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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DE COIMBRA
LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS
L.M.C.SIMÕES
1. INTRODUÇÃO
As linhas de influência dos efeitos (esforços ou deslocamentos) causados por uma acção de
qualquer tipo (carga ou deformação) numa estrutura podem ser obtidas de uma forma directa:
repete-se a análise supondo que uma acção unitária que percorre a estrutura ocupa várias posições.
Como cada condição de carregamento permite apenas obter uma ordenada da linha de influência,
este método directo só é conveniente quando se pretendem estudar várias secções e se utiliza um
computador.
Em alternativa pode usar-se o princípio de Muller-Breslau. Segundo este princípio, as linhas de
influência são representadas por deformadas. Deste modo é possível obter a forma de linha de
influência e as zonas da estrutura que, a ser carregadas, produzirão os efeitos mais desfavoráveis.O
princípio de Muller-Breslau é aplicado ao cálculo das ordenadas de linha de influência de treliças
hiperestáticas e pórticos. As primeiras e segundas derivadas da linha de influência de uma acção
para uma carga pontual unitária vão produzir duas linhas de influência da mesma acção que
correspondem a outros tipos de carregamento. A linha de influência correspondente às segundas
derivadas tem particular importância em estruturas pré-esforçadas hiperestáticas.
2. DETERMINAÇÃO INDIRECTA DE LINHAS DE INFLUÊNCIA
Para desenhar uma linha de influência particular impõe-se um deslocamento unitário na direcção da
força positiva. A deformada daí resultante tem de ser consistente com as restrições impostas naestrutura. Para a viga contínua representada na Fig.1, a linha de influência da reacção V1 que
corresponde a uma carga unitária que se desloca entre 2 e 3 pode ser determinada substituindo o
apoio por uma carga unitária.
Figura 1
Para se ter um deslocamento constante em 1:
b1o + f11 V1 = 0
supondo que as forças e os momentos são positivos se forem orientados de baixo para cima. Para
uma carga unitária numa posição x, tem-se:
f1x (-1) + f11 V1 = 0
Pelo teorema da reciprocidade de Maxwell, f1x = fx1. Então,
V1 = fx1 / fxx
onde fx1 é o deslocamento vertical em x devido a V1=1; f11 é o deslocamento vertical em 1 devido
a V1 = 1.
Para determinar a linha de influência pretendida, aplica-se um valor unitário V1 à estrutura e
determinam-se os deslocamentos verticais em diversos pontos da viga, bem como a deformação em
1. As ordenadas da linha de influência da reacção V1 são dadas pelos quocientes entre os valores
dos deslocamentos verticais nesses pontos a dividir pelo deslocamento em 1.
Para o caso geral do teorema de reciprocidade pode afirmar-se que a deformada da estrutura devida
a uma perturbação unitária representa a linha de influência do efeito que corresponde a essa
perurbação (Princípio de Müller-Breslau). Ao aplicar este princípio tem de assegurar-se que existe
correspondência perfeita quer entre o efeito cujo valor se pretende determinar e a perturbação
unitária aplicada, quer entre a carga aplicada que produz o efeito e o deslocamento do ponto de
aplicação da carga. Além disso, a escala de distorção tem de ser pequena para que a sua aplicação
não cause modificações na geometria essencial da estrutura.
2-1. Determinação de Linhas de Influência
Para obter uma linha de influência devida a qualquer acção que actua na estrutura:
1. A estrutura é libertada removendo-se para isso a restrição que corresponde à acção considerada.
1
1
23
x
1R
Isto significa que o grau de indeterminação estático da estrutura inicial é portanto diminuido de
uma unidade. Então, se a estrutura inicial for isostática a estrutura libertada é um mecanismo.
2. Introduz-se um deslocamento unitário na estrutura libertada no sentido oposto ao sentido positivo
de acção. Para obter essa deformação introduz-se uma força (ou um par de forças iguais e sentidos
opostos) que correspondem à acção.
3. As ordenadas da deformada são as ordenadas da linha de influência de acção. As ordenadas da
linha de influência são positivas se forem no mesmo sentido da carga aplicada.
2-2. Traçado Qualitativo de Linhas de Influência
O traçado de linhas de influência qualitativas em estruturas hiperestáticas segue o mesmo princípio
das estruturas isostáticas. Em estruturas isostáticas as linhas de influência são constituídas por
troços rectos. Deste modo para desenhá-las só é necessário conhecer o valor correspondente a uma
ordenada e sua forma. Esta ordenada pode ser obtida a partir da estática utilizando a dualidade
estático-cinemática ou atendendo à geometria da linha de influência. Em lugar de segmentos rectos
as deformadas de estruturas hiperestáticas são segmentos curvos. Por vezes é necessário obter os
valores quantitativos das ordenadas das linhas de influência em vários pontos da estrutura.
A deformada de uma estrutura hiperestática é normalmente mais difícil de traçar que a de uma
estrutura isostática. A Fig.2 demonstra como o princípio de Müller-Breslau pode ser utilizado para
obter a forma genérica da linhas de influência dos momentos flectores e esforços transversos nas
secções S1 e S2.
A B S1
S2
S3
DC
P=1
3 2 2 2 2 3
Figura 2
Para traçar as linhas de influência dos momentos flectores introduz-se uma rótula e impõe-se uma
rotação relativa unitária aplicando um par de momentos na secção a estudar. Enquanto na secção S2
as ordenadas da linha de influência mantêm o mesmo sinal no tramo central, verifica-se na secção
S1 que o sinal das ordenadas da linha de influência depende da posição da carga móvel neste tramo.
Para traçar as linhas de influência dos esforços transversos introduz-se um corte na secção e aplica-
se um par de forças unitárias de modo a introduzir um deslocamento unitário dos bordos do corte
mantendo o paralelismo destes. Verifica-se a existência de dois pontos de inflexão na linha de
influência de S1 e nenhum no caso de S2. As deformações unitárias da estrutura devem verificar-se
sem aplicar qualquer deslocamento noutra direcção. No caso de uma reacção de apoio, a separação
vertical das duas partes da estrutura não pode ser acompanhada pela rotação relativa das suas
extremidades.
