Cláudio Carlos Dias

Neuza Maria Dantas

Geometria Analítica e Números ComplexosD I S C I P L I N A

A parábola

Autores

aula

05

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDRonaldo Motta

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJosé Ivonildo do Rêgo

Vice-ReitorNilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisCélia Maria de Araújo

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesMarcos Aurélio Felipe

Revisora das Normas da ABNTVerônica Pinheiro da Silva

Revisoras de Língua PortuguesaJanaina Tomaz Capistrano

Sandra Cristinne Xavier da Câmara

Revisora TipográficaNouraide Queiroz

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

DiagramadoresBruno de Souza Melo

Adaptação para Módulo MatemáticoThaisa Maria Simplício LemosPedro Gustavo Dias Diógenes

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN

Fotografias - Adauto HarleyMasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd,

East, San Rafael, CA 94901,USA.MasterFile – www.masterfile.com

MorgueFile – www.morguefile.comPixel Perfect Digital – www.pixelperfectdigital.com

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Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números complexos / Cláudio Carlos Dias, Neuza Maria Dantas. – Natal, RN : EDUFRN, 2006.

320 p. : il

1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números complexos. I. Dantas, Neuza Maria. II. Título.

ISBN 978-85-7273-331-1 CDU 514.12RN/UF/BCZM 2006/88 CDD 516.3

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte.Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos �

Ao término desta aula, esperamos que você identifique uma parábola por meio da definição e resolva problemas envolvendo essa curva, utilizando, para tanto, sua equação e propriedades.

Apresentação

Você já deve ter visto, ou talvez até tenha em casa, uma antena parabólica. Já parou para pensar o porquê desse nome?

Na nossa língua, um termo pode ter mais de um significado. É o caso, por exemplo, da palavra parábola. Se você procurar no dicionário, uma das definições é “narração alegórica que encerra uma doutrina moral”, a qual refere-se às parábolas bíblicas. Uma outra é matemática, usada quando se afirma que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, como a trajetória descrita por uma bola chutada por um atleta. Nesta aula, você terá contato com essa curva em que serão apresentadas a definição, os elementos, a equação e as propriedades. Para tanto, a abordagem será por meio do uso de coordenadas. A sua participação fazendo as atividades e exercícios é fundamental para o bom entendimento da aula.

Objetivos

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos2

Parábola

r

A

R

V

P

F

Para relembrar, a parábola é obtida secionando um cone por um plano secante paraleloa uma geratriz que não passa pelo centro, como mostra a figura a seguir.

Essa cônica é também definida com o conjunto de todos os pontos P do plano que estáa uma mesma distância de uma reta fixa r e de um ponto fixo F não situado sobre a reta. Areta r é chamada de diretriz e o ponto F é o foco.

Na figura a seguir, se P,R são pontos na parábola, então:

d(P, F ) = d(P, r) e d(R,F ) = d(R, r).

Em uma parábola, a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz é chamada deeixo de simetria ou simplesmente eixo.

Essa reta intercepta a parábola em um ponto chamado vértice, que denominaremosaqui pela letra V .

Figura 1 – A parábola

Figura 2 – Uma parábola com foco no eixo x

Defi nição

Geratriz

Segmento de reta que une o vértice do cone a um

ponto da circunferência da base.

geratriz

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos �

Atividade 2

Atividade 1

Mostre que o vértice é o ponto médio do segmento AF , mostrado na Figura 2.

Você já viu como esboçar uma elipse usando material concreto. Para desenhar aparábola, Cabral (2001, p.4) apresenta um procedimento muito interessante utilizandodobraduras. Faça a atividade 2 e conheça o processo. Você vai precisar de uma folha depapel, lápis e régua numerada

Com o auxílio de uma régua, trace uma reta r e fora dela marque um pontoF . Escolha em r pontos eqüidistantes A1, A2, A3, A4, . . . e dobre o papel demodo que A1 coincida com F . Para facilitar a visualização da curva, trace a retaque coincide com a dobra. Repita essa operação para todos os outros pontosmarcados em r. Veja que as dobras obtidas tangenciam uma curva. Trace essacurva; use a régua para comprovar que se trata de uma parábola; e responda:

a) se os pontos não fossem eqüidistantes, a curva deixaria de ser parábola?Qual a vantagem dessa escolha?

b) que papéis exercem a reta r e o ponto F na parábola desenhada?

