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Energia Curso de Complementos de Física Aula 3 Afonso Henriques Silva Leite Curso de Engenharia Civil Faculdade Campo Grande 27 de Agosto de 2015 Afonso Henriques Silva Leite Curso de Complementos de Física

Curso de Complementos de Física · Figura:Um bloco, ligado a uma mola e inicialmente em repouso em x =0 é posto em movimento em direção à direita. (a) conforme o bloco se move

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Energia

Curso de Complementos de FísicaAula 3

Afonso Henriques Silva Leite

Curso de Engenharia CivilFaculdade Campo Grande

27 de Agosto de 2015

Afonso Henriques Silva Leite Curso de Complementos de Física

Energia

Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Plano de Aula

1 EnergiaTrabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Afonso Henriques Silva Leite Curso de Complementos de Física

Energia

Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Trabalho da Força Elástica

O trabalho da força elástica é

W =∫ ~r

~r0

~F.d~r. (1)

Oscilações simples.

Figura: Um bloco, ligado a uma mola e inicialmente em repouso emx = 0 é posto em movimento em direção à direita. (a) conforme obloco se move para a direita ( como indicado pela seta), a força damola realiza um trabalho negativo sobre ele. (b) Então, conforme obloco se move de volta a x = 0, a força da mola realiza um trabalhopositivo sobre ele. Fonte: [Halliday e Resnick 1997]

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Trabalho da Força Elástica

O trabalho da força elástica é

W =∫ ~r

~r0

~F.d~r. (1)

Oscilações simples.

Figura: Um bloco, ligado a uma mola e inicialmente em repouso emx = 0 é posto em movimento em direção à direita. (a) conforme obloco se move para a direita ( como indicado pela seta), a força damola realiza um trabalho negativo sobre ele. (b) Então, conforme obloco se move de volta a x = 0, a força da mola realiza um trabalhopositivo sobre ele. Fonte: [Halliday e Resnick 1997]Afonso Henriques Silva Leite Curso de Complementos de Física

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Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Interpretação e Cálculo

O trabalho é a medida da energia introduzida no sistema emanifesta como energia cinética

W = ∆K

Pela equação 1

W =∫ xf

xi

−Fkdx =−∫ xf

xi

kxdx =−k∫ xf

xi

xdx

=− k[

x2

2

]xf

xi

=12

kx2i −

12

kx2f . (2)

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Interpretação e Cálculo

O trabalho é a medida da energia introduzida no sistema emanifesta como energia cinética

W = ∆K

Pela equação 1

W =∫ xf

xi

−Fkdx =−∫ xf

xi

kxdx =−k∫ xf

xi

xdx

=− k[

x2

2

]xf

xi

=12

kx2i −

12

kx2f . (2)

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Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Exemplo

ExampleQual o trabalho realizado por uma mola de constante elásticak = 19.6N/cm que desloca um bloco de massa m = 4kg de x = 1cmpar x = 1.5cm além da posição de equilíbrio?

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Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Energia Potencial Elástica

Determinação da energia potencial:

W = ∆K. (3)

Não havendo forças dissipativas

∆U+∆K = 0. (4)

Nessa expressão a letra U representa energia potencial.Inserindo o resultado da Equação 3 na Equação 4, obtem-se

∆U =−W.

Da Equação 2, tem-se

∆U =12

kx2f −

12

kx2i .

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Energia Potencial Elástica

Determinação da energia potencial:

W = ∆K. (3)

Não havendo forças dissipativas

∆U+∆K = 0. (4)

Nessa expressão a letra U representa energia potencial.

Inserindo o resultado da Equação 3 na Equação 4, obtem-se

∆U =−W.

Da Equação 2, tem-se

∆U =12

kx2f −

12

kx2i .

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Energia Potencial Elástica

Determinação da energia potencial:

W = ∆K. (3)

Não havendo forças dissipativas

∆U+∆K = 0. (4)

Nessa expressão a letra U representa energia potencial.Inserindo o resultado da Equação 3 na Equação 4, obtem-se

∆U =−W.

