CONTROLE PREDITIVO APLICADO À MÁQUINA SÍNCRONA

Cláudio Homero Ferreira da Silva1, Luiz Renato Gomes2, Humberto Molinar Henrique31, 3Faculdade de Engenharia Química – Universidade Federal de Uberlândia – Campus Santa Mônica

CEP: 38400-902 – Uberlândia – MG – Brasil – Telefone: (34) 3239-4292 – Fax: (34) 3239-4188. 1,2CEMIG Geração e Transmissão SA – Gerência das Usinas do Triângulo - Avenida Cel. Teófilo Carneiro, Nº 2777

Distrito Industrial – CEP 38401-334 -Uberlândia – MG – Brasil 1 E-mail: chomero@cemig.com.br, 2 E-mail: lrgomes@cemig.com.br, 3 E-mail: humbertoi@ufu.br

Resumo - Pequenas centrais hidrelétricas basicamente utilizam estratégias clássicas e simplificadas para o controle do processo. Controladores preditivos são bastante populares e eficientes. As inequações matriciais lineares são promissoras na melhoria do problema do controle e de sua otimização. Este trabalho aplica as técnicas de controle preditivo usando inequações matriciais ao modelo de máquina síncrona. Os resultados da simulação são da planta da Pequena Central Hidrelétrica dos Martins (4 x 2,75 MVA) localizada em Uberlândia (MG)/Brasil e de propriedade da CEMIG.

Palavras-Chave – Controle Moderno, LMI, MPC, Pequenas Centrais Hidrelétricas, Regulação de Máquinas Síncronas, Sistema de Potência,.

PREDICTIVE CONTROL APPLIED TO

SYNCHRONOUS MACHINE Abstract - Small hydroelectric power plants basically

use classical and simplified algorithm strategies applied to the control of the process. Model Predictive Control is very common and efficient. The Linear Matrix Inequalities is a potent tool in optimization and improvement of the control problem. The paper presents simulation results for Cemig’s Martins Hydro Plant (4 x 2,75 MVA) located at Uberlândia(MG)/Brazil.

1Keywords – LMI, Modern Control, MPC, Power

System, Small Hydroelectric Power Plants, Synchronous-Machine Regulation.

I. INTRODUÇÃO

Os sistemas de controle de uma máquina elétrica são, basicamente, o controle de potência ativa/freqüência e o controle de potência reativa/tensão [2]. A atuação destes determina a qualidade da energia, a estabilidade e a integridade física da própria máquina e do sistema elétrico em que ela está inserida.

O controle preditivo baseado em modelos (MPC) é caracterizado pela utilização de um modelo explícito a fim de prever as saídas do processo em um tempo no futuro.

"Artigo publicado na IV Conferência de Estudos em Engenharia Elétrica (IV CEEL) realizada no período de 22 a 24 de Novembrode 2005 na Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia MG."

Existem hoje muitas aplicações com sucesso de controle preditivo, não só na indústria como em outras áreas [3].

A idéia básica das inequações matriciais lineares (LMI) em controle é interpretar um dado problema de controle como um problema de programação semi-definida (SDP), ou seja, um problema de otimização com objetivo linear e restrições positiva e semi-definidas envolvendo matrizes simétricas que são affine nas variáveis de decisão [5].

Este artigo aplica o MPC com o problema de otimização formulado como LMI ao modelo de máquina síncrona. A seção 2 apresenta o processo de geração de energia elétrica. A seção 3 mostra a fundamentação necessária para a aplicação de MPC utilizando LMI. A seção 4 apresenta os resultados aplicados no modelo da PCH dos Martins de propriedade da CEMIG, situada no município de Uberlândia/MG (4 x 2,75 MVA). A seção 5 mostra as conclusões deste trabalho e no encerramento do artigo são apresentadas as referências bibliográficas utilizadas.