Dada a diretriz e o foco, é possível com o uso de régua e compasso desenharuma parábola. Para tanto, acompanhe os passos da atividade 3.

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos�

Atividade 3

�

2

�

�

r y

xA V

Q

F

Trace, pelo foco F , o eixo de simetria e nele marque o ponto A, queé a interseção com a diretriz r e o vértice V , que é o ponto médio dosegmento AF .

No eixo, marque pontos A1, A2, A3, . . . de modo qued(A,A1) > d(F,A) e, por eles, trace paralelas à reta r,obtendo as retas r1, r2, r3, . . . .

Com o compasso centralizado no foco e abertura igual à distânciad(A,A1), marque a interseção da circunferência com a reta r1

obtendo os pontos P1 e P 1.

Repita o procedimento do item 3 desta atividade nas retas r2, r3, . . . ,obtendo tantos pontos quantos desejar. Una-os e constate que essacurva é uma parábola.

Assim como a elipse e a circunferência vistas anteriormente, é possível estudar aparábola por meio de sua equação. Para tanto, escolha um sistema de coordenadas, demodo que o foco F pertença ao eixo x, e o eixo y coincida com a mediatriz do segmentoAF , como mostra a figura a seguir.

Figura 3 – Parábola com vértice na origem e foco no eixo x

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos 5

Chamando de p a abscissa do foco, temos que as coordenadas de F são (p, 0) ecomo d(V, F ) = d(V,A) = |p|, a equação da diretriz é dada por x = −p. ConsidereQ(x, y) um ponto qualquer na curva. Pela definição de parábola, temosd(Q,F ) = d(Q, r). Usando a fórmula da distância entre pontos e de ponto a uma reta,ficamos com:

(x− p)2 + y2 = |x + p|. Elevando os dois membros ao quadrado e

fazendo as simplificações pertinentes, obteremos: y2 = 4px. Essa expressão é chamadade equação reduzida ou padrão da parábola com vértice na origem e eixo de simetriacoincidindo com o eixo x. Observe que quando o foco está à direita da diretriz, p é positivo ea curva abre à direita. Quando isso ocorre, diz-se que a parábola é aberta à direita ou aindaque tem concavidade voltada para a direita.

Agora, responda o que acontece com o gráfico da parábola quando p < 0?

O que foi visto até agora pode ser resumido do seguinte modo: se uma parábola temeixo coincidindo com o eixo x e vértice na origem, e se Q(x, y) é um ponto qualquer nacurva, então:

a) o foco é dado por F( p,0) ;

b) a diretriz tem equação x = – p , ou seja, x + p = 0 ;

c) d(Q, F) = d(Q, r);

d) se A é a intersecção do eixo com a diretriz, então, V é o ponto médio de AF;

e) y2 = 4px é a equação da parábola cujo gráfico tem concavidade voltada para a direita, se p > 0 e, para a esquerda, se p < 0.

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos�

Atividade 4

xx

y

x

y

y

r

Q'

0

V

Q

F

|p|

Figura 4 – Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x e vértice em V(x0,y0)

Você já viu como se comporta a parábola que tem o vértice na origem e eixode simetria coincidindo com o eixo x. Seguindo um raciocínio semelhante,desenhe uma parábola com o vértice na origem e foco no eixo y; determine suaequação e responda:

a) que relação existe entre o sinal de p e a concavidade da curva?

b) qual função estudada no Ensino Médio tem esse gráfico?

Até agora, as equações apresentadas têm como restrição o vértice na origem e eixo desimetria paralelo a um dos eixos coordenados. Em alguns problemas, o vértice pode nãoestar na origem. Acompanhe o raciocínio a seguir e veja como é a equação de uma parábolaque tem o eixo paralelo ao eixo x e vértice no ponto (x0, y0), como mostra a figura a seguir:

Observando a Figura 4, conclui-se que F é o ponto (x0 + p, y0), pois da origem a V ,temos x0 e de V até F , temos |p|. A equação da diretriz r é dada por x = x0 − p. Aexplicação para esse fato é que como r é paralela ao eixo y, sua equação é do tipo x = c, emque c é uma constante. Como a distância da diretriz ao vértice é a mesma que do vértice aofoco, temos x0 − x = p, ou seja, x = x0 − p. Se Q(x, y) é um ponto qualquer na parábola,temos d(Q,F ) = d(Q, r). Usando a fórmula da distância entre dois pontos e de um ponto auma reta, ficamos com:

