Controle-PID

5/6/2018 Controle-PID - slidepdf.com

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1. CONTROLADOR DE POSIÇÃO PID

O controlador é uma das peças fundamentais de um sistema de completo de controle. A

ele cabe a tarefa global num estado/posição pré determinado. O tipo de controlador mais

utilizado é o PID (Proporcional/Integral/Derivativo). Este tipo de controlador possui um

bom desempenho desde que o sistema a controlar seja conhecido, bem comportado (lineare invariante no tempo) e os parâmetros do controlador bem ajustados. A sua principal

limitação, derivada do procedimento de ajuste, é ser sensível às diferentes condições de

funcionamento. Nesta situação, a utilização de um controlador adaptativo com ganhosvariáveis é vantajoso.

Para podermos comparar o controlador proposto neste projeto de pesquisa (não linear

utilizando lógica reprogramável), foi realizado durante esta etapa deste projeto de pesquisa

um estudo inicial de um controlador PID com ganhos variáveis (é realizada uma tabela de

ganhos em função de suas principais configurações inerciais). Isto se deve ao fato de que

num manipulador robótico, durante a execução de uma determinada trajetória, apresentará

uma grande variação de seus parâmetros dinâmicos (termos inerciais, coeficientes de atrito,efeitos gravitacionais), acarretando na mudança dos parâmetros do controlador projetado

em função de sua configuração inercial.

Assim sendo, apresentaremos a seguir os métodos utilizados na determinação dos

valores utilizados no controlador PID.



Modelagem Matemática e Controle de Sistemas Dinâmicos não Lineares - Outubro de 1999

1.1 - Projeto de um Controlador de posição PID

As equações dinâmicas de um robô manipulador com n graus de liberdade podem ser

obtidas através do lagrangeano:

d

dt

L

q

L

qT

∂

∂

∂

∂⋅

− = , L= K-V (1)

onde:

K é a energia cinética

V é a energia potencial

T é a força generalizada

q é a coordenada generalizada

As equações de movimento, para um robô com n graus de liberdade, são da forma:

r T q Bq J T ++=⋅⋅⋅

(2)onde:

J é o momento de inércia

B é o atrito viscoso do motor

T r é o torque resistente

O presente trabalho tem como objetivo a modelagem de sistemas mecânicos comum naárea de robótica, onde, através de simulações, via SIMULINK™, poderemos analisar o

comportamento do sistema em questão.

O procedimento para cálculo dos ganhos do regulador PID, será realizado em cada

junta, para diferentes configurações inerciais, considerando-se o efeito da inércia

equivalente no eixo de rotação do motor (cálculo do raio de giração e massa equivalente).

As constantes acima serão descritas como se segue:

J= Jm + mk 2

B= Cm

Tr= mgk senθ

Onde k é o raio de giração

Para o cálculo dos ganhos do regulador PID, o sistema será linearizado para as

diferentes configurações inerciais que para pequenos ângulos, temos:

senθ≈θ

Aplicando a transformada de Laplace:

τ(s) = Js2 + cs + Ct (3)

A função de transferência será:

( )

t C cs Js

sT

++

=2

1(4)




Através do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, podemos verificar a estabilidade

do sistema e aplicando o método de Ziegler-Nichols vamos encontrar os valores utilizados

no controlador PID. Estas simulações nos darão as bases necessárias para que possamos

comparar os resultados obtidos com o do controlador proposto.




1.2 - Análise de Estabilidade do Sistema

Para a determinação dos ganhos do regulador PID, inicialmente será realizado um teste

de estabilidade das raízes (através da verificação do lugar das raízes) . O teste de Routh-

Hurwitz é um método numérico para determinar a posição das raízes em relação ao plano

real imaginário (número de raízes com parte real no semi-plano direito (SPD) e raizesimaginárias de um polinômio). As características polinomiais, o qual é o denominador do

T(s) é expresso como se segue:

01

1

1 ...)( asasasas p n

n

n

n++++= −

− (5)

Uma tabela de números ai é montada como se segue:

sn an an-2 an-4

sn-1

an-1 an-3 an-5

sn-2

b1 b2 b3

sn-3 c1 c2 c3

sn-4 d1 d2 d3

.

.

.

s0

A primeira linha começa com as constantes an de mais alta ordem e as outras

constantes são colocadas como vemos acima. A segunda linha começa com a segunda

constante (an-1) de mais alta ordem e então as constantes seguintes. As duas primeiras

linhas são formadas dos coeficientes de p(s). As linhas subsequentes são formadas como se

segue:

1

321

1 1

31

2

−

−−−− −

==−

−−

−

n

nnnn

a

aa

aa

a

aaaab

n

nn

nn

1

541

11

51

4

−

−−−− −

==−

−−

−

n

nnnn

a

aa

aa

a

aaaab

n

nn

nn

A quarta linha é formada como se segue:

1

1221

1 1

21

31

b

abab

c

nn

b

bb

aa nn

−−− −

==

−−

1

1351

2 1

31

51

b

ababc nn

b

bb

aa nn

−−− −

==−−

As demais linhas são conseguidas da mesma forma.




