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Lógica de Predicados
Quantificadores
Conteúdo
� Correção de Exercícios� Operações Lógicas� Quantificadores – Rosen (pg 33)� Tradução Português – Lógica – Rosen (pg 42)
Exercícios
� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6”� P(x) = “x – 1 < 4”� P(x) = “5x + 6 = 0”� P(x) =“x2-x-2”
Exercícios
� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4”� P(x) = “5x + 6 = 0”� P(x) =“x2-x-2”
Exercícios
� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}� P(x) = “5x + 6 = 0”� P(x) =“x2-x-2”
Exercícios
� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}� P(x) = “5x + 6 = 0” CV={ }� P(x) =“x2-x-2”
Exercícios
� Determinar o conjunto verdade em N dos predicados.� P(x) = “2x = 6” CV={3}� P(x) = “x – 1 < 4” CV={0,1,2,3,4}� P(x) = “5x + 6 = 0” CV={ }� P(x) =“x2-x-2” CV={2}
Exercícios
� Dados os conjuntosA={ -2,0,1,2}B={-1,0,3}
Determinar o conjunto verdade de P(x,y)=“x+y < 1” x�A e y�B
Exercícios
� Dados os conjuntosA={ -2,0,1,2}B={-1,0,3}
Determinar o conjunto verdade de P(x,y)=“x+y < 1” x�A e y�B
CV = { (-2,-1), (-2,0), (0,-1), (0,0), (1,-1)}
Exercícios Rosen – pg 46
1) Considere P(x) como o predicado “x� 4”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) P(0)b) P(4)c) P(6)
Exercícios Rosen – pg 46
1) Considere P(x) como o predicado “x� 4”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) P(0) é Verdadeb) P(4) é Verdadec) P(6) é Falso
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere P(x) como o predicado “a palavra x contém a letra a”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) P(orange)b) P(lemon)c) P(true)d) P(false)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere P(x) como o predicado “a palavra x contém a letra a”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) P(orange) é Verdadeb) P(lemon) é Falsoc) P(true) é Falsod) P(false) é Verdade
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston) é Verdaded) Q(Nova York, Nova York)
Exercícios Rosen – pg 46
2) Considere Q(x,y) como o predicado “x é a capital de y”. Quais são os valores verdade das proposições abaixo?
a) Q(Denver, Colorado) é Verdadeb) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansingc) Q(Massachusetts, Boston) é Verdaded) Q(Nova York, Nova York) é F capital é Albany
Exercícios Rosen – pg 46
4) Constate o valor de x depois que o comando if P(x) then x:=1 for executada, em que P(x) é a proposição “x>1”, se o valor de x, quando essa proposição for alcançada, for
a) x=0; Resp. 0b) x=1; Resp. 1c) x=2; Resp 1
Operações Lógicas Sobre Predicados
� As operações lógicas que usamos para proposições estendem se a predicados.
� M(x) = “x é médico”� P(x) = “x é professor”
� M(x) ^ P(x) x é médico e professor
Operações Lógicas sobre Predicados
� Conjunção
P(x) = “x>2”Q(x) = “x<8”
P(x) ^ Q(x) = “2 < x < 8”
CV = ??? em N
Operações Lógicas sobre Predicados
� Conjunção
P(x) = “x > 2”Q(x) = “x < 8”
P(x) ^ Q(x) = “2 < x < 8”
CV = {3,4,5,6,7}
Operações Lógicas sobre Predicados
� Disjunção
P(x) = “x < 2”Q(x) = “x > 8”
P(x) v Q(x) = “x > 2 ou x < 8”
CV em N ??? 0? 1? 2? 5?
Operações Lógicas sobre Predicados
� Negação
P(x) = “x é par”~P(x) = ???
O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.
Operações Lógicas sobre Predicados
� Negação
P(x) = “x é par”~P(x) = “x é impar”
O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.
Operações Lógicas sobre Predicados
� Negação
P(x) = “x é par”~P(x) =“x é impar”
Q(x) = “x < y”~Q(x) = ???
O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.
Operações Lógicas sobre Predicados
� Negação
P(x) = “x é par”~P(x) = “x é impar”
Q(x) = “x < y”~Q(x) = “x � y”
O conjunto verdade de um é o complemento do conjunto verdade do outro.
Operações Lógicas sobre Operadores
� As operações:
� Condicional� Bicondicional
também podem ser estendidas para a lógica de predicados. Falaremos sobre elas em aulas futuras.
Quantificadores
� São frases do tipo:� “para todo”� “para cada”� “para algum”
� Ou seja, frases que dizem quantos objetos, em algum sentido, têm uma determinada propriedade.
Quantificadores - Tipos
� Universal: � considera todos os elementos de um conjunto
� Existencial:� Existe um ou mais elementos de um conjunto.
Quantificador Universal
� Propriedade é verdadeira para todos os valores de uma variável em um determinado domínio, ou seja, todos os elementos do domínio tornam o predicado verdadeiro.
