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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
ELIZABET LUIZA MARTINS
UNIDADE DIDÁTICA
UMA ABORDAGEM PEDAGÓGICA DIFERENCIADA VISANDO AS
DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA: SISTEMA DE
NUMERAÇÃO DECIMAL E AS OPERAÇÕES BÁSICAS
PARANAVAÍ - PR
AGOSTO/2010
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
ELIZABET LUIZA MARTINS
UNIDADE DIDÁTICA
UMA ABORDAGEM PEDAGÓGICA DIFERENCIADA VISANDO AS
DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA: SISTEMA DE
NUMERAÇÃO DECIMAL E AS OPERAÇÕES BÁSICAS
Material Didático Pedagógico (Unidade Didática) para Intervenção Pedagógica na Escola, apresentado à Secretaria Estadual de Educação do Estado do Paraná, sob a responsabilidade da Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí – FAFIPA, tendo como orientadora, o Professora Ms. Angela Fontana Marques.
PARANAVAÍ - PR
AGOSTO/2010 INTRODUÇÃO
O propósito desta seqüência didática é possibilitar a melhor compreensão das
propriedades do Sistema de Numeração Decimal e dos Algoritmos das Quatro
Operações Fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão.
O erro produzido pelo aluno deve ser estudado pelo professor, não
simplesmente como uma resposta errada, mas como uma questão que o aluno
coloca para que o professor, no decorrer do processo de construção do
conhecimento do aluno, utilize como uma estratégia didática de grande
potencialidade para a reorientação do ensino aprendizagem.
As atividades propostas pretendem proporcionar aos alunos uma abordagem
pedagógica diferenciada visando às dificuldades de aprendizagem matemática
nomeadamente no Sistema de Numeração decimal e as Operações Básicas,
dificuldades estas que evidenciadas pelos alunos poderão ser superadas quando
envolvidos em atividades que permitam a utilização de materiais manipulativos e
jogos matemáticos.
Trabalhar as operações matemáticas com o Material Dourado, por exemplo,
facilita a compreensão do Sistema de Numeração Decimal (SND) e
conseqüentemente os algoritmos das operações. Estabelecendo assim, a relação
entre o concreto e o abstrato para a construção do conceito em questão,
favorecendo o ensino-aprendizagem, ao criar novas formas de organizar seu o
pensamento.
Utilizando os jogos matemáticos podemos despertam nos alunos o interesse
de compreender, assimilar e aplicar os conceitos matemáticos envolvidos nesta
“brincadeira” e transpô-los para novas situações.
As atividades lúdicas (jogos, brincadeiras, brinquedos...) não são as únicas
formas trabalhar ou de desenvolver os conteúdos curriculares, mas é uma das mais
bem aceitas pelos alunos. Não se deve escolher um jogo ao acaso, é necessário
selecionar um conteúdo, relacionar conceitos, pensar em matérias, estudar
contextos, observar os alunos e refletir sobre a eficácia do jogo que deve ser
proposto. Deve-se ter clareza do que se pretende ao utilizá-los em sala de aula, pois
a simples introdução de jogos no ensino da matemática não é garantia de uma boa
aprendizagem. Claro que é mais trabalhoso selecionar jogos que sejam pertinentes
aos conteúdos a serem estudados, mas a resposta dos alunos é mais satisfatória do
que a tradicional aula quadro e giz. O uso de jogos e curiosidades no ensino da
Matemática tem o objetivo de fazer com que os alunos gostem de aprender essa
disciplina, mudando a rotina da classe e despertando o interesse dos alunos
envolvidos.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Antigas civilizações, como a dos egípcios, babilônios, gregos, chineses,
romanos, maias, etc., possuíam formas bastante organizadas de escrever os
números. É importante conhecê-los, pois o estudo dos antigos sistemas de
numeração facilita a compreensão do nosso sistema com seus cálculos e
propriedades.
O sistema de numeração, utilizado na maioria das culturas contemporâneas,
é denominado sistema indo-arábico . É um sistema decimal, também chamado de
sistema de numeração decimal . A origem da palavra decimal vem da palavra
latina “decem”, que significa dez, como outros sistemas de numeração antigos, o
nosso tem base dez , ou seja, os agrupamentos são sempre feitos de dez em dez.
Supõe-se que a base dez decorra do fato de possuirmos dez dedos nas mãos e usar
as mão para contar.
A melhor forma de entendermos a origem decimal do nosso sistema de
numeração é buscar uma explicação na história da humanidade pois a
denominação indo-arábico para o nosso sistema de numeração vem do fato de
seus símbolos e suas regras serem inventadas pelo antigo povo indiano e
aperfeiçoado e divulgado pelos árabes.
Abu Jafar Muhamed Ibn Musa al-Khwarizmi, matemático, astrônomo e
geógrafo mulçumano século IX, foi um dos responsáveis pela divulgação do sistema
de numeração indo–arábico na Europa., houve forte resistência da utilização dos
símbolos pagãos na Europa, que só foi vencida depois que a expansão do comércio
europeu e venceu o preconceito cultural e a necessidade de um sistema que
facilita-se o cálculo.
Al-Khwarizmi tornou-se o símbolo da importância da matemática árabe. Dele
surgiram termos como algoritmo e algarismo, que denomina o conjunto de símbolos
do nosso sistema de numeração.
