CURSO DE INVERNO: INTRODUC AO AO C~ ALCULOppgfsc.posgrad.ufsc.br/files/2011/02/programa_intro_calculo-3.pdf · qualquer rela˘c~ao bin aria que associa a cada elemento de Aa um unico

Programa de Pos-Graduacao em Fısica

Curso de Inverno - 2011-2: Introducao ao Calculo

CURSO DE INVERNO:

INTRODUCAO AO CALCULO

Pro-Reitoria de Ensino de Graduacao/UFSC

Pro-Reitoria de Ensino de Pos-Graduacao/UFSC

Programa de Pos-Graduacao em Fısica - CFM/UFSC

Projeto REUNI – Reestruturacao e Expansao das Universidades Federais

palavra

Programa de Pos-Graduacao em Fısica

Curso de Inverno - 2011-2: Introducao ao Calculo

CURSO DE INVERNO:

INTRODUCAO AO CALCULO

Elaboracao:Carlos Gentil Oro Lemos (Mestrando em Fısica)Fabio Rafael Herpich (Doutorando em Fısica)Luana Lacy Mattos (Doutoranda em Fısica)Marcelo Ribeiro (Doutorando em Fısica)Rafael Serpa (Mestrando em Fısica)

Coordenacao:Fabio Rafael Herpich (Doutorando em Fısica)

Supervisao:Prof. Dr. Marcelo Henrique Romano Tragtenberg(Departamento de Fısica - UFSC)

Edicao e Diagramacao:Fabio Rafael Herpich (Doutorando em Fısica)

Cronograma e ministrantes:01/08/2011 - Funcoes: Conceito, Domınio, Imagem e Grafico e Tipos

Especiais de funcoes (Carlos Gentil Oro Lemos)02/08/2011 - Funcoes: Operacoes com Funcoes e Funcao Inversa

(Luana Lacy Mattos)03/08/2011 - Funcoes: Funcoes Exponenciais e Logarıtmicas e Funcoes

Trigonometricas (Marcelo Ribeiro)04/08/2011 - Limites: Limites de Funcoes, Limites Laterais e

Indeterminacoes (Fabio Rafael Herpich)05/08/2011 - Limites: Limites no Infinito e Limites Infinitos, Limites

Fundamentais e Funcoes Contınuas (Rafael Serpa)

Powered by LATEX

palavr2

Sumario

1 Funcoes 51.1 Conceito, domınio, imagem e grafico . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Tipos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Paridade das funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Monotonicidade de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Tipos especiais de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Funcao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Funcao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Operacoes com funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 Operacoes entre funcoes e numeros reais . . . . . . . . 261.4.2 Operacoes entre funcoes (f(x) + g(x)) . . . . . . . . . 301.4.3 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 Funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.6 Funcoes exponenciais e logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . 391.6.1 Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.2 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.3 Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.6.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.7 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.7.1 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.7.2 Funcoes Trigonometricas Inversas . . . . . . . . . . . . 461.7.3 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.8 Respostas dos exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Limites de funcoes e funcoes contınuas 522.1 Limites de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.1 Exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

Sumario

2.2 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3 Indeterminacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3.1 Exercıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4 Limites no infinito e limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . 672.4.1 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.2 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.3 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.5.1 Primeiro limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 722.5.2 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.5.3 Segundo limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 732.5.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5.5 Terceiro limite fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 742.5.6 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.6 Funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.6.1 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.7 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

palavra4

Capıtulo 1. Funcoes

Capıtulo 1

Funcoes

1.1 Conceito, domınio, imagem e grafico

Vamos apresentar aqui um dos conceitos mais importantes da Matematica.E um conceito ue faz parte do “vocabulario”basico da Matematica.

Definicao - Dados dois conjuntos A e B nao vazios, chama-se funcao (ouaplicacao) de A em B, representada por f : A → B; y = f(x), aqualquer relacao binaria que associa a cada elemento de A a um unicoelemento de B.

Portanto, para que uma relacao de A em B seja uma funcao, exige-seque a cada x ∈ A esteja associado um unico y ∈ B, podendo, entretantoexistir y ∈ B que nao esteja associado a nenhum elemento pertencenteao conjunto A.

Observacao - Na notacao y = f(x), entendemos que y e imagem de x pelafuncao f , ou seja, y esta associado a x atraves da funcao f .

palavra5


Exemplo - Seja a funcao f(x) = 4x+3, entao f(2) = 4.2+3 = 11, portanto,11 e imagem de 2 pela funcao f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23, portanto 23 eimagem de 5 pela funcao f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.

Para definir uma funcao, necessitamos de dois conjuntos (Domınio eContradomınio) e de uma formula ou uma lei que relacione cada elementodo domınio a um e somente um elemento do contradomınio.

Quando D(f) (domınio) ⊂ R e CD(f) (contradomınio) ⊂ R, sendoR o conjunto dos numeros reais, dizemos que a funcao f e uma funcao realde variavel real. Na pratica, costumamos considerar uma funcao real devariavel real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define, sendo o conjuntodos valores possıveis para x, chamado de domınio e o conjunto dos valorespossıveis para y, chamado de conjunto imagem da funcao. Assim, por

exemplo, para a funcao definida por y =1

x, temos que o seu domınio e

D(f) = R∗, ou seja, o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se quenao existe divisao por zero), e o seu conjunto imagem e tambem R∗, ja que

se y =1

x, entao x =

1

y, portanto y tambem nao pode ser zero. Le-se “contido

em”.Dada uma funcao f : A → B definida por y = f(x), podemos repre-

sentar os pares ordenados (x, y) ∈ f onde x ∈ A e y ∈ B, num sistema decoordenadas cartesianas. O grafico obtido sera o grafico da funcao f .

Assim, por exemplo, sendo dado o grafico cartesiano de uma funcao f ,podemos dizer que:

a) A projecao da curva sobre o eixo dos x nos da o domınio da funcao.

b) A projecao da curva sobre o eixo dos y nos da o conjunto imagem dafuncao.

c) Toda reta vertical que passa por um ponto do domınio da funcao, inter-cepta o grafico da funcao em no maximo um ponto.

Isso pode ser verificado no na Figura 1.1.

Exemplo - Dada a funcao f : {−3, 2, 0,√

5} → R, definida pela formulaf(x) = 2x2 + 1. Determine a sua imagem.

Neste exercıcio, o domınio e dado, ele vale D = {−3, 2, 0,√

5} e o con-tradomınio sao todos numeros reais. Como ja estudamos, a imagem deum numero e o elemento pertencente ao contradomınio que esta rela-cionado a este numero, e para achar este numero devemos aplicar sualei de formacao.

palavra6


Figura 1.1: Grafico da funcao f(x).

- a imagem do −3 e tambem representada por f(−3), e f(−3) =2(−3)2 + 1, entao f(−3) = 19;- f(2) = 2(2)2 + 1, entao f(2) = 9;- f(0) = 2(0)2 + 1, entao f(0) = 1;- f(√

5) = 2(√

5)2 + 1, entao f(√

5) = 11.

Agora que ja achamos as imagens de todos pontos do domınio, po-demos dizer que o conjunto imagem desta funcao e Im = {19, 9, 1, 11}.

1.1.1 Exercıcios Propostos

1. Determine o domınio e imagem da funcao real y =5

x+ 4.

2. Determine o domınio e imagem da funcao f(x) =√

2x+ 6.

3. Dada a funcao f(x) =

√2x+ 5

x− 2, determine seu domınio.

palavra7


1.2 Tipos de funcoes

Funcao sobrejetora

E aquela cujo conjunto imagem e igual ao contradomınio.

Funcao injetora

Uma funcao y = f(x) e injetora quando elementos distintos do seu domıniopossuem imagens distintas, isto e, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2).

Funcao bijetora

Uma funcao e dita bijetora , quando e ao mesmo tempo , injetora e sobreje-tora.

palavra8


Exemplo - Considere tres funcoes f , g e h, tais que:A funcao f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.A funcao g atribui a cada paıs, a sua capital.A funcao h atribui a cada numero natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funcoes dadas, sao injetoras:

a) f , g e h

b) f e h

c) g e h

d) apenas h

e) nenhuma delas.

Sabemos que numa funcao injetora, elementos distintos do domınio,possuem imagens distintas, ou seja,

x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2).

Logo, podemos concluir que:

f nao e injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.g e injetora, pois nao existem dois paıses distintos com a mesma capi-tal. h e injetora, pois dois numeros naturais distintos possuem os seusdobros tambem distintos. Assim e que concluımos que a alternativacorreta e a de letra c).

1.2.1 Paridade das funcoes

Funcao par

A funcao y = f(x) e par, quando ∀ x ∈ D(f), f(−x) = f(x), ou seja, paratodo elemento do seu domınio, f(x) = f(−x). Portanto, numa funcao par,elementos simetricos possuem a mesma imagem. Uma consequencia dessefato e que os graficos cartesianos das funcoes pares sao curvas simetricas emrelacao ao eixo dos y ou eixo das ordenadas. O sımbolo ∀ le-se “para todo”.

palavra9


Exemplo - y = x4 + 1 e uma funcao par, pois f(x) = f(−x), para todo x.Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(−2) = (−2)4 + 1 = 17.

Funcao ımpar

A funcao y = f(x) e ımpar, quando ∀ x ∈ D(f), f(−x) = −f(x), ouseja, para todo elemento do seu domınio, f(−x) = −f(x). Portanto, numafuncao ımpar, elementos simetricos possuem imagens simetricas. Uma con-sequencia desse fato e que os graficos cartesianos das funcoes ımpares saocurvas simetricas em relacao ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos car-tesianos.

palavra10


Observacao - Se uma funcao y = f(x) nao e par nem ımpar, diz-se que elanao possui paridade.

O grafico abaixo, representa uma funcao que nao possui paridade, pois acurva nao e simetrica em relacao ao eixo dos x e, nao e simetrica em relacaoa origem.

1.2.2 Monotonicidade de funcoes

Define se a funcao e crescente ou decrescente.

Definicao - Sejam (A,>) e (B,>) conjuntos ordenados. Entao

1. f e estritamente crescente quando∀ x, y ∈ A, (x > y =⇒ f(x) > f(y)).

2. f e estritamente decrescente quando∀ x, y ∈ A, (x > y =⇒ f(y) > f(x)).

3. f e monotona nao-decrescente quando∀ x, y ∈ A, (x > y =⇒ f(x) > f(y)).

4. f e monotona nao-crescente quando∀ x, y ∈ A, (x > y =⇒ f(y) > f(x)).


4. Determine quais das funcoes abaixo sao pares, ımpares ou sem paridade.a) senx b) cosx c) tanxd) x e) x2 f) x2 + 78g) x5 + x4 h) (senx)2 + (cosx)2 i) tanx+ senx

j) x2 + cosx k)x2 + 3

x4 + 22l)

senx

xm) |x3 + x5|

palavra11


1.3 Tipos especiais de funcoes

1.3.1 Funcao constante

Uma funcao e dita constante quando e do tipo f(x) = k, onde k naodepende de x.Alguns exemplos de funcoes constantes sao as funcoes f(x) = 5 e f(x) = −3.

