LÓGICA DOS PREDICADOS · Lógica de Predicados Introdução A Disciplina de Lógica de Predicados tem por objetivo familiarizar o aluno com lógica formal, de maneira a desenvolver

LÓGICA DOS PREDICADOS

2 Lógica de Predicados


Autores

Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa1 Magda Leyser2

1 Bacharel em Matemática Aplicada a Informática e Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela

Universidade Luterana do Brasil. Professor dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e

Licenciatura em Matemática da ULBRA.

2 Mestre em Ciência da Computação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Desde 1993 é

professora dos Cursos de Ciência da Computação, Engenharias e Licenciatura em Matemática da ULBRA.

Atualmente também atua como professora do curso de Licenciatura em Matemática em EAD da ULBRA

e como professora dos cursos de Análise e Desenvolvimento de Sistemas e Gestão Financeira da Faculdade

de Tecnologia Senac-RS.


Introdução

A Disciplina de Lógica de Predicados tem por objetivo familiarizar o aluno com

lógica formal, de maneira a desenvolver a capacidade de argumentação

inerente ao raciocínio lógico que permite a inferência, ou conclusão, de algo

baseado nas afirmações e/ou fatos disponíveis.

Destacamos que a lógica proposicional é composta de um sistema de provas e

demonstrações, que denominamos como argumentação, que apresenta de

maneira irrefutável a veracidade, ou não, do fato, ou do predicado do sujeito

analisado. É importante a consideração de duas importantes características, a

atemporalidade, isto é o que decidirmos não sofrerá alteração na

interpretação, e a bivalência, ou seja, só temos duas alternativas de

interpretação: verdadeiro ou falso.

Desejamos a todos um ótimo estudo durante o desenvolvimento do conteúdo

proposto ao longo dos capítulos desse livro.


Sumário

Lógica Proposicional ..................................................................... 6

Interpretação dos Conectivos ........................................................ 19

Equivalências Lógicas ................................................................. 37

Implicações Lógicas .................................................................... 54

Sistema de Dedução ................................................................... 76

Conceitos fundamentais de Conjunto ............................................... 90

Quantificadores: Existencial e Universal ......................................... 106

Lógica de Predicados ................................................................. 123

Silogismo Categórico ................................................................. 138

Tablês Semânticos .................................................................... 155


Lógica Proposicional

Magda Leyser3





de Tecnologia Senac-RS.


Introdução

O capítulo que inicia essa disciplina tem por objetivo uma primeira aproximação

do que é lógica. A lógica é entendida como a ciência que estuda os princípios e

os métodos que estabelecem as condição de validade ou não validade dos

argumentos. Em nossa vida empregamos argumentos como parte de um

discurso falado ou escrito, onde organizamos uma ou mais sentenças

denominadas premissas e uma sentença que denominamos conclusão.

Neste capítulo estabeleceremos quais as sentenças podem ser usadas na lógica

proposicional, a qual é a lógica introdutória para apresentação dos conectivos

lógicos e suas variações em português.

Aproveitamos para apresentar como exemplo dessa organização o início da

teoria de Conjuntos, definição de conjuntos e a relações de pertinência entre

elemento e conjunto.

Lógica Proposicional

Iniciamos nosso estudo esclarecendo que uma proposição é qualquer sentença

declarativa que assume valor-verdade: verdadeiro ou falso. Entretanto, é

importante recordar que sentenças (afirmações, frases) podem ser formadas

por outros tipos de sentenças. Entretanto, nas linguagens naturais (ou

correntes) como português nos expressamos com interrogações e exclamações,

mas para comunicar fatos ou afirmações usamos sentenças

declarativas(proposições). Portanto existem outros tipos de sentenças, no caso:

Declarativa: Mário é engenheiro.

Interrogativa: Será que Márcia irá ao cinema?

Exclamativa: Feliz Natal!

Imperativas: Feche a porta.

Observe que das quatro sentenças acima somente a sentença declarativa temos

possibilidade de avaliar como verdadeira ou falsa. Do ponto de vista da lógica

não temos a preocupação de saber qual dessas situações estamos avaliando no

momento. Mas com certeza, uma dessas alternativas deve ocorrer. As demais

sentenças são necessárias mais informações para podemos saber o que ocorreu,

no caso da sentença interrogativa, precisamos da resposta. Na sentença

imperativa, há necessidade de sabermos que a ordem foi executada. Portanto,

essas situações estarão fora do escopo de estudo da lógica proposicional.

Podemos apresentar outros exemplos, agora esclarecido qual o tipo de sentença

que estudaremos na lógica proposicional.


Exemplos de sentenças declarativas:

O sol é um planeta.

Maria é gaúcha.

O valor numérico de seno de 90º é igual a 1.

Porto Alegre é capital de Santa Catarina.

Existe uma cidade que é capital de Pernambuco.

Qualquer pessoa é gaúcha.

Exemplos de sentenças não-declarativas:

Mario, venha aqui, agora! (sentença imperativa)

Meu Deus, que susto! (sentença exclamativa)

Quantos planetas existem no sistema solar? (sentença interrogativa)

Qual é a capital do Maranhão? (sentença interrogativa)

Observe que as sentenças que não são proposições não podemos estabelecer

um valor-verdade para elas. Já os exemplos de sentenças que são proposições,

mesmo tratanto de assuntos variados, tem um valor-verdade, que as vezes

podemos não conhecer, mas ele existe.

Também é importante destacar que as sentenças podem ter sujeito

determinado (fechado) ou indenterminado (aberto). Nos exemplos de sentencas

declarativas que estão acima, temos setenças declarativas de sujeito

determinado os exemplos:

O sol é um planeta.

Maria é gaúcha.

O valor numérico de seno de 90º é igual a 1.

Porto Alegre é capital de Santa Catarina.

Nos exemplos de sentencas declarativas que estão acima, temos setenças

declarativas de sujeito indeterminado os exemplos:

Existe uma cidade que é capital de Pernambuco.

Qualquer pessoa é gaúcha.

Observe que para essas proposições usamos as palavras existe e qualquer, as

quais estudaremos no capítulo 5, essas palavras são chamadas de

quantificadores.


Símbolos Proposicionais

Na lógica proposicional temos por objetivo estudar as relações lógicas

indiferente do assunto a ser tratado. Assim, para relacionarmos as proposições

não nos preocupando com o conteúdo das proposições e seu significado,

definiremos que cada proposição será representada por uma letra,

normalmente letra maiúscula do alfabeto latino.

Exemplo: Considerando os símbolos proposicionais: A, B, C,..., Z. Associamos a

seguinte interpretação, ou seja, as seguintes sentenças declarativas fechadas

(sujeito determinado):

A = Maria é gaúcha.

B= Maria é fluente em inglês.

C= Paulo é catarinense.

D= Paulo gosta de churrasco.

Sentença Simples e sentença composta

É importante destacar nesta etapa do nosso estudo que outra classificação

importante para as sentenças além da questão de classificá-las em afirmativas,

interrogativas, exclamativas e imperativas. É descrever se estamos usando na

argumentação uma sentença simples ou composta.

Dizemos que uma sentença é simples se, e somente neste caso, a sentença tem

uma única afirmação. Por exemplo: Maria é gaúcha.

Entretanto, chamaremos de sentença composta, quando a sentença é

constituída de pelo menos duas sentenças declarativas. Por exemplo: Maria é

gaúcha e Paulo é catarinense.

Exemplo: Indique nas sentenças abaixo com A as sentenças declarativas abertas

e F as sentenças declarativas fechadas. Depois, reveja os exemplos e associe S

para as sentenças simples e C para as sentenças compostas.

Alguém é filho de Pedro. (AS)

Pedro é canoense. (FS)

João e Paulo não são gaúchos. (FC)

Pedro não está de férias, mas não viajou. (FC)

Existe uma pessoa feliz. (AS)

Qualquer gaúcho é gremista. (AS)


Mario é gaúcho e gremista. (FC)

Algum gaúcho é gremista. (AS)

Se Maria é gaúcha então todos são gaúchos. (AC)

Nem todos são colorados. (AS)

Qualquer número inteiro é positivo. (AS)

Dois é número natural e primo. (FC)

Todas as pessoas são gaúchas e gremistas. (AC)

Paulo não é gremista, entretanto João é gremista. (FC)

Conectivos Proposicionais

Nos exemplos de sentenças compostas, você pode observar que aparecem

palavras e símbolos de pontuação que ligam uma sentença simples com outra

sentença simples de maneira a organizar o que chamamos de sentido da

sentença composta criada. As palavras que servem de ligação entre as

sentenças são chamadas de conectivos lógicos.

No estudo da lógica proposicional, nos limitaremos aos conectivos

proposicionais ou sentenciais da negação, conjunção, disjunção, condicional e

bicondicional. É importante comentar que em língua portuguesa não temos uma

única expressão para representar esses conectivos, assim relacionaremos

abaixo algumas alternativas para cada um deles.

Negação, esse conetivo não relaciona duas sentenças, mas nega uma afirmação

que a precede, dessa forma esse conetivo é denominado de conetivo unário.

São exemplos:

Maria não é gaúcha.

Não se dá que Maria é gaúcha.

Não se tem que Maria é gaúcha.

Não é fato que Maria gosta de churrasco.

Conjunção, esse conetivo relaciona duas sentenças, a expressão mais comum

em língua portuguesa é e, por relacionar duas sentenças esse conetivo é

denominado de conetivo binário. São exemplos de conjunção:

Maria é gaúcha e Paulo é catarinense.


Maria é gaúcha assim como Paulo é gaúcho.

Porto Alegre é capital do RS mas é uma cidade muito fria.

O Brasil sediará o campeonato mundial de futebol de 2014 embora seja um país

de grande extensão territorial.

Não só Porto Alegre é capital do RS, mas, ainda é capital do MERCOSUL.

Maria é gaúcha e também é brasileira.

Paulo tem cidadania italiana embora tenha nascido no Brasil.

Disjunção, esse conetivo relaciona duas sentenças, relacionadas pela palavra

ou, também por relacionar duas sentenças esse conetivo é denominado de

conetivo binário. São exemplos:

Maria é gaúcha ou Paulo é catarinense.

Maria ou Paulo é gaúcho.

Porto Alegre é capital do RS ou de SC.

É importante, destacar neste momento, que na linguagem do cotidiano, usamos

o ou em dois sentidos: inclusivo ou exclusivo.

Considere o exemplo Porto Alegre é capital do RS ou SC. No senso comum que

entendemos por Capital de um estado não se imagina que Porto Alegre seja ao

mesmo tempo capital do Rio Grande do Sul e de Santa Catarina, trata-se de um

uso do ou exclusivo. Mas quando dizemos que Paulo gosta de churrasco ou de

pastel, temos a possibilidade de um ou inclusivo. Ou seja, ele gostar das duas

opções de comida. Na lógica proposicional, estudaremos somente o ou

inclusivo.

Condicional, esse conetivo relaciona duas sentenças, pela seguinte expressão:

se proposição 1 então proposição 2. Também por relacionar duas sentenças

esse conetivo é denominado de conetivo binário. São exemplos:

Se Maria é gaúcha então ela gosta de chimarrão.

Dois ser par implica quatro ser par.

Dois é par só se quatro é par.

Dois é par apenas se quatro é par.


Se Fernando é físico isso significa que ele gosta de matemática.

Tendo-se Brasil campeão da competição então Paulo dará uma festa.

Brasil campeão da competição apenas se Paulo dará uma festa.

Brasil ser campeão da competição implica Paulo dar uma festa.

Brasil ser campeão da competição acarreta Paulo dar uma festa.

Paulo dar uma festa é consequencia de Brasil ser campeão da competição.

Uma condição necessária para Brasil ser campeão da competição é Paulo dar

uma festa.

Uma condição suficiente para Paulo dar uma festa é o Brasil ser campeão da

competição.

Brasil ser campeão da competição é antecedente e Paulo dar uma festa é

consequente.

Bicondicional, esse conetivo relaciona duas sentenças, pela seguinte

expressão: proposição 1 se, e somente se, proposição 2. Também por

relacionar duas sentenças esse conetivo é denominado de conetivo binário. A

proposição composta do bicondicional é uma abreviatura para a composição

pela conjunção de dois condicionais, que poderemos escrever como: (Se

proposição 1 então proposição 2) e (Se proposição 2 então proposição 1). São

exemplos:

Maria ganhará dinheiro se e somente se ela completar seu trabalho.

O Brasil será um país menos violento se e somente se a educação tornar-se

prioridade governamental.

Alfabeto Proposicional

A partir das ideias expostas anteriormente estamos em condições de

estabelecer um processo de formalização onde converteremos os parágrafos

que construímos na nossa argumentação em uma estrutura composta de

símbolos proposicionais, conectivos lógicos e símbolos de pontuação. Esse grupo

de símbolos forma o que chamamos de alfabeto proposicional.


Um alfabeto proposicional (A) é composto por:

Símbolos lógicos:

pontuação (separação): (,)

conectivos: (negação)

(conjunção)

(disjunção)

( condicional)

(bicondicional)

Símbolos não-lógicos: conjunto (P) de símbolos proposicionais que servem

para representar as sentenças declarativas fechadas (proposições, construção

em linguagem corrente do tipo sujeito determinado + verbo + complemento).

São os nomes dados às sentenças declarativas simples.

Para evitar ambiguidade na descrição da formalização de uma sentença

composta pelos símbolos relatados acima, é importante estabelecer uma

pontuação adequada, tal como realizamos na aritmética para as operações

aritméticas. Ou seja, temos as seguintes interpretações do uso dos símbolos:

Cada parênteses aberto deve ser fechado, os parênteses internos precedem os

parênteses mais externos.

A ordem de prioridade dos conectivos é:

1º negação

2º conjunção e disjunção

3º condicional e bicondicional.

Exemplo: Formalize pela Lógica Proposicional, através do alfabeto A um

alfabeto proposicional, e P um conjunto de símbolos proposicionais de A. Onde:

A= Patricia está na praia.

B= Patricia é alta.

C= Patricia gosta de surfar.

D= Pedro gosta de surfar.


E= Pedro é magro.

P= Pedro é alto.

Patrícia está na praia e gosta de surfar. Formalização dessa sentença

declarativa fechada composta é: (AC).

Pedro é alto e magro. Formalização dessa sentença declarativa fechada

composta é: (PE).

Pedro é magro ou alto. Formalização é (E P).

Pedro não gosta de surfar. Formalização é (D).

Se Patrícia gosta de surfar então ela está na praia. Formalização é (CA).

Patrícia gosta de surfar, embora Pedro não goste de surfar. Formalização é

(CD).

Pedro não é magro, mas é alto. Formalização é (EP).

Patrícia está na praia se e somente se gosta de surfar. Formalização é (AC).

Exemplo: Traduza para linguagem simbólica as proposições, usando letras

maiúsculas para representar as sentenças declarativas simples.

Dois ou quatro é número par.

P= Dois é número par.

Q= Quatro é número par

Formalização: (PQ)

Sete e quatro são números pares.

P= Sete é número par.

Q= Quatro é número par.


Dois é número par, mas sete não é um número par.


Q= Sete é número par.



Dois ou cinco é número par.


Q= Cinco é número par.


Cinco não é número par, entretanto quatro é um número par.

P= Cinco é número par.



Se oito dividido por dois tem resto igual a zero então oito é um número par.

P= Oito divido por dois tem resto igual a zero.

Q= Oito é número par.


Se nove não é número par então nove é número ímpar.

P= Nove é número par.

Q= Nove é número ímpar.


Oito é um número par se e somente se oito dividido por dois tem resto igual a

zero.

P= Oito é número par.

Q= Oito divido por dois tem resto igual a zero.


Cinco é número primo, portanto os divisores de cinco são um e cinco.

P= Cinco é número primo.

Q= Um é divisor de cinco.


R= Cinco é divisor de cinco.

Formalização: (P(QR))

Como nove dividido por dois não tem resto igual a zero então: nove é ímpar.

P= Nove divido por dois tem resto igual a zero.

Q = Nove é ímpar.

Formalização: (P Q)

Recapitulando

Neste capítulo você foi apresentado a simbologia da lógica proposicional, onde

delimitamos que nas argumentações em lógica proposicional somente serão

representadas sentenças declarativas fechadas. Sendo que para generalizar

uma argumentação podemos formalizar as sentenças compostas através de uma

simbologia que omite o assunto tratado na argumentação. Para isso usaremos o

que se chama de símbolos proposicionais, normalmente as letras latinas

maiúsculas. E, as palavras que criam as sentenças compostas, os conectivos,

serão representadas por símbolos especiais.

No próximo capítulo apresentaremos o valor-verdade desses conectivos e a

metodologia de construção de uma tabela-verdade.

Referências bibliográficas do capítulo

ALENCAR FILHO, Edgard. Teoria Elementar dos Conjuntos. São Paulo: Nobel,

1971.

SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta: uma introdução. São Paulo:

Pioneira Thompson Learning, 2003.


Atividades

Indique nas sentenças abaixo com P as sentenças declarativas

(proposições), com I as sentenças interrogativas, com M as sentenças

imperativas e com E as sentenças exclamativas.

( ) Antônio é filho de Pedro.

( ) Pedro é canoense.

( ) Quem nesta turma é brasileiro?

( ) Algum avião é vermelho.

( ) Maria, feche a porta e estude!

( ) Como vai, tudo bem?

( ) Mario é gaúcho e gremista.

( ) Ah! Boa tarde!

Formalize através dos símbolos de um alfabeto proposicional as

sentenças abaixo:

Dois é número par, mas três é número ímpar.

Quatro ou sete é número par.

Quatro não é número par, portanto cinco é número par.

Se dois e quatro são números pares então oito é número par.

Considerando o apresentado neste capítulo, determine se as sentenças

abaixo são V (verdadeira) ou F (falsas).

O símbolo da disjunção é um símbolo lógico denominado de conetivo

e sua representação é . Em português é representado pela palavra

ou.

O símbolo lógico denominado de conetivo do condicional é

representado pelo símbolo . Em português é representado pela

palavra mas.

A frase Maria é filha de Pedro é um exemplo de sentença imperativa

que não pode ser usada na Lógica proposicional, pois é um exemplo

de sentença aberta.

A formalização ( A) é uma possibilidade na lógica proposicional para

representar a sentença declarativa fechada: Maria não é filha de

Pedro.

Qual das alternativas abaixo é a melhor representação pela lógica

proposicional para a sentença declarativa composta: Maria não é

brasileira. Mas se Maria fosse Pernambucana então Maria seria

brasileira. Logo Maria não é pernambucana.

(ABAB)

((AB)B)


(A(BA) B)

(A(AA) A)

(A(BA) B)

A sentença declarativa composta que melhor representa a fórmula

(A(CB)) é:

Maria é gaúcha, portanto Maria gosta de chimarrão e churrasco.

Se Maria não é gaúcha então ela não gosta de churrasco.

Maria não é gaúcha logo ela não é brasileira.

Se Maria gosta de chocolate então ela não gosta de salgado e não tem

receio de engordar.

Maria gosta de chocolate, mas tem medo de engordar.

Gabarito das atividades

a) P ;b) P ;c) I ;d)P ;e) M ;f)I ;g) P ;h) E

Fazendo as seguintes associações para os símbolos proposicionais:


Q= Três é número ímpar.

R= Quatro é número par.

S= Sete é número par.

T= Cinco é número par.

U= Oito é número par.

Teremos as seguintes formalizações para as sentenças declarativas

fechadas.

(PQ)

(PS)

(RT)

((PR)U)

a)Verdade. b) Falsa. c) Falsa. d)Verdadeira.

e.

d.


Interpretação dos Conectivos

Magda Leyser4





Senac-Porto Alegre.


Introdução

Agora que já conhecemos os conectivos usados na construção das sentenças

declarativas compostas, partimos para a interpretação do seu valor-verdade.

Primeiro definiremos o valor-verdade de cada um dos conectivos. Depois,

estudaremos sentenças compostas que usam mais de um conetivo com o auxílio

da construção de uma tabela-verdade, que apresenta todas as possibilidades de

valor-verdade para os símbolos proposicionais presentes em uma formalização.

O valor-verdade de um conetivo é obtido de forma única a partir dos possíveis

valores-verdade da sentença declarativa simples representada pelo símbolo

proposicional. É interessante observar que o valor-verdade das sentenças

também pode ser chamado de interpretação, valor-lógico ou valor-booleano. A

fim de exemplificar o valor-verdade das formalizações das sentenças

declarativas que aprendemos a construir, vamos associar algumas possibilidades

para a sentença declarativa simples em linguagem natural, por exemplo, a

língua portuguesa.

Assim, sejam P e Q símbolos proposicionais que representam uma sentença

declarativa fechada de sujeito próprio como identificado nas tabelas a seguir.

Para determinar o valor-verdade (V para verdadeiro) ou (F para falso) das

proposições compostas, usaremos a apresentação no formato de tabela,

denominado de tabela-verdade. Onde representamos as possibilidades de valor-

verdade em cada linha e na respectiva coluna o valor-verdade do conetivo.

Negação

P Valor-verdade de P P Valor-verdade de P

Porto Alegre é capital do

RS. Verdadeiro

Porto Alegre não é capital do

RS. Falso


SC. Falso

Porto Alegre não é capital do

SC. Verdade

Observe que a negação é um conetivo unário, pois atua sobre no mínimo uma

sentença declarativa fechada, por esse motivo a descrição na tabela acima

usamos somente um símbolo proposicional e tem somente duas possibilidades.

Ou seja, o símbolo proposicional P represente uma sentença verdadeira ou

falsa. Nas lógicas clássicas, onde a lógica proposicional se insere existem

somente essas duas alternativas. Ou seja, não existe uma terceira alternativa

de valor-verdade, como: não sei, talvez, mais ou menos.

Agora para discutir o valor-verdade dos demais conectivos, conjunção,

disjunção, condicional e bicondicional, por se tratarem de conectivos binários,

teremos sentenças compostas formadas por duas sentenças. Assim, usaremos

dois símbolos proposicionais, P e Q, e associaremos sentenças declarativas

simples a esses símbolos proposicionais.


Disjunção (ou)

Teremos as seguintes interpretações para o conetivo da disjunção (ou)

P Q

Valor-

verdade de

P

Valor-

Verdade de

Q

PQ Valor-verdade de PQ

Porto Alegre é

capital do RS.

Florianópolis é

capital de SC. V V


RS ou Florianópolis é

capital de SC.

V

Porto Alegre é

capital do RS.

Porto Alegre é

capital do SC. V F


RS ou SC. V

Porto Alegre é

capital do SC.

Florianópolis é

capital do SC. F V

Porto Alegre ou

Florianópolis é capital de

SC.

V

Porto Alegre é

capital do SC.

Porto Alegre é

capital do

Paraná.

F F Porto Alegre é capital de

SC ou Paraná. F

Conjunção (e)

Teremos as seguintes interpretações para o conetivo da conjunção (e)

P Q

Valor-

verdade de

P

Valor-

Verdade de

Q

PQ Valor-verdade de PQ

Porto Alegre é

capital do RS.

Florianópolis é

capital de SC. V V


RS e Florianópolis é

capital de SC.

V

Porto Alegre é

capital do RS.

Porto Alegre é

capital do SC. V F


RS e SC. F

Porto Alegre é

capital do SC.

Florianópolis é

capital do SC. F V

Porto Alegre e

Florianópolis são capitais

de SC.

F

Porto Alegre é

capital do SC.

Porto Alegre é

capital do

Paraná.

F F Porto Alegre é capital de

SC e do Paraná. F

Condicional (se... então...)

Teremos as seguintes interpretações para o conetivo do condicional (se...

então...)

P Q

Valor-

verdade de

P

Valor-

Verdade de

Q

P→Q Valor-verdade de P→Q

Porto Alegre é

capital do RS.

Florianópolis é

capital de SC. V V

Se Porto Alegre é capital

do RS então Florianópolis

é capital de SC.

V

Porto Alegre é

capital do RS.

Porto Alegre é

capital do SC. V F


do RS então Porto Alegre

é capital de SC.

F

Porto Alegre é

capital do SC.

Florianópolis é

capital do SC. F V

Se Porto Alegre capital

de SC então Florianópolis

é capital de SC.

V

Porto Alegre é

capital do SC.

Porto Alegre é

capital do

Paraná.

F F


de SC então Porto Alegre

é capital do Paraná.

V


Bicondicional (... se e somente se...)

Teremos as seguintes interpretações para o conetivo do bicondicional ( ... se e

somente se...)

P Q

Valor-

verdade de

P

Valor-

Verdade de

Q

P↔Q Valor-verdade de P↔Q

Porto Alegre é

capital do RS.

Florianópolis é

capital de SC. V V


RS se e somente se


SC.

V

Porto Alegre é

capital do RS.

Porto Alegre é

capital do SC. V F


RS se e somente se Porto

Alegre é capital de SC.

F

Porto Alegre é

capital do SC.

Florianópolis é

capital do SC. F V

Porto Alegre capital de

SC se e somente se


SC.

F

Porto Alegre é

capital do SC.

Porto Alegre é

capital do

Paraná.

F F

Porto Alegre é capital de

SC se e somente Porto

Alegre é capital do

Paraná.

V

Lembre-se que comentamos no capítulo anterior sobre a ordem de prioridade

dos conectivos, para determinar do valor-verdade das formalizações

compostas:

1º pares de parênteses

2º negação

3º conjunção e disjunção

4º condicional e bicondicional.

Também é usual respeitar no momento de avaliação a ordem da esquerda para

direita quando ocorrerem conectivos de mesma precedência.

Exemplo: Dados que os símbolos proposicionais A e B possuem valores-verdade

Verdadeiro e os símbolos proposicionais C e D tem valor-verdade Falso,

determine o valor-verdade das seguintes proposições compostas.

(D)

D (D)

Falso Verdadeiro


(AB)

A B A (AB)

Verdade Verdade Falso Verdade

(BC)

B C (BC)

Verdade Falso Falso

(BC)

B C B (BC)

Verdade Falso Falso Falso

BC →A

B C A (BC) (BC) →A

Verdade Falso Verdade Falsa Falso

BC ↔A

B C A C BC BC ↔A

Verdade Falso Verdade Verdade Verdade Verdade

DA ↔C

D A C D A DA DA ↔C

Falso Verdade Falso Verdade Falso Falso Verdade

Exemplo: Formalize as sentenças compostas abaixo e determine seu valor-

verdade.

Dois é número ímpar ou três é número par.

Formalização (DT) onde representamos os símbolos proposicionais por:

D= Dois é número ímpar.