Os símbolos do sistema indo-arábico foram transformando:
Forma antiga dos números
Forma atual dos números
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
Na forma de escrever dos algarismos houve várias mudanças, devido o
registro na época ser escrito a mão. Em 1440, com a invenção da imprensa por
Gutemberg, a forma dos numerais foi fixada.
SISTEMA DECIMAL DE NUMERAÇÃO (SND)
O nosso sistema de numeração tem dois aspectos importantes: é decimal e
posicional . Muitas das dificuldades encontradas no aprendizado dos algoritmos das
quatro operações nas séries iniciais do ensino fundamental decorrem da não
compreensão desses dois importantes aspectos.
As principais dificuldades que os alunos apresentam, em relação ao SND são:
a má compreensão da notação matemática, que acarreta uma série de
dificuldades na utilização dos algoritmos”; utilização incorreta do 0 ; defasagem na
escrita dos resultados parciais quando se efetua uma multiplicação ou uma divisão,
entre outros.
O SND é caracterizado por :
• Utiliza dez diferentes símbolos denominados algarismos indo-arábicos :
0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9
• Funciona com a base de agrupamentos de 10, que é a base do
sistema . Assim, qualquer número pode ser escrito em termos de potência
de 10. Por exemplo: 2456 = 2. 103+ 4. 102 + 5.101+ 6.100 =
2.1000+4.100+5.10+6.1
• O sistema é posicional , isto é, o valor de um algarismo é determinado
pela sua posição no numeral. O mesmo símbolo representa valores
diferentes, dependendo da posição que ocupa no numeral.
• É multiplicativo : cada algarismo representa um número que é um
múltiplo de uma potência de base 10
• É aditivo , pois o valor do numeral é obtido pela soma dos valores
individuais dos algarismos;
• Possui um símbolo para representar o zero – marcador de posição e
• Cada numeral representa um único número.
A BASE DECIMAL
Essa característica é decimal porque utiliza apenas dez símbolos para
representar os números e também porque cada dez elementos de uma ordem
equivalem sempre a um elemento da ordem imediatamente superior. Ou seja, a
passagem para a posição imediatamente superior só será feita mediante
agrupamentos de 10, ou seja, 10 elementos de uma ordem qualquer equivalem a um
elemento da ordem que lhe é imediatamente superior.
O VALOR POSICIONAL
Observe:
4º ordem 3º ordem 2º ordem 1º ordem
unidade de milhar centena de unidades dezena de unidades unidades
Sobre o aspecto posicional é importante, pois podemos escrever infinitos
números a partir de poucos algarismos. Isso significa que o valor de um mesmo
algarismo varia em função da posição que ele ocupa no número. No número 222,
por exemplo, o valor do algarismo 2 que ocupa a casa da unidade é 2; o valor do
algarismo 2 que ocupa a casa das dezenas é 20; e o do que ocupa a casa das
centenas é 200.
Esse aspecto posicional é o que apresenta mais dificuldades para a
compreensão pela criança, nesse sentido devem ser realizadas e exploradas
atividades em sala de aula que envolvam agrupamentos e trocas em diferentes
bases.
A escrita de posição é a representação de uma organização de construção
complexa que é a série ou seqüência numérica, que é, ela própria, a representação
da seriação das quantidades.
A busca de regularidades faz com que a criança se aproxime da notação
convencional. De posse das regularidades, elas têm condições de analisar e
recompor a escrita baseada na correspondência com a numeração falada.
“Durante o trabalho com quantificação, antes da introdução de um sistema de numeração, a criança aprende a associar a certa quantidade inferior a 10 um símbolo determinado. Para ela o símbolo 4 representa 4 elementos de um conjunto qualquer. Como fazê-la entender agora que o mesmo símbolo pode representar 40, 400, 4000, etc., dependendo da posição que ele ocupa num número. Para isso é necessário que ela compreenda que o símbolo 4 tanto pode se referir a 4 objetos de um mesmo conjunto, como também 4 conjuntos de 10 objetos ou 4 conjuntos de 100 objetos, e assim sucessivamente; é esse o significado de 4 unidades, 4 dezenas, 4 centenas, etc.” (Miguel, 1986; p. 17)
Entender o sistema de numeração decimal e os significados das operações
fundamentais permite desenvolver técnicas próprias de cálculo mental ou mesmo
algoritmos, não ficando limitados a um único processo.
Quando começam a perceber as regularidades na escrita numérica, as
crianças ampliam seus conhecimentos e vão organizando seus procedimentos para
lidar com números e com o cálculo mental, ampliando sua compreensão das regras
do Sistema de Numeração Decimal, possibilitando-lhes então a leitura e a escrita
dos números com compreensão, bem como o entendimento do cálculo escrito, com
todas as suas técnicas operatórias; é a lógica das características do Sistema de
Numeração Decimal que explica os recursos de troca e destroca que utilizamos na
resolução das operações.
Para alcançar o objetivo final da sistematização e compreensão das
características do Sistema de Numeração Decimal pelos alunos, devemos lançar
mão de materiais os mais diversificados possíveis, como (material dourado, ábaco),
e construídos pelos próprios alunos ou pelo professor (fichas coloridas, jogos,
quadro de pregas) e até mesmo material sucata (palitos, tampinhas variadas,
caixas); o professor pode ainda, com a sua percepção e intuição matemática lançar
mão de vários materiais que o mercado oferece e adaptá-los às aulas de
matemática.