Observacao - O grafico de uma funcao constante e uma reta paralela ao eixodos x.

1.3.2 Funcao polinomial

As funcoes polinomiais podem ser classificadas quanto a seu grau. Ograu de uma funcao polinomial corresponde ao valor do maior expoente davariavel do polinomio, ou seja, e o valor de n da funcao

P (x) =n∑i=0

aixi.

Sejam f(x) e g(x) polinomios de graus quaisquer. Sempre valem as se-guintes leis:

a) O grau de f(x).g(x) e a soma do grau de f(x) e do grau de g(x).

b) Se f(x) e g(x) tem grau diferente, entao o grau de f(x) + g(x) e igual aomaior dos dois.

c) Se f(x) e g(x) tem o mesmo grau, entao o grau de f(x) + g(x) e menorou igual ao grau de f(x).

palavra12


Funcoes polinomiais de primeiro grau

Uma funcao e dita do 1º grau, quando e do tipo y = ax + b, onde a 6= 0.Sao exemplos de funcoes do 1º grau f(x) = 3x + 12, onde a = 3 e b = 12, ef(x) = −3x+ 1, onde a = −3 e b = 1.

Propriedade 1 - O grafico de uma funcao do 1º grau e sempre uma reta.

Propriedade 2 - Na funcao f(x) = ax+ b, se b = 0, f e dita funcao linear ese b 6= 0, f e dita funcao afim.

Propriedade 3 - O grafico intercepta o eixo dos x na raiz da equacao f(x) = 0

e, portanto, no ponto de abcissa x = − ba

.

Propriedade 4 - O grafico intercepta o eixo dos y no ponto (0, b), onde b echamado coeficiente linear.

Propriedade 5 - O numero a e chamado coeficiente angular da reta e fornecea inclinacao da mesma.

Propriedade 6 - Se a > 0, entao f e crescente.

Propriedade 7 - Se a < 0, entao f e decrescente.

Exemplo - Determine a funcao f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 ef(3) = −10.

Podemos escrever5 = 2.a+ b−10 = 3.a+ b

Fazendo a subtracao da relacao de cima pela de baixo, temos

palavra13


5− (−10) = 2a+ b− (3a+ b)15 = −a, logo,a = −15

Substituindo o valor de a em uma das duas equacoes, temos5 = 2(−15) + bb = 35

Escolhemos a primeira equacao para esta substituicao, mas poderıamosescolher a segunda que resultado seria o mesmo. Encontrados os valoresde a e b, temos a funcao procurada

y = −15x+ 35.

Funcoes polinomiais de segundo grau

Uma funcao e dita do 2º grau quando e do tipo f(x) = ax2+bx+c, com a 6= 0.Sao exemplos de funcoes do segundo grau as funcoes f(x) = x2−2x+1, coma = 1, b = −2, c = 1, e y = −x2, com a = −1, b = 0, c = 0.

Graficamente a funcao do 2º grau y = ax2+bx+c e sempre uma parabolade eixo vertical.

Suas raızes sao encontradas utilizando-se da Formula de Bhaskara

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

Propriedade 1 - Se a > 0, a parabola tem um ponto de mınimo.

Propriedade 2 - Se a > 0, a parabola tem um ponto de maximo.

palavra14


Propriedade 3 - O vertice da parabola e o ponto V (xv, yv) onde

xv = − b

2a

yv = −D4a

, onde D = b2 − 4ac.

Propriedade 4 - A parabola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissasx' e x'', que sao as raızes da equacao ax2 + bx+ c = 0.

Propriedade 5 - A parabola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).

Propriedade 6 - ymax = −D4a, (a < 0)

Propriedade 7 - ymin = −D4a, (a > 0)

Propriedade 8 - Forma fatorada: sejam x1 e x2 as raızes de f(x) = ax2 +bx+ c, entao ela pode ser escrita na forma fatorada da seguinte formay = a(x− x1)(x− x2).

Exemplo - Esboce o grafico da funcao f(x) = x2 − x− 2.

Vamos primeiro calcular as raızes usando Bhaskara. Os coeficientessao: a = 1, b = −1 e c = −2. Colocando na formula de Bhaskara,temos

x =−(−1)±

√(−1)2 − 4· 1· (−2)

2· 1=

1±√

1 + 8

2

x =1± 3

2

x′ =

1 + 3

2= 2

x′′ =1− 3

2= −1

As duas raızes sao 2 e –1, entao ja sabemos os pontos por onde aparabola corta o eixo x. No grafico, fica

palavra15


Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para oc. Ele vale –2, entao o grafico da parabola com certeza corta o eixo yno ponto –2. Vamos marca-lo

Pelo coeficiente a sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelob sabemos que logo apos o ponto de corte com y ela tem que descer.Tracando o esboco, temos o seguinte

Curiosidade - Como chegar na Formula de Bhaskara

A ideia e completar o trinomio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num

palavra16


quadrado perfeito. Assim, inicialmente multiplicamos a igualdade por4a e em seguida somamos b2 aos dois lados da igualdade

ax2 + bx+ c = 0

4a2x2 + 4abx+ 4ac = 0

4a2x2 + 4abx+ 4ac+ b2 = b2

4a2x2 + 4abx+ b2 = b2 − 4ac

(2ax+ b)2 = b2 − 4ac

2ax+ b = ±√b2 − 4ac

2ax = −b±√b2 − 4ac

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

Funcao modulo

O conceito de modulo de um numero real esta associado a ideia de distanciade um ponto da reta a origem. Como existe uma correspondencia biunıvo-ca entre os pontos da reta e os numeros reais, pensar na distancia de umponto a origem ou pensar no modulo de um numero e exatamente a mesmacoisa.

Assim, |5| = | − 5| = 5, pois o numero 5 esta a uma distancia de 5unidades da origem, e -5 tambem esta a 5 unidades da origem. De modogeral podemos dizer quese a > 0, |a| = ase a < 0, |a| = −ase a = 0, |a| = 0

palavra17


Definimos entao uma funcao que, a cada numero real x associa o modulode x, ou seja, a distancia de x a origem. Temos assim

f(x)

{x se x > 0−x se x < 0

O grafico dessa funcao tem o seguinte aspecto

Pois, para os valores positivos ou zero da variavel independente x, o valorda variavel dependente y e o mesmo que x, pois y = x; para valores negativosde x o valor de y e −x, pois y = x. Dessa forma, o grafico e constituıdo deduas semi-retas de mesma origem. Outra maneira interessante de olhar parao grafico de y = |x| e considerar que ele coincide com a reta y = x para valoresde x positivos ou zero, enquanto que para valores negativos de x tomamos asemi-reta “rebatida”, pois, nesse caso, |x| = −x. Esta semi-reta “rebatida”,evidentemente, e simetrica da original em relacao ao eixo horizontal.

palavra18


Essa ultima consideracao nos permite rapidamente entender como sera ografico de y = |f(x)| para uma dada funcao f conhecida. De fato

|f(x)| ={f(x) se f(x) > 0−f(x) se f(x) < 0

.

Portanto, seu grafico esta sujeito as seguintes caracterısticas

a) Coincide com o grafico de f para todos os valores da variavel independentex nos quais a variavel dependente e positiva ou zero.

b) E o desenho da funcao “rebatido”, ou seja, simetrico com relacao ao eixohorizontal do grafico de f para todos os valores da variavel indepen-dente x nos quais a variavel dependente e negativa.

Dada uma funcao f , podemos pensar na funcao g(x) = f(|x|).De fato, pela definicao da funcao valor absoluto de um numero real, a

funcao g pode ser entendida como sendo

f(x) =

{f(x) se x > 0f(−x) se x < 0

Observemos que para a construcao desse novo grafico so sao considerados osvalores de f em que a variavel x e nao negativa. Isto e, para x assumindovalores positivos ou zero, a funcao g coincide com a funcao f , e para xassumindo valores negativos, a funcao g e igual a funcao f calculada nooposto de x. Assim

palavra19


A parte do grafico de f em que x e negativo e irrelevante para a construcaodo grafico de g, ou seja, o grafico de g apresenta simetria em relacao ao eixovertical.

Funcao Racional

Uma funcao racional e da forma

f(x) =p(x)

q(x)

onde p e q sao polinomios.O domınio de uma funcao racional e o conjunto de todos os numeros reais,

com excecao daqueles que anulam o denominador (as raızes de q).O grafico de uma funcao racional tem assıntotas verticais nestes pontos

em que o denominador se anula, quando isso ocorre. Tambem pode terassıntotas horizontais, que ocorrem se f(x) se aproxima de um valor finitoquando x→ ±∞ ou entao x→ −∞.

O comportamento de uma funcao quando x→ ±∞ e chamado limite noinfinito.

“Assıntotas” sao retas das quais o grafico aproxima-se cada vez mais, semnunca toca-las.

Consideremos a funcao racional f , definida por

f(x) =x2 − 4

x2 − 1

Nota-se que o valor x = 1 e x = −1 nao estao contidos no domınio dafuncao.

palavra20


Funcao Periodica

A funcao f : A → R sera considerada periodica se houver p ∈ R∗ tal quef(x+ p) = f(x) para todo x em A.

Se f(x+ p) = f(x) para todo x em A, temos

f(x) = f(x+ p) = f(x+ 2p) = . . . = f(x+ kp) x ∈ A e k ∈ Z∗.Se f : A ∈ R for considerada uma funcao periodica, o menor valor positivode p sera denominado perıodo de f , no qual indicamos por P (f).

Funcao limitada

A funcao f : A ∈ R sera considerada limitada superiormente se houver b ∈ Rtal que f(x) > b, para todo x em A.

palavra21


A funcao f : A ∈ R sera considerada limitada inferiormente se houvera ∈ R tal que f(x) > a, para todo x em A.

A funcao f : A ∈ R sera considerada limitada, se f for limitada inferiore superior, isto e, ∀ x ∈ A, f : A → R e limitada se, e somente se, existea, b ∈ R onde a 6 f(x) 6 b.

A funcao f : A ∈ R sera considerada limitada no grafico cartesiano se eleestiver inteiramente dentro de uma faixa horizontal.

palavra22



5. (UNIFOR) A funcao f , do 1º grau, e definida por f(x) = 3x + k. Ovalor de k para que o grafico de f corte o eixo das ordenadas no pontode ordenada 5 e:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. (EDSON QUEIROZ - CE) O grafico abaixo representa a funcao de Rem R dada por f(x) = ax + b (a, b ∈ R). De acordo com o graficoconclui-se que:

palavra23


a) a < 0 e b > 0

b) a < 0 e b < 0

c) a > 0 e b > 0

d) a > 0 e b < 0

e) a > 0 e b = 0

7. Calcule a raiz da funcao y =5

3x− 7

8.

