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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
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Unidade Didática
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Jussara Aparecida Boaventura CzelusniakJussara Aparecida Boaventura CzelusniakJussara Aparecida Boaventura CzelusniakJussara Aparecida Boaventura Czelusniak
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA CIÊNCIA,
TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIDADE DIDÁTICA
JUSSARA APARECIDA BOAVENTURA CZELUSNIAK
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
PONTA GROSSA 2010
JUSSARA APARECIDA BOAVENTURA CZELUSNIAK
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Unidade Didática apresentada como requisito de avaliação parcial referente ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE. Orientador: Prof. Ms. João Luiz Domingues Ribas (UEPG).
PONTA GROSSA 2010
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, pelo olhar paterno e de alento. Ao meu orientador, Professor Mestre João Luiz Domingues Ribas, que acompanhou minha trajetória de estudos e produção, no incentivo em momentos de desânimo e cansaço. À minha família, pela tolerância às horas dedicadas ao trabalho, e especialmente ao meu esposo Marcos, pela participação na construção de materiais para o seu desenvolvimento. Aos meus filhos, que souberam entender o tempo dedicado ao estudo necessário para a realização deste material didático pedagógico e, em particular, ao meu filho André, que me apoiou de forma concreta. A tantas pessoas que estiveram ao meu lado, incentivando, colaborando e fazendo-me acreditar que seria possível. Prefiro não nominá-las, para não incorrer no erro do esquecimento ou ingratidão, mas agradeço a todas. Quero salientar a importância da participação dos professores que ministraram os cursos e que nos apresentaram o norte. À equipe do NRE – Ponta Grossa. À coordenadora do PDE-UEPG. À Profa. Dra. Marlene Perez, pela sugestão do tema abordado na Unidade Didática e pelo exemplo e dedicação como educadora matemática. Enfim, a todos que fortaleceram o meu sonho e o desafio de realizar uma produção que possa levar ao aluno da escola pública uma educação de qualidade e relevância para a sua vida.
Grata!
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIGURA 1 – ESQUEMA PARA A APRENDIZAGEM COGNITIVA ............................18
FIGURA 2 – PONTE COGNITIVA (P.C.) ........................................................................18
FIGURA 3 – HIERARQUIA CONCEITUAL PARA APRENDIZAGEM .......................21
FIGURA 4 − MAPA CONCEITUAL – NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS..............24
FIGURA 5.1 − QUADRO DE HISTÓRIA COM A APRESENTAÇÃO DA ORIGEM
DOS NÚMEROS. .........................................................................................31
FIGURA 5.2 − QUADROS DE HISTÓRIA COM A APRESENTAÇÃO DA ORIGEM
DOS NÚMEROS ..........................................................................................32
FIGURA 6 − POESIA "O SORVETE" ..............................................................................34
FIGURA 7 – FOTOGRAFIA DA TEMPERATURA DO FREEZER A -18O.................38
FIGURA 8 – FICHAS NUMERADAS DO JOGO ...........................................................42
FIGURA 9 – EIXOS ORIENTADOS, COM INDICAÇÃO DE ALGUNS VALORES
INTEIROS. ....................................................................................................44
FIGURA 10 – RETA NUMERADA COM MARCADORES MANIPULÁVEIS...............45
FIGURA 11 – RETA NUMERADA REPRESENTANDO AS TEMPERATURAS
CITADAS NO TEXTO DE APOIO. ............................................................46
FIGURA 11 – GRÁFICO DEMONSTRATIVO DO EXERCÍCIO SOBRE
MATEMÁTICA FINANCEIRA.....................................................................51
FIGURA 13 − REPRESENTAÇÃO DA QUARTA PARTE DO ALVO...........................62
FIGURA 14 − REPRESENTAÇÃO COMPLETA DA BASE DO ALVO ........................62
FIGURA 15 − REPRESENTAÇÃO DO ALVO DEPOIS DE PRONTO.........................63
FIGURA 16 − GRÁFICO DEMONSTRATIVO DOS RESULTADOS (POSITIVO OU
NEGATIVO) DE UMA INDÚSTRIA ...........................................................70
FIGURA 17 − REPRESENTAÇÃO GRÁFICA PARA ATIVIDADE SOBRE
SITUAÇÕES-PROBLEMAS .......................................................................71
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
QUADRO 1 − EXTRATO BANCÁRIO ................................................................................49
QUADRO 2 − EXEMPLO DE PLANILHA PARA O ORÇAMENTO DOMÉSTICO......52
QUADRO 3 − VALORES DOS MARCADORES ..............................................................64
QUADRO 4 − CARTELA PARA ANOTAÇÕES DA ATIVIDADE ...................................64
QUADRO 5 − PRODUÇÃO DE PEÇAS DE UMA EMPRESA .......................................68
SUMÁRIO
1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO .............................................................................................. 7 2 TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR: A PROMOÇÃO DE APRENDIZAGENS
SIGNIFICATIVAS COMO PRODUTO DE UM TRABALHO DE BASE COM ÊNFASE NOS NÚMEROS INTEIROS ................................................................................................. 7
3 TÍTULO: APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA COM NÚMEROS INTEIROS
RELATIVOS............................................................................................................................ 7 4 INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 8 5 OBJETIVOS ............................................................................................................................. 9 5.1 GERAIS...................................................................................................................................9 5.2 ESPECÍFICOS .................................................................................................................... 10 5.2.1 Para o professor ............................................................................................................... 10 5.2.2 Para o aluno ..................................................................................................................... 10 6 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................................... 11 6.1 APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA................................................................................... 16 6.2 APRENDIZAGEM MECÂNICA .......................................................................................... 16 6.3 APRENDIZAGEM MECÂNICA SIGNIFICATIVA ............................................................. 17 6.4 ÂNCORAS OU SUBSUNÇORES ..................................................................................... 17 6.5 PONTES COGNITIVAS...................................................................................................... 18 6.6 OCORRÊNCIAS PARA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA ......................................... 19 6.6.1 Aprendizagem receptiva .................................................................................................. 19 6.6.2 Aprendizagem por descoberta ........................................................................................ 19 6.7 DIFERENCIAÇÃO PROGRESSIVA ................................................................................. 20 6.8 APRENDIZAGEM SUPERORDENADA ........................................................................... 20 6.9 APRENDIZAGEM SUBORDINADA .................................................................................. 20 6.10 ASSIMILAÇÃO DE CONCEITOS.................................................................................... 21 6.11 ASSIMILAÇÃO OBLITERADORA................................................................................... 22 6.12 RECONCILIAÇÃO INTEGRATIVA.................................................................................. 22 6.13 MAPAS CONCEITUAIS ................................................................................................... 23 6.14 TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA E SUAS APLICAÇÕES .................. 25 7 CRITÉRIOS DA AVALIAÇÃO .............................................................................................. 26 8 CONSIDERAÇÕES ............................................................................................................... 27 9 PROPOSTA DE ATIVIDADES DIDÁTICAS – NÚMEROS INTEIROS ............................ 29 9.1 PROPOSTA 1 − QUADROS DE HISTÓRIA: ONTEM E HOJE. .................................... 29 9.2 PROPOSTA 2 − A MATEMÁTICA E O COTIDIANO....................................................... 33 9.3 PROPOSTA 3 − HORA LIGHT: MATEMÁTICA EM AÇÃO............................................ 40 9.4 PROPOSTA 4 − VISÃO GEOMÉTRICA - A RETA NUMÉRICA. ................................... 43 9.5 PROPOSTA 5 − A MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................................................ 48
9.6 PROPOSTA 6 − HORA DE AÇÃO: A COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA POR MEIO DA INFORMÁTICA............................................................................................................. 53
9.7 PROPOSTA 7 − RECURSOS ESPECIAIS: OPERANDO COM A CALCULADORA.. 55 9.8 PROPOSTA 8 − ATINGINDO O ALVO: É HORA DE JOGAR ...................................... 60 9.9 PROPOSTA 9 − SITUAÇÕES-PROBLEMAS ................................................................. 65 9.10 PROPOSTA 10 − REALIMENTANDO E AVALIANDO O CONHECIMENTO
SOBRE OS NÚMEROS INTEIROS ............................................... ...................... 72 REFERÊNCIAS......................................................................................................................... 74
7
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA CIÊNCIA, TECNOLOGIA E ENSINO SUPERIOR
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIDADE DIDÁTICA
1 DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
PROFESSOR PDE: JUSSARA APARECIDA BOAVENTURA CZELUSNIAK
ÁREA: MATEMÁTICA
NRE: PONTA GROSSA
PROFESSOR ORIENTADOR IES: PROFESSOR MESTRE JOÃO LUIZ DOMINGUES RIBAS
INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR VINCULADA: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA- UEPG
ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: ESCOLA ESTADUAL JESUS DIVINO OPERÁRIO - ENSINO FUNDAMENTAL
PÚBLICO OBJETO DA INTERVENÇÃO: ALUNOS DA 6ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
2 TEMA DE ESTUDO DO PROFESSOR: A PROMOÇÃO DE APRENDIZAGENS
SIGNIFICATIVAS COMO PRODUTO DE UM TRABALHO DE BASE COM
ÊNFASE NOS NÚMEROS INTEIROS
3 TÍTULO: APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA COM NÚMEROS INTEIROS
RELATIVOS
8
4 INTRODUÇÃO
A unidade didática que aqui se apresenta se integra à proposta de
intervenção pedagógica por nós desenvolvida no Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE, sob o título “Assistência pedagógica no ensino da Matemática
com enfoque nos números inteiros”.
Na busca de amenizar as dificuldades apresentadas pelo aluno em relação à
aprendizagem da Matemática, especialmente no conteúdo referente ao Conjunto
dos Números Inteiros Relativos, elaboramos esta unidade didática, que está
fundamentada na teoria da Aprendizagem Significativa proposta por Ausubel.
A opção pelos “Números Inteiros” justifica-se no grande desafio a ser
enfrentado no ensino da Matemática em relação à abordagem do conteúdo. Nesse
entender, transpor a forma mecânica de aprender para ações que permitam a
compreensão e o real significado desse conteúdo, bem como verificar suas
aplicações nas diversas áreas de conhecimento, são ações que exigem um
posicionamento comprometido por parte do professor. Tal compromisso está
relacionado à continuidade do processo natural do ser humano em adquirir e
assimilar novas informações dentro do contexto de constantes transformações.
Dessa forma, é importante que o professor, em seu planejamento, selecione
e programe os conteúdos a serem ensinados, com o objetivo de estimular a
interação entre a nova informação e aquela já armazenada, o que poderá implicar na
aquisição do conhecimento com significados para o aluno.
Com base nessa perspectiva e atendendo às orientações presentes nas
Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná (2008), esta
Unidade Didática integra o conteúdo – números inteiros – às novas informações ao
conhecimento cognitivo do aluno, levando em conta a afetividade no processo.
Pensamos que uma intervenção de forma mais individualizada, por parte do
professor, na assistência pedagógica ao aluno, poderá implicar em momentos de
maior integração, de restauração de autoestima, de ampliação das oportunidades
para esclarecimentos de questões ainda não compreendidas em sala de aula.
Poderá, ainda, ser uma maneira de estimular o educando a continuar explorando
novos saberes, o que se faz importante para a sua formação intelectual.
Vale ressaltar que a proposta desta Unidade Didática não se direciona
apenas à assistência pedagógica no trabalho individual com o aluno, mas apresenta-
9
se como possibilidade para a situação cotidiana do processo regular de ensino.
Segundo Ausubel (apud MOREIRA e MASINI, 1982, p.15), a aprendizagem
significativa pressupõe que:
O material a ser aprendido seja potencialmente significativo para o aprendiz, isto é, relacionável à sua estrutura de conhecimento de forma não-arbitrária e não literal (substantiva); O aprendiz manifeste uma disposição em relacionar o novo material [...] à sua estrutura cognitiva.
Portanto, com esta Unidade Didática intencionamos socializar uma
experiência já realizada , de forma empírica, com um grupo reduzido de alunos, nos
anos de 2008 e início de 2009, que julgamos ter sido bem sucedida, em
consonância com Fonseca (1995, apud SIMONI, 2007, on line), que apresenta:
As dificuldades de aprendizagem aumentam na presença de escolas superlotadas e mal equipadas, carentes de materiais didáticos inovadores, além de freqüentemente contarem com muitos professores “derrotados” e “desmotivados”. A escola não pode continuar a ser uma fábrica de insucessos. Na escola, a criança deve ser amada, pois só assim se poderá considerar útil.
Salientamos que a Unidade Didática é parte do material didático pedagógico
elaborado para a nossa intervenção pedagógica na escola. Dessa forma, você é
fundamental nesse processo no papel de co-autor, ao contribuir conosco fazendo
seus importantes apontamentos.
5. OBJETIVOS
5.1 GERAIS
− Desenvolver um saber matemático segundo a teoria da Aprendizagem
Significativa, estabelecida por Ausubel, definindo prioridades hierárquicas,
programáticas e integrativas com o conhecimento de domínio do
aprendiz;
10
− Estabelecer as conexões entre a realidade do aluno e o processo de
ensino e aprendizagem, a fim de atingir avanços de conhecimentos em
relação aos números inteiros relativos.
