Anotacoes sobre corpos.Rodrigo Carlos Silva de Lima

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJrodrigo.u.math@gmail.com

21 de maio de 2013

1

Sumario1 Corpos

3

1.1

Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Axiomas algebricos de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Subcorpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Homomorsmo e Isomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Construcao de uma raiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5

Corpos de decomposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6

Extensoes normais e separaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.7

Extensoes puramente inseparaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.8

Exemplos (revisar e rearranjar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2

Captulo 1Corpos1.1

Corpos

1.2

Axiomas algebricos de um corpo

Definicao 1 (Corpo). Um corpo e um conjunto K munido de duas operacoes, uma adicao+ e uma multiplicacao que satisfazem os axiomas que descreveremos a seguir (Chamados axiomas de corpo1 ). Sejam x, y, z elementos quaisquer de K, que serao chamados denumeros.Axiomas da adicaoAxioma 1. Para cada par de numeros x e y corresponde um terceiro numero z chamadode soma de x e y e denotado por x + y.Axioma 2 (Existencia de elemento neutro para adicao). Existe 0 K tal que x + 0 = x.Axioma 3 (Comutatividade da adicao). x + y = y + xAxioma 4 (Associatividade da adicao). (x + y) + z = x + (y + z)1

Em ingles e usada a palavra field para o que chamamos de corpo.

3

CAPITULO 1. CORPOS

4

Axioma 5 (Existencia de inverso aditivo). Existe x K tal quex + (x) = 0.O elemento x e chamado simetrico de x.Definicao 2 (Subtracao). Denimos a operacao de subtracao como x y := x + (y).Axiomas da multiplicacaoAxioma 6. Para cada par de numeros x e y corresponde um terceiro numero z chamadode produto de x e y e denotado por x.y.Axioma 7 (Comutatividade da multiplicacao). x.y = y.x.Axioma 8 (Existencia do elemento neutro multiplicativo). Existe 1 K tal que1.x = x.Axioma 9 (Associatividade da multiplicacao).(x.y).z = x.(y.z).Axioma 10 (Existencia do inverso multiplicativo). Para todo x = 0 K existe x1 Ktal quex.x1 = 1.Enfatizamos que 01 nao esta denido. Sempre que consideramos x1 , estaremossupondo x = 0. O elemento x1 e chamado inverso de x.Observacao 1. Como uma operacao e denida como funcao, entao podemos adicionar emultiplicar de ambos lados de uma igualdade, sem alterar a igualdade. por exemplo, dadoc xo no corpo, temos a funcao soma que faz Sc (x) = x + c, se x = y entao Sc (x) = Sc (y),logo x + c = y + c, o mesmo vale para o produto, temos Pc (x) = x.c funcao, da se x = ytem-se Pc (x) = Pc (y), isto e, x.c = y.c.

CAPITULO 1. CORPOS

5

x=y x+c=y+c

x = y x.c = y.c c K.Definicao 3 (Fracao). Sendo x = 0 denimos a fracaoy= y.x1xchamamos y de numerador e x de denominador da fracao

y.x

Axioma 11 (Distributividade da multiplicacao).x(y + z) = xy + xz.Esses sao os axiomas da adicao e multiplicacao num corpo.Exemplo 1. Considerando Q, Z e N munidos de multiplicacao e adicao usuais. O conjunto dos numeros racionais Q e um corpo. O conjunto dos inteiros Z nao e um corpo, pois nao possui inverso multiplicativo

para todo elementos, por exemplo nao temos o inverso de 2. O conjunto dos numeros naturais nao e um corpo, pois nao possui simetrico para

cada elemento contido nele.Exemplo 2. O conjunto dos polinomios de coeciente racionais Q[t] nao e um corpo, poisnpor exemplo o elemento x nao possui inverso multiplicativo, se houvesse haveriaak xktal que x

n

ak xk = 1 =

k=0

independente x0 e zero em

n

k=0

ak xk+1 o que nao e possvel pois o coeciente do termo

k=0

nk=0

ak xk+1 e deveria ser 1.

CAPITULO 1. CORPOS

6

Propriedade 1. Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo, entao o conjunto F (X, K)munido de adicao e multiplicacao de funcoes e um anel comutativo com unidade, nao existindo inverso para todo elemento. Lembrando que em um anel comutativo com unidadetemos as propriedades, associativa, comutativa, elemento neutro e existencia de inversoaditivo, para adicao. valendo tambem a comutatividade, associatividade, existencia deunidade 1 para o produto e distributividade que relaciona as duas operacoes.Demonstracao. Vale a associatividade da adicao

((f + g) + h)(x) = (f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) = (f + (g + h))(x) Existe elemento neutro da adicao 0 K e a funcao constante 0(x) = 0 x K, da

(g + 0)(x) = g(x) + 0(x) = g(x). Comutatividade da adicao

(f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x) Existe a funcao simetrica, dado g(x), temos f com f (x) = g(x) e da

(g + f )(x) = g(x) g(x) = 0. Vale a associatividade da multiplicacao

(f (x).g(x)).h(x) = f (x).(g(x).h(x)) Existe elemento neutro da multiplicacao 1 K e a funcao constante I(x) = 1 x

K, da(g.I)(x) = g(x).1 = g(x). Comutatividade da multiplicacao

(f.g)(x) = f (x)g(x) = g(x)f (x) = (g.f )(x)Por ultimo vale a distributividade (f (g + h))(x) = f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) +f (x)h(x) = (f.g + f.h)(x).Nao temos inverso multiplicativo para toda funcao, pois dada uma funcao, tal quef (1) = 0 e f (x) = 1 para todo x = 1 em K, nao existe funcao g tal que g(1)f (1) = 1,pois f (1) = 0, assim o produto de f por nenhuma outra funcao gera a identidade.

CAPITULO 1. CORPOS

1.2.1

7

Subcorpo

Definicao 4 (Subcorpo). Um conjunto A K munido das operacoes +, do corpo kque satisfaz as propriedades O elemento neutro da adicao 0 pertence ao conjunto. O elemento neutro da multiplicacao 1 pertence ao conjunto. A adicao e fechada. O produto e fechado. Dado x A implica x A. Dado x = 0 A tem-se x1 A.

Propriedade 2. Sejam K um corpo

P =

AK | A

A.

e corpo

Entao P e corpo, sendo o menor subcorpo de K .Demonstracao. Se K = {0} entao P = {0} que e corpo . Considere entao K umcorpo nao trivial.Temos que mostrar os seguintes itens O elemento neutro da adicao 0 pertence ao conjunto. O elemento neutro da multiplicacao 1 pertence ao conjunto. A adicao e fechada. O produto e fechado. Dado x P implica x P . Dado x = 0 P tem-se x1 P.

CAPITULO 1. CORPOS

8

As propriedades, associativida, comutatividade, distributividade, nao precisam ser demonstradas pois valem em subconjuntos de K.Demonstrando os itens: O elemento neutro da adicao 0 pertence ao conjunto, pois 0 pertence a todos sub-

corpos, logo pertence a intersecao dos subcorpos. O elemento neutro da multiplicacao 1 pertence ao conjunto, pois pertence a todos

subcorpos. A adicao e fechada. Dados x e y em P , entao x e y pertence a todo subcorpo A K,

portanto x + y A qualquer e da x + y P. O produto e fechado. Dados x e y em P , entao x e y pertence a todo subcorpo

A K, portanto x.y A qualquer e da x.y P. Dado x P implica x P . Se x P entao x pertence a todo subcorpo A e da

x A qualquer e portanto x P. Dado x = 0 P tem-se x1 P. Se x P entao x A para qualquer subcorpo A

de K e da x1 A qualquer entao x1 P .P e o menor subcorpo pois dado qualquer subcorpo A K temos A P , pois A eA.um elemento da intersecaoAK | A ecorpo

1.3

Homomorfismo e Isomorfismo

Definicao 5 (Homomorsmo de corpos). Sejam A, B corpos. Uma funcao f : A Bchama-se um homomorsmo quando se temf (x + y) = f (x) + f (y)f (x.y) = f (x).f (y)f (1A ) = 1Bpara quaisquer x, y K. Denotaremos nesse caso as unidades 1A e 1B pelos mesmossmbolos e escrevemos f (1) = 1.

CAPITULO 1. CORPOS

9

Propriedade 3. Se f e homomorsmo entao f (0) = 0.Demonstracao. Temosf (0 + 0) = f (0) + f (0) = f (0)somando f (0) a ambos lados seguef (0) = 0.Propriedade 4. Vale f (a) = f (a).Demonstracao. Poisf (a a) = f (0) = 0 = f (a) + f (a)da f (a) = f (a).Corolario 1.f (a b) = f (a) + f (b) = f (a) f (b).Propriedade 5. Se a e invertvel entao f (a) e invertvel e vale f (a1 ) = f (a)1 .Demonstracao.f (a.a1 ) = f (1) = 1 = f (a).f (a1 )entao pela unicidade de inverso em corpos segue que f (a)1 = f (a1 ).Propriedade 6. f e injetora.Demonstracao. Sejam x, y tais que f (x) = f (y), logo f (x) f (y) = 0, f (x y) = 0,se x = y entao x y seria invertvel logo f (x y) nao seria nulo, entao segue que x = y.Propriedade 7. f (A) e subcorpo de B.Demonstracao. A adicao e fechada, dados a = f (x) e b = f (y) entao a + b f (A) pois

f (x + y) = f (x) + f (y) = a + b. O produto e fechado, pois f (x.y) = f (x).f (y) = a.b.

CAPITULO 1. CORPOS

10

a f (A) pois f (x) = f (x) = a. Se a = 0 entao a1 f (A) pois f (x1 ) = f (x)1 , x = 0 pois se fosse x = 0 entao

a = 0, logo x e invertvel.Propriedade 8. Se f e bijetora entao a funcao inversa f 1 de f e um homomorsmo.Demonstracao. Sejam a = f 1 (x) e b = f 1 (y). f 1 (1) = 1 pois f (1) = 1.

f 1 (x + y) = f 1 (f (a) + f (b)) = f 1 (f (a + b)) = a + b = f 1 (x) + f 1 (y).

f 1 (x.y) = f 1 (f (a).f (b)) = f 1 (f (a.b)) = a.b = f 1 (x).f 1 (y).Propriedade 9 (Composicao de homomorsmo). A composicao de homomorsmos e umhomomorsmo .Demonstracao. Considere f : A B e g : B C homomorsmos entao g f :A C e um homomorsmo. Vale g(f (1A )) = g(1B ) = 1C . g(f (x + y)) = g(f (x) + f (y)) = g(f (x)) + g(f (y)) g(f (x.y)) = g(f (x).f (y)) = g(f (x)).g(f (y))

Definicao 6 (Isomorsmo). Um Isomorsmo e um homomorsmo bijetor. Dois corpossao ditos isomorfos se existir um isomorsmo entre eles. Para todos os efeitos dois corpoisomorfos sao considerados identicos.Corolario 2. Se f e isomorsmo entao f 1 e isomorsmo .Definicao 7 (Automorsmo). Um automorsmo de corpos e um isomorsmo do corponele mesmo .

CAPITULO 1. CORPOS

11

Corolario 3. A composicao de bijecoes e uma bijecao, a composicao de homomorsmoe um homomorsmo, logo a composicao de isomorsmos e um isomorsmo, em especiala composicao de automorsmo e um automorsmo .Definicao 8 (Homomorsmo caracterstico-HC). Sejam D um domnio, P : Z Do unico homomorsmo de aneis tal que P (1) = 1D . Chamamos P de homomorsmocaracterstico de D. Entao

P (n) =

n

1D = n.1D

k=1

para qualquer n Z .Propriedade 10. O nucleo de P e um ideal de Z.Demonstracao. O nucleo de P , e o conjunto de numeros inteirosker(P ) = {x Z | x.1D = 0}.Tal conjunto e um ideal de Z pois 0 Ker(P ), pois 0.1D = 0. Dados dois elementos x, y Ker(D) entao x = x1 1D = 0, y = y1 .1D = 0 logo

x+y = 0 = x1 1D +y1 1D =

x1

1D +

k=1

y1

1D =

k=1

x1

y1 +x1

1D +

k=1

k=1+x1

y1 +x1

1D =

1D = (x1 +y1 )1D

k=1

portanto x1 + y1 Ker(D). Sendo x Ker(P ) e y Z tem-se x = x1 .1D = logo y.x = y.0 = 0 = (y.x1 ).1D

Propriedade 11. P (Z) e subanel de D.Demonstracao. 0 P (Z) pois 0.1D = 0. A soma e fechada . x, y P (Z) entaox1k=1

1D +

y1k=1

y1 +x1

1D =

k=1

1D .

