DIEGO DA SILVA SERRA - UFRGS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA

MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE MATEMÁTICA

DIEGO DA SILVA SERRA

A contribuição da prova de Matemática do ENEM para o Ensino de Probabilidade e Estatística

PORTO ALEGRE

2015


A contribuição da prova de Matemática do ENEM

para o Ensino de Probabilidade e Estatística

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática da Universidade Federal do Rio

Grande do Sul, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Ensino de

Matemática. Orientador: Prof. Dr. João Feliz Duarte de

Moraes

PORTO ALEGRE 2015


A contribuição da prova de Matemática do ENEM

para o Ensino de Probabilidade e Estatística

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática da Universidade Federal do Rio

Grande do Sul, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Ensino de Matemática.

Dissertação aprovada pela banca examinadora em 15/09/2015.

BANCA EXAMINADORA

______________________________________________ Prof. Dr. Arno Bayer - ULBRA

______________________________________________ Prof. Dr. Lorí Viali - PUCRS e UFRGS

______________________________________________ Prof. Dr. Alvino Alves Sant'Ana - UFRGS

______________________________________________ Prof. Dr. João Feliz Duarte de Moraes - Orientador

AGRADECIMENTOS

Nesta página muito especial deste trabalho, gostaria de agradecer algumas pessoas

dentre as muitas que me ajudaram a realizá-lo.

Em especial aos meus familiares: à minha mãe pelo apoio, por sempre estar presente em

todos os momentos da minha vida e pelo exemplo de pessoa que sempre foi. À minha irmã por

sempre acreditar em mim e demonstrar um carinho todo próprio. À minha filha por ser muito

querida e amada, além de ser o fruto dos meus esforços e um dos futuros da nossa família.

Ao meu falecido pai, ao qual sempre disse que o seu grande legado seria a minha educação.

À minha namorada Cyntia, por acreditar em mim e me apoiar nesta tarefa todos os dias,

além de ser a pessoa que me encorajou a realizar este Mestrado.

Aos meus colegas e amigos, que me apoiaram e, incentivaram a sempre estar procurando

uma melhor formação acadêmica. Em especial, ao meu grande amigo e colega Prof. Régis

Gonzaga, por todos os ensinamentos e pelos momentos especiais em que trabalhamos juntos,

além de ser uma pessoa sensacional.

Ao Prof. Dr. João Feliz Duarte de Moraes, pela orientação desde os primeiros passos, pelo

incentivo, confiança e amizade.

Há uma força motriz mais poderosa que o

vapor, a eletricidade e a energia atômica:

a vontade.

(ALBERT EINSTEIN)

RESUMO

O ensino de conteúdos de Probabilidade e Estatística na Educação Básica é atualmente um

dos desafios do professor de Matemática e há carência de material de apoio didático, principalmente para a preparação dos alunos às questões da prova do Exame Nacional do

Ensino Médio (ENEM). O presente estudo teve como objetivo resolver e comentar as questões das provas de Matemática do ENEM realizadas nos anos de 2009 a 2014. Foram analisadas as questões que envolviam conteúdos específicos de Probabilidade e Estatística ou

representação gráfica em geral. Nesta análise levamos em consideração a classificação do nível de dificuldade na interpretação da leitura, de gráficos segundo Curcio e tabelas

conforme Wainer e também os registros de representação semiótica citados por Duval. Observamos que ao longo do tempo a distribuição dos conteúdos nas provas permanece u, praticamente, estável e ultrapassam 20% a participação das questões da área de interesse deste

estudo. As principais competências exploradas nas provas envolviam a leitura direta de dados em gráficos, tabelas ou quadros. As habilidades de resolução de problemas, inferência e

aleatoriedade se fizerem presentes. Como produto deste estudo foi desenvolvida uma sequência didática com 15 alunos do Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia Sul-Rio-Grandense (IFSul) na cidade de Charqueadas. A abordagem metodológica adotada

foi a Engenharia Didática. Os alunos mostraram no pós-teste elevação no índice de acertos e no grau de importância atribuído e reduziram o nível médio de dificuldade percebido nas

questões da prova do ENEM-2014.

Palavras-Chave: ENEM. Probabilidade. Estatística. Competências. Habilidades.

ABSTRACT

The Probability and Statistics teaching in Basic Education is, currently, one of the challenges

of mathematics teacher and there is a lack of educational support material, mainly to prepare students to do the Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM). This study aimed to solve and

comment questions of ENEM math tests that carried out from 2009 to 2014. The issues involving specific contents of probability and statistics or graphical representation at large were analyzed. This analysis considered the classification of the level of difficulty on

interpretation when reading the graphs according to Curcio, the charts in accordance with Wainer and also the semiotic representation registers cited by Duval. It was observed that

over the time, the distribution of content in tests remains, virtually, stable and overtook more than 20% the share of issues related to the interest area of this study. The main competencies explored in the test involved the direct reading of the graphs's data, tables or figures.

Problems-solving skills, inference and randomness were observed. As a product of this study was developed a teaching sequence with 15 students of Instituto Federal Sul-Rio-Grandense

(IFSul) in the city of Charqueadas. The methodological approach used was the Didactic Engineering. The students showed at posttest an increase in the hit rate and in the degree of importance attributed to this and reduced the average level perceived on the difficulty solving

the issues of ENEM 2014.

Keywords: ENEM. Probability. Statistics. Competencies. Skills.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1: Exemplo de aplicação de leitura e interpretação de dados........................................ 16

Figura 2: Recorte da Matriz de Referência do ENEM - Competência 6 ................................ 111

Figura 3: Teste t - Comparação de acertos das questões ........................................................ 132

Figura 4: Teste t - Comparação dos graus de dificuldade ...................................................... 135

Figura 5: Teste t - Comparação dos graus de importância ..................................................... 136

Gráfico 1 : Número de questões que envolvem Probabilidade e Estatística dos ENEM de 2009 a 2014 ........................................................................................................................ 109

Gráfico 2: Divisão das questões que envolvem Probabilidade e Estatística dos ENEM........ 110

Gráfico 3: Divisão das questões quanto a forma de exposição dos dados: Gráficos x Tabelas....................................................................................................... 111

Gráfico 4: Resultados das questões do Pré-teste .................................................................... 123

Gráfico 5: Análise de acertos das questões do Pré-teste......................................................... 124

Gráfico 6: Resultados das questões do Pós-teste .................................................................... 130

Gráfico 7: Análise de acertos das questões do Pós-teste........................................................131

Gráfico 8: Comparação das notas de cada aluno do Pré e Pós-testes ..................................... 131

Quadro 1: Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático..... 26

Quadro 2: Distinção decisiva para toda análise do funcionamento cognitivo da compreensã . 26

Quadro 3: Grandes áreas do ENEM ......................................................................................... 32

Quadro 4: Matriz de referência da prova de Matemática e Suas Tecnologias do ENEM ........ 33

Quadro 5: Objetos de Estudo associados à Matriz de Referência do ENEM ......................... 113

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Números de inscritos do ENEM ............................................................................... 31

Tabela 2: Resultados das questões do Pré-teste...................................................................... 123

Tabela 3: Resultados dos Graus de dificuldades do Pré-teste atribuídos pelos alunos .......... 128

Tabela 4: Resultados dos Graus de importância do Pré-teste atribuídos pelos alunos ........... 129

Tabela 5: Resultados das questões do Pós-teste ..................................................................... 130

Tabela 6: Comparação de acertos de todas as questões para cada aluno do Pré e Pós-testes 132

Tabela 7: Resultados dos Graus de dificuldades do Pós-teste atribuídos pelos alunos .......... 134

Tabela 8: Resultados dos Graus de importância do Pós-teste atribuídos pelos alunos .......... 135

LISTA DE ABREVIAÇÕES E SIGLAS

DOU Diário Oficial da União

Encceja Exame Nacional para Certificação de Competências de Jovens e Adultos

ENEM Exame Nacional do Ensino Médio

Fies Fundo de Investimento Estudantil

IES Instituições de Ensino Superior

IFSul Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologias Sul-Rio-Grandense

Inep Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira

LDB Lei de Diretrizes e Bases

MEC Ministério da Educação

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

ProUni Programa Universidade para Todos

Sisu Sistema de Seleção Unificada

TRI Teoria de Resposta ao Item

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 14

1.1 JUSTIFICATIVA ...................................................................................................... 15

2 METODOLOGIA .................................................................................................... 20

2.1 PROCEDIMENTOS DA PESQUISA ....................................................................... 20

3 REFERENCIAL TEÓRICO................................................................................... 22

3.1 REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS DE DUVAL..................... 23

3.2 CLASSIFICAÇÃO DE TABELAS SEGUNDO WAINER ...................................... 27

3.3 CLASSIFICAÇÃO DE GRÁFICOS SEGUNDO CURCIO ..................................... 27

3.4 ESTUDOS SOBRE ENSINO DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA............... 28

4 EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO........................................................ 31

4.1 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES...................................................................... 32

5 PROVAS DE MATEMÁTICA (ENEM 2009 A 2014) ......................................... 34

5.1 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA COM EMBASAMENTO NO REFERENCIAL TEÓRICO ............................................... 34

5.1.1 Prova de 2009 ........................................................................................................... 35

5.1.2 Prova de 2010 ........................................................................................................... 51

5.1.3 Prova de 2011 ........................................................................................................... 64

5.1.4 Prova de 2012 ........................................................................................................... 74

5.1.5 Prova de 2013 ........................................................................................................... 84

5.1.6 Prova de 2014 ........................................................................................................... 96

5.2 ANÁLISES DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA DO ENEM .......................... 109

5.2.1 Análise Global das questões de Probabilidade e Estatística das provas de 2009 a

2014.......................................................................................................................... 109

6 EXPERIÊNCIA DIDÁTICA ................................................................................ 114

6.1 DESENVOLVIMENTO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA ....................................... 114

6.1.1 Aula 1 ...................................................................................................................... 115

6.1.2 Aula 2 ...................................................................................................................... 116

6.1.3 Aula 3 ...................................................................................................................... 117

6.1.4 Aula 4 ...................................................................................................................... 118

6.1.5 Aula 5 ...................................................................................................................... 119

6.1.6 Aula 6 ...................................................................................................................... 120

6.1.7 Aula 7 ...................................................................................................................... 120

6.1.8 Aula 8 ...................................................................................................................... 121

6.2 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS DO PRÉ E PÓS-TESTES.................... 122

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................ 137

REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 140

ANEXO A - Termo de consentimento .................................................................. 142

APÊNDICES .......................................................................................................... 143

APÊNDICE A - Aula 1 (Pré-teste) ....................................................................... 144

APÊNDICE B - Aula 2 .......................................................................................... 151

APÊNDICE C - Aula 3 .......................................................................................... 156

APÊNDICE D - Aula 4 .......................................................................................... 163

APÊNDICE E - Aula 5 .......................................................................................... 169

APÊNDICE F - Aula 6........................................................................................... 174

APÊNDICE G - Aula 7 .......................................................................................... 177

APÊNDICE H - Aula 8 (Pós-teste) ....................................................................... 183

14

1 INTRODUÇÃO

Vivemos em um mundo cheio de informações, que se propagam cada vez mais rápido,

e elas mudam a todo o momento. Portanto, tomamos decisões cotidianas e muitas delas

baseadas em análise de dados, na interpretação de informações, em tabelas ou gráficos, entre

outros dados.

Cabe ao professor fornecer formas e ferramentas para o aluno decidir através da

análise correta dos fatos. Um dos principais conteúdos, que nos ajudam a embasar estas

escolhas, é a Estatística.

Encontramos na literatura diferentes definições ou concepções sobre a Estatística.

Segundo Moore et. al. (2006) é a ciência de coletar, organizar e interpretar fatos numéricos

que chamamos de dados. Para Sincich et. al. (2009) estatística é a ciência dos dados. Ela

envolve coletar, classificar, resumir, organizar, analisar e interpretar informação numérica.

Levine et. al. (2008) trata a estatística como um ramo da matemática que transforma dados em

informações úteis visando à tomada de decisões.

A Estatística Descritiva permite apresentar os dados coletados de forma organizada,

para que possam ser interpretados frente aos objetivos da pesquisa. A parte da estatística que

utiliza informações de uma amostra para fazer estimativas, tomadas de decisões, previsões ou

outras generalizações acerca de um universo ou população é chamada de Estatística

Inferencial.

Nas últimas décadas, os conteúdos de estatística, probabilidade e combinatória

passaram a fazer parte dos referenciais curriculares de muitos países, inclusive do Brasil.

Dentre os referenciais brasileiros, temos os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Fundamental - PCN (BRASIL, 1997, 2000).

No tratamento da informação, Brasil (1997), destaca:

A demanda social é que leva a destacar este tema como um bloco de conteúdo,

embora pudesse ser incorporado aos anteriores. A finalidade do destaque é

evidenciar sua importância, em função de seu uso atual na sociedade. Integrarão este

bloco estudos relativos a noções de estatística, de probabilidade e de combinatória.

Ev identemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado

na definição de termos ou de fórmulas envolvendo tais assuntos. Com relação à

estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos

para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e

representações que aparecem frequentemente em seu dia-a-dia. Relativamente à

combinatória, o objetivo é levar o aluno a lidar com situações -problema que

envolvam combinações, arranjos, permutações e, especialmente, o princípio

multip licat ivo da contagem. Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a

15

de que o aluno compreenda que grande parte dos acontecimentos do cotidiano são

de natureza aleatória e é possível identificar prováveis resultados desses

acontecimentos. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente,

podem ser exploradas na escola, em situações nas quais o aluno realiza

experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis). (BRASIL, 1997, p.

40).

Verificaremos a importância e a contribuição que um estudo mais aprofundado sobre

Probabilidade e Estatística pode trazer aos alunos para a melhoria dos resultados nas questões

de Matemática do ENEM.

1.1 JUSTIFICATIVA

Frequentemente nos deparamos com algumas informações sobre a probabilidade e

estatística: probabilidade de uma pessoa ser sorteada em uma loteria, de contrair uma doença,

de um candidato vencer uma eleição, etc. Além disso, valores de seguros de veículos, por

exemplo, são calculados levando-se em consideração, entre outros fatores, o sexo e a idade do

proprietário. Isto porque, dependendo destes fatores, estas empresas sabem que podem ser

maiores ou menores as probabilidades do veículo se envolver em um acidente.

Este conteúdo é considerado um dos mais importantes para os jovens, pois a maioria

das informações apresentadas nos meios de comunicação está na forma de tabelas ou gráficos.

Sendo assim, o conhecimento sobre eles possibilitará aos jovens uma boa compreensão sobre

muitos temas do seu cotidiano.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), a matemática deve ser tratada

como uma base de conhecimentos para o cotidiano das pessoas, conforme destaca Brasil

(2000):

No ensino médio, etapa final da escolaridade básica, a Matemática deve ser

compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para a

formação de todos os jovens, que contribui para a construção de uma visão de

mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles

serão exigidas ao longo da vida social e profissional (BRASIL, 2000, p.111).

Verificamos a preocupação do Ministério da Educação (MEC) em tornar o Ensino

Médio uma orientação preparatória para a vida prosseguindo os estudos do Ensino

Fundamental. O intuito é formar alunos conscientes e, fornecer “conhecimento adquirido”

necessário para que eles o utilizem tanto no seu presente quanto no futuro. Fica explícita a

16

importância da leitura e interpretação de dados, pois são temas essenciais para o aprendizado

de Probabilidade e Estatística.

Duval (1995) destaca que o domínio da compreensão e análise de informações

apresentadas em gráficos e tabelas pressupõe, também, o domínio de construção desses dois

tipos de representação, pois isso implica no desenvolvimento da capacidade de interpretação.

Porém, na maioria das vezes as pessoas não têm o conhecimento da construção, podendo ser

facilmente enganadas ao observar um gráfico não apropriado à situação, ou mesmo construído

de maneira incorreta, o que lhes acarretará numa visão errônea da informação.

Ainda, segundo Brasil (2000):

[...]é necessário também dominar códigos e nomenclaturas da linguagem

matemát ica, compreender e interpretar desenhos e gráficos e relacioná-los à

linguagem discursiva. Além disso, o aluno precisa analisar e compreender a situação

por inteiro, decidir sobre a melhor estratégia para resolvê-la, tomar decisões,

argumentar, se expressar e fazer reg istros (BRASIL, 2000, p.112).

Podemos analisar a figura 1 presente em Brasil (2000, p. 112) e, assim, expor a

problemática envolvida com estes temas:

Figura 1: Exemplo de ap licação de leitura e interpretação de dados

Fonte: BRASIL (2000).

Neste exemplo não basta ao aluno saber que o candidato Souza tem 35% das intenções

de votos e que nas últimas pesquisas teve um aumento e assim será vencedor. O aluno tem

que analisar a margem de erro da pesquisa que é de 2% para mais ou para menos, mostrando

nesse cenário um empate técnico.

Exemplo, como este, encontramos diariamente veiculados nos meios de comunicação:

jornais, revistas, internet, entre outros. Muitas vezes um leitor que não os interpreta de forma

correta pode ser influenciado na sua decisão noutras, muitos dados podem ser apresentados de

forma a influenciar a decisão do leitor. No caso do exemplo acima, a informação contida

poderia ser que, a disputa para prefeito na cidade encontra-se acirrada e novas notícias e

17

dados poderão ser decisivos para a eleição do novo prefeito e, não dizer que o candidato

Souza já é vencedor.

Em Brasil (2000):

Um conjunto de temas que possibilitam o desenvolvimento das competências

almejadas com relevância científica e cultural e co m uma art iculação lógica das

ideias e conteúdos matemáticos pode ser sistematizado nos três seguintes eixos ou

temas estruturadores, desenvolvidos de forma concomitante nas três séries do ensino

médio: 1. Á lgebra: números e funções; 2. Geometria e medidas; 3. Análise de dado

(BRASIL, 2000, p.120).

O terceiro tema está diretamente envolvido com os conteúdos desta dissertação:

Probabilidade e Estatística. Como utilizam muitos dados devemos ter correta leitura e

interpretação deles.

Ainda sobre este tema, Brasil (2000) destaca:

A análise de dados tem sido essencial em problemas sociais e econômicos,

como nas estatísticas relacionadas a saúde, populações, transportes, orçamentos e

questões de mercado. Propõe-se que constitua o terceiro eixo ou tema estruturador

do ensino, e tem como objetos de estudo os conjuntos finitos de dados, que podem

ser numéricos ou informações qualitativas, o que dá origem a procedimentos bem

distintos daqueles dos demais temas, pela maneira como são feitas as quantificações,

usando-se processos de contagem combinatórios, frequências e medidas estatísticas

e probabilidades. Este tema pode ser organizado em três unidades temáticas:

Estatística, Contagem e Probabilidade (BRASIL, 2000, p.126).

Verificamos nesta citação, a importância do estudo deste tema de forma a aplicá- lo em

situações reais. Situações na qual o aluno irá se confrontar, seja no seu cotidiano ou em outro

momento. Estaremos, assim, com temas essenciais para sua vida, criando cidadãos mais

conscientes.

Também neste terceiro tema temos:

A Estatística e a Probabilidade devem ser vistas, então, como um conjun to de ideias

e procedimentos que permitem aplicar a Matemát ica em questões do mundo real,

mais especialmente aquelas provenientes de outras áreas. Devem ser vistas também

como formas de a Matemática quantificar e interpretar conjuntos de dados ou

informações que não podem ser quantificados direta ou exatamente. Cabe à

Estatística, por exemplo, analisar a intenção de voto em uma eleição ou o possível

êxito do lançamento de um produto no mercado, antes da eleição em si e da

fabricação do produto. Isso é feito através da pesquisa estatística, que envolve

amostras, levantamento de dados e análise das informações obtidas (BRASIL, 2000,

p.126).

O exemplo da intenção de votos para prefeito exposto anteriormente fica explicito

nesta citação, pois demonstra a preocupação para que o ensino destes conteúdos aconteça de

maneira a fornecer a sustentação, para que o aluno decida de forma mais correta possível a

sua opinião.

18

A partir destas análises, já notamos a importância relacionada aos temas envolvidos

neste estudo, ou seja, Probabilidade e Estatística.

1.2 OBJETIVOS E QUESTÕES NORTEADORAS DA PESQUISA

Ao longo dos últimos anos acompanhamos diretamente as modificações dos processos

seletivos no Brasil, mais precisamente no Rio Grande do Sul. Estamos, cada vez mais,

preocupados com os resultados dos alunos nestes processos.

O processo que acompanhamos mais diretamente nos últimos cinco anos foi o Exame

Nacional do Ensino Médio (ENEM). Notamos que a maioria dos alunos não sabe quais

conteúdos devem estudar e, como fazê- lo, para a prova de Matemática deste processo.

Mediante esta preocupação, começamos a analisar as provas do ENEM e os conteúdos

desenvolvidos nas escolas, seguindo as recomendações dos PCN. Notamos que os conteúdos

que envolvem Probabilidade e Estatística são um dos temas mais presentes no ENEM.

QUESTÕES NORTEADORAS DA PESQUISA

1. A solução comentada das questões do ENEM de 2009 a 2013 envolvendo os conteúdos de

Probabilidade e Estatística poderá trazer contribuições para o Ensino destes conteúdos no

Ensino Médio?

2. Os alunos participantes de uma sequência didática sobre o ensino de Probabilidade e

Estatística terão uma melhoria no número de acertos nas questões envolvendo estes conteúdos

na prova do ENEM de 2014 em comparação questões de 2009 a 2013?

OBJETIVOS

1. Realizar a solução comentada das questões envolvendo Probabilidade e Estatística das

provas do ENEM do período de 2009 a 2014, com base nos princípios teóricos de Duval,

Wainer e Curcio.

19

1. Fazer uma análise global das questões das provas do ENEM do período de 2009 a

2014 que apresentam probabilidade, estatística e representação gráfica levando em

consideração as principais competências e habilidades envolvidas.

2. Elaborar e aplicar uma sequência didática, segundo os princípios da Engenharia

Didática, abrangendo conteúdos de Probabilidade e Estatística.

20

2 METODOLOGIA

Realizamos a análise das provas de Matemática do ENEM de 2009 a 2014 resolvendo

e comentando as questões que englobavam os conteúdos de Probabilidade, Estatística e

representação gráfica (tabelas, quadro ou figuras).

As questões foram resolvidas e comentadas com base no Referencial Teórico, segundo

os conceitos de Duval para as formas das representações semióticas, Wainer para as tabelas e

Curcio para os gráficos.

Este estudo apresenta como objeto prático ou produto de uma sequência didática

composta por resoluções de questões do ENEM desde 2009 até 2013, e sua posterior

aplicação na prova de 2014. Nesta sequencia utilizamos os princípios da Engenharia Didática

como recurso pedagógico.

2.1 PROCEDIMENTOS DA PESQUISA

De acordo com Artigue (1996), o processo utilizado pela engenharia didática é

composto por quatro fases. Estas fases serão expostas já com os procedimentos utilizados

nesta pesquisa.

Primeira fase: Análises preliminares

Na qual se pesquisa o que precisamos para desenvolver a sequência didática, ou seja, são as

primeiras análises. Nesta fase se faz o estudo do ponto de vista geralmente adotado no ensino

e, a sua evolução ao longo das mudanças de programa. Também, o levantamento de condutas

dos alunos tendo em vista o ensino habitual (erros, procedimentos, concepções, ...).

No nosso estudo fizemos análises sobre o processo seletivo do ENEM: suas mudanças,

tipos de provas, formas de questões, competências e habilidades presentes nas questões e,

também, a evolução da importância de utilização deste processo. Fizemos um estudo sobre os

tipos de representações e formas de exposição deles.

Segunda fase: Construção

Na qual as variáveis do estudo são delimitadas. Essas variáveis podem ser gerais ou

específicas, como, por exemplo, no caso da pesquisa sobre os conteúdos de Probabilidade e

21

Estatística aplicados ao ENEM. Após análise das dificuldades encontradas para o ensino

desses conteúdos são feitas as primeiras seleções gerais, que podem ser a retomada do estudo

desse conteúdo, enfatizando as principais dificuldades encontradas pelo professor após as

análises das resoluções dos alunos no pré-teste, e depois as seleções específicas, consideradas

de acordo com as análises preliminares. A análise, a priori, contempla a parte descritiva,

analítica e prévia.

Nesta pesquisa definimos os conteúdos específicos a serem desenvolvidos nas

experiências didática, delimitamos as provas do processo seletivo a serem pesquisadas e

utilizadas, além de formular o pré e pós teste a ser aplicado.

