UMA METODOLOGIA PARA ANLISE DE SISTEMAS ELTRICOS A N CONDUTORES PELO MTODO DE INJEO DE CORRENTES

Dbora Rosana Ribeiro Penido TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DOS PROGRAMAS DE PS-GRADUAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE DOUTOR EM CINCIAS EM ENGENHARIA ELTRICA. Aprovada por: __________________________________________________ Prof. Sandoval Carneiro Jnior, Ph.D. __________________________________________________ Prof. Jos Luiz Rezende Pereira, Ph.D. __________________________________________________ Prof. Djalma Mosqueira Falco, Ph.D. __________________________________________________ Prof. Nelson Martins, Ph.D. __________________________________________________ Prof. Glauco Nery Taranto, Ph.D. __________________________________________________ Prof. Antnio Padilha Feltrin, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL MARO DE 2008

PENIDO, DBORA ROSANA RIBEIRO Uma Metodologia para Anlise de Sistemas Eltricos a N Condutores pelo Mtodo de Injeo de Correntes [Rio de Janeiro] 2008 IX, 266 p. 29,7 cm, (COPPE/UFRJ, D.Sc., Engenharia Eltrica, 2008) Tese Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE 1. Anlise de Sistemas Eltricos 2. Fluxo de Potncia Trifsico 3. Mtodo de Injeo de Correntes em Coordenadas Retangulares 4. Sistemas Eltricos Desequilibrados 5. Controles 6. Distribuio 7. Gerao Distribuda I. COPPE/UFRJ II. Ttulo (Srie)

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Aos meus pais, Mirna e Geraldo, minha irm, Brbara, ao meu sobrinho, Joo Victor, minha av, Conceio, ao meu esposo, Leandro.

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AGRADECIMENTOS Ao orientador Sandoval Carneiro Jr. pela amizade, incentivo e colaborao na realizao deste trabalho. Ao co-orientador Jos Luiz Rezende Pereira pela amizade, pela oportunidade de realizar trabalhos que enriqueceram minha formao acadmica, pelas sugestes e discusses tcnicas. Ao meu esposo Leandro Ramos de Araujo pelo amor, pela inestimvel ajuda, por todos os conhecimentos partilhados, pelas discusses enriquecedoras, pelo grande apoio, pacincia e dedicao. Aos corpos docentes da COPPE/UFRJ e da Faculdade de Engenharia/UFJF, que ajudaram na minha formao, principalmente aos professores que se dedicam na transferncia de seus conhecimentos, e aos que contriburam de alguma forma para a execuo deste trabalho, em especial ao professor Paulo Augusto Nepomuceno Garcia. Eletrobrs, em especial aos engenheiros Elizabeth Almeida Franceschett, Paulo Csar de Almeida e Marcos Simas Parentoni, pelo apoio para a realizao desta tese e aos companheiros de trabalho pela amizade e incentivo. Aos meus amigos e familiares pela torcida. Aos meus pais, irm, sobrinho e av pelo apoio, dedicao, e grande amor, por toda minha vida.

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Resumo da Tese apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessrios para a obteno do grau de Doutor em Cincias (D.Sc.) UMA METODOLOGIA PARA ANLISE DE SISTEMAS ELTRICOS A N CONDUTORES PELO MTODO DE INJEO DE CORRENTES Dbora Rosana Ribeiro Penido Maro / 2008 Orientadores: Sandoval Carneiro Jnior Jos Luiz Rezende Pereira Programa: Engenharia Eltrica Este trabalho prope o desenvolvimento de uma metodologia para anlise de sistemas eltricos a N condutores, o Mtodo de Injeo de Correntes a N Condutores MICN. Desenvolve-se um mtodo, modelos de equipamentos e controles. Discute-se vrias caractersticas da metodologia proposta e anlises que podem ser realizadas. O MICN baseia-se no Mtodo de Injeo de Correntes em coordenadas retangulares, definido diretamente em coordenadas de fase e utiliza o mtodo de Newton-Raphson no processo de soluo. O desenvolvimento do MICN teve como premissa possibilitar representar os sistemas com tantos detalhes quanto for desejvel e possvel, de forma que anlises mais completas possam ser realizadas. Para tanto a modelagem dos componentes do sistema foi feita baseando-se em seus elementos, tornando a metodologia bastante flexvel, e a incluso de controles foi feita de forma otimizada. Portanto, a dimenso do sistema a ser solucionado pelo mtodo a estritamente necessria, e pode-se modelar componentes com qualquer nmero de condutores, com as mais diferentes configuraes. Permite-se representar desequilbrios, acoplamentos mtuos, cabos neutros, aterramentos e solo de maneira explcita, gerao distribuda, dentre vrias outras caractersticas. O MICN tem se mostrado eficiente e robusto computacionalmente, sendo um mtodo de aplicao bem geral, podendo ser utilizado para anlise de sistemas equilibrados ou desequilibrados, radiais ou reticulados, podendo simular sistemas de transmisso, subtransmisso e distribuio, inclusive de grande porte. v

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.) A METHODOLOGY FOR ANALYSIS OF N-CONDUCTOR ELECTRICAL SYSTEMS USING THE CURRENT INJECTION METHOD Dbora Rosana Ribeiro Penido March / 2008 Advisors: Sandoval Carneiro Jnior Jos Luiz Rezende Pereira Department: Electrical Engineering This work proposes the development of a methodology for analysis of nconductor electrical systems, the N Conductor Current Injection Method NCIM. The method, equipment models and controls are developed. Many characteristics of the proposed methodology are discussed as well as potential analysis. NCIM is based on the Current Injection Method in rectangular coordinates; it is defined directly in phase coordinates and uses in the solution process the NewtonRaphson method. The NCIM development had the proposal of represent the systems with many details since it was desirable and possible, thus more complete analysis could be realized. For that reason the component modeling was created based in the elements, as a result the methodology become very flexible, and the controls representation was done in an optimized way. As a consequence, the system dimension to be solved by the method is strictly necessary, and it is possible to model components with any number of conductors, in many configurations. It is possible to represent unbalances, mutual couplings, neutral conductors, groundings and the earth in an explicit manner, distributed generations, besides other characteristics. NCIM is shown to be efficient and computationaly robust, it can be used to analyze both balanced and unbalanced systems, radial or meshed, and can simulate the transmission, sub-transmission and distribution, including large-scale systems.

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SUMRIO

Captulo 11.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Introduo................................................................................................ 1

Consideraes Iniciais ............................................................................................... 1 Motivaes .................................................................................................................. 2 Reviso Bibliogrfica................................................................................................. 5 Objetivos do Trabalho............................................................................................. 12 Publicaes Relacionadas ao Trabalho.................................................................. 14 Estrutura do Trabalho ............................................................................................ 16 Convenes e Nomenclaturas Utilizadas ............................................................... 17

Captulo 22.1 2.22.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4

Metodologia e Modelos de Componentes ............................................. 21

Introduo ................................................................................................................ 21 Mtodo de Injeo de Correntes a N Condutores................................................. 22Idia Bsica da Metodologia Proposta e Diferenas com Relao ao MICQ .....................22 Estrutura Bsica dos Modelos do MICN ............................................................................24 Metodologia do MICN .......................................................................................................25 Observaes........................................................................................................................28

2.32.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4

Modelos dos Principais Componentes Implementados no MICN ....................... 30RLC ....................................................................................................................................30 Linhas .................................................................................................................................36 Cargas.................................................................................................................................43 Transformadores.................................................................................................................48 Transformadores de Tape Varivel................................................................................61 Reguladores de Tenso ..................................................................................................64 Barras de Referncia e Geradores Sncronos......................................................................68 Mquinas de Induo..........................................................................................................76 Modelagem Bsica.........................................................................................................80 Mquina com Escorregamento Constante......................................................................82 Mquina com Potncia Eltrica de Entrada Constante ..................................................84 Motor Atendendo a Potncia Mecnica da Carga..........................................................89 Motor Atendendo o Conjugado da Carga ......................................................................94 Correo de Fator de Potncia............................................................................................99

2.3.4.1 2.3.4.2 2.3.5 2.3.6 2.3.6.1 2.3.6.2 2.3.6.3 2.3.6.4 2.3.6.5 2.3.7

2.4

Concluses do Captulo ......................................................................................... 110

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Captulo 33.1 3.23.2.1 3.2.1.1 3.2.1.2 3.2.1.3 3.2.1.4 3.2.2 3.2.2.1 3.2.2.2 3.2.2.3 3.2.2.4 3.2.2.5 3.2.3 3.2.3.1 3.2.3.2 3.2.4

Outros Aspectos do MICN................................................................... 112

Introduo .............................................................................................................. 112 Anlise de Caractersticas do Processo de Soluo do MICN ........................... 113Sistema Base.....................................................................................................................114 Existncia de Mltiplas Solues ................................................................................115 Viabilidade das Solues .............................................................................................116 Influncia da Impedncia de Aterramento na Soluo.................................................118 Inicializao de Variveis e Trajetrias de Convergncia ...........................................123 Procedimentos Extras .......................................................................................................130 Procedimento para Inicializao de Variveis de Neutro ............................................132 Procedimento para Determinao de Diversas Solues .............................................133 Procedimento para Busca de Solues Viveis ...........................................................135 Procedimento para Inicializao de Variveis .............................................................136 Procedimento para Auxiliar o Processo de Convergncia ...........................................136 Anlise de Nmeros de Condicionamento........................................................................139 Embasamento Matemtico...........................................................................................139 Influncias de Nmeros de Condicionamento no MICN .............................................144 Anlise da Influncia da Relao R/X dos Alimentadores ...............................................145

3.3 3.43.4.1 3.4.2 3.4.3

Mtodo de Clculo de Fluxo de Potncia Utilizando o MICN ........................... 153 Comparao de Metodologias: MICN x FBS ...................................................... 154Algoritmos de Soluo .....................................................................................................156 Teste e Tempos de Processamento Computacional ..........................................................157 Informaes Comparativas ...............................................................................................160

3.53.5.1 3.5.2 3.5.3

Representao do Solo........................................................................................... 161Linha Monofsica .............................................................................................................161 Linha N-fsica ..................................................................................................................167 Solo Implcito x Solo Explcito Sistema Exemplo ........................................................170

3.6 3.7

Mtodo para Clculo de Curto-Circuito Baseado no MICN ............................. 176 Concluses do Captulo ......................................................................................... 178

Captulo 44.1 4.2 4.3 4.44.4.1

Resultados ............................................................................................ 182

Introduo .............................................................................................................. 182 Testes com o Sistema IEEE4................................................................................. 183 Representao de um Transformador com Conexo Scott T ............................ 202 Anlise de Incluso de Gerao Distribuda ....................................................... 203Sistema Teste IEEE34 Original ........................................................................................204

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4.4.2 4.4.3 4.4.4

IEEE34 com Geradores de Induo..................................................................................204 Correo de Fator de Potncia no IEEE34 .......................................................................206 Outros Testes com o IEEE34............................................................................................213

