crecimento raiz.pdf

I

UNIJUI - UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO

RIO GRANDE DO SUL

DeFEM DEPTO DE FSICA, ESTATSTICA E MATEMTICA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MODELAGEM MATEMTICA

DeTEC DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

MESTRADO EM MODELAGEM MATEMTICA

MODELAGEM MATEMTICA DO

CRESCIMENTO E ABSORO DE GUA

DO SOLO POR SISTEMAS RADICIAIS DE

ESPCIES ARBREAS

MINIA CAPPELLARI FAGUNDES

Iju-RS, 27 de fevereiro de 2006.

II


RIO GRANDE DO SUL








ESPCIES ARBREAS

Elaborada por

Minia Cappellari Fagundes

Dissertao apresentada ao Departamento de Fsica, Estatstica e Matemtica da Universidade Regional do Noroeste do estado do rio Grande do Sul UNIJU, RS, como parte integrante dos pr-requisitos para a obteno do ttulo de Mestre em Modelagem Matemtica.

Orientador: Prof. Dr. Pedro Augusto Pereira Borges (DEFEM) Co-orientador: Prof. Dr. Geraldo Ceni Coelho (DBQ)


III


RIO GRANDE DO SUL








ESPCIES ARBREAS

Elaborada por

MINIA CAPPELLARI FAGUNDES

Como requisito para a obteno do grau de Mestre em Modelagem Matemtica

COMISSO EXAMINADORA

__________________________________________________________ Prof. Dr. Pedro Augusto Pereira Borges DEFEM (Orientador)

__________________________________________________________

Prof. Dr. Geraldo Ceni Coelho DBQ (Co-Orientador)

__________________________________________________________ Prof. Dr. Artur Gustavo Muller DEAg

__________________________________________________________

Prof. Dr. Diomar Cristina Mistro UFSM


IV

AGRADECIMENTOS Deus, por me proteger e iluminar meu caminho nesta

trajetria e pelas oportunidades vividas at o momento.

Em especial, ao meu esposo Jos Antnio, pelo amor, pela

compreenso e pelo incentivo oferecido durante este perodo de muitas

ausncias. Por partilhar comigo os momentos de alegrias e tristezas

durante essa trajetria.

Aos meus pais que sempre foram exemplo de fora e amor

verdadeiro em minha vida, sempre presentes em todas as horas, fazendo

tudo que esteve ao seu alcance, as vezes at alm, sem medir esforos

para me ver feliz e satisfeita. Obrigada por tudo e por acreditarem em

mim, pois vocs so a razo da minha existncia.

Aos meus irmos Rogrio, Viviane, Marcelo, pelo incentivo,

fora e carinho durante toda essa trajetria.

Ao Professor orientador Dr. Pedro A. P. Borges pela

orientao e pela compreenso durante o desenvolvimento desta

pesquisa. Obrigada pelo exemplo profissional, levarei comigo ao longo

de minha formao pessoal e profissional.

Ao Professor co-orientador Dr. Geraldo C. Coelho, pelas

sugestes apresentadas e ajuda na realizao de experimentos.

Aos professores do Curso, pelos conhecimentos transmitidos.

A todos os colegas de curso, em especial a Mnica e ngela

pela disponibilidade demonstrada e os momentos de alegria e tristeza

compartilhados.

Ao bolsista de Iniciao Cientfica Radael pelo auxlio na

parte experimental.

V

Aos professores do DeFEM Departamento de Fsica,

Estatstica e Matemtica, pela amizade demonstrada e ensinamentos

ao longo de minha vida acadmica.

s funcionrias do DeFEM Departamento de Fsica,

Estatstica e Matemtica, em especial a Geni pelo zelo e pela ateno

dedicada s nossas solicitaes.

Ao DEAg Departamento de Agronomia e ao DBQ

Departamento de Biologia e Qumica pelo convvio durante o curso e

ajuda na hora da realizao dos experimentos.

Ao Professor Dr. Artur G. Mller pela ajuda na realizao

de experimentos.

A todas as pessoas que de uma forma ou outra me ajudaram e

apoiaram para que eu conseguisse chegar at aqui.

CAPES (Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal em

Nvel Superior) pela bolsa de estudos que possibilitou custear este

curso.

VI

RESUMO

O estudo das variaes do teor de umidade do solo juntamente com absoro da gua

pelas plantas de grande interesse para pesquisas em sistemas agro-florestais e

agrcolas, pois o movimento de nutrientes depende basicamente do movimento da gua

no solo. A equao de Richards uma EDP no linear, que relaciona o teor de umidade

do solo com o potencial total, apresentando um termo fonte do tipo sorvedouro. Esse

termo fonte representa a intensidade de absoro de gua dos pices de uma planta.

Neste trabalho foram desenvolvidos dois modelos matemticos, um envolvendo o

movimento da gua no solo considerando a presena de razes e outro contemplando o

crescimento das razes da espcie louro-pardo (Cordia trichotoma); o primeiro

descrito pela equao de Richards em coordenadas cilndricas com condies de

fronteira de 2 espcie, e o segundo por uma EDP que varia a densidade de pices no

tempo e no espao. O nmero de pices foi obtido experimentalmente para

determinados intervalos de tempo ( )dias450 .Os parmetros da curva caracterstica do solo foram obtidos por ajuste dos dados experimentais em funo da equao de van

Genuchtem. Foram realizadas simulaes que mostraram o aumento da densidade de

pices para diversos tempos, e simulaes do movimento da gua no solo considerando

a absoro de gua pelas razes. As equaes foram resolvidas numericamente pelo

mtodo das Diferenas Finitas Centrais (CDS Central Difference Scheme), pelo

esquema temporal explcito.O modelo proposto apresenta resultados coerentes com os

dados experimentais do somatrio do nmero de pices. As simulaes realizadas

mostraram a versatilidade do modelo para descrever diferentes tipos de sistemas

radiculares, constituindo-se em um poderoso instrumento auxiliar para a anlise do

movimento da gua no solo e crescimento das razes.

VII

ABSTRACT

The study of the soil moisture changes and water uptake by the plants is a theme of

great concern to research on agriculture and native forests, considering that the kinetics

of the nutrients depends essentially to the water dynamics in the soil. The Richards

equation is a non-linear partial differential equation, which correlates the soil moisture

content with the total potential, presenting a source term of a sink type. This source term

express the intensity of water uptake by the root apex of the plant. In the present work

two mathematical models were developed, one evolving the water movement in the soil

including the existence of plant roots and another considering the growth of the louro-

pardo (Cordia trichotoma) roots. The first is described by the Richards equation with

cylindrical coordinates and with boundary conditions of 2nd species, and the second

model is described by one non-linear partial differential equation, which represents the

variation the root apex density in time and space. The number of root apex was obtained

experimentally for a time interval of 45 days. The parameters of the characteristic curve

of the soil were obtained by data regression adjust of experimental data as a function of

the van Genuchtem equation. Simulations to put in evidence the increase of the root

apex density as a function of time was carried out, together with simulations of the

water movement in the soil taking in consideration the water root uptake. The equations

were resolved by the Central Difference Scheme method, through the explicit temporal

outline. The proposed model presents coherence with the experimental data of the total

root apex. The simulations displayed the versatility of the model to describe different

types of root systems, becoming a powerful tool to analyze the soil water movement and

root growth.

VIII

SUMRIO

AGRADECIMENTOS............................................................................................... IV

RESUMO..................................................................................................................... VI

ABSTRACT................................................................................................................ VII

LISTA DE SMBOLOS............................................................................................... X

LISTA DE LETRAS GREGAS................................................................................. XII

LISTA DE TABELAS.............................................................................................. XIII

LISTA DE FIGURAS .............................................................................................. XIII

1. INTRODUO......................................................................................................... 1

2. REVISO BIBLIOGRFICA................................................................................ 3

2.1. O solo........................................................................................................... 4

2.1.1. Textura do solo................................................................................... 4

2.1.2. Estrutura do solo................................................................................. 5

2.1.3. Densidade do solo............................................................................... 6

2.1.4. Porosidade do solo.............................................................................. 6

2.1.5. Compactao do solo.......................................................................... 7

2.2. Teor de umidade do solo.............................................................................. 7

2.3. Energia Potencial da gua no solo............................................................. 10

2.4. Movimento da gua no solo........................................................................ 11

2.4.1. Condutividade hidrulica ................................................................. 13

2.4.2. Curva caracterstica da gua no solo................................................. 14

2.4.3. Infiltrao e redistribuio da gua no solo...................................... 15

2.5. Evapotranspirao....................................................................................... 16

2.6. Modelos de crescimento de raiz.................................................................. 16

2.7. Proposio do problema.............................................................................. 17

3. DESCRIO DOS EQUIPAMENTOS E EXPERIMENTOS........................... 18

3.1. Densidade do solo....................................................................................... 19

3.2. Monitoramento do crescimento do sistema radicial................................... 19

IX

3.2.1. Imagens do sistema radicial da espcie arbrea Louro pardo

(Cordia trichotoma)...................................................................... 21