Terceira fase: Experimentação;

Na qual e ocorre o contato com os sujeitos a serem pesquisados, a explicitação dos objetivos e

condições de trabalho.

No nosso estudo foi o momento em que as questões selecionadas (2009 a 2013) foram

resolvidas e analisadas segundo nosso referencial teórico, além do desenvolvimento das aulas

experimentais, os encontros com o grupo de alunos que participaram da pesquisa.

Quarta fase: Análises posteriores

Na qual ocorre a validação, que se apóia nos dados colhidos durante a experimentação, e

podem ser por meio de questionários, entrevistas individuais ou em grupos, realização de

sequências didáticas, entre outros.

Esta fase foi o momento de analisar e resolver as questões da prova de 2014, de fazer

uma análise de todas as questões expostas anteriormente das provas do ENEM desde 2009. E,

a aplicação do pós-teste para sua posterior comparação com os dados do pré-teste.

Com os dados dos pré e pós-testes utilizamos para análise dos dados o teste t (também

conhecido como teste de Student). Trata-se de uma situação em que queremos comparar as

médias de duas distribuições normais, supondo que se trata da mesma população, mas em dois

momentos diferentes: antes e após um tratamento específico. Há interesse em verificar se o

estudo sobre o tema proposto contribuiu para a melhoria dos acertos dos alunos nas questões:

ou seja, queremos verificar se a média de acertos antes do tratamento é menor do que a média

de acertos após o tratamento.

22

3 REFERENCIAL TEÓRICO

O estudo de Estatística no Brasil é recente, afinal apenas em 1997 com os PCN que

esse conteúdo passa a fazer parte do currículo do Ensino Básico Brasileiro. Mesmo assim,

está sempre presente nas provas do ENEM. É um conteúdo no qual o aluno precisa possuir

uma boa compreensão e capacidade de análise de informações presentes em gráficos e tabelas

e isso implica no desenvolvimento da capacidade de compreensão.

Segundo Lopes (2004):

No mundo das informações, no qual estamos inseridos, torna-se cada vez mais

“precoce” o acesso do cidadão a questões sociais e econômicas em que tabelas e

gráficos sintetizam levantamentos; índices são comparados e analisados para

defender ideias. Dessa forma, faz-se necessário que a escola proporcione ao

estudante, desde o ensino básico, a formação de conceitos que o auxilie m no

exercício de sua cidadania (LOPES, 2004, p. 2).

Com o estudo aprofundado sobre os dados presentes no cotidiano dos alunos,

acreditamos que a Matemática, mais precisamente a Estatística, proporciona aos alunos a

responsabilidade critica e o desenvolvimento de reflexões sobre temas atuais, tais como:

descaso com a saúde pública, poluição, altas taxas de juros no país, entre outros.

Uma das formas da matemática contribuir para este fato é que, o ensino de matemática

faça com que os alunos enfrentem problemas reais e estejam habilitados a resolver da sua

maneira. Nessa perspectiva, o trabalho com Probabilidade e Estatística deve ter grande

contribuição neste sentido, pois são conteúdos interligados que contribuem para o

enriquecimento do processo reflexivo.

Conforme Lopes (2004):

[...] considerações sobre um ensino interdisciplinar da Estocástica, entendida aqui

como intersecção entre conceitos de natureza probabilística e estatística, poderá

proporcionar aos alunos uma aquisição de conhecimentos menos

compartimentalizados, através de experiências que lhe permitam fazer observações e

tirar conclusões, desenvolvendo, assim, seu pensamento científico , fundamental para

sua formação (LOPES, 2004, p. 2).

Neste sentido notamos que o ensino destes conteúdos possui grandes aplicações nas

outras matérias, como por exemplo, em Geografia (dados populacionais, densidade

demográfica, etc.), em Biologia (Genética, doenças contagiosas, vacinas, etc.), entre outras

aplicações.

O presente estudo está fundamentado segundo os “registros de representação semiótica

para a aprendizagem matemática”, de Raymond Duval, mais precisamente sobre a

23

organização semiótica e cognitiva das representações em tabelas e gráficos, além das

classificações sobre os tipos de Tabelas segundo Wainer e Gráficos segundo Curcio.

3.1 REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS DE DUVAL

Os conteúdos envolvidos neste estudo foram na sua totalidade explorados com os

dados apresentados na forma de tabelas e gráficos, portanto temos que analisá- los sobre a

forma de apresentação dos mesmos, ou seja, se a representação semiótica é a melhor para

cada caso.

A Teoria dos Registros de representação Semiótica foi proposta por Raymond Duval,

filósofo e psicólogo francês que desenvolveu importantes estudos relativos a Psicologia

Cognitiva.

Uma das grandes contribuições de Duval para o processo de ensino-aprendizagem foi

apontar a restrição de se usar um único registro semiótico para representar um objeto

matemático. Segundo ele, a utilização de uma única forma de registro não garante a

compreensão, ou seja, a aprendizagem em matemática. Esta aprendizagem esta diretamente

relacionada ao desenvolvimento cognitivo do sujeito.

Segundo Duval (2003):

[...] no ensino de matemát ica, principalmente no ensino básico, é fundamental uma

abordagem cognitiva, pois não procura-se formar matemáticos, mas sim co laborar

com o desenvolvimento das suas capacidades de visualização, análise e raciocínio

(DUVAL, 2003, p.11).

Esta abordagem cognitiva deve se aproximar cada vez mais da linguagem do aluno,

tornar o processo de ensino-aprendizagem o mais natural possível. Assim o aluno se sentirá

parte do processo facilitando sua compreensão.

Segundo Duval (2003, p. 13): “É suficiente observar a história do desenvolvimento da

Matemática para ver que o desenvolvimento das representações semióticas foi uma condição

essencial para a evolução do pensamento matemático. ”

Estas representações semióticas seriam constituídas pelo emprego de signos, ou seja,

símbolos, formas, códigos, etc., pertencentes a um sistema de representação que, dependendo

da forma e das suas aplicações podem ou não ser bem compreendidos pelos alunos.

Observamos esta situação nos gráficos e tabelas, pois em alguns casos, apresentar dados em

24

tabelas não é a melhor forma, enquanto na forma gráfica seria o mais adequado, o contrário

também pode ser observado.

Nota-se que os alunos demonstram dificuldade em traduzir os dados apresentados e,

interpretá- los de forma coerente com os objetivos ao resolver uma questão. Esse fato é

geralmente verificado nos casos em que os dados provêm de gráficos nos quais os alunos

devem fazer projeções de valores. Ou seja, a partir de uma variação entre um período de

tempo os alunos deveriam visualizar que esta proporção se mantém, e assim estimar o valor

futuro.

Neste sentido, Duval (2003) destaca:

Um modelo pertinente para exp licar as condições de aquisição dos conhecimentos

matemát icos por alunos deve estar prioritariamente centrado nas condições

cognitivas de compreensão, isto é, nas condições específicas de acesso aos objetos

matemát icos. Desse ponto de vista, as representações semióticas - ou, mais

exatamente, a diversidade dos registros de representações - têm um papel central na

compreensão. A compreensão requer a coordenação dos diferentes registros

(DUVAL, 2003, p.28).

Portanto, fica claro neste ponto que, a apresentação de dados somente de uma forma,

uma tabela ou um gráfico, por exemplo, nem sempre é a melhor forma do individuo

interpretar as informações constantes. O melhor é sempre possibilitar a transformação destes

dados em mais de uma forma, ou seja, dados que são apresentados em tabelas podem ser

transformados em gráficos para obterem uma adequada leitura e interpretação, o contrário

também é válido.

Para Duval (2003), a originalidade da atividade Matemática está em mobilizar

simultaneamente pelo menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na

possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação. Na resolução de

tarefas, um registro pode aparecer privilegiado, porém sempre deve existir a possibilidade de

passar de um registro a outro; assim, o autor enfatiza que a compreensão, em Matemática,

depende da coordenação de ao menos dois registros de representação semiótica. Ele

considera, ainda, que as representações semióticas são indispensáveis para fins de

funcionamento e mobilização de conteúdos matemáticos, ou seja, não existe mobilização de

conteúdos que não esteja associada a representações semióticas.

O autor ainda descreve que a leitura e a interpretação de gráficos e tabelas são

consideradas por muitos como sendo simples devido a sua organização e a rapidez de

consulta. Porém, a leitura e interpretação não se dão de forma simples, precisam ativar todas

25

as funções cognitivas. Na questão das tabelas a função identificação é a mais utilizada devido

à visualização dos dados de forma separada. (DUVAL, 2003)

Assim, para analisar a contribuição cognitiva das tabelas e suas diferentes utilizações é

preciso distinguir dois importantes pontos: a própria organização representacional, ou seja, a

composição semiótica das tabelas, e as funções cognitivas que elas preenchem.

Ainda neste sentido, Duval (2003, p. 13) destaca que "Um sucesso matemático não

corresponde a um sucesso cognitivo. Muitas pessoas se baseiam em sucesso nos itens

considerados separadamente e não em sucesso em toda a sequência de itens, que é o mais

importante no ponto de vista cognitivo".

Na Probabilidade e Estatística, a análise e interpretação dos dados são fundamentais

para uma boa compreensão do problema promovendo sua resolução da forma mais

apropriada. Porém tabelas e gráficos, apesar de muitas vezes parecerem iguais, possuem

inúmeras diferenças de aplicações e interpretações.

Para Duval (2003), uma tabela é finalizada enquanto um gráfico cartesiano não é,

embora ambos se realizem em limites de uma página ou de só uma folha, o fato destes dois

tipos de representação não darem lugar aos mesmos tipos de tratamentos. Nos gráficos

cartesianos empregam-se operações de interpolação e de extrapolação, mas nas tabelas,

apenas se utilizam de operação de permutação das linhas e colunas.

Em Matemática temos muitas formas de apresentar a mesma informação, porém nem

sempre uma única forma é a mais correta sempre e , nem sempre é interpretada da mesma

forma. Segundo Duval (2003, p. 31), "Há uma pluralidade de registros de representação de

um mesmo objeto, e a articulação desses diferentes registros é condição para a compreensão

em matemática".

Segundo Duval (2003) existem quatro tipos de registros diferentes, conforme mostra o

quadro1:

26

Quadro 1: Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemát ico

Fonte: DUVAL (2003, p. 14).

Os registros multifuncionais são os empregados em todas as áreas do conhecimento,

enquanto os monos funcionais são empregados em matemática. Como temos várias formas de

representações semióticas podemos, muitas vezes, fazer uma transformação para melhor

compreensão. Neste sentido, podemos analisar o quadro 2 :

Quadro 2: Distinção decisiva para toda análise do funcionamento cognitivo da compreensão -

dois tipos radicalmente diferentes de transformação de representações semióticas

Fonte: DUVAL (2003, p.15).

Segundo Duval (2003), o tratamento seria a operação cognitiva realizada no interior

do registro semiótico, ou seja, a representação no mesmo registro semiótico. A conversão é a

mudança de representação de um registro semiótico para o outro.

Desta forma, o presente estudo buscará analisar as questões propostas pelo ENEM sob

a perspectiva da sua representação presente. Isto é, se os dados apresentados nas questões são

coerentes com as informações a serem interpretadas e, se são viáveis e necessárias as

alterações na sua representação para a melhor compreensão dos dados.

27

3.2 CLASSIFICAÇÃO DE TABELAS SEGUNDO WAINER

Wainer (1992), destaca que um dos grandes problemas de apresentar os dados em

tabelas é que, muitas vezes criam-se tabelas ditas "pobres". Ou seja, tabelas que apenas

apresentam os dados e não possuem informações além delas, possibilitando ao aluno fazer

somente inferências de nível básico.

As tabelas são a forma mais comum de apresentar os primeiros dados obtidos

estatisticamente. Porém, muitas vezes, os autores dessas pesquisas só as utilizam para tabular

os dados e, apresentá-los na forma de gráficos de barras, de setores ou poligonais. Segundo

Wainer (1992) isto pode estar contribuindo para um menosprezo em relação a exposição

destes dados na forma de tabelas, ele defende que as tabelas possuem tanta ou até mais

importância do que a forma gráfica.

Wainer (1992) define que as informações contidas em tabelas podem ser classificadas

em três níveis: básico, intermediário e o avançado.

No Nível Básico, exigem a extração de dados da tabela, ou seja, os dados estão

explícitos na tabela, basta somente que sejam retirados dela.

No Nível Intermediário, é o nível em que exigem a interpolação ou a percepção da

relação existente entre os dados de uma tabela.

No Nível Avançado, exigem um maior entendimento dos dados, comparando

tendências, analisando questões implícitas e privilegiando a visão global da tabela.

3.3 CLASSIFICAÇÃO DE GRÁFICOS SEGUNDO CURCIO

Curcio (1989) destaca que a compreensão gráfica é a capacidade dos leitores para

entender o significado dos gráficos criados por eles próprios ou por outras pessoas. A

compreensão gráfica envolve ser capaz de ler os gráficos e dar o sentido e o significado

contidos neles.

Neste sentido notamos que os gráficos envolvidos em questões matemáticas devem ser

apresentados de tal forma que facilite o aluno a interpretá- lo e, assim, poder retirar dele

informações necessárias para analisar inferências e entender suas propriedades, quando

necessário. Por exemplo, um gráfico de uma reta que apresente dados proporcionais nos

28

meses de janeiro a novembro, através dele o aluno pode fazer uma projeção dos valores em

dezembro apenas com a proporção envolvida.

Curcio (1989) cita três níveis de compreensão de um gráfico: primeiro, ler os dados;

segundo, ler entre os dados; e terceiro, ler além dos dados.

No primeiro nível, ler os dados, é necessário que o leitor faça uma leitura literal do

gráfico, ou seja, uma leitura dos fatos que nele estão representados. Neste nível não há

interpretação e, pretende-se que o aluno compreenda a escala e as unidades de medida.

No segundo nível, ler entre os dados, o aluno deve interpretar e organizar a informação

fornecida pelos dados. Neste nível, o aluno deve combinar e integrar a informação e

identificar relações matemáticas através de algum conhecimento prévio sobre o assunto

tratado no gráfico. Este nível é o mais comum na compreensão dos gráficos, esperando-se que

o aluno identifique tendências no gráfico e relacione ideias.

O terceiro nível, ler além dos dados, pressupõe que o aluno, ao ler a informação do

gráfico, infira a informação total e tenha um conhecimento prévio aprofundado sobre o

assunto referente aos dados do gráfico. Neste nível, o aluno deve conseguir responder a

questões cujas respostas requerem o uso de informação implícita no gráfico, extrapolando,

predizendo ou fazendo inferências. Ou seja, como refere Curcio (1989), p retende-se que o

aluno se projete no futuro e elabore questões sobre os dados.

3.4 ESTUDOS SOBRE ENSINO DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

Observamos que existem poucas pesquisas sobre a Matemática envolvida ao ENEM,

mais especificamente os conteúdos de Probabilidade e Estatística nestas provas.

Reis (2009) na sua dissertação de mestrado com o título de "Tratamento da informação

e o ENEM: a matemática na trama da avaliação" analisou o desempenho e as estratégias

utilizadas pelos alunos do terceiro ano do Ensino Médio na resolução de questõe s que

envolvam a leitura e a interpretação de gráficos e tabelas por meio das questões do Exame

Nacional do Ensino Médio (ENEM).

A questão de pesquisa de Reis foi “Qual o desempenho e quais as estratégias utilizadas

pelos alunos do terceiro ano do ensino médio na leitura e interpretação de gráficos e tabelas

em questões do ENEM?” Para tanto, foi desenvolvido uma pesquisa descritiva, com 40 alunos

do terceiro ano do Ensino Médio de uma escola pública de São Paulo. Os resultados

29

evidenciaram, de maneira geral, que o desempenho dos sujeitos em leitura e interpretação de

tabelas e gráficos foi insatisfatório. As estratégias utilizadas, ora estavam limitadas aos

conceitos adquiridos durante os anos escolares (cálculo de porcentagem, probabilidade,

outros) e, ora, encontravam-se vinculadas a contextos sociais, nos quais eles acreditavam

como verdadeiros.

Reis (2009) concluiu que o ensino de Estatística precisa melhorar nas escolas, de

modo que o aluno possa reconhecê- la, entendê-la e empregá- la de forma eficiente em seu

cotidiano. Em relação à prova do ENEM, a qualidade das questões deve passar por uma

melhoria acentuada.

Jardim (2013) em seu trabalho de conclusão do curso de Licenciatura em Matemática

da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) intitulado "Estatística no Ensino

Médio: Um olhar interdisciplinar a partir do ENEM" investiga a partir de uma aplicação

prática de questões interdisciplinares, os conhecimentos empíricos dos alunos sobre

Estatística. O pesquisador apresentou dados sobre uma sequência didática aplicada a um

grupo de alunos do terceiro ano do Ensino Médio, que pretendiam realizar o ENEM naquele

ano.

Nesta pesquisa, Jardim (2013), defende que o pensamento Estatístico estava presente

de forma intuitiva e destaca a importância que os alunos deram ao ENEM, por se tratar de

uma prova presente no final do Ensino Médio. Segundo o pesquisador, as questões se

tornaram tema central do estudo e mostram que a Estatística esta presente em muitas questões

da prova, não só na área de Matemática. Além disso, ele destaca um maior investimento e

importância que as escolas devem ter em relação à Estatística, buscando assim novas formas

de desenvolvimento e aplicações na sala de aula.

Pedro Junior (2007) em sua dissertação de mestrado sobre a concepção dos

professores sobre o Ensino da Estocástica concluiu que, professores do Ensino Fundamental,

mesmo ensinando, não dominam os conteúdos de estocástica (uso integrado de probabilidade

e estatística).

Lugli (2011) na sua dissertação de mestrado com o título de "A análise de dados e

a Probabilidade nas avaliações externas para o Ensino Médio: ENEM E SARESP " focalizou a

análise de dados e probabilidade com o propósito de verificar quais tipos de raciocínio e

entendimento, relacionados à combinatória, probabilidade e estatística, que estão sendo

solicitados, nestas avaliações.

30

Para Lugli (2011) na prova do ENEM percebe-se uma tendência para questões que

solicitem o raciocínio sobre representação dos dados. Segundo o pesquisador, as questões do

ENEM, são mais articuladas com outras disciplinas, contemplando, assim, a solicitação das

Orientações Curriculares Nacionais, como o PCN.

31

4 EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO

O ENEM foi criado em 1998, pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas

Educacionais Anísio Teixeira (Inep) que é uma autarquia federal vinculada ao MEC. Tem o

objetivo de avaliar o desempenho do estudante ao final da educação básica, buscando

contribuir para a melhoria da qualidade desse nível de escolaridade.

A partir de 2009, passou a ser utilizado também como mecanismo de seleção para o

ingresso no ensino superior. Foram implantadas mudanças no exame que contribuem para a

democratização das oportunidades de acesso às vagas oferecidas por Instituições de Ensino

Superior (IES). Respeitando a autonomia das universidades, a utilização dos resultados do

ENEM para acesso ao ensino superior pode ocorrer como fase única de seleção ou combinado

com seus processos seletivos próprios.

O Enem também é utilizado para o acesso a programas oferecidos pelo Governo

Federal, tais como o Programa Universidade para Todos (ProUni), o Fundo de Financiamento

Estudantil (Fies) e o programa Ciência sem Fronteiras.

Com a crescente utilização do ENEM em várias formas de seleções, nota-se um

grande aumento no número de pessoas inscritas, como mostra a tabela 1:

Tabela 1: Números de inscritos do ENEM

ENEM Número de inscritos

2009 4.148.721

2010 4.626.094

2011 5.380.857

2012 5.791.332

2013 7.173.574

2014 9.519.827

Fonte: Inep/MEC (2014).

Neste ano de 2015, segundo o Inep/MEC, o número total de inscritos chegou a

8.478.096, mostrando uma queda de aproximadamente 10% em relação ao ano anterior. Um

dos fatos que pode ter contribuído para esta queda é que o valor da inscrição que se mantinha

em R$ 35,00 desde 2009 passou para R$ 63,00 e, também, teve mudanças nas regras de

carência para os alunos de Escolas Públicas.

Este processo seletivo é o maior do Brasil e um dos maiores do mundo, e vem se

confirmando como substituto ao antigo vestibular, no qual as Instituições de Ensino

utilizavam para distribuir as vagas dos seus cursos superiores. Desde a primeira aplicação do

32

ENEM aumentou muito o número de Instituições que aderiram ao Sistema de Seleção

Unificada (SISU), que classifica os alunos segundo a sua nota obtida no ENEM.

4.1 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES

Entre os anos de 1998 e 2008 o ENEM era uma prova composta de 63 questões

distribuídas entre cinco competências e vinte e uma habilidades. A partir de 2009 o ENEM

manteve sua proposta inicial que a diferencia dos demais vestibulares das Instituições de

Ensino Superior, pois é uma prova baseada em competências e habilidades. Porém, agora a

prova é composta de 180 questões distribuídas em quatro grandes áreas que compõem os

componentes curriculares dos PCN, conforme o quadro 3:

Quadro 3: Grandes áreas do ENEM

Áreas do Conhecimento Componentes Curriculares

Ciências Humanas e suas Tecnologias História, Geografia, Filosofia e Sociologia

Ciências da Natureza e suas Tecnologias Química, Física e Biologia

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

e Redação

Língua Portuguesa, Literatura,

Língua Estrangeira (Inglês e Espanhol), Artes, Educação Física, Tecnologia da Informação e Comunicação

Matemática e suas Tecnologias Matemática

Fonte: BRASIL (2011).

Segundo Brasil (2001):

Para estruturar o exame, concebeu-se uma matriz com a indicação de

competências e habilidades associadas aos conteúdos do ensino fundamental e

médio que são próprias ao sujeito na fase de desenvolvimento cognitivo,

correspondente ao término da escolaridade básica. Tem como referência a Lei de

Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB), os Parâmetros Curriculares

Nacionais (PCN), a Reforma do Ensino Médio, bem como os textos que sustentam

sua organização curricular em Áreas de Conhecimento, e, ainda as Matrizes

Curriculares de Referências para o Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb)

BRASIL (2001, p.5).

Competências são as modalidades estruturais da inteligência, ou seja, ações e

operações que utilizamos para estabelecer relações com e entre objetos, situações, fenômenos

e pessoas que desejamos conhecer. (BRASIL, 2001, p. 7). Em matemática, essas

competências são fundamentais para a resolução de problemas e aplicações de conteúdos.

Já as habilidades decorrem das competências adquiridas e referem-se ao plano

imediato do “saber fazer”. Por meio das ações e operações, as habilidades aperfeiçoam-se e

articulam-se, possibilitando nova reorganização das competências. (BRASIL, 2001, p. 7).

33

Com a Portaria Nº 109, de 27 de Maio de 2009, publicada no Diário Oficial da União

(DOU) em 28 de Maio de 2009, ficou estabelecido que fossem sete competências distribuídas

entre 30 habilidades presentes na prova de Matemática e Suas Tecnologias, como mostra o

quadro 4:

Quadro 4: Matriz de referência da prova de Matemática e Suas Tecnologias do ENEM

Competência de área1: Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

H1 - Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.

H2 - Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem. H3 - Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

H4 - Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações

quantitativas. H5 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.

Competência de área 2 - Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação

da realidade e agir sobre ela.

H6 - Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.

H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais. H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

Competência de área 3 - Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H10 - Identificar relações entre grandezas e unidades de medida. H11 - Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.

H12 - Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas. H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.

H14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a

grandezas e medidas.

Competência de área 4 - Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.

H15 - Identificar a relação de dependência entre grandezas. H16 - Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

H17 - Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de

argumentação. H18 - Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.

Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou

técnico-científicas, usando representações algébricas.

H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas. H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.

H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos. H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.

H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.

Competência de área 6 - Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de

gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.

H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.

Competência de área 7 - Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de

probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. H27 - Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma

tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. H28 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.

H29 - Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. H30 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.

Fonte: Brasil (2011).

34

5 PROVAS DE MATEMÁTICA (ENEM 2009 A 2014)

Nesta parte do estudo, faremos uma análise global das provas de Matemática do

ENEN de 2009 a 2014. Analisaremos e resolveremos, de forma mais específica, as questões

das provas que englobem os conteúdos relacionados a esta pesquisa: Probabilidade e

Estatística.

As provas de Matemática e suas Tecnologias são aplicadas em quatro formatos, que se

diferenciam pela cor, são elas: rosa, azul, amarelo e cinza. No entanto, todas as provas

possuem as mesmas questões, e só diferenciam pela disposição na prova. Escolhemos as

provas de cor azul em todos os seus anos para analisar. Elas estão disponíveis no site do Inep,

responsável pela aplicação e divulgação do ENEM, além de estudos, pesquisas e avaliações

periódicas sobre o sistema educacional brasileiro, com o objetivo de subsidiar a formulação e

implementação de políticas públicas para a área educacional.