II. PROCESSO DE GERAÇÃO DE ENERGIA ELÉTRCA

Os modelos representativos dos sistemas de regulação de

velocidade e potência ativa e/ou de regulação de tensão e potência reativa são teoricamente genéricos, assim como os demais sistemas físicos. A escolha pela representação de uma instalação hidráulica geradora contra uma barra infinita, acopladas por uma linha de transmissão (Re e Le) como mostra a Figura 1 deve-se ao fato de os resultados serem bastante representativos daquilo que ocorre na realidade no interior das estações, sem maiores preocupações com o sistema externo.

Fig 1. Circuito para máquina contra barra infinita.

O modelo do processo se caracteriza por considerações

gerais, inerentes ao sistema completo e resultante da aplicação das técnicas das transformações de Park [9]. O sistema foi linearizado nos valores nominais de trabalho da máquina de forma a se obter um modelo linear representativo deste processo. O modelo apresentado a seguir é resultante do levantamento e identificação do modelo aplicado à instalação, e seus parâmetros encontram-se validados por ensaios na planta e análise de comportamento operativo [6],[7]. Uma forma bastante comum de se trabalhar em sistemas de potência é a utilização de um conjunto de unidades formando uma base, que normalizará e escalará

todas as variáveis do processo (“pu” - por unidade). A base adotada é mostrada na Tabela I. A Tabela II mostra os valores para os parâmetros do modelo apresentado. Tabela I: Base de valores adotada.

Grandeza Valor Potência 2750 KW

Tensão de campo 22,05 V CC Tensão 4160 VCA

Aceleração da gravidade 9,8 m/s2

Tabela II: Valores nominais dos parâmetros. Param. Valor Param. Valor 2H 6 s K1 0,82 pu/rad bp 0,045 pu/pu K2 1,18 pu/pu ω0 377 rad/s K3 0,3 pu/pu T’do 2,5 s K4 1,15 pu/rad T 0,3 s K5 -0,1 pu/rad Tw 0,43 s K6 0,4 pu/pu d 2 pu/pu TE 0,5 pu KE 0,2 pu SE 1,43

Onde: 2H - Inércia do conjunto girante. K1-K6 – Constantes linearizadas do processo. T’do – Constante de tempo de eixo direto da máquina. d – Efeito de amortecimento de carga. T – Constante de tempo do servomotor. Tw – Constante de tempo da inércia da água na tubulação. bp – Estatismo permanente. ω0 – Freqüência elétrica base. KE, TE – Ganho e constante de tempo da excitatriz. SE – Constante linearizada relativa ao efeito de saturação. ϕ - Diferença entre SE e KE.

A forma clássica de espaço de estados para o modelo e os vetores dos estados (x), das entradas (u) e das saídas (y) são indicados nas Eq (01)-(03). As matrizes A, B, C são mostradas nas Eq (04)-(05). Os estados são: abertura do distribuidor (Y), estado relacionado com a tubulação (x(2)), freqüência elétrica (ω), ângulo de potência (δ), tensão de campo (VF) e o fluxo no entreferro (E’q). Os estados x(2) e E’q não são mensuráveis, sendo desta forma, necessário o do uso de observadores de estado. Contudo, estudos mostraram que para este caso o uso de observadores de estado não acarretou nenhuma degradação por si só [2]. Sendo assim para fins deste estudo estes estados serão considerados como medidos. As saídas são o ângulo de potência e a tensão terminal (VT). As entradas são as referências destas duas malhas.

As limitações do processo são de natureza: mecânica, ligadas às movimentações do distribuidor e perturbações gerais a que a máquina encontra-se sujeita; elétrica, ligadas a capacidade de isolamento dos componentes do sistema; e sistêmica, ligadas a requisitos de qualidade de fornecimento da energia, à capacidade dos sistemas de se manterem interligados e a oscilações eletrodinâmicas oriundas de chaveamentos e manobras.