5.2 ESPECÍFICOS
5.2.1 Para o professor
− Identificar, por meio de uma série de atividades investigativas, as
possíveis causas que levam os alunos a apresentarem dificuldades na
aprendizagem dos números e operações;
− Oportunizar a aquisição de valores e atitudes, tais como a perseverança
na busca de soluções, o interesse pela investigação, a participação
crítica, a argumentação social e não conflitante;
− Avaliar o processo de forma diagnóstica, contínua e formativa durante
todo o processo.
5.2.2 Para o aluno
− Ampliar o conceito de número;
− Construir novos significados de números a partir de sua utilização no
cotidiano;
− Atualizar conhecimentos que ficaram pendentes no momento da
aprendizagem do conjunto dos números naturais, a partir de um
tratamento com variadas linguagens e metodologias;
− Construir o conjunto dos números inteiros como extensão do conjunto N;
− Reconhecer os números inteiros em diferentes contextos, explorando
situações-problemas para as quais os alunos indiquem falta, diferença,
orientação (origem) e deslocamento entre dois pontos;
− Socializar a educação escolar (entre pares) em seus diversos espaços,
pela utilização de instrumentos e métodos não empregados comumente
pelos sujeitos da aprendizagem;
11
− Perceber os procedimentos matemáticos e a utilização de seus conceitos
como ponte cognitiva para compreender o mundo e, compreendendo-o,
poder atuar melhor nele.
6 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Este projeto busca amenizar as dificuldades apresentadas pelo aluno em
relação à aprendizagem da Matemática. Para tanto, valer-se-á da teoria da
Aprendizagem Significativa, proposta por Ausubel, a fim de contribuir para que o
aprendiz construa e se aproprie do conhecimento.
Na intenção de procurar compreender como se dá o processo de ensino e
de aprendizagem, bem como as limitações que envolvem tal processo, neste
trabalho os questionamentos de Hilgard e Bower (1975, apud NOVAK, 1981, p. 49)
servirão de subsídios para essa compreensão. Os autores identificaram seis
problemas típicos com que se defrontam as teorias de aprendizagem. São eles: a)
Quais os limites da aprendizagem?; b) Qual é o papel da prática na aprendizagem?;
c) Qual a importância dos impulsos e incentivos, das recompensas e punições?; d)
Qual é o lugar da compreensão e do insight?; e) Aprender uma coisa ajuda a
aprender outra?; f) O que acontece quando lembramos ou quando esquecemos?
Além desses problemas, Novak (1981, p.51) adiciona mais quatro, porque
focaliza especificamente a aprendizagem na escola: g) Que parâmetros da
aprendizagem são os mais relevantes para o planejamento de um currículo escolar?;
h) Como diferentes práticas instrucionais influenciam a aprendizagem e sob que
condições?; i) Como a organização escolar influencia a aprendizagem?; j) Será que
qualquer matéria de ensino é aprendida da mesma maneira ou os mecanismos de
aprendizagem diferem significativamente em Ciências, Literatura, Matemática e
História?
Tais questões tratam da capacidade de aprender e das diferenças
individuais entre aqueles que aprendem.
Em um contexto amplo, Novak (1981, p.55) admite que seres humanos
recebem informações de uma variedade de órgãos sensoriais, porém os sentidos
12
internos provenientes do armazenamento de informações cerebrais, de experiências
vividas, podem constituir o principal mecanismo de aprendizagem.
Tampouco, se nega o fato de que a aprendizagem da matemática mais
avançada é facilitada pelo domínio de conceitos básicos. A questão é, realmente,
quantas transferências ocorrem, sob que condições, e qual é a sua natureza, uma
vez que a memória pode nos pregar peças e lembrar fatos não tão importantes e
esquecer-se de ocorrências notáveis?
Bruner (1960 apud NOVAK, 1981) ressalta que, muitas vezes, o ensino da
matemática é baseado em ações formais e distantes da maneira de pensar do
aprendiz, com a aplicação de certos artifícios, sem entender sua significância e
encadeamento lógico, sem traduzi-los para o seu modo de pensar. Dentre a vasta
quantidade de conhecimento, como selecionar e sequenciar o que vale a pena
estudar, a fim de atingir a aprendizagem máxima? Será que o esforço concentrado
na formação continuada de professores e no treinamento e utilização das
tecnologias é suficiente? Toda a escola deveria ser reestruturada? Há interação e
multidisciplinaridade real na aquisição de conhecimentos?
Na intenção de responder a essas questões, acredita-se que a Teoria da
Aprendizagem Significativa de Ausubel apresenta uma direção, por meio da ênfase
colocada no aspecto cognitivo do aprendiz. Todavia, em um estudo que objetiva
desenvolver nos alunos um saber matemático fundamentado na teoria da
aprendizagem significativa, estabelecendo as conexões entre a sua realidade e o
processo de ensino e aprendizagem, para se atingirem avanços de conhecimentos,
é indispensável levar em consideração as possíveis causas que originaram as
dificuldades apresentadas pelos estudantes em relação à aprendizagem da
Matemática. Afinal, o insucesso, nessa área do conhecimento, provoca nos alunos
fortes sentimentos de rejeição à disciplina, fazendo-os acreditar em uma possível
incapacidade e provocando a construção contrária da autoestima.
Nesse caso, é interessante que o professor possa romper com as barreiras
de um ensino baseado apenas em ações cotidianas e sem significado que, muitas
vezes, parecem suficientes. É primordial que, ao ensinar, o professor determine para
quem se quer ensinar, o quê se pretende ensinar e como se irá ensinar. Essa
postura requer disposição, coragem e compromisso permanente.
Nóvoa (1995, p.14) afirma que “não há ensino de qualidade, nem reforma
educativa, nem inovação pedagógica, sem uma adequada formação de
13
professores”. Freire (1996, p. 24), por sua vez, ressalta a importância da formação
permanente do professor, especialmente na reflexão sobre a teoria/prática. Segundo
ele, o processo de formação precisa ter como princípio básico a aproximação entre o
que se diz e o que realmente se faz.
Nesse sentido, os problemas que se destacam na aprendizagem da
Matemática são muitos e variados e, por vezes, difíceis de serem identificados,
sendo, portanto, arriscado e pretensioso procurar abordá-los em sua totalidade, uma
vez que a discussão em torno de algumas causas é limitada. Os desafios
determinantes para efetivar uma transformação positiva da metodologia de trabalho
em sala de aula podem envolver, segundo Vasconcellos (1999, p.13), fatores que
vão desde a estruturação adequada do sistema educacional até posicionamentos
subjetivos, como a opção ideológica do professor, a concepção que possui do
processo de conhecimento e até mesmo a vontade política.
O autor deixa claro a necessidade da explicitação dos fundamentos que
norteiam a ação docente, posicionada a partir de um referencial teórico que oriente o
trabalho pedagógico, o conhecimento do conteúdo e as metodologias adequadas, a
seleção e organização criteriosa dos conteúdos, o conhecimento do currículo
programático e a parceria com a equipe gestora do estabelecimento de ensino
acerca de como desenvolver qualitativamente o processo de ensino e
aprendizagem, contribuindo, assim, para o enfrentamento das dificuldades
apresentadas no processo do saber. Segundo Freire (1996), é na convivência com
os pares que o professor se faz e transforma a sua prática pedagógica.
Assim, podemos dizer que, conforme Novak (1981), a desconsideração dos
conhecimentos armazenados pelo aluno em relação às novas informações, à
ansiedade e ao medo de fracassar, além da falta de motivação; da omissão familiar
no desempenho educacional do aluno; do nível intelectual desapropriado para a
série escolar; da dificuldade em guardar várias informações ao mesmo tempo; da
desatenção; dos fatores sociais, econômicos e das políticas públicas educacionais,
enfim, são todos pontos que determinam o insucesso do aluno.
Em busca da superação do insucesso, conforme Vasconcellos (1999, p. 33),
cabe ao professor “propiciar às novas gerações uma compreensão científica,
filosófica, estética da realidade em que vivem”. O professor que almeja um
aprendizado significativo aos seus alunos deve garantir não apenas a transmissão,
mas a construção do conhecimento. Para que isso de fato ocorra, é importante que
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o professor leve o aluno a compreender, usufruir do conhecimento e transformar a
sua realidade. Segundo Perrenoud (1999), um professor precisa, ao fazer parte de
um problema, refletir sobre sua própria relação com o saber.
A falta de instrumentos claros que verifiquem as dificuldades apresentadas
pelo aluno pode não revelar ao professor se há ou não a dificuldade em se aprender
Matemática. Muitas vezes, a fala do aluno para justificar o seu fracasso escolar está
impregnada de angústia e sentimento de incompetência, gerada pela sucessão de
fracassos colecionados durante a sua trajetória escolar.
Novak (1981) discorre que as abordagens educacionais alternativas podem
beneficiar os alunos. Transferindo esses saberes para a nossa prática, percebemos
que adaptações podem ser proporcionadas para amenizar o sofrimento dos alunos,
a exemplo do uso de mais recursos de apoio (dedos, material concreto, calculadora,
jogos educativos e raciocínio lógico e ambiente virtual); disponibilização de tempo
extra para a resolução de exercícios; desmembramento das tarefas matemáticas
complexas em pequenos passos que permitam a resolução em etapas; e dispensar
atendimento individualizado, o que resulta no processo de construção e aquisição do
conhecimento.
Dessa forma, manter a realidade da Educação, especialmente no ensino da
Matemática, em uma forma vazia, incompreensível aos alunos, esquivando-se das
mudanças visíveis, sem a relação entre as aprendizagens anteriores e a escolarização
com os saberes formais institucionalizados; conceber os conteúdos e metodologias
desarticulados são condutas que proporcionam um ensino descomprometido com a
inserção social do aprendiz e contribuem para a manutenção da exclusão, o que se
configura como uma das mais nocivas formas de violência, de impedimento do
progresso educacional e do desenvolvimento potencial do educando.
Corroborando com esse aspecto, Shulman (apud FIORENTINI, 2004, p.1)
critica a ênfase dada ao conhecimento específico e ao conhecimento pedagógico
presente na formação de professores e enfatiza a importância do conhecimento do
conteúdo no ensino, o que considera o principal eixo da formação dos saberes da
docência, por interligar, de forma consciente, o saber e os saberes didático-
pedagógicos. Essa reflexão feita por Shulman, denominada “conhecimento
pedagógico de conteúdo”, refere-se às formas de representação de ideias,
ilustrações, exemplos, explicações e demonstrações que possam ser
compreendidas pelos indivíduos.
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Para Freire (2005), o exercício de socialização do saber acontece nos
ambientes sociais mais diversificados possíveis, individualmente ou em grupos, mas
se formaliza no ambiente escolar, ou mais apropriadamente, em sala de aula. E
aproveitar cada espaço da escola para a promoção da aprendizagem é dar
continuidade ao processo natural do ser humano em constantes transformações.
Aprende-se, pois, em qualquer espaço escolar, basta adequar as atividades aos
objetivos que se deseja atingir. O uso de espaços alternativos para se desenvolver o
trabalho com a Matemática não é uma cultura na prática pedagógica do professor
nem é um trabalho simples de se fazer, mas é possível de ser feito, principalmente
se o que se deseja é superar algumas das dificuldades encontradas no processo
ensino-aprendizagem.
Segundo Antunes (1999), os jogos são estratégias que podem contribuir
para acionar o aspecto cognitivo das crianças. Entretanto, essa estratégia, se não
bem monitorada, pode apenas se transformar em um momento de socialização, sem
a preocupação com a construção do conhecimento, apresentado apenas como uma
simples novidade. Todavia, Novak (1981) salienta a importância da afetividade no
ambiente escolar, onde a experiência emocional tenderá a ser mais produtiva
quando a instrução for planejada para aperfeiçoar a aprendizagem cognitiva e,
consequentemente, um positivo desenvolvimento afetivo é maior quando estão
presentes condições que favorecem o conhecimento cognitivo.
Ainda sobre jogos, Antunes (1999) pondera sobre a dosagem certa desses
estímulos, sem exageros. Vasconcelos (1999), por sua vez, alerta que a quantidade
excessiva desses incentivos pode recair no esvaziamento do conteúdo, perdendo-se
o foco principal.
Dentro da aprendizagem significativa, despertar o interesse do aluno a ter a
força de comando, realizar suas próprias experiências e descobertas, e reconhecer
o motivo de seu progresso brota como grande desafio às habilidades do professor e
nesse contexto é que os jogos passam a compor uma ferramenta ideal.
A aprendizagem significativa, segundo Ausubel (apud NOVAK 1981, p.9-10),
é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um aspecto relevante
da estrutura do conhecimento do indivíduo, no qual os elementos mais específicos
são ligados e assimilados aos conceitos mais gerais, mais inclusivos. Ausubel baseia-
se na premissa de que existe uma estrutura cognitiva no aprendiz e, que, se essa
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estrutura apresenta clareza e relevância, é possível que novas informações possam
ser incorporadas, ampliando sucessivamente o nível de conhecimento.
É importante que, em seu planejamento, o professor selecione e programe
os conteúdos a serem ensinados, com o objetivo de estimular no aluno a interação
entre a nova informação e aquela já armazenada, o que poderá implicar na
aquisição do conhecimento com significados para o aprendiz. É importante criar as
condições para que as atividades tenham sentido, isto é, uma lógica interna para
que a criança tenha crescimento social e cognitivo.
Focalizando mais de perto a aprendizagem humana discorrida por Ausubel
(apud NOVAK, 1981), apresentaremos na sequência as ideias que podem promover
a ocorrência da aprendizagem significativa.
