correlação

1 Professor Mauricio Lutz

CORRELAO Em muitas situaes, torna-se interessante e til estabelecer uma relao entre duas ou mais variveis. A matemtica estabelece vrios tipos de relaes entre variveis, por exemplo, as relaes funcionais e as correlaes. Relaes Funcionais So relaes matemticas expressas por sentenas matemticas, como por exemplo: rea do retngulo (A=a.b) a relao entre os lados do retngulo; Densidade de massa (dm= m/v) a relao entre a massa e o volume de um corpo; Permetro de uma circunferncia (C=2R) a relao entre o comprimento da circunferncia e o valor do raio. Relaes Estatsticas e Correlaes So relaes estabelecidas aps uma pesquisa. Com base nos resultados da pesquisa, so feitas comparaes que eventualmente podem conduzir (ou no) ligao entre as variveis. Exemplo: relao entre a idade e a estatura de uma criana, ou a relao entre a classe social de uma pessoa e o nmero de viagens por ela realizado. No estudo estatstico, a relao entre duas ou mais variveis denominase correlao. A utilidade e importncia das correlaes entre duas variveis podem conduzir descoberta de novos mtodos, cujas estimativas so vitais em tomadas de decises. Em outras palavras quando duas variveis esto ligadas por uma relao estatstica, dizemos que existe correlao entre elas. 1) Diagrama de disperso O diagrama de disperso um grfico cartesiano em que cada um dos eixos corresponde s variveis correlacionadas. A varivel dependente (Y) situa-se no eixo vertical e o eixo das abscissas reservado para a varivel independente (X). Os pares ordenados formam uma nuvem de pontos. A configurao geomtrica do diagrama de disperso pode estar associada a uma linha reta (correlao linear), uma linha curva (correlao curvilnea) ou, ainda, terInstituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br


os pontos dispersos de maneira que no definam nenhuma configurao linear; nesta ltima situao, no h correlao.100 50 0 0 5 10 100 50 0 0 5 10

Correlao Linear

Correlao Curvilnea

2) Correlao Linear Correlao linear uma correlao entre duas variveis, cujo grfico aproxima-se de uma linha. uma linha de tendncia, porque procura acompanhar a tendncia da distribuio de pontos, que pode corresponder a uma reta ou a uma curva. Por outro lado, , tambm, uma linha mdia, porque procura deixar a mesma quantidade de pontos abaixo e acima da linha.

Correlao linear positiva

Correlao linear negativa

No h correlao Para definir se a correlao entre as variveis corresponde a uma linha reta ou a uma curva, pode-se utilizar modos qualitativos ou quantitativos. No modo qualitativo, vai imperar o bom senso do pesquisador para verificar qual o grau de intensidade na correlao entre as variveis; isso significa o estabelecimento de uma relao numrica que medir o nvel da correlao.Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br


3) Coeficiente de Correlao Linear O instrumento empregado para a medida da correlao linear o coeficiente de correlao. Este coeficiente deve indicar o grau de intensidade de correlao entre duas variveis e, ainda, o sentido dessa correlao (positiva ou negativa). Uma das formas de medir o coeficiente de correlao linear foi desenvolvido por Pearson e recebe o nome de coeficiente de correlao de Pearson. O coeficiente de correlao de Pearson mede o grau de ajustamento dos valores em torno de uma reta. Coeficiente de Correlao de Pearson (r):

r=onde temos:

[n x

n xi y i ( xi )( y i ) .2 i 2

( xi ) . n y i2 ( y i )

][

2

]

r o coeficiente de Pearson;

n o nmero de observaes;xi a varivel independente; yi a varivel dependente. O valor do coeficiente de correlao r tem a variao entre +1 e 1, ou seja, est limitado entre os valores do Intervalo[1,+1]. r = +1 (correlao positiva entre as variveis); r = 1 (correlao perfeita negativa entre as variveis); r = 0 (no h correlao entre as variveis ou, ainda, a correlao no linear, caso exista). Quanto mais prximo o valor de r estiver do valor 1, mais forte a correlao linear. Quanto mais prximo o valor de r estiver do valor 0, mais fraca a correlao linear. Em geral, multiplica-se o valor de r por 100; dessa forma, o resultado passa a ser expresso em porcentagem. Na prtica, estabelecem-se critrios para verificar os diversos nveis do fraco ao forte, chegando at o perfeito: 0 < |r| < 0,3 : a correlao fraca e fica difcil estabelecer relao entre as variveis. Em porcentagem: 0% < |r| < 30%;Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br