� Domínio = Conjunto Verdade
� Símbolo Usado: �
Quantificador Universal
� Notação:� (�x ��A) (P(x)) � �x ��A, P(x)� �x ��A: P(x) � (�x ) P(x)� �x, P(x)� �x: P(x)� �x P(x)
Quantificador Universal
� Seja A = {a1,a2, ... , an} o domínio considerado para o predicado P(x).
� Então �x P(x) equivale à conjunção das proposições.
�x P(x) � P(a1)^ P(a2) ^ ... P(an)
Quantificador Universal
� Seja A = {a1,a2, ... , an} o domínio considerado para o predicado P(x).
� Então �x P(x) equivale à conjunção das proposições.
�x P(x) � P(a1)^ P(a2) ^ ... ^P(an)
� Sendo assim ao usarmos o quantificador universal no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.
Quantificador Universal
� Exemplo:A= {3,5,7}P(x) = “x é primo”�x P(x) é ???
Quantificador Universal
� Exemplo:A= {3,5,7}P(x) = “x é primo”�x P(x) é Verdade
� Um elemento para o qual P(x) é falsa é chamado de contra exemplo para �x P(x) e torna �x P(x) falso também.
Quantificador Universal
� Exemplo:
P(x) = “x +1 > x”Domínio: o conjunto dos números reais.
�x P(x) é ?
Quantificador Universal
� Exemplo:
P(x) = “x +1 > x”Domínio: o conjunto dos números reais.
�x P(x) é Verdade
Quantificador Universal
� Exemplo:
Q(x) = “x < 2”Domínio: o conjunto dos números reais
�x Q(x) é ???
Quantificador Universal
� Exemplo:
Q(x) = “x < 2”Domínio: o conjunto dos números reais
Q(3) é Falso logo �x Q(x) é Falso
Contra exemplo
Quantificador Existencial
� Propriedade é verdadeira para pelo menos um valor de uma variável em um determinado domínio, ou seja, existe um elemento do domínio que torna o predicado verdadeiro.
� Símbolo Usado: �
Quantificador Existencial� Exemplo
P(x) = “x é aluno de fundamentos 1 que tem N1=10.0”
Domínio = {alunos desta sala}
Podemos escrever que: �x P(x)
Quantificador Existencial
� Notação:� (�x ��A) (P(x)) � �x ��A, P(x)� �x ��A: P(x) � (�x ) P(x)� �x, P(x)� �x: P(x)� �x P(x)
Quantificador Existencial
� Seja A = {a1,a2, ... , an} o domínio considerado para o predicado P(x).
� Então �x P(x) equivale à disjunção das proposições.
�x P(x) � P(a1) v P(a2) v ... v P(an)
Quantificador Existencial
� Seja A = {a1,a2, ... , an} o domínio considerado para o predicado P(x).
� Então �x P(x) equivale à disjunção das proposições.
�x P(x) � P(a1) v P(a2) v ... v P(an)
� Sendo assim ao usarmos o quantificador existencial no predicado este torna se uma proposição pois tem um valor verdade.
Quantificador Existencial
Exemplo: P(x) = “x > 3”Domínio: conjunto dos números reais.Temos que 4 > 3 logo �x P(x) é V
Quantificador Existencial
� �x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio.
� Exemplo:(�x �N) (n+4<8)
O Conjunto Verdade = {0,1,2,3}, logo o predicado é verdadeiro
�x P(x) é Verdade
Quantificador Existencial
� �x P(x) será falso quando o conjunto verdade for vazio.
� Exemplo:(�x �N) (n+4 < 4)
O Conjunto Verdade = { }, logo o predicado é falso
�x P(x) é Falso
Traduzindo do Português
Todo estudante desta classe estudou lógica.
Como podemosrepresentar isso na lógica?
Traduzindo do Português
� Todo estudante desta classe estudou lógica.
1) Definir o predicadoC(x) = “x estudou lógica”
Traduzindo do Português
� Todo estudante desta classe estudou lógica.
1) Definir o predicadoC(x) = “x estudou lógica”
2) Definir o domínioDomínio = {estudantes desta classe}
Traduzindo do Português
� Todo estudante desta classe estudou lógica.
1) Definir o predicadoC(x) = “x estudou lógica”
2) Definir o domínioDomínio = {estudantes desta classe}
3) Escrever a proposição: �x C(x)
Traduzindo do Português
� Todo estudante desta classe estudou lógica.
1) Definir o predicadoC(x) = “x estudou calculo”
2) Definir o domínioDomínio = {estudantes desta classe}
3) Escrever a proposição: �x C(x)
Existem várias maneiras de tradução!!!!
Rosen Pg 46 Ex. 5
� Considere P(x) como o predicado “x passa mais do que cinco horas em aula todos os dias”, em que o domínio de x são todos os estudantes. Expresse cada uma dessas quantificações em português.
a) �x P(x) b) �x P(x)c) �x ~P(x) d) �x ~P(x)
Exercícios – Rosen(47)
� 6 a) e 6 b)� 11� 12� 13� 14