8. (UNIFORM) O grafico da funcao f , de R em R, definida por f(x) =x2 + 3x − 10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. Adistancia AB e igual a:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

9. (CEFET - BA) O grafico da funcao y = ax2 + bx + c tem uma sointerseccao com o eixo Ox e corta o eixo Oy em (0, 1). Entao, osvalores de a e b obedecem a relacao:

a) b2 = 4a

b) −b2 = 4a

c) b = 2a

d) a2 = −4a

e) a2 = 4b

10. (ULBRA) Assinale a equacao que representa uma parabola voltadapara baixo, tangente ao eixo das abscissas:

a) y = x2

b) y = x2 − 4x+ 4

c) y = −x2 + 4x− 4

d) y = −x2 + 5x− 6

e) y = x− 3

11. (UEL) A funcao real f , de variavel real, dada por f(x) = −x2+12x+20,tem um valor:

a) mınimo, igual a −16, para x = 6.

b) mınimo, igual a 16, para x = −12.

palavra24


c) maximo, igual a 56, para x = 6.

d) maximo, igual a 72, para x = 12.

e) maximo, igual a 240, para x = 20.

12. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diaria de x pecas, e dadopor L(x) = 100(10−x)(x− 4). O lucro maximo, por dia, e obtido coma venda de:

a) 7 pecas

b) 10 pecas

c) 14 pecas

d) 50 pecas

e) 100 pecas

13. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a funcao real f(x) =−2x2 + 4x+ 12, o valor maximo desta funcao e:

a) 1

b) 3

c) 4

d) 12

e) 14

14. (ACAFE) Seja a funcao f(x) = −x2 − 2x + 3 de domınio [−2, 2]. Oconjunto imagem e:

a) [0, 3]

b) [−5, 4]

c) ]− 3, 4]

d) [−3, 1]

e) [−5, 3]

15. Dada a funcao |x–2| = 3, ache os valores possıveis para x.

16. Dada a funcao |x2–3| = 13, ache os valores possıveis para x.

17. Dada a funcao |x+ 3| = 2x− 5, ache os valores possıveis para x.

palavra25


1.4 Operacoes com funcoes

Podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir os numeros reais deforma a encontrar novos numeros reais. Analogamente, tambem podemosfazer estas operacoes com funcoes de forma a encontrar novas funcoes. Estasoperacoes serao definidas a seguir.

1.4.1 Operacoes entre funcoes e numeros reais

Aplicando certas operacoes entre uma funcao e um numero real pode-mos encontrar novas funcoes cujos graficos estao relacionados entre si pordeslocamentos, expansao ou reflexao. Isto nos capacita a fazer facilmente oesboco de muitos graficos de funcoes.

a) Translacoes - Consideremos inicialmente, as translacoes, que sao deslo-camentos do grafico de uma funcao em k unidades (para cima, parabaixo, para a direita ou para a esquerda).

Seja f(x) uma funcao e k um numero real positivo (k > 0). Podemosproduzir uma nova funcao g(x) pela soma de f(x) com k, onde g(x) =f(x)+k. O grafico de g(x) sera igual ao grafico de f(x) deslocado paracima em k unidades (uma vez que cada coordenada f(x) fica acrescidapelo mesmo numero k). Ou seja, g(x) e uma translacao vertical def(x) em k unidades para cima. Da mesma forma, se fizermos h(x) =f(x − k), entao o valor de h em x e igual ao valor de f em x − k.Portanto, o grafico de h(x) = f(x − k) sera igual ao grafico de f(x)deslocado em k unidades para a direita (uma translacao horizontal).

As diferentes translacoes (horizontais e verticais) estao resumidas abaixoe exemplificadas na Figura 1.2.

Translacoes horizontais e verticais: Seja f(x) uma funcao e kum numero real positivo (k > 0)Translacao horizontal:g(x) = f(x) + k, desloque o grafico de y = f(x) em k unidades paracima.g(x) = f(x)− k, desloque o grafico de y = f(x) em k unidades parabaixo.Translacao Vertical:g(x) = f(x+ k), desloque o grafico de y = f(x) em k unidades paraa esquerda.g(x) = f(x− k), desloque o grafico de y = f(x) em k unidades paraa direita.

palavra26


Figura 1.2: Exemplificacoes de novas funcoes g(x) obtidas por translacoeshorizontais e verticais do grafico de f(x). (Imagem adaptada da referencia:Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, Cengage Learning, 2010.)

Exemplo 1.3.1 - Dado y = x, use o grafico desta funcao e as transformacoespara obter os graficos de y1 = x+ 2 e y2 = x–2.

Sabendo que o grafico da funcao y = x e uma reta com inclinacao de45° com o eixo x. Desenhando todos os graficos no mesmo sistema decoordenadas, basta observarmos que y1 = y + 2, ou seja, o grafico dey1 e igual ao grafico de y deslocado em 2 unidades para cima. Analo-gamente, observa-se que y2 = y − 2, ou seja, o grafico de y2 e igual aografico de y deslocado em 2 unidades para baixo. Estes graficos estaorepresentados na Figura 1.3.

b) Expansoes e Compressoes - Seja f(x) uma funcao e k um numero realpositivo (k > 0). Podemos produzir uma nova funcao g(x) pela mul-

palavra27


Figura 1.3: Graficos de y, y1 e y2.

tiplicacao de f(x) por k, onde g(x) = k· f(x). O grafico de g(x) seraigual ao grafico de f(x) expandido por um fator k na direcao vertical(pois cada coordenada de f(x) fica multiplicada pelo mesmo numero k).Podemos tambem produzir uma nova funcao h(x) da seguinte forma:h(x) = f(x.k). Neste caso, o grafico de h(x) sera igual ao grafico def(x) comprimido horizontalmente por um fator k, pois o valor de h emx sera igual ao valor de f em x.k.

As diferentes expansoes e compressoes estao resumidas abaixo.

palavra28


Expansoes e Compressoes horizontais e verticais: Seja f(x)uma funcao e k um numero real positivo (k > 0)Expansao:g(x) = k.f(x), expanda verticalmente o grafico de y = f(x) por umfator k.g(x) = f(x

k), expanda horizontalmente o grafico de y = f(x) por um

fator k.Compressao:

g(x) = ( 1k).f(x), comprima verticalmente o grafico de y = f(x) por

um fator k.g(x) = f(k.x), comprima horizontalmente o grafico de y = f(x) porum fator k.

Exemplo - Dada a funcao cosseno (y = cosx). A Figura 1.4 ilustra astransformacoes de expansao e compressao aplicadas a esta funcao comk = 2. Por exemplo, para obter o grafico de y = 2. cosx, multiplicamostodas as coordenadas y do grafico de cosx por 2. Isso significa queo grafico de y = 2. cosx e igual ao grafico de y = cosx expandidoverticalmente por um fator 2.

Figura 1.4: Exemplificacoes de expansoes e compressoes do grafico de y =cosx. (Imagem adaptada da referencia: Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao,Cengage Learning, 2010.)

c) Reflexoes - Seja f(x) uma funcao. O grafico de g(x) = −f(x) e o graficode f(x) refletido em torno do eixo x, pois o ponto (x, y) sera substituıdopelo ponto (x,−y). De forma analoga o grafico de h(x) = f(−x) seraigual ao grafico de f(x) refletido em torno do eixo y. Estas regras estaoresumidas abaixo e exemplificadas na Figura 1.5.

palavra29


Reflexoes: Seja f(x) uma funcao.g(x) = −f(x), reflita o grafico de y = f(x) em torno do eixo x.g(x) = f(−x), reflita o grafico de y = f(x) em torno do eixo y.

Figura 1.5: Reflexoes do grafico de f(x).(Imagem adaptada da referencia:Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, Cengage Learning, 2010.)

1.4.2 Operacoes entre funcoes (f(x) + g(x))

Alem das operacoes entre funcoes e numeros reais, tambem podemosfazer operacoes entre duas funcoes de maneira a formar novas funcoes. As-sim, dado duas funcoes, f(x) e g(x), podemos combina-las para formar novasfuncoes atraves da soma, subtracao, multiplicacao, divisao e composicao des-tas funcoes (f +g, f −g, f.g, f/g, f ◦g). Estas novas funcoes serao definidasa seguir.

palavra30


a) Soma e Diferenca - Dadas as funcoes f e g, sua soma (f + g) e diferenca(f − g) sao assim definidas:

i) soma (f + g)(x) = f(x) + g(x)

ii) diferenca (f − g)(x) = f(x)− g(x)

o domınio das novas funcoes f + g e f − g e a interseccao dos domıniosde f e g. Ou seja, se o domınio de f e A e o domınio de g e B, entao odomınio de (f + g) e a interseccao A ∩B, pois tanto f(x) quanto g(x)devem estar definidas.

b) Produto (multiplicacao) - Dadas as funcoes f e g, seu produto e assimdefinido:

(f.g)(x) = f(x).g(x).

O domınio de f.g e a interseccao dos domınios de f e g (A ∩B).

c) Quociente (divisao) - Dadas as funcoes f e g, seu quociente e assim defi-nido:f

g(x) =

f(x)

g(x).

O domınio de f/g e a interseccao dos domınios de f e g, excluindo-seos pontos onde g(x) = 0, pois nao podemos fazer a divisao por zero.Assim o domınio de f/g e {x ∈ A ∩B | g(x) 6= 0}.

Exemplo - Sejam f(x) =√

4− x e√x− 2. As funcoes soma, diferenca,

produto e quociente de f com g sao:

(f + g)(x) =√

4− x+√x− 2

(f − g)(x) =√

4− x−√x− 2

(f.g)(x) =√

4− x·√x− 2 =

√(4− x)(x− 2)

(f/g)(x) =

√4− x√x− 2

=

√4− xx− 2

.

Como o domınio de f e D(f) = (−∞, 4] e o domınio de g e D(g) =[4,+∞), entao o domınio de f+g, f−g e f.g e interseccao dos domıniosde f e g, ou seja, e [2, 4]. O domınio de f/g e (2, 4], onde o ponto 2 foiexcluıdo porque g(x) = 0 quando x = 2.

d) Composicao - Alem das operacoes basicas (soma, subtracao, multiplicacaoe divisao), existe ainda uma outra maneira de combinar duas funcoes

palavra31


para obter uma nova funcao, a composicao de funcoes. Dadas duasfuncoes f e g, a funcao composta de g com f , denotada por g ◦ f (“ gbola f”), e definida por:

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

O domınio de g ◦ f e o conjunto de todos os pontos x no domınio de ftais que f(x) esta no domınio de g. Simbolicamente temos D(g ◦ f) ={x ∈ D(f)/f(x) ∈ D(g)}.Podemos tambem representar a funcao composta pelo diagrama abaixo(Figura 1.6).

Figura 1.6: Diagrama representando a operacao de composicao de funcoes.(Imagem retirada de funcao composta. In Infopedia [Em linha]. Porto: PortoEditora, 2003-2011. [Consult. 2011-07-11]).

Exemplo - Sejam f(x) = x2 e g(x) = x− 1, encontre as funcoes compostasf ◦ g e g ◦ f .