5.1 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA COM

EMBASAMENTO NO REFERENCIAL TEÓRICO

Nesta parte do trabalho serão expostas as resoluções matemáticas de cada uma das

questões presentes, desde 2009, que englobam Probabilidade e Estatística. Bem como será

feita a análise com base no referencial teórico, ou seja, para as questões que se utilizam de

gráficos usaremos como referencial Curcio e as que utilizam tabelas Wainer. Também

analisaremos a forma de apresentação dos dados sobre a perspectiva de Duval.

Busca-se aqui mostrar uma resolução das questões sobre os conteúdos deste trabalho e

analisar de qual forma estes dados são expostos pela prova. Se em todos os anos analisados,

temos um padrão de questões sobre estes temas ou não. Se o número de questões sobre estes

conteúdos é parecido ano a ano ou não e, de que forma o aluno pode se preparar melhor para

resolver estas questões.

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_educacional_brasileiro&action=edit&redlink=1

35

5.1.1 Prova de 2009

Análise da questão:

Nesta questão não basta o aluno saber "ler" os dados do gráfico, o aluno precisa relacionar os

dados entre n° de passageiros e número de veículos (tamanho da frota) em uma razão entre

estes valores.

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que os dados apresentados neste gráfico não

são simples, não basta escolher os valores no gráfico e apresentar a resposta. O aluno que

fizer isso poderia pensar que a resposta correta seria a Letra D, pois a questão pergunta o

número de passageiros em Out/2008. E, não, a razão entre o número de passageiros e o n° de

veículos que é 441 no gráfico.

Sobre a classificação de Curcio, este gráfico estaria no segundo nível, pois o aluno precisa

interpretar e organizar os dados presentes nele.

36

Resolução da questão 136:

Os dados do gráfico representam uma razão frotadatamanho

spassageiron

Seja V o número de veículos da frota e P o número de passageiros transportados em outubro

de 2008. Assim:

400 V /mês = 321,9 milhões, portanto V = 321,9 / 400

P = 441 V = 441 [321,9 / 400] = 354,89 355 milhões; Letra A

___________________________________________________________________________

37

Análise da questão 138:

Para resolver esta questão o aluno não precisa dos dados do gráfico, pois é apenas um par

ordenado (x,y), a questão já fornece o valor de x, precisamos encontrar o valor de y. É

somente necessário resolver o exponencial envolvido na questão.

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que essa questão poderia possuir dados

presentes no gráfico e não apenas uma substituição de valores, pois assim o aluno teria mais

uma forma de interpretar os dados e outra forma de apresentação deles (mais de um signo).

Como não precisa-se utilizar o gráfico, não classificaremos nesta questão o nível de Curcio

(faremos isso na próxima questão, a qual utiliza o mesmo gráfico).


xey 03,0363 Como x = 0 no ano 2000, então x = 31 no ano de 2030: 3103,0363 ey

93,0363ey que pode ser escrito: 1,33,0 )(363 ey e assim: 1,3)35,1(363y

y 910 milhões Letra E

___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa retirar as informações do gráfico. Neste gráfico o aluno deve

cuidar, pois é obrigatória a análise da linha dos países desenvolvidos, no ano de 2050, na

horizontal e, precisa retirar o percentual pedido pela questão na vertical. O aluno deve ter o

cuidado de interpretar os três dados envolvidos no gráfico: ano, tipos de países e percentual de

pessoas.

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que este gráfico envolve muitas informações e,

portanto, apresenta muitos dados num mesmo gráfico podendo confundir um pouco os alunos.

38

Sobre a classificação de Curcio, este gráfico é importante para a resolução desta questão e

pode ser classificado no 2° nível. O aluno deve combinar e integrar as informações além de,

identificar relações matemáticas através dos dados presentes no gráfico.


Olhar no gráfico e verificar que em 2050, a população nos países desenvolvidos com 60 anos

ou mais de idade representa aproximadamente 32% do total, logo entre as alternativas aquela

que mais se aproxima deste valor é: 32% = 25

8

100

3232,0 Alternativa C

_________________________________________________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno deve ser capaz de interpretar os dados presentes no gráfico e verificar

se existe uma relação entre as grandezas envolvidas, além de verificar se são direta ou

inversamente proporcionais. Este gráfico não faz muito sentido, pois como que uma pessoa

que fuma 15 cigarros tem a chance de ter câncer de pulmão aumentada em quase três vezes

em comparação com quem fuma 14 cigarros. Como que apenas um cigarro faria toda essa

diferença? Consideramos este gráfico muito mal elaborado.

39

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que a análise e interpretação dos dados são

fundamentais para uma boa compreensão do problema. Concordamos que nesta questão o

registro apresentado no gráfico é de fácil interpretação dos dados, o que não garante que o

aluno irá acertar a resposta correta, pois pode retirar os dados corretos e resolvê-lo de forma

matemática incorreta.

Sobre a classificação de Curcio, este gráfico estaria no segundo nível, pois é necessário que,

ao ler a informação contida no gráfico, o aluno faça uma inferência da informação total e

tenha um conhecimento aprofundado sobre relações de grandezas.


A melhor resposta analisando o gráfico fica com a letra E, pois, o consumo diário de cigarros

e o número de casos de câncer de pulmão são variáveis que estão relacionadas de maneira

direta, ou seja, variam no mesmo sentido, mas não proporcionalmente. Observa-se no gráfico

que entre um e quatorze cigarros por dia o número de casos de câncer do pulmão é constante.

Também é constante entre as pessoas que fumam de quinze a vinte e quatro cigarros diários,

mas mostraram uma elevação no número de casos de câncer.

__________________________________________________________________________


Nesta questão o gráfico é utilizado apenas para extrair o dado da população em 05/09 que é

igual 23.020 mil pessoas. O principal cuidado é que os dados estão em 'mil' pessoas, ou seja,

temos que multiplicar por 1000. Porém, não se utiliza nada mais do gráfico para resolver a

questão.

40

Baseado nas análises de Duval, podemos classificar os registros presentes no gráfico como

simples e de representação singular de apenas um signo, uma forma de expor o dado

necessário para resolução da questão.

Este gráfico pode ser classificado como de 1° Nível para Curcio, pois basta ler o dado

presente na data pedida pela questão. O aluno não precisa interpretá-lo, somente compreender

os dados e as unidades contidas nele.


Basta fazer um aumento de 4% no valor de 23.020 x mil pessoas, que representa a população

de, 05/09: 23.020.000 x 1,04 23.940.800 Letra D

___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa conhecer os conceitos de distribuição binomial. Nesta

probabilidade devemos levar em conta as combinações possíveis, além de considerar o fato de

que se a probabilidade de algo ocorrer é de x%, então de não ocorrer é de 100% - x%.

Podemos considerar como uma das questões mais difíceis deste ano de 2009, pois distribuição

binomial não é um tema muito explorado no ensino médio. Também verifica-se que nas

respostas são apresentadas potências de porcentagem, o que não está correto. Estas

porcentagens deveriam aparecer na forma decimal, ou seja, 0,2% seria 0,002 e 99,8% seria

0,998.

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que os dados da questão são diretos e simples,

não tendo a necessidade da utilização de gráficos e tabelas.

41


Se a probabilidade do aparelho apresentar defeito é de 0,2%, logo de não apresentar será de

99,8%. Na questão queremos ter dois aparelhos com defeito (D) e dois aparelhos perfeitos(P),

logo pode-se ter:

D D P P P D D P D P D P

P D P D D P P D P P D D Portanto temos seis Combinações

Ou utilizando a Análise Combinatória:

622

1234

!2!24

!42

4

C

Então temos: 22 %)8,99(%)2,0(6 Letra C

___________________________________________________________________________

42


Para esta questão o aluno precisa interpretar corretamente os dados contidos no texto inicial,

pois nele temos a informação da redução de R$ 20, 00 por dia até o sexto dia. O gráfico serve

como uma forma de ajudar o aluno a organizar melhor os valores de cada dia, sendo que a

partir do sexto dia o preço se mantém. A resolução é dada por uma diferença entre o preço

normal, sem o desconto e, o preço com esta promoção.

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que nesta questão a inclusão do gráfico serve

como outra forma de apresentar os dados expostos no texto inicial (emprego de mais de um

signo).

Sobre a classificação de Curcio, podemos classificar este gráfico no 2° nível, pois o aluno

precisa organizar a informação contida nele e, identificar as tendências de queda do 4° ao 6°

dia e, constante, a partir deste 6° dia.


Se o casal adquirisse por 7 dias fora da promoção pagaria: R$ 150, 00 x 7 = R$ 1050,00

Com a promoção nos 8 dias o casal pagaria:

1°, 2° e 3° dias: R$ 150,00 x 3 4° dia: R$ 130,00

5° dia: R$ 110,00 6°, 7° e 8° dia: R$ 90,00 x 3

Total: R$ 960,00

Economia: R$ 1050 - 960 => R$ 90,00 Letra A

___________________________________________________________________________

43


Nesta questão é necessário que aluno identifique na tabela as diferenças entre os valores finais

e iniciais de Emissão de dióxido de carbono e de Produção e, após, faça uma razão (taxa)

entre os dois valores encontrados. A tabela exposta é fundamental para resolver a questão e os

valores são bem claros. O problema é o aluno não conseguir interpretar que a diferença entre

o final e o inicial já fornece a variação total. Ao contrário, queira fazer para cada linha e

depois um somatório, que também estaria correto, porém levaria muito mais tempo.

Em relação a Duval, podemos interpretar os dados de forma direta na tabela, ou seja, a

empregabilidade de sua utilização está de acordo com a questão. Não seria necessário expor

estes mesmos dados em um gráfico também ou até mesmo substituir esta tabela por um

gráfico, pois assim os alunos poderiam se confundir mais ainda com a diferença final e inicial.

Sobre a classificação de Wainer, podemos classificar esta tabela no nível básico, pois os

alunos precisam apenas extrair seus dados e fazer um diferença entre eles. Sem uso de

interpolações ou tendências.


A taxa é a razão entre o somatório das diferenças (maior valor menos o menor valor) entre a

Emissão de dióxido de carbono e Produção:

odução

CarbonoTaxa

Pr

1,12

14,24

Taxa

9,0

86,1Taxa Taxa 2,07 Letra D

44

Outra possível alternativa de solução:

A taxa média da variação da emissão de dióxido de carbono (em ppm) pode ser calculada

assim :

[0,16+ 0,16 + 0,18 + 0,19 + 0,20 + 0,23 + 0,25 + 0,27 ]/ 9 0,206

A média da variação da produção (toneladas) é [9 x 0,1 ] / 9 = 0,1.

(Variação constante de 0,1 entre todas as observações)

A razão entre as duas taxas 0,206/ 0,1 = 2,06 ppm/t .

___________________________________________________________________________


Nesta questão, é necessário que o aluno conheça como se faz a média dos termos. Todos os

dados são extraídos da tabela de forma direta, não se faz necessário nenhuma conversão,

apenas o cálculo da média.

Baseado nas análises de Duval, podemos visualizar que os dados apresentados são simples e

de forma direta expostos na tabela, que esta bem organizada. Sua composição semiótica é de

fácil entendimento dos leitores.

45

Sobre a classificação de Wainer, podemos classificar esta tabela no nível básico, pois se faz

necessário somente extrair os dados da mesma para o cálculo das médias.


Valores médios: soma dos valores dividido pelos cinco anos em questão:

Brasil na França: França no Brasil:

4,3795

1897BF 2,945

5

4726FB

945,2 - 379,4 = 565,8

Então temos Diferença: 565,8 milhões Letra D

___________________________________________________________________________

46


Nesta questão o aluno precisa relacionar os dados de número de bolas e nível de água, para

conseguir a taxa de variação e, assim, a questão já pode ser resolvida. Nas alternativas as

taxas são todas diferentes.

Em relação a Duval, podemos analisar que nesta questão foram expostas a tabela com os

dados necessários para sua resolução, mas também um esboço do problema, ou seja, a régua

que mede o nível de água e as bolinhas no vidro, o que pode auxiliar os alunos para sua

compreensão. Duval defende que não seja empregado apenas um signo, mas sempre uma

pluralidade de símbolos, que forneçam formas alternativas do aluno compreender a questão

matemática.

Sobre a classificação de Wainer, podemos classificar esta tabela como de nível intermediário,

pois é necessário que o aluno perceba a relação existente entre os dados da tabela.


Nesta questão o aluno deve notar que a cada aumento de cinco bolas acarreta num aumento de

0,35cm no nível de água, e, portanto: 07,05

35,0 cm a cada bola

Assim já verificamos que a única alternativa possível seria letra E. Vamos provar porque na

alternativa correta existe a adição de seis unidades:

Como o nível de água é função do número de bolas, e pela análise das alternativas

verificamos que as funções são todas de 1° grau (afim), logo: y = ax + b

Onde o a é a parte que faz a variação (coeficiente angular) e o b o valor inicial(coeficiente

linear):

y = 0,07x +b

Substituindo x= 5 e y = 6,35, temos: 6,35 = 0,07(5) + b b = 6

Portanto: y = 0,07x + 6 Letra E

Outra forma de resolver a questão (Alternativa mais formal)

Seja y = ax + b; y representa o nível da água e x o número de bolas, resolvendo o sistema de

equações teremos os valores de "a" e "b".

5a + b = 6,35 (equação 1)

10 a + b = 6,70 (equação 2)

15a + b = 7,05 (equação 3)

S = {0,07 ; 6}, logo y = 0,07 x + 6. Letra E

47


Nesta questão os dados são expostos junto com o texto inicial, sem a utilização de gráficos ou

tabelas. Para resolvê- la o aluno necessita conhecer o cálculo da mediana.

Baseado nas análises de Duval, podemos interpretar estes dados de maneira direta, sem a

necessidade de expor estes dados de outra forma. No cálculo da mediana não é fundamental

que os dados sejam expostos em tabelas ou gráficos, apenas organização dos dados expostos

no texto.


Equipe Gama: 0; 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10; a mediana desta equipe é 7.

A melhor alternativa é a letra D, pois a mediana é a média entre o 5° e 6° termos que seria

(7 + 8): 2 = 7,5. Mas, como a sexta nota é 8, pode-se concluir que a equipe Delta assim ficaria

em 3° lugar independente da nota do aluno faltante.

___________________________________________________________________________

48


Nesta questão é necessário o conhecimento prévio do conceito de mediana e, após, a

organização dos dados, em ordem, para sua resolução. Pode ser considerada uma questão

direta, pois o aluno que tem esse conhecimento não terá maiores dificuldades para resolver a

questão. São apenas sete meses, o que torna esta organização rápida.

Em relação a Duval, podemos visualizar de maneira simples e direta este dados expostos nesta

tabela. É suficiente esta representação, pois os dados são bem organizados e de fácil leitura.

Sobre a classificação de Wainer, esta tabela pode ser classificada como de nível básico, pois

se faz necessário apenas extrair os dados para resolver a questão.


Mediana é o termo central, como temos sete termos será o quarto termo, porém os valores

devem estar em ordem crescente:

73,1; 81,6; 82,0; 83,0; 84,0; 84,6; 85,3

Letra D

___________________________________________________________________________

49


Nesta questão temos muitos dados importantes e o aluno tem que tomar cuidado na hora de

analisar. No texto inicial temos o valor do metro cúbico de petróleo, na importação e na

exportação, na tabela, temos as quantidades na primeira parte do ano de 2009. E, no texto

final temos a proporção para o resto do ano de 2009. Esta é uma questão com muitos cálculos

e análise dos dados.

50

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que temos muitos registros e poucas

representações semióticas dos mesmos, pois na tabela são necessários apenas os dados da

última linha (2009). A interpretação dos dados na tabela que Duval descreve como

fundamental é feito de maneira direta e rápida.

Sobre a classificação de Wainer, podemos classificar esta tabela como sendo de nível básico,

pois na resolução da questão é necessária a extração dos dados da mesma.


De Janeiro a Maio foram 5 meses, logo faltam 7 meses para completar o ano de 2009, como é

para considerar que as importações e exportações represesentem 7/5 dos primeiro 5 meses,

teremos os mesmos valores, pois:

755

7x

Importação nos 5 meses: 9 milhões

9 milhões ---- 5 meses

x ----- 12 meses x = 21,6 milhões

Valor: 21,6 milhões de metros cúbicos x R$ 340: R$ 7,34 bilhões de dólares

Exportação nos 5 meses: 11 milhões

11 milhões ---- 5 meses

y ----- 12 meses y = 26,4 milhões

Valor: 26,4 milhões de metros cúbicos x R$ 230: R$ 6, 07 bilhões de dólares

Diferença: 7,34 - 6,07 = R$ 1,27 R$ 1,34 bilhões de dólares Letra C

Outra forma:

Valor das importações: 2840+ 4284 = 7124

(7/5 . 9 . 10 6. 340 = 4284)

Valor das exportações: 2240 + 3542 = 5782

( 7/5 . 11 . 106 . 230 = 3542)

Diferença: 7124 - 5782 = 1342 => 1342 milhões de dólares 1,342 bilhão de dólares

51

5.1.2 Prova de 2010


A questão só envolve a leitura de dados do gráfico, pois o aluno só precisa identificar que o

eixo horizontal representa o percentual de pessoas imunizadas. Ou seja, quanto menor a

imunização, mais exposta estará a categoria. Como a menor imunização é dos adultos entre 20

e 29 anos, esta categoria é a mais exposta.

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que este gráfico é uma forma de expor os

dados de uma pesquisa e neste gráfico a leitura é rápida e fácil. Os dados estão bem

organizados e em ordem crescente de imunização.

Sobre a classificação de Curcio, este gráfico é de 1° nível, pois o aluno só precisa ler os dados

presentes nele.


A classe que possui o menor percentual de imunização é de Adultos entre 20 e 29 anos, um

pouco mais de 40%, então esta é a categoria que está mais exposta. Letra D

52


Nesta questão o aluno precisa analisar a relação existente entre as grandezas do gráfico:

desperdício e tempo, para escolher a função de 1° grau que melhor se enquadra nesta situação.

Porém, entre as alternativas isso fica fácil, no ponto final do gráfico verifica-se: a cada 10 dias

600 litros de desperdício; logo 60 litros por dia, e o gráfico inicia na origem do sistema.

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que este gráfico representa uma forma de

apresentar os dados entre as grandezas envolvidas. Temos informações importantes entre o

desperdício e o tempo, e estes dados não terminam no último ponto apresentado, pois é

possível extrapolar e obter maiores informações.

Sobre a classificação de Curcio, este gráfico é do 2° tipo pois, o aluno precisa identificar as

relações matemáticas através de algum conhecimento prévio. Neste caso, proporção entre

grandezas e funções.


Nesta questão temos que notar que a variação do desperdício é diretamente proporcional ao

tempo, pois esta representado por uma reta, logo esta relação é representada por uma função

de 1° grau(afim):

y = ax + b

53

Como com o tempo x = 0 y = 0, então b = 0;

Para encontrar o valor de a, basta substituir um ponto na função, vamos substituir x = 10

então y = 600:

600 = a(10) + 0

a = 60

Portanto: y = 60x, Letra C

___________________________________________________________________________


Nesta questão, exigimos o conhecimento prévio do aluno sobre a probabilidade ser uma razão

entre dados, neste caso, entre o número de borboletas e o total de espécies, além da relação

entre números decimais e percentuais. Porém, como o número de borboletas é um pouco

menor que a metade do total de espécies e, temos somente uma alternativa que se enquadra

nesta situação, o aluno nem precisa resolver a divisão para escolher a resposta correta. Apesar

da questão precisar de um cáculo simples, o texto que relaciona borboletas, peixes, mamíferos

e répteis é não tem muito sentido, pois trata da probabilidade de espécies totalmente diferentes

e de formas diferentes de capturá- las.

Em relação a Duval, esta questão não utilizou nenhuma outra forma de expor os dados, ou

seja, nem tabelas tampouco gráficos, deixando uma única forma de exposição no texto da

questão. Poderia apresentar os dados de outra forma, utilizando assim ao menos mais um

signo, ou seja, uma forma alternativa do aluno interpretar o problema.


A probabilidade de ser escolhida uma borboleta é dada pela razão entre o número de

borboletas e o total de espécies:

54

4996,02266

1132P

P = 49,96%

O aluno pode notar que 1132 é um pouco menos da metade de 2266, logo um pouco menos

que 50%.

Letra D

___________________________________________________________________________


Nesta questão temos muitos dados e informações apresentadas, a primeira no enunciado

inicial, a forma de cálculo do IGP-M, que utiliza partes do IPA, IPC e INCC, sendo assim o

aluno precisa anotar estes dados. Após, temos três quadros, que expõem de forma simples e

direta cada índice dos três meses em questão.

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que nesta questão os dados são expostos de

mais de uma forma, na leitura e interpretação do texto e nas tabelas, exigindo do aluno uma

atenção maior na hora dos cálculos.

Sobre a classificação de Wainer, estas tabelas (quadros) podem ser classificadas no Nível

Básico, pois o aluno precisa apenas extrair estes dados para depois calcular o IGP-M mês a

mês.

55


Cálculo do IGP-M:

IPA(60%)+IPC(30%)+INCC(10%)

JAN/2010:

1,052,03,000,16,051,0

0,658%

FEV/2010:

1,035,03,088,06,042,1

1,151%

MAR/2010:

1,045,03,083,06,007,1

0,936%

O maior IGP-M mensal é 1,151% Letra D

___________________________________________________________________________

56


Nesta questão o aluno precisa relacionar a queda do número de sacolas a cada ano, segundo o

gráfico, como na questão 146 (resolvida anteriormente), a relação entre as grandezas. Após ter

esta queda, precisa lembrar que o gráfico começou em 2007 e queremos em 2011, logo 4 anos

após o início do gráfico.

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que neste gráfico temos uma forma de expor a

queda da utilização de sacolas plásticas ano a ano, e ele demonstra a ideia desta relação de

queda, sendo uma forma interessante de expor estas informações.

Sobre a classificação de Curcio, este gráfico é do 2° nível, pois o aluno após retirar os dados

do gráfico precisa relacioná- los, ou seja, identificar relações matemáticas existentes nestes

dados.


O n° de sacolas deve diminuir a cada ano a partir de 2007, na proporção:

29

18 bilhões por ano

Em 2011, terão passados 4 anos desde 2007, logo:

2 bilhões x 4 = 8 bilhões de sacolas a menos

Portanto em 2011 teremos: 18 bilhões - 8 bilhões = 10 bilhões Letra E

___________________________________________________________________________

57


Nesta questão é cobrado do aluno o conhecimento prévio de probabilidade, sendo esta uma

razão. Além disso é necessária a percepção de que os dados apresentados na tabela não estão

prontos, pois se somarmos todos teremos um valor maior que 1000, logo precisaremos

descontar as repetições presentes nos dados, através da utilização de conjuntos e suas

operações. Após a organização destes dados a questão se resume a uma divisão e

simplificação de valores.

Baseado nas análises de Duval, podemos dizer que a utilização da tabela como forma de

expor os dados, organiza-os, porém pode levar ao erro. O aluno precisa analisar cada dado

desta tabela e organizá- los.

Sobre a classificação de Wainer, esta tabela deve estar no Nível intermediário, pois o aluno

precisa perceber a relação existente entre os dados e assim relacioná- los.


Montar os conjuntos descontando as intersecções:

Rock 90 50 40

20 80 30 110

Samba MPB

A probabilidade é a razão entre o número de alunos que prefere somente MPB(110) e o total

de alunos(1000):

100

11

1000

110P 11% Letra D

___________________________________________________________________________

58


Nesta questão o aluno precisa conhecer os conceitos de média, moda e desvio-padrão, pois

assim, identificará de forma rápida e direta a alternativa correta. Os dados expostos e o texto

são bem diretos e resumidos facilitando assim sua resolução.

Em relação a Duval, estes dados são bem organizados e a utilização da tabela facilita sua

leitura e agiliza a resolução da questão. Se não tivessem organizados, o aluno precisaria

empregar um maior tempo na sua resolução.

Sobre a classificação de Wainer, esta tabela é de Nível Básico, pois o aluno precisa somente

ler os dados presentes e aplicar os conceitos de Estatística.


Se a meta é ficar mais próximo de 45min temos que procurar a equipe com moda mais

próxima deste valor e menor desvio-padrão, pois assim, teremos os dados mais próximos de

45min.

