Desempenho de Sistemas de Controle - renatomaia.net · pode ser dividida em duas partes: A resposta transitória: A resposta de regime permanente ou estado esta-cionário (steady-state):

Controle de Sistemas Desempenho de Sistemas de Controle

Renato Dourado Maia

Universidade Estadual de Montes Claros

Engenharia de Sistemas

Controle de Sistemas – Professor Renato Dourado Maia

Análise da Resposta Temporal A resposta temporal de um sistema de controle

pode ser dividida em duas partes:

A resposta transitória:

A resposta de regime permanente ou estado esta-cionário (steady-state):

( ) ( ) ( )ty t y t y= + ∞

( )y ∞

( )ty t

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Análise da Resposta Temporal A resposta transitória é definida como a parte da

resposta que tende a zero quando o tempo tende a infinito:

A resposta de estado estacionário é a parte da resposta que permanece quando a resposta tran-sitória se iguala a zero, podendo ser constante ou um sinal que varia no tempo com padrão cons-tante, como um sinal senoidal de amplitude, fre-quência e fase constante, ou um sinal tipo rampa com inclinação constante.

lim ( ) 0tty t

→∞=

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Especificações de Desempenho Podem incluir vários índices de resposta temporal

para uma entrada de comando específica, bem como uma precisão em regime permanente espe-rada.

Geralmente as especificações são concorrentes.

O que fazer?

Buscar um compromisso entre as características desejadas e as que são obtidas após ajustes sucessivos...

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Sinais de Teste

(a) Degrau. (b) Rampa. (c) Parábola.

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Sistemas de Primeira Ordem Consideremos um sistema de primeira ordem:

Para uma entrada do tipo impulso unitário, a saí-da do sistema é:

1( )( )( )

Y s kG sR s as

= =+

1( ) ( ) ( ) 1 ( ) atkY s G s R s y t kes a

−= = ⇒ =+

0 0

0Seja o polo da fu

pp p

pnçãoa

< →= − = → > →

lim ( ) 0t

y t→∞

=klim ( )t

y t→∞

= ∞

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Sistemas de Primeira Ordem Para uma entrada do tipo degrau unitário, a saída

do sistema é:

1( ) ( ) ( ) ( ) (1 )( ) ( )

tak k k kY s G s R s y t es s s

aa asa

a−= = = − ⇒ = −

+ +

0p a= − <

1 constante de t mpoa eτ = =

Tempo para se chegar a 63,2% do valor final...

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Sistemas de Primeira Ordem

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Sistemas de Segunda Ordem Consideremos um sistema de segunda ordem:

Considerando-se realimentação unitária negativa:

2

2 2

( )( )( ) 2

n

n

Y sG sR s s s

ωωζ

= =+

2

2 2( ) ( )2

n

n n

Y s R ss sζ

ωω ω

=+ +

Qual é a resposta para uma entrada em degrau unitário?

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Sistemas de Segunda Ordem A resposta temporal para uma entrada em de-

grau unitário é:

( ) 1 ( )

1 ( )

n

n

t

n n

t

n

ey t cos t sen t

e sen t

ω

ω

ζ

ζ

ω ββ

ω

ζ ββ

βθ

ω

β

−

−

= − +

= − +

1 2, 1 , 0 1cosθ βζ ζ ζ−= = − < <

Coeficiente/Fator/Relação de Amortecimento

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Sistemas de Segunda Ordem 2

2 2( )2

n

n n

G ss sζ

ωω ω

=+ +

Pólos 21 2, 1n np p jω ωζ ζ= − ± −

X Polo

θ

jω

σ

21nω ζ−

nζω−

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Sistemas de Segunda Ordem Componentes da Resposta ao Degrau Gerados por Polos Complexos

Decaimento exponencial gerado pela parte real do par de pólos complexos

Oscilação senoidal gerada pela parte imaginária do par de pplos complexos

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Sistemas de Segunda Ordem Um sistema de segunda ordem pode ser classifi-

cado de acordo com o valor de seu coeficiente de a-mortecimento:

1 2

21 2

1 2

21 2

21 2

0 ,

0 1 , 11 ,

1 , 1

0 , 1

n

n n

n

n n

n n

p p j não amortecido

p p j subamortecidop p criticamente amortecido

p p sobreamortecido

p p j instável

ζ

ζ ζ

ω

ω ωω

ω ω

ζζ

ζ ζ ζ

ζ ζ ζω ω

= → = ⇒ −

< < → = − ± − ⇒

= → = − ⇒

> → = − ± − ⇒

< → = − ± − ⇒

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Sistemas de Segunda Ordem

plano s

plano s

plano s

plano s

Pólos Resposta ao degrau

Não-amortecido

Subamortecido

Criticamente amortecido

Superamortecido

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Não-amortecido

Subamortecido

Superamortecido

2,0

1,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,5 1,5 2,5 3,5


16/09/2014 15/29



0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

ωn*t

y(t)

