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� Correção Exercícios� Revisão para Prova

Rosen 58

� 1) Transcreva as proposições abaixo para o português, em que o domínio para cada variável consista nos números reais.

� a) ∀x∃y (x<y)� b) ∀x∀y (((x�������������������� ��∀x∀y∃z (xy = z)

Exercícios – Rosen (59)

9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

a) Todos amam Jerry

Exercícios – Rosen (59)

9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

a) Todos amam Jerryy

Exercícios – Rosen (59)

9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

a) Todos amam Jerry

∀∀∀∀x L(x,Jerry)y

Exercícios – Rosen (59)

9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

b) Todas as pessoas amam alguém

?????

Exercícios – Rosen (59)

9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

b) Todas as pessoas amam alguém

∀x∃y L(x,y)

Exercícios – Rosen (59)

9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

c) Há alguém que é amado por todos

??????

Exercícios – Rosen (59)

9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

c) Há alguém que é amado por todos

∃y∀x L(x,y)

Rosen (59)

9. Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

d) Ninguém ama todos

Rosen (59)

9. Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

d) Ninguém ama todos

Existe alguém que ama todo mundo � ∃x∀y L(x,y)Se isso não for verdade então Ninguém ama todos

Rosen (59)

9. Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

d) Ninguém ama todos ~∃x∀y L(x,y)

Existe alguém que ama todo mundo � ∃x∀y L(x,y)Se isso não for verdade então Ninguém ama todos

Rosen (59)

9. Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

d) Ninguém ama todos ~∃x∀y L(x,y)e) Há alguém a quem Lídia não amaReescrevendo: Lidia não ama alguém:∃y ~L(Lidia,y)

Rosen (59)

9. Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

d) Ninguém ama todos ~∃x∀y L(x,y)e) Há alguém a quem Lídia não ama ∃y ~L(Lidia,y)f) Há alguém a quem ninguém amaReescrevendo: Há alguém a quem todos não amam

∃y∀x ~L(x,y)

Exercícios – Rosen (59)

9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

i) Todos amam a si próprio

????

Exercícios – Rosen (59)

9) Considere L(x,y) como a proposição “x ama y”, em que o domínio para x e y são todas as pessoas do mundo. Use quantificadores para expressar cada proposição abaixo.

i) Todos amam a si próprio

∀x L(x,x)

Exercícios – Rosen (59)

11) Considere S(x) como o predicado “x é um estudante”, F(x) o predicado “x é um membro da faculdade” e A(x,y) o predicado “x fez uma pergunta a y”, em que o domínio são todas pessoas associadas a sua escola. Use quantificadores para expressar cada proposição a seguir.

a) Lois fez uma pergunta ao professor Michaels

Exercícios – Rosen (59)

11) S(x) = “x é um estudante”F(x) = “x é um membro da faculdade” A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”

Domínio {todas pessoas da sua escola}

a) Lois fez uma pergunta ao professor MichaelsA(x,y)

Quem é?

Exercícios – Rosen (59)

11) S(x) = “x é um estudante”F(x) = “x é um membro da faculdade” A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”

Domínio {todas pessoas da sua escola}

a) Lois fez uma pergunta ao professor MichaelsA(Lois,professor Michaels)

Exercícios – Rosen (59)

11) S(x) = “x é um estudante”F(x) = “x é um membro da faculdade” A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”

Domínio {todas pessoas da sua escola}

b) Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross

A(x,y) Quem é?

Exercícios – Rosen (59)

11) S(x) = “x é um estudante”F(x) = “x é um membro da faculdade” A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”

Domínio {todas pessoas da sua escola}

b) Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross

A(x,professor Gross) Quem é?

Exercícios – Rosen (59)

11) S(x) = “x é um estudante”F(x) = “x é um membro da faculdade” A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”

Domínio {todas pessoas da sua escola}

b) Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross

A(x,professor Gross) Teremos que restringir o domínio...

Exercícios – Rosen (59)

11) S(x) = “x é um estudante”F(x) = “x é um membro da faculdade” A(x,y) = “x fez uma pergunta a y”

Domínio {todas pessoas da sua escola}

b) Todo estudante fez uma pergunta ao professor Gross

∀x(S(x) � A(x,professor Gross)) Universal = Condicional!!!!

