2.1. Axiomas de IncidnciaNeste primeiro grupo estudaremos a incidncia entre pontos e retas que ter o mesmo significado de interceptar, passar por, estar sobre. Comearemos pelo axioma de existncia.

Axioma I.1: (de existncia) a) Existe ponto.b) Existe reta e qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem reta e pontos que no pertencem reta.

O mais interessante deste axioma que ele nos garante a existncia dos objetos bsicos, ou seja, a geometria no constitui-se de um conjunto vazio e, portanto, far sentido o estudo da relao entre esses objetos.

Axioma I.2: (de determinao): Dados dois pontos distintos existe uma nica reta que contm estes pontos.

Observaes:

1. Como dois pontos determinam uma reta, quando falarmos de uma reta que passa por dois pontos distintos A e B, a denotaremos por rAB.

2. Este axioma constitui um bom teste de qualidade das rguas que utilizamos, ou seja, se voc conseguir desenhar duas retas distintas passando por dois pontos distintos significa que esta rgua no adequada para esta geometria.

3. Dada uma reta r, que existe pelo Axioma I.1.b, tomamos um ponto P qualquer fora de r e um ponto Q em r, que existem pelo mesmo axioma; unindo P com Q, teremos uma nova reta s que univocamente determinada pelos pontos P e Q de acordo com o Axioma I.2a. O ponto Q na reta r, o que chamaremos de interseo de r e s, cuja notao ser r ? s. Fazendo um abuso de notao, escreveremos r ? s = Q ao invs de r ? s = {Q}. Isto ser feito com o objetivo de simplific-la.

Os axiomas de incidncia no garante que tem infinitos pontos na reta. No entanto, colocaraxioma para garantir somente a existncia de infinitos pontos no fora a ser reta, pois podehaver saltos entre os pontos da reta como no conjunto {1n: n ? N}. Para evitar que tenhasaltos, precisaria garantir que tenha pontos entre dois pontos quaisquer. Alem disso, uma retatem que continuar para ambos lados, o que requer que tenha pontos fora do segmento. Osaxiomas de ordem serve para este propsito.O ponto B est entre os pontos A e C que ser denotado por A * B * C , satisfazem osseguintes axiomas.

Axioma 4. A * B * C ento A, B e C so colineares, distintos e C * B * A.Axioma acima uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O prximo axioma garanteque est bem definida (no h ambiguidade).Axioma 5. Dados trs pontos colineares e distintos, um e apenas um est entre outros dois.Axioma 6. Dados dois pontos A e C , existem pontos B e D tais que A * B * C e A * C * D.Axioma acima necesrio para garantir que no h saltos, assim como distinguir segmentode uma reta (com auxlio de outros axiomas).

Os axiomas de ordem ainda no garante que os pontos fora do segmento no pode estarno segmento. Somente garantir que ponto fora do segmento no pode estar no segmentoainda permite objetos indesejveis como um segmento aberto ser considerado uma reta. Assim,precisaria garantir que retas continuam indefinidamente, dividindo o plano.

Axioma acima uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O prximo axioma garanteque est bem definida (no h ambiguidade).Axioma 5. Dados trs pontos colineares e distintos, um e apenas um est entre outros dois.Axioma 6. Dados dois pontos A e C , existem pontos B e D tais que A * B * C e A * C * D.Axioma acima necesrio para garantir que no h saltos, assim como distinguir segmentode uma reta (com auxlio de outros axiomas).Os axiomas de ordem ainda no garante que os pontos fora do segmento no pode estarno segmento. Somente garantir que ponto fora do segmento no pode estar no segmentoainda permite objetos indesejveis como um segmento aberto ser considerado uma reta. Assim,precisaria garantir que retas continuam indefinidamente, dividindo o plano.

Axioma acima uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O prximo axioma garanteque est bem definida (no h ambiguidade).Axioma 5. Dados trs pontos colineares e distintos, um e apenas um est entre outros dois.Axioma 6. Dados dois pontos A e C , existem pontos B e D tais que A * B * C e A * C * D.Axioma acima necesrio para garantir que no h saltos, assim como distinguir segmentode uma reta (com auxlio de outros axiomas).Os axiomas de ordem ainda no garante que os pontos fora do segmento no pode estarno segmento. Somente garantir que ponto fora do segmento no pode estar no segmentoainda permite objetos indesejveis como um segmento aberto ser considerado uma reta. Assim,precisaria garantir que retas continuam indefinidamente, dividindo o plano.

