Aula 01

Raciocnio Lgico p/ Secretaria de Sade-DF (Nvel Superior e Tcnico em Sade)-comvideoaulas

Professor: Arthur Lima

AULA 01: Tpicos de matemtica bsica

SUMRIO PGINA 1. Teoria 01 2. Resoluo de questes 61 3. Questes apresentadas na aula 152 4. Gabarito 186

Caro aluno, na aula de hoje vamos trabalhar tpicos de matemtica bsica presentes no seu edital:

Fundamentos de matemtica. Operaes, propriedades e aplicaes (soma, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao e radiciao). Conjuntos numricos (nmeros naturais, inteiros, racionais e reais) e operaes com conjuntos. Equaes e inequaes. Sistemas de medidas. Volumes.

Tenha uma tima aula!

1. TEORIA 1.1 Nmeros naturais, inteiros, racionais e reais e suas operaes Chamamos de conjuntos numricos as principais classificaes dos nmeros conhecidos. Vejamos cada um deles nos tpicos a seguir.

NMEROS NATURAIS Os nmeros naturais tm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de contagem natural. Isto , so aqueles construdos com os algarismos de 0 a 9. O smbolo desse conjunto a letra N, e podemos escrever os seus elementos entre chaves:

As reticncias indicam que este conjunto no tem fim, ou seja, existem infinitos nmeros naturais.

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Apesar de includo neste conjunto, o zero no um nmero natural propriamente dito (pois no um nmero de contagem natural). Por isso, utiliza-se o smbolo N* para designar os nmeros naturais positivos, isto , excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4} Alguns conceitos bsicos relacionados aos nmeros naturais:

a) Sucessor: o prximo nmero natural. Isto , o sucessor de 2 3, e o sucessor de 21 22. E o sucessor do nmero n o nmero n+1.

b) Antecessor: o nmero natural anterior. Isto , o antecessor de 2 1, e o antecessor de 21 20. E o antecessor do nmero n o nmero n-1. Observe que o nmero natural zero no possui antecessor, pois o primeiro nmero desse conjunto.

c) Nmeros consecutivos: so nmeros em sequncia. Assim, {2,3,4} so nmeros consecutivos, porm {2, 5,4} no so. E {n-1, n e n+1} so nmeros consecutivos.

d) Nmeros naturais pares: {0, 2, 4...}. Nmero par aquele que, ao ser dividido por 2, no deixa resto. Por isso o zero tambm par.

e) Nmeros naturais mpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1.

Sobre pares e mpares, vale a pena perceber que: - a soma ou subtrao de dois nmeros pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 12 6 = 6. - a soma ou subtrao de dois nmeros mpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 5 = 8. - a soma ou subtrao de um nmero par com outro mpar tem resultado mpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 5 = 7. - a multiplicao de nmeros pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. - a multiplicao de nmeros mpares tem resultado mpar: 3 x 5 = 15.

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- a multiplicao de um nmero par por um nmero mpar tem resultado par: 2 x 3 = 6.

NMEROS INTEIROS Os nmeros inteiros so os nmeros naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto , Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}

Observem que todos os nmeros Naturais so tambm Inteiros, mas nem todos os nmeros inteiros so naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de nmeros naturais est contido no conjunto de nmeros inteiros, isto , N Z, ou

ainda que N um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relao entre N e Z:

Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de nmeros. Vejam que os nomes dos subconjuntos so auto-explicativos:

a) Nmeros Inteiros no negativos = {0,1,2,3...}. Veja que so os nmeros naturais.

b) Nmeros Inteiros no positivos = { -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero tambm faz parte deste conjunto, pois ele no positivo nem negativo.

c) Nmeros inteiros negativos = { -3, -2, -1}. O zero no faz parte.

d) Nmeros inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero no faz parte.

NMEROS RACIONAIS

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Os nmeros racionais so aqueles que podem ser representados na forma da diviso de dois nmeros inteiros. Isto , so aqueles nmeros que podem ser

escritos na forma (A dividido por B), onde A e B so nmeros inteiros. Exemplos:

Racional, pois a diviso do nmero inteiro 5 pelo nmero inteiro 4.

Racional, pois a diviso do nmero inteiro -15 pelo nmero inteiro 9,

ou a diviso de 15 por -9.

73 e -195 so Racionais, pois so a diviso dos nmeros 73 e -195 pelo nmero 1.

Observe este ltimo exemplo. J tnhamos visto que qualquer nmero natural tambm inteiro. E agora vemos que todo nmero inteiro tambm racional! Isto porque qualquer nmero inteiro o resultado da diviso dele mesmo por 1, podendo

ser representado na forma (A dividido por 1, onde A um nmero inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os nmeros Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido para voc:

O zero tambm faz parte dos Nmeros Racionais (pode ser escrito na forma , concorda?). Porm, quando escrevemos um nmero racional na forma , o

denominador (isto , o nmero B) nunca zero. Isto porque a diviso de um nmero

por zero impossvel (exceto 00

, cujo valor indeterminado).

No conjunto dos Nmeros Racionais, temos basicamente 3 tipos de nmeros:

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a) Fraes. Ex.: , , etc.

b) Nmeros decimais. Ex.: 1,25 Veja que este nmero decimal tem escrita finita, isto , um nmero definido de casas aps a vrgula. Por isso, ele tambm poderia ser escrito na

forma . Neste caso, poderamos represent-lo como , ou mesmo

simplific-lo para .

c) Dzimas peridicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente).

As dzimas peridicas so consideradas racionais porque tambm

podem ser escritas na forma . O nmero deste exemplo poderia ser escrito

na forma . Existem mtodos que nos permitem encontrar qual frao

equivalente a uma determinada dzima peridica. Outro exemplo de dzima peridica: 1,352525252... ou .

Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as fraes que do origem a dzimas peridicas. Divida 1 por 3 e voc obter 0,333... , ou simplesmente 0,3 .

Assim, dizemos que a frao geratriz da dzima 0,3 igual a 13

. Existem mtodos

que nos permitem, a partir de uma dzima peridica, chegar at a frao que deu origem a ela. Em alguns casos, a parte que se repete j comea logo aps a vrgula. Isto o caso em:

0,333... 0,353535...

0,215215215...

Em outros casos, existem alguns nmeros entre a vrgula e o incio da repetio. Veja esses nmeros sublinhados nas dzimas abaixo:

0,1333... 0,04353535...

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0,327215215215...

Vamos comear trabalhando com os casos onde a repetio comea logo aps a vrgula, para a seguir estender o mtodo aos casos onde existem nmeros entre a vrgula e o incio da repetio.

Casos onde a repetio comea logo aps a vrgula:

Vamos trabalhar com a dzima 0,333... . Chamemos de X a frao que d origem a esta dzima. Ou seja,

X = 0,333...

Como a repetio formada por um nico nmero (3), se multiplicarmos esta dzima por 10 conseguimos passar, para o outro lado da vrgula, o primeiro nmero da repetio:

10X = 10 x 0,333... = 3,333...

Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtrao: 10X X = 3,333... 0,333...

Os dois nmeros direita da igualdade acima possuem infinitas casas decimais idnticas. Portanto, o resultado desta subtrao :

9X = 3 3 19 3

X = =

Assim, descobrimos que a frao geratriz da dzima 0,333... 13

X = .

Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a frao geratriz da dzima 0,216216216... . Repare que temos a repetio de 216, e no h nenhuma casa separando a vrgula e o incio da repetio. Chamando de X a frao geratriz da dzima, temos:

X = 0,216216216...

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Para passar a primeira repetio (216) para a esquerda da vrgula, precisamos multiplicar X por 1000:

1000X = 216,216216216...

Efetuando a subtrao 1000X X podemos obter a frao geratriz: 1000X X = 216,216216216... 0,216216216...

999X = 216 216 24999 111

X = =

Assim, a geratriz de 0,216 a frao 24111

.

Casos onde existem nmeros entre a vrgula e o incio da repetio:

Vejamos como obter a frao geratriz da dzima 1,327215215215... . Veja que, neste caso, temos a repetio do termo 215. Entre a vrgula e o incio da repetio temos 3 nmeros (327). Deste modo, chamando de X a frao geratriz, temos:

X = 1,327215215215...

Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, direita da vrgula, apenas os termos que se repetem:

1000X = 1327,215215215...

E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira repetio 215 para o lado esquerdo da vrgula:

1000000X = 1327215,215215215...

Assim, podemos efetuar a seguinte subtrao: 1000000X 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215...

999000X = 1327215 1327 999000X = 1325888

1325888999000

X =

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Temos, portanto, a frao geratriz da dzima 1,327215215215... . Poderamos ainda simplific-la, se quisssemos.

OPERAES COM NMEROS INTEIROS E RACIONAIS As quatro operaes bsicas que podemos efetuar com estes nmeros so: adio, subtrao, multiplicao e diviso. Vejamos em detalhes cada uma delas.

a) Adio: A adio de dois nmeros dada pela soma destes dois nmeros. Isto , a adio de 15 e 6 :

15 + 6 = 21

Voc se lembra do mtodo para se efetuar a soma de dois nmeros? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, voc deve posicionar estes nmeros um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa das unidades): 728 +46

A seguir devemos comear a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a prxima soma: 1 728 +46 4 Agora, devemos somar os dois prximos nmeros (2 + 4), e adicionar tambm o nmero que veio da soma anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este nmero no resultado: 728 +46 74

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Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do nmero 728. Como o segundo nmero (46) no possui casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 728 +46 774

Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a prxima operao, vejamos as principais propriedades da operao de adio.

- propriedade comutativa: dizemos que a adio de nmeros inteiros ou racionais possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos nmeros no altera a soma. Isto , 728 + 46 igual a 46 + 728.

- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais nmeros, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade est presente na adio. Ex.: 2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14.

- elemento neutro: dizemos que o zero o elemento neutro da adio, pois qualquer nmero somado a zero igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45.

- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois nmeros racionais SEMPRE gera outro nmero racional, e a soma de dois nmeros inteiros SEMPRE gera outro nmero inteiro. Ex: a soma dos nmeros inteiros e racionais 2 e 5 gera o nmero inteiro e racional 7 (2 + 5 = 7).

b) Subtrao: efetuar a subtrao de dois nmeros significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto , subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades:

9 5 = 4

Acompanhe a subtrao abaixo para relembrar o mtodo para a subtrao de nmeros. Vamos efetuar a operao 365 97:

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365 - 97

Observe que o primeiro passo posicionar um nmero abaixo do outro, alinhando as casas das unidades. Comeamos a efetuar a subtrao a partir da casa das unidades. Como 5 menor do que 7, no podemos subtrair 5 7. Devemos, portanto, pegar uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos subtrair 15 7 = 8, e anotar este resultado:

365 - 97 8

Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 9, e no 6 9, pois j utilizamos uma unidade na primeira subtrao acima. Como 5 menor que 9, devemos novamente pegar uma unidade da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 9 = 6. Vamos anotar este resultado:

365 - 97 68

Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que no temos mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois j usamos uma unidade na operao anterior. Como 97 no tem casa das centenas, basta levarmos este 2 para o resultado:

365 - 97 268

E se quisssemos efetuar a subtrao 97 365? Neste caso, como 97 menor que 365, devemos: - subtrair o menor nmero do maior, isto , efetuar a operao 365 97; - colocar o sinal negativo (-) no resultado.

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Desta forma, 97 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operao de subtrao.

- propriedade comutativa: dizemos que a subtrao de nmeros NO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos nmeros ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 97 = 268, j 97 365 = -268.

- propriedade associativa: a subtrao NO possui essa propriedade, pois (A B) C pode ser diferente de (C B) A

- elemento neutro: o zero o elemento neutro da subtrao, pois, ao subtrair zero de qualquer nmero, este nmero permanecer inalterado. Ex.: 2 0 = 2.

- propriedade do fechamento: a subtrao de nmeros inteiros ou racionais possui essa propriedade, pois a subtrao de dois nmeros racionais SEMPRE gera outro nmero racional, e a subtrao de dois nmeros inteiros SEMPRE gera outro nmero inteiro.

- elemento oposto: para todo nmero A, existe tambm o seu oposto, com sinal contrrio, isto , -A. Exemplos de nmeros opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Tambm podemos dizer que o elemento oposto de A aquele nmero que, somado a A, resulta em zero:

A + (-A) = 0

c) Multiplicao: a multiplicao nada mais que uma repetio de adies. Por exemplo, a multiplicao 15 x 3 igual soma do nmero 15 trs vezes (15 + 15 + 15), ou soma do nmero 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicao:

57 x 13

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Novamente alinhamos os nmeros pela direita. Comeamos multiplicando os nmeros das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a prxima operao:

2 57 x 13

1

Agora devemos multiplicar os nmero das unidades do segundo nmero (3) pelo nmero das dezenas do primeiro nmero: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da operao anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos:

57 x 13

171

Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo nmero (1) pelo algarismo das unidades do primeiro nmero (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este nmero para o resultado, entretanto devemos coloc-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo nmero (1). Veja:

57 x 13

171 7 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo nmero (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro nmero (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos:

57 x 13

171 57

Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 57

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x 13 171 570 741

Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicao do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaramos 2 zeros, e assim por diante.

importante relembrar as regras de sinais na multiplicao de nmeros. Voc deve se lembrar que: - a multiplicao de nmeros de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. - a multiplicao de nmeros de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25.

Portanto, se tivssemos multiplicado (-57) x 13, ou ento 57 x (-13), deveramos obter -741. E se tivssemos multiplicado (-57) x (-13) deveramos obter 741.

Vejamos as principais propriedades da operao de multiplicao:

- propriedade comutativa: a multiplicao possui essa propriedade, pois A x B igual a B x A, isto , a ordem no altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15).

- propriedade associativa: a multiplicao possui essa propriedade, pois (A x B) x C igual a (C x B) x A, que igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24.

- elemento neutro: a unidade (1) o elemento neutro da multiplicao, pois ao multiplicar 1 por qualquer nmero, este nmero permanecer inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5.

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- propriedade do fechamento: a multiplicao possui essa propriedade, pois a multiplicao de nmeros racionais SEMPRE gera um nmero racional, e a multiplicao de nmeros inteiros SEMPRE gera outro nmero inteiro (ex.: 5 x 7 = 35).

- propriedade distributiva: apenas a multiplicao possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que:

Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)

Exemplificando: 5x(3+7) = 5x(10) = 50

ou, usando a propriedade: 5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50

d) Diviso: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No caso, 10 2 5 = . Vamos relembrar como efetuar divises com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18:

715 |18

Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (nmero a ser dividido) e o 18 de divisor (nmero que est dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que j mais que 71). J 18x3 = 54. Assim, temos:

715 |18 3

Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtrao:

715 |18 -54 3 17

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Agora devemos pegar o prximo algarismo do dividendo (5): 715 |18

-54 3 175

Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, direita, e anotar o resultado da multiplicao 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtrao:

715 |18 -54 39 175 -162 13

Agora temos o nmero 13, que inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a diviso. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta diviso no foi exata, pois ela deixou um resto.

Observe que o dividendo (715) igual multiplicao do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto :

715 = 18 x 39 + 13

Como regra, podemos dizer que: Dividendo = Divisor x Quociente + Resto

As regras de sinais na diviso so as mesmas da multiplicao: - a diviso de nmeros de mesmo sinal tem resultado positivo. - a diviso de nmeros de sinais diferentes tem resultado negativo.

Portanto, se tivssemos dividido (-10) por 2, ou ento 10 por (-2), deveramos obter -5. E se tivssemos dividido (-10) por (-2) deveramos obter 5.

Vejamos as principais propriedades da operao de diviso:

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- propriedade comutativa: a diviso NO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.

- propriedade associativa: a diviso NO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 diferente de (3/5)/2.

- elemento neutro: a unidade (1) o elemento neutro da diviso, pois ao dividir qualquer nmero por 1, o resultado ser o prprio nmero. Ex.: 5 / 1 = 5.

- propriedade do fechamento: aqui est a grande diferena entre nmeros inteiros e nmeros racionais. A diviso de nmeros racionais possui a propriedade do fechamento, pois ela SEMPRE gera um nmero racional (ex.: 2 / 100 = 0,02; que racional). J a diviso de nmeros inteiros NO POSSUI essa propriedade, pois ao dividir nmeros inteiros podemos obter resultados fracionrios ou decimais (como no exemplo 2 / 100 = 0,02), que no pertencem ao conjunto dos nmeros inteiros.

OPERAES COM NMEROS DECIMAIS Os nmeros decimais so, em regra, aqueles que resultam da diviso no-exata de dois nmeros inteiros. So os nmeros que possuem casas aps a vrgula. A manipulao deles essencial para a resoluo de diversas questes, motivo pelo qual voc precisa saber som-los, subtra-los, multiplic-los, dividi-los, elev-los a potncias e extrair razes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operaes em detalhes.

a) Adio de nmeros decimais: A adio de dois nmeros decimais segue a mesma lgica da adio comum. Isto : - os nmeros devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vrgula logo abaixo da vrgula do outro, e as casas correspondentes uma embaixo da outra - as casas correspondentes devem ser somadas, comeando da direita para a esquerda. - medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a prxima adio (das casas logo esquerda).

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Vamos aplicar estes passos na adio de 13,47 e 2,9. Colocando os nmeros um embaixo do outro, com a vrgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical:

13,47 + 2,9

Veja que a casa das unidades do primeiro nmero (3) est logo acima da casa das unidades do segundo nmero (2). A primeira casa decimal do primeiro nmero (4) est logo acima da primeira casa decimal do segundo (1). E assim por diante. Como no h casa decimal abaixo do 7, podemos consider-la igual a 0. Agora, basta comear a somar as casas correspondentes, comeando pelas da direita, anotando o resultado. Quando houver a formao de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a prxima operao (3 + 2). Com isso, temos:

13,47 + 2,9

16,37

b) Subtrao de nmeros decimais: Aqui tambm devemos posicionar os nmeros um abaixo do outro, com a vrgula do primeiro na mesma vertical da vrgula do segundo nmero. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a esquerda. Vejamos:

13,47 - 2,9

10,57 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtrao 4 9 foi preciso pegar uma unidade da casa esquerda do 4 (no caso, o 3) e transform-la em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invs de subtrair 3 2, tivemos que subtrair 2 2 pois uma unidade do 3 j havia sido utilizada.

c) Multiplicao de nmeros decimais:

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Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicao comum, com duas observaes: - devemos posicionar os nmeros assim como fizemos na adio e na subtrao, isto , com a vrgula de um logo abaixo da vrgula do outro. - o nmero de casas decimais do resultado ser igual soma do nmero de casas decimais dos dois nmeros sendo multiplicados. Assim voc saber posicionar a vrgula. Vejamos o nosso exemplo:

13,47 x 2,9

12123 + 26940

39,063 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se multiplicao de 13,47 por 9. J a segunda linha refere-se multiplicao de 13,47 por 2. Nesta linha h um 0 direita porque o 2 est uma casa decimal frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtm-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos nmeros sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que leva ao nmero 39,063.

d) Diviso de nmeros decimais: Para efetuar a diviso de nmeros decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os nmeros (divisor e dividendo) por uma potncia de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais presentes. Aps isso, s efetuar a operao normalmente. Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o nmero que possui mais casas decimais o divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os nmeros por 100, de modo a retirar ambas as casas decimais:

3,5 x 100 = 350 0,25 x 100 = 25

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Agora, basta efetuar a diviso de 350 por 25, que voc sabe fazer, tendo como resultado o nmero 14.

EXERCCIO DE FIXAO NMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes operaes, cujo gabarito fornecido em seguida. a) 2,25 + 1,7 b) 2,25 1,7 c) 2,25 x 1,7 d) 2,25 / 1,5 e) 0,898 + 1,12 f) 0,898 1,12 g) 0,898 x 1,12 h) 0,898 / 0,01 Respostas: a) 3,95 b) 0,55 c) 3,825 d) 1,5 e) 2,018 f) -0,222 g) 1,00576 h) 89,8

NMEROS REAIS O conjunto dos Nmeros Reais formado pela unio dos nmeros Racionais

e Irracionais. Os Nmeros Irracionais so aqueles que, ao contrrio dos Racionais, no podem ser obtidos da diviso de dois inteiros, ou seja, no podem ser escritos na forma (onde A e B so nmeros inteiros). Isto porque esses nmeros so formados por uma seqncia infinita de algarismos.