6.1 APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
A aprendizagem é um processo de modificação do conhecimento e, por isso,
Ausubel (apud NOVAK, 1981) considera a importância da interação entre os
conhecimentos prévios (conceitos subsunçores) existentes na estrutura cognitiva
dos alunos e os novos conhecimentos a serem aprendidos. Nesse tipo de
aprendizagem, um conjunto de células neurais sofre um processo ativo de
sinapses1, modificando-se. A base biológica da aprendizagem significativa envolve
mudanças no número ou no tipo de neurônios participantes, enquanto o fenômeno
psicológico assimila novas informações de conhecimento específico existente na
estrutura cognitiva do indivíduo.
6.2 APRENDIZAGEM MECÂNICA
Quando não é possível relacionar a nova informação com conceitos
preexistentes, pouca ou nenhuma interação ocorrerá na mente do aprendiz. Em
geral, envolve conceitos com teor de "novidade". Assim, os conceitos prévios
inexistentes na estrutura cognitiva do indivíduo necessitam ser aprendidas
mecanicamente.
1 Sinapses são as regiões de comunicação entre os neurônios. Sinapses nervosas são os pontos
onde as extremidades de neurônios vizinhos se encontram e o estímulo passa de um neurônio para o seguinte, por meio de mediadores físico-químicos, os neurotransmissore s.
17
Os elementos de conhecimento aprendidos mecanicamente ficam
distribuídos de forma arbitrária na estrutura cognitiva, sem ligação conceitual.
Entretanto, algumas vezes, esse tipo de aprendizagem se faz necessário numa
determinada área do conhecimento, para levantar dados primários a respeito de
uma nova informação, ou como suporte para a aquisição dos próximos conceitos,
ainda que os mesmos sejam pouco elaborados.
6.3 APRENDIZAGEM MECÂNICA SIGNIFICATIVA
Ao aprendermos, é muito provável que o conhecimento não seja puramente
mecânico, uma vez que, de uma forma ou de outra, ele estará ligado a algum tipo de
conhecimento prévio, mesmo que seja básico ou elementar. Contudo, esse pequeno
saber nos auxiliará significativamente no processo de aprendizado. Podemos
exemplificar, por exemplo, um número de telefone que precisamos registrar na
memória: primeiramente, guardamos o código da operadora; em seguida, o código
da cidade e, por fim, o número desejado. Nesse contexto, também sabemos qual é a
operadora que iremos utilizar em função do preço da ligação e o código da cidade
para que possamos encontrar a pessoa desejada.
Portanto, o saber prévio dos números e também a que se referem os
códigos são quesitos fundamentais para o sucesso de uma ligação. Diante disso, um
dos papéis mais importantes do professor deve ser o de estimular os estudantes
para que tenham disposição em aprender e, dessa forma, para que o novo
conhecimento seja internalizado significativamente no construto cognitivo.
6.4 ÂNCORAS OU SUBSUNÇORES
Os conhecimentos mais gerais e inclusivos que existem na estrutura cognitiva
funcionam como um ancoradouro – âncoras ou subsunçores – no processo da
formação de conceitos. São conhecimentos prévios, que se integram às novas
informações se estas apresentarem significado para o aluno. Dessa relação, tanto o
produto da aprendizagem, quanto os pontos de ancoragem, modificam-se. Os
subsunçores ou organizadores prévios servirão de ponte estável para a aquisição do
novo conhecimento. Assim, o papel do subsunçor é o de interação, facilitando a
passagem de informações relevantes por meio das barreiras perceptivas do aluno e
18
fornecendo a ligação necessária entre a informação recém-recebida e o conhecimento
previamente adquirido. É nesse processo que está o cerne da teoria da assimilação de
Ausubel.
Figura 1 – Esquema para a Aprendizagem Cognitiva Fonte: Adaptado de Novak (1981, p. 12).
6.5 PONTES COGNITIVAS
São elementos de ligação que permitem uma ponte entre os subsunçores
relevantes e o novo material a ser aprendido, facilitando a aprendizagem
subsequente, ou seja, a reconciliação integrativa.
Figura 2 – Ponte cognitiva (P.C.) Fonte: Adaptado de Novak (1981, p. 60)
19
6.6 OCORRÊNCIAS PARA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
6.6.1 Aprendizagem receptiva
Para Ausubel, a aprendizagem receptiva envolve basicamente uma
associação simbólica primária, como, por exemplo, valores sonoros vocais a
caracteres linguísticos. Em geral, relaciona-se com mais frequência à natureza
subordinada de conceitos, em que a informação nova é assimilada pelo subsunçor,
passando a alterá-lo. Ausubel argumenta que a maior parte da aprendizagem
escolar é receptiva, na qual o aluno recebe as informações organizadas, as quais
são admitidas em sua estrutura cognitiva.
Segundo Ribas (2003), nesta aprendizagem o conteúdo a ser aprendido é
apresentado ao aluno como um conhecimento pronto e acabado, e do aluno exige-
se apenas as relações significativas desse conteúdo com os aspectos relevantes de
sua estrutura cognitiva. Espera-se que essa forma de conhecimento seja reavivada
em situações posteriores, conforme as necessidades de sua recordação.
6.6.2 Aprendizagem por descoberta
Na aprendizagem por descoberta o aprendiz recebe as informações
organizadas de forma a poder admiti-las em sua estrutura cognitiva. Esse tipo de
aprendizagem ocorre durante todo o processo educacional, embora seja mais
específico na aprendizagem escolar. Nesse sentido, o conteúdo a ser aprendido é
selecionado e adquirido pelo próprio aprendiz. Portanto, é necessário haver a
orientação e o direcionamento do professor, com o intuito de melhorar
significativamente a aprendizagem desenvolvida pelo aluno. Esse processo é
desenvolvido a partir da experimentação pessoal, isto é, do conhecer, do saber e do
agir.
Neste tipo de aprendizagem, o conhecimento daquilo que se quer ensinar é
orientado para uma descoberta involuntária pelo aluno, antes mesmo que possa ser
assimilado pela estrutura cognitiva.
Nesse sentido, tanto a aprendizagem receptiva quanto a aprendizagem por
descoberta não têm a obrigação de serem percebidas como algo imutável. Ribas
20
(2003) enfatiza que cada uma pode estar localizada sobre uma base automática −
significativa ou receptiva.
6.7 DIFERENCIAÇÃO PROGRESSIVA
Do ponto de vista de Ausubel (apud NOVAK, 1981, p. 66),
[...] o desenvolvimento de conceitos ocorre da melhor maneira quando os elementos mais gerais, mais inclusivos, de um conceito são introduzidos em primeiro lugar e, então, o conceito é progressivamente diferenciado em termos de detalhes e especificidade.
Assim, determinar quais são os conceitos mais abrangentes não é uma
tarefa fácil, uma vez que requer um bom planejamento de currículo e a descoberta
das relações entre esses conceitos, que servirão para diferenciar questões gerais e
superordenadas ou questões específicas e subordinadas.
À medida que a aprendizagem começa a ser significativa, essa assimilação
ou âncoras vão tornando-se mais elaboradas e capazes de ancorar novas
informações. A questão central é que a aprendizagem eficiente de conceitos requer
a explicação de relações entre conceitos e, progressivamente, um valor
desenvolvido dos conceitos mais relevantes. Quando o professor promove as
experiências de aprendizagem necessárias à diferenciação conceitual progressiva,
essa acontece espontaneamente.
6.8 APRENDIZAGEM SUPERORDENADA
A partir de questões mais amplas e de sua articulação com outros saberes,
os conceitos são internalizados, tornando-se mais inclusivos. Nesse caso, pode-se
dizer que houve a ocorrência da aprendizagem superordenada.
6.9 APRENDIZAGEM SUBORDINADA
Quando a informação nova é ampla demais para ser assimilada por qualquer
subsunçor existente no construto cognitivo, sendo mais abrangente que este, então
a nova informação fica submetida às âncoras existentes, passando a alterá-las.
21
Figura 3 – Hierarquia conceitual para aprendizagem Fonte: Adaptado de Novak (1981, p. 67)
6.10 ASSIMILAÇÃO DE CONCEITOS
A assimilação de conceitos é a característica pela qual adolescentes ou
adultos, de modo não-espontâneo (sem a necessidade da exemplificação), em um
22
nível mais alto de abstração, adquirem novos conceitos pela recepção, em um
processo ativo de interação entre as ideias âncoras (pontes ou organizadores
prévios) presentes na estrutura cognitiva e a relação com os atributos criteriais do
novo conceito. Trata-se de um processo de derivação, no qual o surgimento
fenomenológico do novo significado na aprendizagem resulta em um produto mais
elaborado e de maior qualidade.
Reciprocamente, independentemente da relevância do material a ser
aprendido, há necessidade de que o aprendiz manifeste uma disposição de
relacionar o novo material de maneira substantiva (não literal) e não arbitrária à sua
estrutura cognitiva, para que o produto da aprendizagem compreenda a posse de
significados claros, precisos, diferenciados e transferíveis. Retoma-se, assim, o
processo de assimilação, no qual os conceitos mais amplos, bem estabelecidos e
diferenciados reduzem-se progressivamente a um novo conhecimento, menos
dissociável da estrutura cognitiva do aprendiz, e dá início a outro estágio.
6.11 ASSIMILAÇÃO OBLITERADORA
O estágio denominado assimilação obliteradora contempla organizadores
prévios modificados e mais estáveis. Esses estágios de assimilação compõem a
subsunção subordinada, que se dá quando um material é assimilado por outro mais
inclusivo ou geral. O material assimilado pode ser ilustrativo de um exemplo
específico – subsunção derivativa – ou quando o material é uma extensão ou uma
nova elaboração – subsunção correlativa. Tais estágios conduzem à ‘diferenciação
progressiva’ do conceito proposto, em concordância com a hierarquia mental e
natural do ser humano.
6.12 RECONCILIAÇÃO INTEGRATIVA
Na aprendizagem superordenada, acontece a exploração de relações entre
ideias, com o apontamento das similaridades e das diferenças significativas em
elementos já existentes na estrutura cognitiva, podendo ser reorganizados
dinamicamente. Essa reorganização mental denomina-se reconciliação integrativa.
Novak (1981) argumenta sobre a importância da reconciliação integrativa
entre os níveis de conhecimentos. Para o autor, a associação bidimensional das
23
informações, isto é, a relação entre as ideias originais e as mais específicas,
apontando as semelhanças, as diferenças e reconciliando contradições reais ou
aparentes, são diagramas que podem ser chamados de ‘mapas conceituais`.
Segundo Moreira e Masini (1982, p. 97), a diferenciação progressiva e a
reconciliação integrativa são, portanto, processos que resultam e ocorrem
simultaneamente com a aprendizagem significativa, bem caracterizando a
dinamicidade da proposição ausubeliana.
Portanto, as interações entre os antigos e novos significados são dinâmicas
e geram as hierarquias conceituais na aquisição dos conhecimentos. Para
exemplificar essas hierarquias conceituais, salientamos a importância dos mapas
conceituais como meio representacional de referência.
6.13 MAPAS CONCEITUAIS
Novak (1981) desenvolveu os mapas conceituais na década de 70 para
serem utilizados como ferramentas de organização e representação do
conhecimento. Essa ferramenta gráfica posiciona uma questão central e suas
subordinações, podendo funcionar como instrumento avaliador do processo de
ensino e aprendizagem. Existem softwares livres para elaborar mapas conceituais
na facilitação da interpretação e validação de um processo.
A teoria que está por trás do mapeamento conceitual é a teoria cognitiva de
aprendizagem, de Ausubel (AUSUBEL et al., 1978, 1980; MOREIRA e MASINI,
1982; MOREIRA, 1983). Trata-se, no entanto, de uma técnica desenvolvida em
meados da década de 70 por Novak e seus colaboradores, na Universidade de
Cornell, nos Estados Unidos. Na verdade, Ausubel nunca falou de mapas
conceituais em sua teoria.
A seguir, as figuras ilustram esse pensamento:
24
Figura 4 − Mapa Conceitual – Números Inteiros Relativos. Fonte: A autora
25
A utilização de mapas conceituais tem se mostrado como um importante
instrumento que, além de fornecer ao professor diferentes informações, permite que
os alunos relacionem conceitos distintos, de forma interdisciplinar, além de auxiliar
na formação de argumentações, pois amplia a visão que eles têm sobre diferentes
temas.
6.14 TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA E SUAS APLICAÇÕES
A teoria de aprendizagem humana de Ausubel tem valor heurístico2, não
apenas sobre os mecanismos que determinam a aprendizagem em sala de aula,
mas também para orientar o desenvolvimento do currículo e do planejamento
escolar, bem como para direcionar o processo avaliativo. Se a aprendizagem deve
ser significativa, o novo conhecimento a ser aprendido deve ter relevantes conceitos-
âncoras disponíveis na estrutura cognitiva do aprendiz. Como há uma série enorme
de informações a ser aprendida, em qualquer disciplina, é importante que o
professor selecione criteriosamente os conteúdos a serem ensinados, facilitando,
assim, o papel dos conceitos como ancoradouro, com ênfase adicional na
diferenciação progressiva, na aprendizagem superordenada e na reconciliação
integrativa.
Vale ressaltar, porém, que a principal função desse novo aparato
educacional não deve ser a de ensinar, mas, sim, a de criar condições de
aprendizagem, em que o professor deve deixar de ser o repassador do
conhecimento e tornar-se o criador de ambientes de aprendizagem e o facilitador do
processo de desenvolvimento intelectual do aluno.