4.5 4.6 4.7 4.8

Sistema de uma Concessionria Brasileira.......................................................... 217 Sistema NEV........................................................................................................... 223 Sistema NEV Circuito Simples ............................................................................. 232 Concluses do Captulo ......................................................................................... 247

Captulo 55.1 5.2

Concluses ........................................................................................... 250

Concluses Gerais .................................................................................................. 250 Trabalhos Futuros ................................................................................................. 253

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Captulo 1

Introduo

1.1 Consideraes IniciaisNas ltimas dcadas ocorreram mudanas significativas nos sistemas eltricos em todo o mundo. Em muitos lugares observou-se um rpido crescimento da demanda de energia eltrica, e, ao contrrio do necessrio, uma diminuio significativa de investimentos. Esta contradio, gerada por problemas econmicos e reforada por problemas de restries ambientais, fez com que as empresas utilizassem cada vez mais dos seus sistemas de energia. Aliada a isto acrescenta-se, em vrios sistemas, a mudana do modelo de monoplio para o modelo competitivo, o qual por sua prpria natureza leva a intensificao da utilizao do sistema eltrico, aproveitando ao mximo possvel suas disponibilidades. Por estes e outros motivos vrios sistemas de potncia em todo o mundo passaram a operar muito prximos dos seus limites permissveis, levando a diversos problemas e aumentando a complexidade operacional dos sistemas. Tambm de considervel importncia tem sido o incentivo a utilizao de fontes alternativas de energia (elica, solar, biomassa, etc...) e a explorao de usinas geradoras de baixa potncia, alm de ter ocorrido um aumento significativo no nmero de cogeradores e autoprodutores independentes. Estes fatos contribuem para uma previso atual de que principalmente os sistemas eltricos de distribuio iro experimentar um considervel crescimento da penetrao da Gerao Distribuda nos prximos anos, devido a vrios fatores, especialmente ao aumento das preocupaes com a parte ambiental e ao desenvolvimento de novas tecnologias. A tendncia que isto aumente mais ainda a complexidade dos sistemas, as dificuldades da operao e do planejamento, sendo que alguns aspectos de funcionamento ainda no tm regras bem definidas. Outro fato que tem contribudo para as modificaes no sistema eltrico que, especialmente nos ltimos anos, as exigncias dos consumidores em relao qualidade e confiabilidade dos servios de fornecimento de energia eltrica tornaram-se crescentes, especialmente devido proliferao do uso de equipamentos sensveis e a maior conscientizao da populao sobre seus direitos. Somando-se a isso, os apages ocorridos nos ltimos anos, mostraram claramente que o sistema eltrico uma infra-estrutura estratgica para o pas, tanto para a economia quanto para a 1

qualidade de vida. E, a reestruturao sofrida pelo setor eltrico em muitos lugares, exigiu melhorias para a operao segura e eficiente dos sistemas. Como conseqncia destes fatores, as empresas tem buscado a otimizao de seus sistemas, de forma a cumprir com suas obrigaes, assegurar um grau sempre crescente de qualidade de energia aos seus consumidores, e ao mesmo tempo reduzir seus custos operacionais e as perdas, com objetivo final de aumentar seus lucros. E neste processo, surgem novos equipamentos e novas filosofias para a operao e para o planejamento, no mbito da gerao, da transmisso e da distribuio. So efetuadas mudanas estruturais nos sistemas e novas tecnologias so implementadas, onde hoje pode-se destacar como exemplo a automao e o controle em tempo real dos sistemas de distribuio e transmisso. Tudo isto reforado pela comprovada importncia da energia eltrica, tanto do ponto de vista econmico, de segurana e estratgico, determinam a necessidade de constantes melhorias nos procedimentos de operao, nos critrios e nos processos de planejamento, nos estudos, nos desenvolvimentos tecnolgicos e, conseqentemente, nas metodologias das ferramentas analticas desenvolvidas para utilizao no setor eltrico para auxiliar a execuo de todos os processos citados. Considera-se ento de grande relevncia os desenvolvimentos de ferramentas avanadas, com novos algoritmos e modelos para anlise dos sistemas eltricos.

1.2 MotivaesOs sistemas eltricos possuem as mais variadas caractersticas. Na transmisso, uma vez que os principais troncos so transpostos, os efeitos causados pelos desequilbrios normalmente so desprezados. Assim, nas metodologias para anlise em regime permanente supe-se que o sistema trifsico opera em condies de equilbrio e adota-se uma modelagem monofsica (ou somente seqncia positiva) para resolver o problema. Essa aproximao no leva a grandes diferenas nos resultados, desde que os desequilbrios nos sistemas sejam pequenos. Porm, caso seja necessrio simular equipamentos com caractersticas especiais, como por exemplo as linhas de potncia natural elevada (LPNE), com configuraes assimtricas, ou para analisar curtocircuitos assimtricos, ou ainda para estudos de harmnicos, necessrio utilizar

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modelos e mtodos que consigam tratar suas particularidades, e nestes casos a anlise monofsica insuficiente. A distribuio apresenta comumente caractersticas que geram considerveis desequilbrios entre as fases: cargas distribudas desequilibradas, assimetria nas linhas, circuitos monofsicos, bifsicos e trifsicos. Estas caractersticas, aliadas nolinearidade dos equipamentos na rede podem gerar considerveis correntes de retorno, tanto na freqncia fundamental quanto correntes harmnicas (BALDA et al., 1997). Essas correntes aumentam as tenses dos neutros e podem causar grandes fluxos de corrente pela terra e pelos cabos neutros sob condies normais de operao. Isso gera problemas de qualidade de energia, pode causar interferncia em sistemas de comunicao e equipamentos eletrnicos, aumenta as perdas nos sistemas, diminui a sensibilidade de equipamentos de proteo, gera falta de segurana para equipamentos e humana, e o desequilbrio dificulta a operao do sistema (PENIDO, 2004). Sabe-se que muitos desses problemas nos sistemas de distribuio podem ser mitigados pela utilizao de configurao apropriada, e por este motivo existe uma forte atividade no mundo no sentido de reexaminar e melhorar as prticas de configuraes destes sistemas (MELIOPOULOS et al., 1998). Com relao a configuraes utilizadas, em reas com alta densidade de carga, como por exemplo, os centros de algumas cidades, a topologia da rede de distribuio est se tornando fortemente malhada. Hoje a configurao trifsica a quatro condutores com mltiplo aterramento de neutro largamente adotada nos sistemas mais modernos, devido ao fato da mesma possuir um custo menor de instalao e uma maior sensibilidade para proteo de faltas quando comparada aos sistemas trifsicos a trs condutores (CHEN e YANG, 2001, SHORT et al., 2002). E existem ainda inmeras outras configuraes nos sistemas de distribuio. Apesar da grande utilizao de cabos neutros nos sistemas, na maioria dos programas para anlise e clculo de fluxo de potncia, seus efeitos so incorporados nas fases, utilizando-se uma aproximao com a reduo de Kron, ou so at mesmo negligenciados, para simplificar a simulao (CHEN e YANG, 2001). Alm disso, muitas vezes os aterramentos tambm no so considerados. Negligenciar os neutros e os sistemas de aterramento nas metodologias de clculo pode levar a resultados imprecisos ou at mesmo incorretos. Neste sentido, verificando-se as diversas configuraes existentes encontra-se ainda muitas demandas a serem incorporadas nas metodologias para anlise de sistemas

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eltricos, como a representao de sistemas a cinco condutores, representao explcita das malhas de aterramento e retorno pelo solo, representao dos cabos para-raios, etc. Nos sistemas eltricos existem ainda equipamentos com configuraes das mais diversas. Como exemplos pode-se citar: os vrios tipos de transformadores, com tape central no delta aterrado, transformadores com defasagens angulares diferentes de +30o e -30o (como exemplo 7,5o graus) (PAICE, 1999); equipamentos com vrias fases (por exemplo os hexafsicos); e ainda equipamentos que possuem caractersticas de funcionamento especficas, determinadas por controles. Nestes casos a utilizao de modelos padres nas anlises pode levar a resultados insatisfatrios, sendo necessria uma modelagem melhor. Porm atualmente muitas metodologias s possuem os modelos padres e no conseguem tratar equipamentos diferentes. Analisando-se os vrios sistemas eltricos e seus equipamentos, a partir de alguns exemplos que foram relatados, pode-se verificar que os mesmos possuem uma grande variedade de configuraes, de caractersticas distintas de construo e de comportamento. Sabe-se que para a anlise e gerenciamento dos sistemas importante buscar a representao mais fiel e adequada, de acordo com o estudo ou procedimento a ser realizado, das vrias caractersticas das redes para melhorar a preciso dos resultados obtidos nas simulaes. As anlises que precisam ser feitas tambm so as mais variadas, apenas como exemplos pode-se citar: analisar o sistema quando as conexes dos alimentadores resultam em tenses e correntes desequilibradas que podem afetar negativamente os motores trifsicos ou sobrecarregar os transformadores; ou ainda, analisar corretamente situaes de falta no sistema, especialmente quando a conexo do transformador permite que as correntes de defeito no secundrio possam realimentar o primrio, dentre vrias outras situaes. E existem ainda anlises onde metodologias muito adequadas para sistemas de transmisso no devem ser utilizadas para sistemas de distribuio. Para atender a todos os aspectos mencionados preciso melhorar as metodologias, os modelos e as bases de dados utilizados nas ferramentas empregadas na anlise dos sistemas eltricos. A melhoria da base de dados bastante dependente da atuao das empresas do setor que aos poucos tm se conscientizado da importncia desta atividade, para suprir suas prprias necessidades de planejamento da expanso e da operao. J a melhoria das metodologias e dos modelos tem sido uma atividade constante principalmente entre os pesquisadores.

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Dentre as ferramentas empregadas para anlise dos sistemas eltricos, os programas para clculo de fluxo de potncia so atualmente os mais utilizados. Na literatura pode-se encontrar inmeras metodologias e modelos desenvolvidos, alm de se verificar na prtica o uso de muitos programas diferentes. Suas utilizaes so determinadas pelos mais variados motivos, como facilidade de utilizao, necessidades de preciso do estudo, disponibilidade de dados e caractersticas do sistema a ser simulado. Uma tendncia o aumento da busca por qualidade nos resultados, ou seja, maior detalhamento exigido. Mas de maneira geral, o que se observa que existem vrias ferramentas com suas particularidades, e por causa destas particularizaes muitas vezes elas tm sua utilizao restringida a determinados sistemas eltricos. Considerando tudo o que foi descrito, v-se a necessidade e tem-se a motivao de continuar a desenvolver metodologias para anlise de sistemas eltricos, que sejam robustas computacionalmente, mas ao mesmo tempo flexveis para poderem ser empregadas nos mais variados tipos de sistema (equilibrados ou desequilibrados, monofsicos, bifsicos, trifsicos, possuindo cabos neutros ou no, radiais ou reticulados, com diversos tipos de aterramento, com gerao distribuda, etc) e cujos modelos tambm consigam representar satisfatoriamente as caractersticas dos diversos componentes dos sistemas (com qualquer quantidade de fases n fases, com mtuas ou no, com controles, com configuraes especiais, etc).

