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Desenvolvendo o pensamento e a linguagem algébrica no Ensino Fudamental: reflexões sobre a
prática docente e o envolvimento de alunos do 6º ano em tarefas
envolvendo sequências e padrões
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.Débora Silva Veloso
Ana Cristina Ferreira
Desenvolvendo o pensamento e a linguagem algébrica no Ensino Fudamental: reflexões sobre a
prática docente e o envolvimento de alunos do 6º ano em tarefas
envolvendo sequências e padrões
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Ouro Preto | 2012
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© 2012
Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas | Departamento de Matemática
Programa de Pós-Graduação | Mestrado Profissional em Educação Matemática
Reitor da UFOP | Prof. Dr. João Luiz Martins Vice-Reitor | Prof. Dr. Antenor Rodrigues Barbosa Júnior
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLOGIAS
Drietor(a) | Prof. Dr. Antônio Claret Soares Sabioni Vice-Drietor(a) | Prof(a). Dr(a). Maria Célia da Silva Lanna
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E ´PÓS-GRADUAÇÃO
Pró-Reitor(a) | Prof. Dr. Tanus Jorge Nagem Drietor(a)-Adjunto | Prof. Dr. André Barros Cota
Coordenação | Prof(a). Dr(a). Regina Franch
ISBN 0000.0000.0000-00
FICHA CATALOGRÁFICA
Catalogação: [email protected]
Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados.
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Epigrafe O pensamento
não tem limites e
a mente que
conhece novas
ideias e
conceitos, jamais
retornará à sua
condição inicial.
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Expediente Técnico
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Organização |
Pesquisa e Redação | Débora Silva Veloso
Revisão |
Projeto Gráfico e Capa | Editora UFOP
Fotos | Débora Silva Veloso
Ilustração |
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Índice ________________________
Apresentação ........................................................................................................... 8
Motivação: Prática Docente ................................................................................... 10
Pensamento Algébrico versus Linguagem Algébrica ............................................. 12
Público Alvo ........................................................................................................... 14
Tarefa I: Cubos Enfileirados ................................................................................... 15
Tarefa II: Lembretes ............................................................................................... 39
Tarefa III: Caminhada no Pátio! ............................................................................. 53
A título de conclusão .............................................................................................. 56
Referências ............................................................................................................ 58
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Apresentação
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Prezados Colegas,
Apresento-lhes este material que foi construído com intuito de compartilhar
com vocês algumas de minhas experiências como professora de Matemática do
Ensino Básico.
Trabalho com o Ensino Fundamental II há 7 anos, ministrando aulas para
turmas de 6º a 9º anos, e um fato que sempre me inquietou nesse tempo de
profissão foram as dificuldades apresentadas pelos alunos no estudo da Álgebra.
Em particular, confesso que havia, de minha parte, uma falta de recursos, ideias e
instrumentos que fossem realmente eficazes no ensino desse campo da
Matemática no sentido de desenvolver nos alunos um conhecimento que fosse
além da simples manipulação dos símbolos algébricos.
Diante desse quadro, ao ingressar no mestrado profissional em Educação
Matemática, realizei uma pesquisa teórica acerca do ensino e aprendizagem da
Álgebra e construí uma proposta de ensino que teve como foco principal o
desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébricos em alunos do 6º ano
do Ensino Fundamental.
Minha proposta esteve pautada em meu desejo de que os estudantes
criassem um alicerce para o real entendimento dos conceitos e da linguagem
algébrica e para a capacidade de aplicação desses conhecimentos em diversos
contextos e atividades.
Dessa forma, este produto educacional é um recorte de minha dissertação
intitulada “O desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébricos no Ensino
Fundamental: análise de tarefas desenvolvidas em uma classe do 6º ano”. Nele,
algumas das tarefas desenvolvidas na proposta foram apresentadas de modo
fundamentado e justificado, com exemplos de resoluções e comentários dos
alunos.
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Compartilho com vocês algumas reflexões acerca da condução e desenrolar
das tarefas em sala de aula, sob o ponto de vista de educadora, além de tentar
oferecer-lhes, a partir do desenvolvimento da turma, algumas sugestões para
melhoria do trabalho, principalmente no que tange a atuação do professor junto aos
alunos.
