DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2007 - … · Secretaria de Educação a Distância. TV Escola. Matemática, V.21. Matemática na vida-razão e proporção. VÍDEO 6:O NÚMERO DE OURO-ARTE

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

Produção Didático-Pedagógica 2007

Versão Online ISBN 978-85-8015-038-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCACÃO

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO BÁSICA

OBJETO DE APRENDIZAGEM COLABORATIVO

IDENTIFICAÇÃO: Autor: DIRCE MAYUMI MIYASAKI

Orientador:Dr. EMERSON ROLKOUSKI

Estabelecimento:Colégio Estadual Pedro Macedo

Ensino:Fundamental, Médio e Profissional

Disciplina: Matemática

Conteúdo Estruturante:Números e Álgebra

Conteúdo Específico: Proporcionalidade

1-RECURSO DE EXPRESSÃO.

Como se desenvolve o raciocínio proporcional?

Examinando atentamente uma flor, assim como qualquer outra criação natural

ou algo feito pelo homem encontramos uma ordenação incrível, uma proporção.

Embora a proporcionalidade seja um conceito com amplas aplicações em várias

áreas do conhecimento e presente no dia-a-dia de qualquer pessoa, observa-se que

muitos alunos apresentam grande dificuldade na sua compreensão. Isso se deve

principalmente devido a desvinculação entre os saberes da escola e os saberes da vida.

Desde cedo à criança começa a desenvolver a noção de proporcionalidade em

diversas situações, como por exemplo, quando necessita calcular o valor de determinada

quantidade de produtos. No entanto, muitos alunos, mesmo após o estudo de razões e

proporções na escola, ainda não adquirem, de fato, aquele conceito.

2

O raciocínio proporcional também está presente no trabalho de vários

profissionais que utilizam o conceito matemático no seu cotidiano mesmo sem ter

passado pela educação formal. É o caso de mestres-de-obras que utilizam o raciocínio

proporcional na preparação da massa, da tinta e ainda utilizam noções de escala ao

lerem as plantas das casas que precisam construir.

Um outro exemplo é o de pescadores que determinam o preço de venda de peixe

salgado por meio do raciocínio proporcional. Para determinar o preço do peixe salgado

o pescador tem que saber quanto é que “quebra o Peixe”, ou seja, quantos quilos de

peixe fresco seriam necessários para o fabrico de tantos quilos de peixe salgado.

É importante ressaltar o papel da proporcionalidade como conteúdo integrador

dos diversos ramos da Matemática. Ela aparece em problemas aritméticos, regra de três

e em Geometria, como no caso do Teorema de Tales.

Um tratamento adequado e integrador de todos esses assuntos, por meio de uma

construção cuidadosa do conceito de proporção, possibilita uma visão unificada entre

Geometria, Álgebra e Aritmética.

Buscando utilizar uma metodologia diferenciada, este OAC, por meio do

conteúdo Razão e Proporção apresenta uma proposta pedagógica de utilização das

tecnologias de Informação e Comunicação em seu desenvolvimento: vídeos,

PowerPoint, utilização de planilhas eletrônicas como Excel e a tendência de Modelagem

Matemática de acordo com as Diretrizes Curriculares da disciplina de Matemática.

Abordando o tema : Proporção e Desperdício de Água, a proposta de atividade é

baseada na Modelagem Matemática e no Ciclo de Aprendizagem.

A Modelagem Matemática procura modelar um determinado fenômeno da

realidade com o objetivo de compreender este fenômeno. Um modelo matemático

pode ser entendido como um conjunto de símbolos e relações matemáticas que em certa

medida representam a situação do mundo real extramatemática estudada e pode ser

representado por tabelas, gráficos, equações algébricas, figuras ou formas geométricas e

funções, dentre outras formas. (SILVEIRA e RODRIGUES, 2007).

Em linhas gerais o Ciclo de Aprendizagem se constitui de uma metodologia

diferenciada despertando a curiosidade do aluno para o conteúdo a ser desenvolvido.

Esse modelo foi originalmente proposto no início dos anos 60 por Atkin e Karplus

(1962), mais tarde modificado por outros pesquisadores (KARPLUS e THIER, 1967,

BEISENHERZ e DANTONIO, 1996) quando passou a ser denominado de 5E

(COLBURN, 2003), porque se desenvolve em cinco estágios, cada um deles

comportando várias atividades de ensino e de avaliação.

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Estágios do Ciclo de Aprendizagem.

• Envolvimento

• Exploração

• Explicação

• Elaboração ou Aprofundamento

• Avaliação

Em Inglês, um dos termos utilizados para avaliação é Evaluation. Assim, todas as

fases do ciclo começam com a letra E, perfazendo os 5E.

Para um maior aprofundamento sobre o Ciclo de Aprendizagem proponho a leitura

do texto: Ciclo de Aprendizagem: uma proposta para a elaboração de materiais didáticos

disponível no endereço eletrônico:

http://www.sitedaescola.com/ferramentas/dokeos/courses/PROAVA/document/documentos_projeto/Ciclo_de_A

Ensinar é um processo que envolve uma meta explícita, a aprendizagem. De

acordo com Vygotsky, a aprendizagem das crianças se inicia antes de sua entrada na

escola, são conceitos espontâneos que são formados no cotidiano, nas relações sociais

da criança, no seu meio e na sua cultura.

A criança se utiliza dessa aprendizagem adquirida no dia-a-dia (os conceitos

espontâneos) sem estar consciente deles, pois sua atenção está centrada no objeto ao

qual o conceito se refere e nunca no próprio pensamento. Os processos de formação dos

conceitos espontâneos e dos conceitos científicos se relacionam e se influenciam

constantemente, fazendo parte de um único processo: o desenvolvimento da formação

de conceitos.

O professor deve ser o mediador entre a criança e os conceitos científicos. O

processo de aprendizagem deve desenvolver-se a partir de atividades que levem o aluno

a tornar-se o agente da elaboração do conhecimento, mobilizando sua inteligência,

vinculando a atividade escolar à vivência do aluno.

Este Objeto de Aprendizagem (OAC) enfoca o conteúdo de Razão e Proporção

como um instrumento matemático poderoso e aplicável diretamente ao cotidiano das

pessoas. A indicação de sítios na Internet, leituras esclarecedoras e os demais recursos

auxiliam a realização de um bom trabalho.