(x− (x0 + p))2 + (y − y0)2 = |x− (x0− p)|. Elevando os dois

membros ao quadrado, temos: (x− (x0+p))2+(y−y0)2 = (x− (x0−p))2. Que pode serorganizado como: [(x−x0)2−p]2+(y−y0)2 = [(x−x0)+p]2. Desenvolvendo os quadrados,ficamos com: (x− x0)2 − 2p(x− x0) + p2 + (y − y0)2 = (x− x0)2 + 2p(x− x0) + p2,que, quando simplificada, resulta em: (y − y0)2 = 4p(x− x0).

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos �

Atividade 5

x

r

y

F

V

Figura 5 – Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y e vértice em V(3, –1)

Equação da parábola de vértice V (x0, y0) e eixo paralelo ao eixo x. Note que se V for aorigem, a equação passa a ser a apresentada anteriormente: y2 = 4px.

Desenhe uma parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y e,utilizando raciocínio semelhante ao apresentado, encontre sua equação.

Da atividade 5, você encontrou a equação (x−x0)2 = 4p(y−y0). Note que se o vérticefor a origem, a equação passa a ser x2 = 4py, equação já obtida na atividade 4.

Exemplo 1Dada a equação x2 − 6x − 8y + 1 = 0, mostre que ela representa uma parábola,

encontrando seu vértice, seu foco, e a equação da sua diretriz. Esboce seu gráfico.

Solução

Completando o quadrado em relação a x, temos: (x2−6x+9)−8x+1−9 = 0, que éequivalente a (x−3)2 = 8(y+1). Portanto, a equação representa uma parábola com eixo desimetria paralelo ao eixo x, cuja equação padrão é: (x−x0)2 = 4p(y− y0), em que (x0, y0)corresponde ao vértice, o foco é dado por (x0, y0 + p) e a diretriz tem a equação y = y0− p.Assim, comparando as equações, temos: V (3,−1); p = 2;F (3, 1); e diretriz y = −3. Comop > 0, a curva tem concavidade para cima e o esboço do seu gráfico é dado por:

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos�

x

r

y

Figura 6 – Reta tangente à parábola no ponto (4, 8)

Exemplo 2Encontre a equação e o vértice da parábola que tem foco em (−3, 0) e diretriz x = 5.

Solução

Se Q(x, y) é um ponto qualquer da parábola, sabemos pela definição apresentadaque: d(Q,F ) = d(Q, r). Logo:

(x + 3)2 + y2 = |x − 5|. Elevando ao quadrado e

simplificando de modo conveniente, ficamos com: y2 = −16x + 16 ou ainday2 = −16(x− 1). O vértice da parábola é o ponto (1, 0).

Outra forma de resolver esse exemplo é encontrar V e p e substituir esses dados naequação (y − y0)2 = 4p(x− x0).

Você sabe dizer por que essa foi a equação escolhida?

Exemplo 3Determine a equação da reta tangente à parábola de equação x2 = 2y no ponto (4, 8).

Solução

Seja y = ax + b a equação dessa reta.

A condição de tangência diz que o sistema

x2 = 2yy = ax + b

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos 9

�

2

Exercícios

�

�

5

�

Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz e faça um esboço do gráfi co da parábola de equação yy22 −− 22yy + 4+ 4xx−− 11 = 011 = 0..

Encontre a equação da reta tangente à parábola de equação yy22 == −−22xx que é paralela à yy == −−xx+ 3+ 3.. Comprove geometricamente, isto é, exibindo em um gráfi co o resultado obtido.

Mostre que o gráfi co da função quadrática yy == axax22 ++ bxbx++ xx((aa = 0)= 0)= 0) é uma parábola com vértice no ponto

−− bb

22aa,,44acac−− bb22

44aa

.

Calcule a menor distância da reta yy = 2= 2xx+ 2+ 2 à parábola de equação xx22 + 4+ 4yy + 4 = 0+ 4 = 0..

Mostre que se yy == axax++ bb é tangente à parábola da equação xx22 = 4= 4py,py,= 4= 4py,= 4= 4 , então, pp == −− bb

aa22..