2-3. Aplicação das Linhas de Influência
A visualização simples de deformadas permite esquematizar a forma da linha de influência, mesmo
sem ter qualquer ideia sobre os valores envolvidos. A convenção de sinal adoptada consiste em
tomar como positivas as ordenadas da linha de influência no sentido da acção. O valor de um
qualquer efeito T, devido a um sistema de cargas concentradas P1, P2, ..., Pn (Fig.3), é obtido
através do produto da intensidade da carga pela ordenada da linha de influência no ponto de
aplicação da carga.
I1
++
+
F1F2
1
++
Figura 3
Então,
T = z1 P1 + z2 P2 + ... + zn Pn = Σi=1,n zi Pi
Se a carga vertical for distribuída com intensidade p e estiver aplicada entre B e C, o valor do efeito
será dado por:
T = FBC z p dx
Sendo assim, partindo-se do traçado da linha de influência, é possível determinar quais são as
situações de carregamento mais desfavoráveis para uma dada secção. Uma vez que se sabe que uma
dada carga produz o efeito máximo, um cálculo estático simples permitiria determinar a intensidade
do efeito.Na presença de comboios de carga ou quando se faz a aplicação indirecta de cargas
rolantes, utilizam-se os procedimentos anteriormente descritos no capítulo referente a linhas de
influência de estruturas isostáticas.
O princípio de Muller-Breslau ajuda consideravelmente o traçado das linhas de influência
permitindo uma solução simples. Por outro lado serve de base a uma das técnicas de análise
experimental.
2-4. Análise Experimental
No método directo de análise experimental executa-se um modelo reduzido sendo carregado por
cargas inferiores às da estrutura real. Os materiais são normalmente idênticos e os módulos de
elasticidade tem o mesmo valor (ou mais reduzido) bem como os coeficientes de Poisson. As
medições de deformações e deslocamentos vão estar directamente relacionadas com o
comportamento do protótipo.
X
L in ha d e influ ên ciad o efe ito T
ZX
Z
L in ha d e influ ên ciad o efe ito T
Z1 Z2 Zn
P1 P2 … Pn
Z
B
P
C
No método indirecto utiliza-se o princípio de Muller-Breslau e os efeitos das cargas aplicadas (que
é normalmente utilizado para obter os valores das reacções) são calculados a partir das linhas de
influência. As distorções unitárias aplicadas se forem grandes podem ser medidas por uma régua, se
forem pequenas será necessário utilizar uma lente ou mesmo um microscópio. Neste útimo caso é
necessário um grande cuidado na escolha do equipamento a utilizar e as condições de ensaio. No
método indirecto assegura-se a semelhança entre o modelo e o protótipo para que o primeiro simule
correctamente diferentes aspectos do comportamento do segundo. Se por exemplo a energia de
deformação for armazenada na estrutura directamente em consequência de flexão dos membros
seria necessário que o modelo de representação do protótipo incluisse comprimentos das barras,
momentos de inércia, módulo de elasticidade, ainda que as escalas não tenham que ser
necessariamente iguais para cada um dos parâmetros. Se for necessária uma semelhança mais
completa com o modelo será mais simples adoptar o método directo de análise de modelos.
3. LINHAS DE INFLUÊNCIA EM TRELIÇAS
Para a obtenção de linhas de influência das reacções ou esforços nos membros em treliças
hiperestáticas pode utilizar-se o princípio da sobreposição de efeitos. Os coeficientes de influência
para qualquer acção numa estrutura hiperestática são obtidos adicionando os coeficientes de
influência para o mesmo tipo de acção numa estrutura libertada e os coeficientes de influência da
redundantes multiplicados pelo valor de acção que corresponde a valores unitários da incógnita
hiperestática. Se a estrutura for submetida a um único carregamento a actuar separadamente nas p
posições em que os coeficientes de influência são calculados, obtêm-se pela equação de
sobreposição dos coeficientes de influência:
{T} p x 1 = {Zs} p x 1 + [{ZF1} {ZF2} {ZFα}]p x α x {Fα} α x 1
onde α é o grau de hipersestaticidade, {Zf} são as ordenadas da linha de influência da estrutura
libertada e os elementos dos vectores {TF} são os coeficientes de influência devido às redundantes.
Para usar a equação é necessário calcular a linha de influência de uma treliça isostática, as linhas de
influência das redundantes e os valores da acção que correspondem à actuação de valores unitários
das redundantes.
3-1. Exemplo
Pretende obter-se a linha de influência da reacção em B e dos esforços nos membros N1 e N2 da
treliça representada na Fig.4. A carga rolante unitária vai actuar apenas nos nós 1-9. Supõe-se que
todos os membros tem o mesmo valor de L/EA, onde L é o comprimento dos membros e A a área
da secção transversal.
Figura 4
Para a treliça isostática da Fig.5 as incógnitas hiperestáticas são o esforço axial nos membros N3 e
N4. Nessa figura estão igualmente representadas as ordenadas que correspondem às linhas de
influência Zs de VB, N1 e N2 para os valores das acções na estrutura libertada.
Figura 5
De acordo com o princípio de Muller-Breslau a linha de influência de p1 será obtida aplicando um
par de forças iguais e de sentido oposto nas extremidades que correspondem a N3 na treliça
isostática, de modo que se obtenha um deslocamento relativo unitário na linha de acção
correspondente à sua barra. A deformada assim obtida daria a linha de influência que corresponde a
p1. A matriz da flexibilidade da estrutura libertada será:
l 57 3
F = ____
E A 3 57
estando representados na Fig.6 os esforços nas barras que correspodem à actuação de p1 = 1.
Obtem-se por simetria os esforços normais devidos a p2 =1. Uma extensão unitária de Z3 conduz às
redundantes p1 = - 57 EA/(405 l) e p2 = 3 EA/(405 l). Estas incógnitas hiperestáticas são os
elementos correspondentes à primeira coluna da matriz de rigidez da treliça isostática. Com estas
redundantes calculam-se os esforços normais em todos os membros e a partir da integração de
diagramas as deformadas nos nós 1-9 que correspondem às ordenadas da linha de influência da
incógnita hiperstática p1, igualmente representadas na Fig.6. Como a estrutura é simétrica as
mesmas ordenadas por ordem inversa correspondem a p2.
