CURSO DE TERMODINAMICA^damec.ct.utfpr.edu.br/motores/downloads/Curso.pdfPROGRAMA BRASILEIRO DE FORMAC˘AO~ EM MOTORES E COMBUST IVEIS CURSO DE TERMODINAMICA^ Prof. Dr. Jos e Antonio

PROGRAMA BRASILEIRO DE FORMACAO EM MOTORES E COMBUSTIVEIS

CURSO DE TERMODINAMICA

Prof. Dr. Jose Antonio Velasquez

Curitiba, 3 de Junho de 2005

Conteudo

1 Conceitos Introdutorios e Definicoes 1

1.1 Sistemas Termodinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Tipos de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Propriedade, Estado, Processo e Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Propriedades Intensivas e Extensivas . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Fase e Substancia Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Volume Especıfico e Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Densidade e Volume Especıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Equilıbrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Alvos de Aplicacao da Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Energia e a Primeira Lei da Termodinamica 8

2.1 Conceitos mecanicos de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Trabalho e energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Energia potencial gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Transferencia de energia via trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Trabalho de expansao ou de compressao de um fluido . . . . . 12

2.2.2 Alongamento de uma barra solida . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.3 Extensao de uma pelıcula lıquida . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.4 Potencia transmitida por um eixo . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.5 Trabalho eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.6 Trabalho de polarizacao e magnetizacao . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Energia de um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

i

2.3.1 A Primeira Lei da Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Definicao de variacao de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.3 Energia interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.4 O princıpio de conservacao de energia para sistemas fechados . 20

2.4 Transferencia de energia via calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1 Modos de transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Balanco de energia para sistemas fechados . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.1 Formas da equacao de balanco de energia . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Analise energetica de ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.1 Ciclos motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.2 Ciclos de refrigeracao e de bombeamento de calor . . . . . . . 25

3 Propriedades Termodinamicas 27

3.1 O princıpio de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 A relacao p − v − T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 A superfıcie p − v − T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2 Projecoes da superfıcie p − v − T . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.3 Mudanca de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.4 Propriedades de uma mistura lıquido-vapor . . . . . . . . . . . 34

3.3 Definindo mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1 A energia interna especıfica e a entalpia especıfica . . . . . . . 35

3.3.2 Os calores especıficos cv e cp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Avaliacao aproximada das propriedades de lıquidos e solidos . . . . . 36

3.4.1 Aproximacao para lıquidos comprimidos . . . . . . . . . . . . 36

3.4.2 O modelo de substancia incompressıvel . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Avaliacao aproximada das propriedades de um gas . . . . . . . . . . . 37

3.5.1 A constante universal dos gases . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.2 O fator de compressibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.3 O diagrama generalizado de compressibilidade . . . . . . . . . 38

3.5.4 O modelo de gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Analise Energetica de Volumes de Controle 43

4.1 Conservacao da massa para um V.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 Equacao de balanco de massa para um V.C. . . . . . . . . . . 43

ii

4.1.2 Formas da equacao de balanco de massa . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Conservacao da energia para um V.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Equacao de balanco de energia para um V.C. . . . . . . . . . 46

4.2.2 Trabalho em um volume de controle . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.3 Forma final da equacao de balanco de energia para um V.C. . 48

4.3 Analise de um V.C. em regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 A Segunda Lei da Termodinamica 50

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.1 Qualquer processo poderia ocorrer? . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.2 Oportunidades para desenvolver trabalho . . . . . . . . . . . . 52

5.1.3 Aplicacoes da Segunda Lei da Termodinamica . . . . . . . . . 53

5.2 Enunciados da Segunda Lei da Termodinamica . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Irreversibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.1 Forma analıtica do enunciado de Kelvin–Planck . . . . . . . . 55

5.4 Desempenho maximo de um ciclo que troca calor com dois RT’s . . . 56

5.4.1 Limitacoes que a SLT impoe aos ciclos motores. . . . . . . . . 56

5.4.2 Corolario 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4.3 Corolario 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5 Temperatura absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5.1 Calculo da eficiencia maxima de um ciclo . . . . . . . . . . . . 57

5.6 O ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.7 O corolario de Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.8 Variacao de entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.9 Avaliacao da entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.10 Balanco de entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.10.1 Sistemas fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.10.2 Volumes de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.11 Eficiencias isentropicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Analise de Sistemas Multicomponentes 65

6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 Descricao da composicao da mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3 Relacoes p − v − T para misturas de gases ideais . . . . . . . . . . . 66

iii

6.3.1 Modelo de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3.2 Modelo de Amagat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.4 U , H e S para misturas de gases ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5 Analise de sistemas nao-reativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.6 Analise de sistemas reativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

iv

Capıtulo 1

Conceitos Introdutorios eDefinicoes

• Procedencia etimologica:

– THERME −→ calor

– DYNAMIS −→ potencia, forca.

• O estudo formal da Termodinamica comecou nos primeiros anos do seculo XIX,quando se descubriu que era possıvel realizar trabalho a partir do calor.

• A Termodinamica trata sobre energia, calor e trabalho e sobre as proprie-dades da materia relacionadas a esses conceitos.

• A Termodinamica e uma rama da Fısica e uma ciencia da Engenharia.

1.1 Sistemas Termodinamicos

• Na Termodinamica utilizamos o termo sistema para nos referirmos aquilo quedesejamos estudar.

• Tudo aquilo externo ao sistema e denominado meio.

• O sistema e o meio estao separados pela fronteira.

• A fronteira e uma superfıcie matematica de espessura zero, portanto nao possuivolume nem contem materia.

• As interacoes entre o sistema e o meio ocorrem atraves da fronteira e, comosera visto mais tarde, estas interacoes sao muito importantes na Termodinamica.

1

Capıtulo 1. Conceitos Introdutorios e Definicoes J. A. Velasquez

1.1.1 Tipos de Sistemas

• Sistemas fechados: sao aqueles que contem uma porcao fixa de materia.Nesses sistemas nao ocorre passagem de massa atraves das fronteiras.Um sistema fechado que nao interage de forma alguma com o meio e chamadode sistema isolado.

• Volumes de controle ou sistemas abertos: sao regioes no espaco atravesdas quais flui materia (ocorre passagem de massa atraves das fronteiras).

• Tanto os sistemas fechados como os volumes de controle podem estar emmovimento e podem deformar-se.

• Outras denominacoes:

– Massa de controle −→ sistema fechado

– Superfıcie de controle −→ fronteira.

1.2 Propriedade, Estado, Processo e Equilıbrio

Propriedade: E uma caracterıstica macroscopica do sistema a qual podemos atri-buir um valor numerico, independentemente da historia do sistema. Exemplos:massa, volume, pressao, temperatura, etc.

Estado: E a condicao em que se encontra o sistema. O estado e descrito atraves dosvalores das propriedades. Uma vez que existem relacoes funcionais entre aspropriedades, o estado pode ser especificado fornecendo-se os valores de apenasalgumas delas. As outras poderao ser determinadas a partir desse conjunto.

Processo: E a transformacao de um estado para outro. Quando alguma proprie-dade do sistema e alterada, altera-se tambem o estado e, entao, dizemos queo sistema sofreu um processo.

−→ Se as propriedades de um sistema nao variam com o tempo, dizemos que osistema esta em estado estacionario ou regime permanente.

Ciclo: E uma sequencia de processos que comeca e termina no mesmo estado. Osciclos que se repetem periodicamente sao muito importantes na TermodinamicaTecnica.

−→ Como saber se uma caracterıstica do sistema e uma propriedade ou nao?Uma caracterıstica e uma propriedade se a sua variacao entre dois estados eindependente do processo.

2


1.2.1 Propriedades Intensivas e Extensivas

Propriedade Extensiva: E aquela propriedade cujo valor numerico e igual a somados valores que ela poderia ter em cada parte do sistema se este fosse subdivi-dido. Exemplo: massa, volume, energia, etc.

Propriedade Intensiva: E aquela que nao e aditiva no sentido considerado acima.Exemplo: densidade, pressao, temperatura.

−→ As propriedades extensivas de um sistema podem variar apenas em funcao dotempo. Ja as propriedades intensivas, podem apresentar variacoes de um pontopara outro do sistema e, ainda, em cada ponto podem variar em funcao dotempo.

1.2.2 Fase e Substancia Pura

Fase: E uma porcao de materia homogenea na sua composicao quımica e estruturafısica. Um sistema pode conter uma ou mais fases. As fases se encontramseparadas pelas fronteiras de fase.

O2 (g) + N2 (g) −→ miscıveis −→ 1 fase gasosa

Alcool (l) + Agua (l) −→ miscıveis −→ 1 fase lıquida

Oleo (l) + Agua (l) −→ nao miscıveis −→ 2 fases lıquid

Substancia Pura: E uma porcao de materia cuja composicao quımica e uniforme einvariavel.

Agua (l) + Gelo (s) −→ subst. pura −→ 2 fases

Agua (l) + Vapor d’agua (g) −→ subst. pura −→ 2 fases

1.2.3 Equilıbrio

• Equilıbrio mecanico −→ igualdade de forcas que agem em sentidos opostos.

• Equilıbrio termodinamico −→ conceito mais amplo. Implica o balanco de umaserie de aspectos: equilıbrio mecanico, termico, quımico, etc. Assim, variostipos de equilıbrio devem ser atingidos para se chegar ao equilıbrio total ouequilıbrio termodinamico.

• Se o estado de um sistema tende a permanecer quando as interacoes com as vizi-nhancas sao interrompidas, dizemos que esse estado e um estado de equilıbrio.

• Em um estado de equilıbrio, a temperatura e a pressao devem ser uniformesatraves de todo o sistema.

• Processo de quase-equilıbrio ou quase-estatico: E aquele durante o qualo afastamento do equilıbrio e, no maximo, infinitesimal.

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– Os processos reais podem, na melhor das hipoteses, se aproximar dos pro-cessos de quase-equilıbrio.

– O interesse no modelo de processos de quase-equilıbrio (processos idealiza-dos) se baseia nas seguintes consideracoes:

1. Este modelo permite simplificar a analise;

2. O modelo de processo de quase-equilıbrio e um instrumento util paradeduzir as relacoes existentes entre as propriedades dos sistemas emequilıbrio.

• Os estados de nao-equilıbrio se caracterizam por apresentarem variacoes espa-ciais das propriedades intensivas.

1.3 Volume Especıfico e Pressao

• A abordagem macroscopica da Termodinamica permite adotar a hipotese demateria contınua.

1.3.1 Densidade e Volume Especıfico

• Quando uma substancia e tratada como contınua, e possıvel falar de proprie-dades intensivas pontuais.

• A densidade em um ponto e definida como:

ρ = limV →V ′

mV

V

onde V ′ e o menor volume para o qual o quociente acima possui um valordefinido. O volume V ′ satisfaz as seguintes condicoes:

– Ele contem suficientes partıculas para garantir que a media estatıstica sejasignificativa;

– Ele e pequeno o suficiente de forma que pode ser considerado um ponto.

• A massa mV contida em um volume V qualquer e:

mV =

∫

V

ρ dV

• O volume especıfico v e definido da seguinte forma:

v =1

ρ

4


1.3.2 Pressao

• Consideremos uma pequena area A em torno de um ponto no interior de umfluido em repouso:

– De um lado da area, o fluido exerce uma forca de compressao Fnormal

perpendicular a area.

– Uma forca de igual modulo e de sentido oposto e exercida pelo fluido nooutro lado da area.

– Para um fluido em repouso, somente essas forcas atuam na area A .

– A pressao e definida da seginte forma:

p = limA→A′

Fnormal

A

onde A′ corresponde ao caso limite mencionado na definicao de densidade.

– Para todas as orientacoes da area A , a pressao e a mesma. Isto e con-sequencia do equilıbrio das forcas que atuam sobre um volume elementarem torno de um ponto em um fluido em reposo. Entretanto, a pressaopode variar de um ponto para outro.

• Unidades: Pa (N/m2), kPa, MPa, bar (105 Pa), atm (1.01325× 105 Pa).