Inicialmente, dissertarei de maneira breve sobre minha experiência docente
e a razão que me levou à realização de todo o trabalho no mestrado. Em seguida,
exponho sobre as concepções de pensamento e linguagem algébricos adquiridas a
partir do estudo teórico, as quais foram cruciais na elaboração das atividades da
proposta.
Detalharei a aplicação de três das sete tarefas desenvolvidas na proposta
junto à minha turma de 6º ano. Optei por abordar apenas três atividades para poder
proporcionar-lhe maior riqueza de detalhes tanto quanto à aplicação de cada uma
delas, tanto quanto ao envolvimento dos alunos.
Para finalizar, traremos algumas considerações sobre o trabalho como um
todo e algumas sugestões de leituras para aqueles interessados em aprofundar no
estudo sobre Educação Algébrica.
Para mais detalhes sobre meu trabalho, sugiro o acesso á minha
dissertação na página do programa de Mestrado Profissional em Educação
Matemática da UFOP por meio do link
http://www.ppgedmat.ufop.br/index.php?option=com_content&view=article&id=60&I
temid=69 ou podem entrar em contato por email.
Desejo a todos uma leitura agradável e prazerosa!
Débora Veloso
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Motivação: Prática Docente
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Em nossa experiência docente, principalmente com alunos do 8º ano do
Ensino Fundamental, pudemos verificar, mais de uma vez, o que já percebíamos
desde o tempo de estudante: os alunos apresentam grande dificuldade no estudo
da Álgebra e, em particular, na resolução de problemas que envolvem uma
tradução da linguagem escrita corrente para a linguagem algébrica.
Trabalhando com Equações de 1º Grau ou Sistemas de Equações do 1º
Grau em nossas classes, presenciamos comentários de alunos no sentido de que
não conseguem ‘interpretar’ enunciados e resolver ‘problemas’. Porém, o que mais
nos inquieta é o fato de que alguns desses estudantes assumem enfaticamente
que, por mais que se esforcem, não sabem e nunca vão aprender a resolver esse
tipo de exercício.
Diante desse quadro, deparamo-nos também com nossa dificuldade como
professoras: como ensinar Álgebra de modo que os alunos compreendam os
conceitos envolvidos e construam sentido para os mesmos? Mais especificamente,
como ensinar aos alunos a traduzir uma sentença escrita em linguagem natural
para a linguagem algébrica?
Em busca de respostas para nossas indagações, recorremos à literatura e
encontramos estudos, os quais, em sua maioria, apontam a Álgebra como
ocupante de um lugar privilegiado nas escolas e nos livros didáticos. Apesar disso,
não raras vezes, os alunos mostram dificuldades para compreendê-la e aplicá-la
em contextos diversos que exigem habilidades além das manipulações de regras e
algoritmos.
Dessa forma, verificamos que a ênfase no simbolismo, desde os primeiros
contatos com a Álgebra, em detrimento do desenvolvimento do pensamento
algébrico, pode apresentar-se como um dos principais entraves para o aprendizado
desse ramo da Matemática. Esse tipo de abordagem não tem se mostrado um
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caminho adequado que permita ao aluno, posteriormente, aplicar conceitos
algébricos em outros campos de estudo.
Nossa experiência docente corrobora essas ideias. A ênfase na
manipulação dos símbolos algébricos sem uma construção de sentido para os
mesmos, não permite que a maioria dos alunos apreenda seu valor e cria
obstáculos inclusive para a aprendizagem do tema.
Dessa forma, reflexões levaram-nos ao questionamento acerca de como é
tratado o conhecimento algébrico em nossas classes e de como os estudantes
estão concebendo esse conhecimento matemático.
Em vista disso, após nossas leituras e estudos, levantamos a hipótese de
que uma das possíveis causas dos alunos apresentarem tantas dificuldades na
mudança da representação de uma sentença escrita na linguagem corrente para a
linguagem algébrica repousa no fato do ensino da Álgebra, principalmente nos
anos iniciais, estar muito voltado para uma abordagem ligada à linguagem
simbólica e sua manipulação, alheia à construção de sentido para tal linguagem e
ao desenvolvimento do pensamento algébrico.