Figura 6
Para obter a linha de influência de reacção em B utiliza-se a equação de sobreposição para
determinar as coordenadas dos nós 1-9. Os elementos do vector {Fα} são as reacções em B que
correspodem a p1=1 e p2=1, tomando-se para sentido positivo as reacções de baixo para cima.
Figura 7
{Fα} = - 0.5 0.25 0.250 -0.167 0.000 0.334 0.500 -0.371 -0.004 0.685 0.750 -0.219 -0.007 0.858 0.750 -0.211 -0.155 -0.5 0.817T = 0.500 + -0.250 -0.250 = 0.562 0.250 -0.155 -0.211 0.25 0.275 0 -0.007 -0.219 -0.050 0 -0.004 -0.371 -0.091 0 0.000 -0.167 -0.042
As linhas de influência para os esforços nos membros Z1 e Z2 são determinados do mesmo modo eos resultados estão representados na Fig.7.
4. LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ESTRUTURAS RECTICULADAS
CA D-
+
B1 2 3 4 5 6
7 8 9
0.33
4
0.68
5
0.85
8
1.0 0
0
0 .8 1
7
0.56
2
0.2 7
5
0.05
0
0 .0 9
1
0.04
2
CA D-- -B
1
1
2 3 4 5 6 7 8 9
0.16
7 0.37
1
0 .2 1
9
0 .2 1
1
0.25
0
0.15
5
0 .00
7
0.00
4
0 .00
0CA D-B1 2 3
4 5 6
7 8 9
0.08
4
0.08
4
0.18
8
0.18
8
0 .11
3
0.11
3
+
0.3 1
7
0 .3 1
7 0 .7 5
0
Utiliza-se seguidamente a dualidade estático-cinemática (implícita no princípio de Müller-Breslau)
para obter as linhas de influência dos momentos nas extremidades de uma viga bi-encastrada. A
partir destes podem obter-se as linhas de influência das reacções, dos momentos e esforços
transversos em qualquer secção intermédia através de valores tabelados.
Em seguida são resolvidos exemplos de estruturas porticadas pelo método dos deslocamentos e
traçam-se as linhas de influência calculando a deformada através da integração de diagramas.
4-1. Viga Bi-encastrada
EXEMPLO 1
Pretende determinar-se a linha de influência dos momentos flectores em A e B, para uma carga
vertical que percorre a viga da Fig.8.
Figura 8
Resolução:
1. Dualidade estático cinemática
Para a linha de influência do momento em A determinada a partir da dualidade estático-cinemática
e supondo λ1 aplicada numa secção S, qualquer de AB, tem-se:
q11A
λ1S __________> X1A relação primal
r11S
δ1S <__________ du1A relação dual
onde q11A = r11
S, ou seja: o momento em A devido à carga λ1=1 aplicada em S, é numericamente
igual ao deslocamento em S do mesmo tipo da carga λ1, quando se aplica uma extensão unitária e
positiva do tipo 1 du1=1 em A.
Atendendo a que a carga λ1 percorre toda a estrutura, o momento flector em A é proporcional à
deformada da estrutura quando se aplica, na secção A, uma deformação unitária e positiva do tipo
do esforço pretendido (du1A=1).
2. Aplicação de du1A
Para obter a linha de influência do momento no encastramento A, introduz-se uma rótula em A e
aplica-se nesse ponto um momento que produza uma rotação unitária nessa extremidade.
Figura 9
Surgem os momentos:
MA = -4EI/L MB = 2EI/L
A expressão que permite calcular a deformada y num membro prismático AB devido aos
momentos nas extremidades MA e MB, com módulo de rigidez à flexão EI, será:
y = [MA ( 2 ε − 3 ε2 + ε3) − ΜΒ (ε − ε3)] L2/6EI
onde ε=x/L. Substituindo os valores de MA=-4EI/L e MB= 2EI/L (sinal dos momentos dado pela
convenção da Resistência de Materiais), vem a equação da deformada resultante da aplicação de
du1A = 1:
y = L (- ε3 + 2 ε2 - ε)
ε 0 0.3 0.5 0.7 1
y 0 -0.147L -0.125L -0.063L 0
Para ε=0 e ε=1 são nulos os deslocamentos verticais. A linha de influência do momento flector em
A B
A B=+ 1.0Du
A
1
A devido à carga rolante λ1, será dada por
Figura 10
O traçado da linha de influência do momento flector em B é em tudo semelhante à resolução
anterior. Aplicando du1B, surgem os momentos:
MA = 2EI/L MB = - 4EI/L
Substituindo estes valores na expressão da deformada, obtêm-se:
y = L (ε3 - ε2)
ε 0 0.3 0.5 0.7 1y 0 -0.063L -0.125L -0.147L 0
A linha de influência do momento flector em B, devido à carga rolante λ1, será:
Figura 11
Uma vez que a viga é simétrica as ordenadas de influência no momento na extremidade MB podem
ser calculadas a partir de MA modificando o sinal e o ponto de partida.
A linha de influência de reacção VA pode ser calculada a partir de
VA = VAS - (MA + MB)/L
0 0-
-0.147 1 L1L-0.125
1L-0.063
=0 =0.3 =0.5 =0.7 =1
-0 0
-0.147 1 L1L-0.125
1L-0.063
=0 =0.3 =0.5 =0.7
onde VAS é a linha de influência da reacção em A de uma viga AB simplesmente apoiada.
EXEMPLO 2
Para a viga representada na Fig.12, determinar:
a) A linha de influência da reacção vertical em A, devido a uma carga vertical unitária que se
desloca ao longo da referida estrutura.
b) A linha de influência da rotação em C, para uma resultante unitária de extensões du1 que
percorre a viga.
Figura 12
Resolução:
a) Estabelece-se em primeiro lugar um par de relações primal/dual ajustadas ao enunciado.