Primeiramente o material deve ser manipulado livremente pelos alunos aonde
eles irão descobrindo as regularidades existentes e realizando os devidos
agrupamentos e as devidas trocas, esse contato inicial será com materiais do tipo
que o aluno perceba a noção de quantidade total (palitos ou tampinhas agrupadas
de dez em dez e reagrupadas em centenas,...) e depois fazendo trocas com
materiais diferentes (10 tampinhas valem um palito, 10 palitos valem uma caixinha),
sempre com a mediação do professor; num segundo momento o material será usado
partindo-se de um referencial (quadro valor de lugar), também chamado por alguns
matemáticos de “ábaco de papel”
Ao trabalhar com o material dourado, o objetivo é auxiliar a compreensão do
Sistema de Numeração Decimal – SND e dos métodos para efetuar as operações
aritméticas (os algoritmos). Primeiro atividades, explorando a estruturação do SND,
ampliando e aprofundando as idéias de unidades, dezenas e centenas, ressaltamos
a importância do registro após o uso do material dourado no sentido da
compreensão do algoritmo, do SND e das técnicas operatórias, pois sem o apoio
desse material, a contagem por centenas, dezenas e unidades requer maior esforço
de abstração por parte do aluno.
O MATERIAL DOURADO MONTESSORI
O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino
e a aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e dos métodos para
efetuar as operações fundamentais (ou seja, os algoritmos).
No ensino tradicional, as crianças acabam "dominando" os algoritmos a partir
de treinos cansativos, mas sem conseguirem compreender o que fazem. Com o
Material Dourado a situação é outra: as relações numéricas abstratas passam a ter
uma imagem concreta, facilitando a compreensão. Obtém-se, então, além da
compreensão dos algoritmos, um notável desenvolvimento do raciocínio e um
aprendizado bem mais agradável.
A utilização do Material Dourado facilita organizar as quantidades de acordo
com a base dez e, por isso, favorece a compreensão do nosso sistema de
numeração e das operações feitas nele.
A seguir as peças que o compõem:
Atividade 1: descobrindo relações
Nesta atividade, os alunos devem manipular o material livremente. Depois de
um tempo, o professor pode perguntar se eles descobriram algumas coisas nas
peças do material. É possível que os alunos percebam algumas relações do tipo:
• a barra tem 10 cubinhos;
• a placa tem 100 cubinhos;
• a placa tem 10 barras;
• o cubo tem 10 placas;
Cubo 1 milhar ou
10 centenas ou 100 dezenas ou 1.000 unidades
Placa 1 centenas ou 10 dezenas ou 100 unidades
Barra 1 dezenas ou 10 unidades
Cubinho 1 unidades
• o cubo tem 100 barras;
• o cubo tem 1000 cubinhos.
Essas relações devem ser exploradas pelo professor e se algumas delas não
forem sugeridas pelos alunos, o professor deve fazer perguntas que possam fazê-
los pensar em cada uma delas. As perguntas podem ser como abaixo.
• Quantos cubinhos vão formar uma placa?
• E quantos formarão um cubo?
• De quantas barras preciso para formar um cubo?
É importante também que os alunos façam desenhos e anotações para
registrar essas relações.
Atividade 2: representando quantidades
O professor pede para os alunos representarem quantidades usando peças
do material dourado. Seguem alguns exemplos:
a) 14
Pode ser que o aluno represente usando apenas cubinhos:
Então o professor pergunta se é possível fazê-lo de outra maneira, usando
perguntas do tipo:
- É possível substituir quantidades de cubinhos por outra peça? Qual?
O aluno deve perceber que a quantidade 14 também pode ser representada
assim:
b) 125
Mesmo sendo uma quantidade relativamente grande, pode ser que o aluno
represente usando apenas cubinho. É aconselhável que o professor permita que ele
assim o faça.
Então o professor pergunta se é possível fazê-lo de outra maneira.
O aluno deve perceber que a quantidade 125 pode ser representada de
maneiras diferentes:
125 cubinhos (125 unidades);
12 barras e 5 cubinhos (12 dezenas e 5 unidades);
1 placa, 2 barras e 5 cubinhos (1 centena, 2 dezenas e 5 unidades);
Após algumas atividades, o professor deve induzir as nomenclaturas:
• unidade para o cubinho;
• dezena para a barra;
• centena para a placa;
• milhar para o cubo.
Atividade 3: contando e registrando
O professor pede aos alunos que escrevam a quantidade que ele mostra,
utilizando as peças do material dourado.
Seguem alguns exemplos.
a)
Dependendo das respostas e considerações dos alunos, o professor pode
explorar as quantidades aproveitando os agrupamentos visualizados nas peças.
242 = 200 + 40 + 2
242 = 2 centenas + 4 dezenas + 2 unidades
2 centenas = 200
4 dezenas = 40
2 unidades = 2
b)
406 = 400 + 6
405 = 4 centenas
4 centenas = 400
6 unidades = 6
Esse exemplo é importante porque faz o aluno perceber a ausência de
dezenas soltas e a importância de representar essa ausência com o algarismo zero.
Sugestão de Atividade: Jogo Dez Não Pode
Objetivos : Este jogo destina-se a auxiliar a Compreensão do Sistema de
Numeração Decimal; ideia do valor posicional.
