O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

Versão Online ISBN 978-85-8015-037-7Cadernos PDE

2007

VOLU

ME I

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O Ensino das Geometrias Não-Euclidianas: uma prática

metodológica investigativa e reflexiva no Ensino Médio

Leoni Malinoski Fillos1

Reinaldo Francisco (orientador)2

Quem ensina aprende ao ensinar e quem aprende ensina ao

aprender...

Não há ensino sem pesquisa e pesquisa sem ensino...

Enquanto ensino, continuo buscando, reprocurando.

Ensino porque busco, porque indaguei, porque indago e me

indago.

Pesquiso para constatar, constatando, intervenho, intervindo

educo e me educo.

Pesquiso para conhecer o que ainda não conheço e comunicar

ou anunciar a novidade (Paulo Freire, 2006, p. 29).

Resumo

Este artigo pretende contribuir para o processo de ensino e aprendizagem da Geometria, em particular das Geometrias Não-Euclidianas, a partir de uma pesquisa realizada em uma turma de Ensino Médio. O estudo está inserido no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), implementado pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná. O objetivo do estudo foi investigar a própria prática pedagógica e desvelar os sentidos e significados que os alunos produzem no estudo das geometrias não-euclidianas. O aporte teórico sustenta-se na perspectiva do professor como pesquisador de sua própria prática e do professor reflexivo. Do ponto de vista metodológico, a investigação insere-se na modalidade de pesquisa qualitativa, especificamente em pesquisa-ação. Os instrumentos utilizados para a coleta de dados foram: diário de bordo, gravações em áudio das aulas, relatórios e observações em sala de aula. O processo dialógico estabelecido em sala de aula levou o aluno a descobrir, conjeturar, experimentar e estabelecer relações entre as diferentes geometrias e entre a Matemática e outras áreas do conhecimento.

Palavras-chave: geometrias não-euclidianas. prática investigativa. professor reflexivo. 1 Professora do ensino fundamental e médio, Colégio Estadual São Vicente de Paulo, Irati, PR, Brasil. E-mail:

leonimfillos@hotmail.com 2 Professor do Departamento de Matemática, Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO,

Guarapuava, PR, Brasil. E-mail: reinaldo@unicentro.br

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Abstract This article intends to contribute for the process of education and learning of Geometry, in particular of the Not-Euclidean Geometries, from a research carried through in a group of Average Education. The study he is inserted in the Program of Education Development (PDE), implemented for the State Secretary of the Education of the Paraná. The objective of the study was to investigate proper practical the pedagogical one and to discover the senses and meanings that the pupils produce in the study of the not-Euclidean Geometries. The teoric basis is based on the teacher perspective as a resercher of his own practice and the teacher reflexive. From a methodological point of view, the investigation insert itself on the modality of qualitative reserch, specificaly in research-action. The instruments used for the collection of data had been: target log book, writings in audio of the lessons, reports and comments in classroom. The established dialogic process in classroom took the pupil to discover, to conjecture, to try and to establish relations between the different geometrias and the Mathematics and other areas of the knowledge. Key words: non-euclidean geometries. practice investigation. reflexive teacher.

Introdução

O presente artigo apresenta os resultados de um estudo que buscou

contribuir para o processo de ensino e aprendizagem de Geometria, em particular

das geometrias não-euclidianas, a partir de aulas investigativas e reflexivas no

Ensino Médio.

O estudo está inserido no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE),

implementado pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná como modelo de

formação continuada. Esse Programa tem por objetivo possibilitar aos professores

da rede pública de ensino o aprofundamento teórico-metodológico da prática

pedagógica, com atividades que possibilitem estudos, participação em seminários,

cursos e elaboração e implementação de uma proposta de intervenção educativa na

escola de atuação.

A proposta deste estudo foi investigar o ensino e a aprendizagem das noções

de geometrias não-euclidianas no Ensino Médio. A escolha desse tema tem a ver,

de um lado, com a inserção desse conteúdo nas propostas das Diretrizes

Curriculares do Estado do Paraná e, de outro, com o anseio de se mostrar aos

alunos a importância desta parte da geometria.

O conteúdo geometrias não-euclidianas encontra-se praticamente ausente

dos livros didáticos e, tradicionalmente, não tem sido abordado nas aulas de

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Matemática, tanto em nível fundamental como em nível médio, salvo em raríssimas

exceções. Devido à carência de material de apoio, o ensino de tais geometrias

torna-se desafiador para o professor, que precisa buscar elementos tanto teóricos

como metodológicos para a abordagem desse assunto de maneira clara e

interessante para o aluno.

A importância do ensino das geometrias não-euclidianas na educação básica

está na necessária compreensão por parte do aluno, de que a geometria euclidiana

não é a única possível e praticável no mundo em que vivemos e que muitos

problemas do cotidiano do homem e do mundo científico são solucionados por

geometrias não-euclidianas. Neste sentido, o estudo de tais geometrias pode trazer

discussões importantes sobre concepção de verdade, rigor e consistência de

sistemas axiomáticos, bem como promover reflexões sobre pontos comuns entre o

discurso matemático e discursos de outras áreas do conhecimento.

O processo investigativo deste estudo esteve norteado pela questão: Numa

abordagem metodológica reflexiva, que saberes são produzidos no trabalho

pedagógico com geometrias não-euclidianas, a partir da realização e análise de

aulas investigativas em uma turma de Ensino Médio?

Na busca de respostas para tal questão, o estudo esteve adequado na

modalidade de pesquisa qualitativa com o uso de procedimentos e técnicas como

observação, gravações em áudio das aulas, entrevistas e diários de bordo. Dentro

da abordagem qualitativa, elegeu-se a pesquisa-ação como metodologia de

investigação, acreditando-se que a ação do professor no ambiente estudado,

provoca mudanças de significados e melhores resultados no processo de ensino e

aprendizagem.

Nesse sentido, foram tomados como objeto de estudo, aulas investigativas

em uma turma de 4ª série do Curso de Formação de Docentes para a Educação

Infantil e Séries Iniciais do Ensino Fundamental, curso integrado com o Ensino

Médio.

Essa proposta, além de suscitar uma releitura da geometria euclidiana, pode

levar o aluno a descobrir, conjeturar, experimentar e estabelecer relações entre as

diferentes geometrias e entre a Matemática e outras áreas do conhecimento como

História e Geografia. Tem o intuito também de oferecer aos professores da

Educação Básica subsídios práticos às aulas de Matemática, tanto no Ensino

Fundamental como no Ensino Médio.

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Assim, neste artigo, primeiramente realiza-se uma discussão sobre a

sustentação teórica da proposta. Para tanto, tem ênfase especial estudos de Ponte

(2002; 2006), Schön (1995), Pimenta (2005) e Perez (1999; 2004), na perspectiva do

professor como pesquisador de sua própria prática e do professor reflexivo.

Em seguida, são apresentados aspectos componentes do projeto

metodológico deste estudo, com a descrição sucinta do contexto no qual ocorreram

e os procedimentos adotados para análise dos dados. Ao final, discute-se a análise

e avalia-se a proposta.

Prática pedagógica investigativa e reflexiva

Nos últimos anos, a preocupação com a formação de professores que

ensinam Matemática tem levado diversos pesquisadores, de distintas partes do

mundo, a perceber o professor como elemento crucial para que necessárias

transformações ocorram tanto no âmbito de sala de aula, de escola e de sociedade.

Se antes o professor de Matemática era visto como um simples transmissor

de conteúdos e executor de propostas produzidas por estudiosos, hoje este

profissional tem a missão muito maior do que somente gerenciar o processo de

ensino-aprendizagem. Além de garantir aos alunos o acesso ao conhecimento

sistematizado historicamente e os atributos necessários para que o estudante tenha

condições de descrever e interpretar fenômenos matemáticos e de outras áreas, o

professor não pode perder de vista a formação de um cidadão crítico, criativo e

capaz de agir com autonomia nas suas relações sociais.

Neste sentido, propõe-se atualmente que o ensino de Matemática esteja

pautado nos fundamentos teórico-metodológicos da Educação Matemática. Ou seja,

que o processo pedagógico dessa disciplina propicie ao aluno o acúmulo de

conhecimentos matemáticos e, ao mesmo tempo, desenvolva valores e atitudes de

segurança, investigação e reflexão, contribuindo, destarte, para uma formação mais

integral, humana e crítica do estudante.