• Pressoes absolutas e pressoes relativas.

1.4 Temperatura

• O conceito de temperatura tem origem nos nossos sentidos de percepcao. Osentido do tato nos permite distinguir objetos quentes de objetos frios.

• Entretanto, usando apenas nossos sentidos somos incapazes de avaliar com pre-cisao esta caracterıstica.

• Para fazer tais avaliacoes foi preciso inventar termometros e escalas de tem-peratura.

1.4.1 Equilıbrio termico

• E difıcil dar uma definicao de temperatura usando conceitos que sejam definidosindependentemente ou que possam ser aceitos como primitivos.

• Entretanto, pode-se entender o conceito de igualdade de temperatura partindodo fato que, quando a temperatura de um objeto varia, outras propriedadesobservaveis desse objeto tambem variam (por exemplo: volume, resistenciaeletrica, etc.)

5


• Consideremos dois blocos de cobre. Suponhamos que nosso sentido do tato nosinforma que um dos blocos esta mais quente que o outro. Se colocamos ambosos blocos em contato mutuo e os isolamos do meio, eles irao interagir de umadeterminada forma que chamaremos de interacao termica.

• Durante a interacao sera observado que o volume do bloco “quente” diminui eo do bloco “frio” aumenta. Depois de um intervalo de tempo, nao mais serapossıvel observar variacoes de volume e, entao, poderemos verificar que ambosos blocos estao igualmente “quentes” ou “frios”.

• De maneira similar poderemos verificar que durante esta interacao a resistenciaeletrica do bloco “quente” diminui enquanto a resistencia eletrica do bloco “frio”aumenta. Eventualmente, cessarao as variacoes da resistencia eletrica dos blo-cos e poderemos notar que ambos os blocos estarao igualmente “quentes” ouigualmente “frios”.

• Quando cessam as variacoes das propriedades observaveis, a interacao termina.Diremos entao que os blocos estao em equilıbrio termico.

• Tais consideracoes nos levam a inferir que os blocos tem uma propriedade fısicaque pode nos informar se eles estao em equilıbrio termico ou nao.

• Esta propriedade e chamada de temperatura e nos podemos postular que quandodois blocos estao em equilıbrio termico as suas temperaturas sao iguais.

• A velocidade com que os blocos se aproximam do equilıbrio termico mutuo, podeser diminuıda separando-os com algum material isolante (borracha, madeira,etc.)

• Entretanto, nenhum material evitara que os blocos interajam ate atingir amesma temperatura.

• Apesar deste fato, podemos idealizar um isolante perfeito capaz de evitar ainteracao termica entre os blocos. Tal isolante idealizado e chamado de paredeadiabatica.

• Quando um sistema realiza um processo sem sofrer interacoes termicas com omeio, dizemos que o processo e adiabatico.

• Um processo que ocorre a temperatura constante e chamado processo isotermico.

• Quando dois corpos estao em equilıbrio termico com um terceiro, eles estaoem equilıbrio termico entre sim. Este e o enunciado da Lei Zero da Termo-dinamica.

1.5 Alvos de Aplicacao da Termodinamica

• Motores automotivos;

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• Instalacoes com turbinas a gas;

• Compressores;

• Usinas termeletricas (que usam combustıvel fossil ou nuclear);

• Sistemas de propulsao de avioes e foguetes;

• Sistemas de combustao em geral;

• Sistemas criogenicos, de separacao de gases e de liquefacao;

• Sistemas de condicionamento de ambientes;

• Sistemas de refrigeracao;

• Sistemas de energias alternativas; etc

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Capıtulo 2

Energia e a Primeira Lei daTermodinamica

• O conceito de energia e fundamental na Termodinamica.

• Nesta aula discutiremos este conceito e deduziremos equacoes que nos permitiraoaplicar o princıpio de conservacao da energia.

• Inicialmente nos limitaremos a sistemas fechados. Posteriormente considerare-mos volumes de controle.

• O conceito de energia nos e bastante familiar. Por ejemplo, ja conhecemos osseguintes aspectos:

– A energia pode ser armazenada nos sistemas em varias formas;

– A energia pode ser transformada de uma forma para outra;

– A energia pode ser transferida de um sistema para outro;

– A quantidade total de energia e conservada durante todas essas transforma-coes e transferencias.

• Estas ideias serao organizadas de forma apropriada para a analise de engenharia.Comecaremos com uma revisao dos conceitos mecanicos de energia e posterior-mente estenderemos estes conceitos para chegar ao conceito termodinamico deenergia.

2.1 Conceitos mecanicos de energia

A Segunda Lei de Newton serve de base para a Mecanica Classica e leva aosconceitos de trabalho, energia cinetica e energia potencial. Estes por sua vez levam aum conceito mais amplo de energia.

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Capıtulo 2. Energia e a Primeira Lei da Termodinamica J. A. Velasquez

2.1.1 Trabalho e energia cinetica

• Consideremos o movimento de uma partıcula de massa m, sob a acao de umaforca resultante ~F contida no plano horizontal e que varia tanto em modulocomo em direcao. Neste caso, a partıcula se movimentara no plano horizontal.A partir da equacao da segunda lei de Newton podemos obter:

1

2m w2

2−

1

2m w2

1=

∫ s2

s1

~F · d~s (2.1)

• O termo 1

2mw2 e chamado energia cinetica (EC).

• A Equacao 2.1 estabelece que o trabalho da forca resultante sobre a partıcula eigual a variacao da sua energia cinetica.

• Quando a partıcula e acelerada pela forca ~F , o trabalho realizado pela forcaresulta em uma tranferencia de energia para a partıcula. Esta energia e arma-zenada na forma de energia cinetica.

• A energia cinetica pode ser avaliada conhecendo-se a massa da partıcula e asua velocidade instantanea em relacao a um sistema de referencia. Consequen-temente, a energia cinetica e uma propriedade da partıcula.

• As unidades de trabalho sao as do produto forca vezes distancia. As unidades deenergia cinetica sao as mesmas que as de trabalho. No SI, a unidade de trabalhoe [N · m], denominada joule [J]. Outras unidades comumente utilizadas sao: kJ,MJ.

2.1.2 Energia potencial gravitacional

• Consideremos agora uma partıcula de massa m movimentando-se sobre a acaode duas forcas — a forca gravitacional e uma outra forca vertical ~R. Para todosos efeitos, ~R pode ser considerada a resultante de todas as forcas que agemsobre a partıcula, excetuando-se a forca gravitacional. A partir da Equacao 2.1podemos obter:

1

2mw2

2 −1

2mw2

1 + m g z2 − m g z1 =

∫ z2

z1

R dz (2.2)

• O termo mgz e a energia potencial gravitacional (EPG).

• As unidades de EPG sao as mesmas que as de EC e de trabalho.

• A EPG esta associada a forca de gravidade, portanto e um atributo de umsistema que inclui tanto a partıcula como a Terra. Entretanto, se consideramosque a forca da gravidade e igual a mg, podemos determinar a EPG, para umdado valor de g , conhecendo apenas a massa e a elevacao do corpo em relacaoa um nıvel de referencia adotado. Com essas consideracoes, a EPG resulta seruma propriedade (extensiva) da partıcula.

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• Neste curso consideraremos somente pequenas variacoes de elevacoes. Assim, aforca gravitacional que atua sobre um corpo sera considerada constante. En-tretanto, o conceito de EPG pode tambem ser formulado de forma a incluir asvariacoes da forca de gravidade com a altura.

• A Equacao 2.2 estabelece que o trabalho de todas as forcas externas que atuamsobre a partıcula, com excecao da forca gravitacional, e igual a soma das va-riacoes de EC e EPG da particula.

• Quando a forca resultante causa o aumento da elevacao da partıcula e/ou a ace-leracao da mesma, o trabalho realizado pela forca resulta em uma transferenciade energia para a partıcula. Esta energia e armazenada na partıcula como ECe/ou EPG.

• Esta interpretacao da Equacao 2.2 introduz a ideia que a energia e uma propri-edade extensiva que se conserva.

• A interpretacao da Equacao 2.2 como uma expressao do princıpio de conservacaoda energia pode ser reforcada considerando-se o caso especial de um corpo sobreo qual atua apenas a forca gravitacional. Neste caso R = 0 e a Equacao 2.2 sereduz a

1

2mw2

1+ mgz1 =

1

2mw2

2+ mgz2 (2.3)

Esta equacao mostra que sob as condicoes consideradas, a soma de EC e EPGpermanece constante.

• A Equacao 2.3 tambem mostra que a energia pode ser transformada de umaforma para outra.

• Ate agora temos discutido sistemas que sofrem a acao de forcas externas que afe-tam a sua velocidade e a sua posicao. Entretanto, os sistemas de nosso interessenormalmente interagem com o meio de formas mais complicadas, apresentandotambem variacoes de outras propriedades.

• Para analisar tais sistemas, os conceitos de EC e EPG nao sao suficientes. Damesma forma, resulta insuficiente o rudimentario princıpio de conservacao deenergia considerado ate aqui.

• Na Termodinamica, o conceito de energia e ampliado de forma a consideraroutras variacoes observadas. Alem disso, o princıpio de conservacao de energiae generalizado para incluir uma grande variedade de formas de interacao dossitemas com as suas vizinhancas.

• Essas generalizacoes sao feitas baseando-se em evidencias experimentais.

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2.2 Transferencia de energia via trabalho

• O trabalho realizado por um sistema ou sobre um sistema, avaliado em termosde forcas e deslocamentos e:

W =

∫ s2

s1

~F · d~s (2.4)

• Entretanto, a Termodinamica trata tambem com fenomenos que nao estao in-cluıdos no escopo da Mecanica. Assim, se faz necessario adotar uma definicaomais abrangente de trabalho:

• Dizemos que uma interacao entre o sistema e o meio e uma interacao de traba-lho se o unico efeito decorrente dessa interacao poderia ter sido a variacao daelevacao de um peso externo ao sistema.

• Observe que o levantamento de um peso e, de fato, uma forca atuando sobreuma distancia. Dessa forma, a definicao termodinamica de trabalho resulta seruma extensao natural do conceito mecanico de trabalho.

• Qualquer interacao de trabalho provoca uma transferencia de energia.

• Na Termodinamica e frequente adotar a seguinte convencao de sinais para asinteracoes de trabalho:

W > 0 −→ transferencia de energia do sistema para o meio.W < 0 −→ transferencia de energia do meio para o sistema.

• Para calcular a integral da Equacao 2.4 e necessario conhecer a forma comoa forca ~F varia durante o deslocamento. Isto indica que W depende dos“detalhes” da interacao sistema–meio. Consequentemente, trabalho nao e umapropriedade.

• Os limites da integral na Equacao 2.4 indicam “desde o estado 1 ate o estado2” e nao podem ser interpretados como os valores do trabalho nesses estados.

• Estas caracterısticas da expressao sub-integral indicam que o diferencial de tra-balho e um diferencial inexato. Para os diferenciais inexatos utilizaremos anotacao δ . Assim:

∫2

1

δW = W

• Em contraste, o diferencial de uma propriedade e exato, para esses casos utili-zaremos a notacao d. Por exemplo:

∫ V2

V1

dV = V2 − V1

11


• Em muitas situacoes estaremos interessados em determinar as taxas de trans-ferencia de energia. A taxa de transferencia de energia via trabalho e chamadade potencia e e representada por W :

W =δW

dt= ~F · ~w

onde ~w e a velocidade no ponto de aplicacao da forca ~F .

• O trabalho durante um intervalo de tempo (de t1 ate t2 ) e:

W =

∫ t2

t1

Wdt =

∫ t2

t1

~F · ~w dt

• A convencao de sinais para W se aplica tambem para W .

• No sistema SI, a unidade de potencia e o watt [W] (1 W = 1 J/s). Frequente-mente usaremos tambem kW, MW, etc.

• Trabalho pode ser feito por um sistema ou sobre um sistema de varias formasdiferentes. A seguir consideraremos alguns exemplos de interacoes de trabalho.

2.2.1 Trabalho de expansao ou de compressao de um fluido

• Consideremos um dispositivo pistao–cilindro contendo um gas que se expande.

