024, por lo queactuaciones de 150, 200 y 250 alcanzarıan angulosde 15.4, 20.5 y 25.6. En el sistema real se obtu-vieron valores distintos (Fig. 3) por lo que quedapatente que el modelo es limitado.

5. AJUSTE DELCONTROLADOR PI CON ELMODELO LINEAL

Usando el modelo del apartado anterior, se descri-be ahora el ajuste de un controlador PI optimo pa-ra dicho modelo. El proceso de optimizacion tam-bien se realiza con MATLAB y SIMULINK. Larespuesta teorica del sistema controlado ante unaentrada constante de 20 se calcula con el modelode la Fig. 6. En el proceso de optimizacion solose modifican los parametros Kp y Ki del controla-dor PI (son los parametros de la forma paralela).Aunque el modelo SIMULINK utiliza un bloquePID completo, se impone que Kd = 0.


Figura 6: Modelo SIMULINK del sistema contro-lado.

Le eleccion de un controlador PI, en lugar de uncontrolador PID completo, esta motivada en par-te por la respuesta experimental observada en laFig. 3. La lectura de la senal del potenciometroque mide la inclinacion de la placa (por medio delconvertidor analogico/digital del Arduno) presen-ta un moderado pero perceptible ruido de cuanti-zacion. La parte derivativa de PID requiere derivaresta senal ruidosa, por lo que habrıa que introdu-cir y ajustar un filtro para dicha derivada. Como elobjetivo es que la placa alcance un angulo de aper-tura deseado (mas que asegurar una especificacionde regimen transitorio) se otorga mas importanciaa la parte integral y se prescinde de la parte deriva-tiva, resultando el controlador PI como la eleccionmas adecuada para nuestro problema de control.Ademas este tipo de controlador esta recomenda-do para sistemas con retardos [2].

En el dominio temporal, la actuacion del contro-lador PI es:

u(t) = Kpe(t) +Ki

∫ t

0

e(τ)dτ (3)

Donde u(t) es la salida del controlador con uni-dades valor del registro (de 0 a 400) y e(t) es lasenal del error (referencia menos salida controladaen grados sexagesimales). Kp y Ki son las cons-tantes proporcional e integral en forma paralela.

Para ajustar el controlador optimo, primero hayque establecer cual es el criterio o ındice que sepretende optimizar [5]. En este trabajo, los ındi-ces que se consideran son cuatro: el ındice IAE, elISE, el ITAE y el ITSE. Estos ındices se definencomo integrales extendidas hasta un tiempo t1 delerror al cuadrado o del valor absoluto del error,penalizado o no por la variable temporal:

ISE =

∫ t1

0

e2(τ)dτ (4)

IAE =

∫ t1

0

|e(τ)|dτ (5)

ITAE =

∫ t1

0

t|e(τ)|dτ (6)

ITSE =

∫ t1

0

te2(τ)dτ (7)

En la Fig. 7 se muestra la respuesta del sistemacontrolado con medio del PI optimo de acuerdocon los cuatro anteriores ındices. Tambien paralanzar este proceso de minimizacion en MATLABha sido necesario dar unos valores iniciales a Kp yKi. Para el tiempo t1 de los ındices se han usadolos 5 primeros segundos de la respuesta temporal.

Tiempo (s)0 1 2 3 4 5

Áng

ulo

(gra

dos)

0

5

10

15

20

25

ITAE

IAE

ISE

ITSE

Figura 7: Respuesta optima de distintos ındices dedesempeno para el modelo lineal.

De los cuatro posibles PI optimos, se elige imple-mentar el que sigue el criterio ITAE, que es el quemenos sobreimpulso genera en la respuesta con-trolada. Los parametros de dicho controlador semuestran en la Tabla 1.

Tabla 1: Parametros del PI (modelo lineal).Constante Valor

Kp 2.1315Ki 12.9241

El controlador PI optimo elegido se ha programa-do en C y se ha registrado la respuesta experimen-tal del sistema, tomando como entrada una refe-rencia tambien de 20. Comparando la respuestareal con la teorica, Fig. 8, se observa que el com-portamiento real del sistema dista mucho del com-portamiento teorico esperado. Esto puede debersea multiples causas, pero la mas razonable es supo-ner que el modelo lineal no capta bien la realidaddel sistema para actuaciones distintas de 6 V.