O fazer pedagógico, nesta perspectiva, assume novos significados e exige-se

do professor um redimensionamento de sua prática. É necessário, assim, “um

professor interessado em desenvolver-se intelectual e profissionalmente e em refletir

sobre sua prática para tornar-se um educador matemático e um pesquisador em

contínua formação” (PARANÁ, 2006, p. 24).

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É nesta linha de pensamento que o desenvolvimento profissional do professor

pesquisador e a prática reflexiva tem se estabelecido como uma tendência

significativa nos estudos no campo da Educação Matemática. São estudos que

partem do pressuposto de que os professores produzem na prática, saberes sobre

matemática escolar que se transformam continuamente, principalmente quando os

professores realizam uma prática reflexiva e/ou investigativa (FIORENTINI &

LORENZATTO, 2006). Dentre estes estudos, destacam-se as contribuições da

literatura portuguesa, em especial do pesquisador João Pedro da Ponte, que vem

compondo uma relevante bibliografia sobre o assunto.

Para Ponte (2002), o ensino da Matemática é uma atividade intelectual,

política e de gestão de pessoas e recursos que demanda dos professores um exame

contínuo do seu contexto de trabalho e da sua relação com a comunidade escolar:

alunos, colegas e pais. É, portanto, uma atividade humana que exige do professor a

exploração constante de sua prática educativa e a permanente avaliação e

reformulação dessa prática. Nas palavras do autor:

[...] uma participação activa e consistente na vida da escola requer que o professor tenha uma capacidade de argumentar as suas propostas. A base natural para essa actuação tanto na sala de aula como na escola, é a actividade investigativa, no sentido de actividade inquiridora, questionante e fundamentada (PONTE, 2002, p. 02).

Ponte (2002) assinala que todo o bom professor desenvolve sua função ao

mesmo tempo em que questiona as razões subjacentes às suas decisões

educativas, ou seja, reflete sobre as conquistas e insucessos; critica as propostas

didáticas vigentes e discute sobre se a função social da escola está sendo realizada.

No entender do autor, o professor, ao pesquisar sua própria prática, além de

contribuir para o conhecimento sobre os problemas educativos que permeiam o

cotidiano escolar, assume-se como autêntico protagonista no campo curricular e

profissional, tendo, portanto, mais meios para enfrentar os problemas da prática.

Desse modo, as ações do professor estão voltadas para dois objetivos

principais: para a alteração de algum aspecto da prática, depois de detectada a

necessidade de mudança, e para a compreensão da natureza dos problemas que

afetam essa mesma prática (PONTE, 2002).

Assim, o professor que se assume como investigador de seu fazer

pedagógico tem mais subsídios para compreender os problemas com que se

defronta em sua prática. Consegue perceber os porquês do insucesso de

determinada metodologia, as causas das dificuldades dos alunos na aprendizagem

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dos conteúdos, os motivos da indisciplina em sala de aula, o fracasso na avaliação,

dentre outros problemas que afligem docentes e discentes nas aulas de Matemática.

Uma vez percebidos os problemas, o professor pesquisador busca soluções

para eles, seja mudando a forma de conduzir suas aulas com diferenciadas

abordagens metodológicas para tratar os conteúdos, seja buscando estratégias de

ação para atender as especificidades dos alunos. O professor busca, desse modo,

transformar a sua prática e as suas condições de trabalho, apropriando-se de

elementos que permitem melhor entender o processo de aprendizagem dos

estudantes, seus ritmos e suas limitações, garantindo, por conseqüência, maior

aproximação com seus alunos.

Conforme indica Demo (2000), não se trata de transformar os professores em

pesquisadores profissionais. Trata-se de reforçar a competência profissional do

professor, habilitando-o a usar a pesquisa como uma forma, entre outras, de lidar

com os problemas com que se defronta:

Educar pela pesquisa tem como condição essencial primeira que o profissional da educação seja pesquisador, ou seja, maneje a pesquisa como princípio científico e educativo e a tenha como atitude cotidiana. Não é o caso fazer dele um pesquisador “profissional”, sobretudo na educação básica, já que não a cultiva em si, mas como instrumento principal do processo educativo. Não se busca um “profissional da pesquisa”, mas um profissional da educação pela pesquisa. (Demo, 2000, p. 2)

Para Mousley (1997, apud Ponte, 2002), a investigação sobre a prática é

uma atividade exigente, pois envolve um nível de pensamento diferente da simples

aprendizagem a partir da experiência. Ao contrário da simples troca de experiências,

a investigação sobre a prática põe em conflito a cultura instituída da escola e

ameaça as hierarquias e papéis tradicionais, uma vez que pode contagiar a sala de

aula, a escola e mesmo a comunidade.

Paulo Freire, em sua notável obra Pedagogia da Autonomia, faz alusão

também à importância da pesquisa na prática docente. Para o autor, pesquisa e

professor são alicerces inseparáveis para o ensino. No fazer educativo, o professor

tem a possibilidade de aprofundamento sobre questões de natureza prática,

epistemológica, filosófica e políticas e, portanto, tem a perspectiva de produção do

conhecimento sobre a prática educativa. A pesquisa, para Freire, deve ser o eixo

fundamental não somente na formação inicial como na formação continuada de

professores, pois ensinar exige pesquisa. Em suas palavras,

[...] o que há de pesquisador no professor não é uma qualidade ou forma de ser ou de atuar que se acrescente à de ensinar. Faz parte da natureza da prática docente a indagação, a

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busca, a pesquisa. O de que se precisa é que, em sua formação permanente, o professor se perceba e se assuma, porque professor, como pesquisador (FREIRE, 2006, p. 29).

Como professor pesquisador entende-se, desta forma, como alguém que está

sempre procurando interpretar o que acontece em sua sala de aula e na sua escola,

no sentido de compreender a relação entre as propostas curriculares, suas ações e

a aprendizagem dos alunos. Tal profissional está sempre em busca de novas

maneiras de se ensinar um conteúdo e presta mais atenção às estratégias de

solução adotadas pelos alunos (POLETTINI, 1999).

Uma noção que muito se aproxima do conceito de professor pesquisador é a

do professor reflexivo. Na verdade, não se pode conceber alguém que faça pesquisa

sobre a prática e não seja reflexivo. Também não basta certamente ser reflexivo

para se fazer pesquisa.

Para Perez (2004, p. 252),

A reflexão é vista como um processo em que o professor analisa sua prática, compila dados, descreve situações, elabora teorias, implementa e avalia projetos e partilha suas idéias com colegas e alunos, estimulando discussões em grupo.

Um dos grandes precursores da idéia de ensino reflexivo é o americano

Donald Schön, que propõe uma formação docente baseada na valorização da

prática profissional como momento de construção de conhecimento através da

reflexão.

Schön (1995, p. 83) propõe que processo de reflexão sobre a prática seja

desenvolvido e adquirido em dois momentos: a reflexão na ação e a reflexão sobre a

ação.

A reflexão na ação se refere aos processos de pensamento que ocorre

durante o desenvolvimento da experiência, permitindo ao professor identificar os

problemas que surgem durante a ação e, após detectados, promover mudanças no

curso da intervenção.

Já a reflexão sobre a ação ocorre num momento posterior à intervenção,

quando o professor faz uma pausa e repensa sobre as situações vividas em sua

prática, descrevendo e objetivando as etapas.

A reflexão na e sobre a ação, conforme indica Geraldo Perez (2004)

apoiando-se nos trabalhos de Schön, são dois momentos basilares na prática

pedagógica para que o professor conquiste sua autonomia e se torne um membro

atuante no ambiente escolar. Conforme Zeichner (1993) apud Perez (1999),

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[...] os professores que não refletem sobre o seu ensino aceitam naturalmente esta realidade quotidiana das suas escolas, e concentram os seus esforços na procura de meios eficazes e eficientes para atingirem seus objetivos e para encontrarem soluções para os problemas que os outros definiram no seu lugar. Os professores não reflexivos aceitam automaticamente o ponto de vista normalmente dominante numa dada situação (p. 273). Assim, é fundamental que o professor incorpore a reflexão no seu fazer

pedagógico para que seja capaz de tomar decisões e faça da sala de aula um

espaço de transformação, deixando de ser um simples executor para assumir o seu

papel de profissional investigador, crítico e conceptor (PEREZ, 1999).

