Curso de Processamento Digital de Sinais e Imagens

Mestrado de Instrumentaçãodo CBPF

Profs: Marcelo Portes de Albuquerque e Márcio Portes de Albuquerque

Aula 04

DFT e Sinais Aleatórios

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Transformada de Fourier Discreta - DFT

• A Transformada de Fourier Discreta tem um papel importante em várias aplicações do PDS– Filtragem linear

– Análise de correlação

– Análise espectral

• Alguns algoritmos para calcular a DFT são muito eficientes

• Um algoritmo importante é chamado de FFT porque computa a DFT quando o tamanho N da sequência é uma potência de 2

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A DFT e algumas de suas propriedadesTransformada de Fourier Discreta - DFT

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Algumas propriedades da DFTTransformada de Fourier Discreta - DFT

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Algumas propriedades da DFTTransformada de Fourier Discreta - DFT

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Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution

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Algumas propriedades da DFTTransformada de Fourier Discreta - DFT

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Exemplo: Multiplication of Two DFTs and Circular Convolution

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Algumas propriedades

da DFT

Transformada de Fourier Discreta - DFT

A04

Exemplo ilustrando o cálculo de x3(n) através da DFT e da IDFT

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Algumas propriedades da DFTTransformada de Fourier Discreta - DFT

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Algumas propriedades

da DFT

Transformada de Fourier Discreta - DFT

A04

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Filtragem Linear Baseada na DFTTransformada de Fourier Discreta - DFT

• DFT provides a discrete frequency representation of a Finite Duration sequence

• We can explore its use as a computational tool for linear system analysis and for linear filtering

• A system with frequency response H(), when excited with an input signal X(), possesses an outup spectrum Y()= H()X()

• The output sequence y(n) is determined from its spectrum via the inverse Fourier transform

• The DFT allow us a computation of the TF on a digital computer

• We will see a computational procedure that serves as an alternative to time domain convolution

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Uso da DFT na

Filtragem Linear

Transformada de Fourier Discreta - DFT

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Exemplo: DFT na Filtragem

Linear

Transformada de Fourier Discreta - DFT

A0412

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Exemplo: DFT na Filtragem LinearTransformada de Fourier Discreta - DFT

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Exemplo: DFT na Filtragem Linear

Transformada de Fourier Discreta - DFT

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Fenômenos Aleatórios• Muitos fenômenos físicos encontrados na natureza

são caracterizados de forma mais adequada por funções estatísticas

– Exemplo: fenômenos meteorológicos como a temperatura do ar e a pressão atmosférica variando aleatóriamente como uma função do tempo

• Os sinais aleatórios são modelizados como sinais de duração infinita e energia infinita

Sinais Aleatórios

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Função de Distribuição de Probabilidade

• Uma variável aleatória X é uma variável que pode ter valores aleatórios

• Uma variável aleatória pode ser pensada como sendo a saída de algum exerimento aleatório

• A maneira de especificarmos a probabilidade para os diferentes valores obtidos por uma variável aleatória é através da utilização da função de distribuição de probabilidade F(x)

F(x) = Pr(X x)

• Ou pela função de densidade de probabilidade f(x)

f(x) = dF(x) / dx

Sinais Aleatórios

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Função de Distribuição de Probabilidade

• A relação inversa da função de densidade de probabilidade f(x) é:

F(x) = -x f(u) du

• Uma característica evidente da função de densidade de probabilidade é

F() = -

f(u) du = 1

função de distribuição de probabilidade

função de densidade de probabilidade

Sinais Aleatórios

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Esperança de uma Variável Aleatória

A esperança de uma variável aleatória é definida como sendo a soma de todas os valores que esta pode ter ponderada pela probabilidade destes valores

E[X] = -

x f(x) dx

Esta esperança é tambem chamada de média de X, ou média da distribuição de X ou ainda o primeiro momento de X

Isto é definido como sendo o número para o qual X “tende” quando o número de observações aumenta

Sinais Aleatórios

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Valor Médio Quadrático de uma Variável Aleatória Um outro parâmetro estatistico importante que descreve a distribuição de X é o seu valor médio quadrático

O valor esperado do quadrado de X é:

E[X2] = -

x2 f(x) dx

E[X2] também é chamado de segundo momento de X

O valor RMS (root mean square) de X é a raiz quadrada de E[X2]