CAPITULO 1. CORPOS

12

1D P (Z) pois 1.1D = 1D . A multiplicacao e fechada . x, y P (Z) entao

x.y =

y1x1

1D =

k=1 k=1

y 1 x1

1D .

k=1

Dado x P (Z) entao x P (Z), basta ver quen

1D +

k=1

n

1D =

k=1

n

1D +

k=1

n

1D = 0.

k=1

Corolario 4. Como Z e um domnio principal, existe n0 Z com n0 0 tal queker(P ) = I(n0 ) = n0 Z.Propriedade 12. Como D e um domnio entao o nucleo de p e um ideal primo de Z.Assim n0 = 0 ou n0 = p com p primo.Demonstracao. Ker(P ) e primo, pois dados x, y Z tais que x.y Ker(P ) tem-sex.y

1D = 0 =

x

1D

k=1

k=1

y

1D = 0

k=1

da como D e domnio segue que x.1D ou y1D sao nulos, o que prova que x ou y emker(P ).Agora se o gerador do ideal fosse um numero composto n0 = x.y entaon0

1D =

k=1

xk=1

1D .

y

1D = 0

k=1

da x ou y Ker(P ) o que compromete a minimalidade de n0 , logo n0 e primo ou n0 = 0.Corolario 5. Se n0 = 0, P e injetora (o nucleo so tem o elemento nulo) e D contem umsubanel isomorfo `a Z .{n.1D , n Z} = P (Z) D.Vale n.1D = 0D n = 0.Corolario 6. Caso n0 = p Para cada n Z por divisao euclidiana de n por p , existemq e r Z tais que n = pq + r, logon.1D = (qp + r)1D = q(p1D ) + r1D = r.1D

CAPITULO 1. CORPOS

13

entaoP (Z) = {n1D , n Z} = {r1D , r [0, p 1]N } = {01D , , (p 1)1D }.Definicao 9 (Caracterstica de um domnio.). Seja D um domnio. Chamaremos o gerador nao-negativo do nucleo do HC de caracterstica de D. Dizemos que D e de caracterstica zero, quando ker{P } = {0}. Nesse caso D contem um subanel isomorfo `a Z.Escrevemos car(D) = 0. Dizemos que D e de caracterstica p, onde p e primo, quandoker(P ) = P.Z nesse caso D contem um subanel isomorfo `a Zp , escrevemos car(D) = p.Corolario 7. Todo corpo e um domnio, entao a caracterstica de um corpo e 0 ou p,com p primo .Definicao 10 (Corpo de fracoes de um domnio). Para todo domnio D, podemos construir o seu corpo de fracoes Q(D), `a saber o conjuntoaQ(D) = { | a, b D, b = 0}bonde

ac= ad = bc.bd

Propriedade 13. Q(D) e um corpo com as operacoesa cad + bcacac+ =e= .b dbdbdbdPropriedade 14. Q(D) e um corpo que tem as seguintes propriedades1. D e um subanel de Q(D).2. Se K e um corpo e D e um subanel de K entao Q(D) e subcorpo de K. (Q(D) e omenor corpo gerado por D.)Demonstracao.abaa= , identicamos a com . A adicaob11e multiplicacao de D correspondem `a adicao e multiplicacao de Q(D), restritas `as

1. Seja a D entao b D, b = 0 temosfracoes com denominador 1D .

CAPITULO 1. CORPOS

14

2. .Definicao 11 (Corpo das funcoes racionais com coecientes num corpo.). Sejam K umcorpo e K[x] o domnio dos polinomios com coeciente em K. K(x), o corpo das funcoesracionais com coecientes em K e denido comok(x) = {

f (x)| f (x), g(x) K[x]; g(x) = 0}g(x)

k(x) e o corpo das fracoes de k[x].Definicao 12 (Extensao de corpos). Sejam K e L corpos. Dizemos que L e uma extensaode K K e um subcorpo de L. Escrevemos L|K. Nesse caso K L, K e um corpocom as operacoes de L e 1k = 1L . L|K le-se, extensao L sobre K.Exemplo 3. Sao extensoes R|Q, C|Q, R|Q, C|R.Propriedade 15. Seja a extensao L|K entaocar(L) = car(K).Demonstracao. K e L sao corpos logo 1 K, L e da

n

1 K, L e assume o

k=1

mesmo valor em ambos para todo n N , da ambos corpos tem a mesma caracterstica,pois se a soma se anula em um corpo tambem se anula em outro e se a soma nao se anularem um dos corpos tambem nao se anula em outro pois assumem mesmo valor em amboscorpos para todo n N .Exemplo 4. Seja K um corpo. Sabemos que car(K) = 0 ou car(k) = p, onde p e umnatural primo. No primeiro caso k contem um domnio isomorfo `a Z, `a saber o domnioD = {n.1K |n Z}. Como K e um corpo , o corpo de fracoes de D e um subcorpo de K,assimK Q(D) = {

n.1K| n, m Z; m = 0} Q.m.1K

Propriedade 16. O menor subcorpo de K e Q(D) Q.No sentido que qualquer subcorpode K deve conter Q(D).

CAPITULO 1. CORPOS

15

Definicao 13 (Corpo primo). Seja K um corpo, O corpo primo de K e o menor subcorpode K.Exemplo 5. Quando car(K) = 0, m1k = 0 m = 0 e o corpo primo de K eQ(D) = {

n.1K| n, m Z; m = 0}.m.1K

Propriedade 17. Seja L|K uma extensao de corpos. As operacoes de adicao e multiplicacao de L induzem em L uma estrutura de K-espaco vetorial. O multiplicacao porescalar do conjunto K, dada como c onde c K e L e a adicao + usual deelementos de L.Definicao 14 (Grau L|K). A dimensao de L como K-espaco vetorial e chamada de graude L|K, denotamos [L : K] = dimk(L).Definicao 15 (Extensoes nitas). Seja L|K uma extensao de corpos, dizemos que L|Ke extensao nita quando [L : K] = c, c um numero natural e denotamos [L : K] < .Caso contrario dizemos que L|K e extensao innita e denotamos [L : K] = .Exemplo 6. Seja K um corpo, entao K|K e uma extensao nita, pois K e um K-espacovetorial de dimensao 1, pois 1k e uma base para K.Exemplo 7. C|R e uma extensao nita, pois {1, i} gera C como um R-espaco vetorial ealem disso e linearmente independente, logo e uma base.Exemplo 8. [Q( 2 : Q] = 2 pois temos base {1, 2}.Exemplo 9. (Exemplo de uma extensao innita)Sendo K um corpo e x uma indeterminada sobre K, a extensao K(x)|K e innita,pois {xk , k N } e linearmente independente sobre K, logo vale [K(x) : K] = .Propriedade 18 (Multiplicatividade do grau). Sejam L|K e K|F extensoes nitas decorpos, entao L|F e extensao nita e [L : F ] = [L : K][K : F ].

CAPITULO 1. CORPOS

16

Demonstracao. Seja L|KB = {ak |k In } uma base da extensao L|K e K|FB ={bs |s Im } uma base para a extensao K|F . Vamos mostrar queL|FB = {ak bs |k In , s Im }e uma base de L|F . Seja l L por L ser K espaco vetorial, existem kj K tal quel=

n

a j kj

j=1

e como kj K e K e F -espaco vetorial, entao existem f(s,j) F tal quekj =

m

f(s,j) bs

s=1

logol=

nj=1

aj

(m

)f(s,j) bs

=

s=1

n (mj=1

)f(s,j) .bs .aj

s=1

=

n m

f(s,j) .(bs .aj )

j=1 s=1

assim podemos escrever l como combinacao linear dos elementos {aj bs |j In , s Im }.Vamos mostrar agora que e linearmente independente, suponhanm0=(f(s,k) .bs ) .ajj=1

| s=1 {z

kj K

}

como L|KB e linearmente sobre K, temos que term

f(s,j) .bs = 0

s=1

mas como K|FB e linearmente independente sobre F segue que f(s,j) = 0 para todo s Im .Assim segue que L|FB e uma base para L|F .Propriedade 19. Se [L : F ] e nita entao [L : K] e [K : F ] sao nitas.Demonstracao. Sejam as extensoes L|K e K|F . Supondo [L : F ] nita K Limplica dimF K dimF L o que implica [K : F ] [L : F ]. Seja {ek , k Il } base dellL como F espaco vetorial L =F ek Kek L onde a primeira soma e direta,k=1

k=1

logo sabemos que {ek , k Il } gera L como K espaco vetorial da dimK L l, isto e,[L : K] l, logo tambem e nita.

CAPITULO 1. CORPOS

17

Corolario 8. Sejam as extensoes L|K e K|F . [L : F ] e nita [L : K] e [K : F ] saonitas.Propriedade 20. Seja M uma extensao do corpo K . Se [M : K] = p, p primo, entaotodo corpo L com K L M , satisfaz L = K ou K = M .Demonstracao. Por multiplicatividade do grau temos[M : K] = p = [M : L] [L : K]logo [M : L] = 1 ou [L : K] = 1, da L = K ou L = M .Definicao 16 (Torre de corpos). Uma torre de corpos e uma sequencia de corpos (Fk )n1onde Fk+1 |Fk . Uma torre e dita nita a sequencia e nita, caso contrario ela e innita.Definicao 17 (Adjuncao). Sejam L|K uma extensao de corpos e S tal que S L. K[S]e o menor anel contido em L contendo K S e e domnio por herdar propriedade do corpoL. Dizemos que k[S] e o subanel de L obtido pela adjuncao de S `a K.K(S) e o menor corpo contido em L contendo K S, da mesma maneira K(S) e dito osubcorpo de L obtido pela adjuncao de S `a K.Definicao 18 (Compositum). Sejam E e F extensoes de K, se E e F estao contidos emum corpo L, denotamos por EF o menor subcorpo de L que contem E e F e o chamamosde compositum de E e F em L. Se E e F nao sao subconjuntos de um corpo L entao naodenimos o compositum.O compositum de uma subfamlia arbitraria de subcorpos de um corpo L e o menorsubcorpo contendo todos os corpos da famlia ( Sendo no maximo L ).Tambem chamamos a extensao EF |F de translacao de E para F .Definicao 19. Seja K um subcorpo de E e (k )n1 elementos de E denotamos porK(1 , , n )ou K(k )n1 como o menor subcorpo de E contendo K e os elementos de (k )n1 .