1.3 Reviso BibliogrficaOs resultados de ferramentas de anlise de sistemas e clculo de fluxo de potncia so utilizados no planejamento da expanso e da operao, na otimizao dos sistemas, na anlise de estabilidade, nos estudos de contingncias, no controle e anlise em tempo real, e em projetos de vrias espcies. Constantemente so desenvolvidos e discutidos vrios algoritmos para soluo do fluxo de potncia, utilizando as mais diversas metodologias. Dentre os mais conhecidos, destacam-se os mtodos de Newton-Raphson em coordenadas polares (TINNEY e HART, 1967, MONTICELLI, 1983) e o mtodo Desacoplado Rpido (STOTT e ALSAC, 1974). A eficincia destes mtodos na soluo de sistemas de transmisso bastante boa. Todavia, em sistemas de distribuio desequilibrados, as simplificaes adotadas na modelagem dos sistemas (seqncia

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positiva) no permitem a obteno de resultados realsticos. Alm disso, para sistemas com relao R/X das linhas elevada, caracterstica comum aos sistemas de distribuio, o mtodo Desacoplado Rpido apresenta dificuldade de convergncia (ROYTELMAN, 1999). Para solucionar o problema de representao de sistemas desequilibrados, adotouse a formulao trifsica para o problema do fluxo de carga. Em WASLEY e SLASH (1974) e em BIRT, GRAFFY e MACDONALD (1976) foram apresentadas extenses trifsicas para os tradicionais mtodos descritos em TINNEY e HART (1967) e em STOTT e ALSAC (1974). Porm, os acoplamentos mtuos e a necessidade de constantes refatoraes da matriz Jacobiana na forma trifsica, tornaram estes mtodos na poca extremamente complexos (ROYTELMAN, 1999). Uma metodologia trifsica, especfica para sistemas de distribuio, foi descrita em KERSTING e MENDIVE (1976). Nesta formulao, explora-se a caracterstica radial de grande parte dos sistemas de distribuio, sendo a soluo do problema obtida adotando-se a teoria dos circuitos Ladder. Este mtodo, o qual consiste em varreduras sucessivas do n fonte em direo aos ns terminais e vice-versa, mostrou-se eficiente na soluo de sistemas radiais sem a presena de derivaes (ramos laterais). Contudo, para sistemas com ramificaes laterais, necessria a realizao de iteraes auxiliares para cada um destes ramos. Como os programas de fluxo de potncia trifsico demandavam esforos computacionais elevados, diversos pesquisadores optaram por algoritmos que utilizam modelagem de seqncia positiva. Assim sendo, em RAJICIC e BOSE (1988) apresentou-se um fluxo de carga desacoplado modificado, no qual utilizam-se tcnicas de compensao para solucionar os problemas causados por ramos onde a relao R/X elevada. Por considerar apenas seqncia positiva o mtodo no adequado para sistemas desequilibrados. Em SHIRMOHAMMADI et al. (1988) foi proposto um mtodo para soluo de sistemas radiais e fracamente malhados. Neste mtodo, o sistema primeiramente convertido em um sistema estritamente radial, sendo em seguida aplicado um procedimento que consiste na aplicao direta das leis de Kirchhoff em dois passos. No primeiro passo, partindo dos ns terminais em direo ao n fonte, calculam-se as correntes nos ramos (Backward Sweep). No segundo passo, partindo do n fonte em direo aos ns terminais, calculam-se as tenses nodais (Forward Sweep). Mtodos deste tipo so chamados Forward-Backward Sweep (FBS) ou Varredura. 6

Rotinas para soluo do fluxo de potncia em sistemas puramente radiais foram propostas em BARAN e WU (1989), CHIANG (1991) e em CSPEDES (1990). Em BARAN e WU (1989), para cada ramo do sistema determina-se trs equaes fundamentais que representam a potncia ativa, a potncia reativa e o mdulo da tenso, em seguida aplica-se o mtodo de Newton-Raphson. Verses desacopladas para este mtodo foram descritas em CHIANG (1991) e em CSPEDES (1990), onde fundamentados na pouca defasagem angular entre os ns adjacentes de um sistema de distribuio, os ngulos das tenses so desprezados, ou seja, considerou-se somente o mdulo da tenso. Porm os resultados obtidos pelas metodologias so aproximados. Uma formulao semelhante ao mtodo descrito em SHIRMOHAMMADI et al. (1988) foi apresentada em LUO e SEMLYEN (1990). Segundo seus autores a maior contribuio desse mtodo consiste na substituio da corrente complexa pelas potncias ativa e reativa como variveis. Tambm foi desenvolvida uma metodologia mais simples e adequada para a representao de barras do tipo PV. Em CHEN et al. (1991) uma formulao Zbus, onde o mtodo de Gauss aplicado, foi descrita. Aplicando o princpio da superposio, considera-se neste caso que a tenso em cada barra resultante de dois componentes: tenses especificadas para barras do tipo PV e injees de correntes para barras do tipo PQ. Em DAS et al. (1995), os mdulos das tenses nodais so escritos em funo do somatrio das potncias ativa e reativa das cargas e em funo do somatrio das perdas. Posteriormente, a partir do n fonte em direo aos ns terminais (Forward Sweep), determina-se a soluo do fluxo de carga. Com o decorrer dos anos, devido ao grande desenvolvimento da informtica, os engenheiros e pesquisadores voltaram a considerar as formulaes trifsicas. Uma anlise trifsica dos mtodos propostos em SHIRMOHAMMADI et al. (1988) e em LUO e SEMLYEN (1990), considerando anlise em tempo real, foi apresentada em CHENG e SHIRMOHAMMADI (1995). Porm, segundo a prpria discusso desse artigo, os algoritmos baseados na tcnica de varredura tendem a divergir para sistemas que possuem barras do tipo PV e malhas. Um algoritmo trifsico desacoplado, explorando a caracterstica radial dos sistemas de distribuio, no qual um esquema de ordenao dos ramos laterais aplicado visando reduo do nmero de equaes descrito em ZIMMERMAN (1995). Contudo, esse trabalho deficiente na representao de outras unidades de gerao. 7

Em GARCIA e ZAGO (1996) apresentou-se uma nova formulao trifsica desacoplada baseada na teoria descrita em MONTICELLI et al. (1990). Nesse mtodo, o clculo das correes dos ngulos e das tenses (matrizes B e B) se d de forma diferenciada das demais formulaes desacopladas, sendo a metodologia proposta mais eficiente. Em ZHANG e CHENG (1997) a estrutura radial dos sistemas de distribuio explorada e a matriz Jacobiana expressa pelo produto UDUt, onde U uma matriz triangular superior constante e D uma matriz diagonal cujos elementos so atualizados a cada iterao. Em MIU et al. (1997) as equaes das perdas de potncia, tenso e fluxo de corrente nos ramos so escritas de forma explcita. Posteriormente adota-se um procedimento tipo varredura para determinao da soluo do fluxo de carga. Porm, como comum em muitos trabalhos que adotam esse tipo de procedimento, barras PV no so representadas. Uma formulao trifsica onde a matriz Jacobiana colocada na forma complexa descrita em NGUYEN (1997). Contudo adota-se algumas simplificaes onde a variao da tenso desconsiderada para o clculo dos resduos de potncia complexos o que pode causar dificuldades de obteno da convergncia. Formulaes que adotam o mtodo de Newton-Raphson e so baseadas nas equaes de injeo de corrente foram apresentadas em LIN et al. (1999) e em MOON et al. (1999). Porm, esses mtodos no permitem a incluso de barras do tipo PV e as simplificaes adotadas no permitem a representao de equipamentos de controle. Em TENG (2003) so desenvolvidas duas matrizes bus-injection to branchcurrent e branch-current to bus-voltage, que so utilizadas para se obter solues de fluxo de potncia por meio de multiplicao simples de matrizes. Este mtodo utilizado apenas para sistemas com estrutura radial ou fracamente malhada, e assim, pode-se evitar o tempo consumido em fatorao LU e na soluo da matriz Jacobiana ou da matriz admitncia de barras, requerida nos mtodos tradicionais. Porm, reduz a utilidade do algoritmo a apenas determinados sistemas, radiais ou fracamente malhados. Existem diversas configuraes para sistemas trifsicos. Em SHORT et al. (2002) simulado e construdo um sistema de distribuio a cinco condutores. J em WARD et al. (2003) realizada uma anlise de sistemas de distribuio a cinco condutores, comparando-se suas caractersticas com as dos sistemas a quatro condutores, mostrando as configuraes mais adequadas para cada caso. 8

Em BIJWE e KELAPURE (2003) apresentado um mtodo de fluxo de potncia intitulado no-divergente, onde se utiliza a matriz Jacobiana constante, nas verses acoplado e desacoplado rpido, utilizando multiplicadores timos aplicados ao ajuste dos passos de iterao. O mtodo no trata sistemas trifsicos desequilibrados e, devido s suas caractersticas, o processo converge em um nmero elevado de iteraes. Em CIRIC et al. (2003) proposto um algoritmo de fluxo de potncia para redes radiais de distribuio trifsicas, a quatro condutores, considerando aterramento de neutro, baseado na tcnica FBS. Neste algoritmo uma vantagem que tanto o fio neutro quanto o solo so explicitamente representados. Porm, mtodos baseados em tcnica de varredura, como o FBS, no se comportam bem quando aplicados a sistemas reticulados e apresentam dificuldade de convergncia em alguns casos. A preocupao com a representao explcita dos cabos neutros e dos aterramentos dos sistemas um tema atual e com grande destaque na literatura. Um exemplo BALDA et al. (1997) que apresenta vrios problemas reais de correntes de neutro e mtodos eficazes de medio destas grandezas. Em KERSTING (2004a) demonstrado um procedimento para calcular as correntes de neutro e de aterramento, bem como as perdas associadas. Como ele utiliza um fluxo de potncia trifsico sem a representao explcita do neutro, torna-se necessrio usar uma aproximao com a reduo de Kron na representao das linhas. Vrias anlises relacionadas ao tipo de aterramento dos sistemas trifsicos a quatro condutores so apresentadas em OKA et al. (2002) e CHANG et al. (2003). Sendo que CHANG et al. (2003) analisa como as cargas desequilibradas, as conexes de bancos de transformadores, o defeito em bancos de capacitores e os circuitos utilizados para roubo de energia contribuem para o aumento da corrente de neutro. Em CHEN e YANG (2001) foi proposto no um algoritmo de fluxo de potncia, mas um programa de simulao de redes utilizando o PSpice para Windows, que usando modelos equivalentes representa e simula o sistema de distribuio, podendo ser utilizado para analisar os desequilbrios, mas limitado a sistemas pequenos. Em ZHANG et al. (2005) apresentado um algoritmo de fluxo de potncia trifsico continuado para analisar os problemas de estabilidade de tenso em sistemas desbalanceados. Mostra-se que as curvas PV dos sistemas trifsicos desbalanceados no seguem os mesmos padres que as curvas PV dos sistemas balanceados ou considerando seqncia positiva.