Diante disso, a tarefa central do professor é a de saber sistematizar a
informação recolhida, organizar os tempos e os espaços adequados, tendo sempre
presente os interesses, as motivações, as dificuldades e as potencialidades
intelectuais dos alunos.
Dessa forma, na organização e seleção das atividades que serão propostas
aos alunos durante a intervenção na escola, por meio do referido projeto,
pretendemos utilizar os diferentes recursos tecnológicos a partir das orientações
contidas nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (2008), bem como
2 Método de ensino que consiste em que o educando chegue à verdade por seus próprios meios.
26
aproximar as diferentes linguagens, com o intuito de tornar a aprendizagem dos
alunos significativa e transformadora.
Partindo do entendimento de que a prática pedagógica do professor de
Matemática precisa voltar o olhar e desatar os nós presentes no dia a dia da sala de
aula, é que nesta proposta de intervenção procuramos nos fundamentar nos estudos
feitos por Ausubel, que em seus príncipios procura diferenciar medida e avaliação,
as quais são as balizadoras de um processo de aprendizagem significativa. Ainda,
buscamos evidenciar a importância de se vigiar a aprendizagem e dectar as falhas
ocorridas no processo.
O instrumento da avaliação deve medir a compreensão dos conceitos
fundamentais dos números inteiros relativos, testar indiretamente o conhecimento de
uma aprendizagem prévia, medir a organização, coesão e integração do
conhecimento do estudante e avaliar se o produto da aprendizagem correspondeu
aos objetivos propostos ou não. Portanto, a avaliação mede tanto o ensino e sua
qualidade, quanto o produto significativo do conhecimento assimilado.
Todo educador matemático precisa preocupar-se com as questões que
envolvem o processo do ensino e da aprendizagem, tais como: planejar com rigor,
desenvolver com conhecimento e afetuosidade e avaliar constantemente os
resultados, de forma a efetivar a aprendizagem significativa.
Sobre a especificidade do ensino e da aprendizagem de matemática,
respaldamo-nos na fundamentação apregoada nas Diretrizes Curriculares da
Educação Básica do Estado do Paraná (2008), em que o conhecimento da
Matemática é um campo em desenvolvimento progressivo, sob uma visão histórica e
crítica, apresentando, discutindo, construindo e reconstruindo os conceitos, cuja
influência é muito exercida na formação do pensamento do aluno. Nessa direção, há
abertura para um discurso matemático voltado ao conhecimento e a sua relevância
no contexto social.
7 CRITÉRIOS DA AVALIAÇÃO
Os critérios utilizados para avaliar, assim como todo o processo de ensino,
necessita de uma revisão crítica e apurada. Portanto, avaliar efetivamente o aluno
que constrói o seu saber matemático, considerando, segundo Souza e Spinelli
27
(2002), as diferentes etapas, como leitura, discussão, verbalização, resolução de
situações-problema, sintetização, redação, até chegar ao nível da compreensão
significativa, necessita de uma proposta de avaliação bastante ampla, com
monitoramento sucessivo de valorização do progresso do aluno e respeito ao seu
ritmo de aprendizagem.
Consideramos a tarefa de avaliar uma das mais difíceis de serem
executadas; contudo, é imprescindível a adoção de procedimentos pedagógicos que
permitam tornar essa ação tão importante no exercício constante de diagnosticar e
reavaliar ações deficientes no percurso do processo ensino e aprendizagem.
É importante considerar todos os momentos da construção do conhecimento
para o processo avaliativo, pois eles permitem a verificação das diferentes posturas
apresentadas pelo aprendiz, sob as quais seu desempenho tende a evoluir e as
ações diferenciadas podem revelar as tendências que melhor se adaptam
particularmente ao aluno, bem como ao processo. Além disso, o aluno tende a
sentir-se mais seguro ao entender que seu desenvolvimento cognitivo será avaliado
na medida em que a maturação para novas informações se efetiva.
Não se desprezam, no processo de assimilação e diferenciação progressiva
do conhecimento, as questões formais objetivas e subjetivas, as quais serão parte
relevante e indispensável do processo avaliativo, mas não constituirão o acesso
único de verificação, oportunizando, assim, diferentes tempos e formas de apuração
do quê e como avaliar.
8 CONSIDERAÇÕES
A partir do processo global de ensino e aprendizagem sobre números
inteiros relativos e, ainda, levando-se em conta a importância do processo avaliativo,
pontuamos as seguintes orientações:
1. Dispor de materiais de apoio de leitura e vídeo como fonte de
enriquecimento para o tema proposto.
2. Apresentar a origem dos números por meio da história da Matemática.
As pesquisas acerca da história da matemática, reescrita pelo aluno,
além de fazer sentido ao estudo de cada tema, poderão promover o
entendimento do conceito a ser atingido, tendo em vista que oferecem
28
suporte teórico, o que diminui a distância entre a origem e o estudo do
tema a ser abordado.
3. As leituras, discussões e verbalizações podem ser bons instrumentos de
superação do aluno, caso haja, através delas, algum acréscimo ao
conhecimento prévio do aprendiz.
4. A apresentação de situações-problemas poderá ser desdobrada em
pequenas etapas de entendimento e evolução do aluno, individualmente
ou no coletivo.
5. A solicitação de recriar outras situações semelhantes àquelas já
consideradas pode revelar se a nova informação está mais elaborada e
compreendida pelo aprendiz.
6. Os jogos pedagógicos, tanto manipuláveis quanto virtuais, podem servir
de instrumentos avaliadores. Os momentos lúdicos estimulam a
participação de alunos que, em outras situações, se veem inseguros,
revelando também a socialização, o desenvolvimento de raciocínio, a
atenção e a capacidade de sequenciar o pensamento.
7. Aproveitar cada espaço da escola para a promoção da aprendizagem.
Aprende-se, pois, em qualquer espaço escolar; para tanto, basta
adequar as atividades aos objetivos que se deseja atingir e usar espaços
alternativos para se desenvolver o trabalho com a Matemática. Em sua
maioria, as práticas pedagógicas não permeiam a cultura de sair para
outros espaços do âmbito escolar, uma vez que não se trata de um
trabalho simples de se fazer, mas é possível de ser feito, principalmente
se o que se deseja é superar algumas dificuldades encontradas no
processo ensino e aprendizagem.
8. Atividades - “Desafios e Curiosidades” também podem contribuir para o
processo avaliativo.
9. A confecção de mapas conceituais poderá revelar-se como método
avaliativo, se compartilhado com o aluno, dando-lhe uma perspectiva
das conexões existentes entre o tema proposto e a sua
interdisciplinaridade.
10. Construir um dicionário matemático é uma estratégia avaliativa. A
nomenclatura matemática muitas vezes se torna um entrave para o
29
aprendizado, e a sua construção diária, com a participação do aluno,
pode ser um facilitador no desenvolvimento significativo do processo.
9 PROPOSTA DE ATIVIDADES DIDÁTICAS – NÚMEROS INTEIROS
De acordo com as Diretrizes Curriculares para a Educação Básica do Estado
do Paraná (2008), os conteúdos estruturantes são referências que permitem aos
professores orientar e dar certa uniformidade aos conteúdos específicos de
Matemática, ofertados aos diferentes níveis e modalidades de ensino. Contudo, o
trabalho na sala de aula se dará de modo articulado, no estabelecimento das
relações entre esses conteúdos e os contextos históricos, sociais e culturais,
tornando o estudo da Matemática significativo para o aluno.
Dentre o conteúdo estruturante Números, Operações e Álgebra, articulam-se
desdobramentos, como é o caso do Conjunto dos Números Inteiros Relativos.
Especificamos, a partir de agora, as atividades didáticas que estruturam o
caminho histórico realizado pelos homens para o estudo dos números, a
necessidade de seus símbolos, a sua representação.
Nessa Unidade Didática, as atividades pretendem direcionar a ideia de
número negativo, considerados como quantidades reais apenas a partir do século
XIX. Para o estudo do Conjunto dos Números Inteiros Relativos, se faz necessário o
conhecimento prévio do aprendiz acerca do Conjunto dos Números Naturais e, a
partir desse conhecimento, é possível realizar a sua extensão.
9.1 PROPOSTA 1 − QUADROS DE HISTÓRIA: ONTEM E HOJE.
Objetivos
Para o professor
• Identificar os conhecimentos prévios do aluno acerca da origem histórica
dos números, por meio de seus relatos;
30
• Analisar, por meio da produção dos alunos, o seu entendimento a respeito
da construção dos números naturais e da necessidade da criação dos
números negativos;
• Discutir com o aluno sobre a origem e utilização dos números negativos,
por meio da história.
Para o aluno
• Reconhecer os significados sobre números negativos, por meio da leitura
do texto de apoio;
• Socializar os conhecimentos com os colegas da classe;
• Representar seus conhecimentos em relação aos números negativos, por
meio de diferentes formas (texto, gráficos, mapas conceituais, história em
quadrinhos e outros).
Justificativa
A história da Matemática apresenta muitos fatos curiosos que podem
despertar o interesse do aluno. Reavivar esses fatos é uma maneira de inserir o
aluno como participe do contexto histórico.
A Matemática como ciência faz parte da construção humana, e a
apresentação da origem e aceitação dos números negativos, como um
acontecimento que ocorreu de forma lenta, devido à necessidade do registro de
quantidades de falta, dívidas, valores abaixo de zero, poderá orientar tanto o
entendimento desses números quanto a produção de seu conhecimento.
Ao priorizar a produção do conhecimento pelo pensar e agir do aluno, o
professor tem o papel de orientador e facilitador do processo de aprendizagem.
Estratégias de ação e recursos disponibilizados
Comentário Pedagógico
1º. Momento: Solicitar que os alunos resgatem e apontem situações que
apresentam números negativos.
31
2º. Momento: Após a apresentação inicial dos apontamentos dos alunos
sobre o resgate efetuado, pedir que, em duplas, os alunos registrem em
papel sulfite as ideias, em pequenos quadros interligados, para a
formação de um mapa conceitual, sem a exigência das formalidades
desse registro.
3º. Momento: Fixar esses registros em um mural, disponibilizando a todos
os participantes o conhecimento prévio dos números negativos presentes
no grupo maior.
4º. Momento: No laboratório de informática, apresentar a origem dos
números, por meio dos quadros da história. Esse momento de interação
propicia ao professor um levantamento dos conhecimentos prévios que
os alunos possuem acerca da construção histórica da ciência
Matemática.
Figura 5.1 − Quadro de história com a apresentação da origem dos números. Fonte: A autora
32
Figura 5.2 − Quadros de história com a apresentação da origem dos números Fonte: A autora
5º Momento: Permitir uma leitura pessoal e silenciosa. Em seguida, solicitar
a leitura socializada, na qual cada aluno lê um trecho da história,
apresentada pelo texto de apoio.
6º Momento: Propiciar, em cada tópico de leitura, a apresentação de novos
conhecimentos, significados, interpretações.
7º Momento: Por meio de uma discussão coletiva sobre os novos
conhecimentos, procurar sua integração aos conhecimentos já
armazenados na estrutura cognitiva dos alunos, sobre a origem histórica
dos números.
8º Momento: Na busca de conhecer o entendimento dos alunos sobre o
tema proposto, solicitar o registro da diferenciação e integração dos
conhecimentos da forma que acharem conveniente, ou seja, por meio de
uma história, desenhos, quadrinhos, tabelas, etc.
9° Momento: Recolher os textos e, posteriormente, apresentá-los na TV
pendrive, com vistas à socialização do conhecimento.
33
10°Momento: Construir um dicionário matemático com as palavras novas
que surgiram durante as leituras e o desenvolvimento das atividades.
9.2 PROPOSTA 2 − A MATEMÁTICA E O COTIDIANO
Objetivos Para o professor
• Desenvolver o estudo sobre o Conjunto dos Números Inteiros Relativos
de forma contextualizada;
• Resgatar as situações cotidianas em que seja necessária a utilização
dos números inteiros negativos.
Para o aluno
• Destacar situações cotidianas com números negativos que se
apresentaram nos quadros da história dos números negativos;
• Estabelecer relações entre a Matemática e as outras áreas do
conhecimento;
• Relacionar os números inteiros relativos com situações do seu dia a dia;
• Comparar números inteiros com auxílio da reta numérica.
Justificativa
A leitura e interpretação de textos escritos contribuem para o
desenvolvimento da atenção, concentração, interesse, domínio da língua materna e
especialmente demonstram a utilização dos números negativos em diversas
situações, presentes no cotidiano do aluno.
Estratégias de ação e recursos disponibilizados
A partir do resgate das situações levantadas na atividade anterior, em que
os números são acrescidos dos sinais de mais (+) ou menos (-), desenvolver essa
atividade, utilizando-se do texto de apoio com destaque para as temperaturas
inteiras negativas.
34
Considerações A Matemática relaciona o conhecimento científico com situações vivenciadas
pelos sujeitos no cotidiano. Essas situações são objetos de estudo e investigação
das comunidades científicas, e os resultados desses estudos produzem a evolução
histórica e permanente dessa ciência. Há uma estreita relação entre a Matemática e
as outras ciências, que buscam nos fundamentos matemáticos explicações práticas
para suas teorias. (NOÉ. Disponível em: http://www.brasilescola.com/matematica/)
Observação: Em todas as atividades, será proposta a utilização de um
dicionário matemático, para garantir melhor compreensão dos termos específicos da
área, pois muitas vezes o aluno apresenta dificuldades por não entender o
significado das palavras dispostas nos exercícios e nas situações – problemas.
