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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES

URI CAMPUS DE ERECHIM

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

CURSO DE MATEMÁTICA

GIANA ROBERTA FESTUGATTO

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

ERECHIM

2009

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GIANA ROBERTA FESTUGATTO

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

Monografia apresentada para obtenção do título de Licenciada em Matemática, no Curso de Matemática do Departamento de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões – Campus de Erechim.

Orientadora: Profª Ms. Hélia Valério Thibes

ERECHIM

2009

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AGRADECIMENTOS

A realização de um trabalho envolve empenho, dedicação, garra e persistência, não só do

seu autor, mas de todos os que estão inseridos em sua vida. Dessa forma, este trabalho é

dedicado àqueles que, de uma ou de outra forma, se fizeram presentes nesse período, a quem

agradeço.

Primeiramente a Deus, por permitir a concretização de algo tão sonhado e planejado,

mesmo quando surgiram obstáculos em meu caminho. Sei que os obstáculos foram superados

por sua proteção e luz que guiaram meus passos;

À minha mãe (Claudete), à qual devo tudo que sou, exemplo de vida, amor, doação, que

sempre acreditou em mim e me fez lutar por meus sonhos e ideais nos momentos de fraqueza,

desespero e angústia. Mãe, você me deu colo, me consolou, nunca me deixou faltar a sua

palavra de alento. Muito obrigada minha mãe, você abdicou dos seus sonhos em virtude de

mim e hoje estou dedicando um pequeno pedaço da minha vida a você.

Ao meu noivo (Rodrigo), que sempre me apoiou, me incentivou e continua incentivando a

estudar, agradeço pela sua paciência, por ter me apoiado, me ajudado. Obrigada pelas

“caronas” para casa, quando a aula terminava um pouco antes, ou mesmo quando eu estava

cansada.

À minha orientadora, Ms. Hélia Valério Thibes, exemplo de professora, amiga,

companheira e guia nessa caminhada, a qual fez da realização deste trabalho não algo maçante

e, sim, um contentamento, e que sempre acreditou em meu potencial, auxiliando-me no meu

crescimento, tanto profissional quanto pessoal. A você professora, o meu agradecimento, por

ter sido minha orientadora e minha professora, a qual admiro e por quem tenho grande estima.

Obrigada por ser tão especial!

E aos verdadeiros amigos, pelo fato de acreditarem na concretização deste ideal e que

souberam dizer uma palavra de conforto quando se fez necessário.

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“Ela [a Lógica] lhe dará clareza de pensamento, a habilidade de ver

seu caminho através de um quebra-cabeça, o hábito de arranjar suas idéias

numa forma acessível e ordenada e, mais valioso que tudo, o poder de detectar

falácias e despedaçar os argumentos ilógicos e inconsistentes que você

encontrará tão facilmente nos livros, jornais, na linguagem cotidiana e mesmo

nos sermões e que tão facilmente enganam aqueles que nunca tiveram o

trabalho de instruir-se nesta fascinante arte”

Lewis Carrol

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À minha mãe Claudete, cujo amor me engrandece.

Ao meu noivo, Rodrigo, cujo amor me honra e enriquece.

À minha orientadora, Hélia V. Thibes, cuja amizade é um privilégio.

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RESUMO

A pesquisa: “Curiosidades Matemáticas”, teve como objetivo verificar como as curiosidades matemáticas, desafios e problemas interessantes podem trazer contribuições ao ensino da matemática e quais são estas contribuições. Ao abordarmos o tema curiosidades matemáticas na perspectiva da resolução de problemas, possibilitamos aos alunos o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo, a agilidade em seu pensamento matemático e também a possibilidade de ampliar sua visão dos problemas, bem como do mundo em geral, auxiliando no desenvolvimento de sua autoconfiança. Conforme alguns autores estudados, podemos citar como curiosidade a diferença de motivação existente entre alunos que participam de uma aula formal em sala de aula e de uma aula que envolve dinamismo, ludicidade, cooperação, e atenção de todos.

Palavras-chave: Resolução de problemas. Curiosidades matemáticas. Desafios e problemas

interessantes.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 8

2 A ABORDAGEM LÚDICA E OS PROBLEMAS MATEMÁTICOS...... ......... 10

3 A IMPORTÂNCIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E A APRENDIZAGEM MATEMÁTICA............................ ......................................... 16

4 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS, DESAFIOS E PROBLEMAS INTERESSANTES................................................................................................... 22

4.1 PROBLEMA DOS CAMELOS................................................................................. 23

4.2 PROBLEMA DOS 8 PÃES....................................................................................... 25

4.3 PROBLEMA DO JOALHEIRO E DO HOSPEDEIRO............................................ 27

4.4 PROBLEMA DO NÚMERO DE CAMELOS DE UMA CÁFILA.......................... 29

4.5 PROBLEMA DAS CURIOSIDADES: QUADRADOS NUMÉRICOS................... 32

4.6 PROBLEMA DO JOGO DE XADREZ.................................................................... 33

4.7 DESAFIO: VOCÊ CONHECE O NÚMERO MÁGICO?......................................... 37

4.8 UMA CURIOSIDADE COM OS NÚMEROS DE TRÊS ALGARISMOS............. 38

4.9 OUTRA FORMA DE CALCULAR POTÊNCIAS................................................... 38

4.10 MANEIRA ENGENHOSA DE SABER A IDADE DE ALGUÉM........................ 39

4.11 PROBLEMA DE SONDAGEM.............................................................................. 40

4.12 PROBLEMA DE ANÁLISE I................................................................................. 40

4.13 PROBLEMA DE ANÁLISE II................................................................................ 40

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................................... 42

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................... 44

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1 INTRODUÇÃO

Quais as contribuições que as curiosidades matemáticas, desafios e problemas

interessantes podem trazer à aprendizagem matemática? Tendo em vista esta pergunta,

buscamos realizar este trabalho com o objetivo de: verificar como curiosidades matemáticas,

desafios e problemas interessantes podem trazer contribuições ao ensino da matemática e

quais são estas contribuições; identificar as contribuições de uma abordagem lúdica dos

problemas matemáticos ao ensino e à aprendizagem da matemática; verificar a importância da

resolução de problemas na aprendizagem da matemática; investigar e selecionar algumas

curiosidades matemáticas, desafios e problemas interessantes.

Justificamos nosso trabalho pela necessidade de investigarmos de que forma as

curiosidades matemáticas podem contribuir para a aprendizagem da matemática de forma que

possibilitem ao aluno desenvolver o raciocínio lógico-dedutivo, pela importância de

verificarmos de que forma a resolução de problemas pode contribuir para uma significativa

aprendizagem, contribuindo com professores e acadêmicos com estratégias de ensino, para

que estes possam projetar e efetivar um trabalho de forma eficaz para a construção do

conhecimento matemático.

Para a realização deste trabalho constituído de três seções utilizamos como metodologia a

pesquisa qualitativa e bibliográfica. Na primeira seção abordamos os problemas lúdicos e a

aprendizagem matemática, na qual buscamos, através de vários autores descobrir, o que se

pode fazer para resgatar a ludicidade no ensino da matemática, pois através dela é possível

fazer um trabalho onde os alunos aprendam sem perceber, é possível diminuir os bloqueios

apresentados por muitos alunos que temem a matemática e sentem-se incapazes de aprendê-la.

A partir do momento em que o professor se assume como profissional responsável pela

aprendizagem dos alunos, ele precisa definir metodologias alternativas para a motivação e a

aprendizagem, dando significado a ela. Se o professor não utiliza uma metodologia voltada a

esse pensamento, ele corre o risco de apresentar o conhecimento apenas como informação. Na

segunda seção estudamos de que forma a resolução de problemas e a aprendizagem

matemática devem interagir. Na terceira e última seção apresentamos algumas curiosidades

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matemáticas, desafios e problemas interessantes existentes no livro “O Homem que

Calculava” de Malba Tahan (1965), e demais curiosidades que estimulem o desenvolvimento

do raciocínio lógico, os quais os professores podem utilizar durante sua prática pedagógica.

Juntamente com cada problema, procuramos relacionar e discutir os conteúdos que podem ser

trabalhados numa perspectiva lúdica, em busca do conhecimento matemático. Finalmente, nas

considerações finais, apresentamos nossas conclusões sobre o trabalho, expondo o nosso

parecer e aprendizado sobre o assunto.

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2 A ABORDAGEM LÚDICA E OS PROBLEMAS MATEMÁTICOS

O grande desafio da Educação Matemática para o século XXI é o de revolucionar as ideias

antiquadas de que a aprendizagem matemática é apenas a aquisição de competências de saber

somar, subtrair, multiplicar e dividir. Não que estas operações não sejam relevantes na vida de

qualquer pessoa, com certeza são, mas os educadores do século XXI devem ir muito além

disso, devem proporcionar a seus alunos a “saída” da mesmice que vem se alastrando há

séculos e torná-los capazes de enfrentar o novo modelo de civilização que está surgindo

juntamente com o novo século. Evidente que para os educadores conseguirem esta mudança é

preciso que eles mesmos se renovem. Nossa responsabilidade, explica D`Ambrosio (2005) é

preparar a nova geração para um novo sistema de valores, no qual não teremos espaço para

intolerâncias, arrogâncias e preconceitos. Devido à exigência desta mudança, é que

precisamos de uma nova proposta, com a qual devemos buscar alternativas e sugestões para

preparar nossos alunos para uma nova era na educação, e a Educação Matemática tem tudo a

ver com estas mudanças. A Educação Matemática deve ser participante destas mudanças,

acompanhando-as, conforme coloca D`Ambrósio (2005, p. 97): “A criatividade das novas

gerações deve ser estimulada. Mas estamos vivendo hoje, subordinados a um sistema de

valores que permitem evitar o caos total.”

No Brasil temos assistido, nas duas últimas décadas, a um crescente interesse pela

Educação Matemática, traduzido em estudos e pesquisas, num esforço geral de integrar, de

uma maneira adequada, a matemática, no contexto sociocultural. É possível então apontar,

nesse contexto, como uma das atividades sociais mais espontâneas, os jogos, os desafios e

problemas interessantes. Podemos observar uma concordância com essas idéias, sugerida nas

palavras de Almeida, quando diz que “o jogo constitui sempre uma forma de atividade natural

do ser humano, tanto no sentido de recrear como educar, ao mesmo tempo” (ALMEIDA,

1978, p. 5).

Alguns professores e grupos de profissionais da educação buscam iniciativas direcionadas

para tentar estabelecer uma melhoria na qualidade de ensino, aumentando o interesse do

aluno, resgatando assim a integridade do ensino da matemática. No contexto da prática

educacional, o emprego dos artefatos didáticos tem sido recomendado e difundido como uma

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das alternativas de ação adotada pelos professores de matemática, a fim de ajudar a tentar

superar o grande desinteresse e repúdio dos alunos em relação à disciplina de matemática

(MENEZES et al., 2008).