CAPITULO 1. CORPOS

18

Propriedade 21. K(1 , , n ) e o corpo cujos elementos consistem em todos quocientesda formaf (1 , , n )g(1 , , n )onde f e g sao polinomios de n variaveis com coecientes em K e g(1 , , n ) = 0.Demonstracao.Propriedade 22. Sejam L|K uma extensao de corpos e L, S = {}, K[x] o domniodos polinomios com coecientes em K, entao

K[] = {f () | f (x) K[x]}o menor subanel de L que contem K {} e {f () | f (x) K[x]}, o conjunto dospolinomios com coecientes em K aplicados em .Demonstracao.Para qualquer f (x) =

n

k

ak x em K[x] temos f () =

k=0

n

ak k L. A = {f () | f (x)

k=0

K[x]} e subanel de L que contem K {}, contem , pois f (x) = x K[x], daf () = A , tambem contem K, pois dado a0 K temos o polinomio f (x) = a0 K[x]e da f () = a0 A. O conjunto A e subanel pois 0 B, a soma e o produto sao fechadose o inverso aditivo pertence ao conjunto, as outras propriedades tambem se vericam,temos uma soma abeliana, produto associativo e vale a propriedade distributiva. Paraqualquer subanel B de L que contenha K {} tem-se n B n N a.n B, com a K. Logo

n

Ks A, da A B.

s=0

Logo todo anel de L que contem K {} contem A, logo A e o menor subanel.Corolario 9. K() e o menor subcorpo de L que contem L e K {} e tem que contero domnio K[], portanto K() contem o corpo de fracoes de K[], isto e,

CAPITULO 1. CORPOS

19

K() Q(K[]) = {

f ()| f (x), g(x) K[x], g() = 0} K()g()

disso segue queK() = {

f ()| f (x), g(x) K[x], g() = 0}g()

Definicao 20 (Finitamente gerado). E e nitamente gerado sobre K, se existem elementos (k )n1 em E, tais que E = K(k )n1 .Definicao 21 (Elemento algebrico ou transcendente sobre K). Seja L|K uma extensaode corpos e seja a L. a e dito algebrico sobre K existe f (x) K[x] \ {0} tal quef (a) = 0, caso contrario a e transcedental sobre K.Corolario 10. Se a e algebrico sobre K, F |K extensao, entao a e algebrico sobre F ,pois existe P (x) K[x] tal que P () = 0, porem de K F segue P (x) F [x], pois oscoecientes em K tambem sao elementos de F , logo a e algebrico sobre F .Corolario 11. Suponha a torre de corposK K(1 ) K(1 , 2 ) K(1 , , n )cada elemento gerado pelo anterior pela adjuncao de um unico elemento. Se cada k ealgebrico sobre K entao entao cada t+1 e algebrico sobre K(1 , , t ), da cada degraue algebrico e a torre e dita algebrica.Definicao 22 (Polinomio mnimo de a sobre K). Sejam L|K e a L algebrico sobre K.O polinomio P (x) K[x] monico irredutvel tal que P (a) = 0 e o polinomio mnimo dea sobre K. Denotaremos tal polinomio como Pa|K (x).Exemplo 10. Todo K e algebrico sobre K, com polinomio mnimo x K[x].Exemplo 11. i e algebrico sobre Q e seu polinomio mnimo sobre Q e x2 + 1 Q[x].Exemplo 12. e e sao numeros transcendentes sobre Q.

CAPITULO 1. CORPOS

20

Propriedade 23. Se P (x) K[x] tal que P (a) = 0 entao Pa|K (x)|P (x).Teorema 1 (Caracterizacao de elementos algebricos). Sejam L|K uma extensao de corpose L. Temos que e algebrico sobre k [K() : K] < , nesse caso k() = k[],[K() : K] = n, onde n = grau(P (x)) e P (x) K[x] e o polinomio mnimo de sobreK.Demonstracao.). Sejam P (x) o polinomio mnimo de sobre K, f (x) K[x] tal que f () = 0.Entao P (x) nao divide f (x) e da existem g(x), h(x) em K[x] tais queg(x)P (x) + h(x)f (x) = 1disso segue que h()f () = 1, f () e invertvel em K[], que ca sendo nao apenas anelporem corpo, por isso deve ser igual `a K().As potencias 0 , , n1 sao LI sobre K, pois se naonao todos nulos em K, da g(x) =

n1

n1

ak k = 0 com coecientes

k=0

ak xk e nao nulo e g() = 0 logo P (x) divide g(x),

k=0

o que e absurdo pois o primeiro possui grau maior.Seja f () K[] onde f (x) K[x] entao existem polinomios q(x), r(x) em K(x) taisque R < n e f (x) = q(x)P (x) + r(x) entao f () = r() e 0 , , n1 e base de k[]como espaco vetorial sobre K, logo [K() : K] = n.).Supondo [k() : K] = n, tomamos A = {0 , , n }, A e linearmente dependentesobre K, pois possui n + 1 elementos, logo existe (ck )n0 em K nem todos nulos, tais quen

ck k = 0

k=0

logo tomando f (x) =

n

ck xk em K[x] temos f nao nulo e f () = 0, da e algebrico

k=0

sobre K.Corolario 12. Sejam L|K uma extensao de corpos e L. Temos que e transcendentesobre K K()|K e extensao innita. Nesse caso K[a] = K().

CAPITULO 1. CORPOS

21

1

Exemplo 13. Seja = 3 3 , estudamos a extensao Q()|Q. Temos 3 = 2, e raiz dex3 2zinQ[x] que e irredutvel pelo criterio de Eisenstein , da [Q() : Q] = 3 e {1, , 2 }e uma base de Q() sobre Q .Propriedade 24. Sejam L|K um extensao de corpos, L. K(, ) = K(S) ondeS = {, }. Vale queK()() = K(, ) = K()().Demonstracao. Vale que , K(, ) e K K(, ) logo K() K(, ) eK()() K(, ). K()() e o menor subcorpo de L que contem K() {} entaoK()() K() {} K {, }logo K()() K(, ) pois K(, ) e o menor subcorpo de L que contem K {, },disso segue que K(, ) = K()().Como K(, ) = K(, ) = K(, ) entaoK()() = K(, ) = K()(). Exemplo 14. Mostre que Q( 2 + 3) = Q( 2, 3) como temos 2, 3 Q( 2, 3) segue 2 + 3 Q( 2, 3) logo Q( 2 + 3) Q( 2, 3). Vamos mostrar que 2 e3 Q( 2 + 3) .Sendo = 2 + 3 temos 3 = 2 3 = 2 2 2 + 2 logo 2 2 = 2 1 2 12= Q() e 3 = 2 Q() logo Q( 2 + 3) = Q( 2, 3).2O polinomio mnimo de sobre Q pode ser obtido da seguinte maneira, de2 2 = 2 1 82 = 4 22 + 1 4 102 + 1 = 0portanto e algebrico sobre Q e o polinomio mnimo de sobre Q e 4 102 + 1, pois [Q( 2)( 3) : Q] = [Q( 2)( 3) : Q( 2)][Q( 2) : Q] = 2.2 = 4pois

3/ Q( 2) (mostre!).

Definicao 23 (Extensao simples). Seja L|K uma extensao de corpos. Dizemos que L|Ke uma extensao simples L tal que L = K().

CAPITULO 1. CORPOS

22

Propriedade 25. Seja L|K uma extensao de corpo. Se , L sao algebricos sobre K,entao , . e com = 0 sao algebricos sobre K, Desse modo{ L| e algebrico sobre K}e um subcorpo de L que contem K.Demonstracao. Seja { , .

= 0} entao K(, ) e

K K() K(, ).Vamos mostrar que [K(, ) : K] < da por multiplicatividade dos graus[K(, ) : K] = [K(, ) : K()] [K() : K]pelo que ja mostramos o fato de [K(, ) : K] ser nito implica [K(, ) : K()] e[K() : K] nitos logo algebricos.Sejam f , g K[x] os polinomios mnimos de e sobre K, com graus m e nrespectivamente temos que[K() : K] = m, [K() : K] = n.f (x) K(x) K()[x] e tal que f () = 0, logo e algebrico sobre K(), sendo Po polinomio mnimo de sobre K() de grau s, ele divide f (x) em K()[x] logo s m,portanto [K()() : K()] = s m o grau e nito e a extensao total [K(, ) : K] = sne nita por multiplicatividade dos graus. Como a extensao [K(, ) : K] e nita ela ealgebrica.Definicao 24 (Fecho algebrico de Q). Consideremos a extensao de corpos C|Q. Chamamos de fecho algebrico de Q ao subcorpo Q de C denido porQ = { C, e algebrico sobre Q}Q e realmente corpo pela propriedade anterior. O conjunto dos numeros algebricos eum corpo.Corolario 13.Q Q C.

CAPITULO 1. CORPOS

23

Corolario 14. A extensao Q|Q e innita, porem e algebrica .Ela e innita, pois supondo que fosse nita [Q : Q] = n, arranjamos um elemento quenao e raiz de nenhum polinomio com grau n, por exemplo xn+1 2 e irredutvel sobreQ, sendo uma raiz desse polinomio tem-se que [Q() : Q] = n + 1 e Q() Q, logonao pode ser [Q : Q] = n.Definicao 25 (Extensao algebrica ou transcendente). A extensao de corpos L|K e ditaalgebrica todo L e algebrico sobre K. Caso contrario L|K e dita transcendente.Corolario 15. A extensao R|Q e transcendente.Exemplo 15. e transcendente, isto e, P (x) Q[x] \ {0} vale que P () = 0.Exemplo 16. A extensao C|R e algebrica. Dado C entao existem a, b R tais que = a + bi, logo(a )2 = (bi)2 = b2 = a2 2.a + 2 a2 + b2 2a + 2 = 0, e raz de f (x) = x2 2ax + a2 + b2 , todo numero complexo e raz de um polinomio decoecientes reais, da C arbitrario e algebrico sobre R e portanto C|R e uma extensaoalgebrica.Propriedade 26. Se F |K e extensao nita, entao F |K e algebrica.Demonstracao.[1] Sejam dim[F : K] = n, a F , e a sequencia (ak )nk=0 que possuin + 1 termos, como possui n + 1 termos nao pode ser linearmente independente sobre K,logo existem (ks )n0 em K, tais quen

ks a k = 0

s=0

portanto fabricamos um polinomio P (x) =

n

ks xk , que se anula em a, como tal elemento

s=0

e arbitrario segue que a extensao e algebrica.Demonstracao.[2] Seja F arbitrario. Temos que K K() F e da pormultiplicatividade dos graus sabemos que [K() : K] divide [L : K], como e nita, entao algebrico.

CAPITULO 1. CORPOS

24

Propriedade 27. Se L|K e uma extensao nita, entao existem (k )n1 em L, algebricossobre K tais que L = K(k )n1 , isto e, se L e uma extensao nita de K entao L e nitamentegerada.Demonstracao. Seja n = [L : K] e {k , k In } L uma base de L sobre K, entaoL=

n

Kk K(k )n1 L

k=1

logo L =

K(k )n1 ,

pela proposicao anterior cada k e algebrico sobre K, pois a extensao

e nita e por isso algebrica.Propriedade 28. Seja F |K extensao, entao sao equivalentes1. K[] e corpo2. : K[x] K[] com (f (x)) = f () nao e injetora.3. e algebrico.Demonstracao. 1) 2). 1 K[] implica que existe P (x) =

n

ak xk com ak K tal que

k=0

nn1P () =ak k , disso segue queak k+1 = 1, implica que tomando=k=0k=0nak xk+1 1 temos (f (x)) = f () = 0 logo a funcao nao e injetoraf (x) =k=0

pois possui mais de um elemento no seu Kernel, alem do polinomio nulo. 2) 3). Existe f (x) K[x] tal que (f ) = 0 = f (), logo e algebrico sobre K,

pois temos polinomio que se anula com coecientes em K. 3) 2) tambem nao ecomplicado, pois algebrico implica que existe P (x) K[x] \ {0} tal que P () = 0da tem-se (P ) = 0. 3) 1). Seja P|K (x) o polinomio mnimo de sobre K, seja h() K[] \ {0}.

h(x) K[x], h(x) nao se anula em , temos duas possibilidade do mdc com o

CAPITULO 1. CORPOS

25

polinomio mnimo ele e 1 ou e o polinomio mnimo, a segunda possibilidade sedescarta pois h nao se anula em , entao existem g1 e g2 polinomios tais que1 = P|K (x)g1 (x) + h(x)g2 (x)e da aplicando em tem-se1 = h()g2 ()o inverso esta no conjunto, logo temos um corpo, pois o conjunto ja era anel comutativo com unidade.Propriedade 29. L|K e algebrica todo anel R, com K R L for corpo.Demonstracao.).Suponha L|K algebrica, seja um anel R com K R L, seja R temos quemostrar que 1 R, e algebrico sobre K, como L entao e algebrico sobre K,nnak k = 0, tomamos o menor t tal que t = 0 logoak xk tal queexiste P (x) =n

ak k =

n

k=0

k=0

ak k = 0

k=t

k=0

n

ak = at

k=t+1

k

t

n

ak

k1t

=

n1t

ak+t+1 k = at 1

k=0

k=t+1

1como at K entao a1e escrito como soma de elementos dot K e em R, portanto

anel R por isso pertence ao anel, como queramos mostrar.).Tomamos L arbitrario, K[] e anel, logo e corpo. Logo existe 1 K[].nn1k=ak k , disso segue queExiste P (x) =ak x com ak K tal que P () =k=0k=0nnak k+1 = 1, implica que tomando f (x) =ak xk+1 1 temos f () = 0 logo ek=0

k=0

algebrico sobre K, como o tomado e arbitrario, segue que L|K e uma extensao algebrica.Propriedade 30. Sejam F |K, F , temos que k()|K e nita e algebrico sobreK.Demonstracao.