1º. Momento:
Comentário Pedagógico
Visando o aspecto interdisciplinar entre a Matemática e as outras áreas do
conhecimento, distribuir o texto de apoio aos alunos e propor a leitura da poesia "O
sorvete".
O sorvete
Feito de poesia... Que sabor ele tem?
Não sei, tem sabor de poesia, oras! Um sorvete de poesia, por favor!
Por quê? Ué, porque eu gosto do sabor da poesia, simples. É, é um sabor muito bom...
Ele esquenta, ele refresca, ele areja, ele aproxima... Ele faz acontecer.
Sim, o sorvete... Ah! E a poesia também. Meninos gostam de sorvete.
Adultos também. Principalmente os “adultos-meninos”, esse s são os que mais
gostam. Por quê?
Por que eles são meio “bobões”... E os bobões, que de bobões não têm nada, sabem muito bem
aproveitar o sabor... Dos sorvetes, de poesias...
É... dos sorvetes de poesias. Rodyz
(OLIVEIRA, 2009)
Figura 6 − Poesia "O sorvete" Fonte: Oliveira (2009)
35
2º. Momento: Após um tempo de leitura individual, incentivar que um
voluntário faça a leitura da poesia em voz alta. Caso haja recusa, então o
próprio professor realiza a leitura.
3º. Momento: Depois da leitura, abrir um breve momento de discussão a
respeito do gosto e da importância da leitura, como um hábito saudável
de aprendizagem.
4º. Momento: Em seguida, fazer questionamentos para desafiar os alunos,
deixando em aberto a resposta para o momento final da atividade:
− Quem veio primeiro: o sorvete ou a geladeira?
− Alguém sabe como e onde surgiu o sorvete?
5° Momento: Solicitar que os pares de alunos troquem ideias. Enquanto
isso, o professor distribuirá um texto de apoio sobre a origem do sorvete e
recortes de papel, nos quais estarão descritas as respostas de novas
perguntas que serão formuladas.
6º Momento: Solicitar aos alunos que, silenciosamente, façam a leitura e a
interpretação do texto e numerem os recortes de papel contendo as
respostas.
7° Momento: Por meio da TV Pendrive, apresentar as questões para a
turma e solicitar aos alunos que apresentem a resposta. No caso de haver
discordância nas respostas, colocar em discussão qual seria a resposta
mais adequada. Somente após o consenso do coletivo é que se
apresentam as respostas definitivas.
1º. Pergunta: Há muitos relatos sobre a produção dos primeiros modelos do sorvete
que hoje saboreamos. Porém, a história dessa delícia tem uma origem
aproximada:
É provável que o sorvete tenha surgido na China há cerca de 3.000 anos
36
Sugestão: Esse é um momento importante para o professor apresentar aos
alunos o mapa Mundi, com a localização da China. Enquanto a atividade está sendo
desenvolvida, apresentar os outros lugares descritos, proporcionando, assim, um
resgate geográfico.
2º. Pergunta: Como eram os modelos dos primeiros sorvetes surgidos na culinária?
No início, ele era mais parecido com a atual raspadinha, não levava leite e geralmente era feito com neve, suco de frutas e mel.
Sugestão: Explicar sobre raspadinha vendida nas praias.
Aproveitar o assunto para tratar do valor nutritivo do sorvete, descrevendo os
seus componentes. Acrescentar que esse alimento faz parte das refeições utilizadas
em hospitais, especialmente para pacientes em tratamento de câncer, pois os
mesmos têm dificuldades de ingerir outros alimentos.
3º. Pergunta: Apesar de estar cercada de lendas e muitas controvérsias, sabe-se
que a história do sorvete tem uma forte ligação com a evolução das técnicas de
refrigeração, devido à necessidade do momento. Porém, há indícios que um povo
descobriu a técnica de conservar o gelo. Quem pode ter feito isso? Há quanto
tempo?
Em 1100 a.C., os chineses já sabiam como conservar o gelo formado naturalmente no inverno para usá-lo durante o verão.
4º. Pergunta: Os cozinheiros, para servirem sorvetes, outras sobremesas e bebidas
geladinhas em dias de calor, dependiam de suprimentos naturais de gelo,
retirados de lagos e rios durante o inverno ou do alto das montanhas. Como eles
faziam isso?
Para que fosse conservado, o gelo era armazenado em depósitos subterrâneos revestidos com materiais isolantes, como madeira, e coberto com serragem.
Desde que houvesse um sistema adequado para o escoamento da água, o gelo podia ser guardado dessa forma por meses ou até anos!
37
5º. Pergunta: Por volta do século XIII, outra descoberta importante sobre a
refrigeração permitiu o aperfeiçoamento da produção de sorvete. Que
descoberta foi essa?
A adição de sal ao gelo provocava uma reação química que baixava a temperatura da mistura para menos de 0ºC. A partir de então, era só pôr os ingredientes já batidos num recipiente de metal e colocá-lo dentro de outro
recipiente maior, de madeira, com a mistura de sal e gelo, que o sorvete congelava bem mais rápido!
Sugestão: Aproveitar esse momento para reavivar os conhecimentos dos
alunos acerca do sistema de numeração romana.
6º. Pergunta: Nessa época, no entanto, o sorvete ainda estava longe de ter a
textura suave que conhecemos hoje, e também não levava leite nem ovos.
Segundo os indícios históricos, quando aconteceu isso?
Só em meados do século XVII, provavelmente na Itália, os novos ingredientes foram incorporados à receita.
7º. Pergunta: Qual foi a data de criação do refrigerador?
A criação do refrigerador mecânico aconteceu no final do século XIX, em 1856, pelo austríaco James Harrison
Disponível em: www.invivo.fiocruz.br
Curiosidade: Foi somente em meados do Século XVII que o sorvete passou a ser feito sem o auxílio da neve; com a descoberta de que o sal pode abaixar a temperatura de fusão da água, o advento da fabricação do sorvete surgiu. Já por volta de 1800, vários restaurantes e cafés da Europa, principalmente na França, passaram a oferecer sorvetes no seu menu. E, em 1851, a primeira
fábrica de sorvete, em Baltimore, foi fundada. Poucos anos depois, a refrigeração mecânica (os freezers) foram introduzidos, e sorveterias se
proliferaram pelo mundo inteiro.
38
8º. Pergunta: Que temperatura apresenta os refrigeradores atuais?
E no congelador, qual será a temperatura?
Os refrigeradores atuais armazenam os alimentos a uma temperatura que vai desde 3ºC até 5ºC. Os congeladores mantêm uma temperatura por volta
de -18ºC.
Disponível em: http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/index.php?idSecao=8&idSubSecao=&idTexto=199
9º. Pergunta: Qual a menor temperatura atingida pelos freezers atuais?
O freezer pode chegar a -18 graus Centígrados
Disponível em: http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080923160537AAvtoiw
Figura 7 – Fotografia da temperatura do freezer a -18o Fonte: A autora
10º.Pergunta: Quem veio primeiro: o sorvete ou a geladeira?
Após um detalhamento das questões, os alunos provavelmente poderão
responder com segurança a questão proposta.
8º. Momento: O professor faz, de forma coletiva um resgate das respostas
coladas no texto de apoio.
9º. Momento: Dando continuidade à atividade proposta, mostrar aos alunos
que nas respostas surgiram números que apresentam sinais diante de
si. Como por exemplo, a temperatura do freezer.
39
E dá continuidade aos questionamentos:
Muitos de vocês ainda possuem tiras de respostas que ainda não foram
utilizadas.
Pois bem, que outras situações em que o sinal de menos aparece diante dos
números?
Maria estacionou seu carro no subsolo, cuja tecla do elevador descrevia -3. Isto é, três andares abaixo do térreo, que é considerado zero (0).
Em São Joaquim (RS), a temperatura chegou a 5°Celsius negativos ou -5°C. Isto é, cinco graus abaixo de zero.
João está com o saldo bancário devedor em R$ 380,00. Isto é, o saldo de João é de –R$380,00.
Os oceanos podem atingir uma profundidade média de 3890 metros, isto é, o fundo do oceano pode chegar a -3890m abaixo do nível do mar, que é de
zero metros.
Em 1100 a.C., os chineses já sabiam como conservar o gelo formado naturalmente no inverno para usá-lo durante o verão, isto é, -1100 anos,
pois historicamente a data do nascimento de Cristo é considerado ano zero, e antes disso as datas são negativas.
Portanto, números maiores que o zero são considerados números positivos,
fazem parte de números naturais, que já conhecemos e utilizamos, e podem ser
escritos com ou sem o sinal de mais (+).
O zero é a origem do conjunto dos números positivos e dos números
negativos.
Os números negativos são todos aqueles menores que zero e apresentam o
sinal de menos (-), que deve vir diante desses números.
A reunião de todos os números positivos e negativos, incluindo o zero, forma
o conjunto dos números inteiros relativos, representado pela letra .
= {... -5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,...}
40
Curiosidade
Existem algumas possibilidades para explicar a letra no conjunto dos
números inteiros relativos:
1. Dizem que a letra é a inicial do sobrenome do matemático Ernest Zermello,
que viveu no século XIX e se dedicou ao estudo dos conjuntos numéricos.
2. vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.
3. O símbolo provém do alemão Zahl, que remete a números contáveis,
originado na concepção da Teoria dos Conjuntos.
Comentário Pedagógico
Com uma reta numérica manipulável e em tamanho visível a todos os
alunos, observar o valor posicional dos números inteiros.
Permitir que os alunos observem como são posicionados os números
inteiros e solicitar que alguns arrastem o marcador para direita e para esquerda, na
intenção de demonstrar a simetria entre eles, a partir da contagem de suas
unidades.
Observação: Pode-se também afixar na sala de aula um cordão com alguns
números inteiros, negativos, positivos e o zero, para facilitar a aquisição de seus
posicionamentos.
Construir um dicionário matemático com as palavras novas que surgiram
durante as leituras e desenvolvimento das atividades.
9.3 PROPOSTA 3 − HORA LIGHT: MATEMÁTICA EM AÇÃO
Objetivos
Para o professor
• Utilizar novos espaços do ambiente escolar, tornando mais agradável o
momento do estudo;
41
• Estimular a afetividade através da partilha de ideias, utilizando o recurso
dos jogos.
Para o aluno
• Resolver atividades que envolvam o desenvolvimento do raciocínio lógico;
• Identificar números opostos a partir de um jogo;
• Conceituar números opostos;
• Buscar regularidades matemáticas no conjunto dos números inteiros por
meio do material lúdico.
Justificativa
O jogo é uma metodologia que proporciona prazer e concentração.
Enquanto brincam, os alunos podem aprender de forma prazerosa.
A orientação e mediação do professor devem ser constantes. Os registros
darão a oportunidade de retomadas posteriores importantes.
Estratégias de ação e recursos utilizados
Comentário pedagógico
O professor apresenta a atividade que será desenvolvida, descreve as
regras e disponibiliza um determinado período de tempo para que os alunos se
familiarizem com o recurso. A presença do professor é muito importante como
mediador das dúvidas e de conflitos que possam surgir nesse tipo de atividade.
Na etapa seguinte, num espaço mais aberto da escola, propor que os
alunos, em duplas, brinquem com os números positivos e negativos, utilizando-se de
um jogo de cartas.
42
Jogo: “Encontre os Opostos”
(Disponível em: http://www.pedagogia.com.br/atividade.php?id=37. Acesso em: 04 mar. 2010.) Objetivo do jogo
Despertar no aluno a importância dos números inteiros, em especial os
números opostos, pela sua característica de que quando somados resultam em
zero.
Material
20 fichas com os números inteiros de -10 a -1 e de 1 a 10.
Figura 8 – Fichas numeradas do jogo Fonte: Atividade adaptada: Disponível em: http://www.pedagogia.com.br/atividade.php?id=37. Acesso 04 mar. 2010.
Procedimento
• O jogo é disputado em duplas.
• Posicione as 20 fichas viradas para baixo sobre uma mesa ou carteira.
• Os alunos decidem quem começa através da estratégia par ou ímpar.
• O jogador vira duas cartas. Se os números forem opostos, ele ganha o
par e tem direito a mais uma jogada; caso contrário, ele vira as cartas
novamente para baixo e passa a vez para o outro jogador.
• Ao terminarem as cartas na mesa, o vencedor é o jogador que tem mais
pares de números opostos.
43
Considerações
Após fornecer as instruções do jogo, permitir que os alunos brinquem à
vontade, pois isso oportunizará a socialização entre os mesmos e possibilitará que
descubram o procedimento.
Passado um determinado período de tempo para observações, o professor
deve solicitar que cada dupla coloque no papel as curiosidades, os acertos, os erros
e as situações que se repetiram.
A seguir, registrar no quadro de giz, algumas jogadas realizadas pelos
alunos, discutindo questões sobre os números opostos. Esse é um momento
importante para que os próprios alunos reelaborem o conhecimento acerca dos
números simétricos, as regularidades ocorridas e algumas curiosidades observadas
no jogo.
É importante também observar se o recurso lúdico proporcionou momentos
de afetividade e como isso interferiu na produção dos conhecimentos.
Construir um dicionário matemático com as palavras novas que surgiram
durante as leituras e desenvolvimento das atividades.