)t()t()t()t()t(

CxyBuAxx

=+=&

(01)

[ q'EVF)2(xYT δω=x ]VTT δ=y

(02) [ ]fRefRe

T VTδ=u ] (03) [

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−−−

−

−

=

do'T3K1

do'T1

do'T4K000

0TE

0000

00000H22K

0H21K

H2d

H21

H1

0000Tw2

Tw6

00000Tbp

0ϕ

ωA (04)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=0

TE10000

00000T1

TB , (05) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 6K05K000

001000C

III. CONTROLE DE PROCESSOS

O MPC está relacionado com as idéias de problema de

controle ótimo de tempo mínimo, programação linear e controle adaptativo. O uso de modelos na forma de espaço de estado, em detrimento do uso de outros modelos, durante os anos de 1990, foi responsável por um amadurecimento substancial na teoria de controle preditivo [5]. Esta perspectiva leva a um simples ajuste de regras para estabilidade e robustez. O algoritmo de controle MPC otimiza o comportamento futuro da planta através da determinação de uma seqüência ótima de manipulações futuras das variáveis envolvidas. O algoritmo de controle aplica na planta o primeiro valor da seqüência ótima avaliada, mede o efeito dessa ação na planta, ajusta o modelo utilizado e repete o procedimento de otimização numa sistemática de horizonte de controle móvel (Figura 2).

Fig 2. Estrutura básica do MPC.

MPC não é um novo método de projeto de controle. Ele essencialmente resolve problemas de controle ótimo padrão. O que o diferencia é o fato de que no MPC o problema de controle ótimo requerido possui horizonte finito em contraste com o horizonte infinito usualmente empregado nos controladores ótimos lineares H2 e H∞. O MPC resolve o problema de controle ótimo em malha aberta on-line, considerando o estado corrente do sistema a ser controlado mais que uma política de realimentação off-line. É necessário que este problema de otimização seja resolvido em um tempo razoável. Na tecnologia de MPC, áreas como estabilidade e grau de ótimo têm atingido suficiente maturidade. Em situações apropriadas programas de MPC são realmente efetivos, ainda assim possuem limitações como: dificuldades de operação; alto custo de manutenção e perda de flexibilidade que podem resultar em fragilidade do controlador. Estas limitações não estão ligadas apenas ao

algoritmo por si só, mas também na justificativa destes controladores, aplicabilidade e manutenção. Relevantes desenvolvimentos na teoria de MPC lidam com a existência de soluções para o problema de controle ótimo, a caracterização da solução ótima por condições necessárias e suficientes, estabilidade de Lyapunov de sistemas controlados e algoritmos para o cálculo de controladores em realimentação e em malha aberta ótimos [3].

Nos anos 90 surgiram muitas propostas para modificação do problema de controle ótimo em malha aberta empregando MPC com restrição de forma que a estabilidade da malha fechada pudesse ser garantida. As principais técnicas são: restrição terminal , horizonte de predição de saída infinito, matriz de pesos terminal, conjunto terminal invariante, restrição de contração, função custo terminal, custo terminal e conjunto de restrição [1].

Apesar da teoria do MPC apresentar considerável maturidade, pessoas ligadas à prática industrial argumentam que os limites de desempenho e aplicabilidade do MPC na prática não são por deficiências no algoritmo, mas por questões ligadas a: dificuldades de modelagem, adequação de sensores e robustez insuficiente para falhas [8]. Faz-se necessário o aprimoramento de vários fatores, tais como a garantia da obtenção da solução do problema de otimização e a garantia de estabilidade e a robustez, em especial quando aplicadas a processos não lineares [1]. Existe ainda uma distância entre os resultados observados na teoria e a prática industrial

No contexto de controle robusto o estudo aplicando a inequações matriciais lineares (LMI) tem se mostrado como um promissor campo de pesquisa. As técnicas de LMI surgiram como uma potente ferramenta de análise em várias áreas da engenharia de controle, identificação de sistemas e projeto estrutural. O início da aplicação de LMI na análise de sistemas dinâmicos aconteceu há mais de cem anos através da Teoria de Lyapunov [10]. Os problemas padrão em LMI podem ser resolvidos em tempo polinomial, o que significa que eles possuem baixa complexidade computacional. Eles também podem ser resolvidos na prática de forma bastante eficiente e atingem o ótimo global com critérios de parada não heurísticos. É possível provar que o ótimo global pode ser obtido dentro de uma precisão pré-especificada. O mais importante desta discussão é a possibilidade de implementação on-line, o que é um fato essencial para o MPC. O complemento Schur apresentado na Eq (06) será utilizado para converter uma otimização quadrática em um problema de estrutura linear.