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Em TONG e MIU (2005) so revistos os conceitos das barras PV para acomodar as geraes dispersas em sistemas de distribuio desequilibrados e remodelado o conceito de fatores de participao para distribuir as perdas entre os geradores durante o clculo do fluxo de potncia. Um algoritmo trifsico que se baseia em desacoplamento entre as componentes de seqncia apresentado em ABDEL-AKHER et al. (2005), onde a parcela do problema relacionado com as componentes de seqncia positiva solucionada utilizando o mtodo de Newton e as componentes de seqncia negativa e zero por soluo direta de sistemas (I=YV). Apesar dos seus autores afirmarem que o mtodo mais robusto e eficiente que os mtodos baseados em coordenadas de fase, vrias questes no so resolvidas, entre elas: situaes onde no ocorre desacoplamento entre as seqncias, como representar ramais monofsicos e bifsicos, diferenas encontradas nos resultados quando comparados com aqueles dos casos base, alm de considerarem vrias simplificaes. Novas metodologias baseadas em ferramentas de otimizao e tcnicas inteligentes para a soluo do problema do fluxo de potncia vm sendo propostas na literatura. Em BIJWE e RAJU (2006) modelado um fluxo de potncia para sistemas desequilibrados utilizando lgica fuzzy para tratar as incertezas dos dados de entrada, mas os autores indicam que o mtodo desenvolvido s pode ser utilizado em sistemas radiais ou fracamente malhados, e ainda no apresenta um bom desempenho computacional. Em 2006, em vrios artigos apresentados no General Meeting de 2006 do IEEE, dentre eles ASSIS et al. (2006), KEANE e OMALLEY (2006), PRATA (2006), KASHEM et al. (2006), observou-se uma preocupao em obter metodologias que possam ser utilizadas para avaliar os impactos da gerao distribuda nos sistemas de distribuio. Cada artigo apresenta normalmente soluo para um determinado aspecto do problema. Em 2007 notou-se especial interesse em ferramentas de anlise de sistemas que possam representar e simular mais detalhes, permitindo anlises mais apuradas de determinadas situaes, especialmente na distribuio. Isto pode ser verificado em trabalhos como por exemplo MIU e CARNEIRO JR. (2007), SMITH et al. (2007), MCDERMOTT (2007), SHODER e FELIACHI (2007), DUGAN (2007). Como se pode observar, muitas metodologias tm sido propostas para analisar os sistemas e para resolver o problema de fluxo de potncia, e nos ltimos anos tem se 10

dado nfase s metodologias trifsicas, que so essenciais especialmente para utilizao em sistemas de distribuio, por causa de sua natureza desequilibrada. A anlise multifsica tem ganhado fora principalmente devido ao interesse de conectar gerao distribuda ao sistema de distribuio, alm de ser til na anlise harmnica, e para tantos outros estudos, e de maneira geral o meio para verificar como as caractersticas dos equipamentos influenciam no desequilbrio e vice-versa, para que os sistemas possam ser corretamente analisados. O mtodo FBS tem sido mais utilizado pela maioria dos autores, devido a ser considerado de bom desempenho e simples de implementar. Entretanto, pode requerer um grande nmero de iteraes para condies de carga pesada e especialmente quando equipamentos de controle e gerao distribuda esto presentes no sistema (ARAUJO et al., 2006a e 2006b). O FBS tambm apresenta limitaes para resolver sistemas no radiais (malhados). Caractersticas adicionais tm sido incorporadas em alguns algoritmos que utilizam FBS para superar estas dificuldades (LUO e SEMLYEN, 1990, ZHU e TOMSOVIC, 2002, STOICESCU et al., 2002, XIAO et al., 2006, WANG et al., 2004), mas na maioria dos casos o esforo computacional aumenta consideravalmente, e a convergncia nem mesmo atingida em alguns casos (ARAUJO et al., 2006a e 2006b). Em COSTA et al. (1999) foi desenvolvida inicialmente uma metodologia para sistemas em EAT e UAT baseada no mtodo de injeo de correntes, que se mostrou 30% mais rpida que o mtodo de Newton-Raphson convencional. Baseando-se nesta idia, em seguida foi proposta por GARCIA et al. (2000) uma formulao que tambm utiliza as equaes de injees de correntes, porm em cada fase, que so escritas em coordenadas retangulares, o que resulta numa matriz Jacobiana formada por blocos (de dimenso 6 x 6) muito prxima da matriz admitncia de barras. Esta metodologia para clculo de fluxo de potncia foi denominada Mtodo de Injeo de Correntes Trifsico MICT. Outros desenvolvimentos foram feitos no MICT para possibilitar a representao de equipamentos de controle (GARCIA, 2001, GARCIA et al., 2001, GARCIA et al., 2004). Novas rotinas muito eficientes foram desenvolvidas para realizar ordenao e fatorao das matrizes (ARAUJO, 2000), as quais foram incorporadas no processo de soluo, e assim o MICT tornou-se competitivo com o FBS at mesmo para sistemas puramente radiais e tem se mostrado mais robusto computacionalmente para sistemas malhados, bem como na presena de equipamentos de controle (ARAUJO et al., 2007). 11

Entretanto, o MICT, em sua modelagem, utiliza uma considerao que vlida apenas para sistemas equilibrados ou solidamente aterrados em todas as barras: considera as tenses de neutro sempre nulas em todas as barras do sistema. Sabe-se que esta considerao incorreta para a maioria dos sistemas desequilibrados, logo ao utilizar o MICT para solucion-los o que se obtem so resultados aproximados. E o MICT tambm no permite a representao de aterramentos e condutores neutros. Alm disso, sua implementao apresenta deficincias na representao de transformadores e cargas em delta. Com o objetivo de eliminar as aproximaes do MICT e melhorar a modelagem, utilizando-se a mesma filosofia, foi criado o Mtodo de Injeo de Correntes a Quatro Condutores - MICQ (PENIDO, 2004; PENIDO et al., 2004a e 2004b), que acrescenta a representao do quarto condutor, possibilitando valores diferentes de zero para tenses de neutro. Este mtodo permite o clculo direto de tenses e correntes nas fases bem como nos cabos neutros. Tambm foram desenvolvidas formas de representar aterramentos de neutros e foram modelados alguns equipamentos do sistema a quatro condutores. Nesta formulao, a matriz Jacobiana composta por blocos de dimenso 8 x 8, e sua estrutura esparsa.

1.4 Objetivos do TrabalhoEm PENIDO (2004), verificou-se que ainda existiam melhorias a serem realizadas no MICQ, que ficaram como sugestes de trabalhos futuros, como por exemplo modelar outros equipamentos do sistema e desenvolver controles para serem acrescentados no mtodo de soluo do fluxo de potncia. Desenvolver estas melhorias foi a proposta inicial para esta tese de doutorado. Porm, no decorrer do trabalho, surgiu a necessidade de simular os sistemas criados pelo Subcomit de Anlise de Sistemas de Distribuio da PES do IEEE (DSASC), e ao tentar fazer isto utilizando o MICQ verificou-se que existem equipamentos no sistema com configuraes bem diferentes e que para model-los seria necessrio realizar aproximaes e/ou usar artifcios no MICQ. Alm disso, o subcomit tem lanado constantemente desafios para os desenvolvedores de programas para anlise de sistemas eltricos de distribuio, com o objetivo de verificar quais metodologias so capazes de representar e simular

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determinados sistemas, com caractersticas diferentes, principalmente bastante desequilibrados. A idia do subcomit estimular a melhoria dos mtodos preparandoos para as novas necessidades, como por exemplo, modelar melhor a gerao distribuda, representar os diversos tipos de controles, e permitir anlises mais complexas dos sistemas. Ao tentar realizar estas tarefas encontrou-se dificuldades e at mesmo limitaes no MICQ, especialmente por causa de sua estrutura blocada, onde todo componente gera blocos de dimenso fixa 8 x 8 para a matriz Jacobiana, mesmo quando o equipamento no possui os quatro ns (relativos as fases a, b, c e neutro), e tambm os controles precisam ser definidos nesta estrutura blocada, o que aumenta muito, sem necessidade, a dimenso do sistema a ser solucionado e pode dificultar a convergncia devido ao tratamento matemtico necessrio. E ainda, com o MICQ no se consegue, sem a utilizao de artifcios, representar componentes que tenham mais de quatro ns. A partir da, teve-se a idia de desenvolver uma metodologia para anlise de sistemas eltricos, utilizando-se tambm o mtodo de injeo de correntes, mas que fosse mais flexvel, sem a estrutura fixa de blocos, para solucionar sistemas com equipamentos com n condutores. Neste caso, a modelagem de cada componente geraria apenas as contribuies dele, de acordo com os ns em que est conectado, representando apenas o que existente, e os controles tambm acrescentariam apenas as equaes necessrias. Assim, a dimenso do sistema a ser solucionado seria a estritamente necessria e poder-se-ia modelar componentes com qualquer nmero de condutores, com as mais diferentes configuraes. A metodologia proposta mais otimizada e flexvel permitindo inclusive a sua utilizao (sem alteraes nos cdigos do programa) tambm para formulaes puramente monofsicas, reduzindo-se consideravelmente os custos de manuteno, de desenvolvimento e testes do programa computacional. importante ressaltar que se considera o MICQ como uma metodologia que j apresenta muitas caractersticas boas e algumas vantagens, quando comparado com outros mtodos existentes. Assim, muito importante que ao desenvolver a nova metodologia, todas as boas caractersticas j observadas sejam mantidas, as quais somadas as melhorias propostas gerem um mtodo melhor para anlise dos sistemas eltricos de potncia. Algumas caractersticas boas do MICQ que considera-se importante manter so: formulao direta em coordenadas de fase; aplicao do mtodo de injeo de correntes em coordenadas retangulares, aproveitando sua estrutura esparsa 13

semelhante a da matriz admitncia nodal; representao explcita de cabos neutros e aterramentos quando existentes; aplicao tanto para sistemas radiais quanto malhados; utilizao do mtodo de Newton-Raphson na soluo do sistema de equaes; possibilidade de modelar acoplamentos mtuos e desequilbrios; dentre outras. Portanto, resolveu-se focar este trabalho no desenvolvimento de uma nova metodologia para anlise de sistemas eltricos, o Mtodo de Injeo de Correntes a N Condutores - MICN, buscando incorporar as caractersticas descritas nos trs pargrafos anteriores, bem como modelar equipamentos e controles que ainda no haviam sido desenvolvidos, incluindo modelos para gerao distribuda. Deseja-se que o MICN possa ser utilizado para fazer diversas anlises nos sistemas, dentre elas o clculo do fluxo de potncia, anlise de desequilbrios e estudos de impactos de gerao distribuda. Pretende-se que a metodologia desenvolvida seja eficiente e robusta computacionalmente e que o mtodo seja de aplicao bem geral, podendo ser utilizado para anlise de sistemas equilibrados ou desequilibrados, para sistemas radiais ou reticulados, com cargas ou ramais monofsicos, bifsicos e trifsicos, podendo ser utilizado em sistemas de transmisso, subtransmisso e distribuio, inclusive sistemas de grande porte. Com relao implementao computacional, o MICN foi desenvolvido em MATLAB.