Temos,

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x − 1) = (x − 1)2 (g ◦ f)(x) = g(f(x)) =g(x2) = x2 − 1

Obs: Note que no exemplo acima f ◦ g 6= g ◦ f . Isto acontece em geral,ou seja, a composicao de funcoes nao e comutativa.

Exemplo - Sejam f(x) = 2x − 5 e g(x) =√x. Encontre cada uma das

funcoes abaixo e seus respectivos domınios.

palavra32


a) f ◦ g b) g ◦ f c) f ◦ f d) g ◦ g

Primeiro precisamos conhecer os domınios de f e g. O domınio de f eD(f) = (−∞,+∞) e o domınio de g e D(g) = [0,+∞).

a) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(√x) = 2

√x− 5

O domınio de f ◦ g e o conjunto de todos os valores de x nodomınio de g tal que g(x) esteja no domınio de f , ou seja

D(f ◦ g) = {x ∈ D(g) = [0,+∞)/g(x) ∈ D(f) = (−∞,+∞)} =[0,+∞).

b) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x− 5) =√

2x− 5

D(g ◦ f) = {x ∈ D(f) = (−∞,+∞)/f(x) ∈ D(g) = [0,+∞)} =[5/2,+∞)

Pois, f(x) = 2x − 5 deve estar dentro do domınio de g, ou seja,

f(x) = 2x− 5 > 0, o que significa que 2x > 5, entao x >5

2.

c) (f ◦ f)(x) = f(f(x)) = f(2x− 5) = 2(2x− 5)− 5 = 4x− 10− 5 =4x− 15

D(f ◦ f) = (−∞,+∞).

d) (g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g(√x) = x1/4

D(g ◦ g) = [0,+∞).


18. Suponha que seja dado o grafico de y = f(x). Escreva as equacoes paraas novas funcoes g(x), cujos graficos sejam obtidos a partir do graficode f(x), da seguinte forma:

a) deslocamento de 3 unidades para cima;

b) deslocamento de 5 unidades para baixo;

c) reflexao em torno do eixo y;

d) deslocamento de 4 unidades para a esquerda;

palavra33


e) expansao vertical por um fator de 2;

f) reflexao em torno do eixo x;

g) compressao vertical por um fator de 6.

19. Explique como obter, a partir do grafico de y = f(x), os graficos aseguir.

a) y = 6f(x) b) y = −f(x)

c) y = −6f(x) d) y = 6f(x)− 2

20. Trace o grafico de f para os 3 valores de c em um mesmo sistema decoordenadas (utilize translacoes, reflexoes e expansoes).

a) f(x) = 3x+ c com c = 0; c = 2 e c = −1

b) f(x) = 3(x− c) com c = 0, c = 2 e c = −1

21. Esboce o grafico da funcao f(x) = x2 +6x+10. (Dica: tente completaro quadrado e escrever esta funcao atraves de operacoes da funcao x2

com numeros reais adequados).

22. Dado f(x) = x3 + 2x e g(x) = 3x2− 1.Encontre f + g, f − g, f.g e f/ge defina seus domınios.

23. Dado f(x) =√x− 1 e g(x) =

1

x. Encontre f.g e f/g e defina seus

domınios.

24. Sejam f(x) =√x e g(x) =

√2− x. Encontre cada uma das funcoes

abaixo e seus respectivos domınios.

a) f ◦ g b) g ◦ f c) f ◦ f d) g ◦ g

25. E possıvel fazer a composicao de tres ou mais funcoes. Por exemplo afuncao composta f ◦ g ◦ h pode ser encontrada calculando-se primeiroh, entao g e depois f , como a seguir: (f f ◦ g ◦ h)(x) = f(g(h(x))).

Sabendo disso, encontre f ◦ g ◦ h dado f(x) =x

x+ 1, g(x) = x10 e

h(x) = x+ 3.

26. Ate agora usamos a composicao para construir novas funcoes mais com-plicadas a partir de funcoes mais simples. Em calculo, frequentemente

palavra34


e util decompor uma funcao mais complicada em outra mais simples.Sabendo que f = g ◦ h, decomponha f e encontre a funcao h, dado

a) f(x) = x2 + 1, g(x) = x+ 1

b) f(x) = 3x+ 1, g(x) = x+ 1

27. Sabendo que f = g ◦ h, decomponha f e encontre a funcao g sabendoque f(x) =

√x+ 2 e h(x) = x+ 2.

1.5 Funcao inversa

Suponha que um cientista esteja analisando a producao de mel de umacolmeia de abelhas. Ele coleta dados desta producao com o tempo, regis-trando a producao de mel, em litros, a cada intervalo de 1 hora. A Tabela1.1 fornece alguns dos dados desta experiencia. A producao de mel P e umafuncao do tempo t: P = f(t).

Tabela 1.1: Producao de mel como funcao do tempo.t (h) P (l)

0 101 122 163 224 305 42

Suponha agora, que outro cientista analisando a mesma colmeia de abe-lhas, queira analisar o tempo necessario para que a producao de mel atinjacertos nıveis em litros. Ou seja, este outro cientista esta pensando em tcomo uma funcao de P : t = f(P ) (olhando a Tabela 1.1 ao contrario). Essafuncao, chamada funcao inversa de f , e denotada por f−1, e deve ser lidaassim: “inversa de f”. Logo, a representacao correta e t = f−1(P ).

A funcao inversa e uma funcao em que trocamos as variaveis dependentescom as variaveis independentes da funcao. Formalmente, temos

Definicao - Seja y = f(x) uma funcao de A (domınio) em B (imagem) ouf : A −→ B. Se, para cada y ∈ B, existir exatamente um valor dex ∈ A tal que y = f(x), entao podemos definir uma funcao g : B −→ Atal que x = g(y). A funcao g definida desta maneira e chamada funcaoinversa de f denotada por f−1 [f –1(y) = x].

palavra35


Pela definicao acima, percebe-se que existem restricoes para a existenciada funcao inversa, ou seja, nem todas as funcoes admitem inversa. Maisespecificamente, apenas as funcoes injetoras possuem funcoes inversas.

Definicao - Uma funcao f e chamada de funcao injetora se ela nunca assumeo mesmo valor duas vezes, isto e, f(x1) 6= f(x2) sempre que x1 6= x2.

Na Figura 1.7 temos a representacao em um diagrama de flechas de umafuncao injetora e uma funcao nao injetora.

Figura 1.7: Diagrama de flechas das funcoes f (injetora) e g (nao injetora).(Imagem retirada da referencia: Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, Cen-gage Learning, 2010.)

Graficamente, podemos determinar se uma funcao e injetora e portanto,admite inversa, atraves do teste da reta horizontal. Passando uma reta para-lela ao eixo dos x, esta deve cortar o grafico da funcao em apenas um pontopara que a funcao seja injetora, pois, se uma reta horizontal intercepta ografico de f em mais de um ponto, entao, isto significa que, existem numerosx1 e x2 tais que f(x1) = f(x2). Ou seja, neste caso f nao e uma funcaoinjetora (Figura 1.8).

Teste da reta horizontal: uma funcao e injetora se nenhuma retahorizontal intercepta seu grafico em mais de um ponto.

palavra36


Figura 1.8: Exemplificacao do teste da reta horizontal para uma funcao fnao injetora, pois a reta intercepta mais de um ponto do grafico de f . (Ima-gem retirada da referencia: Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, CengageLearning, 2010.)

Portanto, se a funcao f admite inversa esta funcao deve necessariamenteser uma funcao injetora. Se f(x) = y, isto significa que f transforma x em y,entao a sua inversa, f−1 transforma y de volta em x (se f nao fosse injetora,entao f−1 nao seria definida de forma unica). A relacao entre o domınio eimagem da funcao f e invertida para a funcao f−1.

domınio de f−1 = imagem de fimagem de f−1 = domınio de f

Agora que sabemos o que sao funcoes inversas, vamos ver agora comocalcular estas funcoes. Se tivermos uma funcao y = f(x) (f e injetora) eformos capazes de isolar x nessa equacao escrevendo-o em funcao de y, entaoencontramos x = f−1(y). Se quisermos voltar a chamar a variavel indepen-dente de x, devemos trocar x por y na expressao encontrada e chegamos aequacao y = f−1(x).

Para fazermos o grafico da funcao inversa basta tracarmos a reta y = xe observarmos a simetria. O grafico de f−1 e obtido refletindo o grafico de fem torno da reta y = x, como ilustrado na Figura 1.9.

palavra37


Figura 1.9: Exemplificacao da simetria em torno da reta y = x dos graficosde f e f−1. (Imagem retirada da referencia: Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ªedicao, Cengage Learning, 2010.)

Exemplo - Encontre a funcao inversa de f(x) = x3 + 5.

(1º passo) escrevemos y = f(x)

y = x3 + 5;

(2º passo) isolamos x na equacao, escrevendo-o em termos de y

x3 = y − 5 =⇒ x = (y − 5)1/3;

(3º passo) para expressar f−1 como uma funcao de x, trocamos x pory. A equacao resultante e y = f−1(x) (funcao inversa de f).

palavra38


f−1(x) = (x− 5)1/3.

Exemplo - Encontre a funcao inversa de f(x) = 3x+ 2

(1º passo) y = 3x+ 2;

(2º passo) x =y − 2

3;

(3º passo) f−1(x) =x− 2

3.


28. a) O que e uma funcao injetora? b) A partir do grafico, como dizer seuma funcao e injetora?

29. Se f for uma funcao injetora tal que f(2) = 9, quanto e f−1(9)?

30. Verifique se a funcao f admite inversa (dica: verifique se a funcao einjetora).

a)x 1 2 3 4 5 6

f(x) 1,5 2,0 3,6 5,3 2,8 2,0

b)x 1 2 3 4 5 6

f(x) 1 2 4 8 16 32

c) f(x) =1

2(x+ 5)

d) g(x) = |x|

31. Dado f(x) =√

10− 3x. Encontre a formula para a funcao inversaf−1(x).

32. Dado f(x) =4x− 1

2x+ 3. Encontre a formula para a funcao inversa f−1(x).

1.6 Funcoes exponenciais e logarıtmicas

Veremos agora outros dois tipos de funcoes que fazem parte da nossa vidadiaria. Estamos falando da funcao exponencial e da funcao logarıtmica.

palavra39


1.6.1 Funcao Exponencial

A funcao exponencial ocorre frequentemente em modelos matematicosque descrevem processos da natureza e da sociedade. Esta e utilizada nadescricao do crescimento populacional, e tambem no fenomeno de decaimentoradioativo.

Potenciacao

Se a e um numero real e n e inteiro e positivo, a expressao an representa oproduto de n fatores iguais a a, ou seja:

an = a× a× a . . .× a︸︷︷︸ , (1.1)

nessa expressao a e denominado base e n o expoente.Sendo n um numero inteiro e positivo define-se:

a−n =

(1

a

)n=

1

an. (1.2)

Sendo a um numero real positivo, e m e n numero inteiros e positivos,define-se:

an/m = m√an (1.3)

Propriedades - Regras basicas da potenciacao

1. ax+y = axay

2. ax−y =ax

ay

3. (ax)y = axy

4. (ab)x = axbx

Funcao Exponencial

A funcao f : R→ R e dada por f(x) = ax com a 6= 1 e a > 0 e denominadafuncao exponencial de base a e definida para todo x ∈ R. Sao exemplos defuncoes exponenciais

f(x) = 2x, f(x) =

(1

3

)x, f(x) = 3x .