• Durante a expansao o gas exerce uma forca normal sobre o pistao. Se a pressaona interface entre o gas e o pistao e pf , a forca sera F = pf A, onde A e a areada face do pistao.

• O trabalho realizado pelo sistema quando o pistao se desloca uma distancia dxresulta:

δW = pf A dx = pf dV

• Como dV e positivo quando o volume aumenta, o trabalho na fronteira movele positivo quando o gas se expande. Este sinal esta se acordo com a convencaoadotada.

• Para uma variacao de volume de V1 a V2, o trabalho durante o processo deexpansao ou compressao e obtido integrando a equacao acima:

W =

∫ V2

V1

p dV (2.5)

• Embora deduzida para o caso de um gas, esta equacao e valida para qualquersistema onde a pressao na fronteira movel seja uniforme.

12


Trabalho de expansao/compressao em processos de quase-equilıbrio.

• A Equacao 2.5 pode ser utilizada para avaliar o trabalho durante um processode quase-equilıbrio de expansao ou compressao. Entretanto, em tais processos,a pressao na fronteira e igual a pressao em qualquer outro ponto do sistema.Assim, podemos deixar de usar o sub-ındice f (de pressao na fronteira) e escreverapenas p (a pressao em todo o sistema).

• Para integrar a Equacao 2.5 e necessario ter uma relacao entre p e V . Estarelacao pode ser grafica ou analıtica. A Figura 2.1 mostra um exemplo em quetemos uma relacao grafica entre p e V .

• A integral da Equacao 2.5 pode ser visualizada como a area embaixo da linha querepresenta o processo de quase-equilıbrio, conforme e mostrado na Figura 2.2.

• Esta interpretacao nos permite mostrar facilmente que o trabalho nao e umapropriedade, pois se alteramos o processo a area tambem sera alterada.

• A relacao entre p e V pode tambem ser conhecida na forma de uma expressaomatematica (por exemplo, resultante do ajuste de dados experimentais).

• A experiencia mostra que processos reais de expansao ou de compressao fre-quentemente sao bem representados por expressoes do tipo p V n = const, ondeo valor do expoente n e constante para um processo particular.

• Os processos de quase-equilıbrio que obedecem esta expressao sao chamados deprocessos politropicos.

EXEMPLOUm gas contido no interior de um dispositivo pistao–cilindro sofre um processo po-litropico de expansao. No estado inicial a pressao e 3 bars e o volume 0,1 m3. Ovolume final e 0,2 m3. Determine o trabalho realizado, em kJ, para os seguintescasos: (a) n = 1, 5 (b) n = 1, 0 (c) n = 0.

SOLUCAO

Dados: Processo politropico de um gas (p V n = const).p1 = 3 bars, V1 = 0, 1 m3, V2 = 0, 2 m3.

Objetivo: Determinar W para (a) n = 1, 5, (b) n = 1, 0 (c) n = 0.

Representacao esquematica: Diagrama p–V .

Hipoteses:

• O gas e um sistema fechado;

• Trabalho e realizado somente na fronteira movel;

• O processo e politropico.

13


Curva ajustada

p

Dados experimentais

V

Figura 2.1: Relacao grafica entre p e V :

p

VV V1 dV

p

p

1

2

1

2

2

Figura 2.2: Interpretacao geometrica do trabalho de expansao ou compressao.

14


Analise:

(a) O trabalho de expansao sera determinado usando a Eq. 2.5 e a relacao p–Vpara o processo politropico:

W =

∫ V2

V1

p dV ; p =const

V n

Combinando estas duas equacoes resulta:

W = const

∫ V2

V1

dV

V n= const

(V 1−n

2− V 1−n

1

1 − n

)

A constante pode ser avaliada nos estados inicial e final:

const = p1Vn1

= p2Vn2

Dessa forma obtemos

W =p2V2 − p1V1

1 − n

esta expressao e valida para todos os valores de n exceto n = 1, 0.

Para determinar o valor W e necessario conhecer p2:

p2Vn2 = p1V

n1 =⇒ p2 = p1

(V1

V2

)n

Substituindo valores numericos, resulta:

p2 = 3 bars

(0, 1

0, 2

)1,5

= 1, 06 bars

W =(1, 06 bars)(0, 2 m3) − (3)(0, 1)

1 − 1, 5

(105 Pa

1 bar

) (1 kJ

103 J

)

W = +17, 6 kJ

(b) Para n = 1, 0 a relacao p–V e p = const/V . O trabalho e:

W = const

∫ V2

V1

dV

V= const ln

V1

V2

= p1 V1 lnV2

V1

Substituindo valores resulta:

W = (3 bars)(0, 1 m3)

(105 Pa

1 bar

) (1 kJ

103 J

)

ln0, 2

0, 1

W = +20, 79 kJ

(c) Para n = 0 a relacao p–V e p =const. Assim, a integral resulta W =p(V2 − V1) que e um caso particular da expressao encontrada no item (a).Substituindo valores, resulta W = +30 kJ.

15


x1

F

x

Figura 2.3: Tracao de uma barra solida.

2.2.2 Alongamento de uma barra solida

• Consideremos uma barra com um extremo engastado em uma parede e umaforca de tracao aplicada no extremo livre (Figura 2.3).

• A forca pode ser expressa como F = σ A , onde σ e a tensao normal na barra.

• O trabalho realizado quando o comprimento da barra aumenta em dx e δW =−σ A dx . Onde o sinal negativo indica que o trabalho e realizado sobre a barraquando dx e positivo.

• O trabalho total para uma variacao de comprimento de x1 a x2 e

W =

∫ x2

x1

σ A dx

2.2.3 Extensao de uma pelıcula lıquida

• Considere uma pelıcula lıquida suspensa em um quadro de arame que apresentaum lado movel (Figura 2.4).

• As duas faces da pelıcula sustemtam a fina camada interna de lıquido pelo efeitode tensao superficial. Este efeito surge como resultado de forcas de coesao entreas moleculas que se encontram nas interfaces ar–lıquido.

• Se consideramos duas retas paralelas sobre a superfıcie da pelıcula, observaremosque a forca de tensao superficial age no sentido perpendicular as retas, opondo-seao afastamento delas. A forca exercida por unidade de comprimento e chamadade tensao superficial (τ , [N/m])

• A forca total que se opoe ao deslocamento do lado movel do quadro de aramee:

F = 2 l τ

16


xdx

FL

Figura 2.4: Extensao de uma pelıcula lıquida.

• Para um deslocamento dx , o trabalho e:

δW = −2 l τ dx = −τ dA

• Para um incremento de area de A1 a A2 , o trabalho e:

W = −

∫ A2

A1

τ dA

2.2.4 Potencia transmitida por um eixo

• Consideremos um eixo girando com velocidade angular ω e exercendo um torqueT sobre as suas vizinhancas.

• O torque pode ser expresso em termos da forca tangencial Fτ e do raio do eixoR

T = Fτ R

• A potencia transmitida e igual a forca tangencial vezes a velocidade perifericaw = ω · R

W = Fτ w =T

RR ω = T ω

2.2.5 Trabalho eletrico

• Considere um sistema que consiste de uma bateria que alimenta um circuitoexterno.

• Se faz trabalho sobre o sistema sempre que um fluxo de electrons (correnteeletrica — i) ingressa no sistema atraves da fronteira, em resposta a uma dife-renca de potencial E .

17


• Para mostrar que este tipo de interacao e trabalho, utilizaremos a definicaotermodinamica de trabalho — seja qual for o circuito alimentado pela bateria,a corrente eletrica que atravessa a fronteira poderia estar sendo fornecida a ummotor eletrico que levanta uma massa externa ao sistema.

• A potencia eletrica resulta:W = ±E i

onde o sinal deve ser escolhido apropriadamente para atender a convencao desinais adotada.

• Como i = dZ/dt, o diferencial de trabalho e:

δW = ±E dZ

onde dZ e a quantidade de carga eletrica que passa pela fronteira.

• Quando a potencia e medida em watts [W] e a unidade de corrente e o ampere[A] (uma unidade SI), a unidade de potencial eletrico e o volt [V], definido como1 watt/1 ampere.

2.2.6 Trabalho de polarizacao e magnetizacao

• Estes tipos de interacoes de trabalho podem ocorrer em sistemas que se encon-tram no meio de campos eletricos ou magneticos, respectivamente.

• Do ponto de vista microscopico, os dipolos eletricos dos materiais dieletricosresistem a rotacao. Assim sendo, trabalho e realizado quando estes dipolos saoalinhados em um campo eletrico.

• Analogamente, dipolos magneticos tambem resistem a rotacao e, quando sealtera a magnetizacao de certos materiais, se realiza trabalho sobre eles.

• Polarizacao e magnetizacao originam variacoes macroscopicas do momento di-polar total do sistema quando o alinhamento das partıculas que compoem omaterial e afetado.

• Nesses casos, o trabalho esta associado as forcas que atuam em todo o volumedo sistema. Estas forcas sao chamadas forcas de campo ou de corpo.

• Em contraste, as forcas que atuam somente nas fronteiras dos sistemas saochamadas forcas de superfıcie.

2.3 Energia de um sistema

Ate aqui ja vimos que a EC e a EPG de um sistema podem ser alteradas atravesdo trabalho das forcas externas. Alem disso, a definicao de trabalho foi ampliada paraincluir diferentes tipos de interacoes entre o sistema e o meio. Agora utilizaremos o

18


conceito ampliado de trabalho para obter um conceito mais geral de energia. Paraisto, a Primeira Lei da Termodinamica tera um papel fundamental. Esta lei fısica eobtida generalizando as observacoes experimentais.

2.3.1 A Primeira Lei da Termodinamica

• Para introduzir a Primeira Lei da Termodinamica vamos considerar inicial-mente, dentre todos os processos que um sistema fechado pode sofrer, aque-les que envolvem apenas interacoes de trabalho. Tais processos sao chamadosadiabaticos.

• Sao muitos os processos adiabaticos que podem ocorrer entre dois dados estadosde equilıbrio.

• Observacoes experimentais permitem concluir que o trabalho lıquido realizadopor ou sobre um sistema sera o mesmo para todos os processos adiabaticos quepoderiam ocorrer entre dois dados estados de equilıbrio.

• Particularmente, esta conclusao foi confirmada pelos experimentos que JamesPrescott Joule realizou e publicou nos inıcios do seculo XIX.

• Este princıpio e chamado de Primeira Lei da Termodinamica, e e valido para to-dos os tipos de trabalho adiabatico, independentemente da natureza do sistemafechado considerado.

2.3.2 Definicao de variacao de energia

• Uma vez que o trabalho lıquido e o mesmo para todos os processos adiabaticosque um sistema fechado pode sofrer entre dois estados de equilıbrio, pode-seconcluir que este trabalho lıquido define a variacao de alguma propriedade dosistema.

• Esta propriedade e chamada energia e simbolizada por E:

E2 − E1 = −Wad

• Como apenas as variacoes de energia tem significado, pode-se atribuir um valorarbitrario a E1 ou a energia em qualquer outro estado.

• A equacao acima e a expressao do princıpio de conservacao de energia para pro-cessos adiabaticos. As Equacoes 2.1 e 2.2 sao casos particulares desta expressao.

2.3.3 Energia interna

• Quando uma mola e comprimida, energia e armazenada na mola.

19


• Quando uma bateria e carregada, a energia armazenada dentro da bateria au-menta.

• Quando um gas contido em um recipiente fechado e termicamente isolado eagitado por uma ventoinha, a energia do gas aumenta.

• Nesses exemplos a variacao de energia resulta de variacoes de EC ou EPG dosistema.

• As variacoes de energia que nao sao variacoes de EC nem de EPG, sao conside-radas variacoes de energia interna.

• A EC esta associada ao movimento do sistema como um todo, em relacao a umsistema de coordenadas externo enquanto que a EPG esta associada a posicaodo sistema como um todo, em relacao ao campo gravitacional terrestre.