Organização da classe : grupos de no máximo, quatro alunos.
Material : 90 ou mais palitos de picolé, elástico, Q.V.L construído pelos
próprios alunos em uma folha de papel oficio (que pode ser rascunho) e um dado
para cada grupo.
Regras:
Procedimentos
O grupo espalha os palitos numa mesa e sorteia quem vai começar. Na sua
vez, joga o dado e pega o número de palitos que o dado apontar. Quando tiver dez
palitos, passa um elástico, formando um pacotinho. O jogo termina quando
acabarem os palitos. Ganha quem tiver mais palitos.
Procedimentos do professor ao final do jogo:
Quando os grupos acabarem de jogar o professor deverá fazer a devida
mediação, com indagações do tipo:
• Quem ganhou o jogo?
• Como você descobriu?
• Quantos palitos soltos você tem?
• Quantos pacotinhos?
• Quantos pontos você fez?
• Quantos palitos o grupo recebeu?
Observações
• A atividade pode ser feita de modo que os alunos sejam levados a
registrar os resultados obtidos e compreender o valor posicional ou
não, no caso de ser realizado o registro, é aconselhável usar o
referencial (ábaco de papel)
• Quando a troca é feita amarrando 10 palitos e colocando na casa das
dezenas estaremos trabalhando o material concreto, mas quando
troca-se 10 palitos na casa das unidades por um palito na casa das
dezenas nesse caso estamos trabalhando o material semi-concreto.
Jogo do Nunca Dez com Material Dourado
Objetivos : Possibilitar a compreensão do SND.
Organização da classe : Grupo de 4 alunos.
Material : Caixa de material dourado, papel, dado, cartelas ( unidade, dezena
e centena)
Regras:
- O grupo decide quem inicia o jogo.
- Cada aluno, na sua vez de jogar, lança o(s) dado(s) e retira a quantidade
de cubinhos ou quadradinhos conforme a quantidade que saiu no dado.
- Quando o jogador conseguir mais do que dez cubinhos ou quadradinhos,
deve trocá-los por uma barra ou tira.
- Quando o jogador conseguir dez tiras, deve trocá-las por uma placa.
- Vence o jogador que conseguir primeiro dez placas ou um número de
placas, antecipadamente, combinado.
- Como variação, pode-se combinar um tempo determinado para jogar.
Nesta variação ganha o jogador que tiver obtido maior número de barras
ou tiras e cubinhos ou quadradinhos.
Operações Fundamentais
No trabalho pedagógico com as operações, é preciso considerar o
conhecimento prévio da criança e então sistematizar esses conhecimentos de
maneira a proporcionar a construção do pensamento matemático do mesmo.
No estudo das operações, além da preocupação com a elaboração dos
diferentes sentidos de cada operação, é importante apresentar diferentes formas de
realizá-las, além dos tradicionais algoritmos escritos, como o cálculo mental,
aproximações e estimativas.
Entender o sistema de numeração decimal e os significados das operações
fundamentais permite desenvolver técnicas próprias de cálculo mental ou mesmo
algoritmos, não ficando limitados a um único processo.
Além disso, a compreensão dos aspectos importantes do sistema de
numeração decimal (princípio aditivo e valor posicional) evidenciado, por exemplo,
quando alguém decompõe mentalmente 213 em 200+10+3, facilita os cálculos
mentais.
Adição
Entende-se, no meio dos docentes, que a criança antes de começar a
aprendizagem das operações, deve aprender a contar e escrever os números,
identificando totalmente cada etapa da numeração e reconhecendo que ao contar
numa certa ordem, estamos sempre adicionando a unidade ao número anterior, isto
é, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1 e assim por diante.
É interessante também trabalhar com decomposição em números maiores
que 10, como 20 = 10+10, 25=10+10+5, pois assim já se desenvolve o cálculo
mental.
Na realidade, quando pronunciamos o nome do número, em geral, já temos a
ideia de adição, por exemplo, dezoito é dez e oito, logo, quando o aluno aprende a
ler o número já está aprendendo a decompô-lo e a somar.
É essencial que exista a compreensão das regras básicas do Sistema de
Numeração Decimal fazendo com que os alunos entendam o funcionamento e a
organização dos algoritmos da operações básicas.
O calculo mental na adição permite ao professor passar para o aluno as
noções das propriedades, como a comutativa é compreendida quando insistimos na
prática de cálculos como 3+4=7 ou 4+3=7; a associatividade aparece nos cálculos
quando fazemos a adição de três ou mais parcelas ou a do elemento neutro que
fazemos o aluno ver que o zero não atua na adição por exemplo 3+0=3 ou 0+5=5.
Assim como atividades orais, o aluno vai desenvolvendo sua técnica particular para
fazer adições.
O uso de tipos diferentes de materiais, associados à realização sucessiva e
com graus de dificuldade vai dar segurança na aprendizagem e facilidade na
compreensão do algoritmo.
A seqüência da utilização de matérias deve obedecer ao processo de
desenvolvimento lógico do aluno, partindo do material concreto ( milho, tampinhas,
pedrinhas), passando pelo Material Dourado e chegando ao Quadro Valor de Lugar
e ao Ábaco.
Para realizar somas e subtrações com material dourado, vamos sugerir a
utilização de um “cartaz valor lugar”, conhecido como ábaco de papel.