Exercícios – Rosen (61)

26) Considere Q(x,y) como a proposição “x+y = x-y”. Se o domínio das duas variáveis forem todos os números inteiros, quais são os valores verdade?

a) Q(1,1) = ???

Exercícios – Rosen (61)

26) Q(x,y) = “x+y = x-y”Domínio = Z

a) Q(1,1) = Falsob) Q(2,0) = ????

Exercícios – Rosen (61)

26) Q(x,y) = “x+y = x-y”Domínio = Z

a) Q(1,1) = Falsob) Q(2,0) = Verdade c) ∀yQ(1,y) = ?????

Exercícios – Rosen (61)

26) Q(x,y) = “x+y = x-y”Domínio = Z

a) Q(1,1) = Falsob) Q(2,0) = Verdade c) ∀yQ(1,y) = Falsod) ∃xQ(x,2) = ????

Exercícios – Rosen (61)

26) Q(x,y) = “x+y = x-y”Domínio = Z

a) Q(1,1) = Falsob) Q(2,0) = Verdade c) ∀yQ(1,y) = Falsod) ∃xQ(x,2) = Falsoe) ∃x ∃yQ(x,y) = ????

Exercícios – Rosen (61)

26) Q(x,y) = “x+y = x-y”Domínio = Z

a) Q(1,1) = Falsob) Q(2,0) = Verdade c) ∀yQ(1,y) = Falsod) ∃xQ(x,2) = Falsoe) ∃x ∃yQ(x,y) = Verdade, letra b)f ) ∀x ∃yQ(x,y) = ????

Exercícios – Rosen (61)

26) Q(x,y) = “x+y = x-y”Domínio = Z

a) Q(1,1) = Falsob) Q(2,0) = Verdade c) ∀yQ(1,y) = Falsod) ∃xQ(x,2) = Falsoe) ∃x ∃yQ(x,y) = Verdade, letra b)f ) ∀x ∃yQ(x,y) = Verdade. Qual? g) ∃y ∀xQ(x,y) = ????

Exercícios – Rosen (61)

26) Q(x,y) = “x+y = x-y”Domínio = Z

a) Q(1,1) = Falsob) Q(2,0) = Verdade c) ∀yQ(1,y) = Falsod) ∃xQ(x,2) = Falsoe) ∃x ∃yQ(x,y) = Verdade, letra b)f ) ∀x ∃yQ(x,y) = Verdade. Qual? g) ∃y ∀xQ(x,y) = Verdade. Qual?

Exercícios – Rosen (61)

26) Q(x,y) = “x+y = x-y”Domínio = Z

a) Q(1,1) = Falso h) ∀y ∃xQ(x,y) = Fb) Q(2,0) = Verdade i) ∀x ∀yQ(x,y) = ???c) ∀yQ(1,y) = Falsod) ∃xQ(x,2) = Falsoe) ∃x ∃yQ(x,y) = Verdade, letra b)f ) ∀x ∃yQ(x,y) = Verdade. Qual? g) ∃y ∀xQ(x,y) = Verdade. Qual?

Exercícios – Rosen (61)

26) Q(x,y) = “x+y = x-y”Domínio = Z

a) Q(1,1) = Falso h) ∀y ∃xQ(x,y) = Fb) Q(2,0) = Verdade i) ∀x ∀yQ(x,y) = Fc) ∀yQ(1,y) = Falsod) ∃xQ(x,2) = Falsoe) ∃x ∃yQ(x,y) = Verdade, letra b)f ) ∀x ∃yQ(x,y) = Verdade. Qual? g) ∃y ∀xQ(x,y) = Verdade. Qual?

Rosen (61)

30) Reescrever cada uma das proposições para que as negações apareçam apenas inseridas nos predicados (ou seja, nenhuma negação esteja do lado de fora de um quantificador ou de uma expressão que envolva conectivos lógicos).

Aplicação direta das leis de De Morgan

O que foi visto até agora...

� Predicado � Proposição� Quantificadores� Conjuntos� Quantificadores com restrição� Operações Lógicas com predicados� Quantificadores Agrupados� Negando Quantificadores� Equivalências Lógicas� Tradução

Revisão para a Prova

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Prova: FUNCAB - 2013

Partindo das premissas: I. Todo delegado é justo.II. Todo delegado é formado em direito.III. Leonardo é justo.IV. Amanda é perita.

Pode - se concluir que Toda pessoa justa é formada em direito.