Tendo como finalidade estabelecer uma melhoria na qualidade de ensino, temos diversas

atividades que podem contribuir com isto, um exemplo são as atividades lúdicas, que devem

ser vivenciadas pelos educadores e educandos. É uma possibilidade de trabalhar com a

matemática de forma diferente, de maneira a melhorar o relacionamento entre as pessoas,

havendo maior interação, cooperação, afetividade, autoconhecimento, autonomia, prazer,

imaginação e criatividade, entre outros aspectos, propiciando, através do lúdico, a

oportunidade, a construção do querer aprender, fazer, construir, buscar o conhecimento, ter

vontade de pesquisar, imaginar.

A ludicidade é a possibilidade de diminuir os bloqueios apresentados por muitos alunos

que temem a matemática e sentem-se incapazes de aprendê-la. Um aspecto relevante das

curiosidades matemáticas, desafios e problemas interessantes é o desafio genuíno que eles

provocam no aluno, que gera interesse e prazer, por isso, é importante que as curiosidades

matemáticas façam parte da cultura do processo de ensino aprendizagem da matemática,

cabendo ao professor analisar a potencialidade educativa que se pode obter (GROENWALD,

2008).

Para ratificar nossa opinião, podemos nos basear no que Vygostsky (1994) afirmava, ou

seja, que através do brinquedo a criança aprende a agir numa esfera cognitivista, sendo livre

para determinar suas próprias ações. Segundo o autor, o brinquedo estimula a curiosidade e a

autoconfiança, proporcionando desenvolvimento da linguagem, do pensamento, da

concentração e da atenção.

Ensinar matemática é desenvolver o raciocínio lógico, estimular o pensamento

independente, a criatividade e a capacidade de resolver problemas. Nós educadores devemos

estimular o pensamento independente, buscar as possibilidades de aumentar a motivação para

a aprendizagem, desenvolver atividades lúdicas que provoquem o aumento da capacidade de

autoconfiança, de organização e concentração, estimulando a socialização, e por

consequência, aumentando as interações do indivíduo com as outras pessoas e com o mundo

do qual ele faz parte.

O uso de jogos, a história da matemática, as curiosidades, desafios, problemas

interessantes, a ajuda dos recursos tecnológicos, têm o objetivo de fazer com que os alunos

gostem de estudar matemática, mudando a rotina da sala de aula com desafios e atividades

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diferentes. As atividades que envolvem o lúdico tornam as aulas de matemática mais alegres e

produtivas e, desta forma, não serão mais classificadas como aulas monótonas, despertando

nos alunos um interesse que os motiva a se envolverem e “descobrirem”, através de um

processo interessante e divertido. Podemos verificar uma concordância com estas idéias

sugerida nas palavras de Groenwald (2008), que diz que: “o uso de curiosidades no ensino da

matemática tem o objetivo de fazer com que os adolescentes gostem de aprender essa

disciplina, mudando a rotina da classe e despertando o interesse do aluno envolvido”.

Grande parte dos professores de matemática compartilha de uma preocupação no que diz

respeito à dificuldade e ao fracasso de alguns dos alunos, principalmente os da escola pública:

o contraste existente entre a motivação das atividades informais de sala de aula e a proposta

de problemas curiosos, quando marcam presença as habilidades requeridas pela matemática

como, a organização, atenção e concentração.

Um fato curioso que constatamos é a postura que os alunos assumem frente aos desafios e

curiosidades matemáticas, segundo Florsheim, citado por Borin, parece com a de “um

cientista na busca de uma solução para um problema” (BORIN, 2007, p.1).

Cabe-nos ainda mencionar a grande diversidade de artigos publicados em periódicos e

livros especializados em Educação Matemática, sobre a utilização de desafios, curiosidades e

problemas interessantes. Muitos destes artigos buscam analisar de que forma devemos

selecionar a população alvo, de que forma os conceitos podem ser extraídos a partir dos

desafios, quais conceitos utilizar na resolução do desafio e como aplicá-los em sala de aula.

A atividade lúdica é educativa quando, além de motivar, desperta no aluno o interesse, o

conceito de escolha, de julgamento, de classificação e, principalmente, torna o aluno um

indivíduo capaz de tomar decisões.

Na esfera da matemática, os desafios, problemas interessantes e curiosidades matemáticas

permitem ao aluno buscar alternativas de resolução em seu cotidiano, através de suas

experiências diárias. Através desta organização do pensamento o aluno pode associar seus

conhecimentos anteriores e atuais, evitando a memorização, o que permite trabalhar com

diferentes informações ao mesmo tempo, e a qualquer momento.

A partir do momento em que o professor se assume como profissional responsável pela

aprendizagem dos alunos este precisa definir metodologias alternativas para a motivação da

aprendizagem e dar significado a ela. O professor que não utiliza uma metodologia voltada a

esse pensamento corre o risco de apresentar o conhecimento apenas como informação.

Conceber a aprendizagem significa possibilitar a compreensão e reconstrução do

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conhecimento, “ao respeitar a capacidade e a maneira de interagir do aluno” (ZORZAN,

2004, p.199).

Cabe ao professor possibilitar ao aluno a reflexão inter e transdisciplinar na abordagem do

objetivo, possibilitar através de aprendizagem matemática a formação de cidadãos flexíveis às

mudanças e transformadores da consciência e da ação individual e coletiva. A ludicidade deve

estar presente no ensino da matemática.

O trabalho que envolve a ludicidade é educativo, sendo assim, a utilização de

curiosidades, problemas interessantes e desafios matemáticos deve ter o objetivo de englobar

os conceitos matemáticos e culturais de uma maneira geral. Sabemos da importância de se

trabalhar em sala de aula os conceitos e linguagem matemática, mas nós professores devemos

reservar um tempo no planejamento para difundir estes conceitos em aulas interessantes que

levem o aluno a ter vontade de pesquisar, de avaliar, de pensar logicamente, em busca da

melhor alternativa para resolver determinado desafio, curiosidade ou problema interessante.

Um dos maiores motivos de se trabalhar com atividades lúdicas é a possibilidade de

diminuir os bloqueios de muitos alunos que não gostam ou temem a matemática, e o principal

problema, sentem-se incapacitados de aprendê-la. Com a introdução das atividades lúdicas

podemos proporcionar a estes alunos uma possibilidade de haver maior envolvimento com os

colegas, maior interação com as atividades de grupo, melhor relação com a sociedade, ou seja,

o indivíduo se torna mais socializado, mais atuante na sociedade em que vive e também

apresenta um melhor desempenho nos seus processos de aprendizagem.

Segundo Malba Tahan, citado por Santos, “o jogo faz com que o aluno sem aptidão para a

matemática, passe a gostar dela” (1978, p. 183). A respeito, conclui Santos: “Assim, o poder

de motivação e o poder de integração da técnica de jogos deveriam interessar positivamente

ao ensino da matemática” (1978, p.1).

Baseados nos dizeres de Malba Tahan (1965), os educadores devem estar atentos e

analisar a forma de pensamento das crianças. Sabemos que elas pensam de maneira diferente

dos adultos, por isso é preciso que o professor, o educador, conduza de maneira positiva as

atividades, para que possa atingir seus objetivos, e não deixar a aula se tornar uma

brincadeira, ou seja, ele deve ser um observador atento durante a realização da atividade,

intervindo às vezes com questões intrigantes que levem o aluno a pensar, a raciocinar,

auxiliando-o a construir regras para a resolução dos desafios e principalmente a fazer os

alunos pensarem de modo que eles entendam, mas nunca esquecendo a importância da

linguagem matemática.

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Um dos maiores desafios que os matemáticos têm pela frente é este, tornar acessível o que

parece difícil ao maior número de pessoas possível, não se trata de organizar currículos e

aplicá-los em sala de aula, e cobrá-los em testes, exames e provas, é preciso ensinar e ter

certeza de que o aluno aprendeu. É preciso certificar-se de que o aluno é capaz de se

posicionar frente à sociedade tão preconceituosa e discriminativa, e, principalmente, que

possui opinião própria.

Vejamos a concordância de idéias com D’Ambrosio:

Apesar de todos os riscos de ser criticado por especialistas em latim, não posso resistir a um exercício/liberdade etimológico. Entendo, e assim pratico, EDUCAR a partir do latino educere = fazer sair, tirar para fora [as idéias, a imaginação, a criação]. Mas rejeito que se pratique DUCAR, que vem do latino ducere=guiar, conduzir. Uma consequência de testes e exames padronizados é que se está praticando DUCAÇÃO e não EDUCAÇÃO. (2005, p. 10 grifo do autor).

Com base em D’Ambrosio (2005), relacionamos alguns benefícios que as curiosidades,

desafios e problemas interessantes podem trazer ao se trabalhar de forma lúdica:

- o professor consegue detectar os alunos que estão com dificuldades reais;

- gera uma competição entre os alunos, os quais buscam ultrapassar seus limites para chegar

ao resultado final rapidamente;

- durante a resolução dos problemas os alunos se tornam mais críticos, confiantes;

- os alunos expressam suas idéias, elaboram perguntas e tiram suas conclusões;

- o medo de errar não é mais problema, pois errando é que se chega ao resultado;

- o aluno demonstra ao professor e aos colegas se conseguiu aprender o conteúdo e os

conceitos estudados em sala de aula;

- existe a empolgação da aula diferente, que faz o aluno aprender sem que perceba, ou que

fique achando a aula chata;

Sabemos que os benefícios são inúmeros, porém não devemos esquecer dos cuidados que

o professor deve tomar ao promover uma aula envolvendo as curiosidades matemáticas:

- escolher as atividades com cuidado, prestando atenção na interação das mesmas com os

conceitos matemáticos estudados;

- estabelecer regras para o bom funcionamento da aula;

- estudar a atividade e verificar as possibilidades de resolução e as possíveis questões que

serão levantadas;

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- se a atividade for em grupo, oportunizar a interação social;

- promover a discussão sobre a melhor forma de resolução;

- se algum aluno não conseguir resolver a questão, o professor deve ajudá-lo a encontrar

alternativas, e incentivar o raciocínio lógico.

Muito ouvimos falar em conectar a teoria à prática, mas sabemos que em muitas situações

não o fazemos. Utilizar curiosidades, desafios e problemas interessantes é uma alternativa,

uma chance de fazê-lo. Trabalhar com o lúdico é motivacional, é envolvente e apaga de vez

com a imagem de que a matemática é a mesmice, que não muda nunca, que é chato estudar.