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Referências:

SILVEIRA, E.; SOARES RODRIGUES, J. M. Coleção gira Mundo, Rio de Janeiro, n.48, 2007.

Disponível em: http://www.multirio.rj.gov.br/portal/_download/gira48.pdf

NUNES, T. É hora de ensinar proporção. nov. 2007.

Disponível em: http://revistaescola.abril.ig.com.br/edicoes/0161/aberto/mt_244561.shtml

GIOPPO, C. Ciclo de Aprendizagem. nov. 2007.

Disponível em: http://www.sitedaescola.com/ferramentas/dokeos/courses/PROAVA/document/documentos_projeto/Ciclo_de_A

VASCONCELOS, C.; PRAIA, J. F.; ALMEIDA, L. S. Teorias de aprendizagem e o ensino/aprendizagem das ciências: da instrução à aprendizagem. dez. 2007.

Disponível em: http://pepsic.bvs-psi.org.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1413-85572003000100002&lng=en&nrm=is

2-RECURSOS DIDÁTICOS

2.1 SÍTIOS

CURIOSIDADES SOBRE ARTE E ARQUITETURA

Disponível em:

http://www.picsearch.com/info.cgi?q=divina%20proporcao&id=AqFT8BbvSDT7uA0p9zVawZNXwFsm

3-QjK4Ngs8oXYv0&start=1&opt=%26cols%3D6%26thumbs%3D4

Acesso em jan de 2008.

O sítio apresenta informações sobre o retângulo de ouro utilizado em estruturas

arquitetônicas e em obras de arte. Traz informações sobre Fibonacci e sua famosa

seqüência, fórmulas, propriedades e aplicações desses números na natureza.

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SEQÜÊNCIAS DE FIBONACCI: PROPRIEDADES MATEMÁTICAS

Disponível em:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm

Acesso em jan de 2008.

No sítio você poderá obter informações sobre a seqüência de Fibonacci ,

propriedades e aplicações da seqüência como: estudo genealógico de coelhos,

comportamento da luz e crescimento de plantas entre outros.

VÍDEOS DE MATEMÁTICA

Disponível em:

http://portal.mec.gov.br/seed/arquivos/pdf/guia9604/matematica.pdf

Acesso em dez, 2007.

Neste sítio o professor de matemática encontra sugestões de vídeos sobre arte e

matemática ,dicas para trabalhar taxas e índices , sugestões para aproveitar o

conhecimento que a criança já possui dos números e orientações para facilitar a

aprendizagem da geometria com jogos e brincadeiras. A série Matemática Interativa

apresenta uma série de 4 programas que mostra como o uso do computador pode

contribuir para melhorar o ensino da matemática.

O NÚMERO ΦΦΦΦ E A SÉRIE DE FIBONACCI http://www.seara.ufc.br/donafifi/fibonacci/fibonacci6.htm

Caro professor, neste site você poderá se aprofundar sobre aplicações da série de Fibonacci na física. Acesso em jan,2008.

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2.2 VÍDEOS

VÍDEO 1 : MALDITAS ARANHAS

Título: Malditas Aranhas

Direção: Ellory Elkayem

Produtora: Warner Bros Pictures

Duração: 01h40min

ANO: 2002

O trailer do filme Malditas Aranhas é utilizado para motivar o aluno,

despertando sua curiosidade, iniciando o conceito de razão e proporção

As aranhas gigantes são resultado da mistura de lixo tóxico com aranhas

exóticas.

Um latão de lixo tóxico cai no riozinho que beira uma pequena cidade norte-

americana, e o efeito é devastador, aranhas exóticas têm um crescimento exagerado.

Elas se tornam gigantes e começam a atacar as pessoas da cidade.

Os habitantes têm que se unir para enfrentar essas aranhas e descobrir como

derrotá-las.

Liderado por Chris McCormack e pela bela xerife Sam Parker, os moradores se

mobilizam a fim de permanecerem vivos.

VÍDEO2:CONCEITO NO DIA-A-DIA

Ministério da Educação-MEC

O vídeo apresenta o conteúdo de razão e proporção como integrante de nossas

vidas e presente tanto na natureza como também em obras de arte, e em nosso cotidiano.

Mostra-nos o desenvolvimento histórico do conceito de proporcionalidade,

desde Euclides,passando pelo Renascimento, arte moderna e na atualidade.

Apresenta uma visão ampla da matemática, mostrando que matemática é muito

mais do que fazer contas, é estabelecer relações e verificar padrões existentes na

natureza.

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Referência:

Título: Conceito no dia-a-dia

Matemática na vida: razão e proporção

Autor: Ministério da Educação-MEC

Idioma: Português

Instituição: Parceria [ME] Ministério da Educação

Formato: wmv

Tamanho: 49,97 MB

Tempo: 13min:35 s

Disponível em:

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=20843

Acesso em 06/11/2007

Caro colega, caso opte por iniciar o conteúdo de proporção pela indagação sobre

a existência de aranhas gigantes na vida real pode-se apresentar o DVD do tempo 9:22

min até 11:07 min.

Utilizando o mesmo DVD do início até o tempo 9:21 min., o professor(a) poderá

abordar o conteúdo de Razão e Proporção como um tema comum ao nosso cotidiano

encontrado na natureza, na fabricação de alimentos, concreto, obras de arte, maquetes e

até mesmo nos filmes.

Poderá realizar também uma abordagem interdisciplinar com a disciplina de

ciência do tempo 11:08 min até o final 13:35 min trabalhando o conteúdo Efeito Estufa.

VÍDEO 3:PROPORÇÃO DIRETA E INVERSA


Referência:

Título: Proporção direta e inversa



Idioma: Português


Formato: wmv

Tamanho: 44,99MB

11min

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Disponível em:



Este vídeo tem como objetivo explicitar a relação entre velocidade, tempo e o

conceito de proporcionalidade direta e inversa, além disso, aborda a relação entre o

valor e a quantidade de produto a ser comprada.

VÍDEO 4:A DIVISÃO E SUAS INTERPRETAÇÕES


Referência:

Título: a divisão e suas interpretações



Idioma: Português


Formato: wmv

Tamanho: 97,40 MB

12:15 min

Disponível em:



O DVD apresenta e explica os diferentes tipos de divisão: partilha medida e

comparação.