Portanto, decidimos construir e aplicar uma proposta de ensino, cujo foco
fosse o desenvolvimento do pensamento algébrico em alunos iniciantes no estudo
da Álgebra e a construção de uma linguagem simbólica específica para a
manifestação de tal pensamento. Buscamos identificar as estratégias utilizadas
pelos alunos durante a percepção de regularidades e processos de generalização
de padrões e sequências e investigar os recursos adotados nas primeiras tentativas
de utilizar a linguagem simbólica para expressão de sentenças envolvendo termos
com ideia de variáveis.
No presente documento, apresentaremos primeiramente, apoiadas em
nossas leituras, nossas concepções acerca do pensamento algébrico e da
linguagem algébrica. Em seguida, apresentaremos o público alvo e mostraremos
algumas das tarefas aplicadas em nosso trabalho de campo, com reflexões acerca
do papel do professor na condução de algumas situações em sala de aula e do
envolvimento e desempenho de alguns alunos.
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Pensamento Algébrico versus Linguagem
Algébrica
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Ao recorrermos à literatura em busca de um olhar teórico que nos auxiliasse
a construir um ponto de vista sobre a relação entre pensamento e linguagem
algébricos, constatamos que essa é uma discussão que atravessa décadas e ainda
gera inquietações entre estudiosos e pesquisadores.
Concordamos com alguns autores, Ponte (2005), Gil (2005), Fiorentini el al
(2005), Radford (2010a), entre outros, que o excesso no estudo de regras
algorítmicas trata-se de uma visão redutora da Álgebra, que desvaloriza muitos
aspectos importantes desta área da Matemática.
Percebemos, então, que um dos grandes objetivos ao ensinar Álgebra nas
escolas é desenvolver nos alunos o pensamento algébrico que vai muito além da
simples capacidade de manipular símbolos.
Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), alguns dos elementos que
caracterizam o pensamento algébrico são a percepção de aspectos invariantes em
contraste de outros que variam, as tentativas de expressar ou explicar a estrutura
de uma situação problema e a presença do processo de generalização.
Ponte (2005, p. 37), apoiando-se no NCTM1 de 2000, afirma que o
pensamento algébrico diz respeito aos quatro tópicos abaixo:
Compreender padrões, relações e funções (Estudo das estruturas);
Representar e analisar situações matemáticas e estruturas, usando
símbolos algébricos (Simbolização);
Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações
quantitativas;
Analisar mudança em diversas situações (Estudo da variação).
1 National Council of Teachers of Mathematics.
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Nessa perspectiva, esperamos que o aluno que desenvolve o pensamento
algébrico seja capaz de entender não só os algoritmos, mas, também, o sentido do
símbolo, ou seja, desenvolva a capacidade de interpretar e usar esses símbolos
nos diversos domínios da Matemática. Nesse tipo de pensamento, o estudante
voltará sua atenção não só para as ‘letras’ empregadas nas expressões algébricas,
mas também para as relações existentes entre elas, raciocinando e manipulando
essas relações de modo geral e abstrato tanto quanto necessário.
Consideramos, assim, que as técnicas algorítmicas são parte do
pensamento algébrico e que esse não depende de uma linguagem estritamente
simbólico-formal para sua manifestação. Identificamo-nos com as ideias do autor
Radford (2010a) de que existe uma pluralidade de formas (gestos, fala, registros
escritos) para expressar a ideia algébrica referente a incógnitas, variáveis e
parâmetros.
Logo, ao analisar o desenvolvimento de alunos imersos no trabalho com
atividades que podem propiciar o desenvolvimento do pensamento algébrico,
devemos estar atentos não apenas para o aparecimento dos itens caracterizadores
do pensamento algébrico citados. Faz-se necessário também estudar os processos
e os recursos aos quais os estudantes recorrem para atingir tais elementos, como,
por exemplo, investigar a forma como os alunos interagem com uma sequência
para dar sentido a ela, compreender um padrão e o generalizar.
Nessa perspectiva, mostraremos adiante o público alvo e o
desenvolvimento das tarefas que aplicamos para uma turma do 6º ano, destacando
e refletindo sobre o modo como os alunos envolveram-se em cada uma delas e o
papel do professor em sua condução.