T= Três é número par.

D T (DT)

Falso Falso Falso

Quatro e oito são número ímpares.

Formalização (QT) onde representamos os símbolos proposicionais por:

Q= Quatro é número ímpar.

T= Oito é número ímpar.

Q T (QT)

Falso Falso Falso

Quatro é número par, logo quatro não é número primo.

Formalização (Q→R) onde representamos os símbolos proposicionais por:


R= Quatro é número primo.

Q R R Q→ R

Verdade Falso Verdade Verdade

Se doze é número par, então treze é número ímpar.

Formalização (D→R) onde representamos os símbolos proposicionais por:

D= Doze é número par.

R= Treze é número ímpar.

D R D→ R

Verdade Verdade Verdade

Formalize as sentenças compostas abaixo considerando o conjunto A={2,3,4,5}


2 pertence ao conjunto A.

Formalização (Q) onde representamos o símbolo proposicional por:

Q= 2 pertence ao conjunto A.

Pode-se representar essa sentença declarativa usando o símbolo de pertinência

de conjuntos, ou seja: Q= 2A.

Q

Verdade

3 e 2 pertencem ao conjunto A.

Formalização (RQ) onde representamos o símbolo proposicional por:

R= 3 pertence ao conjunto A.

Q= 2 pertence ao conjunto A.

Usando o símbolo de pertinência de conjuntos, ou seja:

R= 3A.

Q= 2A.

R Q (RQ)

Verdade Verdade Verdade

6 não pertence ao conjunto A.

Formalização (S) onde representamos o símbolo proposicional por:

S= 6 pertence ao conjunto A.


S= 6A.

S S

Falso Verdade


6 não pertence ao conjunto A mas 5 pertence ao conjunto A.

Formalização (SC) onde representamos o símbolo proposicional por:


C= 5 pertence ao conjunto A.


S= 6A.

C= 5A.

S C S (SC)

Falso Verdade Verdade Verdade

7 e 8 pertencem ao conjunto A.

Formalização (SR) onde representamos o símbolo proposicional por:


R= 8 pertence ao conjunto A.


S= 7A.

R= 8A.

S R (SR)

Falso Falso Falso

Tabela-verdade

Para avaliarmos as formalizações compostas onde aparecem vários conectivos,

usaremos a construção no formato de tabela como já fizemos na definição do

valor-verdade dos conectivos.

Entretanto, é importante relembrar que os parênteses tem prioridade sobre

avaliação dos conectivos, sempre usados aos pares. Para exemplificar a

dinâmica da construção da tabela-verdade de uma formalização, destacamos

que:


Na primeira linha exibimos em cada coluna os símbolos proposicionais e as

respectivas avaliações dos conectivos conforme a presença de parênteses e

seguindo a ordem de prioridade dos conectivos.

Nas colunas aparece a avaliação do valor-verdade da formalização da primeira

linha conforme o valor-verdade dos símbolos proposicionais da respectiva linha.

O valor-verdade (valor-lógico) de uma sentença composta é determinado de

uma forma única a partir do valor-verdade atribuído a cada uma das sentenças

representadas pelos símbolos proposicionais A,B,C,D,..., e a partir da

distribuição das possibilidades de valor-lógico de cada um dos símbolos

proposicionais construímos. Essa construção é o que chamaremos de tabela-

verdade na qual em cada coluna apresentamos o resultado da avaliação das

possíveis combinações dos valores-verdade das proposições simples.

Exemplo: Construir a tabela-verdade das formalizações abaixo:

(PQ)(QP)

Essa formalização tem dois símbolos proposicionais, portanto iniciamos a

construção da tabela-verdade posicionando nas duas primeiras colunas os

símbolos proposicionais P e Q. Como tanto P quanto Q podem representar

sentenças declarativas simples que podem ser verdadeiras ou falsas teremos 4

casos possíveis. Assim, iniciamos a tabela-verdade com 5 linhas no total, a

primeira para os símbolos proposicionais e mais 4 linhas para as combinações

das 4 variações de valores-verdade.

P Q

Verdadeiro Verdadeiro

Verdadeiro Falso

Falso Verdadeiro

Falso Falso

A quantidade de colunas a seguir, depende da quantidade de conectivos

presentes na formalização, para tanto, usaremos a precedência dos conectivos

conforme a presença dos parentes, para a formalização desse exemplo teremos

mais 5 colunas para avaliar os seguintes conectivos.


P Q P (PQ) Q (QP) (PQ)(QP)

Verdadeiro Verdadeiro

Verdadeiro Falso

Falso Verdadeiro

Falso Falso

Agora estamos aptos a preencher as respectivas avaliações do valor-verdade do

conetivo presente na primeira linha para cada coluna, conforme os respectivos

valores-verdade presentes na linha. Resultando em:

P Q P (PQ) Q (QP) (PQ)(QP)

Verdadeiro Verdadeiro F V F V V

Verdadeiro Falso F F V V F

Falso Verdadeiro V V F F F

Falso Falso V V V V V

(PQ)(PR)

Essa formalização tem três símbolos proposicionais, portanto iniciamos a


símbolos proposicionais P, Q e R. Cada símbolo proposicional representa um

valor-verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades

teremos 2x2x2=23= 8 linhas de valores-lógicos distintos para P, Q e R. Iniciamos

a tabela-verdade com 9 linhas no total, a primeira para os símbolos

proposicionais e mais 8 linhas para as combinações dos valores-verdade.

P Q R

V V V

V V F

V F V

V F F


F V V

F V F

F F V

F F F

Incluímos mais 3 colunas observando a presença dos parênteses e a precedência

dos conectivos, obtendo:

P Q R (PQ) (PR) (PQ)(PR)

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Preenchendo as respectivas avaliações do valor-verdade do conetivo presente

na primeira linha para cada coluna, conforme os respectivos valores-verdade

presentes na linha. Resultando em:

P Q R (PQ) ( P R) (PQ) ( P R)

V V V V V V

V V F V F F

V F V V V V

V F F V F F

F V V V F F


F V F V F F

F F V F F F

F F F F F F

P P

Tem-se um único símbolo proposicional, isto é P. Assim, a tabela- verdade terá

2 linhas de valores-verdade distintos para P e mais a primeira tinha onde

aparecerá o símbolo proposicional P e os conectivos avaliados.

P

Verdadeiro

Falso

Incluímos mais duas colunas observando a presença do conetivo da negação e o

conetivo da conjunção. obtendo:

P P PP

Verdadeiro

Falso

Para completar a tabela-verdade compara-se a formalização (conetivo) da

primeira linha com o respectivo valor-verdade de P na linha obtendo-se os

seguintes resultados:

P P PP

Verdadeiro Falso Falso

Falso Verdadeiro Falso


Q(PR)

Essa formalização tem três símbolos proposicionais, portanto iniciamos a


símbolos proposicionais P, Q e R. Cada símbolo proposicional representa um

valor-verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades

teremos 2x2x2=23= 8 linhas de valores-lógicos distintos para P, Q e R.

Iniciamos a tabela-verdade com 9 linhas no total, a primeira para os símbolos

proposicionais e mais 8 linhas para as combinações dos valores-verdade.

P Q R P R (PR) Q(PR)

V V V F F F F

V V F F V F F

V F V F F F F

V F F F V F F

F V V V F F F

F V F V V V V

F F V V F F F

F F F V V V F

P (PR)



símbolos proposicionais P e R. Cada símbolo proposicional representa um valor-

verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades teremos

2x2=22= 4 linhas de valores-lógicos distintos para P e R. Iniciamos a tabela-

verdade com 5 linhas no total, a primeira para os símbolos proposicionais e mais

4 linhas para as combinações dos valores-verdade.

P R (PR) (PR) P (PR)

V V V F F

V F F V V


F V F V F

F F F V F

(PQ)



símbolos proposicionais P e R. Cada símbolo proposicional representa um valor-

verdade (verdadeiro ou falso). Assim, combinando essas possibilidades teremos

2x2=22= 4 linhas de valores-lógicos distintos para P e R. Iniciamos a tabela-

verdade com 5 linhas no total, a primeira para os símbolos proposicionais e mais

4 linhas para as combinações dos valores-verdade.

P Q Q (PQ) (P Q)

V V F F V

V F V V F

F V F F V

F F V F V

Recapitulando

Neste capítulo você foi apresentado a metodologia de construção da tabela-

verdade, onde podemos de forma organizada avaliar o valor-verdade de uma

formalização de sentenças compostas. Depois, aplicamos essa formalização na

definição das operações entre conjuntos.

No próximo capítulo apresentaremos uma classificação para as possíveis

situações de avaliação de uma formalização, e a partir dessas formalizações

especiais elaboraremos as regras de dedução de um sistema de prova ou

argumentação.

Finalizamos relembrando a definição das atribuições de valores-verdade dos

conectivos na seguinte tabela:


P Q P PQ PQ (PQ) (PQ)

V V F V V V V

V F F F V F F

F V V F V V F

F F V F F V V



1971.



Atividades

Considerando a construção da tabela-verdade da fórmula. Qual das

afirmações abaixo descreve o número correto de possibilidades para as

possíveis atribuições das combinações de valores-verdade.

(SQ) (SR) S

2 linhas de combinações de valores-verdade pois a fórmula possui

somente um símbolo proposicional.


somente dois símbolos proposicionais.


somente dois símbolos proposicionais.


somente três símbolos proposicionais.


somente 4 símbolos proposicionais.

Construa a tabela-verdade das fórmulas abaixo:

P PP

C(AE) EC

(AB)(BA)


(BA) BA

Transforme as proposiçõe em linguagem natural para linguagem formal,

atenção aos parênteses. Lembre-se de colocar a proposições na forma

afirmativa.

Não é verdade que, o salário é maior do que $2000 e as despesas

menores do que 1/3 do salário.

Não é verdade que o salário é maior do que $2000 e as despesas

menores do que 1/3 do salário.

Fritz foi ao cinema ou ao café mas acompanhado de Frida

x é primo se e somente se x é divisível por x e por 1.

Rescreva a as proposições em linguagem natural para

A:Fritz vai ao cinema ; B:Frida está em casa e C:Kranz vai ao café

(AB)

AB

AB→C

A(BC)

Construa a tabela verdade da seguinte proposição: Se x≥y então x<z e

sabendo que x≥z, temos que x<y.


d

As respectivas tabelas-verdade são:

P PP

P P PP P PP

V F V V

F V V V


C(AE) EC

(AB)(BA)

A B (AB) (BA) (BA) (AB)(BA)

V V V V F V

V F F F V V

F V V F V V

F F V F V V

(BA) BA

A B (BA) (BA) B A BA (BA) BA

V V V F F F F V

V F F V V F F F

F V F V F V F F

F F F V V V V V

C A E A (AE) C(AE) EC C(AE) EC

V V V F V V V V

V V F F V V F F

V F V V V V V V

V F F V F V F F

F V V F V V F F

F V F F V V F F

F F V V V V F F

F F F V F F F V


As proposições são:

P:salário é maior do que $2000 ;

Q:despesas menores do que 1/3 do salário

(P∧Q)

P:salário é maior do que $2000 ;

Q:despesas menores do que 1/3 do salário

P∧Q

P:Fritz foi ao cinema

Q:Fritz foi ao café

R:Fritz foi acompanhado de Frida

(P∨Q)∧R

P:x é primo

Q:x é divisível por x

R:x é divisível por 1

P↔Q∧R

Proposições em liguagem natural

Nego que, Fritz vai ao cinema ou Frida está em casa.

Fritz não vai ao cinema e Frida não está em casa.

É condição para que Kranz vá ao café que, Fritz vá ao cinema e Frida

esteja em casa.

Fritz vai ao cinema mas ou Frida está em casa ou Kranz vai ao café.

Tabela verdade. A:x≥y; B:x<z

A B A→B B A→BB A (A→BB )→A

F F V V V V V

F V V F F V V

V F F V F F V

V F V F F F V


Equivalências Lógicas

Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa5





Introdução

No capítulo anterior estudamos os operadores e as interpretações do valor

verdade das sentenças declarativas compostas através das tabelas verdade.

Nestes casos atribui-se os valores verdade às proposições e, de acordo com as

operações lógicas, faz-se a interpretação.

Estudaremos as equivalências lógicas, ou seja, proposições diferentes na sua

composição mas que têem a mesma interpretação do valor verdade.As

equivalências são muito úiteis para a interpretação e simplificação das

proposições compostas.

Equivalêncas Lógicas

Como visto nos capítulos anteriores, toda proposição lógica pode ser escrita na

forma de uma fórmula bem formada, ou wff (well formed formula). Para tal são

utilizados os conectivos lógicos de negação (¬), conjunção (∧) e disjunção (∨),

de maneira a organizar e definir as relações entre sujeito e predicado das

proposições.

Entendendo que as proposições possuem um valor verdade, que podem ser

expressas através de tabelas verdade, verificamos que diferentes proposições

possuem o mesmo valor verdade, ou seja, a mesma tabela verdade, deste modo

dizemos que as proposições são equivalentes.

Antes de verificarmos as equivalências lógicas apresentamos a classificação das

proposições quanto a presença de verdadeiro ou falso no resultado dos valores

verdade, pois a compreesão dessas classificações justificam as equivalências e

inferências lógicas, tópicos a serem estudados nos próximos capítulos.

Classificação das fórmulas

A álgebra booleana é uma 6-upla (𝛼 , ¬ , ∧, ∨, 𝐹 , 𝑉) para 𝛼 o conjunto das

operações ¬ , ∧, ∨ e os valores Falso (F) e Verdadeiro (V). Considerando que as

proposições podem assumir valores falso e verdadeiro de acordo com as

operações, classifica-se os resultados como sendo:

Tautologia: Para A uma proposição composta, se todos os resultados de A são

verdadeiro então A é uma Tautologia.

Tomamos como exemplo a operação P ∨ ¬P e verificamos que todos os

resultados são verdadeiro que caracteriza uma tautologia.


P P P ∨ P

Verdadeiro Falso Verdadeiro

Falso Verdadeiro Verdadeiro

Contradição: Para A uma proposição composta, se todos os resultados de A são

falso então A é uma Contradição.

Tomamos como exemplo a operação P ∧ ¬P e verificamos que todos os

resultados são falso que caracteriza uma contradição.

P P P ∧ P



Contingência: Para A uma proposição composta, se os resultados de A não são

todos verdadeiro ou todos falso então A é uma Contingência ou uma

indeterminação.

Tomamos como exemplo a operação P ∧ Q e verificamos que os resultados são

falso ou verdadeiros, dependendo dos valores de P e Q, que caracteriza uma

contingência.

P Q P ∧ Q

Falso Falso Falso



Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro


Simplificação da Tautologia

Uma tautologia é muito útil em simplificações se levarmos em conta a

proposição composta P ∨ ¬P ∨ Q para a qual verificamos que todos os

resultados da tabela verdade são verdadeiros, logo para P ∨ ¬P uma tautologia

(T) e fazendo a substituição na proposição original temos que T ∨ Q também

será uma tautologia.

P P Q P ∨ P ∨ Q

Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro

Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro

Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro

Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro

Para a proposição composta P ∨ ¬P ∧ Q verificamos que os resultados da tabela

verdade não são somente verdade, caracterizando uma contingência. Além

disso, verificamos que os valores resultado equivalem exatamente aos valores

de Q, logo para P ∨ ¬P uma tautologia (T) e fazendo a substituição na

proposição original temos que T ∧ Q pode ser simplificado para Q.

P P Q P ∨ P ∧ Q

Falso Verdadeiro Falso Falso


Verdadeiro Falso Falso Falso



Simplificação da Contradição

Analisando as mesmas operações para a contradição temos que para a

proposição composta P ∧ ¬P ∧ Q, verificamos que todos os resultados da tabela

verdade são falsos, logo para P ∧ ¬P uma contradição (C) e fazendo a

substituição na proposição original temos que C ∧ Q também será uma

contradição.

P P Q P ∧ P ∧ Q


Falso Verdadeiro Verdadeiro Falso


Verdadeiro Falso Verdadeiro Falso

Para a proposição composta P ∧ ¬P ∨ Q verificamos que os resultados da tabela

verdade não são todos falso, caracterizando uma contingência. Além disso,

verificamos que os valores resultado equivalem exatamente aos valores de Q,

logo para P ∧ ¬P uma contradição (C) e fazendo a substituição na proposição

original temos que C ∨ Q pode ser simplificado para Q.

P P Q P ∧ P ∨ Q





Tais simplificações são bem úteis para a interpretação de proposições

compostas e mais complexas.


Equivalências Lógicas

Consideramos duas proposições como sendo equivalentes quando as duas

proposições possuem o mesmo valor verdade, ou seja, a mesma tabela verdade.

Então para P ⟺ Q ( utiliza-se o símbolo ⟺ para denotar a equivalência entre

as duas proposições. Não usamos o simbolo da igualdade = pois as proposições

são diferentes na sua descrição apesar de terem o mesmo valor verdade)

Considerando as proposições P → Q e ¬P ∨ Q e suas respectivas tabelas verdade

temos:

P Q P→ Q P ∨ Q

F F V V

F V F F

V F V V

V V V V

Verificamos que os valores verdade das duas proposições são idênticos, deste

modo P → Q ⟺ ¬P ∨ Q. Para justificar podemos usar a operação do

bicondicional para verificarmos a equivalência entre as proposiçõe. Como na

operação do bicondiciona

P → Q ⟷ ¬P ∨ Q

P Q P→ Q P ∨ Q P → Q ⟷ ¬P ∨ Q

F F V V V

F V F F V

V F V V V

V V V V V


Ao realizarmos o bicondicional entre duas proposições que gera uma Tautologia

então temos que as duas proposições são equivalentes.

Verifique se as proposições (AB) e (AB) são equivalentes, para isso

realize a avaliação dos conectivos segundo sua ordem de precedência.

1º avaliar os pares de parênteses, iniciando pelos mais internos;

2º avaliar as negações

3º avaliar as conjunções e disjunção

4º avaliar os condicionais e bicondicionais

Na presença de conectivos de mesma precedência sem os parênteses que

priorize a ordem das operações, adota-se por avaliar as proposições da esquerda

para direita.

A B AB (AB) (AB) ⟷ (AB)

F F F F V

F V F F V

V F V V V

V V F F V

Propriedades de equivalência lógica

Para P(r, s, t), Q(r, s, t) e R(r, s, t) proposições compostas baseadas em proposições

atômicas ou simples r, s, t, as equivalências seguem as propriedades:

Reflexiva: P(r, s, t) ⇔ P(r, s, t) ,ou seja, a proposição P equivale a P.

Simétrica: Se P(r, s, t) ⇔ Q(r, s, t) então Q(r, s, t) ⇔ P(r, s, t) ou seja, se a

proposição P equivale a Q então Q equivale a P.

Transitiva: Se P(r, s, t) ⇔ Q(r, s, t) e Q(r, s, t) ⇔ R(r, s, t) então

P(r, s, t) ⇔ R(r, s, t) ou seja, se a proposição P equivale a Q e Q equivale a R,

então P equivale a R.

Equivalências Notáveis


Algumas equivalências são bem conhecida e são denominadas como

equivalências notáveis. A seguir são apresentadas as equvalências e suas tabelas

verdade.

Equivalência da dupla negação (A) A

A A (A) (A) A

F V F V

V F V V

Equivalência da Idempotência

Idempotente da disjunção A A A

A A A A A A A

F F F V

V V V V

Idempotente da conjunção - A A A, construa a tabela verdade e verifique

a tautologia.

Equivalência da comutatividade

Comutativa da disjunção apresenta o operador entre as proposições,

(AB)(BA).

A B (AB) (BA) (AB) (BA)

F F F F V

F V V V V

V F V V V

V V V V V

Comutativa da conjunção apresenta o operador entre as proposições,

(AB)(BA), construa a tabela verdade e verifique a tautologia.


Equivalência da Associatividade

Associativa para disjunção apresenta o operador entre as proposições

((AB)C)(A(BC)).

A B C (AB) ((AB)C) (BC) (A(BC)) ((AB)C)(A(BC))

F F F F F F F V

F F V F V V V V

F V F V V V V V

F V V V V V V V

V F F V V F V V

V F V V V V V V

V V F V V V V V

V V V V V V V V

Associativa para conjunção apresenta o operador entre as proposições

((AB)C)(A(BC)), construa a tabela verdade e verifique a tautologia.

Para a associatividade é importante a observação de que ela é válida para a

mesma operação entre as proposições. Verifique que ((AB)C)(A(BC))

não é uma Tautologia, logo, não é uma equivalência lógica.

Equivalência da Identidade

Indentidade da disjunção apresenta o operador entre a proposição e a

Tautologia e a Contradição, A T T; A C A.

A T A T A T T A T A C A C A

F V V V F V F V

V V V V V V V V

Indentidade da conjunção apresenta o operador entre a proposição e a

Tautologia e a Contradição, construa a tabela verdade e verifique a tautologia,

A T A; A C C.


Equivalência da Distributividade

Distributiva da disjunção para a conjunção (A(BC)) ((AB)(AC)).

A B C (BC) (A(BC)) (AB) (AC) ((AB)(AC)) (A(BC))

((AB)(AC))

F F F F F F F F V

F F V V F F F F V

F V F V F F F F V

F V V V F F F F V

V F F F F F F F V

V F V V V F V V V

V V F V V V F V V

V V V V V V V V V

Distributiva da conjunção para a disjunção (A(BC)) ((AB)(AC)),

construa a tabela verdade e verifique a tautologia.

Equivalência das Leis de De Morgan

De Morgan para disjunção (AB)AB

A B (AB) (AB) A B (AB) ((AB))(AB)

F F F V V V V V

F V V F V F F V

V F V F F V F V

V V V F F F F V

De Morgan para conjunção (AB)AB, construa a tabela verdade e

verifique a tautologia.


Equivalência da Complementação

Complementação da disjunção (AA) T

A A A A T A A T

F V V V V

V F V V V

Complementação da conjunção (A A) C, construa a tabela verdade e

verifique a tautologia.

Equivalência do Condicional (AB)(AB)

A B (AB) A (AB) (AB)(AB)

F F V V V V

F V V V V V

V F F F F V

V V V F V V

Equivalência do Bicondiconal

Bicondicional para a conjunção (AB)(AB) (BA)

A B AB AB BA (AB)(AB) (AB)

F F V V V V

F V F V F V

V F F F V V

V V V F V V

Bicondicional para a disjunção (AB)(AB) (AB) , construa a tabela

verdade e verifique a tautologia.


Equivalência da Contraposição (AB)(BA)

A B (AB) B A (BA) (AB)(BA)

F F V V V V V

F V V F V V V

V F F V F F V

V V V F F V V

Equivalência da Exportação Importação (AB)C A(BC)

A B C (AB) (AB)C (BC) A(BC) (AB)C

A(BC)

F F F F V V V V

F F V F V V V V

F V F F V F V V

F V V F V V V V

V F F F V V V V

V F V F V V V V

V V F V F F F V

V V V V V V V V

Munido das regras de equivalência, é possível realizar reescritas, simplificações

e até mesmo provas de tautologias, contradições ou contingências.

Podemos exemplificar a aplicação das equivalências na proposição composta

P(QR). Para uma melhor organziação apresentamos a proposição

reescrita e a equivalência utilizada.

P(QR)

P (QR) Condicional

P (QR) Dupla Negação


P (Q R) De Morgan

P (Q R) Dupla Negação

P Q R Associatividade

Outro exemplo é o uso das equivalências para provar outras equivalências.

Procedendo da mesma maneira reescrevemos as proposições linha a linha

identificando as equivalências utilizadas terminando em uma tautologia ou

pode-se reescrever uma das equivalências até que fique ‘igual’ a outra.

Provando que a equivalênca da Exportação Importação (AB)C A(BC)

através das equivalências, podemos reescrever (AB)C até que ela fique igual

a A(BC). Observe que mudamos de equivalente para igual aplicando as

outras equivalências.

(AB)C

(AB) C Condicional

(AB) C De Morgan

A(B C) Associativa

A( B C) Condicional

A ( B C) Condicional

Existem ooutras maneiras de se provar utilizando de outra sequencia de

equivalências.

(AB)C

(AB) C Dupla Negação

(AB) C De Morgan

(AB) C Condicional

(AB) C Dupla Negação

A(B C) Associativa

A(B C) Condicional

A (B C) Condicional


Esse método é eficaz e mais otimizado que as tabelas verdade para proposições

compostas por mais de 5 proposições simples ou com muitas operações pois,

considerando as combinações de valor das proposição teríamos para 5

proposições uma tabela verdade com 25 linhas, que torna a avaliação do valor-

verdade bem trabalhosa.

Recapitulando

Neste capítulo apresentamos as equivalências lógicas e como utiliza-las para

comprovar equivalências de proposições compostas, assim como métodos para

simplificar ou somente reescrever proposições.

No próximo capítulo apresentaremos as Regras de inferência, que em conjunto

com as equivalências são a chave para realizar argumentações e provas lógicas.



1971.



Atividades

1) Sabendo que proposições equivalentes são uma tautologia, construa as

tabelas verdade das seguintes equivalências lógicas:

(Q(RS)) (QRS)

(P(QR)) (P(QR))

(RS) (RS)

2) Sabendo que P(QR) P Q R , comprove sua equivalência

utilizando das equivalências estudadas e fazendo com que uma das

proposições se torne a outra.

3) Sabendo que (QR) (RQ), comprove sua equivalência

utilizando das equivalências estudadas e fazendo com que uma das

proposições se torne a outra.

4) Aplique a sequência de equivalências dadas e comprove que

R(QR)(QR); Condicional, Dupla Negação, Distributiva,

Complementação, Identidade, Comutação


5) Verifique se a seguintes equivalências estão corretamente aplicadas.