Esse ábaco de papel pode ser confeccionado pelos próprios alunos.
Precisaremos apenas de uma cartolina, régua e pincel atômico ou canetinha.
M C D U
Realizaremos agora algumas operações.
a) 125 + 34
Devemos representar as duas quantidades com o material dourado e dispor
no ábaco de papel.
M C D U
A seguir, devemos juntar as quantidades de mesma ordem iniciando pelas
unidades.
M C D U
É muito importante que, paralelamente à representação com o material
dourado, deve ser feita a representação escrita.
M C D U
1 2 3
5 + 4
1 5 9
Então, juntando 125 com 34, temos 159.
b) 256 + 245
Representando as duas quantidades com o material dourado, temos
M C D U
Juntando as quantidades de mesma ordem:
M C D U
M C D U
2 2
5 4
6 + 5
Vejam nesse caso temos uma quantidade na ordem das unidades que podem
ser trocadas por dezena:
M C D U
M C D U
1
2 2
1
5 4
6 + 5
Agora temos dez dezenas, que podem ser trocadas por uma centena:
M C D U
Então, a soma resulta em
M C D U
M C D U
1
2 2
1
5 4
6 + 5
5 0 1
Subtração
A idéia de “tirar“, faz parte do aprendizado do aluno mesmo antes de
ingressar na escola. Assim partindo da noção de “tirar” o professor vai usar de
recursos concretos ou mesmo de desenhos, para facilitar a compreensão dos
elementos básicos da subtração. O aluno deve assimilar que, quando de um total
queremos tirar uma parte para ver quanto sobra, está efetuando uma subtração;
quando compara dois números para ver quanto um é maior que o outro, ou quanto
falta para um chegar ao outro também estará subtraindo. Assim, lentamente, com a
prática de atividades de cálculos do cotidiano, o aluno irá descobrindo e entendendo
o conceito de subtração, conforme vai aumentando sua experiência matemática.
c) 455 - 234
No algarismo da subtração com o material dourado, é recomendável que se
utilize a ideia de tirar. A ideia de comparar necessita de uma grande quantidade de
peças do material dourado e isso pode tornar o trabalho inviável.
Usando então a ideia de tirar para realizar subtrações, devemos representar
apenas o minuendo:
M C D U
Do minuendo, retiramos o subtraendo:
M C D U
Então resta:
M C D U
M C D U
4 2
5 3
5 - 4
2 2 1
d) 537 – 153
M C D U
Nesse caso, retiramos 3 unidades de 7 unidades:
M C D U
Ficamos com:
M C D U
M C D U
5 1
3 5
7 - 3
4
Agora temos que tirar 5 dezenas. Para isso, devemos trocar 1 centena por 10
dezenas. Representamos essa troca assim:
M C D U
M C D U
4
5 1
1 3 5
7 - 3
4
Agora, retiramos 5 dezenas de 13 dezenas e 1 centena de 4 centenas:
M C D U
Ficamos com:
M C D U
M C D U
4
5 1
1 3 5
7 - 3
3 8 4
Multiplicação
Através da adição de parcelas iguais o aluno terá facilidade em reconhecer
que a multiplicação é uma relação fixa entre duas quantidades. Por exemplo, na
situação-problema, numa caixa de chocolates há 7 bombons, quantos bombons há
em 4 caixas de chocolates? As quantidades são número de caixas e o número de
bombons e a relação fixa é 7 bombons por caixa de chocolates. É a relação fixa
entre as duas quantidades que permite a dedução na resolução de problemas de
multiplicação.
Nessa situação-problema, poderíamos juntar as 4 caixas de chocolates em
uma só maior e contar o número de bombons, um-a-um, estaríamos aplicando o
raciocínio aditivo. Esse raciocínio está ligado ao processo de construção do número,
onde o aluno trabalha com atividades que evidenciam a correspondência um-a-um.
Por exemplo, ligar uma xícara com o pires, a caneta com sua tampa, e outros.
Como no raciocínio multiplicativo a correspondência é um-para-muitos, essa
mudança pode ser difícil para o aluno, que deve construir esse conceito aos poucos,
com atividades próprias para o caso.
Quando o aluno se depara com fatos como: cada família pode ter dois ou
mais carros, cada pessoa tem dois ou mais irmãos, dois olhos. Fatos como esses
levam o aluno a perceber que existam outros tipos de correspondências. No dia a
dia, nos deparamos sempre com a operação multiplicação como quando compramos
duas embalagens de ovos com 1 dúzia cada estamos multiplicando 2x12, quando
lemos um numero como 235, dizemos duzentos e trinta e cinco. Duzentos
representa duas vezes cem, trinta representa três vezes o dez, logo toda vez que
lemos ou escrevemos um número a multiplicação esta embutida nele sem que
percebemos isso.
É essencial que o aluno efetue contagens através da formação de grupos
com a mesma quantidade. Usando materiais diversos como tampinhas, palitos,
material dourado, poderá contar a quantidade de um em um, dois em dois, três em
três, etc.