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Público Alvo
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A proposta que foi desenvolvida com uma turma de 19 alunos do 6º ano do
Ensino Fundamental, de uma escola da rede particular de Belo Horizonte, da qual a
pesquisadora era a professora titular de Matemática.
As tarefas – 7 atividades envolvendo sequências e padrões - foram
desenvolvidas no horário regular das aulas, e apesar dos currículos e a maioria dos
livros didáticos proporem a introdução da Àlgebra no 7º ano do Ensino
Fundamental, nossa escolha pelo 6º ano esteve pautada em nosso desejo de
observar e compreender como alunos que ainda não tiveram contato com a
Álgebra (formalmente falando) lidam com situações envolvendo padrões e
sequências quando convidados a generalizar e construir registros dessa
generalização.
Obtivemos a autorização dos alunos e de seus responsáveis para a
realização do trabalho e a identificação de cada estudantes, de forma a preservar
sua privacidade, foi substituída por códigos – A1, A2, A3,..., A19.
Segue, então, o desenvolvimento das três tarefas.
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Tarefa I: Cubos Enfileirados
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A tarefa que intitulamos “Cubos Enfileirados” contou com o estudo de uma
sequência formada pelas faces expostas de cubos que fomos enfileirando sobre
uma mesa em um dos cantos da sala de aula.
Realizamos uma discussão coletiva, de modo que primeiramente,
colocamos o primeiro cubo e contei o número de faces expostas. Em seguida,
colocamos o segundo cubo, encostado no primeiro, e observamos o número de
faces expostas. Seguindo adiante, enfileiramos o terceiro cubo e repetimos o
procedimento:
Figura 1: Três cubos enfileirados
O objetivo principal era que os alunos encontrassem uma regra ou uma
fórmula geral para calcular o número de faces expostas em função do número de
cubos enfileirados.
Portanto, disponibilizamos 5 cubos iguais, construídos com dobradura. A
ideia inicial era ir adicionando um cubo de cada vez, para que os alunos fossem
contando o número de faces expostas e, gradativamente, percebessem a
regularidade envolvida, ou seja, em cada um dos cubos enfileirados, observamos
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duas faces expostas (uma voltada para cima e a outra voltada para frente), com
exceção do último cubo, no qual teremos três faces expostas.
Assim, destacamos que na escolha dessa sequência a disposição espacial
de seus elementos é um importante aliado na percepção de uma regularidade e na
elaboração de uma fórmula para o cálculo do número de faces expostas em função
do número de cubos enfileirados.
Primeiramente, chamamos a atenção dos alunos, a fim de relembrar com
eles as propriedades do cubo e o número de faces que ele apresenta. Todos se
mostraram conscientes das propriedades, visto que tal conteúdo havia sido
trabalhado recentemente com a turma. Dessa forma, iniciamos a atividade
colocando um cubo sobre a mesa, a qual havíamos colocado em um dos cantos da
sala para esse fim, de forma que três de suas faces ficassem escondidas: duas
ficassem encostadas em cada uma das paredes e outra ficasse apoiada na mesa,
como na figura:
Figura 2: Um cubo sobre a mesa.
Concomitante a essa ação, perguntamos:
P: Quando eu coloco esse cubo aqui no cantinho, olha, a gente percebe que algumas faces
ficam voltadas pra parede e uma face fica voltada pro chão. Eu tenho quantas faces...
A12: 2!
P: ...que estão expostas?Que não estão nem voltadas...
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A turma, então, nos interrompe e alguns alunos começam a falar ao mesmo
tempo:
A7 e A12: 2! 2!
A4 e A6: 3!
O aluno A12 exalta-se ao perceber que estava dando a resposta incorreta e
levanta-se em direção à mesa onde estava o cubo e aponta para as faces
expostas, falando em tom alto:
A12: 3! 3! A de cima (apontando para a face voltada para cima), a daqui (apontando para a
face que estava de frente aos alunos) e a daqui (apontando para a face da esquerda)!
Ao mesmo tempo, o aluno A10 que estava sentado na primeira carteira à
frente da mesa com o cubo, disse apontando para este:
A10: 3! A de cima e a dos dois lados!