• A energia interna resume todas as outras formas macroscopicas de energia. Damesma forma como EC e EPG, a energia interna e uma propriedade extensiva esera simbolizada por U . Para a energia interna especıfica (propriedade inten-siva) usaremos u (energia interna por unidade de massa) ou u (energia internapor mol ou kmol).

• A variacao total de energia e:

(E2 − E1)︸︷︷︸

∆E

= (EC2 − EC1)︸︷︷︸

∆EC

+ (EPG2 − EPG1︸︷︷︸

∆EPG

+ (U2 − U1)︸︷︷︸

∆U

• Ao reconhecermos que a energia interna e uma forma macroscopica de energiatorna-se possıvel desvincular o conceito termodinamico de energia dos conceitospuramente mecanicos de energia.

• A energia interna e a manifestacao macrocopica das seguintes formas microscopi-cas de energia:

– A energia cinetica de translacao das moleculas;

– A energia cinetica de rotacao das moleculas;

– A energia cinetica associada a vibracao das moleculas;

– A energia armazenada nos enlaces quımicos entre os atomos;

– A energia associada aos estados orbitais dos atomos, etc.

2.3.4 O princıpio de conservacao de energia para sistemasfechados

• Ate agora temos estudado quantitativamente somente interacoes entre o sis-tema e o meio, que podem ser classificadas como trabalho. Entretanto, existeminteracoes que nao podem ser consideradas trabalho.

20


• E o caso das insteracoes termica ou interacoes de calor. Os processos envolvidosnessas interacoes sao processos nao-adiabaticos.

• Vamos deduzir meios que nos permitirao analisar quantitativamente os processosnao-adiabaticos usando o conceito de energia.

• Consideremos um processo adiabatico e outros dois nao-adiabaticos (A e B)entre os estados inicial (1) e final (2) de um sistema fechado.

• Por observacoes experimentais sabe-se que os trabalhos dos processos nao-adiabaticos serao diferentes do trabalho adiabatico e, ainda, poderao ser di-ferentes entre si. Assim,

WA 6= Wad WB 6= Wad WA 6= WB

• Como os estados inicial e final sao os mesmos para os tres processos, a variacaode qualquer propriedade e a mesma para os tres processos, particularmente avariacao de energia. Assim temos que

E2 − E1 = −Wad E2 − E1 6= −WA E2 − E1 6= −WB

• Um aspecto fundamental da energia e que ela e conservada. Assim, para quea variacao de energia do sistema seja a mesma nos tres casos, e necessario quea transferencia lıquida de energia tenha sido a mesma. Daqui conclui-se que ainteracao de calor envolve transferencia de energia.

• A quantidade de energia ( Q ) transferida para um sistema por meios outrosque o trabalho deve ser igual a soma da variacao de energia do sistema mais aenergia retirada do sistema via trabalho. Isto e Q = (E2 − E1) + W ou

E2 − E1 = Q − W (2.6)

• Esta equacao estabelece que a variacao de energia de um sistema fechado e iguala energia lıquida total transferida para o sistema (atraves das interacoes de calore de trabalho).

2.4 Transferencia de energia via calor

• A quantidade Q representa a energia transferida ao sistema por meios outrosque o trabalho.

• A partir de observacoes experimentais sabe-se que tal transferencia de energiaocorre somente como resultado de uma diferenca de temperaturas entre o sis-tema e o meio. Alias, ocorre no sentido em que a temperatura diminui. Estaforma de transferir energia e chamada transferencia de energia via calor ouapenas calor.

21


• Utilizaremos a seguinte convencao de sinais:

Q > 0 −→ a energia e fornecida ao sistema.Q < 0 −→ a energia e retirada do sistema.

• O valor da transferencia de energia via calor depende do processo e nao apenasdos estados inicial e final. Assim, calor nao e uma propriedade:

Q =

∫2

1

δQ

• A taxa lıquida de transferencia de calor e Q:

Q =

∫ t2

t1

Q dt

• Em alguns casos e conveniente usar o fluxo de calor q, que e a taxa de trans-ferencia de calor por unidade de area na fronteira do sistema. A taxa de trans-ferencia de calor esta relacionada com o fluxo de calor pela seguinte expressao:

Q =

∫

A

q dA

onde A e a area na fronteira do sistema onde ocorre transferencia de calor.

• As unidades de Q e Q sao as mesmas que as de W e W respectivamente. Asunidades de q sao as de taxa de transferencia de calor por unidade de area (noSI, W/m2).

2.4.1 Modos de transferencia de calor

• Existem dois mecanismos basicos de transferencia de calor: conducao e radiacao.Alem disso, existem relacoes empıricas que permitem avaliar a transferencia decalor durante determinados mecanismos combinados de interacao.

• Conducao pode ocorrer em solidos, lıquidos e gases. Consiste na transferenciade energia das partıculas mais energizadas as partıculas vizinhas menos energi-zadas. A transferencia ocorre por meio da interacao direta entre as partıculaselementares.

A taxa de transferencia de calor por conducao Q e determinada pela lei deFourier:

Q∣∣∣x

= −k AdT

dx

∣∣∣∣x

onde k e a condutividade termica do material (propriedade).

22


• A radiacao termica e emitida pela materia como resultado de variacoes na con-figuracao eletronico-orbital dos atomos e moleculas. Neste caso, a energia etransportada por ondas eletromagneticas.

A taxa de emissao de energia Qe e quantificada pela lei de Stefan–Boltzmann:

Qe = ε σ A T 4

e

onde ε e a emissividade da superfıcie, σ e a constante de Stefan–Boltzmann(5,669 × 10−8 W/m2 · K4) e Te e a temperatura da superfıcie emissora.

• A transferencia de calor entre uma superfıcie solida e um fluido, e um fenomenode interesse pratico chamado conveccao. Neste caso, a energia e transferida porconducao da superfıcie solida as partıculas do fluido que entram em contatocom ela, depois, esta energia e transportada pelo efeito combinado de conducaono fluido e o movimento das partıculas do fluido.

A taxa de transferencia de calor por conveccao Q e determinada pela lei deNewton de transferencia de calor:

Q = h A (Ts − Tf,∞)

onde h e o coeficiente de transferencia de calor (nao e uma propriedade).

2.5 Balanco de energia para sistemas fechados

• A Equacao 2.6 pode ser “traduzida” da seguinte forma:

Variacao da ener-gia do sistema fe-chado durante oprocesso.

=

Energia lıquida trans-ferida para o sistemavia calor, durante oprocesso.

−

Energia lıquida reti-rada do sistema viatrabalho, durante oprocesso.

• Esta equacao expressa uma conta de balanco.

• O termo lıquido utilizado na expressao acima deve ser cuidadosamente inter-pretado.

2.5.1 Formas da equacao de balanco de energia

• Forma diferencial:dE = δQ − δW

• Em termos de taxas:dE

dt= Q − W

23


Taxa de variacao daenergia do sistema fe-chado, no instante t.

=Taxa lıquida de entradade energia ao sistemavia calor, em t.

−Taxa lıquida de saıdade energia do sistema,via trabalho, em t.

Nesta equacao:dE

dt=

dEC

dt+

dEPG

dt+

dU

dt

• E importante ser cuidadoso com os sinais e as unidades. Alem disso, deve-sedistinguir claramente entre taxas de variacao e as proprias variacoes.

• Devemos ter presente que a localizacao da fronteira do sistema pode determinarse uma dada transferencia de energia deve ser tratada como trabalho ou calor.

2.6 Analise energetica de ciclos

• Muitas aplicacoes praticas que envolvem geracao de potencia, propulsao deveıculos e refrigeracao, requerem de conhecimentos sobre ciclos termodinamicos.

• O balanco de energia para um sistema que sofre um ciclo e:

∆Eciclo = Qciclo − Wciclo

• No final do ciclo, o estado do sistema e o mesmo que no inıcio. Assim,

Qciclo = Wciclo

• Esta equacao foi deduzida independentemente da sequencia de processos quecompoem o ciclo e da natureza da substancia que compoe o sistema.

2.6.1 Ciclos motores

• A Figura 2.5 mostra esquematicamente um ciclo motor.

• O balanco de energia resulta em

|Wciclo| = |Qq| − |Qf |

• O desempenho de um ciclo motor e medido atraves da eficiencia termica ourendimento termico η. Este parametro avalia em que medida o calor fornecidoao sistema e convertido em trabalho:

η =|Wciclo|

|Qq|=

|Qq| − |Qf |

|Qq|= 1 −

|Qf |

|Qq|

• A eficiencia termica dos ciclos reais e sempre menor que 1.

24


Q

Q

SistemaWciclo

q

f

Corpo quente

Corpo frio

Figura 2.5: Ciclo motor.

2.6.2 Ciclos de refrigeracao e de bombeamento de calor

• A Figura 2.6 mostra esquematicamente um ciclo de que poderia ser tanto derefrigeracao como de bombeamento de calor.

• O balanco de energia resulta em

|Wciclo| = |Qq| − |Qf |

• O objetivo de um ciclo de refrigeracao e manter a temperatura de um corpo,abaixo da temperatura ambiente.

• O objetivo de um ciclo de bombeamento de calor e manter a temperatura deum corpo, acima da temperatura ambiente.

• O desempenho dos ciclos de refrigeracao e de bombeamento de calor e medidocom os coeficientes de desempenho β e γ respectivamente. Estes coeficientesexpressam a relacao entre os efeitos de transferencia de calor desejados e orecurso consumido, representado pelo trabalho, para realizar estes efeitos:

β =|Qf |

|Wciclo|=

|Qf |

|Qq| − |Qf |

γ =|Qq|

|Wciclo|=

|Qq|

|Qq| − |Qf |

25


Q

Q

SistemaWciclo

q

f

Corpo quente

Corpo frio

Figura 2.6: Ciclo de refrigeracao e de bombeamento de calor.

26

Capıtulo 3

Propriedades Termodinamicas

3.1 O princıpio de estado

• E uma regra empırica que permite determinar o numero de propriedades inde-pendentes (N) que sao necessarias para especificar o estado de um sistema.

• Para sistemas fechados, de composicao fixa, nao submetidos a movimentos dosistema como um todo e nos quais os efeitos do campo gravitacional da Terranao sao relevantes, existe uma propriedade independente para cada forma dealterar a energia do sistema atraves de processos de quase-equilıbrio.

• A energia de um sistema fechado pode ser alterada atraves de calor ou atravesde trabalho. Assim, uma propriedade independente pode ser associada a trans-ferencia de calor e outra a cada forma de alterar a energia do sistema via tra-balho, em processos de quase-equilıbrio.

• Assim, o numero de propriedades independentes e

N = 1 + n

onde n e o numero de formas de interacao de trabalho que permitiriam alterara energia do sistema durante processos de quase-equilıbrio.

• O termo sistema simples se utiliza nos casos quando n = 1. Isto e, quandoexiste uma unica forma de trabalho que permite alterar a energia do sistemadurante processos de quase-equilıbrio. Nesse caso, para especificar o estado deum sistema simples sao necessarias duas propriedades independentes.

• Para as aplicacoes de Engenharia sao particularmente importantes os sistemassimples-compressıveis. Nesses sistemas, os processos de quase-equilıbrio podemincluir uma unica forma de transferir energia via trabalho — trabalho de ex-pansao ou de compressao. Como sabemos, este trabalho e quantificado pelaexpressao:

∫p dV .

27

Capıtulo 3. Propriedades Termodinamicas J. A. Velasquez

• Quando referido a um sistema de massa unitaria, o princıpio de estado pode serinterpretado em termos de propriedades intensivas. Por exemplo, se T e v saoas propriedades independentes, teriamos p = p(T, v) , u = u(T, v) , etc.

• Por enquanto, estaremos interessados em estudar sistemas simples-compressıveisformados por substancias puras.

3.2 A relacao p − v − T

A partir de observacoes experimentais constatou-se que T e v podem sem-pre ser tratados como variaveis independentes e, entao, para um sistema simples-comressıvel p pode ser determinada a partir destas propriedades

p = p(T, v)

A equacao acima representa uma superfıcie tridimensional que pode ser obtida apartir de experimentos. O formato desta superfıcie e apresentado nas Figuras 3.1 e3.2.