Trabalhando o tema proporção, o professor poderá destacar o tipo de divisão

comparação. Na comparação identificamos quantas vezes a medida de determinada

grandeza é maior que outra medida de mesma grandeza.

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VÍDEO 5:SEMELHANÇA


Referência:

Título: semelhança



Idioma: Português


Formato: wmv

Tamanho: 48,12 MB

12 min

Disponível em:



Tanto professor quanto alunos poderão aprofundar seus conhecimentos quanto

ao conceito matemático de semelhança. O vídeo explicita a relação entre os conceitos de

semelhança e proporcionalidade direta. Também apresenta a relação entre semelhança e

escala.

Os vídeos 2 a 5 também estão disponíveis em DVD:

Ministério da Educação. Secretaria de Educação a Distância. TV Escola. Matemática,

V.21. Matemática na vida-razão e proporção.

VÍDEO 6:O NÚMERO DE OURO-ARTE E MATEMÁTICA VOLUME 2

Traz o número de ouro, que é o resultado da divisão dos lados de um retângulo áureo. A

proporção áurea foi eleita pelos gregos como critério estético de perfeição e harmonia,

tratada aqui neste programa pelo matemático Leonardo Fibonacci, no século XII através

de seus estudos sobre o conceito.

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Referência:

Título: semelhança

Matemática: Arte e Matemática


Idioma: Português


Formato: wm

25:21 min

VÍDEO 7:DONALD NO PAÍS DA MATEMÁGICA

Direção: Hamilton S. Luske

26 min

O desenho apresenta o pato Donald numa jornada pelas maravilhas da

Matemática. Donald viaja para a Grécia antiga no tempo de Pitágoras e os Pitagóricos

para descobrir a matemática existente na música e dentro do Pentagrama descobre o

segredo da regra de ouro que os gregos admiravam pelas suas proporções.

No vídeo podemos verificar forte relação entre Arte e Matemática no que se

refere a música de Pitágoras e ao retângulo de ouro presente na natureza, construções

arquitetônicas , artes e nas proporções do corpo humano.

VÍDEO 8:UMA VERDADE INCONVENIENTE

Título: Uma Verdade Inconveniente (An Inconveniente Truth)

Gênero: Documentário

Duração: 100 min

Ano:2006

Direção: Davis Guggenheim

Elenco: Al Gore

Vencedor do Oscar no ano de 2007, o documentário expõe as conseqüências do

aquecimento global.

No documentário Al Gore ex-vice-presidente dos Estados Unidos no governo de

Bill Clinton de 1993 a 2001, candidato derrotado por George W. Bush na campanha

presidencial dos EUA em 2000, aparece como conferencista, levanta questões essenciais

as conseqüências do aquecimento global.

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Uma verdade Inconveniente, dirigido por Davis Guggenheim, potencializa as

informações sobre o aquecimento global. Mostra como e por quais motivos a emissão

de substâncias poluentes e o mau uso dos recursos naturais têm impactado no

aquecimento global.

A mensagem do filme é clara: devemos agir logo para evitar que nosso futuro e

de nossas crianças venha a ser destruído.

Esse documentário poderá ser utilizado para iniciar questionamentos sobre os

problemas ambientais que será abordado na aula de modelagem matemática:Proporção e

Desperdício de Água.

Para assitir ao trailer acesse: http://www.youtube.com/watch?v=Yh330_gkOsU

Acesso em fev ,2008.

2.3 PROPOSTA DE ATIVIDADE:

Aula: Razão e Proporção

6 ª Série

Tema: Proporção e Desperdício de Água.

ESTÁGIO 1 : ENVOLVIMENTO

a )CONTEÚDO DA 1ª AULA: proporção

b) OBJETIVO: verificação e exploração dos conhecimentos prévios dos alunos.

c) METODOLOGIA: iniciar questionamentos:

Um dos alunos será o relator e irá anotando as afirmações dos colegas.

1-Alguém já viu animais gigantes? Onde?

Assistir ao trailer do filme: MALDITAS ARANHAS.

Em seguida prosseguir com questionamentos.

2-Por que aranhas gigantes só existem em filmes?

3-Seria possível existir aranhas gigantes na vida real? E por quê?

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Sobre a possibilidade de existência de aranhas gigantes na vida real apresentar

um trecho do DVD: CONCEITO NO DIA A DIA- MATEMÁTICA NA VIDA: Razão

e Proporção - TV Escola MEC.o DVD do tempo 9:22 min até 11:07 min.

Abordar em seguida o tema proporcionalidade.

4-Vocês já ouviram falar em proporção ou proporcionalidade?

5-Onde ouviram?

6-Qual a idéia que vocês têm de proporcionalidade?

Questionar aos alunos: Onde mais em nossa vida utilizamos à

proporcionalidade? (coletar a resposta dos alunos para ser trabalhada nas próximas

aulas).

d) AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA: escolher um aluno para ser o relator que anotará as

perguntas realizadas e comentários dos alunos.

A avaliação diagnóstica considerará a participação e respostas dos alunos às questões

desta unidade.

e)FERRAMENTAS TECNOLÓGICAS: Vídeos: MALDITAS ARANHAS e DVD:

CONCEITO NO DIA A DIA - MATEMÁTICA NA VIDA: Razão e Proporção - TV

Escola MEC.

ESTÁGIO 2 :EXPLORAÇÃO

a)CONTEÚDOS: grandezas e medidas, funções, números e operações, tratamento da

informação.

b) OBJETIVO: verificação e exploração dos conhecimentos prévios dos alunos.

c) METODOLOGIA: formação de equipes, pesquisa , coleta de dados ,após,

sensibilização utilizando trailer do documentário “Uma Verdade Inconveniente” e

posteriormente ,o recurso PowerPoint com questionamento e imagens iniciando

pesquisa sobre o desperdício de água.

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O filme Malditas Aranhas alerta para um grave problema, qual seja, a poluição.

No texto abaixo retirado do livro de matemática da sexta-série: Projeto Araribá na

página 188 ressaltam-se problemas que teremos no futuro se não nos atentarmos para a

questão ambiental.