1.5 Publicaes Relacionadas ao TrabalhoPENIDO, D. R. R., ARAUJO, L. R., PEREIRA, J. L. R., GARCIA, P. A. N., CARNEIRO JR., S., 2004, Fluxo de Potncia a Quatro Condutores Baseado no Mtodo de Injeo de Correntes, XV Congresso Brasileiro de Automtica, Gramado, Rio Grande do Sul, Brasil, Setembro. PENIDO, D. R. R., ARAUJO, L. R., PEREIRA, J. L. R., GARCIA, P. A. N., CARNEIRO JR., S., 2004, Four Wire Newton-Rapshon Power Flow Based on the Current Injection Method, 2004 IEEE Power Systems Conference & Exposition, Nova York, Estados Unidos, Outubro. PENIDO, D. R. R., ARAUJO, L. R., CARNEIRO JR., S., PEREIRA, J. L. R., 2006, Unbalanced Three-Phase Distribution System Load-Flow Studies Including

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Induction Machines, Panel on Induction Machine Modeling for Distribution System Analysis, 2006 IEEE PES General Meeting, Montreal, Quebec, Canada, Junho. ARAUJO, L. R., PENIDO, D. R. R., CARNEIRO JR., S., PEREIRA, J. L. R., GARCIA, P. A. N., 2006, Comparaes entre o Mtodo de Injeo de Correntes Trifsicas e o Forward/Backward Sweep em Grandes Sistemas de Distribuio, Simpsio Brasileiro de Sistemas Eltricos 2006, Campina Grande, Paraba, Brasil, Julho. ARAUJO, L. R., PENIDO, D. R. R., CARNEIRO JR., S., PEREIRA, J. L. R., GARCIA, P. A. N., 2006, A Comparative Study on the Performance of TCIM Full Newton versus Forward-Backward Power Flow Methods for Large Distribution Systems, 2006 IEEE Power Systems Conference & Exposition, Atlanta, Georgia, Estados Unidos, Outubro. ARAUJO, L. R., PENIDO, D. R. R., CARNEIRO JR., S., PEREIRA, J. L. R., GARCIA, P. A. N., 2007, A Study on the Performance of TCIM Full Newton Power Flow for Large Distribution Systems, 19th International Conference on Electricity Distribution CIRED, Viena, ustria, Maio. PENIDO, D. R. R., ARAUJO, L. R., CARNEIRO JR., S., PEREIRA, J. L. R., GARCIA, P. A. N., 2007, Power Factor Correction on Distribution Networks Including Distributed Generation, 2007 IEEE PES General Meeting, Tampa, Flrida, Estados Unidos, Junho. PENIDO, D. R. R., ARAUJO, L. R., CARNEIRO JR., S., PEREIRA, J. L. R., GARCIA, P. A. N., 2007, Three-phase Power Flow Based on Four-Conductor Current Injection Method for Unbalanced Distribution Networks, aceito para publicao na revista IEEE Transactions on Power Systems. PENIDO, D. R. R., ARAUJO, L. R., CARNEIRO JR., S., PEREIRA, J. L. R., 2008, Solving the NEV Test Case Using the Current Injection Full-Newton Power Flow, Advances in Distribution System Analysis Panel, 2008 Transmission and Distribution Conference and Exposition, Chicago, Abril. PENIDO, D. R. R., ARAUJO, L. R., CARNEIRO JR., S., PEREIRA, J. L. R., 2008, Solving the Single-circuit NEV Test Case Using the Current Injection FullNewton Power Flow, Stray Voltage Analysis Panel, 2008 IEEE PES General Meeting, Pittsburgh, Junho.

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1.6 Estrutura do TrabalhoEste trabalho composto de cinco captulos, incluindo este de introduo e os outros que sero descritos a seguir. No Captulo 2 descreve-se as caractersticas bsicas da metodologia proposta e desenvolve-se o Mtodo de Injeo de Correntes a N Condutores - MICN. Apresenta-se os modelos utilizados e aqueles desenvolvidos neste trabalho para equipamentos dos sistemas eltricos, bem como a formulao desenvolvida para controles. Dentre os modelos desenvolvidos esto algumas possibilidades de representao da Gerao Distribuda. No Captulo 3 discute-se aspectos adicionais do MICN, detalhando algumas de suas caractersticas e apresentando possibilidades de utilizao. Analisa-se o processo de convergncia, verificando seu relacionamento com as inicializaes das variveis e com os nmeros de condicionamento das matrizes, analisa-se a utilizao de procedimentos extras no mtodo de Newton-Raphson e a possibilidade de mltiplas solues, especialmente em sistemas desequilibrados que possuem neutros e aterramentos. Apresenta-se a utilizao do MICN para clculo de fluxo de potncia em sistemas eltricos com n condutores, mostrando o algoritmo do mtodo de clculo. Realiza-se uma comparao entre o MICN e um mtodo FBS de soluo de sistemas. Faz-se uma anlise de possibilidades de representao do solo na soluo dos sistemas. E apresenta-se a utilizao do MICN como base para uma metodologia de clculo de curto-circuito. No Captulo 4 apresenta-se resultados alcanados e anlises realizadas com a metodologia proposta, a partir de testes e simulaes em sistemas reais e nos sistemas propostos pelo DSASC da PES/IEEE, incluindo os desafios de simulao mais recentes lanados pelo DSASC. E finalmente no Captulo 5 encontram-se as concluses gerais do trabalho e as propostas de trabalhos futuros.

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1.7 Convenes e Nomenclaturas UtilizadasApresenta-se nesta seo algumas convenes e nomenclaturas utilizadas neste trabalho, com o objetivo de facilitar a leitura e evitar possveis interpretaes errneas. Na Tabela 1.1 apresentada a conveno utilizada para distino dos tipos de variveis:

Tabela 1.1 Convenes adotadas para escrita de variveis

Tipo da varivel Escalar Real Escalar Complexo Vetor Matriz

Tipo de escrita Minscula em itlico Maiscula em itlico Minscula em negrito Maiscula em negrito

Exemplo x X x X

Todos os vetores so considerados como vetores colunas. Um vetor linha representado pelo transposto de um vetor coluna (Exemplo: ct). Na tabela a seguir apresenta-se os smbolos utilizados para designar funes ou operaes, com seus respectivos significados.

Tabela 1.2 Convenes adotadas para funes e operaes

Smbolo t sobrescrito em itlico * sobrescrito abs() || arg() Re subscritoRe( Im(

Exemplo At X* abs(X) |X| arg(X) XReRe( X )

Significado Matriz transposta de A Conjugado do complexo X Valor absoluto (mdulo) do complexo X Valor absoluto (mdulo) do complexo X Argumento (ngulo) em radianos do complexo X. Parte real do complexo X Parte real do complexo X Parte imaginria do complexo X Parte imaginria do complexo X

) )

Im subscrito

XImIm( X )

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A seguir so mostrados os smbolos mais freqentes utilizados para designar variveis, grandezas ou entidades matemticas.

Tabela 1.3 Convenes adotadas para designar grandezas e variveis

Smbolo 0 a A

Exemplo 0 a A

Significado Matriz ou vetor nulo Operador complexo ej 2 3

Matriz de transformao de componentes simtricas Complexo unitrio, igual a uma das razes quadradas de -1 (a raiz positiva), ou seja, j = + 1

j

j

C L R, r X, x Z, z G, g B, b Y, y v i

C L R, r X, x Z, z G, g B, b Y, y v i

Capacitncia Indutncia Resistncia Reatncia Impedncia (z=r+jx) Condutncia Susceptncia Admitncia (y=g+jb) Mdulo da tenso Mdulo da corrente ngulo em radianos Tenso complexa V = ve j Tenso entre o n k e a referncia Tenso entre os ns k e m Corrente complexa I = ie j Contribuio de injeo de corrente de elemento conectado entre o n k e a referncia, corrente no sentido saindo do n k Contribuio de injeo de corrente de elemento conectado entre os ns k e m, corrente no sentido saindo do n k Potncia ativa

V Vk Vkm I

V Vk Vkm I

Ik

Ik

Ikm P

Ikm P

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Q S T s

Q S T sx

Potncia reativa Potncia aparente (S=P+jQ) Conjugado, Torque Escorregamento de mquina de induo Pequeno desvio de uma varivel Matriz Jacobiana Vetor indepedente Vetor de injees de correntes Vetor de tenses nodais Vetor das variveis de estado

J f I V z

J f I V f(z), z

As derivadas de funes complexas em relao aos parmetros reais x podem ser calculadas diretamente utilizando-se as seguintes propriedades (1.1): f Re[ f ] = Re x1 x1 f Im[ f ] = Im x1 x1

(1.1)

Seja F uma matriz ou vetor de funes, como apresentado em (1.2): f1,1 f 2 ,1 F= M f m,1 f1, 2 f 2, 2 f m,2 L O f1,n f 2,n f m ,n

(1.2)

As derivadas matriciais de primeira ordem em relao a uma varivel x1 so dadas por (1.3): f1,1 x 1 f F 2,1 x = x1 1 M f m,1 x 1 f1, 2 x1 f 2, 2 x1 f m, 2 x1 f1,n x1 f 2,n x1 O f m,n x1 L

(1.3)

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Tambm definido que a diferenciao de uma funo complexa conjugada em relao a uma varivel real igual ao valor conjugado da diferenciao da funo complexa em relao a varivel real, conforme apresentado em (1.4).

f ( x1 , x 2 , L , x n ) f ( x1 , x 2 , L , x n ) = x1 x1 *

*

(1.4)

Neste trabalho ser utilizado o termo n para denotar qualquer ponto do sistema eltrico, onde se pode determinar a tenso eltrica utilizando o MICN. J o termo barra ser utilizado de uma maneira mais geral, para representar, por exemplo, um poste inteiro do sistema de distribuio, ou uma torre de transmisso, onde podem existir diversos ns. Assim, uma barra qualquer do sistema pode ter n ns, por exemplo, quatro ns, um n para cada fase (a, b, c) e um n para o neutro.