9.4 PROPOSTA 4 − VISÃO GEOMÉTRICA - A RETA NUMÉRICA.
Objetivos
Para o professor
• Apresentar a reta numérica como recurso didático;
• Propor situações cotidianas que envolvam os números negativos e suas
operações.
Para o aluno
• Utilizar a reta numérica para o estudo dos números inteiros;
• Realizar as operações de adição e subtração com os números inteiros,
tendo por base a reta numérica representativa das temperaturas
destacadas do texto de apoio;
44
• Resolver situações-problemas que envolvam os números inteiros
relativos.
Justificativa
Segundo Caraça (1970), por meio da representação geométrica, pode-se
justificar a regra de sinais na adição/subtração (grifo do autor). Assim, a
representação bidimensional demonstra geometricamente duas retas orientadas,
sendo o ponto (0,0) um par de referência, considerado origem dos eixos cartesianos.
O eixo horizontal, com uma direção e dois sentidos: de 0 (zero) para a direita, onde
são posicionados os valores positivos e de 0 (zero) para a esquerda, onde são
considerados os valores negativos. O eixo vertical também apresenta uma direção e
dois sentidos: de 0 (zero) para cima são posicionados os valores positivos e de 0
(zero) para baixo os valores negativos.
Figura 9 – Eixos orientados, com indicação de alguns valores inteiros. Fonte: A autora
O recurso bidimensional dos eixos cartesianos associa a concepção de
sentido de percurso com a ideia geométrica da imagem ou simétrico de um objeto,
no caso um valor numérico:
• Eixo Horizontal: positivo à direita (sentido leste) e negativo (no sentido
oeste) à esquerda.
45
• Eixo Vertical: positivo acima (sentido norte) ou negativo abaixo (sentido
sul) do ponto zero.
Estratégias de ação e recursos disponibilizados
Comentário Pedagógico
1º. Momento: O professor afixará no quadro de giz uma reta numérica
visível a todos e fará algumas atividades para o entendimento do aluno
em relação à manipulação da mesma.
Figura 10 – Reta numerada com marcadores manipuláveis. Fonte: A autora
2º. Momento: Cada dupla receberá um texto de apoio e uma reta
numérica manipulável para resolver as situações propostas, enquanto
o professor circula pela sala de aula e anota comentários falados pelos
alunos, para posterior discussão em conjunto.
3º. Momento: São apresentadas as questões:
1) No prédio onde mora a avó de Armando, há 10 andares e 2 subsolos. No
painel do elevador aparecem números negativos, positivos e o zero. A garagem
usada pela avó de Armando fica no segundo subsolo.
a) Como o painel do elevador indica o andar térreo?
b) O primeiro subsolo é indicado por -1. Qual é a indicação do segundo
subsolo?
c) Armando e Inês desceram pelo elevador até a garagem do prédio, no
segundo subsolo, e foram pelas escadas para o apartamento da avó,
que fica no quinto andar. Quantos andares eles tiveram que subir?
46
d) Quantos andares eles teriam de descer se fossem do décimo andar
para o segundo subsolo? (Matemática: Souza e Spinelli).
4º. Momento: O professor distribui aos alunos um recorte de jornal, contendo
situações que despertam sua curiosidade sobre os números apresentados
na reportagem.
5º. Momento: Permitir uma leitura silenciosa.
Texto de apoio
Apresentamos abaixo o recorte de uma manchete do jornal “DE OLHO NO
TEMPO” , datado de 17 de junho de 2008, que apresenta relatos de situações
vividas por brasileiros nesse dia:
No Brasil, o dia mais frio do ano. A temperatura chegou perto dos -6°C no sul do Paraná. O inverno ainda nem começou, mas na madrugada desta terça-feira (17) a temperatura em Curitiba, capital paranaense ficou um pouco abaixo de zero. Os termômetros registraram -0,2°C. O gramado no Jardim Botânico da cidade ficou coberto de gelo. No aeroporto Afonso Pena, na região metropolitana, a mínima ficou em -2,5°C. O aeroporto está fechado desde às 3h da madrugada, por causa de um forte nevoeiro. A mínima no estado foi registrada em Palmas, -5°C.
Teve muito frio também no Rio Grande do Sul. E geou praticamente em todas as regiões do estado. Em Porto Alegre a mínima registrada foi de -2,6C. Na segunda-feira (16), 13 cidades tiveram temperaturas negativas. A cidade de Vacaria, na serra, teve a mínima do estado, com -3°C.
Texto Adaptado de: Gazeta Online. Disponível em: http://wwwdeolhonotempo.blogspot.com/2008/6
6º. Momento: Após a leitura da notícia do Jornal Gazeta Online, propor aos
alunos as seguintes reflexões:
A reta numérica representa algumas das temperaturas apresentadas no texto.
Figura 11 – Reta numérica representando as temperaturas citadas no texto de apoio. Fonte: A autora
47
Observação: Com o auxílio de uma reta numérica manipulável, verifique as
temperaturas posicionadas nos pontos da reta e responda:
1º. A temperatura no Sul do Paraná no mês de junho fica em torno de
10°C ponto(D). Segundo o artigo do jornal, no dia 17 de junho de
2008 a temperatura chegou a -6°C ponto (A). Portanto, houve
aumento ou queda de temperatura?
2º. Verifique, na reta numérica, a diferença entre as temperaturas
relacionadas no item anterior. Quantas unidades foram contadas, da
esquerda para a direita, isto é, ponto A até o ponto D? Lembre-se: a
unidade é o intervalo que vai de um ponto a outro da reta.
3º. Houve aumento de temperatura entre o Sul do Paraná (A) e Palmas
(B)?
4º. Quantas unidades existem entre A e B?
5º. e) Qual foi a diferença de temperatura entre a cidade de Vacaria (C)
e o Sul do Paraná(A)? Qual dessas temperaturas é maior? Por que?
6º. Se a temperatura estiver mais à direita na reta numérica, ela será
maior ou menor que as temperaturas da esquerda?
7º. Momento: Registrar em cada questão os números e realizar as
operações.
8º. Momento: Solicitar que cada aluno crie uma situação-problema, com
base nas leituras feitas na atividade, ou com novas situações, em uma
folha de papel.
Lembrar que o colega que realizará a atividade precisa ter um bom
entendimento da mesma. Portanto, é importante organizar bem as ideias na hora da
escrita.
9º. Momento: Utilizando-se da reta numérica, propor a troca e resolução
das atividades para que as mesmas sejam resolvidas por outro aluno.
10º. Momento: Discutir com os alunos sobre a atividade proposta.
a) Foi bem planejada? b) A escrita estava clara? c) Houve entendimento
para a sua realização? d) Você conseguiu encontrar a solução? e) Alguém quer
expor a resolução no quadro para socializar no grande grupo?
48
11º. Momento: O professor deve resgatar dúvidas ou dificuldades sobre as
atividades propostas.
12º. Momento: Construir um dicionário matemático com as palavras novas
que surgiram durante as leituras e desenvolvimento das atividades.
9.5 PROPOSTA 5 − A MATEMÁTICA FINANCEIRA
Objetivos Para o professor
• Apresentar um modelo de extrato bancário;
• Descrever as referências de crédito e débito;
• Propor as operações com números inteiros relativos;
• Definir as diferenças e semelhanças entre tabelas e gráficos;
• Apresentar um modelo de planilha para orçamento doméstico;
• Orientar o desenvolvimento das atividades;
• Promover a integração entre os conteúdos matemáticos e o cotidiano.
Para o aluno
• Identificar um modelo de extrato bancário e as referências de créditos e
débitos;
• Interpretar um extrato bancário e as referências de créditos e débitos;
• Realizar operações de adição, subtração e multiplicação no Conjunto ;
• Observar o registro de números inteiros por meio de tabelas e gráficos;
• Encontrar as possibilidades de utilização de planilhas de entradas e
saídas financeiras no orçamento doméstico, por meio dos recursos
disponibilizados nas atividades;
• Preencher a planilha do orçamento doméstico, por meio das informações
familiares;
• Verificar as conexões entre os saberes matemáticos, com a utilização dos
números inteiros nas situações financeiras habituais da sociedade.
49
Justificativa
Muitos alunos desconhecem um modelo de extrato bancário e suas
referências. Mesmo aqueles que já conhecem esse tipo de tabela, em geral não
estabelecem a relação entre o seu funcionamento e as operações matemáticas
efetuadas. Diante disso, torna-se relevante a apresentação e a interpretação dos
movimentos realizados em uma conta bancária e representados pelo seu extrato.
Estratégias de ação e recursos disponibilizados
• Levantamento dos conhecimentos prévios sobre um modelo de extrato
bancário e suas referências;
• Apresentação das operações de adição e multiplicação com os números
inteiros, no quadro de giz.
1º. Momento: Em sala de aula, distribuir a cada aluno o modelo de um
extrato bancário e determinar um tempo para observações e discussões
entre os pares.
Quadro 1 − Extrato bancário
Data Nº
Documento Histórico Valor R$
01/06/2009 saldo anterior 94,00 C 02/06/2009 476002 dep. dinheiro-Sorveteria K-Gelado 1 200,00 C
04/06/2009 012986 ch. compensado 340,00 D 06/06/2009 000345 saque no cartão 48,00 D 10/06/2009 234012 saque no caixa 24h 120,00 D 15/06/2009 498001 débito automático 325,00 D 20/06/2009 476003 dep. dinheiro- Sorveteria K-Gelado 600,00 C 24/06/2009 012987 ch. compensado 721,00 D 28/06/2009 234013 saque com cartão 146,00 D 29/06/2009 342000 débito de juros 11,00 D 30/06/2009 987043 cobrança manutenção conta 15,00 D 30/06/2009 234014 saque com cartão 287,00 D 30/06/2009 Saldo atual
Fonte: A autora
50
2º. Momento: Coletivamente, abrir a discussão a respeito do extrato
bancário, verificando o histórico das transações bancárias, realizadas
pelo Sr.João, proprietário da Sorveteria K-Gelado.
Na coluna de valores, notam-se as abreviaturas D para débitos (saída de
dinheiro) e C para créditos (entrada de dinheiro).
Observação: O débito (D) é o saldo negativo deve ter sinal (-) e o crédito (C)
é saldo positivo deve ter sinal positivo (+).
3º. Momento: Propor aos alunos as seguintes questões:
a) Qual é a finalidade de se utilizar um extrato bancário?
b) No período de 01/06 a 30/06, há mais créditos ou mais débitos?
c) Como podemos saber a quantia que entrou nessa conta, durante esse
período de tempo? Calcule esse valor.
d) E a quantia de R$ que saiu dessa conta? Calcule os débitos.
e) No extrato apresentado, a saldo referente ao dia 30/06 é positivo ou
negativo? De quanto? O que isso significa?
f) O extrato bancário e o gráfico abaixo são referentes ao mês de junho de
2009. Qual a sua opinião a respeito do saldo bancário do proprietário da
sorveteria?
51
Figura 11 – Gráfico demonstrativo do exercício sobre matemática financeira Fonte: A autora (atividade adequada a partir de Imenes e lellis (2002;2006, p. 181, 6ª série).
Comentário Pedagógico
Aproveitar o momento dessa atividade para explorar a ideia de gráficos.
Levar o aluno a interpretar informações representadas por meio do gráfico e a
verificar a sua utilidade de aplicação.
I) Qual é o assunto tratado no gráfico?
II) Qual é a fonte de informações?
III) Em qual mês do semestre se vendeu mais sorvete?
IV) Em que mês houve maior queda de vendas? Em sua opinião, por que
isso aconteceu?
V) Qual seria a atitude mais sensata praticada pelo Sr. João, proprietário da
sorveteria, para não ficar no vermelho, durante o período do inverno?
g) O extrato bancário é a contabilidade do cliente, isto é, a sua
movimentação e situação financeira.
Há possibilidade de contabilizar a entrada e saída mensal de dinheiro em
uma casa?
h) No que isso pode ajudar em relação ao planejamento e orçamento
familiar?
52
4º. Momento: Realizar uma discussão com os alunos a respeito da situação
descrita anteriormente, permitindo que eles colaborem com opiniões e
sugestões.
Quadro 2 − Exemplo de Planilha para o orçamento doméstico.
Planejamento e Orçamento Familiar Semestral Jan Fev Mar Abril Mai Jun
Receitas (entrada de dinheiro) E Pagamento
Outros Despesas (Saída de dinheiro) S
Moradia Conta de Luz
Conta Água Telefone Fixo/Celular
Alimentação Transporte Saúde Lazer Escola Outros Saldo Mensal
Fonte: A autora
5° Momento: Para essa atividade, o professor poderá criar um modelo
fictício de planilha, com dados sugeridos pelos alunos, e em seguida
realizar a análise dos mesmos.
Sugestão: Aproveitar esse momento para trabalhar com temas transversais, como
ética, consumo e sustentabilidade.
6° Momento: Construir um dicionário matemático com as palavras novas
que surgiram durante as leituras e desenvolvimento das atividades.
53
9.6 PROPOSTA 6 − HORA DE AÇÃO: A COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA POR
MEIO DA INFORMÁTICA
Objetivos Para o professor
• Identificar os conhecimentos prévios do aluno referentes ao uso do
computador;
• Promover reflexões com os alunos sobre as constantes mudanças
tecnológicas e suas consequências na sociedade;
• Averiguar quais conhecimentos os alunos possuem acerca dos processos
operatórios da adição e multiplicação no conjunto ;
• Estabelecer um ambiente sociável e afetivo entre os alunos.