Exemplo: na obteno da raiz quadrada do algarismo 2, nos deparamos com um nmero irracional:

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(as reticncias indicam que este nmero composto por infinitos algarismos) Da mesma forma, o conhecido nmero (pi), muito utilizado na

trigonometria, possui infinitas casas decimais que no se repetem como em uma dzima peridica, o que faz dele um nmero irracional:

Voltando a falar dos nmeros reais, podemos dizer que:

(O conjunto dos Nmeros Naturais est contido no dos Inteiros, que est contido no dos Racionais, que est contido no dos Reais)

E, alm disso,

(O conjunto dos Nmeros Irracionais est contido no dos Nmeros Reais)

Complementando o diagrama que desenhamos nos tpicos acima, agora temos:

No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence aos Nmeros Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto pertence aos Nmeros Irracionais e Reais.

1.1.1 Nmeros primos e fatorao Dizemos que um nmero primo quando ele s pode ser dividido, sem

deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o nmero 7. Como qualquer nmero, ele pode ser dividido por um, tendo como resultado 7 e no deixando resto

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algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e ver que sempre h um resto diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 que no encontraremos resto novamente. Portanto, 7 um nmero primo, pois s divisvel por 1 e por ele mesmo. Diversos outros nmeros possuem essa propriedade, como os listados abaixo:

{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} A ttulo de curiosidade, repare que o 2 o nico nmero primo par. Todos os

demais so mpares. Qualquer nmero natural pode ser representado como uma multiplicao de

nmeros primos. Por exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um nmero qualquer em um produto de nmeros primos chamado de fatorao.

Vamos fatorar o nmero 24. Devemos comear tentando dividi-lo por 2, que o menor nmero primo (muitos autores no consideram que o 1 seja um nmero primo). Esta diviso exata (no possui resto), e o resultado 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora no mais possvel dividir por 2. Assim, devemos partir para o prximo nmero primo, que o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize este processo abaixo:

Nmero Fator primo 24 2 12 2 6 2 3 3 1 Logo, 24 = 23 x 3

Para praticar, vejamos a fatorao do nmero 450: Nmero Fator primo

450 2 225 3

75 3

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25 5 5 5 1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52

Vejamos ainda a fatorao do nmero 1001. Observe que ele no divisvel (ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo:

Nmero Fator primo 1001 7 143 11

13 13 1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13

A fatorao ser muito til na obteno do Mnimo Mltiplo Comum e Mximo Divisor Comum entre dois nmeros, como veremos a seguir.

1.1.2 Mltiplos e divisores de nmeros naturais Para a resoluo de diversas questes que podem cair em sua prova, vale a

pena voc desenvolver a rapidez na obteno de mltiplos e divisores de um dado nmero, calcular o mnimo mltiplo comum e mximo divisor comum entre dois nmeros, e conhecer regras prticas para saber se um nmero ou no divisvel por outro (critrios de divisibilidade).

Os mltiplos de um nmero X so aqueles nmeros que podem ser obtidos multiplicando X por outro nmero natural. Por exemplo, os mltiplos de 3 so: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses nmeros podem ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 nmeros X e Y, e listamos os mltiplos de cada um deles, podemos ter mltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar alguns mltiplos de 8 e de 12: Mltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. Mltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. Observe que os seguintes nmeros so mltiplos de 8 e tambm de 12: 24, 48, 72. Isto , so mltiplos em comum desses 2 nmeros. O menor deles, neste

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caso o 24, chamado de mnimo mltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O clculo do MMC se mostra til na resoluo de diversos exerccios, como veremos adiante. Um mtodo simples de se calcular o MMC entre 2 nmeros dado pelos seguintes passos: 1. Decompor cada nmero em uma multiplicao de fatores primos; 2. O MMC ser formado pela multiplicao dos fatores comuns e no comuns dos dois nmeros, de maior expoente. Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo 12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3. Assim, o MMC ser formado pelos fatores comuns (2) e no comuns (3) de maior expoente (isto , MMC = 23 x 3 = 24). A ttulo de exerccio, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5, e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45. Para voc entender como o MMC pode ser til na resoluo de questes, imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, Joo e Jos, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. Joo costuma realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto Jos costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidiro novamente? Ora, se Joo d festas de 9 em 9 dias, sua prxima festa ser daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. J a prxima festa de Jos ser daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias em que ambos daro festas devem ser um mltiplos de 9 e tambm de 15, isto , mltiplos comuns de 9 e 15. A prxima festa ocorrer no menor desses mltiplos, isto , no mnimo mltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9, 15) = 45. Portanto, a prxima vez em que as festas coincidiro ocorrer daqui a 45 dias.

Dizemos que um nmero divisvel por outro quando esta diviso exata, no deixando resto nem casas decimais. Para saber se um nmero divisvel por outro, basta efetuar a diviso e verificar se existe resto. Ex.: 25 5 5 = , portanto 25 divisvel por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o nmero 1765830275 divisvel por 5. Efetuar esta diviso mo consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critrios de divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo:

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Principais critrios de divisibilidade Divisor* Critrio Exemplos

1 Todos os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...

2 Nmeros pares (isto , terminados

em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc.

3 Nmeros cuja soma dos algarismos

divisvel por 3

0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), 27 (2+7=9), 51 (5+1=6), 915

(9+1+5=15) etc.

4 Se o nmero formado pelos 2

ltimos dgitos for divisvel por 4 0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc.

5 Nmeros terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc.

6 Nmeros divisveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 ( par, e 9+2+4=15)

etc.

9 Nmeros cuja soma dos algarismos

divisvel por 9 0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155

(7+1+5+5=18) etc. 10 Nmeros terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc.

*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critrios muito difceis, motivo pelo qual praticamente no so cobrados.

Chamamos de mximo divisor comum (MDC) entre dois nmeros A e B o maior nmero pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto , sem deixar resto.

Podemos calcular o mximo divisor comum entre 2 nmeros listando os divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40: - 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. - 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. - Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. Vejam que 8 o mximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40.

Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada nmero (como fizemos acima), basta seguir 2 passos:

1. Decompor cada um dos nmeros em fatores primos (ex.: 32 = 25; 40 = 235)

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2. O MDC ser formado pela multiplicao dos fatores comuns de menor expoente (neste caso, apenas o 2 comum, e seu menor expoente 3. Logo, MDC = 23 = 8);

Para voc visualizar uma aplicao prtica do MDC, imagine o seguinte caso: temos um conjunto de 20 ces e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de ces, sem mistur-los, porm todos os grupos devem ter o mesmo nmero de integrantes. Qual o menor nmero de grupos possvel?

Para obter o menor nmero de grupos possvel, precisamos dividir 20 e 30 pelo maior nmero possvel. Este maior nmero que divide tanto 20 quanto 30, sem deixar resto, justamente o MDC entre 20 e 30.

Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos tambm que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos. Isto , 2 grupos com 10 ces em cada, e 3 grupos com 10 gatos em cada. Assim, o menor nmero de grupos possvel 5.

1.1.3 Fraes e operaes com fraes Ao trabalhar com nmeros racionais, recorrentemente estaremos lidando com

fraes, que nada mais so que operaes de diviso. Escrever 25

equivalente a

escrever 2 5 . As fraes esto constantemente presentes na resoluo de exerccios, motivo pelo qual essencial lembrar como efetuamos cada operao com elas: soma, subtrao, multiplicao e diviso.

a) Para somar ou subtrair fraes, preciso antes escrev-las com o mesmo denominador, isto , com um denominador comum. Este denominador , simplesmente, um mltiplo comum entre os denominadores das fraes originais. Falaremos sobre mltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o bsico. Vamos entender isto com o exemplo abaixo:

1 36 8

+

Veja o nmero 24 um mltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24).

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Para trocar o denominador da frao 16 para 24, preciso multiplicar o

denominador 6 por 4. Assim, tambm devemos multiplicar o numerador 1 por 4,

para manter a frao. Portanto, 1 46 24

=

J para trocar o denominador da frao 38para 24, preciso multiplicar o

denominador 8 por 3. Assim, tambm devemos multiplicar o numerador 3 por 3,

para manter a frao. Portanto, 3 98 24

=

Agora sim podemos efetuar a soma: 1 3 4 9 4 9 136 8 24 24 24 24

++ = + = =

b) Para multiplicar fraes, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo:

1 3 1 3 36 8 6 8 48

= =

c) Para dividir fraes, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso exemplo:

11 3 1 8 86

3 6 8 6 3 188

= = =

*** Dica importantssima: trabalhando com fraes, normalmente podemos substituir a expresso de pela multiplicao. Veja como:

- quanto um tero de 1000? Ora, simplesmente 1 10003

!

- e quanto dois stimos de 25? A resposta 2 257

- quanto vale um quarto da soma do nmero de homens (700) e de mulheres (600)

presentes em um evento? Simplesmente 1 (700 600)4

+ .

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- por fim, quanto vale 5/9 da diferena entre os nmeros X e Y? Aqui, a resposta

dada pela expresso 5 ( )9

X Y .

Certifique-se de que voc entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos exerccios!

1.1.4 Potenciao J tivemos que trabalhar com potncias nesta aula, ao abordar a fatorao,

mas nesta seo veremos mais detalhes sobre esta operao matemtica. Observe o exemplo abaixo:

35 5 5 5 125= = (l-se: cinco elevado terceira potncia igual a cinco vezes cinco vezes cinco)

Pelo exemplo dado, voc pode perceber que elevar um nmero X a uma determinada potncia n simplesmente multiplicar X por ele mesmo, n vezes. Outro exemplo, para no deixar dvida:

42 2 2 2 2 16= = (dois elevado quarta potncia igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 vezes)

Resumindo, quando tratamos sobre potncias temos sempre uma base (nmero X) elevada a um expoente (n). Entendido o conceito bsico, podemos analisar algumas propriedades das potncias. Essas propriedades facilitaro bastante o manuseio de equaes que envolvam potncias:

a) Qualquer nmero elevado a zero igual a 1. Trata-se de uma conveno, isto , uma definio. Assim, podemos dizer

que: 0

0

0

5 1( 25) 10,3 1

=

=

=

b) Zero elevado a qualquer nmero igual a zero. Isso bem lgico, pois zero elevado a n significa zero multiplicado por ele

mesmo, n vezes. Ex.: 30 0 0 0 0= =

c) Multiplicao de potncias de mesma base (X):

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A questo aqui como multiplicar 2 34 4 . Normalmente voc faria assim: = =2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024

Veja que basta somar os expoentes (n), uma vez que as duas potncias tm a mesma base 4:

+ = = =2 3 2 3 54 4 4 4 1024

d) Diviso de potncias de mesma base (X):

Como voc faria a diviso 5

344

? Provavelmente seria assim:

5

34 4 4 4 4 4 4 4 164 4 4 4

= = =

Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (n), pois o numerador e denominador da diviso tem a base 4. Veja:

55 3 2

34 4 4 164

= = =

Analogamente, observe que 331 44

= . Isto porque:

00 3 3

3 31 4 4 44 4

= = =

O que vimos acima nos permitir levar uma potncia do numerador para o denominador de uma diviso, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da

potncia. Exemplificando, vamos resolver a expresso 3 54 4 . Temos duas formas: Usar a propriedade de multiplicao de potncias de mesma base, somando

os expoentes: 3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16 + = = =

Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34 para o denominador e, a seguir, fazendo a diviso de potncias de mesma base:

53 5 5 3 2

344 4 4 4 164

= = = =

e) Potncia de potncia:

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A questo agora resolver 2 3(2 ) . Voc poderia inicialmente elevar 2 segunda potncia (isto , ao quadrado), e a seguir elevar o resultado terceira potncia (ao cubo):

2 3 3(2 ) (4) 64= = Entretanto, veja que basta voc elevar 2 ao resultado da multiplicao entre

os dois expoentes: 2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64= = =

f) Raiz de potncia: Quando estudarmos radiciao (prximo tpico), veremos que trata-se de uma operao inversa potenciao. Assim, obter a raiz quadrada de um nmero

equivalente a elev-lo a 12

, obter a raiz cbica equivalente a elev-lo a 13

, e assim

por diante.

Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderamos fazer simplesmente assim:

62 2 2 2 2 2 2 64 8= = =

Entretanto, como obter a raiz quadrada igual a elevar a 12

, podemos fazer:

( ) 11 66 6 3222 2 2 2 8= = = = Note que utilizamos a propriedade anterior (potncia de potncia) para resolver este caso.

g) Potncia de produto: Se tivermos que resolver uma expresso como 2(2 3) , podemos fazer de

algumas formas:

2 2(2 3) (6) 36 = =

2(2 3) (2 3) (2 3) 36 = =

2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36 = = = Veja a ltima forma. Ela nos diz que um produto A B elevado uma

potncia n igual ao produto das potncias nA e nB .

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h) Potncia de base 10: Quando a base da potncia for 10 e o expoente for um nmero natural n,

fica bem fcil resolver. O resultado ser formado pelo nmero 1 seguido de n zeros:

3

6

10 100010 1000000

=

=

Da mesma forma, se o expoente for um nmero inteiro negativo, basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos:

33

66

1 110 0,00110 1000

1 110 0,00000110 1000000

= = =

= = =

i) Potncia de base negativa: Quando a base da potncia um nmero negativo, devemos analisar qual

ser o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ? Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado positivo.

Se o expoente for mpar, o resultado ser negativo. Neste caso, como 3 mpar, o resultado correto -8. Voc pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas:

3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8 = = Veja um exemplo com expoente par:

4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16 = = j) Frao elevada a um expoente:

Uma frao elevada a um expoente igual a outra frao onde numerador e denominador esto elevados quele expoente. Veja:

3 3

32 23 3

=

Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 3 3

32 2 2 2 2 2 2 2 83 3 3 3 3 3 3 3 27

= = = =

1.1.5 Radiciao

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Como j disse acima, a radiciao uma operao inversa potenciao. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 3, isso significa que 3 elevado ao quadrado ser igual a 9. A operao de radiciao pode ser escrita usando-se o

smbolo n ou elevando o nmero em questo ao expoente 1n

. Veja alguns

exemplos: 1

3 327 27 3= = , pois 33 27= 1

2 216 16 4= = , pois 24 16=

Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o smbolo 2 ou simplesmente .

As principais propriedades da radiciao so:

a) Qualquer raiz de zero igual a zero: Isto , 0 0n = . Isto porque zero elevado a qualquer nmero tambm resulta

em zero.

b) Qualquer raiz de 1 igual a 1: Ou seja, 1 1n = . Isto porque 1 elevado a qualquer nmero tambm resulta em

1.

c) a

b a bx x=

Essa uma propriedade muito importante. Exemplificando, 6

3 6 234 4 4 16= = = .

d) Raiz n de produto igual ao produto das razes n: Isto , a raiz n de A x B igual a raiz n de A x raiz n de B:

n n nA B A B = Veja que essa propriedade s vale se ambas as razes tiverem o mesmo radical n. Ilustrando, temos que:

25 16 25 16 5 4 20 = = =

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e) Raiz da diviso igual diviso das razes: A raiz de A/B igual raiz de A dividida pela raiz de B:

n

nn

A AB B

=

Veja esse exemplo: 25 25 516 416

= =

f) Raiz de raiz: Por essa propriedade, temos que n m n mA A= . Exemplificando:

3 3 2 62 2 2= =

Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potncia: 1

1 1 11 1 333 62 3 62 22 2 2 2 2 2

= = = =

=

Vamos estudar um mtodo para extrair a raiz de um nmero. Ele consiste em 2 passos:

1. Decomposio do nmero em fatores primos

2. Aplicao da propriedade a

b a bx x=

A ttulo de exemplo, vamos calcular 3 216 . Lembre-se que os nmeros primos so aqueles divisveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos comear dividindo 216 pelo menor nmero primo (2) e, quando no mais for possvel, passamos para o nmero primo seguinte (3), e assim sucessivamente. Teremos:

Nmero Fator primo 216 2 108 2

54 2

27 3 (pois no mais possvel usar o 2) 9 3

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3 3 1 Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 23 x 33

Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciao da seguinte forma: 1 1 13 33 3 3 3 1 13 3 3 3 3216 (2 3 ) (2 3 ) 2 3 2 3 6 = = = = =

Se voc ficou em dvida, talvez precise voltar na seo de Potenciao e revisar as propriedades que estudamos.

Vamos resolver mais um caso: 7056 . Decompondo 7056 em fatores primos, temos:

Nmero Fator primo 7056 2 3528 2 1764 2 882 2 441 3 147 3 49 7 7 7

1 Logo, 4 2 27056 2 3 7=

Portanto: 1 1 14 2 24 2 2 22 2 27056 2 3 7 2 3 7 2 3 7 84

= = = =

Vrias vezes voc ir se deparar com nmeros que no possuem raiz exata. Apesar disso, possvel simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 32.

Fazendo a decomposio em fatores primos, temos que: 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25

Assim, 532 2=

Podemos simplificar esta expresso lembrando-se que 5 42 2 2= :

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5 4 432 2 2 2 2 2 4 2= = = = ou, simplesmente, 4 2

Finalizando, bom lembrar que no conjunto dos nmeros racionais no existe raiz par de nmeros negativos (ex.: no existe 2 16 ), mas existe raiz mpar ( 33 27 3, pois ( 3) 27 = = ).

1.2 Expresses numricas Uma expresso numrica uma sequncia de nmeros dispostos de acordo com sinais matemticos, que indicam as operaes a serem efetuadas. Veja um exemplo:

{ }( 25 2) (9 3) 7 4 + = A resoluo desse tipo de expresso muito simples, desde que voc se lembre das seguintes regras: 1. Primeiro resolver o que est dentro dos parnteses, depois o que est entre colchetes, e a seguir o que est entre chaves. 2. Primeiro resolver operaes de radiciao ou potenciao, a seguir multiplicao ou diviso, e a seguir resolver operaes de soma ou subtrao. Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operaes que encontram-se entre parnteses. Dentro desses parnteses, veja que h uma operao de radiciao ( 25 ), que a primeira a ser resolvida:

[ ]{ }(5 2) (9 3) 7 4+ = A seguir, resolvemos as demais operaes dentro dos parnteses, obtendo:

[ ]{ }7 6 7 4 = Agora devemos resolver a multiplicao dentro dos colchetes:

{ }42 7 4 = Em seguida resolvemos a subtrao dentro das chaves:

35 4 =

Por fim, resolvemos a diviso que se encontrava fora das chaves, obtendo: 35 4 8,75 =

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Vale a pena lembrar aqui que uma frao uma operao de diviso como outra qualquer, e se houver uma frao em sua expresso numrica, basta resolv-la no momento que voc resolveria aquela operao de diviso.

1.3 Porcentagem A porcentagem nada mais do que uma diviso onde o denominador o nmero 100. Voc certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas notcias da imprensa. Dizer que 12% (leia cinco por cento) dos brasileiros so desempregados igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros no tem emprego. Veja outros exemplos:

- 11% do seu salrio deve ser pago a ttulo de contribuio previdenciria: de cada 100 reais que voc recebe como salrio, 11 devem ser pagos para a previdncia.

- a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil de 20%: de cada 100 adultos no Brasil, 20 so analfabetos.

- o nmero de adolescentes grvidas cresceu 10% em 2011, em relao ao ano anterior: para cada 100 adolescentes grvidas que existiam em 2010, passaram a existir 10 a mais em 2011, isto , 110 adolescentes grvidas.

- o nmero de fumantes hoje 5%menor que aquele do incio da dcada: para cada 100 fumantes existentes no incio da dcada, hoje temos 100 5, isto , 95 fumantes.

Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, basta efetuar a seguinte diviso:

quantia de interessePorcentagem = 100%total

Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianas representam em um total de 4 crianas, temos:

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quantia de interesse 3Porcentagem = 100% 100% 0,75 100% 75%total 4

= = =

Podemos transformar um nmero porcentual (ex.: 75%) em um nmero decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, lembrando que o smbolo % significa dividido por 100. Isto , 75% igual a 75 dividido por 100, que igual a 0,75:

7575% 0,75100

= =

Da mesma forma, se temos um nmero decimal (ex.: 0,025) e queremos saber o valor percentual correspondente, basta multiplic-lo por 100%:

1000,025 0,025 0,025 100% 2,5%100

= = =

Por fim, se quantia de interessePorcentagem = 100%total

, ento tambm

podemos dizer que:

quantia de interesse = porcentagem total

(Obs.: veja que omiti o 100% desta ltima frmula, afinal 100100% 1100

= =)

Esta frmula acima nos diz que, se queremos saber quanto 20% de 300, basta multiplicar 20% por 300:

20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60

Isto , 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas. Portanto, grave isso: em matemtica, o de equivale multiplicao. Portanto, 20% de 300 igual a 20% x 300, e assim por diante.

