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Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de Produção
Vitor Bruno - Engenharia Civil
Geometria Euclidiana Plana Parte II
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2
Introdução
Desde os egípcios, que procuravam medir e demarcar suas terras, até hoje, quando topógrafos, engenheiros e arquitetos fazem seus mapeamentos e plantas, o cálculo de áreas tem sido uma preocupação constante na história da Matemática.
Na aula de hoje você aprenderá como resolver problemas envolvendo áreas.
Área do Retângulo
Tomando como unidade de área o quadrado de 1cm² de área, observamos que cabem 12 desses quadrados no retângulo ao lado. Logo, a área do retângulo é 12cm².
1cm²
1 cm
1 cm
3 cm
4 cm
Área do retângulo
Por outro lado, se multiplicarmos a medida do comprimento do retângulo pela medida da sua largura, obtemos o mesmo resultado.
4 cm . 3 cm = 12 cm²
Portanto, a área da superfície de um retângulo
é igual ao produto das medidas da base b e
da altura h.
Aretângulo = b . h
Em que: b e h são números reais positivos.
. A h
b
Área do quadrado
Particularmente, para o quadrado de lado a, ou seja, b = a e h = a, temos :
A a
a Aquadrado = a . a ou Aquadrado = a²
Em que: a é um número real positivo.
Exercício
O comprimento de um terreno retangular tem 28 m a mais do que a frente. Sabendo-se que o perímetro desse terreno é de 112 m, determine:
a) As dimensões desse terreno.
b) A área desse terreno.
Resolução
Fazemos um esboço do terreno e suas dimensões
Como o perímetro de um
polígono plano é a soma
das medidas de todos os
seus lados, somamos
seus lados e igualamos
ao perímetro fornecido
pela questão, que é 112.
x
x
x + 28 x + 28
112)28()28( xxxx
Resolução
144
56564
561124112564
112)28()28(
xxx
xx
xxxx14
14
14 + 28 14 + 28
a)
Substituímos o valor encontrado
para x nas dimensões do
retângulo.
Verificamos que o terreno mede 14 m
de frente e 42 m de comprimento.
Resolução
b)
Sabemos as dimensões do retângulo e
queremos saber sua área. Vimos que a área
do retângulo é dada pelo produto das medidas
da base e da altura, no caso, a base e a altura
valem, respectivamente, 14 m e 42 m. Logo:
²58842.14 mmmA
Exercício
(UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m² de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura. Calcule o valor de L.
L
L
CALÇADA
JARDIM
L
L
Resolução
De acordo com
as medidas
fornecidas do
jardim, sabemos
que a área do
terreno pode ser
escrita em
função de L da
seguinte forma:
L
L
4 4
L 9 L
)24).(29( LLA
A = Largura x Altura
Resolução
Como a questão nos fornece o valor da área
total, igualamos esse valor dado à equação que
montamos anteriormente para determinar L:
03413²2²21334
²42668²42636104
²481836104
)2(2)4(2)2(9)4(9104
104)24).(29(
LLLL
LLLL
LLL
LLLL
LLA
Resolução
Resolvemos a equação de segundo grau e
acharemos possíveis valores para L:
5,84
34
4
2113
)2(2
44113''
24
8
4
2113
)2(2
44113'
441272169)34)(2(4²13
03413²2
L
L
LL
Resolução
Depois de resolvermos a equação, achamos
2 e -8,5 como possíveis valores para L,
porém, o valor L é referente a medida,
dimensão, e como não existem medidas
negativas, desconsideramos o valor de -8,5.
Então, o valor de L é de 2 m.
5,84
34
4
2113
)2(2
44113''
24
8
4
2113
)2(2
44113'
L
L
Área do paralelogramo
Cortando um pedaço do paralelogramo,
podemos encaixá-lo do outro lado,
transformando-o num retângulo. Veja:
h b
Então, podemos definir que a área do
paralelogramo é igual à área do retângulo: Aparalelogramo = b . h
Em que: b e h são números reais positivos.
Área do triângulo
Toda região triangular é metade da
região limitada por um paralelogramo
de mesma base e altura.
Como dividimos um
paralelogramo em dois
triângulos iguais, a área
de cada um dos triângulos
é igual à metade da área
do paralelogramo:
h
b
Atriângulo = 2
h . b
Exercício
A vela de um barco tem a forma triangular, com 4m de base e 5 m de altura. Osmar quer pintar 35% dessa vela de azul, 25% de verde e o restante de branco.
a) Qual a área da parte azul?
b) Qual a área da parte verde? E da branca?
Resolução
Sabemos que a área do triângulo é a metade
do produto da base pela altura. Como temos
esses valores, apenas aplicamos a definição:
²102
20
2
5.4
2
.m
hbA
a)
Como 35% dessa área será pintada de azul,
multiplicamos 35/100 pelo valor da área total
para saber a área azul que será pintada:
²5,3100
35010.
100
35mAazul
Resolução
b) 25% da vela será pintada de verde, então:
²5,2100
25010.
100
25mAverde
Já foi pintada 60% da área da vela (35% de
azul e 25% de verde). Como o restante será
pintado de branco, esse restante será de
40% da área da vela (100% – 60%):
²4100
40010.
100
40mAbranco
Exercício
Para decorar seu quarto, Carol preparou bandeirinhas de papel. A partir do modelo abaixo, ela fez 240 bandeirinhas. Qual a área total de papel utilizado para fazer toda essa decoração no quarto dela?