Para o aluno
• Participar das atividades propostas por meio dos jogos virtuais;
• Resolver as operações com adições e multiplicações de números inteiros
por meio da ferramenta interativa;
• Realizar os registros das operações com números inteiros relativos.
Justificativa
Dentre os avanços tecnológicos, define-se o computador como um
instrumento em potencial e a escola precisa enfrentar o desafio em fazer uso dessa
tecnologia a serviço da qualificação do processo educacional.
1° Momento: Conversar com os alunos sobre o uso do computador, sobre
as redes sociais e os cuidados que se deve ter com informações pessoais
nesses meios interativos. Explorar, ainda, a relação que os alunos fazem
acerca de pesquisas e estudos por meio dessa ferramenta.
54
2° Momento: Refletir com os alunos sobre como a matemática pode ser
estudada por meios de sítios educacionais confiáveis, na ferramenta
tecnológica – computador.
Explicar, com um exemplo concreto, como será o jogo, as cores que
indicam os números positivos e os números negativos; como chegar a um resultado
positivo ou a um resultado negativo, e o tempo que terão para resolver cada
operação nas atividades envolvendo os números inteiros relativos.
Atividade
No laboratório de informática, pretende-se que os alunos realizem operações
de adição e multiplicação com números inteiros, utilizando-se dos sites:
http://www.rpedu.pintoricardo.com/jogos/Jogo_adicao_com_ranking_pronto/num_int_rel_com_ranking.html http://www.rpedu.pintoricardo.com/jogos/Jogo_multipl_com_ranking_pronto/multiplicacao.html
3° Momento:
Comentário Pedagógico
a) Inicialmente, permitir que os alunos observem os procedimentos dos
jogos e suas regularidades.
b) Estabelecer o tempo de reconhecimento dos procedimentos do jogo e o
tempo para as operações matemáticas e o jogo on-line, em cada um dos
sites programados.
c) Como o jogo tem um marcador de tempo para a realização das jogadas,
torna-se difícil fazer anotações durante a sua realização.
4° Momento: Em sala de aula, promover discussões acerca da proposta de
jogo virtual e realizar um diagnóstico sobre as interações e os estímulos
produzidos pelas atividades.
5° Momento: Apresentar, em sala de aula, quadros semelhantes aos
trabalhados por meio do jogo virtual. Solicitar aos alunos sugestões e
55
possibilidades que levem ao resultado desejado. Esse é um momento
importante de resgate das dúvidas ocorridas na atividade realizada no
laboratório de informática.
6° Momento: Sistematizar as operações com números inteiros no coletivo.
Esse momento de socialização é relevante no processo, no qual os
jogadores farão suas considerações pessoais e grupais, mediadas pelo
professor.
7° Momento: O professor propõe aos alunos novas operações com adição e
subtração, através de uma reta numerada manipulável.
a) Cada aluno receberá uma reta numérica para a realização das
operações propostas.
b) Propor situações-problemas que tenham envolvimento com os
números negativos.
c) Solicitar que cada um dos alunos, em folha separada, descreva uma
situação-problema e, em seguida, troque-a com o colega, para que
este tente resolvê-la.
d) Escolher três problemas das produções dos alunos e apresentá-los ao
grande grupo, na resolução em conjunto. Aproveitar essa oportunidade
para realimentar questões ainda não esclarecidas.
8° Momento: Construir um dicionário matemático com as palavras novas
que surgiram durante as leituras e desenvolvimento das atividades.
9.7 PROPOSTA 7 − RECURSOS ESPECIAIS: OPERANDO COM A
CALCULADORA
Objetivos
Para o professor
• Explorar a atividade de forma que os alunos percebam a relevância desse
instrumento como um meio facilitador das atividades. Seu comando, no
56
entanto, é realizado por meio dos raciocínios determinados pelo próprio
operador dos cálculos.
• Mediar as operações com o uso da calculadora, momento em que os
alunos deverão expor suas ideias aos colegas e com eles partilhar a
percepção de regras.
• Estimular nos alunos o desenvolvimento do raciocínio lógico durante as
atividades com a utilização do recurso didático dispoibilizado.
Para o aluno
• Utilizar o recurso tecnológico da calculadora;
• Resolver operações com números inteiros;
• Fazer as anotações dos cálculos na folha ou no caderno, para posteriores
reflexões.
Justificativa
Desenvolver o sentido de número nas aulas de matemática com a
introdução da calculadora pode ser muito mais que fazer cálculos. Construir
esquemas, investigar propriedades, verificar possibilidades e realizar operações, por
meio de uma rede de pensamentos, são ações que podem levar o aluno a se utilizar
desses conceitos em muitas situações.
Do ponto de vista pedagógico, incentivar o uso desse recurso didático de
forma refletida e crítica, com análise dos resultados encontrados, anotando registros
intermediários, pode configurar uma boa estratégia de ação e um estímulo à
cognição para o aluno, além de propiciar um ambiente desafiador e permitir a
socialização e a afetividade escolar.
Estratégias de ações e recursos disponibilizados
• Calculadoras simples que possuam a tecla (+/-).
• Papel e lápis.
• Folha de atividades.
57
Figura 12 − Ilustração de uma calculadora Fonte: A autora
Considerações
1° Momento: Explicar aos alunos que o recurso didático da calculadora é
útil, mas que as operações devem ser comandadas por eles, portanto, o
raciocínio desenvolvido durante os cálculos depende da compreensão
das atividades, conhecimento da ferramenta e interpretação própria das
soluções. Diante dessas considerações, o aluno precisa entender que o
recurso didático é apenas um meio no processo educacional, sendo o
aluno o sujeito da elaboração do conhecimento. Portanto, não considerar
esse instrumento como imprescindível, tornando-se inferior a ele, mas,
sim, utilizá-lo com inteligência.
2° Momento: Propor as atividades, com orientação contínua.
Questões propostas:
1) Por meio da calculadora, resolver as operações com números inteiros
relativos, anotando os resultados encontrados:
Exemplo: (45) + (24) = digita o 1o número; digita a tecla mais (+), e digita o segundo número; em seguida, digita a tecla igual para obter o resultado 69.
Exemplo: (89) – (42) = digita o 1º número; a tecla menos;o 2º; aperta a tecla igual para obter o resultado 47.
58
a) (15) +(9) =
b) (12) – (7)=
c) (56) – (56) =
Calculadora com a tecla +/- Ex. – 4 – (- 3) + (- 7) digite
4 +/- - 3 +/- + 7 +/- = -8
Comentário pedagógico: Após, realizar juntamente com os alunos, as operações, com o recurso da calculadora, fazer as reflexões de forma coletiva.
MRC - tecla que recupera os valores já armazenados. M- tecla que subtrai dos valores armazenados na memória. M+ - tecla que adiciona outros valores aos que estão armazenados na memória.
• O que significa o sinal (+/-) na calculadora? • Quando tecla o sinal (+/-) depois do número digitado, o que aparece no visor? • Depois de somar os dois primeiros valores, que resultado aparece no visor? • Qual a sua conclusão sobre o resultado desse primeiro cálculo? • Nesse momento de interação, é importante deixar claras as regras
determinadas pelas operações de adição e subtração dos números inteiros relativos, se possível, pelas considerações determinadas pelos próprios alunos.
• Descubra uma maneira de obter os resultados das operações, sem o auxílio da calculadora.
Observação: Solicite aos alunos a continuarem as operações, anotando os resultados no caderno, para posteriores discussões.
a) (+34) + (+21) =
b) (+67) + (-43) =
c) (+98) + (-98) =
d) (+76) – (+34) =
e) (+32) – (-12) =
f) (-90) – (-78) =
g) (-47) – (+56) =
h) (-64) – (-53) =
59
Calculadora com a tecla +/- Ex. (-8) x (-7) + [ - (+30) : (-10) ] digite
8 +/_ X 7 +/_ = 56 M+ 30 +/_ : 10 +/_ = M+ MRC 59
Comentário pedagógico: Após realizar, juntamente com os alunos, as operações com o recurso da calculadora, fazer as reflexões no coletivo.
• Depois de multiplicar os dois primeiros valores, que resultado aparece no visor da máquina?
• Ao apertar a tecla M+ armazenamos esse resultado. Por que é necessário este procedimento?
• O que significa a presença dos colchetes nessa expressão numérica? • Após realizar a divisão entre os dois números inteiros, no interior dos colchetes,
qual o resultado encontrado? • Qual é a finalidade de apertar a tecla M+, depois do segundo cálculo? • E a tecla MRC? • Qual é o resultado encontrado? • Sobre os sinais encontrados nos resultados, qual é a conclusão a que se chega? • Nesse momento de interação, é importante deixar claras as regras determinadas
pelas operações de multiplicação e divisão dos números inteiros relativos, se possível, pelas considerações determinadas pelos próprios alunos.
• Como você poderia realizar esses cálculos sem o auxílio da calculadora? • Que cuidados deveria tomar?
Observação: Solicite aos alunos a continuarem as operações, anotando os resultados no caderno, para posteriores discussões.
a) (+4) x (+3) =
b) (+5) x (-2) =
c) (-6) x (+8) =
d) (-2) x (-7) =
e) – (+7) x (+3) =
f) [+ (-6)] x [-(-5)] =
g) (+24) : (+6) =
h) (+45) : (-15) =
i) (-18) : (+3) =
j) (-90) : (-10) =
k) [-(+32)] : [+(-4)] =
l) (+60) + [(-35) : (-5)] =
m) [(+60) + (-35)] : (-5) =
60
n) { +5 – (+4) x (-7)} + (-15) : (+3)=
o) (+36) – (-32): (+4) + (+9) x (-2) =
3° Momento: É relevante esgotar todos os recursos sobre as considerações
e dúvidas dos alunos em relação às operações com números inteiros e,
se necessário, acrescentar mais exercícios.
4° Momento: Construir um dicionário matemático com as palavras novas
que surgiram durante as leituras e desenvolvimento das atividades.
9.8 PROPOSTA 8 − ATINGINDO O ALVO: É HORA DE JOGAR
Objetivos
Para o professor
a. Propiciar ao aluno as explicações necessárias para realizar as
operações com números inteiros, por meio do jogo;
b. Proporcionar a socialização dos saberes;
c. Realizar as discussões com os alunos sobre a atividade realizada e as
dúvidas que surgirem, esclarecendo-as, para que a aquisição do novo
conhecimento se concretize.
Para o aluno
a) Desenvolver o raciocínio lógico, de forma lúdica.
b) Realizar a transposição do material concreto para as operações
abstratas, especialmente a adição e multiplicação com os números
inteiros;
c) Registrar as anotações referentes aos cálculos;
d) Participar na discussão coletiva sobre as operações realizadas por meio
do jogo.
61
Justificativa
Desenvolver um estudo de operações com números inteiros,
especificamente para tratar das multiplicações com esse conjunto numérico. Sabe-
se da dificuldade de concretizar a produção desse conhecimento. Diante disso,
intenciona-se, por meio do recurso do jogo, possibilitar uma aprendizagem
significativa.
Considerações
1° Momento:
Comentário Pedagógico
Para a próxima atividade, é importante preparar os materiais e fazer uma
demonstração no quadro de giz, para que os alunos possam entender as regras de
funcionamento, sem no entanto, dar-lhes conclusões sobre a finalidade do jogo.
Estratégias de ação e recursos disponilizados Jogo: Atingindo o Alvo Material
• Um alvo.
• Um suporte para colocar o alvo internamente.
• Feijões brancos e pretos e grãos de milho.
• Fichas para anotações.
• Cartela em tamanho grande, com os valores predefinidos para as
jogadas.
62
Figura 13 − Representação da quarta parte do alvo Fonte: A autora
Construção do material
Reproduza o esquema 4 vezes e cole as partes em uma cartolina.
Pinte com as cores indicadas e não se esqueça de escrever os sinais (+) e (-).
Figura 14 − Representação completa da base do alvo Fonte: A autora
63
Para completar o tabuleiro do jogo, monte um quadrado de 40 cm de lado,
conforme esquema explicado anteriormente. Em seguida, feche as laterais com
bordas de 5 cm de altura.
Veja como o seu alvo vai ficar depois de pronto:
Figura 15 − Representação do alvo depois de pronto Fonte: Adaptação de Grasse schi et al. (1999).
Comentário Pedagógico:
O tabuleiro pode ser adaptado para outras caixas, como é o caso da caixa
da embalagem para pizza.
Para as fichas, corte 10 pedaços de cartolina, de 4x3cm.
Regras
Número de participantes: 4 (quatro)
1ª Momento: Cada aluno, na sua vez, joga 10 feijões brancos no alvo. Cada
feijão branco vale 3 (três).
Os feijões brancos que caírem na faixa com o sinal de (+) corresponderão
aos pontos ganhos; os que caírem nas faixas com o sinal de (-) corresponderão aos
pontos perdidos.
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2ª Momento: Anote da maneira que quiser os pontos que conseguiu em
cada faixa do alvo. Enquanto os colegas jogam, você poderá adiantar
seus primeiros cálculos
Repita a mesma operação com os feijões pretos e com os grãos de milho.
3° Momento: Numa cartolina, no quadro ou na própria cartela de cálculos,
você deverá anotar o valor referente a cada grão:
Quadro 3 − Valores dos marcadores
FEIJÃO BRANCO FEIJÃO PRETO MILHO
Valor: 3 Valor: 4 Valor: 5
Fonte: A autora Quadro 4 − Cartela para anotações da atividade
Jogadas Tipo de marcador Valor do marcador
Cor da Faixa (+) ou (-)
Valor da jogada
Ex: 1ª Jog. Feijão branco: 4 3 (+) (+4) X 3 = +12
Fonte: A autora
4° Momento: Anote com números inteiros os pontos em cada jogada,
usando a notação mais curta possível.