Axioma acima uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O prximo axioma garanteque est bem definida (no h ambiguidade).Axioma 5. Dados trs pontos colineares e distintos, um e apenas um est entre outros dois.Axioma 6. Dados dois pontos A e C , existem pontos B e D tais que A * B * C e A * C * D.Axioma acima necesrio para garantir que no h saltos, assim como distinguir segmentode uma reta (com auxlio de outros axiomas).Os axiomas de ordem ainda no garante que os pontos fora do segmento no pode estarno segmento. Somente garantir que ponto fora do segmento no pode estar no segmentoainda permite objetos indesejveis como um segmento aberto ser considerado uma reta. Assim,precisaria garantir que retas continuam indefinidamente, dividindo o plano.

Axioma acima uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O prximo axioma garanteque est bem definida (no h ambiguidade).Axioma 5. Dados trs pontos colineares e distintos, um e apenas um est entre outros dois.Axioma 6. Dados dois pontos A e C , existem pontos B e D tais que A * B * C e A * C * D.Axioma acima necesrio para garantir que no h saltos, assim como distinguir segmentode uma reta (com auxlio de outros axiomas).

Os axiomas de ordem ainda no garante que os pontos fora do segmento no pode estarno segmento. Somente garantir que ponto fora do segmento no pode estar no segmentoainda permite objetos indesejveis como um segmento aberto ser considerado uma reta. Assim,precisaria garantir que retas continuam indefinidamente, dividindo o plano.

Axioma acima uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O prximo axioma garanteque est bem definida (no h ambiguidade).Axioma 5. Dados trs pontos colineares e distintos, um e apenas um est entre outros dois.Axioma 6. Dados dois pontos A e C , existem pontos B e D tais que A * B * C e A * C * D.Axioma acima necesrio para garantir que no h saltos, assim como distinguir segmentode uma reta (com auxlio de outros axiomas).Os axiomas de ordem ainda no garante que os pontos fora do segmento no pode estarno segmento. Somente garantir que ponto fora do segmento no pode estar no segmentoainda permite objetos indesejveis como um segmento aberto ser considerado uma reta. Assim,precisaria garantir que retas continuam indefinidamente, dividindo o plano.

Axioma acima uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O prximo axioma garanteque est bem definida (no h ambiguidade).Axioma 5. Dados trs pontos colineares e distintos, um e apenas um est entre outros dois.Axioma 6. Dados dois pontos A e C , existem pontos B e D tais que A * B * C e A * C * D.Axioma acima necesrio para garantir que no h saltos, assim como distinguir segmentode uma reta (com auxlio de outros axiomas).Os axiomas de ordem ainda no garante que os pontos fora do segmento no pode estarno segmento. Somente garantir que ponto fora do segmento no pode estar no segmentoainda permite objetos indesejveis como um segmento aberto ser considerado uma reta. Assim,precisaria garantir que retas continuam indefinidamente, dividindo o plano.

2.1. Axiomas de IncidnciaNeste primeiro grupo estudaremos a incidncia entre pontos e retas que ter o mesmo significado de interceptar, passar por, estar sobre. Comearemos pelo axioma de existncia.

Axioma I.1: (de existncia) a) Existe ponto.b) Existe reta e qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem reta e pontos que no pertencem reta.

O mais interessante deste axioma que ele nos garante a existncia dos objetos bsicos, ou seja, a geometria no constitui-se de um conjunto vazio e, portanto, far sentido o estudo da relao entre esses objetos.

Axioma I.2: (de determinao): Dados dois pontos distintos existe uma nica reta que contm estes pontos.

Observaes:

1. Como dois pontos determinam uma reta, quando falarmos de uma reta que passa por dois pontos distintos A e B, a denotaremos por rAB.