3.2.1 A superfıcie p − v − T

• Para substancias que se expandem ao solidificar-se, a superfıcie p − v − T temo formato mostrado na Figura 3.1.

• Para o caso de substancias que se contraem ao solidificar-se, a superfıcie p−v−Ttem o formato mostrado na Figura 3.2.

• Nas regioes monofasicas (S, L, V) temos os seguintes pares de propriedadesindependentes: (T, v) , (p, v) , (p, T ).

• Nas regioes bifasicas (S-L, L-V, S-V) temos os seguintes pares de propriedadesindependentes: (T, v) , (p, v) .

• Ao longo da linha tripla podem coexistir as tres fases.

• Estado de saturacao =⇒ onde comeca a mudanca de fase.

• Domo de vapor: regiao bifasica lıquido-vapor.

• Linhas de lıquido saturado e vapor saturado. Ponto crıtico.

• A temperatura crıtica Tc de uma substancia e a maxima temperatura na qualpodem coexistir em equilıbrio as fases lıquida e vapor. Pressao crıtica pc .Volume especıfico crıtico vc .

28


Figura 3.1: A superfıcie p − v − T para a agua.

29


Figura 3.2: A superfıcie p − v − T para os metais.

30


Figura 3.3: Projecao da superfıcie p − v − T sobre o plano p, T .

3.2.2 Projecoes da superfıcie p − v − T

Projecao no plano p − T : A Figura 3.3 mostra a projecao da superfıcie p − v − Tno plano p, T (diagrama de fases).

• As regioes bifasicas se reduzem a linhas;

• A linha tripla se reduz a um ponto — o ponto triplo;

• Notar a diferenca de inclinacao da linha S-L para as substancias que ex-pandem ao solidificar e para as que contraem ao solidificar.

Projecao no plano p − v: A Figura 3.4 mostra a projecao da superfıcie p − v − Tno plano p, v. Note o formato das linhas de temperatura constante.

3.2.3 Mudanca de fase

• Consideremos um sistema fechado formado por uma massa unitaria de agua,inicialmente a 20◦C e 1,014 bars (fase lıquida), contida em um dispositivo pistao-cilindro, conforme mostrado na Figura 3.5.

• A Figura 3.6 mostra o processo de mudanca de fase a pressao constante.

• Estado l =⇒ 20◦C e 1,014 bars.

31


Figura 3.4: Projecao da superfıcie p − v − T sobre o plano p, v.

Figura 3.5: Processo de mudanca de fase a pressao constante.

32


Figura 3.6: Diagrama T − v do processo de mudanca de fase a pressao constante.

• Fornecimento de calor a pressao constante ate o estado f . Ponto f =⇒ lıquidosaturado.

• Estados entre l e f =⇒ lıquido sub-resfriado ou lıquido comprimido.

• Fornecimento adicional de calor a partir do estado f =⇒ formacao de vapor semvariacao de T e com consideravel aumento de v (mistura de lıquido saturadocom vapor saturado).

• Evaporacao total =⇒ estado g (vapor saturado).

• As misturas bifasicas lıquido-vapor sao distinguidas umas das outras pelo tıtulox — uma propriedade intensiva.

x =mvapor

mtotal

=mvapor

mliq + mvapor

• Quando x = 0 =⇒ lıquido saturado.Quando x = 1 =⇒ vapor saturado.

• Embora definido como uma fracao, frequentemente o tıtulo e apresentado comoum valor percentual.

• Fornecimento de calor alem do ponto g =⇒ vapor superaquecido.

• Ao repetir o experimento a 10 MPa observa-se que neste caso, a temperaturade formacao de vapor e maior e a variacao do volume de lıquido para vapor emenor.

33


• Repetir o experimento na pressao crıtica =⇒ neste caso nao ocorre mudanca defase de lıquido para vapor. Em todos os estados havera sempre uma unica fase.

• Quando a pressao ou a temperatura estao acima dos valores crıticos, os termoslıquido e vapor nao mais fazem sentido. Nesse caso, o termo fluido e maisapropriado.

3.2.4 Propriedades de uma mistura lıquido-vapor

• As propriedades de uma mistura lıquido vapor podem ser determinadas seguindoo raciocınio do exemplo apresentado a seguir, onde e considerado o caso dovolume especıfico:

V = Vl + Vv

v =V

m=

Vl

m+

Vv

m= vl

ml

m+ vv

mv

m

v = vl (1 − x) + vv x = vl + (vv − vl) x

• O incremento de volume vv − vl e denotado por vlv .

• A Figura 3.7 ilustra o procedimento de calculo do volume especıfico de umamistura lıquido-vapor.

Figura 3.7: Volume especıfico de uma mistura lıquido-vapor.

34


3.3 Definindo mais algumas propriedades

3.3.1 A energia interna especıfica e a entalpia especıfica

• Nas analises termodinamicas e frequente encontrar a associacao de propriedades(U + p V ) . Por isto, achou-se conveniente dar um nome e atribuir um sımbolopara esta associacao de propriedades — entalpia, H. Assim, por definicao

H = U + p V

• A entalpia especıfica por unidade de massa e: h = u + p v . Por unidade molar:h = u + p v .

• As unidades de entalpia sao as mesmas que as de energia.

• Para uma mistura bifasica lıquido-vapor,

u = (1 − x) ul + x uv = ul + x (uv − ul)

h = (1 − x) hl + x hv = hl + x (hv − hl)

• Exemplo: Determinar a entalpia especıfica para a agua com as seguintes pro-priedades: T = 82◦ C e u = 2000 kJ/kg.

Estados de referencia e valores de referencia:

• Quando utilizamos a equacao de balanco de energia, nos interessa conheceras variacoes de U , de EC e de EPG e nao necessariamente os valores daenergia em cada estado. Isto nos permite atribuir valores arbitrarios a ue h em um estado qualquer a ser adotado como referencia e, entao, osvalores das propriedades em outros estados serao avaliados em relacao aestes valores arbitrados.

• Este procedimento e correto quando os calculos envolvem somente dife-rencas de energia para a mesma substancia. Nesse caso, os valores arbitra-dos se cancelam e nao influenciam o valor da variacao de energia.

• O estado de referencia para a agua no programa EES e o de lıquido saturadoa 0,01◦C. Para esse estado adota-se u = 0.

3.3.2 Os calores especıficos cv e cp

• As propriedades intensivas cv e cp sao definidas da seguinte forma:

cv =

(∂u

∂T

)

v

cv =

(∂u

∂T

)

v

cp =

(∂h

∂T

)

p

cp =

(∂h

∂T

)

p

35


• Existem metodos experimentais que permitem determinar cv e cp.

• A propriedade k, chamada relacao de calores especıficos, e definida da seguinteforma

k =cp

cv

• As propriedades cv e cp sao chamadas de calores especıficos porque sob deter-minadas condicoes elas relacionam a variacao de temperatura com a energiatransferida via calor.

• Em geral, cv e cp sao funcoes de T e p.

• No limite, quando p tende a zero, cp cresce monotonicamente com a tempera-tura.

3.4 Avaliacao aproximada das propriedades de lı-

quidos e solidos

3.4.1 Aproximacao para lıquidos comprimidos

• Para uma dada temperatura a energia interna especıfica u e o volume especıficov dos lıquidos comprimidos variam muito pouco com a pressao. Assim, pode-seadotar a seguinte aproximacao:

v(T, p) ≈ vl(T )

u(T, p) ≈ ul(T )

• Com esta aproximacao, a entalpia resulta

h(T, p) ≈ ul(T ) + p vl(T )

h(T, p) ≈ hl(T ) + vl(T ) [p − psat(T )]

• Quando a contribuicao do ultimo termo da equacao acima for desprezıvel, pode-se usar

h(T, p) ≈ hl(T )

3.4.2 O modelo de substancia incompressıvel

• Existem regioes onde v varia pouco e u varia principalmente com a temperatura.

• Este comportamento e observado em lıquidos e em solidos.

• Como u = u(T ) =⇒ cv(T ) = du/dT (incompressıvel).

• No caso da entalpia: h = h(T, p) = u(T ) + p v (incompressıvel).

36


• Para as substancias incompressıveis:

cp(T ) =

(∂h

∂T

)

p

= cv(T ) = c(T )

• Variacao de u e h para substancias incompressıveis:

u2 − u1 =

∫ T2

T1

c(T ) dT

h2 − h1 =

∫ T2

T1

c(T ) dT + v (p2 − p1)

3.5 Avaliacao aproximada das propriedades de um

gas

3.5.1 A constante universal dos gases

• Consideremos um dispositivo pistao-cilindro contendo um gas que sofre um pro-cesso isotermico de quase-equilıbrio. A partir de experimentos e possıvel cons-truir um grafico de pv/T em funcao da pressao p ( v representa o volumeespecıfico molar).

• A Figura 3.8 mostra um exemplo de um grafico desses.

p

pv/T−

T

T

T1

2

3

Figura 3.8: Definicao da constante universal dos gases.

37


• Quando extrapolamos as linhas de temperatura constante para p → 0 , obtem-se o mesmo valor limite R, qualquer que seja a temperatura durante o processo.Assim,

limp→0

p v

T= R = 8, 314

kJ

kmol-K(3.1)

• Se o experimento fosse repetido utilizando um outro gas, seria encontrado omesmo valor limite (para qualquer temperatura). Por isso, o valor R e chamadode constante universal dos gases.

3.5.2 O fator de compressibilidade

• A quantidade adimensional pv/RT e chamada fator de compressibilidade Z :

Z =p v

R T

• Como v = M v , onde M e o peso atomico ou molecular do gas, o fator decompressibilidade Z pode alternativamente ser expresso por

Z =p v

R T

onde R = R/M e uma constante para o gas considerado. As unidades de Rsao kJ/kg-K.

• Em termos de Z , a Equacao 3.1 resulta:

limp→0

Z = 1

3.5.3 O diagrama generalizado de compressibilidade

• Quando se constroem diagramas Z − p para varias substancias observa-se queexiste semelhanca qualitativa entre todos os diagramas.

• Quando as coordenadas sao modificadas convenientemente obtem-se semelhancaquantitativa entre os diagramas construıdos para todos os gases. Esta carac-terıstica dos gases e chamada princıpio dos estados correspondentes.

• A semelhanca quantitativa e conseguida quando Z e expresso em funcao dapressao reduzida pR e da temperatura reduzida TR , definidas da seguinte forma:

pR =p

pc

TR =T

Tc

• O diagrama generalizado de compressibilidade representa uma aproximacao. Oerro maximo nao excede 5% sendo que frequentemente estes erros sao muitomenores.

38


Figura 3.9: O diagrama generalizado de compressibilidade.

39


• Quando dispomos de tabelas de propriedades especıficas para uma substanciasdevemos dar preferencia ao uso delas e nao substituı-las pelo diagrama genera-lizado de compressibilidade.

3.5.4 O modelo de gas ideal

• No diagrama generalizado de compressibilidade pode-se observar que existemestados onde Z esta proximo de 1. Por exemplo, para pR ≤ 0, 05 , para TR ≥15 , na regiao onde 2 ≤ TR ≤ 3 e pR ≤ 1 , etc.

• Nesses casos, a relacao p − v − T resultante e chamada equacao de estado dogas ideal.

Z =p v

R T= 1

p v = R T

p V = m R T

p V = n R T

p v = R T

• Para qualquer gas cuja equacao de estado e exatamente p v = R T , a energiainterna especıfica depende somente da temperatura.

• Nesse caso, a entalpia especıfica tambem resulta ser uma funcao apenas datemperatura.