3.3. Curva caracterstica...................................................................................... 23

3.3.1. Procedimentos Funil de placa porosa ........................................... 25

3.3.2. Procedimentos Cmara de presso de Richards............................ 26

4. MODELO MATEMTICO................................................................................... 27

4.1. Modelo para o movimento da gua no solo................................................. 27

4.1.1. Caso solo saturado........................................................................ 32

4.1.2. Caso solo no saturado.................................................................. 32

4.1.3. Clculo dos potenciais.................................................................. 33

4.1.4. Clculo do volume de gua absorvida pela raiz............................ 34

4.2. Modelo para o termo fonte ( ),g z t da equao ( )4.19 .............................. 35

5. SOLUO NUMRICA......................................................................................... 38

5.1. Soluo numrica para o movimento da gua no solo................................. 38

5.2. Soluo numrica para a fonte da equao ( )4.19 ...................................... 44

6. ANLISE DOS RESULTADOS............................................................................. 48

6.1. Curva caracterstica da gua no solo........................................................... 48

6.2. Crescimento das razes................................................................................. 49

6.2.1 Grficos sobre o crescimento do sistema radicial.......................... 49

6.2.2. Simulaes numricas da densidade de pices............................. 55

6.2.3. Simulaes com variaes em rR e zR ........................................ 57

6.3. Simulaes numricas do movimento da gua com absoro de gua

pelas razes.................................................................................................... 59

7. CONCLUSES......................................................................................................... 64

8. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS................................................................... 66

ANEXOS....................................................................................................................... 70

X

LISTA DE SMBOLOS

a, m, n parmetros de ajuste da curva caracterstica

0A matriz densidade de pices ( )3nam gd densidade global do solo ( )3/ mg

dr intervalo espacial em r

dt intervalo temporal

dz intervalo espacial em z

( )tzg , termo de absoro de gua pelas razes ( )133 hmm ( ),ag z t termo de gerao de massa de raiz ( )3nahm

g gravidade ( )2/ sm h profundidade ( )m H profundidade do cilindro ( )m ( )k condutividade hidrulica para solo no saturado ( )112 Pasm 0k condutividade hidrulica para solo saturado ( )112 Pasm frk constante de proporcionalidade ( )113 hnam CK fator de crescimento de raiz ( )2h sm massa de solo seco ( )g um massa de solo mido ( )g

N, P, S posies na malha em z

na nmero de pices

q fluxo ( )1ms yq fluxo de gua na direo x ( )13 sm irq fluxo de irrigao ( )12 hm

R raio do cilindro ( )m rR e zR constante de difuso dos pices ( )12 hm

r raio ( )m fS teor de umidade volumtrico adimensional retirado de cada clula

XI

it tempo de irrigao ( )h ft tempo final ( )h

t varivel temporal ( )h u teor de umidade dimensional a base de massa ( )33 mm

wfV volume de gua retirada do solo ( )3m sV volume de solo seco ( )3m

V volume de uma amostra ( )3m W, E posies na malha em r

z profundidade ( )m

XII

LISTA DE LETRAS GREGAS

teor de umidade volumtrico dimensional do solo ( )33 mm . r teor de umidade volumtrico dimensional residual do solo ( )33 mm . s teor de umidade volumtrico dimensional saturado do solo ( )33 mm . f magnitude do teor de umidade volumtrico dimensional retirado ( )33 mm gradiente do potencial hidraulico ( )1mm

potencial total ( )Pa g potencial gravitacional ( )Pa p potencial de presso ( )Pa m potencial matricial ( )Pa o potencial osmtico ( )Pa

teor de umidade adimensional do solo porosidade total densidade de pices ( )3/na m

0 densidade de pices inicial ( )3/na m

XIII

LISTA DE TABELAS

CAPTULO 6

Tabela 6.1 - Valores do parmetro CK , erro quadrtico e coeficiente de determinao

para as situaes A, B e C.......................................................................... 55

ANEXO III

Tabela 1 Dados experimentais da curva caracterstica............................................ 75

LISTA DE FIGURAS

CAPTULO 3

Figura 3.1 - Fotografia dos cilindros com as plantas da espcie Louro pardo

(Cordia trichotoma), no estgio inicial do experimento (Casa de

Vegetao- Campus UNIJU). ................................................................ 20

Figura 3.2 - Fotografia dos cilindros com as plantas da espcie Louro pardo

(Cordia trichotoma), na terceira semana do experimento (Casa de

Vegetao- Campus UNIJU). ................................................................ 20

Figura 3.3 - Sistema radicial planificado da espcie Louro pardo (Cordia

trichotoma), com t = 0 dias.........................................................................21

Figura 3.4 - Sistema radicial planificado da espcie Louro pardo (Cordia

trichotoma), com t = 45 dias.......................................................................22

Figura .3 5 - Funil de Placa Porosa com a Coluna dgua.............................................. 24

Figura .3 6 - Cmara de Presso de Richards.................................................................. 25

CAPTULO 4

Figura 4.1 - Volume de solo, onde a soluo est fluindo.............................................. 28

Figura 4.2 - Esquema dos anis no volume de controle................................................. 37

XIV

CAPTULO 5

Figura 5.1 Malha do domnio de integrao para diferenas finitas........................... 38

Figura 5.2 Fluxograma do programa sobre variaes do teor de umidade

considerando a absoro de gua pelas razes........................................... 42

Figura 5.3 - Fluxograma do programa para descrever o crescimento do sistema

radicial....................................................................................................... 46

CAPTULO 6

Figura .6 1 - Curva caracterstica da gua no solo.......................................................... 48

Figura .6 2 - Densidade de pices ( ) do sistema radicial da espcie Louro pardo (Cordia trichotoma) para t = 0 dias.......................................................... 50

Figura .6 3 - Densidade de pices ( ) do sistema radicial da espcie Louro pardo (Cordia trichotoma) para t = 45 dias........................................................ 51

Figura .6 4 - Linhas de contorno da densidade de pices ( ) , do sistema radicial da espcie Louro pardo (Cordia trichotoma), para t = 0 dias................... 52

Figura .6 5 - Linhas de contorno da densidade de pices ( ) , do sistema radicial da espcie Louro pardo (Cordia trichotoma), para t = 45 dias................. 52

Figura 6.6 - Comparao entre a densidade de pices em um intervalo de tempo

(0 45dias) entre dados calculados (cal) e experimentais (exp).............. 53

Figura .6 7 - Melhor CK , considerando todos os dados experimentais......................... 54

Figura .6 8 - Simulao da densidade de pices ( ) do sistema radicial da espcie Louro pardo(Cordia trichotoma), para t = 300 dias................................. 56

Figura .6 9 - Simulao da densidade de pices ( ) do sistema radicial da espcie Louro pardo(Cordia trichotoma), para t = 600 dias................................. 56

Figura .6 10 -Simulao da densidade de pices ( ) do sistema radicial da espcie Louro pardo(Cordia trichotoma), para t = 900 dias................................. 57

Figura .6 11 - Simulao das linhas de contorno da densidade de pices ( ) com zr RR > ............................................................................................. 58

XV

Figura .6 12 - Simulao das linhas de contorno da densidade de pices ( ) com zr RR < .............................................................................................. 58 Figura .6 13 - Simulao do movimento da gua no solo, t = 12h. Com absoro de

gua pela raiz considerando os dados empricos da primeira planta

sacrificada ( t = 0dias)............................................................................... 60

Figura .6 14 - Linhas de contorno da distribuio da gua no solo para t = 12h.

Com absoro de gua pela raiz considerando os dados empricos da

primeira planta sacrificada ( t = 0dias)..................................................... 60

Figura .6 15 - Simulao do teor de umidade para t = 12h. Com absoro de gua

pela raiz considerando os dados empricos da primeira planta

sacrificada ( t = 0dias)............................................................................. 61

Figura .6 16 - Simulao do movimento da gua no solo, t = 12h. Com absoro de

gua pela raiz considerando os dados empricos da sexta planta


Figura 6.17 - Linhas de contorno da distribuio da gua no solo para t = 12h.

Com absoro de gua pela raiz considerando os dados empricos da

sexta planta sacrificada ( t = 45dias)......................................................... 63

Figura 6.18- Simulao do teor de umidade para t = 12h. Com absoro de

gua pela raiz considerando os dados empricos da primeira planta


ANEXO I

Figura 1 Sistema radicial planificado da espcie Louro pardo (Cordia trichotoma),

com t = 7 dias............................................................................................... 71


com t = 14 dias............................................................................................. 71


com t = 21 dias............................................................................................. 72


com t = 35 dias............................................................................................. 72

1

1. INTRODUO

O estudo sobre o solo complexo, pois envolve uma srie de variveis, sendo

estas propriedades caracterizadas em fsicas tais, estrutura, compactao, textura, teor de

umidade, densidade e condutividade hidrulica, e qumica, como a natureza dos

minerais e a disponibilidade de nutrientes e suas transformaes no solo.

Neste contexto a gua um elemento importante em quase todos os mecanismos

de movimento de nutrientes, e o conhecimento detalhado do movimento da gua

durante o desenvolvimento de uma cultura fornece elementos importantes para

aperfeioar a produtividade.

O sistema gua/solo/planta engloba uma srie de processos de transferncia de

nutrientes que viabilizam o crescimento e reproduo das espcies vegetais.

O estudo desses processos de movimento dos nutrientes em plantas, e o

conhecimento da dinmica da gua no solo so de amplo interesse em pesquisas de

monitoramento de florestas, sistemas agro-florestais e agrcolas.