Por ora, vejamos duas questes sobre o assunto:

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01. FCC MPE/RS 2010) Devido a uma promoo, um televisor est sendo vendido com 12% de desconto sobre o preo normal. Cludio, funcionrio da loja, est interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionrio da loja, ele tem direito a 25% de desconto sobre o preo promocional, o desconto que Cludio ter sobre o preo normal do televisor, caso decida adquiri-lo, ser de a) 37% b) 36% c) 35% d) 34% e) 33% RESOLUO: Se o preo normal do televisor T, com o desconto de 12% ela est sendo vendida pelo preo promocional abaixo:

Preo Promocional = T 12%T = T 0,12T = 0,88T

Como Cludio tem desconto de 25% sobre o preo promocional, ele deve pagar:

Preo para Cludio = Preo Promocional 25% do Preo Promocional Preo para Cludio = 0,88T 25% x 0,88T

Preo para Cludio = 0,88T 0,25 x 0,88T = 0,66T

Isto , Cludio pagar apenas 66% do preo normal da televiso, tendo um desconto de 100% - 66% = 34%. Resposta: D

02. FCC TCE/SP 2010) Suponha que certo medicamento seja obtido adicionando- se uma substncia A a uma mistura homognea W, composta de apenas duas substncias X e Y. Sabe-se que:

- o teor de X em W de 60%;

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- se pode obter tal medicamento retirando-se 15 de 50 litros de W e substituindo-os por 5 litros de A e 10 litros de Y, resultando em nova mistura homognea.

Nessas condies, o teor de Y no medicamento assim obtido de a) 52% b) 48% c) 45% d) 44% e) 42% RESOLUO: Se a mistura W contm apenas as substncias X e Y, sendo 60% de X, temos ento 100% - 60% = 40% de Y. Retirando 15 litros de W, sobram 35 litros dessa mistura. Sabemos que X 60% de W, portanto, temos:

Volume de X = 60% do Volume de W = 60% x 35 litros = 0,6 x 35 = 21 litros

Se ao todo temos 35 litros, o volume de Y ser:

Volume de Y = Volume de W Volume de X = 35 21 = 14 litros (voc tambm poderia ter feito 40% x 35 litros = 14 litros)

Veja que ainda devemos adicionar 5 litros de A e 10 litros de Y. Ficamos, ao todo, com 21 litros de X, 14 + 10 = 24 litros de Y e 5 litros de A, totalizando 21 + 24 + 5 = 50 litros. Deste total de 50 litros, temos 24 litros de Y, que representam a porcentagem:

quantia de interessePorcentagem = 100%total

24Porcentagem = 100% 0,48 100% 48%50

= =

Resposta: B

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1.4 Sistemas de medidas Uma unidade de medida uma quantidade de uma grandeza fsica que usada como um padro para a medida de outras quantidades da mesma grandeza. Por exemplo, o metro uma quantidade especfica da grandeza fsica comprimento, sendo utilizado para medir o comprimento de outros corpos. Para cada grandeza fsica, o Sistema Internacional de Unidades define uma unidade padro de medida.

1.4.1 Medidas de comprimento

A unidade padro de medida de comprimento o metro, representado pela letra m. Um metro dividido em 10 decmetros, que por sua vez dividido em 10 centmetros, que por sua vez dividido em 10 milmetros. Assim, podemos dizer que 1 metro dividido em 100centmetros (10x10), ou em 1000milmetros. Por outro

lado, podemos dizer que 1 decmetro igual a 110

metro (0,1 metro), 1 centmetro

igual a 1100

metro (0,01 metro), e 1 milmetro equivalente a 0,001 metro.

Por sua vez, 10 metros equivalem a 1 decmetro. 10 decmetros equivalem a 1 hectmetro, e 10 hectmetros equivalem a 1 quilmetro. Veja isso na tabela abaixo:

Milmetro (mm)

Centmetro (cm)

Decmetro (dm)

Metro (m)

Decmetro (dam)

Hectmetro (hm)

Quilmetro (km)

1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km

Portanto, se tivermos o valor de um comprimento em qualquer dessas unidades, vejamos como obt-lo em outra unidade. Pela tabela acima, repare que para andar para a direita, basta dividir o nmero por 10 (por ex.: 10dm/10 = 1m). E, para andar para a esquerda, basta multiplicar por 10 (por ex.: 0,001km x 10 = 0,01hm).

Sabendo disso, vamos escrever 15 centmetros na unidade hectmetros. Veja que precisamos andar 4 casas para a direita (passando por dm, m, dam e

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chegando em hm). Portanto, precisamos dividir por 10 quatro vezes em sequncia: 15cm / 10 = 1,5dm

1,5dm / 10 = 0,15m

0,15m / 10 = 0,015dam

0,015dam / 10 = 0,0015hm

Portanto, 15 centmetros equivalem a mseros 0,0015 hectmetros. Da mesma forma, se quisssemos escrever 15 hectmetros em centmetros, precisaramos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaramos multiplicar o nmero 15 por 10 quatro vezes seguidas, obtendo a quantia de 150000cm.

1.4.2 Medidas de rea

A unidade padro de medida de rea o metro quadrado, representado pelo smbolo 2m . Veja a tabela de converso do metro quadrado em seus mltiplos e submltiplos:

Milmetro quadrado

(mm2)

Centmetro quadrado

(cm2)

Decmetro quadrado

(dm2)

Metro quadrado

(m2)

Decmetro quadrado

(dam2)

Hectmetro quadrado

(hm2)

Quilmetro quadrado

(km2)

1.000.000mm2 10.000cm2 100dm2 1m2 0,01dam2 0,0001hm2 0,000001km2

Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 100, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 100, para garantir que obtenhamos a converso correta.

Sabendo disso, vamos escrever 15 centmetros quadrados na unidade hectmetros quadrados. Precisamos andar 4 casas para a direita (passando por dm2, m2, dam2 e chegando em hm2). Portanto, precisamos dividir por 100 quatro vezes em sequncia:

15cm2 / 100 = 0,15dm2

0,15 dm2 / 100 = 0,0015m2

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0,0015m2 / 100 = 0,000015dam2

0,000015dam2 / 100 = 0,00000015hm2

Portanto, 15 centmetros quadrados equivalem a apenas 0,00000015 hectmetros quadrados. Da mesma forma, se quisssemos escrever 15 hectmetros quadrados em centmetros quadrados, precisaramos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaramos multiplicar o nmero 15 por 100 quatro vezes seguidas, o que equivale a escrever o nmero 15 seguido de 8 zeros (4 x 2), obtendo a quantia de 1500000000cm2.

1.4.3 Medidas de volume

J a unidade padro de medida de volume o metro cbico, representado

pelo smbolo 3m . Veja a tabela de converso do metro cbico em seus mltiplos e submltiplos:

Milmetro cbico (mm3)

Centmetro cbico (cm3)

Decmetro cbico (dm3)

Metro cbico

(m3)

Decmetro cbico (dam3)

Hectmetro cbico (hm3)

Quilmetro cbico (km3)

1000000000mm3 1000000cm3 1000dm3 1m3 0,001dam3 0,000001hm3 0,000000001km3

Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 1000, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 1000, para obter a converso correta.

Sabendo disso, vamos escrever 15 centmetros cbicos na unidade hectmetros cbicos. Precisamos andar 4 casas para a direita (passando por dm3, m3, dam3 e chegando em hm3). Portanto, precisamos dividir por 1000 quatro vezes em sequncia:

15cm3 / 1000 = 0,015dm3

0,015dm3 / 1000 = 0,000015m3

0,000015m3 / 1000 = 0,000000015dam3

0,000000015dam3 / 1000 = 0,000000000015hm3

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Portanto, 15 centmetros cbicos equivalem a apenas 0,000000000015 hectmetros cbicos. Da mesma forma, se quisssemos escrever 15 hectmetros cbicos em centmetros cbicos, precisaramos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaramos multiplicar o nmero 15 por 1000 quatro vezes seguidas, o que equivale a escrever o nmero 15 seguido de 12 zeros (4 x 3), obtendo a quantia de 15.000.000.000.000cm3 (quinze trilhes de centmetros cbicos). Para finalizar o estudo de unidades de volume, importante voc conhecer outra unidade muito utilizada: o litro. Sabendo que 1 litro igual a 1dm3 (decmetro cbico), voc consegue descobrir outros valores facilmente. Veja que, como 1000dm3 = 1 m3, podemos dizer que 1000 litros = 1m3. Trabalhe esta questo: 03. FGV BESC 2004) Quantos mililitros h em um milmetro cbico? (A) 103 (B) 1 (C) 103 (D) 106 (E) 109 RESOLUO: Aqui devemos comear nos lembrando que 1 litro equivale a 1 decmetro cbico:

1 litro -------------------------- 1dm3

Sabemos tambm que 1 litro equivale a 1000 mililitros (1000ml). Fazendo essa substituio na relao acima, temos:

1000ml -------------------------- 1dm3

Por outro lado, 1dm3 equivale a 1000cm3, que equivale a 1.000.000mm3. Fazendo essa substituio na relao acima, temos:

1000ml -------------------------- 1000000mm3

ou melhor, 103ml ---------------------106mm3

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Igualando essas duas grandezas, temos: 103ml = 106mm3

Como o enunciado pede o equivalente a 1mm3, podemos dividir ambos os lados da equao acima por 106. Veja:

3 6 3

3 63

6 6

3 3

10 1010 1010 1010 1

ml mm

ml mm

ml mm

=

=

=

Portanto, 1mm3 equivale a 10-3ml. Resposta: C

1.4.4 Medidas de tempo

A unidade padro de medida de tempo o segundo, representado pelo smbolo s. Aqui no trabalharemos da mesma forma que as demais unidades de medida, pois normalmente no contamos o tempo em mltiplos de 10. De qualquer forma, importante voc conhecer o milissegundo (ms): 1 segundo corresponde a 1000ms.

As principais unidades de tempo que utilizamos, alm do segundo, so o minuto, a hora e o dia. Veja-os na tabela abaixo

Milissegundo

(ms) Segundo

(s) Minuto (min) Hora (h) Dia

1.000ms = 1s 1s 1 min = 60s 1 h = 60 min 1 dia = 24 h

Note que 1 hora equivale a 3600 segundos (60 x 60). E 1 dia corresponde a 1440 minutos (24 x 60). Para exercitar-nos, vamos escrever 2 horas na unidade segundos. Para isso, podemos utilizar algumas regras de trs:

1 hora ------------------------------- 60 minutos

2 horas ----------------------------- X minutos

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1 2 60120minutos

XX =

=

Continuando, temos:

1 minuto ---------------------- 60 segundos

120 minutos------------------ Y segundos

1 120 607200segundos

YY

=

=

Pratique esses conceitos na questo abaixo:

04. VUNESP SEAP/SP 2012) Valdomiro cronometrou as voltas que correu em uma pista de 400 m e anotou os tempos na tabela a seguir.