CAPITULO 1. CORPOS

26

).K()|K e nita implica que K()|K e algebrica, logo e algebrico sobre K.). Suponha que seja algebrico,n

P|K (x) = x +

n1

ak xk ,

k=0

vamos mostrar que {1, , , n1 } e base de K()|K. Primeiro, suponho por absurdoem K, nao todos nulos tais queque o conjunto seja L.D, entao existem (ks )n100=

n

ks s

s=0

tomando h(x) =

n

ks xs chegamos em contradicao com minimalidade do grau do po-

s=0

linomio mnimo.f () K[], pois por divisao euclidianaf (x) = P|K (x)g(x) + r(x)aplicando x = temosf () = r(), da r(x) tem que ser identicamente nulo, pois o grau e menor que do polinomio mnimo.Definicao 26 (Classe de extensoes notaveis2 ). Seja C uma certa classe de extensoesE|F , dizemos que C e notavel, quando se vericam as condicoes1. Seja E|F |K, entao E|K C E|F e F |K em C.2. Se F |K em C e E e qualquer extensao de K com EF em algum corpo entao EF |Eem C.3. Se F |K e K|E em C com F e E subcorpos de um mesmo corpo, entao F E|K emC.(refazer guras)2

No texto de algebra de Serge Lang o termo usado e distinguished, porem preferi usar o termo notavel

CAPITULO 1. CORPOS

27

Figura 1.1: Na propriedade 1) vale a ida e a volta

Figura 1.2: Propriedade 2)Corolario 16. A condicao 3) segue das condicoes 1) e 2) pois se E|K e F |K em C entaopela condicao 2) segue EF |E e pela condicao 1) EF |K em C. Entao precisamos testarapenas as duas primeiras condicoes.Propriedade 31. A classe das extensoes algebricas e das nitas sao notaveis.Demonstracao. Considere C a classe das extensoes nitas.1. E|F e F |K sao nitas E|K e nita, por multiplicatividade dos graus.2. Suponha F |K nita e E extensao de K, existem elementos (k )n1 em F , algebricossobre K, tais que F = K(k )n1 , entao EF = EK(k )n1 = E(k )n1 entao EF |E enitamente gerada por elementos algebricos, portanto nita.Agora o caso de extensoes algebricas. ).

Suponha E|K algebrica, dado E existe P (x) K[x] tal que P () = 0, comoF E entao F e algebrico sobre K. E e algebrico sobre F pois, como K F entaoP (x) K[x] F [x].

CAPITULO 1. CORPOS

28

Figura 1.3: Propriedade 3) . Suponha que F |K e E|F sao algebricos. Seja E arbitrario, entao satisfazn

ak k = 0

k=0

com ak F , pois e algebrico sobre F . Seja F0 = K(k )n1 entao F0 |K e nita, poisF |K e algebrica, logo cada ak e algebrico. Considere a torre:K F0 F0 ()cada degrau da torre e nito, entao F0 () e nito sobre K, da e algebrico em K,como e arbitrario entao E|K e algebrica. Seja F |K algebrica, entao E|F e algebrica, pois dado F temos P (x) K[x] tal

que P () = 0, como K E vale P (x) K[x] E[x], entao todo elemento de F ealgebrico sobre E, o conjuntoA = {x EF | xe algebrico sobre E}e corpo e contem E e F , como EF e o menor corpo com essa propriedade, entaoEF = A entao todo elemento de EF e algebrico sobre EExemplo 17. Determine o polinomio mnimo de = cos(

22) + isen( ) em Q, onde ppp

e um natural primo.Sabemos que p = cos(2) + isen(2) = 1, logo e raiz dex 1 = (x 1)p

p1k=0

xk

CAPITULO 1. CORPOS

seja f (x) =

29

xp 1entaox1

(x + 1)p 1f (x + 1) ==x

p

()

pk=0 k

xk 1

x

p=

()

pk=1 k

x

)p1 (xk pxkk+1k=0 | {z }ak

logo a0 = p, ap = 1 p|a0 e p2 |a0 , p |ap , alem disso p|ak para os outros valores porpropriedade de coeciente binomial. Logo f (x + 1) e irredutvel sobre Q por criterio deEisenstein. Vale que [Q() : Q] = p 1.

1.4

Construcao de uma raiz.

Seja K um corpo e f (x) um polinomio de grau 1 em K[x], nesta secao consideramoso problema de achar uma extensao E de K em qual f possui uma raiz. Se P (x) e umpolinomio irredutvel em K[x] que divide f (x) entao qualquer raiz de P (x) tambem e raizde f (x), logo iremos nos restringir ao estudo com polinomio irredutveis.Definicao 27 (Raiz). Seja L|K uma extensao de corpos e seja f (x) k[x]. Um elemento Le uma raiz de f (x) f () = 0.Propriedade 32. Seja L|K uma extensao de corpos e L uma raiz de f K[x].Entao, (x )|f (x) em L[x].Demonstracao.Como f (x) K[x] L[x] por divisao euclidiana por x em L[x] existem q(x), r(x)em L[x] tais quef (x) = (x )q(x) + r(x)onde r(x) = 0 ou 0 r(x) < 1, da r(x) = r L, f (x) = (x )q(x) + r, f () = 0 = r,f (x) = (x )q(x).Definicao 28 (Multiplicidade de raiz). Seja L|K uma extensao de corpos. Dizemos que L e uma raiz de multiplicidade m de f (x) k[x] (x )m |f (x) em L[x] mas(x )m+1 nao divide f (x) em L[x]. Quando m = 1, e uma raiz simples de f .

CAPITULO 1. CORPOS

30

Com m = 2, temos raiz dupla. Com m = 3, raiz tripla e assim por diante. Com m 2, e dita multipla.

Contamos uma raiz de multiplicidade m como sendo m razes ()m1 .Propriedade 33. Se f (x) e de multiplicidade m entao em L[x] temos f (x) = (x)m q(x)onde q() = 0.Propriedade 34. Seja K um corpo. Se f (x) k[x] e um polinomio de grau n 1 entaof (x) tem no maximo n razes em qualquer extensao L de K.Demonstracao. Faremos a demonstracao por inducao sobre n = f (x) 1. Se n = 1btemos f (x) = ax + b, a = 0, b K logo temos apenas uma raiz x = K, ca provadaaa base da inducao.Supomos o resultado valido para os polinomios em K[x] de grau s, 1 s < n evamos provar para n. Seja L|K, f (x) K[x] com f (x) = n. Se f (x) nao tem raizem L, entao o resultado segue. Supondo que f (x) tem raiz em L de multiplicidadem , como (x )m | f (x) L[x] entao n = f (x) m = (x ). Em L[x] temosf (x) = (x)m q(x) com q() = 0, q(x) = nm 0. Se = L e raiz de f (x) entao0 = ()m q() L, L e corpo entao q() = 0. e raiz de q(x), n > q(x) = nm 1.Por hipotese de inducao q(x) tem no maximo nm razes em L e da f (x) tem no maximom + (n m) = n = f (x) razes em L, e o resultado segue por inducao.Definicao 29 (Congruencia modulo I). Sejam A um anel comutativo com unidade e Ium ideal de A escrevemosa b mod I a b I.Observacao 2. A classe de equivalencia de a A e denotada por a, e chamada de classeresidual modulo I ou classe de congruencia modulo I. Tem-sea = {x A | x a mod I} = I + a.Sejam a, b, a , b A.

CAPITULO 1. CORPOS

31

Propriedade 35. Se a a e b b entao a.b a .bDemonstracao. Se a a e b b entao existem c, c I tais que a a = c eb b = c e aindaa.b a .b = a.b a.b + a.b a .b = a(b b ) + b (a a ) = a.c + b .c Ipor propriedade de ideal.Definicao 30 (Multiplicacao em A/I). Sejam A um anel comutativo com unidade 1A eI um ideal de A. Sejam a, b A. Denimos a operacao de multiplicacaoa.b = a.b.Propriedade 36 (Propriedades da adicao e multiplicacao em A/I). A/I e um anelcomutativo. Sejam A um anel comutativo com unidade 1A e I um ideal de A. A adicaoe multiplicacao de A/I tem as seguintes propriedades, para quaisquer a, b, c A/I.A adicao possui as propriedades: Associatividade. Comutatividade. Existencia do elemento neutro 0A = I. Existencia do simetrico de a que e a.

A multiplicacao possui as seguintes propriedades: Associatividade. Comutatividade. A multiplicacao se relaciona com a soma atraves da propriedade distributiva. Se I = A existe a unidade 1A = I + 1A .

Observacao 3. Quando I = A para quaisquer a,b A temos que a b mod I, nestecaso A/I = {0A } e o anel identicamente nulo.

CAPITULO 1. CORPOS

32

Corolario 17. Sejam A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A, entao A/Ie um anel comutativo . Se I = A entao A/I e um anel comutativo com unidade.Seja A um anel comutativo com unidadePropriedade 37. P e um ideal primo de A A/P e um domnio.Demonstracao.). Seja P ideal primo de A, tem-se P = A, entao A/P e anel comutativo comunidade. Sejam a, b A tais que a.b = 0 entaoa.b = a.b = 0 a.b 0 mod P a.b P. Como P e um ideal primo vale a P ou b P de ondesegue a = 0 ou b = 0 logo A/P e domnio.). Seja A/P domnio. entao A/P e anel comutativo com unidade, logo P Apropriamente. Sejam a, b A tais que a.b P entao 0 = ab = ab como A/P e domniotem-se a = 0 ou b = 0 implicando a P ou b P logo P e ideal primo.Propriedade 38. M e um ideal maximal de A A/M e um corpo.Demonstracao. ). Seja M um ideal maximal de A assim M e ideal primo e A/Me um domnio. Precisamos mostrar apenas que todo a = 0 em A/M tem inverso. Comoa = 0 segue a / M e M M + I(a) propriamente, logo A = M + I(a), assim existem M e x A tais que 1 = m + xa, em classe modulo M segue1 = m + xa = xaimplicando que a e invertvel em A/M com inverso x.). Seja A/M corpo, entao A/M e domnio e M e ideal primo, logo M = A. Seja Iideal de A tal que M I A ,m propriamente, tome x I tal que x / M entao x = 0e existe y A/M tal que1 = xylogo existe m M tal que 1 xy = m, 1 = m + xy I implicando I = A, assim M eideal maximal.Propriedade 39. Sejam K um corpo, p(x) K[x] polinomio monico entao k[x]/(p(x))e um corpo p(x) e irredutvel.

CAPITULO 1. CORPOS

33

Demonstracao. ). Como estamos num domnio principal p(x) irredutvel implica(p(x)) ideal maximal da k[x]/(p(x)) e corpo.).k[x]/(p(x)) sendo corpo implica que (p(x)) e ideal maximal, logo ideal primo, portantop(x) e irredutvel, pois caso contrario existiriam g(x).h(x) = p(x), da p(x)|h(x), h(x) =v(x)p(x), da g(x)v(x)p(x) = p(x) g(x)v(x) = 1 entao g(x), v(x) K, h(x) e associado,logo p e irredutvel.Teorema 2. Sejam K um corpo e p(x) K[x] polinomio irredutvel de grau n. Entaoexiste uma extensao L|K com [L : K] = n, tal que p(x) tem uma raiz L.Propriedade 40. Demonstracao.Polinomios de grau 2 ou 3 sao irredutveis em K[x] nao possuem razes em K.Demonstracao.Exemplo 18. Consideramos o polinomio P (x) = x2 + x + 1 Z2 [x],, avaliamos P emtodos elementos de Z2 , temos P (0) = 1 = P (1) = 1, logo P (x) nao tem razes em Z2 ,P (x) e irredutvel em Z2 [x].SejaL = Z2 [x]/(x2 + x + 1) Z2 [] = {a + b, a b Z2 }e 2 + + 1 = 0, L e corpo pois P (x) e irredutvel, L, possui 4 elementosL = {0, 1, , 1 + }.Temos z2 L, car(L) = 2, [L : Z2 ] = 2.Podemos calcular as potencias de da seguinte maneira2 + + 1 = 0 2 = 1 = + 13 = 2 . = ( + 1) = 2 + = 1.h(x) = x3 1 tem todas suas razes em L, pois elas sao 1, , + 1.