Determine a equação e o gráfi co da parábola que tem foco no ponto (1, –2) e diretriz y = 4 .

tem apenas uma solução, o que implica dizer que, substituindo y = ax + b em x2 = 2y, aequação x2 − 2ax − 2b = 0 deve ter discriminante igual a zero. Isto é: 4a2 + 8b = 0,

ou seja, −a2

2= b. Assim, voltando para y = ax + b, teremos y = ax − a2

2. Como

o ponto (4, 8) pertence também à reta, substituindo-o na equação encontrada, ficamos com

8 = 4a− a2

2. Resolvendo a equação, encontramos a = 4 e, portanto, y = 4x− 8, que é a

equação da reta solicitada.

Exercícios

1) Determine o vértice, o foco, a equação da diretriz e faça um esboço do gráfico da parábolade equação y2 − 2y + 4x− 11 = 0.

2) Encontre a equação da reta tangente à parábola de equação y2 = −2x que é paralela ày = −x+3. Comprove geometricamente, isto é, exibindo em um gráfico o resultado obtido.

3) Mostre que o gráfico da função quadrática y = ax2 + bx+ c(a = 0) é uma parábola com

vértice no ponto− b

2a,4ac− b2

4a

.

4) Calcule a menor distância da reta y = 2x + 2 à parábola de equação x2 + 4y + 4 = 0.

5) Mostre que se y = ax + b é tangente à parábola da equação x2 = 4py, então, p = − b

a2.

6) Determine a equação e o gráfico da parábola que tem foco no ponto (1,−2) e diretrizy = 4.

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos�0

xF1 F2

y

P (x,y)

0�aa– �

Excentricidade de uma parábola

A excentricidade de uma cônica é a constante definida como a razão entre a distânciade um ponto qualquer da cônica a um ponto fixo, o foco, e a distância desse mesmoponto a uma reta fixa, chamada diretriz. Na parábola, sendo F o foco e Q(x, y), um

ponto da mesma, segue-se que

ε =d(Q,F )d(Q, r)

.

Como d(Q,F ) = d(Q, r), então, ε = 1. Se d(Q,F ) = c e d(Q, r) = a, então, ε =c

a= 1.

Sendo a elipse uma cônica, é natural que esse modo de definir excentricidade tambémseja válido para ela. Vejamos como justificar esse fato. Você mostrou, na aula 4 (A elipse),que o raio focal é dado por d(F1, P ) = a + εx e d(F2, P ) = a − εx, em que ε =

c

aé

a excentricidade da elipse e P (x, y) é um ponto qualquer nessa curva. Se nessa equaçãocolocarmos ε em evidência, teremos:

d(F1, P ) = εa

ε+ x

e d(F2, P ) = ε

a

ε− x

.

Logo, a excentricidade pode ser expressa por:

ε =d(F1, P )a

ε+ x

e ε =d(F2, P )a

ε− x

.

Observe que as expressõesa

ε+ x e

a

ε− x podem ser entendidas como as distâncias do

ponto P às retas paralelas ao eixo y, cujas equações são, respectivamente, x = −a

εe

x =a

ε, conforme mostra a figura a seguir.

Figura 7 – As diretrizes de elipse de foco no eixo x

Excentricidade de uma parábola

A

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos ��

xF p,

Q

y

As retas x = −aε

e x =a

εsão chamadas de diretrizes. Desse modo, a excentricidade

passa a ser interpretada como a razão entre a distância de um ponto qualquer da elipse a umfoco e a distância desse mesmo ponto a uma reta fixa, chamada de diretriz.

Propriedades da parábola

N o início desta aula, perguntamos por que algumas antenas de captação de sinal deTV são chamadas de parabólicas. Pelo visto, até agora, você já deve ter notado queesse nome se dá pelo seu formato. E é verdade. Se girarmos uma parábola em torno

de seu eixo, obteremos uma superfície parabólica da qual a antena referida anteriormente éum exemplo. Mas, por que usar esse tipo de antena na captação de sinais? É que a parábolapossui uma propriedade geométrica muito importante: a propriedade de reflexão. Estaafirma que dada uma reta tangente em um ponto Q(x, y) da parábola e sendo F o foco, se αé o ângulo entre a tangente e o segmento FQ e β é o ângulo entre a tangente e a reta paralelaao eixo da parábola que passa por Q, então, α = β. (SIMMONS, 1988, p.153).