A população global não pára de crescer. Segundo a ONU, até 2050, seremos

aproximadamente 9 bilhões e 300 milhões de habitantes.Contudo, a quantidade de água

disponível para consumo não aumenta; pelo contrário, está ameaçada pelo alto grau de

poluição e pelo aquecimento global- de redução em cerca de um terço nos próximos

vinte anos. Por isso, além da urgente união dos governos mundiais para uma gestão

inteligente dos recursos hídricos, é de primeira importância que todos combatam o

desperdício. Você sabe qual é o desperdício aproximado de água em litros de uma

simples torneira pingando em um dia?

Imagens no PowerPoint:

Eleger um relator que irá anotar as observações dos alunos.

Sugerir uma volta no pátio do colégio para verificar se há torneiras abertas ou

pingando e tentar calcular o desperdício dessa água.

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Perguntar aos alunos que instrumentos poderiam ser usados para medir esse

desperdício.

O relator irá anotar as sugestões.

Voltando a sala, organizar os alunos em equipes de 4 alunos: sendo um

coordenador do grupo, um relator, um apresentador, um coletor de informações ou

dados.

PROBLEMAS RELACIONADOS AO DESPERDÍCIO DE ÁGUA.

Cada equipe realizará uma pesquisa em dez casas de sua vizinhança tentando

descobrir se alguma delas apresenta uma torneira com defeito. Esse encaminhamento

didático foi inspirado no trabalho desenvolvido na prefeitura do Rio de Janeiro de

autoria de Everaldo Silveira e José Maria Soares Rodrigues in Modelagem Matemática

na Escola.

Com os dados levantados, estime a quantidade de água em litros de uma simples

torneira pingando em um dia. Caso não haja nenhuma torneira pingando em sua

vizinhança, faça uma simulação com uma torneira em sua casa.

Cada equipe deverá trazer os dados da pesquisa respondendo a questão:

• Qual é o desperdício aproximado de água em litros de uma simples

torneira pingando em um dia? .

Cada equipe também poderá apresentar uma reportagem, trecho de vídeo ou

documentário de no máximo 10 minutos de diversas fontes como: Internet, revistas,

jornais e livros que levantem problemas relacionados à escassez ou desperdício de água.

d)AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA : Durante a volta no pátio do colégio o relator

anotará as perguntas realizadas e comentários dos alunos.

A avaliação diagnóstica considerará a participação e respostas dos alunos às questões

desta unidade.

e)FERRAMENTAS TECNOLÓGICAS :Documentário: “ Uma Verdade

Inconveniente” e Imagens no PowerPoint com questionamentos.

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ESTÁGIO 3:EXPLICAÇÃO

a)CONTEÚDO: grandezas e medidas, funções, números e operações, tratamento da

informação.

b) OBJETIVO: interpretação e análise dos dados coletados para em seguida trabalhar

novos conceitos

• Descobrir a quantidade de água desperdiçada em função do tempo.

c) METODOLOGIA: Cada equipe deverá nesta aula apresentar os dados coletados,

reportagem e responder a novas questões.

1)Quantos litros de água você imagina que uma pessoa de hábitos comuns usa por dia?

2)Segundo sua estimativa de uso diário por pessoa, qual deverá ser o consumo

mundial diário de água em 2050? E o consumo de 50% da população mundial nesse

mesmo ano?

3) De acordo com os dados coletados por todas as equipes, qual foi o desperdício

aproximado de água em litros por dia de uma torneira pingando?

4)Você acha esse desperdício grande ou pequeno? Por quê?

5)Quantas garrafas do tipo PET (de 2 litros) poderiam encher com a quantidade de

água gasta por uma torneira pingando durante um dia?

6) Cite alguns exemplos do que poderia ser feito com essa água.

7) Ao final de um mês, quantos litros de água serão desperdiçados por uma torneira

pingando?

8) Se a quantidade de meses triplicarem, o que vai acontecer com a quantidade de água

desperdiçada? E se a quantidade de meses for reduzida a metade?

9) O que ocorre quando há variação da grandeza ;quantidade de meses em relação à

grandeza ,quantidade de água desperdiçada?

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10)Duas torneiras estão vazando. Em 5 horas, a primeira torneira despeja 12 litros de

água, enquanto, em 3 horas, a segunda 9 litros. Qual delas gera maior desperdício?

Explique seu raciocínio.

d)AVALIAÇÃO: apresentação dos dados coletados e pesquisa

• Análise das questões 1 a 10.

ESTÁGIO 4:ELABORAÇÃO OU APROFUNDAMENTO.

a)CONTEÚDO: razão, proporção, grandezas e medidas, funções, números e operações,

tratamento da informação.

b) OBJETIVO: reforçar os conceitos aprendidos possibilitando a aplicação desses

conhecimentos a novas situações do cotidiano.

c) METODOLOGIA: Responder a questões. Discussão e análise das respostas dadas

pelos alunos, em seguida retomada das questões da primeira aula. Conclusão com

trecho do DVD:CONCEITO NO DIA-A-DIA- MATEMÁTICA NA VIDA: Razão e

Proporção-TV Escola MEC do início até o tempo 9:21 min

Em equipe os alunos deverão responder as questões:

1) Em quais situações observamos que a variação de certa grandeza está

relacionada com a variação de outra? Exemplifique sua resposta.

2) Dê exemplos de grandezas proporcionais?

3) O conceito de porcentagem é encontrado em quais atividades do nosso

cotidiano?

4) Você sabe representar 50% na forma de fração? E na forma de número decimal?

Apresentar DVD: PROPORÇÃO DIRETA E INVERSA: - TV Escola MEC

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AVALIAÇÃO : Fechamento da unidade.

Os alunos deverão responder as seguintes questões.

1) O que você já sabia sobre o assunto proporção?

2) Escreva um pouco sobre o que você aprendeu ao estudar o assunto.

3) Quais as diferenças entre o que você sabia e o que sabe agora?

4)Esse conhecimento adquirido pode ser utilizado em suas atividades diárias ?

5)Propor uma ação efetiva a respeito da escassez de água. O que cada um pode

fazer?

Apresentar trailer do documentário : Uma Verdade Inconveniente.