0,3 |r| < 0,6 : a correlao fraca, porm, podemos considerar a existncia de relativa correlao entre as variveis. Em porcentagem: 30% |r| < 60%; 0,6 |r| < 1 : a correlao de mdia para forte; a relao entre as variveis significativa, o que permite coerncia com poucos conflitos na obteno das concluses. Em porcentagem: 60% |r| 100%.

4) Teste de hiptese para a existncia de correlao Para aplicar o teste de hiptese para existncia de correlao linear, necessrio que as variveis populacionais (X, Y) tenham distribuio normal bivariada. Quando as amostras forem superiores a 30, a hiptese de normalidade das duas variveis razoavelmente atendida. O coeficiente de correlao linear da populao (X, Y) designado (ler R). Se o teste indicar a rejeio da hiptese = 0 , poderemos concluir que existe correlao entre as variveis ao nvel de significncia admitido. Eis o procedimento para realizar o teste: (1) H0: = 0 H1: 0 (2) Fixar e escolher uma distribuio t de Student com = n 2 graus

de liberdade. (3) Determinar as regies de rejeio e aceitao para H0, com auxilio da tabela t de Student.

(4) Calculo do valor da varivel: t cal = (5) Concluso:Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br

r n2 1 r2


Se t cal > t ou t cal > t , rejeita-se H0, concluindo, com risco2 2

, que h

correlao entre as variveis. Se t t cal t , no se pode rejeita-se H0, concluindo que h2 2

correlao entre as variveis. Exemplos: a) Uma pesquisa pretende verificar se h correlao significativa entre o peso total do lixo descartado, por dia, numa empresa com o peso do papel contido nesse lixo.Hotel Peso total Peso do papel H1 10,47 2,43 H2 19,85 5,12 H3 21,25 6,88 H4 24,36 6,22 H5 27,38 8,84 H6 28,09 8,76 H7 33,61 7,54 H8 35,73 8,47 H9 38,33 9,55 H10 49,14 11,43

De acordo com os dados, fazemos a representao grfica. Os pares ordenados formam o diagrama de disperso.

Correlao entre o peso total do lixo descartado e o peso do papel contido nesse lixo Para se verificar o grau de correlao entre as variveis, calcula-se o coeficiente de correlao linear pela frmula do coeficiente de correlao de Pearson:

r=

[n x

n xi y i ( xi )( y i ) .2 i 2

( xi ) . n y i2 ( y i )

][

2

]

Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br


Para facilitar o clculo construmos a seguinte tabela:Pesototal( xi ) H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10 10,47 19,85 21,25 24,36 27,38 28,09 33,61 35,73 38,33 49,14 288,21 Pesodopapel( y i ) 2,43 5,12 6,88 6,22 8,84 8,76 7,54 8,47 9,55 11,43 75,24

xi . y i 25,44 101,63 146,20 151,52 242,04 246,07 253,42 302,63 366,05 561,67 2396,68

x i2 109,62 394,02 451,56 593,41 749,66 789,05 1129,63 1276,63 1469,19 2414,74 9377,52

y i2 5,90 26,21 47,33 38,69 78,15 76,74 56,85 71,74 91,20 130,64 623,47

r= r= r=

[n x

. n xi yi ( xi )( yi )2 i 2

( xi ) . n yi2 ( yi )2

][

2

]2

[10 x9377,52 (288,21) ]x[10 x623,47 (75,24 ) ]( 23966 ,8) ( 21684 ,9) 2281,83 = = 0,9206 [93775,2 83065 ]x[6234,7 5661,06] 2478,57

(10 x 2396 ,68) ( 288,21x 75,24)

r = 0,9206 ou r = 92,06%

Observamos, assim: 0,6 r 1 . Esse resultado indica que h uma forte correlao entre as variveis ou, ainda, que a correlao entre as duas variveis bastante significativa. Nesse caso, podemos concluir haver coerncia na afirmao de que existe correlao entre o peso total do lixo descartado e o peso do papel contido nesse lixo. Realizando o teste de hiptese com um =5% temos: (1) H0: = 0 H1: 0 (2) = 5% e Graus de liberdade: = n 2 = 10 2 = 8



(3) Regies de rejeio e aceitao para H0.