O presente trabalho parte do Projeto de Pesquisa, Movimento de Nutrientes na

Planta, da Linha de Pesquisa Modelagem Matemtica dos Processos de Transporte, do

Mestrado em Modelagem Matemtica da UNIJUI.

A transferncia de nutrientes no solo depende do movimento da gua no mesmo,

o qual envolve os processos de infiltrao, redistribuio e evaporao da gua. Sendo

assim, esses processos so descritos atravs da equao diferencial parcial no linear

que rege o movimento da gua no solo, conhecida como equao de Richards. Este

estudo tem por objetivo geral desenvolver um modelo matemtico, usando a equao

citada, porm considerando a presena de um termo fonte do tipo sorvedouro (raiz da

planta), visando que o modelo descreva o fluxo de gua entre solo e planta (raiz).

A dissertao composta por sete captulos e trs anexos, onde:

No Captulo 1 apresentada uma introduo, enfatizando a importncia dos

mecanismos que envolvem o sistema gua/solo/planta nas atividades de cultivo e

naturais. exposto o objetivo geral da pesquisa.

No Captulo 2 feita uma reviso bibliogrfica, onde so apresentados os

conceitos bsicos utilizados e os objetivos especficos a serem abordados no trabalho.

No Captulo 3 est feita a descrio dos equipamentos e dos procedimentos

utilizados nos experimentos realizados.

2

No Captulo 4 so apresentados os modelos matemticos, um para as variaes

do teor de umidade considerando a absoro de gua pelas razes e outro para descrever

o crescimento do sistema radicial. Tambm feita a deduo da equao de Richards

(EDP que rege o movimento da gua no solo).

No Captulo 5 apresentado o mtodo numrico Diferenas Finitas utilizado

para a resoluo das Equaes Diferencias Parciais, e os fluxogramas dos programas

computacionais implementados para descrever o crescimento da densidade de pices e o

movimento da gua no solo considerando a presena das razes.

No Captulo 6 so apresentadas as anlises dos resultados obtidos,

empiricamente e atravs de solues numricas.

No Captulo 7 so apresentadas as concluses referentes ao trabalho realizado.

No Anexo I so apresentadas as imagens obtidas por scanner do sistema radicial

das plantas sacrificadas nos experimentos realizados.

No Anexo II so apresentadas as matrizes referentes ao nmero de pices dos

sistemas radiciais estudados.

No Anexo III apresentada a tabela dos dados obtidos empiricamente para a

obteno da curva caracterstica do solo.

3

2. REVISO BIBLIOGRFICA

O solo um reservatrio natural de gua para as plantas e todas as prticas da

agricultura que visam promover condies ideais para o crescimento das culturas. Por

ser um reservatrio aberto para a atmosfera e para horizontes ou camadas mais

profundas do perfil de solo, muitos pesquisadores tm procurado quantificar a

capacidade de armazenamento desse reservatrio (reteno de gua), como tambm os

fluxos que ocorrem na superfcie, e na profundidade do solo (Jury & Gardner, 1991) .

A compreenso dos processos dinmicos da gua no solo faz parte do

componente terrestres do ciclo hidrolgico e so muito teis em vrios ramos da cincia

e da engenharia, em assuntos relacionados com a irrigao, drenagem, eroso, biologia

da fauna e flora do solo, poluio do solo e outros. Esses processos incluem, a

infiltrao, redistribuio, e a evapotranspirao.

Na Engenharia Civil, a redistribuio da gua importante, porque, em

barragens de terra, por exemplo, a determinao da quantidade de gua que percola dos

macios e fundaes fundamental para a estabilidade da obra, enquanto, em lagoas de

rejeitos, essa percolao pode contribuir para a contaminao do lenol fretico (Souza

Pinto, 2000).

Para a agricultura, o interesse no estudo do solo situa-se na composio

(elementos qumicos e microorganismos), nas propriedades fsicas (textura,

compactao e densidade), no teor de umidade (quantidade de gua armazenada) e nas

transformaes do solo devido ao do manejo ou da gua, responsvel pelo

movimento de nutrientes para as plantas.

O conhecimento detalhado da dinmica da gua durante o desenvolvimento de

uma cultura fornece elementos essenciais ao estabelecimento ou aprimoramento de

prticas de manejo agrcola, reflorestamentos, irrigao, adubao visando a otimizao

da produtividade. Estudos da dinmica da gua em condies de campo e laboratrio,

dando nfase a fluxos de gua na zona radicial da cultura, so encontrados em trabalhos

de Fitter and Stickland, (1992); Vasconcelos et al., (2003); Cruz et al., (2005); Coelho

(1999) e outros.

Para o conhecimento da dinmica da gua no solo, de fundamental importncia

o conhecimento da umidade do solo e dos potenciais da gua do solo. A umidade

apenas um ndice que quantifica a gua que o solo possui, enquanto que os potenciais da

4

gua dizem respeito aos diferentes tipos de energia potencial que atuam no sistema e

podem dar indicao de como a gua se encontra no solo, se parada ou em movimento

(Libardi, 1995).

2.1. O solo

Segundo Reichardt (1990), o solo um sistema complexo constitudo de

materiais slidos, lquidos e gasosos. As partculas slidas formam um arranjo poroso

tal que os espaos vazios so chamados poros, e tm a capacidade de armazenar

lquidos e gases.

A parte slida (matriz do solo) principalmente mineral e se constitui de

partculas, classificadas de acordo com o tamanho mdio dos gros em areia, limo ou

argila.

A parte lquida do solo constitui-se essencialmente de gua, contendo minerais

dissolvidos e materiais orgnicos solveis. Ela ocupa parte dos espaos vazios entre as

partculas slidas. Esta gua absorvida pelas razes das plantas ou drenada para

camadas de solo mais profundas e, por isso, precisa ser periodicamente reposta pela

chuva ou pela irrigao, para garantir uma produo vegetal adequada. Da a

importncia agrcola do conhecimento deste reservatrio de gua para as plantas e dos

princpios que governam seu funcionamento.

A parte gasosa ocupa os espaos vazios entre as partculas slidas no ocupados

pela gua. Esta uma parte importante do sistema do solo, pois muitas plantas

necessitam de certa aerao do sistema radicial.

A capacidade de armazenamento de gua no solo (reteno de gua no solo)

influenciada pelas propriedades fsicas do solo, a textura do solo, a estrutura, a

compactao, a densidade, a porosidade, a condutividade hidrulica, teor de umidade e

outras.

2.1.1. Textura do solo

A textura do solo refere-se distribuio das partculas em termos de tamanho.

Sendo essas partculas grosseiras, mdias e finas correspondem a areia, limo e argila,

respectivamente, determinam combinaes usadas para classificar o solo segundo sua

5

textura. A textura do solo influencia muito no que se refere gua, pois interferem a

reteno e o movimento da gua.

Segundo Reichardt (2004), a textura do solo um fator que afeta a reteno de

gua no solo, pois ela determina a rea de contato com entre as partculas slidas e a

gua e determina as propores de poros de diferentes tamanhos.

De acordo com Centurion et al., (1997) h maior reteno de gua para solos

com textura mais fina, confirmando a importncia da frao de argila. Assim, solos

argilosos retm mais gua que os demais principalmente a altas tenses, ou seja,

prximo ao ponto de murcha permanente que representa a gua que as plantas podem

extrair do solo (a capacidade de gua disponvel no solo).

2.1.2. Estrutura do solo

O termo estrutura usado para descrever o solo no que se refere ao arranjo das

partculas slidas, que do origem formao dos agregados (partculas grandes). A

estrutura define tambm a geometria dos espaos porosos. A estrutura do solo prxima

da superfcie afetada pelo preparo do mesmo, e mais profundamente ele tem

caractersticas de acordo com o tipo de solo (Reichardt, 2004).

O solo pode ser dito bem estruturado ou mal estruturado. Considera-se como boa

a estrutura com bastante agregados de forma granular que esboroa com relativa

facilidade quando mida. O solo bem estruturado tem melhor permeabilidade da gua,

tem melhores condies de areao e penetrao de razes (Reichardt,1990).

O solo mal estruturado massivo, pesado para ser trabalhado, com problemas de

penetrao de gua e de razes. A estrutura do solo, ao contrrio da textura, pode ser

modificada, ela pode ser melhorada com prticas agrcolas adequadas (rotao de

culturas, incorporao de matria orgnica, etc).

A estrutura do solo influencia no crescimento das plantas de vrias formas,

sendo os efeitos sobre o alongamento radicial os mais claros e determinantes sobre a

habilidade das razes em extrair gua e nutrientes em quantidades adequadas (Muller et

al., 2001).

6

2.1.3. Densidade do solo

A densidade do solo, que chamada de densidade aparente ou densidade global

do solo, definida como a massa do solo seco por unidade de volume. Relaciona-se

com a compactao de cada horizonte e permite inferir as dificuldades para a

emergncia, enraizamento e circulao da gua e ar. A densidade do solo um ndice do

grau de compactao de um solo (Reichardt, 2004).

A densidade do solo uma propriedade fsica que reflete o arranjo das

partculas, que por sua vez define as caractersticas do sistema poroso. Desta forma,

todas as manifestaes que influenciarem a disposio das partculas do solo, refletiro

diretamente nos valores da densidade do solo. De acordo com Libardi (1999), quanto

mais argiloso o solo, menor sua densidade.