A equipe que melhor se enquadra nesta situação é a III, moda 44 e desvio-padrão 1.

Letra C

___________________________________________________________________________

59


Nesta questão exigimos do aluno o conhecimento de probabilidade, como sendo uma razão e

também uma organização dos dados. Estes dados poderiam ser expostos em uma tabela, o que

facilitaria a resolução e interpretação da questão, fornecendo ao aluno uma maneira mais

rápida de chegar a resposta correta.

Baseado nas análises de Duval, estes dados estão expostos no meio do texto, o que pode

confundir a interpretação e resolução da questão. Poderia ser utilizado uma outra forma de

expor estes dados, facilitando assim a abordagem cognitiva do aluno.


Dos 500 ratos:

=> 100 possuem a doença, logo 400 não possuem

=> 20 são saudáveis com resultado positivo

=> 40 são doentes com resultado negativo

Dos 100 que possuem a doença: 40 negativo, logo 60 positivo

Dos 400 saudáveis: 20 positivo, logo 380 negativo

A probabilidade é a razão entre o n° de ratos saudáveis com resultado negativo(380) e o total

de resultados negativos(420): 21

19

420

380P Letra C

60


Nesta questão o aluno precisa saber que probabilidade é uma razão, ou seja, uma divisão entre

dois valores. Os dados necessários para sua resolução estão expostos de forma simples e

direta.

Baseado nas análises de Duval, a escolha de expor os dados na forma de tabela facilita muito

a resolução da questão, utilizando uma maneira de agilizar a visualização dos dados pelos

alunos.

Sobre a classificação de Wainer, esta tabela é de Nível Básico, pois o aluno precisa apenas ler

os dados presentes e, assim, resolver a questão.


A probabilidade é a razão entre as que germinaram da Cultura A(392) e o total que

germinou(773): 773

392P Letra D

61


Nesta questão o aluno precisa ler com muita atenção o texto inicial, pois nele temos a forma

utilizada para prever os novos aumentos e o seu valor. Os dados são bem expostos na tabela,

porém temos muitos dados, o que pode confundir o aluno. Apesar de não utilizar todos os

dados, a tabela facilita a leitura entre o maior e o menor valores, os quais são necessários para

fazer o cálculo da média.

Baseado nas análises de Duval, a utilização da tabela para expor os dados fornecem aos

alunos uma maneira rápida e direta de leitura. Estas representações mais simples são

fundamentais para interpretação e resolução do problema pelos alunos.

Sobre a classificação de Wainner, esta tabela pode ser classificada de Nível Intermediário,

pois o aluno precisa relacionar os dados presentes.

62


Maior intervalo entre 2 reajustes:

04/2003 e 05/2004(13 meses)

Menor intervalo entre 2 reajustes:

05/2005 e 04/2006(11 meses)

Media entre 11 e 13:

122

1311

Média meses(1 ano)

Então já sabemos que a data do próximo reajuste será em Fevereiro de 2010, 1 ano após o

último reajuste.

Agora vamos determinar o valor:

Maior ajuste percentual:

04/2002 e 04/2003(40/200=20%)

Menor ajuste percentual:

04/2003 e 05/2004(20/240=8,3%)

Media entre 20% e 8,3%:

%17,142

3,820

Média

Aumento de 14,17% em R$ 465,00

465 x 1,1417= R$ 530,89 Letra A

63


Esta questão possui muitos dados expostos no gráfico, além de envolver três tipos de retas. É

necessário interpretar o valor que o morador pagou, sendo que, ele esta presente na reta com

maior variação, ou seja, entre 15 e 20m3 . Após esta interpretação o aluno precisa verificar a

proporção entre o valor pago e o consumo para chegar assim ao consumo referente ao valor

pago.

Baseado nas análises de Duval, a utilização do gráfico pode ajudar a visualização do

problema, porém este gráfico trás muitas informações presentes que não podem ser

confundidas pelos alunos. Ainda segundo Duval, existe uma pluralidade de registros e essas

diferentes formas são essenciais para compreensão matemática.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico esta no 2° nível, pois o aluno necessita

interpretar e organizar os dados, além de relacioná-los matematicamente.


O valor de R$ 19,00 esta representado pela reta entre os R$ 15,00 e os R$ 25,00 no eixo

vertical, logo temos que tirar uma relação entre o valor a ser pago e o m3 de água consumido:

Como é uma reta pode ser representado pela função de 1° grau(afim): y = ax + b

A razão entre o a variação de R$ 15, 00 e R$ 25,00(R$ 10,00) e o consumo de 15 m3 e 20

m3 (5 m3) fornece o valor de a:

25

10a logo: y = 2x+ b

Nota-se assim que a cada m3 consumido acarretará num aumento de R$ 2,00 a partir de

R$15,00 ou seja, e a conta será R$ 19,00 então tivemos um aumento de R$ 4,00, logo

aumento de 2 m3 e portanto: 15 + 2 = 17 m3 Letra B

64

5.1.3 Prova de 2011


Esta questão relaciona dados estatísticos e cobra do aluno o conhecimento de média, moda e

mediana. Os dados expostos na forma de tabela auxiliam na visualização, porém o aluno deve

cuidar para o cálculo da mediana, pois os dados não estão organizados (em ordem crescente).

Em relação a média, este seria o cálculo que mais tomaria tempo do aluno, pois teria que

somar as quinze temperaturas e dividir o resultado por 15, porém apenas com os resultados de

moda e mediana a questão já estaria resolvida.

Baseado nas análises de Duval, podemos afirmar que os dados estão bem organizados e

expostos de forma correta na forma de tabela, facilitando assim a leitura e interpretação pelos

alunos.

65

Segundo a classificação de Wainer, podemos classificar esta tabela como sendo de nível

básico, pois o aluno precisa ler os dados, sem a necessidade de relacioná- los, somente

utilizando-os para calcular as medidas estatísticas.


Moda => valor com maior frequência (que mais aparece)

13,5(apareceu 4 vezes)

Mediana => termo central ou média entre os 2 centrais (quando os termos estão organizados)

Como temos 15 termos, então será o 8° termo:

13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; ...

Nem precisaríamos fazer a média, pois a única com moda 13,5 e mediana 18 é Letra B, mas

vamos calcular:

Média => Soma dos valores dividido pelo total de termos

15

255

15

15termosMédia 17

___________________________________________________________________________


Nesta questão os dados são utilizados para calcular apenas a média, ou seja, o aluno precisa

somar os cinco anos da região Nordeste e dividir o resultado por 5. A questão é bem simples e

de fácil resolução.

66

Em relação a Duval, os dados são de simples visualização, porém não era necessário expor as

cinco regiões do Brasil, já que a pergunta refere-se somente a região Nordeste. A utilização da

tabela é favorável a interpretação e resolução da questão.

Segundo a classificação de Wainer, esta tabela é de nível básico, pois é necessário apenas ler

os dados para depois calcular a média.


Média dos 5 anos na região Nordeste:

5

1915211918Média Média = 18,4% Letra C

___________________________________________________________________________


Nesta questão são expostos muitos dados, o aluno deve prestar atenção para não confundi- los.

A utilização da tabela facilita na visualização e escolha dos valores necessários para resolver a

questão. Na resolução o aluno necessita fazer a média de consumo para cada KWh.

67

Baseado nas análises de Duval, os dados expostos são diretos, porém como há muitos dados

nessa situação, ela pode conduzir o aluno ao erro. Porém, a utilização da tabela é a mais

indicada neste caso, pois buscando os dados em um gráfico ou no próprio texto inicial poderia

confundir ainda mais a questão.

Segundo a classificação de Wainer, esta tabela é de nível intermediário, pois o aluno precisa

relacionar os dados dela para conseguir os valores médios para cada KWh de consumo.


Baixa Renda: R$ 16,73 a cada 100kWh, logo: R$ 0,167 a cada 1kWh

Residencial: R$ 85,56 a cada 185kWh, logo: R$ 0,462 a cada 1kWh

Diferença: R$ 0,29 Letra B

___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa saber que probabilidade é uma razão, ou seja, uma divisão entre

dois valores. Os valores são as possibilidades de regiões para Rafael morar. A exposição dos

68

dados no gráfico é simples e direta, porém é necessário prestar atenção: Rafael deve escolher

uma região diferente da que já mora, logo o total de possibilidades é 4.

Baseado nas análises de Duval, a utilização dos dados expostos na forma do gráfico facilitam

a leitura, por se tratar de dados organizados. As temperaturas respeitam o eixo vertical,

segundo o qual mais alto terá maior temperatura.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico é de 1° nível, pois o aluno precisa apenas ler

os dados e compreender a escala e as unidades de medida.


A probabilidade é a razão entre as cidades adequadas (3 cidades) e o total de cidades

diferentes da que ele já está morando (4 cidades):

4

3P Letra E

___________________________________________________________________________

69


Nesta questão, temos muitos valores decimais, dificultando assim os cálculos dos IMC. A

utilização do quadro facilita a leitura e interpretação de cada IMC.

70

Baseado nas análises de Duval, os dados são bem organizados e de fácil leitura, ampliando

assim a probabilidade do aluno ler e resolver de forma correta a questão.


IMC Duilio:

2

88,1

4,96)(DuilioIMC 27,3 Se enquadra em sobrepeso

IMC Sandra:

2

70,1

84)(SandraIMC 29,1 Se enquadra em sobrepeso

Letra B

___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa saber o conceito de probabilidade, como sendo uma razão, ou

seja, uma divisão entre dois valores. Valores estes presentes de forma direta na tabela,

portanto a questão se resume a uma divisão.

Baseado nas análises de Duval, os dados são bem simples e de fácil leitura pelo aluno, a

utilização desta tabela contribui para a resolução de forma mais rápida pelo aluno.

71

Segundo a classificação de Wainer, esta tabela é de nível básico, pois apenas lendo os dados

se resolve a divisão.


A probabilidade é dada pela razão entre os portadores de doenças crônicas atendidos no posto

de vacinação (22) e o total de pessoas atendidas no posto de vacinação(200):

100

11

200

22P 11% Letra C

___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa saber o conceito de probabilidade, como sendo uma razão, ou

seja, uma divisão entre dois valores. Valores presentes no gráfico, porém precisa cuidar, pois

os dados terão que ser encontrados somando os valores de pelo menos um Mbps, ou seja, um

ou mais.

Baseado nas análises de Duval, estes dados são de fácil de leitura e interpretação simples, já

que no gráfico os dados são bem organizados e com escalas corretas.

Segundo a classificação de Curcio este gráfico é de 2° nível, pois o aluno precisa interpretar e

organizar as informações presentes nele.

72


A probabilidade é dada pela razão entre os domicílios que possuem banda larga de conexão de

1 Mbps ou mais (22) e o total de domicílios consultados (100):

100

22P 0,22 Letra D

___________________________________________________________________________


Nesta questão a utilização do gráfico facilita muito a sua resolução, pois o aluno precisa

apenas reconhecer em qual período ocorre a queda de participação no PIB. Sendo que, se os

dados estivessem em uma tabela teríamos que verificá- los ano a ano.

Baseado nas análises de Duval, a utilização do gráfico nesta questão é excelente e fornece

uma forma mais direta de resolução, criando assim mecanismos cognitivos que contribuem

para o sucesso matemático da resolução da questão.


os dados e compreender as unidades presentes.

Resolução da questão 173: A queda no gráfico ocorre entre os anos de 2003 e 2006. Letra C

73


Nesta questão o aluno precisa retirar os dados do gráfico e do texto inicial para definir o valor

de internautas que responderam NÃO. Os dados são simples e de fácil resolução, a questão se

resume a uma regra de três.

Baseado nas análises de Duval, os dados expostos no gráfico são simples e de fácil

visualização, porém poderiam ser expressos na forma de tabela sem perda de informações.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico é de 1° nível, pois é necessário apenas ler os

dados e não relacioná- los.

Resolução da questão 175: Regra de três 279 --------- 100%

x ------------ 25% x = 69,75

Ou verificar que 25% representa um quarto do total de internautas. Letra C

74

5.1.4 Prova de 2012


Nesta questão o aluno precisa aplicar o cálculo de probabilidade, ou seja, uma razão entre dois

valores. Estes valores são retirados do gráfico de barras horizontal. Os alunos devem tomar

cuidado, pois o total de pessoas não é igual a 100%, queremos somente as pessoas que

opinaram. A utilização deste gráfico facilita a leitura e interpretação dos dados.

Baseado nas análises de Duval, a apresentação de dados na forma de gráfico e tabelas

auxiliam ao leitor a sua interpretação, porém não garantem um sucesso matemático na sua

resolução. Este gráfico está bem apresentado, é de fácil leitura e respeita as unidades e escalas

apresentadas.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico pode ser classificado como 1° nível, pois o

aluno precisa ler os dados e assim calcular a probabilidade, não necessitando relacioná- los.

75


A probabilidade é dada pela razão entre os que opinaram como sendo chato (12%) e o total de

pessoas que opinou (79%):

79

12P 0,15 Letra D

___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa lembrar que uma probabilidade é a razão entre o valor que

queremos que aconteça e o valor total, ou seja, precisa analisar qual a maior probabilidade de

acerto de cores na urna 2. Os dados e o texto inicial são bem diretos e de fácil interpretação.

Baseado nas análises de Duval, a utilização da tabela organiza, portanto facilita a leitura e

interpretação dos dados.

Segundo a claasificação de Wainer, esta tabela é de nível básico, pois o aluno precisa apenas

ler os dados e interpretar a maior probabilidade de acerto.


76

Se retirar uma bola verde da urna 1 e colocá- la na urna 2, então a probabilidade de retirar

uma verde da urna 2 será 4/11; a urna 2 terá no máximo 4 bolas vermelhas, mas como não

receberá nenhuma vermelha da urna 1, assim a probabilidade de retirar vermelha da urna 2

será de 4/10, portanto está será a maior probabilidade de ganho. Letra E

___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa visualizar o maior e o menor ponto no gráfico, portanto a

utilização do gráfico facilita muito a resolução da questão. O gráfico esta bem apresentado e

respeita as unidades e escalas, contribuindo assim para um sucesso na sua interpretação.

Baseado nas análises de Duval, a utilização deste gráfico organiza bem os dados e agiliza sua

interpretação, pois se fossem apresentados em um tabela o aluno teria que prestar mais

atenção em todos os dados. Desta forma o aluno precisa apenas ir direto no ponto mais alto e

mais baixo e, resolver a questão.


os dados, compreendendo a sua escala e unidades presentes.


A maior venda é dada pelo valor mais alto do gráfico (JUNHO) e a menor venda é no mês

mais baixo do gráfico (AGOSTO). Letra E

77


Nesta questão o aluno precisa verificar onde houve a maior queda de extensão no gelo entre

os meses de Junho e Setembro, e com a apresentação dos dados na forma gráfica esta leitura

fica mais rápida.

Baseado nas análises de Duval, temos muitos dados apresentados neste gráfico, relacionados

em três informações: Extensão do gelo, Mês do ano e Ano em questão. Mas, os dados são de

fácil leitura e o gráfico está bem apresentado, respeitando escalas e unidades envolvidas.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico é de 2° nível, pois o aluno precisa relacionar

os dados presentes, além de organizá- los.

78


O maior aquecimento global ocorreu no ano de 2007, pois neste ano teve-se a menor extensão de gelo (e a maior diferença entre o início e o fim deste período Junho-Setembro) nestes

meses do ano. Letra E ___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa relacionar os dados da tabela para a seguir, calcular o gasto em

horas por semana, assim, o gasto na semana deve ser multiplicado por 5 (de segunda a Sexta)

e, no fim de semana, por 2 (sábado e domingo).

79

Baseado nas análises de Duval, a exposição dos dados na forma de tabela organiza bem os

dados e facilita a resolução de forma mais direta da questão.

Segundo a classificação de Wainer, esta tabela é de nível básico, pois o aluno precisa apenas

extrair os dados presentes para resolver a questão.


Gasto de tempo com atividades escolares:

=> Durante a semana: 5x5h = 25h => Fim de semana: 2x1h = 2h

Total de 27h Letra E

___________________________________________________________________________

80


Esta questão utiliza um gráfico e uma tabela e o aluno deve relacionar estes dados, pois

precisa tomar a decisão de qual investidor fez o melhor negócio. Os dados são simples e de

fácil interpretação.

Baseado nas análises de Duval, os dados apresentados tanto na tabela como no gráfico

facilitam a leitura e a interpretação pelos alunos, contribuindo assim para um sucesso

matemático. O gráfico respeita as unidades e escalas presentes e a tabela possui os dados bem

organizados e diretos.

Segundo a classificação de Wainer esta tabela é de nível básico, pois o aluno precisa extrair os

dados presentes nela, e segundo Curcio este gráfico é de 2° nível, pois o aluno precisa

relacionar os dados da compra e da venda para assim decidir o melhor.


O melhor negócio será dado pelo investidor que conseguiu maior diferença entre o valor da

compra e o valor da venda. Diferença: Venda - Compra

Investidor 1: 460 - 150 = 310

Investidor 2: 200 - 150 = 50

Investidor 3: 460 - 380 = 80

Investidor 4: 100 - 460 = -360

Investidor 5: 200- 100 = 100

Letra A

81


Nesta questão o aluno precisa relacionar os dados entre reclamações e resoluções em um

mesmo dia, para assim decidir a melhor eficiência. Os dados são bem apresentados e de fácil

leitura.

Baseado nas análises de Duval, a utilização deste gráfico facilita a leitura dos dados e a

resolução da questão, pois o gráfico possui uma escala bem definida e é bem apresentado.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico é de 2° nível, pois o aluno precisa combinar os

dados presentes nele, decidindo assim a melhor eficiência.

82


Nesta questão basta visualizar os dias da semana em que a linha contínua supera a linha

tracejada, pois ocorreram mais soluções do que reclamações:

Isso acontece na terça e quarta-feira. Letra B

___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa calcular uma média de três dados para todas as empresas, ou

seja, somar as receitas dos três anos e dividir por três para definir qual a melhor empresa. Os

dados são bem simples e os valores inteiros ajudam na resolução da questão.

Baseado nas análises de Duval, a utilização desta tabela auxilia ao aluno interpretar e, utilizar

de forma correta os dados necessários para resolução da questão.


relacionar os dados presentes para decidir a melhor empresa.


A média de receita bruta das empresas é dada pela soma da receita dividida por 3, como

ambas são em 3 meses basta ver qual tem a maior soma de receita neste período:

=> Alfinete: 660 => Balas: 630 => Chocolates: 675

83

=> Pizzaria: 690 => tecelagem: 615 Letra D

___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa retirar os dados do gráfico para calcular a mediana entre eles.

Como a mediana é o termo central e neste caso temos dois termos centrais (5° e 6° termos) o

aluno precisa fazer a média entre eles. A questão é simples, porém os dados não estão

organizados, o que pode confundir o aluno.

Baseado nas análises de Duval, a exposição dos dados na forma gráfica auxilia a leitura,

porém neste caso seria mais simples se os dados fossem expostos na forma de tabela e em

ordem crescente, pois queremos a mediana entre os valores.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico é de 2° nível, pois o aluno precisa combinar os

dados para resolver a questão.


Mediana é o termo central ou média entre os dois centrais, quando os termos estão em ordem crescente:

Como temos 10 termos, então a mediana será dada pela média entre o 5° e o 6° termos: 1°) 181.419 2°) 181.796 3°) 204.804

4°) 209.425 5°) 212.952 6°) 246.875

Mediana: 2

875.246952.212 Mediana: 229.913 Letra B

84

5.1.5 Prova de 2013


Nesta questão o aluno precisar saber calcular uma média aritmética simples, ou seja, precisa

somar os dados e dividir pelo número de dados. A exposição dos dados na forma de gráfico

de barras contribui para acelerar a resolução, pois o aluno precisa descartar a menor e a maior

nota, que são a menor coluna e a maior coluna, respectivamente.

Em relação a Duval, esta questão utiliza de forma direta e bastante simples a exposição dos

dados na forma de gráfico. Este gráfico está bem apresentado na forma de barras verticais,

mantendo a proporção e a escala, contribuindo para a interpretação e resolução da questão.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico é de 2° nível, pois o aluno precisa identificar

os dados e relacioná- los para resolver a questão.


=> Média anterior:

Soma dos conhecimentos específicos: 18+17+14+19+16 = 84

85

Soma dos conhecimentos pedagógicos: 16+13+1+14+12 = 56

Média: 1410

5684

=> Média nova:

Soma dos conhecimentos específicos (descartar 19): 14 +18+17+16 = 65

Soma dos conhecimentos pedagógicos (descartar 1): 16 + 13+14+12 = 55

Média: [65 + 55 ] / 8 = 120/ 8 = 15 Logo: 15 - 14 = 1 ponto maior Letra B

___________________________________________________________________________


Nesta questão o aluno precisa prestar muita atenção no texto inicial, pois nele temos a fórmula

para o cálculo necessário à resolução do problema. Os dados são retirados da tabela, estão

bem organizados e são diretos. A utilização de números inteiros também facilita as cálculos

da questão.

Baseado nas análises de Duval, a exposição dos dados que são primordiais na resolução da

questão estão bem organizados e divididos por itens. A escolha da tabela também contribui

86

para a leitura, pois o aluno precisa retirar os dados de cada linha e assim, resolver o que se

pede.

Segundo a classificação de Wainer, a tabela é de nível básico, pois o aluno precisa apenas ler

os dados para resolver a questão.


Índice de eficiência: ervalo

produçãotempoIE

int

28815

12360

malhadaIE 2,284

12

11310

mamonaIE

3,30312

14260

maravilhaIE

13

13310mateiraIE 310

5,29411

12270

mimosaIE Letra D

___________________________________________________________________________

87


Esta questão é bastante simples, o aluno precisa apenas ler os dados do gráfico e fazer a

diferença entre o maior e o menor valor. A utilização do gráfico facilita a leitura e contribui

para a identificação mais rápida dos valores necessário para solução da questão.

Em relação a Duval, a exposição dos dados neste gráfico de barras verticais contribui para um

sucesso na interpretação dos dados de forma correta pelos alunos, pois suas representações

são proporcionais e respeitam a escala apresentada.


os dados presentes para assim resolver a questão.


Maior crescimento: 60,52% Menor crescimento: 3,57%

Diferença: 60,52 - 3,57 = 56,95% Letra C

___________________________________________________________________________

88


Nesta questão, além do aluno precisar observar o cálculo de probabilidade como sendo uma

razão, ele também deve saber calcular probabilidades independentes, pois temos duas

probabilidades a calcular e o resultado é o produto delas. Os dados são bem simples e estão

expostos de forma direta.

Baseado nas análises de Duval, a utilização deste gráfico de barras verticais organiza bem os

dados e contribui para a leitura e interpretação de forma correta pelos alunos. O gráfico é bem

simples e respeita suas proporções e escalas.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico é de 2° nível pois o aluno precisa interpretar e

organizar as informações, além de trata-lá como uma aplicação matemática.


Probabilidade que os dois compradores tenham feito suas compras em fevereiro é dado pelo

produto das probabilidades de que cada comprador tenha feito sua compra em fevereiro (pois

os eventos são independentes):

6

1

120

20)( AP

10

3

100

30)( BP

A probabilidade será P(A) x P(B): 10

3

6

1

20

1 Letra A

___________________________________________________________________________

89


Nesta questão o aluno precisa analisar a tendência de crescimento na tabela, também

reconhecer o conceito de progressão aritmética para assim fornecer o total produzido neste

período. Os dados da tabela são bem simples e estão expostos de forma organizada.

Em relação a Duval, a aplicação desta tabela contribui para a identificação do padrão de

crescimento, pois os dados estão em ordem crescente e são bem diretos.

Segundo a classificação de Wainer, esta tabela pode ser classificada como de nível avançado,

pois o aluno precisa comparar tendências e analisar informações implícitas presentes nela. O

aluno deve ter uma visão global da tabela, portanto, não dos dados de forma separada.


Analisando a tabela verifica-se que a cada ano ocorre um aumento de 1,25 t de produção.

De 2012 a 2021 temos nove aumentos constantes de produção a partir de 50,25t, então:

50,25 + 9(1,25) = 61,5

A soma dos 10 será (Progressão Aritmética):

102

5,6125,5010

S = 568,75 Letra D

___________________________________________________________________________

90


Nesta questão o aluno precisa tratar os dados expostos no texto inicial e reconhecer que

probabilidade é uma razão entre dois valores. Os dados são bem simples e estão bem diretos

na questão, não é necessária a utilização de tabelas ou gráficos.