A(B↔C)

A(B→C) (C→B)

A(BC) (CB)

((AB)(AC)) (CB)

((AB) (CB))((AC) (CB))

((ABC)(AB B)) ((ACC)(ACB))

((ABC)F) (F(ACB))

((ABC) (ACB))


As tabelas verdade das proposições

(Q(RS))(QRS)

Q R S (RS) (Q(RS)) R (QRS) (Q(RS))(QRS)

F F F V V V V V

F F V V V V V V

F V F F F F F V

F V V V V F V V

V F F V V V V V

V F V V V V V V

V V F F V F V V

V V V V V F V V


(P(QR)) (P(QR))

P Q R QR P(QR) P (P(QR)) (P(QR)) (P(QR))

F F F F V V V V

F F V F V V V V

F V F F V V V V

F V V V V V V V

V F F F F F F V

V F V F F F F V

V V F F F F F V

V V V V V F V V

(RS) (RS)

R S S (RS) R (RS) (RS) (RS) (SR)

F F V F V V F V

F V F F V V F V

V F V V F F V V

V V F F F V F V

P(QR) P Q R

P(QR) P Q R De Morgan

P(QR) P Q R Condicional

P(QR) P Q R Dupla Negação

PQR PQR Associativa

(QR) (RQ)

(QR) (RQ) Condicional

(RQ) (RQ) Comutativa

(RQ) (RQ) Condicional


R(QR)(QR)

R(QR)(QR) Condicional

R(QR)(QR) Dupla Negação

(RQ) (RR)(QR) Distributiva

(RQ) T(QR) Completação

(RQ) (QR) Identidade

(QR) (QR) Comuntação

Verdade


Implicações Lógicas






Introdução

No capítulo anterior estudamos as equivalências lógicas e como elas podem ser

úteis na simplificação de proposições compostas. Verificamos que duas

proposições lógicas são equivalentes quando, ao utilizarmos a operação do

bicondicional entre elas, obtemos uma Tautologia, podendo ser comprovada

por uma tabela verdade.

Aprendemos que podemos verificar as equivalências de outras proposições

tornando-as iguais ao reescrevermos uma delas fazendo uso das equivalências

notáveis.

Estudaremos nesse capítulo as deduções lógicas que associam proposições

atômica e permitem inferir ou concluir uma proposição como verdadeira com

base na veracidade da premissa antecedente.

Implicação Lógica ou Consequência Lógica

A definição de uma implicação lógica considera que uma proposição P implica

logicamente uma proposição Q, se Q é verdadeira toda vez que P é verdadeira.

A notação para a implicação lógica é dada por P ⇒ Q , onde se lê que

P implica Q.

Devemos observar que a implicação lógica (⇒) estabelece uma relação

condicional entre P e Q de modo que para Q ser verdadeiro é condição

necessária que P seja verdadeiro, enquanto que o conectivo lógico de

condicional, ou simplesmente condicional, (→) é uma operação lógica.

Deste modo podemos então verificar através de tabelas verdade as implicações

lógicas a seguir:

P ⇒ P∨Q

P Q P∨Q

F F F

F V V

V F V

V V V

Verifica-se que quando P é verdadeiro P∨Q também o é, logo P verdadeiro

implica em P∨Q verdadeiro também. Salienta-se que isso não significa que P∨Q


é verdadeiro somente quando P é verdadeiro, podemos ver na segunda linha da

tabela verdade que P∨Q é verdadeiro mesmo com P falso, logo não temos uma

equivalência mas uma implicação de maneira que, para P∨Q ser verdadeiro é

condição que P seja verdadeiro, mas não necessariamente a única condição.

Veja as tabelas verdade das seguintes implicações lógicas

Q ⇒ P∨Q

P Q P∨Q

F F F

F V V

V F V

V V V

P∧Q ⇒ P

P Q P∧Q

F F F

F V F

V F F

V V V

P∧Q ⇒Q

P Q P∧Q

F F F

F V F

V F F

V V V

Uma maneira de verificar se as proposições são uma implicação lógica é

substituir a implicação lógica pela operação de condicional e verificamos se a

operação é uma Tautologia, ou seja, se ela é verdadeira sempre. Deste modo

temos que Q ⇒ P∨Q pode ser verIficado por Q → P∨Q é uma tautologia


Q→P∨Q

P Q P∨Q Q→P∨Q

F F F V

F V V V

V F V V

V V V V

Pode-se verificar a tautologia fazendo uso das equivalências lógicas de modo

que Q → P∨Q ⟺T.

Q→P∨Q

¬Q∨P∨Q Condicional

¬Q∨Q∨P Comutativa

(¬Q∨Q) ∨P Associativa

T∨P Complementativa

T Identidade

Verifique as implicações lógicas P ⇒ P∨Q ; P∧Q ⇒ P ; P∧Q ⇒ Q pela tabela

verdade e também usando das equivalências lógicas, como no exemplo dado,

mostrando que as mesmas são Tautologias.

Propriedades de Implicação lógica

Para P(r,s,t), Q(r,s,t) e R(r,s,t) proposições compostas baseadas em proposições

atômicas ou simples r,s,t, as implicações lógicas seguem as propriedades:

Reflexiva: P(r,s,t) ⇒ P(r,s,t) ,ou seja, a proposição P implica em P.

Transitiva: Se P(r,s,t) ⇒ Q(r,s,t) ∧ Q(r,s,t) ⇒ R(r,s,t) então P(r,s,t) ⇒ R(r,s,t) ,

ou seja, se a proposição P implica em Q e Q implica em R, então P implica em

R.

Asssim como nas equivalências lógicas, temos implicações lógicas mais usuais

que são bem conhecidas e que são utilizadas no processo de argumentação e

dedução lógica.


Adição

A implicação P⇒P∨Q utilizada na apresentação do conceito de implicação lógica

é denominada como Adição pois se considerarmos as proposições em linguagem

natural:

P = Sigfrid é paulista; Q = Frida é carioca

podemos afirmar que com certeza que:

Sigfrid é paulista logo Sigfrid é paulista ou Frida é carioca, ou seja, para P

verdadeiro a inclusão de Q falsa ou verdadeira não afeta P⇒P∨Q, de modo que

P∨Q será verdadeiro toda vez que P for verdadeiro.

De maneira análoga temos que Q⇒P∨Q também é uma implicação de Adição

pois para Q verdadeiro a inclusão de P falsa ou verdadeira não afeta Q⇒P∨Q,

de modo que P∨Q será verdadeiro toda vez que Q for verdadeiro. Para o

exemplo dado temos que para:

Frida é carioca logo Sigfrid é paulista ou Frida é carioca.

Simplificação

Outra implicação lógica importante a é Simplificação. Esta implicação permite

simplificar uma proposição composta, dentro de um processo dedutivo.

Verificamos que as proposições:

P = Sigfrid é paulista e Q = Frida é carioca

Se tivermos como verdadeiro que Sigfrid é paulista e Frida é carioca logo será

sempre verdade que Sigfrid é paulista. De maneira análoga sempre será verdade

que Frida é carioca.

Logo temos que P∧Q ⇒ Q e P∧Q ⇒ P são implicações lógicas

Verificando a tautologia P∧Q → P pela tabela verdade temos:

P Q P∧Q P∧Q → P

F F F V

F V F V

V F F V

V V V V


Também podemos utilizar das equivalências lógicas de modo que:

P∧Q → P

¬ (P∧Q) ∨ P Condicional

(¬P∨¬Q) ∨ P De Morgan

P ∨ (¬P∨¬Q) Comutativa

(P ∨ ¬P)∨¬Q Associativa

T∨¬Q Complementativa

T Identidade

Absorção

Na implicação da Absorção

P→(P∧Q) ⇒ P→Q

Vemos que P de P∧Q “desaparece”, ou seja, é absorvido pelo P que antecede a

operação de condicional. Podemos confirmar que essa é uma implicação válida

verificando que (P→(P∧Q)) → (P→Q) é uma tautologia.

Para tal verificação podemos usar a tabela verdade:

P Q P∧Q P→(P∧Q) P→Q (P→(P∧Q)) → (P→Q)

F F F V V V

F V F V V V

V F F F F V

V V V V V V

Também podemos utilizar das equivalências lógicas de modo que:

(P→(P∧Q)) → (P→Q)

¬ (¬P∨(P∧Q)) ∨ (¬P∨Q) Condicional

¬ ((¬P∨P)∧(¬P∨Q)) ∨ (¬P∨Q) Distributiva

¬ (T∧(¬P∨Q)) ∨ (¬P∨Q) Complementativa

¬ (¬P∨Q) ∨ (¬P∨Q) Identidade


OBS: para W:(¬P∨Q) temos que ¬(¬P∨Q) ∨ (¬P∨Q) é ¬W ∨ W, logo

T Complementativa

Se considerarmos as proposições em linguagem natural

P = Sigfrid é paulista e Q = Sigfrid é brasileiro

Se Sigfrid é paulista então Sigfrid é paulista e Sigfrid é brasileiro, logo Se Sigfrid

é paulista então Sigfrid é brasileiro.

Conjunção

Considerando duas proposições dadas como verdadeiras, podemos usá-las para

declarar uma proposição composta deste modo podemos usar a implicação

lógica da conjunção, ou seja, para P verdadeiro e Q verdadeiro podemos inferir

que P∧Q é verdadeiro.

P, Q ⇒ P∧Q

Em linguagem natural, para as proposições P = a < 3 ; Q = b < 4 podemos

a < 3, b < 4, logo a < 3 e b < 4

ou

a < 3, b < 4, logo b < 4 e a < 3

No próximo capítulo apresentaremos a aplicação das implicações lógicas e de

que modo elas podem ser utilizadas no processo dedutivo.

Modus Ponens - Método da afirmação

O método da afirmação mais conhecido como Modus Ponens requer duas

proposições, uma proposição composta P→Q e uma proposição P. Podemos

avaliar para P→Q que Q será verdadeiro com a condição de P ser verdadeiro,

e a segunda proposição P garante isso, logo temos que (P→Q) ∧ P ⇒ Q.

Para as proposições em linguagem natural P = Sigfrid é paulista e Q = Sigfrid é

brasileiro, temos:

Se Sigfrid é paulista então Sigfrid é brasileiro e Sigfrid é paulista logo Sigfrid é

brasileiro.

Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ P ⇒ Q pela tabela verdade temos que

((P→Q) ∧ P)→Q é uma tautologia


P Q P→Q (P→Q) ∧ P ((P→Q) ∧ P)→Q

F F V F V

F V V F V

V F F F V

V V V V V

Utilizando das equivalências lógicas para comprovar a Tautologia temos que:

((P→Q) ∧ P)→Q

¬ ((¬P∨Q) ∧ P) ∨ Q Condicional

(¬(¬P∨Q) ∨ ¬P) ∨ Q De Morgan

¬(¬P∨Q) ∨ (¬P ∨ Q) Associativa


T Complementativa

Observação: Caso P seja falso isso não leva a implicação de que Q será falso, ou seja, (P→Q) ∧ ¬P → ¬Q não é uma Tautologia !!!!!

Podemos verificar pela tabela verdade que (P→Q) ∧ ¬P → ¬Q é uma

indeterminação (contingência)

P Q P→Q ¬P ¬Q (P→Q) ∧ ¬P ((P→Q) ∧ P)→ ¬Q

F F V V V V V

F V V V F V F

V F F F V V V

V V V F F F V

Modus Tollens - Método da negação

O método da negação mais conhecido como Modus Tollens requer duas

proposições, uma proposição composta P→Q e uma proposição ¬Q de maneira

que (P→Q) ∧ ¬Q ⇒ ¬P.

O método da Negação costuma ser de dificil compreensão por não ser usual na

linguagem natural. Podemos avaliar o método da negação da seguinte maneira,


se temos a proposição P→Q verdadeira, tal que P verdadeiro é condição para Q

verdadeiro então se temos que ¬Q verdadeiro, ou seja, Q é falso, então, com

certeza P é falso, que é o mesmo que ¬P verdadeiro.

Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ ¬Q ⇒ ¬P pela tabela verdade, temos

que (P→Q) ∧ ¬Q →¬P é uma tautologia.

P Q P→Q ¬P ¬Q (P→Q) ∧ ¬Q ((P→Q) ∧ P)→ ¬Q

F F V V V V V

F V V V F F V

V F F F V F V

V V V F F F V


((P→Q) ∧ ¬Q)→ ¬P

¬ ((¬P∨Q) ∧ ¬Q) ∨ ¬P Condicional

(¬(¬P∨Q) ∨ ¬¬Q) ∨ ¬P De Morgan

(¬(¬P∨Q) ∨ Q) ∨ ¬P Dupla Negação

¬(¬P∨Q) ∨ (Q ∨ ¬P) Associativa

¬(¬P∨Q) ∨ (¬P∨Q) Comutativa


T Complementativa

Para as proposições em linguagem natural P = Sigfrid é paulista e Q = Sigfrid é

brasileiro, temos:

Se Sigfrid é paulista então Sigfrid é brasileiro e Sigfrid não é brasileiro logo

Sigfrid não é paulista.

Silogismo hipotético

No silogismo hipotético identificamos a propriedade transitiva de modo que se

temos duas proposições verdadeiras e interligadas na qual o consequente da

primeira é o antecedente da segunda podemos inferir que:

(P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R


Para as proposições em linguagem natural P = a < b; Q = b < c e R = c < d

Se a < b então b < c e se b <c então R = c < d logo se a < b então c < d.

(P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R

Verificando a implicação lógica (P→Q)∧(Q→R) ⇒ P→R pela tabela verdade,

temos que (P→Q)∧(Q→R) → (P→R) é uma tautologia.

P Q R P→Q Q→R (P→Q)∧(Q→R) P→R (P→Q)∧(Q→R) → (P→R)

F F F V V V V V

F F V V V V V V

F V F V F F V V

F V V V V V V V

V F F F V F F V

V F V F V F V V

V V F V F F F V

V V V V V V V V


(P→Q)∧(Q→R) → (P→R)

¬((¬P∨Q)∧(¬Q∨R)) ∨ (¬P∨R) Condicional

((¬¬P∧¬Q) ∨ (¬¬Q∧¬R)) ∨ (¬P∨R) De Morgan

((P∧¬Q) ∨ (Q∧¬R)) ∨ (¬P∨R) Dupla Negação

(P∧¬Q) ∨ (Q∧¬R) ∨ ¬P ∨ R Associativa

(P∧¬Q) ∨ ¬P ∨ (Q∧¬R) ∨ R Comutativa

((P∨¬P) ∧ (¬Q∨¬P)) ∨ ((Q ∨ R)∧(¬R∨ R)) Distributiva

( T∧ (¬Q∨¬P)) ∨ ((Q ∨ R)∧T) Complementativa

(¬Q∨¬P) ∨ (Q ∨ R) Identidade


(¬Q ∨ Q)∨¬P ∨ R Associativa

T ∨¬P ∨ R Complementativa

T Identidade

Silogismo disjuntivo

No silogismo disjuntivo temos uma proposição composta P∨Q verdadeira.

Sabendo para para a mesma ser verdadeira um ou as duas são verdadeiras,

temos que a afirmação de que uma delas não é verdadeira, obrigatóriamente a

outra deverá ser verdadeira, logo temos a seguinte implicação

(P∨Q) ∧ ¬P ⇒ Q

Analogamente

(P∨Q) ∧ ¬Q ⇒ P

Para as proposições em linguagem natural P = Sigfrid é santista e Q = Sigfrid é

palmerense, temos que:

Sigfrid é santista ou Sigfrid é palmerense. Sigfrid não é palmerense logo Sigfrid

é santista

(P∨Q) ∧ ¬Q ⇒ P

Verificando a implicação lógica (P∨Q) ∧ ¬Q ⇒ P pela tabela verdade temos que

(P∨Q) ∧ ¬Q→P é uma tautologia

P Q P∨Q ¬Q (P∨Q) ∧ ¬Q (P∨Q) ∧ ¬Q→P

F F F V F V

F V V F F V

V F V V V V

V V V F F V


(P∨Q) ∧ ¬Q→P

¬((P∨Q) ∧ ¬Q) ∨ P Condicional


¬(P∨Q) ∨ ¬¬Q ∨ P De Morgan

¬(P∨Q) ∨ Q ∨ P Dupla negação

¬(P∨Q) ∨ P ∨ Q Comutativa

¬(P∨Q) ∨ (P ∨ Q) Associativa

OBS: para W:(P∨Q) temos que ¬(P∨Q) ∨ (P∨Q) é ¬W ∨ W, logo

T Complementativa

Dilema Construtivo

No dilema construtivo temos duas proposições condicionais P→Q; R→S e uma

terceira P∨R que leva ao dilema Q∨S. Basicamente temos o Modus Ponens

aplicado simuntâneamente a duas proposições condicionais.

Deste modo temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨R) ⇒ (Q∨S)

Para as proposições em linguagem natural:

P = x é múltiplo de 2

Q = x é par

R = y é impar

S = y+1 é par

Se x é múltiplo de 2 então x é par; Se y é impar então y+1 é par.

x é múltiplo de 2 ou y é impar logo x é par ou y+1 é par

Verifica-se no exemplo dado que para verdadeira a afirmação x é múltiplo de 2

ou y é impar, então pelo menos uma delas é verdadeira, logo uma das duas

afirmações condicionais será atendida, que leva a pelo menos uma das

consequencias lógicas ser verdadeira, ou seja, x é par ou y+1 é par.

Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨R) ⇒ (Q∨S) pela tabela

verdade temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨R) → (Q∨S) é uma tautologia.


P Q R S P→Q R→S P∨R (P→Q)∧(R→S) ∧(P∨R)

(Q∨S) (P→Q)∧(R→S) ∧(P∨R)→(Q∨S)

F F F F V V F F F V

F F F V V V F F V V

F F V F V F V F F V

F F V V V V V V V V

F V F F V V F F V V

F V F V V V F F V V

F V V F V F V F V V

F V V V V V V V V V

V F F F F V V F F V

V F F V F V V F V V

V F V F F F V F F V

V F V V F V V F V V

V V F F V V V V V V

V V F V V V V V V V

V V V F V F V F V V

V V V V V V V V V V


(P→Q) ∧ (R→S) ∧ (P∨R) → (Q∨S)

¬((¬P∨Q) ∧ (¬R∨S) ∧ (P∨R)) ∨ (Q∨S) Condicional

¬(¬P∨Q) ∨ ¬(¬R∨S) ∨ ¬(P∨R) ∨ (Q∨S) Condicional

(P ∧ ¬Q) ∨ (R ∧ ¬S) ∨ (¬P ∧ ¬R) ∨ Q ∨ S De Morgan

(P ∧ ¬Q) ∨ Q ∨ (R ∧¬S) ∨ S ∨ (¬P∧¬R) Comutativo

((P ∨ Q) ∧(¬Q ∨ Q)) ∨ ((R ∨ S) ∧ (¬S ∨ S)) ∨ (¬P∧¬R) Distributiva

((P ∨ Q) ∧ T) ∨ ((R ∨ S) ∧ T) ∨ (¬P∧¬R) Complementativa


(P ∨ Q) ∨ (R ∨ S) ∨ (P∧¬R) Identidade

P ∨ Q ∨ S ∨ R ∨ (¬P∧¬R) Associativa

P ∨ Q ∨ S ∨ ((R ∨ ¬P) ∧ (R ∨ ¬R)) Distributiva

P ∨ Q ∨ S ∨ ((R ∨ ¬P) ∧ T) Complementativa

P ∨ Q ∨ S ∨ (R ∨ ¬P) Identidade

Q ∨ S ∨ R ∨ (P ∨ ¬P) Associativa

Q ∨ S ∨ R ∨ T Complementativa

T Identidade

Dilema Destrutivo

No dilema destrutivo temos duas proposições condicionais P→Q; R→S e uma

terceira P∨R que leva ao dilema Q∨S. Basicamente temos o Modus Ponens

aplicado simuntâneamente a duas proposições condicionais.

Deste modo temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨¬S) ⇒ (¬P∨¬R)

Para as proposições em linguagem natural:

P = x é múltiplo de 2

Q = x é par

R = y é impar

S = y+1 é par

Se x é múltiplo de 2 então x é par; Se y é impar então y+1 é par.

x não é par ou y+1 não é par logo x não é múltiplo de 2 ou y não é impar

Verifica-se no exemplo dado que para verdadeira a afirmação x não é par ou

y+1 não é par, então pelo menos uma delas é verdadeira, logo uma das

afirmações condicionais não está sendo atendida, ou seja, x não é par ou y+1

não é par.

Verificando a implicação lógica (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨¬S) ⇒ (¬P∨¬R) pela tabela

verdade temos que (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨¬S) → (¬P∨¬R) é uma tautologia.


P Q R S P→Q R→S ¬Q∨¬S (P→Q)∧(R→S)∧ (¬Q∨¬S)

¬P∨¬R (P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨¬S) →(¬P∨¬R)

F F F F V V V V V V

F F F V V V F F V V

F F V F V F V F F V

F F V V V V F F F V

F V F F V V F F V V

F V F V V V F F V V

F V V F V F F F F V

F V V V V V F F F V

V F F F F V V F F V

V F F V F V F F F V

V F V F F F V F F V

V F V V F V F F F V

V V F F V V F F F V

V V F V V V F F F V

V V V F V F F F F V

V V V V V V F F F V


(P→Q) ∧ (R→S) ∧ (¬Q∨¬S) →(¬P∨¬R)

¬((¬P∨Q) ∧ (¬R∨S) ∧ (¬Q∨¬S)) ∨ (¬P∨¬R) Condicional

¬(¬P∨Q) ∨ ¬(¬R∨S) ∨ ¬(¬Q∨¬S)) ∨ (¬P∨¬R) Condicional

(P ∧ ¬Q) ∨ (R ∧ ¬S) ∨ (Q ∧ S) ∨ ¬P ∨ ¬R De Morgan

(P ∧ ¬Q) ∨ ¬P ∨ (R ∧¬S) ∨ ¬R ∨ (Q ∧ S) Comutativo

((P∨¬P) ∧ (¬Q∨¬P)) ∨ ((R∨¬R) ∧ (¬S∨¬R)) ∨ (Q ∧ S) Distributiva

(T∧ (¬Q∨¬P)) ∨ (T ∧ (¬S∨¬R)) ∨ (Q ∧ S) Complementativa


(¬Q∨¬P) ∨ (¬S∨¬R) ∨ (Q ∧ S) Identidade

¬Q ∨¬P ∨ ¬S∨¬R ∨ (Q ∧ S) Associativa

¬Q ∨¬P ∨ R ∨ ((¬S∨Q) ∧ (¬S∨S)) Distributiva

¬Q ∨¬P ∨ ¬R ∨ ((¬S∨Q) ∧ T) Complementativa

¬Q ∨¬P ∨ ¬R ∨ ¬S ∨ Q Identidade

¬P ∨ ¬R ∨ ¬S (¬Q ∨ Q) Associativa

Q ∨ S ∨ R ∨ T Complementativa

T Identidade

Recapitulando

Neste capítulo estudamos as tautologias das implicações lógicas. Essas

tautologias, em conjunto com as tautologias das equivalências lógicas formam

o conjunto de instrumentos para a argumentação e dedução lógica que

estudaremos nos capítulos posterioes.

Apresentamos um resumo das tautologias da implicações lógicas e as

abreviaturas comumente utilizadas durante as demonstrações. Convém sempre

referenciar a implicação lógica utilizada para auxiliar a interpretação dando

AD Adição P ⇒ P ∨ Q Q ⇒ P ∨ Q

SM Simplificação P ∧ Q ⇒ P P ∧ Q ⇒ Q

ABS Absorção P → (P ∧ Q) ⇒ P → Q

CJ Conjunção P, Q ⇒ P ∧ Q P, Q ⇒ Q ∧ P

MP Modus Ponens P, P → Q ⇒ Q

MT Modus Tollens P → Q, ¬Q ⇒ ¬P

SH Silogismo Hipotético

P → Q, Q → R ⇒ P → R

SD Silogismo Disjuntivo P ∨ Q , ¬Q ⇒ P

DC Dilema Construtivo P → Q, R → S, P ∨ R ⇒ Q ∨ S

DD Dilema Destrutivo P → Q, R → S, ¬Q ∨ ¬S ⇒ ¬P ∨ ¬R




1971.



BARONETT, Stan. Lógica: Uma introdução voltadas para as ciências. Porto

Alegre: Bookman, 2009.


Atividades

Tabelas verdade

(¬A ∨ ¬B) ∧ B ∧ (¬(B ∧ C) → A) ⇒ B

(C → (A ∨ B)) ∧ C ∧ ¬B ⇒ A

Verifique que seguinte implicação lógica é verdadeira utilizando as

seguintes regras de equivalência.

Condicional, De Morgan, De Morgan, Distributiva, Complementação,

Identidade, Comutativa, Distributiva, Complementação, Identidade,

Comutativa, Complementação, Identidade.

(¬A ∨ B)∧(¬A → C) ∧¬C ⇒ B

Verifique que seguinte implicação lógica é falsa utilizando as seguintes

regras de equivalência.

Condicional, De Morgan, De Morgan, Distributiva, Associativa,

Complementação, Absorvente.

¬A ∧ (A→B)⇒¬B

Verifique se seguinte implicação lógica é verdadeira ou falsa utilizando

tabela verdade

(B → ¬A) ∧ B ∧ (¬A → C ) ⇒ C

Verifque a implicação lógica utilizando de regras de equivalências

a) (A → B) ∧ (¬A → C) ∧ ¬B ⇒ C


Gabarito das Atividades

Verifique que as seguintes implicações lógica são verdadeiras utilizando

tabelas verdade.