Da Equação 2, tem-se

∆U =12

kx2f −

12

kx2i .

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Energia Potencial Elástica

Determinação da energia potencial:

W = ∆K. (3)

Não havendo forças dissipativas

∆U+∆K = 0. (4)

Nessa expressão a letra U representa energia potencial.Inserindo o resultado da Equação 3 na Equação 4, obtem-se

∆U =−W.

Da Equação 2, tem-se

∆U =12

kx2f −

12

kx2i .

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Energia Potencial Elástica

U (x = 0) = 0, de onde se pode concluir que

U =12

kx2,

caso se esteja medindo x em relação a posição de equilíbrio, e osistema tenha saído dessa posição.

Quando se considera um oscilador harmônico:

x = xm cos(ωt+φ)⇒ U =12

kx2m cos2 (ωt+φ) .

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Exemplo

ExampleCalcule qual a energia potencial no instante t = 5s de um sistemamassa mola, cuja mola produz uma força de 10 Newtons quando forsujeita a um alongamento ou uma compressão de 5 centímetros, deuma massa de um quilograma. Será que esse sistema seria capaz delançar uma bala de 10 gramas de uma altura de 1.8m a uma distânciade 100 metros, supondo que o disparo seja feito a direção horizontal?

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Solução

Primeiramente, pode-se determinar a constante de elongamento:

Fk = kx⇒ k =Fx

⇒ k =10N

5×10−2m

= 2.00×10−2 Nm.

Com isso, dá pra calcular ω:

ω =

√km

=

√2×102N/m

1kg= 1.41rad/s.

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Solução

Primeiramente, pode-se determinar a constante de elongamento:

Fk = kx⇒ k =Fx

⇒ k =10N

5×10−2m

= 2.00×10−2 Nm.

Com isso, dá pra calcular ω:

ω =

√km

=

√2×102N/m

1kg= 1.41rad/s.

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Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Solução

Primeiramente, pode-se determinar a constante de elongamento:

Fk = kx⇒ k =Fx

⇒ k =10N

5×10−2m

= 2.00×10−2 Nm.

Com isso, dá pra calcular ω:

ω =

√km

=

√2×102N/m

1kg= 1.41rad/s.

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Solução

Primeiramente, pode-se determinar a constante de elongamento:

Fk = kx⇒ k =Fx

⇒ k =10N

5×10−2m

= 2.00×10−2 Nm.

Com isso, dá pra calcular ω:

ω =

√km

=

√2×102N/m

1kg= 1.41rad/s.

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Solução

A amplitude é a compressão máxima a qual a mola foi sujeita,então, xm = 5cm= 5×10−2m.

Daí, supondo que o movimento se originou da amplitude,determina-se a constante de fase φ :

x(0) = xm⇒ xm = xm cos [ω (0)+φ ]

⇒ xm

xm=

xm

xmcosφ

⇒ 1 = cosφ

⇒ φ = arccos(1) = 0.

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Solução

A amplitude é a compressão máxima a qual a mola foi sujeita,então, xm = 5cm= 5×10−2m.Daí, supondo que o movimento se originou da amplitude,determina-se a constante de fase φ :

x(0) = xm⇒ xm = xm cos [ω (0)+φ ]

⇒ xm

xm=

xm

xmcosφ

⇒ 1 = cosφ

⇒ φ = arccos(1) = 0.

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Solução

A amplitude é a compressão máxima a qual a mola foi sujeita,então, xm = 5cm= 5×10−2m.Daí, supondo que o movimento se originou da amplitude,determina-se a constante de fase φ :

x(0) = xm⇒ xm = xm cos [ω (0)+φ ]

⇒ xm

xm=

xm

xmcosφ

⇒ 1 = cosφ

⇒ φ = arccos(1) = 0.