Baseado nas análises de Duval, as informações são bem claras e diretas, logo o tratamento da

informação deve ser bastante simples. A questão não utiliza nem gráfico tampouco tabela,

porém essa representação não é primordial para o sucesso matemático executado pelos alunos.


Basta criar um diagrama com os conjuntos e descontar as intersecções:

Se somarmos 600 + 500 +300, teremos 1400, porém existe apenas 1200 alunos, logo 200 falam as duas línguas. Inglês Espanhol

400 200 300 300 Nenhum dos dois

A probabilidade será a razão entre os alunos que não falam inglês e falam espanhol(300) pelo

total de alunos que não falam inglês(600)

600

300P

2

1 Letra A

___________________________________________________________________________

91


Nesta questão o aluno precisa ler com muita atenção o texto inicial, pois neste elencamos a

informação para calcular o lucro médio anual, ou seja, a divisão entre o lucro e o número de

anos necessário para se obter este lucro.

Baseado nas análises de Duval, os dados são diretos e de fácil leitura. Estes dados estão

expostos na tabela, e estão bem apresentados sendo divididos por linhas, o que facilita no

tratamento da informação pelos alunos.

Segundo a classificação de Wainer, esta tabela é de 2° nível, pois o aluno necessita relacionar

os dados de cada linha dividindo a 1° pela 2° coluna, para assim, resolver a questão.


Calcular o lucro anual de cada empresa:

3

24F 8

2

24G 12

5,2

25H 10

5,1

15M 10

5,1

9P 6

Alternativa B

92


Nesta questão o aluno precisa ler de forma correta o gráfico, pois ele expõe intervalos abertos

e fechados. Portanto, devemos cuidar para escolher sempre os pontos onde o peso referente a

carta se encontra com o intervalo fechado do preço.

Em relação a Duval, a utilização deste gráfico é fundamental para o aluno interpretar a

mudança dos preços, porém somente nos intervalos definidos pelos correios.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico é de 1° nível, apesar de ser um gráfico que

apresenta intervalos, o aluno precisa apenas ler os dados sem maiores relações entre os

mesmos.


Nesta questão deve-se se ter cuidado para analisar os pontos abertos e fechados no gráfico de

forma correta:

=> 2 cartas de 100g: 2 x 1,70 = 3,40

=> 3 cartas de 200g: 3 x 2,65 = 7,95

=> 1 carta de 350g: 1 x 4,00 = 4,00

Total: R$ 15,35 Letra D

___________________________________________________________________________

93


Nesta questão o aluno precisa saber que o cálculo da mediana é dado pelo valor central, e os

dados são de 200 hotéis. Para calcular a mediana o aluno precisa organizar os preços a partir

do gráfico e assim, resolver a questão.

Em relação a Duval, a exposição dos dados em gráfico de setores organiza bem os dados e

contribui para um sucesso na resolução da questão. Os setores são bem distribuídos e

respeitam as proporções apresentadas.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico é de 2° nível pois o aluno precisa ler os dados

e organizar as informações presentes.


Mediana é o termo central ou a média entre 2 termos centrais, como temos 200 hotéis, então

será a média entre o 100° e o 101° preços:

50 primeiros: R$ 200,00 51° ao 100°: R$ 300,00 101° ao 180°: R$ 400,00

Logo será a média entre R$ 300 e R$ 400: Mediana: (300+400) : 2

Mediana: R$ 350,00 Letra C

___________________________________________________________________________

94


Nesta questão o aluno precisa saber que o cálculo de probabilidades é uma razão entre dois

valores, além de interpretar as probabilidades fornecidas. A tabela exposta será utilizada após

a realização dos cálculos para definir o desempenho das máquinas.

Baseado nas análises de Duval, a exposição dos dados é direta, porém temos muitas

informações no texto inicial, o que pode prejudicar os alunos na interpretação do problema.


O desempenho em conjunto é dado pela soma das probabilidades de termos um parafuso

defeituoso das máquinas I ou da II:

Máquina I: Produz 54% dos parafusos e 0,025 deles são defeituosos

100

35,1

1000

25

100

54P

Máquina II: Produz 46% dos parafusos e 0,038 deles são defeituosos

100

75,1

1000

38

100

46P Logo:

100

75,1

100

35,1P

100

10,3P Letra B

95


Nesta questão o aluno deve interpretar os dados presentes no gráfico, relacionar seus eixos

vertical e horizontal que apresentam as grandezas relacionadas.

Conforme Duval, os dados expostos nesta forma de gráfico contribui para uma leitura e

interpretação de forma mais rápida pelos alunos, porém devemos ter o cuidado de organizar

essa leitura com seus eixos de forma correta.

Segundo Curcio, este gráfico é de 2° nível pois os alunos precisam identificar e combinar

informações contidas nele.


Países com nota abaixo da média encontram-se abaixo do eixo horizontal, são eles: Rússia,

Portugal, Itália, Israel e México.

Quanto maior o número de horas de estudo, mais a direita se encontra o País. Como queremos

o país com mais horas de estudo, então este é Israel. Letra C

96

5.1.6 Prova de 2014


Nesta questão temos muitas informações, tanto no texto inicial como no gráfico, pois no texto

inicial obtemos muitas condições definidas. No gráfico há três informações apresentadas. A

utilização deste gráfico auxilia o aluno a organizar os dados e interpretar a questão.

Baseado nas análises de Duval, a forma de exposição dos dados são bem diretas e a utilização

deste gráfico de barras com o gráfico poligonal deve auxiliar o acesso as informações e dados

da questão, favorecendo sua resolução.

Segundo a classificação de Curcio, este gráfico é de 3° nível, pois o aluno precisa extrapolar

os dados e projetar um valor futuro com a informação presente no texto inicial.


Taxa Oculto em 12/2012 é metade da mesma em 06/12: 2,2% : 2 = 1,1%

Taxa Total em 12/2012 é igual da mesma em 12/11: 9,0%

Portanto a taxa Aberto será:

9% -1,1% = 7,9% Letra E

97


Nesta questão o aluno precisa ler com atenção o texto para identificar que, o que se pede são

as regiões onde se devem intensificar a campanha, ou seja, os menores valores de doação por

habitante. Sendo assim, basta analisar na última coluna os menores valores.

Em relação a Duval, os dados são bem expostos e de simples leitura, a tabela contribui para a

visualização e para facilidade de resolução da questão.

Segundo a classificação de Wainer, esta tabela é de nível básico, pois o aluno precisa apenas

ler os dados para resolver a questão.


Regiões em que o percentual de doadores é menor ou igual ao do país:

Norte(1,5%), Nordeste(1,5%) e Sudeste(1,9%)

Letra B

98


Nesta questão o aluno precisa saber que mediana é o termo central, porém como nesta questão

temos quatro notas, então teremos que calcular a média dos dois termos centrais. Um cuidado :

estes dados não estão em ordem.

Baseado nas análises de Duval, a exposição na forma de tabela auxilia na organização dos

dados e, fornece uma forma mais rápida para o aluno escolher os valores corretos na solução

da questão.


relacionar os dados para calcular o valor da mediana.


Como temos 4 notas para cada candidato, a mediana será a média entre 2° e a 3° notas,

quando estão em ordem crescente:

K: 33, 33, 33 e 34 MED: 33

L: 32, 33, 34 e 39 MED: 33,5

M: 34, 35, 35 e 36 MED: 35

N: 24, 35, 37 e 40 MED: 36

O: 16, 26, 36 e 41 MED: 31

Letra D

99

100


Nesta questão temos muitas informações iniciais e, muitas informações nos dois gráficos

apresentados: um de setor circular e um de barras verticais. Apesar da questão possuir muitas

informações, os dados estão bem expostos e de forma direta.

Baseado nas análises de Duval, a utilização dos gráficos organiza os dados e auxilia o aluno

na sua resolução, pois em ambos os casos as representações utilizadas respeitam as escalas e

unidades de cada gráfico.

Em relação a Curcio, os gráficos são de 2° nível, pois o aluno precisa relacionar os dados

presentes para resolver a questão.


Lucro em 2013: R$ 10.000.000 - R$ 400.000 R$ 9.600.000,00

Gastos com a folha em 2013:

Ens. Fund. : 12,5% de R$ 400mil R$ 50.000 Ens. Sup. : 12,5% de R$ 400mil

R$ 50.000 Ens. Méd. : restante dos R$ 400mil

R$ 300.000 Agora vamos calcular os aumentos para 2014:

Ens. Fund. : 50 Func. ------ 50mil

70 Func ------ x x = 70.000 Ens. Sup. :

10 Func. ------ 50mil 20 Func ------ x

x = 100.000

Ens. Méd. :

150 Func. ------ 300mil 180 Func ------ x x = 360.000

Total de gastos com folha em 2014:

70 + 100 + 360 => R$ 530mil

Para manter o mesmo lucro de 2013 a empresa precisará ter uma receita de:

R$ 9.600mil + R$ 530mil => R$ 10.130.000

Logo precisará ter um aumento de R$ 130.000 Letra B

101


Nesta questão o aluno precisa saber calcular uma média ponderada, sendo que os pesos das

notas encontram-se no enunciado inicial e, as notas na tabela auxiliando a organização dos

dados.

Baseado nas análises de Duval, a representação dos dados na forma de tabela é bem direta e

de fácil interpretação, sendo que os dados são simples e organizados.

Em relação a Wainer, esta tabela é de nível intermediário, pois o aluno precisa relacionar as

notas para assim calcular a média ponderada.


Na média ponderada temos que considerar o peso de cada dado, temos que multiplicar por 4 a

nota de química e por 6 a nota de física, e dividirmos tudo por 10 que é o total da soma dos

pesos

Candidato I: 8,2110

236204

Candidato II: 8,21

10

2564

x

Candidato III: 2,1910

186214

684

2181504

x

x

17x Logo 18, Letra A

102


O aluno precisa saber a definição de média, moda e mediana para assim interpretar os dados

expostos na tabela. Além da tabela temos informações importantes no texto inicial. A questão

é de simples interpretação, não sendo necessário nenhum tipo de cálculo.

Baseado nas análises de Duval, a exposição dos dados na tabela torna a questão mais direta,

pois basta analisar os dados e interpretar a resposta. A tabela é bem simples, com apenas três

valores, portanto, de rápida resolução.

Em relação a Wainer, esta tabela é de nível básico pois o aluno precisa apenas ler os dados,

conhecendo, é claro, os conceitos estatísticos presentes na questão.


Sobre a cor: Como a média é menor que a metade de 1, ou seja, 0,45 notamos que tem mais

reclamações o número zero que representa a cor branca.

Sobre o número: Como a moda (que representa a maior frequência de dados) é 38, este é o

número que mais tem reclamações.

Letra A

103


Nesta questão o aluno precisa saber que probabilidade é uma razão entre dois valores, e estes

valores são explicados no texto inicial e expostos na tabela. Sua resolução é bem simples e

direta, pois os valores são inteiros.

Baseado nas análises de Duval, a aplicação desta tabela auxilia o aluno na sua leitura e

utilização, porém o aluno deve ler com muita atenção o texto inicial para retirar os dados

corretos.

Em relação a Wainer, esta tabela é de 2° nível, pois o aluno precisa interpretar os valores

necessários para a resolução da questão e relacioná-los conforme uma probabilidade.


A sensibilidade é definida como a razão entre o resultado ser positivo entre todos que

possuem a doença. Neste caso temos 100 pessoas com a doença presente e destes 95 tiveram o

resultado como positivo, logo: 100

95adeSensibilid %95adeSensibilid Letra E

104


Nesta questão o aluno precisa calcular as cinco médias para decidir qual é o reagente. Os

dados são bem diretos e foram organizados na tabela. A utilização de valores inteiros facilita

nos cálculos.

Baseado nas análises de Duval, os dados representados na tabela auxiliam a interpretação e

resolução da questão, pois cada reagente tem cinco experimentos expostos por coluna,

auxiliando a forma correta de se fazer a média.

Em relação a Wainer, esta tabela é de nível básico, pois o aluno precisa apenas ler os dados

para assim calcular as médias.


Queremos o reagente com a maior quantidade de dados acima da sua média de experimentos, então temos que calcular a média de cada reagente para depois decidir qual teve o maior número de dados maior que esta média:

Reagente I: 65

11631

1 experimento maior: 11

Reagente II: 8,45

76250

4 experimentos maiores: 5, 6, 6 e 7 Letra B

Reagente III: 8,65

1110832

3 experimentos maiores: 8, 10 e 11

Reagente IV: 6,65

128742


Reagente V: 6,65

1110921


105


Nesta questão o aluno precisa saber calcular probabilidades Binomiais, para tanto precisamos

levar em conta duas situações: Sucesso(acerto) e fracasso(erro), além de analisar todas as

combinações possíveis para essas situações. Também, precisamos conhecer as probabilidades

complementares, neste caso se a probabilidade de errar é de 0,20, então a de acertar é de 0,80.

Talvez a questão mais difícil de probabilidade de todas expostas neste trabalho, por se tratar

de um assunto não muito comum no ensino médio.

Em relação a Duval, os dados necessários para resolver a questão são bem simples e estão

explicados no texto inicial. Não é necessária a sua exposição na forma de tabela ou gráfico.


Para o teste terminar na quinta pergunta o candidato deve errar somente uma das quatro

primeiras perguntas e errar a 5° pergunta obrigatoriamente, temos que ver as possibilidades de

combinações para se errar apenas uma das 4 primeiras:

E A A A A E A A

A A E A A A A E

Temos quatro combinações. Se a probabilidade de errar uma resposta é 0,20 então de acertar é

0,80, então a probabilidade será:

32 )8,0()2,0(4 P

P = 0,08192

Letra B

106


Nesta questão o aluno precisa relacionar as grandezas presentes no gráfico, ou seja, o tempo

com o custo. Os dados são bem diretos e de fácil interpretação, o texto inicial é direto e bem

resumido auxiliando na agilidade ao resolver a questão.

Baseado nas análises de Duval, a exposição dos dados na forma gráfica agiliza a leitura e

interpretação da questão, auxiliando assim na sua resolução. A escolha pelo gráfico é

excelente, pois se fossem apresentados em tabelas os alunos teriam que relacioná-los um a um

para, então decidir o melhor.

Em relação a Curcio, este gráfico é de 2° nível, pois o aluno precisa interpretar e organizar as

informações, relacionando assim as grandezas.

107


Nesta questão temos que marcar o valor de R$ 30, 00 no eixo vertical e ver qual operadora

possui intersecção com uma reta horizontal a direita, pois assim teremos maior tempo de

chamada. Como no desenho abaixo:

Portanto a operadora com maior tempo de chamada é a operadora C. Letra C

___________________________________________________________________________

108


Nesta questão o aluno precisa somar os dados do número de bactérias I e II, dia a dia, para

decidir o dia com a quantidade máxima. Os dados são diretos e de fácil leitura e interpretação

do texto inicial.

Baseado nas análises de Duval, a exposição dos dados no gráfico agiliza a leitura e resolução

da questão, fornecendo uma forma mais direta aos alunos. O gráfico é bem simples, respeita

as proporções e escalas presentes.

Em relação a Curcio, este gráfico é de 2° nível, pois o aluno precisa combinar as informações

presentes em ambos os gráficos, para assim decidir a resposta correta.


Basta ver qual maior soma de bactérias em um dado dia:

Segunda: 1250 + 350 = 1600

Terça: 1100 + 800 = 1900

Quarta: 1450 + 300 = 1750

Quinta: 850 + 650 = 1500

Sexta: 1400 + 300 = 1700

Sábado: 1000 + 290 = 1290

Domingo: 1350 + 0 = 1350

Letra A

___________________________________________________________________________

109

5.2 ANÁLISES DAS QUESTÕES DE MATEMÁTICA DO ENEM

Neste item buscamos analisar as questões das provas de 2009 a 2014 de Matemática e

Suas Tecnologias do ENEM, em especial as expostas no item 5.1, ou seja, as questões que

envolvem a Probabilidade e a Estatística ou apresentam dados em gráficos, tabelas ou

quadros.

Lembramos que desde 2009 a prova é composta por 45 questões, baseadas em

Competências e Habilidades da sua matriz de referência. Nesta analise iremos verificar quais

competências e habilidades estão mais presentes nestas questões e também, a forma de

utilização de gráficos e tabelas.

5.2.1 Análise Global das questões de Probabilidade e Estatística das provas de 2009 a

2014

Uma analise inicial é o número de questões entre as 45 de cada ano que envolve os

conteúdos relacionados ao objetivo deste estudo, ou seja, probabilidade e estatística. Observe

os gráficos 1 e 2 a seguir.

Gráfico 1 : Número de questões que envolvem Probabilidade e Estatística dos ENEM de 2009 a 2014

13

11

9 9

11 11

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

2009 2010 2011 2012 2013 2014

Questões de Probabilidade e Estatística do ENEM

Fonte: Do autor (2015).

Analisando este gráfico, se levarmos em conta os seis anos de prova neste novo

formato, temos uma média de 10,7 questões que envolvem estes conteúdos por ano, isso

110

equivale a dizer que 23,7% das questões do ENEM são sobre Probabilidade ou Estatística.

Temos quase um quarto das questões em apenas dois conteúdos, demonstrando assim a

importância do desenvolvimento aprofundado destes temas.

Gráfico 2: Divisão das questões que envolvem Probabilidade e Estatística dos ENEM

11

2

7

4

6

3

7

2

9

2

10

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

2009 2010 2011 2012 2013 2014

Separação das questões: Probabilidade x Estatística

Estatística Probabilidade


Observando o gráfico 2, notamos que a maioria das questões é de Estatística, questões

que envolvem cálculos de médias, moda, mediana, análise de dados do gráfico, tendência dos

dados a partir do gráfico, entre outras. No último ano de 2014 tivemos apenas uma questão

que envolve probabilidade e era sobre distribuição binomial, trata-se da questão 164, não

muito comum nas provas do ENEM.

Agora vamos analisar as questões sobre a forma de exposição dos dados, ou seja,

utilização de gráficos e tabelas, as quais aparecem na matriz de referência do ENEM na

competência seis (Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de

gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e

interpretação) e engloba as habilidades H24, H25 e H26.

Aqui podemos lembrar que por competência, segundo o documento básico do Enem,

entendeu-se “[...] as modalidades estruturais da inteligência, ou melhor, ações e operações que

utilizamos para estabelecer relações com e entre objetos, situações, fenômenos e pessoas que

desejamos conhecer”. Já no que diz respeito às habilidades, o supramencionado documento

afirmou que elas decorrem das competências adquiridas e que “[...] referem-se ao plano

imediato do “saber- fazer”, sendo trinta habilidades enumeradas”.

111

Vamos lembrar estas competências e habilidades na figura 2 e em seguida expor os

números de questões de Probabilidade e Estatística que envolvam gráficos e tabelas segundo o

gráfico 3:

Figura 2: Recorte da Matriz de Referência do ENEM - Competência 6

Competência de área 6 - Interpretar informações de natureza cientí fica e social obtidas da leitura de

gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.

H24 - Ut ilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.

H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.

H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.


Gráfico 3: Divisão das questões quanto a forma de exposição dos dados: Gráficos x Tabelas

5

5

4

5

4

5

6

4

6

3

4

6

012345

6789

10

2009 2010 2011 2012 2013 2014

Divisão das questões que envolvem gráficos e tabelas

Gráfico Tabela


Notamos que em alguns anos aparecem mais questões que utilizam gráficos e em

outras mais tabelas, porém é bem parecido este número. A exceção ocorreu no ano de 2013

onde tivemos o dobro de questões de gráficos em relação as tabelas.

É importante destacar que as questões que utilizam gráficos para expor seus dados são,

na quase totalidade gráficos simples e com poucas informações implícitas, quase nenhuma

questão com gráfico mais elaborado. Como se refere Curcio (1989), gráficos classificados de

3° nível, no qual se pretende que o aluno se projete no futuro e, coloque questões sobre os

dados extrapolando e fazendo inferências. Quanto ao tipo de gráfico utilizado, os mais

comuns são gráficos de barras (horizontais e verticais) e o gráfico de linhas poligonais. O

gráfico de setor circular é pouco explorado, apareceu apenas nos dois últimos anos de provas

(2013 e 2014) e, mesmo assim em apenas uma questão por ano.

Nas tabelas também encontramos a mesma situação, questões que expõem tabelas

apenas para organizar os dados e não para interpretação e percepção de tendências. Neste

112

sentido Wainer (1992), destaca que um dos grandes problemas de apresentar os dados em

tabelas, é que muitas vezes criam-se tabelas ditas "pobres", ou seja, que apenas apresentam os

dados e não possuem informações. Elas apenas possibilitam fazer inferências de nível básico.

Em relação as habilidades de competência seis, nota-se que a habilidade H24(Resolver

problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos) é a que mais se adapta as questões

do ENEM. A maioria destas questões apenas expõem os dados na forma de gráfico e tabelas

para o aluno retirar os dados e responder à questão, sem maiores extrapolações ou

conhecimento prévio envolvido.

Sobre as questões de Probabilidade, podemos lembrar as competências e habilidades

da matriz de referência do ENEM:

Competência de área 7: Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos

fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação

de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis

apresentadas em uma distribuição estatística.

H27 - Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados

expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em

gráficos.

H28 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.

H29 - Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção

de argumentação.

H30 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística

e probabilidade.

Nota-se que esta competência é diretamente relacionada à probabilidade e estatística.

Nas questões de probabilidade os cálculos são bem diretos, pois apenas retiramos os dados de

tabelas e gráficos para resolver a questão. Em poucas questões aparece o cálculo

probabilidade independente ou binomial.

Além da Matriz de Referência, o ENEM, em seu documento básico, apresenta também

os objetos de conhecimentos associados à sua matriz, que para Matemática são os expostos no

quadro 5:

113

Quadro 5: Objetos de Estudo associados à Matriz de Referência do ENEM


Observamos neste quadro, que os conhecimentos de Estatística e Probabilidade

recebem um enfoque especial, e nestes objetos o que mais esteve presente nas questões é a

"representação e análise de dados". Na grande maioria, as questões apresentam um texto

inicial e envolvem dados expostos em gráficos e tabelas para análise e resolução do problema.

Os cálculos de média, moda e mediana também são temas que apareceram com grande

frequência nas questões, estando presente em todos os anos analisados, em especial as médias

aritméticas.

Enfim, a partir das análises acima expostas, podemos afirmar que as questões sobre

Probabilidade e Estatística do ENEM desde o ano 2009 não sofreram mudanças radicais.

Notamos uma distribuição padrão entre os conteúdos envolvidos e a forma de exposição dos

dados em cada questão. Sendo assim, torna-se fundamental que o aluno que pretende prestar o

ENEM aprofunde seus estudos com a resolução destas questões.

114

6 EXPERIÊNCIA DIDÁTICA

O projeto de pesquisa foi aplicado com um grupo composto de 15 alunos do 1° Ano do

Ensino Técnico Integrado dos cursos de Informática e Mecatrônica do Instituto Federa l de

Educação, Ciências e Tecnologias Sul-Rio-Grandense (IFSul) da cidade de Charqueadas,

localizada a cerca de 50km da cidade de Porto Alegre. Estes alunos se propuseram a participar

do projeto por livre e espontânea vontade (sendo esta uma sequência didática extracurricular)

a partir do convite realizado pelo professor responsável.

Este projeto teve um total de oito encontros semanais cada um com duração de 90

minutos, esta sequência didática será apresentada nos Apêndices deste trabalho, sendo este o

produto principal desta dissertação de Mestrado Profissionalizante.

No primeiro encontro aplicou-se um pré-teste (APÊNDICE A) aos alunos, com as

questões antigas do ENEM, desde 2009 até 2013, relacionadas à Estatística e Probabilidade.

Nos próximos seis encontros (APÊNDICES B, C, D, E, F e G) desenvolveu-se os conteúdos

sobre Estatística e Probabilidade com muitas resoluções de questões antigas do ENEM. No

último encontro aplicou-se um pós-teste (APÊNDICE H) com questões relacionadas à

Estatística e Probabilidade do último ENEM de 2014, e no final corrigiu-se cada uma das

questões com o grupo de alunos.

6.1 DESENVOLVIMENTO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

As aulas foram desenvolvidas em uma sala de aula de laboratório composta por

computador, classes e acesso a internet, além do projetor e lousa branca disponibilizada pela

escola. O objetivo de utilizar este laboratório foi a possibilidade de aplicar a informática, mais

especificamente os softwares como Excel como facilitadores de representações de planilhas

na forma de tabelas e gráficos.