(¬A ∨ ¬B) ∧ B ∧ (¬(B ∧ C) → A) → B

A B C ¬A ∨ ¬B ¬(B ∧ C) ¬(B ∧ C) → A (¬A ∨ ¬B) ∧ B ∧ (¬(B ∧ C) → A) → B

F F F V V F V

F F V V V F V

F V F V V F V

F V V V F V V

V F F V V V V

V F V V V V V

V V F F V V V

V V V F F V V

(C → (A ∨ B)) ∧ C ∧ ¬B→A

A B C (A ∨ B) C→(A ∨ B) ¬B (C→(A ∨ B))∧C∧ ¬B→A

F F F F V V V

F F V F F V V

F V F V V F V

F V V V V F V

V F F V V V V

V F V V V V V

V V F V V F V

V V V V V F V


Demonstração

(¬A ∨ B)∧(¬A → C) ∧¬C → B

¬((¬A ∨ B)∧(A ∨ C) ∧¬C) ∨ B Condicional

¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(A ∨ C) ∨ C ∨ B De Morgan

(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ C ∨ B De Morgan

(A ∧ ¬B) ∨ ((¬A ∨ C) ∧ (¬C ∨ C)) ∨ B Distributiva

(A ∧ ¬B) ∨ ((¬A ∨ C) ∧ T) ∨ B Complementação

(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∨ C) ∨ B Identidade

(A ∧ ¬B) ∨ B ∨ (¬A ∨ C) Comutativa

((A ∨ B) ∧ (¬B∨ B)) ∨ (¬A ∨ C) Distributiva

((A ∨ B) ∧ T) ∨ (¬A ∨ C) Complementação

(A ∨ B) ∨ (¬A ∨ C) Identidade

A ∨ ¬A ∨ B ∨ C Comutativa

T ∨ B ∨ C Complementação

T Identidade

Demonstração

(¬A ∧ (A→B)) →¬B

¬(¬A ∧ (¬A ∨ B)) ∨ ¬B Condicional

(A ∨ ¬ (¬A ∨ B)) ∨ ¬B De Morgan

A ∨ (A ∧ ¬B) ∨ ¬B De Morgan

(A ∨ A) ∧ (A ∨ ¬B) ∨ ¬B Distributiva

(A ∨ A) ∧ (A ∨ ¬B ∨ ¬B) Associativa

A ∧ (A ∨ ¬B) Complementação

A Absorvente

Logo não é um Tautologia

Verifique se seguinte implicação lógica é verdadeira ou falsa utilizando

tabela verdade

(B → ¬A) ∧ B ∧ (¬A → C ) ⇒ C

A B C ¬A B → ¬A ¬A → C ¬B (B → ¬A) ∧ B ∧ (¬A → C ) → C

F F F V V F V V

F F V V V V V V

F V F V V F F V

F V V V V V F V


V F F F V F V V

V F V F V V V V

V V F F F V F V

V V V F F V F V

Verifque as implicações logicas utilizando de regras de equivalências

a) (A → B) ∧ (¬A → C) ∧ ¬B → C

¬((¬A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ∧ ¬B) ∨ C

¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(A ∨ C) ∨ B ∨ C

(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ B ∨ C

(A ∧ ¬B) ∨ B ∨ (¬A ∧ ¬C) ∨ C

((A ∨ B) ∧ (¬B ∨ B)) ∨ ((¬A ∨ C) ∧ (¬C ∨ C))

((A ∨ B) ∧ T) ∨ ((¬A ∨ C) ∧ T)

(A ∨ B) ∨ (¬A ∨ C)

A ∨ B ∨ ¬A ∨ C

(A ∨ ¬A) ∨ B ∨ C

T ∨ B ∨ C

T



Sistema de Dedução

Magda Leyser7





Senac- Porto Alegre-RS.


Introdução

Identificamos no capítulo anterior as tautologias chamadas de eHquivalências

e consequências lógicas. Agora, usaremos essas tautologias conhecidas como

regras de inferência ou dedução para provarmos outras tautologias. Para isso

usaremos uma sistemática de representação onde a partir das premissas iniciais

(sentenças declarativas inicias) que supomos verdadeiras chegaremos a

dedução de uma tese (conclusão) também verdadeira. Normalmente

associamos as seguintes etapas, identificamos o conetivo principal,

normalmente um condicional, e a argumentação funciona supondo que se

condição é verdadeira (hipóteses) então a consequência será deduzida como

verdadeira através do uso das tautologias do tipo equivalência e consequência

lógica sobre as hipóteses.

Um dos objetivos da lógica é estudar as estruturas que possam ser usadas na

dedução do conhecimento. Nosso objetivo é construir um sistema de dedução

em lógica proposicional, que determine as estruturas que permitem dedução

de conhecimento. Para essa construção usaremos além das tautologias

conhecidas como equivalências, as tautologias conhecidas como conseqüências

lógicas, elas servem de suporte para construirmos uma argumentação.

Existem diversas maneiras de apresentar essa argumentação, adotaremos a

representação de numerar cada hipótese a ser usada na argumentação

chamando-as também de premissas. A partir da identificação das hipóteses

usaremos as tautologias conhecidas, identificando o seu nome conforme

estudado no capítulo anterior e o número da linha da hipótese que se baseia a

tautologia.

Existem diversas maneiras de apresentar essa argumentação, que chamamos de

prova ou demonstração. Podemos usar a estratégia de substituição de

equivalentes sobre a hipótese. Ou no caso da argumentação de condicionais,

podemos realizar uma prova direta, por contraposição ou por redução ao

absurdo.

Argumentação por substituição de equivalências lógicas

Nesta estratégia de argumentação partimos de uma fórmula inicial (hipótese ou

premissa) e por sucessivas transformações por equivalência lógica conhecida

chegamos a uma fórmula que terá o mesmo valor-verdade, entretanto, com

conectivos diferentes da fórmula inicial. Normalmente essa estratégia é usada

no intuito de simplificar uma formalização.

Para apresentar essa estratégia, usaremos uma forma de representação onde

numeramos cada uma das transformações ou reescrita por equivalência da

fórmula inicial. Também é importante salientar que normalmente não existe


uma única maneira de iniciar e desenvolver esse procedimento, assim os

exemplos abaixo não são soluções únicas.

Iniciamos relembrando na tabela abaixo as equivalências estudadas no capítulo

anterior e que servirão de referência para esse sistema de argumentação.

ID IdemPotência

P ∧ P ⇔ P P ∨ P ⇔ P

CM Comutação

P ∧ Q ⇔ Q ∧ P P ∨ Q ⇔ Q ∨ P

ASS Associação

(P ∧ Q) ∧ R ⇔ P ∧ (Q ∧ R) (P ∨ Q) ∨ R ⇔ P ∨ (Q ∨ R)

DIS Distribuição

P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)

DN DuPla negação

¬ ¬ P ⇔ P

DM Regra de Morgan

¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q ¬(P v Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q

COMP Complementativa ¬p ∧ p ⇔ c ¬p ∨ p ⇔ t Absv Absorvente p ∧ (p ∨ q) ⇔ p p ∨ (p ∧ q) ⇔ p COND Condicional

(P → Q) ⇔ ¬P ∨ Q ¬(P → Q) ⇔ P ∧ ¬Q

BICOND Bicondicional

P ⟷ Q ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P) P ⟷ Q ⇔ (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)

CP Contraposição

(P → Q) ⇔ ¬Q → ¬P

EI Exportação Importação

P ∧ Q → R ⇔ P → (Q → R)

Exemplo: A partir da fórmula (A(Q R)) que será nossa fórmula inicial

(hipótese, premissa ou suposição inicial) apresente 5 fórmulas equivalentes

pelas tautologias estudadas.

1. (A(QR)) (premissa, hipótese ou suposição)

2. (A(QR)) ( aplicando na fórmula da linha 1 a equivalência do

condicional)

3. (A ( R Q)) (aplicando na fórmula da linha 2 a equivalência da

comutatividade para disjunção)

4. ((A R) Q) (aplicando na fórmula da linha 3 a equivalência da

associatividade para disjunção)

5. ((A R) Q) (aplicando na fórmula da linha 4 a equivalência de De

Morgan)

6. (AR)Q (aplicando na fórmula da linha 5 a equivalência do

condicional)


Observamos que a escolha de usar a equivalência na fórmula anteriormente

transformada por uma equivalência é uma opção. Assim, podemos escolher qual

das alternativas obtidas é a que favorece nosso interesse em apresentar a

relação lógica descrita pela sentença composta em estudo. No exemplo a seguir

fazemos outra argumentação por equivalentes iniciando por uma equivalência

diferente do apresentado no exemplo acima.

Exemplo: A partir da fórmula (A(Q R)) que será nossa fórmula inicial



1. (A(QR)) (premissa, hipótese ou suposição)

2. ((QR) A) ( aplicando na fórmula da linha 1 a contraposição).

3. ( (QR)A) (aplicando na fórmula da linha 2 a equivalência de

De Morgan).

4. ( (QR)A) (aplicando na fórmula da linha 3 a equivalência da

dupla negação).

Exemplo: A partir da fórmula (P(Q P)) que será nossa fórmula inicial



1. (P(Q P)) (premissa, hipótese ou suposição)

2. (P(QP)) ( aplicando na fórmula da linha 1 a dupla negação).

3. ( P (QP)) (aplicando na fórmula da linha 2 a equivalência de

De Morgan).

4. (P (QP)) (aplicando na fórmula da linha 3 a equivalência da dupla

negação).

5. (P (QP)) (aplicando na fórmula da linha 4 a equivalência de De

Morgan).

Argumentação por Consequência Lógica

Nesta estratégia de argumentação usaremos um encadeamento de

proposicionais formalizadas onde uma delas é consequência lógica das

anteriores, ou seja, ocorrem encadeamentos de verdades a partir das hipóteses

(fórmulas iniciais que supomos verdadeiras) até obtermos a dedução da

conclusão (tese) da argumentação.

Chama-se de argumento toda afirmação de que de uma dada sequência finita

de proposições chamadas de premissa 1, premissa 2, ..., premissa k que

representaremos por: P1, P2, ... Pk, que tem como consequência uma


proposição C. As proposições P1, P2, ... Pk são chamadas de premissas do

argumento e proposição final C chama-se conclusão ou tese do argumento.

Podemos esquematizar essa argumentação dizendo que de um grupo de

premissas que enumeramos como premissa 1, premissa 2, premissa 3 e assim

sucessivamente chegamos por uso das consequências lógicas e se necessário as

equivalências na conclusão da argumentação. Essa organização pode ser

representada por:

1. Premissa 1

2. Premissa 2

3. Premissa 3

4. ... Premissa k

5. .... argumentação usando as tautologias conhecidas que pode ter

várias etapas.

...

n. Conclusão.

A partir dessa organização também poderemos formalizar que:

(Premissa 1Premissa 2Premissa 3...Premissa k) ⇒ Conclusão.

Vamos continuar usando a representação de identificar por um número cada

fórmula apresentada na argumentação, iniciando pelas premissas (hipóteses,

fórmulas inicias que supomos verdadeiras) e desenvolvendo a argumentação

identificando as linhas anteriores usadas para gerar a dedução verdadeira pelas

equivalências e consequências lógicas.

Assim, resumidamente teremos os seguintes passos presentes na argumentação

ou prova:

Iniciamos relacionando cada premissa em uma linha que recebe uma numeração, iniciando com o número 1 e seguindo em ordem crescente: 2, 3, 4, ... até a última premissa.

Cada formalização entre as premissas e a conclusão deve ser também numerada e acompanhada de uma justificativa da origem da sua dedução através das linhas anteriores e do nome da tautologia usada na dedução.

Essa organização descrita acima é denominada de prova direta ou condicional.

Apresentamos no exemplo abaixo uma sentença declarativa composta que

representa uma afirmação que provaremos por essa estratégia que se trata de

uma verdade.


Exemplo: Considere o seguinte texto, o qual deve ser comprovado através de

uma prova direta de que se trata de uma argumentação verdadeira.

Pedro estava no escritório ou havia ido para Santos, além disso, se ele estava

no escritório então os papéis foram assinados. Sabe-se que Pedro não foi para

Santos. Logo, os papéis foram assinados.

Iniciamos criando uma formalização para essa sentença composta, onde

consideremos a seguinte interpretação para os símbolos proposicionais:

E= Pedro estava no escritório.

S= Pedro foi para Santos.

A= Os papéis foram assinados.

Fórmula: (ES)( EA)S ⇒A

Assim, no exemplo 1 a partir da fórmula construída, podemos justificar a

verdade de que os papéis foram assinados, através da seguinte prova que está

parcialmente justificada. Onde a suposição inicial é de que as premissas são

verdadeiras. Isto é, que o antecedente (condição ou teste) da implicação

principal sendo verdadeira garante a verdade da tese.

Assim sendo, podemos desenvolver a argumentação dizendo que: (ES), ( EA)

e S são as premissas (hipóteses) e que A é a conclusão. O que será

representado por:

1. ( ES) (premissa 1)

2. (EA) (premissa 2)

3. S (premissa3)

4. (SE) (Aplicando na linha 1 a equivalência comutativa da disjunção ).

5. E (Aplicando nas linhas 3 e 4 a consequência lógica do silogismo

disjuntivo).

6. A (Aplicando nas fórmulas das linhas 5 e 2 a consequência lógica de

modus ponens).

Assim, a argumentação está comprovada, pois, a partir da verdade das

premissas (ES)(EA)S deduzimos por tautologias conhecidas a verdade da

tese A. Então também estamos garantindo que (ES)( EA)SA é uma

fórmula válida, ou seja uma tautologia. Pois toda vez que as premissas, isto é

o antecedente do condicional é verdadeiro, o consequente também é

verdadeiro. Podemos resgatar a confirmação dessa afirmação, também pela

construção da tabela verdade da fórmula:


(ES)(EA)S A

E S A (ES) (EA) S (ES)(EA) (ES)(EA)S (ES)(EA)S A

F F F F V V F F V

F F V F V V F F V

F V F V V F V F V

F V V V V F V F V

V F F V F V F F V

V F V V V V V V V

V V F V F F F F V

V V V V V F V F V

Neste caso temos a Tautologia da consequência, ou implicação, lógica, ou seja,

com todas a premissas verdadeiras sendo o antecedente, e a conclusão como o

consequente, do condicional temos como verdadeiro todas linhas da tabela

verdade.

Exemplo: Apresente uma argumentação que justifique a validade da fórmula

(DE)(AB)(BE)D⇒A .

Iniciamos a argumentação identificando que a conclusão é A, a partir das

premissas numeradas das linhas 1 a 4, abaixo, e a partir da linha 5 temos uma

possível argumentação. Também nesse e nos demais exemplos omitiremos na

justificativa a identificação do texto que fala sobre as linhas das premissas e

exibiremos somente os números das linhas usadas na dedução. Teremos que

uma argumentação possível é:

1. (DE) (premissa ou hipótese)

2. (AB) (premissa ou hipótese)

3. (BE) (premissa ou hipótese)

4. D(premissa ou hipótese)

5. (AE) ( 2, 3, silogismo hipotético)

6. E (4, 1, modus ponens)

7. A ( 6, 5, modus tollens)

Observe que nessa argumentação para justificar dedução da verdade da linha 4 em vez de justificar escrevendo:


5. (AE) (Aplicando a conjunção das linhas 2 e 3 a consequência lógica do

silogismo hipotético onde teremos que ((AB)(BE))(AE) e assim

deduzimos que (AE) é verdadeiro. Escrevemos somente o número das linhas

e o nome da consequência lógica usada para comprovar a argumentação. Assim

nos demais exemplos e exercícios passaremos a usar essa representação para

justificar as soluções.

Exemplo: Apresente uma argumentação que justifique a validade da fórmula P

(P R) (TR) (TC) ⇒C.

Temos 4 premissas ou hipóteses para obter a conclusão C, que pode ser

argumentado por:

1. P (premissa)

2. (P R) (premissa)

3. (TR) (premissa)

4. (TC) (premissa)

5. R (1, 2 , Modus ponens)

6. T(3, 5 , Modus tollens)

7. C( 6,4, silogismo disjuntivo )

Exemplo: Apresente uma argumentação que justifique a validade da fórmula P

(R P) (TR) ⇒ T

Temos 3 premissas ou hipóteses para obter a conclusão T, que pode ser

argumentado por:

1. P (premissa)

2. (R P) (premissa)

3. (TR) (premissa)

4. (T P) (2, 3, silogismo hipotético)

5. (P T) (4, contraposição)

6. (P T) (5, dupla negação)

7. T (1, 2, modus ponens)

Argumentação por Redução ao Absurdo (RAA)

Nesta estratégia de argumentação continuaremos trabalhando com uma

argumentação usando consequência lógica e equivalências na argumentação,

entretanto faremos a inclusão de uma premissa adicional, chamada de hipótese

de absurdo. Essa hipótese de absurdo é definida com a negação da conclusão.

Assim, a apresentação da argumentação terá uma dada sequência finita de

proposições chamadas de premissa 1, premissa 2, ..., premissa k, mais a

hipótese de absurdo, negação da conclusão. Representaremos por: P1, P2, ...


Pk e C, daí ao realizarmos a dedução surgirá na argumentação uma fórmula

contraditória, isto é, uma fórmula sempre falsa. A contradição mais comum é

através da introdução da conjunção formando uma dedução do tipo: (AA)

associada a alguma das premissas.

Com a dedução dessa contradição precisamos revisar os componentes usados na

argumentação. Como a única inclusão indevida é a fórmula da hipótese de

absurdo, ou a suposição de que a negação da conclusão verdadeira chegou a

conclusão que a dedução dessa falsidade é porque a hipótese de absurdo não

pode ser verdadeira. Bem, se a negação da conclusão não pode ser verdadeira,

então a única alternativa é ter valor-verdade falso.

Portanto, se a negação da conclusão tem valor-verdade falso então a conclusão

é verdadeira. Essa é a definição da interpretação do conetivo da negação.

Nos exemplos dessa estratégia de argumentação usaremos os mesmos exemplos

da prova direta usadas anteriormente neste capítulo. Assim, queremos reforças

que do ponto de vista de argumentação tanto a prova direta (condicional)

quanto a por redução ao absurdo são válidas. São estilos diferentes de organizar

as argumentações. Normalmente decidimos por uma ou outra estratégia pela

facilidade de identificação das tautologias durante a argumentação. Algumas

pessoas acham mais fácil trabalhar com a negação.

Exemplo: Apresente uma argumentação pela estratégica de Redução ao absurdo

(RAA) que justifique a validade da fórmula (DE)(AB)(BE)D⇒A .

Iniciamos a argumentação identificando que a conclusão é A, portanto a

hipótese de absurdo é a negação de A, que podemos representar por (A).

Após as premissas numeradas das linhas 1 a 4, incluímos a hipótese de absurdo.

Teremos que uma argumentação possível é:

1. (DE) (premissa ou hipótese)

2. (AB) (premissa ou hipótese)

3. (BE) (premissa ou hipótese)

4. D(premissa ou hipótese)

5. (A) ( hipótese de absurdo)

6. A ( 5, dupla negação)

7. (AE) (2, 3, silogismo hipotético)



10. (EE) (8, 9, introdução da conjunção) É uma contradição.

11. A (10, RAA).


Observe que nessa argumentação a penúltima afirmação é a fórmula deduzida

que é uma contradição, assim, na justificativa que encerra a argumentação é a

apresentação da conclusão identificando como justificativa a linha da

contradição e a estratégia de redução ao absurdo pela abreviatura RAA.

Exemplo: Apresente uma argumentação pela estratégia de redução ao absurdo

para justificar a validade da fórmula P(P R)(TR)(TC) ⇒C.

Temos 4 premissas ou hipóteses, mas a hipótese de absurdo para obter a

conclusão C, que pode ser argumentado por:

1. P (premissa)

2. (P R) (premissa)

3. (TR) (premissa)

4. (TC) (premissa)

5. C(hipótese de absurdo)

6. T (5, 4, silogismo disjuntivo)

7. R (6, 3, Modus ponens)

8. R (1,2, modus ponens)

9. RR (7,8, introdução da conjunção)

10. C ( 9, RAA).

É importante destacar que para uma argumentação por RAA estar correta deve-

se usar a hipótese de absurdo. Caso contrário, poderemos nunca chegar a uma

contradição e acabarmos por realizar uma prova direta. Também se no decorrer

da argumentação verificamos que não obteremos uma contradição, podemos

estudar uma atribuição de combinação de valores-verdade que mostrem que a

fórmula é falsa.

Recapitulando

Neste capítulo você foi apresentado alguns exemplos das estratégias de

apresentação de uma argumentação. Essas argumentações serão ferramentas

para o seu estudo ao longo do curso para justificar os teoremas matemáticos,

normalmente chamados de demonstração.




1971.

RENZ, S. P.; POFFAL, C. A. Fundamentos de Lógica Matemática. Porto Alegre:

La Salle, 2001




Atividades

Complete a argumentação por substituição de equivalente indicando o

nome da equivalência usada para a fórmula ((PR)Q).

1. ((PR) Q) (fórmula inicial)

2. ( (PR) Q) (1, )

3. ( (PR) Q) (2, )

4. ( P(RQ)) (3, )

5. ( P (RQ)) (4, )

Complete a argumentação por substituição de equivalente a fórmula

equivalente pela tautologia indicada.

1. (PQ) (suposição inicial)

2. ____________________ (1, definição do bicondicional)

3. ____________________ (2, definição da implicação)

4. ____________________ (3, dupla negação)

5. ____________________ (4, comutativa)

Complete a argumentação direta apresentada abaixo que prova a

verdade da fórmula

(PQ)(Q(RS))(PT)(RS)(T(UP))U

1. P Q (premissa)

2. Q(RS) (premissa)

3. PT (premissa)

4. (RS ) (premissa)

5. T(UP) (premissa)

6. (1,2, silogismo hipotético)

7. (4,6, modus tollens)

8. (3,7, modus ponens)

9. (5,8, modus ponens)

10. (9,7, silogismo disjuntivo)

Complete a argumentação por redução por absurdo para justificar a

verdade da fórmula (AB)A(CB) ⇒C

1. (A B) (premissa ou hipótese ou suposição)

2. A (premissa ou hipótese ou suposição)


3. (CB) (premissa ou hipótese ou suposição)

4. ________ (hipótese de absurdo)

5. (4, dupla negação)

6. _____ (5,3, modus _______)

7. _____ (2,1, modus _______)

8. ___ __ (__ ,__ , introdução da conjunção)

9. ____ (8, RAA)

Desenvolva uma argumentação para provas que a fórmula (AB)(

BC) C ⇒ A é verdadeira.


Temos a seguinte solução para a atividade apresentada.

1. ((PR) Q) (fórmula inicial)

2. ( (PR) Q) (1,De Morgan)

3. ( (PR) Q) (2, Dupla Negação)

4. ( P(RQ)) (3, associativa para disjunção )

5. ( P (RQ)) (4, De Morgan )


1. (PQ) (suposição inicial)

2. (PQ) (QP) (1, definição do bicondicional)

3. (PQ) (QP) (2, definição da implicação)

4. (PQ) (QP) (3, dupla negação)

5. (QP) (PQ) (4, comutativa)


Temos a seguinte solução para a atividade apresentada, podendo

apresentar algumas variações corretas.

1. P Q (premissa)

2. Q(RS) (premissa)

3. PT (premissa)

4. (RS ) (premissa)

5. T(UP) (premissa)

6. P(RS) (1,2, silogismo hipotético)

7. P (4,6, modus tollens)

8. T (3,7, modus ponens)

9. (UP) (5,8, modus ponens)

10. U (9,7, silogismo disjuntivo)


1. (A B) (premissa ou hipótese ou suposição)

2. A (premissa ou hipótese ou suposição)

3. (CB) (premissa ou hipótese ou suposição)

4. C (hipótese de absurdo)

5. C (4, dupla negação)

6. B (5,3, modus ponens)

7. B (2,1, modus ponens)

8. B B (6,7 , introdução da conjunção)

9. C (8, RAA)

Observe que a dedução apresentada abaixo é uma sugestão, você pode

desenvolver outras sequências de argumentação que também é correta.

1. (AB) (premissa ou suposição)

2. ( BC) (premissa ou suposição)

3. C (premissa ou suposição)

4. (BC) (2, definição da implicação)

5. (AC) (1,4, silogismo hipotético)

6. A (3 , 5, modus tollens)

7. A (6, dupla negação).


Conceitos fundamentais de Conjunto






Introdução

Aqui aproveitaremos para apresentar uma noção primitiva importante para a

matemática. A noção intuitiva de conjunto, que entenderemos como toda

coleção bem definida de objetos. A ideia de conjuntos e elementos e a

compreensão das relações de pertinência, entre conjunto e elemento, e a de

inclusão, entre conjuntos, permitirá a interpretação das situações e a

transformação da linguagem natural em formal, e vice-versa.

Conjuntos

Evitaremos a redefinição de conjuntos apresentando algumas definições

fornecidas por matemáticos importantes na história, retirado de ALENCAR

(1971).

Segundo BOURBAKI: “Um conjunto é formado de elementos suscetíveis de

possuírem certas propriedades e terem entre si, ou com elementos de outros

conjuntos, certas relações.”

Para CANTOR: “Chama-se conjunto o grupamento em um todo de objetos, bem

definidos e discernívies, de nossa percepção ou de nosso entendimento,

chamados os elementos do conjunto.”

Exemplos:

Conjunto dos livros da biblioteca.

Conjunto das letras da palavra FELICIDADE.

Conjunto das vogais.

Conjunto dos algarismos do número 1978.

Notação:

A notação para representar um conjunto de elementos segue um padrão. Um

conjunto é identificado por uma letra latina maiúscula: A, B, C, ...

Os objetos que formam um conjunto são denominados como elementos e, caso

caso não sejam conhecidos, é usual representá-los pelas letras minúsculas do

alfabeto latino.

Um conjunto pode ser representado de duas maneiras, por compreensão ou por

extensão. Por comrpreensão apresenta-se a característica comum aos

elementos que pertencem ao conjunto, na representação por extensão os

elementos são listados entre chaves.


Exemplo: O conjunto das estações do ano pode ser representado por

compreensão como:

A={ estações do ano }

ou por extensão como:

A={verão, outono, inverno, primavera}

Ressalta-se que a representação por compreensão é particularmente mais

conveniente quando tem-se muitos elementos, de maneira que a descrição de

uma característica comum é mais eficiente e econômica de representação.

Exemplo: O conjunto dos números inteiros entre -100 e 1000. Neste caso a

representação por extensão é particularmente trabalhosa, mas não impossível,

mas por compreensão pode-se representar o conjunto da seguinte maneira:

𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ| − 100 < 𝑥 < 1000}

Para conjuntos com uma quantidade pequena de elementos e sem uma

característica bem particular que possa distinguir seus elementos de outros.

Exemplo: O conjunto das letras da palavra ABACAXI, pode ser representado por:

P={A, B, C, I, X}

Observe que nessa noção intuitiva, os elementos não se repetem caso eles

apareçam mais de uma vez. Também é relevante dizer que os elementos não

tem ordem de sequencia assim também é o mesmo conjunto se escrevermos:

P={ C, I, B, A, X } ou outra ordem qualquer de distribuição dos elementos que

sempre são separados por vírgula e entre chaves.

Para um conjunto A sem nenhum elemento, denomina-se A como sendo o

conjunto Vazio.

Notação:

A={ } ou A=∅

O conjunto que possui somente um elemento é chamado de conjunto unitário.


Relação de Pertinência

A relação entre os elementos e os conjuntos é uma relação de pertinência, isto

é, um elemento pertence, ou não , a um determinado conjunto. A notação para

pertence é ∈, e não pertence é ∉.

Exemplo:

Para P={ A, B, C, I, X }

temos que A ∈ P, O ∉ P.

Para B = {x ∈ ℤ| − 100 < x < 1000}

temos que 99 ∈ B, 1013 ∉ B

Subconjunto

Por definição se e somente se todo e qualquer elemento do conjunto A

pertence ao conjunto B, então A é subconjunto de B, ou seja, denomina-se

como subconjunto o conjunto formado pelo elementos de outro conjunto.