• Em resumo, o modelo de gas ideal implica:

p v = R T

u = u(T )

h = h(T )

• Para verificar se um gas pode ser modelado como gas ideal ou nao, deve-seobservar se a aproximacao Z = 1 pode ser aplicada em todos os estados deinteresse.

u , h , cv e cp para gases ideais

• Como para um gas ideal u = u(T ) e h = h(T ) , pode-se escrever:

cv(T ) =du

dT(gas ideal)

cp(T ) =dh

dT(gas ideal)

40


u2 − u1 =

∫ T2

T1

cv(T ) dT (gas ideal)

h2 − h1 =

∫ T2

T1

cp(T ) dT (gas ideal)

• Uma relacao importante e

dh

dT=

du

dT+ R (gas ideal)

cp(T ) = cv(T ) + R (gas ideal)

• A relacao de calores especıficos tambem e uma funcao que depende apenas datemperatura k = cp(T )/cv(T ) (gas ideal).

• Outras relacoes importantes:

cp(T ) =k R

k − 1(gas ideal)

cv(T ) =R

k − 1(gas ideal)

• Expressoes similares podem ser obtidas para os calores especıficos na base molar.Nesse caso R deve ser substituıda por R .

• A Figura 3.10 mostra a variacao de cp/R para varios gases, no limite quandop → 0 (gases ideais).

A hipotese de calor especıfico constante

• Quando cp e cv sao constantes, pode-se escrever:

u(T2) − u(T1) = cv (T2 − T1)

h(T2) − h(T1) = cp (T2 − T1)

• Dada a simplicidade destas equacoes, elas sao frequentemente utilizadas.

• Os valores de cp e cv sao os valores medios durante o processo. Alternativa-mente podem ser os valores correspondentes a temperatura media do processo.

41


Figura 3.10: Cp em funcao da temperatura, para p → 0 .

42

Capıtulo 4

Analise Energetica de Volumes deControle

4.1 Conservacao da massa para um V.C.

4.1.1 Equacao de balanco de massa para um V.C.

• A Figura 4.1 mostra uma massa de identidade fixa que nos tempos t e t + ∆tocupa diferentes regioes no espaco:

• A massa no tempo t e:m = mvc(t) + me

• Durante o intervalo ∆t a massa me entra no V.C. enquanto que uma parte damassa que inicialmente estava dentro do V.C. sai e ocupa a regiao s , adjacenteao V.C.

• A massa no tempo t + ∆t e:

m = mvc(t + ∆t) + ms

• Como a massa em t e t + ∆t e igual, obtem-se

mvc(t + ∆t) − mvc(t) = me − ms

• Esta equacao estabelece que a variacao de massa dentro do V.C. durante ointervalo ∆t , e igual a quantidade de massa que entra no V.C. (me ) menos aquantidade de massa que sai (ms ).

• Dividindo por ∆t e tomando o limite quando ∆t → 0 , resulta:

dmvc

dt=

∑

e

me −∑

s

ms

onde as somas sao introduzidas para os casos quando existem varias entradas evarias saıdas.

43

Capıtulo 4. Analise Energetica de Volumes de Controle J. A. Velasquez

Figura 4.1: Volume de controle para a deducao da equacao de balanco de massa.

44


• A equacao acima deve ser interpretada da seguinte forma:

Taxa de variacao damassa dentro do V.C.

no tempo t=

Fluxo total de massaentrando no V.C. no

tempo t−

Fluxo total de massasaindo do V.C. no

tempo t

• Durante o intervalo ∆t , a variacao da massa em um V.C. com varias entradase saıdas e dada por:

∆mvc =∑

e

me −∑

s

ms

4.1.2 Formas da equacao de balanco de massa

Escoamento unidimensional atraves das fronteiras

• Condicoes de um escoamento unidimensional:

1. Escoamento perpendicular a fronteira nos lugares onde ocorre entrada esaıda de massa;

2. Todas as propriedades intensivas, incluindo velocidade e densidade, saouniformes nas regioes da fronteira onde ocorre entrada e saıda de massa.

• Nesse caso, os fluxos de massa podem ser expressos por

m = ρ A w =A w

v(Escoam. unidimen.)

• A equacao de balanco de massa resulta

dmvc

dt=

∑

e

Ae we

ve

−∑

s

As ws

vs

(Escoam. unidimen.)

Regime permanente

• Um sistema esta em regime permanente (R.P.) se as suas propriedades perma-necem constantes com o tempo.

• Em um V.C. em R.P. a identidade da materia pode variar constantemente, masa quantidade total deve permanecer constante. Assim, no R.P.

dmvc

dt= 0 =⇒

∑

e

me =∑

s

ms (Reg. perm.)

• A igualdade entre os fluxos de massa entrando e saindo nao garante que o sis-tema esteja em regime permanente. E preciso que todas as outras propriedadespermanecam constantes com o tempo!.

45


4.2 Conservacao da energia para um V.C.

4.2.1 Equacao de balanco de energia para um V.C.

• A Figura 4.2 mostra uma massa de identidade fixa que nos tempos t e t + ∆tocupa diferentes regioes no espaco. Durante este intervalo de tempo a massainterage com as suas vizinhancas atraves de calor e atraves de trabalho.

• A energia da massa m no tempo t e:

E(t) = Evc(t) + me (ue +w2

e

2+ g ze)

• Durante o intervalo de tempo ∆t a massa me entra no V.C. enquanto que umaparte da massa que inicialmente estava dentro do V.C. sai e ocupa a regiao s ,adjacente ao V.C.. Alem disso, ocorre transferencia de energia via trabalho ecalor entre o sistema e o meio.

• A energia da massa m no tempo t + ∆t e:

E(t + ∆t) = Evc(t + ∆t) + ms (us +w2

s

2+ g zs)

• Deve-se notar que tanto as massas me e ms , como as energias associadas aestas massas, nao necessariamente sao iguais.

• O balanco de energia para o sistema fechado e

E(t + ∆t) − E(t) = Q − W

• De onde resulta:

Evc(t + ∆t) − Evc(t) = Q − W + me (ue +w2

e

2+ g ze) − ms (us +

w2s

2+ g zs)

• Dividindo por ∆t e tomando o limite quando ∆t → 0 , resulta:

dEvc

dt= Q − W + me (ue +

w2e

2+ g ze) − ms (us +

w2s

2+ g zs)

4.2.2 Trabalho em um volume de controle

• Na equacao anterior W representa toda a energia transferida via trabalho aovolume de controle.

• Entretanto, algum trabalho e realizada pelo sistema ou sobre o sistema sempreque ocorre escoamento de massa atraves das fronteiras.

46


Figura 4.2: Volume de controle para a deducao da equacao de balanco de energia.

47


• Por isso, e conveniente separar o termo W em duas contribuicoes — uma parteassociada ao escoamento de massa atraves das fronteiras e outra, denotada porWvc , que inclui o restante do trabalho. Neste segundo termo estao consideradoso trabalho de eixos rotativos que atravessam a fronteira, o trabalho de desloca-mento das fronteiras, de campos eletricos e magneticos, o trabalho eletrico, detensao superficial, etc.

• Para quantificar o trabalho de escoamento de massa atraves das fronteiras,consideremos o caso de saıda de massa para a regiao s . Este trabalho estaassociado a pressao do escoamento. Lembremos que a taxa de transferencia deenergia via trabalho pode ser expressa como o produto de uma forca vezes avelocidade do ponto de aplicacao da forca. Assim:

Taxa de transferencia de energiavia trabalho, do V.C. ao meio,

na saıda s

= (ps As) ws

• Uma equacao similar pode ser escrita para a transferencia de energia via traba-lho, do meio ao V.C., na entrada e.

• Dessa forma resulta

W = Wvc + ps As ws − pe Ae we

ou, considerando que A w = m v , resulta

W = Wvc + ms ps vs − me pe ve

• Os termos m p v representam o trabalho associado a pressao do escoamento nasentradas e saıdas do V.C. e sao referidos como trabalho de escoamento.

4.2.3 Forma final da equacao de balanco de energia para umV.C.

• Substituindo a expressao anterior na equacao de balanco de energia, obtemos:

dEvc

dt= Qvc − Wvc+

me (ue + pe ve +w2

e

2+ g ze) − ms (us + ps vs +

w2s

2+ g zs)

• Fazendo h = u+p v e considerando a possibilidade de varias entradas e saıdas:

dEvc

dt= Qvc − Wvc +

∑

e

me (he +w2

e

2+ g ze) −

∑

s

ms (hs +w2

s

2+ g zs)

48


4.3 Analise de um V.C. em regime permanente

Durante o seu funcionamento “estavel” alguns sistemas podem ser tratadoscomo funcionando em regime permanente. Este e o caso de bocais (difusores), tur-binas, compressores, bombas, trocadores de calor, valvulas de estrangulamento, etc.As equacoes de balanco de massa e de energia para um volume de controle que seencontra em regime permanente, resultam:

• Equacao de balanco de massa:

dmvc

dt= 0 =⇒

∑

e

me =∑

s

ms

Muitas vezes encontraremos sistemas com apenas uma unica entrada e umaunica saıda. Nesses casos

me = ms = m

• Equacao de balanco de energia:

0 = Qvc − Wvc +∑

e

me (he +w2

e

2+ g ze) −

∑

s

ms (hs +w2

s

2+ g zs)

49

Capıtulo 5

A Segunda Lei da Termodinamica

5.1 Introducao

5.1.1 Qualquer processo poderia ocorrer?

• Exemplo 1: Consideremos um objeto que se encontra a uma temperaturaT1 maior que a temperatura ambiente T0 . Estando em contato com o ar at-mosferico, este objeto ira se resfriar ate atingir a temperatura das suas vizi-nhancas (ver Figura 5.1).

Figura 5.1: Resfriamento espontaneo de um corpo.

• De acordo com o princıpio de conservacao de energia, a transferencia de energiaocorre de tal forma que a diminuicao da energia (interna) do objeto provoca oaumento da energia das vizinhancas.

• Sabemos que o processo inverso nao tem chance de acontecer, embora nele aenergia seria conservada.

• Exemplo 2: O ar que se encontra dentro de um tanque de ar comprimido iraescapar espontaneamente quando uma valvula do tanque seja aberta. Depois de

50

Capıtulo 5. A Segunda Lei da Termodinamica J. A. Velasquez

um tempo, o vazamento cessara e todo o ar estara na pressao das vizinhancasp0 (ver Figura 5.2).

Figura 5.2: Vazamento de ar comprimido.

• Apesar de que no processo inverso a energia tambem seria conservada, sabemosque este processo inverso nao ocorre.

• Exemplo 3: Uma massa suspensa por um cabo a uma altura inicial zi , cairase o cabo se romper. Quando a massa tenha atingido o repouso, a sua ener-gia potencial inicial tera sido reduzida enquanto a energia interna da massa e,posteriormente, a das vizinhancas irao aumentar (ver Figura 5.3).

Figura 5.3: Queda de uma massa.

• O processo inverso nao ocorre espontaneamente, embora a energia seria conser-vada nesse processo.

• Em cada caso, a condicao inicial do sistema pode ser restituıda, mas isto naoacontecera espontaneamente.

51


• Para que esta restituicao ocorra, seria preciso usar dispositivos auxiliares queutilizam algum recurso energetico. Dessa forma, para restituir esses sistemas assuas condicoes iniciais sera necessario alterar o universo de forma permanente.

• Os exemplos acima mostram que nem todos os processos que sao consistentescom o princıpio de conservacao da energia, podem efetivamente acontecer.

• Nos casos simples como aqueles dos exemplos acima a experiencia nos permitesaber quais processos podem acontecer e quais nao.

• Entretanto, para analisar casos mais complexos e necessario dispor de uma regrageral. A Segunda Lei da Termodinamica serve para este fim.

• Como pode-se observar nos exemplos citados, os processos espontaneos levamos sistemas a condicao de equilıbrio tanto internamente como com as suas vizi-nhancas.

• Este equilıbrio podera ser atingido rapidamente ou mais demoradamente. To-davia, em todos os casos, o princıpio de conservacao da energia sera satisfeito.

• Contudo, o princıpio de conservacao da energia e insuficiente para determinaro estado final de equilıbrio. Para isto e necessario dispor de um outro princıpiogeral. A Segunda Lei da Termodinamica serve para este fim.

5.1.2 Oportunidades para desenvolver trabalho

• Em princıpio, todos os processos espontaneos podem ser aproveitados para de-senvolver trabalho, enquanto o sistema caminha rumo ao equilıbrio (tanto in-ternamente como com as suas vizinhancas).