A sequência das aulas foi apresentada no 1° encontro, bem como seu formato e a

utilização do ambiente virtual Moodle, possibilitando assim a organização e a

disponibilização dos conteúdos e práticas de cada encontro. As aulas foram gravadas por meio

de áudio e vídeo, com consentimento dos alunos e seus respectivos responsáveis através do

termo de consentimento anexado ao projeto da pesquisa (ANEXO A). Disponibilizamos os

115

trabalhos desenvolvendo os temas das aulas no ambiente Moodle para os alunos. Nestes

encontros os alunos receberam o material impresso e acompanharam a projeção do mesmo

resolvendo, portanto, as questões que já estiveram presentes em provas anteriores do ENEM.

Os testes resolvidos pelos alunos e apresentados neste relatório foram apresentados

preservando seus nomes, ou seja, cada aluno recebeu uma numeração aleatória.

6.1.1 Aula 1

No primeiro encontro, realizado no dia 24/09/2014, foi aplicado um pré-teste,

composto por 10 questões selecionadas de provas ap licadas pelo ENEM desde 2009. Estas

questões envolveram conteúdos sobre Estatística e Probabilidade, procuramos variar bem as

questões selecionadas, entre: gráficos, tabelas, médias, moda, mediana, desvio-padrão,

variância e probabilidade.

Além de resolver as questões, mostramos os cálculos envolvidos para marcar a

resposta correta entre as cinco alternativas, os alunos tiveram que atribuir graus de

importância e de dificuldade envolvidos em cada questão, este grau variou de 1 a 5, sendo:

1- Muito Pouco 2- Pouco 3- Médio 4- Grande 5- Muito Grande

Buscamos verificar o grau de conhecimento prévio dos alunos, aplicando uma lista de

testes sem o desenvolvimento do conteúdo. Esperamos que os alunos tivessem dificuldades de

interpretação e visualização de gráficos e, tabelas envolvidas nas questões de Probabilidade e

Estatística. Esperamos que os alunos atribuíssem grau alto de dificuldade e grau baixo de

importância do conhecimento envolvido na questão, pois é um tema novo e eles, muitas

vezes, não conseguem visualizar sua importância no cotidiano.

Os alunos sentiram-se desafiados com os temas envolvidos, ficaram com dúvidas e

houve muitas perguntas após a aplicação do pré-teste. Esta situação deveria ser boa para

iniciar o estudo destes conteúdos e prosseguir nas próximas semanas. As questões foram

respondidas com o prévio conhecimento dos alunos: análises de gráficos e dados, e algumas

questões que envolviam definições mais específicas que os alunos nunca tinham ouvido,

foram apenas marcadas as respostas, ou seja, foi um "chute". Eles tiveram 40 minutos para

resolver o pré-teste, ou seja, em média 4 minutos por questão, sem o uso de calculadora,

buscando assim a aproximação ao ENEM. Alguns reclamaram do texto envolvido em cada

questão, que era grande e com muitos dados envolvidos.

116

6.1.2 Aula 2

No segundo encontro, realizado no dia 01/10/2014, começamos a desenvolver a

Estatística, definindo suas aplicações, definições e principais formas de apresentação dos

dados. Tivemos a introdução à estatística, etapas de uma pesquisa, tipos de pesquisas, formas

de tabular os dados e principais análises envolvidas. Nesta aula mostramos dados retirados

dos meios de comunicação como jornais, revista e internet com suas análises estatísticas

envolvidas.

O objetivo era que os alunos entendessem o que se estuda na Estatística, suas

aplicações e formas de pesquisas, tabulações dos dados, tratamento dos mesmos e exposição

dos resultados. Esperamos que os alunos se sentissem motivados a estudar este tema, ass im

como visualizassem suas aplicações e importância, tanto no seu cotidiano como nos processos

seletivos.

Os alunos interagiram bastante na aula, fazendo perguntas e dando exemplos de

aplicações da Estatística. Com a exposição de dados reais retirados da internet, como por

exemplo, dados do senso no Brasil: divisão em sexo da população, renda média do brasileiro,

entre outros, os alunos analisaram situações e fizeram conclusões sobre os dados

apresentados, mostrando um grande interesse sobre o tema.

Os alunos sentaram em grupos de 4 pessoas, promovendo discussões e possibilitando

propostas de coletas de dados a serem realizadas na escola pelo grupo. No final da aula

fizemos uma síntese dos temas estudados e os alunos mostraram ter entendido bem os

conteúdos, com exemplos e aplicações expostos.

Apesar de ter sido uma aula com muitas definições novas, os alunos notaram que estes

temas são importantes e se interessaram pelo assunto, fazendo inferências de forma correta e

criando exemplos bem criativos sobre o tema. Os exemplos reais de dados retirados da

internet foram importantes para os alunos visualizarem suas aplicações e formas de exposição

dos dados estatísticos.

Notou-se ainda que os alunos observaram bastante o quanto estes temas estão expostos

na mídia em telejornais, internet e revistas, apresentando dados de pesquisas e entrevistas na

forma de tabelas e principalmente gráficos.

117

6.1.3 Aula 3

Neste 3° encontro, realizado no dia 08/10/2014, começamos a aula retomando as

definições e conceitos da aula anterior, a fim de relembrar os alunos e aprofundar as primeiras

ideias sobre Estatística.

Após as definições da última aula, agora aprofundamos as principais formas de

exposição dos dados de uma pesquisa: tabelas e gráficos.

Nas tabelas mostramos as formas em que os valores são expostos: frequência relativa

ou frequência absoluta.

Nos gráficos mostramos as suas formas e diferentes tipos: de linhas, de barras, de

colunas e de setores circulares.

Nesta aula usamos exemplos reais retirados da internet e questões do ENEM, e

criamos novos exemplos e aplicações em sala de aula, usando o software Excel tabulamos os

dados e criamos gráficos para análise e interpretação dos mesmos.

Esperamos que os alunos se envolvessem com o conteúdo, participassem da c riação de

tabelas e gráficos, além de se interessarem pelas análises e aplicações, pois assim obteremos o

pensamento estatístico em desenvolvimento. O objetivo é que os alunos além de saberem ler

os dados apresentados de forma correta consigam criar e expor dados na forma de tabelas e

gráficos da forma mais correta possível, fazendo possíveis inferências.

Os alunos fizeram muitas indagações sobre as formas de exposição de dados,

resolveram todas as questões propostas entre os grupos e fizeram aplicações de exemplos

práticos das formas de gráficos e tabelas. Além de participar das discussões, os alunos

demonstraram mais interesse pelos gráficos, pois segundo eles, as análises são mais rápidas e

sem a necessidade de muitos cálculos. Por enquanto foi a aula com maiores participações e

perguntas, os alunos propuseram um exemplo de tabelas e gráficos das idades deles.

Realizamos esta tarefa e apresentamos os dados em tabelas com valores absolutos e relativos,

também fizemos vários tipos de gráficos sobre este exemplo.

Segundo os alunos o gráfico de setores foi o mais interessante, no entanto, quando se

têm muitos dados o gráfico fica difícil de analisar, pois temos setores muitos pequenos.

Uma pequena observação: faltaram dois alunos nesta aula.

Os objetivos foram alcançados em boa parte, porém como não vieram 100% dos

alunos à aula, podemos ter dificuldades em novas conclusões e aplicação deste tema em novos

testes. Apesar de possuir muitas formas de tabelas e gráficos, notamos que os alunos se

118

interessaram sobre o tema e demonstram conhecimento prévio sobre as análises realizadas em

aula. Em suma, a aula foi tranquila e bem aproveitada, o tempo todo, com explicações teóricas

e resoluções de exercícios sobre o ENEM.

Após esta aula, esperamos que nas próximas os alunos consigam trazer estes

conhecimentos para novas aplicações e resoluções de exercícios.

6.1.4 Aula 4

No 4° encontro, realizado no dia 15/10/2014, foram apresentadas aos alunos as

principais medidas de tendência central: média aritmética, med iana e moda. Foram resolvidos

exemplos para diferenciais, suas aplicações e definições, além de testes do ENEM.

Começamos a aula pela média aritmética, formas de calcular e principais aplicações, após

entramos na mediana, suas aplicações e cuidados no cálculo. Por último, a moda entre os

termos. No final da aula foram resolvidos sete testes do ENEM que envolveram estes

conteúdos.

Esperamos com esta aula que os alunos conseguissem diferenciar as medidas de

tendência central, além de conseguir calcular cada um dos seus tipos. O objetivo principal é

que os alunos consigam se sentir à vontade com suas nomenclaturas e consigam resolver de

maneira fácil e direta as questões do ENEM no final da aula, mostrando assim a assimilação

do conteúdo envolvido.

Nesta aula os alunos conseguiram tirar as dúvidas que surgiram com a aplicação do

pré-teste, pois muitos deles estavam curiosos para saber qual era a diferença entre média e

mediana. Notamos que após as explicações eles se sentiram bem à vontade e conseguiram

corrigir os erros demonstrados no pré-teste. No final da aula, as questões do ENEM foram

resolvidas de maneira bem direta e os alunos acharam este tema o mais fácil até o momento,

chegaram a pedir para que este conteúdo entrasse em provas do curso técnico desenvolvido na

Instituição.

Esta foi a aula em que as expectativas e as observações foram todas atingidas, pois os

alunos conseguiram assimilar bem as diferenças entre as medidas de tendência central e não

tiveram dificuldades na resolução das questões do ENEM. Com este resultado esperamos que

eles consigam acertar as questões do pré-teste mostrando e confirmando o entendimento pelas

nomenclaturas e formas de cálculos das médias, medianas e moda.

119

6.1.5 Aula 5

No 5° encontro realizado no dia 22/10/2014, assim como na última aula foram

apresentadas as medidas mais usuais para representar um termo médio, agora apresenta mos as

formas mais comuns de classificar os dados de uma pesquisa sobre sua dispersão. Nesta aula

desenvolvemos os conceitos e aplicações de amplitude, desvio-padrão e variância.

Primeiramente, voltamos aos temas desenvolvidos na última aula com exemplos que

mostrassem a mesma média, mediana e moda, porém agora essas duas pesquisas mostraram

diferentes medidas de dispersão, demonstrando aos alunos que apenas a tendência central não

basta para analisar os dados de uma pesquisa. Após as definições de aplicações e formas de

cálculos de cada uma das medidas de dispersão resolvemos testes aplicados no ENEM, para

os alunos conseguirem assimilar a forma como estes conteúdos estão presentes na prova.

Nesta aula esperávamos que os alunos conseguissem diferenciar as pesquisas

apresentadas não apenas pelas tendências centrais (média, moda e mediana), que muitas vezes

são próximas ou até iguais, mas, sim, pela dispersão dos dados, ou seja, amplitude, desvio-

padrão e variância. Buscamos aqui analisar dados mais dispersos e menos dispersos,

conseguindo resolver situações-problema e fazer inferências sobre os mesmos.

Notamos que os alunos sentiram um pouco mais de dificuldade nestes conteúdos, por

se tratar de cálculos mais complexos, portanto demorados de resolver. Os grupos se aplicaram

bem nas tarefas e testes propostos e no fim conseguimos analisar e discutir bem as aplicações

e diferenças entre as medidas de dispersão. Observamos que esses nomes não são tão

conhecidos como as medidas de tendência central (média, moda e mediana), porém os alunos

concordaram que são cálculos importantes a se fazer, pois em uma pesquisa teremos uma

análise geral dos resultados e como esses dados se aproximam ou se afastam da média,

podendo assim concluir mais informações sobre os mesmos.

Mesmo no início, sentindo um pouco mais de dificuldade do que nas aulas anteriores,

os alunos conseguiram atingir as expectativas antes da aula, pois fizeram inferência de forma

correta, calcularam diversas medidas de dispersão e até trouxeram exemplos de como estas

medidas são importantes.

120

6.1.6 Aula 6

Neste 6° encontro, realizado no dia 29/10/2014, foram aplicados os conceitos já

trabalhados em aula, aplicações com resolução de questões do ENEM. São questões que já

foram cobradas nas últimas provas com o formato de 45 questões sobre Matemática e Suas

Tecnologias, questões essas que envolveram Estatística. As questões foram expostas aos

alunos, os quais tiveram quatro minutos para resolver cada uma, após esse tempo a questão foi

resolvida e discutida com o grupo, assim verificaram eventuais dificuldades e facilidades dos

temas já estudados.

O grande objetivo desta aula foi mostrar aos alunos a forma como esses temas

envolvidos são cobrados no ENEM, além de possibilitar o treinamento do tempo para resolver

cada questão e das aplicações dos conteúdos desenvolvidos em aula. Esperamos que os alunos

conseguissem resolver as questões e se interessassem pelas mesmas, pois envolvem os

conteúdos já trabalhados nas aulas anteriores e acabam desafiando os alunos a encontrar a

resposta correta, mostrando seus conhecimentos sobre o tema.

Os alunos conseguiram resolver rapidamente a maioria das questões, com pequenas

dificuldades. O tempo foi o grande inimigo, pois em muitas questões os quatro minutos não

foram suficientes. A grande maioria se envolveu com a resolução das questões e acabaram

fazendo uma competição entre eles, o que provocou mais ainda o envolvimento dos alunos. A

turma foi bem participativa e conseguiu, demonstrando que os conteúdos desenvolvidos em

aula foram bem absorvidos.

Com a resolução destes testes, notamos que as expectativas foram em grande parte

atingidas, pois os alunos se envolveram com a resolução das questões e participaram das

discussões sobre as dificuldades e os conteúdos envolvidos em cada uma delas. Notamos que

as nomenclaturas e definições foram bem absorvidas pelo grande grupo e que os cálculos não

tiveram grande dificuldade para suas resoluções.

6.1.7 Aula 7

Neste 7° encontro realizado no dia 05/11/2014, foi desenvolvida a probabilidade, suas

formas e aplicações. Na probabilidade começamos definindo alguns conceitos importantes,

121

tais como: experimento aleatório, espaço amostral, evento e a própria definição de

probabilidade, a partir da resolução de exemplos chegaremos às probabilidades de eventos

impossíveis e eventos certos. Após estas resoluções e definições de aplicação resolvemos

questões já aplicadas ao ENEM.

Esperamos que os alunos conseguissem identificar a definição de probabilidade como

sendo uma razão, suas formas de respostas: forma percentual, decimal e fracionária, além de

aplicações em testes do ENEM. A partir dos primeiros exemplos, mais fáceis, como

lançamentos de moedas e dados, ampliamos os testes com aumento de informações que

acabaram transformando o número total de casos, mostrando aos alunos a importância da

interpretação do exercício.

Nesta aula notamos que os alunos entenderam bem a matéria e gostaram das suas

aplicações, com perguntas e aplicações em jogos da mega sena, entre outros. Na resolução dos

exercícios do ENEM os alunos começaram tendo alguns problemas com as informações, não

sendo interpretadas de forma correta, porém após alguns testes entenderam bem e, começaram

a acertar os demais.

Notamos que a probabilidade é um dos conteúdos que mais envolve os alunos, pois o

cálculo de probabilidades de eventos ocorrer chama a atenção dos alunos e desperta a

curiosidade. Tratar este tema com a resolução de exercícios diretos, com poucos cálculos e

com mais interpretação, também estimula o raciocínio lógico e a participação da turma

durante a aula.

6.1.8 Aula 8

Neste último encontro realizado no dia 12/11/2014, foi aplicado um pós-teste,

composto por dez questões selecionadas da prova do ENEM de 2014. Além de resolver os

testes propostos os alunos atribuíram grau de dificuldade e grau de importância para cada

questão, estes graus variaram de 1 menor grau até o grau 5, maior grau.

Buscamos verificar o conhecimento dos alunos após o desenvolvimento desta

sequência didática, aplicando uma lista de testes. Esperamos que eles tenham mais facilidade

que no pré-teste e consigam melhorar seu desempenho mostrando maiores interpretações e

aplicações sobre o tema envolvido. Além disso, esperamos que os alunos atribuam graus

menores de dificuldade e graus maiores de importância do conhecimento envolvido na

122

questão, pois agora já foram apresentadas muitas situações cotidianas e dados veiculados em

meios de comunicação.

Durante a aplicação do pós-teste notamos a aplicação dos alunos e a concentração na

interpretação e resolução dos testes propostos. Todas as questões de todos os alunos foram

resolvidas, e com a exposição dos cálculos aplicados por eles.

Notamos uma facilidade maior dos alunos na resolução destas questões, pois muitos

terminaram as 10 questões antes mesmo dos 40 minutos disponibilizados, é claro que isso não

garante que tenham acertado mais questões. Mas, pelo menos, conseguiram interpretar e

resolver as questões mais rapidamente e isso é importante, pois o tempo é um dos grandes

inimigos do ENEM.

Os comentários desta última aula é que Probabilidade e Estatística são conteúdos

muito importante para quem pretende fazer o ENEM.

As expectativas durante a aplicação deste pós-teste são as melhores possíveis, pois a

grande maioria dos alunos conseguiu terminar no tempo estabelecido e com uma empolgação

bem maior que no pré-teste. No pós-teste eles tinham o conhecimento do que se tratava e se

sentiram mais à vontade para resolver essas questões.

6.2 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS DO PRÉ E PÓS-TESTES

Após a análise das resoluções feitas pelos alunos do pré-teste verificamos que a

maioria dos alunos teve dificuldade para resolver as questões propostas, além de muitos

desconhecerem definições básicas, como por exemplo, média aritmética. Apesar do pouco

conhecimento os alunos se dedicaram ao máximo para resolver as questões e conseguiram em

muitos testes excluir respostas impossíveis, marcando assim a resposta correta sem mostrar o

cálculo realizado.

A grande maioria dos alunos atribuiu em muitas questões grau alto de dificuldade,

mostrando que não possuíam aquele conhecimento e, grau de importância também alto,

mostrando a sua preocupação com estes temas.

Com os resultados tabulados do pré-teste nota-se que a Estatística e a Probabilidade

devem ser conteúdos que merecem muita atenção nas escolas, pois os alunos apresentam

muitas dificuldades de visualização e interpretação, além destes conteúdos estarem presentes

em muitos processos seletivos do Brasil.

123

A tabela 4 a seguir mostra o resultado de cada aluno em cada uma das 10 questões do

pré-teste, assim como a sua nota final. Com os dados desta tabela, foi construído também o

gráfico 4 exposto a seguir. Nesta tabela usa-se a seguinte nomenclatura:

1 = Acertou a questão ou 0 = Errou a questão

Tabela 2: Resultados das questões do Pré-teste

Questão do Pré-teste

Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota Final 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 4,0

2 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 7,0 3 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 7,0 4 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 5,0

5 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 3,0 6 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 7,0

7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,0 8 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 5,0 9 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 5,0

10 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 5,0 11 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 5,0

12 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 6,0 13 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 3,0 14 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 5,0

15 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 4,0 Fonte: Do autor (2015).

Gráfico 4: Resultados das questões do Pré-teste

Notas do pré-teste

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Aluno

No

ta


Analisando a tabela e o gráfico, verificamos que a média de notas dos alunos neste

pré-teste foi de 4,8, ou seja, menos da metade do total de questões propostas e um desvio

padrão calculado de 1,66, mostrando que os dados são bem próximos da média, como

demonstra o gráfico 5:

124

Gráfico 5: Análise de acertos das questões do Pré-teste


As questões do pré-teste eram compostas dos seguintes assuntos:

Questão n° 1: Cálculos de razões com dados retirados do texto e de um gráfico de linhas;

Questão n° 2: Média aritmética simples entre dez notas dos alunos das equipes;

Questão n° 3: Mediana com dados expostos em uma tabela;

Questão n° 4: Probabilidade simples com dados de quatro espécies de uma reserva florestal;

Questão n° 5: Média aritmética simples com dados percentuais expostos em uma tabela

Questão n° 6: Cálculo do número de pessoas com dados percentuais em um gráfico de barras;

Questão n° 7: Análise direta dos meses de um ano com maior e menor vendas de um gráfico

de linhas;

Questão n° 8: Análise de melhor compra e venda de ações em determinadas horas de um dia

de 5 investidores, com os dados expostos em um gráfico e uma tabela;

Questão n° 9: Cálculo de diferenças percentuais com os dados expostos em um gráfico de

barras;

Questão n° 10: Produto de probabilidades independentes com os dados expostos em um

gráfico de barras;

Verificando os cálculos feitos pelos alunos notamos que em muitos casos faltou

conhecimento de conceitos estatísticos, como por exemplo, diferença de mediana em relação

à média, ou ainda moda em relação à média.

Nenhum aluno acertou a questão número 3, que pedia para o aluno calcular a mediana,

porém verificamos que a maioria dos alunos calculou a média, pensando ser a mesma coisa,

como mostra o exemplo abaixo de um dos alunos:

125

As questões 1 e 10 foram as que apresentaram os piores percentuais de acertos depois da

questão número 3, somente 2 alunos acertaram cada uma delas. A questão número 1

relacionava o conceito de razão e análise de dados do gráfico, porém a questão apresentava

uma resposta que levava o aluno apenas a leitura dos dados sem utilizar o conceito de razão,

como mostra o exemplo:

126

Já a questão número 10 pedia para o aluno calcular a probabilidade de 2 compradores

terem realizado uma compra no mês de fevereiro, porém para resolvê-la o aluno teria que

fazer um produto de 2 probabilidades independentes. A maioria dos alunos calculou uma

probabilidade apenas. Os dados foram apresentados em um gráfico de barras, co mo mostra o

exemplo:

127

A questão número 7 foi a que teve o maior número de acertos, no caso 14 alunos, pois

para resolver a mesma bastava o aluno analisar no gráfico os meses com maiores e piores

vendas absolutas, como mostra o exemplo:

Em seguida a questão 6 teve o segundo maior número de acertos, no caso 12 alunos,

nesta questão o aluno precisava calcular 25% de 279 pessoas, em muitos casos os alunos

128

conseguiram relacionar que 25% representava 1/4 do total, ou seja, apenas dividiram 279 por

4, como mostra o exemplo:

Em relação ao grau de dificuldade e importância atribuídos pelos alunos, construímos as

tabelas 3 e 4, onde foram expostas as médias por aluno, por questão e no total. Lembrando

que foram um total de 15 alunos e cada pré-teste era composto de 10 questões, logo teremos

150 respostas de grau de dificuldade e, 150 de grau de importância, conforme a classificação:


Tabela 3: Resultados dos Graus de dificuldades do Pré-teste atribuídos pelos alunos

QUESTÃO

ALUNO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média

1 2 4 4 5 4 3 1 1 1 4 2,9 2 2 3 4 4 3 3 1 1 3 3 2,7 3 3 3 3 4 2 4 1 1 1 5 2,7

4 4 5 5 4 4 5 2 3 3 4 3,9 5 4 5 5 4 3 5 4 4 5 3 4,2

6 3 3 4 3 2 3 1 1 1 2 2,3 7 3 1 2 4 5 4 3 5 4 3 3,4 8 5 1 2 5 1 5 1 2 5 5 3,2

9 1 1 2 2 1 2 1 1 1 5 1,7 10 4 4 2 5 1 5 1 2 1 3 2,8

11 5 2 3 4 1 2 1 1 1 5 2,5 12 4 1 2 3 1 2 1 1 1 5 2,1 13 4 3 5 4 5 4 3 3 5 5 4,1

14 3 4 5 5 4 5 4 3 4 5 4,2 15 1 1 3 3 4 3 1 5 5 5 3,1

Média 3,2 2,7 3,4 3,9 2,7 3,7 1,7 2,3 2,7 4,1 3,1 Fonte: Do autor(2015).

129

Tabela 4: Resultados dos Graus de importância do Pré-teste atribuídos pelos alunos

QUESTÃO

ALUNO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média

1 1 3 4 3 3 1 3 1 1 3 2,3

2 3 2 3 4 4 3 3 4 3 4 3,3

3 4 3 4 1 4 2 1 2 1 3 2,5

4 3 4 5 4 4 5 3 4 3 4 3,9

5 2 3 4 4 3 3 2 1 1 3 2,6

6 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2,6

7 2 3 3 3 2 2 4 1 3 2 2,5

8 3 5 5 5 5 4 3 5 4 5 4,4

9 5 2 3 5 4 4 2 2 3 2 3,2

10 2 3 4 4 4 3 3 4 3 4 3,4

11 4 3 4 4 3 4 3 4 2 4 3,5

12 3 5 4 4 4 4 5 4 5 2 4,0

13 5 4 4 4 4 4 4 4 4 5 4,2

14 1 3 2 2 2 3 2 1 1 1 1,8

15 5 4 3 5 4 5 3 5 5 5 4,4

Média 3,0 3,3 3,6 3,6 3,5 3,3 2,9 3,0 2,8 3,3 3,2

Fonte: Do autor(2015).