Es importante resaltar que, en la respuesta experi-mental del sistema controlado, la actuacion del PIsobre la planta (3) cambia a lo largo del tiempo.No es un valor 200 constante como en la respuestadel lazo abierto. El modelo de la planta no cap-ta con precision la respuesta de la planta a otras


Tiempo (s)0 1 2 3 4 5

Áng

ulo

(gra

dos)

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Respuesta téorica


Figura 8: Respuesta experimental y teorica del PIoptimo para el modelo lineal.

actuaciones que no sean 200. Por tanto, debemosmodificar el modelo de la planta y hacer que captemejor la realidad del sistema.

¿Que nuevos fenomenos se deben incluir en el mo-delo para captar mejor la realidad del sistema? Larespuesta no es evidente. Una opcion serıa intentarincluir en el modelo el retraso temporal variableen funcion de la actuacion. Sin embargo introduciresta no linealidad en el modelo no es sencillo.

Por otro lado, la actuacion u(t) durante los prime-ros instantes de tiempo, cuando la parte integralapenas tiene peso y la actuacion es practicamenteigual al valor de Kp por el valor de la referencia (elerror en t = 0 coincide con la referencia) esta pordebajo del umbral mınimo que hace mover la pla-ca. En otras palabras, el valor de la actuacion em-pieza en la zona muerta del sistema real. Por tanto,es la parte integral del PI la que, aumentando con-forme se va integrando el error, consigue “sacar”al sistema de esa zona muerta.

Este es quiza el motivo por el que la respuestaexperimental de la Fig. 8 tarde mas tiempo quela teorica en reaccionar y que el sobreimpulso seamayor (la actuacion integral lleva acumulado unaintegral del error mayor). Todas estas considera-ciones conducen en el siguiente apartado a modi-ficar el modelo lineal e introducir en dicho modelola zona muerta de la actuacion [12].

6. MODELO NO LINEAL DE 4o

ORDEN CON RETRASO

En este apartado se vuelve a ajustar un modelopara la planta que incluye la no linealidad descrita

en el apartado anterior (la zona muerta de la ac-tuacion) pero tambien introduce un mayor numerode polos en la funcion de transferencia, que ahorasera de orden cuatro. La razon de este aumento deorden se debe a que, en el ajuste realizado con elmodelo de segundo orden (Fig. 5) parece que hayoscilaciones amortiguadas del sistema todavıa nocaptadas por el modelo mas sencillo.

Figura 9: Modelo SIMULINK del sistema no linealde cuarto orden.

El nuevo modelo de SIMULINK que se utiliza parael proceso de optimizacion (Fig. 9) incluye un blo-que que define la zona muerta y otro de saturacion(valores mayores que 400 equivaldrıan a tensionesmayores de 12 V). El rango de la zona muerta(de 0 a 2.55 V) no es un parametro que entre enel ajuste del modelo. La funcion de transferenciaque consigue el mejor ajuste experimental es:

G(s) =2759.6 e−0.32s

(s2 + 8s+ 58.9)(s2 + 10.8s+ 268.2)(8)

Se puede comprobar en la funcion de transferencia(8) que dos de los polos se parecen mucho a los po-los del sistema de segundo orden anterior (2). Es-tos son los polos dominantes del sistema. Tambiense puede apreciar que los nuevos polos, algo me-nos amortiguados, no son despreciables respectode los dominantes. Resaltar tambien que el retra-so temporal del modelo ha cambiado ligeramente.

Tiempo (s)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Áng

ulo

(gra

dos)

-5

0

5

10

15

20

25

30


Respuesta modelo

Figura 10: Respuesta experimental del sistema ydel modelo no lineal de cuarto orden.


En la Fig. 10 se muestra la respuesta experimentaly la del modelo para la nueva funcion de transfe-rencia de cuarto orden.