A densidade global do solo (dg) dada pela razo da massa de uma amostra de

solo e o volume que ela ocupa:

sg

s

mdV

= ( )2.1

onde ms a massa de solo seco ( )g Vs o volume de solo seco ( )3m

2.1.4. Porosidade do solo

As partes lquidas e gasosas definem o volume de espaos vazios no solo

(poros). A porosidade total definida pela relao entre o volume ocupado pelos

poros e o volume total do solo. A porosidade dividida em macro e microporos, os

macroporos so os responsveis pela percolao de gua nos horizontes e entre os

horizontes. Os microporos so os responsveis pela gua capilar que uma parcela da

gua disponvel para as plantas.

O conhecimento da distribuio do tamanho dos poros importante para a

drenagem do solo e a disponibilidade de gua para as plantas, pois os poros armazenam

a gua perto das razes, como um reservatrio (Gardner, 1983).

7

A porosidade uma propriedade fsica do solo, muito alterada pelo cultivo e as

culturas, afetando o espao poroso. Quanto maior a porosidade, maior a capacidade do

solo em armazenar gua, da os solos de textura fina ter maior capacidade de reteno e

disponibilidade de gua s plantas do que os de textura grosseira. A porosidade do solo

varia de 0 1< < , em funo da textura e estrutura do mesmo. A porosidade do solo est inversamente relacionada com a densidade: quanto

maior a densidade do solo, menor a sua porosidade (Libardi, 1999).

2.1.5. Compactao do solo

A compactao do solo ligada estrutura. Como o solo um meio poroso, por

compreenso a mesma massa de material slido pode ocupar um volume menor. Isso

afeta sua estrutura, o arranjo dos poros, o volume dos poros e a reteno de gua

(Reichardt,1990).

Segundo Silva e Rosolem (2001), a compactao do solo como um

impedimento mecnico para a penetrao de razes, pois ao crescer, a raiz exerce uma

presso contra as partculas do solo, afastando-as para permitir o seu alongamento, que

ocorre quando a presso radicial maior que a impedncia mecnica.

O solo compactado possui caractersticas como: a baixa infiltrao de gua,

razes deformadas, estrutura degradada e alta resistncia do solo. Pequenas estiagens

podem resultar em deficincia de gua nas plantas.

A compactao do solo afeta a disponibilidade hdrica e pode atuar na

capacidade de gua disponvel no solo. As formas mais comuns de quantificar a

compactao so atravs da densidade global do solo e atravs da porosidade total. Em

geral, com a diminuio da porosidade e aumento da densidade do solo, ocorre a

diminuio da capacidade da gua disponvel no solo.

2.2. Teor de umidade do solo

O solo um material que possui trs fases, slida, lquida e gasosa. Onde as

fases lquida e gasosa so complementares, isto , a mxima presena de uma implica na

ausncia da outra. Sempre a poro do espao poroso, no ocupada pela fase lquida

ser complementada pela fase gasosa.

8

A fase lquida (gua) pode estar presente nos poros do solo completa ou

parcialmente, e o solo chamado de saturado ou no saturado. Quando o espao poroso

est totalmente cheio de gua, o solo dito solo saturado (Libardi, 1999).

Um solo no saturado aquele cujo espao poroso parcialmente cheio com

gua e parcialmente cheio com ar. De modo geral, os solos se encontram no saturados

de gua, mesmo assim armazenam considervel quantidade, parte da qual deve ser

utilizada pelas plantas.

A umidade do solo o ndice mais bsico para quantificar a gua em uma

amostra de solo. Tradicionalmente, a umidade do solo tem sido expressa de duas

maneiras: base de massa ( )u , ou base de volume ( ) (Libardi, 1999; Reichardt, 2004).

A umidade do solo base de massa obtida pela equao

u s

s

m mum= ( )2.2

onde sm massa de solo seco ( )g um massa de solo mido ( )g

e base de volume pela equao

u sm mV

= ( )2.3 onde sm massa de solo seco ( )g um massa de solo mido ( )g

Para clculos que envolvem gua no solo, mais importante que u , porm em laboratrio mais simples calcular u . De ( )2.3 e ( )2.4 podemos escrever:

smuV

= ( )2.4

9

Como sm V , a densidade do solo, para obter o valor da umidade

volumtrica , a partir de u , basta multiplicar o valor de u pela densidade do solo dg.

gu d = ( )2.5

Existem vrios mtodos de determinao do contedo de gua no solo podendo

ser classificados em mtodos diretos e indiretos. Os mtodos diretos consistem na

medida direta do contedo de gua de uma amostra, basicamente por evaporao,

dividindo-se em: mtodo gravimtrico com secagem em estufa e mtodo gravimtrico

com secagem em forno microondas. Os mtodos indiretos se baseiam na medida de

propriedades fsicas ou fsico-qumicas do solo que sejam proporcionais ao contedo de

gua no solo.

Os diferentes mtodos para a determinao do contedo de gua do solo, todos

apresentam algumas vantagens e desvantagens. A opo por um determinado mtodo

varia de acordo com a finalidade, os objetivos e as disponibilidades existentes

(Klar,1991)

No mtodo gravimtrico com secagem em estufa, que o mais bsico e

considerado padro, remove-se a amostra desejada e determinam-se as massas mida e

seca com o auxilio de uma balana e estufa. Tem como desvantagem ser demorado e

destrutivo. Para se obter a umidade a base de volume por esse mtodo necessrio

conhecer a densidade do solo (Libardi,1999).

O mtodo gravimtrico com secagem em microondas rpido, mas tem a

desvantagem de ser destrutivo e de difcil padronizao, exigindo calibraes do tempo

de secagem para cada solo em particular.

Os mtodos indiretos exigem o conhecimento de uma curva de calibrao, e tm

a vantagem de no serem destrutivos.

O teor de umidade do solo possui valores extremos r e s . Sendo r a umidade residual, onde a presena de gua praticamente nula, e s a umidade de saturao do solo.

A fixao dos valores extremos de umidade apresenta a vantagem de no se

obterem valores incoerentes com o comportamento fsico observvel (que ocorre na

natureza); por exemplo: valores negativos para a umidade residual e valores maiores

que a unidade para a umidade de saturao (Jong van Lier & Doutorado Neto, 1993).

10

2.3. Energia Potencial da gua no solo

De acordo com Reichardt (2004), depois da umidade, a caracterstica mais

importante o estado de energia da gua no solo. A gua do solo, da planta, da

atmosfera etc., assim como qualquer corpo da natureza pode ser caracterizada por um

estado de energia.

No solo e na planta, a velocidade da gua relativamente lenta e, por isso, sua

energia cintica (energia produzida por um corpo em movimento), na maioria dos casos

desprezvel. A energia da gua pode ser potencial, isto relacionada com a posio do

corpo em funo de campos de fora, sendo essa energia de primordial importncia para

a caracterizao do estado de energia da gua no ponto considerado. Os campos de

fora so os potenciais: gravitacional ( )g , presso ( )p , matricial ( )m , osmtico ( )os e outros.

A soma dos potenciais recebe o nome de Potencial Total da gua. Ela tambm

chamada de potencial da gua e representada por ( ) , onde cada potencial uma componente da equao:

...g p m os = + + + + ( )2.6

O potencial gravitacional ( )g resultado da ao da fora de gravidade. Adota-se um plano como referncia (a superfcie do solo), onde neste a energia nula,

positiva acima e negativa abaixo. A energia potencial gravitacional dada por:

g d g z = ( )2.7

onde d densidade da gua

g a fora da gravidade

z a altura

11

O potencial de presso ( )p a presso a que a gua est submetida e , na verdade, energia por volume. Da hidrosttica sabemos que a presso em um ponto

situado a uma profundidade h dada por:

p gd g h = ( )2.8

onde gd densidade do solo

g a fora da gravidade

h a profundidade

O potencial matricial ( )m o componente da energia total que est relacionado s interaes da gua com as partculas slidas do solo, isto matriz do solo. Essa

interao se refere a fenmenos de capilaridade e adsoro. O potencial matricial da

gua do solo foi freqentemente denominado potencial capilar, tenso da gua no solo,

suco ou presso negativa (Reichardt, 2004).

Em um solo saturado a adsoro nula e nesse caso o componente matricial

nulo ( )0m = . Quando o solo vai se tornando no saturado o potencial matricial fica cada vez mais negativo. m est em funo da umidade do solo. Em geral o potencial matricial determinado experimentalmente, atravs da curva caracterstica da gua no

solo ou curva de reteno.

O potencial osmtico ( )os o componente relacionado presena de membranas semipermeveis.

Segundo Libardi (1999), considerando-se dois pontos num perfil de solo de tal

maneira que em cada um deles se mea o potencial total da gua, sob condies

isotrmicas: a gua se encontra em equilbrio quando seu potencial for igual nos dois

pontos; e a tendncia da soluo de sempre se mover do ponto, onde o seu potencial

maior para o ponto onde ele menor.

2.4. Movimento da gua no solo

O estudo do movimento da gua no solo de amplo interesse para vrias

atividades, como j foi visto anteriormente. Para descrever como a gua se movimenta,

12

usaremos uma equao que quantifica o processo. Existem duas importantes equaes

que quantificam o movimento da gua no solo sob condio isotrmica: a equao de

Darcy para solos saturados, e a equao de Darcy-Buckingham para solos no saturados

(Libardi,1999; Reichardt, 1990).