Observando as médias do grau de dificuldade com o resultado de acertos dos alunos,

notamos que a questão número 10 teve a maior média e, também, o pior percentual de acerto,

mostrando como os alunos sentiram dificuldade em resolvê-la. Também, neste sentido, as

questões 6 e 7 foram as que tiveram os menores graus de dificuldade e, os maiores percentuais

de acertos.

Em termos gerais, a média do grau de dificuldade ficou em 3,1 mostrando o

desconhecimento deste tema pelos alunos, o grau de importância teve uma média geral de 3,2

demonstrando a preocupação dos alunos com este assunto.

Após a análise das resoluções dos alunos no pós-teste, construímos a tabela 5 a seguir,

com o resultado de cada aluno nas 10 questões propostas, assim como a sua nota final e, com

estes dados foi construído o gráfico 6 logo a seguir.

Nesta tabela usamos a seguinte nomenclatura:

1 = Acertou a questão ou 0 = Errou a questão

130

Tabela 5: Resultados das questões do Pós-teste

Questão do Pós-teste

Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota Final

1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 6,0 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 8,0

3 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 6,0 4 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 5,0 5 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 7,0

6 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 5,0 7 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 3,0

8 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 4,0 9 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 7,0 10 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 7,0

11 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 5,0 12 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 7,0

13 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 5,0 14 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 7,0 15 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 5,0

Fonte: Do autor(2015).

Gráfico 6: Resultados das questões do Pós-teste

Notas do pré-teste

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Aluno

No

ta


Analisando a tabela 5 e o gráfico 6 verificamos que a média de notas dos alunos neste

pós-teste foi de 5,8, ou seja, mais da metade do total de questões propostas e um desvio

padrão calculado de 1,37, mostrando que os dados são bem próximos da média, como mostra

o gráfico 7:

131

Gráfico 7: Análise de acertos das questões do Pós-teste

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Fre

qü

ên

cia


Agora podemos comparar o resultado dos pré e pós-testes de cada aluno segundo o

gráfico 8:

Gráfico 8: Comparação das notas de cada aluno do Pré e Pós -testes

Comparação pré e pós-testes

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Aluno

Acerto

s

Pré-teste

Pós-teste


Também podemos analisar os resultados a partir da tabela 6:

132

Tabela 6: Comparação de acertos de todas as questões para cada aluno do Pré e Pós-testes

Questão do Pós-teste

Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota

Final

Melhoria

em %

Melhoria em

questões 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 6,0 50,00% 2,0

2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 8,0 14,29% 1,0 3 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 6,0 -14,29% -1,0 4 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 5,0 0,00% 0,0

5 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 7,0 133,33% 4,0 6 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 5,0 -28,57% -2,0

7 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 3,0 200,00% 2,0 8 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 4,0 -20,00% -1,0 9 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 7,0 40,00% 2,0

10 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 7,0 40,00% 2,0 11 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 5,0 0,00% 0,0

12 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 7,0 16,67% 1,0 13 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 5,0 66,67% 2,0 14 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 7,0 40,00% 2,0

15 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 5,0 25,00% 1,0

Somatório 14 2 10 0 7 7 14 12 14 7 87,0 20,83%

Média 5,8 20,83%

Desvio Padrão

1,37


Realizou-se o teste t de Student pareado para comparar o desempenho dos alunos nos

dois momentos do estudo. Adotando como diferença d = (nota final no pré teste) - (nota final

no pós teste) obteve-se uma estatística teste de -2,485 com 14 graus de liberdade e um valor

de p = 0,026. As evidências amostrais a um nível de significância de 5% nos permitem

afirmar que houve aumento. Como mostra a figura 3:

Figura 3: Teste t - Comparação de acertos das questões


133

Notamos que dos 15 alunos, 10 melhoram seus acertos no pós-teste em comparação

com o pré-teste, três pioraram e dois acertaram o mesmo número de questões, ou seja, houve

melhoria em 66,67% dos alunos da turma. Em termos globais, no pré-teste houve um total de

72 questões corretas, já no pós-teste houve 87 questões corretas, uma melhoria de 20,83%, a

média também aumentou de 4,8 para 5,8.

Mesmo com essas melhorias apresentadas nas tabelas e gráficos é interessante

comentar que o pré-teste e o pós-teste tinham questões diferentes, o que pode estabelecer uma

diferença de dificuldade de um para outro. A ideia nesta análise não é garantir que este estudo

seja o mais correto, mas sim mostrar a importância de tratamentos sobre Probabilidade e

Estatística, contribuindo para uma melhor visualização, interpretação e cálculos mais corretos.

As questões do pós-teste eram compostas dos seguintes assuntos:

Questão n° 1: Mediana com os dados apresentados em uma tabela;

Questão n° 2: Média aritmética ponderada com os dados apresentados em uma tabela;

Questão n° 3: Média aritmética simples com os dados apresentados em uma tabela;

Questão n° 4: Produto de probabilidades independentes com análise combinatória;

Questão n° 5: Probabilidade simples com os dados apresentados em uma tabela;

Questão n° 6: Análise de média, moda e mediana de dados apresentados em uma tabela;

Questão n° 7: Interpretação de um gráfico de linhas nos sete dias de uma semana;

Questão n° 8: Análise de gráfico de barras com taxas de um ano;

Questão n° 9: Interpretação de uma tabela com dados expostas em porcentagem;

Questão n° 10: Cálculos de porcentagens com dados expostos em dois gráficos: um de setores

circulares e um de barras;

Analisando essas questões temos:

As questões n°1, 7 e 9 foram as que apresentaram maior acerto, apenas um aluno errou essas

questões.

Na questão n° 1 o aluno precisava apenas encontrar a maior mediana apresentada entre cinco

candidatados com os dados em uma tabela. Importante lembrar que no pré-teste a questão n° 3

que também era sobre mediana, nenhum aluno acertou, mostrando que o cálculo de mediana

não é difícil, porém o aluno precisa saber sua definição.

Nas questões n° 7 e 9 o aluno precisava apenas interpretar dados de uma tabela e de um

gráfico. No caso da n° 7 era só verificar em que dia da semana os valores eram maiores, já no

caso da n° 9 e em quais regiões brasileiras tínhamos os menores percentuais de doadores.

134

A questão n° 4 foi a que teve o pior resultado, pois nenhum aluno acertou essa questão. Nesta

questão o aluno precisava utilizar um produto de probabilidades independentes e ainda utilizar

os conceitos de análise combinatória.

Em relação ao grau de dificuldade e importância atribuído pelos alunos, construímos

as tabelas 7 e 8, onde foram expostas as médias por aluno, por questão e no total. Lembrando

que foram um total de 15 alunos e cada pré-teste era composto de 10 questões, logo teremos

150 respostas de grau de dificuldade e, 150 de grau de importância, conforme a classificação:

abaixo:


Tabela 7: Resultados dos Graus de dificuldades do Pós -teste atribuídos pelos alunos

QUESTÃO

ALUNO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média

1 1 2 1 5 5 5 1 1 5 1 2,7 2 1 1 5 1 1 1 1 2 4 3 2,0 3 2 3 3 3 5 2 1 1 1 2 2,3

4 2 2 3 5 3 4 3 2 2 1 2,7 5 3 2 4 3 3 4 2 3 3 2 2,9

6 2 2 2 4 4 4 2 1 1 1 2,3 7 2 5 3 3 4 2 2 3 2 3 2,9 8 1 2 3 4 3 2 1 1 1 3 2,1

9 2 1 2 1 1 2 1 2 1 3 1,6 10 2 3 3 5 1 3 1 2 1 5 2,6

11 1 3 2 3 3 2 1 1 1 4 2,1 12 2 3 2 5 1 2 1 1 1 4 2,2 13 3 3 4 4 4 3 2 2 4 5 3,4

14 2 3 1 5 3 4 1 5 1 5 3,0 15 1 1 3 3 2 3 1 4 3 5 2,6

Média 1,8 2,4 2,7 3,6 2,9 2,9 1,4 2,1 2,1 3,1 2,5 Fonte: Do autor (2015).

Realizou-se o teste t de Student pareado para comparar o grau de dificuldade declarado

pelos alunos nos dois momentos do estudo, conforme mostra a figura 4 a seguir. Adotando

como diferença d = (grau final no pré teste) - (grau final no pós teste) obteve-se uma

estatística teste de 3,228 com 14 graus de liberdade e um valor de p = 0,006. As evidências

amostrais a um nível de significância de 5% nos permitem afirmar que houve redução no grau

médio de dificuldade percebido no Pós-teste. As diferenças encontradas não ocorreram ao

acaso.

135

Figura 4: Teste t - Comparação dos graus de dificu ldade


Tabela 8: Resultados dos Graus de importância do Pós -teste atribuídos pelos alunos

QUESTÃO

ALUNO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Média 1 1 3 1 4 3 3 4 4 3 5 3,1

2 3 4 5 5 5 5 4 3 4 5 4,3 3 4 5 3 3 4 3 4 3 2 5 3,6 4 4 5 4 5 4 4 4 4 4 4 4,2

5 3 5 4 4 4 3 2 4 3 4 3,6 6 3 1 4 4 3 3 3 5 4 5 3,5

7 4 4 5 5 4 3 4 4 3 4 4,0 8 4 3 3 5 5 5 4 4 2 5 4,0 9 4 4 4 5 5 3 4 3 3 5 4,0

10 5 4 4 4 4 5 4 3 4 5 4,2 11 3 3 4 4 4 5 4 3 4 4 3,8

12 5 5 4 3 4 3 5 5 5 5 4,4 13 4 4 4 4 4 4 5 5 4 5 4,3 14 3 3 2 2 2 3 5 3 2 4 2,9

15 4 5 4 5 4 5 3 5 5 5 4,5

Média 3,6 3,9 3,7 4,1 3,9 3,8 3,9 3,9 3,5 4,7 3,9 Fonte: Do autor (2015).

Realizou-se o teste t de Student pareado para comparar o grau de importância

atribuído pelos alunos nos dois momentos do estudo, conforme mostra a figura 5 a seguir.

Adotando como diferença d = (grau no pré teste) - (grau no pós teste) obteve-se uma

estatística teste de -4,784 com 14 graus de liberdade e um valor de p < 0,001. As evidências

amostrais a um nível de significância de 5% nos permitem afirmar que houve aumento na

média do grau de importância atribuído pelos alunos no Pós-teste. As diferenças encontradas

não ocorreram ao acaso.

136

Figura 5: Teste t - Comparação dos graus de importância


Observando as médias do grau de dificuldade com o resultado de acertos dos alunos,

notamos que a questão número 4 teve a maior média e, também, o pior percentual de acerto,

mostrando como os alunos demonstraram dificuldade em resolvê-la. Também, neste sentido,

as questões n°1, 7 e 9 que tiveram os maiores percentuais de acertos, obtiveram o menor grau

de dificuldade atribuído, principalmente as n° 1 e 7.

Em termos gerais, a média do grau de dificuldade ficou em 2,5 mostrando uma queda

em relação ao pré-teste (3,1) e, o grau de importância teve uma média geral de 3,9 mostrando

um aumento em relação ao pré-teste (3,2).

137

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O ENEM, atualmente utilizado em muitos processos seletivos, é capaz de influenciar o

ensino na Educação Básica, principalmente, a inclusão do tratamento da informação,

utilização de gráficos, tabelas ou quadros e conteúdos envolvendo probabilidade e estatística,

às vezes, negligenciados em muitos currículos escolares.

Destacamos que perante as resoluções e análises sobre as questões de Probabilidade e

Estatística, presentes nas provas do ENEM, nos anos de 2009 a 2014, podemos concluir que

neste período a prova manteve um padrão, ou seja, as questões são bem parecidas e utilizam

em sua maioria a exposição dos dados em gráficos ou tabelas. Percebemos que estas questões

representam em média cerca de 10 a 12 questões do total de 45 de cada prova, representando

em torno de 24% do total. Em apenas dois conteúdos temos quase que 1/4 das questões,

mostrando a importância do seu conhecimento para o resultado final na nota dos alunos.

Nessas questões as principais competências envolvidas foram as da área 6 e 7,

segundo a matriz do INEP, as quais envolvem diretamente a leitura de dados em gráficos e

tabelas e o caráter aleatório ou determinístico. Destacamos a presença das habilidades, H24,

H25 e H26, as quais relacionam dados em gráficos e tabelas a fim de resolver problemas,

fazer inferências e construir argumentos.

Verificamos que na maioria dessas questões a representação semiótica foi direta e com

poucos dados envolvidos, porém em cada questão temos apenas uma forma de exposição dos

dados, ou seja, usa-se apenas um símbolo, contrariando assim Duval (2003), que define que a

utilização de mais de um registro de representação contribui para uma melhoria na

interpretação cognitiva e pode levar a um sucesso matemático.

As tabelas utilizadas nas questões foram na sua maioria de nível básico, segundo a

concepção de Wainer (1992), sendo necessário apenas retirar os dados diretos para a

resolução da questão. Os gráficos apresentados foram na sua maioria de primeiro nível,

segundo a abordagem de Curcio (1989), sendo necessário apenas ler os dados para resolver a

questão.

Observamos que na parte de conteúdos de estatística as provas deram muita ênfase nas

medidas de tendência central, principalmente o uso da mediana, mas não utilizaram as

medidas de dispersão ou de variabilidade.

Notamos que algumas questões analisadas neste estudo, apresentaram problemas.

Destacamos a questão n° 142 do ano de 2009 (página 38), que apresenta um gráfico que

138

relaciona o número de casos de câncer de pulmão versus número de cigarros consumidos

diariamente. Notamos que este gráfico é completamente incabível, pois notamos que quem

fuma 15 cigarros por dia possui o quase o triplo de probabilidade de possui câncer do que uma

pessoa que consome 14 cigarros por dia. Porém, qual seria a explicação para a diferença de

um cigarro a mais por dia quase triplicar essa possibilidade de a pessoa ter câncer de pulmão?

Também notamos que no gráfico, fumar um ou 14 cigarros não alteraria o número de casos de

câncer. Será que essa relação pode ser correta?

Na questão 142 do ano de 2011 (página 63) é apresentada uma tabela e no enunciado

temos a apresentação de um gráfico.

Na questão 154 do ano de 2011 (página 64) é apresentada uma tabela com os dados

presentes em porcentagem, porém segundo a norma do Instituto Brasileiro de Geografia e

Estatística ( IBGE - 1993), os dados presentes em tabelas deve ser apresentado em algarismos

arábicos de forma decimal ou apresentação no cabeçalho da tabela com a indicação (%) e os

dados na tabela simples.

Observamos que a questão n° 150 do ano de 2010 (página 53) relaciona quatro tipos

muito diferentes de espécies: peixes, mamíferos, répteis e borboletas. E pergunta a

probabilidade de se capturar uma espécie, ao acaso, essa ser uma borboleta? Como

poderíamos capturar da mesma forma estas quatro espécies? Uma borboleta não pode ser

confundida com peixes, mamíferos ou répteis. O correto nesta questão, por exemplo, seriam

quatro espécies diferentes de peixes, qual a probabilidade de se pescar uma espécie específica

de peixe, pois neste caso teríamos a mesma forma de captura e somente a sorte poderia estar

relacionada à sua captura.

Na questão n° 162 de 2013 (página 94), foi feito um levantamento sobre o preço de

200 hotéis, porém os dados foram apresentados apenas quatro valores: R$ 200, R$ 300,

R$ 400 e R$ 600, sendo que os dados são expostos em um gráfico de setor circular.

Consideramos que estes dados são fictícios e expostos de forma errônea, pois como pode 200

hotéis apresentarem apenas quatro tipo de valores? Será que nenhum hotel possui um valor

intermediário, como R$ 235,00? Consideramos que o mais correto seria apresentar esses

dados em uma tabela e explicitar no enunciado que estes quatro valores são as médias das

diárias desses hotéis. Em síntese, uma variável métrica, o preço, foi apresentado como sendo

categórica.

Algumas questões das provas do ENEM, realizadas no período analisado deixaram a

desejar. Os conteúdos selecionados necessitam de revisão e de uma melhor adequação às

competências e habilidades previstas da matriz de referência curricular do ENEM.

139

Percebemos uma intenção de apresentação das questões de uma forma contextualizada, mas

em alguns casos um tanto forçado.

Enfim, o professor de Matemática da Educação Básica deve acompanhar com cuidado

e espírito crítico as questões envolvendo representação gráfica, estatística e probabilidade

quando for usá- las como recurso pedagógico em suas aulas.

140

REFERÊNCIAS

ARTIGUE, M. Engenharia Didática. In: BRUN, J. (Org.). Didática das matemáticas. Tradução de M. J. Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 193-217.

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Fundação do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, Centro de Documentação e Disseminação de Informações, Rio de Janeiro, 1993, 3° edição.

BRASIL, Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira(Inep). Documento Básico. Brasília: 2001. Disponível em

<http://www.publicacoes.inep.gov.br/portal/download/70>. Acesso em 10 Jun. 2014.

BRASIL, Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira(Inep). Legislação e Documentos do ENEM. Edital nº 7, de 18 de Maio de 2011. Disponível em

< http://portal.inep.gov.br/web/enem/legislacao-e-documentos >. Acesso em 15 Jun. 2014.

BRASIL, Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira(Inep). Provas e Gabaritos. Disponível em: <http://portal.inep.gov.br/web/enem/edicoes-

anteriores/provas-e-gabaritos>. Acesso em 19 Jul. 2014 e 10 Nov. 2014.

BRASIL, Ministério da Educação(MEC). Parâmetros Curriculares Nacionais. Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. 1997. Disponível em

< http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf >. Acesso em 01 Ago. 2015.

BRASIL, Ministério da Educação(MEC). Parâmetros Curriculares Nacionais. Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. 2000. Disponível em

<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf>. Acesso em 20 Jul. 2014.

CURCIO, F. R. Developing graph conprehension. Virginia: National Council of Teachers of Mathematics. ISBN 0-87353-277-5, 1989.

DUVAL, Raymond. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da

compreensão em matemática. In: MACHADO, Silvia D. A. (Org.). Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003. p. 11-33.

DUVAL, Raymond. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Berna: Peter Lang, 1995.

http://portal.inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos

http://portal.inep.gov.br/web/enem/edicoes-anteriores/provas-e-gabaritos

141

JARDIM, Fábio dos Santos. Estatística no Ensino Médio: um olhar a partir do ENEM .

Porto Alegre, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2013. Trabalho de Conclusão de Curso - Licenciatura em Matemática. Departamento de Matemática Pura e Aplicada -

UFRGS.

LEVINE, David M. et al. Estatística: teoria e aplicações. Tradução Teresa Cristina Padilha de Souza. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

LOPES, Celi Aparecida Espasandin. Literacia estatística e o Inaf 2002. In: FONSECA,

Maria da Conceição Ferreira Reis (Org.). Letramento no Brasil – habilidades matemáticas: reflexões a partir do Inaf 2002. São Paulo: Global-Ação Educativa Assessoria, Pesquisa e

Informação/Instituto Paulo Montenegro, 2004. p. 187-197.

LUGLI, Luciana de Castro. A análise de dados e a Probabilidade nas avaliações externas

para o Ensino Médio: ENEM E SARESP. São Paulo, 2011, 204f. Mestrado Profissional

em Ensino de Ciências e Matemática - Universidade Cruzeiro do Sul.

MOORE, David S. et al. A prática da estatística empresarial como usar dados para tomar

decisões. Tradução Luís Antônio Fajardo: revisão técnica Ana Mareia Lima de Farias. Rio de

Janeiro: LTC, 2006.

PEDRO JUNIOR, Alceu Bigattão. Concepção do Professor de Matemática sobre o Ensino

da Estocástica. São Paulo, PUC-SP, 2007, 150f. Dissertação de Mestrado - Mestrado

Profissional em Ensino de Matemática.

REIS, Romeu Mauro. Tratamento da informação e o ENEM: A Matemática na trama da

avaliação. São Paulo, PUC-SP, 2009. Dissertação de Mestrado - Mestrado Profissional em

Ensino de Matemática.

SINCICH, Terry; MCCLAVE, James T.; BENSON, P. George. Estatística para

administração e economia. Tradução Fabrício Pereira e Fernando Sampaio Filho. Revisão

técnica Galo Carlos Lopez Noriega. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.

WAINER, H. Understanding Graphs and Tables . Educational Researcher. Educational Researcher, vol. 21, n. 1, 1992, p. 14-23. DOI: 10.3102/0013189X021001014. Disponível em:

<http://edr.sagepub.com/cgi/content/abstract/21/1/14>. Acesso em: 10 Mar. 2014.

142

ANEXO A - Termo de consentimento

TERMO DE CONS ENTIMENTO INFORMADO

Eu, _________________________________________, R.G. ________________, responsável pelo(a)

aluno(a) ______________________________________, da turma ___________, declaro, por meio deste termo,

que concordei em que o(a) aluno(a) participe da pesquisa intitulada Contribuição do Ensino de Probabilidade

e Estatística no resultado dos alunos na Prova de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, desenvolvida

pelo(a) pesquisador Diego da Silva Serra. Fui informado(a), ainda, de que a pesquisa é coordenada/orientada

por João Feliz Duarte de Moraes , a quem poderei contatar a qualquer momento que julgar necessário, através

do telefone 99491776 ou e-mail [email protected].

Tenho ciência de que a participação do(a) aluno(a) não envolve nenhuma forma de incentiv o financeiro,

sendo a única finalidade desta participação a contribuição para o sucesso da pesquisa. Fui in formado(a) dos

objetivos estritamente acadêmicos do estudo, que, em linhas gerais, são:

Verificar a contribuição do Ensino de Probabilidade e Estatís tica para a prova de Matemática e Suas

Tecnologias do ENEM

Identificar as dificuldades e importâncias atribuídas a estes temas no cotidiano das pessoas.

Fui também esclarecido(a) de que os usos das informações oferecidas pelo(a) aluno(a) será apenas em

situações acadêmicas (artigos científicos, palestras, seminários etc.), identificadas apenas pela inicial de seu

nome e pela idade.

A colaboração do(a) aluno(a) se fará por meio de entrevista/questionário escrito etc., bem como da

participação em oficina/aula/encontro/palestra, em que ele(ela) será observado(a) e sua produção analisada, sem

nenhuma atribuição de nota ou conceito às tarefas desenvolvidas. No caso de fotos, obtidas durante a

participação do(a) aluno(a), autorizo que sejam utilizadas em atividades acadêmicas, tais como artigos

científicos, palestras, seminários etc., sem identificação. A colaboração do(a) aluno(a) se iniciará apenas a partir

da entrega desse documento por mim assinado.

Estou ciente de que, caso eu tenha dúvida, ou me sinta prejudicado(a), poderei contatar o(a)

pesquisador(a) responsável no endereço: Rua General Balbão, 81 · Bairro Centro - Charqueadas/RS · CEP

96.745-000 · IFS UL – Campus Charqueadas / telefone: 51- 36583775 / e-mail:

[email protected].

Fui ainda informado(a) de que o(a) aluno(a) pode se retirar dessa pesquisa a qualquer momento, sem

sofrer quaisquer sanções ou constrangimentos.

Charqueadas, ___ de ________________ de _______.

Assinatura do(a) Responsável:

Assinatura do pesquisador:

Assinatura do Orientador da pesquisa:

143

APÊNDICES

A seguir apresentamos como produto principal dessa dissertação a sequência didática

composta de oito encontros divididos nos apêndices A, B, C, D, E, F, G e H.

No apêndice A apresentamos uma lista de 10 testes escolhidos entre todas as provas de

Matemática do ENEM dos anos de 2009 até 2013, relacionados com Probabilidade e

Estatística ou que utilizem representação gráfica, tabelas ou quadros. Esta lista de testes serve

como um pré-teste para compararmos os resultados após a aplicação da sequência didática e

posterior aplicação do pós-teste.

Nos apêndices B, C, D, E, F e G apresentamos as aulas desenvolvidas com o grupo de

alunos sobre Probabilidade e Estatística. Este material foi desenvolvido para aplicação de

encontros semanais cada um com 90 minutos de duração. Em cada encontro foi trabalhado os

conceitos relacionados a estes conteúdos e também resolução de muitas questões do ENEM.

No apêndice H apresentamos uma lista de 10 testes escolhidos entre todos as 45

questões que compõem a prova do ENEM do ano de 2014. Estes testes são sobre

Probabilidade e Estatística ou que utilizem representação gráfica, tabelas ou quadros. Esta

lista serve como pós-teste, pois queremos comprar os resultados dos alunos após a aplicação

da sequência didática em relação aos resultados do pré-teste.