Deste modo temos as seguintes situações particulares:

Para A=B, A é subconjunto de B e B é subconjunto de A

Para A={ } e B um conjunto não vazio, A é subconjunto de B, ou seja, o conjunto vazio é subconjunto de todo e qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.

Para A e B conjuntos não vazios, A é subconjunto próprio de B se e somente

se todo e qualquer elemento de A está em B mas existe pelo menos um

elemento de B que não pertence a A

Conjunto Universo

Para a definição inicial dada de que um conjunto é uma coleção de elementos,

podendo ter esses uma caracteristica em comum, que permite a representação

por compreeensão, ou não, e neste caso somente a preserentação por extensão

é possível.

Deste modo, se pensarmos em quais são posssíveis elementos que podem

compor um conjunto, deparamos com a ideia de um conjunto maior que todos,

e este conjunto tem todos os possíveis elementos que podem fazer parte do

conjunto a ser definido.


Chama-se de conjunto universo ou universo de discurso, aquele conjunto que

define o contexto dos objetos que estamos trabalhando, trata-se o conjunto a

ser usado como referência.

Notação: Conjunto Universo: U ou S

Podemos utilizar o exemplo anterior para exemplificar o que denominamos

como conjunto Universo. Para B = {x ∈ ℤ| − 100 < x < 1000} temos como

elementos os números inteiros que atendem os requisitos simultânos de serem

maiores que 100 e menores que 1000. Neste caso selecionamos alguns números

que pertencem ao conjunto dos Inteiros, logo o cojunto Universo é o conjunto

dos números Inteiros. Deste modo o conjunto B é subconjunto do conjunto

Universo.

Relação de Pertinência

A relação entre os conjuntos é uma relação de inclusão, isto é, um conjunto A

está incluso, ou faz parte, de B se A é subconjunto de B. Usualmente para

expressarmos a relação de inclusão dizemos que B contém A ou A está contido

em B quando A é subconjunto de B.

Notação:

Para A subconjunto de B, temos que:

A ⊂ B leia-se A está contido em B

B ⊃A leia-se B contém A

Análogamente

B ⊄ A leia-se B não está contido em A

A ⊅ B leia-se A não contém B

Os simbolos ⊆ e ⊇ são respectivamente “está contido e igual a” , “contém e

igual a”, e são usados para expressar a relação de inclusão nas situações nas

quais dois conjuntos são compostos pelos mesmos elementos.

Para A, B e U conjuntos não vazio, temos as situações particulares:

A ⊆ U, o conjunto A está contido e igual o conjunto Universo

{ } ⊂ A, o conjunto vazio está contido em A

A ⊂ B ⇔ A ⊆ B e A ≠ B , logo A é um subconjunto próprio de B


Diagrama de Venn

Além da notação por compreensão e extensão é possível representar de maneira

gráfica um conjunto e seus elementos. Esse tipo de representação é

denominado de diagrama de Venn. Nele o conjunto é representado por uma

região limitada por uma curva fechada. Em geral, utiliza-se de curvas na forma

de círculos ou elípses que são dispostos dentro de um retângulo maior que está

associado ao conjunto universo, podendo este estar representado ou não,

dependendo do contexto e do objetivo da representação.

Destaca-se que:

O tamanho do diagrama não está relacionado com o número de elementos do conjunto (no caso finito) ou cardinalidade (no caso infinito);

Quando um mesmo elemento pertencer a mais de um conjunto os diagramas devem se sobrepor parcialmente, delimitando uma parte em comum;

Quando todo elemento de um pertencer ao outro, isto é, o primeiro será um subconjunto do outro, os círculos ficam superpostos.

U={letras do alfabeto}

A={vogais do alfabeto}

B={m, n}

C={m, n, s, d, g, b, w, c, v ,p}

D={c, w, p, v, h , j, q, l, r}

Figura 1 – Diagrama de Venn Fonte - Autor


Para o exemplo da figura 1 algumas relações de pertinência e inclusão são:

A⊂U, B⊂U, C⊂U, D⊂U, E⊂U

U⊃A, U⊃B, U⊃C, U⊃D, U⊃E

B⊂C, C⊃B, C⊄D

x∈C ∧ x∈D

{xcvp} ⊂ C ∧ {xcvp} ⊂ D

z∈U ∧ z∉A

a∈A , ou seja o elemento a pertence ao conjunto A

{a} ⊂ A , ou seja, o subconjunto unitário com o elemento a, está contido em A

Operações com conjuntos

Dado um conjunto S, podemos definir algumas operações unárias ou binárias a

partir de um conjunto (S). S neste caso é chamado de conjunto universo ou

universo de discurso, o qual define o contexto dos objetos em questão. Se S=N,

todos os conjuntos, que são subconjuntos de S, conterão apenas números

Naturais.

Uma operação binária em (S) precisa atuar em quaisquer dois subconjuntos

de S para produzir um único outro subconjunto de S.

Definição 1: Seja A e B (S). A união de A e B, denotada por A U B, é { x|xA

ou xB}.

Definição 2: Seja A e B (S). A interseção de A e B, denotada por A∩B, é {

x|xA e xB}.

Definição 3: Seja A (S). O complemento do conjunto A em relação ao

conjunto S , denotada por A’ ou CS A ou CS(A) , é { x|xS e xA}.

Definição 4: Seja A e B (S). A diferença entre A e B, denotada por A-B = {

x|xA e xB}. Que pode ser escrita como A-B = { x|xA e xB’}. Ou ainda,

pode-se entender A-B como sendo o complementar de B em relação a A e

escreve-se:

A-B = CAB = A∩B’


Observação: Sendo A e B dois conjuntos disjuntos então A∩B = ∅, neste caso

estes conjuntos são ditos disjuntos. Portanto A-B e B-A, por exemplo são

conjuntos disjuntos.

Eemplo: Sejam A={1, 2, 3, 8} e B={2, 7, 8, 9} subconjuntos de

S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

AUB = {1, 2, 3, 7, 8, 9}

A-B = {1, 3}

A∩B = {2, 8}

AUB’ = {1, 2, 3, 8} U {1, 3, 4, 5, 6, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

Princípio de Inclusão e Exclusão

No caso de conjuntos finitos é possível identificar a quantidade de elementos.

O número de elementos de um conjunto é denominado de cardinalidade do

conjunto. Utiliza-se a notação #(A) ou n(A) para denotar a cardinalidade de A.

Sejam A e B conjuntos finitos disjuntos, ou seja, A∩B = ∅, em um universo U.

Então #AUB = #A + #B .

Sejam A e B conjuntos não disjuntos finitos em um universo U.

(AUB) = (A U (B-A)), logo

#(AUB) = #(A U (B-A)) para A e (B-A) disjuntos temos

#(AUB) = #A + #(B-A)

considerando que #B = #(B-A) + #(A∩B) ⇒ #(B–A) = #B - #(A∩B) temos então

#(AUB) = #A + #B - #(A∩B) que denominamos como Princípio de Inclusão e

Exclusão.


Sejam A, B e C conjuntos finitos não disjuntos dois a dois em um universo U

pelo Princípio da Inclusão e Exclusão, temos que

#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(A∩B) - #(A∩C) - #(B∩C) + #(A∩B∩C)

Observando o diagrama de Venn identificamos que:

A = {1, 2,3,9,5,10} tem 6 elementos

B = {2,4,6,9,7 } tem 5 elementos.

C = {5, 10, 9, 6, 8} tem 5 elementos.

(A∩B) = {2, 9}

(A∩C) = {5, 9, 10}

(B∩C) = {6, 9}

(A∩B∩C) = {1}


Logo #(AUBUC) = 6 + 5 + 5 – 2 – 3 -2 + 1 = 10

Observando a figura do diagrama de Venn identificamos que:

A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} tem 10 elementos


B={1,2,4,5,6,7,9 } tem 7 elementos.

C= {5, 10, 9, 6} tem 4 elementos.


#(AUBUC) = 10 + 7 + 4 – 7 – 4 - 3 + 3 = 10

Conjuntos Numéricos Fundamentais

No desenvolvimento da Matemática os conjuntos númericos foram

desenvolvidos de acordo com as necessidades matemáticas para formalização

do pensamento matemático.

O primeiro conjunto numérico surge intuitivamente da necessidade de

contagem e ordenação. Alguns apresentam os números naturais como sendo

números inteiros não negativos, mas tal definição é insipiente visto que a

definição do conjunto dos números Inteiros é baseada na definição dos números

Naturais, e apresentado como sendo o conjunto formado pelo números naturais

e seus simétricos negativos.

Não apresentaremos as definições formais dos conjuntos númericos, pois o

objetivo é a compreensão dos conceitos fundamentais de conjuntos e dos

conjuntos numéricos.

A seguir apresentamos os conjuntos numéricos e suas relações de inclusão, para

melhor compreensão d

Conjunto dos números Naturais: ℕ = {1,2,3,4,5, . . . }


Conjunto dos números Inteiros: ℤ = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }, conjunto

formado pelo números naturais e seus simétricos negativos.

Conjunto dos números Racionais: ℚ = {𝑎

𝑏 |𝑎 ∧ 𝑏 ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0 }, lê-se que o

conjunto dos Racionais é formado pelos números na forma 𝑎

𝑏, tal que 𝑎

e 𝑏 pertencem ao conjunto dos números inteiros e 𝑏 é diferente de zero.

Observa-se que todo número que não pode ser escrito na forma de uma razão

de dois números inteiros, é denominado como sendo um número irracional.

Conjunto dos números Reais: ℝ é formado pelos números racionais e os

os números irracionais.

Entendendo que cada um dos conjuntos apresentados têm uma relacão de

inclusão, temos que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Recapitulando

Neste capítulo foi apresentado a noção de conjunto e as relações de pertinência

e inclusão que, sendo sentenças declarativas, são importantes para os estudos

desenvolvidos nos próximos capítulos

que serão usadas como exemplos para nosso estudo da lógica proposicional.




1971.




Atividade

Considere o conjunto universo S={xN tal que 0x9} onde escolhemos

os subconjuntos A={3, 4, 5,6} e B={ 4, 5, 7,8}, C={ 0, 1,3,5, 7},

determinar o conjunto resultante das operações abaixo:

(AB) =

(AB) =

(AC) =

(AC) =

(BA) =

(BC) =

(CB) =

(CB) (BA) =

(CB) (BA) =

(CB) (BA) =

(A-B) =

(B-A) =

(A-C) =

(C-B) =

Num grupo de 30 crianças, 16 tocam violão e 20 estudam canto.

Quantas crianças só tocam violão?

Quantas crianças só estudam canto?

Quantas crianças tocam violão e estudam canto?

Sabe-se que em uma escola 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais

A e B, 106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. Sendo

assim,

Qual é o total de alunos da escola?

Quantos alunos lêem o jornal B?

Quantos alunos lêem apenas o jornal A?

Quantos alunos não lêem nem o jornal A nem o jornal B?

Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares, realizada com empregados

de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentam ao menos

uma vez ao dia, e que os únicos momentos de alimentação são: manhã,

almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são:

- 5 se alimentam apenas pela manhã; - 28 se alimentam pela manhã e no jantar;

- 12 se alimentam apenas no jantar; - 26 se alimentam no almoço e no jantar;


- 53 se alimentam no almoço; - 18 se alimentam pela manhã, no almoço e

no jantar;

- 30 se alimentam pela manhã e pelo

almoço;

Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que se alimentam

apenas no almoço é o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã?

Quantos funcionários foram entrevistados na pesquisa?

Quantos se alimentam pela manhã?

Quantos se alimentam no jantar?

Uma população utiliza três marcas diferentes de sabonete: A, B e C. Feita

uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados na tabela abaixo:

Marcas A B C A e B B e C A e C A, B e C

Nro de

consumidores 21 17 15 4 6 7 3

O número dos consumidores que só utilizam a marca B é o dobro dos

que só utilizam a marca C?

Quantos consumidores só utilizam a marca A?

Qual o total de consumidores entrevistados?


Gabarito da Atividades

Considere o conjunto universo S={xN tal que 0x9} onde escolhemos

os subconjuntos A={3,4,5,6} e B={ 4,5,7,8}, C={ 0,1,3,5,7}, determinar o

conjunto resultante das operações abaixo:

(AB) = {4,5}

(AB) = {3,4,5,6,7,8}

(AC) = {0,1,3,4,5,6,7}

(AC) = {3,5}

(BA) = {4,5}

(BC) = {5,7}

(CB) = {5,7}

(CB) (BA) = {4,5,7}

(CB) (BA) = {3,4,5,7,8}

(CB) (BA) = {5}

(A-B) = {3,6}

(B-A) = {7,8}

(A-C) = {4,6}

(C-B) = {0,1,3}

Num grupo de 30 crianças, 16 tocam violão e 20 estudam canto.

Quantas crianças só tocam violão? 10

Quantas crianças só estudam canto? 14

Quantas crianças tocam violão e estudam canto? 6

Sabe-se que em uma escola 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais

A e B, 106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. Sendo

assim,

Qual é o total de alunos da escola? 158

Quantos alunos lêem o jornal B? 92

Quantos alunos lêem apenas o jornal A? 35

Quantos alunos não lêem nem o jornal A nem o jornal B? 31

Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares, realizada com empregados

de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentam ao menos

uma vez ao dia, e que os únicos momentos de alimentação são: manhã,

almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são:

- 5 se alimentam apenas pela manhã; - 28 se alimentam pela manhã e no jantar;

- 12 se alimentam apenas no jantar; - 26 se alimentam no almoço e no jantar;


- 53 se alimentam no almoço; - 18 se alimentam pela manhã, no almoço e

no jantar;

- 30 se alimentam pela manhã e pelo

almoço;

Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que se alimentam

apenas no almoço é o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã?

Sim

Quantos funcionários foram entrevistados na pesquisa? 80

Quantos se alimentam pela manhã? 45

Quantos se alimentam no jantar? 48

Uma população utiliza três marcas diferentes de sabonete: A, B e C. Feita

uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados na tabela abaixo:

Marcas A B C A e B B e C A e C A, B e C

Nro de

consumidores 21 17 15 4 6 7 3

O número dos consumidores que só utilizam a marca B é o dobro dos

que só utilizam a marca C? sim

Quantos consumidores só utilizam a marca A? 13

Qual o total de consumidores entrevistados? 39


Quantificadores: Existencial e Universal

Magda Leyser9





Senac Porto Alegre -RS.


Introdução

Estudaremos neste capítulo a inclusão de sentenças declarativas abertas,

aquelas em que o sujeito é indeterminado. Para tanto identificaremos a

necessidade de ampliarmos a representação do nosso alfabeto. Incluiremos um

novo tipo de símbolo chamado de quantificador. Verificaremos que existem dois

tipos de quantificadores: existencial e universal. Também para diferenciar as

sentenças fechadas das sentenças abertas chamaremos o sujeito próprio com

uma representação específica, tornando-se aparente na formalização.

Na lógica proposicional, foram estudadas aquelas relações lógicas que

dependiam de como algumas sentenças eram compostas a partir de outras

sentenças através do uso operações de combinações das mesmas, (expressas

pelos conectivos lógicos , , , , ), nas quais cada uma das sentenças era

analisada como um todo. Estávamos limitados ao uso de sentenças declarativas

fechadas, isto é onde o sujeito da oração deve ser determinado (próprio).

Para começarmos a diferenciar a lógica de predicados, em relação a lógica

proposicional podemos apontar as seguintes características, as quais serão

aprofundadas durante este capítulo.

Primeira característica considera que as sentenças da lógica proposicional

continuarão válidas na lógica de predicados, no entanto teremos a possibilidade

de expressar nossas ideias através de sentenças abertas, isto é poderemos fazer

generalizações a partir de sentenças com sujeito indeterminado, para tanto

aparecem dois novos símbolos lógicos chamados de quantificadores:

Quantificador existencial: cujo símbolo é e serve para representar a ideia de existência;

Quantificador universal: cujo símbolo é e serve para representar a ideia de todo ou qualquer.

Exemplo: Assinale as sentenças declarativas abertas, onde temos a presença de

quantificadores.

( ) Dois é número natural.

(x) Algum número natural é par.

(x) Todos os números inteiros são positivos.

(x) Nego que alguém é gremista.

(x) Nem todos são colorados.

(x) Se Maria é gaúcha então todos são gaúchos.

(x) Ninguém gosta de futebol.

( ) Paulo não é gremista.

( ) Maria é gaúcha e gremista.


Como temos a possibilidade de expressar as afirmações através de sentenças

abertas e sentenças fechadas, precisamos melhorar as características dos

símbolos usados para representar as sentenças, e uma das principais questões

é identificar o tipo de sujeito da oração e para tanto diferenciá-lo do verbo e

complemento da oração.

Assim na sentença: 2 é par teremos um símbolo para o sujeito da oração, no caso, o número 2 e um símbolo para o verbo+ predicado, no caso ____ é par

Por exemplo, a=2 e P(__)= ___ é par e portanto a sentença 2 é par será

representada por P(a).

No caso da sentença 2 é par e primo, temos para o mesmo sujeito determinado

dois predicados (qualidades) se optarmos por representar R(___) =___ é primo

então a sentença 2 é par e primo será representada por P(a)R(a), observe que

os conectivos continuam com as mesmas funções da lógica proposicional.

Os sujeitos determinados serão chamados de constantes, e constituirão um

conjunto chamado de domínio ou universo de discurso. Observe também que no

caso de predicados que relacionam dois ou mais elementos do domínio

(constantes) precisaremos adaptar o símbolo de predicado, por exemplo na

sentença : 2 é maior que 3 poderá ser representada por: M(a,b) onde:

M( __, ___) = ___ é maior que ____

a=2 e b=3

Os símbolos de predicados sempre estarão associados a uma aridade, isto é

número de constantes necessárias para definir o predicado, assim:

O predicado ___ é par = P( _ ) tem aridade 1 ou chamado de predicado unário

O predicado ___ é maior que ___ = M( _ , _ ) tem aridade 2 ou chamado de

predicado binário pois relaciona dois elementos de um conjunto.

A terceira característica está associada a representação das sentenças abertas,

pois como as sentenças declarativas podem ter sujeito indeterminado,

necessitaremos de um novo símbolo chamado de variável, para generalizar a

posição do sujeito indeterminado. Normalmente as variáveis são identificadas

por: x, y, z, u. Servem para junto com os quantificadores representar as

sentenças abertas. Por uma questão de notação, as variáveis associadas a um

quantificador aparecem do lado direito do quantificador, e para determinar o

predicado associado ao quantificador usamos parêntese ou na ausência deste


fica estabelecido que o quantificador e sua respectiva variável esteja associada

somente ao primeiro predicado a sua direita. A fórmula associada ao

quantificador é chamada de escopo do quantificador.

Assim:

Existe um número natural par será representado por (x) P(x)

Todos os números naturais são primos será representado por (x) R(x)

Pelo menos um número natural é par e primo será representado por (x)

(P(x)R(x))

Ou seja, no alfabeto serão incluídos os seguintes símbolos com os significados

associados:

Quantificador Existencial Quantificador Universal

Exemplo Alguém é professor. Todos são professores.

Símbolo

Significado Existe, pelo menos um, algum Qualquer, todos, qualquer que

seja

Considerando estas características observamos que estamos ampliando as

características de uma argumentação, pois estamos analisando a estrutura da

sentença (que em gramática se chama estrutura sujeito-predicado), assim,

temos definido uma ampliação da lógica proposicional. Essa característica de

permitir raciocínio com sentenças abertas ou fechadas define o que se chama

de Lógica de Predicados ou de 1ª ordem.


De maneira resumida podemos apresentar as características que diferenciam a

lógica proposicional da lógica de predicados da seguinte forma:

Lógica Proposicional Lógica de Predicados

Sentenças Fechadas

Mário é professor. Mário é professor. Sujeito da oração é próprio

(determinado)

Sentenças Abertas

Alguém é professor.

Todos são professores. Sujeito da oração é

indeterminado

Alfabeto da Lógica de Predicados

Linguagens de 1a ordem nos permitem exprimir sentenças genéricas, tais como:

para todo x, -1sen(x)1

para todo x, existe y tal que x é o gerente de y

para todo x, y, z, se x é ancestral de y e, y é ancestral de z então x

é ancestral de z

Um alfabeto de 1a Ordem A consiste de:

símbolos lógicos:

pontuação (separação): [,],(,)

conectivos: , , , ,

quantificadores:

(para todo, quantificador universal): é usado para representar a

expressão ”para todo indivíduo”

(existe, para algum, quantificador existencial): é usado para

representar a expressão ”existe ao menos um indivíduo”

variáveis: um conjunto de símbolos diferentes dos demais, que servem para

identificar qualquer elemento do domínio, ou qualquer indivíduo do universo;

utilizaremos as letras: x, u, v, z ( minúsculas), ou x1,x2, x3, ...,xk.

símbolos não lógicos:

Um conjunto possivelmente vazio, de constantes, serve para

identificar um elemento específico do domínio, ou servem para dar


nomes aos indivíduos do universo ou domínio; utilizaremos as letras:

a, b, c, d, ...( minúsculas).

Um conjunto de símbolos predicativos (de predicados) n-ário (n>0),

que servem para identificar as qualidades ou predicados entre os

elementos do domínio, ou propriedades ou relações entre os

indivíduos. Exemplo: P(x,y)=x ama y. Utilizaremos letras maiúsculas

do alfabeto, como P, Q, R, O, ou palavras que identifiquem o

predicado descrito.

Os demais símbolos têm os mesmos papéis a eles atribuídos na lógica

proposicional.

Exemplo: Considere o Dom={1, 2, 3, 4, 5} e os seguintes símbolos de predicados

e constantes (interpretação):

Predicados unários Predicados binários constantes

P( )= __ é par

Q( )= __é ímpar

R( _ ,_ )= __ é maior que __

I( _, _ ) = _ é igual a _

a= 2

b=3

Base de conhecimento é listagem (apresentação) das situações verdadeiras para

os predicados (propriedades).

Predicados unários Predicados binários

P(2)

P(4)

Q(1)

Q(3)

Q(5)

R(2,1)

R(3,1)

R(3,2)

R(4,1)

R(4,2)

R(4,3)

R(5,1)

R(5,2)

R(5,3)

R(5,4)

I(1,1)

I(2,2)

I(3,3)

I(4,4)

I(5,5)


Considerando P(x): x é par, Q(x):x é impar, a=2, b=3.

Determine o significado em português para as seguintes fórmulas.

P(a) P(b)

2 é par e 3 é par

2 e 3 são pares.

P(a) Q(b)

2 é par ou 3 é impar.

(x) P(x)

Existe um número que é par.

Alguns números são pares.

(x) (P(x) Q(x))

Existe número que é par e impar.

Existe um mesmo número que é par e ímpar.

(x) (P(x))(x) Q(x)

Existe número par e existe número ímpar.

(x)I(x,a)

Existe número igual a 2.

(x) (P(x)Q(x))

Existe número que é par e não é ímpar.

Existe número que é par mas não é ímpar.

Algum número é par e não é ímpar.

(x)(P(x))

Qualquer número do domínio é par.

Todos os números do universo são pares.

(x) (P(x))

Todos os números do domínio não são pares.

Todos os números do domínio são ímpares.

(x) (R(x,a) Q(x))


Existe número maior que 2 e é ímpar.

Existe número ímpar maior que 2.

Existe número ímpar e esse número é maior que 2.

Interpretação dos quantificadores

Considere a sentença “______é bonita”. Esta sentença não é uma proposição,

pois como não sabemos a quem a vaga se refere, não é possível atribuir-lhe um

valor lógico (V ou F).

Dizemos que a sentença como a acima é uma sentença aberta.

Uma sentença aberta (“______é bonita”) torna-se uma proposição quando

substituímos a vaga por um nome (“Maria é bonita”).

Para isso, devemos considerar um universo de discurso ou universo U ou universo

de interpretação que é o conjunto cujos elementos podem ser utilizados em

uma proposição aberta para obtermos uma proposição.

Numa sentença aberta, a vaga pode ser substituída por uma letra

representativa de um elemento qualquer do universo, que denominamos de

variável.

Exemplo: “x é bonita.”

Dependendo do valor atribuído a x, uma sentença aberta pode se tornar uma

proposição verdadeira ou falsa.

Uma interpretação de uma expressão (fórmula) envolvendo predicados

consiste:

de um conjunto de objetos chamado de domínio da interpretação (universo

de discurso), contendo pelo menos um objeto ( Dom{ });

da atribuição de uma propriedade dos objetos para cada predicado da expressão;

da atribuição de um objeto particular no domínio a cada símbolo constante da expressão.

Chamaremos de conjunto verdade de uma sentença aberta P(X) em um

conjunto A, o conjunto de todos os elementos de Dom, abreviação para

Domínio, tais que P(a) é uma proposição verdadeira. Representaremos o

conjunto verdade de P por Vp, assim:

Vp={ x Dom onde P(x) é verdadeira}


Exemplo:Considere como domínio o conjunto A= {3,4,5,6,7,8} determine o

conjunto verdade, Vp para:

P(x) representa x>5

Vp={ x tal que x Dom e P(x) é verdadeira} = {6,7,8}

Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e x>5 é verdadeiro} = {6,7,8}

P(x) representa x+1=7

Vp={ x tal que x Dom e P(x) é verdadeira} = {6}

Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e x+1=7 é verdadeiro} = {6}

P(x) representa x-2<5

Vp={ x tal que x Dom e P(x) é verdadeira} = {3,4,5,6}

Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e x-2<5 é verdadeiro} = {3,4,5,6}

P(x) representa x é par

Vp={ x tal que x Dom e P(x) é verdadeira} = {4, 6, 8}

Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e x é par é verdadeiro} = {4, 6, 8}

P(x) representa x >8

Vp={ x tal que x Dom e P(x) é verdadeira} = ∅

Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e x>8 é verdadeiro} = { } = ∅

P(x) representa (x é par x>5)

Vp={ x tal que xDom e P(x) é verdadeira} = {6, 8}

Vp={ x {3,4,5,6,7,8} e (x é par x>5) é verdadeiro} = {6, 8}

Dos exemplos acima de sentenças abertas de uma variável, temos 3 casos:

P(x) é verdadeira para todos os elementos de A (domínio), isto é o conjunto

verdade, Vp coincide com o universo, podemos afirmar que P(x) exprime uma

condição universal no conjunto A.