Perez (1999) salienta ainda que as transformações que se fazem necessárias

na Matemática só serão possíveis se os profissionais envolvidos com o ensino da

disciplina assumirem um intenso compromisso com os alunos, com a escola e com a

comunidade onde ela está inserida. Além disso, precisam adotar uma cultura de

trabalho colaborativo e de partilha de saberes, estando sempre imersos em um

processo de formação.

Selma Garrido Pimenta (2005) também vem se debruçando em estudos que

evidenciam a valorização da pesquisa na ação dos professores e da prática

reflexiva, apontando para a fertilidade da articulação da teoria à prática no

desenvolvimento profissional docente. Para a autora, há sempre um diálogo do

conhecimento pessoal com a ação. A teoria, no seu entender, além de seu poder

formativo, nutre os sujeitos (professores) de pontos de vista variados para uma ação

contextualizada, oferecendo perspectivas de análise para a compreensão dos

contextos históricos, sociais, culturais, organizacionais e de si mesmos como

profissionais.

Neste sentido, quando um professor pesquisa sobre suas ações, está num

processo de reflexão/ação, faz de sua sala de aula um laboratório e busca aliar, no

seu fazer pedagógico, a teoria à prática (e vice-versa). Percebe-se, assim, como um

eterno estudante, em constante aprofundamento das bases teórico-metodológicas

de sua disciplina e da Educação de uma forma ampla. Como salienta Amaral et al.

(1996),

O modelo de ensino reflexivo permite a interação harmoniosa entre a prática e os referentes teóricos. Uma prática reflexiva leva à (re)construção de saberes, atenua a separação entre teoria e prática e assenta na construção de uma circularidade em que a teoria ilumina a prática e a prática questiona a teoria (p. 99).

Essa relação entre teoria e prática pressupõe que o professor é também

produtor de conhecimentos, na medida em que elabora saberes a partir de sua

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experiência. O processo reflexivo consiste, assim, na análise da prática do professor

no intuito de se buscar a compreensão das formas pelas quais este profissional

enfrenta a complexidade da sala de aula, utiliza as ferramentas teóricas e reconstrói

estratégias, procedimentos e recursos. E, em suas ações, certamente procura dar

maior atenção ao pensamento e atuação de seus alunos, dando-lhes voz e agência

na sua própria aprendizagem. Conforme escrevem Beatriz e Ubiratan D’Ambrósio

(s/d, p. 09):

Entendemos o professor-pesquisador como aquele que encara a pesquisa como o ato de construir novas idéias e entendimentos, ou seja, uma ação que resulta em aprendizagem. A pesquisa pode gerar nova compreensão sobre a matemática de seus alunos, sobre a realidade de sua sala de aula, sobre a sua prática pedagógica, sobre a qualidade de seu currículo, sobre a matemática em si, ou sobre a aprendizagem matemática.

Desse modo, a investigação e a reflexão sobre a própria prática docente,

aliada à participação no projeto político pedagógico da escola, constitui, atualmente,

um elemento determinante da identidade profissional dos professores.

Independente de área específica de conhecimento, linha teórica e/ou proposta pedagógica adotada, (assumida individual ou coletivamente), nível de ensino e tipo de escola em que atua, o professor é o principal mediador entre os conhecimentos socialmente construídos e os alunos. É ele, igualmente, fonte de modelos, crenças, valores, conceitos e pré-conceitos, atitudes que constituem, ao lado do conteúdo específico da disciplina ensinada, outros tipos de conteúdos por ele mediados (MIZUKAMI, 1996, apud PEREZ, 2004. p. 259).

Diante desta gama de atribuições, o professor precisa estar imerso no mundo

cultural, social e político e deve buscar conhecimentos que extrapolem as fronteiras

de sua disciplina. Em sala de aula deve ter uma postura de pesquisador e estar em

constante reflexão na prática e sobre ela, fazendo uso de metodologias que

contemplem aspectos sociológicos, psicológicos e pedagógicos, procurando

relacionar Matemática e sociedade (PEREZ, 2004).

Assim, na perspectiva de uma prática reflexiva e investigativa, neste estudo

buscou-se analisar que conhecimentos são produzidos em aulas de Matemática, na

abordagem do conteúdo geometrias não-euclidianas, a partir de aulas investigativas

em uma turma de Ensino Médio.

Descrição do trabalho em sala de aula

A implementação da proposta em sala de aula ocorreu nos meses de maio e

junho de 2008, sendo tomadas para análise 15 aulas. O principal material de apoio

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para o desenvolvimento do trabalho foi o material didático Folhas3, elaborado pela

professora pesquisadora e discutido previamente à implementação por um grupo de

professores de distintas regiões do Paraná, em um ambiente virtual

Nas aulas, à medida que as atividades foram sendo desenvolvidas,

apresentavam-se aos alunos fragmentos desse material. O Folhas, portanto, não foi

apresentado integralmente no início do trabalho.

A coleta de dados se deu a partir da observação direta das atitudes e reflexões

dos alunos em sala de aula, gravações em áudio das aulas, relatório diário das

atividades desenvolvidas e entrevistas com os alunos.

Vale destacar que antes do início da implementação da proposta em sala de

aula, o projeto e a metodologia de trabalho foram apresentados e discutidos com os

alunos da turma. Foram expostos os objetivos do projeto, a forma de registro dos

dados, a importância da efetiva participação da turma e os instrumentos que seriam

utilizados para a avaliação. Deixou-se claro aos alunos que eles seriam avaliados

pela participação nas atividades em sala de aula, nas pesquisas extra classe, por

meio de observação diária e com a apresentação de um trabalho final às outras

turmas da escola.

A seqüência das atividades propostas e os resultados estão descritos a seguir.

Provocando os sujeitos da pesquisa

A investigação sobre o ensino e aprendizagem de noções de geometrias não-

euclidianas teve início a partir de uma situação problematizadora, adaptada de

Lampareli et al. (1975, p.21), que foi apresentada à turma no intuito de mobilizar os

alunos para o estudo do conteúdo proposto. Esta situação problematizadora, que

provocou uma acalorada discussão entre os alunos, foi a seguinte:

Partindo de um certo ponto da Terra, um caçador andou 10 Km

para Sul, 10 Km para Leste e 10 Km para Norte, voltando assim ao

ponto de partida. Aí encontrou um urso. Qual a cor do urso?

Os alunos, distribuídos em duplas, fizeram conjecturas, analisaram e discutiram

possibilidades de diversos caminhos. Também questionaram sobre importância da

3 Programa de formação continuada dos profissionais da educação no Paraná que propõe uma metodologia específica de produção de material didático, voltado a alunos da educação básica.

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cor do urso e trocaram idéias sobre os pontos cardeais e colaterais, representando a

situação em desenho, conforme alguns exemplos a seguir, feitos pelos alunos:

Os alunos consideraram que, na situação proposta, o caçador não poderia

voltar ao ponto de partida, a menos que andasse na diagonal, na hipotenusa de um

triângulo retângulo. Uma aluna sugeriu que o caçador poderia ter andado em círculo

e outro aluno argumentou sobre a falta de dados no problema.

Constatou-se que a turma ficou ansiosa pela resposta do problema e diversos

alunos solicitaram à professora, a solução imediata da questão. Entretanto, para

aguçar ainda mais a curiosidade, foi dito à turma que se trata de uma situação que

envolve o estudo de uma geometria ainda desconhecida por eles e que estariam

estudando nas aulas seguintes e descobrindo, portanto, a resposta da questão.

Propôs-se, então, aos alunos que buscassem a solução do problema por meio de

pesquisa.

A situação proposta para dar início à investigação vem de encontro às

discussões no campo da Educação Matemática que evidenciam a necessidade de

se adequar o trabalho escolar às tendências metodológicas para melhor se ensinar e

se aprender Matemática. Tais discussões indicam que os conteúdos ganham maior

significado para o aluno se forem abordados a partir da resolução de problemas.

De acordo com Vianna (2000, p. 02), criar um problema para o aluno é

“despertar o seu ‘desejo’: o sujeito precisa ter interesse, precisa estar seduzido pela

questão, precisa ter necessidade de chegar a uma resposta para que se tenha um

problema”.