Segundo Reichardt (1990), a gua move-se quando ocorrem diferenas de

potencial total entre os pontos de um sistema, sendo o movimento no sentido do

decrscimo do potencial.

No ano de 1856 o engenheiro hidrulico Henry Darcy props a famosa equao

de Darcy, tambm conhecida como Lei de Darcy, sendo esta a primeira equao que

possibilitou a quantificao do movimento da gua em meios porosos saturados. Porm,

essa equao s vlida quando se trabalha em condies de saturao, sob condies

isotrmicas, para fluxo laminar e para situaes em que as interaes solo-gua no

resultem em variaes no fludo e na condutividade hidrulica, sendo essa ltima uma

constante que representa a propriedade do meio em transmitir gua (Libardi, 1999).

A Ley de Darcy foi desenvolvida para quantificar o movimento da gua quando

esta satura o meio poroso, mas nem sempre o meio poroso saturado, e de interesse

no estudo tambm o meio no saturado.

De acordo com Libardi (1999), o primeiro trabalho de que se tem notcia que

apresenta uma equao nessas condies de solo no saturado, o de Buckingham em

1907, que generalizou a equao de Darcy e verificou que ela tambm pode ser aplicada

para o fluxo de solo no saturado. Em 1960 em um Congresso Internacional de Cincia

no solo, Richards e Swartzendrube sugeriram que a Ley de Darcy passasse a se chamar

equao de Darcy-Buckingham, dando o merecido crdito a Buckingham pela sua

grande contribuio para a equao.

A equao de Darcy-Buckingham uma equao para condies de regime

estacionrio, ou seja, as caractersticas do fluxo no variam com o tempo. Porm na

maioria das situaes reais, elas so do tipo transiente, e para isso temos que usar a

equao da continuidade ou equao de conservao de massa, que representa

matematicamente a lei de conservao da massa..

Em 1931, utilizando o princpio da Conservao de massa e a equao de Darcy-

Buckingham, Richards apresentou a equao diferencial que rege o movimento da gua

em solos relacionando a variao do teor de umidade com os potenciais matricial,

gravitacional, osmtico e de presso para solos saturados e no saturados. Essa equao

diferencial denominada Equao de Richards (Borges et al., 2005).

13

2.4.1. Condutividade Hidrulica

A condutividade hidrulica um coeficiente que expressa a facilidade com que

um fludo (gua) pode se deslocar no solo, e que depende das propriedades do solo e do

fludo. As propriedades mais importantes que tm reflexo na geometria porosa do solo

so: a distribuio do tamanho e forma das partculas, a tortuosidade do sistema, a

superfcie especfica, a umidade, a porosidade, entre outras. Quanto ao fludo, a sua

viscosidade ( ) a propriedade mais importante, pois afeta a condutividade hidrulica de maneira inversa: quanto maior ( ) , menor a condutividade (Jury & Gardner, 1991; Libardi, 1999).

A condutividade hidrulica uma das mais importantes propriedades do solo

para estudos que envolvem a infiltrao da gua, o movimento da gua dentro do perfil,

bem como para as razes das plantas e para a drenagem interna.

O solo agrcola revela umidade inferior saturao e, pela existncia de uma

funo crescente entre condutividade e umidade, o valor da condutividade hidrulica

sob a condio saturada sempre superior ao das condies no saturadas, para o

mesmo solo. A condutividade hidrulica funo do teor de umidade do solo, sendo

mxima em condies de saturao. medida que a umidade diminui, a condutividade

hidrulica decresce, normalmente de forma exponencial (Libardi, 1999).

A condutividade hidrulica do solo , entre as propriedades fsicas do solo, a de

mais alta variabilidade. A variabilidade maior ocorre nas camadas mais superficiais, e

como as camadas superficiais so de maior interesse em estudos de balano hdrico e da

relao solo-planta, determinaes da ( )k versus devem ser sempre analisadas, considerando essa grande variabilidade (Jong van Lier & Libardi, 1999).

A partir da equao de Richards, muitos pesquisadores tm desenvolvido

mtodos de campo e de laboratrio para a determinao da condutividade hidrulica do

solo no saturado. Os mtodos de laboratrio podem utilizar amostras de solo com

estrutura deformada ou indeformada. Nos mtodos de campo, as amostras so retiradas

do prprio campo e a perturbao do solo deve ser mnima possvel.

O mtodo do perfil instantneo um mtodo para obteno de medidas de

umidade diretas do campo, abrangendo uma faixa maior de umidade. Porm, apresenta

desvantagens, podendo-se destacar o consumo elevado de tempo e a mo-de-obra,

tornando-se um dos grandes problemas para solos que apresentam camadas adensadas

14

ou compactadas, onde o processo de drenagem muito lento (Jong van Lier & Libardi,

1999).

Os mtodos de campo requerem alto investimento de tempo e mo-de-obra, por

isso, avanos em estudos para a determinao da funo ( )k foram feitos baseados em dados obtidos a partir da curva de reteno de gua no solo.

De acordo com Pereira (2001), os valores da condutividade hidrulica obtidos no

campo apresentaram a mesma tendncia encontrada nos testes de laboratrio, ou seja, de

reduo da condutividade hidrulica com a profundidade estudada. Estes resultados so

coerentes quando se analisa os valores de porosidade total e macroporosidade do solo.

Esse fator o principal agente que permite aos solos arenosos apresentarem maiores

valores de condutividade hidrulica, em condies de saturao, que os de textura mais

fina.

Mualem (1976) e van Genuchten (1980) desenvolveram a equao para

determinar a condutividade hidrulica para solos no saturados, por meio de parmetros

da curva de reteno de gua no solo.

2.4.2. Curva caracterstica da gua no solo

A curva caracterstica da gua no solo ou curva de reteno, uma propriedade

fsico-hdrica do solo que relaciona o contedo volumtrico de gua ( ) e o potencial matricial ( )m . Ela tpica para cada solo, pois varia com pequenas variaes de textura, compactao, estrutura, etc.

A curva de reteno da gua no solo de grande importncia para, entre outros

estudos, aqueles que envolvem interaes solo-planta, aerao, irrigao, drenagem.

A curva caracterstica geralmente determinada em laboratrio e de preferncia

em amostras no deformadas. Experimentalmente existem maneiras diretas principais

para determinar a curva de reteno de gua nos solos em laboratrio, elas utilizam uma

placa porosa (cujos poros devem ser mantidos sempre cheios de gua para que ela se

torne permevel somente gua): a cmara de presso de Richards e funil de placa

porosa.

A reteno de gua no solo basicamente explicada por dois processos: a

capilaridade e a adsoro. A capilaridade ligada afinidade entre as partculas slidas

do solo e a gua, havendo a necessidade de interfaces gua-ar que so chamadas

15

meniscos, e que apresentam uma curvatura que tanto maior quanto menor o poro. Essa

curvatura determina o estado de energia da gua. A capilaridade atua na reteno de

gua dos solos na faixa mida quando os poros se encontram razoavelmente cheios. A

adsoro ocorre quando h seca, os poros vo se esvaziando e filmes de gua recobrem

as partculas slidas (Reichardt, 1990).

2.4.3. Infiltrao e redistribuio de gua no solo

Infiltrao o nome que se d entrada de gua no solo pela superfcie atravs

da chuva, irrigao ou inundao, a infiltrao ocorre de cima para baixo (Reichardt,

1990). Findado o processo de infiltrao, o movimento de gua dentro do perfil de solo

no cessa imediatamente e pode persistir por muito tempo. Esse movimento ps-

infiltrao chamado drenagem interna ou redistribuio e se caracteriza em aumentar a

umidade de camadas mais profundas pela gua contida nas camadas superficiais

umedecidas (Jury & Gardner, 1991, Loyola & Prevedello, 2003).

Quando o fornecimento de gua ocorre por irrigao mesmo assim a infiltrao

(redistribuio) ocorre em todas as direes, pois a gua sempre procura regies onde o

potencial menor.

O processo de infiltrao ocorre porque a gua da chuva ou irrigao tem

potencial total ( ) praticamente nulo e a gua no solo tem potencial negativo e quanto mais seco o solo mais negativo. Quando um solo se encontra no saturado, o potencial

total no incio da infiltrao grande e com o passar do tempo tende a se igualar ao g que pequeno ao incio do processo, logo o processo de infiltrao decai com o tempo

(desacelera).

O processo de redistribuio importante para a determinao da quantidade de

gua retida em funo do tempo e da profundidade, o que pode afetar a economia da

gua das plantas. A taxa e a durao do fluxo descendente durante a redistribuio

determinam o volume efetivo de gua armazenada. Finalmente o processo de

redistribuio importante devido ao fato de se poder determinar a quantidade de gua

que flui atravs da zona radicial e que pode perder-se por percolao, havendo a

possibilidade de lixiviar solutos.

16

2.5. Evapotranspirao

A evapotranspirao a transferncia de gua na forma de vapor do sistema

solo-planta para o ar, portanto ela o fenmeno combinado de evaporao da gua do

solo e de transpirao dos vegetais. A evaporao uma perda na qual a gua sai do

solo sem participar das atividades biolgicas da cultura. A transpirao vegetal participa

das atividades biolgicas da planta. Devido diferena de potencial total entre a gua

do solo e a gua da raiz, caule e folhas, esta se move geralmente do solo para as razes e

desta para a parte area da planta.