O numero e

palavra40


Figura 1.10: Funcao exponencial.

Dentre todas as bases possıveis para a funcao exponencial, existe umaque e mais conveniente para aplicacao em calculo. Na escolha de uma base apesa muito a forma como a funcao y = ax cruza o eixo y. Portanto devemosanalisar a inclinacao da reta tangente neste ponto. A reta tangente a umacurva e aquela intercepta a curva em um unico ponto. Quando escolhemosa base e, a inclinacao desta reta e exatamente 1. O valor correto de e ate aquinta casa decimal.

e = 2, 71828 (1.4)

Grafico

O comportamento da funcao exponencial e caraterizado pela sua base.A funcao e decrescente quando a base esta entre (0, 1) e crescente quandoesta e maior do que a unidade. Na Figura (1.10) apresentamos o grafico dealgumas funcoes exponenciais.

Note que todas as curvas se interceptam no par ordenado (0, 1), naoimportando qual seja a base.


Resolva os seguintes exercıcios.

palavra41


33. Esboce o grafico da funcao y = 3 − 2x e determine seu domınio eimagem.

34. Esboce o grafico da funcao y = 12e−x − 1 e estabeleca o seu domınio e

imagem.

35. Sob condicoes ideais sabe-se que uma certa populacao de bacterias do-bra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bacterias.Encontre (a) a populacao apos 15 horas, (b) a populacao apos t horas.(c) A populacao apos 20 horas.

36. Um isotopo de sodio 24Na, tem uma vida media de 15 horas. Umamostra desse isotopo tem massa 2g. Encontre (a) a quantidade rema-nescente apos 60 horas. (b) A quantidade remanescente apos t horas.(c) Estime a quantidade remanescente apos 4 dias.

1.6.3 Funcao Logarıtmica

A funcao inversa da funcao exponencial e a funcao logarıtmica. A funcaoe definida como

f(x) = loga x, a > 0, a 6= 1 (1.5)

A funcao logaritmo e definida pra x ∈ (0,∞) e tem imagem Im(f) = R.Quando a base do logaritmo e e, chamamos logaritmo natural.

loge x = lnx (1.6)

Propriedades - As funcoes logarıtmicas tem as seguintes propriedades

1. loga(b· c) = loga b + logac

2. loga

(b

c

)= loga b − logac

3. loga(bn) = n loga b

Na Figura (1.11) apresentamos o grafico da funcao com base ln x.


Resolva os seguintes exercıcios.

37. Resolva a equacao e5−3x = 10.

38. Calcule log8 5.

palavra42


Figura 1.11: Funcao logarıtimica.

39. Esboce o grafico da funcao y = ln(x− 2)− 1.

40. Se a populacao de bacterias em um experimento comeca com 100 edobra a cada tres horas. (a) Encontre o numero de bacterias apos thoras. (b) Encontre a funcao inversa e explique o seu significado. (c)Quando a populacao atingira 50 000 bacterias?

1.7 Funcoes trigonometricas

O estudo dos angulos e as relacoes angulares em figuras planas ou tridi-mensionais e conhecida como trigonometria. As funcoes trigonometricas saomais faceis de serem definidas utilizando um cırculo unitario, como mostraa Figura (1.12). Seja θ o angulo medido no sentido anti-horario a partir doeixo x, ao longo do cırculo. Entao o cos θ e coordenada horizontal do fimdo arco de cırculo e sua componente vertical o sen θ. A razao entre sen θ ecos θ e definido como tan θ. As definicoes no cırculo implicam que as funcoestrigonometricas sao periodicas como perıodo 2π.

Um triangulo retangulo tem tres lados, os quais sao identificados comohipotenusa, adjacente a um dado angulo θ e oposto ao angulo. Quando ahipotenusa e igual a um, como mostrado na Figura (1.12), sen θ e cos θ saoiguais aos lados oposto e adjacente respectivamente. Portanto, do teoremade Pitagoras podemos tirar a identidade trigonometrica fundamental

1 = sen 2θ + cos2 θ . (1.7)

palavra43


Figura 1.12: Cırculo de raio unitario.

1.7.1 Funcoes Trigonometricas

A definicao das funcoes trigonometricas atraves do cırculo de raio unitariofornece uma interpretacao geometrica para cada uma das funcoes trigo-nometricas. Entretanto podemos tambem fazer a definicao algebrica destasfuncoes. Alem disso, veremos que para cada funcao trigonometrica existeuma correspondente que e igual a 1 sobre a funcao.

Funcao seno e cossecante

A funcao seno e definida como

f(x) = sen x , D(f) = R , I(f) = [−1, 1] . (1.8)

Por sua vez, definimos a funcao cossecante como

f(x) = csc x =1

senx, D(f) = {x ∈ R | x 6= nπ},

comn ∈ Z , I(f) = {R | 1 < |x|} .(1.9)

Na Figura (1.15) mostramos o grafico da funcao seno e cossecante.

Funcao cosseno e secante

Definimos a funcao f(x) tal que

f(x) = cos x , D(f) = R , I(f) = [−1, 1] . (1.10)

palavra44


Figura 1.13: funcao senx linha cheia e funcao cscx linha pontilhada.

A funcao secante e definida como

f(x) = secx =1

cosx, D(f) = {x ∈ R | x 6= nπ

2},

comn ∈ Z , I(f) = {R | 1 < |x|} .(1.11)

Na Figura (1.14) apresentamos o grafico das funcoes cosseno e secante.

Figura 1.14: Funcao cosx e sec x.

palavra45


Funcao tangente e cotangente

Seguindo com as definicoes vamos examinar a tangente e a cotangente. De-finimos uma funcao f tal que

f(x) = tan x , D(f) = {x ∈ R | x 6= π2

+ nπ} ,

comn ∈ Z , I(f) = R .(1.12)

Por sua vez, a funcao cotangente e definida a partir de

f(x) = cot x =1

tanx, D(f) = {x ∈ R | x 6= nπ} ,

comn ∈ Z , I(f) = R .(1.13)

Figura 1.15: funcao tanx linha cheia e funcao cotx.

1.7.2 Funcoes Trigonometricas Inversas

Quando tentamos encontrar as funcoes inversas trigonometricas, temosuma dificuldade. Como as funcoes trigonometricas nao sao injetivas, elas naotem funcoes inversas. A dificuldade e superada restringindo-se o domınio des-sas funcoes de forma a torna-las injetoras. As funcoes inversas sao chamadasarcsen , arccos e arctan. A inversa da funcao seno e a funcao arcsen

f(x) = arcsen x , D(f) = [−1.1], I(f) =[−π

2,π

2

](1.14)

palavra46


A inversa da funcao cosseno e definida de modo similar

f(x) = arccos x , D(f) = [−1.1], I(f) = [0, π] (1.15)

A funcao tangente pode ser tomada no intervalo(−π

2, π2

). Assim a funcao

inversa da tangente e definida como f(x) = arctan x. Diferentemente dasfuncoes arcsin e arccos em que o domınio e definido no intervalo [−1, 1], afuncao arctan tem domınio em todo o conjunto dos reais.

f(x) = arctan x , D(f) = R, I(f) =[−π

2,π

2

](1.16)

A Figura (1.16) mostra as tres funcoes trigonometricas inversas.

Figura 1.16: funcoes trigonometricas inversas arccosx linha cheia, arcsenxlinha tracejada vermelha e arctanx linha tracejada azul.


Resolva os seguintes exercıcios

41. Se cos θ e 0 < θ < π2, determine as outras funcoes para este angulo.

42. Determine todos os valores de x no intervalo [0, 2π] tal que senx =sen 2x.

43. Esboce o grafico das seguintes funcoes em um perıodo: y = 4 sin(x),y = 1 + senx, y = sen (x− π

2), y = cos(x− π

2), y = 2sen (x

4). Determine

seu domınio e imagem.

palavra47


44. Determine o perıodo das funcoes: y = sen 6x, y = sen (x3), y = 5sen 4x,

y = 4sen (2x+ π6).

45. Calcule: sen −1(12), cos−1

(√π2

)e tan

(arcsen (1

3)).

1.8 Respostas dos exercıcios propostos

1. D = {x ∈ R / x 6= 4}; Im{y ∈ R / y 6= 0}

2. D = {x ∈ R / x > −3}; Im{y ∈ R / y > 0}

3. D ={x ∈ R / x > −5

2e x 6= 2

}4. a) ımpar b) par c) ımpar d) ımpar e) par f) par g) sem paridade

h) par i) ımpar j) par k) par l) par m) ımpar

5. e)

6. a)

7. x =21

40

8. d)

9. a)

10. c)

11. c)

12. a)

13. e)

14. b)

15. −1 e 5

16. ±4

17. 8

palavra48


18. a) g(x) = f(x) + 3 b) g(x) = f(x)− 5 c) g(x) = f(−x)

d) g(x) = f(x = 4) e) g(x) = 2f(x) f) g(x) = −f(x)

g) g(x) =1

6f(x)

19. a) expansao vertical do grafico de f(x) por um fator 6;

b) reflexao em torno do eixo x do grafico de f(x);

c) expansao vertical do grafico de f(x) por um fator 6 seguida de umareflexao em torno do eixo x;

d) deslocamento vertical em 2 unidades para baixo do grafico de f(x)seguido de uma expansao vertical por um fator 6.

20. a) b)

21.

22. (f + g)(x) = x3 + 5x2 − 1, D = (−∞,+∞)

(f − g)(x) = x3 − x2 + 1, D = (−∞,+∞)

(f.g)(x) = 3x5 + 6x4 − x3 − 2x2, D = (−∞,+∞)

palavra49


(f

g

)(x) =

x3 + 2x2

3x2 − 1, D =

{x | x 6= ± 1√

3

}

23. (f.g)(x) =

√x− 1

x, D = [1,+∞)

(f/g)(x) = x√x− 1, D = [1,+∞)

24.a) (f ◦ g)(x) = (2− x)1/4, D(f ◦ g) = (−∞, 2]

b) (g ◦ f)(x) =√

2−√x, D(g ◦ f) = [0, 4]

c) (f ◦ f)(x) = x1/4, D(f ◦ f) = [0,+∞)

d) (g ◦ g)(x) =√

2−√

2− x, D(g ◦ g) = [−2, 2]

25. (f ◦ g ◦ h)(x) =(x+ 3)10

(x+ 3)10 + 1

26. a) x2 b) 3x

27.√x

28. a) Uma funcao f e chamada de funcao injetora se ela nunca assume omesmo valor duas vezes.b) O grafico deve satisfazer ao teste da reta horizontal, ou seja, qualquerreta horizontal deve interceptar o grafico da funcao no maximo em umponto desta.