1.3 - Determinação dos ganhos de um regulador PID

Após verificar a estabilidade do sistema, vamos calcular os ganhos do regulador PID.

Neste trabalho os ganhos do regulador PID para diferentes configurações inerciais serão

calculados e validados a partir de simulação computacional, utilizando métodos baseados

na otimização do comportamento da resposta do sistema, tradicionalmente utilizados emaplicações industriais.

1.3.1 – Método de Ziegler-Nichols

A figura 1 mostra o diagrama de blocos de um sistema do qual se deseja calcular os

ganhos do regulador PID, onde Gc(s) é equação do regulador PID e Gp(s) é a equação do

sistema.

Fig. 1 Esquema de um sistema para o cálculo do PID

A equação do regulador é dado por:

( ) sK s

K K sG

d

i

pc++= (6)

onde:

K p é o ganho proporcional

K i é o ganho integral

K d é o ganho derivativo

O método de Ziegler-Nichols para o cálculo dos ganhos do compensador, consiste em

dois passos:

1. Um compensador proporcional é aplicado:

pc K sG =)(

O Ganho é ajustado até o sistema tornar-se marginalmente estável. Este valor de ganho

é denominado K po, e o período de oscilação T o.2. O compensador é definido por:

( )

++= sT

sT K sG d pc

1

11 (7)

Onde teremos:

i

p

iT

K K =

d pd T K K =Os valores para o cálculo dos ganhos do compensador é dado pela tabela 1




Tabela 1: Ganhos do compensador PID

Tipo de compensador Kp Ti Td

P K p=0,5K po ∞ 0

PI K p=0,45K po T i=0,83T o 0

PID K p=0,6K po T i=0,5T o T d =0,125T o

Como neste trabalho de pesquisa, o modelo matemático é perfeitamente conhecido, a

metodologia de cálculo dos parâmetros do regulador será realizada utilizando a mesma

metodologia apresentada anteriormente, mas com o ajuste do ganho Kp realizado através

do critério de Routh-Hurwitz (a linha do polinômio s2 é forçada a zero, consequentemente

o sistema é marginalmente estável).




1.3.2 – Método de Chien-Hrones-Reswick (CHR)

Este método consiste em simular o sistema em malha aberta e obter uma curva resposta

como mostra a figura 2.

Fig. 2 Esquema para obtenção da curva resposta

Se a curva resposta é obtida como vimos acima, os ganhos do PID são obtidos como se

segue:

1. Com o auxilio da curva resposta obteremos os valores de T e L

Fig. 3 Curva resposta para o método CHR

2. Os valores para a escolha do compensador são dadas pela razão:

L

T R =

Uma tabela para os diferentes tipos de compensador e para os ganhos do compensador

são dados na tabela 2 (onde K p=G p(0)).

Tabela 2 Valores para o tipo e os ganhos do controlador

Tipo de compensador R

P R>10

PI 7,5<R<10

PID 3<R<7,5

Kp Ti Td




P

g

pK

RK 3,0= ∞ 0

PI

g

pK

RK 35,0=

T i=1,2T g 0

PID

g

pK

RK 6,0= T i=T g T d =0,5T u

Este método deverá ser aplicado para cálculo dos ganhos do regulador na bancadaexperimental desenvolvida, tendo em vista a incerteza no cálculo dos parâmetros reais para

a obtenção do modelo matemático exato do sistema em estudo. Uma verificação e

comparação deste método em relação ao método de Ziegler Nichols também deverá ser

realizado.




1.3.2 – Resultados do cálculo do PID

Apresentaremos a seguir as configurações do robô, as constantes do PID obtida e seus

respectivos resultados.

A massa do sistema será considerada em seus centros de massa dos braços do robô para

podermos obter a curva característica e calcular o valor das constantes utilizadas no PID (ocálculo para o momento de inércia do sistema será apresentado no anexo IV).

Os valores utilizados nesta simulação, configuração conforme figura 4, foi:

m = 0,2 Kg;l = 0,2 m;

g = 9,8 m/s2.

Fig. 4 Configuração do sistema

Os valores do PID foram respectivamente 1,2, 0,6 e 0,3. Os resultados obtidos comessas simulações são:

Gráfico 1 Curva para o PID com valores 1,2; 0,6 e 0,3




Considerando mais um braço (ver fig. 5) do robô, devemos ter:

l = l1 = l2 = 0,2m;

m = m1 = m2 = 0,2 Kg;

Fig. 5 Configuração do robô com 2 braços

Para essa configuração os valores do PID são 4,8; 0.125 e 0.03,repectivamente, onde o

gráfico obtido é:


- Para o segundo braço totalmente esticado, figura 6:

Fig. 6 Segundo braço totalmente esticado

Os valores do PID são 6,6; 0,1 e 0,025 e o gráfico obtido é apresentado abaixo.





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