0FRENTE B 3 BIMESTRE

0 a2 ANO PROF. Nádia

Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n ( indica-se m x n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas.

11 1

1

n

m mn

a a

A

a a

Se o número de linhas(m) for igual ao número de colunas (n), dizemos que esta matriz é de ordem n ou chamamos matriz n x n ( n por n).

Se o número de linhas for m e o número de colunas for n, dizemos que esta matriz é de ordem m x n (lê-se: m por n) ou simplesmente m x n.

Usamos letras maiúsculas para denotar matrizes e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (o número de linhas e colunas) escreveremos A m x n. Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a coluna (nesta ordem) em que ele está.

Os elementos da matriz A são indicados por em que:

ija

m n

i 1,2,3,...,m e j 1,2,3,...,n

Consideramos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por A m x n :

m n

2 3

0 2 6

1 3 4

x

C

É aquela que possui uma única coluna (n=1).

7

3

0

8

D

É aquela que possui uma única linha (m = 1)

0 1 3 9 6R

É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m=n).

1 12

3 4A

Numa matriz quadrada , os elementos em que i = j , constituem a diagonal principal.

  Numa matriz quadrada , os elementos em que a soma dos índices igual a n+1, constituem a diagonal secundária.

 1 7 3 8

3 1 1 3

4 1 9 0

5 3 2 3

D

Diagonal principal

Diagonal secundária

É aquela em que ai j = 0, para todo i e j. É aquela em que ai j = 0, para todo i e j.

0 00 0 0

0 00 0 0 ;

0 00 0 0

0 0

T N

É uma matriz quadrada (m = n) onde os elementos que não estão na diagonal principal são nulos, isto é, ai j = 0, para i j

7 0 0

0 4 0

0 0 9

X

Matriz Identidade ou Unidade de ordem n é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

nI

1 0 0

0 1 0

0 0 1

D

É a matriz diagonal que tem os elementos ai j iguais para i = j.

3 0 0

0 3 0

0 0 3

Z

ij mxnt

ji nxm ji ij

Dada uma matriz A (a ) , chama se transpostade A a matriz A (a ' ) tal que(a ' ) (a ), para todoi e j.

1 2

3 1

7 4

5 9

A

1 3 7 5

2 1 4 9tA

( )

( ) .

t t t

t t

tt

t t t

A B A B

A A

A A

AB B A

u

v

w

x

Uma matriz quadrada é simétrica se, e somente se ela é igual a sua transposta, ou seja se, e somente se A=At Uma matriz quadrada é simétrica se, e somente se ela é igual a sua transposta, ou seja se, e somente se A=At

1 1 5 1 1 5

1 0 2 1 0 2

5 2 2 5 2 2

tA A

Seja uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir B tal que :

Seja uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir B tal que :

nAB BA I

Se A não é inversível,dizemos que A é uma matriz singular.Se A não é inversível,dizemos que A é uma matriz singular.

Uma matriz quadrada é anti- simétrica se, e somente se, At = - AUma matriz quadrada é anti- simétrica se, e somente se, At = - A

0 1 5 0 1 5

1 0 2 1 0 2

5 2 0 5 2 0

tA A

ij mxnDada a matriz A a chama se oposta de A

e indica se A a matriz A tal que A A 0

11 0 11 0A e A

20 1 20 1

Duas matrizes são iguais se elas têm o mesmo número de linhas e colunas e todos os elementos estão dispostos na mesma posição são iguais.

ij ij ij ijmxn mxnDuas matrizes A a e B b são iguais quando a b

para todo i i 1,2,3,...m e j j 1,2,3,...n .

Exemplos :

1 3 1 3

7 4 7 4

1 3 1 3

7 4 17 14

ij ijmxn mxn

ij mxn

ij ij ijmxn

Dadas duas matrizes A a e B B

chama se soma A B a matriz C c

tal que c a b , para todo i e j.

ij ijmxn mxnDadas duas matrizes A a e B b

chama se diferença A B a matriz soma

de A com a oposta de .

B

2 3 8 5 7 9 0 9 8; ;

4 1 6 0 4 1 1 4 6A B C

7 4 1

4 3 5

5 16 17

1 0 5

A B

B C

ij mxn

ij ij ijmxn

Dado um número K e uma matriz A a , chama se

produto K.A a matriz B b tal que b k.a para todo

i e todo j.

11 0 33 0A e 3.A

20 1 60 3

ij jkmxn nxp

ik mxp

n

ik i1 1k i2 2k i3 3k in nk ij jkj i

Dadas duas matrizes A a e B b

chama se produto AB

a matriz C c tal que

c a . b a . b a b ... a . b a .b

REFERÊNCIA.

IEZZI , G. e HAZZAN, S. Fundamentos da Matemática Elementar.v. 4.Ed.Atual.6ed.