Pode-se afirmar que o tempo mdio dessas quatro voltas foi, em segundos, de (A) 80. (B) 82. (C) 84. (D) 86. (E) 88. RESOLUO: Sabemos que 1 minuto corresponde a 60 segundos. Assim, os tempos das voltas foram 60+15, 60+18, 60+23 e 60+24 segundos, isto , 75s, 78s, 83s e 84s. O tempo mdio de uma volta dado pela soma do tempo das 4 voltas, dividido pelo nmero de voltas (4):

75 78 83 84 320 804 4

Mdia s+ + += = =

Resposta: A

1.4.5 Medidas de massa

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A unidade padro de medida de massa o grama (e no o quilograma!), representado pelo smbolo g. Veja a tabela de converso do grama em seus mltiplos e submltiplos:

Miligrama

(mg)

Centigrama

(cg)

Decigrama

(dg)

Grama (g)

Decagrama (dag)

Hectograma

(hg)

Quilograma

(kg) 1.000mg 100cg 10dg 1g 0,1dag 0,01hg 0,001kg

Assim como no caso das medidas de comprimento, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 10, para obter a converso correta.

Sabendo disso, observe que 15 centigramas correspondero a 0,0015 hectogramas (basta dividir por 10 quatro vezes seguidas). Da mesma forma, 15 hectogramas correspondero a 150.000 centigramas (multiplique por 10 quatro vezes seguidas, ou coloque 4 zeros aps o 15).

Voc j deve ter ouvido falar na tonelada mtrica, ou simplesmente tonelada (ton). Uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas. Portanto, para obter o valor de 1 tonelada em gramas, basta multiplicar 1.000 por 10 trs vezes seguidas (de kg para hg, de hg para dag, e de dag para g), chegando a 1.000.000 gramas.

1.4.6 Sistema monetrio brasileiro

Quanto ao nosso sistema monetrio, o mais importante voc se lembrar que 1 real corresponde a 100 centavos. Assim, tendo uma quantia em reais, basta voc multiplicar por 100 e obter o valor em centavos. Da mesma forma, tendo uma quantia em centavos, basta voc dividir por 100 e obter o valor em reais. Exemplificando: a) R$10,52 = 10,52 x 100 centavos = 1052 centavos b) 278 centavos = 278 / 100 reais = 2,78 reais = R$2,78

Um tipo de questo comum utiliza seus conhecimentos sobre a manipulao das nossas moedas de 1 centavo (R$0,01), 5 centavos (R$0,05), 10 centavos

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(R$0,10), 25 centavos (R$0,25), 50 centavos (R$0,50) e 1 real (R$1,00). Tente responder a pergunta abaixo: - Qual o nmero mnimo de moedas para juntarmos R$22,91?

Como queremos o nmero mnimo de moedas, devemos comear pelas moedas de maior valor, ou seja, de 1 real. Com 22 moedas de 1 real, teremos R$22,00. Se pegssemos mais uma moeda de 1 real, passaramos do valor pretendido (R$22,91). Vamos ento somar moedas de 50 centavos. Com 1 moeda de 50 centavos, chegamos a R$22,50. Devemos ir agora para as moedas de 25 centavos, caso contrrio passaramos de R$22,91. Com 1 moeda de 25 centavos, chegamos a R$22,75. Podemos ainda somar 1 moeda de 10 centavos, obtendo R$22,85, 1 moeda de 5 centavos, obtendo R$22,90, e, finalmente, 1 moeda de 1 centavo, obtendo o valor pretendido: R$22,91. Portanto, o nmero de moedas necessrio foi 22 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 27 moedas.

Veja essa questo: 05. FCC METR/SP 2012) Ana tem em um cofrinho exatamente: 7 moedas de 1 real, 48 de 50 centavos, 53 de 25 centavos e 29 de 10 centavos. Se Ana pretende totalizar a quantia de 50 reais e, para tal, adicionar quaisquer tipos de moedas s que j tem, ento a quantidade mnima de moedas que dever usar (A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8. RESOLUO: O valor total que Ana possui :

7 x 1,00 + 48 x 0,50 + 53 x 0,25 + 29 x 0,10 = 47,15 reais

Para chegar a 50 reais, faltam 50 47,15 = 2,85 reais. Essa quantia pode ser obtida com 2 moedas de 1 real, 1 moeda de 50 centavos, 1 moeda de 25 centavos e 1 moeda de 10 centavos, totalizando 5 moedas. Resposta: B

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1.5 EQUAES E INEQUAES EQUAES DE PRIMEIRO GRAU Para comear o estudo deste tpico, vamos trabalhar o seguinte exemplo: Joo tinha uma quantidade de bolas cheias, porm 5 murcharam, restando apenas 3 cheias. Quantas bolas tinha Joo?. Neste caso, a varivel que pretendemos descobrir o nmero de bolas. Chamando essa varivel de x, sabemos que x menos 5 bolas que murcharam resulta em apenas 3 bolas cheias. Matematicamente, temos:

x 5 = 3 portanto,

x = 8 bolas Este um exemplo bem simples. Note que a varivel x est elevada ao

expoente 1 (lembra-se que 1x x= ?) . Quando isso acontece, estamos diante de uma equao de 1 grau. Estas equaes so bem simples de se resolver: basta isolar a varivel x em um lado da igualdade, passando todos os demais membros para o outro lado, e assim obtemos o valor de x. Antes de prosseguirmos, uma observao: voc notar que eu no gosto de usar a letra x, mas sim uma letra que lembre o que estamos buscando. No exemplo acima, eu teria usado B (de bolas), pois acho que isso evita esquecermos o que representa aquela varivel principalmente quando estivermos trabalhando com vrias delas ao mesmo tempo.

O valor de x que torna a igualdade correta chamado de raiz da equao. Uma equao de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. Vejamos outro exemplo:

3x - 15 = 0 3x = 15 x = 5

Note que as equaes abaixo NO so de primeiro grau: a) 2 16 0x = b) 30 0x x+ =

c) 1 5 0xx

+ =

Uma equao do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma 0ax b+ = , onde a e b so nmeros que chamaremos de coeficientes, sendo que,

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necessariamente, 0a (a deve ser diferente de zero, caso contrrio 0.x = 0, e no estaramos diante de uma equao de primeiro grau). Veja que, isolando x em

0ax b+ = , temos: b

xa

=

Portanto, a raz da equao sempre dada por ba

. Na equao de primeiro

grau 2 13 0x = , a = 2 e b = -13. Portanto, a raiz ser x = ( 13) 132 2

ba

= = .

Agora imagine o seguinte problema: O nmero de bolas que Joo tem, acrescido em 5, igual ao dobro do nmero de bolas que ele tem, menos 2. Quantas bolas Joo tem? Ora, sendo B o nmero de bolas, podemos dizer que B + 5 (o nmero de bolas acrescido em 5) igual a 2B 2 (o dobro do nmero de bolas, menos 2). Isto :

B + 5 = 2B 2

Para resolver este problema, basta passar todos os termos que contm a incgnita B para um lado da igualdade, e todos os termos que no contm para o outro lado. Veja:

-(-2) + 5 = 2B B 2 + 5 = B

7 = B Sobre este tema, resolva a questo a seguir:

6. CEPERJ PREF. SO GONALO 2011) Antnio recebeu seu salrio. As contas pagas consumiram a tera parte do que recebeu, e a quinta parte do restante foi gasta no supermercado. Se a quantia que sobrou foi de R$440,00, o valor recebido por Antonio foi de:

a) R$780,00 b) R$795,00 c) R$810,00 d) R$825,00 e) R$840,00

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RESOLUO: Seja S o salrio recebido por Antonio. Se ele gastou a tera parte (isto ,

3S )

com as contas, sobraram 23 3SS S = . Desse valor restante, a quinta parte (ou seja,

1 25 3

S ), foi gasta no supermercado. Como sobraram 440 reais, podemos dizer que:

2 1 2 4403 5 3

S S =

Vamos resolver a equao de primeiro grau acima, com a varivel S: 2 1 2 4403 5 310 2 44015 158 440

15154408

825

S S

S S

S

S

S

=

=

=

=

=

Resposta: D.

SISTEMAS DE EQUAES DE PRIMEIRO GRAU Em alguns casos, pode ser que tenhamos mais de uma incgnita. Imagine que um exerccio diga que:

x + y = 10 Veja que existem infinitas possibilidades de x e y que tornam essa igualdade

verdadeira: 2 e 8, -2 e 12 etc. Por isso, faz-se necessrio obter mais uma equao envolvendo as duas incgnitas para poder chegar nos seus valores exatos. Portanto, imagine que o mesmo exerccio diga que:

x 2y = 4 Portanto, temos o seguinte sistema, formado por 2 equaes e 2 variveis:

102 4

x yx y

+ =

=

A principal forma de resolver esse sistema usando o mtodo da substituio. Este mtodo muito simples, e consiste basicamente em duas etapas:

1. Isolar uma das variveis em uma das equaes

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2. Substituir esta varivel na outra equao pela expresso achada no item anterior.