(4) Clculo do valor da varivel: t cal =

r n2 1 r2

=

0,9206 10 2 1 (0,9206) 2

=

2,6039 = 6,6679 0,3905

(5) Concluso: Como t cal > 2,3060 , rejeita-se H0, concluindo, com riso de 5%, que h correlao entre o peso total de lixo descartada com o peso total de papel contido neste lixo, ou ainda, existe uma correlao positiva entre X e Y, significa que as variveis so diretamente proporcionais, portando quanto maior o lixo produzido maior ser a quantidade de papel contida neste lixo.

b) Consideremos uma amostra aleatria, formada por dez dos 98 alunos de uma classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em matemtica e estatstica:Nmeros 01 08 24 38 44 58 59 72 80 92 Notas Matemtica ( xi ) 5,0 8,0 7,0 10,0 6,0 7,0 9,0 3,0 8,0 2,0 Estatstica ( y i ) 6,0 9,0 8,0 10,0 5,0 7,0 8,0 4,0 6,0 2,0

Vamos verificar a correlao primeiro fazendo um diagrama de disperso:



Correlao entre as notas de matemtica e estatstica

Nmeros 01 08 24 38 44 58 59 72 80 92

Notas Matemtica( xi ) 5,0 8,0 7,0 10,0 6,0 7,0 9,0 3,0 8,0 2,0 65 Estatstica( y i ) 6,0 9,0 8,0 10,0 5,0 7,0 8,0 4,0 6,0 2,0 65

xi . y i 30 72 56 100 30 49 72 12 48 4 473

x i2 25 64 49 100 36 49 81 9 64 4 481

y i2 36 81 64 100 25 49 64 16 36 4 475

r= r= r=

[n x

n x i y i ( x i )( y i ) .2 i 2

( x i ) . n y i2 ( y i )2 2

][

2

]= 505 = 0,9112 554,18

[10 x 481 (65) ]x[10 x475 (65) ][4810 4225]x[4750 4225 ]( 4730 ) ( 4225) = 505 585 x525

(10 x 473) (65 x 65)

Portanto r = 0,9112 ou r = 92,12% , o que resulta uma correlao positiva altamente significativa entre as duas variveis. Realizando o teste de hiptese com um =5% temos: (1) H0: = 0 H1: 0Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br


(2) = 5% e Graus de liberdade: = n 2 = 10 2 = 8 (3) Regies de rejeio e aceitao para H0.


r n2 1 r2

=

0,9112 10 2 1 (0,9112) 2

=

2,5773 = 6,2560 0,4120

(5) Concluso: Como t cal > 2,3060 , rejeita-se H0, concluindo, com riso de 5%, que h correlao entre as notas de matemtica e estatstica, ou ainda, existe uma correlao positiva entre X e Y, significa que as variveis so diretamente proporcionais, portando quanto maior a nota de matemtica maior ser a nota de estatstica.

Exerccios 1)Complete o esquema de clculo do coeficiente de correlao para os valores das variveis xi e yi : xi yi Temos: xi4 ........ ........ ........ 12 4 12 6 10 8 8 10 12 12 14

yi12 ........ ........ ........ 14

xi . y i48 ........ ........ ........ 168

x i216 ........ ........ ........ 144

y i2144 ........ ........ ........ 196

=........

=........

=........

=........

=........



Logo:

r= r=

[........ x........ ........]x[........ x........ ........] [........ ........]x[........ ........]........ ........ = ........ ........ x........ = ........ = ........ ........

(........ x........) (........ x........)