As respostas e os gestos de A10 e A12 já sugerem a forma como eles
poderão interagir com a sequência e perceber seus termos, visto que, a partir de
suas falas e de seus sinais corporais, inferimos que uma das faces expostas do
cubo sobre a mesa eles já caracterizaram como a face “de cima”. E, no caso do
aluno A10, ele percebeu e distinguiu as demais faces como aquelas que estão “dos
dois lados”, ou seja, de acordo com seu referencial, elas não estão voltadas para
cima, mas sim para os lados.
Percebemos a utilização dos termos dêiticos
(RADFORD, 2009) “de cima” e “dos dois lados”, utilizados
para descrever, de acordo com o contexto da tarefa, os
objetos no espaço. Mais especificamente, as posições das
faces de acordo com a posição do cubo em relação aos
alunos. Tais termos podem ser uma ferramenta útil na
percepção da regularidade e na elaboração de uma regra
para o cálculo do número de faces expostas em função do
número de cubos enfileirados.
Assim, tais alunos começaram a engajar-se na tarefa, configurando um
momento em que eles passaram a utilizar diversos recursos, como a fala e os
gestos, a fim de perceber e dar sentido à sequência, de forma a apreender uma
possível regularidade entre os seus termos.
Definição: ‘Termos Dêiticos’ são palavras com as quais
nós descrevemos, de um modo contextual,
objetos no espaço.
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O aluno A12 retorna ao seu lugar e nós prosseguimos explicando de acordo
com o que os alunos haviam falado:
P: Então, a gente tem a face de cima exposta (apontando para tal face) e mais duas faces,
não é isso? A da frente (apontando para a face da frente) e essa aqui de ladinho (apontando
para a face da esquerda), certo?
Turma: Certo!
Figura 3: Termos utilizados para identificar cada face exposta do primeiro cubo
Em seguida, perguntamos, antes de adicionar o segundo cubo, apontando
para a face exposta da esquerda do cubo que já estava sobre a mesa:
P: Se eu colocar mais um cubo, quantas faces vão ficar expostas?
Antes que eu terminasse a pergunta, o aluno A10 levanta-se da carteira
com a mão aberta e levantada, sinalizando o número cinco:
A10: 5! 5!
P: Por quê?
A10 caminha para perto da mesa e ao aluno A12, que fala para o colega:
A12: 5 não ‘negão’, é 6 ué!
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Para mostrar que estava certo, o aluno A10 aponta contando duas faces (a
face voltada para cima e a face voltada para frente) do cubo que já estava sobre a
mesa e, como se o segundo cubo estivesse ao lado do primeiro – nós ainda não
havíamos o colocado sobre a mesa –, ele simula a contagem de suas faces
expostas, fazendo apontamentos com o dedo indicador no ar. Primeiramente ele
aponta para onde ficaria a face voltada para cima, em seguida para a face que
ficaria voltada para frente e, por último, para a face que ficaria voltada para a
esquerda.
Novamente o aluno A10 recorre a gestos e à fala, para expressar seu
raciocínio e se fazer entender. Percebemos que ele seguiu uma ordem ao apontar
para as faces dos cubos enfileirados: primeiro ele aponta para aquela voltada para
cima, depois para a face voltada para frente e, por último, para a face voltada para
a esquerda. Tais gestos coordenados novamente sugerem de que forma o aluno
estava percebendo a sequência de faces expostas, de acordo com a posição dos
cubos, e como ele estava apreendendo a lógica da sequência.
Em seguida, convidamos a turma a verificar quantas faces ficariam
expostas com dois cubos enfileirados:
P: Vamos ver? 5 ou 6?
A7: 3... não! 4! Não! 5! Tá certo! Vai ser 5!
A10: 5, véi!
P: Vamos pensar? Vamos experimentar? (Acrescentando o segundo cubo ao lado do
primeiro). Se eu colocar mais 1 cubo, o que acontece?
Enquanto falamos e acrescentamos o cubo, os alunos A10 e A7 continuam
afirmando que serão cinco faces expostas. Depois que os dois cubos já estão
enfileirados, eles apontam e contam em voz alta o número de faces expostas:
A10 e A7: 1, 2, 3, 4, 5!
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Figura 4: Dois cubos enfileirados
Nós repetimos com a turma, contando o número de faces expostas:
P: Vamos ter 1, 2, 3, 4, 5!