Para realizarmos multiplicações com o material dourado e não corrermos o
risco de confundirmos os alunos com excessos de peças, trabalharemos apenas
multiplicações com números baixos, como os exemplos que seguem:
3 x 4
M C D U
Temos um total de 12 unidades e dez delas podem ser trocadas por 1
dezenas. Ficamos, então, com:
M C D U
M C D U
D U
3 x 4
1 2
2 x 16
M C D U
Temos um total de 12 unidades soltas, e dez delas podem ser trocadas por 1
dezena. Ficamos, então, com:
M C D U
M C D U
D U
1
6 x 2
3 2
Assim ele irá entender que vai efetuar a multiplicação quando quiser somar
diversas vezes o mesmo número.
Tabuada – Aprendizagem com compreensão
A tabuada deve ser trabalhada em um processo de construção, é necessário
compreendê-la através de atividades que levem ao seu domínio e à memorização
para que realize o calculo mental e o escrito.
É necessário que o aluno perceba a regularidades presentes nas tabuadas
facilitando sua construção, caso tenha dificuldade na memorização.
Atividades
- Construção da tabuada
Os alunos constroem a tabuada, registrando na tabela até o 5x5.
É fácil completar a primeira linha pois ela se refere à multiplicação por 1.
Também é fácil completar a primeira coluna.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25 6 7 8 9
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25 6 6 7 7 8 8 9 9
Proponha aos alunos que descubram quanto dá, por exemplo, 6 x 3. Eles
podem obter este resultado, por exemplo, através de adições sucessivas:
+3 +3 +3 +3 +3 +3 1x3=3 2x3=6 3x3=9 4x3=12 5x3=15 6x3=18 7x3=21 Podemos também obter 7 x 3 de outro modo. Como 7 = 4 + 3, podem
perceber que:
7 x 3 = 4 x 3 + 3 x 3 Na tabela temos os valores de 4 x 3 e 3 x 3, logo; 7 x 3 = 12 + 9 = 21 Os produtos obtidos vão sendo registrados na tabela e aos poucos vamos
construindo a tabuada. Note que nesta construção, vão sendo usadas
intuitivamente, diversas propriedades da multiplicação. Ao longo desta atividade a
compreensão da multiplicação está presente o tempo todo. Uma vez compreendida,
é importante que seja memorizada pelos alunos, devemos dizer que o aluno não
deve decorar mecanicamente a tabuada, mas que precisa fazer um certo esforço
para memorizar
Para isso é interessante utilizar jogos variados.
Divisão
Quando queremos saber quantas vezes um números cabe no outro, ou
quando queremos dividir um total em partes iguais, ou por quanto devemos
multiplicar um número para obter, como resultado, o outro número, estamos fazendo
uma divisão.
O aluno divide naturalmente doces, brinquedos, mas não necessariamente
em partes iguais. Ela deve entender que a palavra dividir tem vários significados
como dividir um terreno em canteiros para horta, dividir a torcida de dois times na
arquibancada, uma avenida divide a cidade em duas partes, mas na matemática
dividir significa separar ou agrupar em parte iguais.
Propondo ao aluno que distribua 54 balas em 6 saquinhos de modo que todos
tenham a mesma quantidade, quantas balas ele colocará em cada saquinho?
Se for proposto ao aluno que coloque 64 balas em caixas iguais, cada caixa
podendo conter 8 balas , quantas caixas irão usar? Sobrarão balas?
Na primeira situação, o aluno provavelmente vai distribuir uma bala em cada
saquinho até que coloque todas as balas, verá que colocou 9 balas em cada
saquinho sem sobras.
Na segunda situação, o aluno certamente irá completar a primeira caixa,
depois a segunda, a terceira até terminarem as balas, assim conseguir colocar as
balas em 8 caixas.
O aluno usou maneiras diferentes para distribuir nas duas situações, sendo
que a primeira ficou próxima do sentido matemático da divisão que é distribuir
igualmente uma quantidade em numero conhecido de grupos, 54 : 6 = 9.
Na segunda situação o aluno não sabe em quantas partes iguais deve dividir
64 e por isso deve usar uma estratégia diferente. Ele vai tirando 8 balas das 64 e
sucessivamente fará a mesma operação até acabarem as balas.
64 – 8 = 56 56 - 8 = 48 48 – 8 =40 40 – 8 = 32 32 – 8 = 24 24 – 8 =16 16 – 8 = 8 8 – 8 = 0 Nesse caso, o aluno tem dificuldade de visualizar a divisão, pois ela usa a
subtração.
Para realizar divisões só utilizamos o material dourado.
48 : 3
Primeiramente, representamos a quantidade 48 com as peças do material
dourado.
Distribuiremos as dezenas em três grupos e desta forma cada grupo fica com
uma dezena e resta uma dezena:
48 3 10 1 +8
18
Agora trocamos uma dezena por 10 unidades e juntamos a estas 8 unidades,
totalizando 18 unidades:
48 3 10 1 +8 18
Agora, dividimos 18 unidades por 3:
48 3 18 16
Dessa forma, distribuímos todas as 18 unidades, restando nenhuma:
48 3 18 16 0
426 : 4
Representamos a quantidade 426 com as peças do material dourado:
Distribuindo as centenas em quatro grupos, cada grupo fica com 1 centena,
restando nenhuma centena:
426 4 0 1
Distribuímos agora a dezena, porém não é possível dar nenhuma dezena
inteira para cada grupo:
426 4 02 10
Devemos colocar zero no quociente, indicando que além da centena ele não
terá dezenas inteiras.