REFERÊNCIAS:

Obra coletiva. Projeto Araribá matemática 6ª série. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2006

WARNER BROS.Pictures. Malditas Aranhas

GIOPPO, C. Ciclo de Aprendizagem. nov. 2007.

Disponível em:

http://www.sitedaescola.com/ferramentas/dokeos/courses/PROAVA/document/documentos_projeto/Ciclo_de_A

SILVEIRA, E.; SOARES RODRIGUES, J. M. Coleção gira Mundo, Rio de Janeiro, n.48, 2007.

Disponível em: http://www.multirio.rj.gov.br/portal/_download/gira48.pdf

TV ESCOLA, MEC. Conceito no Dia-a-Dia-Matemática na Vida-Razão e Proporção. dez. 2007.

Disponível em: http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_obra=20843

Título: Proporção direta e inversa


TV ESCOLA, MEC. Proporção Direta e Inversa-Matemática na Vida-Razão e Proporção. dez. 2007.

Disponível em:


Documentário: Uma Verdade Inconveniente. Fev, 2008

http://www.youtube.com/watch?v=Yh330_gkOsU

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2.4 IMAGENS

Imagem selecionada no banco de Imagens do Portal

Marcus Vitruvius Pollio, arquiteto e escritor romano do século I escreveu um

dos primeiros documentos sobre a percepção das proporções humanas. Para ele a altura

de um homem bem formado é igual ao alcance de seus braços estendidos. Essas duas

medidas formam um quadrado que encerra o corpo inteiro, enquanto que as mãos e os

pés tocam o círculo que tem seu centro no umbigo.

Quando a Renascença redescobriu as ruínas clássicas da Grécia e de Roma,

Leonardo da Vinci ilustrou a versão dessa idéia de Vitruvius com esse famoso desenho:

Homem vitruviano. (DOCZI, 2004).

Imagem selecionada no Flickr em janeiro de 2008

Fotos de tsak_d.

http://www.flickr.com/photos/96602242@N00/2106420864/in/set-72157601898208702

Para homenagear seus deuses, os gregos construíram templos baseados na

proporção áurea. O mais famoso é o Parthenon de Atenas cuja fachada principal cabe

em um retângulo áureo deitado.

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Fotos Anataman

Imagem selecionada no Flickr em janeiro de 2008

http://www.flickr.com/photos/anataman/234806624/ Esta é a imagem do Náutilus um cefalópode marinho que apresenta o corpo segmentado em forma de espiral e que apresenta a razão áurea em seu desenvolvimento.

3-RECURSO DE INFORMAÇÃO

3.1 SUGESTÃO DE LEITURA

3.1.1-O CONCEITO DE PROPORCIONALIDADE NO ENSINO FUNDAMENTAL

Disponível em

http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc04.pdf


A professora Dra. Roseli de Alvarenga Corrêa destaca a importância do estudo

do tema Razão e Proporção, não apenas como um conteúdo matemático em si, mas

principalmente como um “formador” de estruturas cognitivas para a compreensão de

outros importantes conceitos matemáticos.

Num sentido metodológico, é importante conhecer algumas idéias de autores que

consideram o tema em seus diferentes enfoques, de forma que amplie nossos horizontes

no sentido de pensar a proporcionalidade como um assunto ,cujo aprendizado, vai além

de situações puramente técnicas, como é o caso da regra de três e que se possa estruturar

o estudante a resolver problemas nas diversas áreas do conhecimento com compreensão,

significado e habilidade.

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3.1.2 – O PODER DOS LIMITES:HARMONIAS E PROPORÇÕES NA

NATUREZA, ARTE E ARQUITETURA.

DOCZI, G. O Poder dos Limites. Tradução de Maria Helena de Oliveira Tricca e

Júlia Bárány Bartolomei. São Paulo: Mercuryo, 2004.

O título da obra O PODER DOS LIMITES foi inspirado numa frase de

Pitágoras: O limitado dá forma ao ilimitado. Daí estar o poder nos limites.

Dóczy busca os padrões harmônicos na Natureza, padrões que são trazidos

inconscientemente às artes, ao comportamento e à cultura do homem.

São 143 páginas contendo ilustrações ,explicações de proporções na Natureza,

arte e arquitetura.

3.1.3 – ATIVIDADES E JOGOS COM RAZÃO E PROPORÇÃO

Referência: SMOOTHEY, Marion. Atividades e Jogos com Razão e Proporção.

Tradução e revisão técnica Antonio Carlos Brolezzi-São Paulo: Scipione, 1998. -

Coleção investigação matemática.

O livro nos apresenta o conteúdo de Razão e Proporção de uma forma divertida,

simplificada como o seu nome propõe, diversas atividades e jogos sobre esse conteúdo.

3.2 NOTÍCIAS

A reportagem especial de Veja: A fronteira Final de 11 de abril de 2007

apresenta 18 páginas dedicadas às conseqüências do Aquecimento Global.

Disponível em Veja on-line:

http://veja.abril.com.br/110407/p_078.shtml

Acesso em dez de 2007.

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Abordando o tema: Os Sinais do Aquecimento Global e Suas Conseqüências, o

professor poderá trabalhar o conteúdo Razão e Proporção de forma interdisciplinar com

Geografia e Ciência.

O Aquecimento Global é causado pelo aumento das proporções dos gases do

efeito estufa na atmosfera, principalmente o dióxido de carbono, resultado da atividade

humana. Esses gases formam uma espécie de cobertor em torno do planeta, impedindo

que a radiação solar, refletida pela superfície em forma de calor, se dissipe no espaço. O

efeito estufa é um fenômeno natural, que garante condições de temperatura e clima

necessários para a existência de vida na Terra, mas agora há um desequilíbrio. Exame

realizado em amostras de gelo demonstra que a concentração de dióxido de carbono na

atmosfera tem oscilado para mais e para menos ao longo dos séculos, mas nunca foi tão

elevado como hoje.