Resposta de um sistema de Segunda Ordem para Diferentes Fatores de Amortecimento

ζ = 0.1ζ = 0.2ζ = 0.4ζ = 0.7ζ = 1ζ = 2

Script em Matlab: M_5_DesempenhoSistemasProg1.m

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Sistemas de Segunda Ordem Sistema

Diagrama de pólos e zeros Resposta

Geral

Subamortecido

Superamortecido

plano s

plano s

Não-amortecido


plano s

plano s

1,4 1,2

0,8 0,6 0,4 0,2

sen 1,06 19,47°

0,5

0,171 1,171

7,854t 1,146t

1,146 7,854

0,8 0,6 0,4 0,2

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Sistemas de Segunda Ordem Especificações de resposta transitória, conside-

rando entrada em degrau:

1. Tempo de Subida:

2. Tempo de Acomodação ou Assentamento:

3. Ultrapassagem Percentual:

4. Tempo do Primeiro Pico:

1,r rT T

sT. .U P

pT

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Tempo Tempo de

Assentamento Tempo de

Pico

Tempo de Subida

Ultra- passagem

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Sistemas de Segunda Ordem A mesma envoltória

A mesma freqüência

A mesma ultrapassagem

plano s

plano s

plano s

Movimentação do pólo



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Sistemas de Segunda Ordem Fixando uma tolerância de 2%, por exemplo,

para o tempo de acomodação, como calculá-lo?

Pensando apenas na exponencial que “envolve” a resposta:

Aplicando o nosso conhecimento de Cálculo 0...

0,02snTe ζω− <

44n

sT τωζ

= =

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Sistemas de Segunda Ordem O valor máximo e o tempo do primeiro pico re-

presentam um ponto de máximo... Como achar uma expressão para calculá-los?

Aplicando o nosso conhecimento de Cálculo 1...

2

( ) 01n

pTdy tdt ω ζ

π= ⇒ =

−

2

2

1

1

1

100.

tpM

U

e

eP

πζ

ζπ

ζ

ζ

− −

− −

= +

=

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Sistemas de Segunda Ordem Ultrapassagem Percentual e Tempo de Pico Normalizado × Relação

de Amortecimento U

ltrap

assa

gem

Máx

ima

Perc

entu

al

Coeficiente de Amortecimento

Ultrapassagem Percentual

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Sistemas de Segunda Ordem Ultrapassagem Percentual e Tempo de Pico Normalizado × Relação

de Amortecimento

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Coeficiente de Amortecimento(ζ)

Ultr

apas

sage

m P

erce

ntua

l

Ultrapassagem Percentual x Coeficiente de Amortecimento (ζ)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 13

4

5

6

7

8

9

10

11

Coeficiente de Amortecimento(ζ)

Tem

po d

e P

ico

Nor

mal

izad

o ( ω

nT p)

Tempo de Pico Normalizado (ωnTp) x Coeficiente de Amortecimento (ζ)


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Sistemas de Segunda Ordem Tempo de Subida Normalizado versus Relação de Amortecimento

Tempo de Subida Real

Aproximação Linear

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Sistemas de Segunda Ordem Efeito de um terceiro polo na resposta de um

sistema de segunda ordem:

A análise de sistemas de segunda é importante porque muitos sistemas têm um par de polos dominantes.

Quando um sistema possui dois polos complexos (osci-lações subamortecidas) e um polo real (resposta expo-nencial), a resposta total será uma combinação das duas, predominando aquela que for mais lenta (pplos mais próximos da origem).

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Sistemas de Segunda Ordem Seja o seguinte sistema de terceira ordem:

É possível analisá-lo como um sistema de se-gunda ordem?

Sim, desde que a seguinte condição, que é verificada experimentalmente, seja satisfeita:

2

1( ) , 1( 2 1)( 1) nT ss s sζ γ

ω= =+ + +

1 10 nγ ζω≥

Dominância de polos!!!

16/09/2014 28/29



0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t

y(t)

Efeito de um Terceiro Pólo na Resposta de um Sistema de Segunda Ordem

Segunda Ordemp3 = 0.5

p3 = 1

p3 = 2

p3 = 10

2

2 23

5( )((1 ) 1)( 2 5 )

G ssp s s

=+ + +

1 10 nγ ζω≥

3 10

!!!aproximação válida

p ≥

⇓

1nζω =


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