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Solução

A amplitude é a compressão máxima a qual a mola foi sujeita,então, xm = 5cm= 5×10−2m.Daí, supondo que o movimento se originou da amplitude,determina-se a constante de fase φ :

x(0) = xm⇒ xm = xm cos [ω (0)+φ ]

⇒ xm

xm=

xm

xmcosφ

⇒ 1 = cosφ

⇒ φ = arccos(1) = 0.

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Solução

A amplitude é a compressão máxima a qual a mola foi sujeita,então, xm = 5cm= 5×10−2m.Daí, supondo que o movimento se originou da amplitude,determina-se a constante de fase φ :

x(0) = xm⇒ xm = xm cos [ω (0)+φ ]

⇒ xm

xm=

xm

xmcosφ

⇒ 1 = cosφ

⇒ φ = arccos(1) = 0.

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Solução

Agora, a energia:

U =12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2cos2

[(1.41

rads

)(5s)

]

= 1.3×10−1J.

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Solução

Agora, a energia:

U =12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2cos2

[(1.41

rads

)(5s)

]

= 1.3×10−1J.

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Solução

Para verificar se esse sistema é capaz de lançar o projétil adistância pré estabelecida, é preciso considerar, pela conservaçãode energia, que toda energia potencial acumulada durante acompressão da mola seja transformada em energia cinéticatransmitida ao projétil, ou seja:

Uk = K.

Então, como determinar a energia mecânica total do sistema?Bom, na posição x = xm, toda a energia do sistema é potencial,pois ele não tem velocidade. Daí, essa também será toda aenergia do sistema.

E =12

kx2m ==

12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2= 2.5×10−1J.

O projétil terá a mesma velocidade máxima do bloco. Ela podeser determinada pela energia cinética máxima:

K =12

Mv2 = 2.5×10−1J.

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Solução

Para verificar se esse sistema é capaz de lançar o projétil adistância pré estabelecida, é preciso considerar, pela conservaçãode energia, que toda energia potencial acumulada durante acompressão da mola seja transformada em energia cinéticatransmitida ao projétil, ou seja:

Uk = K.

Então, como determinar a energia mecânica total do sistema?

Bom, na posição x = xm, toda a energia do sistema é potencial,pois ele não tem velocidade. Daí, essa também será toda aenergia do sistema.

E =12

kx2m ==

12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2= 2.5×10−1J.

O projétil terá a mesma velocidade máxima do bloco. Ela podeser determinada pela energia cinética máxima:

K =12

Mv2 = 2.5×10−1J.

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Solução

Para verificar se esse sistema é capaz de lançar o projétil adistância pré estabelecida, é preciso considerar, pela conservaçãode energia, que toda energia potencial acumulada durante acompressão da mola seja transformada em energia cinéticatransmitida ao projétil, ou seja:

Uk = K.

Então, como determinar a energia mecânica total do sistema?Bom, na posição x = xm, toda a energia do sistema é potencial,pois ele não tem velocidade. Daí, essa também será toda aenergia do sistema.

E =12

kx2m ==

12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2= 2.5×10−1J.

O projétil terá a mesma velocidade máxima do bloco. Ela podeser determinada pela energia cinética máxima:

K =12

Mv2 = 2.5×10−1J.

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Solução

Para verificar se esse sistema é capaz de lançar o projétil adistância pré estabelecida, é preciso considerar, pela conservaçãode energia, que toda energia potencial acumulada durante acompressão da mola seja transformada em energia cinéticatransmitida ao projétil, ou seja:

Uk = K.

Então, como determinar a energia mecânica total do sistema?Bom, na posição x = xm, toda a energia do sistema é potencial,pois ele não tem velocidade. Daí, essa também será toda aenergia do sistema.

E =12

kx2m ==

12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2= 2.5×10−1J.

O projétil terá a mesma velocidade máxima do bloco. Ela podeser determinada pela energia cinética máxima:

K =12

Mv2 = 2.5×10−1J.