Prova: FUNCAB - 2013

Partindo das premissas: I. Todo delegado é justo.II. Todo delegado é formado em direito.III. Leonardo é justo.IV. Amanda é perita.

Pode - se concluir que Toda pessoa justa é formada em direito.

Prova: FUNCAB - 2013

Partindo das premissas: I. Todo delegado é justo.II. Todo delegado é formado em direito.III. Leonardo é justo.IV. Amanda é perita.

Pode - se concluir que Leonardo é delegado.

Prova: FUNCAB - 2013

Partindo das premissas: I. Todo delegado é justo.II. Todo delegado é formado em direito.III. Leonardo é justo.IV. Amanda é perita.

Pode - se concluir que Leonardo é delegado.

Prova: FUNCAB - 2013

Partindo das premissas: I. Todo delegado é justo.II. Todo delegado é formado em direito.III. Leonardo é justo.IV. Amanda é perita.

Pode - se concluir que Amanda é justa.

Prova: FUNCAB - 2013

Partindo das premissas: I. Todo delegado é justo.II. Todo delegado é formado em direito.III. Leonardo é justo.IV. Amanda é perita.

Pode - se concluir que Amanda é justa.

Prova: FUNCAB - 2013

Partindo das premissas: I. Todo delegado é justo.II. Todo delegado é formado em direito.III. Leonardo é justo.IV. Amanda é perita.

Pode - se concluir que Há pessoas formadas em direito que são justas.

Prova: FUNCAB - 2013

Partindo das premissas: I. Todo delegado é justo.II. Todo delegado é formado em direito.III. Leonardo é justo.IV. Amanda é perita.

Pode - se concluir que Há pessoas formadas em direito que são justas.

Prova: VUNESP - 2013 - PC-SP

Considere verdadeiras as seguintes afirmações:

I. Existem policiais civis que concluíram o ensino superior.II. Todos os policiais civis são esforçados.

Com base nas informações, conclui-se que: os policiais civis esforçados concluíram o ensino superior.

Prova: VUNESP - 2013 - PC-SP

Considere verdadeiras as seguintes afirmações:

I. Existem policiais civis que concluíram o ensino superior.II. Todos os policiais civis são esforçados.

Com base nas informações, conclui-se que: os policiais civis esforçados concluíram o ensino superior.

Prova: VUNESP - 2013 - PC-SP

Considere verdadeiras as seguintes afirmações:

I. Existem policiais civis que concluíram o ensino superior.II. Todos os policiais civis são esforçados.

Com base nas informações, conclui-se que: Não é verdade que nenhum policial civil esforçado concluiu o ensino superior.

Prova: VUNESP - 2013 - PC-SP

Considere verdadeiras as seguintes afirmações:

I. Existem policiais civis que concluíram o ensino superior.II. Todos os policiais civis são esforçados.

Com base nas informações, conclui-se que: Não é verdade que nenhum policial civil esforçado concluiu o ensino superior.

Prova: VUNESP - 2013 - PC-SP

Considere verdadeiras as seguintes afirmações:

I. Existem policiais civis que concluíram o ensino superior.II. Todos os policiais civis são esforçados.

Com base nas informações, conclui-se que: os policiais civis que não concluíram o ensino superior não são esforçados.

Prova: VUNESP - 2013 - PC-SP

Considere verdadeiras as seguintes afirmações:

I. Existem policiais civis que concluíram o ensino superior.II. Todos os policiais civis são esforçados.

Com base nas informações, conclui-se que: os policiais civis que não concluíram o ensino superior não são esforçados.

Prova: VUNESP - 2013 - PC-SP

Considere verdadeiras as seguintes afirmações:

I. Existem policiais civis que concluíram o ensino superior.II. Todos os policiais civis são esforçados.

Com base nas informações, conclui-se que: ospoliciais civis que concluíram o ensino superior são esforçados

Prova: VUNESP - 2013 - PC-SP

Considere verdadeiras as seguintes afirmações:

I. Existem policiais civis que concluíram o ensino superior.II. Todos os policiais civis são esforçados.

Com base nas informações, conclui-se que: ospoliciais civis que concluíram o ensino superior são esforçados

Avaliação Interdisciplinar

Em um grupo de amigos, conversando sobre profissões e carreiras, perceberam que entre eles, todos os médicos são, também, professores, mas nenhum professor é cantor. Todos os engenheiros são também programadores, e alguns programadores são também cantores. Como nenhum programador é professor, e nenhum engenheiro é cantor.