1. Dualidade estático-cinemática
Arbitrando um sentido para a reacção em A,
Figura 13
q21A
CA B
0.4L 0.6L
A B
VA
λ1S __________> X2A relação primal
r12S
δ1S <__________ du2A relação dual
Como q21A = r12S, tem-se: X2A = q21A λ1 = r12S. Portanto, a reacção vertical em A devida à
acção de uma carga unitária e positiva é numericamente igual ao deslocamento em S do mesmo tipo
da carga λ1, quando se aplica uma extensão unitária e positiva do tipo 2 du2=1 em A.
2. Aplicação de du2A = 1
Note-se que a extensão du2A=1 (deslocamento transversal relativo de duas secções infinitamente
próximas em A e sem rotação relativa entre elas) na estrutura real, pode se encarada como o
resultado de duas situações. São elas:
1º- Extensão du2A aplicada à barra AB libertada nas extremidades:
Figura 14 Linha de influência de VA para a viga simplesmente apoiada AB
2º - Aplicação de momentos MA e MB que reponham a rotação nula em A e B (porque se trata
de encastramentos)
A2
=1
A B=0 =0.3 =0.5 =0.7 =1
1/L
du
Figura 15
Da sobreposição destas situações, resulta:
Figura 16
Como se indicou anteriormente, os deslocamentos verticais originados pelos momentos nas
extremidades, são dados por
y = 2 ε3 - 3 ε2 + εO quadro a seguir indicado apresenta algumas ordenadas da linha de influência de VA.
ε 0 0.3 0.5 0.7 1y(du2A) 0 0.084 0 -0.084 0y(MA,MB) 1 0.7 0.5 0.3 0y(total) 1 0.784 0.5 0.216 0
A B
MA
= 6EIL 2
=MB
6EI2L
6EI2L
6EI2L
Figura 17 Linha de influência de VA devido uma carga vertical unitária
b) 1. Dualidade estático-cinemática
r21C
δ2C <__________ du1S relação primal
q12S
λ2C __________> X1S relação dual
Como r21C = q12S, δ2C = r21C du1S = q12S, onde S representa uma secção genérica da viga AB.
Quer isto dizer que a linha de influência da rotação em C, devido a uma resultante unitária de
extensões du1 que percorre a viga coincide com o diagrama de momentos resultante da aplicação
do momento unitário em C.
2. Aplicação de um momento unitário em C (λ2C=1)
Figura 18
Recorrendo a tabelas, o diagrama de momentos para o momento unitário em C indicado na Fig.19
coincide com a linha de influência pretendida.
1
0
0.7840.5
0.216+
CA B
1
0.4L 0.6L
Figura 19
4-2 Linhas de influência de Estruturas Recticuladas
Para obter a linha de influência do momento MBC no pórtico indicado na Fig.20 pelo princípio de
Muller-Breslau as ordenadas são idênticas às que corresponderiam à deformada do pórtico
produzida por uma descontinuidade angular na extremidade BC. Supondo que as extremidades se
encontram bloqueadas, os momentos nas extremidades que corresponderiam a esta descontinuidade
seriam os momentos de encastramento perfeito. Seguidamente permitem-se as rotações (e
translacções) dos nós e obtem-se o diagrama de momentos flectores através de um dos métodos
estudados na análise de estruturas hiperestáticas. Este diagrama será linear em cada um dos
membros. As deformações que dão as ordenadas da linha de influência são calculadas por
sobreposição das deformações devidas aos momentos nas extremidades como foi anteriormente
indicado.
As ordenadas que correspodem aos pilares BD na linha de influência permitiriam calcular os
valores de MBC resultantes da aplicação de uma carga horizontal no tabuleiro.
EXEMPLO 1
Determinar as linhas de influência:
a) Momento flector em A para as cargas rolantes λ1 e λ2.
b) Rotação em B para du2 que percorre ABC.
A BC
-0.456 -0.32
0.12
0.544
++
--
Figura 20
Resolução:
a) 1. Dualidade estático-cinemática
q11A
λ1S __________> X1A relação primal
r11S
δ1S <__________ du1A relação dual
donde X1A = q11A λ1S = r11S λ1S
q12A
λ2S __________> X1A relação primal
r21S
δ2S <__________ du1A relação dual
donde X1A = q12A λ2S = r21S λ2S. Assim, para a linha de influência de X1A devido a λ1,
interessa obter os deslocamentos verticais provocados por du1A=1, enquanto no que diz respeito a
λ1, são necessárias as rotações provocadas por essa extensão.
20
2.0 3.0
A BC
D
BC
D
2. Aplicação de du1A
Consiste nos seguintes passos:
1º- Introdução, na secção A, de uma libertação do tipo do esforço aí pretendido (rótula).
Figura 21
2º - Aplicação de uma rotação unitária e positiva em A
Figura 22
3º - Bloqueio da libertação introduzida, mantendo a deformação imposta.
BC
D
BC
D
A
A
1 =1du
Figura 23
4º - Libertação do resto da estrutura, permitindo a distribuição de momentos.
4. Cálculo dos esforços pelo método dos deslocamentos
Figura 24
BC
D
A
2EI2
24EI
B C
D
A
D 1
Forças de fixação:
F1 = - 2EI/2 = - EI
Matriz de rigidez:
K11 = 4 EI/2 + 3 EI/3 + 4 EI/2 = 5 EI
Donde se obtem o deslocamento D1:
D1 = - F1/K11 = 1/5
Momentos finais (convençãode Grinter):
MA = - 4 EI/2 + 1/5 2EI/2 = - 9 EI/5
MBesq = -2EI/2+1/5 4EI/2 = - 3 EI/5
MBdir = 0 + 1/5 3EI/3 = EI/5
MC = 0
4. Cálculo das ordenadas das linhas de influência
Barra AB
Os deslocamentos verticais em AB dependem apenas dos momentos nas extremidades, ou seja,
y = 22/6EI [-9EI/5 (ε3 - 3 ε2 + 2 ε)-3EI/5 (ε3-ε)] = - 8/5 ε3 + 18/5 ε2 - 2 ε
As rotações devidas aos momentos nas extremidades de uma barra libertada nas extremidades
são dadas por (adoptando para os momentos a convenção da Resistência de Materiais):
θ = L/6EI [MA (3 ε2 - 6 ε + 2) - MB (3 ε2 - 1)]
Substituindo os valores de MA = -9/5EI e MB = 3/5EI, esta expressão toma a seguinte forma
θ = -12/5 ε2 + 18/5 ε - 1
Barra BC
Devido aos momentos nas extremidades (MBdir e MC), tem-se
y = 32/6EI [1EI/5 (ε3 - 3 ε2 + 2 ε)] = 3/10 (ε3 - 3 ε2 + 2 ε)
θ = 3/6EI [EI/5 (3 ε2 - 6 ε + 2)] = 1/10 (3 ε2 - 6 ε + 2)
Daqui resulta:
Barra ε 0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1AB y 0 -0.166 -0.319 -0.3 -0.185 -0.050 0 θ -1 -0.664 -0.136 0.2 0.344 0.296 0.2BC y 0 0.051 0.107 0.113 0.082 0.030 0 θ 0.2 0.143 0.047 -0.025 -0.073 -0.097 -0.1
As linhas de influência de X1A devido às cargas λ1 e λ2 e que correspondem, respectivamente a
uma carga rolante vertical e um momento que percorre a viga encontram-se representadas na
Fig.25.
