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Controle Ótimo por Modos Deslizantes para SistemasMultivariáveis de Tempo Discreto
Igor B. Ferraço, Marco H. Terra, João P. Cerri
Depto de Engenharia Elétrica, EESC, USP - São Carlos,
13566-590, São Carlos, SP
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected].
30 de maio de 2011
Palavras-chave: Controle ótimo, método de mínimos quadrados, função penalidade, sistemaslineares.
Resumo: Este trabalho aborda o problema de controle ótimo por modos deslizantes para sistemasmultivariáveis de tempo discreto. Será proposta uma estrutura matricial alternativa baseada noproblema de mínimos quadrados ponderados e funções penalidade para solucionar este problema.
1 Introdução
Neste artigo será tratado o problema de controle ótimo por modos deslizantes para sistemasmultivariáveis de tempo discreto. Este tipo de controle é caracterizado pela capacidade robustade estabilizar sistemas lineares em tempo discreto através da minimização de um índice dedesempenho quadrático, ver [4] e [2].
Será proposto neste trabalho uma procedimento alternativo para encontrar a lei de controleótimo por modos deslizantes proposta em [4]. A nova abordagem desenvolvida baseia-se nacombinação do problema de mínimos quadrados ponderados e funções penalidade. A unificaçãodestas técnicas no tratamento de problemas de minimização de funcionais quadráticos com re-strições de igualdade linear tem permitido lidar de forma apropriada com problemas de controlerecursivos de diversas categorias de sistemas lineares, veja [1] para maiores detalhes.
A motivação para desenvolver esta nova abordagem é explorar futuramente o problema decontrole por modos deslizantes para sistemas multivariáveis sujeitos a incertezas nas matrizesde parâmetros. Preliminarmente, para atingir esse objetivo, pretende-se neste trabalho somenteverificar a eficácia desta técnica para resolver o problema de controle ótimo por modos deslizantespara sistemas multivariáveis nominais.
2 Resultados preliminares
Considere o problema de mínimos quadrados ponderados definido por
minx∈Rm
J(x) , (1)
sendo J(x) = ‖Ax− b‖2W = (Ax− b)TW (Ax− b), W ∈ Rn×n (matriz de ponderação) simétrica
definida positiva, A ∈ Rn×m e b ∈ R
n assumidos conhecidos e x ∈ Rm o vetor incógnita.
O método de função penalidade é definido da seguinte forma. Considere o seguinte problemade minimização restrita
minx∈Ω
f(x) , (2)
244
ISSN 2317-3300
com solução ótima xo. Considere o problema (2) reescrito da seguinte forma:
minx∈Rn
f(x) + µh(x) , (3)
sendo µ uma constante real positiva. Para acada µ > 0, seja x(µ) a solução ótima do problema(3). Então, xo = limµ→+∞ x(µ). O termo µhT (x)h(x) é chamado de função penalidade.
Lema 2.1 [1] Sejam V ∈ Rn×n definida positiva, N ∈ R
k×n posto linha pleno e M ∈ Rk×n posto
coluna pleno. Seja o seguinte funcional quadrático J(x) := (Mx− z)TV (Mx− z), e considere oproblema de minimização com restrição:
minx∈Rm
J(x)
s. a Nx = w,(4)
sendo z ∈ Rn, x ∈ R
m e w ∈ Rk. Associado a (4) tem-se para cada µ > 0 o seguinte problema
de minimização sem restrição:min
x(µ)∈RmJ (x(µ)) , (5)
sendo J (x(µ)) = (Gx(µ)−B)TV(µ)(Gx(µ)−B), G =
[M
N
], V(µ) =
[V 00 µI
]e B =
[z
w
]. Então:
(i) para cada µ > 0, a solução ótima x(µ) do problema de minimização sem restrição (5) édada por
[x(µ)
J (x(µ))
]
=
[0 B
I 0
]T [V−1(µ) G
GT 0
]−1 [
B
0
]
. (6)
(ii) limµ→+∞ x(µ) = xo, sendo xo a solução ótima do problema de minimização (4) dada por
[xo
J(xo)
]
=
0 z
0 w
I 0
T
V −1 0 M
0 0 N
MT NT 0
−1
z
w
0
. (7)
3 Controle Ótimo por Modos Deslizantes
Considere o sistema linear de tempo discreto:
xk+1 = Fxk +Guk, k = 0, . . . , N. (8)
sendo F ∈ Rn×n e G ∈ R
n×m matrizes conhecidas, xk ∈ Rn o vetor de estado e uk ∈ R
m aentrada de controle. Considere que o par (F,G) é controlável.
As múltiplas superfícies deslizantes serão definidas da seguinte forma: sk = Cxk + φk = 0,sendo C ∈ R
m×n e CG uma matriz não-singular. Veja que sk = [s1,k s2,k . . . sm,k]T , en-
tão para cada superfície que compõe sk teremos uma lei de controle associada, pois uk =[u1,k u2,k . . . um,k]
T . A superfície deslizante sk = 0 será formada pela interseção das super-fícies deslizantes que a compõe.
Para se obter um modo deslizante ideal, a seguinte condição deve ser satisfeita: sk+1 = sk =0, ∀k. A partir desta condição é possível encontrar a lei de controle equivalente do sistema (8),dada por:
uek = −(CG)−1[CFxk + φk+1].