Na página 85 a revista Veja mostra um gráfico indicando a variação de

concentração de CO2 (em ppm) e a temperatura média do planeta de 720.000 anos atrás

até os dias atuais. O manto de gelo da Antártica se acumulou em camadas sucessivas à

razão média de 5 centímetros por ano. Amostras de ar do planeta ficariam encapsuladas

em bolhas em cada camada. Os cientistas hoje usam brocas para extrair pedaços

cilíndricos desse gelo ancestral com profundidade que ultrapassa os 3.000 metros. Dessa

forma, conseguem obter amostras do ar da Terra de até quase 800.000 anos atrás. Umas

das conclusões: altas concentrações atmosféricas de gases ligadas ao efeito estufa

podem ser produzidas apenas pela natureza - sem a participação do homem. Mas,

quando se somaram as fontes naturais desses gases-como às erupções vulcânicas – com

as fontes inerentes ao atual estágio tecnológico da civilização - fábricas e motores- , as

concentrações atingem índices recordes.

22

A reportagem indica que as calotas Polares estão no limite da resistência. O

Ártico e a Antártica são o termômetro das atuais alterações ocorridas no clima. Lá as

mudanças ocorrem de forma rápida e intensa do que em qualquer outra parte do mundo.

No ártico, o ritmo da elevação da temperatura na atmosfera é o dobro da média global.

A calota gelada do Oceano ártico deve desaparecer totalmente durante o verão a partir

de 2060. A sobrevivência dos ursos polares está ameaçada pela redução da área de mar

congelado, seu território de caça. Ninguém pode ficar indiferente diante dessas

mudanças. O que ocorre nas regiões polares tem repercussão direta no equilíbrio

climático em escala planetária

Como o Aquecimento dos Pólos Afeta o Clima?

O Gelo da Antártica e do Ártico é uma peça - chave na manutenção do equilíbrio

do clima no planeta. O degelo nos pólos aumenta o volume de água doce despejado no

mar, reduzindo sua salinidade. Isso pode enfraquecer as correntes marítimas. É um

23

perigo. Sem o calor da corrente do Golfo, o norte da Europa Ocidental teria invernos tão

rigorosos quanto os do Canadá, localizado na mesma latitude. O branco do gelo e da

neve reflete 90% da radiação solar que recebe. Chamado albedo, esse processo ajuda a

manter a temperatura média do planeta em 14,6 graus. O gelo marinho é uma barreira

adicional, impedindo que os raios solares sejam absorvidos pelos oceanos polares. O

aumento da temperatura nos pólos compromete a troca de calor na atmosfera, o que

pode acentuar manifestações climáticas extremas, como tempestades, ondas de calor e

secas. A elevação do nível do mar era de 2 milímetros anuais.Aumentou para 3

milímetros por ano na última década e deve dobrar nos próximos 100 anos.Os cientistas

traçam três cenários possíveis , dependendo do nível de elevação da água.

Cenário 1: o mar sobe 59 centímetros.

Relatório da ONU prevê tal elevação até o fim do século. Leva-se em conta o

derretimento do gelo das montanhas e de parte dos pólos e um aumento de 4 graus na

temperatura. Os oceanos avançariam mais de 50 metros nas planícies costeiras,

obrigando 100 milhões de pessoas a abandonar suas casas.

Cenário 2 : o mar sobe 12 metros

Seria preciso o derretimento de todo o gelo da Groenlândia e da Antártica

Ocidental, o que não deve ocorrer neste século. Uma elevação de 12 metros inundaria

boa parte do Rio de Janeiro e transformaria o Morro da Urca numa ilha.

Cenário 3 : o mar sobe 70 metros.

Seria preciso que toda a Groenlândia e a Antártica derretessem, o que é

improvável nos próximos séculos. Todas as cidades costeiras do Brasil seriam varridas

do mapa. Se o Atlântico fosse uma piscina, sem as diferenças de relevo das áreas

costeiras, a Estátua da Liberdade, em Nova York, ficaria com água até o peito.

O Ártico são as terras e mares acima do Círculo Polar Ártico. Também pode ser

definido pela linha irregular que marca o fim da ocorrência de árvores nas ilhas e

continentes. Apenas 20% da superfície do Ártico é coberta por gelo permanente, que

não derrete no verão. Pesquisadores buscam um modelo matemático capaz de prever a

quantidade de gelo que a Groenlândia perderá nas próximas décadas e que depende não

só do nível dos oceanos, mas também do equilíbrio climático do planeta. Se o ritmo do

derretimento aumentar, o enorme reservatório de água doce da Groenlândia poderá

24

diluir a salinidade do mar. O resultado seria o enfraquecimento da corrente marítima do

Golfo, cujo calor mantém amena a temperatura na Europa Ocidental. Não seria apenas

um pesadelo para os europeus, mas um rompimento brutal do clima da Terra.

A Antártica é o continente que concentra 90 % de gelo do planeta e dá os

primeiros sinais dos efeitos do aquecimento global. Nos últimos cinqüenta anos, a

temperatura se elevou 3 graus, dez vezes acima do aumento médio registrado no

restante do planeta, nove em cada dez geleiras diminuíram.

3.3 DESTAQUES

HARMONIA Por harmonia geralmente entendemos um ajuste, uma junção ordenada e

agradável dos diferentes que em si já carregam muitos contrastes. O conceito de

Harmonia remonta a Pitágoras que, de acordo com a lenda, o descobriu ao ouvir o som

do martelar das diversas bigornas em uma ferraria. Essa observação levou-o por

analogia a outros instrumentos, como as cordas em vibração de uma lira. Descobriu que

duas cordas tangidas ao mesmo tempo soam melhor quando são iguais ou quando uma

tem ½, 2/3 ou ¾ do comprimento da outra. Em outras palavras quando o comprimento

das cordas tangidas se relaciona em proporções que se expressam nos menores números

inteiros: 1,2,3,4. (DOCZI, 2004,pág. 8).

O ritmo é o elemento fundamental da música e se manifesta em todos os

fenômenos da natureza como as marés, o ritmo cardíaco, a luz, o som, o padrão de

crescimento vegetal. A essência de todas as vibrações e ritmos é a mistura de diferentes

- fraco e forte, dentro e fora, em cima e embaixo, atrás e na frente num determinado

intervalo periódico de tempo. Sempre unidos à idéia de ritmo encontramos o conceito

de ordem, proporção, medida, repetição, sucessão e alternância.

Na cidade de Zadar, na Croácia localiza-se um Órgão do Mar. Seus degraus são

cravados nas rochas e têm um interessante sistema de tubulações que quando

empurradas pelo movimento do mar, forçam o ar e dependendo do tamanho e

velocidade da onda, criam notas musicais, sons aleatórios. Trata-se de um instrumento

criado pelo homem e tocado pela natureza.