• Exemplo 1: A energia do objeto a temperatura elevada poderia ser liberada,por transferencia de calor, atraves de um sistema que realize um ciclo motor.Assim, este sistema desenvolveria uma quantidade de trabalho.

Quando o objeto atinje o equilıbrio tanto internamente como com as suas vizi-nhancas, nao e mais possıvel desenvolver trabalho.

Esta oportunidade de desenvolver trabalho seria perdida se deixassemos que oobjeto atinja o equilıbrio sem a nossa intevencao.

• Os outros exemplos analisados tambem oferece oportunidades de obter trabalho.

• A possibilidade de desenvolver trabalho existe porque ha uma diferenca entre osvalores de alguma propriedade intensiva no sistema e no meio. Esta diferencadesencadena o processo espontaneo.

• A partir das constatacoes acima pode-se dizer que quando existe um “desba-lanco” entre dois sistemas, surge a possibilidade de desenvolver trabalho.

• Esta oportunidade e perdida quando se permite que os sistemas atinjam oequilıbrio de uma forma descontrolada.

52


• Tendo reconhecido que existe a possibilidade de desenvolver trabalho duranteos processos espontaneos, sera interessante que se responda a duas questoes:

– Qual e o valor maximo do trabalho que teoricamente pode ser desenvol-vido?

– Que fatores poderiam impedir que se obtenha esse trabalho maximo?

• A Segunda Lei da Termodinamica fornece os meios necessarios para respondera estas questoes.

5.1.3 Aplicacoes da Segunda Lei da Termodinamica

• A Segunda Lei da Termodinamica permite:

– Predizer quais processos podem ocorrer e quais nao podem ocorrer;

– Estabelecer as condicoes de equilıbrio a que os processos espontaneos le-vam;

– Determinar o melhor desempenho que teoricamente pode ser atingido porciclos, motores e outros dispositivos;

– Avaliar quantitativamente os fatores que impedem alcancar este melhordesempenho;

• Usos adicionais da Segunda Lei incluem:

– Definicao de uma escala de temperatura que independe de qualquer subs-tancia termometrica;

– Desenvolvimento de metodos que permitem avaliar propriedades como ue h , a partir de propriedades que podem ser determinadas experimental-mente (como p , T , v ).

• A Segunda Lei tem sido usada em areas relativamente distantes da Engenharia.Podemos citar aplicacoes em Economia, na Filosofia, na Biologia, na Sociologiae outras.

• Talvez seja pela diversidade de topicos e de areas em que a Segunda Lei encontraaplicacao, que existe mais de uma forma de enunciar esta lei fısica, embora todosos enunciados existentes sejam equivalentes.

• A relacao entre um enunciado e todas as aplicacoes da Segunda Lei listadasacima, pode nao ser imediata. Entretanto, esta relacao pode ser estabelecidaatraves de deducoes logicas.

• A Segunda Lei, como qualquer princıpio fısico, e verificada atraves de ob-servacoes experimentais.

53


5.2 Enunciados da Segunda Lei da Termodinamica

• Enunciado de Clausius

E impossıvel que um sistema opere de forma tal que o unico resultado dessaoperacao seja a transferencia de energia via calor, de um corpo frio para outroquente.

• O enunciado de Kelvin-Planck utiliza o conceito de reservatorio termico (RT)— um sistema termodinamico especial, cuja caracterıstica principal e a de estarsempre na mesma temperatura, mesmo quando recebe o perde energia.

O RT e uma idealizacao que pode ser utilizada para modelar a atmosfera ter-restre, os oceanos, lagos, grandes massas e tambem sistemas bifasicos de umasubstancia pura.

As propriedades extensivas dos RT podem variar como resultado de interacoescom outros sistemas.

• Enunciado de Kelvin-Planck

E impossıvel que um sistema opere realizando um ciclo termodinamico e transfiraenergia ao meio via trabalho, enquanto recebe energia por tranferencia de calorde um unico reservatorio termico.

5.3 Irreversibilidade

• Processo irreversıvelUm processo e chamado irreversıvel se o sistema e o meio nao puderem serrestituıdos aos seus respectivos estados iniciais apos a ocorrencia do processo.

• Processo reversıvelUm processo e chamado reversıvel se o sistema e o meio puderem ser restituıdosaos seus respectivos estados iniciais apos a ocorrencia do processo.

• Um sistema que sofre um processo irreversıvel nao esta impedido de voltarao seu estado inicial. Entretanto se isto ocorre, o meio tera sofrido algumaalteracao permanente.

• A Segunda Lei nos permite determinar se um processo e reversıvel ou irre-versıvel.

• Do enunciado de Clausius pode-se concluir que a transferencia de calor de umcorpo quente para um corpo frio e um processo irreversıvel.

• Processos envolvendo outros fenomenos espontaneos tambem sao irreversıveis.Exemplo: a expansao de um gas atraves de uma diferenca finita de pressoes, aqueda de um corpo, etc.

54


• Ha alguns fenomenos que quando estao presentes em um processo tornam esteirreversıvel:

– Transferencia de calor atraves de uma diferenca finita de temperaturas.

– Expansao de um fluido atraves de uma diferenca finita de pressoes;

– Reacoes quımicas espontaneas;

– Processo espontaneo de mistura de porcoes de materia com diferentes com-posicoes ou em diferentes estados (difusao);

– Atrito (seco ou viscoso);

– Fluxo de corrente eletrica atraves de uma resistencia (efeito Joule);

– Deformacao plastica; etc.

• Todos os processos reais sao irreversıveis.

• O termo irreversibilidades e usado para designar os fenomenos que tornam umprocesso irreversıvel.

• Irreversibilidades internas sao aquelas que ocorrem dentro das fronteiras dosistema.

• Irreversibilidades externas sao aquelas que ocorrem fora do sistema (no meio).

• O engenheiro deve ser capaz de identificar as irreversibilidades, avaliar a suainfluencia nos processos e desenvolver meios efetivos e praticos de reduzi-las.

• Alguns sistemas precisam de irreversibilidades para serem uteis. E o caso dossistemas de freios.

• Muitas vezes as irreversibilidades sao toleradas baseando-se em criterios econo-micos.

• Processos reversıveis sao o limite para o qual tendem os processos irreversıveisquando as irreversibilidades sao reduzidas cada vez mais. O caso do pendulo eum exemplo que se aproxima do processo reversıvel.

• Processos internamente reversıveis sao aqueles processos durante os quais naoocorrem irreversibilidades dentro do sistema.

5.3.1 Forma analıtica do enunciado de Kelvin–Planck

Wciclo ≤ 0 (1 unico RT)

onde

• Wciclo < 0, corresponde ao caso de ciclo irreversıvel;

• Wciclo = 0, corresponde ao caso de ciclo internamente reversıvel.

55


5.4 Desempenho maximo de um ciclo que troca

calor com dois RT’s

5.4.1 Limitacoes que a SLT impoe aos ciclos motores.

A partir do enunciado de Kelvin-Planck podemos concluir que os ciclos motoresdevem satisfazer a condicao

η < 1

5.4.2 Corolario 1.

• Um ciclo motor irreversıvel que opera entre dois reservatorios termicos apre-senta eficiencia termica menor que um ciclo motor motor reversıvel que operaentre os mesmos reservatorios termicos.

5.4.3 Corolario 2.

• Todos os ciclos motores reversıveis que operam entre dois dados reservatoriostermicos apresentam a mesma eficiencia termica.

• Corolarios semelhantes a estes podem ser enunciados, tambem, para ciclos derefrigeracao e para ciclos de bombeamento de calor.

5.5 Temperatura absoluta

• O segundo corolario de Carnot estabelece que todos os ciclos motores reversıveisque operam entre os mesmos dois RT, tem a a mesma eficiencia termica (in-dependentemente da substancia de trabalho ou da sequencia de processos quecompoem o ciclo ou de qualquer outra caracterıstica desses ciclos).

• Uma vez que a eficiencia nao depende de qualquer caracterıstica dos ciclosreversıveis, ela deve ser afetada apenas pelas caracterısticas dos RT.

• Como os RT’s sao caracterizados pelos seus estados termicos, conclui-se que aeficiencia termica de um ciclo motor reversıvel depende somente destes estadostermicos dos reservatorios “quente” e ”frio”.

• Se estes estados termicos sao quantificados atraves dos valores numericos θA

e θB, obtidos usando-se um termometro e uma escala termometrica empıricaqualquer, pode-se escrever:

η = φ(θA, θB) = 1 −

(QB

QA

)

rev

56


de onde (QB

QA

)

rev

= 1 − φ(θA, θB) = ϕ(θA, θB) (5.1)

• O formato da funcao ϕ(θA, θB) ira depender da escala utilizada para atribuirvalores a θA e θB .

• Este raciocınio permite concluir que e possıvel definir uma escala de tempera-turas atraves da escolha da funcao ϕ(θA, θB).

• A escala Kelvin de temperaturas foi definida escolhendo-se

ϕ(TA, TB) =TB

TA

onde TA e TB sao as medidas dos estados termicos dos reservatorios, avaliadaspela escala que esta sendo definida com esta escolha da funcao ϕ.

• Kelvin propos chamar estas temperaturas de temperaturas termodinamicas ab-solutas, e a escala definida com base nesses valores — escala termodinamicaabsoluta.

• A definicao da escala Kelvin de temperaturas se completa atribuindo o valor de273,16 K para a temperatura do ponto triplo da agua.

• Assim, para o caso de um ciclo reversıvel que troca calor com dois RT’s, resulta

(QB

QA

)

rev

=TB

TA

5.5.1 Calculo da eficiencia maxima de um ciclo

• Com a definicao da escala de temperaturas absolutas, e possıvel determinar ovalor teorico maximo do rendimento de um ciclo que opera entre dois dadosRT’s:

ηmax = ηrev = 1 −

(QB

QA

)

rev

= 1 −TB

TA

• Para o caso do ciclo de refrigeracao, resulta:

βmax = βrev =TB

TA − TB

• Para o caso do ciclo de bombeamento de calor:

γmax = γrev =TA

TA − TB

57


5.6 O ciclo de Carnot

• O ciclo de Carnot providencia um exemplo de um ciclo reversıvel.

• Este ciclo e formado por quatro processos internamente reversıveis, dois adiaba-ticos e dois isotermicos, realizados alternadamente da seguinte forma:

– Fornecimento de calor ao fluido de trabalho, a temperatura constante (TA);

– Expansao adiabatica do fluido de trabalho;

– Perda de calor do fluido de trabalho, a temperatura constante (TB);

– Compressao adiabatica do fluido de trabalho.

• Este processos poderiam ser realizados, por exemplo, pelo sistema mostrado naFigura 5.4.

Figura 5.4: O ciclo de Carnot na regiao do domo de vapor.

• O diagrama p–v de um ciclo como aquele da Figura 5.4 pode ser visto na Fi-gura 5.5. Observe que neste caso os estados do fluido de trabalho se encontramna regiao de mudanca de fase (lıquido-vapor).

• O ciclo de Carnot tambem poderia ser realizado por um fluido de trabalho queesteja sempre na fase gasosa. As Figuras 5.6 e 5.7 correspondem a esta situacao.

58


Figura 5.5: Diagrama p–v do ciclo de Carnot na regiao do domo de vapor.

Figura 5.6: O ciclo de Carnot na regiao de gas.

59


Figura 5.7: Diagrama p–v do ciclo de Carnot na regiao de gas.

60


5.7 O corolario de Clausius

• Os corolarios de Carnot referem-se a sistemas que realizam ciclos enquantotrocam calor com dois reservatorios a diferentes temperaturas.

• O corolario de Clausius trata de sistemas que realizam ciclos, independente-mente do numero de corpos com os quais esse ciclo troca calor.

• O corolario de Clausius serve de base para introduzir dois conceitos que permi-tem analisar sistemas termodinamicos desde a perspectiva de Segunda Lei:

– A propriedade entropia e

– O conceito de geracao de entropia.