P(x) é verdadeira para alguns elementos de A (domínio), isto é o conjunto

verdade, Vp é um subconjunto próprio do universo, Vp A, podemos afirmar

que P(x) exprime uma condição possível no conjunto A.

P(x) não é verdadeira para elementos de A (domínio), isto é o conjunto

verdade, Vp é um conjunto vazio, Vp = { } = ∅, podemos afirmar que P(x)

exprime uma condição impossível no conjunto A.


Quantificador Universal

Seja P(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A e Vp seu conjunto

verdade, isto é:

Vp={ x talque x A e P(x) é verdadeira}

Quando Vp=A, isto é todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença

aberta P(x), podemos dizer:

Para todo elemento x de A, P(x) é verdade.

Qualquer elemento x de A, P(x) é verdade.

Esse tipo de afirmação será representado através de um novo símbolo lógico

chamado de quantificador universal, representado por: e as sentenças acima

podem ser representadas através das fórmulas:

((xA) P(x))

(x) P(x)

x, P(x)

Quantificador Existencial

Seja P(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A e Vp seu conjunto

verdade, isto é:

Vp={ x talque x A e P(x) é verdadeira}

Quando Vp { } ou , isto é o conjunto verdade tem pelo menos um elemento

do conjunto A que satisfaz a sentença aberta P(x), podemos dizer:

Algum elemento x de A, P(x) é verdade.

Pelo menos um elemento x de A, P(x) é verdade.

Existe um elemento x de A, P(x) é verdade.

Esse tipo de afirmação será representado através de um novo símbolo lógico

chamado de quantificador universal, representado por: e as sentenças acima

podem ser representadas através das fórmulas:

((xA) P(x))

(x) P(x)

x, P(x)

Assim podemos generalizar a interpretação dos quantificadores da seguinte

forma:


(x)P(x)

Verdadeiro se Vp=Domínio, isto é a propriedade P é Verdadeira

para todo e qualquer valor possível x do Domínio (xDom)

Falso caso contrário, VpDomínio isto é, a propriedade P é falsa

para pelo menos um único valor possível do Domínio (xDom)

(x)P(x)

Verdadeiro se Vp∅, isto é a propriedade P é Verdadeira para

pelo menos um valor possível x do Domínio (xD0m)

Falso caso contrário, Vp=∅ isto é, a propriedade P é falsa para

qualquer valor possível do Domínio (xDom), ou todos os

elementos do Domínio não possuem o predicado P

Exemplo: Considere como domínio o conjunto A= {2,3,4,5,6,7,8,9} determine o

conjunto verdade, Vp para cada um dos predicados abaixo:

P(x) Vp={ x A talque P(x) é verdadeira}

(x)P(x) (x)P(x)

x é par Vp={ x A talque x é par é verdadeira} Vp={2,4,6,8}

Algum número do domínio é par. Verdadeiro

Todo número do domínio é par. Falso

x é ímpar

Vp={ x A talque x é ímpar é verdadeira} Vp=={3,5,7,9}

Existe no domínio um número ímpar. Verdadeiro

Qualquer x do domínio é ímpar. Falso

x é primo

Vp={ x A talque x é primo é verdadeira} Vp=={2,3,5,7}

Pelo menos um número do domínio é primo. Verdadeiro

Todos os números do domínio são primos. Falso

X é divisível por 3

Vp={ x A talque x é divisível por 3 é verdadeira} Vp={3,6,9}

Há do domínio um número divisível por 3. Verdadeiro

Qualquer x do domínio é divisível por 3. Falso

x é maior que 8

Vp={ x A talque x é maior que 8 é verdadeira} = Vp={ 9 }

Algum x do domínio é maior que 8. Verdadeiro.

Todos os números do domínio são maiores que 8. Falso

x é menor que 2

Vp={ x A talque x é par é verdadeira} = Vp={ }

Algum x do domínio é menor que 2. Falso.

Todos os números do domínio são menor que 2. Falso


Exemplo: Apresente o valor-lógico (Verdadeiro ou Falso), justificando sua

resposta através do conjunto verdade, das fórmulas abaixo para cada um dos

domínios indicados na tabela. Para auxiliar a interpretação indique em

linguagem natural o significado da fórmula.

Linguagem Natural Domínio= {2,4,6,8} Domínio= {1,3,5,7,9}

(x) (x+7>0)

Todos os números

do domínio somados

com 7 são maiores

que 0.

Valor–lógico com

justificativa:

Vp= {x{2,4,6,8} onde

x+7>0}

Vp= {2,4,6,8}

Verdadeiro

Valor–lógico com justificativa:

Vp= {x{1,3,5,7,9} onde

x+7>0}

Vp= {1,3,5,7,9}

Verdadeiro

(x) (x<2)

Todos os números

do domínio são

menores que 2.

Valor–lógico com

justificativa:

Vp= {x{2,4,6,8} onde

x<2}

Vp= { }

Falso


Vp= {x{1,3,5,7,9}onde x<2}

Vp= { 1}

Falso

(x) (x é ímpar )

Algum número do

domínio é ímpar.

Valor–lógico com

justificativa:

Vp= {x{2,4,6,8} onde x

é ímpar}

Vp= { } =

Falso


Vp= {x Dom onde x é ímpar}

Vp= {1,3,5,7,9}

Verdadeiro

(x) (x é par)

Algum número do

domínio par.

Valor–lógico com

justificativa:

Vp= {x{2,4,6,8} onde x

é par}

Vp= {2,4,6,8}

Verdadeiro


Vp= {x Domonde x é par}

Vp= { }

Falso

(x) (x é par)

Todos os números do

domínio são pares.

Valor–lógico com

justificativa:

Vp= {x2,4,6,8} onde x

é par}

Vp= {2,4,6,8}

Verdadeiro


Vp= {x Dom onde x é par}

Vp= { }

Falso

(x) (x é primo)

Algum número do

domínio é primo

Valor–lógico com

justificativa:

Vp= {x {2,4,6,8} onde

x é primo}

Vp= {2}

Verdadeiro


Vp= {x Dom onde x é primo}

Vp= {3,5,7}

Verdadeiro


(x) (2x=16)

Algum número do

domínio

multiplicado por 2

não é igual a 16.

Existe um número

cujo dobro não é

igual a 16.

Valor–lógico com

justificativa:

Vp= {x{2,4,6,8} onde

(2x=16)}

Vp= {2,6,8}

Verdadeiro


Vp= {x Dom onde (2x=16)}

Vp= { }

Verdadeiro

(x) (x=8)

Nego que todos os

números do domínio

são iguais a 8.

Nem todos os

números do domínio

são iguais a 8.

Valor–lógico com

justificativa:

Vp= {x{2,4,6,8} onde

x=8}

Vp= {8}

(x) (x=8) é falso

falso é verdadeiro,

logo

(x) (x=8) é

verdadeiro


Vp= {x Dom, onde x=8}

Vp= { }

(x) (x=8) é falso

falso é verdadeiro, logo

(x) (x=8) é verdadeiro

Equivalências dos quantificadores

No caso da lógica proposicional, podia-se decidir da validade pelo processo da

tabela-verdade. Dado um enunciado, construía-se a tabela, se nessa tabela só

figurassem V ( nenhum F) , o enunciado seria válido. Aqui com a presença dos

quantificadores, não há um método de decisão geral (provado por Church).

Vamos ilustrar como pode ocorrer uma tautologia nas sentenças abertas pelo

exemplo a seguir.

Exemplo : Podemos usar como referência o predicado P(x)= x é par e

determinarmos o valor lógico para os seguintes domínios das fórmulas abaixo e

observar que algumas fórmulas mantém o mesmo valor-verdade mesmo

modificando o domínio.

Dom={2,4,6,8} Dom={3,5,7,9} Dom={2,3,4,5,6,7,8}

(x) P(x)

Verdade, pois

4épar.

Vp={4,8,2,6}{}

Falso por Vp={} Verdade, pois 4épar.

Vp={4,8,2,6}{}

(x) P(x) Verdade, pois

Vp={4,8,2,6}=Dom

Falsa pois

5 é par é falso ou 5

não é par.

Vp={ }Dom

Falsa pois

5 é par é falso ou

5 não é par.

Vp={2,4,6,8 }Dom

(x) P(x) Falso por Vp={} Verdade, pois

3 não é par.

Verdade, pois

3 não é par.


Vp={3,5,7,9}{} Vp={3,5,7}{}

(x) P(x) Falso por

Vp={ }Dom

Verdade,

Vp={3,5,7,9}=Dom

Falso por

Vp={3,5,7}Dom

(x) P(x)

Falso, pois

(x) P(x) é

Verdade, pois

4épar.

Vp={4,8,2,6}{}

Verdadeiro pois (x)

P(x) é Falso por

Vp={}

Falso, pois (x) P(x) é

Verdade, pois 4épar.

Vp={4,8,2,6}{}

(x) P(x)

Falsa pois (x)

P(x) é Verdade,

pois

Vp={4,8,2,6}=Dom

Verdadeira Pois (x)

P(x) é Falsa pois

5 é par é falso ou 5

não é par.

Vp={ }Dom

Verdadeira pois (x)

P(x) é Falsa pois

5 é par é falso ou

5 não é par.

Vp={2,4,6,8 }Dom

(x) P(x)

Verdadeiro pois

(x) P(x) é Falso

por Vp={}

Falso Pois

(x) P(x) é

Verdade, pois

3 não é par.

Vp={3,5,7,9}{}

Falso Pois (x) P(x) é

Verdade, pois

3 não é par.

Vp={3,5,7}{}

(x) P(x)

Verdade Pois (x)

P(x) é Falso por

Vp={ }Dom

Falsa Pois (x)

P(x) é Verdade,

Vp={3,5,7,9}=Dom

Verdade Pois (x)

P(x) Falso por

Vp={3,5,7}Dom

Observando as linhas dos valores lógicos coincidentes, ou seja, a primeira linha

repete o mesmo valor-verdade da última linha, a segunda linha repete o valor-

verdade da penúltima linha, a terceira linha repete o valor-verdade da

antepenúltima linha, e finalmente a quarta linha repete o valor-verdade da

quinta linha. Essa regularidade pode ser obtida se modificarmos o predicado e

tomarmos outros domínios. Essas tautologias serão chamadas de intercâmbio

de quantificadores e podemos organizar essa ocorrência dizendo que o

bicondicional entre essas fórmulas é verdadeiro, e, portanto escrever:

(x)P(x) (x)P(x) Negação do Existencial (NE)

(x)P(x) (x) P(x) Negação do Existencial (NE)

(x) P(x) (x)P(x) Negação do Universal (NU)

(x) P(x) (x)P(x) Negação do universal (NU)


Recapitulando

Neste capítulo você foi apresentado a simbologia da lógica de predicados ou de

1ª ordem em que aparecem as sentenças declarativas abertas e fechadas.

Conhecemos a interpretação dos quantificadores universal e existência e

algumas equivalência entre sentenças abertas.



1971.



RENZ, S. P.; POFFAL, C. A. Fundamentos de Lógica Matemática. Porto Alegre:

La Salle, 2001.


Atividades

Marque as sentenças onde temos a presença de quantificadores.

Quatro é número natural.

Algum número inteiro é par.

Existem números inteiros divisíveis por 4.

Nego que algum número natural é primo.

Se existe um quadrado com 4 lados de mesma medida então todos

seus ângulos internos também tem mesma medida.

Nenhum número inteiro tem seu quadrado negativo.

Quatro não é número primo.

Dez é múltiplo de 2 e 5, mas não é múltiplo de 3 e 4.

Marque a(s) sentença(s) equivalente(s) pelo intercâmbio de

quantificadores a afirmação: Alguém não é colorado.

Ninguém é colorado.

Todos são colorados.

Nem todos são colorados.

Todos não são colorados.

Não existe colorado.

Nego que todos são colorados.

Indique Determine o valor-verdade para as proposições abaixo, sendo

xDOM={0,1,2,3,4,5,6}.

(x) (x +2 4)

(x) (x +2 4)

(x) (x2 – 1 = 3)

(x) (3x – 1 = 14)

(x) (x – 5 1)

Sendo Domínio = {1,2,3,4,5,6,7}, escolha um quantificador adequado

para que a sentença possua valor-lógico verdadeira.

x + 4 = 8

x2 – 5x + 6 = 0

5x + 2 4

–x2 + 8x = 0

Marque o domínio abaixo onde a sentença:Qualquer número do domínio

é ímpar é verdadeira.

Dom = { 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Dom = { 12, 24,56, 38, 94,106}


Dom = { 5, 3, 9, 17, 27}

Dom = { 11, 21, 41, 51, 61, 31, 81, 91, 101, 61, 60}

Dom = { }


b, c, d, e, f.

e.

Falso pois Vp= {x{0,1,2,3,4,5,6}onde x +2 4}= {3,4,5,6}

Verdade pois Vp= {x{0,1,2,3,4,5,6}onde x +2 4}= {3,4,5,6}

Verdadeiro pois Vp= {x0,1,2,3,4,5,6}onde x2 – 1 = 3}= {2}

Verdadeiro pois Vp= {x0,1,2,3,4,5,6}onde (3x – 1 = 14)}= {5}

Falso pois Vp= {x{0,1,2,3,4,5,6}onde (x – 5 1)}= {0,1,2,3,4,5}

Vp= {x{1,2,3,4,5,6,7} onde x +4 = 8}= {4} Assim, (x) x + 4 = 8 é

Verdadeiro, pois Dom tem outros números além do 4, portanto não

podemos usar o quantificador universal.

Vp= {x{1,2,3,4,5,6,7}onde x2 – 5x + 6 = 0}= {2,3} ;

(x) x2 – 5x + 6 = 0 é verdadeiro pois Vp= {x{1,2,3,4,5,6,7} onde

x2 – 5x + 6 = 0}= {2,3 }

Vp= {x{1,2,3,4,5,6,7}onde 5x + 2 4}= {1,2,3,4,5,6,7}

(x) (5x + 2 4) é Verdadeiro, pois Vp= {x{1,2,3,4,5,6,7} ,onde

5x + 2 4}= {1,2,3,4,5,6,7}

(x) (5x + 2 4 é Verdadeiro pois Vp= {x {1,2,3,4,5,6,7} onde 5x + 2

4}= {1,2,3,4,5,6,7}

Essa propriedade só é verdadeira para x=0 ou x=8 que não fazem

parte do domínio logo é impossível ser verdadeira para o domínio

indicado.

c


Lógica de Predicados






Introdução

Vimos no capítulo anterior os quantificadores Universal e Existencial que

constituem as sentenças abertas. Verificamos que as sentenças abertas podem

se tornar uma proposição quando avaliadas, assumindo um valor verdade de

falso ou verdadeiro.

Na lógica de predicados o processo de dedução adquire um grau de

complexidade devido a necessidade de que as sentenças abertas sejam

premissas, isto é, sejam sempre verdadeiras, para que, associadas com as

implicações lógicas, permitam a construção de um argumento consistente para

chegarmos a uma conclusão consistente e irrefutavelmente verdadeira.

Demonstrações com Quantificadores

Para o processo de demonstração de uma dedução lógica consistente com

pressimisas contendo quantificadores, é necessário expandir as implicações e

as equivalências lógicas.

Começaremos com a expansão das implicações lógicas envolvendo

quantificadores e que possibilitará ao leitor avaliar argumentos que contenham

premissas com quantificadores.

Sentenças abertas contendo quantificadores têm uma variável e um conceito,

podendo este conceito ser classificado em universal, particular e singular.

O conceito universal é interpretado em toda a extensão e abrange todos os

elementos aos quais se aplica o conceito. Tomamos como exemplo a sentença

“Todo filho tem mãe”, neste caso para “Todo filho” consideramos no Universo

dos indivíduos aqueles que são filho, que neste caso são todos os indivíduos do

conjunto Universo.

O conceito particular é quando se toma parte indeterminada da extensão, ou

seja, alguns elementos aos quais se aplica o conceito. Para a sentença aberta

“Algumas mulheres são mães” temos que, do Universo dos indivíduos do sexo

feminino, parte dos elementos atende a característica de serem mães. Notas-

se que não é determinado qual o indivíduo que atende a caracerística.

O conceito singular é quando se toma parte da extensão mas de maneira

determinada, como é o caso da sentença “Esta mãe tem três filhos”,“Aquela

mulher não tem filhos”, “Maria tem filhos”, nestes casos está se fazendo

referência a um determinado elemento do Universo.


Instanciação Universal

Na Instanciação Universal temos uma variável e o conceito universal

apresentado na forma de uma função proposicional de modo que a instanciação

universal afirma que qualquer instância de substituição da função pode ser

validada.

Isto que dizer que ao instanciarmos, ou seja, substituirmos a variável livre por

um valor singular, temos essa instância como válida.

Exemplo:

∀xP(x)

P(a) IU x=a

Em uma demonstração a instanciação universal permite a conclusão ao

analisarmos as premissas para o caso singular, haja vistas que se para para todas

as instancias conclusão é verdadade, então para uma instancia também será

verdade.

∀x(P(x)→Q(x))

P(a)

P(a)→Q(a) 1, IU (Instanciação Universal)

Q(a) 2,3 MD (Modus Ponens)

Nesse argumento temos a primeira premissa dada por duas funções

proposicionais com variável ligada de modo que a variável livre (x), quanto

instanciada, será válida para as duas funções. A segunda premissa é uma

premissa com conceito singular para o elemento “a”. Com base nessas duas

premissas, é relizada a instanciação universal em 1 transformando a mesma em

uma premissa auxiliar 3 com o conceito singular para “a”. Usando da implicação

lógica do método da afirmação (Modus Ponens) temos que a premissa 2 atende

a condição de 3 , logo temos a consequência lógica Q(a) em 4.

Generalização Universal

Na Generalização Universal partimos de uma situação singular da qual obtemos

um conceito universal, para isso substituimos o elemento singular por uma

variável que represente todo e qualquer elemento do contexto ou universo que

se está trabalhando. Ressalta-se que a generalização universal deve ser

utilizada com certa restrição e análise formal do contexto trabalhado para

evitar uma generalização falsa.


Ela é particularmente útil e quando derivada de premissas advindas de

instanciações universais, ou seja, de um conceito universal derivamos para um

particular, aplicamos todas as implicações lógicas e depois retornamos para um

conceito universal através da Generalização Universal (GU).

P(y) Para y uma variável

∀xP(x) GU, x é uma variável que representa todo e qualquer elemento do contexto

Em uma demonstração a Generalização Universal (GU) permite a conclusão para

todos os elementos do contexto ao analisarmos as premissas para um caso

singular mas que se aplica a todo e qualquer elemento do contexto.

Observa-se que se para uma instancia é verdade não significa que seja

verdadeiro para todas as instâncias.

∀x(P(x)→Q(x))

∀x P(x)

P(y)→Q(y) 1, IU (Instanciação Universal)

P(y) 2, IU (Instanciação Universal)

Q(y) 3,4 MD (Modus Ponens)

∀xQ(x) 5, GU (Generalização Universal)

Utilizando do exemplo semelhante ao da Instanciação Universal, partimos de

dois conceitos universais reduzidos a uma variável y e depois, usando da

Generalização Universal, obtemos a conclusão 5 que se aplica a todos os

elementos do contexto. Tal aplicação da regra da Generalização Universal não

apresenta problemas em função de que a dedução é baseada em premissas

iniciais com conceitos universais.

A seguinte argumentação não está correta pois uma das premisas iniciais

envolve um caso singular, e não é correto generalizar com base em um caso

singular.


∀x(P(x)→Q(x))

P(a)



∀xQ(x) 5, GU (Generalização Universal)

Instanciação Existencial

Na Instanciação Existencial temos uma variável e o conceito particular

apresentado na forma de uma função proposicional de modo que a Instanciação

Existencial afirma que qualquer instância de substituição da função pode ser

validada.

Isto que dizer que ao instanciarmos, ou seja, substituirmos a variável livre por

um valor singular, temos essa instância como válida.

Exemplo:

∃xP(x)

P(a) IE x=a

Em uma demonstração a Instanciação Existencial permite a conclusão ao

analisarmos as premissas para o caso singular, haja vistas que se para algumas

instancias conclusão é verdadade, então para uma instancia particular também

será verdade.

∀x(P(x)→Q(x))

∃x (P(x) ∧ R(x))


P(a) ∧ R(a) 2, IE (Instanciação Existencial)

P(a) 4, SM (Simplificação)

Q(a) 5,4 MP (Modus Ponens)

R(a) 4, SM (Simplificação)

Q(a) ∧ R(a) 6,7 CJ (Conjunção)


Nesse argumento temos a primeira e a segunda premissa definida por duas

funções proposicionais com variável ligada de modo que a variável livre (x),

quanto instanciada, será válida para as duas funções.

A primeira premissa é uma premissa com conceito universal, e a segunda é uma

premissa com conceito particular, ou seja, éla é verdadeira para alguns

elementos do contexto.

Com base nessas duas premissas, é relizada a Instanciação Universal em 1

transformando a mesma em uma premissa auxiliar 3, e uma Instanciação

Existencial em 2 obtendo a premissa auxiliar em 4. Chamamos a atenção que a

variável livre x é usada tanto em 1 como em 2, logo nas duas instanciações

substituimos pela mesma constante “a”.

Na Instanciação Existencial deve-se ter a atenção de não utilizar uma constante

ou variável que já tenha sido utilizada na instanciação de outra variável livre.

Generalização Existencial

Na Generalização Existencial partimos de uma situação singularda qual obtemos

um conceito particular, para isso substituimos o elemento singular por uma

variável que represente parte do contexto ou universo que se está trabalhando.

Ressalta-se que a Generalização Existencial será válida desde que seja verdade

para um caso singular pois a ideia do quantificador existencial está associado a

“existe pelo menos um” de modo que o caso singular atende o caso particular.

Ela é particularmente útil para generalizações em situações que pelo menos um

caso do contexto seja verdade.

P(a) Para “a” uma contante

∃xP(x) GE, x é uma variável que representa parte do contexto

Verifique a Generalização Existencial a seguir.

∃x(P(x)→Q(x))

P(a)

P(a)→Q(a) 1, IU (Instanciação Existencial)


∃xQ(x) 5, GE (Generalização Existencial)


No exemplo apresentado, temos uma Instanciação Existencial e uma premissa

singular, neste caso utilizamos a constante da premissa com o conceito singular

para instanciar a função proposicional. Aplicando as implicações lógicas

conclui-se o conceito singular 4 que permite a Generalização Existencial dado

que pelo menos o elemento “a” atende a função proposicional Q(x).

Compare a Generalização Universal e a Existencial com atenção às premissas e

verifique as diferenças quando é utilizado uma e quando é utilizado a outra de

maneira inequívoca.

Demonstrações com quantificadores

Os métodos de demonstração que utilizam as equivalências e as implicações

lógicas com inferências contendo quantificados são apresetnados a seguir.

Relembramos as equivalências logicas com quantificadores temos que:

(x)P(x) (x)P(x) Negação do Existencial (NE)

(x)P(x) (x) P(x) Negação do Existencial (NE)

(x) P(x) (x)P(x) Negação do Universal (NU)

(x) P(x) (x)P(x) Negação do universal (NU)

Faremos as demonstrações indicando as equivalências e implicações lógicas de

maneira abreviada. Caso tenha dúvida de qual tautologia foi aplicada, verifique

nos capítulos 3 e 4 as abreviações utilizadas.

∃x(P(x) ∧ Q(x))

x P(x)

x (R(x)→ Q(x))

x(P(x) ∧ Q(x)) 1, NE

x (P(x) ∨ Q(x)) 2, MD

R(a)→ Q(a) 3, IU

P(a) ∨ Q(a) 5, IU

P(a) 6, IU

Q(a) 8,7, SD

R(a) 9,6 MT

x R(x) 10, GU


Note que a conclusão é uma Generallização Universal, lembramos que para isso

temos que ter todas as premissas contendo o quantificador universal e nesse

argumento não temos todas as premissas atendendo esse requisito.

Apesar de não estar expresso com o quantificador universal, a primeira premissa

pode ser reescrita utilizando a equivalência de quantificadores que permite

interpreta-la como sendo uma premissa com conceito universal, deste modo é

possível a Generalização Universal na conclusão.

Ressalta-se que por serem todas as premissas com quantificadores universais

utilizou-se da variável “y” nas instanciações.

∃x(P(x) ∧ Q(x))

x (R(x)↔Q(x))

x(S(x) ∨ R(x))

P(a) ∧ Q(a) 1, IE

R(a)↔Q(a) 2, IU

S(a) ∨ R(a) 3, IU

(R(a)→Q(a))∧(Q(a)→R(a)) 5, BC

Q(a)→R(a) 7, SM

Q(a) 4, SM

R(a) 8,9 MP

S(a) 10,6 SD

∃xS(x) 11, GE

Nesse exemplo a premissa 2 abrange um conceito universal, mas como 10 é

obtido de 9 que por sua vez vem de uma Instanciação Existencial 4, verificamos

que não temos 10 para todo e qualquer “a”. Essa mesma restrição dos

elementos do contexto que atendem 10 passa para a interpretação da

implicação 6 cujo resultado 11 também pode ser interpretado como um

conceito particular. Dadas as circunstâncias das imterpretações só é possível a

Generalização Existencial da conclusão final.


Demonstração Condicional

No método de demonstração ou argumentação condiconal, o antecedente da

conclusão condicional é trazida como uma premissa adicional para ser usada no

processo de dedução.

∃xP(x)→ x Q(x)

∃x R(x) →∃x(P(x) ∧ S(x)) x(R(x) → Q(x))

R(x) Q(x) nova conclusão

∃x R(x) 3, GE

∃x(P(x) ∧ S(x)) 4,2 MP

P(a) ∧ S(a) 5, IE

P(a) 6, SM

∃xP(x) 7, GE

x Q(x) 8,1 MP

Q(x) 9, IU

R(x)→Q(x) 3,10 Argumento condicional

xR(x)→Q(x) 11, GU

Apesar do quantificador existencial em 1, é possível generalizar para o

quantificador universal em 12, dado que em 1 as funções proposicionais não são

integradas, ou seja, o quantificador existencial está associado somente ao

antecedente e o qunatificador universal ao consequente, logo a conclusão pode

ser generalizada ao universal.