Donde r = 0,42 . A correlao linear entre as variveis x e y positiva, porm fraca. 2) Correlacionar os valores de produo leiteira e o teor de gordura de animais bovinos da fazenda Pica Pau Amarelo.Produo (kg) 10 12 14 17 19 22 25 Teor de Gordura (%) 6,0 5,7 5,3 5,2 5,0 4,7 4,5

3) Para os dados abaixo: a) Desenhe o diagrama de disperso; b) Calcule o coeficiente de correlao de Pearson e interprete. c) Teste o coeficiente encontrado na letra b).Concentrao Protombina no Plasma (x) 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br

Tempo de coagulao em segundos (y) 70 40 27 22 18 16 15 14 13 12


4) Uma amostra revelou o coeficiente de correlao entre o salrio e o nmero de anos de escolaridade para um grupo de 60 pessoas de 0,78. Teste a hiptese de existncia de correlao entre essas variveis, ao nvel de 5%. 5) Sessenta e quatro estudantes foram submetidos a dois testes: raciocnio lgico e quantitativo e conhecimentos gerais. Dos escores obtidos, foram calculadas as somas:

X = 169 ; Y = 327 ; X

2

= 1450 ;

Y

2

= 2304 ;

XY = 837 .

a)Determine o coeficiente de correlao. b) Ao nvel de significncia de 5%, testar a existncia de correlao. 6) A tabela a seguir expressa os pesos e as alturas de 30 crianas:Peso (kg) Altura (cm) Peso (kg) Altura (cm) 30 145 31 140 32 150 32 150 24 125 33 157 30 157 25 144 26 127 26 145 35 140 28 147 25 132 29 150 23 107 30 152 35 155 31 150 31 145 35 160 29 140 34 149 28 142 33 150 25 130 32 129 29 135 28 130 30 138 30 140

Ao nvel de 5%, podemos afirmar que h correlao entre os pesos e as alturas? 7) Um grupo de pessoas fez uma avaliao do peso aparente de alguns objetos. Com o peso real e a mdia dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela:Peso Real Peso Aparente 18 10 30 23 42 33 62 60 73 91 97 98 120 159

Calcule o ndice de correlao. 8) Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de alunos da escola A: xi yi11 13 14 14 19 18 19 15 22 22 28 17 30 24 31 22 34 24 37 25

a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlao retilnea. b) Em caso afirmativo, calcule o coeficiente de correlao. c) Escreva em poucas linhas, as concluses a que chegou sobre a relao entre essas variveis. d) Ao nvel de significncia de 5%, testar a existncia de correlao.



Gabarito 1)Complete o esquema de clculo do coeficiente de correlao para os valores das variveis xi e yi : xi yi Temos: xi4 6 8 10 12 4 12 6 10 8 8 10 12 12 14

yi12 10 8 12 14

xi . y i48 60 64 120 168

x i216 36 64 100 144

y i2144 100 64 144 196

=40Logo:

=56r= r=2

=4602

=360

=648

[5 x360 (40) ]x[5x648 (56) ][1800 1600 ]x[3240 3136 ]2300 2240 = 60 200 x104 = 60 = 0,42 144,22

(5 x 460) ( 40 x56)

Donde r = 0,42 . A correlao linear entre as variveis x e y positiva, porm fraca. 2) Correlacionar os valores de produo leiteira e o teor de gordura de animais bovinos da fazenda Pica Pau Amarelo.Produo (kg) 10 12 14 17 19 22 25 Teor de Gordura (%) 6,0 5,7 5,3 5,2 5,0 4,7 4,5

xi . y i60 68,4 74,2 88,4 95 103,4 112,5

x i2100 144 196 289 361 484 625

y i236 32,49 28,09 27,04 25 22,09 20,25

=119Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br

=36,4

=601,9

=2199

=190,96


r= r=

[7 x2199 (119 ) ]x[7 x190,96 (36,4) ]2 2

(7 x 601,9) (119 x36,4) 4213,3 4331,6

[15393 14161]x[1336,72 1324,96]

=

118,3 1232 x11,76

=

118,3 = 0,9828 120,37

Existe uma forte correlao negativa entre x e y, significa que as variveis so inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais leite produz a vaca menor o teor de gordura do leite. 3) Para os dados abaixo: a) Desenhe o diagrama de disperso; b) Calcule o coeficiente de correlao de Pearson e interprete. c) Teste o coeficiente encontrado na letra b).Concentrao Protombina no Plasma (x) 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tempo de coagulao em segundos (y) 70 40 27 22 18 16 15 14 13 12

xi . y i350 400 540 660 720 800 900 980 1040 1080

x i225 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 8100

y i24900 1600 729 484 324 256 225 196 169 144

=455a)