29. 2

30. a) nao b) sim c) sim d) nao

31. f−1(x) = −1

3x2 +

10

3

32. f−1(x) =3x+ 1

4− 2x

33.

34.

35.

36.

37.

palavra50


38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

palavra51

Capıtulo 2. Limites de funcoes e funcoes contınuas

Capıtulo 2

Limites de funcoes e funcoescontınuas

2.1 Limites de funcoes1

Desejamos saber o que acontece com os valores de uma funcao f(x)quando x se aproxima de um dado ponto a.

Por exemplo, sef(x) = 2x− 3o que acontece com os valores de f(x) quando x assume valores proximos

de 4?Se h(t) representa a altura de uma arvore no instante t, o que acontece

com os valores h(t) quando t assume valores arbitrariamente grandes?Observe a tabela abaixo para a funcao f(x) = 2x− 3.

x 3.8 3.9 3.99 4 4.01 4.1 4.2f(x) 4.6 4.8 4.98 5 5.02 5.2 5.4

Vemos nesta tabela que quanto mais proximo de 4 tomamos o ponto x,mais o valor f(x) se aproxima de 5. Diremos que o limite de f(x) quando xtende a 4 e 5.

Na verdade podemos fazer com que f(x) se aproxime de valores proximosde 5 quanto desejarmos, somente aproximando os valores de x o suficiente dovalor 4.

Por exemplo, se desejamos que f(x) seja mais proximo de x que a dife-renca seja menos que 0.03, isto e

1As Secoes 2.1, 2.2 e 2.3 foram baseadas no livro Kuelkamp, Nilo - Calculo I, 2ª ed.2001, Editora da UFSC. Portanto, qualquer semelhanca nao e mera coincidencia.

palavra52


|f(x)− 5|< 0.03,

Para verificar isso, vamos ver como a desigualdade acima se comporta.Substituindo acima f(x) = 2x− 3, temos

|2x− 3− 5|< 0.03

ou seja,

|2x− 8|< 0.03

2|x− 4|< 0.03

Isso equivale a

|x− 4|< 0.015

Disso, podemos dizer que, para aproximar f(x) mais proximos que 0.03de 5, devemos deixar x mais proximo que 0.015 do valor x = 4. Ou seja,

f(x)− 0.03 < 5 < f(x) + 0.03 desde que x− 0.015 < 4 < x+ 0.015. (2.1)

Se agora trocarmos os numeros 0.03 e 0.15 por dois numeros positivosarbitrarios ε e δ, respectivamente, na expressao 2.1, temos

f(x)− ε < 5 < f(x) + ε desde que x− δ < 4 < x+ δ. (2.2)

Assim, podemos escrever

|f(x)− 5| < ε, (2.3)

e|x− 4| < δ. (2.4)

Novamente, substituindo f(x) = 2x− 3 na expressao 2.3, encontramos

|x− 4|< ε

2.

Comparando a expressao acima com a expressao com a expressao 2.4,vemos que

δ =ε

2,

palavra53


ou seja, para f(x) = 2x−3, aproximando x de 4 por um valor δ, aproximamos

f(x) de 5 por um valorε

2. Podemos escrever isso de outra forma do seguinte

modo

|x− 4|< δ ⇒ |f(x)− 5| < ε,

ou equivalente,

x ∈ (4− δ, 4 + δ)⇒ f(x) ∈ ( 5− ε, 5 + ε).

Podemos representar o que foi discutido acima na forma grafica.

0 1 2 3 4 5x

0

1

2

3

4

5

6

f(x)=

2x−

3

5 +ε

5−ε

4+δ4−δ

5−ε

A partir desse exemplo, obtemos a seguinte definicao.

Definicao - Seja a funcao f definida no intervalo I, com a ∈ I. Dizemos quef(x) tem limite L quando x tenda para a, se dado ε > 0, existir δ > 0tal que

x ∈ I e 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Simbolicamente, podemos escrever a definicao acima da forma

palavra54


limx→a

f(x) = L.

x a a+δa−δ

L

L+ε

L−ε

f(x)

Exemplo 1 - Seja f(x) = 4x2 + 5. Usando a definicao vamos mostrar quelimx→0

f(x) = 5.

Queremos encontrar δ > 0 para que obtenhamos ε > 0, tal que

0 < |x− 0| < δ ⇒ |f(x)− 5| < ε.

Para determinar um tal δ, partimos da desigualdade desejada e a transfor-mamos sucessivamente em outras, a ela equivalentes, ate que se torne facilde descobrir uma condicao sobre |x − 0| que assegure a validade daquelasdesigualdades.

Desejamos obter

|f(x)− 5| < ε.

Para isso, substituımos f(x) = 4x2 + 5 na expressao acima

palavra55


|4x2 + 5− 5| < ε

|4x2| < ε

4|x2| < ε

x2 <ε

4

|x| <√ε

2

|x− 0| <√ε

2.

Dessa forma, podemos ver que

0 < |x− 0| <√ε

2assegura que

|f(x)− 5| < ε.

Portanto, podemos tomar δ =

√ε

2, ou qualquer outro numero positivo me-

nor do que

√ε

2para que obtenhamos valores tao proximos de L= 5 quanto

desejarmos. Por exemplo, se queremos que o limite se aproxime de 5 mais

que1

100, tomamos ε =

1

100, ou qualquer numero positivo menor que esse, e

calculamos o valor de δ

δ =

√1

1002

=

1

102

=1

20;

se queremos que os valores de f(x) se aproximem mais de 5 que ε =1

10000,

δ =

√1

100002

=

1

1002

=1

200,

e assim por diante.A seguir, veremos as propriedades dos limites que nos ajudam a calcular

limites sem precisar recorrer a forma usada no Exemplo 1. Cada propriedadee alicercada por um teorema. As demonstracoes dos teoremas podem serencontradas no livro Kuelkamp, Nilo - Calculo I.

palavra56


Propriedade 1 - (Unicidade do limite) Se limx→a

f(x) = L e limx→a

f(x) = M,

entao L = M.

Propriedade 2 - Se f(x) = c ∀ x ∈ R, entao para qualquer a ∈ R temoslimx→a

f(x) = c.

Propriedade 3 - Se limx→a

f(x) = L > M, entao existe δ > 0 tal que

0 < |δ − a| < δ ⇒ f(x) > M.


f(x) = 0 e g(x) e limitada no intervalo I−{a}, onde

I e o intervalo que contem o ponto a, entao limx→a

f(x).g(x) = 0.

Exemplo 2 - Sejam f(x) = x2 − 1 e g(x) = x3 + 33√x2 − 500, mostre que

limx→1

f(x).g(x) = 0.

Vamos calcular limx→1

f(x)

limx→1

(x2 − 1) = 12 − 1 = 0

da propriedade 4 temos portanto que limx→1

f(x).g(x) = 0, o que iremos

conferir a seguir

limx→1

(x2 − 1)(x3 + 33√x2 − 500) =

limx→1

(x5 + 3x23√x2 − 500x2 − x3 − 3

3√x2 + 500) = 0

Portanto, a solucao satisfaz a nossa demonstracao e a propriedade 4.


f(x) = L e limx→a

g(x) = M, entao:

a) limx→a

[f(x)± g(x)] = L±M.

b) Para qualquer c ∈ R, temos

limx→a

c.f(x) = c.L

c) limx→a

f(x).g(x) = L.M.

d) limx→a

f(x)

g(x)=

L

Mdesde que M 6= 0.

palavra57


Observacao 1 - Decorre do item (c) que

limx→a

f(x)· f(x) = L·L = L2 → limx→a

f(x)· f(x) = limx→a

[f(x)]2 =[limx→a

f(x)]2

limx→a

f(x)· f(x)· f(x) = L·L·L = L3 → limx→a

[f(x)]3 =[limx→a

f(x)]3

donde decorre a forma

limx→a

[f(x)]n =[limx→a

f(x)]n

, para qualquer n.

Exemplo 3 - Dadas f(x) = 2x+ 7 e g(x) = x2− 3, calcule os limites abaixousando as propriedades 5.a)-d).

1. limx→−1

f(x)

limx→−1

(2x+ 7) = 5.

2. limx→−1

g(x)

limx→−1

(x2 − 3) = −2.

3. limx→−1

(x2 + 2x+ 4)

Usando a propriedade 5.a), temos

limx→−1

(x2 + 2x + 4) = limx→−1

[(2x + 7) + (x2 − 3)] = limx→−1

f(x) +

limx→−1

g(x) = 5− 2 = 3.

4. limx→−1

(6− 2x2)

Podemos usar a propriedade 5.b):

limx→−1

(6− 2x2) = limx→−1

−2(x2 − 3) = −2· limx→−1

g(x) = 4.

5. limx→−1

(2

3x3 +

7

3x2 − 2x− 7

)Usaremos as propriedades 5.b) e 5.c) no calculo deste limite

limx→−1

(2

3x3 +

7

3x2 − 2x− 7

)= lim

x→−1

1

3(2x3 + 7x2 − 6x− 21) =

limx→−1

1

3(2x+ 7)(x2 − 3) = lim

x→−1

1

3f(x)·g(x) =

1

3·5·(−2) = −10

3.

6. limx→−1

(x3 + x2 − 3x− 3)

(2x2 + 9x+ 7)

limx→−1

(x3 + x2 − 3x− 3)

(2x2 + 9x+ 7)= lim

x→−1

(x2 − 3)(x+ 1)

(2x+ 7)(x+ 1)=

palavra58


limx→−1

(x2 − 3)

(2x+ 7)= lim

x→−1

g(x)

f(x)=−2

5= −2

5onde usamos a propriedade 5.d).

Propriedade 6 - Sejam a, b ∈ R, 0 < b 6= 1 e n ∈ N. Entao temos

a) limx→a

senx = sen a

b) limx→a

cosx = cos a

c) limx→a

bx = ba

d) limx→a

logb x = logb a

e) limx→a

n√x = n√a,

{∀ n se a > 0n ımpar se a < 0.


f(x) = b e limy→b

g(y) = L, entao limx→a

(g◦f)(x) = L,

desde que L = g(b). Em outras palavras

limx→a

g(f(x)) = g(limx→a

f(x)).

Exemplo 4 - Seja f(x) = x2 + 1 e g(x) =√x, entao

limx→1

f(x) = limx→1

(x2 + 1) = 2

e

limx→2

g(x) = limx→2

√x =√

2

portanto, da propriedade 7, temos

limx→1

(g◦f)(x) =√

2.

Propriedade 8 - Sejam b ∈ R, 0 < b 6= 1 e n ∈ N. Se limx→a

f(x) = L, entao

a) limx→a

sen f(x) = sen L

b) limx→a

cos f(x) = cos L

c) limx→a

bf(x) = bL

d) limx→a

logb f(x) = logb L, desde que L > 0

e) limx→a

n√f(x) =

n√

L

{∀ n se L > 0n ımpar se L < 0.

palavra59


Propriedade 9 - Se f(x) 6 h(x) 6 g(x) para todo x num intervalo abertoI− {a}, e se lim

x→ag(x) = lim

x→af(x) = L, entao lim

x→ah(x) = L.