Avaliação Interdisciplinar

Todos os médicos são, também, professores, mas nenhum professor é cantor. Todos os engenheiros são também programadores, e alguns programadores são também cantores. Como nenhum programador é professor, e como nenhum engenheiro é cantor, então, pode-se afirmar que:

� Nenhum engenheiro é médico.

Avaliação Interdisciplinar

Todos os médicos são, também, professores, mas nenhum professor é cantor. Todos os engenheiros são também programadores, e alguns programadores são também cantores. Como nenhum programador é professor, e como nenhum engenheiro é cantor, então, pode-se afirmar que:

� Nenhum engenheiro é médico.

Avaliação Interdisciplinar

Todos os médicos são, também, professores, mas nenhum professor é cantor. Todos os engenheiros são também programadores, e alguns programadores são também cantores. Como nenhum programador é professor, e como nenhum engenheiro é cantor, então, pode-se afirmar que:

� Pelo menos um engenheiro é professor.

Avaliação Interdisciplinar

Todos os médicos são, também, professores, mas nenhum professor é cantor. Todos os engenheiros são também programadores, e alguns programadores são também cantores. Como nenhum programador é professor, e como nenhum engenheiro é cantor, então, pode-se afirmar que:

� Pelo menos um engenheiro é professor.

Avaliação Interdisciplinar

Todos os médicos são, também, professores, mas nenhum professor é cantor. Todos os engenheiros são também programadores, e alguns programadores são também cantores. Como nenhum programador é professor, e como nenhum engenheiro é cantor, então, pode-se afirmar que:

� Nenhum médico é cantor.

Avaliação Interdisciplinar

Todos os médicos são, também, professores, mas nenhum professor é cantor. Todos os engenheiros são também programadores, e alguns programadores são também cantores. Como nenhum programador é professor, e como nenhum engenheiro é cantor, então, pode-se afirmar que:

� Nenhum médico é cantor.

Avaliação Interdisciplinar

Todos os médicos são, também, professores, mas nenhum professor é cantor. Todos os engenheiros são também programadores, e alguns programadores são também cantores. Como nenhum programador é professor, e como nenhum engenheiro é cantor, então, pode-se afirmar que:

� Todos os programadores são médicos.

Avaliação Interdisciplinar

Todos os médicos são, também, professores, mas nenhum professor é cantor. Todos os engenheiros são também programadores, e alguns programadores são também cantores. Como nenhum programador é professor, e como nenhum engenheiro é cantor, então, pode-se afirmar que:

� Todos os programadores são médicos.

Avaliação Interdisciplinar

Conjuntos é uma estrutura discreta fundamental no estudo da computação. Algumas operações podem ser feitas com dois ou mais conjuntos, dentre elas temos a intersecção (�) e a diferença (–). Considerando três conjuntos quaisquer A, B, C e o conjunto vazio �, analise as afirmações a seguir.

Avaliação Interdisciplinar

� (A � B � C) ⊆ (A � B)

Avaliação Interdisciplinar

� (A � B � C) ⊆ (A � B)

Avaliação Interdisciplinar

� A ⊆ (A � B)

Avaliação Interdisciplinar

� A ⊆ (A � B)

Avaliação Interdisciplinar

� (A – C) � (C – B ) = �

Avaliação Interdisciplinar

� (A – C) � (C – B ) = �

Avaliação Interdisciplinar

A lógica de predicados expressa adequadamente o significado das proposições em linguagem natural. Para isto ela define predicados e quantificadores, sendo ∀ o quantificador universal e ∃ o quantificador existencial.

Avaliação Interdisciplinar

Utilizando a lógica de predicados podemos expressar a sentença “Para cada aluno da disciplina CMP1049este foi aprovado na disciplina CMP1045” da seguinte forma:

∀x(C(x) ^ P(x)), onde domínio = { alunos da PUC}

P(x) = “x foi aprovado na disciplina CMP1045”, C(x) = “x é aluno da disciplina CMP1049”.