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Solução

Se isso ocorrer, então a velocidade de disparo será:

K =12

Mv2 = U

⇒Mv2 = 2U

⇒ v2 =2UM

⇒ v =

√2UM

=

√2(2.5×10−1J)

1kg= 7.07×10−1 m

s.

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Solução

Se isso ocorrer, então a velocidade de disparo será:

K =12

Mv2 = U

⇒Mv2 = 2U

⇒ v2 =2UM

⇒ v =

√2UM

=

√2(2.5×10−1J)

1kg= 7.07×10−1 m

s.

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Solução

Se isso ocorrer, então a velocidade de disparo será:

K =12

Mv2 = U

⇒Mv2 = 2U

⇒ v2 =2UM

⇒ v =

√2UM

=

√2(2.5×10−1J)

1kg= 7.07×10−1 m

s.

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Solução

Se isso ocorrer, então a velocidade de disparo será:

K =12

Mv2 = U

⇒Mv2 = 2U

⇒ v2 =2UM

⇒ v =

√2UM

=

√2(2.5×10−1J)

1kg= 7.07×10−1 m

s.

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Solução

Se isso ocorrer, então a velocidade de disparo será:

K =12

Mv2 = U

⇒Mv2 = 2U

⇒ v2 =2UM

⇒ v =

√2UM

=

√2(2.5×10−1J)

1kg= 7.07×10−1 m

s.

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Solução

Se esse disparo for horizontal, a uma altura de 1.8m, na direçãovertical, o movimento será em uma queda livre, a direçãohorizontal serão movimento uniforme, com a velocidadedeterminada anteriormente.

O tempo de queda será então dado pela equação horária dosespaços de uma queda livre, a partir de 1.8m de altura:

y =12

gt2

⇒ 2y = gt2

⇒ 2yg

= t2

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Solução

Se esse disparo for horizontal, a uma altura de 1.8m, na direçãovertical, o movimento será em uma queda livre, a direçãohorizontal serão movimento uniforme, com a velocidadedeterminada anteriormente.O tempo de queda será então dado pela equação horária dosespaços de uma queda livre, a partir de 1.8m de altura:

y =12

gt2

⇒ 2y = gt2

⇒ 2yg

= t2

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Solução

Se esse disparo for horizontal, a uma altura de 1.8m, na direçãovertical, o movimento será em uma queda livre, a direçãohorizontal serão movimento uniforme, com a velocidadedeterminada anteriormente.O tempo de queda será então dado pela equação horária dosespaços de uma queda livre, a partir de 1.8m de altura:

y =12

gt2

⇒ 2y = gt2

⇒ 2yg

= t2

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Solução

Se esse disparo for horizontal, a uma altura de 1.8m, na direçãovertical, o movimento será em uma queda livre, a direçãohorizontal serão movimento uniforme, com a velocidadedeterminada anteriormente.O tempo de queda será então dado pela equação horária dosespaços de uma queda livre, a partir de 1.8m de altura:

y =12

gt2

⇒ 2y = gt2

⇒ 2yg

= t2

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Solução

⇒ t =

√2yg

⇒ t =

√2(1.8m)

9.8 ms2

= 6.06×10−1s.

Nesse intervalo de tempo, a distância percorrida com avelocidade imprimida ao projétil é de:

d = vt

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Solução

⇒ t =

√2yg

⇒ t =

√2(1.8m)

9.8 ms2

= 6.06×10−1s.

Nesse intervalo de tempo, a distância percorrida com avelocidade imprimida ao projétil é de:

d = vt

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Solução

⇒ t =

√2yg

⇒ t =

√2(1.8m)

9.8 ms2

= 6.06×10−1s.

Nesse intervalo de tempo, a distância percorrida com avelocidade imprimida ao projétil é de:

d = vt

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Solução

⇒ t =

√2yg

⇒ t =

√2(1.8m)

9.8 ms2

= 6.06×10−1s.

Nesse intervalo de tempo, a distância percorrida com avelocidade imprimida ao projétil é de:

d = vt

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Solução

=(

7.07×10−1 ms

)(6.06×10−1s

)

= 0.43m.