A figura a seguir ilustra essa propriedade para uma parábola de equação y2 = 4px eF (p, 0).

Figura 8 – Refl exividade de parábola de equação y2 = 4px

N

Propriedades da parábola

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos�2

Vejamos agora por que essa propriedade de reflexão justifica o uso de superfíciesparabólicas na captação de sinais do espaço, como no caso dos sinais de satélite, ou oscaptados pelos telescópios. É ela também que justifica a forma dos holofotes e dos faróisde automóveis. No caso das antenas e dos telescópios, os sinais que chegam, paralelos aoeixo, atingem a antena ou espelho, sendo refletidos e convergindo para o retransmissor, queé o foco. Isso faz com que a intensidade do sinal seja ampliada. É por isso que em casasonde o sinal de TV é ruim, uma opção para melhorar a recepção é trocar a antena comumpor uma parabólica.

Os faróis de automóveis usam esse princípio de maneira inversa. Isto é, a lâmpadasituada no foco emite raios que, quando incidem na superfície espelhada, são refletidos eseguem uma trajetória paralela ao eixo da parábola.

Várias são as aplicações da parábola em resolução de problemas. Só para citar alguns: atrajetória de uma bala; o chute de uma bola; o jato de água de uma mangueira quando dirigidoobliquamente para cima; enfim, qualquer problema que seja modelado por uma equação dotipo y = ax2 + bx + c.

Figura 9 – Antena parabólica

Figura 10 – Espelho parabólico

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos ��

Continuando os exercícios

�

r

CF

P

Abordagem geométricada parábola

J á foi dito que como seção cônica, a parábola é a curva obtida pela interseção de umcone com um plano que não passa pelo vértice e é paralelo a uma geratriz. Foi definidatambém como o conjunto de todos os pontos do plano que está eqüidistante de uma

reta fixa, chamada diretriz, e de um ponto fixo, chamado foco. Isso significa que uma parábolaestá bem definida, quando conhecemos a sua diretriz e o seu foco. Assim como foi feito paraa elipse, existe um processo geométrico para determiná-los a partir da definição de parábolacomo seção de cone. Para a obtenção do foco e da diretriz, é construída uma esfera deDandelin, isto é, inscreve-se no cone uma esfera tangente, ao mesmo tempo, ao cone e aoplano que determina a curva. O ponto F onde a esfera tangencia a curva é o foco da parábola.A diretriz é a reta de interseção do plano que determina a parábola e o plano da circunferênciahorizontal C , tangente internamente ao cone, conforme Figura 11.

Uma mangueira, mantida 1 m acima do solo, lança um jato deUma mangueira, mantida 1 m acima do solo, lança um jato deágua e este descreve uma trajetória parabólica em que o vérticeágua e este descreve uma trajetória parabólica em que o vérticedista 3 m da reta vertical, que passa pelo bocal da mangueira, e 2 mdista 3 m da reta vertical, que passa pelo bocal da mangueira, e 2 mdo solo. A que distância horizontal da mangueira a água atinge o solo?do solo. A que distância horizontal da mangueira a água atinge o solo?

Figura 11 – A esfera de Dandelin para a parábola

Abordagem geométricada parábola

J

C

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos��

Continuando os exercícios

�

9

�0

30m

7m

5m

P

F Q

Um artista plástico criou uma escultura em ferro, com um arco emforma de parábola, conforme a figura a seguir. A base da armaçãomede 30 m e cada coluna tem 7 m de altura. Se a distância do vér-tice do arco da parábola à base da armação é 5 m, calcule os compri-mentos das colunas da escultura sabendo que a distância consecutivaentre duas delas é 10 m.

Com o auxílio da figura a seguir, mostre a propriedade de reflexão daparábola.

Qual o comprimento da que a reta x− y + 3 = 0 determina naparábola de equação (x− 1)2 = 2y?

Figura 13 – Refl exividade da parábola

Corda

Segmento retilíneo que une dois pontos distintos

sobre a parábola.