0)()()()(

T ≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡xRxSxSxQ ⇔ (06)

0)()()()(

0)(T ≥−

>− xSxRxSxQ

xR1

O MPC de característica estabilizante é definido de forma que o movimento de controle efetivamente implementado, no instante de amostragem k, seja dado pelo primeiro elemento da seqüência de ações de controle calculadas da Eq (07), que é a solução do problema de otimização. Onde: M é o horizonte de controle, Q = QT > 0, R = RT > 0, P = PT ≥ 0 e Ψ(x) é a restrição de estado terminal. Está restrição é que garante ter o MPC a característica estabilizante. Para maiores detalhes sobre este algoritmo ver: [4],[5]. No instante k + M e posteriormente, o vetor de entradas u é um vetor de zeros.

A Equação (08) expressa o vetor de predição, onde z é o vetor de estado real baseado na saída medida. Considerando-se as definições das Eq (09)-(12) é possível reescrever o problema de otimização na Eq (13). O problema de otimização com restrição nas entradas (UR), de variação das entradas (∆Ud), dos estados (YR) é reescrito na forma de LMI nas Eq (14)-(15). Esta formulação pode ser facilmente estendida para outros problemas como o problema servo.

)k|j()k|j()k|j()k|j()x(minJ T1Mkkj

Tk RuuQxxΨ

U++= ∑ −+

= (07)

SUHzY += )k|k( (08) U={u(k|k), u(k+1|k),. . ., u(k+M-1|k)} (09) Y={y(k|k), y(k+1|k),. . ., y(k+M-1|k)} (10)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−1M

2

CA

CACACI

HM ⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

− 0CBCABBCA

00CBCAB000CB0000

S

LMOOOM

LLL

2M

(11)

MM )(diagonal,)(diagonal RRQQ == (12)

URUYQYPyyU

++++ )Mk()Mk(min T (12)

γγ U,min (14)

Sujeito à:

RRddRR

TTT

,,

,0)Mk()Mk(

YYYUUUUUU

R00U0Q0Y00Py

UYy

≤≤−≤≤−≤≤−

≥

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

∆∆∆

γ

(15)

IV. RESULTADOS E DISCUSSÕES

O processo é estável em malha aberta pois possui todos os

autovalores com suas partes reais negativas. O posto das matrizes de observabilidade e controlabilidade possui a mesma dimensão dos estados. Desta forma o sistema é controlável e observável. As matrizes de peso Q, R e P foram adotadas como matriz identidade de ordem adequada. O horizonte de controle usado foi igual a 5. O tempo de amostragem usado foi de 0,5 s. O sistema foi discretizado para o cálculo do controlador e aplicado o controle com modelagem perfeita. As Figuras 3 e 4 mostram o comportamento do sistema e as ações de controle respectivamente para o problema servo com y = [0,1 –0,01]. As Figuras 5 e 6 mostram o comportamento do sistema e as ações de controle respectivamente para o problema regulador com perturbação inicial de 1% em todos os estados. As restrições das entradas (UR) são dadas pela composição vetor [0,1 4,5]T a cada passo do horizonte de predição. Da mesma forma as restrições ∆Ud e YR são adotadas respectivamente como: [0,03 0,01] e [0,52 0,1]. Estas restrições são baseadas nas condições operativas e nas limitações citadas na seção III. Os resultados se mostram plenamente satisfatórios. As respostas não exibem nenhum off-set. Todos os cálculos foram realizados dentro do tempo de amostragem, atendendo a condição para implementação on-line. O Foco da

investigação deste trabalho é a aplicabilidade do algoritmo MPC. Não foram avaliadas condições limites ou questões relacionadas à prática industrial.

Fig 3. Respostas do sistema ao problema servo.

Fig 4. Ações de controle implementadas para problema servo.

Fig 5. Respostas do sistema para problema regulador.

Fig 6. Ações de controle implementadas para problema regulador.

