Curso de Complementos de Física · Figura:Um bloco, ligado a uma mola e inicialmente em repouso em x =0 é posto em movimento em direção à direita. (a) conforme o bloco se move

Energia

Curso de Complementos de FísicaAula 3

Afonso Henriques Silva Leite

Curso de Engenharia CivilFaculdade Campo Grande

27 de Agosto de 2015

Afonso Henriques Silva Leite Curso de Complementos de Física

Energia

Trabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação

Plano de Aula

1 EnergiaTrabalho da Força ElásticaEnergia Potencial ElásticaEnergia CinéticaEnergia MecânicaDiagrama da Energia em Função da Elongação


Energia


Trabalho da Força Elástica

O trabalho da força elástica é

W =∫ ~r

~r0

~F.d~r. (1)

Oscilações simples.

Figura: Um bloco, ligado a uma mola e inicialmente em repouso emx = 0 é posto em movimento em direção à direita. (a) conforme obloco se move para a direita ( como indicado pela seta), a força damola realiza um trabalho negativo sobre ele. (b) Então, conforme obloco se move de volta a x = 0, a força da mola realiza um trabalhopositivo sobre ele. Fonte: [Halliday e Resnick 1997]


Energia


Trabalho da Força Elástica

O trabalho da força elástica é

W =∫ ~r

~r0

~F.d~r. (1)

Oscilações simples.

Figura: Um bloco, ligado a uma mola e inicialmente em repouso emx = 0 é posto em movimento em direção à direita. (a) conforme obloco se move para a direita ( como indicado pela seta), a força damola realiza um trabalho negativo sobre ele. (b) Então, conforme obloco se move de volta a x = 0, a força da mola realiza um trabalhopositivo sobre ele. Fonte: [Halliday e Resnick 1997]Afonso Henriques Silva Leite Curso de Complementos de Física

Energia


Interpretação e Cálculo

O trabalho é a medida da energia introduzida no sistema emanifesta como energia cinética

W = ∆K

Pela equação 1

W =∫ xf

xi

−Fkdx =−∫ xf

xi

kxdx =−k∫ xf

xi

xdx

=− k[

x2

2

]xf

xi

=12

kx2i −

12

kx2f . (2)


Energia


Interpretação e Cálculo

O trabalho é a medida da energia introduzida no sistema emanifesta como energia cinética

W = ∆K

Pela equação 1

W =∫ xf

xi

−Fkdx =−∫ xf

xi

kxdx =−k∫ xf

xi

xdx

=− k[

x2

2

]xf

xi

=12

kx2i −

12

kx2f . (2)


Energia


Exemplo

ExampleQual o trabalho realizado por uma mola de constante elásticak = 19.6N/cm que desloca um bloco de massa m = 4kg de x = 1cmpar x = 1.5cm além da posição de equilíbrio?


Energia


Energia Potencial Elástica

Determinação da energia potencial:

W = ∆K. (3)

Não havendo forças dissipativas

∆U+∆K = 0. (4)

Nessa expressão a letra U representa energia potencial.Inserindo o resultado da Equação 3 na Equação 4, obtem-se

∆U =−W.

Da Equação 2, tem-se

∆U =12

kx2f −

12

kx2i .


Energia




W = ∆K. (3)


∆U+∆K = 0. (4)

Nessa expressão a letra U representa energia potencial.

Inserindo o resultado da Equação 3 na Equação 4, obtem-se

∆U =−W.


∆U =12

kx2f −

12

kx2i .


Energia




W = ∆K. (3)


∆U+∆K = 0. (4)


∆U =−W.


∆U =12

kx2f −

12

kx2i .


Energia




W = ∆K. (3)


∆U+∆K = 0. (4)


∆U =−W.


∆U =12

kx2f −

12

kx2i .


Energia



U (x = 0) = 0, de onde se pode concluir que

U =12

kx2,

caso se esteja medindo x em relação a posição de equilíbrio, e osistema tenha saído dessa posição.

Quando se considera um oscilador harmônico:

x = xm cos(ωt+φ)⇒ U =12

kx2m cos2 (ωt+φ) .


Energia


Exemplo

ExampleCalcule qual a energia potencial no instante t = 5s de um sistemamassa mola, cuja mola produz uma força de 10 Newtons quando forsujeita a um alongamento ou uma compressão de 5 centímetros, deuma massa de um quilograma. Será que esse sistema seria capaz delançar uma bala de 10 gramas de uma altura de 1.8m a uma distânciade 100 metros, supondo que o disparo seja feito a direção horizontal?


Energia


Solução

Primeiramente, pode-se determinar a constante de elongamento:

Fk = kx⇒ k =Fx

⇒ k =10N

5×10−2m

= 2.00×10−2 Nm.

Com isso, dá pra calcular ω:

ω =

√km

=

√2×102N/m

1kg= 1.41rad/s.


Energia


Solução


Fk = kx⇒ k =Fx

⇒ k =10N

5×10−2m

= 2.00×10−2 Nm.