5° Momento: Faça o cálculo de seus pontos. Ganha quem tiver feito o
maior número de pontos ao final de três jogadas.
6° Momento: Compare seus registros com os de seus colegas e discuta
com eles qual a melhor representação (a mais clara e mais “econômica”)
para registrar ocorrências desse tipo.
7° Momento: Propor o registro de outras situações, na língua materna e
por meio de símbolos, relembrando o modelo de extrato bancário já
utilizado em outra atividade:
a) Retirar R$ 35,00 duas vezes da mesma conta bancária pode ser
representado por:
b) Retirar R$ 10,00 três vezes da mesma conta bancária pode ser
representado por:
65
c) Então, situações como essa significa:
d) Seguindo o mesmo raciocínio, tirar duas dívidas de R$35,00, pode ser
representado por:
e) Tirar três dívidas de R$10,00, pode ser representado por:
f) Qual é a conclusão que se chega em situações como as citadas nas
letras d) e f) ?
8° Momento: Construir um dicionário matemático com as palavras novas
que surgiram durante as leituras e desenvolvimento das atividades.
9.9 PROPOSTA 9 − SITUAÇÕES-PROBLEMAS
Objetivos
Para o professor
• Levar o aluno a conhecer as aplicações da Matemática, por meio das
situações-problemas;
• Proporcionar ao aluno o enfrentamento de situações novas;
• Propor a formulação de problemas, para serem resolvidos entre os pares;
• Refletir sobre as formas de resolução elaboradas pelos alunos, no sentido
de valorizar o processo de organização do pensamento.
Para o aluno
• Desenvolver a leitura e a interpretação das situações-problemas;
• Desenvolver o raciocínio lógico;
• Organizar as ideias e executar um plano de ação que leve a resolução
dos problemas propostos;
• Participar das reflexões acerca das propostas de resoluções pelos
colegas e complementar com as próprias considerações.
66
Justificativa
Segundo Dante (2005, p. 30), "Ao ter como prioridade a construção do
conhecimento pelo fazer e pensar, o papel da formulação e resolução de problemas
é fundamental para auxiliar o aluno na apreensão dos significados."
O papel da formulação e resolução de problemas é fundamental para auxiliar o
aluno na apreensão dos significados.
Considerações
Utilizando-se a resolução dos problemas, é importante adotar um
procedimento hierárquico e organizacional, com a intenção de atingir um produto
consistente e significativo.
Estratégias de ação e recursos disponibilizados
1º Momento: Compreensão do problema.
Para que esse momento seja produtivo, faz-se necessária uma cuidadosa
leitura, interpretação e verificação dos dados fornecidos pela situação.
Definir dados importantes para a resolução, diagnosticar a pergunta do
problema, enumerar formas de resolução.
2º Momento: Elaboração de um plano de ação.
Qual é a estratégia pretendida para o desenvolvimento das ações?
Organizar as ideias, a partir dos dados coletados, e decidir o caminho para a
resolução: algoritmos, tabelas, gráficos, outros desenhos, tentativas, etc.
Desmembrar as partes do problemas é uma boa alternativa.
3º Momento: Execução do plano.
Execute as ações pretendidas.
4º Momento: Verificação dos resultados.
Fazer novamente a leitura da pergunta do problema, verificando se chegou a
solução proposta.
Averiguar se a solução encontrada é razoável, ou apresenta
incompatibilidade diante da questão do problema.
Investigar se há a possibilidade de tirar a prova real.
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5º Momento: Escrita da resposta.
Descrever a solução encontrada, respondendo a pergunta proposta pelo
problema.
Adaptações feitas a partir das considerações do livro do Dante (2005) – Manual pedagógico do professor p. 30-31.
Comentário Pedagógico
Em geral, os alunos apresentam dificuldades no entendimento das questões
contidas nos problemas, na interpretação das situações e na retirada dos dados que
farão parte da resolução propriamente dita.
Portanto, é interessante que o professor solicite aos alunos uma leitura
atenta, mais de uma vez, procurando entender o significado da questão colocada,
para somente em seguida, determinar os próximos passos da execução do plano de
ação.
Faz-se necessário, também, anotar todas as dúvidas ocorridas durante o
processo de resolução, para posteriores reflexões.
A mediação se torna imprescindível nesse caso.
Sugestão:
Explicar aos alunos que todo o tipo de representação, como marcações,
desenhos etc. contribuem, com mais facilidade, para o encontro da solução do
problema.
Resolver as situações-problemas com base na proposta de Dante (2005):
a) Alana faz avaliação toda semana, nas terças-feiras. Ela tem um
planejamento para estudar um pouco a cada dia, com exceção de
domingo. Portanto, iniciou na terça-feira, estudando 5 páginas do
conteúdo de História. Como dividiu igualmente o conteúdo pelo número
de dias, quantas páginas terá que estudar para essa avaliação?
b) A mãe de Júlia quer trocar o piso da cozinha. Quantos metros quadrados
de piso ela deverá comprar se a cozinha é retangular e tem 4 metros de
largura e 6 metros de comprimento?
c) Numa apresentação teatral foram vendidas três dezenas de milhar e
quatro unidades de milhar de ingressos. Como choveu muito no dia do
show, compareceram duas dezenas de milhar, nove unidades de milhar,
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seis centenas, oito dezenas e sete unidades de pessoas. Quantas
pessoas faltaram à apresentação?
d) Eu comprei um apartamento por R$56.160,00. Dei uma entrada de doze
mil reais e o restante será pago em 80 vezes, em parcelas fixas. Qual
será o valor de cada parcela?
e) Cassiano tinha um saldo em conta corrente de R$ 946,00. Ele emitiu
dois cheques nos valores de R$ 513,00 e R$ 475,00, e ficou com saldo
negativo.
I. De quanto é esse saldo?
II. Cassiano, para não ficar com saldo negativo, pretende fazer um
depósito no valor de R$ 620,00. De quanto será o seu saldo
após o depósito?
f) João Pedro se corresponde, em rede social, com Rocio, uma garota do
Canadá. Ontem ela conversou com João Pedro durante três vezes,
reclamando do frio que estava sentindo. Na primeira vez, ela informou que
a temperatura local era de -5°C. Na segunda, Rocio disse que a
temperatura havia subido 4°C e, na terceira, que havia caído 6°C. Qual a
temperatura na cidade de Rocio quando ela conversou com seu amigo
pela última vez?
g) Luiz é funcionário de uma grande empresa. Ele é responsável pela
supervisão e montagem de ferramentas produzidas pelas máquinas. Ao
final do dia precisa fazer um relatório das peças prontas e das que
apresentaram defeitos. Utilizava-se de uma tabela para essa anotação:
Quadro 5 − Produção de peças de uma empresa
Dia Produção
Relatório peças prontas peças com defeitos Saldo Segunda +27 -32
Terça +34 - 8 Quarta +26 -24 Quinta +19 -21 Sexta +10 -28
Sábado +30 - 7
Fonte: A autora
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Considerou saldo a diferença entre a quantidade de peças prontas e
peças com defeitos, na produção semanal. Calcule o saldo diário, a partir
das anotações de Luiz e com esse dado.
Comentário Pedagógico
Após a atividade realizada, conferir com os alunos os resultados
encontrados. Em seguida, solicitar que façam a construção de um gráfico
de barras. Esse é o momento apropriado para sugerir que pode construí-lo
de diferentes formas: através do desenho, por meio de tiras de recortes,
utilizando das peças de um lego, etc.
Lembrar-lhes de colocar o título do gráfico, a fonte e outras informações
importantes para o seu esclarecimento.
Propor em seguida as questões relacionadas ao gráfico produzido:
• Agora faça uma análise do gráfico:
1. Foi uma semana com boa produção de peças sem defeito?
2. Em que dias dessa semana produziu-se mais peças
defeituosas?
h) Adilson estava com uma dívida de R$ 750,00. Como ele não conseguia
saldar a dívida, pois se encontrava desempregado, seus três filhos
resolveram assumi-la, dividindo-a igualmente entre si. Qual é a dívida que
cada filho assumiu?
i) Lídia precisava de um empréstimo no valor de R$ 940,00 e optou por
fazer dívidas de R$ 235,00 em diferentes bancos. Represente essa
situação usando números inteiros e descubra em quantos bancos ela
ficou devendo.
j) No gráfico, mostra-se o resultado (positivo ou negativo) de uma indústria
em cada bimestre de 2000.
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Figura 16 − Gráfico demonstrativo dos resultados (positivo ou negativo) de uma indústria Fonte: A autora (atividade adequada a partir de Imenes e lellis (2002;2006, p. 181, 6ª série).
I) Qual foi seu lucro médio?
Essa mesma indústria conta com dois sócios fundadores: Adriana, que
ingressou na sociedade com R$ 4.000,00, e Benedito, que ingressou com R$
6.000,00. A cada bimestre, eles dividem o lucro da empresa em partes proporcionais
aos capitais iniciais.
Lembrando que esses lucros podem ser positivos ou negativos, responda:
II) Qual foi o lucro de cada um no primeiro bimestre de 2000?
III) Qual foi o lucro de cada um no sexto bimestre de 2000?
K) De acordo com o significado numérico representado pelos quadrados,
encontre o valor de cada letra no gráfico a seguir:
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Figura 17 − Representação gráfica para atividade sobre situações-problemas Fonte: A autora (atividade adequada a partir de Imenes e lellis (2002;2006, p. 181, 6ª série).
6° Momento: Após a resolução dos problemas propostos, solicitar que os
alunos, expliquem como desenvolveram as atividades e que dificuldades
encontraram.
7° Momento: Aproveitar as considerações dos alunos para explicar pontos
frágeis percebidos no desenvolvimento das atividades e fazer as ligações
necessárias quanto a padrões e regularidades pertencentes ao conjunto
dos números inteiros relativos.
8° Momento: No caso das atividades que apresentaram o maior número de
dúvidas e erros, propor novas alternativas de atividades para que
aconteça o processo da diferenciação progressiva e integrativa das
informações.
9o Momento: Construir um dicionário matemático com as palavras novas
que surgiram durante as leituras e desenvolvimento das atividades.
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9.10 PROPOSTA 10 − REALIMENTANDO E AVALIANDO O CONHECIMENTO
SOBRE OS NÚMEROS INTEIROS
Objetivos
Para o professor
• Verificar a produção dos conhecimentos dos alunos acerca do conjunto
dos números inteiros;
• Diagnosticar dúvidas ou conhecimentos não elaborados pelo aluno no
conjunto Z;
• Realimentar os conteúdos que apresentam fragilidade de integração entre
os conhecimentos matemáticos;
Para o aluno
• Demonstrar, por meio das atividades propostas, a aquisição dos novos
conhecimentos;
• Realizar as atividades propostas sobre os números inteiros, sob as
representações solicitadas.
Justificativa
Durante todo o desenvolvimento das atividades haverá avaliação do
processo, de forma diagnóstica e formativa, e este é um momento importante e
indispensável de validação dos conhecimentos apresentados pelos alunos, definido
pelas etapas propostas pela teoria ausubeliana.
Considerações
Segundo Oliveira, é importante falar da avaliação no sentido da sua
dinâmica no processo educacional, por meio do seu aspecto "formativo" e "político",
por considerarmos tais aspectos fundamentais para o exercício da prática educativa.
73
Luckesi (1990 apud MAIA; COSTA, 2001) fala da necessidade de
contextualizar a avaliação a partir de uma visão de homem (ser humano) e
sociedade. Nessa contextualização, o professor revela sua postura política, que vem
determinar os objetivos e instrumentos da avaliação, a qual pode ser reprodutora ou
transformadora. Ou seja, o aspecto político do processo avaliativo deve ter como
objetivo promover a emancipação política e a autonomia crítica e criativa do
estudante.
1° Momento: Refletir com os alunos sobre o estudo que desenvolveram a
respeito dos números inteiros relativos.
2° Momento: Solicitar que se dividam em grupos de quatro alunos para
realizarem a atividade proposta, de acordo com suas inclinações próprias
para desenho, escrita, gráficos.
3° Momento: Distribuir as tarefas a cada grupo, em que cada equipe
desenvolverá atividades predeterminadas, tais como:
• Uma história em quadrinhos, relatando os conhecimentos adquiridos
sobre números inteiros;
• Um mapa conceitual de todas as relações realizadas com os números
inteiros;
• Um gráfico que apresente o conhecimento dos alunos, anterior ao
projeto e após o seu desenvolvimento com os números inteiros;
• Um relato de experiências produzidas pelos alunos com o
desenvolvimento do projeto acerca dos números inteiros relativos;
• A produção de desenho que represente situações e conexões
determinadas pelo estudo com os números inteiros.
Observação: Todas as atividades propostas estarão sendo orientadas e
mediadas pelo professor.
4° Momento: Exposição das atividades para a turma e considerações
necessárias à conclusão dos trabalhos.
5° Momento: Apresentação dos trabalhos para os professores e equipe
pedagógica, dentro das possibilidades do âmbito escolar.
6° Momento: Construir um dicionário matemático com as palavras novas
que surgiram durante as leituras e desenvolvimento das atividades.
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REFERÊNCIAS
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