CAPITULO 1. CORPOS

34

Exemplo 19. Seja E = F2 () onde e raiz de 1 + x + x2 entao : E E com(a + b) = a + b( + 1) e um automorsmo de E sobre F2 . a, b F2 .Vamos mostrar que e uma bijecao e um homomorsmo.1. Vale (x + y) = (x) + (y) com x, y em E. Pois

(a1 + b1 ) = a1 + b1 ( + 1)(a2 + b2 ) = a2 + b2 ( + 1)(a1 + b1 + a2 + b2 ) = (a1 + a2 + (b1 + b2 )) = a1 + a2 + (b1 + b2 )( + 1)logo vale a igualdade.2.[(a1 + b1 )(a2 + b2 )] = [a1 a2 + a1 b2 + b1 a2 + b1 b2 2 ] =usando que 2 = + 1 tem-se= [a1 a2 + b1 b2 + a1 b2 + b1 a2 + b1 b2 ] = [a1 a2 + b1 b2 + (a1 b2 + b1 a2 + b1 b2 )] == a1 a2 + b1 b2 + (a1 b2 + b1 a2 + b1 b2 )( + 1)por outro lado(a1 + b1 )(a2 + b2 ) = (a1 + b1 [ + 1])(a2 + b2 [ + 1]) = (a1 + b1 2 )(a2 + b2 2 ) == a1 a2 + a1 b2 2 + a2 b1 2 + b1 b2 4 =usando que 4 = e 2 = + 1 seguea1 a2 +(a1 b2 +a2 b1 )(+1)+b1 b2 (+1)+b1 b2 = a1 a2 +b1 b2 +(a1 b2 +b1 b2 +a2 b1 )(+1)que e igual ao encontrado calculando aplicado no produto.3. A funcao e sobre F2 pois (a + 0) = a + 0( + 1) = a, em especial (1) = 1. einjetora, como e funcao entre corpos nitos segue que tambem e bijetora. Portanto e um automorsmo de E sobre F2 .

CAPITULO 1. CORPOS

35

Propriedade 41. Seja f (x) K[x] com grau(f (x)) 1, entao, existe uma extensaonita L|K na qual f (x) tem uma raiz e [L : K] grau (f (x)).Demonstracao. Seja P (x) K[x] fator monico e irredutvel de f (x), como p(x) | f (x),toda raiz de p(x) e uma raiz de f (x). Pela propriedade anterior existe extensao L|K naqual p(x) possui uma raiz e [L : K] = p(x) f (x).Teorema 3. Seja f (x) K[x] com n = grau (f (x)) 1, entao, existe uma extensao Lde K tal que [L : K] n! na qual f (x) tem n razes, isto e, possui todas as razes def (x).Demonstracao. Faremos a prova por inducao sobre n = f (x). Para n = 1. Sef (x) K[x] tem grau 1, entao f (x) tem todas suas razes em K = L, [L : K] = 1 1!.Supomos o resultado valido para polinomios de grau s com coecientes em corpos onde1 s < n. Seja f (x) K[x] com f (x) = n, vamos mostrar que vale para f (x).Existe uma extensao F |K na qual f (x) tem raiz 1 e [F : K] f (x) = n. Em F [x]temos f (x) = (x 1 )q(x), com q(x) = n 1 e q(x) F [x]. Por hipotese de inducao,existe L|F em que q(x) possui n 1 razes com [L : F ] (n 1)!, as razes de f (x) sao1 e as razes de q(x). O polinomio f (x) tem n razes, o maximo possvel e[L : K] = [L : F ][F : K] (n 1)!.n = n!.Propriedade 42. Seja K um corpo e (fk )n1 polinomios em K[x] nao constantes, entaoexiste uma extensao E de K na qual cada fk possui uma raiz.Demonstracao. Consideramos o polinomio g(x) =

n

fk (x) e usamos o teorema

k=1

anterior.Exemplo 20. Seja F = {a1 , , an } um corpo nito, entao existe polinomio P (x) F [x]que nao possui raiz em F .Consideramos 1 = 0, da, tomamos P (x) F [x] da forma

P (x) = 1 +

n

(x ak )

k=1

para qualquer s F vale F (s) = 1 = 0, logo ele nao possui raiz em F .

CAPITULO 1. CORPOS

36

Propriedade 43. Seja K um corpo, existe uma extensao K a que e algebrica sobre K ealgebricamente fechada.Demonstracao. Seja E uma extensao de K que e algebricamente fechada e seja K a auniao de todas extensoes subcorpos de E que sao algebricas sobre K. Entao K a e algebricasobre K, pois seus elementos sao tomados como algebricos (lembre que o conjunto dosalgebricos e corpo). Se E e e algebrico sobre K a , entao e algebrico sobre K. Sef e um polinomio em K a [x] \ K a entao f tem uma raiz em E, da e algebrico sobreK a , entao K a e K a e algebricamente fechado.Propriedade 44. Se L e algebricamente fechado e f L[x] \ L entao existe c L e(k )n1 em L tal quef (x) = c

n

(x k ).

k=1

Demonstracao. Como L e algebricamente fechado, f tem uma raiz 1 em L, logoexiste g(x) L[x] tal quef (x) = (x 1 )g(x).Se g(x) 1 repetimos o argumento indutivamente. Notamos que c e o coeciente de xnem f , e se os coecientes de f estao em um subcorpo K de L, entao c K.Propriedade 45. Seja K um corpo e : K L um mergulho, L um corpo algebricamente fechado, P (x) o polinomio irredutvel de algebrico sobre K. O numero depossveis extensoes de em K() e o numero de razes de P (x), sendo igual ao numerode razes distintas de P .Demonstracao.Propriedade 46. Sejam K um corpo, E uma extensao algebrica sobre K, : K L ummergulho, L algebricamente fechado, entao existe uma extensao de para um mergulhode E em L.Se E e algebricamente fechado e L e algebrico sobre (K) entao qualquer extensao de e um isomorsmo de E em L.Demonstracao.

CAPITULO 1. CORPOS

37

Propriedade 47. Seja K um corpo, E, E extensoes algebricas de K, se E, E saoalgebricamente fechados, entao existe um isomorsmof : E Einduzindo a identidade em K.Demonstracao. Consideramos o mergulho : K K com (x) = x, entao qualqueruma de suas extensoes e um isomorsmo pelo teorema anterior, pois (K) = K E , E e algebrico sobre (K) , e E, E sao algebricamente fechados.Uma extensao algebrica e algebricamente fechada de um corpo K e determina a menosde isomorsmos, entao tal tipo de extensao sera chamada de o fecho algebrico de K, quedenotaremos por K a .Propriedade 48. Se um corpo K nao e nito, entao qualquer extensao algebrica de Ktem a mesma cardinalidade de K.Se K e nito entao K a e enumeravel .Demonstracao.Corolario 18. Qa = C, pois R C, R e nao enumeravel, da C e nao enumeravel e naopodemos ter Qa = C, pois Qa e enumeravel.

1.5

Corpos de decomposicao

Definicao 31 (Corpos de decomposicao ou de razes). Seja f (x) K[x] comgrauf (x) 1.Uma extensao L|K e dita um corpo de decomposicao ou corpo de razes de f sobre k f se decompoe em produto de fatores lineares em L[x] e nao se decompoe em produto defatores lineares em F [x], onde F e qualquer subcorpo proprio de L contendo K. L e omenor corpo contendo K com a propriedade de f ter grauf razes em L. L e dito o corpode razes de f .

CAPITULO 1. CORPOS

38

Notamos que f (x) K[x] sempre possui um corpo de decomposicao, pois podemostomar tal corpo como o corpo gerado pelas suas razes em um fecho algebrico K a de K.Definicao 32 (Extensoes isomorfas). Dizemos que L|K e L |K sao extensoes isomorfas existe f : L L isomorsmo de corpos tal que f (K) = K .Definicao 33 (Extensao de isomorsmo). Seja f : K K um isomorsmo de corpose sejam L|K e L|K extensoes de corpos. Dizemos que g : L L estende f g e umisomorsmo, tal que g|K = f. Nesse caso L|K e L |K sao extensoes isomorfas.Propriedade 49 (Extensao de isomorsmo ). Seja f : K K um isomorsmo decorpos, entao:1. K[x] e K [x] sao domnios isomorfos.2. Se L|K e L |K sao extensoes de corpos, p(x) K[x] e monico irredutvel, Le raiz de p(x) e L e raiz de f (p(x)) entao o isomorsmo f : K K admiteextensao que tambem denotaremos por f , f : K() K () com f () = .Demonstracao.1. Se h(x) =

n

ak x K[x] denimos g(h(x)) =k

k=0

n

f (ak )xk , entao g : K[x] K [x]

k=0

e um isomorsmo de aneis. Tomamos t(x) =

m

bk xk . Para a soma, supomos sem

k=0

perda de generalidade que n m e completamos os possveis indices de t(x) comvalores nulos. Valennnnkkkg(h(x) + t(x)) = g( (ak + bk )x ) =f (ak + bk )x =f (ak )x +f (bk )xk =k=0

k=0

k=0

k=0

= g(h(x)) + g(t(x))e para o produto temosnmn+mn+mkkkg(h(x).t(x)) = g(ak x .bk x ) = g(ck x ) =f (ck )xkk=0

k=0

k=0

k=0

CAPITULO 1. CORPOS

onde ct =

t

39

as bts , da f (ct ) =

s=0

t

f (as )f (bts ) e alem disso

s=0

g(h(x))g(t(x)) =

n

k

f (ak )x .

k=0

onde

ct

=

t

m

k

f (bk )x ) =

k=0

n+m

ck xk

k=0

f (as )f (bts ), logo ct = f (ct ) e vale g(h(x)t(x)) = g(h(x))g(t(x)). A

s=0

funcao e injetora e sobrejetora por propriedade do isomorsmo f .2. P (x) e irredutvel em K[x] f (p(x)) e irredutvel em K [x]. Como L e raiz dennnknp(x) = x +bk x entao 0 = p() = +bk k . Se existe isomorsmo f dek=0

k=0

K() em outro corpo, entaon

0 = f (0) = f () +

n

f (bk )f ()k = f (p(f ()))

k=0

, isto e f () e raiz de f (p(x)) com f (p(x)) monico e irredutvel em f (K[x]) = K [x].A extensao f e denida se conhecemos f () pois f (k ) = f ()k e (k )n1e uma0base de K() sobre K, onde n = f (x) Dado isomorsmo f : K K , existe umunico isomorsmo f : K() K () com f () = .Corolario 19 (Extensao de identidade). Se p(x) K(x) e polinomio monico irredutvele , sao duas razes de p(x), entao K() e K() sao corpos isomorfos com f : K() K() denida por f (a) = a para a K e f () = . Nesse caso f estende a funcaoidentidade em K .Definicao 34 (K-isomorsmo). Dizemos que L|K e L |K sao extensoes K-isomorfas existe f : L L um isomorsmo tal que f |K = I ou que exista um isomorsmo de L emL que estende I : K K.Teorema 4 (Extensao de isomorsmo a corpo de razes). Sejam f (x) K[x] \ K ,g : K K um isomorsmo de corpos, L um corpo de razes de f (x) sobre K e L umcorpo de razes de g(f (x)) sobre K , entao L|K e L |K sao extensoes isomorfas com umisomorsmo h que estende g.