A variância de uma variável aleatória é o desvio médio quadrático da variável aleatória de sua média

O desvio padrão de uma variável aleatória é a raiz quadrada da variância

O valor RMS e o desvio padrão são iguais somente para variáveis aleatórias de média zero

Sinais Aleatórios

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Soma e Produto de Variáveis Aleatórias

Outras funções de interesse povêm da soma ou do produto de variáveis aleatórias

O valor esperado da soma de variáveis aleatórias é a soma dos valores esperados sendo ou não as variáveis independentes

A variância da soma de variáveis aleatórias é a soma das variâncias se as variáveis forem independentes

O valor esperado do produto de variáveis aleatória é igual ao produto dos valores esperados somente se as variáveis forem independentes

Sinais Aleatórios

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Correlação Estatística entre Variáveis Aleatórias

• Um conceito importante é a correlação estatística entre variáveis aleatórias

• A covâriancia é a indicação parcial do nível de realação entre variáveis aleatórias

• O termo E[XY] é o segundo momento de X e Y

Sinais Aleatórios

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Covariância Normalizada

• A covariância normalizada pelos desvios padrões de X e Y é chamada de coeficiente de correlação

• O coeficiente de correlação é a medida do grau de dependência linear entre X e Y

• Se X e Y são independentes =0

• Se Y é uma função linear de X, =1

Sinais Aleatórios

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Função de Distribuição de Probabilidade Normal e Uniforme

Sinais Aleatórios

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Processos Aleatórios

• Um processo aleatório pode ser pensado como um conjunto (ensemble) de funções no tempo

• A notação {x(t)} é um conjunto de funções

• Uma função do conjunto é x(t)

• O valor observado de uma função em um conjunto no determindado tempo é x(t1)

• A probabilidade de x(t1) assumir um valor em um intervalo é dada pela função de distribuição de probabilidade

• Neste caso a dependencia do tempo é evidenciada

F(x1, t1 )= Pr[x(t1) x1 ]

Sinais Aleatórios

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Processos Aleatórios

• As funções de probabilidade são utilizadas na definição do intervalo de amplitude que o processo aleatório pode apresentar

• A função de distribuição de probabilidade de segunda ordem é definida como

F(x1, t1 ; x2, t2 )= Pr[x(t1) x1 and x(t2) x2 ]

• Função de distribuição de probabilidade conjunta de ordem superior pode ser estendida usando a formula acima para t3, t4,...

• Entretanto estas funções são raramente utilizadas

Sinais Aleatórios

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Função de Correlação

Sinais Aleatórios

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Processos Estacionários

• Processos estacionários são aqueles que as propriedades estatísitcas são invariantes no tempo

• Isto implica que a função de densidade de probabilidade do processo F(x1, t1) é independente do tempo de observação t1

• Todos os momento desta distribuição, como por exemplo E[x(t1)] e E[x2(t1)] são constantes

• A função de densidade de probabilidade de segunda ordem, neste caso é independente do valor absoluto dos tempos de observação t1 e t2, porém é dependente da diferença entre eles

Sinais Aleatórios

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Processos Ergódicos• Um conceito associado a processos

aleatórios e estacionários é a hipotése de ergodicidade

• A média dos membros em um determinado tempo pode ser calculada pela média de uma representação em todo tempo

• Uma única função representa o todo

• Se um função particular do experimento representa estatísticamente o todo, esta deve mostrar em vários pontos no tempo todo o intervalo de amplitude, taxa de variação da amplitude etc. O que também é encontrada dentre todos os membros do experimento

memberAnothermember

Sinais Aleatórios

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Exemplo de um Processo

Estacionário e Ergódico

Sinais Aleatórios

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Densidade Espectral de Potência

Sinais Aleatórios

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RuídoBranco

Sinais Aleatórios

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Resumo• A DFT tem um papel importante no Processamento

Digital de Sinais

• Vimos que a multiplicação de duas DFTs tem como conseqüência uma convolução circular

• Filtragem Linear Baseada na DFT

• Apresentamos a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição de probabilidade

• Introduzimos os conceitos de processos aleatórios, estacionários e ergódicos.

• Ruído Branco e sua DSP