A distribuio e atividade radicial tm grande importncia na absoro de gua

pelas plantas, afetando a transpirao. As duas taxas de evaporao e transpirao so

importantes, pois, elas representam a perda total de gua para a atmosfera, que a

evapotranspirao (Reichardt, 1990). A perda de gua para a atmosfera atravs das

plantas uma conseqncia inevitvel da necessidade de um caminho fsico para a troca

gasosa de gs carbnico.

Desde o plantio uma cultura vai progressivamente crescendo e ocupando a rea

disponvel, e o conhecimento da evapotranspirao (ET) fundamental para projetos de

irrigao, pois ela representa a quantidade de gua que deve ser reposta ao solo para

manter o crescimento da espcie (Ferreira, 2004).

Quando uma cultura depende de irrigao, a quantidade de gua a ser aplicada

em cada irrigao deve ser aproximadamente aquela necessria para elevar a umidade

do solo capacidade de campo na profundidade efetiva de enraizamento da cultura. O

intervalo de tempo entre as irrigaes e a quantidade de gua a ser aplicada em cada

irrigao para uma cultura depende, entre outros, da capacidade de reteno de gua do

solo e da profundidade de enraizamento das plantas.

2.6. Modelos de crescimento de raiz

A absoro de gua freqentemente limitada pela profundidade e eficincia

dos sistemas radiciais. A maior dificuldade em descrever e estimar a distribuio de

gua reside na extrao de gua pelo sistema radicial (Coelho ,1999).

Segundo Cruz et al. (2005), a falta ou excesso de gua no solo so fatores

limitantes ao crescimento vegetal e podem diminuir a produtividade. Estudos que levem

17

a um melhor entendimento de como a gua se comporta na zona radicial de uma cultura

agrcola so de importncia indiscutvel ao adequado manejo agrcola.

A influncia da raiz no solo, pode torn-lo mais ou menos favorvel para o

crescimento da raiz. A raiz causa mudanas no solo, por exemplo em sua densidade,

pois ela cresce e ocupa os espaos que estavam ocupados por poros ou partculas, pois

evidentemente o tamanho das razes so maiores que os poros da terra. A quantidade de

razes medida em termos de rea de superfcie da raiz, comprimento da raiz, ou

volume da raiz (Barber, 1974 ).

O conhecimento do desenvolvimento das razes das plantas, sua posio,

extenso e atividade de absoro de gua em diversos estgios de crescimento muito

importante para o entendimento da produo vegetal.

Dois tipos de modelos de crescimento de razes se destacam, os arquitetnicos e

os modelos contnuos. Os modelos arquitetnicos levam em conta a forma, o

comprimento e a distribuio do sistema radicial (Rose, 1983; Pages et al., 1989; Narda

& Curry, 1981; Porter et al., 1986; Grant, 1993; Shibusawa, 1992; Diggle, 1988; Reddy

& Pachepsky, 2001). Os modelos contnuos levam em conta somente o crescimento do

sistema radicial, sem considerar a arquitetura (Page & Gerwitz, 1974; Hayhoe, 1981;

Brugge & Thornley, 1985; Chopart & Vauclin, 1990; Jones et al, 1990; Marani et al.,

1992; Subbaiah & Rao, 1993; Neto & Teruel, 1997; Doussan et al, 1998).

2.7. Proposio do problema

A presente dissertao uma pesquisa sobre o movimento da gua no solo para

um caso bidimensional com a presena de uma planta da espcie Louro Pardo (Cordia

trichotoma). O problema proposto a estimao do fluxo de gua do solo que a planta

absorve pelas razes em um determinado intervalo de tempo, no interior de um cilindro

de solo, submetido irrigao na superfcie. Dessa forma, o problema foi dividido em:

Determinao de um modelo matemtico para descrever as variaes do teor de umidade do solo considerando a absoro de gua pelas razes.

Determinao de um modelo matemtico para descrever o crescimento do sistema radicial.

18

3. DESCRIO DOS EQUIPAMENTOS E EXPERIMENTOS

A parte experimental da pesquisa foi realizada na casa de vegetao do campus

da UNIJU, e nos laboratrios de Botnica, Ictiopatologia e Fsica do Solo da UNIJU.

Foram realizados trs experimentos: densidade do solo, monitoramento do crescimento

do sistema radicial e a curva de reteno da gua.

O solo utilizado para a realizao dos experimentos predominante na regio

noroeste do estado do Rio Grande do Sul e foi coletado no IRDeR (Instituto Regional de

Desenvolvimento Rural). So latossolos formados a partir da intemperizao do basalto.

Predomina o Latossolo Vermelho Distrofrrico tpico, unidade de mapeamento Santo

ngelo, que se caracterizam pela colorao vermelha escura, perfil profundo e pela boa

drenagem natural. Texturalmente classificam-se como solos argilosos com

predominncia de argilas 1:1 e sesquixidos de ferro e alumnio (Seibt Filho, 2001).

Aps a coleta do solo, ele foi homogeneizado. A coleta abrangeu uma camada

que se estendia da superfcie at uma profundidade de aproximadamente de 30 cm. O

solo foi seco ao natural e depois peneirado com uma peneira com malha de 2 mm.

A espcie de planta utilizada para os experimentos o louro-pardo (Cordia

trichotoma) uma espcie florestal nativa no Rio Grande do Sul. O nome vulgar varia

de acordo com a regio, sendo a espcie tambm conhecida por amora-do-mato-alto

(PR), canela-batata (RJ, SP), capoeira (BA), folha-larga (SE), ip -louro (SP), ip-de-

tabaco (PR), jurut (SP), louro-batata (RJ, SP), louro-negro (SC), louro-preto (RS),

louro-verdadeiro, louro-da-serra (PR,RS), louro-do-mato (RJ), malvo (DF), pau-

cachorro (SP) e peterevy no Paraguai.

A rea de ocorrncia do louro-pardo, Cordia trichotoma, inclui a Argentina

(nordeste), Paraguai (leste) e Brasil, nos estados da Bahia (sul), Cear (serras), Paraba,

Esprito Santo (norte), Gois (sul), Minas Gerais (centro e sul), Mato Grosso do Sul,

Mato Grosso (sul), Pernambuco (Serra de Garanhuns e Serra Negra), Piau (sudeste),

Paran, Rio de Janeiro, Rio Grande do Sul (noroeste), Santa Catarina, Sergipe, So

Paulo e no Distrito Federal.

19

3.1. Densidade do solo

Objetivo: Medir a densidade do solo.

Equipamentos utilizados: anel volumtrico, balana analtica e estufa.

Procedimentos:

1. Separar 3 amostras de solo, com 200g cada uma.

2. Colocar as amostras na estufa a 105 C por 72h.

3. Medir a massa de solo seco ms.

4. Medir o volume do solo seco Vs.

5. Calcular a densidade global do solo (dg), que a razo entre a (ms) e o

(Vs), de acordo com a equao ( )2.1 . 6. Repetir os procedimentos 1 a 5, cinco vezes. O valor da mdia calculada

ser a densidade global do solo.

3.2. Monitoramento do crescimento do sistema radicial

Objetivo: Obter imagens do sistema radicial durante intervalos de tempo

( ), , , , , t 0 dias t 7 dias t 14 dias t 21 dias t 35 dias t 45 dias= = = = = = . Equipamentos utilizados: 10 vasos cilndricos de 30 cm de dimetro e 35 cm de altura,

casa de vegetao, pores de solo peneirado, mudas da espcie Louro Pardo (Cordia

Trichotoma).

Procedimentos:

1. Colocar 21.500 g de solo peneirado, em cada vaso cilndrico.

2. Plantar as mudas de Louro Pardo (Cordia Trichotoura) no centro do vaso

cilndrico. Aguardar duas semanas para a fixao da planta.

3. Fazer o monitoramento das plantas. A cada semana executar os seguintes

passos:

a. Sacrificar uma planta para fazer medies nas razes determinando

nmero de pices.

b. Fazer uma imagem do sistema radicial por scanner.

4. Repetir o procedimento 3 para 6 plantas.

20

Figura 3.1 - Fotografia dos cilindros com as plantas da espcie Louro pardo (Cordia trichotoma), no estgio inicial do experimento (Casa de Vegetao- Campus UNIJU).

Figura 3.2 - Fotografia dos cilindros com as plantas da espcie Louro pardo (Cordia trichotoma), na terceira semana do experimento (Casa de Vegetao-Campus UNIJU).

21

3.2.1. Imagens do sistema radicial da espcie rborea Louro pardo (Cordia

trichotoma)

As Figuras ( ).3 3 e ( ).3 4 apresentam respectivamente as imagens do sistema radicial das plantas sacrificadas, em t = 0 dias (considerado a primeira planta

sacrificada) e t = 45dias. O quadriculado corresponde a uma escala de , , 0 01m x 0 01m .

Figura 3.3 Sistema radicial planificado,

da epcie Louro pardo (Cordia

trichotoma), com t = 0 dias.