Demonstração por redução ao absurdo

P(a) ∨ P(b)

x(P(x) →(Q(x) ∧ R(x))) ∃xQ(x)

∃xQ(x) C (contradição) nova conclusão

x Q(x) 3, NE

Q(a) 4,IU

Q(a) ∨ R(a) 5, AD

(Q(a) ∧ R(a)) 6, DM

Q(b) 4,IU

Q(b) ∨ R(b) 5, AD

(Q(b) ∧ R(b)) 9, DM

P(a) →(Q(a) ∧ R(a)) 2, IU

P(b) →(Q(b) ∧ R(b)) 2, IU

P(a) 7,11 MT

P(b) 9,12 MT

P(a) ∧ P(b) 13,14 CJ

(P(a) ∨ P(b)) 15, DM

(P(a) ∨ P(b)) ∧ (P(a) ∨ P(b)) 1,16 Cj

C 17 CMP

∃xQ(x) 3, RAA (redução ao absurdo)

∃xQ(x) 19, DN

Nesse exemplo foi necessário o uso da demonstração por absurdo por que as

premissas disponíveis não permitem realizar equivalências ou inferencias

somente a partir delas. Também devemos ter atenção que a premissa 1

apresenta um caso singular para “a,b”, logo todas as instanciações devem ser

para “a,b”. A conclusão em 18 de uma contradição nos leva a negar a premissa

adicional 3, que por sua vez nos leva a conclusão inicial que se deseja provar.


Recapitulando

Neste capítulo expandimos as implicações lógicas que permite aplicar o método

dedutivo para premissas compostas por sentenças abertas com os

quantificadores universal e existencial. Deste modo é possível avaliar a

argumentação e a veracidade das conclusões e suas generalizações.


LAUSCHE, Roque. Lógica formal: Técnica deo desenvolvimento do raciocínio.

Porto Alegre: Sulina, 1997.






Atividades

No argumento apresentado a linha 3 e 6 estão corretas?

1 ¬ ∃x(Px Qx)

2 Pa

3 ¬(Pa Qa) IE - Instânciação Existencial de 1

4 ¬Pa ∨ ¬Qa DM - De Morgan de 3

5 ¬Qa SD – Silogismo Disjuntivo de 2 e 4

6 ¬∃xQx GE – Generalização Existencial de 5

No argumento apresentado a linha 3, 7 estão corretas?

1 ∃x (Px Qx)

2 ∀x(Px → ¬Qx)

3 (Pa Qa) IE - Instânciação Existencial de 1

4 Qa SM – Simplificação de 3

5 Pa → ¬Qa IU - Instânciação Universal de 2

6 ¬Pa MT – Modus Tollens

7 ∃x¬Pa GE – Generalização Existencial de 6

8 ¬¬∃x¬Pa DN – Dupla Negação

9 ¬∀x¬¬Pa NE – Negação Existencial de 8

10 ¬∀xPa DN – Dupla Negação

Demonstre a validade do argumento

∀x(Px→Qx),Pa⊢∃xQx

Demonstre a validade do argumento condicional

∀x(Px ∨ (Qx→Rx),∃x¬Rx⊢∃x(Qx→Px)

Demonstre a validade do argumento por redução ao absurdo


∀x(Px→¬Qx), ∀x(Rx→Qx)⊢∃x¬(Px Rx)


No argumento apresentado a linha 3 e 6 estão corretas?

1 ¬ ∃x(Px Qx)

2 Pa

3 ¬(Pa Qa) IE - Instânciação Existencial de 1

4 ¬Pa ∨ ¬Qa DM - De Morgan de 3

5 ¬Qa SD – Silogismo Disjuntivo de 2 e 4

6 ¬∃xQx GE – Generalização Existencial de 5

Linha 3, primeiro tem-se que reescrever ∀x ¬(Px Qx), logo a linha 6

também está errada pois ela se baseia no quantificador existencial de 1 e

não em um universal.

No argumento apresentado a linha 3, 7 estão corretas?

1 ∃x (Px Qx)

2 ∀x(Px → ¬Qx)

3 (Pa Qa) IE - Instânciação Existencial de 1

4 Qa SM – Simplificação de 3

5 Pa → ¬Qa IU - Instânciação Universal de 2

6 ¬Pa MT – Modus Tollens

7 ∃x¬Pa GE – Generalização Existencial de 6

8 ¬¬∃x¬Pa DN – Dupla Negação

9 ¬∀x¬¬Pa NE – Negação Existencial de 8

10 ¬∀xPa DN – Dupla Negação

Sim estão corretas.

Demonstre a validade do argumento

∀x(Px→Qx),Pa⊢∃xQx


1 ∀x(Px→Qx)

2 Pa

3 Pa→Qa IU – Instanciação Universal de 1

4 Qa MP – Modus Ponnens de 2 em 3

5 ∃xQx GE – Generalização Existencial de 4

Demonstre a validade do argumento condicional

∀x(Px ∨ (Qx→Rx),∃x¬Rx⊢∃x(Qx→Px)

1 ∀x(Px ∨ (Qx→Rx))

2 ∀x¬Rx

3 (Qa→Pa) IE – Instanciação Existencial da conclusão

4 Qa Premissa adicional antecedente da conclusão, com a nova conclusão Pa

5 ¬Ra IU – Instanciação Universal de 2

6 Pa ∨ (Qa→Ra) IU – Instanciação Universal de 1

7 Pa ∨ (¬Qa ∨ Ra) COND – Condicional de 6

8 (Pa ∨ ¬Qa) ∨ Ra COM - Comutativo

9 (Pa ∨ ¬Qa) SD – Silogismo Disjuntivo de 5 e 8

10 Pa SD – Silogismo Disjuntivo de 4 e 9

Demonstre a validade do argumento por redução ao absurdo

∀x(Px→¬Qx), ∀x(Rx→Qx)⊢∃x¬(Px Rx)

1 ∀x(Px→¬Qx)

2 ∀x(Rx→Qx)

3 ¬∃x¬(Px Rx) Premissa adicional da negção da conclusão

4 ∀x(Px Rx) NE - Negação do existencial 3

5 Pa Ra IU – Instanciação Universal de 4

6 Pa SM – Simplificação de 5


7 Ra SM – Simplificação de 5

8 Pa→¬Qa IU – Instanciação Universal de 1

9 Ra→Qa IU – Instanciação Universal de 2

10 ¬Qa MP – Modus Ponens de 6 em 8

11 Qa MP – Modus Ponens de 7 em 9

12 ¬Qa Qa CJ - Conjunção de 10 e 11

13 C CP - Complementação


Silogismo Categórico





ANEXO I


Introdução

Vimos as proposições verofuncionais e estudamos as deduções lógicas a partir

destas através das regras de equivalências e inferências. Neste capítulo

veremos as proposições categóricas (que as vezes são tratadas com

verofuncionais). Aristóteles estudou as proposições categóricas e os silogismos

categóricos, desenvolvendo o quadro aristolélico das oposições que estabelece

relações entre as proposições de maneira a poder inferir com base nas

proposições dadas.

Proposições Categóricas

A ideia de categorias, está associada às classes ou cojuntos de objetos. Como

vimos, objetos que têm características em comum podem ser agurupadas em

um conjunto, ou seja, compõem uma classe.

Nas proposições categóricas identificamos uma relação entre a classe dos

sujeitos, designada como termo sujeito, e a classe dos predicados, designada

como termo predicado. Deste modo toda proposição categórica afirma uma

relação entre o termo sujeito e o termo predicado, podendo esta ser uma

relação parcial ou total entre os termos.

Dentro do método dedutivo envolvendo as proposições categóricas, adota-se a

notação S para o termo sujeito e P para o termo predicado, assim sendo, nas

proposições categóricas afirmamos uma das seguintes relações entre sujeito e

predicado:

Todo S é P

Nenhum S é P, também entendido como Todo S não é P

Algum S é P, também entendido como Pelo menos um S é P

Algum S não é P, também entendido como Pelo menos um S não é P

Nas proposições categóricas a relação entre sujeito e predicado se utiliza do

verbo ser como o verbo de ligação, ou de relaçao, pois estabelece que os

elementos da classe sujeito pertencem, ou não pertencem, a classe do

predicado.

Para as relações entre os termos sujeito e predicado as quatro proposições

categóricas são classificadas quanto aos seus quantificadores como Universal ou

Particular, semelhante as proposições verofuncionais.


A proposição Todo S é P é denominada como proposição Universal Afirmativa,

pois para tal proposição ser verdadeira temos que todo e qualquer elemento da

classe sujeito é elemento da classe predicado.

Escrito na froma de uma proposição verofuncional temos:

∀xP(x) para x: ‘S’ e P(x): ‘x é P’

Temos também que algumas porposições verofuncionais podem ser escritas na

forma de uma proposição categórica. A proposição verofuncional “Todo filho

tem mãe” pode ser convertida na proposição categórica “Todo indivíduo é

filho” dado que filho é aquele que tem mãe. Nesse caso filho determina a classe

predicado da qual todo elemento (indivíduo) da classe sujeito pertence.

A proposição “Nenhum S é P” uma proposição Universal negativa. Aqui devemos

ter atenção e converter a proposição, pois não existe um quantificador para

“nenhum”. Se entendermos que “Nenhum S é P” como não existe pelo menos

um elemento da classe sujeito que pertença classe predicado, podemos

reescrever que “Todo S não é P” utilizando as equivalências de quantificadores.

Escrevendo “Não existe pelo menos um S que seja P” como uma proposição

verofuncional na forma:

¬∃xP(x)

para x: ‘S’ e P(x): ‘x que seja P’

então usando as equivalências de quantificadores temos que:

¬∃xP(x)⇔∀x¬P(x)

ou seja “Todo S não é P”

A proposição do tipo “Algum S é P”, como por exemplo “Algumas mulheres são

mães”, é denominada como uma proposição particular afirmativa. Essa

proposição declara que alguns elementos da classe sujeito pertencem a classe

predicado, ou que pelo menos um elemento da classe sujeito pertence a classe

predicado.

A proposição do tipo “Algum S não é P”, como por exemplo “Algumas mulheres

não são mães”, é denominada como uma proposição particular negativa. Essa

proposição declara que alguns elementos da classe sujeito não pertencem a

classe predicado, ou que pelo menos um elemento da classe sujeito não

pertence a classe predicado.


Ressaltamos que a classificação da proposições está relacionada a quantidade

e qualidade dor seus termos. As denominações como afirmativa ou negativa

refere-se a sua qualidade, ou seja, afirmam a inclusão ou negam a inclusão da

classe sujeito na classe predicado. Já a denominação Universal e Particular está

relacionada a quantidade dos elementos da classe sujeito, ou seja, a extensão

da inclusão ou exclusão da classe sujeito em relação a classe predicado. Sendo

totalmente inclusa na Universal com o quantificador “todo” ou parcialmente

inclusa com o quantificador “algum”.

Por convenção atribui-se as letras A, E, I, O às proposições quanto a sua

qualidade e quantidade.

A: Todo S é P Universal Afirmativa

E: Nenhum S é P Universal Negativa

I: Algum S é P Particular Afirmativa

O: Algum S não é P Particular Negativa

Apresentamos as estruturas lógicas das proposições sem considerar o valor

verdade das mesmas. Se considerarmos as proposições levando em conta sua

extensão, qualidade e seus valores verdade, verificando as relações entre elas.

Quadro das oposições

Ao organizarmos as proposições como na figura x podemos representar as

relações dois a dois. Primeiro apresentamos as relações contraditórias, nesse

tipo de relação temos que se uma é verdadeira a outra será falsa, mas a

falsidade de uma não implica na falsidade da outra.

Verificamos que as proposições contraditórias são diferente em qualidade e

extensão, comparando as proposições A, universal e afirmativa, com a O,

particular negativa, e a proposição E, universal negativa, com a I, particular


afirmativa confirmamos essa relação. Entende-se por contaditório a

característica de que se uma proposição é verdadeira a outra necessariamente

será falsa, logo as proposições contraditórias não podem ser verdadeiras ou

falsas ao mesmo tempo.

Uma outra relação que tem-se no quadro de oposições é a de que as proposições

são contrárias. Neste caso temos A, universal e afirmativa, e a E, universal

negativa, que diferem em qualidade. Se analisarmos as duas em relação a seus

valores verdade verificamos que: se A é verdade, E é falsa e que se E é verdade,

A é falsa, logo as duas não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem

ser falsas!

Usando da negação de quantificadores temos que:

¬∀xP(x)⇔ ∃x¬P(x)

¬∀x¬P(x)⇔ ∃xP(x)

Usando da linguagem natural para x:fruta e P(x): x é vermelho podemos afirmar

com certeza que “Todas as frutas são vermelhas” é falso assim como “Nenhuma

fruta é vermelha” também é falso. Resumindo nas proposições contrárias se

uma é verdadeira a outra será falsa, ou as duas serão falsas.

Semellhante as proposições contrárias, temos as proposições subcontrárias,

podemos notar que a proposição O, particular negativa, e a I, particular

afirmativa, também diferem em qualidade e não em extensão, mas diferente

das contrárias ao avaliarmos seus valores verdade temos que: se O é falsa, I é

verdadeira e que se I é verdadeira, O é falsa, logo as duas não podem ser falsas

ao mesmo tempo, mas podem ser verdadeiras!


Usando da negação de quantificadores temos que:

¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x)

¬x¬P(x)⇔ ∀xP(x)

Usando da linguagem natural para x:fruta e P(x): x é vermelho, podemos

afirmar com certeza que “Algumas frutas são vermelhas” é verdade assim como

“Algumas fruta não são vermelhas” também é verdade. Para analisarmos a

outras condições temos que analisar uma proposição em linguagem natural que

seja falsa como por exemplo “Algum ovo de galinha é azul” que sendo falso leva

necessariamente “Algum ovo de galinha não é azul” a ser verdade.

Resumindo nas proposições subcontrárias se uma é falsa a outra será

verdadeira, ou as duas serão verdadeiras.

A relação entre as proposições iguais em qualidade mas diferentes em extensão

são denominadas como subalternação, quando analizamos os valores verdade

partindo das proposições universais temos que se a proposição A é verdade

então I será verdade, asssim como se E for verdade então O também o será.

Podemos analisar a veracidade dessas relações fazendo uso dos diagramas de

Venn da figura x. No diagrama A:I verificamos que, se todos os elementos de S


são P, então é possivel afirmar, também, que pelo menos um S é P. Pelo

diagrama E:O se nenhum elemento de S é P então é verdade também que pelo

menos um, ou algum, S não seja P. Denomina-se como superalternas as relações

quando analisadas a partir das proposições universais.

Ao analisarmos os valores verdade a partir das proposições particulares temos

que para a proposição I falso temos a proposição A será falsa também, assim

como para a proposição O falsa temos que E será falsa. Para analisar as

proposições subalternas, quando parte-se da proposição particular para a

universal, utilizaremos as negações dos quantificadores.

Para I: ∃xP(x) e A: ∀xP(x) a falsidade de I é dada por:

¬∃xP(x)⇔ ∀x¬P(x) ⇎ ∀xP(x), logo se I é falso, A também será.

Para O: ∃x¬P(x) e E: ∀x¬P(x) a falsidade de O é dada por:

¬∃x¬P(x)⇔ ∀x¬¬P(x) ⇔ ∀xP(x) ⇎ ∀x¬P(x), logo se I é falso, O também será.

Em linguagem natural podemos verificar pelas proposições em linguagem

natural I:”Alguns ovos de galinha são azul” e “A:Todo ovo de galinha é azul”,

que a falsidade de I leva a falsidade de A. Para as proposições negativas

podemos usar as proposições O:”Alguns ovos de galinha não são brancos”

E:”Todos os ovos de galinha não são brancos” de maneira que a falsidade de O

leva a falsidade de E.

Nas relações de subalternação são definidas a veracidade superalterna e a

falsidade subalterna, mas não são definidas a falsidade superalterna assim

como a veracidade subalterna, isso por que as mesmas são consideradas

indefinidas.


Analisando um exemplo em linguagem natural da superalterna para A:”Todos

os ovos de galinha são brancos” e I:”Alguns os ovos de galinha são brancos”,

temos que a falsidade e A não leva, necessariamente, à falsidade de I.

Para a falsidade da subalternação, também temos que para I:”Alguns corvos são

pretos” e A:”Todos os corvos são pretos” a veracidade de I não leva a

veracidade de A, não temos como comprovar que TODOS os corvos do MUNDO

são pretos. Aliás veja alguns fatos interessantes em

https://www.fatosdesconhecidos.com.br/conheca-os-20-animais-albinos-

mais-fantasticos-do-planeta/.

Lembramos que a definição do conjunto Universo ou contexto é importante

para o desenvolvimento das inferências lógicas. Para o exemplo dado, se

definir-se o conjunto Universo como U={Animais do planeta terra} ou para

U={corvo do zooológico X} mudamos a proposição A pode mudar de falso para

verdadeiro.

Deste modo temos que o quadro aristotélico das oposições (figura x) pode ser

utilizado para inferências imediatas.

Conversão

Algumas proposições podem ser reescritas trocando o termo sujeito pelo termo

predicado mantendo a sua validade. Denomina-se esse processo como

conversão, de modo que a proposição resultante é uma inferência obtida da

proposição inicial. A proposição inicial é denominada como convertenda e a

proposição final como conversa.

Vejamos agora como converter cada uma das proposições categóricas

conhecidas, para isso começaremos com exemplos de proposições em

linguagem natural.

Para uma proposição E:”Nenhuma galinha é mamífero”, pode ser convertido

para E:”Nenhum maífero é galinha”.

https://www.fatosdesconhecidos.com.br/conheca-os-20-animais-albinos-mais-fantasticos-do-planeta/

https://www.fatosdesconhecidos.com.br/conheca-os-20-animais-albinos-mais-fantasticos-do-planeta/


Para uma proposição I, tal conversão também é possível, I:”Alguns filmes de

ação são bons filmes”, pode ser convertido para I:”Alguns bons filmes são filmes

de ação”.

Para as proposições A:”Todos S é P” a conversão propriemente dita não

funciona, mas se usarmos a subalternação superalterna em conjunto com a

conversão podemos inferir que “Alguns P são S”.

Por exemplo para A:”Todos os peixes são animais que vivem na água” a

conversão direta para :”Todos animais que vivem na água são peixes”. É notória

a inconsistência da afirmação sabendo existem outros animais que vivem na

água com a foca, o pinguim, o lobo marinho, a lontra, mas se usarmos a

subalternação superalterna antes podemos fazer a seguinte conversão

A:”Todos os peixes são animais que vivem na água”

Inferência por subalternação superalterna

I:”Alguns peixes são animais que vivem na água”

Conversão da proposição I

I:”Alguns animais que vivem na água são peixes”

Logo temos a conversão de A para I mantendo a veracidade.

A conversão da proposição O:”Todos os ovos de galinha não são não são ovos

brancos” para O:”Todos os ovos brancos não são ovos de galinha” é aúnica das

quatro que não funciona a conversão, ou que a conversão é inválida.

Deste modo temos o quadro das conversões que considera todo conversão,

possível, uma inferência dado que a veracidade da primeira leva à segunda

também verdadeira.

A: Todo S é P I: Algum P é S

E: Nenhum S é P E: Nenhum P é S

I: Algum S é P I:Algum P é S

O: Algum S não é P conversão inválida

Obversão

Na obversão as proposições universais a proposição inferida da primeira é obtida

trocando a qualidade de afirmativa para negativa, ou seja, usando o

complemento do termo predicado e mudando a designação universal de

“Todos” para “Nenhum” e vice-versa.


Nas proposições particulares mantém-se a extensão e troca-se a qualidade de

afirmativa para negativa, ou seja, usando o complemento do termo predicado.

Resultando nas seguintes obverções.

A: Todo S é P E: Nenhum S não é P

E: Nenhum S é P A: Todo S não é P

I: Algum S é P O: Algum S é P (pela dupla negação)

O: Algum S não é P I: Algum S não é P

Contraposição

Na contraposição a proposição inferida da primeira é obtida trocando o termo

sujeito pelo complemento do termo predicado e o termo predicado pelo

complemento do termo sujeito.

Fazendo a análise das proposições em linguagem natural temos que para

A:”Todos os peixes são animais que vivem na água” a contrapositiva fica como

A:”Todos os animais que não vivem na água não são peixes”, que é uma

inferência verdadeira para a proposição verdadeira dada.

Para uma proposição E:”Nenhuma galinha é animal mamífero”, sua

contrapositiva seria E:”Nenhum animal não maífero não é galinha” que não é

verdadeiro. Neste caso usamos processo semelhante a obversão e realizamos

uma subalternação antes da contraposição.

E:”Nenhuma galinha é animal mamífero”

Inferência por subalternação subalterna

O: “Alguma galinha não é animal mamífero”

Contraposição da proposição O

O: “Algum animal não mamífero não é não galinha” ou resolvendo a dupla

negação, O: “Algum animal não mamífero é galinha”

Para a proposição I:”Alguns animais que vivem na água são peixes” sua

contraposição seria ”Alguns não peixes são animais que não vivem na água” e

como sabemos existem animais não peixes e que vivem na água, logo essa

contraposição é inválida.


Para a proposição O:”Alguns ovos de galinha não são ovos brancos” sua

contraposição é O: ”Alguns ovos não brancos não, não são de galinha”,

aplicando a dupla negação O: ”Alguns ovos não brancos são de galinha” que é

verdadeiro para aproposição inicial verdadeira.

Resultando nas seguintes contaposições.

A: Todo S é P A: Todo não P não é S

E: Nenhum S é P O: Algum não P é S (pela dupla negação)

I: Algum S é P contraposição inválida

O: Algum S não é P O: Algum não P é S (pela dupla negação)

Silogismo categórico

Em um sistema dedutivo com proposições categóricas, mais de uma proposição

categórica é apresentadas como premissa. A análise das premissas através do

diagrama de Venn é uma maneira de chegar a uma inferência válida, inválida

ou indeterminada.

Apresentamos a representação dos diagramas de Venn para as proposições

categóricas, na representação geral temos que (X) significa que não há

elementos de S na região onde o símbolo se encontra, e (/) indica que há pelo

menos 1 elemento na região onde o símbolo se encontra. Deste modo temos as

seguintes interpretações

de A, temos que todos os elementos da classe S estão incluidos na classe P,

Em um argumento categórico tem-se duas premissas nas quais deve-se aplicar

o método do silogismo categórico para chegar a uma ou mais conclusões. No

silogismo categórico com duas premisas tem-se três termos o termo sujeito, o

termo predicado, já conhecidos, e o termo médio, de modo que uma das

premissas apresenta uma relação entre o termo sujeito e termo médio e a outra

entre o termo médio e o predicado.

Como exemplo podemos usar a notação S para sujeito, M para médio e P para

predicado. O diagrama utilizado para analisar o silogismo categórico é um

diagrama de Venn com a representação das três classes S,M e P como ilustra a


figura X. No silogismo catgórico para que seja possível inferir sobre a relaçao

entre S e P é necessário que o termo médio esteja distribuido nas duas

premissas.

Para exemplificar a aplicação do silogismo

categórico, vamos utilizar as seguintes

premissas:

Todo S é M

Todo M é P

O X indica que naquelas regiões não existe

elementos da classe S em relação a M, e o X

indica que naquelas regiões não existe

elementos da classe M em relação a P. O

simbolo (?) indica que não tem-se nenhuma afirmação sobre S em relação a

região, logo temos uma indefinição. Desse modo a relação de S e P é a única

intersecção entre S e P, logo Todo S é P.

Usando da conversão temos que se “Todo S é M” então “Algum M é S”, neste

caso representado pela interseção das três classes, mas nada podemos afirmar

sobre existir algum elemento da classe M que não seja S, ou seja, “Algum M não

é S” é indefinido, pois a região marcada com (?) pode ser vazia.

Outro exemplo seria com as premissas:

Algum S é M

Algum M é P

Neste caso temos um elemento de S em uma

das duas regioes de M marcadas com (/). A

seta indica que o elemento pode estar em

uma das duas marcações e não

necessariamente nas duas regiões de M.


Neste caso também temos que pelo menos um

dos elementos de M está em uma das regiões

da interseção M,P, logo não é possível afirmar

nada sobre a relação entre S e P.


Algum S é M

Nenhum M é P

Nesse argumento temos que um elemento de S

está em uma das duas regioes de M marcadas

com (/), mas como nenhum M pertence a P, então (X) anula uma das

possibilidades de S em M. Analisando o Diagrama em relação a S e P, poderíamos

dizer que “Nenhum S é P” se não fosse a incerteza (?), logo neste caso não a

relação entre S e P é indefinida.


Algum S é M

Nenhum M não é P

Neste caso podemos fazer a conversão da

segunda premissa e transforma-la em:

Todo M é P

Agora analisando o diagrama podemos inferir que

“Algum S é P” mesmo com a região de

indefinição.

Vimos exemplos onde M é predicado em uma premissa e depois sujeito em

outra. Temos situaões nas quais M é sujeito nas duas premissas.

Algum M é S

Nenhum M é P

Neste caso temos várias regiões indefinidas de

modo que a única inferência possível entre S e

P é:

Algum S não é P


Recapitulando

As proposições categóricas são classificadas em Universais e Existenciais

A: Todo S é P Universal Afirmativa

E: Nenhum S é P Universal Negativa

I: Algum S é P Particular Afirmativa

O: Algum S não é P Particular Negativa

O silogismo categórico é um argumento com duas proposições verdadeiras, ou

premissas, e uma conclusão. As premissas são do tipo universais ou existenciais

que estabelecem a relação entre três termos, o termo menos, o maior, e o

menor que aparecem uma vez em cada premissa com o termo médio presente

em duas delas.

O quadro das oposições estabelece as relações entre as proposições, sendo útil

para as inferências auxiliares no processo dedutivo do silogismo categórico.O

uso do diagrama de Venn também auxilia no silogismo categórico.


LAUSCHE, Roque. Lógica formal: Técnica deo desenvolvimento do raciocínio.

Porto Alegre: Sulina, 1997.



Atividades

Identifique os termos sujeito, médio e predicado dos seguintes silogismos

categóricos

Todos os artistas são seres criadores

Todos os seres criadores são homens

Logo, todos os artistas são homens

Termo sujeito: artistas

Termo médio: criadores

Termo predicado: homens

Alguns mamíferos são quadrúpedes

Todos os mamíferos são animais

Logo, alguns animais são quadrúpedes


Termo sujeito: animais

Termo médio: mamíferos

Termo predicado: quadrúpedes

Formule a negação das sentenças abaixo:

Nenhum filósofo é grego.

Algum filósofo é grego.

Todo brasileiro é fanático por futebol.

Algum brasileiro não é fanático por futebol.

Existem mamíferos aquáticos.

Nenhum mamífero é aquático.

Filósofos são bons matemáticos.