CAPITULO 1. CORPOS

40

Demonstracao. Faremos a prova por inducao sobre n = [L : K]. Suponha que[L : K] = 1 entao f (x) K[x] se decompoe em L = K em produto de fatores lineares,misto e, f (x) tem todas suas razes em K e f (x) = a (x k ) com a, (k )m1 em K.k=1

Como g : K[x] K [x] e um isomorsmo de aneis entao g(f (x)) = g(a)

m

(x g(k ))

k=1

oe em K [x], logo L = K ecom g(a), (g(k ))m1 em g(K) = K e g(f (x)) se decomp

g : K K e o isomorsmo procurado, temos entao uma extensao trivial.Supondo o teorema valido para os polinomios com coecientes em K0 cujo corpode decomposicao L0 sobre K0 tenha [L0 : K0 ] < n, seja f (x) K[x] com corpo dedecomposicao L sobre K, tal que [L : K] = n > 1. f (x) tem um fator monico irredutvelp(x) K[x] com p(x) = r > 1. Sejam g(p(x)) o fator monico irredutvel de g(f (x)) emK [x]. Como f (x) se decompoe em L e p(x)|f (x) em K[x] entao todas as razes de p(x)estao em L, logo existe L tal que p() = 0. Portanto por multiplicatividade dos graus[L : K()] =

[L : K]n= < n.[K() : K]r

Tomando L um corpo de razes de g(f (x)) sobre K e L uma raiz de g(p(x))entao o isomorsmo g : K K se estende a um isomorsmo de K() em K () tambemdenotado por g, com g() = .L e um corpo de razes de f (x) sobre K0 = k(), e L e um corpo de razes de g(f (x))sobre K [], pois f (x) K[x] K()[x] e f (x) se decompoe em L num produto defatores lineares e nao se decompoe em um subcorpo F com K F

L, pois se nao L nao

seria corpo de razes sobre K de f (x). Com [L : k0 ] < n, entao por hipotese de inducaog : K0 = K() K () se estende a um isomorsmo h : L L , esse e o isomorsmoprocurado.Propriedade 50 (Unicidade do corpo de decomposicao). Se L|K e L| K sao corpos dedecomposicao sobre K de f (x) K[x] \ K, entao L|K e L |K sao extensoes K -isomorfas.Demonstracao. Tomamos K = K e f : I : K K entao existe isomorsmoh : L L com h(a) = aa K.Definicao 35 (Corpo algebricamente fechado). Um corpo K e algebricamente fechado todo polinomio nao constante em K[x] tem uma raiz em K.

CAPITULO 1. CORPOS

41

Teorema 5. Para todo corpo K, existe corpo algebricamente fechado K tal que K K.Definicao 36 (Mergulho). Um mergulho e um homomorsmo injetivo. A imagem domergulho : F L pode ser denotada por F ou F , tambem podemos denotar aaplicacao (x) como x . Sendo E|F , um mergulho f : E L e dito sobre se f |F ,nesse caso tambem dizemos que f estende . Se e a identidade entao dizemos que f eum mergulho de E sobre F .Propriedade 51. Sejam E|K algebrica e : E E um mergulho de E sobre K, entao e um automorsmo.Demonstracao. Por denicao ja sabemos que e injetiva, falta entao mostrar que esobrejetiva. Seja E, P (x) seu polinomio irredutvel em K[x], E subcorpo de E geradopor todas as razes de P (x) em E. E e nitamente gerado logo E |K e nita. leva raizde P (x) em raiz de P (x), e de E em E . Podemos ver como um k-homomorsmo deespacos vetoriais, pois induz a identidade em K. Como e injetiva a imagem (E ) eum subespaco de E , tendo a mesma dimensao, [E : K], entao (E ) = E , como E ,segue que esta na imagem de e a propriedade ca provada.Definicao 37. Sejam E|K e F |K todos em um corpo L, denimosE[F ] := {

n

ak .bk , ak E, bk F }.

k=1

Corolario 20. E[F ] = F [E], por simetria entre E e F na denicao.Propriedade 52. E[F ] e anel.Demonstracao. 0 E[F ] Basta tomar

n

ak .bk com cada ak = bk = 0. A adicao e comutativa,

k=1

associativa por propriedades de corpo e temos para um elementonsimetrico(ak ).bk .k=1

nk=1

ak .bk o seu

CAPITULO 1. CORPOS

42

O produto e fechado pois

(

n

ak .bk )(

k=1

n

ak .bk )

k=1

um elemento do produto e da forma as .bs .at .bt = (as .at ) . (bs .bt ).| {z } | {z }aE

bF

O produto e distributivo em relacao a adicao, `a esquerda e a direita, pois a pro-

priedade e herdade do corpo L. Alem disso e associativo e comutativo por mesmo1motivo. Temos o elemento neutro da multiplicacao 1 =1.1.k=1

Com isso temos um anel comutativo com unidade.Corolario 21. E, F E[F ], pois qualquer a E pertence ao conjunto a =

1

a.1 o

k=1

mesmo para F .Corolario 22. EF e o corpo quociente do anel K[F ], pois K[F ] e anel e contem E , F ,nak .bk pertencem a EF , como EF e o corpo quociente sao os menoresas combinacoesk=1

corpos que contem tal anel, entao sao iguais.Propriedade 53. Se L e E sao corpos de decomposicao de f (x) K[x] , entao existeum isomorsmo : E L induzindo a identidade em K.Se K L K a onde K a e o fecho algebrico de K, entao qualquer mergulho de E emK a induzindo a identidade em K e um isomorsmo de E em L.Demonstracao.Definicao 38 (Corpo de decomposicao de uma famlia). Seja I um conjunto de indicese {fk }kI uma famlia de polinomios em K[x] \ K, tal que cada fk se divide em fatoreslineares em L[x] e L e gerado por todas as razes de todo os polinomios fk , K I.Corolario 23. Nas condicoes da denicao anterior. Seja K a o fecho de K e Lk umcorpo de decomposicao de fk em K a , entao o compositum de cada Lk e um corpo dedecomposicao para nossa famlia de polinomios.Propriedade 54. Sejam L e E corpos de decomposicao da famlia {fk }kI , qualquermergulho de E em K a induzindo a identidade em K gera um isomorsmo de E em K.

CAPITULO 1. CORPOS

43

Demonstracao.Se a famlia I e nita entao os polinomios podem ser enumerados como (fk )n1 , umcorpo de decomposicao para o polinomiof (x) =

n

fk (x)

k=1

e um corpo de decomposicao para a famlia.

1.6

Extensoes normais e separaveis.

Definicao 39 (Extensao normal). Uma extensao L|K e normal cada polinomio monicoirredutvel f (x) K[x] que tem uma raiz em L tem todas as suas razes em L.Propriedade 55. Se L|K e extensao normal entao L|F e normal, sendo K F L.Demonstracao.Teorema 6. Seja L uma extensao algebrica de K, contida num fecho algebrico K a de K,entao as seguintes propriedades sao equivalentes:1. Todo mergulho de L em K a sobre K induz um automorsmo de L.2. L e um corpo de decomposicao de uma famlia de polinomios de K[x].3. Cada polinomio irredutvel de K[x] que possui uma raiz em L se divide em fatoreslineares em L ( tem todas razes em L ).Qualquer extensao satisfazendo uma das tres propriedades acima e normal.Propriedade 56 (Caracterizacao das extensoes normais nitas). Uma extensao L|K enormal nita L e corpo de decomposicao sobre K de algum polinomio f (x) K[x] \ K.Demonstracao.). Suponha que L|K seja normal nita, existem (k )n1 em L algebricos sobre K,tais que L = K(k )n1 . Sejam (Pk (x))n1 em K[x] os polinomios mnimos, ordenadamente,nde (k )n1 sobre K. Seja f (x) =Pk (x) K[x] pela normalidade de L|K, todas ask=1

CAPITULO 1. CORPOS

44

razes de (Pk (x))n1 estao em L, logo f (x) se decompoe em produto de fatores linearesem L. Qualquer corpo F , com K F com a propriedade de f (x) se decompor emproduto de fatores lineares, contem K {k }n1 , portanto L = K(k )n1 F , L e o corpode decomposicao sobre K de f (x).).Suponha que L seja corpo de decomposicao sobre K de algum polinomio f (x) K[x] \ K, entao L|K e uma extensao nita, pois e gerado pela adjuncao das razes def a K, pelo fato de ser corpo de decomposicao o corpo nao deve ser feita adjuncao deoutros elementos fora as razes, pois se nao teramos um corpo intermediario o que e contrahipotese de ser corpo de decomposicao. Agora provamos a normalidade. Seja P (x) K[x]monico irredutvel que tenha uma raiz 1 em L, vamos mostrar que todas as razes deP (x) estao em L. Sejam F tal que F L, corpo de decomposicao de f (x)p(x) sobre K,1 L e 2 arbitraria, razes de P (x) em F , temos que [L(1 ) : L] = [L(2 ) : L] pois[L(2 ) : L][L : K] = [L(2 ) : K(2 )][K(2 ) : K][L(1 ) : L][L : K] = [L(1 ) : K(1 )][K(1 ) : K]vale que [K(1 ) : K] = [K(2 ) : K] pois P (x) e o polinomio mnimo de 1 e 2 sobreK. L(k ) (k = 1 ou k = 2) e um corpo de decomposicao sobre K(k ) de f (x), logoK(1 ) e K(2 ) sao isomorfos (por propriedade Extensao da unidade) , L(1 )|K(1 ) eL(2 )|K(2 ) sao extensoes isomorfas, portanto [L(2 ) : K(2 )] = [L(1 ) : K(1 )] o queimplica nalmente [L(1 ) : L] = [L(2 ) : L].Como 1 foi tomado em L, entao L(1 ) = L, [L(1 ) : L] = 1 = [L(2 ) : L] logo 2arbitrario raiz de P (x) tambem pertence a L, o que implica que se uma raiz de P (x)pertence a L, entao todas pertencem, logo L|K e normal.Definicao 40 (Derivada formal de polinomios). Seja f (x) =

nk=0

um corpo. A derivada de f (x)ef (x) = Df (x) =

n

kak xk1 .

k=0

Propriedade 57 (Linearidade).D[af (x) + bg(x)] = af (x) + bg (x).

ak xk K[x], onde K e

CAPITULO 1. CORPOS

45

Propriedade 58 (Regra do produto).(f (x).g(x)) = f (x).g(x) + f (x).g (x).Propriedade 59.D(x a)m = m(x a)m1 .Propriedade 60. O polinomio f (x) K[x] \ K tem uma raiz multipla em algumaextensao L de K f (x) e f (x) tem um fator comum de grau 1 em K[x].Demonstracao.). Seja L uma raiz de f (x) K[x] com multiplicidade m > 1, entao f (x) =(x)m q(x) em L[x] com q() = 0. Vale que f (x) = m(x)m1 q(x)+(x)m q (x), daf () = m.0.q()+0.q () = 0, portanto tambem e raiz de f (x). Tomando P (x) K[x]polinomio mnimo de sobre K, temos que P (x)|f (x) e P (x)|f (x) em K[x].). Suponha que g(x) K[x], com g(x) 1, seja o fator comum de f (x) e f (x).Seja L (K L) raiz de g(x). Vale que f (x) = (x )m q(x), q() = 0, para algumm > 1, caso contrario f (x) = (x )q(x), q() = 0 e f (x) = q(x) + (x )q (x) entaof () = q() = 0, o que contraria a hipotese, logo f (x) = (x )m q(x), q() = 0, paraalgum m > 1.Seja p(x) k[x] um polinomio irredutvel, para as duas proximas propriedades.Propriedade 61. Se car(K) = 0 entao todas as razes de P (x) sao simples.Demonstracao. Suponha por absurdo que P (x) K[x] tem raiz multipla P (x) eP (x) tem um divisor comum de grau n 1. Como P (x) e irredutvel entao P (x)|P (x)logo P (x) = 0, pois se fosse P (x) = 0 com P (x) > P (x) e dai P (x) |P (x). P (x) =0 P (x) = a0 K que nao e irredutvel, chegamos em um absurdo entao P (x) devepossuir apenas razes simples.Propriedade 62. Se car(K) = p entao P (x) tem raiz multipla P (x) K[xp ].Demonstracao. Repetimos o mesmo argumento da proposicao anterior, concluindonque P (x) = 0, porem em caracterstica p, isso acontece kak xk1 = 0 e da p|k, pork=0lpisso o polinomio assume a formaalp x .l