b) 1. Dualidade estático-cinemática
r22B
δ2B <__________ du2S relação primal
q22S
λ2B __________> X2S relação dual
r22B = q22B, donde : δ2B = r22B du2S = q22S du2S. Ou seja, a linha de influência da rotação em
B é proporcional ao diagrama de esforço transverso, resultante da aplicação de um momento
unitário em B.
0.000 0.000A B
C
+
--0.166
-0.319 -0.3-0.185
-0.050
0.0510.107 0.113 0.082
0.030
( )1
-
+AB
C
-1.000
-0.664
-0.136
0.2000.344 0.296
0.2000.143
0.047
-0.025 -0.073-0.097
-0.100
( )2
Figura 25
2. Aplicação de um momento unitário em B
Figura 26
3. Cálculo dos esforços pelo método dos deslocamentos
Forças de fixação:
F1 = - 1
Matriz de rigidez:
K11 = 5 EI
Deslocamento D1:
D1 = -F1/K11 = 1/5EI
Momentos finais:
MA = 0 + 1/5EI 2EI/2 = 1/5
MBesq = - 1 + 1/5EI 4EI/2 = - 3/5
MBdir = 0 + 1/5EI 3EI/3 = 1/5
MC = 0
B C
D
A
1
A linha de influência da rotação em B será dada por
Figura 27 - Linha de influência da rotação em B para uma resultante de extensões du2.
EXEMPLO 2
Para a viga contínua indicada na Fig.28, determinar a linha de influência de:
a) Reacção no apoio elástico B.
b) Momento flector em E.
em que L = 5.0 m, I = 0.001 m4 e E = 106 kN/m2
Figura 28
Resolução:
Trata-se de uma estrutura hiperestática submetida a um carregamento indirecto.Quando a carga
actua num qualquer tramo da viga isostática:
o esforço S será:
S = R1 S1 + R2 S2
+
-AB C
2 )du(
Figura 29
Deste modo,
L.I. S = S1 x (L.I.R1) + S2 x (L.I.R2)
Assim, à semelhança do que se passa em estruturas isostáticas, a linha de influência entre pontos de
carga indirecta, obtém-se unindo por uma recta os pontos da linha de influência relativa ao
carregamento directo:
a) 1. Dualidade estática cinemática
q31B
λ1S __________> X3B relação primal
r13S
δS <__________ du3B relação dual
donde X3B = q31B λ1S = r13S
Encarando o apoio elástico B como uma barra com a mesma rigidez axial que a rigidez do apoio, e
sujeita apenas a esforço axial, a reacção vertical em B (ou esforço axial na barra fictícia) causada
pela actuação de uma carga transversal, unitária e positiva, é numericamente igual ao deslocamento
transversal dessa secção devido a uma extensão unitária e positiva do tipo 3 em B.
2. Aplicação da extensão du3B
Este problema vai ser resolvido pelo método dos deslocamentos.
Figura 30
2.1. Graus de liberdade a considerar
A estrutura tem três graus de indeterminação cinemática:
2.2 Matriz de rigidez
2.2.1. Rotação imposta segundo o G.L. 1.
Figura 31
D1
D2
D 3
A D
D1 =+1
B
C
A B
3EIL
3EIL2
3EIL2
B C
L2EI
L26EI
L26EI
L4EI
Donde,
K11 = 7 EI/L ; K21 = 2 EI/L ; K31 =..- 3 EI/L2 + 6 EI/L2 = 3 EI/L2
2.2.2. Rotação imposta segundo o G.L. 2.
Figura 32
Donde,
K12 = 2 EI/L ; K22 = 7 EI/L ; K32 = 6 EI/L2
2.2.3. Translação imposta segundo o G.L. 3.
D = + 12
L2EI
L26EI
L26EI
L4EI 3EI
L
3EIL2
3EIL2
Figura 33
Donde,
K13 = 3 EI/L2 ; K23 = 6 EI/L2 ; K33 =..15 EI/L2 + K
2.3. Vector de forças de fixação
A aplicação da extensão du3B será decomposta em 3 etapas e considera-se uma barra fictícia com
rigidez axial igual a K na posição da mola. Tem-se:
Figura 34
1º) Liberam-se os nós B e C e aplica-se du3B
AB C D
B 1
K
Figura 35
2º) Restabelece-se a continuidade em B e C, mediante a aplicação de momentos e
forças de extremidade, solidarizando-se as rótulas introduzidas e bloqueando a
estrutura.
Figura 36
3º) Liberta-se a estrutura de modo a que por acção dos sistema de forças
anteriormente aplicado esta fique em equilíbrio.