144

APÊNDICE A - Aula 1 (Pré-teste)

Aula 1 - Testes do ENEM

Resolver as questões abaixo, mostrando os cálculos, indicar a resposta correta no espaço

disponível e atribuir graus de dificuldade e grau de importância relacionado a cada umas das

questões, seguindo a seguinte atribuição:


Questão 1

Grau de dificuldade atribuído:

____

Grau de importância atribuído:

____

145

Questão 2

Grau de dificuldade atribuído: ____

Grau de importância atribuído: ____

Questão 3



146

Questão 4



Questão 5



147

Questão 6



Questão 7



148

Questão 8



149

Questão 9



150

Questão 10



151

APÊNDICE B - Aula 2

Aula 2 - Conceitos Estatísticos

1. ESTATÍSTICA: existem algumas definições(não há um consenso) entre elas:

"É a ciência que se preocupa com a coleta, a organização, descrição (apresentação), análise e

interpretação de dados experimentais e tem como objetivo principal é estudo de amostras para

fazer inferências."

"O que modernamente se conhece como Ciência Estatística, ou simplesmente Estatística, é

um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa e análise de dados que entre outros tópicos

envolve o planejamento do experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, a

inferência, o processamento, a análise e a disseminação das informações."

Este estudo pode ser feito de duas maneiras:

Investigando todos os elementos da população

Ex: idade dos alunos desta sala de aula; tamanho médio do calçado dos alunos.

Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população Ex: Numero médio de filhos por família no Brasil; Renda Mensal dos Brasileiros.

Vídeo: www.youtube.com/watch?v=9K62mIusmLs

DIVISÃO DA ESTATÍSTICA

- Estatística Descritiva: é aquela que se preocupa com a coleta, organização,

classificação,apresentação, interpretação e analise de dados referentes ao fenômeno através de

gráficos e tabelas além de calcular medidas que permita descrever o fenômeno.

Ex: Pesquisa de intenção de votos:

../../Downloads/www.youtube.com/watch?v=9K62mIusmLs

152

http://g1.globo.com/politica/eleicoes/2014/noticia/2014/09/dilma-tem-38-marina-29-e-aecio-

19-aponta-pesquisa- ibope.html

- Estatística Indutiva (Amostral ou Inferencial) : é a aquela que partindo de uma amostra,

estabelece hipóteses, tira conclusões sobre a população de origem e que formula previsões

fundamentando-se na teoria das probabilidades. A estatística indutiva cuida da análise e

interpretação dos dados.

Ex: Gasto médio de um plano de saúde com seus associados

http://www.sbd.org.br/governo-gasta-em-media-r-305-ao-dia-na-saude-de-cada-habitante/

2. FASES DO TRABALHO ESTATÍSTICO

2.1. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA

A primeira fase do trabalho estatístico consiste em uma definição ou formulação

correta do problema a ser estudado e a seguir escolher a natureza dos dados. Além de

considerar detidamente o problema objeto de estudo o analista deverá examinar outros

levantamentos realizados no mesmo campo e análogos, uma vez que parte da informação de

que necessita pode, muitas vezes, ser encontrada nesses últimos. Saber exatamente aquilo que

pretende pesquisar é o mesmo que definir de maneira correta o problema.

Por exemplo:

- estudar uma população por sexo: dividi-se os dois grupos em masculino e feminino;

- estudar a idade dos alunos, por grupos de idade: distribui-se o total de casos conhecidos pelos diversos grupos etários pré-estabelecidos;

2.2. DEFINIÇÃO DOS OBJETIVOS (GERAL E ESPECÍFICO)

É definir com exatidão o que será pesquisado. É recomendável ter em vista um

objetivo para o estudo, em lugar de coletar o material e defini- lo no decorrer do trabalho ou

só no fim deste.

http://g1.globo.com/politica/eleicoes/2014/noticia/2014/09/dilma-tem-38-marina-29-e-aecio-19-aponta-pesquisa-ibope.html

http://g1.globo.com/politica/eleicoes/2014/noticia/2014/09/dilma-tem-38-marina-29-e-aecio-19-aponta-pesquisa-ibope.html

http://www.sbd.org.br/governo-gasta-em-media-r-305-ao-dia-na-saude-de-cada-habitante/

153

OBJETIVOS MAIS COMUNS EM UMA PESQUISA:

. Dados pessoais: grau de instrução, religião, nacionalidade, dados profissionais, familiares,

econômicos, etc.

. Opiniões, expectativas, níveis de informação, angústias, esperanças, aspirações sobre certos

assuntos.

. Dados sobre as condições habitacionais e de saneamento que avalie as condições em que

vivem e a qualidade de vida de certo grupo.

2.3. PLANEJAMENTO

O problema está definido. Como resolvê-lo? Se através de amostra, esta deve ser

significativa para que represente a população.

O planejamento consiste em se determinar o procedimento necessário para

resolver o problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto objeto de

estudo. Que dados deverão ser coletados? Como se deve obtê- los? É preciso planejar o

trabalho a ser realizado tendo em vista o objetivo que se pretende atingir.

É nesta fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado, que podem

ser:

a) levantamento censitário, quando a contagem for completa, abrangendo todo o universo;

b) levantamento pôr amostragem, quando a contagem for parcial.

2.4. COLETA DOS DADOS

Refere-se a obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com o objetivo

determinado.

A escolha da fonte de obtenção dos dados está diretamente relacionada ao tipo do

problema, objetivos do trabalho, escala de atuação e disponibilidade de tempo e recursos.

a) Fontes primárias: é o levantamento direto no campo através de mensurações diretas ou de

entrevistas ou questionários aplicados a sujeitos de interesse para a pesquisa.

Vantagens: grau de detalhamento com respeito ao interesse dos quesitos levantados; maior

precisão das informações obtidas.

b) Fontes secundárias: quando são publicados ou registrados pôr outra organização.

154

COLETA DIRETA

A coleta é dita direta, quando são obtidos diretamente da fonte primária, como os

levantamentos de campo através de questionários.

Há três tipos de coleta direta:

a) a coleta é contínua quando os dados são obtidos ininterruptamente, automaticamente e na

vigência de um determinado período: um ano, por exemplo. É o caso dos registros de

casamentos, óbitos e nascimentos, escrita comercial, as construções civis.

b) a coleta dos dados é periódica quando feita em intervalos constantes de tempo, como o

recenseamento demográfico a cada dez anos e o censo industrial, anualmente.

c) a coleta dos dados é ocasional quando os dados forem colhidos esporadicamente,

atendendo a uma conjuntura qualquer ou a uma emergência, como por exemplo, um surto

epidêmico.

COLETA INDIRETA

A coleta é dita indireta quando é inferida a partir dos elementos conseguidos pela

coleta direta, ou através do conhecimento de outros fenômenos que, de algum modo, estejam

relacionados com o fenômeno em questão.

2.5. APURAÇÃO (ARMAZENAMENTO) DOS DADOS

É um processo de apuração ou sumarização que consiste em resumir os dados

através de sua contagem ou agrupamento. É um trabalho de condensação e de tabulação dos

dados, que chegam ao analista de forma desorganizada.

Através da apuração, têm-se a oportunidade de condensar os dados, de modo a

obter um conjunto compacto de números, o qual possibilita distinguir melhor o

comportamento do fenômeno na sua totalidade.

2.6. EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS

Há duas formas mais comuns de apresentação que não se excluem mutuamente:

155

Apresentação Tabular

É uma apresentação numérica dos dados. Consiste em dispor os dados em linhas e

colunas distribuídos de modo ordenado, segundo algumas regras práticas. As tabelas têm a

vantagem de conseguir expor, sistematicamente em um só local, os resultados sobre

determinado assunto, de modo a se obter um visão global mais rápida daquilo que se pretende

analisar.

Cabe aqui destacar que as tabelas muitas vezes são apresentadas de forma

incorretas, fazendo assim com que o leitor tenha uma análise mais demoarada dos dados.

Apresentação Gráfica

Constitui uma apresentação geométrica dos dados. Permite ao analista obter uma

visão tão rápida, fácil e clara do fenômeno e sua variação.

156

APÊNDICE C - Aula 3

Aula 3 - Exposição dos resultados: Tabelas x Gráficos

As formas mais comuns de expor os resultados estatísticos são as tabelas e os gráficos.

Em ambos os casos,geralmente, os dados apresentados são os mesmos, porém muitas vezes os

gráficos são os mais utilizados, por se tratarem de uma leitura mais rápida dos dados.

É muito comum os resultados serem tabulados em uma tabela primeiro e depois serem

expostos a partir de um gráficos criado com os dados desta tabela.

A seguir iremos apresentar os principais tipos de tabelas e gráficos, suas vantagens e

principais aplicações.

1 – TABELAS:

A apresentação de dados estatísticos na forma tabular consiste na reunião ou

grupamento dos dados em tabelas ou quadros com a finalidade de apresentá- los de modo

ordenado, simples e de fácil percepção e com economia de espaço.

As tabelas são compostas de linhas e colunas, e estas se relacionam pelos dadso

apresentados:

Ex 1: Dados do censo de 2000

Ex 2:

Fonte: Fictícia

157

Note que neste exemplo os dados são apresentados em intervalos, no caso, intervalo de

notas dos alunos.

1.1 – DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS:

Os dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação

senão a contagem ou medida, são chamados dados absolutos.

Ex:

MATRÍCULAS NAS ESCOLAS

DA CIDADE A - 2010

CATEGORIA N° DE ALUNOS

1° Grau 2° Grau 3° Grau

19.286 1.681 234

Total 21.201

Fonte: Fictícia

A leitura dos dados absolutos é sempre enfadonha e inexpressiva; embora esses dados

traduzam um resultado exato e fiel, não têm a virtude de ressaltar de imediato as suas

conclusões numéricas. Daí o uso imprescindível que faz a Estatística dos dados relativos.

Dados relativos são o resultado de comparações por quocientes (razões) que se

estabelecem entre dados absolutos, e têm por finalidade realçar ou facilitar as comparações

entre quantidades.

Traduzem-se dados relativos, em geral, por meio de porcentagens, índices, coeficientes e

taxas.

158

Ex: Calculemos as porcentagens dos alunos de cada grau do exemplo anterior:

1° Grau = 19.286 x 100 / 21.201 = 90,96 ou 91,0%

2° Grau = 1.681 x 100 / 21.201 = 7,92 ou 7,9%

3° Grau = 234 x 100 / 21.201 = 1,10 ou 1,1%

Com esses dados, podemos formar uma nova coluna na série em estudo:

MATRÍCULAS NAS ESCOLAS

DA CIDADE A - 1990

CATEGORIA N° DE ALUNOS %

1° Grau 2° Grau

3° Grau

19.286 1.681

234

91,0 7,9

1,1

Total 21.201 100,0

Fonte: Fictícia

2 – Gráficos:

A apresentação gráfica é um complemento importante da apresentação tabular. A

vantagem de um gráfico sobre a tabela está em possibilitar uma rápida impressão visual da

distribuição dos valores ou das freqüências observadas. Os gráficos propiciam uma idéia

inicial mais satisfatória da concentração e dispersão dos valores, uma vez que através deles os

dados estatísticos se apresentam em termos de grandezas visualmente interpretáveis.

Principais tipos:

2.1 Gráfico em linha: é um dos mais importantes gráficos; representa observações feitas ao longo do tempo. Tais conjuntos de dados constituem as chamadas séries históricas ou

temporais.

Ex: Produção de Arroz do Município X - 1984-1994

Anos Quantidade

(1000 ton)

1984 816

1985 904

1986 1.203

159

1987 1.147

1988 1.239

1989 1.565

1990 1.620

1991 1.833

1992 1.910

1993 1.890

1994 1.903

Fonte: Fictícia

Agora veja no gráfico:

Gráfico 4.1. Produção de Arroz do Município X - 1984-1994

0

500

1000

1500

2000

2500

84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

(1000 ton)

Fonte: Fictícia

Se precisasse encontrar o ano de maior produção a resposta seria mais rápida de ser

encontrada usando a tabela ou o gráfico? 2.2 Gráficos em Barras (ou em colunas). É a representação de uma série por meio de

retângulos, dispostos horizontalmente (em barras) ou verticalmente (em colunas). Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados.

160

GRUPOS GAÚCHOS MAIS LEMBRADOS

0 5 10 15

Tchê Garotos

Os Serranos

Tchê Barbaridade

Engenheiros do Hawai

Tchê Guri

GR

UP

OS

ÍNDICE

Fonte: Fictícia

Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.

Fonte: Fictícia

2.3 Gráfico em setores: É um gráfico construído no círculo, que é dividido em setores correspondentes aos termos da série e proporcionais aos valores numéricos dos termos da

série. É mais utilizado para séries específicas ou geográficas com pequeno número de termos e quando se quer salientar a proporção de cada termo em relação ao todo.

Exemplo:

ESPECIALIDADES MÉDICAS QUE MAIS SOFREM

PROCESSOS POR ERROS CIRÚRGICOS

ANUALMENTE

Ginecologia e Obstetrícia

Cirurgia Plástica

Oftalmologia

Cirurgia Geral

Ortopedia

Pediatria

Outros

Note que para cada setor é atribuído um ângulo, que é uma parte do círculo, ou seja, uma parte de 360°. As vezes estes dados são apresentados não em ângulos, mas sim em porcentagem, dai temos que lembrar que se o círculo todo possui 360°, então este equivale a

100% e criar uma proporção(regra de três). _____________________________________________________________________

161

EXERCÍCIOS:

1) Considere a série Estatística:

SÉRIES ALUNOS %

1ª 2ª

3ª 4ª

546 328

280 120

Total 1.274

Fonte: Fictícia

Complete-a, determinando as porcentagens com uma casa decimal, arredondando se

necessário.

_____________________________________________________________________

2) Criar um exemplo em sala de aula, construir tabelas de exposição de dados e com esta

tabela construir gráficos relativos ao exemplo. Use o aplicativo Excel para facilitar a

construção das tabelas e gráficos.

______________________________________________________________________

As próximas questões foram retiradas de provas já aplicadas do ENEM:

162

____________________________________________________________________

163

APÊNDICE D - Aula 4

Aula 4 - Principais medidas de tendência central

1. ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS

Nessa etapa, o interesse maior consiste em tirar conclusões que auxiliem o

pesquisador a resolver seu problema. A análise dos dados estatísticos está ligada

essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno.

Assim, o conjunto de dados a ser analisado pode ser expresso pôr número-resumo, as

estatísticas, que evidenciam características particulares desse conjunto.

2. MEDIDAS ESTATÍSTICAS

Estudaremos dois tipos fundamentais de medidas estatísticas: medidas de tendência

central e medidas de dispersão. As medidas de tendência central mostram o valor representativo em torno do qual os

dados tendem a agrupar-se, com maior ou menor freqüência. São utilizadas para sintetizar em

um único número o conjunto de dados observados.

As medidas de dispersão mostram o grau de afastamento dos valores observados em

relação àquele valor representativo(próxima aula).

2.1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

2.1.1 Médias

Existem alguns tipos de médias, entre elas destacam-se: aritmética simples, aritmética

ponderada, geométrica e harmônica. Estudaremos aqui a mais utilizada: aritmética simples.

A média aritmética simples de um conjunto de valores é o valor obtido somando-se

todos eles e dividindo-se o total pelo número de valores. É denotada por x (leia-se “x barra”)

n

xx

, onde x são os valores observados.

164

2.1.2 Mediana

É um valor central de um rol, ou seja, a mediana de um conjunto de valores

ordenados (crescente ou decrescente) é a medida que divide este conjunto em duas partes

iguais.

Exemplo: Calcule a mediana dos conjuntos abaixo:

a- X={3, 7, 4, 12, 15}

b- Y={29, 33, 42, 38, 31, 10}

c- Z={29, 33, 42, 38, 31, 34, 45, 120, 95}

2.1.3 Moda

Seja X um conjunto de dados estatísticos. Define-se Moda de X, denotada por Mo

como sendo o elemento mais freqüente no conjunto.

Um conjunto de dados pode ter:

Nenhuma moda (amodal);

Uma moda (unimodal);

Duas ou mais modas (multimodal).

Exercícios: Calcule a moda para os conjuntos abaixo:

a) X= {2, 3, 4, 3, 7, 8, 9, 14}.

b) Y= {2, 4, 6, 2, 8, 4, 10}. c) Z= {32, 56, 76, 4, 8, 97}.

165

Obs:

1) A MA é a medida mais adequada quando não há valores erráticos ou aberrantes.

2) A mediana deve ser usada sempre que possível como medida representativa de

distribuições com valores dispersos, como distribuição de rendas, folhas de pagamentos, etc.

Exercícios:

1) (Dados fictícios)A poluição causada por óleo em mares e oceanos estimula o crescimento

de certos tipos de bactérias. Uma contagem de microorganismos presentes no petróleo

(número de bactérias por 100 mililitros), em 10 porções de água do mar, indicou as seguintes

medidas:

49 70 54 67 59 40 71 67 67 52

Determine e interprete a média, mediana e moda.

2) (ENEM)

166

3) (ENEM)

4) (ENEM)

167

5) (ENEM)

168

6) (ENEM)

7) (ENEM)

169

APÊNDICE E - Aula 5

Aula 5 - Principais medidas de dispersão ou variabilidade

Após vermos na última aula as principais medidas de tendência central, como média,

mediana e moda, agora veremos as medidas de dispersão mais utilizadas, suas aplicações e

forma de cálculos de cada uma delas.

Não é o bastante dar uma das medidas de posição para caracterizar perfeitamente um

conjunto de valores, pois, mesmo sabendo, por exemplo, que a temperatura média de duas

cidades é a mesma, e igual a 24ºC, ainda assim somos levados a pensar a respeito do clima

dessas cidades. Em uma delas a temperatura poderá variar entre limites de muito calor e de

muito frio e, haver, ainda, uma temperatura média de 24ºC. A outra poderá ter uma variação

pequena de temperatura, mas mantendo uma média de 24ºC.

Vemos, então, que a média – ainda que considerada como um número que tem a

faculdade de representar uma série de valores – não pode, por si mesma, destacar o grau de

homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem um conjunto.

Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis x, y e z:

X: 70, 70, 70, 70, 70

Y: 68, 69, 70, 71, 72

Z: 5, 15, 50, 120, 160

Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos:

705

350

n

xx i

705

350

n

yy i

705

350

n

zz i

Vemos, então, que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética: 70.

Entretanto, é fácil notar que o conjunto x é mais homogêneo que os conjuntos y e z, já

que todos os valores são iguais a média.

170

O conjunto y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto z, pois há menor

diversificação entre cada um de seus valores e a média é representativa.

Chamando de dispersão ou de variabilidade a maior ou menor diversificação dos

valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de

comparação, podemos dizer que o conjunto x apresenta dispersão ou variabilidade nula e que

o conjunto y apresenta uma distribuição ou variabilidade menor que o conjunto z.

Portanto, para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou

menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição, a Estatística

recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade. Dessas medidas, serão descritas a

amplitude total, o desvio-padrão e a variância.

1. Amplitude total:

É a única medida de dispersão que não tem na média o ponto de referência. Quando os

dados não estão agrupados a amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor

observado:

AT = X máximo - X mínimo.

Ex: Para os valores 40, 45, 48, 62 e 70 a amplitude total será: AT = 70 - 40 = 30

A amplitude total é uma medida instável, pois se deixa influenciar pelos valores

extremos, que são, na sua maioria, devidos ao acaso.

O desvio-padrão e a variância são medidas que fogem a essa falha, pois levam em

consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de

variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados. Assim,

pode-se definir o desvio-padrão como uma medida da magnitude do espalhamento ou

dispersão dos dados em relação à média da série.

2. Desvio-padrão:

A expressão para o cálculo do desvio-padrão amostral (s) é:

2i

1n

xxs

(8)

onde xi é cada elemento do conjunto de dados, x é a média do conjunto e n é o número total

de elementos deste.

171

Já para o desvio-padrão populacional () a expressão é:

2i

N

x (9)

onde xi é cada elemento da população, e N são respectivamente a média e o número total de elementos da população.

Na figura abaixo foi plotada a média (20,6º C), a média acrescida de mais um desvio-

padrão e a média descontada de um desvio-padrão da série de dados de temperatura média

diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG, com o objetivo de mostrar que uma

grande porcentagem (cerca de 68%) dos dados ficam entre os limites da média somada e

diminuída de um desvio-padrão.

Figura 1. Temperatura média diária do mês de dezembro de 2004 da estação do IAG (São

Paulo), juntamente com a média da série e a média acrescida e diminuída de um desvio-

padrão. Os dados em análise possuem desvio-padrão igual a 2.2.

Fonte: Fictícia

3. Variância:

A variância é uma medida estatística da dispersão dos dados em torno da média de um

conjunto de dados. É obtida quando não extraímos a raiz quadrada do desvio-padrão. A

variância amostral é definida como:

1n

xxs

2i2

(10)

já a variância populacional é:

172

N

x 2i2

(11)

A variância obtida através dos dados da tabela 1 é 4,86º C.

Exercícios:

1) (Dados Fictícios) Durante certo período de tempo as taxas de juros para 6 ações foram as

abaixo registradas:

Ação 01 02 03 04 05 06

Taxa % 2,59 2,64 2,60 2,62 2,55 2,60

Calcule:

A) a taxa média;

B) a taxa mediana;

C) a taxa modal;

D) a amplitude total

E) o desvio padrão das taxas;

2) (Dados Fictícios) As informações abaixo indicam o número de acidentes ocorridos com 70

motoristas de uma empresa de ônibus nos últimos 5 anos:

Nº DE ACIDENTES 0 1 2 3 4 5 6 7

Nº DE MOTORISTAS 15 11 20 9 6 5 3 1

A) Qual o número total de acidentes ocorrido no período?

B) Qual a média de acidentes? E a moda de acidentes? E a mediana?

173

3) (Dados Fictícios A seguir são apresentadas informações quanto ao número de pessoas

atendidas de urgência no HPS de certa cidade no período de 22 dias.

Nº DE ATENDIMENTOS Nº DE DIAS

0

1

2

3

4

4

7

8

2

1

A) Qual a média de atendimentos?

B) Determine o desvio padrão do número de atendimentos.

4) (ENEM/2013)

174

APÊNDICE F - Aula 6

Aula 6 - Resolução de questões do ENEM

175

176

177

APÊNDICE G - Aula 7

Aula 7 - Probabilidade

O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática, entretanto a maioria

dos fenômenos de que trata a Estatística são de natureza aleatória ou probabilística. O

conhecimento dos aspectos fundamentais do cálculo das probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferência.

Conceitos importantes:

1) Experimento Aleatório

São fenômenos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam

resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso.

Exemplo: Da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar:

- que ele ganhe - que ele perca - que ele empate

Este resultado final pode ter três possibilidades.

2) Espaço Amostral

É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.

No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara, coroa}.

No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5,

6}.

No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral :

{(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}

3) Eventos

É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.

Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: Assim, qualquer que seja E, se E

c S (E está contido em S), então E é um evento de S.

Se E = S , E é chamado de evento certo.

Se E S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar.

Se E = Ø , E é chamado de evento impossível.

178

4) Conceito de Probabilidade

Chamamos de probabilidade de um evento A (sendo que A está contido no Espaço

amostral) o número real P(A) , tal que : número de casos favoráveis de A / número total de casos

Total

favoráveiscasosN

tralEspaçoAmos

EventoP

A

Exemplos:

1- No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A ?

S = { ca, co } = 2 A = {ca} = 1 P(A) = 1/2 = 0,5 = 50%

2- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 2,4,6 } = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%

3- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6

em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 P(A) = 6/6 = 1,0 = 100%

Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%.

4- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em um evento A ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { } = 0 P(A) = 0/6 = 0 = 0%

Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0%

5- Em um grupo de pessoas 60 jogam futebol, 50 jogam vôlei e 10 jogam os dois esportes. Portanto escolhendo ao acaso uma pessoa deste grupo a probabilidade desta pessoa jogam futebol é de:

179

180

181

182

183

APÊNDICE H - Aula 8 (Pós-teste)

Aula 8 - ENEM 2014

Resolver as questões abaixo, mostrando os cálculos, indicar a resposta correta no espaço

disponível e atribuir graus de dificuldade e grau de importância relacionado a cada umas das

questões, seguindo a seguinte atribuição:


______________________________________________________________________

Questão 1



184

Questão 2



185

Questão 3



186

Questão 4



187

Questão 5



188

Questão 6



189

Questão 7



190

Questão 8



191

Questão 9



192

Questão 10



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DIEGO DA SILVA SERRA - UFRGS