Muito aquém da distância pretendida.

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Solução

=(

7.07×10−1 ms

)(6.06×10−1s

)= 0.43m.

Muito aquém da distância pretendida.

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Energia Cinética

A energia cinética desse tipo de movimento pode serdeterminada pela velocidade:

v =−ωxm sin(ωt+φ) .

Como K = 12 mv2:

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ) .

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Energia Cinética

A energia cinética desse tipo de movimento pode serdeterminada pela velocidade:

v =−ωxm sin(ωt+φ) .

Como K = 12 mv2:

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ) .

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Exemplo

Example

Expresse a energia cinética em termos de k ao invés de ω2.

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Solução

É simples:

ω =

√km

⇒ω2 =

km.

Daí,

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

m(

km

)x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

kxsin2 (ωt+φ)

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Solução

É simples:

ω =

√km

⇒ω2 =

km.

Daí,

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

m(

km

)x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

kxsin2 (ωt+φ)

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Solução

É simples:

ω =

√km

⇒ω2 =

km.

Daí,

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

m(

km

)x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

kxsin2 (ωt+φ)

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Solução

É simples:

ω =

√km

⇒ω2 =

km.

Daí,

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

m(

km

)x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

kxsin2 (ωt+φ)

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Energia Mecânica

A energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial:

E = K +U.

Em um sistema em que só há forças conservativas:

E = cte =12

kx2m.

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Energia Mecânica

A energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial:

E = K +U.

Em um sistema em que só há forças conservativas:

E = cte =12

kx2m.

Afonso Henriques Silva Leite Curso de Complementos de Física

Energia

Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Exemplo

Example

Prove que E = cte = 12 kx2

m.

ExampleQual a energia mecânica de um sistema massa mola de frequência 5Hz, acoplada a uma massa de 1kg, e amplitude 50cm?

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Prove que E = cte = 12 kx2

m.

ExampleQual a energia mecânica de um sistema massa mola de frequência 5Hz, acoplada a uma massa de 1kg, e amplitude 50cm?

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Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Diagrama da Energia

A energia mecânica do sistema é uma constante,

EM =12

kx2m.

A energia potencial, em função do elongamento, é

EP =12

kx2.

Por fim, sabendo dessas duas quantidades, pode-se determinar aenergia cinética pela conservação de energia:

EM = EP +EC⇒ EC = EM−EP

⇒ EC =12

kx2m−

12

kx2

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Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Diagrama da Energia

A energia mecânica do sistema é uma constante,

EM =12

kx2m.

A energia potencial, em função do elongamento, é

EP =12

kx2.

Por fim, sabendo dessas duas quantidades, pode-se determinar aenergia cinética pela conservação de energia:

EM = EP +EC⇒ EC = EM−EP

⇒ EC =12

kx2m−

12

kx2

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Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Diagrama da Energia

A energia mecânica do sistema é uma constante,

EM =12

kx2m.

A energia potencial, em função do elongamento, é

EP =12

kx2.

Por fim, sabendo dessas duas quantidades, pode-se determinar aenergia cinética pela conservação de energia:

EM = EP +EC⇒ EC = EM−EP

⇒ EC =12

kx2m−

12

kx2

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Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Diagrama da Energia

A energia mecânica do sistema é uma constante,

EM =12

kx2m.

A energia potencial, em função do elongamento, é

EP =12

kx2.

Por fim, sabendo dessas duas quantidades, pode-se determinar aenergia cinética pela conservação de energia:

EM = EP +EC⇒ EC = EM−EP

⇒ EC =12

kx2m−

12

kx2

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Diagrama da Energia

⇒ EC =12

k(x2

m− x2)

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Diagrama da Energia

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Diagrama da Energia

Figura: Diagrama de energia em função da elongação. Fonte:[Halliday e Resnick 1997]

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HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de física. In:Fundamentos de Física. [S.l.]: Compañía Editorial Continental,1997.

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