O Órgão do Mar criado em 2005 e ganhador do prêmio europeu para espaços

públicos: European Prize for Urban Public Space, recebe turistas de várias partes do

mundo.

25

Mais informações, imagens e sons no site abaixo:

http://forum.lkmtheblog.com/viewtopic.php?t=43014

http://www.youtube.com/watch?v=H5BOwPj8zSY

http://www.youtube.com/watch?v=pQ9qX8lcaBQ

Referência:

DOCZI, G. O Poder dos Limites. São Paulo: Mercuryo, 2004.

3.4 PARANÁ

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Marcado pelo estilo Neoclássico, o prédio Central da Universidade Federal é

uma das mais belas obras arquitetônicas do país. Esta universidade é a mais antiga do

Brasil e símbolo da cidade de Curitiba. Foi fundada em dezembro de 1912 e iniciou seu

funcionamento em 1913 como instituição particular em um antigo prédio na Rua

Comendador Araújo.

A construção do prédio central da Universidade Federal do Paraná foi iniciada

em 1913 e em 1950 a Universidade torna-se uma instituição pública e gratuita passando

por remodelação e ampliação no ano de 1955.

Nas construções Neoclássicas predominam elementos da arquitetura greco-

romana e renascentista. Nelas, os arquitetos seguem à risca as regras de composição

daqueles estilos, e as construções, de maneira geral, são sóbrias e com pouca decoração.

Para homenagear seus deuses, os gregos construíram templos, e as construções

eram todas baseadas na proporção áurea, sendo o mais famoso, o Parthenon de Atenas.

26

Os gregos tratavam os monumentos como grandes esculturas, construídas com

as mesmas normas de simetria e proporções ideais. Para os gregos, a beleza era dotada

de geometria, de proporção, harmonia e equilíbrio.

A arquitetura greco-romana influenciou a arte e a arquitetura de todos os

períodos subseqüentes da civilização ocidental especialmente quando a Renascença

redescobriu as ruínas clássicas da Grécia e de Roma.

Outras informações no endereço: http://www.ufpr.br/adm/templates/p_index.php?template=1&Cod=81&hierarquia=6.1.2

4.RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO

4.1 INVESTIGAÇÃO DISCIPLINAR

O tema proposto na atividade foi Proporção e Desperdício de Água. Após a

abordagem do conteúdo Razão e Proporção, o professor poderá abordar também o

conteúdo de funções.

Conteúdo Estruturante: Funções

Quando há uma correspondência entre duas grandezas x e y, de modo que para

cada valor de x fica determinado um único valor de y, dizemos que y é função de x.

Atividade: Funções

Suponhamos que uma torneira, em nossa casa, despeje 5 litros de água a cada

minuto. Baseado nessa informação complete o quadro a seguir.

Tempo (minutos)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Volume (litros)

Com base nas informações do quadro, responda:

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a) Quanta água será desperdiçada depois de 20 minutos?

b) À medida que o tempo passa o volume de água despejada também aumenta? Por

quê?

c) Se duplicarmos o tempo de 10 para 20, o que acontece com o volume

correspondente?E se triplicar o tempo de 10 para 30 o que acontece com os

volumes correspondentes?

d) Volume e tempo são grandezas de proporcionalidade direta?Justifique.

e) O que se pode concluir quanto o volume de água e o tempo?Estabeleça uma

relação. Uma equação matemática.

f) No laboratório de informática construir um gráfico utilizando planilhas

eletrônicas como, exemplo, o Excel.

g) Análise do gráfico.

4.2 PERSPECTIVA INTERDISCIPLINAR

A Articulação entre Arte e Matemática.

Contextualizar a Matemática com conceitos e procedimentos artísticos e

estabelecer inter-relações entre os diversos conhecimentos poderá vir a amenizar o

aprendizado da Matemática de forma mecânica, tornando-a uma disciplina que

desenvolva a diversidade de pensamento e a criatividade.

28

Ao observar a natureza, o homem criou seus mecanismos de contagem, de

medida, de proporção e aprendeu a registrar suas conclusões. O registro encontrado em

cavernas pré-históricas indica que o homem se preocupava em registrar seus pertences e

suas caçadas.

Desde os Primeiros Tempos, temos registros de manifestações artísticas e

matemáticas no comportamento humano. O pensamento humano expressava-se, com

certeza, até na escolha da caverna, onde, intuitivamente, a proporcionalidade entre o

espaço disponível e o número de habitantes do grupo levado em consideração. O

pensamento artístico dominava magicamente os desafios da natureza. A arte era

produzida pelo homem caçador, que desenhava bisões e mamutes, registrando suas

marcas nas paredes das cavernas, como forma de domínio, poder e força. O homem

primitivo também construiu armas, instrumentos e utensílios de pedra, ossos e troncos,

em que as relações entre as formas, suas dimensões e usos são evidentes para nós. São

precisões, igualdades e variações que afloram ao nosso olhar. (VIEIRA e RIBEIRO,

2002).

A sensibilidade estética está presente tanto na arte quanto na matemática. A

estética aborda, em suma, a contemplação da beleza, quer seja esta artística, natural ou

intelectual.

É justamente sob o viés da estética que iremos descortinar grandes encontros

entre a arte e a matemática, pois ambas fazem parte do mesmo gesto com que o homem

buscou o mundo, o outro e a si próprio.

O cristal encontrado na natureza apresenta delicada simetria 5 das faces.A pirita

ou sulfeto de ferro, geralmente denominado “ouro dos tolos”, ocorre na natureza como

cubos entrelaçados.A seção de um favo de mel de abelhas consiste de hexágonos que

favorecem a máxima armazenagem.Na espiral da concha do Nautilus, observa-se uma

propriedade bastante interessante: o animal cresce numa mesma proporção .Essa

proporção é chamada de proporção Áurea.( VIEIRA e RIBEIRO,2002).

A proporção Áurea já era conhecida pelos antigos gregos e romanos. A

percepção das proporções humanas tem variado muito ao longo dos séculos. Segundo

Protágoras, filósofo grego do século V a.C. “O homem é a medida – padrão de todas as

coisas”.