Avaliação Interdisciplinar

Utilizando a lógica de predicados podemos expressar a sentença “Para cada aluno da disciplina CMP1049este foi aprovado na disciplina CMP1045” da seguinte forma:

∀x(C(x) ^ P(x)), onde domínio = { alunos da PUC}

P(x) = “x foi aprovado na disciplina CMP1045”, C(x) = “x é aluno da disciplina CMP1049”.

Avaliação Interdisciplinar

Utilizando a lógica de predicados podemos expressar a sentença “Para cada aluno da disciplina CMP1049este foi aprovado na disciplina CMP1045” da seguinte forma:

∀P(x) ,onde domínio ={alunos da disciplina CMP1049}

P(x) = “x foi aprovado na disciplina CMP1045”, C(x) = “x é aluno da disciplina CMP1049”.

Avaliação Interdisciplinar

Utilizando a lógica de predicados podemos expressar a sentença “Para cada aluno da disciplina CMP1049este foi aprovado na disciplina CMP1045” da seguinte forma:

∀xP(x) ,onde domínio ={alunos da disciplina CMP1049}

P(x) = “x foi aprovado na disciplina CMP1045”, C(x) = “x é aluno da disciplina CMP1049”.

Avaliação Interdisciplinar

Utilizando a lógica de predicados podemos expressar a sentença “Para cada aluno da disciplina CMP1049este foi aprovado na disciplina CMP1045” da seguinte forma:

∀x(C(x) �P(x)), onde domínio = { alunos da PUC}

P(x) = “x foi aprovado na disciplina CMP1045”, C(x) = “x é aluno da disciplina CMP1049”.

Avaliação Interdisciplinar

Utilizando a lógica de predicados podemos expressar a sentença “Para cada aluno da disciplina CMP1049este foi aprovado na disciplina CMP1045” da seguinte forma:

∀x(C(x) �P(x)), onde domínio = { alunos da PUC}

P(x) = “x foi aprovado na disciplina CMP1045”, C(x) = “x é aluno da disciplina CMP1049”.

Avaliação Interdisciplinar

� Todos os marinheiros são republicanos.

Com base na proposição podemos afirmar que:

� O conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos.

Avaliação Interdisciplinar

� Todos os marinheiros são republicanos.

Com base na proposição podemos afirmar que:

� O conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos.

Avaliação Interdisciplinar

� Todos os marinheiros são republicanos.

Com base na proposição podemos afirmar que:

� Todos os republicanos são marinheiros.

Avaliação Interdisciplinar

� Todos os marinheiros são republicanos.

Com base na proposição podemos afirmar que:

� Todos os republicanos são marinheiros.

Avaliação Interdisciplinar

� Todos os marinheiros são republicanos.

Com base na proposição podemos afirmar que:

� O conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros.

Avaliação Interdisciplinar

� Todos os marinheiros são republicanos.

Com base na proposição podemos afirmar que:

� O conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros.

ENADE 2014

Seja o universo U={10, 20, 30, 40} e o conjunto dos números naturais N. Com base no conhecimento sobre lógica de predicados, avalie as afirmações a seguir.

(∀x ∈ N)(∀y ∈ U) (x < y) é válida.

ENADE 2014

Seja o universo U={10, 20, 30, 40} e o conjunto dos números naturais N. Com base no conhecimento sobre lógica de predicados, avalie as afirmações a seguir.

(∀x ∈ N)(∀y ∈ U) (x < y) é válida.

ENADE 2014

Seja o universo U={10, 20, 30, 40} e o conjunto dos números naturais N. Com base no conhecimento sobre lógica de predicados, avalie as afirmações a seguir.

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) (y < x) é válida.

ENADE 2014

Seja o universo U={10, 20, 30, 40} e o conjunto dos números naturais N. Com base no conhecimento sobre lógica de predicados, avalie as afirmações a seguir.

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N)(y < x) é válida.

ENADE 2014

Seja o universo U={10, 20, 30, 40} e o conjunto dos números naturais N. Com base no conhecimento sobre lógica de predicados, avalie as afirmações a seguir.

(∀x ∈ N)(∀y ∈ U) (x > y) é inválida, sendo x=10um contra-exemplo.

ENADE 2014

Seja o universo U={10, 20, 30, 40} e o conjunto dos números naturais N. Com base no conhecimento sobre lógica de predicados, avalie as afirmações a seguir.

(∀x ∈ N)(∀y ∈ U) (x > y)(x > y) é inválida, sendo x=10 um contra-exemplo.