• Durante o desenvolvimento que se segue consideraremos que se existem irre-versibilidades, elas ocorrem dentro das fronteiras do sistema. Dessa forma, asirreversibilidades resultam ser internas.

• O corolario de Clausius estabelece que:

∮ (δQ

T

)

f

≤ 0

onde

– δQ representa o calor trocado atraves de uma regiao da fronteira do sistemanum instante durante o ciclo;

– T e a temperatura absoluta dessa regiao da fronteira;

– f enfatiza que as quantidades dentro da integral sao computadas na fron-teira;

–∮

indica que a integral deve ser tomada sobre todas as partes da fronteirae durante o ciclo inteiro.

– A igualdade se aplica ao caso quando nao ha irreversibilidades internas, adesigualdade se aplica quando ha irreversibilidades no sistema.

• O corolario de Clausius pode ser escrito como uma igualdade:

∮ (δQ

T

)

f

+ σciclo = 0

• σciclo e uma medida das irreversibilidades do ciclo

61


5.8 Variacao de entropia

• Define-se variacao de entropia pela seguinte equacao

S2 − S1 =

∫2

1

(δQ

Tf

)

PIR

onde PIR significa processo internamente reversıvel.

• A entropia S e uma propriedade extensiva. Sao unidades de entropia: J/K oukJ/K.

• A entropia especıfica e uma propriedade intensiva definida da seguinte forma:

s =S

ms =

S

n

Sao unidades de entropia especıfica: kJ/kg K, kJ/kmol K, etc.

• A variacao de entropia esta sendo definida matematicamente, sem atribuir umasignificado fısico.

5.9 Avaliacao da entropia

• Tabelas de propriedades termodinamicas;

• Modelo para lıquidos comprimidos

s(T, p) ≈ sliq sat(T )

• Variacao de entropia de substancias incompressıveis

s2 − s1 =

∫c(T )

TdT

• Variacao de entropia de gases ideais;

s2 − s1 =

∫ T2

T1

cp(T )

T− R ln

(p2

p1

)

s2 − s1 = s◦2− s◦

1− R ln

(p2

p1

)

62


5.10 Balanco de entropia

5.10.1 Sistemas fechados

S2 − S1 =

∫2

1

δQ

Tf

+1 σ2

dS

dt=

∑ Qi

Tf,i

+ σ

5.10.2 Volumes de controle

dS

dt=

∑ Qi

Tf,i

+∑

me se −∑

ms ss + σ

5.11 Eficiencias isentropicas

• Para caracterizar os processos que ocorrem em turbinas, compressores, bombase bocais utiliza-se o conceito de eficiencia isentropica. Esses equipamentos sao,frequentemente, considerados adiabaticos e estar operando em regime perma-nente.

• A eficiencia isentropica e definida a partir de uma comparacao entre um processoreal e um processo idealizado.

• O processo idealizado e definido com as seguintes tres condicoes:

– As condicoes do fluido de trabalho na entrada do equipamento sao aquelasdo processo real;

– A pressao na saıda do equipamento e aquela na saıda do processo real;

– O processo ideal e um processo isentropico.

• Para o caso da turbina, a eficiencia isentropica e definida da seguinte forma:

ηt =(W/m)real

(W/m)ideal

=he − hs,r

he − hs,i

• Para o caso de um compressor ou de uma bomba, a eficiencia isentropica edefinida da seguinte forma:

ηc =(W/m)ideal

(W/m)real

=he − hs,i

he − hs,r

63


• Para o caso de um bocal, a eficiencia isentropica e definida da seguinte forma:

ηt =

(w2

s,r

2

)

real(

w2

s,i

2

)

ideal

64

Capıtulo 6

Analise de SistemasMulticomponentes

6.1 Introducao

Nosso estudo de sistemas multicomponentes estara focalizado naqueles siste-mas formados por misturas de gases ideais. Tais sistemas sao particularmente impor-tantes para o estudo de topicos como:

• Sistemas de condicionamento de ar;

• Combustao;

• Equilıbrio quımico.

6.2 Descricao da composicao da mistura

• Para especificar o estado de uma mistura de gases (reais ou ideais) e necessarioconhecer a composicao da mistura e duas propriedades intensivas independentes(por exemplo p e T ).

• Consideremos um sistema fechado composto por uma mistura de gases ideaiscom j componentes.

• A composicao absoluta da mistura pode ser descrita fornecendo-se as quantida-des de materia de cada componente. Para isto, podemos usar a massa mi decada componente i ou, alternativamente, o numero de mols ni. O numero demols de um componente esta relacionado a massa do componente da seguinteforma

ni =mi

Mi

onde Mi e a massa molar do componente.

65

Capıtulo 6. Analise de Sistemas Multicomponentes J. A. Velasquez

• A massa total da mistura e igual a soma das massas dos componentes:

m = m1 + m2 + · · · + mj =

j∑

i=1

mi

• A quantidade relativa de cada componente pode ser especificada por meio dafracao em massa yi :

yi =mi

m

• A soma das fracoes em massa de todos os componentes e igual a 1:

j∑

i=1

yi = 1

• A descricao da composicao de uma mistura em termos das fracoes em massa echamada analise gravimetrica.

• O numero total de mols da mistura e a soma dos numeros de mols dos compo-nentes:

n = n1 + n2 + · · ·+ nj =

j∑

i=1

ni

• A quantidade relativa de cada componente pode ser especificada por meio dafracao molar yi :

yi =ni

n

• A soma das fracoes molares de todos os componentes e igual a 1:

j∑

i=1

yi = 1

• A descricao da composicao de uma mistura em termos das fracoes molares echamada analise molar.

• A massa molar media da mistura e definida como o quociente da massa damistura dividida pelo numero total de mols:

M =m

n=

m1 + m2 + · · ·+ mj

n=

j∑

i=1

yi Mi

6.3 Relacoes p−v−T para misturas de gases ideais

• Consideremos um sistema fechado formado por uma mistura de gases ideais,contida em um recipiente de volume V . A temperatura e a pressao da misturasao T e p, respectivamente. Alem disso, admitiremos que a mistura toda secomporta como um gas ideal de forma que obedece a seguinte relacao:

p =n R T

V

66


6.3.1 Modelo de Dalton

• Neste modelo admite-se que cada componente da mistura se encontra a tempe-ratura da mistura ( T ) e ocupa o volume total da mistura ( V ).

• Este modelo e consistente com o modelo de gas ideal, que admite que asmoleculas nao interagem entre si e tem volume zero.

• Cada componente se encontra numa pressao parcial pi , que e diferente dapressao total da mistura:

pi =ni R T

V= yip

6.3.2 Modelo de Amagat

• Neste modelo admite-se que cada componente da mistura se comporta como seestivesse a temperatura T e a pressao p (pressao total da mistura).

• O volume que cada componente ocupa e chamado volume parcial Vi

Vi =ni R T

p= yi V

6.4 U , H e S para misturas de gases ideais

• U , H e S sao propriedades extensivas e portanto podem ser determinandassomando-se as contribuicoes de cada componente nas condicoes em que estes seencontram.

U = U1 + U2 + · · ·+ Uj =

j∑

i=1

Ui

H = H1 + H2 + · · ·+ Hj =

j∑

i=1

Hi

S = S1 + S2 + · · ·+ Sj =

j∑

i=1

Si

• Estas equacoes podem ser escritas na seguinte forma:

n u = n1 u1 + n2 u2 + · · ·+ nj uj =

j∑

i=1

ni ui

n h = n1 h1 + n2 h2 + · · · + nj hj =

j∑

i=1

ni hi

n s = n1 s1 + n2 s2 + · · · + nj sj =

j∑

i=1

ni si

67


• Dividindo por n, resulta

u = y1 u1 + y2 u2 + · · ·+ yj uj =

j∑

i=1

yi ui

h = y1 h1 + y2 h2 + · · ·+ yj hj =

j∑

i=1

yi hi

s = y1 s1 + y2 s2 + · · ·+ yj sj =

j∑

i=1

yi si

• Derivando as expressoes para u e h em relacao a T , obtem-se:

cv =

j∑

i=1

yi cv,i cv =

j∑

i=1

yi cp,i

• Usando um procedimento analogo podemos deduzir equacoes para u, h e s (pro-priedades especıficas por unidade de massa) em termos das fracoes em massa:

u = y1 u1 + y2 u2 + · · ·+ yj uj =

j∑

i=1

yi ui

h = y1 h1 + y2 h2 + · · ·+ yj hj =

j∑

i=1

yi hi

s = y1 s1 + y2 s2 + · · ·+ yj sj =

j∑

i=1

yi si

cv = y1 cv,1 + y2 cv,2 + · · ·+ yj cv,j =

j∑

i=1

yi cv, i

cp = y1 cp,1 + y2 cp,2 + · · ·+ yj cp,j =

j∑

i=1

yi cp, i

• E importante salientar que para o estudo de misturas de gases ideais utiliza-seo modelo de Dalton e, portanto, admite-se que cada componente se encontra natemperatura da mistura Ti = T e na sua pressao parcial pi = yi p .

6.5 Analise de sistemas nao-reativos

• A analise termodinamica dos sistemas multicomponentes e realizada usando asequacoes de balanco de massa, energia e entropia, nas formas como as conhece-mos.

68


• Ao usarmos essas equacoes devemos ter o cuidado de calcular as proprieda-des termodinamicas das misturas, usando as expressoes apresentadas na secaoanterior.

• Algumas vezes e conveniente utilizar as equacoes de balanco de energia e deentropia em termos de vazoes molares e de propriedades especıficas molares,como mostrado a seguir:

dE

dt= Q− W +

∑

[ne (he +Me

2w2

e + Me g ze)]−∑

[ns (hs +Ms

2w2

s + Ms g zs)]

dS

dt=

∑ Qi

Tf,i

+∑

(ne se) −∑

(ns ss) + σ

Nestas equacoes Me e Ms sao as massas molares (medias) das correntes deentrada e de saıda que atravessam a fronteira do volume de controle.

• Cumpre ressaltar que quando analisamos sistemas nao-reativos e sempre possıvelescrever as equacoes de balanco em termos de variacoes das propriedades es-pecıficas de cada substancia presente no sistema.

• Isto permite utilizar valores de propriedades obtidos com base em estados de re-ferencia escolhidos arbitrariamente e independentemente para cada substancia.

6.6 Analise de sistemas reativos

• Quando ocorrem reacoes quımicas entre as especies quımicas que compoem umsistema, algumas dessas substancias sao consumidas (total ou parcialmente) eoutras substancias sao formadas.

• Como resultados disto, as equacoes de balanco nao mais podem ser escritas emtermos de variacoes das propriedades de cada substancia que esta presente nosistema.

• Nesses casos, os valores absolutos de propriedades como energia interna, en-talpia e entropia passam a ser importantes e nao apenas as variacoes dessaspropriedades.

• Como sabemos, os valores absolutos de u, h e s sao influenciados pela escolhado estado de referencia. Assim, para que os valores dessas propriedades sejamconsistentes, e necessario atribuir valores apropriados para os estados escolhidoscomo referencia para cada substancia.

• No caso da entalpia e da energia interna, os valores absolutos apropriados paraessas propriedades sao obtidos usando-se o conceito de entalpia de formacao(h◦

f ).

• No caso da entropia, os valores absolutos apropriados sao obtidos a partir daTerceira Lei da Termodinamica.

69


• A Terceira Lei da Termodinamica estabelece que a entropia de uma substanciapura, cristalina e zero na temperatura de zero kelvin. Os valores de entropia de-finidos com base na Terceira Lei da Termodinamica sao denominados de valoresde entropia absoluta.

• No programa EES, os valores de entalpia, energia interna e entropia de gasesideais denominados pela formula quımica da substancia, sao apropriados paraserem usados diretamente em analises de sistemas reativos.

70

Documents

CURSO DE TERMODINAMICA^damec.ct.utfpr.edu.br/motores/downloads/Curso.pdfPROGRAMA BRASILEIRO DE FORMAC˘AO~ EM MOTORES E COMBUST IVEIS CURSO DE TERMODINAMICA^ Prof. Dr. Jos e Antonio