La ganancia estatica de la funcion de transferencia(8) vale 0.1747, y entradas de 150, 200 y 250 (res-tando 85 que es la zona muerta) alcanzarıan angu-los de 11.4, 20.1 y 28.8. La placa alcanzo valoresparecidos (Fig. 3) por lo que este modelo se ajustamejor a la planta que el anterior.

7. AJUSTE DELCONTROLADOR PI CON ELMODELO NO LINEAL

Obtenido el nuevo modelo no lineal, en este apa-rado se repite la busqueda del controlador PI opti-mo, ya directamente minimizando el ındice ITAE.La respuesta teorica del sistema controlado se ob-tiene con el modelo SIMULINK mostrado en laFig. 11, donde todos los parametros son constan-tes (los del modelo no lineal) menos los valores Kp

y Ki del controlador.

Figura 11: Modelo del conjunto controlador-plantapara el sistema no lineal de cuarto orden.

Los parametros del nuevo controlador se presen-tan en la Tabla 2, mientras que la respuesta delsistema controlado ante una referencia constantede 20 se muestra en la Fig. 12.

Tiempo (s)0 1 2 3 4 5

Áng

ulo

(gra

dos)

-5

0

5

10

15

20

25

Figura 12: Respuesta teorica del controlador PIoptimo para el modelo no lineal.

Tabla 2: Parametros del PI (modelo no lineal).Constante Valor

Kp 1.6417Ki 8.4193

El controlador PI optimo se ha implementado ex-perimentalmente con el fin de registrar la respues-ta real del sistema. En la Fig. 13 se presentan tantola respuesta teorica como la real. Comparadas conel resultado anterior (Fig. 8) es evidente que ahorase aproximan mucho mejor ambas repuestas.

Tiempo (s)0 1 2 3 4 5

Áng

ulo

(gra

dos)

-5

0

5

10

15

20

25

Respuesta modelo


Figura 13: Respuesta experimental y teorica delPI optimo para el modelo no lineal.

Sin duda, queda margen de mejora en la caracte-rizacion del sistema. El modelo no lineal de cuar-to orden con retraso temporal constante todavıano responde perfectamente al comportamiento delsistema. Como futura lınea de investigacion sepodrıa intentar incluir en el modelo el retraso tem-poral variable con la actuacion. Sin embargo, ladiscrepancia entre la respuesta teorica y real quese observa en la Fig. 13 es suficientemente pequenacomo para dar por buenos tanto el modelo comoel controlador PI.

8. ANALISIS DE DESEMPENO

Una de las caracterısticas deseables para un con-trolador es que posea la capacidad de regular laplanta incluso ante pequenas variaciones en ladinamica del sistema. Esta caracterıstica se cono-ce como robustez. La dinamica del sistema que nosocupa, el ventilador-placa, es muy distinta depen-diendo de la actuacion o del angulo de inclinacionde la placa. En este apartado se pretende analizarcualitativamente como de robusto es el PI ajusta-do ante distintos angulos de referencia.


Tiempo (s)0 1 2 3 4 5 6 7

Áng

ulo

(gra

dos)

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Figura 14: Respuesta experimental del sistema ante diferentes referencias.

En la Fig. 14 se presenta la respuesta del sistemacontrolado por medio del PI optimo del apartadoanterior para un rango de referencia entre los 10 ylos 40 (en intervalos de 5). Evidentemente la res-puesta del sistema no es optima en todo el rangode referencias, pero el controlador consigue alcan-zar la referencia de forma relativamente rapida ycon un sobreimpulso limitado. Visto este compor-tamiento, no parece razonable implementar en elsistema un controlador adaptativo, aunque podrıaplantearse como futuro trabajo.

En las respuestas de la Fig. 14 queda de nuevopatente que el retraso temporal del sistema varıade forma sensible con la actuacion.