ω =

√km

=

√2×102N/m

1kg= 1.41rad/s.


Energia


Solução


Fk = kx⇒ k =Fx

⇒ k =10N

5×10−2m

= 2.00×10−2 Nm.


ω =

√km

=

√2×102N/m

1kg= 1.41rad/s.


Energia


Solução


Fk = kx⇒ k =Fx

⇒ k =10N

5×10−2m

= 2.00×10−2 Nm.


ω =

√km

=

√2×102N/m

1kg= 1.41rad/s.


Energia


Solução

A amplitude é a compressão máxima a qual a mola foi sujeita,então, xm = 5cm= 5×10−2m.

Daí, supondo que o movimento se originou da amplitude,determina-se a constante de fase φ :

x(0) = xm⇒ xm = xm cos [ω (0)+φ ]

⇒ xm

xm=

xm

xmcosφ

⇒ 1 = cosφ

⇒ φ = arccos(1) = 0.


Energia


Solução

A amplitude é a compressão máxima a qual a mola foi sujeita,então, xm = 5cm= 5×10−2m.Daí, supondo que o movimento se originou da amplitude,determina-se a constante de fase φ :

x(0) = xm⇒ xm = xm cos [ω (0)+φ ]

⇒ xm

xm=

xm

xmcosφ

⇒ 1 = cosφ

⇒ φ = arccos(1) = 0.


Energia


Solução


x(0) = xm⇒ xm = xm cos [ω (0)+φ ]

⇒ xm

xm=

xm

xmcosφ

⇒ 1 = cosφ

⇒ φ = arccos(1) = 0.


Energia


Solução


x(0) = xm⇒ xm = xm cos [ω (0)+φ ]

⇒ xm

xm=

xm

xmcosφ

⇒ 1 = cosφ

⇒ φ = arccos(1) = 0.


Energia


Solução


x(0) = xm⇒ xm = xm cos [ω (0)+φ ]

⇒ xm

xm=

xm

xmcosφ

⇒ 1 = cosφ

⇒ φ = arccos(1) = 0.


Energia


Solução

Agora, a energia:

U =12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2cos2

[(1.41

rads

)(5s)

]

= 1.3×10−1J.


Energia


Solução

Agora, a energia:

U =12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2cos2

[(1.41

rads

)(5s)

]

= 1.3×10−1J.


Energia


Solução

Para verificar se esse sistema é capaz de lançar o projétil adistância pré estabelecida, é preciso considerar, pela conservaçãode energia, que toda energia potencial acumulada durante acompressão da mola seja transformada em energia cinéticatransmitida ao projétil, ou seja:

Uk = K.

Então, como determinar a energia mecânica total do sistema?Bom, na posição x = xm, toda a energia do sistema é potencial,pois ele não tem velocidade. Daí, essa também será toda aenergia do sistema.

E =12

kx2m ==

12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2= 2.5×10−1J.

O projétil terá a mesma velocidade máxima do bloco. Ela podeser determinada pela energia cinética máxima:

K =12

Mv2 = 2.5×10−1J.


Energia


Solução


Uk = K.

Então, como determinar a energia mecânica total do sistema?

Bom, na posição x = xm, toda a energia do sistema é potencial,pois ele não tem velocidade. Daí, essa também será toda aenergia do sistema.

E =12

kx2m ==

12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2= 2.5×10−1J.


K =12

Mv2 = 2.5×10−1J.


Energia


Solução


Uk = K.


E =12

kx2m ==

12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2= 2.5×10−1J.


K =12

Mv2 = 2.5×10−1J.


Energia


Solução


Uk = K.


E =12

kx2m ==

12

(2×102 N

m

)(5×10−2m

)2= 2.5×10−1J.


K =12

Mv2 = 2.5×10−1J.


Energia


Solução

Se isso ocorrer, então a velocidade de disparo será:

K =12

Mv2 = U

⇒Mv2 = 2U

⇒ v2 =2UM

⇒ v =

√2UM

=

√2(2.5×10−1J)

1kg= 7.07×10−1 m

s.


Energia


Solução


K =12

Mv2 = U

⇒Mv2 = 2U

⇒ v2 =2UM

⇒ v =

√2UM

=

√2(2.5×10−1J)

1kg= 7.07×10−1 m

s.


Energia


Solução


K =12

Mv2 = U

⇒Mv2 = 2U

⇒ v2 =2UM

⇒ v =

√2UM

=

√2(2.5×10−1J)

1kg= 7.07×10−1 m

s.


Energia


Solução


K =12

Mv2 = U

⇒Mv2 = 2U

⇒ v2 =2UM

⇒ v =

√2UM

=

√2(2.5×10−1J)

1kg= 7.07×10−1 m

s.


Energia


Solução


K =12

Mv2 = U

⇒Mv2 = 2U

⇒ v2 =2UM

⇒ v =

√2UM

=

√2(2.5×10−1J)

1kg= 7.07×10−1 m

s.


Energia


Solução

Se esse disparo for horizontal, a uma altura de 1.8m, na direçãovertical, o movimento será em uma queda livre, a direçãohorizontal serão movimento uniforme, com a velocidadedeterminada anteriormente.