CAPITULO 1. CORPOS

46

Definicao 41 (Polinomio irredutvel separavel ou inseparavel.). O polinomio irredutvelp(x) K[x] e dito separavel sobre K todas as suas razes sao simples. Caso contrario,o polinomio e dito inseparavel sobre K.Definicao 42 (Polinomio separavel ). O polinomio p(x) K[x] e dito separavel sobre K seus fatores irredutveis sao separaveis. Caso contrario, o polinomio e dito inseparavelsobre K.Definicao 43 (Elemento separavel). Seja L|K uma extensao de corpos. Um elemento L algebrico sobre K e dito separavel sobre K o polinomio mnimo de sobre Ke separavel sobre K.Definicao 44 (Extensao separavel). Seja L|K uma extensao de corpos . L|K e umaextensao separavel todo elemento de L algebrico sobre K e separavel sobre K. Casocontrario L|K e dita extensao inseparavel.Propriedade 63. Seja K um corpo com carK = 0. se e sao algebricos sobre K,entao existe y K(, ) tal que K(, ) = K(y), isto e, toda extensao nita e simplesem corpos de caracterstica zero.Demonstracao. Sejam f (x) e g(x) em K[x], polinomios mnimos de e sobre Kcom f (x) = n e g(x) = m, L com K(, ) L, um corpo de decomposicao sobre K def (x).g(x), entao f (x) e g(x) se decompoe em fatores lineares em L[x], sendo f (x) e g(x)com razes simples, ordenadamente (k )n1 e (k )m1 em L (1 = , 1 = ). Consideramosa equacaok + xj = + xcom j = 1 e X L, tal equacao possui uma unica solucao em L, a saberx=

k . j

k . Tomando jy = + c temos que K(, ) = K(y), pois y = + c K(, ) logo K(y) K(, ),Como car(K) = 0, K e innito, logo existe c K tal que c =

agora iremos mostrar que e K(y). Temos = y c. Seja h(x) = f (y cx) K(y)[x] L[x], entaoh() = f (y c) = f ()

CAPITULO 1. CORPOS

47

como g() = 0 e g(x) K[x] K(y)[x] entao g(x) e h(x) tem fator comum x emalguma extensao de K(y). x e o mdc(g(x), h(x)) em K(y)[x] pois se j = e outraraiz de g(x), entao y cj = k (caso contrario desenvolvendo a expressao chegamos emk c=apos desenvolver a igualdade) jh(j ) = f (y cj ) = 0alem disso (x)2 |g(x) logo mdcF [x] (g(x), h(x)) = x onde F e alguma extensao deK(y), mdcK(y)[x] (g(x), h(x)) = 1, (pois se nao existiriam z(x) e L(x) tais que L(x)g(x) +z(x)h(x) = 1, porem aplicando x = temos 0 = 1 absurdo) e tem que ser um divisor dex , logo o mdc e x , isto e x K(y)[x] da K(y), = y c K[y],K(, ) K(y) K(y) = K(, )

.

Teorema 7 (Teorema do elemento primitivo). Seja L|K uma extensao nita, com car(K) =0. Entao L = K() para algum L.Demonstracao. Seja L|K uma extensao nita, existem (k )n1 em L, algebricos sobreK tais que L = K(k )n1 .Provaremos o teorema por inducao sobre n, o numero de geradores algebricos de Lsobre K. Se n = 1, nada temos a fazer. Suponha o resultado valido para os corposgerados sobre K por n elementos algebricos, onde n 1. Seja L = K(k )n+1com cada1k algebrico sobre K, temos que L = F (n+1 ) onde F = K(k )n1 , por hipotese de inducaoexiste y F tal que F = K(y), entaoL = K(k )n+1= F (n+1 ) = K(y)(n+1 ) = K(y, n+1 ),1pela propriedade anterior existe L tal que L = K(y, n+1 ) = K()

.

Exemplo 21. Determine se a extensao e normalQ(i,

5)|Q.

Temos que f (x) = (x2 + 1)(x2 5) Q[x]. As razes de f sao i, i,L = Q(i, i, 5, 5) = Q(i, 5) logo e normal.

5, 5, temos

CAPITULO 1. CORPOS

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Exemplo 22. Determine se a extensao e normal3Q( 2)|Q.Nao e normal pois f (x) = x3 2 e irredutvel monico sobre Q[x] e nao tem todas as suas3razes em Q( 2).Exemplo 23. Seja L|K uma extensao de grau 2, com car(k) = 2. Mostre que existea L tal que L = k(a) e a2 K e que L|K e normal e separavel.Seja L, / K entao [K() : K] = n > 1 e [L : k()] = m por multiplicatividadedos graus, temos que n.m = 2 = [L : k] = [L : k()][K() : K], como n > 1 tem-se n = 2e m = 1 logo [L : k()] = 1, implicando que k() = L.Aplicando algoritmo de Briot-Runi dividindo x2 + bx + c com b, c K por x encontramos um fator x + b + logo a extensao e normal , pois a outra raiz eb L.Exemplo 24. A classe de extensoes normais nao e notavel, uma extensao de grau 2 e4sempre normal, porem a extensao L = Q( 2)|Q nao e normal, as razes complexas dex4 2 nao estao em L e a extensao e obtida por sucessivas extensoes de grau 2 (que saonormais)4Q Q( 2) Q( 2).Propriedade 64.

1. Se L|E|K e L e normal sobre K entao L e normal sobre E.

2. Se K1 e K2 sao normais sobre K e estao contidas em algum corpo corpo L entaoK1 K2 e K1 K2 sao normais sobre K.Demonstracao.Definicao 45 (Grau de separablidade ). Sejam E um extensao algebrica de F e : F Lum mergulho , tal que L seja o fecho algebrico de (F ). O grau de separabilidade de Eem F , denotado por [E : F ]s e o numero de extensoes de para um mergulho de E emL.

CAPITULO 1. CORPOS

49

Propriedade 65. Seja E|F |K uma torre, entao

[E : K]s = [E : F ]s [F : K]s ,se E|K e nita entao [E : K]s [E : K], isto e, o grau de separabilidade e no maximoigual ao grau da extensao.Demonstracao.Propriedade 66. Seja E|K nita e E|F |K entao

[E : K]s = [E : K] [E : F ]s = [E : F ] e [F : K]s = [F : K].Demonstracao.Como [E : K] e nita entao [E : F ] e [F : E] tambem o sao, logo tambem sao nitas[E : F ]s e [F : E]s .). Supondo [E : K]s = [E : K] temos[E : F ]s [F : K]s = [E : F ][F : K]se os dois numeros do lado direito fossem menores que seus correspondentes na direita,entao nao teramos uma igualdade, logo um dele deve ser igual, de onde por lei do cortesegue a igualdade das outras duas partes.).Se [E : F ]s = [E : F ] e [F : K]s = [F : K] entao por multiplicacao segue que[E : F ]s [F : K]s = [E : F ][F : K] e da [E : K]s = [E : K].Definicao 46 (Grau de inseparabilidade). Se [E : K]s divide [E : K] entao denimos

[E : K]i :=

[E : K][E : K]s

que e chamado de grau de inseparabilidade.Propriedade 67. O grau de inseparabilidade e multiplicativo .

CAPITULO 1. CORPOS

50

Demonstracao. Seja E|F |K extensao, entao[E : K]i =

[E : K][E : F ][F : K]== [E : F ]i [F : K]i .[E : K]s[E : F ]s [F : K]s

Propriedade 68. Seja um extensao E|K, ela e separavel [E : K]s = [E : K].Demonstracao.Propriedade 69. Se K F L e L e separavel sobre K entao e separavel sobreF.Demonstracao. Se F e um polinomio separavel em K[x] tal que f () = 0 entaof tem coecientes em F , logo e separavel sobre F . Um elemento separavel continuaseparavel quando subimos de corpo.Propriedade 70. Seja E|K algebrica gerada por uma famlia de elementos {k }kI . Secada k e separavel sobre K entao E e separavel sobre KDemonstracao.Corolario 24. Se E e gerado por um numero nito de elementos, cada qual separavelsobre K, entao E e separavel.Teorema 8. A classe de extensoes separaveis e notavel .Definicao 47 (Fecho separavel). O compositum de todas extensoes separaveis de umcorpo K em um fecho algebrico K a e uma extensao separavel, que denotaremos por K sou K sep e sera chamado de fecho separavel de K.Definicao 48 (Conjugado). Se E|K e algebrica e qualquer um mergulho de E em K asobre K, entao chamamos (E) de um conjugado de E em K a .Definicao 49 (Elementos conjugados). Seja algebrico sobre K. Se (k )r1 sao mergulhosdistintos de K() em K a sobre K, entao chamamos (k ())r1 de conjugados de em K a ,esses elementos sao as razes distintas do polinomio irredutvel de sobre K. A menorextensao normal de K contendo um desses conjugados e K(k )r1 .

CAPITULO 1. CORPOS

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Teorema 9 (Teorema do elemento primitivo II). Seja E|K nita, existe E tal queE = K() existe apenas um numero nito de corpos F , tais que K F E. Se E eseparavel sobre K entao existe tal elemento .Demonstracao.).Assumindo que existe apenas um numero nito de corpos entre E e K. Sejam , Earbitrarios, conforme c varia em K, podemos ter apenas um numero nito de corpos dotipo K( + c), entao existem c1 , c2 K com c1 = c2 tais queK( + c1 ) = K( + c2 ) = L,+c1 e +c2 estao em L, entao +c2 c1 = (c2 c1 ) L , c2 c1 = 0 K L logo possui inverso em L de onde segue tambem que L, logo + c1 c1 = L,por isso K(, ) pode ser gerado por um elemento , procedemos por inducao para o casode E = K(k )n1 .Propriedade 71. Toda extensao algebrica L|K em corpos de caracterstica zero e separavel.Demonstracao. Dado L, tomamos seu polinomio mnimo P (x) K[x] ele eseparavel pelo que ja mostramos em derivadas formais.

1.7

Extensoes puramente inseparaveis

Propriedade 72. Seja algebrico sobre K, K a , P (x) K[x] polinomio irredutvelde se car(K) = p > 0 entao existe um inteiro u 0 tal que qualquer raiz de f temmultiplicidade pu e temos

[K() : K] = pu [K() : K]su

e p e separavel sobre K.Demonstracao.

CAPITULO 1. CORPOS

52

Propriedade 73. Para cada E|K nita, [E : K]s divide [E : K] o quociente e 1 se acaracterstica e zero e uma potencia de p se a caracterstica e p > 0.Demonstracao.Propriedade 74. Uma extensao nita E|K e separavel [E : K]i = 1.Demonstracao.Daqui em diante nesta secao assumimos que estamos em um corpo de caractersticap > 0.Definicao 50. algebrico sobre K e dito ser puramente inseparavel sobre K, se existen

um inteiro n 0 tal que p K.Propriedade 75. Seja E|K algebrica, entao sao equivalentes:1. [E : Ks ] = 12. Cada E e puramente inseparavel sobre K.n

3. Para cada E, o polinomio irredutvel de sobre K e do tipo xp a = 0 paraalgum n 0 e a K.4. Existe um conjunto de geradores {ak }kI de E sobre K tal que cada k e puramenteinseparavel sobre K.Demonstracao. 1) 2) e 2) 3). Seja E, temos [K() : K]s = 1, pois

[E : K] = [E : K()]s [K() : K]s| {z }s1

, seja f (x) irredutvel de sobre K entao f tem apenas uma raiz, pois [K() :K]s e igual ao numero de razes distintas de f (x). Seja m = [K() : K] entaof = m, e a fatoracao de f sobre K() e f (x) = (x )m , escrevemos m = pn .rn

n

onde mdc(r, p) = 1, entao f (x) = (xp p )r , por expansao desse termo e pelosn

coecientes de f (x) estarem em K, segue que rap K, com r = 0 K, tomandon

n

n

a = p entao e raiz de xp a que divide f (x) , da segue que f (x) = xp a,pois e o polinomio irredutvel, isto e, r = 1. Com isso provamos 1) 2) e 2) 3).