Algum filósofo é mau matemático.

Algumas guerras são justas.

Nenhuma guerra é justa.

Determine os silogismos categóricos quantificando S em relaçao a P

Todo M não é S

Todo P é M

Algum M é S

Todo M é P

Verifique a validade dos silogismos categóricos

Nenhum S é M

Todo P é M

Algum S é P

Falso

Todo S não é M

Todo M é P

Todo S não é P

Verdadeiro

Construa os diagramas de Venn dos seguintes silogismos categóricos

Algum S é M

Nenhum M não é P

Algum S é P


Todo S é M

Todo P não é M

Nenhum P é S

Gabarito

Identifique os termos sujeito, médio e predicado dos seguintes silogismos

categóricos

Termo sujeito: artistas

Termo médio: criadores

Termo predicado: homens

Termo sujeito: animais

Termo médio: mamíferos

Termo predicado: quadrúpedes

Formule a negação das sentenças abaixo:

Nenhum filósofo é grego.

Algum filósofo é grego.

Todo brasileiro é fanático por futebol.

Algum brasileiro não é fanático por futebol.

Existem mamíferos aquáticos.

Nenhum mamífero é aquático.

Filósofos são bons matemáticos.

Algum filósofo é mau matemático.

Algumas guerras são justas.

Nenhuma guerra é justa.

Determine os silogismos categóricos quantificando S em relaçao a P

Todo M não é S

Todo P é M

Todo S não é P

Algum M é S

Todo M é P

Algum S é P

Verifique a validade dos silogismos categóricos

Falso

Verdadeiro


Construa os diagramas de Venn dos seguintes silogismos categóricos

Algum S é M

Nenhum M não é P

Algum S é P

Todo S é M

Todo P não é M

Nenhum P é S


Tablês Semânticos






Introdução

Estudamos o Sistema de dedução natural, a Lógica de predicados e Silogismos

categóricos sendo possível chegarmos a uma conclusão. Nos Tablôs semânticos

é possível verificar a veracidade do argumento mas para tal é necessário que

se tenha, além das premisas, a conclusão. Neste capítulo estudaremos como

construir os tablês semânticos para a Cálculo Proposicional Clássico (CPC), cujas

proposições não envolvem quantificadores e para o Cálculo Quantificacional

Clássico (CQC), que envolvem os quantificadores.

Tablô Semântico

Os tablôs semanticos ou árvores semântica foi desenvolvido por Evert Willem

Beth como um sistema de dedução formal de conhecimento como um modo

alternativo a verificação por tabelas verdade e o cálculo proposisional.

A verificação das tautologias em um argumento complexo pode ser demasiado

trabalhoso para ser realizado por tabelas verdade e os tablôs semânticos são

uma alternativa para o cálculo proposicional.

Os tablôs semânticos são um sistema de dedução que estabelece estruturas que

possibilitam a representação e a dedução formal de conhecimento. Para o

cálculo proposicional, através de tablôs semânticos, definem-se os seguintes

elementos básicos:

alfabeto da Lógica Proposicional;

conjunto das fórmulas da Lógica Proposicional

conjunto de regras de dedução.

O alfabeto e as fórmulas são as mesmas do cálculo proposicional clássico, o que

difere é como são apresentadas as regras de dedução que definem o mecanismo

de inferência, permitindo a dedução dos argumentos. São apresentados os


Como exemplo podemos verificar o argumento do silogismo disjuntivo.

¬B ∧ (A ∨ B) ⇒ A.

Temos que a validade de argumento pode ser verificada reescrevendo o mesmo

como uma implicação lógica de modo que, ¬B ∧ (A ∨ B) → A, seja uma

tautologia, logo o método do tablô semântico consiste em verificar a validade

do argumento por redução ao absurdo, ou seja, provar que a negação do

argumento é uma contradição.

Deste modo o argumento é negado e, utilizando das regras de inferência,

constroe-se a árvore semântica (tablô semântico) buscando por inferências

contraditórias que permite concluir que a hipótese é inválida, ou que o

argumento, sem negar, é válido.

Para o exemplo, a primeira coisa a ser realizada é adotar que o argumento é

falso, a seguir aplica-se as regras de inferência. Neste caso aplicamos a regra

de inferência para a negação da implicação lógica que resulta nas linhas 2 e 3.

A seguir usa-se na linha 2 a inferência da conjunção que resulta nas linhas 4 e

5. Depois usamos na linha 5 a inferência da disjunção que nos leva a ramificação

em 6.

Verificamos então que o ramo da esquerda contradiz a linha 3 e o ramo da

direita contradiz a linha 4, logo os 2 ramos são uma contradição, logo a hipótese

inicial ¬(¬B ∧ (A ∨ B) → A) é falsa, o que leva ao argumento inicial

B ∧ (A ∨ B) → A como verdadeiro.

Argumento (¬B ∧ (A ∨ B)) → A

negação do argumento ¬ ((¬B ∧ (A ∨ B)) → A) ok

inferência de 1 ¬B ∧ (A ∨ B) ok

inferência de 1 ¬A

inferência de 2 ¬B

inferência de 2 A ∨ B ok

inferência de 5 / \

A B

Contradição com a linha 3


Ressalta-se que as inferências não podem ser utilizadas mais de uma vez

(convém fazer uma marcação para indicar o uso da mesma, no material utilizou-


se um ok), e todos os ramos devem terminar em uma contradição para que o

argumento seja considerado uma tautologia. Caso um dos ramos não seja uma

contradição então o argumento é uma contingência, ou indeterminação.

Como próximo exemplo apresenta-se o método da afirmação resolvido pelo

tablô semântico. Neste caso o argumento é A ∧ (A → B) ⇒ B, logo a hipótese

pela redução ao absurdo e que deve ser provado como contradição é

¬ ((A ∧ (A → B)) → B).

Argumento A ∧ (A → B) → B

negação do argumento ¬(A ∧ (A → B) → B) ok

inferência de 1 A ∧ (A → B) ok


inferência de 2 A

inferência de 2 A → B ok


¬A B



Para o método da negação no tablô semântico, cujo o argumento é

¬B ∧ (A → B) → A, temos a hipótese pela redução ao absurdo que

¬(¬B ∧ (A → B) → A).

Argumento ¬B ∧ (A → B) → ¬A

negação do argumento ¬(¬B ∧ (A → B) → ¬A) ok

inferência de 1 ¬B ∧ (A → B) ok

inferência de 1 A


inferência de 2 A → B ok


¬A B




Para De Morgan no tablô semântico, cujo o argumento é

¬(A ∧ B) → (¬A ∨ ¬B), temos a hipótese pela redução ao absurdo que

¬(¬(A ∧ B) → (¬A ∨ ¬B)).

Argumento ¬(A ∧ B) → (¬A ∨ ¬B)

negação do argumento ¬(¬(A ∧ B) → (¬A ∨ ¬B)) ok

inferência de 1 ¬(A ∧ B) ok

inferência de 1 ¬(¬A ∨ ¬B) ok

inferência de 3 A

inferência de 3 B


¬A ¬B



Para o caso de uma contingência verificamos que não temos uma contradição

no fim da árvore. Para o argumento (¬(A ∧ B) ∧ ((A ∧ B) → C)) ⇒ ¬C temos o

seguinte tablô semântico.

Argumento (¬(A ∧ B) ∧ ((A ∧ B) → C)) → ¬C

negação do argumento

¬ ((¬(A ∧ B) ∧ ((A ∧ B) → C)) → ¬C) ok

inferência de 1 ¬(A ∧ B) ∧ ((A ∧ B) → C) ok

inferência de 1 ¬C

inferência de 2 ¬(A ∧ B) ok

inferência de 2 (A ∧ B) → C ok


¬(A ∧ B) C


inferência de 6 a esquerda

/ \ Contradição com a linha 3

¬A ¬B

inferência de 4 a esquerda

¬A ¬B

contigência contigência

Neste exemplo temos o ramo da direita terminando em contradição, mas os

dois ramos que derivam a esquerda em 5 não terminam em contradição, o que

define a hipótese como uma contigência, logo o argumento inicial não é uma

tautologia.

Esses exemplos apresentam a construção de tablôs semânticos para proposições

dentro do Cálculo Proposicional Clássico (CPC), cujas proposições não envolvem

quantificadores. Para o Cálculo Quantificacional Clássico (CQC) os tablôs

semânticos seguem as mesmas regras que no CPC com a adição de regras para

a identidade dentro da estrutura lógica com quantificadores. instanciação das

variáveis livre para a valoração da veracidade ou falsidade das premissas.

Como no CPC as regras são aos pares, uma inferência e negação da mesma, e

que agora se apresentam em conjunto com os quantificadores, Universal e

Existencial.

Deste modo em uma estrutura lógica U para a linguagem L do cálculo de

predicados pode-se definir se uma fórmula é verdadeira ou falsa ao se formar

L(U), ou seja, caracterizar cada um dos elementos do universo de U e verificar

a validade de U.

No CQC as regras que envolvem quantificadores e a instanciação são definidas

considerando a veracidade e falsidade das proposições de acordo com os

quantificadores universal e existencial, totalizando quatro regras.

Para ∀xA(x) V, tem-se A(x|t) V, para qualquer t do Universo

Para ∀𝑥𝐴(𝑥) F, tem-se 𝐴(𝑥|𝑡) F, para k novo no ramo

Para ∃xA(x) V, tem-se A(x|t) V, para k novo no ramo

Para ∃xA(x) F, tem-se A(x|t) F, para qualquer t do Universo

Verifica-se que a primeira regra é uma proposição universal, pois se é verdade

que todos os elementos do conjunto universo possuem a propriedade A, então

é verdade que um elemento qualquer nominado em A.

De modo similar temos que a quarta regra é uma proposição universal, pois

usando das equivalências lógicas para a negação de quantificadores temos que


a negação do existencial é um universal, ¬∃xA(x) ⇔ ∀x¬A(x), logo se não

existe pelo menos um elemento do conjunto universo que possua a propriedade

A, então todos não possuem a propriedade.

Para a segunda regra usando também a equivalência da negação de

quantificadores, temos que, apesar do quantificador universal a proposição é

existencial, pois ¬∀xA(x) ⇔ ∃x¬A(x).

Na segunda e terceira regra tem-se de tomar cuidados na instanciação dos

quantificadores para não cair em uma falácia. No processo de construção do

tablô semântico deve-se ter o cuidado de não instanciar proposições com

quantificadores existenciais com uma constante já utilizada, isso porque se uma

contantante t que satisfaz, em uma instanciação anterior, uma determinada

proposição, pode não satisfazer a proposição existencial.

Quando o argumento tiver uma proposição existencial e as demais universais,

convém, sempre que possível, iniciar as instanciações pela proposição

existencial, pois se algum t atende uma proposição existencial, é verdadeiro

que ele atende a proposição universal.

Quando houverem mais de uma proposição existêncial a cada instanciação

inclui-se uma nova constante que deve ser verificada nas demais proposições.

Para melhor aplicação das regras de inferência envolvendo os quantificadores,

adota-se a notação:

∀xA(x)V → A(x|t)V ⇔ ∀xA(x) → A(t) Instanciação Universal (IU)

∀xA(x)F → A(x|t)F ⇔ ¬∀xA(x) → ¬A(t) Instanciação Existencial (IE)

∃xA(x)V → A(x|t)V ⇔ ∃xA(x) → A(t) Instanciação Existencial (IE)

∃xA(x)F → A(x|t)F ⇔ ¬∃xA(x) → ¬A(t) Instanciação Universal (IU)

Para as regras verdadeiras a troca é direta e de fácil compreensão, para

entender a notação utilizada nas proposições falsas exemplificamos com o

segundo caso onde temos que é falso que ∀xA(x), logo é verdade a negação da

mesma, ous eja, é verdadeiro que ¬∀xA(x).

Algumas literaturas trabalham indicando F ou V na frente das proposições, o

autor prefere o uso somente da notação com os operadores lógicos no cálculo

proposicional evitanto interpretações equivocadas durante as inferencias.

As regras de inferência com os operadores no CQC são as mesmas do CPC,

tomando o devido cuidado na ordem de aplicação das instanciações e das regras

de inferência.


Regra do CPC Certo Errado Primeiro se faz a instanciação

¬(A ∨ B)

¬A

¬B

¬(∀xA(x) ∨ ∀xB(x))

¬∀xA(x)

¬∀xB(x)

¬∀x(A(x) ∨ B(x))

¬∀xA(x)

¬∀xB(x)

¬(A(c) ∨ B(c))

¬A(c)

¬B(c)

Para exemplificar verificaremos uma tautologia somente com proposições

universais que torna fácil a construção do tablô semântico. Para a implicação

lógica ∀x (A(x) → B(x)) ⇒ (∀xA(x) → ∀xB(x)) e verificar-se-á se

∀x (A(x) → B(x)) → (∀xA(x) → ∀xB(x)) é uma tautologia.

argumento ∀x (A(x) → B(x)) → (∀xA(x) → ∀xB(x))


¬ (∀x (A(x) → B(x)) → (∀xA(x) → ∀xB(x))) ok

inferência de 1 ∀x (A(x) → B(x)) ok

inferência de 1 ¬(∀xA(x) → ∀xB(x)) ok

inferência de 3 ∀xA(x) ok

inferência de 3 ¬∀xB(x) ok

IE de 5 ¬B(t)

IU de 4 A(t)

IU de 2 A(t) → B(t) ok


¬A(t) B(t)

inferência de 9 Contradição de 6 Contradição de 7

Verifica-se que todos os ramos terminam em contradição, logo a hipótese da

negação do argumento, é falsa que leva a ser verdadeiro o argumento. Observa-

se que na linha 2 primeiro é feita a instanciação universal para depois, em 8 ser

feita a inferência o condicional.

Ressalta-se que na linha 5 tem-se a primeira instanciação que é realizada para

a proposição existencial, neste caso a constante t pode ser utilizada nas demais

instanciações pois as mesmas são universais.


Agora apresenta-se uma falácia, ou seja, um argumento que não é uma

tautologia. Observamos que em linguagem natural a sentença se apresenta

como argumento aparentemente válido. São essas interpretações equivocadas

que facilmente acabam com a veracidade de um argumento complexo, por isso

as provas devem fazer uso dos instrumentos da lógica que validam de maneira

irrefutável um argumento.

Para exemplificar uma falácia, apresenta-se uma implicação lógica que não é

uma tautologia ∀x (A(x) ∨ B(x)) ⇒ (∀xA(x) ∨ ∀xB(x)).

argumento ∀x (A(x) ∨ B(x)) → (∀xA(x) ∨ ∀xB(x))


¬ (∀x (A(x) ∨ B(x)) → (∀xA(x) ∨ ∀xB(x))) ok

inferência de 1 ∀x (A(x) ∨ B(x)) ok

inferência de 1 ¬ ((∀xA(x) ∨ ∀xB(x))) ok

inferência de 3 ¬∀xA(x) ok

inferência de 3 ¬∀xB(x) ok

IE de 4 para x|a ¬A(a)

IE de 5 para x|b ¬B(b)

IU de 2 para x|a A(a) ∨ B(a) ok


A(a) B(a)

inferência de 9 Contradição de 6

IU de 2 para x|a

/ \

A(b) B(b)

inferência de 9 Contingência Contradição de 7

Verifica-se que temos proposições existenciais nas linhas 4 e 5 que são

instanciadas em 6 e 7, a instanciação de 4 em 6 é realizada valorando a

proposição com a constante “a”, na instanciação de 5 em 7 usa-se “b” pois não


há a garantia de que a constante “a” atende a proposição B(x). Essas

instanciações exigem que a proposição universal 2 seja instanciada por “a” e

“b” e verificar a contradição em todas os ramos, fato que não ocorre nesse

argumento.

Agora verificaremos a tautologia do argumento anterior com quantificadores

existenciais, ∃x (A(x) ∨ B(x)) ⇒ (∃xA(x) ∨ ∃xB(x)).

argumento ∃x (A(x) ∨ B(x)) → (∃xA(x) ∨ ∃xB(x))


¬ (∃x (A(x) ∨ B(x)) → (∃xA(x) ∨ ∃xB(x))) ok

inferência de 1 ∃x (A(x) ∨ B(x)) ok

inferência de 1 ¬ ((∃xA(x) ∨ ∃xB(x))) ok

inferência de 3 ¬∃xA(x) ok

inferência de 3 ¬∃xB(x) ok

IU de 2 para x|a A(a) ∨ B(a) ok


A(a) B(a)

IU de 4 e 5 para x|a ¬A(a) ¬B(a)

inferência de 9 Contradição de 7 Contradição de 7

Verifica-se que temos proposições com quantificadores existenciais nas linhas

2 e 3, mas depois de aplicar a inferência da negação da disjunção em 3 temos

que as proposições em 4 e 5 são universais. Deste modo inicia-se a instanciação

de 2 por ser a única proposição existencial valorando com a constante “a” que

depois é utilizada em 4 e 5 pois as mesmas são proposições universais mesmo

com os quantificadores existenciais. Deste modo todos os ramos do tablô geram

contradições, que com consequência leva o argumento a ser verdadeiro.

Outro exemplo de um silogismo é verificação da implicação lógica

∃x (A(x) → B(x)) ⇒ (∃xA(x) → ∃xB(x)) que não sera uma tautologia.

argumento ∃x (A(x) → B(x)) → (∃xA(x) → ∃xB(x))



¬ (∃x (A(x) → B(x)) → (∃xA(x) → ∃xB(x))) ok

inferência de 1 ∃x (A(x) → B(x)) ok

inferência de 1 ¬(∃xA(x) → ∃xB(x)) ok

inferência de 3 ∃xA(x) ok

inferência de 3 ¬∃xB(x) ok

IE de 4 A(a)

IE de 2 A(b) → B(b) ok


¬A(b) B(b)

IU de 5 ¬B(a) ¬B(b)

inferência de 9 Contingência Contradição de 8

Verifica-se que as instanciações em 6, 8 e 9 não terminam em contradição, logo

o argumento não é uma tautologia. Note que a instanciação de 5 em 9 ocorre

para as duas variáveis “a” e “b” que foram indroduzinas nas instanciações das

duas proposições existenciais 6 e 7, ressalta-se que as mesmas por serem

existenciais exigem a introdução de duas constates diferentes.

Recapitulando

Os tablôs semânticos são uma poderosa ferramenta para o cálculo proposicional

clássico e cálculo quantificado clássico, por verificar somente as situações

verdadeiras, seu processo é mais otimizado e utilizado na computação para

verificação de algoritmos.

Diferente da dedução natural que é possível utilizar qualquer uma das

inferencias, durante o processo dedutivo, desde que todas as premissas tenha

sido utilizadas, nos tablôs semânticos trabalha-se com as premissas e a

conclusão, ou implicação lógica. Neste caso verifica-se se não há uma falha no

processo dedutivo e se a conclusão é verdadeira para as premissas dadas.

Neste processo usa-se da redução ao absurdo, adotando a hipótese da conclusão

ser falsa e , se todos os ramos terminarem um uma contradição, então sendo

falsa a hipótese tem-se como verdadeira a conclusão inicial.



MORTARI, Cezar A. Introdução à lógica. São Paulo: Unesp, 2001.

BOOLOS, George S.;BURGESS, John; JEFFREY, Richard C. Computabilidade e

Lógica. São Paulo: Unesp,2013


Atividade

Use tablôs semânticos no CPC e confirme as implicações lógicas

(A → (B → C)) ∧ (A → B) ∧ A ⇒ C

(A → B) ∧ ((A ∧ B) → C) ∧ ¬(A ∧ C) ⇒ ¬A

(A → B) ∧ (B→C) ∧ (D → F) ∧ (A ∧ D) ⇒ C ∧ F

Usando dos tablôs semânticos determine se os argumentos são válidos ou

não.

(∃xA(x) ∧ ∀xB(x)) ⇒ ∃x(A(x)∧B(x))

∃x(A(x)→B(x)) ∧ ∀xA(x) ⇒ ∃xB(x)

∃x(A(x)∧B(x)) ⇒ (∃xA(x) ∧ ∃xB(x))


Gabarito de Atividade

Use tablôs semânticos no CPC e confirme as implicações lógicas

(A → (B → C)) ∧ (A → B) ∧ A ⇒ C

Argumento ((A → (B → C)) ∧ (A → B) ∧ A) → C

1 ¬((A → (B → C) ∧ (A → B) ∧ A) → C) ok

2 (A → (B → C) ∧ (A → B) ∧ A) ok

3 ¬C ok

4 A ok

5 (A → B) ok

6 A → (B → C) ok

/ \

7 ¬A B ok

Contradição com 4

/ \

8 ¬A B → C ok

9 Contradição com 4

¬B C ok

Contradição com 7

Contradição com 3


(A → B) ∧ ((A ∧ B) → C) ∧ ¬(A ∧ C) ⇒ ¬A

Argumento (A → B) ∧ ((A ∧ B) → C) ∧ ¬(A ∧ C) → ¬A

1 ¬ ((A → B) ∧ ((A ∧ B) → C) ∧ ¬(A ∧ C) → ¬A ) ok

2 A ok

3 (A → B) ∧ ((A ∧ B) → C) ∧ ¬(A ∧ C) ok

4 (A → B) ok

5 ((A ∧ B) → C) ok

6 ¬(A ∧ C) ok

/ \

7 ¬A B ok

Contradição com 2 / \

8 ¬(A ∧ B) C ok

/ \ / \

9 ¬A ¬B ¬A ¬C ok

Contradição com 2

Contradição com 7

Contradição com 2

Contradição com 8


(A → B) ∧ (B→C) ∧ (D → F) ∧ (A ∧ D) ⇒ C ∧ F

Argumento (A → B) ∧ (B→C) ∧ (D → F) ∧ (A ∧ D) → C ∧ F

1 ¬ (((A → B) ∧ (B → C) ∧ (D → F) ∧ (A ∧ D))

→ C ∧ F)

OK

2 I 1 ¬(C ∧ F) OK

3 I 1 ((A → B) ∧ (B → C) ∧ (D → F) ∧ (A ∧ D)) OK

4 I 3 (A ∧ D) OK

5 I 3 (D → F) OK

6 I 3 (A → B) OK

7 I 3 (B → C) OK

8 I 4 A

9 I 4 D

/ \

10 I 5 ¬D F OK

Contradição com 9

/ \

11 I 2 ¬C ¬F OK

12 I 7 ¬B C Contradição com 10

¬A B Contradição com 11

Contradição com 8

Contradição com 12


Usando dos tablôs semânticos determine se os argumentos são válidos ou

não.

(∃xA(x) ∧ ∀xB(x)) ⇒ ∃x(A(x)∧B(x))

Argumento (∃xA(x) ∧ ∀xB(x)) → ∃x(A(x) ∧ B(x))

1 ¬ ((∃xA(x) ∧ ∀xB(x)) → ∃x(A(x) ∧ B(x)))

2 I 1 (∃xA(x) ∧ ∀xB(x))

3 I 1 ¬∃x(A(x) ∧ B(x))

4 I 2 ∃xA(x)

5 I 2 ∀xB(x)

6 IE 4 A(a)

7 IU 5 B(a)

8 IU 3 ¬(A(a) ∧ B(a))

/ \

9 ¬A(a) ¬B(a)

Contradição de 6 Contradição de 7


∃x(A(x)→B(x)) ∧ ∀xA(x) ⇒ ∃xB(x)

Argumento ∃x(A(x) → B(x)) ∧ ∀xA(x) → ∃xB(x)

1 ¬ ((∃x(A(x) → B(x)) ∧ ∀xA(x)) → ∃xB(x))

ok

2 I 1 (∃x(A(x) → B(x)) ∧ ∀xA(x)) ok

3 I 1 ¬∃xB(x) ok

4 I 2 ∃x(A(x) → B(x)) ok

5 I 2 ∀xA(x) ok

6 IE 4 A(a) → B(a) ok

/ \

7 ¬A(a) B(a) ok

IU 5 A(a) |

IU 3 Contradição de 7 ¬B(a)

Contradição de 7

∃x(A(x)∧B(x)) ⇒ (∃xA(x) ∧ ∃xB(x))

Argumento ∃x(A(x) ∧ B(x)) → (∃xA(x) ∧ ∃xB(x))

1 ¬ (∃x(A(x) ∧ B(x)) → (∃xA(x) ∧ ∃xB(x))) ok

2 I 1 ∃x(A(x) ∧ B(x)) ok

3 I 1 ¬(∃xA(x) ∧ ∃xB(x)) ok

4 IE 2 A(a) ∧ B(a) ok

5 I 4 A(a) ok

6 I 4 B(a) ok

/ \

7 I 3 ¬∃xA(x) ¬∃xB(x) ok

8 IU 7 ¬A(a) ¬B(a)

Contradição de 5 Contradição de 6




Bom trabalho, professor-autor!

Ao finalizar a produção, envie este arquivo para o e-mail

conteú[email protected] com o nome da disciplina no assunto.

A entrega dos textos originais será aceita apenas se todos os capítulos estiverem

em um único arquivo com todas as seções preenchidas.

Caso tenha dúvidas sobre a produção do livro didático, entre em contato com

o LAC ou com a coordenação do seu curso.

LAC – Prédio 11, sala 123

Fone: 3462.9534 (direto) ou 3477.4000 Ramal: 9534 / 2844

[email protected]

Equipe LAC - EAD

Claudiane Furtado – Coordenadora

Luiz Specht – Coordenador Adjunto

Gerson Brisolara – Jornalista

Aline Guterres – Jornalista

Rafaele Caroline da Silva – Jornalista

Jeane Oliveira – Jornalista

Vanessa Ramos Furtado da Silva –

Jornalista

Cristiano Lopes – Animador 3D

Felipe Pereira – Programador

Ane Sefrin Arduim – Revisora de

Textos

Igor Campos Dutra – Revisor de

Textos

Jonatan Souza – Diagramador

Marcelo Ferreira – Diagramador

Rogério Lopes – Ilustrador

Joe Beck – Desenhista

Jeferson Nunes – Líder II

(responsável operações/edições)

Tiago Pereira – Operador de Câmera

mailto:[email protected]


Celso Rodrigues – Repórter

Cinematográfico

Jonas Pinheiro – Assistente de

Produção

Douglas Coutinho – Editor VT

Guilherme Oliveira – Editor de vídeo

Klaus Frantz – Editor de vídeo

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LÓGICA DOS PREDICADOS · Lógica de Predicados Introdução A Disciplina de Lógica de Predicados tem por objetivo familiarizar o aluno com lógica formal, de maneira a desenvolver