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Captulo 22.1 Introduo

Metodologia e Modelos de Componentes

Ao desenvolver uma ferramenta para aplicao em anlise de sistemas eltricos, existem duas etapas que merecem especial ateno: a primeira o processo de soluo em si, ou seja, a metodologia de clculo, e a segunda a definio e o equacionamento dos modelos que sero utilizados para representar os componentes do sistema. Os modelos formam a base sobre a qual os clculos sero realizados e, dependendo do propsito da metodologia ou do estudo a ser realizado, deve-se defini-los da forma mais adequada para cada caso. Desde o surgimento dos primeiros mtodos para soluo de sistemas, durante o processo de desenvolvimento muitas vezes esbarrava-se em limitaes, como a falta de dados para os modelos ou at mesmo limites de processamento computacional, e por isso simplificaes eram efetuadas e outros tantos artifcios eram criados para sobrepor estas dificuldades. Por exemplo, considerava-se o sistema suficientemente equilibrado e resolvia-se apenas a seqncia positiva, e neste caso eram necessrios apenas os modelos equivalentes de seqncia positiva dos equipamentos. Pode-se citar o mtodo das componentes simtricas to largamente utilizado para soluo de sistemas desequilibrados, que foi criado para sobrepor limitaes computacionais de simulao. E tambm a falta de dados nas empresas contribua para a utilizao de modelos apenas equivalentes monofsicos. Porm, mesmo com tantas simplificaes, vrios modelos e mtodos foram e ainda continuam sendo amplamente e satisfatoriamente utilizados, pois os nveis de detalhamento e preciso requeridos nos resultados tambm dependem das necessidades dos estudos. Assim, considera-se que todos os mtodos de soluo possuem seu valor e importncia, sendo necessrio saber onde empregar cada um. Atualmente ainda existem limitaes para melhorar a modelagem, o que provavelmente sempre ocorrer, uma vez que se busca cada vez mais construir modelos mais complexos com caractersticas mais prximas das reais. Hoje algumas modelagens so limitadas principalmente devido falta de dados nas empresas, porm este fator aos poucos tem sido superado pela mudana de cultura, as empresas esto se dando conta da importncia de terem uma base de dados integrada e consistente e esto partindo para 21

sua construo. J a limitao de processamento computacional que antes era forte no existe mais, possibilitando que se utilize nas simulaes modelos mais completos para os elementos e mtodos que antes eram considerados computacionalmente pesados. Dois exemplos so a soluo de fluxo de potncia nas prprias coordenadas de fase, que uma tendncia atual, e a utilizao dos valores reais das grandezas nas simulaes, ao invs do sistema p.u.. fato que quanto mais detalhados os modelos, incorporando as caractersticas reais dos equipamentos, melhores tendem a ser os resultados obtidos nas simulaes. Porm, como j citado, este nvel de detalhamento pode ser limitado pela disponibilidade dos dados ou at mesmo pelo grau de preciso necessrio no estudo em questo. Assim uma idia interessante seria desenvolver modelos bastante completos para os equipamentos, mas possibilitar tambm suas simplificaes, de forma a atender todas as situaes. Isto ser uma das bases da metodologia aqui proposta para anlise de sistemas a n condutores.

2.2 Mtodo de Injeo de Correntes a N Condutores

2.2.1 Idia Bsica da Metodologia Proposta e Diferenas com Relao ao MICQDentre as metodologias utilizadas para anlise de sistemas eltricos est o Mtodo de Injeo de Correntes a Quatro Condutores (MICQ) (PENIDO, 2004), que j foi citado no Captulo 1 deste trabalho e ser aqui mais detalhado. Modelos de componentes para serem utilizados com o mtodo de injeo de correntes j foram apresentados em vrios trabalhos, dentre os quais cita-se COSTA et al. (1999), GARCIA (2001), PENIDO (2004) e ARAUJO (2005). Particularmente no MICQ (PENIDO, 2004), toda barra do sistema considerada trifsica com neutro (3F+N), e, devido estrutura de soluo do sistema l definida, todo componente tem seu modelo completo a quatro condutores, formado por blocos de dimenso fixa 8x8. Em cada barra so sempre considerados quatro ns, para as fases a, b, c e para o neutro. Alm disso, os controles l definidos tambm geram blocos de dimenso 8x8. Simplificaes so realizadas dentro dos blocos dependendo da configurao de cada

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elemento (por exemplo, eliminaes de equaes por big numbers quando o elemento no possui todas as fases). Porm, nem sempre os componentes presentes nos sistemas eltricos so trifsicos, e muitos no possuem neutros, ou muitas vezes o que se deseja exatamente determinar como o sistema vai operar quando um equipamento no tem determinada fase, ou a mesma est defeituosa (como por exemplo um banco de capacitores operando com uma fase queimada) para determinar a corrente de desequilbrio, mas mesmo nestes casos a estrutura a ser resolvida no MICQ sempre a completa. Portanto, os modelos geram matrizes de dimenso pr-definida, conseqentemente elevando, sem necessidade, a dimenso do sistema a ser resolvido. Alm disso, no MICQ, a estrutura fixa dos blocos nos modelos gera dificuldades e at mesmo limitaes na representao de alguns componentes do sistema. Por exemplo, existem barras onde pode ser necessrio representar mais do que quatro ns, como exemplo cinco ns, trs para as fases, um para o n neutro e um para um aterramento, ou ainda, pode-se precisar representar explicitamente cabos pra-raios ou o solo. Sem artifcios ou aproximaes no possvel fazer estas modelagens no MICQ. A idia proposta neste trabalho, utilizada para desenvolver uma metodologia para anlise de qualquer sistema eltrico, com n condutores, chamada Mtodo de Injeo de Correntes a N Condutores (MICN), tambm baseada no mtodo de injeo de correntes, que todos os ns do sistema sejam tratados de forma individualizada, representando apenas o que realmente existe de cada componente. Assim, os modelos no geram blocos de dimenses pr-definidas e representam estritamente o necessrio, contribuindo para a otimizao do processo de soluo j que o sistema a ser resolvido pelo mtodo proposto ter conseqentemente a dimenso estritamente necessria. Esta nova estrutura, mais livre, facilita a formao dos modelos, especialmente de equipamentos com configuraes diferentes. Esta nova metodologia desenvolvida para ser utilizada em qualquer tipo de sistema eltrico, radial ou malhado, equilibrado ou no, e capaz de tratar sistemas monofsicos, bifsicos e/ou trifsicos, com qualquer combinao de configuraes. Assim, os modelos de componentes deste trabalho so definidos seguindo estes propsitos. O tipo da formulao utilizada baseado em ARAUJO (2005), onde as equaes de injeo de correntes so trabalhadas at certo ponto com variveis em sua forma complexa.

23

Procura-se assim desenvolver uma metodologia bastante completa, flexvel para representar as vrias caractersticas dos componentes, otimizada em termos de processamento, bastante robusta e eficiente.

2.2.2 Estrutura Bsica dos Modelos do MICNConforme j dito a metodologia proposta MICN, baseia-se no mtodo de injeo de correntes, que por sua vez se define sobre uma das bases da soluo de sistemas eltricos, a 2. Lei de Kirchhoff, que diz que a soma das correntes injetadas em cada um dos ns do sistema igual a zero. Analisando-se as equaes geradas a partir desta lei pode-se considerar que em cada n o somatrio de correntes injetadas formado por parcelas relativas a todos os elementos conectados a ele, e assim pode-se considerar que cada elemento do sistema gera contribuies de injees de corrente para os ns nos quais ele est conectado. Nesta seo um elemento definido como uma estrutura conectada entre dois ns. No MICN as equaes de injeo de corrente so formadas a partir das contribuies de cada elemento que est ligado em um ou mais ns, sendo que cada elemento considerado uma unidade bsica. Assim, os modelos da maioria dos componentes (equipamentos do sistema) so na verdade formados por um ou mais elementos conectados nas mais diversas configuraes. Para alguns componentes do sistema necessrio dar algum tratamento extra ao modelo, pois no possvel utilizar diretamente ou unicamente as contribuies dos seus elementos. Em algumas situaes utiliza-se a idia de componente multifsico, pois o mesmo tambm gera contribuies para n ns, mas que no podem ser determinadas individualmente; isto ocorre, por exemplo, quando se modela linhas considerando-se as mtuas entre fases. Outra situao quando o componente tem alguma caracterstica ou funo, de certa forma especial, que comumente chamada de controle, o qual deve tambm ser determinado. Os controles so normalmente definidos por equaes adicionais, que so determinadas de forma a representar uma caracterstica ou funo. Estas equaes podem ser funes de variveis dos prprios componentes bem como de outras variveis do sistema. A estrutura bsica dos modelos ser descrita a seguir. Esta idia de contribuies geradas pelos diversos elementos baseada na Modelagem Orientada a Objetos

24

(HORTON, 1999), onde cada elemento um mdulo, separado, com todas as suas atribuies e funes. Seja, por exemplo, um elemento genrico apresentado na Figura 2.1, conectado entre os ns k e m do sistema, que tem impedncia zkm, e admitncia ykm igual a 1/zkm.

Figura 2.1 Elemento genrico conectado entre os ns k e m

Segundo as consideraes anteriores este elemento gera uma contribuio de injeo de corrente para o n k e uma para o n m, que podem ser definidas pelas equaes (2.1) e (2.2) respectivamente.I km = y km Vk Vm

(

) )

(2.1)

I mk = y km Vm Vk

(

(2.2)

2.2.3 Metodologia do MICNO mtodo de soluo proposto consiste em: 1) Construir as equaes de injees de correntes para todos os ns do sistema a partir das contribuies de todos os elementos, e as equaes de controle quando existentes, escritas em coordenadas retangulares, formando um sistema de equaes no-lineares, que pode ser representado como:f(z)=0

(2.3)

Onde, z so as variveis de estado e f so as equaes de injees de correntes ou funes de controle.

25

2) Solucionar o conjunto de equaes no-lineares, encontrando as variveis de estado do sistema. No caso utiliza-se o Mtodo de Newton-Raphson que um mtodo iterativo para resolver um conjunto de equaes f(z)=0, onde f possui derivadas de primeira ordem contnuas. Este algoritmo bastante utilizado pelo seu timo desempenho computacional. A expresso matemtica do sistema (2.3) linearizado, escrito de forma matricial, dada por (2.4):J (z )z = f (z )

(2.4)

Onde, em cada passo do processo iterativo:J(z) a matriz Jacobiana; f(z) o vetor independente, formado pelas equaes a serem resolvidas. Em

muitos trabalhos que utilizam o Mtodo de Injeo de Correntes, prefere-se designarf(z) como o vetor de resduos de corrente durante o processo iterativo, pois a maioria

das equaes de injeo de corrente, e na convergncia do processo iterativo todos os seus elementos tm que ser muito prximos de zero, sendo ento denominados resduos. Neste trabalho optou-se por no utilizar a denominao resduo de corrente.z o vetor dos incrementos das variveis de estado.

Um algoritmo que representa o processo de soluo do MICN apresentado na Figura 2.2.