A ttulo de exemplo, vamos isolar a varivel x na primeira equao acima. Teremos, portanto:

10x y=

Agora podemos substituir x por 10 y na segunda equao. Assim: 2 4

(10 ) 2 410 3 410 4 36 3

2

x yy yy

yy

y

=

=

=

=

=

=

Uma vez encontrado o valor de y, basta voltar na equao x = 10 y e obter o valor de x:

1010 28

x yx

x

=

=

=

Treine este mtodo com a questo abaixo:

7. CEPERJ SEFAZ/RJ 2011) Os professores de uma escola combinaram almoar juntos aps a reunio geral do sbado seguinte pela manh, e o transporte at o restaurante seria feito pelos automveis de alguns professores que estavam no estacionamento da escola. Terminada a reunio, constatou-se que: Com 5 pessoas em cada carro, todos os professores podem ser transportados e 2 carros podem permanecer no estacionamento. Se 2 professores que no possuem carro desistirem, todos os carros podem transportar os professores restantes, com 4 pessoas em cada carro. O nmero total de professores na reunio era: A) 40 B) 45 C) 50 D) 55

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E) 60 RESOLUO: Chamemos de C o nmero de carros disponveis. Com 5 pessoas em cada carro, seria possvel deixar 2 carros no estacionamento, isto , usar apenas C 2 carros. Sendo P o nmero de professores, podemos dizer que P igual ao nmero de carros que foram usados (C 2) multiplicado por 5, que a quantidade de professores em cada carro:

( 2) 5P C=

Se 2 professores desistirem, isto , sobrarem P 2 professores, estes podem ser transportados nos C carros, ficando 4 pessoas em cada carro. Portanto, o nmero de professores transportados neste caso (P 2) igual multiplicao do nmero de carros (C) por 4, que a quantidade de professores em cada carro:

2 4P C =

Temos assim um sistema linear com 2 equaes e 2 variveis:

( 2) 52 4

P CP C

=

=

Vamos isolar a varivel P na segunda equao:

4 2P C= +

A seguir, podemos substituir essa expresso na primeira equao:

( 2) 54 2 ( 2) 5

4 2 5 102 10 5 412

P CC C

C CC C

C

=

+ =

+ =

+ =

=

Descobrimos, portanto, que o total de carros C = 12. O total de professores dado por:

4 212 4 250

P CPP

= +

= +

=

Resposta: C

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EQUAES DE SEGUNDO GRAU Assim como as equaes de primeiro grau se caracterizam por possurem a varivel elevada primeira potncia (isto , 1x ), as equaes de segundo grau possuem a varivel elevada ao quadrado ( 2x ), sendo escritas na forma

2 0ax bx c+ + = , onde a, b e c so os coeficientes da equao. Veja um exemplo: 2 3 2 0x x + =

Nesta equao, a = 1 (pois 2x est sendo multiplicado por 1), b = -3 e c = 2. As equaes de segundo grau tem 2 razes, isto , existem 2 valores de x que tornam a igualdade verdadeira. No caso da equao acima, veja que x = 1 e x = 2 so razes, pois:

21 3 1 2 0 + = e

22 3 2 2 0 + =

Toda equao de segundo grau pode ser escrita tambm da seguinte forma:

1 2( ) ( ) 0a x r x r =

Nesta forma de escrever, 1r e 2r so as razes da equao. Tratando do

exemplo acima, como as razes so 1 e 2, podemos escrever: 1 ( 1) ( 2) 0x x =

Desenvolvendo a equao acima, podemos chegar de volta equao inicial:

2

2

1 ( 1) ( 2) 02 1 ( 1) ( 2) 03 2 0

x x

x x x

x x

=

+ =

+ =

A frmula de Bskara nos d as razes para uma equao de segundo grau. Basta identificar os coeficientes a, b e c e coloc-los nas seguintes frmulas:

2 42

b b acx

a

+ =

e

03307416162

2 42

b b acx

a

=

Como a nica diferena entre as duas frmulas um sinal, podemos escrever simplesmente:

2 42

b b acx

a

=

Para exemplificar, vamos calcular as razes da equao 2 3 2 0x x + = utilizando a frmula de Bskara. Recordando que a = 1, b = -3 e c = 2, basta substituir estes valores na frmula:

2

2

42

( 3) ( 3) 4 1 22 1

3 9 82

3 12

b b acx

a

x

x

x

=

=

=

=

Observe esta ltima expresso. Dela podemos obter as 2 razes, usando primeiro o sinal de adio (+) e depois o de subtrao (-). Veja:

13 1 4 2

2 2x

+= = =

e

23 1 2 1

2 2x

= = =

Na frmula de Bskara, chamamos de delta ( ) a expresso 2 4b ac , que vai dentro da raiz quadrada. Na resoluo acima, 2 4 1b ac = , ou seja, o delta era um valor positivo ( 0 > ). Quando 0 > , teremos sempre duas razes reais para a equao, como foi o caso.

Veja que, se for negativo, no possvel obter a raiz quadrada. Portanto, se 0 < , dizemos que no existem razes reais para a equao de segundo grau.

03307416162

J se 0 = , a frmula de Bskara fica 02 2b b

xa a

= = . Isto significa que

teremos apenas 1 raiz para a equao, ou melhor duas razes idnticas. Por exemplo, vamos calcular as razes de 2 2 1 0x x + = . Veja que a = 1, b = -2 e c = 1. Calculando o valor de delta, temos:

2

2

4( 2) 4 1 14 4 0

b ac = = = =

Na frmula de Bskara, temos: 2 4

2

2( 2) 0

2 12 12

b b acx

a

bx

a

x

x

=

=

=

= =

Portanto, chegamos apenas ao valor x = 1. Essa equao de segundo grau tem 0 = , o que leva a apenas 1 raz, isto , a 2 razes de mesmo valor (x = 1). Esta equao poderia ter sido escrita assim:

1 x (x 1) x (x 1) = 0 ou simplesmente

(x 1)2 = 0

Tente resolver a questo abaixo:

8. VUNESP ISS/SJC 2012) Em uma sala, o nmero de meninos excede o nmero de meninas em trs. O produto do nmero de meninos pelo nmero de meninas um nmero que excede o nmero total de alunos em 129. O total de alunos nessa sala (A) 25. (B) 27. (C) 30.

03307416162

(D) 32. (E) 36. RESOLUO: Seja A o nmero de meninas e B o nmero de meninos. O enunciado diz que B excede A em 3, ou seja,

B = A + 3

Alm disso, dito que o produto entre A e B (isto , A x B) excede o nmero total de alunos em 129. Como o total de alunos dado pela soma A + B, temos:

A x B = A + B + 129

Temos um sistema com duas equaes e duas variveis: B = A + 3

A x B = A + B + 129

Substituindo B por A + 3 na ltima equao, temos: A x (A + 3) = A + (A + 3) + 129

A2 + 3A = 2A + 132 A2 + A 132 = 0

Podemos resolver essa equao do 2 grau com a frmula de Bskara, onde os coeficientes so a = 1, b = 1 e c = -132:

2(1) 1 4 1 ( 132)2 1

1 5292

1 232

A

A

A

=

=

=

A = -12 ou A = 11

Como A o nmero de meninas, ele deve necessariamente ser um nmero positivo. Assim, podemos descartar -12 e afirmar que A = 11 meninas. Portanto, o nmero de meninos :

B = A + 3 = 11 + 3 = 14

03307416162

O total de alunos : A + B = 11 + 14 = 25

Resposta: A

INEQUAES Chamamos de inequao uma desigualdade que utiliza os smbolos > (maior que), < (menor que), (maior ou igual a) ou (menor ou igual a). Veja alguns exemplos:

x + 7 > 1 (x mais 7 unidades maior que 1)

3x2 < 27 (o triplo de x ao quadrado menor que 27)

Ao resolver uma inequao no encontraremos o valor exato da varivel, mas sim um intervalo onde esta varivel pode se encontrar. Exemplificando, vamos resolver a primeira inequao acima:

x + 7 > 1

Veja que esta uma inequao de primeiro grau. Para resolv-la, vamos isolar a varivel x, somando -7 nos dois lados da inequao:

x + 7 7 > 1 7 x > -6

Portanto, sabemos que qualquer valor x que seja maior que 6 atende a inequao. Por exemplo, x = 0 atende a inequao, pois 0 > -6.

Uma maneira mais formal de representar todos os valores que atendem a inequao dizer que o conjunto-soluo desta inequao (S) :

= > { | 6}S x R x ( leia: o conjunto soluo formado por todo x pertencente ao conjunto dos

nmeros reais, tal que x maior que -6)

Vamos resolver agora a seguinte inequao:

03307416162

-x + 18 < 2x

Podemos passar o 18 para o lado direito da inequao (somando -18 nos dois lados da inequao) e passar o 2x para o lado esquerdo:

-x -2x < -18 -3x < -18 -x < -18/3

-x < -6

Se quisermos obter o valor de x (ao invs de x), devemos multiplicar ambos os lados da inequao por -1. Entretanto, ateno: neste caso, voc deve inverter o sinal da inequao. Observe:

x > 6 Aqui, teramos o conjunto soluo:

= >{ | 6}S x R x

1.6 OPERAES COM CONJUNTOS Um conjunto um agrupamento de indivduos ou elementos que possuem uma caracterstica em comum. Em uma escola, podemos criar, por exemplo, o conjunto dos alunos que s tem notas acima de 9. Ou o conjunto dos alunos que possuem pai e me vivos. E o conjunto dos que moram com os avs. Note que um mesmo aluno pode participar dos trs conjuntos, isto , ele pode tirar apenas notas acima de 9, possuir o pai e a me vivos, e morar com os avs. Da mesma forma, alguns alunos podem fazer parte de apenas 2 desses conjuntos, outros podem pertencer a apenas 1 deles, e, por fim, podem haver alunos que no integram nenhum dos conjuntos. Um aluno que tire algumas notas abaixo de 9, tenha apenas a me e no more com os avs no faria parte de nenhum desses conjuntos. Costumamos representar um conjunto assim:

03307416162

No interior deste crculo encontram-se todos os elementos que compem o conjunto A. J na parte exterior do crculo esto os elementos que no fazem parte de A. Portanto, no grfico acima podemos dizer que o elemento a pertence ao conjunto A. Matematicamente, usamos o smbolo para indicar essa relao de pertinncia. Isto : a A. J o elemento b no pertence ao conjunto A. Matematicamente: bA. Quando temos 2 conjuntos (chamemos de A e B), devemos represent-los, em regra, da seguinte maneira:

Observe que o elemento a est numa regio que faz parte apenas do conjunto A. Portanto, trata-se de um elemento do conjunto A que no elemento do conjunto B. J o elemento b faz parte apenas do conjunto B. O elemento c comum aos conjuntos A e B. Isto , ele faz parte da interseco entre os conjuntos A e B. J o elemento d no faz parte de nenhum dos dois conjuntos, fazendo parte do complemento dos conjuntos A e B (complemento a diferena entre um conjunto e o conjunto Universo, isto , todo o universo de elementos possveis). Apesar de representarmos os conjuntos A e B entrelaados, como vimos acima, no temos certeza de que existe algum elemento na interseco entre eles. S saberemos isso ao longo dos exerccios. Em alguns casos vamos descobrir que