Devemos utilizar curiosidades, desafios, problemas interessantes como facilitadores para o

processo de ensino-aprendizagem e não como instrumentos recreativos. Para atingir o

objetivo de tornar as curiosidades um facilitador na aprendizagem, os professores devem

escolhê-las cuidadosamente, a fim de que o estudante consiga relacionar a teoria e os

conceitos às atividades que envolvem curiosidades, desafios e problemas interessantes.

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3 A IMPORTÂNCIA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E A APREN DIZAGEM

MATEMÁTICA

No contexto da educação matemática, um problema, ainda que simples, pode suscitar o

gosto pelo trabalho mental, se desafiar a curiosidade e proporcionar ao aluno o gosto pela

descoberta da resolução. Neste sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do aluno

e fazê-lo se interessar pela matemática, de modo que ao tentar resolvê-los o aluno estimula a

criatividade e aprimora o raciocínio, além de utilizar e ampliar seu conhecimento matemático.

O problema é o meio pelo qual a matemática se desenvolve, ou seja, o “alimento” da

evolução matemática. Ligadas ao problema citado, estão as idéias que surgem, que movem e

impulsionam os diversos ramos da matemática. Um problema sempre será mais valioso, se o

resolvedor, ou seja, quem está proposto a resolvê-lo, for criativo e tiver que inventar

estratégias e criar idéias para solucioná-lo.

Através da resolução de problemas, o professor pode buscar alternativas para aumentar a motivação para a aprendizagem, desenvolver a autoconfiança, a organização, concentração, atenção e o raciocínio lógico-dedutivo (GROENWALD, 2008).

Por isso, pensamos que é necessário haver propostas de ensino-aprendizagem que

envolvam a resolução de problemas, como os PCNs sugerem:

A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade de gerenciar as informações que estão ao seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. (BRASIL, 1998, p. 40)

Todo conhecimento é resultado de um longo processo cumulativo de geração, de

organização intelectual, de organização social e de difusão. Esses estágios são normalmente

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de estudo das chamadas teorias da cognição epistemológica, histórica e sociológica,

educacional e política. O processo como um todo, extremamente dinâmico e jamais

finalizado, está obviamente sujeito à condição muito específica de estímulo e de subordinação

ao contexto natural, cultural e social do conhecimento.

Já o processo educacional é global e na verdade sempre produz resultados positivos, mas

muitas vezes não aqueles que pretendíamos na verdade, a cada instante da vida há

aprendizado, normalmente sem interferência da escola ou do professor.

A história da matemática revela que o conhecimento abstrato buscando situações e

problemas distintos, buscando construir saberes para suprir necessidades e segundo interesses

sociais, sempre existiu. Dois são os marcos históricos da matemática, o primeiro imprimido

em Platão até o final do século XIX, e o movimento da Matemática Moderna, a partir do

século XX, mais especificamente entre os anos de 1960 a 1970. Este não conseguiu resolver

os problemas do ensino da disciplina, dando mais ênfase ao ensino da matemática e dando

pouca importância ao contexto cultural. A proposta do movimento da Matemática Moderna

explicitava seus compromissos com o progresso técnico, colocando a matemática como base

de uma cultura voltada para a ciência e a tecnologia, tendo como meta mais o ensino por

abstração ou memorização, sem a preocupação com aplicações práticas. “Por isso a educação

matemática do século XXI requer do professor o desvencilhamento da noção didático–

metodológica que simplesmente prioriza a transmissão/assimilação/memorização do

conhecimento” (ZORZAN, 2004, p.193). O professor precisa se desafiar a construir o

conhecimento, no processo de ensino-aprendizagem, constituído segundo a necessidade das

escolas, é necessário reverem constantemente suas concepções de ensino e aprendizagem.

A Educação Matemática requer, além do domínio do conhecimento, a necessidade de

aprender e ensinar a estabelecer concessões entre diferentes áreas do conhecimento; isso

possibilita diferentes compreensões e processos resultantes do conhecimento matemático.

Os professores precisam reconhecer que os saberes matemáticos requerem do aluno a

capacidade de compreensão, e tal construção começa pelo professor de séries iniciais onde é

preciso possibilitar aos alunos saberes cotidianos e saberes elaborados visando à formação de

significado a fim de serem representados matematicamente.

A resolução de problemas foi a técnica também usada por Borin, (onde a autora relata

experiências realizadas com alunos de quinta série, onde foi trabalhado com jogos numa

perspectiva de Resolução de Problemas), por ser considerada por ela “a mais adequada para

desenvolver uma postura crítica ante qualquer situação que exija resposta.” (2007, p.10).

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Podemos fortalecer nossa idéia com os dizeres de Menezes et al (2008):

O questionamento inicial do professor levaria os alunos a assumirem uma postura

crítica frente ao problema. Várias técnicas de resolução surgem, como tentativa e

erro, redução a um problema mais simples, resolução de trás para diante, desenhos

gráficos, tabelas e analogia. As dificuldades enfrentadas referem-se em geral ao

tempo disponível, ao barulho consequente do trabalho de grupo, da necessidade do

preparo dos alunos e do professor para o trabalho coletivo, e à não-obrigatoriedade,

posto que nem todos gostem da atividade. Deste modo é necessário que o professor

tome o cuidado de estudar todos os problemas antes, registrando as soluções

juntamente com as estratégias desenvolvidas para a resolução.

Com as curiosidades matemáticas, bem como com os desafios e problemas interessantes,

sabemos que para que o aluno consiga resolvê-los é preciso partir da premissa das etapas de

resolução de problemas, ou seja, primeiramente deve-se saber o que é um problema

matemático. Silveira (2009), explica que “um problema matemático é toda situação

requerendo a descoberta de informações desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo

e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado”. Em segundo lugar,

devemos compreender o problema, o que está sendo pedido, elaborar um plano de resolução

do mesmo, devemos analisar a melhor forma de executar este plano para, finalmente, avaliar a

eficácia do plano e seus resultados.

É claro que quando trabalhamos com atividades diferentes, o barulho é inevitável, pois

somente através de discussões é possível chegar a resultados convincentes. É preciso

considerar este barulho como uma forma construtiva do conhecimento e da aprendizagem.

Sem o barulho, dificilmente haverá clima para a atividade ou mesmo motivação. Mais uma

vez estamos falando de trabalho em grupo. Se os alunos estiverem acostumados a trabalhar

em grupo, o barulho diminui. Através de diálogos e troca de lugares é possível fazer um

excelente trabalho. É preciso enfatizar a importância de aceitar opiniões contrárias para a

descoberta da solução, gerando resultados extremamente positivos.

Segundo Soares e Dornelas (2008), “[...] os livros didáticos por muitos anos excluíram os

alunos da construção dos conteúdos, ou seja, abandonaram o raciocínio dedutivo, e as

demonstrações, enfatizando o uso de algoritmos e fórmulas nem sempre bem compreendidas

pelos estudantes.”

Dessa forma, os alunos aprendem as fórmulas para o momento de aplicá-las em prova,

logo após já as esqueceram. Muitas vezes sabem aplicar as fórmulas em problemas muito

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parecidos com o que trabalharam em sala de aula, mas quando se deparam com uma situação

muito similar no seu cotidiano, não são capazes de identificar a forma de resolução, mesmo

que tenham todo o conhecimento necessário para resolvê-la.

Acreditamos que se deve trabalhar com resolução de problemas visando à aprendizagem

do educando, não apenas fazendo com que estes decorem fórmulas ou passos pré-

determinados para a resolução, ajudando-os a terem uma lógica do pensamento matemático.

Melhorando sua capacidade de resolver problemas, será possível fazer uma aula diferente, que

gere um aprendizado matemático mais efetivo. Jamais devemos esquecer que os alunos

devem aprender a entender a linguagem matemática, pois esta é muito importante, mas o

professor pode também tentar melhorar este tipo de linguagem nos seus alunos. Se os mesmos

não entenderem a linguagem matemática correta, irão questionar usando a linguagem do

cotidiano. O professor deve então responder a questão, porém deve sempre enfatizar ao aluno

a forma correta de falar matematicamente. Tudo isso nos leva a perceber a relevância da

atitude do professor como educador matemático.

É importante salientar que para um bom trabalho com curiosidades, desafios e problemas

interessantes, é preciso criar um ambiente onde haja reflexão a partir da observação do

educador. É essencial a troca de experiências e opiniões entre os alunos, deste modo

conseguirão trabalhar em grupo gerando questionamentos entre si.

O educador não pode deixar passar despercebidas as tentativas frustradas, quando isso não

for levado em conta, o aluno pode se desinteressar e não querer mais participar deste tipo de

atividade. O professor deve ser um observador contínuo, auxiliando de forma investigativa na

resolução dos problemas. Outra alternativa para ajudar os alunos que fracassaram em suas

tentativas pode ser o de registrá-las, tanto as tentativas eficientes como as frustradas, desta

forma pode-se fazer uma análise e ajudar os alunos com maior dificuldade de aprendizagem e

de desenvolvimento do raciocínio lógico.

Segundo Polya (1978), ao trabalharmos com resolução de problemas, devemos dividir

esta resolução em quatro fases de trabalho, primeiramente compreender o problema, perceber

o que é necessário, para termos idéia da resolução para, desta forma, estabelecermos um

plano, após executamos o plano e, finalmente, fazemos um retrospecto da resolução, revendo-

a e discutindo-a. “Cada uma destas fases tem sua importância. Pode acontecer que a um

estudante ocorra uma excepcional idéia brilhante e, saltando por sobre todas as preparações,

ele chegue impulsivamente à solução” (POLYA, 1978, p. 4). Porém não devemos descartar a

possibilidade de um aluno ultrapassar as quatro fases e mesmo assim não chegar a resultado

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algum, pois, se não compreender o problema, não haverá como montar um plano e muito

menos como executá-lo.

O aluno precisa, além de compreender o problema, desejar resolvê-lo e, para que isso seja

possível, o professor precisa escolher um desafio com dificuldade intermediária, nem muito

fácil e nem muito difícil, ou seja, o problema deve ser muito bem escolhido pelo professor,

deve ser natural e interessante. O enunciado verbal do problema deve ser muito bem

elaborado para ficar bem entendido, o aluno deve ter condições de identificar a incógnita, os

dados, a condicionante.