26

z = J(z) 1 f(z)

z k +1 = z k + zFigura 2.2 Algoritmo do mtodo de soluo do MICN

Sobre o processo de soluo considera-se os seguintes aspectos bastante relevantes:

Neste trabalho, assim como em desenvolvimentos anteriores do MICT (GARCIA, 2001) e do MICQ (PENIDO, 2004), as equaes so escritas em coordenadas retangulares, utilizando-se como principais variveis de estado as partes real e imaginria das tenses nodais (fase-referncia), alm de outras variveis, e separa-se as equaes de injeo de correntes em partes real e imaginria;

27

O tratamento inicial das equaes de injeo de correntes feito com as variveis em forma complexa obtendo maior simplicidade e desempenho computacional, baseando-se no que foi feito em ARAUJO (2005);

A convergncia verificada pelos elementos do vetor independente (alguns destes elementos so resduos de corrente e sua utilizao na verificao da convergncia pode ser feita sem nenhuma perda de preciso quando comparada com a verificao por meio de resduos de potncia);

A matriz Jacobiana (composta de derivadas de primeira ordem) tem uma grande quantidade de termos nulos ou constantes no MICN, devido utilizao da base do Mtodo de Injeo de Correntes em coordenadas retangulares, o que uma boa caracterstica, uma vez que a ordem do sistema a ser resolvido pode ser elevada, e neste caso torna-se importante a utilizao de tcnicas de esparsidade para a soluo dos sistemas de equaes;

muito importante utilizar um mtodo robusto no processo de soluo, especialmente quando se pretende considerar nos sistemas a modelagem de neutros e aterramentos, pois nestes casos os modelos dos componentes ficam mais complexos e a convergncia da maioria dos mtodos muitas vezes fica mais complicada (CHEN e YANG, 2001). Por isso optou-se por utilizar o mtodo de Newton-Raphson, sendo que o mesmo apresenta propriedade de convergncia quadrtica perto do ponto de soluo. Porm uma caracterstica deste mtodo a necessidade de inicializar bem as variveis antes do processo iterativo para convergir para um ponto de soluo do sistema. Esta questo ser analisada no Captulo 3 deste trabalho.

2.2.4 ObservaesNeste ponto ressalta-se alguns aspectos relativos ao trabalho e ao MICN que se considera importantes: 1) Alguns dos modelos utilizados neste trabalho j existiam, no foram recriados para esta metodologia, apenas adaptados, a maioria formada simplesmente a partir das equaes de correntes sobre os ramos. A maneira na qual eles so utilizados no MICN

28

que diferente. Vrios modelos foram melhorados e outros foram criados neste trabalho para serem utilizados na metodologia de injeo de correntes. 2) Os modelos de componentes neste trabalho no geram contribuies matriciais com dimenses pr-definidas para o sistema de soluo. Cada componente gera somente as contribuies dos elementos que o compem. 3) A montagem matricial das equaes para o processo de soluo realizada elemento por elemento, de acordo com as suas contribuies e as posies relativas aos ns nos quais est conectado. 4) Devido estrutura de montagem desenvolvida neste trabalho para as equaes de soluo, torna-se mais fcil definir os modelos de equipamentos, por mais diferentes que sejam suas configuraes, uma vez que a montagem pode ser feita pelos elementos que o compem, independentemente do nmero de ns a que o componente esteja conectado, ou seja, cada componente pode ter n fios. Por esse motivo, no h necessidade nesta metodologia de se ter prvia definio se o modelo trifsico, bifsico ou monofsico, ou at possuir mais ramos, podendo o sistema a ser resolvido ter equipamentos de todas estas caractersticas ao mesmo tempo. A matriz formada para ser utilizada no processo de soluo, automaticamente refletir as corretas caractersticas do sistema, no havendo necessidade, por exemplo, de posterior eliminao de equaes (por exemplo com big numbers) relativas a fases inexistentes em determinados componentes monofsicos ou bifsicos, conforme foi feito em GARCIA (2001) e PENIDO (2004). E ainda, como apenas os elementos realmente existentes so representados, a matriz de soluo fica com a dimenso estritamente necessria. 5) Assim como em ARAUJO (2005), as equaes de todos os ns do sistema so construdas, e no se utiliza daqueles j conhecidos artifcios de prvia eliminao de equaes devido aos tipos de barras, por exemplo, barras PV, barras V. Todas as equaes de injees de correntes dos ns, em conjunto com as equaes de controle, formam o sistema a ser resolvido no processo iterativo, at o alcance da soluo. 6) A determinao das fases nos ns feita a partir das ligaes com os outros componentes do sistema, para a metodologia proposta um n apenas um ponto de conexo entre dois elementos, independente da fase. 7) Exceto em situaes que se informe ao contrrio, neste trabalho o solo ser considerado ideal ou j ter seu efeito embutido nos parmetros das linhas, e assim toda a terra ser a referncia de tenso no MICN. 29

Ento para o MICN necessrio definir para cada componente do sistema eltrico:

Suas contribuies de injees de corrente para todos os ns em que est conectado; Suas contribuies para a matriz Jacobiana e para o vetor independente do mtodo de soluo de Newton-Raphson, a partir das contribuies de injees de corrente j determinadas;

E seus controles, se for o caso. Estas definies formam o modelo de cada componente para o MICN, e sero

apresentadas nas prximas sees para os principais equipamentos dos sistemas eltricos de potncia. Ressalta-se que os modelos sero aqui definidos com certo grau de detalhamento, de forma a facilitar a compreenso, mas de tal maneira que na prtica possam ser simplificados dependendo da necessidade. Neste captulo, nas definies das contribuies para a matriz Jacobiana de todos os componentes, apenas para melhor entendimento, as equaes correspondentes s parcelas das injees de corrente em cada n, geradas pelo elemento em questo, sero grafadas esquerda da matriz, e acima da matriz Jacobiana sero grafadas as variveis de estado em relao s quais estas equaes foram derivadas.

2.3 Modelos dos Principais Componentes Implementados no MICN

2.3.1 RLCExistem diversos equipamentos nos sistemas eltricos que podem ser modelados por elementos contendo apenas resistncias, indutncias e/ou capacitncias (elementos RLC), conectados das mais diversas maneiras, que sero chamados aqui de componentes RLC. Estes podem estar em srie ou em paralelo com outros componentes do sistema. Podemos citar como exemplos de componentes com estas caractersticas os

30

capacitores em derivao para correo de fator de potncia, os capacitores srie para compensao de reatncia de linha e os filtros de harmnicos.Contribuies de injeo de corrente

Cada elemento RLC do componente pode ser conectado entre dois ns (k e m) ou entre um n (k) e a terra. Na primeira possibilidade o elemento gera contribuies de injees de corrente para cada n, as quais so calculadas segundo as equaes (2.5) e (2.6).I km,rlc = y km Vk Vm I mk ,rlc = y kmm

( (V

Vk

) )

(2.5) (2.6)

Caso o elemento RLC esteja conectado entre o n k e a terra (referncia) este gera contribuio de injeo de corrente apenas para o n k conforme (2.7).I k ,rlc = y k Vk

( )

(2.7)

Os elementos RLC do componente podem ser conectados em diversas configuraes como, por exemplo, estrela aterrada (Figura 2.3) ou delta (Figura 2.4), formando vrios tipos de componentes RLC.

Figura 2.3 Componente RLC com elementos conectados em estrela aterrada

31

Figura 2.4 Componente RLC com elementos conectados em delta

interessante notar que na metodologia proposta neste trabalho no so necessrios equacionamentos particulares para cada tipo de componente RLC, pois cada configurao implicitamente determinada a partir de seus elementos e dos ns nos quais esto conectados. Por exemplo, na Figura 2.3 foram utilizados quatro elementos RLC para determinar o componente RLC trifsico com neutro aterrado por impedncia, sendo trs elementos conectados entre dois ns e um elemento conectado entre um n e a terra.Contribuies para o vetor independente do MICN

De forma geral, nas equaes (2.8) e (2.9) so apresentadas as contribuies para o vetor independente de um elemento RLC conectado entre os ns k e m. Caso o elemento RLC se encontre conectado entre um n k e a terra gerada apenas a contribuio dada pela equao (2.10).

Im I km, rlc Im y km V k V m f k , rlc (z ) = = Re I km, rlc Re y km V k V m Im I mk , rlc Im y km Vm Vk f m , rlc (z ) = = Re I mk , rlc Re y km V m V k Im I k , rlc Im y k Vk f k , rlc (z ) = = Re I k , rlc Re y k Vk

( (

) )

( ( ( (

)) ))

(2.8)

( (

) )

( ( ( (

)) ))

(2.9)

( (

) )

( ( )) ( ( ))

(2.10)

32

Contribuies para a matriz Jacobiana do MICN

As contribuies de um elemento RLC, conectado entre os ns k e m, para a matriz Jacobiana so apresentadas na equao (2.11).VRe k VIm k VRe m VIm m I Im km,rlc VIm m I km,rlc Re VIm m I Im mk ,rlc VIm m I mk ,rlc Re VIm m N L O

Im I km,rlc

( ) ( )

Re I km,rlc J km,rlc =

Im I mk ,rlc

( ) ( )

Re I mk ,rlc

O L N

M I km,rlc I km,rlc I Im Im Im km,rlc VRe VIm VRe k k m I km,rlc I km,rlc I km,rlc Re Re Re VRe VIm VRe k k m M O M I I I Im mk ,rlc Im mk ,rlc Im mk ,rlc VRe VIm VRe k k m I mk ,rlc I mk ,rlc I mk ,rlc Re Re Re VIm VRe VRe k k m M

(2.11)

Caso o elemento RLC esteja conectado entre o n k e a terra este gera contribuio para a matriz Jacobiana conforme (2.12).VRe k VIm k I Im k ,rlc VIm k I k ,rlc Re VIm k N O

J k ,rlc =

Im I k ,rlc

( ) ( )

Re I k ,rlc

O I k ,rlc Im VRe k I k ,rlc Re VRe k N

(2.12)

Exemplificando:

Seja um elemento RLC (ykm = g+jb) conectado entre os ns k e m. Suas contribuies para a matriz Jacobiana so apresentadas na equao (2.14), as quais so determinadas a partir das seguintes equaes:

33

I km, rlc VRe k I km, rlc VIm k

=

( g + jb ) VRe k + jVIm k VRe m jVIm m VRe k

(

) = g + jb

=

( g + jb ) VRe k + jVIm k VRe m jVIm m VIm k

((

))

= jg b

I km, rlc VRe m I km, rlc VIm m

=

( g + jb ) VRe k + jV Im k VRe m jVIm m VRe m ( g + jb ) VRe k + jV Im k VRe m jV Im m VIm m ( g + jb ) VRe m + jV Im m VRe k jV Im k VRe k ( g + jb ) VRe m + jV Im m VRe k jV Im k VIm k ( g + jb ) VRe m + jVIm m VRe k jV Im k VRe m ( g + jb ) V Re m + jV Im m VRe k jV Im k VIm m

= g jb

=

(

) ))

= jg + b(2.13)

I mk , rlc VRe k I mk , rlc VIm k I mk , rlc V Re m I mk , rlc V Im m

=

((

= g jb

=

= jg + b

=

(

) )

= g + jb

=

(

= jg b

J km,rlc

M N O b g b g g b g b = L M O M L b g b g g b g b N M O

(2.14)

Pode-se agora montar a matriz Jacobiana do componente apresentado na Figura 2.3 utilizando a metodologia proposta, ou seja, por meio das contribuies de seus quatro elementos. Os ns do componente sero denominados a, b, c e n, que podem corresponder s fases de mesmo nome de um sistema trifsico com neutro. Os valores das admitncias de cada elemento so: yan = gan+jban, ybn = gbn+jbbn, ycn = gcn+jbcn, yn= gn+jbn.

