CONTROLO LINEARpaginas.fe.up.pt/~mprocha/CL/CL-1.pdf · 1. Introdu¸cão - Sistemas Dinâmicos de Controlo Descri¸cões matemáticas - tempo cont´ınuo Entrada/sa´ıda (i/o)

CONTROLO LINEAR

Mestrado em Matematica e Aplicacoes

Universidade de Aveiro

1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo

Sistemas dinamicos de controlo

• u - entrada

• y - saıda

• x - estado - memoria do sistema (condicoes iniciais)

x(t0)

u(t), t ≥ t0

−→ y(t), t ≥ t0

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Propriedades dos sistemas a estudar

• Causalidade - os valores da saıda num dado instante nao dependem

dos valores futuros da entrada

• Dimensao finita do estado

• Linearidade

xi(t0)

ui(t)

→ yi(t), i = 1, 2 ⇒α1x1(t0) + α2x2(t0)

α1u1(t) + α2u2(t)

→ α1y1(t) + α2y2(t)

Consequencia:

resposta = resposta a entrada nula (livre) + resposta ao estado nulo (forcada)

• Invariancia no tempo

x(t0)

u(t), t ≥ t0

−→ y(t), t ≥ t0 ⇒x(t0 + T )

u(t − T ), t ≥ t0 + T

−→ y(t − T ), t ≥ t0 + T

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Descricoes matematicas - tempo contınuo

Entrada/saıda (i/o)

Tempo Frequencia (Transformada de Laplace - ANEXO 1)

Convolucao Funcao de transferencia

y(t) =∫ t

0g(t − τ )u(τ )dτ G = L[g], y = L[y], u = L[u]

y = g ∗ u y(s) = G(s)u(s)

Equacoes diferenciais Funcao de transferencia

Pndn

dtn y + . . . + P1ddt

y + P0y =

= Qmdn

dtn u + . . . + Q1ddt

u + Q0u

Com condicoes iniciais nulas

P ( ddt

)y = Q( ddt

)u P (s)y(s) = Q(s)u(s)

y(s) = P −1(s)Q(s)︸︷︷︸G(s)

u(s)

(*) Existencia das transformadas de Laplace ...

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Descricoes matematicas - tempo contınuo (continuacao)

Equacoes de estado

Tempo Frequencia

x(t) = Ax + Bu sx(s) − x(0) = Ax(s) + Bu(s)

y(t) = Cx(t) + Du(t) y(s) = Cx(s) + Du(s)

x(s) = (sI − A)−1x(0) + (sI − A)−1Bu(s)

y(s) = Cx(s) + Du(s)

Para condicoes iniciais nulas

y(s) = [C(sI − A)−1B + D]︸︷︷︸G(s)

u(s)

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Descricoes matematicas - tempo discreto

Entrada/saıda (i/o)

Tempo Frequencia (Transformada z - ANEXO 2)

Convolucao Funcao de transferencia

y(k) =∑k

l=0 g(k − l)u(l) G = Z[g], y = Z[y], u = Z[u]

y = g ∗ u y(z) = G(z)u(z)

Equacoes as diferencas Funcao de transferencia

Pny(k + n) + . . . + P1y(k + 1) + P0y(k) =

= Qmu(k + m) + . . . + Q1u(k + 1) + Q0u(k)

Com condicoes iniciais nulas

P (σ)y = Q(σ)u P (z)y(z) = Q(z)u(z)

onde (σly)(k) = y(k+l) y(z) = P −1(z)Q(z)︸︷︷︸G(z)

u(z)

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Descricoes matematicas - tempo discreto (continuacao)

Equacoes de estado

Tempo Frequencia

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) z[x(z) − x(0)] = Ax(z) + Bu(z)

y(k) = Cx(k) + Du(k) y(z) = Cx(z) + Du(z)

x(z) = (zI − A)−1zx(0) + (zI − A)−1Bu(z)

y(z) = Cx(z) + Du(z)

Para condicoes iniciais nulas

y(z) = [C(zI − A)−1B + D]︸︷︷︸G(z)

u(z)

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Anexo 1 - Transformada de Laplace

f : [0, +∞[ → R, f ∈ Eα, para algum α ∈ R, isto e:

• f e seccionalmente contınua no intervalo [0, +∞[

• f e de ordem de crescimento α-exponencial, i.e.,

∃M > 0 ∃t0 ≥ 0 |f(t)| ≤ Meαt ∀ t ≥ t0

Transformada de Laplace de f : L{f}(s) ou F (s)

L{f} : Df → C

s 7→ L{f}(s) =∫ +∞

0

e−stf(t)dt

onde Df = {s ∈ C : o integral∫ +∞0

e−stf(t)dt converge}

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Exemplo:

f(t) = eat −→ L{f} = F (s) = ?

F (s) =∫ ∞0

eat e−stdt =∫ ∞0

e−(s−a)tdt

= − 1s−a

e−(s−a)t]+∞

0= 1

s−a

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• O domınio de convergencia do integral∫ +∞0

e−stf(t)dt contem um

semi-plano direito, no plano complexo.

Mais concretamente:

Proposicao: Usando a notacao anteriormente introduzida, se f ∈ Eα

entao

Cα := {s ∈ C : Re(s) > α} ⊆ Df .

