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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS COM MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS COM PENALIDADES: APLICAÇÃO NO PENALIDADES: APLICAÇÃO NO

POSICIONAMENTO RELATIVO GPSPOSICIONAMENTO RELATIVO GPS

DANIELE BARROCA MARRA ALVESDANIELE BARROCA MARRA ALVESMESTRANDAMESTRANDA

PROF. DR. JOÃO FRANCISCO GALERA MONICOPROF. DR. JOÃO FRANCISCO GALERA MONICOORIENTADOR ORIENTADOR

PROF. DR. MESSIAS MENEGUETTE JR.PROF. DR. MESSIAS MENEGUETTE JR.COORIENTADORCOORIENTADOR

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• As observáveis básicas do GPS estão sujeitas a erros:• aleatórios;• grosseiros; e • sistemáticos.

• No posicionamento relativo GPS de alta precisão envolvendo linhas de base de média distância, as principais fontes de erros sistemáticos são:• refração troposférica; e• refração ionosférica.

• Esses erros podem, não somente impedir uma segura resolução de ambigüidades, como também degradar a acurácia dos resultados;

INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO

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INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO• Para atenuar esses efeitos, alguns estudos têm sido

desenvolvidos no sentido de aplicar o MMQ com Penalidades:• Spline cúbica natural;• Modelo semi-paramétrico;

• Com esse método:• os erros são modelados como funções que variam suavemente

com o tempo; e• as funções de erros sistemáticos, ambigüidades e

coordenadas de interesse são estimados simultaneamente.

• A solução pode vir a requerer um menor intervalo de tempo de coleta de dados.

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OBJETIVOSOBJETIVOS

• O objetivo principal deste trabalho é implementar algoritmos que reduzam o intervalo de tempo necessário para a solução das ambigüidades GPS;

• Como objetivos secundários têm-se:• Apresentar o ajustamento com penalidades visando atenuar

erros sistemáticos no posicionamento relativo GPS;

• Verificar se no MMQ com Penalidades o intervalo de tempo de coleta de dados necessário para a solução da ambigüidade é reduzido; e

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MMQ COM PENALIDADESMMQ COM PENALIDADES

• Dada uma curva g duas vezes diferenciável definida em um intervalo [a, b], e um parâmetro suavizadorα > 0, a soma dos quadrados penalizada é dada por:

• A adição do termo da penalidade de aspereza assegura que:• S(g) de uma curva particular é determinada não somente

pela sua aderência aos dados, mas também pela sua aspereza.

( ) ( ){ }∑ ∫=

′′+−=n

iii gtgYgS

1

22 α

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MMQ COM PENALIDADESMMQ COM PENALIDADES

• Um exemplo dessa aproximação utilizando o MMQ com penalidades é dado na figura abaixo:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y

x

dadosspline

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SPLINESSPLINES

• ORIGEM: Régua elástica usada em desenhos de Engenharia, que pode ser curvada de forma a passar por um dado conjunto de pontos (xi, yi);

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SPLINESSPLINES

• Uma função s(t) é chamada de spline de grau n em [a,b] se para a<t1<...<tm-1<tm<b:• s(t) é um polinômio de grau n em cada subintervalo (ti-1,ti); e• s(t) tem n–1 derivadas contínuas em cada ti, e portanto em

[a,b].

• Uma spline cúbica sobre um intervalo [a,b] será ditauma spline cúbica natural se a segunda e terceiraderivadas são nulas em a e b;

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PARÂMETROPARÂMETRO SUAVIZADORSUAVIZADOR

• O parâmetro suavizador controla a suavidade da curva ajustada;

• Se α é pequeno, a principal contribuição para S(g) será a soma dos quadrados dos resíduos;

• Se α é grande, o mínimo de S(g) exibirá uma curvatura pequena;

• Se α é determinado pela validação cruzada generalizada, S(g) será minimizado de forma suave;

• Neste trabalho α é determinado automaticamente pela validação cruzada generalizada (GCV);

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PARÂMETRO SUAVIZADOR PARÂMETRO SUAVIZADOR PEQUENOPEQUENO

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y

x

dadosspline

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PARÂMETRO SUAVIZADORPARÂMETRO SUAVIZADORGRANDEGRANDE

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y

x

dadosspline

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PARÂMETRO SUAVIZADOR PARÂMETRO SUAVIZADOR QUE MINIMIZE S(g)QUE MINIMIZE S(g)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y

x

dadosspline

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PARÂMETRO SUAVIZADOR QUE PARÂMETRO SUAVIZADOR QUE MINIMIZE S(g)MINIMIZE S(g)