=247

=7470 =28525 =9027



b)

r= r=

[10 x28525 (455) ]x[10 x9027 (247 ) ]2 2

(10 x 7470 ) ( 455 x 247 ) 74700 112385

[285250 207025 ]x[90270 61000 ]

=

37685 78225 x 29261

=

37685 = 0,7877 47842 ,89

Existe uma correlao negativa entre x e y, significa que as variveis so inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior a concentrao de protombina menor o tempo de coagulao. c) Realizando o teste de hiptese com um =5% temos: (1) H0: = 0 H1: 0 (2) = 5% e Graus de liberdade: = n 2 = 10 2 = 8 (3) Regies de rejeio e aceitao para H0.


r n2 1 r2

=

0,7877 10 2 1 (0,7877)2

=

2,2279 = 3,6163 0,6162

(5) Concluso: Como t cal > 2,3060 , rejeita-se H0, concluindo, com riso de 5%, que h correlao entre a concentrao protombina no plasma e tempo de coagulao. 4) Uma amostra revelou o coeficiente de correlao entre o salrio e o nmero de anos de escolaridade para um grupo de 60 pessoas de 0,78. Teste a hiptese de existncia de correlao entre essas variveis, ao nvel de 5%. Realizando o teste de hiptese com um =5% temos: (1) H0: = 0 H1: 0 (2) = 5% e Graus de liberdade: = n 2 = 60 2 = 58Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br


(3) Regies de rejeio e aceitao para H0.


r n2 1 r2

=

0,78 60 2 1 (0,78)2

=

5,9403 = 9,4926 0,6258

(5) Concluso: Como t cal > 2,0017 , rejeita-se H0, concluindo, com riso de 5%, que h correlao entre o salrio e o nmero de anos de escolaridade. 5) Sessenta e quatro estudantes foram submetidos a dois testes: raciocnio lgico e quantitativo e conhecimentos gerais. Dos escores obtidos, foram calculadas as somas:

X = 169 ; Y = 327 ; X

2

= 1450 ;

Y

2

= 2304 ;

XY = 837 .

a)Determine o coeficiente de correlao. b) Ao nvel de significncia de 5%, testar a existncia de correlao. a) (64 x837 ) (169 x327 ) r= 2 2 64 x1450 (169 ) x 64 x 2304 (327 )

[

][

]

r=

[92800 28561]x[147456 106929 ]

53568 55263

=

1695 64239 x 40527

=

1695 = 0,03322 51023,6607

r = 3,322 %Realizando o teste de hiptese com um =5% temos: (1) H0: = 0 H1: 0 (2) = 5% e Graus de liberdade: = n 2 = 64 2 = 62 (3) Regies de rejeio e aceitao para H0.



(4)t cal = r n2 1 r2

Clculo= 0,03322 64 2 1 (0,03322) 2

do=

valor

da

varivel:

0,26157 = 0,2617 0,99945

(5) Concluso: Como t cal < 2,0017 , aceita-se H0, concluindo, com riso de 5%, que no h correlao entre os testes raciocnio lgico e quantitativo e conhecimentos gerais. 6) A tabela a seguir expressa os pesos e as alturas de 30 crianas:Peso (kg) Altura (cm) Peso (kg) Altura (cm) 30 145 31 140 32 150 32 150 24 125 33 157 30 157 25 144 26 127 26 145 35 140 28 147 25 132 29 150 23 107 30 152 35 155 31 150 31 145 35 160 29 140 34 149 28 142 33 150 25 130 32 129 29 135 28 130 30 138 30 140

Ao nvel de 5%, podemos afirmar que h correlao entre os pesos e as alturas?Peso (x) 30 32 24 30 26 35 25 23 35 31 29 28 25 29 30 Altura (y) 145 150 125 157 127 140 132 107 155 145 140 142 130 135 138

xi . y i4350 4800 3000 4710 3302 4900 3300 2461 5425 4495 4060 3976 3250 3915 4140

x i2900 1024 576 900 676 1225 625 529 1225 961 841 784 625 841 900

y i221025 22500 15625 24649 16129 19600 17424 11449 24025 21025 19600 20164 16900 18225 19044