34

Nas equaes (2.15) a (2.18) so apresentadas as contribuies individuais dos elementos que formam o componente. esquerda de cada matriz foram indicados os ns a partir dos quais se calcula as injees de corrente (define-se a corrente saindo destes ns) e acima de cada matriz foram indicados os ns das tenses em relaes as quais as derivadas das equaes foram feitas. As derivadas foram calculadas utilizando o mesmo procedimento apresentado nas equaes de (2.13) e as contribuies individuais montadas de acordo com (2.14).a O ban a g an = L ban n g an N M n ban g an ban g an M O M g an ban ban M g an g an ban g an ban N L O

J an,rlc

(2.15)

b O bbn b g bn = L bbn n g bn N c M g bn bbn M O g bn bbn M n

n bbn g bn M bbn g bn g bn bbn g bn bbn N L O

J bn,rlc

(2.16)

J cn,rlc

M N O bcn gcn bcn gcn c gcn bcn gcn bcn = L M O M L bcn gcn bcn gcn n gcn bcn gcn bcn N M O

(2.17)

n O bn =n gn L gn bn M M O

J n,rlc

(2.18)

35

Juntando as contribuies individuais (2.15) a (2.18) dos elementos para modelar o componente obtem-se (2.19).a b c n

J rlc

ban g an gan ban a gan ban gan ban bbn gbn bbn gbn b gbn bbn gbn bbn = bcn gcn bcn gcn c gcn bcn gcn bcn b g an bbn gbn bcn gcn k1 k2 an n k1 k2 g an ban gbn bbn gcn bcn

(2.19)

Onde:k1 = bn + ban + bbn + bcn k2 = gn + g an + gbn + gcn

Neste ltimo exemplo pode ser observada uma das grandes vantagens da metodologia proposta que no necessitar de blocos pr-definidos para cada componente do sistema, o que necessrio em outras metodologias (GARCIA, 2001, PENIDO, 2004, ARAUJO, 2005). No MICN as contribuies dos elementos que acabam por definir as matrizes, utilizando-se apenas a dimenso estritamente necessria. importante ressaltar que a ordem relativa aos ns do sistema na matriz Jacobiana e no vetor independente pode ser qualquer uma, o importante que as contribuies sejam colocadas nas posies corretas. No exemplo apresentado a ordem dos ns a, b, c e n foi escolhida apenas para facilitar a compreenso. Tambm se pode observar a simplicidade de montagem da matriz Jacobiana.

2.3.2 LinhasO modelo de linhas considerado neste trabalho um circuito -equivalente a parmetros concentrados conforme representado de maneira genrica na Figura 2.5. A partir deste modelo possvel representar linhas com vrias caractersticas, como parmetros assimtricos, cabos pra-raios, cabos neutros, acoplamentos entre linhas prximas, ramais monofsicos, bifsicos 36 e linhas multifsicas, importantes

especialmente para sistemas de distribuio (KERSTING, 2000), e LPNE (GOMES, 1995).

k1 k2Z km12

Z km1

m1 m2

Z km 2Z km 2 nZ km1nZ km n

knZ k1nZ k1 Z k12

mnZ m1n

Z k2Z k2 n

Z kn

Z mn

Z m2

Z m1

Z m2 n

Z m12

Figura 2.5 Modelo de linha genrica

Seus parmetros so definidos como:

Z kmx = impedncia prpria entre os ns k e m da fase x;Z kmxy = impedncia mtua entre as fases x e y;

Zk x = impedncia em derivao do n k da fase x;Zk xy = impedncia em derivao mtua entre os ns k da fase x e k da fase y; Z mx = impedncia em derivao do n m da fase x; Z mxy = impedncia em derivao mtua entre os ns m da fase x e m da fase y.Contribuies de injeo de corrente

Na Figura 2.6 apresentado como exemplo um diagrama esquemtico de um circuito de distribuio trifsico com retorno pelo neutro (DSASC, 2003). Na Figura 2.7 apresenta-se uma estrutura matricial genrica do modelo para este componente, onde, no caso, os blocos Z km , Yk e Ym so matrizes complexas (4x4).

37

2.5' a b

4.5' 3.0'

c

4.0'

n 24.0'

Figura 2.6 Diagrama esquemtico de um circuito de distribuio

Z aa Z ba Z ca Z naYaa Y ba Yca Yna Yab Ybb Ycb Ynb Yac Ybc Ycc Ync Yan Ybn Ycn Ynn

Z ab Z bb Z cb Z nb

Z ac Z bc Z cc Z nc

Z an Z bn Z cn Z nn Yaa Y ba Yca Yna Yab Ybb Ycb Ynb Yac Ybc Ycc Ync Yan Ybn Ycn Ynn

ZkmYk Ym

Figura 2.7 Estrutura matricial de uma linha CA

Onde:Zkm Matriz impedncia srie. Yk e Ym Matrizes admitncias em derivao.

k1, k2, k3 e kn Pontos de conexo nodais do terminal k do componente. m1, m2, m3 e mn Pontos de conexo nodais do terminal m do componente. Os parmetros das linhas podem ser calculados de diversas maneiras, levando-se em conta tipos de torres, estruturas, os cabos e vrios outros aspectos. Uma possibilidade para o clculo da matriz dos parmetros eltricos longitudinais por unidade de comprimento de uma linha, para uma freqncia complexa s=+j, pode ser

38

encontrada em GOMES (2002). Outras possibilidades de clculos de parmetros de linhas podem ser encontradas em ANDERSON (1995), KERSTING (2000) e DERI et.al. (1981).

importante salientar que, no MICN, quando as mtuas so consideradas, so utilizadas inicialmente as matrizes descritas para definir o modelo, sendo necessrio construir a matriz de admitncias nodais da linha. Aps obter esta matriz, as contribuies da linha para as equaes de injees de corrente de cada n podem ser escritas separadamente, elemento por elemento da matriz, independentemente de ordem de fases, e sem a necessidade de serem escritas em blocos matriciais, como feito em GARCIA (2001), PENIDO (2004) e ARAUJO (2005). Conseqentemente no processo de soluo suas contribuies para o vetor independente e para a matriz Jacobiana podem ser colocadas em quaisquer posies do sistema total de equaes, desde que respeitadas as posies dos ns correspondentes. Pode-se entender o modelo deste componente linha como se formado por nada mais que vrios elementos, porm estes elementos so aqueles da matriz admitncia nodal, conectados em uma configurao determinada pelas posies dos ns correspondentes a eles nesta matriz. Ou uma outra opo considerar a linha como um componente multifsico, tratando seus n condutores em conjunto, o que no traz problemas na metodologia proposta. Independentemente de como se entende o modelo, o que se faz aps a obteno da matriz admitncia nodal determinar as contribuies de injees de correntes da linha para todos os ns nos quais ela se conecta. A seguir estas contribuies sero definidas de maneira matricial apenas para facilitar a escrita, mas reafirma-se que no h necessidade de serem implementadas matricialmente, e inclusive na implementao computacional decorrente deste trabalho no so, o que interessa que todas as contribuies estejam computadas. As equaes complexas referentes s contribuies de injees de correntes nos ns das barras k e m de uma linha genrica (Figura 2.5) so dadas por (2.20) e (2.21):1 1

I km ,lin

Z km1 Z km = 21 M Z kmn1

Z km12 Z km2 Z kmn 2

L Z km1n Z km2 n O Z kmn

Vk1 Vm1 Z k1 V V Z m2 k k2 + 21 M M Vkn Vmn Z kn1

Z k12 Z k2 Z kn 2

L Z k1n Z k2 n O Z kn

Vk1 V k2 M Vkn

(2.20)

39

I mk ,lin

Z km1 Z km = 21 M Z kmn1

Z km12 Z km2 Z kmn 2

L Z km1n Z km2 n O Z kmn

1

Vm1 Vk1 Z m1 V V Z k2 m m2 + 21 M M Vmn Vkn Z mn1

Z m12 Z m2 Z mn 2

L Z m1n Z m2 n O Z mn

1

Vm1 V m2 M (2.21) Vmn

Contribuies para o vetor independente do MICN

De forma geral, nas equaes (2.22) e (2.23) so apresentadas as contribuies para o vetor independente de uma linha de n condutores conectada entre as barras k e m. Os sobrescritos nos vetores de correntes apresentados nestas equaes referem-se s linhas dos vetores de correntes que so calculadas em (2.20) e (2.21).

Im I1 ,lin km 1 Re I km ,lin 2 Im I km ,lin 2 f k ,lin (z ) = Re I km ,lin M n Im I km ,lin Re I n km ,lin

( ( ( (

) ) ) )

(2.22)

f m ,lin

( ) ( ) Im(I ) ) Re(I Im(I ) (z ) = Re(I ) M n Im I mk ,lin Re I n mk ,lin 1 mk ,lin 1 mk ,lin 2 mk ,lin 2 mk ,lin

( (

) )

(2.23)

Contribuies para a matriz Jacobiana do MICN

As contribuies de uma linha, de n condutores, conectada entre as barras k e m, para a matriz Jacobiana so representadas na equao (2.24).

40

Vk I km,lin J km,lin = I mk ,lin

Vm

N O J1 L J 2 M O M J3 L J4 N O

(2.24)

Onde, os termos indicados so dados por (2.25), (2.26), (2.27) e (2.28).VRe k1 I1 ,lin km Im VRe k1 1 Re I km,lin VRe k1 M I n ,lin km Im V Re k1 n Re I km,lin VRe k1 VRe m1 I1 ,lin km Im VRe m1 1 I km,lin Re VRe m1 M I n ,lin km Im VRe m1 n I km,lin Re VRe m1

VIm k1

VRe kn

VIm kn I1 ,lin km Im VIm kn I1 ,lin km Re VIm kn I n ,lin km Im VIm kn n I km,lin Re VIm kn VIm mn I1 ,lin km Im VIm mn I1 ,lin km Re VIm mn I n ,lin km Im VIm mn I n ,lin km Re VIm mn

J1 = f k ,lin

I1 ,lin I1 km L Im km,lin Im VIm VRe k1 kn 1 1 I km,lin I km,lin Re Re VIm VRe k1 kn O I n ,lin I n ,lin km km Im Im V VRe Im k1 kn n n I km,lin I km,lin Re Re VIm VRe k1 kn VIm m1 VRe mn

(2.25)

J 2 = f k ,lin

I1 ,lin I1 km L Im km,lin Im VIm VRe m1 mn I1 ,lin I1 ,lin km km Re Re VIm VRe m1 mn O I n ,lin I n ,lin km km Im Im VIm VRe m1 mn I n ,lin I n ,lin km km Re Re VIm VRe m1 mn

(2.26)

41

VRe k1 I1 ,lin mk Im V Re k1 1 Re I mk ,lin VRe k1 M I n ,lin mk Im VRe k1 n Re I mk ,lin VRe k1 VRe m1 I1 ,lin mk Im V Re m1 1 I mk ,lin Re VRe m1 M I n ,lin mk Im VRe m1 n Re I mk ,lin VRe m1

VIm k 1

VRe kn

VIm kn I1 ,lin mk Im VIm kn I1 ,lin