Exemplo 5 - Calcular os limites.

1. limx→1

x2 + 5x− 1

2x− 12

limx→1

x2 + 5x− 1

2x− 12=

12 + 5· 1− 1

2· 1− 12=

5

−10= −1

2

2. limx→π

(x2 + cosx)

limx→π

(x2 + cosx) = limx→π

x2 + limx→π

cosx = π2 + cos π = π2 − 1

3. limx→−2

(x3 − 2x)4

Da observacao 1, temos

limx→−2

(x3 − 2x)4 =

[limx→−2

(x3 − 2x)

]4= [(−2)3 − 2· (−2)]4

= (−8 + 4)4

= (−4)4

= 256.

4. limx→−3

3√x4 + 9x3 + 10x2 − x+ 5

= 3√

(−3)4 + 9(−3)3 + 10(−3)2 − (−3) + 5= 3√−64 = −4.

5. limx→π/2

x· senx

x+ 1

=

π

2· sen

π

2π

2+ 1

=

π

2· 1

π + 2

2

=π

π + 2.

palavra60


6. limx→5

ln(x3 − 3x2 − 30)

= ln(53 − 3· 52 − 30)= ln 20 = ln(5· 22) = ln 5 + ln 22 = ln 5 + 2 ln 2.

7. limx→−2

2x2+3x+5

= 2(−2)2+3(−2)+5 = 23 = 8.

2.1.1 Exercıcios propostos

1. Seja f(x) =4x2 − 11x+ 6

x− 2. Para cara ε dado, determine δ tal que

|f(x)− 5| < ε sempre que 0 < |x− 2| < δ.

a) ε = 4 b) ε = 2

c) ε = 1 d) ε = 0, 08

Sugestao: Simplifique a fracao que define f por x− 2.

2. Calcule os limites.

a) limx→−1

(3x2 − 7x− 4) b) limx→6

x2 − 12x+ 36

x− 5

c) limx→−2

√5x2 + 3x+ 2 d) lim

x→−3log(x4 − 3x+ 10)

e) limx→π

cosx· sen (x+ π) f) limx→−π

esenx

2.2 Limites laterais

Ate agora, analisamos o comportamento de f(x) quando x se aproximade a tanto por um lado como pelo outro sem fazer distincao, ou seja, semdeterminar se x se aproxima de a pela esquerda (para valores de x menoresque a ou x : −∞ → a) ou pela direita (para valores de x maiores que a oux : +∞→ a). Agora analisaremos esses dois casos separadamente.

Definicao - Seja f : (a, b)→ R uma funcao.

Diremos que f(x) tem limite L quando x tende para a pela direita

palavra61


limx→a+

f(x) = L,

quando, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que

x ∈ (a, b) e a < x < a+ δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Diremos que f(x) tem limite L quando x tende para b pela esquerda

limx→b−

f(x) = L,

quando, dado ε > 0, existir δ > 0 tal que

x ∈ (a, b) e b− δ < x < b⇒ |f(x)− L| < ε.

a a+δ

L

L+ε

bb−δ

L

L−ε

limx→a+

f(x) = L limx→b−

f(x) = L

As propriedades vistas para limites tambem valem para o limites lateraise tem demonstracoes analogas.

Exemplo 6 - Consideremos a funcao

f(x) =

x2, se x < 21, se x = 24− x, se x > 2

.

Entao temos

limx→2−

f(x) = limx→2−

x2 = 4

e

limx→2+

f(x) = limx→2−

(4− x) = 2.

Observe que f(2) = 1, ou seja, f(2) 6= 4 e f(2) 6= 2. Portanto os limiteslaterais sao ambos diferentes do valor no ponto x = 2.

palavra62


Propriedade 10 - Seja a ∈ I, onde I e um intervalo aberto e, seja f(x) talque f : I − {a} → R uma funcao. Entao f(x) tem limite L quando xtende a a se, e somente se, f(x) possuir limite L quando x tende a apela esquerda e pela direita, ou seja,

limx→a

f(x) = L⇐⇒ limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) = L

Exemplo 7 - Seja

f(x) =

x3 + 1, se x < 13, se x = 1x+ 1, se x > 1

.

Entao temos

limx→1+

f(x) = limx→1+

(x+ 1) = 2

e

limx→1−

f(x) = limx→1−

(x3 + 1) = 2

Assim, pela propriedade 10 temos que limx→1

f(x) = 2.

[Observe que f(1) = 3 6= 2 = limx→1−

f(x).]

Exemplo 8 - Seja a funcao

f(x) =

{x2 − 2x, se x 6 34− x, se x > 3

.

Entao,

limx→3+

f(x) = limx→3+

(4− x) = 1

e

limx→3−

f(x) = limx→3−

(x2 − 2x) = 3.

Vemos que limx→3+

f(x) 6= limx→3−

f(x). Assim, pela propriedade 10, nao

existe limite de f(x) quando x tende a 3, ou seja,

limx→3

f(x) = @.


3. Para cada funcao a seguir, calcule limx→a+

f(x), limx→a−

f(x) e limx→a

f(x) caso

este exista.

palavra63


a)f(x) =

{3− x2 se x < 02x se x > 0

a = 0

b)f(x) =

x2 − 3x− 4

x− 4a = 4

c)f(x) =

{x2 − 4x− 1 se x < 22− x se x > 2

a = 2

d)f(x) =

2x+ 3 se x < −1−x se x > −10 se x = −1

a = −1

2.3 Indeterminacoes

Vamos agora calcular o limite limx→1

2x3 − 2

1− x

limx→1

2x3 − 2

1− x=

2.13 − 2

1− 1=

0

0

Vemos que neste caso nao se aplica a propriedade 5, ja que o denominadorpossui limite 0. Resolvemos agora esse limite de uma diferente maneira

limx→1

2x3 − 2

1− x= lim

x→1

2(x3 − 1)

−(x− 1)= lim

x→1−2(x2 + x+ 1)(x− 1)

(x− 1)=

limx→1−2(x2 + x+ 1) = −2.3 = −6

Vemos portanto, que a expressao0

0nao tem um valor determinado. Cha-

mamos a isso de indeterminacao. No calculo de limites de funcoes, podemosencontrar outras expressoes cujos valores nao sao determinados. Ao todo,sao sete os sımbolos de indeterminacao:

0

0,∞∞, 0.∞, ∞−∞, 00, 1∞ e ∞0

Durante o calculo de limites, sempre que chegarmos a um destes sımbolos,precisamos buscar uma alternativa para obter o valor do limite. Quandofazemos isto, estamos fazendo o levantamento de indeterminacao.

Exemplo 9 -Calcule os limites.

palavra64


1. limx→3

x− 3

x2 − 9=

3− 3

32 − 9=

0

0.

Chegamos a uma indeterminacao do tipo0

0e usamos da fatoracao

para levanta-la. Assim procedendo, temos

limx→3

x− 3

x2 − 9= lim

x→3

x− 3

(x+ 3)(x− 3)

= limx→3

1

x+ 3

=1

6

2. limx→1

x3 − 4x2 + 3x

x2 + 3x− 4=

0

0.

Este problema e um analogo ao anterior. Para obter a fatoracaodividiremos numerador e denominador por x− a, onde a = 1. Fa-zendo isso, obtemos

limx→1

x3 − 4x2 + 3x

x2 + 3x− 4= lim

x→1

(x− 1)(x2 − 3x)

(x− 1)(x+ 4)

= limx→1

x2 − 3x

x+ 4

= −2

5

.

3. limx→4

√x− 2

x− 4=

0

0.

Para resolver essa indeterminacao, o produto notavel a2 − b2 =(a+b)(a−b) pode nos ajudar quando o aplicamos ao denominador

limx→4

√x− 2

x− 4= lim

x→4

(√x− 2)

(x− 4)· (√x+ 2)

(√x+ 2)

= limx→4

x− 4

(x− 4)(√x+ 2)

= limx→4

1√x+ 2

=1

4.

4. limx→−8

3√x+ 2

x+ 8=

0

0.

palavra65


Neste problema, faremos a substituicao de variavel y = 3√x, donde

observamos que x = y3. Portanto, quando x→ −8 temos y → −2.Assim

limx→−8

3√x+ 2

x+ 8= lim

y→−2

y + 2

y3 + 8

= limy→−2

y + 2

(y + 2)(y2 − 2y + 4)

= limy→−2

1

y2 − 2y + 4

=1

12.

5. limx→1

4√x− 1

6√x− 1

=0

0.

Para extrair as raızes deste problema, faremos uma substituicaode variaveis do tipo x = yn, onde a potencia n deve ser um numeroque e divisıvel tanto por 4 como por 6. O primeiro numero dentrodessa condicao e 12, logo x = y12, onde y > 0. Assim, quandox→ 1 temos y → 1, de modo que

limx→1

4√x− 1

6√x− 1

= limy→1

4√y12 − 1

6√y12 − 1

= limy→1

y3 − 1

y2 − 1

= limy→1

(y − 1)(y2 + y + 1)

(y − 1)(y + 1)

= limy→1

(y2 + y + 1)

(y + 1)

=3

2.

2.3.1 Exercıcios propostos

4. Calcule os limites.

palavra66


a) limx→2

x2 + 5x− 14

x− 2b) lim

x→3

x2 − 6x+ 9

x− 3

c) limx→−2

2x2 + x− 6

x+ 2d) lim

x→−3

5x3 + 23x2 + 24x

x2 − x− 12

e) limx→−1

x3 + 65x2 + 63x− 1

x+ 1f) lim

x→2

x4 − 3x2 − 4

x− 2

g) limx→4

2x3 − 13x2 + 17x+ 12

x2 − 6x+ 8h) lim

x→1

x5 − x3 − 5x2 + 5

x2 + x− 2

i) limh→0

(a+ h)2 − a2

hj) lim

h→0

(a+ h)3 − a3

h

k) limt→1

t4 − 1

t− 1l) lim

t→1

t5 − 1

t− 1

m) limx→0

√16− x− 4

xn) lim

x→27

3√x− 3

x− 27

o) limx→9

x2 − 9x√x− 3

p) limx→1

3√x− 1√x− 1

q) limx→1

4√x3 − 1

6√x− 1

r) limx→32

5√x− 2

x− 32

s) limx→5

√2(x− 3)− 2

x− 5t) lim

h→0

h

a−√a2 + h

, (a > 0)

u) limx→0

√a+ h−

√a

h, (a > 0) v) lim

h→0

3√a+ h− 3

√a

h

2.4 Limites no infinito e limites infinitos

2.4.1 Limites no infinito

Nas secoes anteriores deste capıtulo analisamos o comportamento de umafuncao f(x) quando x se aproxima de um ponto a. Nesta secao voltaremosnossa atencao para duas situacoes.