Menezes e outros (2008), explicam que, em relação à criação do plano, o aluno somente

terá um plano, quando dominar o conhecimento matemático necessário, ou seja, conhecer

quais as contas que deverá efetuar, os cálculos ou desenhos que precisará fazer para chegar à

solução. Este caminho nem sempre será fácil, mas o professor pode propiciar ao aluno,

discretamente, uma pista para a resolução. Se ainda assim o aluno apresentar dificuldades, é

necessário que o professor se coloque no lugar de aluno, das suas dificuldades quando aluno e

que tenha plena consciência de que a resolução de um problema parte do conhecimento

adquirido com o tempo. Se as dicas não funcionarem, podemos variar o problema, ou seja,

generalizar, particularizar e até mesmo buscar recursos na analogia, desta forma

encontraremos um problema auxiliar adequado à resolução.

Para executar o plano precisamos de conhecimentos anteriores, bons hábitos mentais e

concentração, executar é muito mais fácil que elaborar, mas é preciso ter paciência. O

professor deve insistir para que o aluno verifique cada passo estipulado na elaboração. Se for

preciso o aluno corrigir os passos, que o faça tendo a consciência de que é apenas uma

melhoria para se chegar à resolução. Assim, para Carneiro (1955) citado por Menezes (2008),

o jogo pode ajudar a favorecer a criação e a descoberta, mesmo que limitado por parâmetros,

estes adequadamente direcionados.

Quando se fala em retrospecto da resolução é que o aluno deve analisar, avaliar como

conseguiu chegar àquela solução, assim o conhecimento será consolidado e a sua capacidade

de resolver problemas estará se aperfeiçoando.

Da mesma forma que os conceitos espontâneos ganharam níveis de generalidade até

serem entendidos e formados de modo abstrato, é longo e árduo o processo inverso, de

transição do abstrato para o concreto. Isso sugere que o processo de aquisição do

conhecimento sistemático escolar tem uma direção oposta à do conhecimento espontâneo.

Lembrando que o conhecimento espontâneo e o abstrato não são independentes, pois a

21

realidade à qual se referem, em ambos os casos, é a mesma – o mundo físico, o mundo social,

as relações pessoais, em ambos a linguagem é elemento constituidor, auxiliando a dar

significado ao conhecimento escolar e reorganizando o conhecimento espontâneo,

estimulando o processo de abstração.

A contextualização deve ser o princípio da organização curricular, facilitando a aplicação

da experiência escolar para a compreensão da experiência pessoal em níveis mais abstratos e

sistemáticos, o aproveitamento da experiência pessoal para facilitar o processo de concreção

dos conhecimentos abstratos que a escola trabalha, em outras palavras, isso significa que a

ligação entre a teoria e a prática deve ser de mão dupla, em ambas as direções estão as

competências cognitivas básicas: raciocínio abstrato e capacidade de compreensão de

situações novas, que é a base da resolução de problemas. A contextualização deve ser

abordada como recurso pedagógico para tornar a constituição de conhecimentos um processo

permanente de formação de capacidades intelectuais. Estas capacidades devem permitir o

trânsito entre a experiência imediata e espontânea para o plano das abstrações, possibilitando

assim a organização da experiência imediata, de forma a aprender que situações particulares e

concretas podem ter uma estrutura geral.

É importante referir que a aprendizagem contextualizada busca desenvolver o pensamento

de ordem superior em lugar da aquisição de fatos independentes da vida real, preocupa-se

prioritariamente com a aplicação do que com a memorização, propõe apenas trazer a vida real

para a sala de aula e criar situações e condições em que os alunos experienciem os eventos da

vida real a partir de múltiplas perspectivas, mas é importante verificar, como Papert se refere

a este aspecto (1986, p. 197): “Mecanizar acho que é fundamental, embora se diga que não.

Porque depois um aluno chega a um teste e não está habituado a mecanizar e chega ali e o

tempo não lhe dá para coisa nenhuma e ele não consegue nada”.

22

4 CURIOSIDADES MATEMÁTICAS, DESAFIOS E PROBLEMAS

INTERESSANTES

Abordar a questão do ensino da matemática somente do ponto de vista pedagógico é um

erro grave. É necessário encarar primordialmente as deficiências de conteúdo dos que

lecionam matemática. É preciso entender as motivações dos que procuram licenciatura em

matemática, a formação que a licenciatura lhes propicia e as condições de trabalho com que se

deparam. As Orientações Curriculares Nacionais estão sendo erradamente interpretadas, como

se a matemática só pudesse ser tratada no âmbito das situações concretas do dia-a-dia,

prejudicando a aprendizagem e gerando situações com exemplos nada adequados. A

matemática deve ser proposta com ênfase no argumento lógico, oposto ao autoritário, na

diferenciação de situações, na crítica dos resultados obtidos em comparação com os dados

iniciais do problema, gerando o pensamento independente. Estes hábitos são indispensáveis

em qualquer área do conhecimento e permitem a formação de um cidadão crítico, criativo e

autoconfiante, sendo a matemática o campo ideal para o desenvolvimento destas habilidades.

(DRUCK, 2003)

Com base nos dizeres de Druck (2003), podemos fortalecer o propósito deste trabalho, que

é o de buscar alternativas para trabalhar a aprendizagem matemática e apresentar algumas

opções de atividades diferentes, envolvendo curiosidades matemáticas na perspectiva da

resolução de problemas.

Sendo assim, nesta última seção, abordaremos de forma sugestiva algumas curiosidades

matemáticas, desafios e problemas interessantes contidos no livro “O Homem que Calculava”

de Malba Tahan (1965), e demais curiosidades que estimulem o desenvolvimento do

raciocínio lógico, os quais os professores podem utilizar durante sua prática pedagógica.

Juntamente com cada problema, procuramos relacionar e discutir os conteúdos e problemas

que podem ser trabalhados numa perspectiva lúdica em busca do conhecimento matemático.

Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan) trabalhava com história da matemática e

manipulação de materiais concretos. Foi um professor criativo e ousado, que explorava muito

além do ensino teórico e expositivo da sua época. Foi um dos primeiros a explorar a

possibilidade do ensino por rádio e televisão, antecipando o ensino à distância; trabalhou com

23

multiculturalismo e interdisciplinaridade, além de se dedicar às causas sociais, excedendo as

competências de um verdadeiro educador e deixando grandes experiências para os cursos de

formação de professores.

Agora vamos transcrever alguns problemas do livro O Homem que Calculava, de Malba

Tahan, no qual o personagem é Beremiz Samir.

4.1 PROBLEMA DOS 35 CAMELOS

Este problema pode ser trabalhado no Ensino Fundamental – Ciclo II e de 5ª a 8ª séries.

Com ele podemos abordar as operações Fundamentais da Álgebra.

[...] Onde é narrada a singular aventura dos 35 camelos que deviam ser repartidos por três

árabes. Beremiz Samir efetua uma divisão que parecia impossível, contentando plenamente os três

querelantes. O lucro inesperado que Beremiz obteve com a transação.

Encontramos perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens que discutiam

acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios gritavam possessos,

furiosos:

- Não pode ser!

- Isto é um roubo!

- Não aceito!

O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.

- Somos irmãos – esclareceu o mais velho – e recebemos como herança esses 35 camelos.

Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma

terça parte, e, ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como

dividir dessa forma 35 camelos, e, a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois

a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça e a nona parte de 35 também não são

exatas?

- É muito simples – atalhou o Homem que Calculava. – Encarrego-me de fazer com justiça essa

divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que em boa hora

aqui nos trouxe! Neste ponto, procurei intervir na questão:

- Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viajem se ficássemos

sem o camelo?

24

Como podemos apresentar a solução do Homem que Calculava aritmeticamente:

Dividir 35 camelos para os 3 irmãos

Herdeiro mais velho =21 = 17,5, ou seja, dezessete camelos e mais meio camelo

Herdeiro do meio = 31 = 11,66, ou seja, onze camelos mais 0,66... camelo

Herdeiro mais novo = 91 = 3,88, ou seja, 3 camelos mais 0,88.. camelo

Como resolver?

Solução do Homem que Calculava:

35 + 1 = 36

Herdeiro mais velho =21 = 18

Herdeiro do meio = 31 = 12

Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo

jamal, que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três

herdeiros.

- Não te preocupes com o resultado, ó Bagdali! – replicou-me em voz baixa Beremiz – Sei muito

bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar.

Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo

jamal, que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três - Não

te preocupes com o resultado, ó Bagdali! – replicou-me em voz baixa Beremiz – Sei muito bem o

que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar.

- Vou, meus amigos – disse ele, dirigindo-se aos três irmãos -, fazer a divisão justa e exata dos

camelos que são agora, como vêem em número de 36.

E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:

- Deverias receber meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio.

Receberás a metade de 36, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com

esta divisão.

E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:

- E tu, Hamed Namir, deverias receber um terço de 35, isto é 11 e pouco.

Vais receber um terço de 36, isto é 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível

lucro na transação.

E disse por fim ao mais moço:

25

Herdeiro mais novo = 91 = 4

18 + 12 + 4 = 34 camelos

36 – 34 = 2

Justificativa: Ao dividir os 35 camelos nas frações, 21 , 3

1 , 91 , notamos que a soma é:

21 + 3

1 + 91 =

18

269 ++ =

18

17, ou seja, Beremiz notou que a herança não estava

totalmente dividida entre os herdeiros, havia uma sobra de 18

1 de camelo. Nesta sobra, se

tivermos 35 camelos, então 18

1 de 35 é uma fração. Mas, se tivermos 36 camelos (solução de

Beremiz) a sobra é de 2 camelos.

4.2 PROBLEMA DOS 8 PÃES

Este problema pode ser trabalhado no Ensino Fundamental - Ciclo II e de 5ª a 8ª séries.

Com este problema podemos abordar as operações fundamentais da Álgebra e Resolução de

equações.

[...] Beremiz e seu amigo em viagem pelo deserto, encontram um rico cheique que estava a morrer

de fome no deserto, e repartem com ele sua comida, que se resumia a 8 pães, sendo 5 pães de

Beremiz e 3 do seu amigo.

[...] - Vou deixar-vos, meus amigos. Antes, porém, desejo agradecer-vos o grande auxílio que

ontem me prestastes. E para cumprir a palavra dada, vou pagar já o pão que generosamente me

destes! E dirigindo-se ao Homem que Calculava disse-lhe:

- Vais receber pelos 5 pães, 5 moedas! E voltando-se para o amigo de Beremiz, ajuntou:

- E tu, ó bagdáli, pelos 3 pães, vais receber 3 moedas!

Com grande surpresa, o calculista objetou respeitoso:

- Perdão, ó cheique. A divisão, feita desse modo, pode ser muito simples, mas não é

matematicamente certa! Se eu dei 5 pães devo receber 7 moedas; o meu companheiro bagdali, que

deu 3 pães, deve receber apenas uma moeda.