Bdu3
= + 1
Bdu3
= + 1
Figura 37
F1 = - 3 EI/L2 + 6 EI/L2 = 3 EI/L2
F2 = 6 EI/L2
F3 = 3 EI/L2 + 12 EI/L2 = 15 EI/L2
2.4. Resolução do sistema de equações
K D = - F
Obtem-se a a solução,
- 0.0371D = - 0.1486 - 0.0713
2.5. Momentos finais
MA = 0
MBesq = - 3 EI/L D1 + 0 D2 + 3 EI/L2 D3 + 3 EI/L2 = 133.7296
MBdir = 4 EI/L D1 + 2 EI/L D2 + 6 EI/L2 D3 + 6 EI/L2 . = 133.7296
MCesq = - 2 EI/L D1 - 4 EI/L D2 - 6 EI/L2 D3 - 6 EI/L2 ..= -89.1530
MCdir = 0 D1 + 3 EI/L D2 + 0 D3 + 0 . = -89.1530
MD = 0
3E I
L23E I
L3
3E I
L3
L26E I
L26E I
L3
12E I
L3
12E I
Figura 38
2.6. Cálculo dos deslocamentos
O deslocamento total sofrido pelos pontos da viga é a sobreposição de 3 quantidades:
a) δ1S - Deslocamento devido a movimento de corpo rígido sofrido pelas barras da estrutura com
libertações, devido à imposição de du3B = +1 (Etapa 1. de 2.3.).
Figura 39
b) δ2S - Deslocamento devido a movimento de corpo rígido sofrido pelas barras, devido à
recuperação (D3) de parte do assentamento du3.
+
-
133.7296
89.1530
S= +
1a 1L
a1 a 2
L L
S1
= 1-a 2L
Figura 40
c) δ3S - Deslocamento devido à deformação elástica das barras, devida aos momentos flectores
introduzidos pelo assentamento.
Figura 41
O cálculo de δ1S e δ2S é imediato e está indicado nas figuras. Para δ3S calcula-se q11,
considerando para tal a estrutura isostática:
a 1 a 2
S= +
a 1L2
D 3S = 1-
a 2L2
( ) D 3
133.7296 - 89.1530
3
S= 911 1
1EI
d
Figura 42
O diagrama q11, para uma carga posicionada numa secção arbitrária S, é igual para os 3 vãos.
2.6.1. Cálculo de δ3S no vão AB
δ3S = F• q11 x1/EI dx
Este integral é não nulo só em AB, dando a integração directa por tabelas
Figura 43
δ3S = I = (0.2 ab) (133.7296) 5/6 (1 + a/5) x 10-3 ⇒ δ3S = 0.0223 ab (1 + 0.2 a)
2.6.2. Cálculo de δ3S no vão BC
a
A B C D
L L L
Figura 44
δ3S = (0.2 ab) [133.7296 E-03 5/6 (1 + b/5) - 89.1530 E-03 5/6 (1 + a/5)]
⇒ δ3S = 0.2 ab [0.03715 + 0.02229 b - 0.01486 a]
2.6.3. Cálculo de δ3S no vão CD
Figura 45
+
abL
911 -
(CD) - 89.1530 E -03
δ3S = (0.2 ab) (-89.1530 E-03) 5/6 (1 + b/5) ⇒ δ3S = -0.01486 ab (1 + 0.2 b)
2.6.4. Deslocamentos finais
Em AB:
δS = a/L+a/L D3 + 0.0223 ab (1 + 0.2 a) = 0.18574 a + 0.0223 ab [1 + 0.2 a]
Em BC:
δS = 1 - a/L + (1 - a/L) D3 + 0.2 ab [0.03175 + 0.0229 b - 0.01486 a]
= 0.92868 - 0.18574 a + 0.2 ab [0.03175 + 0.02229 b - 0.01486 a]
Em CD:
δS = 0 + 0 - 0.01486 (1 + 0.2 b).ab = -0.01486 ab (1 + 0.2 b)
2.7. Linha de influência
Tomando valores sucessivos para A e B nas equações anteriores, obtém-se a seguinte deformada,
que representa a linha de influência da reacção no apoio elástico:
Figura 46
Considerando a secção S posicionada sucessivamente nas abcissas,
0, L/n, 2 L/n, ..., (n-1) L/n, L
traça-se a deformada por pontos discretizando o vão em n intervalos. Para a viga com carregamento
indirecto, a linha de influência obtém-se por simples união, por segmentos de recta, dos pontos
correspondentes aos de carga indirecta (numerados de 1 a 10).
b) 1. Dualidade estático-cinemática
q11E
λ1S __________> X1E relação primal
r11S
δ1S <__________ du1E relação dual
donde X1E = q11E λ1S = r11S
O momento flector em E, devido à acção de uma carga transversal, unitária e positiva, aplicada em
S, é numericamente igual ao valor do deslocamento transversal dessa secção provocado por uma
extensão unitária e positiva do tipo 1 em E.
2. Aplicação da extensão du1E
A matriz de rigidez anteriormente determinada mantém-se inalterada.
2.1. Vector de forças de fixação
Consideram-se as 3 etapas seguintes:1º) Liberação do nó C e ponto E e aplicação de du1E
Figura 47
2º) Solidarização do ponto E, após a aplicação de du1E e reposição da continuidade
em C, mediante força e momento de fixação.
E
du = + 11
E
Figura 48
3º) Liberta-se a estrutura que se deforma por acção do sistema de forças
anteriormente aplicado.
Figura 49
Com o mesmo sistema de graus de liberdade da alínea a), vem
Figura 50
du = + 11
E
du = + 11
E22 L- 3EI
L- 3EI
2 L- 3EI
X =
2 L- 3EI
22L3EI ( )- =
F1 = 0 ; F2 - 3 EI/(2 L) ; F3 = 0
2.2. Resolução do sistema de equações
Obtem-se o seguinte vector de deslocamentos
- 0.0649D = 0.2405 - 0.0446
2.3. Momentos finais
MA = 0
MBesq = - 3 EI/L D1 + 0 D2 + 3 EI/L2 D3 = 33.5810
MBdir = 4 EI/L D1 + 2 EI/L D2 + 6 EI/L2 D3 = 33.5810
MCesq = - 2 EI/L D1 - 4 EI/L D2 - 6 EI/L2 D3 = - 155.7207
MCdir = 0 D1 + 3 EI/L D2 + 0 D3 - 3 EI/(2 L) = - 155.7207
MD = 0
2.4. Cálculo dos deslocamentos
Como anteriormente, o deslocamento final é a sobreposição de 3 quantidades indicadas na Fig.52.