Nesse sentido e conforme as observações em sala de aula, constatou-se que

nessa atividade inicial proposta, o objetivo foi atingido, pois os alunos foram

provocados a estudar e mostraram-se interessados para a aprendizagem de

geometrias não-euclidianas.

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Pesquisando sobre Euclides

Após a turma ter sido mobilizada com o problema inicial, o estudo passou a

ser desenvolvido pelo viés da História, procurando-se vincular as descobertas

matemáticas às circunstâncias sociais, políticas e filosóficas que determinaram o

aparecimento das geometrias não-euclidianas. Para tanto, os alunos realizaram

primeiramente uma pesquisa bibliográfica sobre a vida e obra de Euclides,

procurando situar os fatos no espaço geográfico e no tempo histórico.

A partir da pesquisa, que foi realizada em livros e pela Internet, foi solicitado

para que os alunos elegessem algumas palavras-chaves extraídas de seus

trabalhos de tal maneira que houvesse alguma homogeneidade no que

pesquisaram. Após um rápido debate, os alunos escreveram as seguintes palavras

no quadro de giz: cidade de Alexandria, Biblioteca de Alexandria, Os Elementos,

axiomas e postulados. Cada uma dessas palavras-chave passou, então, a ser

discutida com a turma.

Com o auxílio de um mapa-múndi, os alunos puderam situar a cidade de

Alexandria e, por meio de pesquisa na Internet, coletaram mais informações sobre a

cidade expondo em seguida para seus colegas, em plenária na sala de aula, os

dados coletados. O fator preponderante da pesquisa sobre Alexandria foi a

existência na cidade da famosa Biblioteca, onde Euclides desenvolveu seus estudos

e organizou, por volta de 300 a.C., os conhecimentos geométricos existentes até a

época, na obra intitulada Os Elementos.

Desse modo, os alunos fizeram uma incursão pela história e puderam

compreender o contexto que originou a chamada geometria euclidiana. É importante

destacar que neste trabalho de pesquisa, o recurso da Internet foi um potencial

apoio às aulas, pois facilitou o rápido acesso às informações, favoreceu a

interdisciplinaridade e promoveu a interação entre os alunos e entre professora e

alunos. Os alunos puderam navegar na Internet no laboratório de informática

existente no Colégio e se mostraram muito interessados e envolvidos no trabalho, o

que corrobora com as colocações de Moran (1997):

A Internet é uma tecnologia que facilita a motivação dos alunos, pela novidade e pelas possibilidades inesgotáveis de pesquisa que oferece. Essa motivação aumenta, se o professor a faz em um clima de confiança, de abertura, de cordialidade com os alunos. Mais que a tecnologia, o que facilita o processo de ensino-aprendizagem é a capacidade de comunicação autêntica do professor, de estabelecer relações de confiança com os seus alunos, pelo equilíbrio, competência e simpatia com que atua. [...] A facilidade de, digitando duas ou três palavras nos serviços de busca, encontrar múltiplas respostas para qualquer

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tema é uma facilidade deslumbrante, impossível de ser imaginada há bem pouco tempo. (MORAN, 1997) Entretanto, alguns problemas em relação ao comportamento dos alunos

foram verificados, tais como: a fácil dispersão diante dos aplicativos da Internet, a

tendência em quantificar mais do que analisar e a impaciência de muitos por mudar

de um endereço para outro, sem aprofundar as possibilidades que há em cada

página encontrada. Esses obstáculos, porém, não se tornaram empecilho para o

bom desenvolvimento da aula, uma vez que é perfeitamente compreensível que os

adolescentes fiquem deslumbrados diante de um recurso como da Internet, pouco

utilizado e explorado na escola.

Após o trabalho de busca na Internet, os alunos relataram aos colegas o que

encontraram de mais significativo em suas pesquisas, momento que se configurou

como de socialização e de discussão sobre a vida e os trabalhos do matemático

Euclides de Alexandria.

Esta etapa da investigação foi muito produtiva. Os alunos se mostraram

bastante empolgados na busca de dados e, a grande maioria, sentia-se à vontade

para expor suas idéias. A turma, entretanto, estranhou a natureza do trabalho, ou

seja, a ausência de cálculos matemáticos nas aulas.

Explorando as definições, os axiomas e os postulados

Na apresentação oral da pesquisa realizada sobre Euclides, os alunos

comentaram que não haviam entendido a diferença entre definição, axioma e

postulado, conforme aparece na obra Os Elementos. Por este motivo, na aula

seguinte o assunto foi retomado, sendo utilizada uma metodologia em que os alunos

pudessem eles mesmos perceber as diferenças, investigando e formulando

hipóteses.

Para tanto, cada aluno recebeu três fichas nas quais estavam enunciadas

algumas definições (na primeira ficha), os nove axiomas (na segunda ficha) e os

cinco postulados (na terceira ficha), retiradas do trabalho de tradução de uma versão

do grego de Os Elementos, realizada por Irineu Bicudo (2001).

Das cento e dezoitos definições enumeradas por Euclides foram

apresentadas somente as quatro abaixo descritas:

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Ficha 1 – DEFINIÇÕES DE EUCLIDES

• Um ponto é aquilo de nada é parte.

• E linha é comprimento sem largura. As extremidades da linha são pontos.

• Linha reta é a que jaz, por igual, com seus pontos sobre si mesma.

• E superfície é o que tem, somente, comprimento e largura. As extremidades

de uma superfície são linhas.

Os alunos consideraram as definições muito vagas e discutiram sobre o que

os conceitos apresentados significavam para a época de Euclides, ou seja, há mais

de vinte séculos. Em seguida, buscaram no dicionário a palavra definição e

observaram que as idéias são adversas, uma vez que de acordo com Aurélio (1996),

definição significa: “ato de definir, explicação clara e breve, decisão em assunto

duvidoso”. Os alunos argumentaram que nas definições de Euclides há falta de

clareza nas afirmações.

Depois das discussões sobre as definições, os alunos receberam a ficha na

qual estavam enumerados os nove axiomas de Euclides e em grupos conjeturaram

sobre eles, propondo exemplos:

Ficha 2 – AXIOMAS DE EUCLIDES

1º) As coisas iguais à mesma coisa também são iguais entre si.

2º) E, caso coisas sejam adicionadas a coisas iguais, os todos são iguais.

3º) E, caso coisas iguais sejam subtraídas de coisas iguais, as restantes são iguais.

4º) E, caso coisas iguais sejam adicionadas a desiguais, os todos são desiguais.

5º) E, os dobros da mesma coisa são iguais entre si.

6º) Também as metades da mesma coisa são iguais entre si.

7º) E as coisas que se ajustam uma sobre a outra são iguais entre si.

8º) E o todo é maior do que a parte.

9º) E, duas retas não contêm uma área.

Percebeu-se uma certa frustração dos alunos em relação aos axiomas, pois

consideraram as afirmações extremamente óbvias mesmo para a época de

Euclides. Uma aluna até mesmo fez o seguinte comentário: “Esse Euclides está

perdendo a moral com a gente, professora!” Um grupo procurou exemplificar os

axiomas a partir de caixas de leite tetrapack. Outro grupo utilizou folhas de papel

sulfite e outro ainda utilizou gizes.

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Em seguida, os alunos receberam a terceira ficha contendo os cinco

postulados de Euclides, dos quais deveriam fazer representações geométricas em

uma folha de papel, utilizando régua e compasso:

Ficha 3 – POSTULADOS DE EUCLIDES

1º) De qualquer ponto pode-se conduzir uma reta a qualquer ponto dado.

2º) Toda reta limitada pode ser prolongada indefinidamente em linha reta.

3º) Com qualquer centro e qualquer raio pode-se descrever um círculo.

4º) Todos ângulos retos são iguais.

5º) Se uma reta, cortando duas outras, forma ângulos interiores de um mesmo lado

menores que dois ângulos retos, então as duas retas, se prolongadas

indefinidamente, encontrar-se-ão na parte em que os ângulos são menores que dois

retos.

Após terem realizado a atividade, foi discutido com a turma sobre a diferença

entre definições, axioma e postulado para Euclides. Os alunos concluíram que as

definições não têm rigor lógico e estabelecem o significado de alguns conceitos

fundamentais. Já os axiomas se referem às noções mais generalizadas da

Matemática, sendo comuns a todos os campos de estudo. Os postulados, por sua

vez, fazem referência a conceitos específicos da geometria.