O tempo de queda será então dado pela equação horária dosespaços de uma queda livre, a partir de 1.8m de altura:

y =12

gt2

⇒ 2y = gt2

⇒ 2yg

= t2


Energia


Solução

Se esse disparo for horizontal, a uma altura de 1.8m, na direçãovertical, o movimento será em uma queda livre, a direçãohorizontal serão movimento uniforme, com a velocidadedeterminada anteriormente.O tempo de queda será então dado pela equação horária dosespaços de uma queda livre, a partir de 1.8m de altura:

y =12

gt2

⇒ 2y = gt2

⇒ 2yg

= t2


Energia


Solução


y =12

gt2

⇒ 2y = gt2

⇒ 2yg

= t2


Energia


Solução


y =12

gt2

⇒ 2y = gt2

⇒ 2yg

= t2


Energia


Solução

⇒ t =

√2yg

⇒ t =

√2(1.8m)

9.8 ms2

= 6.06×10−1s.

Nesse intervalo de tempo, a distância percorrida com avelocidade imprimida ao projétil é de:

d = vt


Energia


Solução

⇒ t =

√2yg

⇒ t =

√2(1.8m)

9.8 ms2

= 6.06×10−1s.


d = vt


Energia


Solução

⇒ t =

√2yg

⇒ t =

√2(1.8m)

9.8 ms2

= 6.06×10−1s.


d = vt


Energia


Solução

⇒ t =

√2yg

⇒ t =

√2(1.8m)

9.8 ms2

= 6.06×10−1s.


d = vt


Energia


Solução

=(

7.07×10−1 ms

)(6.06×10−1s

)

= 0.43m.

Muito aquém da distância pretendida.


Energia


Solução

=(

7.07×10−1 ms

)(6.06×10−1s

)= 0.43m.

Muito aquém da distância pretendida.


Energia


Energia Cinética

A energia cinética desse tipo de movimento pode serdeterminada pela velocidade:

v =−ωxm sin(ωt+φ) .

Como K = 12 mv2:

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ) .


Energia


Energia Cinética

A energia cinética desse tipo de movimento pode serdeterminada pela velocidade:

v =−ωxm sin(ωt+φ) .

Como K = 12 mv2:

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ) .


Energia


Exemplo

Example

Expresse a energia cinética em termos de k ao invés de ω2.


Energia


Solução

É simples:

ω =

√km

⇒ω2 =

km.

Daí,

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

m(

km

)x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

kxsin2 (ωt+φ)


Energia


Solução

É simples:

ω =

√km

⇒ω2 =

km.

Daí,

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

m(

km

)x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

kxsin2 (ωt+φ)


Energia


Solução

É simples:

ω =

√km

⇒ω2 =

km.

Daí,

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

m(

km

)x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

kxsin2 (ωt+φ)


Energia


Solução

É simples:

ω =

√km

⇒ω2 =

km.

Daí,

K =12

mω2x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

m(

km

)x2

m sin2 (ωt+φ)

=12

kxsin2 (ωt+φ)


Energia


Energia Mecânica

A energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial:

E = K +U.

Em um sistema em que só há forças conservativas:

E = cte =12

kx2m.


Energia


Energia Mecânica

A energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial:

E = K +U.

Em um sistema em que só há forças conservativas:

E = cte =12

kx2m.


Energia


Exemplo

Example

Prove que E = cte = 12 kx2

m.

ExampleQual a energia mecânica de um sistema massa mola de frequência 5Hz, acoplada a uma massa de 1kg, e amplitude 50cm?


Energia


Exemplo

Example

Prove que E = cte = 12 kx2

m.

ExampleQual a energia mecânica de um sistema massa mola de frequência 5Hz, acoplada a uma massa de 1kg, e amplitude 50cm?


Energia


Diagrama da Energia

A energia mecânica do sistema é uma constante,

EM =12

kx2m.

A energia potencial, em função do elongamento, é

EP =12

kx2.

Por fim, sabendo dessas duas quantidades, pode-se determinar aenergia cinética pela conservação de energia:

EM = EP +EC⇒ EC = EM−EP

⇒ EC =12

kx2m−

12

kx2


Energia


Diagrama da Energia


EM =12

kx2m.


EP =12

kx2.



⇒ EC =12

kx2m−

12

kx2


Energia


Diagrama da Energia


EM =12

kx2m.


EP =12

kx2.



⇒ EC =12

kx2m−

12

kx2


Energia


Diagrama da Energia


EM =12

kx2m.


EP =12

kx2.



⇒ EC =12

kx2m−

12

kx2


Energia


Diagrama da Energia

⇒ EC =12

k(x2

m− x2)


Energia


Diagrama da Energia


Energia


Diagrama da Energia

Figura: Diagrama de energia em função da elongação. Fonte:[Halliday e Resnick 1997]


Energia


HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de física. In:Fundamentos de Física. [S.l.]: Compañía Editorial Continental,1997.


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