-371

-370.5

-370

-369.5

-369

-368.5

-368

-367.5

-367

-366.5

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

DD

do

códi

go

t

dadosspline

-370

-368

-366

-364

-362

-360

-358

-356

-354

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

DD

do

códi

go

t

dadosspline

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PARÂMETRO SUAVIZADORPARÂMETRO SUAVIZADOR

• A CV ou GCV é uma técnica usada para estimar o erro de predição, para um modelo ajustado aos dados;

• O erro de predição mede a capacidade de um modelo prever a resposta a uma observação futura;

• Essa técnica cria uma situação de “nova observação” para conjuntos de dados onde novas observações não estão disponíveis;

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PARÂMETRO SUAVIZADORPARÂMETRO SUAVIZADOR

• O valor calculado para GCV é:

2

1

2

1

)/()ˆ)(ˆ)(()ˆ)(ˆ(1

))(1(

)(1)(

ntrHmgNIxAyIgNIxAy

n

HItrn

VIVn

GCV

nnT

n

nm

nT

−⊗−−∑⊗⊗−−

=

=−

∑⊗=

−

−

α

2σ̂×=liberdadedegraun

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MODELO SEMIMODELO SEMI--PARAMÉTRICOPARAMÉTRICO

• No modelo semi-paramétrico, o cálculo das variáveis é dividido em duas partes:• Paramétrica; e • Não-paramétrica.

• O vetor semi-paramétrico pode ser expresso por:

• Para que se obtenha uma solução confiável, injunções adicionais, que correspondem a penalidade do ajustamento, devem ser adicionadas;

( ) nitgNxAy iiiii ,,2,1 K=++= ε

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MODELO SEMIMODELO SEMI--PARAMÉTRICOPARAMÉTRICO

• Trata-se do MMQ com Penalidades. Dessa forma, a função a ser minimizada é dada por:

• Minimizando e utilizando o método direto, tem-se:

( )( ) ( )( ) ( )( )∑ ∑ ∑ ∫=

−

=

=′′+−−−−n

ii

q

jjjiiii

Tiiii dttgtgNxAytgNxAy

1

1

1

2 minα

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]SnT

nT

SnT

nT yIAyIAAIAAIAx 11111ˆ −−−−− ∑⊗−∑⊗∑⊗−∑⊗=

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IMPLEMENTAÇÃO E COLETAIMPLEMENTAÇÃO E COLETADE DADOSDE DADOS

• O algoritmo de ajustamento com penalidades foi implementado no software GPSeq;

• Para tanto, ele está sendo desenvolvido em linguagem FORTRAN 77/90 integrado ao Borland C via DLLs;

• Os dados foram coletados com receptores de simples e de dupla freqüências;

• Como estação base, foi adotada a estação UEPP da RBMC que é mantida pelo IBGE;

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IMPLEMENTAÇÃOIMPLEMENTAÇÃO

Valores iniciais de α

Método direto: determinar osvalores de x e g

Calcular o valor de GCV para α escolhido

Estabelecer novos valores para α usando o método Gold Search

Valores finais de x e g

Não minimizou

Minimizou

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COLETA DE DADOSCOLETA DE DADOS

receptores

ASSIS

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COLETA DE DADOSCOLETA DE DADOS

REGENTE FEIJÓ

TrimbleZXII

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RESULTADOS PRELIMINARESRESULTADOS PRELIMINARES

• 5 épocas• Intervalo amostral: 1 min• Ângulo de elevação: 15°• Linha de base: 18km

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

X Y Z

Discrepâncias

Metros MMQ com

Penalidades

MMQ convencional

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RESULTADOS PRELIMINARESRESULTADOS PRELIMINARES

-0,20-0,100,000,100,200,300,400,50

X Y Z

Discrepâncias

Metros MMQ com

Penalidades

MMQ Convencional

• 5 épocas• Intervalo amostral: 1 min• Ângulo de elevação: 15°• Linha de base: 18km

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CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS

• Para avaliar os benefícios do método proposto, os resultados obtidos pelo MMQ com Penalidades serão comparados com o método paramétrico tradicional;

• Será verificado se o tempo mínimo de solução da ambigüidade é reduzido, minimizando custos de trabalho de campo;

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASREFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• FESSLER, J. A. Nonparametric Fixed-Interval Smoothing With Vector Splines. In: IEEE TRANSACTIONS ON SIGNAL PROCESSING, 1991. Proceedings… v.39, p.852-859.

• GREEN, P. J.; SILVERMAN, B. W. Nonparametric Regression and Generalized Linear Models: a roughness penalty approach. 1.ed. London: Chapman & Hall, 1994. 182p.

• JIA, M.; STEWART, M.; TSAKIRI, M. Mitigation of IonosphericErrors by Penalised Least Squares Technique for High Precision Medium Distance GPS Positioning. In: KIS 2001, Banff , Canada. Proceedings…, 2001. 1 CDROM.