Trocamos, então, duas dezena por 10 unidades e a elas juntamos mais seis
unidades, totalizando 26 unidades:
426 4 020 10 + 6 26
Agora dividimos 26 unidades por 4:
Trocaremos então duas dezenas por 20 unidades e juntaremos a essas seis
unidades, totalizando 26 unidades.
+
Então, dividiremos 26 unidades por 4:
Distribuímos 26 unidades e sobraram duas unidades.
A UTILIZAÇÃO DOS JOGOS COMO FACILITADORES DO ENSINO DA
MATEMÁTICA
Além das atividades sugeridas, propomos outras em que serão utilizados os
jogos, uma vez que esses, em seu aspecto pedagógico, podem ser aliados dos
professores, pois desenvolvem nos alunos a capacidade de pensar, refletir, levantar
hipóteses, testá-las e avaliá-las além, do provável desenvolvimento da autonomia e
socialização .
Jogos
Stop ( Kátia Cristina Stocco Smole)
Objetivos : Este jogo destina-se a auxiliar a memorização da tabuada.
Organização da classe : grupos de no máximo, quatro alunos.
Material : um quadro com todas as tabuadas afixado na parede, lápis.
Regras:
1- Cada aluno desenha em seu caderno uma tabela. O grupo decide quem
inicia o jogo.
2- Professor preenche a primeira linha do tabuleiro com os multiplicadores
que desejar.
3- Jogador iniciante diz, um número de 1 a 10 que é colocado na primeira
linha da coluna “número falado”.
4- Os outros jogadores então tentam completar a segunda linha da tabela o
mais rápido possível, podendo, se preciso, consultar o quadro de tabuadas fixado na
parede.
5-Quem for o primeiro a colocar todos os outros e marcar o número de
acertos na coluna correspondente.
6- Cada jogador confere seus produtos com os outros e marca o número de
acertos na coluna correspondente.
7- Um outro jogador repete o mesmo procedimento. O jogo acaba quando
todos os jogadores tiverem dito dois números cada um.
8- Vencedor é aquele com maior número de acertos (soma de todas as
rodadas).
Número
Fadado
X X X X Total de
Acertos
Ganha quem chega a zero ( Kátia Cristina Stocco Smole)
Objetivos : Resolver problemas que envolvam subtração.
Organização da classe : grupos de até quatro alunos.
Material : Um par de dados para cada três alunos (ou 12 quadradinhos de
papel numerados como o dado e colocados num saquinho de papel), papel e lápis
para anotar o resultado. Eventualmente cartolina para um cartaz.
Regras:
1- Cada jogador inicia o jogo com 40 pontos, caso a grande maioria deles
tenha dificuldades com o número 40, troque por 20 ou 25.
2- Na sua vez, o jogador deve rolar os dados ( ou sorteia dois papéis) e
subtrai de seus pontos o valor obtido nos dados (papéis).
3- O jogador que primeiro chegar a zero é o vencedor.
Cinco em linha ( Kátia Cristina Stocco Smole)
Objetivos : Desenvolver estimativa e cálculo mental envolvendo adição e
subtração, resolução de problemas.
Organização da classe : Duplas.
Material : 24 fichas ( 12 para cada jogador) e um tabuleiro como o que é
mostrado abaixo, que você poderá confeccionar no tamanho de uma folha de sulfite.
Regras:
1- Cada jogador recebe suas 12 fichas. O primeiro a jogar escolhe dois
números no quadro menor no tabuleiro e coloca sobre ele as ficha.
2- Em seguida, dizendo em voz alta, a soma dos números escolhidos,
procura este valor no tabuleiro maior e coloca sobre ele uma de suas
fichas. Uma vez colocada a ficha não pode mais ser retirada. Se o jogador
na sua vez errar ou fizer uma soma que já tenha sido coberta, ele passa a
vez sem colocar nenhuma ficha.
3- Vence o jogo o primeiro que cobrir 5 números seguidos do tabuleiro maior
na horizontal, vertical ou diagonal.
Tabuleiro de Escolha
15 19 12
23 17
32
51 11
14
Tabuleiro do Jogo
34
27
38
32
47
66
26
29
31
42
36
51
70
30
33
35
29
44
63 23 26 40 55 74 34
37
49
68
28
31
83
43
46
62
65
25
Avançando com o resto ( Kátia Cristina Stocco Smole)
Objetivos : Este jogo auxilia os alunos a desenvolverem cálculos mentais com
a divisão e a multiplicação, além de levá-los a perceber o papel do 0, do 1 e do
resto em uma divisão.
Organização da classe : Equipes.
Material : Um tabuleiro, um dado e duas fichas de cores diferentes.
Regras:
1- Duas equipes, compostas por dois alunos cada, jogam alternadamente.
Cada equipe movimenta a sua ficha colocada, inicialmente, na casa com
o número 43.
2- Cada equipe, na sua vez, joga o dado e constrói uma divisão onde: o
dividendo é o número da casa onde sua ficha está, o divisor é o número
de pontos obtidos no dado.
3- Em seguida, calcula o resultado da divisão e movimenta sua ficha o
número de casas igual ao resto da divisão.
4- A equipe que, na sua vez, efetuar um calculo errado perde sua vez de
jogar.
5- Cada equipe deverá obter um resto que faça chegar exatamente à casa
marcada com FIM sem ultrapassa-la, mas se isso não for possível, ela
perde a vez de jogar e fica no mesmo lugar.