A primeira consiste na analise do comportamento de uma funcao f(x)quando x assume valores positivos arbitrariamente grandes, ou valores nega-

palavra67


tivos de modulo arbitrariamente grande.A segunda e um caso em que o limite da funcao nao existe, pois seu valor

nao se aproxima de numero algum. E o caso em que a funcao assume valores(positivos ou negativos) de modulo arbitrariamente grande. Quando essesvalores sao positivos, dizemos que a funcao tem limite +∞, e quando saonegativos, dizemos que a funcao tem limite −∞. Observe que −∞ e +∞nao sao numeros; sao sımbolos usados para indicar o que acontece com osvalores assumidos pela funcao.

Vamos analisar a funcao f(x) =1

x.

x −100 000 −100 −10 −1 1 10 100 100 000f(x) −0, 00001 −0, 01 −0, 1 −1 1 0,1 0,01 0,00001

Que graficamente fica

Vemos que para x positivo muito grande (x → +∞), esta funcao vai azero (f(x) → 0), o mesmo sendo verificado para x negativo muito grande,(x→ −∞). Assim, podemos dizer que

limx→±∞

1

x= 0.

Definicao - Seja a funcao f(x) definida no intervalo (a,+∞). Entao,lim

x→+∞f(x) = L. Isso significa que os valores de f(x) podem ficar arbi-

trariamente proximos de L tomando x suficientemente grande.

Exemplo - Encontre o limite das funcoes abaixo quando x→ +∞.

palavra68


a) f(x) =x2 − 1

x2 + 1

limx→+∞

x2 − 1

x2 + 1= lim

x→+∞

x2

x2− 1

x2

x2

x2+

1

x2

= limx→+∞

1− 1

x2

1 +1

x2= 1

b) f(x) =4x4 − x2

3x4 + x3

limx→+∞

4x4 − x2

3x4 + x3= lim

x→+∞

4x4

x4− x2

x4

3x4

x4+x3

x4

= limx→+∞

4− 1

x2

3 +1

x

=4

3

Definicao - Seja a funcao f(x) definida no intervalo (−∞, a). Entao,lim

x→−∞f(x) = L. Isso significa que os valores de f(x) podem ficar arbi-

trariamente proximos de L tomando x suficientemente grande em valorabsoluto, porem negativo.

Exemplo - Encontre o limite das funcoes abaixo quando x→ −∞.

a) f(x) = 1 + ex

limx→−∞

(1 + ex) = limx→−∞

1 + limx→−∞

ex

= 1 + 0= 1

b) f(x) =

(x

x+ 1

)ex

palavra69


limx→−∞

[(x

x+ 1

)ex]

= limx→−∞

(x

x+ 1

). limx→−∞

ex

= limx→−∞

x

xx

x+

1

x

. limx→−∞

ex

= limx→−∞

1

1 +1

x

. limx→−∞

ex

= 1· 0= 0


5. Calcule o limite de f(x) =x3

2x3 + 7xse x→ +∞.

6. Calcule o limite de f(x) =x

x+ 1+ e−x

2se x→ −∞.

2.4.3 Limites infinitos

Vamos agora analisar a seguinte funcao f(x) =1

x.

x −100 000 −100 −10 −1 1 10 100 100 000f(x) −0, 00001 −0, 01 −0, 1 −1 1 0,1 0,01 0,00001

Que graficamente fica

palavra70


Quando tomamos x indo a zero pela direita (x → 0+), esta funcao tende a+∞ (f(x)→ +∞). Ja quando x vai a zero pela esquerda (x→ 0−), a funcaotende a −∞ (f(x)→ −∞). Assim

limx→0+

(1

x

)= +∞ e lim

x→0−

(1

x

)= −∞.

Exemplo - Resolva os seguintes limites.

a) limx→π

2−

tanx

limx→π

2−

tanx = limx→π

2−

senx

cosx

=1

0= +∞

b) limx→+∞

(x2 + x− 1)

limx→+∞

(x2 + x− 1) = limx→+∞

x2(1 +1

x− 1

x2)

= +∞c) lim

x→−∞(5x3 + 2x2 − 3x+ 8)

limx→−∞

(5x3 + 2x2 − 3x+ 8) = limx→−∞

x3(5 +2

x− 3

x2+

8

x3)

= 5(−∞)3

= −∞


7. Resolva os limites.

a) limx→−∞

(x2 − 2x+ 3)

b) limx→−∞

(−3x2 + 5x)

2.5 Limites fundamentais

A tecnica de calculo de limites consiste, na maioria das vezes, em conduzir aquestao ate que se possam aplicar os limites fundamentais, facilitando assim,as solucoes procuradas.

palavra71


2.5.1 Primeiro limite fundamental

Vamos analisar a funcao f(x) =senx

x.

x senxsenx

x1 0,8414709 0,841470

0,1 0,0998334 0,9983340,01 0,0099998 0,9999830,001 0,0009999 0,999999

que graficamente fica

Por causa desse comportamento, podemos dizer que limx→0

senx

x= 1.

Exemplo - Calcule os limites usando o primeiro limite fundamental.

a) limx→0

sen 4x

x

limx→0

sen 4x

x= lim

x→0

4sen 4x

4x

= limu→0

4senu

u= 4· 1= 4

onde fizemos a substituicao 4x = u.

b) limx→0

cos2 x

x2

palavra72


limx→0

cos2 x

x2= lim

x→0

1− sen 2x

x2

= limx→0

1

x2− lim

x→0

sen 2x

x2

= limx→0

1

x2− lim

x→0

(senx

x

)2= lim

x→0

1

x2−(

limx→0

senx

x

)2=∞− 1=∞


8. Calcule o limite limx→0

tanx

x.

2.5.3 Segundo limite fundamental

Tomaremos agora a funcao f(x) =

(1 +

1

x

)x. Analisando seu comporta-

mento, temos

x

(1 +

1

x

)x1 210 2,59374100 2,704811000 2,70481

10 000 2,71814

que graficamente fica

palavra73


Para valores de x muito grandes (x → ±∞), esta funcao se aproxima dee, que e um numero irracional chamado constante de Euler (e = 2, 71828).

Portanto, limx→∞

(1 +

1

x

)x= e.

Exemplo - Calcule o limite limx→∞

(1 +

3

x

)x.

Faremos a substituicao3

x=

1

u, que nos da x = 3u.

limx→∞

(1 +

3

x

)x= lim

u→∞

(1 +

1

u

)3u

= limu→∞

[(1 +

1

u

)u]3=

[limu→∞

(1 +

1

u

)u]3= e3


9. Calcule o limite limx→∞

(1 +

2

x

)1−x

usando o segundo limite fundamen-

tal.

2.5.5 Terceiro limite fundamental

Veremos agora o limite limx→0

bx − 1

x= ln b, (0 < b 6= 1).

Para calcular esse limite, faremos a seguinte mudanca de variavel

bx = 1 +1

u=u+ 1

u1

bx=

u

u+ 1

ln b−x = ln

(u

u+ 1

)−x ln b = ln

(u

u+ 1

)x = − 1

ln bln

(u

u+ 1

)=

1

ln bln

(u

u+ 1

)−1=

1

ln bln

(1 +

1

u

)Feito isso, temos que para x→ 0, u→∞. Assim

palavra74


limx→0

bx − 1

x= lim

u→∞

1 +1

u− 1

1

ln bln

(1 +

1

u

)= lim

u→∞

ln b

u ln

(1 +

1

u

)= lim

u→∞

ln b

ln

(1 +

1

u

)u=

ln b

ln

[limu→∞

(1 +

1

u

)u]=

ln b

ln e= ln b

Exemplo - Calcule os seguintes limites usando o terceiro limite fundamental.

a) limx→0+

ln(x+ 1)

x

Faremos a substituicao ln(x + 1) = u =⇒ x = eu − 1 o quenos da que para x→ 0 temos u→ 0. Assim

limx→0+

ln(x+ 1)

x= lim

u→0

u

eu − 1

= limu→0

(eu − 1

u

)−1=

(limu→0

eu − 1

u

)−1= (ln e)−1

= 1


10. Calcule o seguinte limite limx→0+

4x − 1

2xusando o terceiro limite funda-

mental.

2.6 Funcoes contınuas

Vejamos as seguintes funcoes.

palavra75


a) f(x) = x3 − x2 − x+ 2 b) f(x) = − ln(x− 1)2 + 1

c) f(x) = tan x d) f(x) =

{x+ 2 se x 6= 21 se x = 2

Olhando para o grafico, tente achar suas peculiaridades.Perceba que o grafico a) evolui de forma “suave” e sem “buracos”, no

entanto o grafico b) apresenta um buraco para x = 1, ou seja, uma des-continuidade para este valor de x. A funcao apresentada no grafico c)

tambem apresenta descontinuidades, note que para

(n− 1

2

)π valores de x,

sendo n ∈ Z, a funcao tanx e descontınua. A funcao do grafico d) tambemapresenta uma descontinuidade para x = 2. Em suma, se para construir ografico de uma funcao for necessario tirarmos a caneta do papel, entao estafuncao apresenta uma descontinuidade neste ponto.

Definicao - uma funcao e contınua no ponto a se limx→a

f(x) = f(a).

Propriedades - Se f, g : X → R forem funcoes contınuas em a ∈ X e se cfor uma constante, entao as seguintes funcoes tambem sao contınuas

1. f + g

2. f − g3. c.f

palavra76


4. f · g

5.f

g(desde que g(a) 6= 0)


11. Analise a funcao do grafico a seguir e indique quais os pontos de des-continuidade e os intervalos em que a funcao e contınua.

12. Encontre as descontinuidades das seguintes funcoes.

a) f(x) =3x

(x− 2)2b) f(x) = e1/x

2

c) f(x) = lnx d) f(x) =√x

2.7 Respostas

1. a) δ = 1 b) δ = 0, 5 c) δ = 0, 25 d) δ = 0, 02

2. a) 6 b) 0 c) 4 d) 2 e) 0 f) 1

3. a) 0; 3; @ b) 5; 5; 5 c) 0; −5; @ d) 1; 1; 1

4.

palavra77


a) 9 b) 0 c) −7 d) −3 e) −64 f) 20

g)9

2h) −8

3i) 2a j) 3a2 k) 4 l) 5

m) −1

8n)

1

9o) 54 p)

2

3q)

9

2r)

1

80

s)1

2t) −2a u)

1

2√a

v)1

3a2/3

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

palavra78

Referencias Bibliograficas

[1] Flemming, D. M., Calculo A: funcoes, limite, derivacao, integracao, 5ªedicao, Pearson Education do Brasil, 1992.

[2] Kuelkamp, Nilo - Calculo I, 2ª ed. 2001, Editora da UFSC.

[3] Stewart, J., Calculo, vol.1, 5ª edicao, Cengage Learning, 2001.

[4] Stewart, J., Calculo, vol.1, 6ª edicao, Cengage Learning, 2010.

[5] Swokowski, E. W., Calculo com Geometria Analıtica, 2ª edicao, GrupoEditorial Iberoamerica, 1989.

79

Documents

CURSO DE INVERNO: INTRODUC AO AO C~ ALCULOppgfsc.posgrad.ufsc.br/files/2011/02/programa_intro_calculo-3.pdf · qualquer rela˘c~ao bin aria que associa a cada elemento de Aa um unico