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Propriedades das transformadas de Laplace

1. Sejam f1 ∈ Eα1 , f2 ∈ Eα2 , a1, a2 ∈ R, entao

• a1f1 + a2f2 ∈ Eα, α = max{α1, α2};

• L{a1f1 + a2f2} = a1L{f1} + a2L{f2}

2. Se f ∈ Eα e a ∈ R entao

(1) L{eatf(t)} = F (s − a),

para todo s ∈ C tal que Re(s − a) > α

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3. Se f ∈ Eα e n ∈ N0 entao

L{tnf(t)} = (−1)n dn

d sn[F (s)],

4. Sejam f, f ′ ∈ Eα, sendo f ′ contınua para t ≥ 0, entao

L{f ′} = sF (s) − f(0)

5. Se f ∈ Eα, entao

L{∫ t

0

f(τ ) dτ

}=

1

sF (s)

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Tabela

f(t) L{f}

1 1s

tn n!sn+1

eat 1s−a

sin at as2+a2

cos at ss2+a2

eatf(t) F (s − a)

f(t − a)u∗a(t) e−asF (s)

tnf(t) (−1)n dnF (s)dsn

n ∈ N0, a ∈ R, u∗a(t) - degrau unitario (= 1 t ≥ a)

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Transformada inversa

Uma transformada inversa de Laplace de uma funcao F (s), L−1{F (s)}, e

outra funcao f que goza da propriedade L{f} = F (s).

Teorema: Se L{f} ≡ L{g} e se f e g so contınuas em [0, +∞[,

entao f ≡ g.

Teorema: Se as transformadas inversas de Laplace de duas funcoes F1(s)

e F2(s) existem, entao para quaisquer constantes c1 e c2

L−1{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1L−1{F1(s)} + c2L−1{F2(s)}.

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Exemplo: F (s) = 1(s−2)(s+3)2

−→ f(t) = ?

1(s−2)(s+3)2

= As−2

+ B(s+3)2

+ Cs+3

A = 125 ;B = − 1

5 ; C = − 125

L−1[

1(s−2)(s+3)2

]= 1

25L−1(

1s−2

)- 125L−1

(1

s+3

)- 15L−1

(1

(s+3)2

)

= 125 e2t - 1

25 e−3t - 15L−1

(d

ds

(−

1

s + 3

))︸︷︷︸L−1

(−

d

ds

(1

s + 3

))︸︷︷︸

tL−1(

1s+3

)=te−3t

= 125e2t- 1

25e−3t- 15 te−3t

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Transformada de Laplace e derivacao

L{ ˙f(t)} = s L{f(t)} − f(0)

L{f(t)} =∫ ∞0

f(t) e−stdt =integrando por partes

=[f(t)(−1

se−st)

]+∞0

+ 1s

∫ ∞0

ddt

(f(t)) e−stdt

= f(0)s

+1sL{ d

dt(f(t))}

L{f(t)} = s L{f(t)}- f(0)

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Generalizando:

L{f (k)} =skL{f} -∑k−1

l=0 sk−1−lf (l)(0)

=skL{f} - sk−1 f(0) − sk−2 f (1)(0) − · · · − f (k−1)(0)

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Convolucao e a transformada de Laplace

P1: Sejam f, g : [0, +∞[ → R, seccionalmente contınuas

• O produto de convolucao ou convolucao de f e g dado por

(f ∗ g) (t) =∫ t

0

f(t − τ ) g(τ ) dτ.

Elemento neutro do produto de convolucao → δ tal que:

(δ ∗ f) (t) :=∫ t

0

δ(t − τ ) f(τ ) dτ = f(t)

δ → ”funcao” δ de Dirac → nao e uma funcao!!!

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Teorema: Sejam f e g satisfazendo P1, e de ordem exponencial.

Entao:

L{f ∗ g} = L{f} L{g} = F (s) G(s)

Corolario: L{δ} = 1

Demonstracao do teorema →

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L{f ∗ g} =∫ ∞0

[∫ t

0f(t − τ ) g(τ ) dτ

]e−st dt =

= limb→∞∫ b

0

[∫ t

0f(t − τ ) g(τ ) dτ

]e−st dt = ∗

∗ = limb→∞∫ b

0

∫ b−τ

0f(θ) g(τ ) e−s(θ+τ) dθ dτ =

= limb→∞∫ b

0

[∫ b−τ

0f(θ) e−sθ dθ

]g(τ ) e−sτ dτ =

=∫ ∞0

[∫ ∞

0

f(θ) e−sθ dθ

]︸︷︷︸

F (s)

g(τ ) e−sτ dτ =

=F (s)∫ ∞

0

g(τ ) e−sτ dτ︸︷︷︸G(s)

= F (s) G(s)

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∗

t

τ

→

θ = t − τ dθ = dt

τ

τ : 0 → b

t : τ → b

→

τ : 0 → b

θ : 0 → b − τ

[voltar]

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ANEXO 2 - Transformada z

Definicao

f : Z −→ R

Z[f ] =∑∞

k=0 f(k)z−k

Propriedades mais relevantes

• Z[σf ] = z(Z[f ] − f(0)) (Demonstre!)

• Z[g ∗ f ] = Z[g]Z[f ] (Demonstre!)

[voltar]

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