Enquanto contávamos com a turma, repetimos os mesmos gestos de
apontamento feitos pelo aluno A10, a fim de sugerir uma regularidade e tornar os
demais alunos familiarizados com formas de percepção organizadas e um pouco
mais avançadas.
Nossa intenção era mostrar aos alunos que, além da numerosidade das
faces expostas, sua disposição espacial na sequência de cubos também poderia
sugerir algo interessante.
Dessa forma, pretendíamos fazer com que os estudantes iniciassem o que
Radford (2010b) chamou de domesticação do olhar, a partir do que eles poderiam
desenvolver habilidades que os tornariam mais aptos a perceber a sequência, sem
ignorar algum de seus atributos que pudesse ser de grande valia no
desenvolvimento da tarefa.
Prosseguimos comentando e anotando no quadro que quando tínhamos 1
cubo, o número de faces expostas era 3. Ao acrescentar mais 1 cubo, o número de
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faces expostas passou a ser 5. Dessa forma, no quadro, ficou registrada a seguinte
situação:
Entendemos que tal registro correspondeu a mais um recurso utilizado pela
professora/pesquisadora para facilitar aos alunos a percepção de uma regularidade
da sequência. Nesse caso, recorremos ao recurso da linguagem escrita, a partir da
construção de uma relação – um tipo de tabela - entre o número de cubos e o
número de faces expostas.
Em seguida, continuamos instigando e desafiando os alunos:
P: Eu quero perceber se vai existir um padrão nisso aqui (apontando para o que eu havia
escrito no quadro).
A7: Como assim?
A6: Eu acho que vai...
P: Olha só... existe uma regra pra eu descobrir o número de faces que ficam expostas
dependendo do número de cubinho que eu enfileirar? Então, por exemplo, a gente percebe o
seguinte: cada cubinho que eu coloco enfileirado aqui (apontando para a mesa onde estavam
os dois cubos enfileirados)...
A partir dessa fala do aluno A10, percebemos que ele apresenta o número
de faces expostas que aumentam, quando adicionamos mais um cubo enfileirado.
Podemos deduzir que ele já havia percebido que, a cada cubo que é acrescentado,
teremos 3 faces expostas a mais. Porém, devemos diminuir uma, visto que uma
das faces do último cubo que já estava enfileirado ficará escondida, conforme o
exemplo ilustrativo de quando acrescentamos o terceiro cubo.
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Figura 5: Acrescentando o terceiro cubo.
Consideramos que essa “regra” apresentada pelo aluno A10 – somar 3 e
subtrair 1 – está conectada ao processo vivenciado por ele, visto que,
provavelmente, foi a partir da forma como a tarefa foi conduzida e do modo como
ele observou a disposição física dos cubos e das faces expostas que ele pode
perceber essa relação.
De fato, essa fórmula apresentada por A10 está tão ligada ao contexto do
desenvolvimento da tarefa que ele parece nem ter percebido que o fato de somar 3
e subtrair 1 corresponde, de forma mais direta, a somar 2.
Além disso, ponderamos aqui que A10 já havia percebido de que forma
pode ser obtido um novo termo dessa sequência, à medida que acrescentamos um
novo cubo.
Avaliamos que essa percepção está ligada a um pensamento recursivo, à
medida que, se quisermos encontrar o número de faces expostas, sabendo-se o
número de cubos enfileirados, utilizando sua “fórmula”, precisaremos do termo
anterior, ou seja, devemos tomar o número de faces expostas que tínhamos na
situação com um cubo enfileirado a menos, somar 3 e, em seguida, subtrair 1.
Nesse sentido, o aluno ainda trabalha em um campo que, para ele, não
apresenta grandes dificuldades. Assim, seria interessante que a
professora/pesquisadora o desafiasse com questões que ele não pudesse
responder utilizando apenas essa regularidade apreendida e tivesse que
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desenvolver uma outra estratégia, além de um recurso meramente aritmético de “ir
somando 3 e subtraindo 1”.
Porém, no momento em que o aluno A10 fez sua pergunta, não o ouvimos e
prosseguimos com a indagação:
P: ... com certeza... com certeza... de cada um desses cubinhos que eu enfileiro, quantas
faces que eu tenho expostas?