Figura 51
Figura 52
2.5. Cálculo de δ3S
2.5.1. Vão AB
Figura 53
δ3S = (0.2 ab) (33.5810 E-03) 5/6 (1 + a/5) ⇒ δ 3S = 0.00560 ab (1 + 0.2 a)
2.5.2. Vão BC
a
1 12
( )L - a
L4
D 3
22D3
aL 2
D3( )aL
1 -
a a
31E I
911 d1
Figura 54
δ3S = 0.2 ab [ 33.5810 E-03 5/6 (1 + b/5) - 155.7207 E-03 5/6 (1 + a/5)]
⇒ δ 3S = 0.2 ab [ -0.10178 + 0.00560 b - 0.02595 a]
2.5.3. Vão CD
Figura 55
δ3S = (0.2 ab) (- 155.7207 E-03) 5/6 (1 + a/5) ⇒ δ 3S = -0.02595 ab (1+ 0.2 b)
2.6. Deslocamentos totais
δS = δ1S + δ2S + δ3S
Em AB:
δS = 0 + 0.2 a D3 + 0.00560 ab (1+ 0.2 a) = -0.00892 a + 0.00560 ab (1 + 0.2 a)
Em BC:
δS = 0 + (1 - 0.2 a) D3 + 0.2 ab [-0.10178 + 0.00560 b - 0.02595 a]
= 0.04458 + 0.00892 a + 0.2 ab [-0.10178 + 0.00560 b - 0.02595 a]
Em CD:
CE: δS = 0.5 a + 0 - 0.02595 ab (1 + 0.2 b) = 0.5 a - 0.02595 ab (1+ 0.2 b)
ED: δS = 0.5 (5 - a) + 0 - 0.02595 ab (1+ 0.2b) = 2.5 - 0.5 a - 0.02595 ab (1+ 0.2 b)
2.7. Linha de influência
Como anteriormente, para o carregamento indirecto basta unir os pontos correspondentes à posição
dos apoios indirectos na viga contínua principal (pontos 1 a 10).
+
9 11
abL
1EI 1 +
-
33.5810 E - 03
155.7207 E-03
+9 11
abL
-
1E I 1 155.7207 E - 03
5. COEFICIENTES DE INFLUÊNCIA DO PRÉ-ESFORÇO
As linhas de influência podem ser utilizadas para analisar o efeito do pré-esforço em estruturas
hiperestáticas de betão. Supõe-se que a viga é pós-tensionada por um cabo de pré-esforço com
tensão constante P. O cabo está ancorado nas extremidades produzindo forças de compressão no
betão. Normalmente o angulo θ que a direcção do cabo faz com o eixo da viga é tão pequeno que a
componente axial da força de pré-esforço é a igual a
P.
Se o cabo mudar de direcção com uma trajectória aproximadamente circular com raio R, o cabo
exerce na viga uma força radial uniforme que se pode aproximar por uma força uniformemente
distribuída perpendicular ao eixo da viga de intensidade P/R e igual à projecção do arco no eixo.
Uma vez que a curvatura do cabo é pequena pode escrever-se:
1/R ¥ d2e/dx2
onde e se refere à excentricidade do cabo que é positiva abaixo do centro de gravidade e a curvatura
dos cabos produz uma carga transversal de intensidade:
1
2 3
45 6
7
8 9
10A
B CD
0.00
940.
0180
0.02
480.
0292
0.03
020.
0270
0.01
88
0.00
46
0.01
60
- 0.
0446
- 0.0
804
- 0.
0199
- 0.
1584
- 0.1
910
- 0.
2131
- 0.
2199
- 0.
2068
- 0.
1689
- 0.
1015
0.13
93
0.31
32
0.51
840.
7509
0.78
20
1.00
67
0.57
29
0.37
54
0.18
58
q = - P d2e/x2
que é positiva se q for no sentido de e.
Os esforços na viga causados pelo pré-esforço são indicados na Fig.56. O diagrama de momentos
flectores Ms é obtido multiplicando P pela excentricidade.
A BM
M
Figura 56
e
A BC
X P P
CeeeB
B0
A0 B0( ) =0 A0 +
b c
A BCP P
Beam axis
P A0 + 0 B( ) BP0P0
A
BP e
A BC
P A0 + 0 B( ) bc1
Pe B
Pe
+
-
Se a rotação de extremidade B da viga estiver restringida há um momento hiperestático nessa
extremidade que provoca um momento adicional M. Designa-se por M o momento secundário
devido ao pré-esforço. Apesar do nome, o momento secundário pode ter um valor da mesma ordem
de grandeza do momento primário (isostático) Ms. O momento flector numa secçãopré-esforçada
de uma estrutura hiperestática é igual à soma desses dois componentes.
O diagrama de momentos total M pode ser obtido aplicando cargas transversais nos pontos em que
o cabo muda de direcção e forças de compressão excentricas nas secções em que o cabo está
ancorado, efectuando-se a análise da estrutura hiperestática como habitualmente. Experimenta-se
um traçados do cabo e verifica-se os momentos e esforços em todos os pontos da estrutura.
Modifica-se o traçado por tentativas até se obter um que satisfaz todas as especificações. Para
estudar o efeito dos momentos secundários utiliza-se um novo tipo de coeficientes de influência:
Os coeficientes de influência devidos ao pré-esforço podem ser obtidos para qualquer tipo de acção,
embora seja mais comum os momentos flectores. O coeficiente de influência dos momentos
devidos ao pré-esforço em j, zMP é definido como o momento secundário na secção i devido a uma
força de pré-esforço aplicada na secção j com excentricidade unitária num membro com
comprimento unitário.