Um dos primeiros documentos sobre este assunto foi escrito por Marcus

Vitruvius Pollio, arquiteto e escritor romano do século I. Em sua obra Ten Books on

Architecture recomenda que os templos para que fossem magnificentes, deveriam ser

construídos tendo por base a analogia do corpo humano bem formado no qual - assim

dizia- existe uma harmonia perfeita entre todas as partes.

29

Para Vitruvius a altura de um homem bem formado é igual ao alcance de seus

braços estendidos. Essas duas medidas formam um quadrado que encerra o corpo

inteiro, enquanto que as mãos e os pés tocam o círculo que tem seu centro no umbigo.

Essas proporções recomendadas podem ser vistas nos templos Parthenon de

Atenas e o templo de Atena em Priere. A fachada principal do Parthenom cabe em um

retângulo áureo deitado, enquanto que a fachada do templo de Atena ergue-se dentro de

dois desses retângulos.

Quando a Renascença redescobriu as ruínas clássicas da Grécia e de Roma,

Leonardo da Vinci ilustrou a versão da idéia de Vitruvius com seu famoso desenho:

homem vitruviano. Os diagramas de barra e o diagrama triangular, que foram aqui

adicionados ao desenho, mostram como as partes do corpo têm em comum as

proporções da seção Áurea e o triângulo de Pitágoras. (DOCZI, 2004).

A notação a: b=c: d é uma proporção

Imagem disponível em:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm#fib21

Acesso em jan. 2008.

A Leonardo de Pisa chamado Fibonacci se deve a consideração de uma série de

números famosos e interessantes. Em sua obra Líber Abaci, cujo significado é Livro dos

Ábacos, um dos problemas é o dos pares de coelhos que têm como resultado uma

seqüência numérica 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34..., onde a soma dos dois primeiros indica o

terceiro (1+1=2), o segundo soma com o terceiro número e o resultado dá o quarto

número (1+2=3) e, assim, a seqüência continua, sempre somando os dois últimos

números para resultar no próximo da seqüência. Em relação aos números consecutivos,

os seus quocientes tendem para o valor 1.618033988749895 que é o número de ouro ou

relação Áurea. Na literatura, essa razão é freqüentemente representada pela letra grega

phi (Φ).

Na natureza observa-se que algumas plantas e árvores crescem de acordo com a

seqüência de Fibonacci. O Nautilus constrói a sua casa e, à medida que cresce, vai

30

construindo um novo compartimento. Cada compartimento é maior que o anterior, na

proporção da seqüência de Fibonacci. Na espiral da concha do Nautilus observa-se que

o animal cresce na proporção áurea.

Na música, Pitágoras descobriu que os intervalos musicais são determinados por

meio de relações entre números inteiros. O som, dividido de diversas maneiras,

diferencia os padrões musicais de diferentes culturas. A presença da matemática torna-

se flagrante nas relações entre som/cadência/ritmo, na gramática das escalas musicais e

na maneira como os sons encadeiam-se na música, o que nos ajuda a identificar

influências matemáticas e artísticas na essência do que podemos considerar como

música.

Na pintura, os artistas constataram que a geometria era de vital importância na

obtenção da perspectiva ótica, que lhe conferia o efeito tridimensional. Pintores,

escultores e arquitetos fizeram obras incríveis, usando a proporção áurea, Usavam-na

não por acaso, mas porque intuitivamente sabiam que os objetos com esta proporção

eram os mais agradáveis esteticamente.

A utilização de números, proporções, simetria, ilusão de óptica, geometria

projetiva, perspectiva linear e razão áurea em expressões artísticas de diferentes

linguagens das artes visuais são alguns exemplos que evidenciam o uso intuitivo ou

intencional de conceitos matemáticos por artesãos e artistas na busca do equilíbrio e da

harmonia estética. (VIEIRA e RIBEIRO, 2002).

VIEIRA, E. R.; RIBEIRO, E. S. Arte e Matemática na Escola. jan. 2008.

Disponível em: http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2002/ame/ame0.htm

VIEIRA, E. R.; RIBEIRO, E. S. Um caleidoscópio de possibilidades. jan. 2008.

Disponível em: http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2002/ame/ametxt1.htm

Seqüências de Fibonacci: Propriedades matemáticas, jan.2008.

Disponível em:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm


31

4.3 CONTEXTUALIZAÇÃO

O raciocínio proporcional está presente em diversas situações do nosso

cotidiano.

Quando realizamos uma divisão podemos encontrar basicamente três tipos: a

partilha, a medida e a comparação.

Basicamente, razão é uma divisão, o quociente de dois números, já um sistema

proporcional consiste em relacionar duas razões dentro de uma igualdade, criando assim

um elo entre elas,

Em nossas atividades diárias utilizamos várias razões: quando calculamos a

quantidade de quilômetros rodados por hora, a quantidade de reais gastos por litro, de

reais gastos por quilo ou de quantidades de pessoas por lugar.

Quando examinamos profundamente o padrão de uma flor como a margarida, as

formas harmoniosas dos caracóis como o náutilus e a arquitetura das construções

encontraremos uma unidade e uma ordem comuns a todos. Essa ordem pode ser

percebida em algumas proporções que se repetem sempre, pela união de opostos

complementares.

A natureza segue um padrão matemático. Para saber classificar uma planta, por

exemplo, um lírio, preciso saber o número de suas pétalas e o número de estruturas

sexuais desta planta. Esses padrões harmônicos são encontrados na natureza e o homem

incorpora esses padrões inconscientemente ou conscientemente nas artes , arquitetura e

ao comportamento e à cultura do homem .

A secção Áurea está presente em todos esses padrões na Natureza. Esses padrões

se manifestam no crescimento de plantas, nas proporções do corpo humano, no trabalho

de cesteiros, pintores e arquitetos.

O conceito de proporcionalidade é essencial no aprendizado de muitos

conteúdos de diversas disciplinas ensinadas no ensino fundamental, médio e superior,

tendo aplicação nas áreas de geografia, física, química, entre outras.


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Documents

DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2007 - … · Secretaria de Educação a Distância. TV Escola. Matemática, V.21. Matemática na vida-razão e proporção. VÍDEO 6:O NÚMERO DE OURO-ARTE