22

De acordo com as Figuras ( ).3 3 e ( ).3 4 , pode-se constatar que no h uma correspondncia seqencial entre o estgio inicial ( 0 dias) e o final (45 dias) das razes

das plantas. Ou seja, como as amostras no tm a mesma arquitetura e tamanho iniciais,

as imagens para os dias 7, 14, 21, 35 e 45 (Anexo I) no apresentam uma sequncia

regular de crescimento. Essa constatao, juntamente com a evidente perda de micro-

razes durante a extrao, alm da planificao do sistema tridimensional, inviabiliza

anlises da evoluo espacial das razes em funo do tempo, porm o mtodo d uma

idia da distribuio espacial (mesmo com problemas de preciso) e uma informao

global com relativa preciso sobre o somatrio de pices presentes no sistema.

A contagem do nmero de pices foi efetuado da seguinte maneira:

1. Cada imagem foi quadriculada com malha , , 0 01m x 0 01m , como

mostram as Figuras ( ).3 3 e ( ).3 4 . Cada quadrado corresponde seo radial de um anel de solo de raio ir , ,r 0 01m = e profundidade

,z 0 01m = . Esse anel ser chamado de volume de controle. 2. Para cada volume de controle foi contado o nmero de pices.

Figura 3.4 Sistema radicial planificado da espcie Louro pardo

(Cordia trichotoma), com t = 45 dias.

23

0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 6 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 4 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0

A =0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

45

1 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 3 4 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 3 3 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 3 5 5 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 1 3 2 2 0 0 0 0 0 0 03 3 1 0 3 0 1 1 0 0 0 0 0 0 03 0 3 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 03 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 00 1 0 3 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 00 0 3 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00

A =0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 01 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Os elementos da matriz 0A correspondem ao nmero de pices em cada volume

de controle em t 0 dias= , e a matriz 45A corresponde aos dados experimentais para t 45dias= .

As imagens e as matrizes com o nmero de pices do sistema radicial obtidas

para os tempos t = 7dias, t = 14dias, t = 21dias, t = 35dias, esto apresentadas nos

Anexos I e II respectivamente.

3.3. Curva caracterstica

Objetivo: Obter os dados para o potencial matricial e teor de umidade

adimensional.

Equipamentos: trs anis volumtricos, pores de 140g de solo, balana

analtica.

24

A determinao da curva caracterstica foi realizada em laboratrio, ela est

relacionada a caractersticas intrnsecas do solo, que expressa a umidade em funo do

potencial matricial da gua no solo (Libardi, 1995 ).

Para a realizao do experimento foram usados para produzir diferentes presses

nas amostras de solo:

1- Funil de placa porosa.

2- Cmara de Presso de Richards

O funil de placa porosa um sistema formado por um funil de plstico contendo

uma placa porosa, que pode suportar uma presso de 250 cmH2O. Ele conhecido por

Funil de Haines, conforme a Figura ( ).3 5 :

Figura .3 5 - Funil de Placa Porosa com a Coluna dgua.

25

Para que possa ser utilizado para a medida do potencial matricial, a haste do

funil prolongada por meio de um tubo flexvel, atravs do qual pode-se saturar ou

dessaturar a placa porosa. Para saturar a placa porosa mantm-se o nvel da gua

constante na coluna dgua em z 0= ; para dessaturar a placa porosa o nvel da gua na coluna dgua ficar constante em alguma das demais alturas, ou seja, de z = 10cmH2O

a 200 cmH2O.

A Cmara de presso de Richards uma cmara para suportar alta presso

(15.000 cmH2O), com uma placa de cermica porosa no seu interior, conforme a

Figura ( ).3 6 :

Figura .3 6 : Cmara de Presso de Richards

A face inferior coberta por um diafragma de borracha, selado em sua borda.

Entre a placa e o diafragma, existe uma tela de nilon para permitir o fluxo de soluo,

sem danificar o tubo de sada da soluo quando aplicado a presso desejada. 3.3.1. Procedimentos Funil de placa porosa

1. Separar 3 amostras de solo com 140g e coloc-las nos anis volumtricos.

2. Encher a coluna dgua at a marca de z 0cm= , conforme indicado na figura ( ).3 5 .

26

3. Colocar as amostras em uma bacia de gua para saturar o solo, deixando por

aproximadamente 1 hora.

4. Colocar as amostras no funil de placa porosa, aguardar por 1 hora, aps abrir o

primeiro grampo (em z = 10cmH2O), deixar por 24 horas.

5. Retirar as amostras e medir a massa de cada amostra

6. Repetir os procedimentos 4 e 5 para os grampos da coluna dgua que

correspondem s tenses 20cmH2O, 40 cmH2O, 60 cmH2O, 100 cmH2O,

150 cmH2O, 200 cmH2O.

3.3.2. Procedimentos Cmara de presso de Richards

1. Utilizar as mesmas amostras de solo com 140g nos anis volumtricos, do

equipamento Funil de placa porosa.

2. Colocar as amostras em uma bacia de gua para saturar o solo, deixando por

aproximadamente 1 hora.

3. Colocar as amostras de solo na cmara de presso de Richards.

4. Ligar o compressor, deixar estabilizar por aproximadamente 15 minutos, ajustar

a presso pra a tenso de 330 cmH2O (observando no relgio do aparelho),

deixar por 24 horas.

5. Retirar as amostras e medir a massa de cada amostra.

6. Repetir os procedimentos 2, 3, 4 e 5 para as tenses 500 cmH2O, 1000 cmH2O,

3.000 cmH2O, 5.000 cmH2O, 10.000 cmH2O.

27

4. MODELO MATEMTICO

4.1. Modelo para o movimento da gua no solo

O modelo matemtico que descreve o movimento da gua no solo, em condies

isotrpicas foi obtido a partir da equao de conservao de massa e da equao de

Darcy-Buckingham, conhecida como equao de Richards.

A equao de Darcy tambm conhecida como Lei de Darcy, foi a primeira

equao que quantificou o movimento de gua em solo saturado

0q k = G JG

( )4.1

onde qG

fluxo, ou seja, volume de gua por unidade de rea ( )1ms . 0k condutividade hidrulica do meio saturado ( )1ms JG gradiente de potencial hidrulico ( )1mm

A equao ( )4.1 foi generalizada para meios porosos saturados e no saturados e passou a se chamar equao de Darcy-Buckingham

( )q k = G JG ( )4.2

onde qG

fluxo, ou seja, volume de gua por unidade de rea ( )1ms . ( )k condutividade hidrulica em funo da umidade ( )1ms JG gradiente de potencial hidrulico total ( )1mm

A equao ( )4.2 descreve somente o regime estacionrio. Para contemplar o regime transiente, usa-se a equao da continuidade ou de conservao de massa.

Supondo um paraleleppedo com um volume de solo, onde um vetor de

densidade de fluxo qG

passe por este paraleleppedo:

28

Na direo y, o fluxo elementar do vetor densidade de fluxo que entra e que sai

do volume de solo dado pelas equaes abaixo, respectivamente:

entray yd q dxdz = ( )4.3

saiy

y y

qd q dxdz

y = + ( )4.4

O fluxo total na direo y,

entra saiy y yd d d = + ( )4.5

Substituindo as equaes ( )4.3 e ( )4.4 na equao ( )4.5 , obtm-se

yyq

d dxdydzy

= ( )4.6 ou

yy

qd dV

y = ( )4.7

Como yd a taxa de acumulao ou perda de gua, podemos escrever que

Figura 4.1 - Volume de solo, onde a soluo est fluindo.

29

( )sol,y

y

dVd

t = ( )4.8

Logo,

( )sol,y ydV q dV

t y = ( )4.9

O sinal negativo pelo fato que ( )sol,ydV t e yq y terem variaes opostas. Analogamente para as direes y e z, as taxas de acumulao ou perda de gua

so:

( )sol,x xdV q dV

t x = ( )4.10

( )sol,z zdV q dV

t z = ( )4.11

A taxa total de perda ou acumulao de gua ser dada pela soma das

equaes ( )4.9 , ( )4.10 e ( )4.11 :

( )sol,z yx zdV qq q dV

t x y z = + +

( )4.12

Como soldV dV=

yx zqq q

t x y z = + +

( )4.13 ou

qt

= JGG

( )4.14

30

que equao da continuidade.