Foi dito aos alunos que os axiomas e postulados são afirmações evidentes,

aceitas sem demonstração e formam a base da geometria, pois a partir deles todas

as outras propriedades são demonstradas. Também foi comentado que hoje em dia

a distinção entre eles não é tão acentuada como na obra Os Elementos. Aproveitou-

se o momento e falou-se sobre os teoremas que para serem aceitos devem ser

demonstrados. Imediatamente alguns alunos lembraram do teorema de Pitágoras,

conteúdo do qual foi realizada uma rápida retomada.

Sobre a representação geométrica dos postulados, percebeu-se que os

alunos não encontraram dificuldade quanto aos quatro primeiros e que os entraves

apareceram na representação do 5º postulado:

Se uma reta, cortando duas outras, forma ângulos interiores de um mesmo lado menores

que dois ângulos retos, então as duas retas, se prolongadas indefinidamente, encontrar-

se-ão na parte em que os ângulos são menores que dois retos.

16

Os alunos concordaram que este postulado não se apresenta evidente como

os demais e questionaram sobre o conceito de ângulos interiores e se as duas retas

enunciadas são paralelas. Um aluno interferiu dizendo que se prolongarmos duas

retas e estas se encontrarem, elas não podem ser paralelas.

O trabalho se desenvolveu, durante o tempo todo, através da exploração e

investigação, procurando-se articular as várias falas em um processo de negociação

de significados, estabelecido entre alunos e alunos e entre alunos e professora. A

discussão foi muito rica, cheia de idas e vindas, tornando o universo da sala de aula

um espaço dialógico e de troca de idéias. Esta forma de trabalho pedagógico vem

de encontro com o que propõem Ponte et all (2006, 23):

Na disciplina de Matemática, como em qualquer outra disciplina escolar, o envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental de aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo. Esse é, precisamente, um dos aspectos das investigações. Ao requerer a participação das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu envolvimento na aprendizagem.

Acredita-se, assim, que na implementação da proposta deste trabalho com as

geometrias não-euclidianas, o aluno foi chamado a agir não somente na formulação

de questões e conjecturas, mas também na discussão e argumentação com seus

colegas e com a professora. Procurou-se valorizar as intervenções dos alunos,

dando-lhes tempo para questionar, pensar e exprimir suas idéias. E isto, certamente,

facilitou o bom desenvolvimento das aulas.

Trabalhando o “Quinto de Euclides”

Considerando que a proposta era a investigação do ensino e aprendizagem

das geometrias não-euclidianas a partir da História da Matemática, desenvolveu-se,

na aula seguinte, um trabalho sobre alguns estudos em torno do 5º postulado,

realizados por importantes matemáticos no século XVIII e XIX, que culminaram no

surgimento das geometrias não-euclidianas.

Para dar início a essa abordagem histórica, comentou-se que o 5º postulado é

também conhecido como “Quinto de Euclides” ou “Postulado das Paralelas”, apesar

de não conter a palavra paralela. Também foi explicado que este postulado

despertou a atenção de diversos matemáticos e filósofos por mais de dois mil anos

em várias tentativas de demonstração e que foi escrito de formas diferentes por

vários estudiosos. Dentre essas diferentes formas, apresentou-se a que mais se

17

encontra nos livros e que é conhecida por “Postulado de Playfair”, devido ao

matemático John Playfair (1748 – 1819), assim enunciado:

“Por um ponto P fora de uma reta r, não se pode traçar mais que uma

reta paralela à reta dada”.

Apresentado o substitutivo do Quinto de Euclides, foi solicitado aos alunos

que o representassem geometricamente em uma folha de papel. Dessa vez não

tiveram dificuldades na representação, tendo em vista que a linguagem é de fácil

compreensão.

Após representarem geometricamente, os alunos verificaram a veracidade do

postulado, pois não puderam traçar mais do que uma reta paralela à reta dada.

Questionaram, porém, o porquê deste postulado ter despertado a atenção de

estudiosos por mais de vinte séculos.

Foi explicado à turma que o problema estava no prolongamento de retas ao

infinito, ou seja, na questão da indeterminação e que para os gregos, o infinito era o

mesmo que indeterminado e isto representava um obstáculo em seus estudos.

Em seguida, foram expostas no quadro de giz as imagens de quatro

matemáticos - respectivamente Gauss, Lobachevski, Bolyai e Riemann - que

estudaram o “Postulado das Paralelas” e chegaram a conclusões mais avançadas a

respeito de uma nova geometria, diferente da de Euclides. Passou-se, assim, a

explanação sobre aspectos da vida e das obras desses matemáticos e, por

conseguinte, sobre o surgimento das geometrias não-euclidianas.

O estudioso trabalhado inicialmente foi Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), o

primeiro a admitir a existência de uma outra geometria diferente da euclidiana. Foi

explicado aos alunos que este matemático dedicou mais de trinta e cinco anos de

sua vida estudando o postulado de Euclides, mas temendo críticas, nada publicou

sobre suas descobertas a respeito da nova geometria. Foram explorados alguns

aspectos sobre a vida e sobre a importância dos trabalhos de Gauss para as

Ciências.

Em seguida passou-se à exposição sobre o segundo matemático, o russo

Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1793 – 1853), o primeiro a publicar, em 1926, sobre

uma nova geometria, negando o postulado de Euclides. Apresentou-se à turma o

substitutivo do “Quinto de Euclides” enunciado por Lobaschevski:

18

“Por um ponto P fora de uma reta r, existem pelo menos duas linhas que

passam por P e são paralelas a r”.

Percebeu-se que os alunos ficaram bastante interessados na explanação

sobre o matemático, porém ficaram confusos, dizendo que de acordo com a

representação geométrica que haviam feito, não era possível traçar mais de uma

reta paralela à reta r que passasse pelo ponto P.

A inquietação na turma aumentou ainda mais quando foi feito um relato sobre

a vida e as obras do terceiro matemático: Janos Bolyai (1802- 1860). Foi dito aos

alunos que Janos era filho de um outro matemático, Farkas Bolyai, que também

estudou a questão das paralelas, mas não obteve sucesso.

Foi relatado que, segundo o escritor Carl Boyer, o pai de Bolyai quando soube

dos estudos de seu filho, havia lhe escrito: “Pelo amor de Deus, eu lhe peço, desista!

Tema tanto isso quanto as paixões sensuais porque isso também pode tomar todo

seu tempo, e privá-lo de sua saúde, paz de espírito, e felicidade na vida!”. Esta

passagem despertou bastante interesse dos alunos que admitiram que o “Postulado

de Euclides” era mesmo um tormento para os matemáticos. Percebeu-se assim, que

trazer à tona passagens curiosas da História da Matemática é um incremento a mais

nas aulas, pois quebra a rotina e cria em momentos de descontração na sala de

aula.

Sobre Janos Bolyai, foi dito ainda à turma que suas conclusões sobre uma

geometria não-euclidiana, publicadas em 1932, são semelhantes às de Lobachevski.

Bolyai substituiu o postulado das paralelas pela hipótese:

“Por um ponto P fora de uma reta r, podem ser traçadas infinitas retas,

cada uma paralela à reta dada”.

Foi explanado aos alunos que Bolyai não fora reconhecido por seus estudos e

por ter sido privado da prioridade sobre a descoberta de uma nova geometria, nada

mais publicou. Os méritos foram dados à Lobachevski. Hoje, entretanto, a nova

geometria descoberta por esses matemáticos recebe o nome de “geometria de

Lobachevski/Bolyai”.

Por fim, foi trabalhado o quarto matemático: o alemão Georg Friedrich

Bernhard Riemann (1826 – 1866) e foi apresentada sua hipótese a respeito do

postulado das paralelas:

19

“Por um ponto P fora de uma reta r, não existe nenhuma linha que passe

por P e seja paralela a r”.

Percebeu-se após a explanação sobre as diferentes hipóteses para o “Quinto

de Euclides”, que a turma ficou bastante ansiosa. Argumentavam que não eram

possíveis três conclusões tão diferentes e que somente um deveria estar certo. A

aula foi finalizada com a interrogação: Qual hipótese lhe parece verdadeira? Foi

solicitado aos alunos, como tarefa de casa, que pesquisassem mais sobre os

matemáticos discutidos naquela aula.