2. Este axioma constitui um bom teste de qualidade das rguas que utilizamos, ou s

eja, se voc conseguir desenhar duas retas distintas passando por dois pontos distintos significa que esta rgua no adequada para esta geometria.

3. Dada uma reta r, que existe pelo Axioma I.1.b, tomamos um ponto P qualquer fora de r e um ponto Q em r, que existem pelo mesmo axioma; unindo P com Q, teremos uma nova reta s que univocamente determinada pelos pontos P e Q de acordo com o Axioma I.2a. O ponto Q na reta r, o que chamaremos de interseo de r e s, cuja notao ser r ? s. Fazendo um abuso de notao, escreveremos r ? s = Q ao invs de r ? s = {Q}. Isto ser feito com o objetivo de simplific-la.

3. Dada uma reta r, que existe pelo Axioma I.1.b, tomamos um ponto P qualquer fora de r e um ponto Q em r, que existem pelo mesmo axioma; unindo P com Q, teremos uma nova reta s que univocamente determinada pelos pontos P e Q de acordo com o Axioma I.2a. O ponto Q na reta r, o que chamaremos de interseo de r e s, cuja notao ser r ? s. Fazendo um abuso de notao, escreveremos r ? s = Q ao invs de r ? s = {Q}. Isto ser feito com o objetivo de simplific-la.

Os axiomas de incidncia no garante que tem infinitos pontos na reta. No entanto, colocaraxioma para garantir somente a existncia de infinitos pontos no fora a ser reta, pois podehaver saltos entre os pontos da reta como no conjunto {1n: n ? N}. Para evitar que tenhasaltos, precisaria garantir que tenha pontos entre dois pontos quaisquer. Alem disso, uma retatem que continuar para ambos lados, o que requer que tenha pontos fora do segmento. Osaxiomas de ordem serve para este propsito.O ponto B est entre os pontos A e C que ser denotado por A * B * C , satisfazem osseguintes axiomas.

Axioma 4. A * B * C ento A, B e C so colineares, distintos e C * B * A.Axioma acima uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O prximo axioma garanteque est bem definida (no h ambiguidade).Axioma 5. Dados trs pontos colineares e distintos, um e apenas um est entre outros dois.Axioma 6. Dados dois pontos A e C , existem pontos B e D tais que A * B * C e A * C * D.Axioma acima necesrio para garantir que no h saltos, assim como distinguir segmentode uma reta (com auxlio de outros axiomas).Os axiomas de ordem ainda no garante que os pontos fora do segmento no pode estarno segmento. Somente garantir que ponto fora do segmento no pode estar no segmentoainda permite objetos indesejveis como um segmento aberto ser considerado uma reta. Assim,precisaria garantir que retas continuam indefinidamente, dividindo o plano.

Axioma acima uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O prximo axioma garanteque est bem definida (no h ambiguidade).Axioma 5. Dados trs pontos colineares e distintos, um e apenas um est entre outros dois.Axioma 6. Dados dois pontos A e C , existem pontos B e D tais que A * B * C e A * C * D.Axioma acima necesrio para garantir que no h saltos, assim como distinguir segmentode uma reta (com auxlio de outros axiomas).Os axiomas de ordem ainda no garante que os pontos fora do segmento no pode estarno segmento. Somente garantir que ponto fora do segmento no pode estar no segmentoainda permite objetos indesejveis como um segmento aberto ser considerado uma ret

a. Assim,precisaria garantir que retas continuam indefinidamente, dividindo o plano.

Axioma acima uma propriedade similar a reflexitiva (simetria). O prximo axioma garanteque est bem definida (no h ambiguidade).Axioma 5. Dados trs pontos colineares e distintos, um e apenas um est entre outros dois.Axioma 6. Dados dois pontos A e C , existem pontos B e D tais que A * B * C e A * C * D.Axioma acima necesrio para garantir que no h saltos, assim como distinguir segmentode uma reta (com auxlio de outros axiomas).Os axiomas de ordem ainda no garante que os pontos fora do segmento no pode estarno segmento. Somente garantir que ponto fora do segmento no pode estar no segmentoainda permite objetos indesejveis como um segmento aberto ser considerado uma reta. Assim,precisaria garantir que retas continuam indefinidamente, dividindo o plano.