Peso (x)

Altura (y)

xi . y i4340 4800 5181 3600 3770 4116 4350 4560 4650 5600 5066 4950 4257 3640 4200

x i2961 1024 1089 625 676 784 841 900 961 1225 1156 1089 1089 784 900

y i219600 22500 24649 20736 21025 21609 22500 23104 22500 25600 22201 22500 16641 16900 19600

31 32 33 25 26 28 29 30 31 35 34 33 33 28 30

140 150 157 144 145 147 150 152 150 160 149 150 129 130 140

=890 =4261 =127164 =26736 =609049



Ao nvel de significncia de 5%, testar a existncia de correlao. a)r= r= (30 x127164 ) (890 x 4261)2

[30 x26736 (890 ) ]x[30 x609049 (4261) ]2

=

[802080 792100 ]x[18271470 18156121]

3814920 3792290

22630 9980 x11549

=

22630 = 0,667 33929 ,08811

Realizando o teste de hiptese com um =5% temos: (1) H0: = 0 H1: 0 (2) = 5% e Graus de liberdade: = n 2 = 30 2 = 28 (3) Regies de rejeio e aceitao para H0.


r n2 1 r2

=

0,667 30 2 1 (0,667) 2

=

3,5294 = 4,7371 0,7451

(5) Concluso: Como t cal > 2,0484 , rejeita-se H0, concluindo, com riso de 5%, que h correlao linear entre os pesos e as alturas das 30 crianas avaliadas. 7) Um grupo de pessoas fez uma avaliao do peso aparente de alguns objetos. Com o peso real e a mdia dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela:Peso Real Peso Aparente 18 10 30 23 42 33 62 60 73 91 97 98 120 159

Calcule o ndice de correlao.



Peso real (x)

Peso aparente (y)

xi . y i180 690 1386 3720 6643 9506 19080

x i2324 900 1764 3844 5329 9409 14400

y i2100 529 1089 3600 8281 9604 25281

18 30 42 62 73 97 120

10 23 33 60 91 98 159

=442r= r=2

=4742

=41205 =35970 =48484=

[7 x35970 (442 ) ]x[7 x48484 (474 ) ]78927 56426 x114712 = 78927 = 0,9810 8045,336

(7 x 41205 ) ( 442 x 474)

[251790 195364 ]x[339288 224676 ]

288435 209508

8) Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de alunos da escola A: xi yi11 13 14 14 19 18 19 15 22 22 28 17 30 24 31 22 34 24 37 25

a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlao retilnea. b) Em caso afirmativo, calcule o coeficiente de correlao. c) Escreva em poucas linhas, as concluses a que chegou sobre a relao entre essas variveis. d) Ao nvel de significncia de 5%, testar a existncia de correlao. xi11 14 19 19 22 28 30 31 34 37

yi13 14 18 15 22 17 24 22 24 25

xi . y i143 196 342 285 484 476 720 682 816 925

x i2121 196 361 361 484 784 900 961 1156 1369

y i2169 196 324 225 484 289 576 484 576 625

=245Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br

=194

=5069 =6693 =3948


a)

b)

r= r=

[10 x6693 (245) ]x[10 x3948 (194 ) ]2 2

(10 x5069 ) ( 245 x194 )

=

[66930 60025 ]x[9480 37636 ]

50690 47530

3160 6905 x1844

=

3160 = 0,8856 3568,308

c) Existe uma correlao positiva entre os testes x e y, significa que as variveis so diretamente proporcionais. d) Realizando o teste de hiptese com um =5% temos: (1) H0: = 0 H1: 0 (2) = 5% e Graus de liberdade: = n 2 = 10 2 = 8 (3) Regies de rejeio e aceitao para H0.


r n2 1 r2

=

0,8856 10 2 1 (0,8856) 2

=

2,5048 = 5,3924 0,4645

(5) Concluso: Como t cal > 2,3060 , rejeita-se H0, concluindo, com riso de 5%, que h correlao entre os teste x e y.Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br

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