Após a realização da explanação sobre os quatro matemáticos que

influenciaram os rumos da Geometria, acredita-se que houve uma inversão na

seqüência das atividades. Apesar dos alunos terem se mostrado bastante

compenetrados na aula, o trabalho poderia ter sido mais rico e envolvente, se ao

invés da professora pesquisadora ter apresentado as conclusões dos estudiosos, os

alunos tivessem feito uma pesquisa prévia sobre o assunto e não posterior à

apresentação da professora. Devido ao desconhecimento do tema, os alunos

mantiveram-se calados durante a aula e não puderam argüir a respeito dos dados

apresentados.

Assim, refletindo sobre a prática adotada, conclui-se que é de suma

importância a participação do aluno na aula. Não se pode conceber mais o aluno

como um ser passivo, receptor de conhecimentos transmitidos pelo professor. O

aluno deve ter abertura para expor suas opiniões, verbalizar o que pensa,

representar matematicamente suas idéias e argumentar sobre o tema proposto. Por

isso, é necessário que o professor estimule a prática da pesquisa, instigue para a

busca do conhecimento e, mais do que falar, ouça seus alunos. O ato de pesquisar

deve ser uma prática constante em sala de aula e o elemento chave para o

desenvolvimento dos conteúdos, pois possibilita a ampliação dos caminhos que se

deseja trilhar.

Na outra aula, que foi no dia seguinte, verificou-se que poucos alunos haviam

coletado dados sobre os matemáticos e justificaram o pouco tempo e a falta do

recurso da Internet em suas casas. Os alunos que fizeram a pesquisa relataram a

seus colegas o que encontraram sobre Gauss, Lobachevski, Bolyai e Riemann e

assim retomou-se o assunto, agregando-se mais dados sobre os matemáticos.

Retomou-se também a questão levantada sobre a veracidade das hipóteses

sobre o postulado das paralelas: de Euclides, de Lobachevski/Bolyai e de Riemann.

20

Verificou-se que, para os alunos, a hipótese mais aceita era a de Euclides, pois

estavam presos ao que haviam aprendido em geometria nas séries anteriores.

Mostravam-se, porém, curiosos, pois sabiam que se tratava de uma outra geometria.

Trabalhando com materiais manipuláveis

Na intenção de que os alunos percebessem a diferença básica entre as três

geometrias (de Euclides, de Lobachevski/Bolyai e de Riemann) foram coletados

alguns materiais concretos com diferentes formas geométricas para serem

trabalhados em sala de aula. Dentre esses materiais, havia diversos tipos de

embalagens (caixas, latas), pirâmides, bolas de isopor e de futebol, chapeuzinhos de

aniversário, laranja, alguns materiais da sala como livro, apagador e outros com

formas diferentes como trombeta, lâmpada, chuveiro, vaso e embalagens de

formatos não comuns.

Um a um cada objeto foi explorado em sala de aula. Para tal observou-se a

forma e as propriedades geométricas específicas dos materiais: número de faces,

vértices e arestas, classificação em poliedros ou corpos redondos, fórmula para o

cálculo de área e volume e também tipos de curvaturas, característica que se

passou a explorar detalhadamente.

Os alunos, através da observação e manipulação, perceberam que

determinados materiais tinham a curvatura voltada para o lado de fora, como as

esferas; outros não tinham curvatura como as caixas e as pirâmides e outros ainda

tinham a curvatura voltada para o lado de dentro como os materiais ilustrados na

foto:

Foi explicado aos alunos que conforme a curvatura de uma superfície, esta

pode ser classificada em curvatura nula, curvatura positiva e curvatura negativa. A

superfície de uma mesa, de um livro, do quadro de giz ou de uma carteira, por não

apresentar ondulações, pode-se dizer que tem curvatura nula ou curvatura 0 (zero).

21

Uma esfera, diz-se que tem uma curvatura constante e positiva, voltada para sua

parte externa. Já a superfície de uma trombeta, de uma lâmpada e de um chuveiro

tem uma curvatura constante voltada para sua parte interna, sendo então uma

superfície de curvatura negativa, também chamada de superfície hiperbolóide.

Esclareceu-se também que as curvaturas determinam as três diferentes

geometrias e estão ligadas ao postulado das paralelas trabalhado na aula anterior.

Assim, explicou-se que a superfície plana ou de curvatura zero é também chamada

superfície euclidiana, devido ao matemático Euclides de Alexandria, e as superfícies

que têm curvatura constantemente positiva ou negativa são chamadas superfícies

não-euclidianas. As de curvatura negativa foram estudadas por Lobachevski e por

Bolyai e as superfícies de curvatura positiva foram estudadas por Riemann.

Desse modo, esclareceu-se que as três geometrias foram interpretadas sob

diferentes aspectos por Euclides, Lobachevski/Bolyai e por Riemann e

correspondem a três conjuntos distintos de conclusões. Os alunos fizeram diversos

questionamentos e percebeu-se que estavam interessados em compreender o

postulado das paralelas em superfícies não-euclidianas, que foi trabalhado na

seqüência.

Primeiramente, então, realizou-se uma atividade com o objetivo de levar os

alunos a verificar como ficariam retas traçadas sobre as diferentes superfícies, ou

seja, em superfícies planas e de curvaturas positivas e negativas.

Para tal atividade os alunos trabalharam em grupos de três ou quatro alunos.

Foram distribuídas para os grupos algumas bexigas vazias e solicitou-se que os

alunos marcassem dois pontos distintos na superfície da bexiga e traçassem a

menor distância entre esses pontos. Após realizarem a atividade, afirmaram

seguramente que a menor distância era uma reta.

Em seguida, foi pedido que enchessem a bexiga de ar e verificassem como

“se comportava” a reta nela traçada. Um tanto confusos alguns alunos afirmaram

que a reta não era mais uma reta e sim uma curva e que uma reta só poderia ser

traçada em uma superfície plana. Outros colegas, no entanto, afirmavam que uma

reta não poderia deixar de ser uma reta.

Diante da discussão, foi solicitado aos alunos que traçassem uma reta em

uma folha de papel e em seguida curvassem a folha, conforme a figura a seguir:

22

Alguns alunos ainda duvidosos, diziam que sempre haviam pensado em reta

em superfícies planas e não em superfícies curvas. Um aluno sugeriu que uma reta

em uma rodovia é quando não há desvio para direita ou para esquerda. Outro aluno

argumentou que, numa pista, normalmente há ondulações (subidas e descidas), que

não podem ser vistas de um avião, por exemplo. O que se vê do alto é somente uma

reta, mas na verdade não pode ser uma reta por causa das ondulações. Outro aluno

exemplicou com um barbante que somente esticado é que se obtém uma reta.

Também foi pedido que marcassem dois pontos na superfície da trombeta e

traçassem a menor distância entre esses pontos, com o auxílio de uma régua

flexível. Os alunos verificaram que a curva voltava-se para dentro.

Com o debate promovido, logo os alunos chegaram à conclusão que uma

linha representa uma reta quando não há desvio para direita ou para esquerda, ou

ondulações, e que a reta representa a menor distância entre dois pontos.

Em seguida, retomou-se o postulado das paralelas, com a discussão sobre o

mesmo na superfície plana, negativa e positiva.

Na superfície plana, um aluno representou geometricamente o postulado no

quadro de giz, demonstrando mais uma vez que somente uma reta paralela é

possível ser traçada passando por um ponto fora de uma reta dada.

Para a superfície negativa, utilizou-se um chuveiro e com o auxílio de uma

régua flexível, o postulado foi demonstrado pela professora. Traçou-se uma reta na

superfície negativa e um ponto fora da reta. Em seguida foram traçadas várias retas

passando pelo ponto, paralelas à reta dada. Assim, os alunos puderam verificar a

veracidade do postulado enunciado por Lobachevski/Bolyai.

23

Para a superfície positiva, utilizou-se uma bola para demonstrar o postulado

enunciado por Riemann. Primeiramente marcou-se um ponto P na superfície da bola

e, em seguida, com o auxílio de uma régua flexível, traçou-se uma reta,

prolongando-a. Os alunos ficaram surpresos quando a reta chegou ao ponto de

partida.