Otra caracterıstica interesante de los sistemas con-trolados es el rechazo a las perturbaciones, es de-cir, a agentes externos que modifiquen el compor-tamiento del sistema. Pata analizar cualitativa-mente la capacidad del PI propuesto al rechazo deperturbaciones, se ha programado dentro del codi-go C del Arduino una perturbacion de magnitud−1.5 V en la actuacion en el instante t = 3 s. Enla Fig. 15 se muestra la respuesta del sistema antedicha perturbacion, comparada con la respuestadel sistema sin perturbaciones. La referencia enlos dos casos se mantiene constante en 20. Trasla perturbacion el angulo de inclinacion de la placacae hasta los 14, pero en un tiempo relativamen-te pequeno el controlador compensa dicha caıda yvuelve a alcanzar la referencia.

9. CONCLUSIONES

En este artıculo se ha abordado el problema decontrol de un experimento de laboratorio tipo

Tiempo (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8

Áng

ulo

(gra

dos)

-5

0

5

10

15

20

25

Figura 15: Respuesta del sistema ante una pertur-bacion.

ventilador-placa. El sistema fısico es muy intere-sante desde el punto de vista de control por ladificultad que se ha encontrado a la hora de en-contrar un modelo adecuado de cara al ajuste deun controlador optimo.

El proceso de modelizacion se ha planteado en dosetapas, partiendo de un modelo lineal sencillo yacabando en un modelo no lineal un poco mascomplejo. El modelo final consiste en una funcionde transferencia de cuarto orden con retraso tem-poral constante y dos elementos no lineales: la sa-turacion de la actuacion ası como una zona muertapara la misma.

Aunque tanto el modelo como el controlador PIoptimo se han ajustado para un valor concreto deactuacion (6 V) o de referencia (20), el desem-


peno del controlador es bueno en todo el rangoposible de inclinaciones de la placa. Se concluyepor tanto que el controlador PI propuesto es ra-zonablemente robusto. Asimismo, se ha mostradoexperimentalmente la capacidad del mismo en elrechazo de perturbaciones.

Agradecimientos

Los alumnos y profesores autores de este traba-jo desean agradecer la colaboracion de TECNUN,institucion que ha aportado los medios necesariospara la realizacion de este proyecto.

Referencias

[1] Arduino Mega 2560, https://www.arduino.cc/en/Main/ArduinoBoardMega2560

[2] Bossanyi, E. A. (2000) “The design of clo-sed loop controllers for wind turbines”, WindEnergy, Vol. 3, No. 3, pp. 149-163.

[3] Coleman, T., Branch, M. H. y Grace, A.(1999) Optimization toolbox for use withMATLAB. User’s Guide, Version 2, TheMathworks, Inc.

[4] Chiang, H. K., Fang C. C. y Syu, R. W.(2014) “The sliding mode angle control of afan-plate system”, 11th IEEE InternationalConference on Control and Automation, Tai-chung, Taiwan, pp. 383-388.

[5] Dorf, R. C. y Bishop, R. H. (2005) Siste-mas de Control Moderno, 10a edicion, Pear-son Prentice-Hall.

[6] Gil, J. J. (2011) Tecnologıa de Sistemas y Au-tomatica, 1a edicion, Servicio de Publicacio-nes de la Universidad de Navarra.

[7] Gil, J. J., Dıaz, I., Justo, X. y Ciaurriz, P.(2014) “Controlador haptico educacional ba-sado en la plataforma Arduino”, XI Congresode Tecnologıa, Aprendizaje y Ensenanza de laElectronica, Bilbao, Espana, pp. 205-211.

[8] Martins, F. G. (2005) “Tuning PID contro-llers using the ITAE criterion”, InternationalJournal of Engineering Education, Vol. 21,No. 5, pp. 867-873.

[9] MATLAB R2015a, http://es.mathworks.com/products/matlab/

[10] MathWorks (2015) SIMULINK User’s Guide.

[11] Numsomran, A. y Tipsuwanporn, V. (2007)“The design of robust PID control for fanand plate process”, 9th IASTED Internatio-nal Conference on Control and Applications,Montreal, Canada, pp. 273-277.

[12] Ortega, M. G., Aracil, J., Gordillo, F. y Ru-bio, F. R. (2000) “Bifurcation analysis ofa feedback system with dead zone and sa-turation”, IEEE Control Systems Magazine,Vol. 20, No. 4, pp. 91-101.


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