26

Como podemos apresentar aritmeticamente a solução do Homem que Calculava:

8 pães = 8 moedas

O Homem que calculava tinha 5 pães e seu companheiro tinha 3 pães, logo, se podemos

repartir cada pão em 3 pedaços, então:

O Homem que calculava contribuiu com 15 pedaços

O Companheiro tinha 9 pedaços

15 + 9 = 24 pedaços, couberam, portanto, a cada um, 8 pedaços, já que eram 3 homens.

Dos 15 pedaços dados, comeu 8, logo, 15 – 8 = 7 (foram dados para o cheique)

Dos 9 pedaços dados o companheiro comeu 8, logo, 9 – 8 = 1 (foi dado para o cheique)

Homem que calculava = 7 moedas

Companheiro = 1 moeda.

- Pelo nome de Maomé!– interveio o vizir Ibrahim, interessado vivamente pelo caso. – Como

justificar, ó estrangeiro, tão disparatada forma de pagar 8 pães com 8 moedas? Se contribuíste

com 5 pães, por que exiges 7 moedas? Se o teu amigo contribuiu com 3 pães, por que afirmas

que ele deve receber uma única moeda?

O Homem que Calculava aproximou-se do prestigioso ministro e assim falou:

- Vou provar-vos, ó Vizir, que a divisão das 8 moedas, pela forma por mim proposta, é

matematicamente certa. Quando durante a viajem, tínhamos fome, eu tirava um pão da caixa em

que estavam guardados e repartia-o em três pedaços, comendo cada um de nós, um desses

pedaços. Se eu dei 5 pães, dei é claro, 15 pedaços; se o meu companheiro deu 3 pães, contribuiu

com 9 pedaços.

Houve, assim, um total de 24 pedaços, cabendo, portanto, 8 pedaços para cada um. Dos 15

pedaços que dei, comi 8; dei na realidade, 7; o meu companheiro deu, como disse, 9 pedaços, e,

comeu também, 8; logo, deu apenas 1. Os 7 pedaços que eu dei e que o bagdali forneceu

formaram os 8 que couberam ao cheique Salém Nasair. Logo, é justo que eu receba 7 moedas e

o meu companheiro, apenas uma.

O grão-vizir, depois de fazer os maiores elogios ao Homem que Calculava, ordenou que lhe

fossem entregues sete moedas, pois a mim me cabia, por direito, apenas uma. Era lógica,

perfeita e irrespondível a demonstração apresentada pelo matemático.

- Esta divisão – retorquiu o calculista – de sete moedas para mim e uma para meu amigo,

conforme provei, é matematicamente certa, mas não é perfeita aos olhos de Deus!

E tomando as moedas na mão dividiu-as em duas partes iguais. Deu-me uma dessas partes (4

moedas), guardando para si, as quatro restantes. (TAHAN, 1965, p.13)

27

4.3 PROBLEMA DO JOALHEIRO E DO HOSPEDEIRO

Este problema pode ser trabalhado no Ensino Fundamental - 7ª e 8ª séries. Com este

problema podemos abordar as operações fundamentais, frações e forma decimal, conjuntos,

proporções e relações numéricas, regra de três, divisibilidade, multiplicidade e percentagem.

[...] Beremiz resolve um problema e determina a dívida de um joalheiro.

- Qual é, afinal, a origem da dúvida? – perguntou Beremiz.

- Esse homem (e apontou para o joalheiro) veio da Síria vender jóias em Bagdá; prometeu-me que

pagaria, pela hospedagem, 20 dinares se vendesse as jóias por 100 dinares, pagando 35 se as

vendesse por 200. Ao cabo de vários dias, tendo andado daqui para ali, acabou vendendo tudo por

140 dinares. Quanto deve pagar, consoante a nossa combinação pela hospedagem?

- Devo pagar apenas vinte e quatro dinares e meio! – replicou logo o mercador sírio. – Se para a

venda de 200 eu pagaria 35, para a venda de 140 eu devo pagar 24 e meio!

Proporção feita pelo mercador de jóias:

200 está para 35, assim como 140 está para X ou:

35

200 =

x

140

Multiplicando os meios e dividindo pelo extremo, o resultado será: X = 24,5

Total da dívida

- Está errado! – contrariou irritado o velho Salim. – Pelas minhas contas são 28. – Veja bem: Se

para 100 eu deveria receber 20, para 140, da venda, devo receber 28. E vou provar.

E o velho Salim raciocinou do seguinte modo:

- Se para 100 eu deveria receber 20, para 10 (que é a décima parte de 100), eu deveria receber a

décima parte de 20.

Qual é a décima parte de 20?

A décima parte de 20 é 2. Logo, para 10, eu deveria receber 2.

140 quantos 10 contém? 140 contêm 14 vezes 10.

Proporção feita pelo dono da hospedaria:

100 está para 20, assim como 140 está para x ou:

20

100 =

x

140

O valor de x é 28

28

Total da dívida

- Logo, para 140, eu devo receber 14 vezes 2, que é igual a 28, como já disse.

E o velho Salim, depois de todos aqueles cálculos, bradou enérgico:

- Devo receber 28. É esta a conta certa!

- Calma, meus amigos – interrompeu o calculista – É preciso encarar as dúvidas com serenidade e

mansidão. A precipitação conduz ao erro e à discórdia.

Os resultados que os senhores indicam estão errados, conforme vou provar.

E esclareceu o caso do seguinte modo:

- De acordo com a combinação feita, o sírio seria obrigado pagar 20 dinares pela hospedagem, se

vendesse as jóias por 100, e, seria obrigado a pagar 35 se as vendesse por 200. Temos assim:

Preço de venda Custo da hospedagem

200 .................................... 35

100 .................................... 20

diferença 100 diferença 15

Reparem que a diferença de 100, no preço da venda, corresponde a uma diferença de 15 no preço

da hospedagem! Não é claro?

- Claro como leite de camela! – assentiram os dois.

- Ora – prosseguiu o calculista -, se o acréscimo de 100 na venda traria um aumento de 15 na

hospedagem, eu pergunto: Qual será o aumento da hospedagem para o acréscimo de 40 na venda?

Se a diferença fosse de 20 (que é um quinto de 100), o aumento da hospedagem seria de 3 (pois 3

é um quinto de 15). Para a diferença de 40 (que é o dobro de 20), o acréscimo da hospedagem

deverá ser de 6. O pagamento correspondente a 140, é, portanto, de 26.

Proporção feita pelo calculista:

100 está para 15 assim como 40

está para X, ou:

15

100 =

x

40

O valor de x é 6

(Acréscimo de preço e não o total da dívida)

- Meu amigo! Os números, na simplicidade com que se apresentam, iludem, não raro, os mais

atilados. As proporções que nos parecem perfeitas estão, por vezes, falseadas pelo erro. Da

incerteza dos cálculos é que resulta o indiscutível prestígio da Matemática. Nos termos da

combinação, o senhor deverá pagar ao hospedeiro 26 dinares e não 24 e meio, como a princípio

acreditava! Há ainda , na solução final desse problema, pequena diferença que não merece ser

apurada e cuja grandeza não disponho de recursos para exprimir numericamente.

29

Neste problema já está explicado aritmeticamente a solução do Homem que Calculava, em

todas foram utilizadas razões (frações), proporções e regra de três, há, também a noção de

percentagem envolvidas no cálculo.

4.4 PROBLEMA DO NÚMERO DE CAMELOS DE UMA CÁFILA

Este problema pode ser trabalhado no Ensino Fundamental - 5ª, 6ª e 8ª séries. Com este

problema podemos abordar números primos, quadrados, divisibilidade e multiplicidade,

números naturais, racionais, potenciação e equações.

[...] Do que ocorreu durante a nossa visita ao vizir Maluf. Encontraram o poeta Iezid, que não

acreditava nos prodígios do Cálculo. O Homem que Calculava conta, de modo original, uma cáfila

numerosa. A idade da noiva e um camelo sem orelha. Beremiz descobre a “amizade quadrática” e

fala do rei Salomão.

- Para pôr termo a essas desconfianças – sugeriu o vizir – vamos submeter o nosso hóspede a uma

prova decisiva.

E dizendo isso, ergueu-se da cômoda almofada, e, tomando delicadamente Beremiz pelo braço,

conduziu-o até uma das varandas do palácio.

Abria essa varanda para o segundo pátio lateral que, no momento, desbordava de camelos. E que

lindos espécimes! Quase todos pareciam de boa raça. Avistei, de pronto, dois ou três brancos, da

Mongólia, e vários carehs, de pelo claro.

- Eis aí – disse o vizir – a bela partida de camelos que comprei ontem e que pretendo enviar, como

dote, ao pai de minha noiva. Sei precisamente, sem erro possível, quantos são!

- O senhor tem toda razão – assentiu o joalheiro. – Reconheço agora que o meu cálculo estava

errado.

E sem hesitar, tirou da bolsa 26 dinares e entregou-os ao velho Salim, oferecendo de presente ao

talentoso Beremiz um belo anel de ouro com duas pedras escuras, exortando a dádiva com

afetuosas expressões.

Todos quantos se achavam na hospedaria admiraram-se da sagacidade do novo calculista, cuja

fama, dia a dia, galgava a passos largos, a almenara do triunfo. (TAHAN, 1965, p. 17).

30

E o vizir para tornar mais interessante a prova, enunciou, em segredo, ao ouvido de seu

amigo Iezid, o poeta, o número total das alimárias.

- Quero agora – prosseguiu, voltando-se para Beremiz – que o nosso calculista diga quantos

camelos se acham no pátio, diante de nós.

Fiquei apreensivo com o caso. Os camelos eram numerosos e confundiam-se no meio da

agitação em que se achavam. Se o meu amigo, por um descuido, errasse o cálculo, a nossa visita

teria como conseqüência o mais doloroso fracasso. Depois de correr os olhos pela irrequieta cáfila,

o inteligente Beremiz disse:

- Senhor vizir! Quero crer que se encontram, agora, neste pátio 257 camelos!

- É isso mesmo – confirmou o vizir. – Acertou. O total é realmente esse: 257! Kelimet-Uallah.

- E como chegou a esse resultado tão depressa, e com tanta precisão? – indagou, com indisfarçável

curiosidade, o poeta Iezid.

- Muito simplesmente – explicou Beremiz. – Contar os camelos, um por um, seria a meu ver,

tarefa sem interesse, do valor de uma bagatela. Para tornar mais interessante o problema, procedi

da seguinte forma: Contei primeiro todas as pernas e em seguida as orelhas: achei, desse modo,

um total de 1.541. A este total juntei uma unidade, e dividi o resultado por 6. Feita essa pequena

divisão, encontrei o quociente exato: 257!

- Pela glória da Caaba! – clamou, com alegria, o vizir. – Isso tudo é originalíssimo e estupendo!