O projeto da lei de controle chaveado é beseada na lei de alcançabilidade definida por [3],que é dada por: |si,k+1| < |si,k| , ∀i. Utilizando a lei de controle equivalente uek, temos:
−1 <CiG(−uek + uk)
|si,k|< 1, e suponha que Wi,k =
CiG(−uek + uk)
|si,k|, ∀i. (9)
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Então, |Wi,k| < 1. A matriz Wk é uma matriz diagonal, ou seja, Wk = diag(W1,k, . . . ,Wm,k), ∀k.A partir de (9) temos que a lei de controle é dada por:
uk = −(CG)−1[CFxk + φk+1 −Wksk]. (10)
Realimentado o sistema (8) com a lei de controle (10), obtém-se:
yk+1 = Fyk + Gvk, (11)
sendo vk = φk+1 − φk, yk = [xTk , φk]T ,
F =
[F −G(CG)−1(CF −WkC) G(CG)−1(Wk − I)
0 I
]
e G =
[−G(CG)−1
1
]
.
Baseado em [4], tem-se o seguinte funcional custo quadrático:
J = xTk+1Pk+1xk+1 +∞∑
k=0
(xTkQxk + uTk uk), (12)
sendo Pk+1 0 e a matriz Q 0 assumida conhecida. Realimentando o funcional custoquadrático (12) com a lei de controle (10), obtém-se:
J = yTk+1Pk+1yk+1 +∞∑
k=0
(yTk Qyk + 2yTk Svk + vTk Rvk), (13)
sendo:Pk+1 =
[Pk+1 00 0
]
; R =[(CG)−1
]T(CG)−1; S =
[(CF − rC)TR
(I −Wk)TR
]
;
Q =
[Q+ (CF −WkC)TR(CF −WkC) (CF −WkC)TR(I −Wk)
(I −Wk)TR(CF −WkC) (I −Wk)
TR(I −Wk)
]
.
Assim, tem-se o seguinte problema de otimização com restrição de igualdade:
minyk+1,vk
yTN+1PN+1yN+1 +
N∑
j=0
Ωj(yj , vj)
(14)
s. a yk+1 = Fyk + Gvk, k = 0, . . . , N,
sendo Ωj(yj , vj) = yTj Qyj + 2yTj Svk + vTj Rvj , cuja solução fornecerá a seguinte sequência ótima
(y∗k+1, v∗k)
Nk=0. O problema de minimização (14) pode ser resolvido de forma recursiva utilizando
programação dinâmica como mostrado no próximo lema.
Lema 3.1 O problema de minização definido em (14), pode ser resolvido recursivamente pormeio da minimização de
miny1,v0
L0(y0, u0) + min
y2,v1
L1(y1, u1) + · · ·+ min
yi,vi−1
Li−1(yi−1, ui−1) + · · ·+
+ minyN+1,vN
LN (yN , uN ) + yTN+1PN+1yN+1
· · ·
(15)
sujeito a yk+1 = Fyk + Gvk, k = 0, . . . , N.
Prova 1 Omitida.
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Pelos Lemas (2.1) e (3.1) pode-se reescrever o problema (14) da seguinte forma:
minyk+1,vk
Jµk (yk+1, vk)
, (16)
Jµk(yk+1, vk) =
I 00 00 I
0 00 00 0I −G
[yk+1
vk
]
−
000−I
00F
yk
T
Pk+1 I 0 0 0 0 0I 0 0 0 0 0 00 0 R ST I 0 00 0 S Q 0 I 00 0 I 0 0 0 00 0 0 I 0 0 00 0 0 0 0 0 µI
(
•
)
.
A solução recursiva do problema de otimização (16) será mostrada no teorema a seguir.
Teorema 3.1 A solução ótima recursiva é dada por:
Lk
Kk
Pk
=
0 0 00 0 00 0 00 0 −I
0 0 00 0 00 0 F
I 0 00 I 0
T
0 I 0 0 0 0 0 I 0I −Pk+1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 I 0 0 0 I
0 0 0 0 0 I 0 0 00 0 I 0 −R −ST 0 0 00 0 0 I −S −Q 0 0 00 0 0 0 0 0 0 I −G
I 0 0 0 0 0 I 0 00 0 I 0 0 0 −GT 0 0
−1
000−I
00F
00
. (17)
Prova 2 Omitida.
Lema 3.2 A solução recursiva (17) proposta no Teorema 3.1 pode ser reescrita como:
y∗k+1 =[
F − G(R+ GTPk+1G)
−1(ST + GTPk+1F)
]
︸ ︷︷ ︸
Lk
y∗k (18)
v∗k = −G(R+ GTPk+1G)
−1(ST + GTPk+1F)
︸ ︷︷ ︸
Kk
y∗k, (19)
para todo k = 0, . . . , N , sendo:
Pk = (F − GR−1
ST )T
[
Pk+1 − Pk+1G(R+ GTPk+1G)
−1GTPk+1
]
(F − GR−1
ST ) + (Q− SR
−1ST ), (20)
para todo k = N, . . . , 0.
Prova 3 Omitida.
4 Conclusão
Este trabalho propõe uma estrutura alternativa para o problema de controle ótimo por mo-dos deslizantes multivariável. A principal característica desta nova abordagem é a matriz deparâmetro do sistema realimentado, o ganho do controlador e a solução da equação de Riccatique são apresentadas em uma única matriz. Equivalente à solução padrão fornecidos em [4] e[2], a recursividade do algoritmo permanece válida.
Referências
[1] J.P. Cerri, “Regulador Robusto Recursivo para Sistemas Lineares de Tempo Discreto noEspaço de Estado”, Dissertação de mestrado, EESC-USP, São Carlos, 2009.
[2] A.J. Koshkouei and A.S.I. Zinober, Sliding Mode Control of Discrete-Time Systems, Journalof Dynamic Systems, Measurement, and Control, 122(2000) 793-802.
[3] S.Z. Sarpturk, Y. Istefanopulos and O. Kaynak, On the stability of discrete-time slidingmode control systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 32(1987) 930-932.
[4] R. Xu, “Optimal Sliding Mode Control and Stabilization of Underactuated Systems”, Ph.D.Thesis, Ohio State University, 2007.
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