Depois traçou-se uma reta, passando por um ponto P, supostamente paralela

à reta já traçada. Os alunos ficaram ainda mais impressionados ao verificarem que

no prolongamento das retas, estas se encontravam em dois pontos da bola. Um

aluno falou que as retas não podiam ser paralelas, pois elas haviam se encontrado.

Com o auxílio de bolas de isopor, os alunos traçaram as retas e eles mesmos,

manuseando o material, constataram a veracidade do postulado de Riemann em

uma superfície positiva.

Acredita-se que os materiais manipuláveis utilizados em sala de aula foram

um facilitador da aprendizagem e propiciaram uma melhor interação entre os alunos

e professora. São recursos didáticos válidos e assumem papel relevante ao

processo ensino e aprendizagem, mas eles precisam estar integrados às situações

que oportunizem o exercício da análise e da reflexão, bases da atividade

matemática.

Somando ângulos internos de triângulos

Na aula seguinte o trabalho esteve centrado na verificação da soma dos

ângulos internos de um triângulo em superfícies euclidianas e não-euclidianas, a

partir da visualização e do fazer.

Solicitou-se, primeiramente, que cada aluno construísse em uma folha de

papel um triângulo qualquer. Promoveu-se, a partir daí, um diálogo no intuito de

verificar os conhecimentos que os alunos já detinham sobre desta figura plana como

24

ângulos internos e externos, classificação quanto aos lados e aos ângulos, áreas e

perímetros.

Em seguida, foi solicitado que medissem, com o auxílio de um transferidor, os

ângulos internos do triângulo que haviam construído. Para a surpresa da professora

pesquisadora, verificou-se que muitos alunos tiveram dificuldades em manusear o

transferidor e, por esse motivo, a atividade demorou mais do que se esperava, pois

a professora teve que auxiliar diversos alunos individualmente. Alguns alunos

disseram, até mesmo, que nunca haviam trabalhado com o transferidor.

Após medirem os ângulos internos, foi solicitado aos alunos que somassem

tais ângulos e comparassem o triângulo e o resultado com os de seus colegas.

Puderam verificar que o resultado encontrado pela maioria era 180º para diferentes

tipos de triângulos, mas ficaram inseguros quando foram questionados se era

sempre 180°.

Assim, para não deixar dúvida com relação à soma dos ângulos internos da

figura, os alunos pintaram os vértices do triângulo que haviam construído,

recortaram os três ângulos e juntaram os ângulos, conforme é apresentado na

ilustração:

A partir dessa experiência, os alunos que se mostravam inseguros passaram

a concordar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. Porém

a insegurança ressurgiu ao serem questionados sobre como ficaria a soma dos

ângulos internos de um triângulo em superfícies não-euclidianas.

Para que eles próprios pudessem descobrir, foram distribuídos alguns

chuveiros e algumas bolas de isopor aos alunos, divididos em grupos. A tarefa de

25

cada grupo era traçar triângulos nas superfícies desses objetos, medir os ângulos

internos com o auxílio de transferidores flexíveis e efetuar a soma.

Após o desenvolvimento da atividade, os alunos se mostraram surpresos com

os resultados encontrados, pois verificaram que a soma dos ângulos internos dos

triângulos traçados na superfície do chuveiro era menor que 180° e que nos

triângulos traçados nas superfícies das bolas de isopor era maior que 180°.

Os grupos realizaram ainda outra experiência, tendo como material de apoio

algumas bexigas. Primeiramente traçaram triângulos nas bexigas vazias, mediram

os ângulos internos e somaram os valores, verificando, mais uma vez, que a soma é

180° quando a superfície é plana. Depois, encheram as bexigas de ar e provaram

que a soma é superior a 180°, em superfícies riemaniannas.

Observou-se que as atividades realizadas foram bastante produtivas, pois os

alunos puderam comprovar eles mesmos sobre a soma dos ângulos de triângulos

em superfícies de curvaturas positivas e negativas. Afirma-se, neste contexto, que

quando o aluno constrói o conhecimento, descobrindo e refutando idéias, a

aprendizagem torna-se muito mais significativa e envolvente.

A relação com a Geografia

Outro momento da investigação sobre o ensino e aprendizagem das noções

de geometrias não-euclidianas configurou-se na reflexão acerca da articulação entre

a Matemática e a Geografia, mais especificamente entre a Geometria de Riemann e

a Geografia. Essa articulação torna-se possível e pertinente, uma vez que vivemos

em uma superfície esférica e diversos conceitos podem ser trabalhados sob o viés

tanto da Matemática como da Geografia.

Conforme argumenta Pataki (2003, p. 36), “a relação com a Geografia se

estabelece na medida em que o saber geográfico contribui para a compreensão do

26

mundo e institui uma rede entre os elementos que constituem a natureza, o social, o

econômico, o cultural e o político”.

Nessa perspectiva, primeiramente procurou-se estimular o grupo para a

pesquisa sobre aspectos históricos do desenvolvimento da Geografia e para a

reflexão das necessidades do homem antigo em distinguir rotas marítimas, navegar

e comercializar em lugares distantes e, por conseqüência, conhecer a Terra. Assim,

os alunos, subdivididos em grupos, pesquisaram sobre o surgimento dos primeiros

conceitos da Geografia e puderam constatar que os grandes nomes da Antigüidade

neste campo do conhecimento, eram também matemáticos. Dentre os principais

geógrafos, destacaram-se nos trabalhos:

• ARISTÓTELES (384 a.C – 322 a.C), que argumentou sobre a

esfericidade da Terra, baseando-se na forma circular da sombra da Terra sobre a

Lua durante um eclipse lunar;

• ERATÓSTELES (276–194 a.C.), que comprovou a esfericidade da

Terra e desenhou um mapa-múndi com paralelos e meridianos, tendo ainda

calculado com precisão - em vista da precariedade dos recursos da época - a

circunferência da Terra.

• HIPARCO (190 a.C – 125 a.c) que propôs um mapa da Terra dividida

em onze paralelos, cujos comprimentos foram determinados pelas observações de

eclipses lunares.

• CLÁUDIO PTOLOMEU (90 a.C – 168 a.C), que lançou as bases da

geografia matemática e da cartografia na obra intitulada Guia da geografia

(Geographiké hyphegesis), clássico que somente em 1405, com a tradução para o

latim, ficou conhecido na Europa.

Na apresentação dos trabalhos em sala de aula, na forma de debate,

procurou-se dar evidência ao fato de que as descobertas dos geógrafos da

Antigüidade foram fundamentais para a compreensão do mundo e para o

desenvolvimento das ciências. Também que essas descobertas, agregadas ao

aparecimento das geometrias não-euclidianas, proporcionaram outras descobertas

e, por conseqüência, meios bem mais completos para se compreender o mundo que

nos rodeia.

Nesse viés, argumentou-se que, ao se considerar grandes distâncias sobre a

superfície da Terra como em uma navegação de longo curso ou uma viagem aérea,

27

a curvatura da Terra não pode ser desprezada. Ainda que, na resolução de

problemas envolvendo distâncias intergaláticas ou em questões sobre movimentos

de partículas como da luz, que são descritos por linhas curvas, a geometria

euclidiana, por si só, não dá conta de resolver.

Outro fato abordado foi a respeito da importância da geometria de Riemann

para a comprovação da teoria gravitacional, pois, conforme dados levantados, Albert

Einstein, ao formular a Teoria da Relatividade, no início do século XX, utilizou-se da

geometria não-euclidiana para descrever o Universo, fato que contribuiu

significativamente para o avanço científico e tecnológico da humanidade.

Após o debate, a turma passou a explorar algumas noções trabalhadas mais

intensamente na Geografia como Pólos, Equador, Paralelos, Meridianos, Latitude e

Longitude, associando tais noções a conceitos da geometria esférica de Riemann

como reta, ângulo, distância entre dois pontos e triângulo esférico. Para tanto,

buscaram definições em livros de Geografia e passaram a explorar algumas

atividades com o uso de planisférios (mapas-múndi) e globos terrestres.

Foram propostas atividades em malhas quadriculadas para a localização de

pontos em superfícies planas, associando linhas do plano às coordenadas

geográficas (Equador, Paralelos e Meridianos). A intenção era que os alunos

revisassem conceitos da Geografia e associassem tais conceitos à Matemática, ao

mesmo tempo em que manuseavam mapas e globos.