CAPITULO 1. CORPOS

53

3) 4) Tomamos I como a famlia dos E tal que o polinomio irredutvel de n

sobre K e do tipo xp a com n 0 e a K, cada e puramente inseparavel poisn

p = a K, todo E e dessa forma, logo tal famlia gera E. 4) 1) Seja E uma extensao gerada por elementos puramente inseparaveis {k }KI ,

qualquer mergulho de E sobre K leva k em uma raiz de fk (x) que divide algumn

xp a, que por sua vez possui apenas uma raiz, logo o mergulho de E sobre K e aidentidade em cada k e por isso e a identidade em E, disso segue que [E : K]s = 1como desejado.Definicao 51 (Extensao puramente inseparavel). Uma extensao e dita ser puramenteinseparavel se satisfaz uma das condicoes do teorema anterior.Propriedade 76. A classe das extensoes separaveis e notavel.Demonstracao.Propriedade 77. Sejam E|K algebrica, E0 o compositum de todos subcorpos F de Etais que K F e F |K e separavel, entao E0 |E e puramente inseparavel.Demonstracao.Propriedade 78. Se E|K algebrica e separavel e puramente inseparavel entao E = K.Demonstracao. Como E|K e separavel entao vale [E : K]i = 1, como tambem epuramente inseparavel entao [E : K]s = 1, da [E : K] = 1 e e E = K.Propriedade 79. Seja L normal sobre K e K0 sua extensao maximal separavel, entaoK0 |K tambem e normal.Demonstracao.Propriedade 80. Sejam E, F duas extensoes nitas de K, E|K separavel e F |K puramente inseparavel . Assuma E, F subcorpos de um corpo comum, entao

[EF : F ] = [E : K] = [EF : K]s[EF : E] = [E : K] = [EF : K]i .

CAPITULO 1. CORPOS

54

Demonstracao. Por termos a classe das extensoes separaveis e das inseparaveis comonotaveis, segue que EF |F e separavel e EF |E e inseparavel.Vale que[EF : K]s = [EF : F ]s [F : K]s = [EF : F ]| {z } | {z }1

[EF :F ]

[EF : K]s = [EF : E]s [E : K]s = [E : K]| {z } | {z }1

[E:K]

de maneira similar[EF : K]i = [EF : F ]i [F : K]i = [F : K].| {z } | {z }1

[F :K]

[EF : K]i = [EF : E]i [E : K]i = [EF : E].| {z } | {z }[EF :E]

1

Propriedade 81. Sejam E p o corpo de todos elementos xp , x E, E|K extensao nita.1. Se E p K = E entao E e separavel sobre K.n

2. Se E e separavel sobre K entao E p K = E n 1.Demonstracao.1. Seja E0 o subsespaco maximal separavel de E. Assumindo E p K = E. Seja E =m

K(k )n1 . E e puramente inseparavel sobre E0 , existe m tal que kp E0 K, entaom

m

E p E0 , mas E p K = E E0 logo E = E0 e separavel sobre K.2.

1.8

Exemplos (revisar e rearranjar)

Propriedade 82. Se [K() : K] e mpar entao K() = K(2 ).Demonstracao. Sabemos que K K(2 ) K(), e raiz de x2 2 em K(2 )logo [K() : K(2 )] assume valor 1 ou 2. Por multiplicatividade do grau temos[K() : K] = [K() : K(2 )][K(2 ) : K()]da [K(2 ) : K()] divide [K() : K] que e mpar, portanto [K(2 ) : K()] = 1 e K(2 ) de onde segue K() = K(2 ).

CAPITULO 1. CORPOS

55

Exemplo 25. Quando [K() : K] e par podemos ter K() = K(2 ), como por exemplo,K = Q, tomando = 2 o polinomio mnimo da extensao Q( 2) : Q e x2 2, logo 2[Q( 2) : Q] = 2 tem grau par porem Q( 2 ) = Q(2) = Q e nao vale Q( 2) = Q.Exemplo 26. (revisar) De um exemplo de uma extensao E|K de grau 3 tal que E =3K( b) para b K qualquer.Tomando K = Q e o polinomio x3 3x 3, temos que tal polinomio e irredutvel emQ[x] por criterio de Eisenstein pois 3|a0 = 3, 32 = 9 | 3, 3 divide a1 = 3, a2 = 0 e3 |a3 = 1, tomando uma raiz de tal polinomio temos [Q() : Q] = 3 e nao pode serda forma 3 n com n racional, pois essa raiz nao pode ser racional pois o polinomio naopossui razes racionais, entao ela e irracional substituindo no polinomio temosn3 n33n3=0= 3n3o que e absurdo pois chegamos na conclusao que um numero racional3n, logo ca provado o que desejamos.

n3e irracional3

Propriedade 83. Sejam f (x) K[x] irredutvel sobre K e de grau m 1, E umaextensao de K de grau n, onde mdc(n, m) = 1. Entao f (x) e irredutvel sobre E.Demonstracao.(revisar) Suponha por absurdo que P (x) possua fatoracao nao trivialem E[x], tal fatoracao nao pode ter fator de grau 1, pois se nao uma raiz de P (x) estariacontida em E e da[E : K] = [E : K()] [K() : K]| {z }| {z }n

m

da m dividiria n o que contraria a hipotese, observe que [K() : K] = m pois e raiz deum polinomio irredutvel P (x) em K[x] de grau m. EntaoP (x) = g(x).h(x)onde g(x) (sem perda de generalidade) e irredutvel em E[x] de grau t > 1 e h(x) possuigrau v > 1, m = t + v. Tomamos uma raiz de g(x) e construmos a extensao E(),temos

CAPITULO 1. CORPOS

56

[E() : K] = [E() : E][E : K] = t.n[E() : E] = t pois e raiz de g(x) E[x] irredutvel. Calculando [E() : K] por outrocaminho[E() : K] = [E() : K()][K() : K] = u.m|{z}:=u

igualando os valores para [E() : K] temosm.u = tnlogo m|n.t como mdc(m, n) = 1 entao (m = t + v)|t, com v 1 chegamos em um absurdo,logo P (x) deve ser irredutvel em E[x].4Exemplo 27. Mostre que [Q( 2, Q( 3)] = 8.4Sejam 1 = 2 e 2 = 3. Temos

[Q(1 , 2 ) : Q] = [Q(1 , 2 ) : Q(2 )] [Q(2 : Q)] = n.2|{z} | {z }n

2

[Q(2 : Q)] = 2 pois x2 3 Q[x] e o polinomio mnimo de 2 , como P (x) = x4 2 Q(2 )[x] e 1 e raiz de P (x) entao [Q(1 , 2 ) : Q(2 )] = n 4, P (x) e irredutvel sobreQ[x], [Q(1 : Q)] = 4 , da [Q(1 , 2 ) : Q] 4, entao n pode assumir valores 2, 3 ou 4.444Fatoramos x4 2 em C[x]. x4 2 = (x2 2)(x2 + 2) = (x 2)(x + 2)(x i 2)(x +4i 2) se n = 2 o polinomio mnimo divide P (x) e deve ser da forma (x2 2) ou (x2 + 2)pois de outra forma teramos um numero complexo em Q( 3) o que nao e possvel pois eum subconjunto de R, porem com isso teramos 2 Q( 3) o que tambem nao acontece.44Agora caso n = 3, se o polinomio contem apenas (x i 2) e nao (x + i 2) temosnumero complexo no corpo, o que nao e possvel. Entao deve conter os fatores(x2 +

4442)(x 2) = x3 2x2 + 2x 2 2

logo 2 Q( 3) o que nao acontece, portanto o unico caso que resta e n = 4 e da4[Q( 2, Q( 3)] = 8.

CAPITULO 1. CORPOS

57

Exemplo 28. Mostre que x3 + x + 1 e x3 + x2 + 1 sao irredutveis sobre F2 . Como F2e corpo e o grau do polinomio e 3, se o polinomio e redutvel ele possui um fator linear,logo uma raiz em F2 ,precisamos testar apenas se 0 ou 1 sao razes dos polinomios. Parao primeiro polinomio0 + 0 + 1 = 01 + 1 + 1 = 1 = 0para o segundo

0 + 0 + 1 = 1 = 01 + 1 + 1 = 1 = 0entao ambos sao irredutveis sobre F2 .Exemplo 29. Um polinomio nao ter razes em um corpo K, nao signica necessariamenteque ele e irredutvel, pois por exemplo x4 + 2x2 + 1 nao possui razes racionais porem eredutvel, da forma (x2 + 1)2 .Propriedade 84. Vale queK(1 , , n ) = K(1 ) K(n ).Demonstracao. Primeiro vamos mostrar que K(1 ) K(n ) K(1 , , n ).

Temos que K K(1 , , n ) e K K(1 ) K(n ) := F . Cada k K(k ) logok F , pois F e o menor corpo que contem cada K(k ). Como F contem cada k e Kentao tambem contem F (1 , , n ) que e o menor corpo que contem F e cada k . Agora vamos mostrar que K(1 , , n ) K(1 ) K(n ).

K(1 , , n ) contem cada k e K, tambem contem K(k ), sendo o menor corpo quecontem K e k . Entao K(1 , , n ) tambem contem K(1 ) K(n ), pois e o menorcorpo que contem todos K(k ).

CAPITULO 1. CORPOS

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Com as duas inclusoes provamos a igualdadeK(1 , , n ) = K(1 ) K(n ).Corolario 25. Vale queK(1 , , n )K(1 , , m ) = K(1 , , n , 1 , , m )pois

K(1 , , n )K(1 , , m ) = K(1 ) K(n )K(1 ) K(m ) = K(1 , , n , 1 , , m ).Propriedade 85. Sejam E, F duas extensoes de K contidas num mesmo corpo L.(EF )|K e nita E|K e F |K sao nitas.Demonstracao.).Temos K E EF e K F EF , como EF e nita entao, temos[EF : K] = [EF : E] [E : K][EF : K] = [EF : F ] [F : K]E|K e F |K sao nitas por multiplicatividade dos graus.).Se E|K e F |K sao nitas entao existem (k )n1 e (k )mebricos, tais que1 elementos algao EF = (k , bj )kIn , jIm , (EF )|K e nitamente geradaE = K(k )n1 e F = K(k )m1 , entpor elementos algebricos, entao a extensao e nita.Ja provamos que extensao nita nitamente gerada e algebrica, agora vamos provarque nitamente gerada e algebrica nita.Propriedade 86. Se K = F (k )n1 e uma extensao nitamente gerada de F , por elementosalgebricos (k )n1 entao K e uma extensao algebrica nita de F .Demonstracao.Bast provar que a extensao e nita, pois extensoes nitas sao algebricas.

CAPITULO 1. CORPOS

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Faremos a prova por inducao sobre r, se r = 1 entao K = F (1 ) com 1 algebrico sobreF , entao [F (1 ) : F ]P (x) irredutvel, logo e nita. Supondo por hipotese de inducao quetoda extensao nitamente gerada por r 1 elementos algebricos sobre F e nita, vamosprovar para r elementos algebricos.Seja K = F (k )r1 com cada elemento de (k )r1 algebrico sobre F , por hipotese deinducao F (k )r1e nita sobre F , r e algebrico sobre F , o que implica k algebrico1sobre L = F (k )r11 .e nita sobre L, temos entao F L A extensao simples L(r ) = F (k )r11 (r ) = K K, por multiplicatividade do grau segue que K|F e nita

.

Propriedade 87. Sejam E ,F duas extensoes de K contidas num mesmo corpo.(EF )|K e algebrica E|K e F |K sao algebricas.Demonstracao.).Se (EF )|K e algebrica, entao dado qualquer EF existe P (x) K[x] tal queP () = 0, pode ser tomado como elemento de E ou F , pois E F EF , disso segueque E|K e F |K sao algebricos.).Seja A = { EF | e algebrico sobre K}, tal conjunto e subcorpo de EF quecontem K, alem disso contem E e F , pois os elementos desses corpos sao algebricos sobreK, como EF e o menor corpo que os contem entao deve valer EF = A, todo elemento deEF e algebrico sobre K.