V. CONCLUSÕES

Este artigo aplicou as técnicas do MPC utilizando LMI no modelo da máquina síncrona da PCH de Martins (4 x 2,75 MVA). O sistema é estável em malha aberta, controlável e observável. As respostas foram satisfatórias demonstrando a aplicabilidade desta técnica. O desempenho do sistema se manteve em níveis aceitáveis e com um gasto energético razoável nas entradas. Não houve nenhum esforço para se buscar o melhor ajuste do controlador. O cálculo da ação de controle foi efetuado dentro do tempo de amostragem. A adequação desta técnica pode ser comprovada e comparada em trabalhos futuros com outras formulações de MPC, bem como estendida para RMPC pela incorporação de modelos de incerteza, ou ainda avaliando seus limites de aplicabilidade.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] A. Bemporad, M. Morari, “Robust Model Predictive Control: A Survey”, in Robustness in Identification and Control, A. Garulli, A. Tesi, A. Vicino (Eds.), Lectures

notes in Control and Information Sciences, Vol. 245, Springer-Verlag, pp. 207-226,1999.

[2] C. H. F. Silva, H. M. Henrique, L. R. Gomes, “Modern Control Applied To Small Hidroelectric Plants”, IEEE/PES T&D 2004, São Paulo-SP, 2004.

[3] D. Q. Mayne, J. B. Rawlings, C. V. Rao, P. O. M. Scokaert, “Constrained Model Predictive Control: Stability and Optimality”, Automática, Vol. 36, pp. 789-814, 2000.

[4] J. Löfberg, Linear Model Predictive Control: Stability and Robustness, Linköping, Sweden, Thesis nº 836, 2001.

[5] J. Löfberg, Minimax approaches to robust model Predictive control, Linköping, Sweden, Phd Thesis, 2003.

[6] L. R. Gomes, Manutenção Geral nos Sistemas de Excitação – Máquina 03 e 04 da Usina dos Martins, 01.124-PD/PR3-096/92, CEMIG, 1992.

[7] L. R. Gomes, Manutenção Geral nos Sistemas de Regulação de Velocidade – Máquina 03 e 04 da Usina dos Martins, 01.124-PD/PR3-097/92, CEMIG, 1992.

[8] M. Morari, J. H. Lee, “Model Predictive Control: Past, Present and Future”, Computers and Chemical Engineering, 23, pp. 667-682, 1999.

[9] P. M. Aanderson, A. A. Fouad, Power System Control and Stability, The Iowa State University Press, Ames, Iowa, USA, 1982.

[10] S. Boyd, L. GhaouiI, E. Feron, V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Pennsylvania, USA, 1984.

DADOS BIOGRÁFICOS

Cláudio Homero Ferreira da Silva nasceu em Araguari/MG, Brasil, em setembro de 1973. Graduou-se em Engenharia Química na Universidade Federal de Uberlândia (UFU) em 2000. Obteve seu M. Sc. em desenvolvimento de Processos Químicos no ano de 2002 pela UFU. Atualmente ele é doutorando em Engenharia Química pela UFU. Suas áreas de atuação em pesquisa são: Controle Preditivo e Controle Robusto. Luiz Renato Gomes nasceu em Itajubá/MG, Brasil, em 1955. Graduou-se em Engenharia Elétrica pela Escola Federal de Engenharia de Itajubá (EFEI) em 1977 e recebeu o grau de Mestre em Ciências pela EFEI em 1987. Ele trabalha na Companhia Energética de Minas Gerais, desde 1978, na área de Regulação e Proteção de Máquinas Elétricas. Atualmente trabalha na Gerência das Usinas do Triângulo com sede em Uberlândia. Humberto Molinar Henrique nasceu em Uberaba/MG, Brasil em 1965. Graduou-se e obteve seu grau de Doutor pela Universidade Federal do Rio de Janeiro – Brasil em 1991 e 1999 respectivamente. Ele foi pesquisador visitante na Universidade da Califórnia, Santa Bárbara – EUA durante 1997. Ele é professor assistente da Faculdade de Engenharia Química da Universidade Federal de Uberlândia – Brasil, desde 1989. Suas áreas de atuação são: aplicação de modelos de redes neurais podadas em controle preditivo baseado em modelos para implementação on-line.