6- Vence a equipe que chegar em primeiro lugar ao espaço com a palavra
FIM
54 23 17 88 76 35 62 97 49 67 29 94
45 41
81 19 71 44 51 80 96 FIM 73
26 98 58
34 39 86 21 0 75 33 18 95 61 30
59
83 12 91 11 65 52 77 15 36 24 43
Caixas das raposas ( Kátia Cristina Stocco Smole)
Objetivos : Desenvolver estimativa e cálculo mental envolvendo adição e
subtração, resolução de problemas.
Organização da classe : Pode ser em grupo ou envolvendo a classe toda.
Material : Um tabuleiro e 20 cartas ( 2 de cada de 0 a 9).
Regras:
1- Cada jogador pega um lápis e um tabuleiro. As cartas são colocadas com
a face para baixo em um monte. O objetivo do jogo é fazer o número do
topo de uma coluna.
2- Os jogadores se revezam virando a cartas de cima do monte e lendo-as.
Cada jogador escreve este número em um espaço vazio em qualquer
coluna.
3- O vencedor é o primeiro a fazer o total do topo da coluna e dizer “ Caixas
das Raposas!!”. O número do topo deve ser formado somando ou
subtraindo os números anotados em todas as caixas.
R 6
A 15
P 24
O 5
S 19
A 12
S 28
R 6
A 15
P 24
O 5
S 19
A 12
S 28
Jogo de boliche
Objetivos : Este jogo destina-se a auxiliar a memorização da tabuada
Organização da classe : Grupos de no máximo , cinco alunos.
Material : Garrafa pet com o número escolhido, bolas, tabelas (como o modelo
abaixo) e lápis.
Regras:
1- O primeiro da fila joga a bola e o último vai anotando o resultado, assim
por diante até o último ser o primeiro.
Jogada Bete Carol Julia Sofia Alice Total/Partid
a 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Total
Fazendo e Analisando Operações Objetivos : Utilizar conceitos matemáticos para resolver problemas,
desenvolver a estimativa e o calculo mental e trabalhar com os fatos fundamentais da multiplicação.
Organização da classe : Grupos de 2 alunos. Material : Calculadora, tabelas para a resolução dos exercícios. Regras: 1- Faça as operações e justifique suas respostas.
Operações Justifique sua resposta
Operações Justifique sua resposta
19+8
195-87
90+80
890-180
2889-954
28x12
89x28
98x89
2-Analise cada sentença numérica, descubra o que falta e justifique a
resposta.
Para você Justifique sua Operações Justifique sua
completar resposta resposta
74____46=120 125_____78=47
_____+36=220
97+______=156
_____ - 57=354
____ x 27=1296
Jogo do nunca dez com material dourado
Objetivos : Possibilitar a compreensão do SND.
Organização da classe : Grupo de 4 alunos.
Material : Caixa de material dourado, papel, dado, cartelas ( unidade, dezena
e centena)
Regras:
- O grupo decide quem inicia o jogo.
- Cada aluno, na sua vez de jogar, lança o(s) dado(s) e retira a quantidade
de cubinhos ou quadradinhos conforme a quantidade que saiu no dado.
- Quando o jogador conseguir mais do que dez cubinhos ou quadradinhos,
deve trocá-los por uma barra ou tira.
- Quando o jogador conseguir dez tiras, deve trocá-las por uma placa.
- Vence o jogador que conseguir primeiro dez placas ou um número de
placas, antecipadamente, combinado.
- Como variação, pode-se combinar um tempo determinado para jogar.
Nesta variação ganha o jogador que tiver obtido maior número de barras
ou tiras e cubinhos ou quadradinhos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CENTURIÓN, Marília. Números e operações. Ed. Scipione, 1994. KAMII, Constance. Crianças pequenas reiventam a aritmética. Porto Alegre: Artmed, 2002.
MIGUEL, Antonio, MIORIM Maria Ângela. O Ensino de Matemática. Ed. Atual,1986.
NOGUEIRA, C. M. I.; ANDRADE, D. Educação matemática e as operações fundamentais . Maringá: EDUEM, 2005. PEREIRA; Tânia Michel (Org); DREWS; Sonia Beatriz Teles; JAGMIN Ângela Susana; BORGES; Pedro Augusto Pereira. Matemática nas séries iniciais. Ed. - LIVRARIA UNIJUÍ EDITORA, RS, 1989. PINTO, N. B. Avaliação da aprendizagem como prática investigativa. In ROMANOWSKI, J. P., MARTINS, P. L. O., JUNQUEIRA, S. R. A. Conhecimento local e conhecimento universal : a aula, aulas nas ciências naturais e exatas, aulas nas letras e artes. Curitiba: Champagnat, 2004. SMOLE, Kátia Cristina Stoco. Mathema Ensino Fundamental. www.mathema.com,br, 2005. STAREPRAVO, Ana Ruth. O jogo e a Matemática no ensino Fundamental. Curitiba: Renascer, 1999.
ANEXOS
MATERIAL DOURADO ALTERNATIVO
(1)
(2)
(3)
Faça nas seguintes quantidades:
(1) 100 para cada grupo
(2) 25 para cada grupo
(3) 6 para cada grupo
Guarde as peças num envelope.