03307416162

no h nenhum elemento nessa interseco, isto , os conjuntos A e B so disjuntos. Assim, sero representados da seguinte maneira:

Observe agora o esquema abaixo:

Neste diagrama, a regio denominada A-B a regio formada pelos elementos do conjunto A que no fazem parte do conjunto B. Por sua vez, a regio B-A formada pelos elementos de B que no so de A. Finalizando, a regio A B a interseco entre os conjuntos A e B, isto , possui os elementos em comum entre os dois conjuntos. Designamos por n(X) o nmero de elementos do conjunto X. Sobre isso, importante voc saber que: - o nmero de elementos da Unio entre os conjuntos A e B (designada por A B ) dado pelo nmero de elementos de A somado ao nmero de elementos de B, subtrado do nmero de elementos da interseco ( A B ), ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B = + - se dois conjuntos so disjuntos (no possuem elementos em comum), ento:

( ) 0n A B = Na frmula ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B = + , foi preciso subtrair ( )n A B , pois ao somar n(A) com n(B) a interseco contada 2 vezes. Em alguns casos, a interseco entre os conjuntos A e B pode ser todo o conjunto B, por exemplo. Isso acontece quando todos os elementos de B so tambm elementos de A. Veja isso no grfico abaixo:

03307416162

Veja que, de fato, A B B = . Quando isso ocorre, dizemos que o conjunto B est contido no conjunto A, isto , B A , ou que A contm B ( A B ). Repare que sempre a boca ( ou ) fica voltada para o conjunto maior. Podemos dizer ainda que B faz parte de A, ou que B um subconjunto de A. Uma outra forma de se representar um conjunto enumerar os seus elementos entre chaves. Costumamos usar letras maisculas para representar os nomes de conjuntos, e minsculas para representar elementos. Ex.: A = {1, 3, 5, 7}; B = {a, b, c, d} etc. Ainda podemos utilizar notaes matemticas para representar os conjuntos. Se queremos representar o conjunto dos nmeros inteiros positivos, podemos dizer:

= { | 0}Y x Z x

(leia: Y o conjunto formado por todo x pertencente aos Inteiros, tal que x maior ou igual a zero)

Note que o smbolo significa todo, e o smbolo | significa tal que. bom voc tambm lembrar do smbolo , que significa existe.

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2. RESOLUO DE QUESTES Exerccio de fixao Unidades) Efetue as converses de unidades solicitadas: a) 5litros para m3 b) 10dam em cm c) 40hm2 em km2 d) 2 dias em minutos e) 36 horas em dias f) 150 milissegundos em segundos g) 20 cm3 em m3 h) 15dag em hg

Respostas:

a) 0,005m3 b) 10000cm c) 0,40km2 d) 2880minutos e) 1,5dias f) 0,150s g) 0,000020 cm3 h) 150hg

09. CEPERJ PREFEITURA SO GONALO 2011) Em um determinado concurso foram totalizados 1500 candidatos inscritos, entre homens e mulheres. No

dia da prova faltaram 49

das mulheres e estavam presentes 56

dos homens. E

verificou-se que o nmero de homens e mulheres presentes no dia da prova era o mesmo. A porcentagem de mulheres inscritas nesse concurso foi de:

a) 30%

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b) 40% c) 45% d) 50% e) 60%

RESOLUO: Veja que essa questo envolve a manipulao de nmeros racionais, escritos

de duas formas: na forma fracionria, ab

, e na forma percentual. Para resolver,

vamos usar a letra m para representar o total de mulheres inscritas e h para representar o total de homens inscritos no concurso. De incio, sabemos que:

h + m = 1500

Faltaram 49

das mulheres. A expresso das pode ser substituda pelo

smbolo de multiplicao, da seguinte forma:

49

das mulheres = 49

m

O nmero de mulheres presentes, portanto, foi:

4 59 9

m m m =

O nmero de homens presente, conforme o enunciado, foi de 56

h . E, se o

nmero de homens e mulheres presentes foi igual, temos:

5 59 6

m h=

Logo, 6 29 3

h m m= = . Substituindo h na expresso h+m=1500 por 23

m ,

temos:

2 150035 15003

31500 9005

m m

m

m

+ =

=

= =

03307416162

USUARIORealce

Assim, as mulheres inscritas eram 900 em um total de 1500 candidatos. Percentualmente, elas eram:

900 9 3 0,6 60%1500 15 5

= = = =

Resposta: E.

10. FCC TRT/4 2011) Considere o nmero inteiro X1Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 31692 : (X1Y) = 76, a soma X+Y um nmero:

a) Quadrado perfeito b) Menor que 10 c) Primo d) Divisvel por 6 e) Mltiplo de 4

RESOLUO:

Ora, se 31692 761X Y

= , ento 31692 176

X Y= . Fazendo a diviso, temos:

417 1X Y=

Portanto, X = 4 e Y = 7. Assim, X+Y = 11, que um nmero primo. Alternativa C.

Resposta: C.

11. FCC TRT/22 2010) Seja P o produto de um nmero inteiro e positivo N por 9. Se N tem apenas trs dgitos e P tem os algarismos das unidades, dezenas e centenas iguais a 4, 6 e 3, respectivamente, ento P + N igual a:

a) 6480 b) 6686 c) 6840 d) 5584 e) 5960

03307416162

RESOLUO: Quero mostrar-lhes 3 formas de resolver essa questo, todas relativamente

simples. Recomendo entender as 3, pois pode ser que em outra questo parecida seja possvel usar apenas 1 dos mtodos. Vamos comear entendendo a questo e estruturando o problema.

Sabemos que N possui trs dgitos, portanto vamos represent-lo como sendo o nmero xyz, onde x, y e z so os dgitos que representam as centenas, dezenas e unidades, respectivamente. Sabemos ainda que o nmero P termina com 364.

Assim, temos que N*9 = P, ou seja,

xyz * 9 = w364 (w representa o algarismo da casa dos milhares do nmero P)

Voc reparou que eu assumi que P possui 4 dgitos? Fiz isso porque um nmero de 3 dgitos multiplicado por 9 no pode dar um nmero maior que 4 dgitos. Afinal, mesmo o maior nmero de 3 dgitos (999) multiplicado por 9 tem 4 digtos. Ah, e pode ser que a gente descubra que w igual a zero, isto , que P tem apenas 3 dgitos.

Primeira forma de resolver: Sabemos que N*9 = P, portanto podemos dizer que N = P/9. Se N igual a P

dividido por 9, isso significa que P deve ser divisvel por 9 (caso contrrio N no seria um nmero inteiro, ou seja, teria casas decimais).

Qual o critrio de divisibilidade por 9? Um nmero divisvel por 9 se a soma dos seus algarismos tambm divisvel por 9. A soma dos algarismos de P w + 3 + 6 + 4 = w + 13. Qual o nico algarismo que, somado a 13, chega a um nmero divisvel por 9? Ora, w = 5, pois sabemos que 18 divisvel por 9, e 5 + 13 = 18. Portanto, P = 5364. Basta dividir 5364/9 que chegaremos no valor de N, neste caso, 596. Logo, N + P = 5960.

Segunda forma de resolver: (soluo braal) Digamos que voc entendeu que P deve ser divisvel por 9, mas no se recordou

de critrio de divisibilidade algum. Ora, no existem muitas opes para w (ele s

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pode ir de 0 a 9). Logo, voc pode substituir w por cada algarismo e tentar dividir P por 9. Quando conseguir, ter encontrado P e N (ex.: ao substituir w por 5, ver que 5364/9 = 596, encontrando simultaneamente P = 5364 e N = 596).

Terceira forma de resolver: Nesta resoluo vamos detalhar cada passo da multiplicao de xyz*9=w364.

Voc sabe que ns devemos comear multiplicando a casa das unidades de xyz por 9. Fazendo isso, vemos que z multiplicado por 9 resulta em um nmero terminado em 4. Ou seja, s h uma possibilidade para z: ele deve ser o algarismo 6, pois sabemos que 6 x 9 = 54. Nenhum outro algarismo, quando multiplicado por 9, resulta em um nmero terminado em 4. Substituindo o valor de z na equao acima, temos:

xy6 * 9 = w364 Vamos agora analisar o nmero y. Veja que y multiplicado por 9, e somado 5 (que vieram da multiplicao vista no pargrafo acima), resulta em um nmero terminado em 6. Subtraindo os 5 que vieram da multiplicao anterior, temos um nmero terminado em 1. O nico algarismo que, multiplicado por 9, resulta em um nmero terminado em 1, prprio 9 (9*9 = 81). Logo, y 9. At aqui, temos:

x96 * 9 = w364 Por fim, temos que o algarismo x multiplicado por 9 resulta em um nmero com final tal que, somado com os 8 que vieram da multiplicao anterior, resulta em um nmero terminado em 3. Portanto, x deve ser 5, pois 5*9 = 45, e 45 + 8 = 53:

596 * 9 = w364 Assim, vemos que w deve ser o algarismo 5, que veio da multiplicao mostrada no pargrafo anterior. De fato, verdade que:

596 * 9 = 5364 Assim, N 596 e P 5364, e a soma N+P = 5960 Resposta: E.

12. FCC TRT/24 2011) Nicanor deveria efetuar a diviso de um nmero inteiro e positivo N, de trs algarismos, por 63; entretanto, ao copiar N, ele enganou-se, invertendo as posies dos dgitos extremos e mantendo o seu dgito central. Assim, ao efetuar a diviso do nmero obtido por 63, obteve quociente 14 e resto 24.

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Nessas condies, se q e r so, respectivamente, o quociente e o resto da diviso de N por 63, ento:

a) q + r = 50. b) r < 40. c) q < 9. d) r mltiplo de 4. e) q um quadrado perfeito.

RESOLUO: Se um nmero N, dividido por D, deixa quociente q e resto r, podemos dizer que N = D*q + r. Ex: 7 dividido por 2 tem quociente 3 e resto 1. Logo, 7 = 2*3 + 1, concorda? Vamos chamar de M o nmero que foi utilizado por engano, isto , o nmero N com os dgitos extremos trocados. Sabemos que M dividido por 63 tem quociente 14 e resto 24. Logo,

M = 63*14 + 24 M = 882 + 24 = 906

Se M = 906, N deve ser 609 (basta trocar os algarismos das extremidades). Dividindo N por 63, temos:

609 6342 9

Isto , q = 9 e r = 42. Das respostas possveis, vemos que apenas a letra E est correta, pois sabemos que