Figura 57
Os coeficientes de influência de pré-esforço dependem apenas da geometria da estrutura de betão e
não do perfil dos cabos e valores da força de pré-esforço.A utilização desses coeficientes permite
entrar com a variação da força de pré-esforço segundo o tendão, obtendo-se uma estimativa rápida
dos efeitos do pré-esforço quando se estuda a alteração da posição do cabo durante a fase de
projecto. O momento secundário em qualquer secção será:
M = ..... F P e zMP dx
onde a integral se estende a todos os membros da estrutura. O cálculo deste integral consiste na
determinação dos esforços devidos a uma carga transversal de intensidade Pe. Para pórticos com
membros prismáticos a linha de influência é composta por troços rectos. Então, o momento
secundário devido ao pré-esforço de uma viga prismática de comprimento l será:
M = área do diagrama Pe sobre x ordenadas de influência zMP no
o comprimento da viga centro de gravidade do diagrama Pe
5-1. Relações entre as Linhas de Influência
O coeficiente de influência zMP para o momento secundário numa secção qualquer devido ao pré-
esforço está relacionado com o coeficiente de influência dos momentos flectores zMQ que
correspondem a uma carga transversal através da equação:
zMP = - d2zMQ/dx2
zMP em j é o momento secundário na secção i (ou o momento total, em virtude de Ms ser nulo em
i) devido à força de pré-esforço unitária aplicada em j com uma excentricidade unitária num
elemento com comprimento unitário. A diferença de rotação entre as secções nas extremidades do
membro é 1/EIj em que EIj é a rigidez à flexão da secção j. Deste modo o coeficiente de influência
zMP representa o momento flector em i quando se introduz uma descontinuidade angular de 1/EIj
em j.
A Fig.57 representa a linha de influência dos momentos em i devido a uma carga unitária.
Atendendo ao princípio de Muller-Breslau, esta pode ser determinada a partir da deformada
provocada pela descontinuidade de 1 rad na secção i. Na secção j a curvatura da deformada é
d2zMQ/dx2 e o momento flector correspondente nessa secção é - EIj/(d2zMQ/dx2).
Aplicando o princípio de Betti ao sistema da Fig.57 e notando que as únicas forças que produzem
trabalho são os momentos flectores em i e j:
d2 1
zMP x 1 = (-E Ij ____.zMQ).____
dx2 E Ij
Do mesmo modo se demonstra que a reacção e o esforço transverso secundários devido ao pré-
esforço estão relacionados com os coeficientes de influência das reacções e esforços transversos
devidos a cargas unitárias transversais substituindo M por M, V por V ou R por R.
Enquanto que a segunda derivada da linha de influência de uma acção devido a uma carga
transversal dá a linha de influência do pré-esforço, pode demonstrar-se que a primeira derivada
também constitui uma linha de influência. Por exemplo, se a acção for um momento tem-se:
zMC = dzMQ/dx
onde zMC é a linha de influência do momento numa secção devido a um binário.
5-2. Coeficientes de Influência de Pré-esforço em Vigas e Pórticos
A linha de influência zMQ para o momento flector no apoio B da viga contínua ABCD está
determinada na Fig.5
Figura 58
Conclui-se do princípio de Muller-Breslau que esta linha de influência corresponde à deformada da
viga sujeita a uma descontinuidade angular em B. O momento flector m correspondente a esta
A B
C D+
m
A B
C D+
-
mE I = MP
M QA
B C D-
1 +
A B C D
deformada varia linearmente e está relacionado com a deformada ηMQ através da relação:
d2zMQ/dx2 = - m/E I
Conclui-se que os coeficientes de influência zMP podem ser obtidos dividindo as ordenadas m do
diagrama de momentos flectores pela rigidez EI de cada secção.
zMP = m/E I
Um dos passos da determinação das ordenadas da linha de influência em vigas biencastradas e
pórticos consiste no traçado da deformada. A partir desta pode ser determinado o diagrama e
momentos m.
5-3. Exemplo
Determinar a linha de influência do momento de pré-esforço zMP para a secção B da viga contínua
ABC. A secção transversal tem uma forma rectangular com largura constante e altura variável com
uma rigidez à flexão EIA na extremidade A.
A rigidez rotacional da extremidade B da viga BA é 4.6 E IA/l. Efectua-se da forma habitual a
distribuição de momentos e na Fig.59 representa-se a variação do momento flector m.
Figura 59
1.0
10 10 10
A B C
hh1.6
1.73
2.74
4.10
L L
-
m B = - 2305 E II
A
0.50 0.50
+4.61-2.305+2.305
0
-2.305-2.305
1L
-
1.61
1.07
0.76
0.56
As ordenadas deste diagrama são divididas por EI para determinar a linha de influência zMP
representada nessa figura.
5-4. Conclusões
O estudo das derivadas dos coeficientes de influência devido ao pré-esforço introduz dois novos
tipos de linhas de influência. A primeira derivada da linha de influência de qualquer acção devido a
uma carga transversal unitária vai dar a linha de influência para a mesma acção devido a um
momento que precorre a estrutura. Este tipo de linha de influência não é normalmente utilizado na
prática. Contudo, a segunda derivada da linha de influência de uma acção devido a uma carga
transversal dá os coeficientes de influência das redundantes hiperestáticas da acção devido às forças
de pré-esforço. Esta linha de influência é útil para a determinação de momentos secundários em
estruturas pré-esforçadas com perfil não concordante.
Os coeficientes de influência dos momentos secundários devido ao pré-esforço só dependem da
geometria da estrutura de betão e não do traçado do cabo ou do valor da força de pré-esforço.
Qualquer variação da força de pré-esforço ou uma mudança do traçado do cabo pode ser facilmente
estudada utilizando estes coeficientes de influência.
Os coeficientes de influência dos momentos secundários são obtidos dividindo as ordenadas do
diagrama dos momentos flectores pelo valor da rigidez à flexão das secções. Este diagrama de
momentos flectores é simples de obter e decorre da análise de uma linha de influência devida a uma
carga transversal unitária.
BIBLIOGRAFIA
COATES, R.C., Coutie, M.G. & Kong, F.K., Structural Analysis, Nelson, 1982.
DARKOV, A.,Structural Mechanics, MIR Publishers, 1979.
GHALI, A. & NEVILLE, A.M. , Structural Analysis, Intext Educational Publishers, 1972.
LAURSEN, H.I., Structural Analysis, McGraw-Hill, 1979.
TEIXEIRA DE FREITAS, Cadernos de Teoria das Estruturas, AEIST, 1980.
TODD, J.D., Structural Theory and Analysis, MacMillan, 1981.