Substituindo a equao ( )4.2 na ( )4.13 obtm-se a equao de Richards:

( )kt

= JG JG

( )4.15

Desdobrando ( )4.15 , em componentes cartesianos, obtm-se:

( ) ( ) ( ) x y zi j k k i k j k kt x y z x y z = + + + + ( )4.16

e consequentemente obtm-se a Equao de Richards em coordenadas cartesianas

ortogonais

( ) ( ) ( )x y zk k kt x x y y z z = + + . ( )4.17

A equao de Richards pode ser escrita de outras formas. Neste trabalho, ser

usada em coordenadas cilndricas relacionando o teor de umidade com o potencial total,

e com um termo fonte (sorvedouro):

( ) ( ) ( ) ( )21 1 ,r zk k k g z tt r r r r z z

= + + ( )4.18

onde o teor de umidade volumtrico adimensional do solo. ( )k a condutividade hidrulica ( )2 1 1m s Pa . o potencial hidrulico total ( )Pa . o ngulo polar ( )rad . t o tempo ( )s . r e z so as variveis espaciais ( )m

31

Para um problema de eixo simtrico as variaes do potencial em relao a so nulas e a equao ( )4.18 torna-se:

( ) ( ) ( )1 ,r zk k g z tt r r r z z = + ( )4.19

para 0 r R< < , 0 z H< < e 0t >

A equao ( )4.19 o modelo matemtico para o movimento de gua no solo com as seguintes condies iniciais e de fronteira:

( ) 0, ,0r z = 0 r R< < , 0 z H< < ( )4.20 ''( ,0, ) irr t qz

= 0 r R< < , 0 it t< < ( )4.21 ( ,0, ) 0r t

z = 0 r R< < , it t> ( )4.22

( , , ) 0R z tr

= 0 z H< < , 0t > ( )4.23 ( , , ) 0r H t

z = 0 r R< < , 0t > ( )4.24

onde ( ),g z t a absoro de gua pela raiz ( )3 1m s H a profundidade do tubo ( )m R o raio do tubo ( )m t o tempo ( )s it o tempo de irrigao ( )s 0 o teor de umidade volumtrico inicial ( )3 3m m ''irq o fluxo de irrigao por unidade de rea ( )1ms O potencial total de gua no solo a soma de todos os potenciais (gravitacional,

presso, matricial, osmtico), porm dependendo das condies hdricas do solo

(saturado ou no saturado), esses potenciais podem assumir valores nulos, permitindo

escrever a Equao de Richards de formas especficas para cada condio.

32

4.1.1. Caso solo saturado

No caso de solo saturado a condutividade hidrulica igual condutividade

hidrulica saturada.

( ) 0k k = Se ( ), , 1 1r z t + no significa que ( ), , 1r z t . Ento 0

t .

Para solo saturado o potencial total a soma do p e o g , e a equao ( )4.19 torna-se:

( ) ( ) ( )0 1 ,p g p gk r g z tt r r r z z + + = +

( )4.25

Mas 0gr = , g z = e

( )1 0z

= , logo a equao ( )4.25 torna-se:

( )20 21 ,p pk r g z tt r r r z = +

( )4.26

4.1.2. Caso solo no saturado

O caso de solo no saturado o teor de umidade adimensional varia de 0 1< < . Para solo no saturado o potencial total a soma do m e o g , e a equao ( )4.19 torna-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ,m g m gk r k g z tt r r r z z

+ + = + ( )4.27

Mas 0gr = e g z = , logo a equao ( )4.27 torna-se:

33

( ) ( ) ( ) ( )1 ,m m kk r k g z tt r r r z z z

= + + ( )4.28

4.1.3. Clculo dos potenciais

Os potenciais que envolvem o modelo proposto so os potenciais de presso

( )p e matricial ( )m . O potencial de presso uma funo da coluna de gua que atua sobre um

determinado ponto do solo e calculado pela equao ( )2.9 . O potencial matricial obtido experimentalmente atravs do ajuste da curva

caracterstica do solo. Um modelo emprico bastante verstil foi proposto por van

Genuchten (1980):

( )1

s rr mn

ma

= + +

( )4.29

onde s o teor de umidade volumtrico saturado ( )3 3m m r o teor de umidade volumtrico residual ( )3 3m m , ,a m n so parmetros do ajuste de curvas.

O teor de umidade adimensional expresso por:

r

s r

= ( )4.30

E substituindo ( )4.29 em ( )4.30 , tambm pode ser expresso por

1

1mn

ma = +

( )4.31

Logo, o potencial matricial expresso por:

34

11 1n mm a = ( )4.32

Mualem (1976) e van Genuchten (1980) desenvolveram a equao para

determinar a condutividade hidrulica para solo no saturados, por meio de parmetros

da curva de reteno de gua no solo:

( ) ( ) 210 1 1 ml mk k = , ( )4.33

onde 0k a condutividade hidrulica do solo saturado, m o parmetro da curva

caracterstica, e l um parmetro considerado por Mualen (1976) igual a 2.

4.1.4. Clculo do volume de gua absorvida pela raiz

O termo fonte relativo absoro de gua proporcional quantidade de pices :

( ) ( ), ,fr 0g z t k dt A i j= ( )4.34

onde ( ),g z t o teor de umidade adimensional retirado de cada clula frk uma constante de proporcionalidade ( )3 1 1m na h dt intervalo de tempo ( )h 0A a matriz densidade de pices ( )3na m

O nmero ( ),g z t proporcional frao de gua retirada das clulas em cada intervalo de tempo. uma grandeza adimensional. Se ( ) 0,0 =jiA ento ( ),g z t 0= e portanto, ( ),g z t no tem teor de umidade residual associado. Assim

( ), fs

g z t= ( )4.35

35

onde f a magnitude do teor de umidade retirado ( )3 3m m s o teor de umidade de saturao ( )3 3m m

Da equao ( )4.35 tem-se

( ),f s g z t = ( )4.36

da definio do teor de umidade encontrada na equao ( )4.30 o volume de gua retirado do solo

sfwf VV = ( )4.37

4.2. Modelo para o termo fonte ( ),g z t da equao ( )4.19 .

A equao ( )4.19 possui um termo fonte do tipo sorvedouro, que quantifica a absoro de gua do solo pela raiz da planta. Neste trabalho, esse termo ser

considerado proporcional ao nmero de pices da raiz por unidade de volume (, densidade de pices, 3na m , onde na o nmero de pices). O nmero de pices por volume de controle foi estimado experimentalmente

atravs da imagem da raiz obtida por scanner, a qual fica na forma plana, de acordo com

o Captulo 3 (p.22-23)

Como cada pice situado uma quadricula da malha plana estar ocupando

qualquer posio dentro do volume de controle. A densidade de pices que dada por:

naVC

= ( )4.38

onde a densidade de pices ( )3na m na o nmero de pices

VC o volume de um volume de controle ( )3m

36

O crescimento do sistema radicial foi simulado considerando uma disperso

difusiva, descrita pela conhecida equao diferencial parcial da difuso. Nessa equao

relacionou-se a densidade de pices em funo do tempo e do espao

( ),ar z

C

g z t1 R Rt r r r z z K = + + ( )4.39

para 0 r R< < , 0 z H< < e 0t >

Com as seguintes condies iniciais e de fronteira

0( , ,0)r z = , 0 r R< < , 0 z H< < ( )4.40 ( ,0, ) 0r t

z = , 0 r R< < , 0t > ( )4.41

( , , ) 0R z tr = , 0 z H< < , 0t > ( )4.42

( , , ) 0r H tz = , 0 r R< < , 0t > ( )4.43

onde a densidade de pices ( )3na m 0 a densidade de pices inicial ( )3na m rR e zR so constantes de difuso dos pices ( )2 1m h ( ),ag z t o termo de gerao de massa de raiz ( )3na h m CK o fator de crescimento da raiz ( )1h H a profundidade do tubo ( )m R o raio do tubo ( )m r e z so variveis espaciais ( )m t a varivel temporal ( )h

A densidade dos pices foi calculada para cada volume de controle, que para um

problema de eixo simtrico em coordenadas cilndricas um anel.

37

O volume de um volume de controle obtido fazendo a diferena entre os

volumes de dois cilindros de raio ir e 1ir , sendo 1 2r r< , no intervalo 0 r R< < .

2 21i iVC r z r z = ( )4.44

ou

( ) ( )( )2 21 1 1i i i i i iVC r r z r r r r z = = + ( )4.45

para 1,2,3,...,i n= , onde n o nmero de VC e 0 1 20, , 2 ,..., nr r r r r r n r= = = = . Ento,

ir i r= e ( )1 1ir i r = ( )4.46

E levando ( )4.46 em ( )4.45 obtm-se

( ) 22 1VC i r z= ( )4.47

Esquema dos anis no volume de controle

Figura 4.2 -

38

5. SOLUO NUMRICA

O mtodo numrico utilizado para a resoluo numrica das equaes

diferenciais parciais ( )4.26 , ( )4.28 e ( )4.39 foi de Diferenas Finitas. Neste captulo so apresentadas as condies de contorno do problema, discretizao das equaes

citadas e fluxogramas dos programas computacionais elaborados.

5.1. Soluo numrica para o movimento da gua no solo

A simulao da irrigao considera um fluxo de gua ''irq em toda a regio da

superfcie ( )0 r R< < , sendo ela uma condio de fronteira de Newmann, as condies de fronteira de r R= , z H= so de isolamento e em 0r = um eixo simtrico (onde h a presena da raiz), de acordo com a figura abaixo:

Na Figura ( )5.1 so mostradas as condies de fronteira usadas para a soluo do problema, onde

Figura 5.1 Malha do domnio de integrao para diferenas finitas.

1

2

Irrigao, condio de fronteira de Newmann.

Fronteira lateral do cilindro (isolamento).

39

Para a discretizao das equaes ( )4.26 e ( )4.28 foi usado o mtodo das Diferenas Finitas Centrais (CDS Central Difference Scheme), com o esquema

temporal explcito, por se tratar de um problema onde predomina a difuso, devido a

reduzida velocidade com que a gua se desloca no solo.

Foi adotado W,E para as posies em r; N,S,P para as posies em z, e ( )0 e ( )1 para tempos anteriores e atuais, respectivamente, alm da discretizao pela frmula de

Taylor (Maliska, 1985 e Smith, 1985) para as primeiras e segundas derivadas, obtm-se:

Para a parte temporal:

1 0P P

t t =

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