Figura 12 – Escultura com arco em forma de parábola

corda

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos �5

Resumo

�

2

�

�

Nesta aula, você conheceu dois procedimentos para construir parábolas, sendoum deles por meio de dobraduras. Aprendeu que utilizando a definição e afórmula da distância entre pontos é possível encontrar uma equação para acurva e, mais ainda, que cada equação depende da localização do vértice e darelação entre o eixo de simetria e os eixos coordenados. Por último, foijustificada a forma da parábola para alguns objetos do dia-a-dia decorrente dapropriedade de reflexão que essa curva possui.

Auto-avaliação

Caracterize a parábola que tem eixo de simetria paralelo a cada um dos eixos x ouy. Construa o gráfico para cada situação.

Qual a relação existente entre p, m, n para que a reta de equação y = mx + n sejatangente à parábola de vértice na origem e eixo de simetria paralelo ao eixo y?

Formule e resolva problemas que envolvam o conteúdo apresentado nesta aula,classificando-os a partir do nível de complexidade: difícil, médio e fácil.

Elabore uma atividade, usando material concreto para comprovar a obtenção dofoco e da diretriz apresentada na abordagem geométrica.

Sugestões para a resolução dos exercícios

1) Use a técnica de completar quadrados para encontrar a forma padrão da equação daparábola.

2) Resolva o sistema formado pela equação da reta procurada e a equação da parábola dada.Assuma que o discriminante é igual a zero.

3) Complete o quadrado e compare-o com a equação da parábola correspondente.

4) Encontre a equação da reta tangente à parábola, paralela à reta dada, e use a fórmula dadistância entre dois pontos à reta.

5) Use a sugestão apresentada para a resolução do item (2).

6) Note que a equação solicitada é a da parábola que tem eixo de simetria paralelo ao eixo x.

Sugestões para a Resolução dos Exercícios

1. Use a técnica de completar quadrados para encontrar a forma padrão da equação da parábola.

2. Resolva o sistema formado pela equação da reta procurada e a equação da parábola dada. Assuma que o discriminante é igual a zero.

3. Complete quadrado e compare com a equação da parábola correspondente.

4. Encontre a equação da reta tangente à parábola, paralela a reta dada, e use a fórmula da distância entre dois pontos à reta.

Auto-avaliação

Aula 05 Geometria Analítica e Números Complexos��

7) Considere um sistema de coordenadas em que o eixo x representa o solo e o eixo y

coincide com a reta vertical dada.

8) Adapte um sistema de coordenadas, de modo que o eixo x coincida com a base da armaçãoe o eixo y, com a coluna central.

9) Um ponto de partida é mostrando que o triângulo FQP é isósceles.

10) Resolva o sistema formado pelas equações para encontrar os pontos de interseção e usea fórmula de distância entre dois pontos.

ReferênciasCABRAL, M. A. P. Cônicas v0.90. Disponível em: <http://www.dma.im.ufrj.br/∼mcabral/textos/conicas.pdf>. Acesso em: 11 set. 2005.

LEHMANN, C. H. Geometria analítica. Tradução de Ruy Pinto da Silva Seeczkowski. 4. ed.Rio de Janeiro: Editora Globo, 1982. v. 2.

LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: SBM, 2001.(Coleção doprofessor de matemática, 2)

OLIVEIRA, F. F. Origami: matemática e sentimento. Disponível em: <http://www.voxxel.com.br/fatima/origami.pdf>. Acesso em: 11 set. 2005.

SIMMONS, G. Cálculo com geometria analítica. Tradução de Seiji Heriki. São Paulo:MAKRON BOOKS, 1988.

VENTURI, J. J. Cônicas e quadráticas. 5. ed. Curitiba, 2003. Disponível em:<http://www.geometriaanalitica.com.br/cq/cq.pdf>. Acesso em: 26 ago. 2005.

WAGNER, E. Porque as antenas são parabólicas. RPM 33, São Paulo, 1997. p.11-15.

5. Use a sugestão apresentada para a resolução do item (2) dos Exercícios.

6. Note que a equação solicitada é a da parábola que tem eixo de simetria paralelo ao eixo x.

7. Considere um sistema de coordenadas em que o eixo x representa o solo e o eixo y coincide com a reta vertical dada.

8. Adapte um sistema de coordenadas, de modo que o eixo x coincida com a base da armação e o eixo y, com a coluna central.

9. Um ponto de partida é mostrando que o triângulo FQP é isósceles.

10. Resolva o sistema formado pelas equações para encontrar os pontos de intersecção e use a fórmula de distância entre dois pontos.

Referências