Quem pudera imaginar que esse calculista, para tornar mais interessante o problema, fosse capaz

de contar todas as pernas e orelhas de 257 camelos! E repetiu com sincero entusiasmo:

- Pela glória de Caaba!

- Devo dizer, senhor vizir – retorquiu Beremiz -, que os cálculos se tornam às vezes, complicados

e difíceis em conseqüência do descuido ou da falta de habilidade do calculista. Certa vez, em

Khói, na Pérsia, quando vigiava o rebanho de meu amo, passou pelo céu um bando de borboletas.

Um pastor, a meu lado perguntou-me se eu poderia contá-las. “São oitocentas e cinqüenta e seis!”

– respondi. “Oitocentas e cinqüenta e seis!” – exclamou o meu companheiro, como se achasse

exagerado aquele total. Só então verifiquei que por descuido havia contado não as borboletas,

mas, suas asas. Feita a necessária divisão por 2, encontrei a seguir, o resultado certo.

Ao ouvir o relato desse caso, expandiu-se o vizir em estrepitosa risada que soava, aos meus

ouvidos, como se fora uma música deliciosa.

- Há nisso tudo – interveio, muito sério, o poeta Iezid – uma particularidade que me escapa ao

raciocínio. A divisão por 6 é aceitável, uma vez que cada camelo tem 4 patas e 2 orelhas e a soma

(4 + 2) é igual a 6. Não compreendo, porém, é a razão que o levou a juntar 1 ao total antes de

dividi-lo por 6!

31

Como podemos apresentar aritmeticamente a solução do Homem que Calculava:

Pernas + orelhas = 1541

1541 + 1 = 1542

De forma prática:

Divide por 6: 4 pernas e 2 orelhas

1542 : 6 = 257 = Número de camelos

Idade da noiva = 16 anos

16² = 256

Equacionando:

4x + 2x -1 = 1541

6x = 1542

x = 6

1542, Portanto x = 257

- Nada mais simples – acudiu logo Beremiz. – Ao contar as orelhas, notei que um dos camelos era

defeituoso (só tinha uma orelha). Para que a conta ficasse certa era preciso acrescentar 1 ao total

obtido. E voltando-se para o vizir perguntou:

- Seria indiscrição ou imprudência de minha parte pergunta-vos, ó vizir, qual a idade daquela que

tem a ventura de ser vossa noiva?

- De modo algum – respondeu, risonho, o ministro. – Astir tem 16 anos!

E acrescentou, sublinhando as palavras com um ligeiro tom de desconfiança:

- Mas não vejo relação alguma, senhor calculista, entre a idade da minha noiva e os camelos que

vou oferecer, de presente, ao meu futuro sogro!

- Desejo apenas – refletiu Beremiz – fazer-vos uma pequena sugestão. Se retirardes da cáfila o tal

camelo defeituoso (sem orelha) o total passará a ser de 256. Ora, 256 é o quadrado de 16, isto é,

16 vezes 16. O presente oferecido ao pai da encantadora Astir tomará, desse modo, feição

altamente matemática: O número de camelos que formam o lote é igual ao quadrado da idade da

noiva!

Além do mais, o número 256 é potência exata do número 2 (que para os antigos é número

simbólico), ao passo que 257 é primo. Essas relações entre os números quadrados são de bom

augúrio para os apaixonados. (TAHAN, 1965, p. 22)

32

4.5 PROBLEMA DAS CURIOSIDADES: QUADRADOS NUMÉRICOS

Este problema pode ser trabalhado no Ensino Fundamental - 5ª a 8ª séries. Com este

problema podemos abordar Potenciação.

[...] Há uma lenda muito interessante sobre os números quadrados. Quereis ouvi-la?

- Com muito prazer – respondeu o vizir. –As lendas famosas, quando bem narradas, são como

brincos de ouro para os meus ouvidos.

Depois de ouvir palavras tão lisonjeiras, o calculista inclinou a cabeça, num gesto de

agradecimento, e começou: Conta-se que o famoso rei Salomão, para demonstrar a finura e a

sabedoria de seu espírito, deu à sua noiva, a rainha de Sabá – a famosa Belquiss – uma caixa com

529 pérolas. Por que 529? Sabe-se que 529 é o quadrado de 23, isto é, 529 é igual a 23

multiplicado por 23. E 23 era, exatamente, a idade da rainha. No caso da jovem Astir, o número

256 virá substituir, com muita vantagem, o número 529.

Todos olharam, com certo espanto para o calculista. E este em tom calmo e sereno, prosseguiu:

Vamos somar os algarismos de 256. Obtemos a soma 13. O quadrado de 13 é 169. Vamos, agora,

somar os algarismos de 169. A soma dos algarismos de 169 é 16. Existe, portanto, entre os

números 13 e 16, uma curiosa relação que poderia ser chamada a “amizade quadrática”.

Realmente, se os números falassem, poderíamos ouvir o seguinte diálogo. O Dezesseis diria ao

Treze: - Quero prestar-te uma homenagem, meu caro. O meu quadrado é 256 e a soma dos

algarismos desse quadrado é treze.

O Treze responderia:

- Agradeço a tua gentileza, meu amigo, e quero retribuí-la na mesma moeda. O meu quadrado é

169 e a soma dos algarismos desse quadrado é 16.

- Parece-me que justifiquei cabalmente a preferência que deve ser dada ao número 256 que

excede, por suas singularidades, o número 257.

- A sua idéia é bastante curiosa – concordou, prontamente, o vizir -, e vou executá-la, muito

embora venha sobre mim pesar a acusação de plagiário do grande Salomão!

E, dirigindo-se ao poeta, Iezid, rematou:

- Noto que a inteligência desse calculista não é menor que a sua habilidade em descobrir analogias

e inventar lendas. Muito acertado andei no momento em que resolvi convidá-lo para meu

secretário.

33

Como podemos apresentar aritmeticamente a solução do Homem que Calculava:

529 = 23 x 23 = 23²

256 = 16 x 16 = 16²

Fazendo a soma dos algarismos destes dois quadrados perfeitos, temos:

256 = 2 + 5 +6 = 13

529 = 5 + 2 +9 = 16

4.6 PROBLEMA DO JOGO DE XADREZ

Este problema pode ser trabalhado no Ensino Médio. Com este problema podemos

abordar Progressões Geométricas.

[...] Onde se conta a famosa lenda sobre a origem do jogo de xadrez. A lenda é narrada ao califa

de Bagdá, Al-Motacém Bilah, Emir dos Crentes, por Beremiz Samir, o Homem que Calculava.

O que Sessa trazia ao rei Iadava consistia num grande tabuleiro quadrado, dividido em sessenta e

quatro quadradinhos, ou casas, iguais; sobre esse tabuleiro colocavam-se, não arbitrariamente,

duas coleções de peças que se distinguiam, uma da outra, pelas cores branca e preta, repetindo,

porém, simetricamente, os engenhosos formatos e subordinados a curiosas regras que lhes

permitiam movimentar-se por vários modos.

- Sinto dizer-vos, ilustre Mirza – tornou Beremiz -, que só poderia aceitar o vosso honroso convite

se aqui houvesse também lugar para o meu bom amigo Hank-Tade-Maiá – o bagdali, que ora se

vê desempregado e sem recursos.

Fiquei encantado com a delicada lembrança do calculista. Ele procurava desse modo, atrair a meu

favor a valiosa proteção o poderoso vizir.

- É muito justo o seu pedido – condescendeu o vizir. – O seu companheiro Hank-Tade-Maiá ficará

exercendo aqui as funções de escriba, com o ordenado que lhe couber.

Aceitei, sem hesitar, a proposta, exprimindo logo ao vizir, e, também ao bondoso Beremiz, o meu

reconhecimento. (TAHAN, 1965, p. 26)

34

Sessa explicou pacientemente ao rei, aos vizires e cortesãos que rodeavam o monarca em que

consistia o jogo, ensinando-lhes as regras essenciais:

- Cada um dos partidos dispõe de oito peças pequeninas - os peões.

Representam a infantaria, que ameaça avançar sobre o inimigo para desbaratá-lo.

Secundando a ação dos peões vêm os elefantes de guerra, representados por peças maiores e mais

poderosas; a cavalaria, indispensável no combate, aparece, igualmente, no jogo, simbolizada por

duas peças que podem saltar, como dois corcéis, sobre as outras; e, para intensificar o ataque,

incluem-se – para representar os guerreiros cheios de nobreza e prestígio - os dois vizires do rei.

Outra peça, dotada de amplos movimentos, mais eficiente e poderosa do que as demais,

representará o espírito de nacionalidade do povo e será chamada a rainha. Completa a coleção

uma peça que isolada pouco vale, mas se torna muito forte quando amparada pelas outras. É o rei.

O rei Iadava, interessado pelas regras do jogo, não se cansava de interrogar o inventor:

- E por que é a rainha mais forte e mais poderosa que o próprio rei?

- É mais poderosa - argumentou Sessa - porque a rainha representa, nesse jogo, o patriotismo do

povo. A maior força do trono reside, principalmente, na exaltação de seus súditos. Como poderia o

rei resistir ao ataque dos adversários, se não contasse com o espírito de abnegação e sacrifício

daqueles que o cercam e zelam pela integridade da pátria?

Dentro de poucas horas o monarca, que aprendera com rapidez todas as regras do jogo, já

conseguia derrotar os seus dignos vizires em partidas que se desenrolavam impecáveis sobre o

tabuleiro. Sessa, de quando em quando, intervinha, respeitoso, para esclarecer uma dúvida ou

sugerir novo plano de ataque ou de defesa.

Em dado momento, o rei fez notar, com grande surpresa, que a posição das peças, pelas

combinações resultantes dos diversos lances, parecia reproduzir exatamente a batalha de Dacsina.

- Reparai - ponderou o inteligente brâmane - que para conseguirdes a vitória, indispensável se

torna, de vossa parte, o sacrifício deste vizir!

E indicou precisamente a peça que o rei Iadava, no desenrolar da partida -por vários motivos -,

grande empenho pusera em defender e conservar.

O judicioso Sessa demonstrava, desse modo, que o sacrifício de um príncipe é, por vezes, imposto

como uma fatalidade, para que dele resultem a paz e a liberdade de um povo.

Ao ouvir tais palavras, o rei Iadava, sem ocultar o entusiasmo que lhe dominava o espírito, assim

falou:

- Não creio que o engenho humano possa produzir maravilha comparável a este jogo interessante e

instrutivo! Movendo essas tão simples peças, aprendi que um rei nada vale sem o auxílio e a

dedicação constante de seus súditos. E que, às vezes, o sacrifício de um simples peão vale mais,

para a vitória, do que a perda de uma poderosa peça.