Percebeu-se que os alunos não tiveram dificuldades em dar a latitude e a

longitude dos pontos numa malha quadriculada e nem tampouco localizar pontos no

mapa-múndi. Entretanto, ao manusear o globo terrestre a dificuldade foi acentuada.

A professora precisou auxiliar todos os grupos para que a partir de coordenadas

geográficas, localizassem pontos no globo terrestre.

Outras atividades propostas, para as quais os alunos dispunham de

planisférios e globos, foram as seguintes:

1) Localize no mapa-múndi e no globo terrestre as cidades: Rio de Janeiro e Tóquio. a) No mapa-múndi, o que representa geometricamente a menor distância

entre as duas cidades? b) E no globo terrestre?

2) Localize no mapa-múndi e no globo terrestre as seguintes capitais: Brasília (Brasil), Roma (Itália) e Canberra (Austrália).

a) No mapa-múndi, marque os três pontos. Una os três pontos e com um transferidor meça cada um dos ângulos internos do triângulo. Faça a soma dos três ângulos.

28

b) No globo terrestre, marque com alfinetes as três capitais e una com elástico esses pontos. Que figura foi formada? Meça os ângulos internos da figura e determine a soma desses ângulos.

Percebeu-se um envolvimento muito grande dos alunos nas atividades e, de

acordo com os registros feitos pelos grupos, verificou-se que a possibilidade do

manuseio de globos e planisférios facilitou o entendimento do conteúdo. Os alunos

verificaram que a distância entre dois pontos no plano é uma reta e que na esfera é

o comprimento do menor arco da circunferência máxima que contém esses pontos.

Também puderam comprovar, mais uma vez, que a soma dos ângulos internos em

superfícies riemannianas é maior que 180º. Enquanto as atividades eram

realizadas, ouviam-se muitos comentários como: “Nossa! Nunca havia pensado

nesta relação da Geografia e da Matemática!”. “Que interessante!”

Avaliando-se esta etapa da investigação, conclui-se que extrapolar as

fronteiras da Matemática e adentrar em um campo de outra área do conhecimento,

como da História ou Geografia, é trabalhoso e desafiador para o professor. Exige

pesquisa, leitura e até mesmo ousadia. O professor, ao explorar um conteúdo na

perspectiva de outras disciplinas, precisa estar aberto aos questionamentos e

mostrar-se parceiro dos alunos na busca do conhecimento, desafiando-os a

produzir, comunicar e negociar os saberes que estão aprendendo.

Retomando o problema inicial

Nas aulas em que os alunos manusearam os globos terrestres, com

freqüência os alunos brincavam com os materiais e proferiam comentários como:

“Estou com o mundo em minhas mãos!”. Aproveitou-se a situação e, por analogia,

propôs-se uma reflexão a respeito do conceito de Globalização, uma vez tal conceito

está relacionado a uma rede de conexões que deixam as distâncias cada vez mais

curtas entre os países, facilitando as relações culturais e econômicas de forma

rápida e eficiente. Procurou-se, desse modo, dar uma outra abordagem ao termo

distância, discutindo-se sobre as características e efeitos da Globalização a partir de

um texto elaborado pela professora e distribuído aos alunos.

O trabalho em sala de aula foi finalizado com a resolução do problema inicial

“Qual a cor do urso?”. Os alunos, organizados em grupos e de posse de um globo

terrestre, realizaram a seguinte atividade:

29

1°) Posicione o dedo no Pólo Norte. 2°) Desça aproximadamente 5 cm em direção a linha do Equador. 3°) Siga com o dedo cerca de 5 cm para a direita (leste). 4°) Suba com o dedo 5cm para o Norte.

Os alunos verificaram que saindo do Pólo Norte e realizando os movimentos

indicados posicionavam o dedo no lugar de partida, ou seja, no Pólo Norte. Após

algumas tentativas, compreenderam que a experiência é válida somente para o Pólo

Norte e que o “urso do problema” só poderia ser um urso polar, cuja cor é branca.

Foi uma aula muito divertida com uma enorme empolgação dos alunos.

Incentivados pela professora, os alunos se propuseram a apresentar o tema

trabalhado para outras turmas da escola em forma de teatro e jornal falado. Esta

apresentação ocorreu dias depois e foi exposta de maneira bastante dinâmica e

divertida. Alunos de outras turmas e professores de distintas disciplinas se

envolveram no projeto, auxiliando nos ensaios e na apresentação do trabalho.

Considerações finais

O processo dialógico estabelecido em sala de aula durante todo o processo

de implementação desse estudo levou o aluno a descobrir, conjeturar, experimentar

e estabelecer relações entre as diferentes geometrias e entre a Matemática e outras

áreas do conhecimento. O desenvolvimento do trabalho, à luz da História da

Matemática, proporcionou ao aluno uma visão mais ampla dos conhecimentos

geométricos euclidianos e não-euclidianos e uma compreensão de que o

conhecimento matemático é construído historicamente.

Ao se refletir sobre a amplitude e profundidade deste trabalho, acredita-se

que sua maior contribuição é a inovação pedagógica que caracterizou todo o

processo de ensino e aprendizagem a partir da produção e negociação de

significados estabelecida dentro de sala de aula. Ao se tentar articular as várias falas

e encorajar os alunos a dialogar, formular conjecturas, argumentar e reformular o

pensamento, não há dúvida de que se produziu conhecimento.

Percebeu-se que esta prática diferenciada fez bem à relação professor/aluno

e que quando se abre a possibilidade de discussão, a aprendizagem torna-se mais

significativa. O aluno teve voz e vez nas aulas e pode perceber o professor não

como sujeito que reproduz conteúdos de livros e apostilas, mas como mediador

entre o conhecimento produzido e o conhecimento historicamente acumulado.

30

Ao final da intervenção foi solicitado aos alunos que discorressem sobre o

trabalho realizado sob a forma de um texto escrito. Nesse texto deveriam registrar

suas impressões e apontar os pontos positivos e pontos que poderiam ter sido

melhores na intervenção.

Dentre os pontos positivos os alunos apontaram para a importância da

relação interdisciplinar com a História e a Geografia, à riqueza da diversidade de

materiais apresentados, à metodologia utilizada e à constante reflexão promovida

nas aulas. Como pontos a melhorar assinalaram o pouco tempo destinado para as

aulas (duas aulas semanais) e a falta de clareza quanto à avaliação, que os deixou

inseguros e preocupados.

Em se tratando de uma turma do curso de Formação de Docentes para a

Educação Infantil e Séries Iniciais do Ensino Fundamental, o trabalho teve um

significado ainda maior. Além dos alunos perceberem a necessidade das geometrias

não-euclidianas para a compreensão de conceitos geométricos e para o avanço das

teorias científicas, o conhecimento de tais geometrias pode proporcionar aos futuros

professores um melhor preparo para que possam atuar nas séries iniciais do Ensino

Fundamental com a disciplina de Matemática, especialmente com o ensino da

geometria. Certamente tal conhecimento possibilitará aos alunos envolvidos na

experiência a inclusão das noções dessas geometrias nesse nível de ensino e

permitirá a melhoria na qualidade do ensino da geometria euclidiana. Ressalta-se

também para a importância de se mostrar aos futuros professores a necessidade da

adoção de diferentes metodologias e da reflexão no trabalho pedagógico em

Matemática.

Vale destacar que as dificuldades num trabalho de inovação são muitas. A

incerteza sobre o produto final, a angústia diante do improvável e o enfrentamento

de situações inesperadas permeiam o fazer pedagógico do professor. O tempo

destinado para o planejamento das aulas, para execução da proposta e posterior

reflexão sobre a prática tende a ser muito maior. Exige-se do professor, sobretudo,

estudo, pesquisa, organização.

Entretanto, é preciso que cada professor esteja comprometido com a

educação e acredite que a inovação nas aulas de Matemática se faz necessária.

Não se pode mais aceitar práticas atreladas somente ao livro didático, ao quadro e

ao giz. E, quanto maior o grupo de professor que pensa assim, não há dúvidas de

que mais perceptível será a mudança.

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Finalmente, cabe salientar a importância do Programa de Desenvolvimento

Educacional (PDE), instituído no Paraná como modelo de formação continuada para

os professores. Certamente este Programa garante o desenvolvimento profissional

dos docentes, a inovação em sala de aula e, por conseqüência, a melhoria da

Educação.

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