Resolução
Para calcular a área total, achamos a área de
uma bandeira, e depois multiplicamos pelo
numero n de bandeiras.
4 cm
4 cm 4 cm
2 cm
4 cm
Aplicamos o teorema de
Pitágoras para achar a
altura h do triângulo.
3212²12
²416²²2²4
hhh
hh
Resolução
4 cm
2 cm
32 cm
Agora acharemos a área da
metade de uma bandeira, já
que temos sua base e altura:
²322
32.2cmA Como achamos a metade
da área de uma bandeira,
a área da bandeira será o
dobro dessa área:
²3432.2.2 cmAAbandeira
Resolução
Achamos a área de uma bandeira, a área total
será o número de bandeiras multiplicado por
essa área. Como o número de bandeiras é
240, multiplicamos esse valor pela área de
uma bandeira e acharemos a área total:
²396034.240.240 cmAA bandeiratotal
A área total de papel necessário para Carol
fazer suas bandeirinhas foi cm². 3960
Área do trapézio
Trapézio é todo quadrilátero com apenas um par de lados paralelos, que são suas bases.
Vamos decompor a
região limitada por um
trapézio para encontrar
sua área.
Área do trapézio
Considere um trapézio de bases b, B e altura a (números reais positivos).
Primeiro, decompomos
a região traçando uma
de suas diagonais.
a
b
B
Observe que temos agora 2 regiões triangulares: b
a a
B
Área do trapézio
A área de uma região triangular nós já aprendemos a calcular, então temos:
2
).(A
2
..A
2
.
2
.A
AAA
T
T
T
21T
aBb
aBab
aBab
A1
A2
b
B
a
2
)(AT
abB
Exercício
Determine a área do terreno plano abaixo usando as
medidas dadas.
Resolução
6m
4m
12m
5m
9m
11m
Modelo matemático:
decomposição do
terreno em três
regiões.
Como já sabemos calcular a área destas figuras, temos
que:
²127A2
4)119(
2
65)612(A
2
)(
2)(A
AAAA
terrenoterreno
terreno
trapéziotriânguloretânguloterreno
m
hbBbhbh
Área do Losango
Todo losango pode ser transformado num retângulo
equivalente, com altura D e base d/2.
Assim, a área da região limitada
por um losango é dada pela
metade do produto das medidas
das diagonais.
2
dD.Alosango
Em que D e d são números reais positivos.
Exercício
(Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os pontos médios dos lados de um retângulo. Qual a razão entre a área do retângulo (Ar) e a do losango (AL)?
a) ½
b) 2
c) 1/3
d) 4/3
Resolução
Temos a seguinte figura:
A partir disso, calculamos a área de cada figura:
e , logo a razão Ar/AL é: DdAr 2
DdAL
22
1
2
A
A
L
r Dd
Dd
Dd
Dd
Área de um triângulo equilátero
Área de um triângulo equilátero
Área de um triângulo equilátero
Área de um Hexágono regular
Um hexágono regular é formado por seis regiões
triangulares equiláteras.
Como a área de uma região
triangular equilátera é dada por:
4
3²6
4
3²6Ahexágono
ll
2
3²3Ahexágono
l
4
3²A quiláterotriânguloe
l
Ou seja:
A área do hexágono é dada por:
Área de um polígono regular
Um polígono regular é aquele que tem todos os
lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele
pode sempre ser inscrito em uma circunferência.
Exemplos:
Área de um polígono regular
Pode-se perceber que se o polígono regular tem n
lados, a região limitada por ele pode ser decomposta
em n regiões limitadas por triângulos isósceles.
Em cada um desses triângulos, a base é o lado (l ) e a altura é o
apótema (a). Logo:
2
anA
l
Em que l : lado
a: apótema
n: número de lados, (valores reais positivos).
Exercício
Na figura, ABCD é um quadrado de
lado a. Tomando-se E e G nos
prolongamentos da diagonal AC e
F e H nos prolongamentos da
diagonal BD, com EA=AC=CG e
FB=BD=DH, determine a área do
octógono AFBGCHDE em função de
a.
Resolução
Podemos perceber que o octógono é formado por 4 triângulos congruentes:
Logo, a área total equivale a soma das áreas de cada triângulo.
Sendo assim, vamos encontrar as
medidas, calcular a área de um
triângulo e multiplicar por 4.
Resolução
Primeiro considere o triângulo isósceles (hachurado), de medidas a, x e x.
E note que o valor de x
corresponde a base dos
triângulos maiores.
Portanto, vamos calcular o valor de x (em função de a),
aplicando o teorema de Pitágoras:
2
ax
2
ax2xaxxa
2222222
Resolução
Sabendo o valor de x, podemos verificar as demais medidas dos triângulos maiores.
Para descobrir a altura do triângulo, voltamos para o enunciado da questão, que diz que DB=DH, por exemplo. Logo a altura do triângulo é o triplo de sua base.
x3
x
2x
x
Resolução
Como ,a base do triângulo é igual a e a altura é
. 2
ax
2
a
2
3a
Por fim a área de cada triângulo é dada por:
E a área do octógono:
4
3a
2
2
3a
2
2
3a
2
a
2
alturaBaseA
2
2
triângulo
22
total 3a4
3a4A
2
3a
2
a
Obrigada pela atenção!
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