35

E, dirigindo-se ao jovem brâmane, disse-lhe: - Quero recompensar-te, meu amigo, por este

maravilhoso presente, que de tanto me serviu para alívio de velhas angústias. Dize-me, pois, o que

desejas, para que eu possa, mais uma vez, demonstrar o quanto sou grato àqueles que se mostram

dignos de recompensa.

As palavras com que o rei traduziu o generoso oferecimento deixaram Sessa imperturbável.

Sua fisionomia serena não traía a menor agitação, a mais insignificante mostra de alegria ou

surpresa. Os vizires olhavam-no atônitos, e entreolhavam-se pasmados diante da apatia de uma

cobiça a que se dava o direito da mais livre expansão.

- Rei poderoso! - redargüiu o jovem com doçura e altivez. - Não desejo, pelo presente que hoje

vos trouxe, outra recompensa além da satisfação de ter proporcionado ao senhor de Taligana um

passatempo agradável, que lhe vem aligeirar as horas dantes alongadas por acabrunhante

melancolia. Já estou, portanto, sobejamente aquinhoado e outra qualquer paga seria excessiva.

Sorriu, desdenhosamente, o bom soberano ao ouvir aquela resposta, que refletia um desinteresse

tão raro entre os ambiciosos hindus. E, não crendo na sinceridade das palavras de Sessa, insistiu:

- Causa-me assombro tanto desdém e desamor aos bens materiais, ó jovem! A modéstia, quando

excessiva, é como o vento que apaga o archote, cegando o viandante nas trevas de uma noite

interminável. Para que possa o homem vencer os múltiplos obstáculos que se lhe deparam na vida,

precisa ter o espírito preso às raízes de uma ambição que o impulsione a um ideal qualquer.

Exijo, portanto, que escolhas, sem mais demora, uma recompensa digna de tua valiosa oferta.

Queres uma bolsa cheia de ouro? Desejas uma arca repleta de jóias? Já pensaste em possuir um

palácio? Almejas a administração de uma província? Aguardo a tua resposta, por isso que à minha

promessa está ligada a minha palavra!

- Recusar o vosso oferecimento depois de vossas últimas palavras – acudiu Sessa - seria menos

descortesia do que desobediência ao rei. Vou, pois, aceitar, pelo jogo que inventei, uma

recompensa que corresponde à vossa generosidade; não desejo, contudo, nem ouro, nem terras ou

palácios. Peço o meu pagamento em grãos de trigo.

- Grãos de trigo? - estranhou o rei, sem ocultar o espanto que lhe causava semelhante proposta. -

Como poderei pagar-te com tão insignificante moeda?

- Nada mais simples - elucidou Sessa. - Dar-me-eis um grão de trigo pela primeira casa do

tabuleiro; dois pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta, e, assim dobrando

sucessivamente, até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro. Peço-vos, ó rei, de acordo

com a vossa magnânima oferta, que autorizeis o pagamento em grãos de trigo, e assim como

indiquei! Não só o rei como os vizires e venerandos brâmanes presentes riram-se,

estrepitosamente, ao ouvir a estranha solicitação do jovem. A desambição que ditara aquele

pedido era, na verdade, de causar assombro a quem menos apego tivesse aos lucros materiais da

vida. O moço brâmane, que bem poderia obter do rei um palácio ou uma província, contentava-se

com grãos de trigo!

36

- Insensato! - clamou o rei. - Onde foste aprender tão grande desamor à fortuna? A recompensa

que me pedes é ridícula. Bem sabes que há, num punhado de trigo, número incontável de grãos.

Devemos compreender, portanto, que com duas ou três medidas de trigo eu te pagarei

folgadamente, consoante o teu pedido, pelas 64 casas do tabuleiro. É certo, pois, que pretendes

uma recompensa que ma; chegará para distrair, durante alguns dias, a fome do último paria do

meu reino.

Enfim, visto que minha palavra foi dada, vou expedir ordens para que o pagamento se faça

imediatamente, conforme teu desejo.

Mandou o rei chamar os algebristas mais hábeis da corte e ordenou-lhes calculassem a porção de

trigo que Sessa pretendia.

Os sábios calculistas, ao cabo de algumas horas de acurados estudos, voltaram ao salão para

submeter ao rei o resultado completo de seus cálculos.

Perguntou-lhes o rei, .interrompendo a partida que então jogava:

- Com quantos grãos de trigo poderei, afinal, desobrigar-me da promessa que fiz ao jovem Sessa?

- Rei magnânimo! - declarou o mais sábio dos matemáticos. – Calculamos o número de grãos de

trigo que constituirá o pagamento pedido por Sessa, e obtivemos um número cuja grandeza é

inconcebível para a imaginação humana.

Avaliamos, em seguida, com o maior rigor, a quantas ceiras corresponderia esse número total de

grãos, e chegamos à seguinte conclusão: a porção de trigo que deve ser dada a Lahur Sessa

equivale a uma montanha que, tendo por base a cidade de Taligana, seria cem vezes mais alta do

que o Himalaia! A índia inteira, semeados todos os seus campos, taladas todas as suas cidades,

não produziria em 2 000 séculos a quantidade de trigo que, pela vossa promessa, cabe, em pleno

direito, ao jovem Sessa!

Como descrever aqui a surpresa e o assombro que essas palavras causaram ao rei Iadava e a seus

dignos vizires?

O soberano hindu via-se, pela primeira vez, diante da impossibilidade de cumprir a palavra dada.

Lahur Sessa - rezam as crônicas do tempo -, como bom súdito, não quis deixar aflito o seu

soberano. Depois de declarar publicamente que abriria mão do pedido que fizera, dirigiu-se

respeitosamente ao monarca e assim falou:

- Meditai, ó rei, sobre a grande verdade que os brâmanes prudentes tantas vezes repetem: os

homens mais avisados iludem-se, não só diante da aparência enganadora dos números, mas

também com a falsa modéstia dos ambiciosos.

Infeliz daquele que toma sobre os ombros o compromisso de uma dívida cuja grandeza não pode

avaliar com a tábua de cálculo de sua própria argúcia. Mais avisado é o que muito pondera e

pouco promete!

37

Como podemos apresentar aritmeticamente a solução do Homem que Calculava:

1 grão = primeira casa do tabuleiro

2 grãos = segunda casa do tabuleiro

4 grãos = terceira casa do tabuleiro

8 grãos = quarta casa do tabuleiro

....

(1, 2, 4, 8, ...) é uma progressão geométrica

a1 = 1

razão: q = 2

4.7 DESAFIO: VOCÊ CONHECE O NÚMERO MÁGICO?

Atividade que envolve valor posicional dos algarismos, trabalha operações fundamentais,

como adição e subtração, mas com a vantagem de tornar a atividade curiosa e instigar o aluno

a exercitar mais os cálculos, sem tornar a atividade enfadonha e cansativa.

E, após ligeira pausa, acrescentou:

- Menos aprendemos com a ciência vã dos brâmanes do que com a experiência direta da vida e das

suas lições de todo dia, a toda hora desdenhadas!

O homem que mais vive mais sujeito está às inquietações morais, mesmo que não as queira. Achar-se-

á ora triste, ora alegre; hoje fervoroso, amanhã, tíbio; já ativo, já preguiçoso; a compostura alternará

com a leviandade. Só o verdadeiro sábio, instruído nas regras espirituais, se eleva acima dessas

vicissitudes, paira por sobre todas essas alternativas!

Essas inesperadas e tão sábias palavras calaram fundo no espírito do rei.

Esquecido da montanha de trigo que, sem querer, prometera ao jovem brâmane, nomeou-o seu

primeiro-vizir.

E Lahur Sessa, distraindo o rei com engenhosas partidas de xadrez e orientando-o com sábios e

prudentes conselhos, prestou os mais assinalados benefícios ao povo e ao país, para maior segurança

do trono e maior glória de sua pátria.

Encantado ficou o califa Al-Motacém quando Beremiz concluiu a história singular do jogo de xadrez.

Chamou o chefe de seus escribas e determinou que a lenda de Sessa fosse escrita em folhas especiais

de algodão e conservada em valioso cofre de prata. (TAHAN, 1965, p. 80)

38

4.8 UMA CURIOSIDADE COM OS NÚMEROS DE TRÊS ALGARISMOS

Esta atividade envolve divisão de números inteiros, procurando torná-la curiosa, de forma

que o aluno perceba algumas regularidades e possa perceber o que leva ao resultado final.

4.9 OUTRA FORMA DE CALCULAR POTÊNCIAS

Neste desafio podemos explorar potências, sequências numéricas e adição.

1089 é conhecido como o número mágico. Veja porque:

Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.

Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:

875 – 578 = 297 Agora, inverta também esse resultado e faça a soma:

297 + 792 = 1089 (o número mágico)

Outro exemplo: 574 – 475 = 099

099 + 990 = 1089

Escolha um número de três algarismos

Ex. 234

Repita este número na frente do mesmo: 234234

Agora divida por 13:

234234/13 = 18018

Agora, divida o resultado por 11: 18018/11 = 1638

Divida novamente o resultado, só que agora por 7: 1638/7 = 234

O resultado é igual ao número de três algarismos que você havia escolhido

39

4.10 MANEIRA ENGENHOSA DE SABER A IDADE DE ALGUÉM

Este problema nos permite explorar, além do raciocínio lógico e cálculo mental, a

resolução de expressões numéricas e equações.

Pede a qualquer pessoa que, sem te dizer, efetue as seguintes operações:

1 Multiplicar o primeiro dígito da sua idade por 5;

2 Adicionar 3 ao resultado;

3 Multiplicá-lo por 2;

4 Adicionar o segundo dígito da idade, e dizer-te o número a que chegou

Agora é fácil. Basta diminuir 6 ao resultado, e obténs a idade desta pessoa.

Exemplo: Vamos supor que a pessoa tem 32 anos.

2. Multiplicar o primeiro dígito da sua idade por 5; 3 x 5 = 15

3. Adicionar 3 ao resultado; 15 + 3 = 18

4. Multiplicá-lo por 2; 18 x 2 = 36

5. Adicionar o segundo dígito da idade, e dizer-te o número a que chegou. 36 + 2 = 38

Neste momento essa pessoa te dirá que obteve 38. Diminuindo 6, obtem-se 32.

Verificando: Se o primeiro dígito da idade for y e o segundo x, a idade pode ser representada por

10y + x. Seguindo os passos indicados, teremos:

1. 5y 2. 5y + 3 3.(5y + 3) x 2 = 10y + 6 4. 10y + 6 + x = (10y + x) +6

Se diminuirmos 6 a este resultado, 10y + x+ 6 – 6, obtemos 10y +x, ou seja a idade da

pessoa.

Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números

ímpares. Ele descobriu que n² é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares. Exemplo:

1² = 1

2² = 1 + 3 = 4

3² = 1 + 3 + 5 = 9

4² = 1 + 3 + 5+ 7 = 16

40

4.11 PROBLEMA DE SONDAGEM

Comentários acerca do problema:

Observe que o aluno basicamente só precisa saber o que é um triângulo para começar a pensar

neste problema. Resolvido o problema, sem o auxílio do professor, o aluno ganha um

acréscimo de conhecimento matemático (por exemplo, propriedades para triângulos

retângulos como o Teorema de Pitágoras e propriedades para triângulos quaisquer como o

fato do menor ângulo se opor ao menor lado e o maior ângulo se opor ao maior lado).

4.12 PROBLEMA DE ANÁLISE I

4.13 PROBLEMA DE ANÁLISE II

Matemática envolvida: adição, subtração, múltiplos, divisibilidade e equações.

Construa um triângulo cujos lados meçam 3 cm, 4 cm e 5cm.

a) existe algum triângulo diferente do que você construiu cujos lados também meçam 3 cm, 4cm, e 5

cm? Por que?

b) Qual a medida do maior ângulo do triângulo que você construiu?

c) Construindo três quadrados (um sobre cada lado do triângulo que você traçou), que relação você

pode estabelecer entre a área do maior e as áreas dos dois menores?

d) O menor ângulo do triângulo construído se opõe a qual dos lados? E o maior?

Existe um triângulo retângulo cujos lados sejam três números inteiros e consecutivos? Em caso

afirmativo, determine a medida dos lados deste triângulo.

Comentários acerca do problema: Este é um problema de investigação, que remete o aluno a

curiosidade e a descoberta. Para tal, o aluno precisa criar uma estratégia utilizando alguns conceitos

já aprendidos e acaba por fixar estes conceitos e aprofundar o seu conhecimento.

41

Pense em um número de dois algarismos; some os dois algarismos. Subtraia essa soma do número

que você pensou. A soma dos algarismos desse resultado é sempre nove. Por exemplo, somando-se

os algarismos de 35 resulta 3 + 5 = 8 . Subtraindo-se esse resultado do número original, resulta 35 −

8 = 27 , cuja soma dos algarismos resulta 9.

Esta curiosidade relaciona-se com a conhecida “prova dos nove”. Nessa prova, somam-se os

algarismos de um número para “fazer o noves fora”, isto é, subtrair um múltiplo de 9 do número

original.

Seja o número pensado ab . Para que tenha dois algarismos, a tem de ser maior que zero e podemos

expressá-lo em forma polinomial como ab = 10a + b onde a ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e b

∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Subtraindo-se desse número a soma dos seus algarismos, a + b, resulta ab - (a + b) = (10a + b) - (a +

b) = 9a , obviamente, um múltiplo de 9.

A expressão polinomial do resultado 9a pode ser escrita como 9a = 10c + d.

O valor máximo de a é 9 e, assim, o valor máximo de 9a é 81; desta forma, c tem que ser, no

máximo, 8. Por outro lado, nenhum múltiplo de 9 no intervalo de a considerado termina em 0 e,

desta forma, c tem que ser, no mínimo, 1. Resulta, assim, c Î{0,1,2,3,4,5,6,7,8} e d

Î{1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Dividida a expressão polinomial acima de 9a por 9 em ambos os lados, resulta a= c + 9

dc +

Com os valores possíveis de c e d, acima, vemos que c + d só pode variar entre 1 e 17. Mas, para

que a igualdade seja verdadeira com a, c e d inteiros, é preciso que c + d seja um múltiplo de 9. A

única solução possível é c + d = 9 e resulta c = a −1 e d = 9 − c = 10 − a . Desta forma, prova-se que

a soma dos algarismos resulta sempre 9.

42

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O ensino de matemática, geralmente, está acontecendo de forma muito tradicional. Os

conteúdos são trabalhados na forma de “siga o modelo”, fazendo com que o aluno não se

interesse por aprender. Sendo assim, procuramos buscar alternativas para trabalhar a

matemática de forma que a mesma não seja cansativa e complicada.

Nesta pesquisa, destacamos algumas alternativas que podem auxiliar em uma melhor

aprendizagem da matemática, focalizando o uso de curiosidades, desafios e problemas

interessantes, há muito tempo defendidas como formas diferentes de trabalhar a matemática.

O aluno, ao fazer uso desses recursos, através da observação, concretização e do

desenvolvimento do raciocínio lógico, poderá encontrar uma ligação entre o aprendizado

abstrato e o seu cotidiano.

Buscamos investigar de que forma as curiosidades matemáticas podem contribuir para a

aprendizagem da matemática, através do raciocínio lógico-dedutivo e chegamos à conclusão

de que elas podem contribuir, já que estimulam o pensamento independente, a criatividade e

principalmente a capacidade de resolver problemas. As curiosidades têm como objetivo

mudar a rotina da sala de aula e tornar as atividades mais atrativas, já que envolvem o lúdico,

ou seja, a aula fica mais alegre e motiva os alunos a gostarem de matemática.

Para que a resolução de problemas possa contribuir com a aprendizagem, destacamos a

importância da ludicidade, com o qual é preciso criar um ambiente onde haja reflexão e

criatividade. Acreditamos que a resolução de problemas contribua para a aprendizagem,

servindo como um facilitador na construção do conhecimento. Verificamos a importância de o

professor proporcionar um ambiente apropriado para garantir a ligação desta ponte, abstrato,

concreto, oferecendo ao aluno melhor aprendizado.

Neste trabalho abordamos também de que forma a contextualização pode auxiliar na

preparação das aulas, aproveitando a experiência pessoal do aluno em prol do processo de

concreção dos conhecimentos abstratos que a escola trabalha, ou seja, a ligação entre a teoria

e a prática deve ser de mão dupla. A contextualização deve ser considerada recurso

pedagógico para tornar a construção de conhecimentos um processo permanente de formação

de capacidades intelectuais.

43

Através da pesquisa, percebemos que a Educação Matemática precisa estabelecer

conexões com diferentes áreas do conhecimento, possibilitando o processo de ensino-

aprendizagem do conhecimento matemático. Os educadores devem compreender que a

matemática exige capacidade de compreensão, a qual começa com o professor das séries

iniciais, que deve possibilitar aos alunos saberes cotidianos e saberes elaborados, visando à

formação de significados a fim de serem representados matematicamente.

Trabalhar com resolução de problemas visando à aprendizagem do educando, buscando o

entendimento da linguagem matemática utilizada, e dos passos necessários para a sua

resolução, aprimoramos a capacidade de resolver problemas, o que nos leva a perceber a

relevância da atitude do professor como educador matemático.

Cremos que este trabalho contribuiu para percebermos que não é tão difícil elaborar uma

proposta diferenciada envolvendo o tema em estudo, e que a mesma faz a diferença para o

ensino e aprendizagem da matemática, pois proporciona aos alunos o desenvolvimento do

raciocínio lógico, baseado na resolução de problemas, no entendimento e compreensão da

relevância da ludicidade no ensino da matemática.

Através desta perspectiva, afirmar que a matemática pode formar cidadãos flexíveis às

mudanças e transformadores da consciência e da ação individual e coletiva da sociedade pode

não ser uma utopia, uma vez que, ao interagir cada vez mais, e perceber que a sua

aprendizagem é mais efetiva, o aluno se torna mais seguro e mais atuante, e, isto, não só no

ambiente escolar.

Concluímos, através deste estudo, que as curiosidades matemáticas, desafios e problemas

interessantes devem ser utilizados como facilitadores do processo de ensino-aprendizagem e

não apenas como instrumentos recreativos. Para que o objetivo de tornar as curiosidades um

facilitador na aprendizagem, os professores devem escolher cuidadosamente as atividades a

serem trabalhadas, a fim de que o estudante consiga relacionar a teoria estudada em sala de

aula, com as atividades que envolvem as curiosidades, desafios e problemas interessantes.

44

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALMEIDA, P. N. Dinâmica lúdica:técnicas e jogos pedagógicos para as escolas de 1° e 2°

graus. São Paulo: Loyola, 1978.

BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. São

Paulo: IME-USP, 2007.

BRASIL. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares

Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998.

D`AMBROSIO, U. Armadilha da mesmice em educação matemática. Bolema: Boletim de

Educação Matemática. Rio Claro, SP: UNESP, n. 24, p.95 – 109. 2005.

DRUCK, S. O drama do ensino da matemática. Folha UOL, São Paulo, mar. 2003.

Disponível em: <http://www.folha.uol.com.br,folha/sinapse/ult1063u343.shtml.>. Acesso em:

4 set. 2008.

GROENWALD, C. L. O. Utilizando curiosidades e jogos matemáticos em sala de aula.

Canoas, set, 2008. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/artigos/>. Acesso em:

14 set. 2008.

MENEZES, et al., Uma proposta de utilização de jogos com interdisciplinaridade na

perspectiva dos temas transversais:interdisciplinar para o ensino de matemática: puzzles

com fósforos. Disponível em:

<www.sbem.com.br/files/ixenem/ComunicacaoCientifica/Trabalhos/CC19453574449cT.rt.>.

Acesso em: 4 set. 2008.

TAHAN, Malba. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 1968.

45

TAHAN, M. Uma proposta de ensino de matemática, pesquisa e extensão na formação inicial

e continuada de educadores do vale do Paraíba. SBEM. Educação Matemática em Revista.

Recife: UFPE, n. 23, 2007.

PAPERT, Seymour, Logo: computadores e educação. São Paulo: Brasiliense, 1986.

POLYA, G. A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de

Janeiro: Interciência, 1978.

SANTOS, E. F. V. O efeito de uma técnica de jogo sobre o rendimento da aprendizagem

em matemática superior. Dissertação (Mestrado).UFRGS, Porto Alegre, 1978.

SILVEIRA, J. F. P. O que é um problema matemático? Disponível em:

<http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/resu1.html>. Acesso em: 13 jan. 2009.

SOARES, F.; DORNELAS, G. N. A lógica no cotidiano e a lógica na matemática.

Disponível em:

<www.sbem.com.br/files/ixenem/Minicurso/Trabalhos/MC03526677700T.rtf.>. Acesso em:

14 set. 2008.

VYGOSTKY, Lev Semyonovich. A formação social da mente. Tradução de José Cipolla

Neto et al. São Paulo: Martins Fontes, 1994.

ZORZAN, Adriana. Metodologia para ensino da matemática – Séries Iniciais. Erechim,

EDIFAPES, 2004.