A4: Você adiciona mais duas! Mais três...
A6: Não, eu acho que você subtrai 1 e adiciona 2... 3, quero dizer!
O aluno A4 parece ter ficado em dúvida quanto ao número de faces
expostas que aumentariam, caso fosse acrescentado mais um cubo à fileira.
A aluna A6 discorda de A4 e fala o que percebeu: a cada novo cubo
acrescentado, o número de faces expostas deve ser diminuído de 1 e aumentado
de 3. Ou seja, ela observou a sequência de forma similar ao aluno A10 e,
consequentemente, a regularidade proposta por ela em sua fala estava totalmente
ligada ao contexto da tarefa.
No momento em que eu perguntei se seriam mais 3 faces, apontei para a
face do segundo cubo que seria escondida caso adicionássemos o terceiro cubo e
pergunto:
P: Mas e essa aqui que eu vou tampar?
A7: Mas essa aí (apontando para a face que seria escondida caso adicionássemos mais um
cubo) não vai aparecer não! Não vai aparecer não, porque vai ficar tampada!
A6: Vai ficar... Mas você vai diminuir 1 de 5, vai ficar 4 e adicionar 3...
A aluna A6 tenta explicar que das 5 faces expostas, a partir dos 2 cubos
enfileirados, devemos tirar 1, ou seja, aquela que será escondida depois que
acrescentarmos o terceiro cubo, e, assim, ficamos com 4. Em seguida, devemos
adicionar 3, que corresponde ao número de faces que ficarão expostas no cubo
acrescentado.
Assim, percebemos que A6 utilizou o mesmo raciocínio que ela havia
apresentado anteriormente: toma o número de faces expostas dos cubos que já
estão enfileirados sobre a mesa, subtrai 1 (relativo à face do último cubo que
estava enfileirado e que será tampada) e depois adiciona 3 (relativo às 3 faces do
novo cubo que seria adicionado e que ficariam expostas).
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Essa estratégia apresentada por A6 nesse momento reforça a ideia do
desenvolvimento do pensamento recursivo, uma vez que ela, para saber o número
de faces expostas no caso de 3 cubos enfileirados, recorreu ao número de faces
expostas no caso de 2 cubos, subtraiu 1 e depois adicionou 3.
Depois da fala da aluna A6, prosseguimos:
P: E adicionar 3... então dá um total de 7. Então tá!
A4: Ou então você pode colocar o cubinho do lado e contar nos dedos!
P: Pode contar. Mas e quando eu tiver uma quantidade que eu não puder e quiser saber o
número de faces?
A4: Aí você faz isso que a A6 falou!
Nesse diálogo, é interessante destacar que a professora/pesquisadora
tentou mostrar ao aluno A4 que sua estratégia de “contar nos dedos”, apesar de
eficiente em alguns casos, não será conveniente para um número grande de cubos
enfileirados.
Em seguida, confirmemos o resultado que A6 havia apresentado,
enfileirando um terceiro cubo sobre a mesa e contando o número de faces
expostas em um movimento rítmico:
P: 1 (apontando para face voltada para cima do primeiro cubo), 2 (apontando para face
voltada para frente do primeiro cubo), 3 (apontando para face voltada para cima do segundo
cubo), 4 (apontando para face voltada para frente do segundo cubo), 5 (apontando para face
voltada para cima do terceiro cubo), 6 (apontando para face voltada para frente do terceiro
cubo), 7! (Apontando para a face da esquerda do terceiro cubo).
Através dos gestos rítmicos e da entonação de voz ao contar, tentamos
sugerir aos alunos que em cada cubo teríamos 2 faces expostas, com exceção do
último cubo, em que teríamos uma a mais. Logo, uma forma de calcular o número
de faces expostas em função do número de cubos enfileirados seria fazer o número
de cubos vezes dois, mais um.
Contudo, as perguntas e o modo como a tarefa foi conduzida até então não
exigiram que a turma se preocupasse com esse atributo (disposição das faces
expostas). Todos os questionamentos feitos até o momento os alunos puderam
responder, utilizando apenas a recursividade e a regularidade percebida por A10 e
A6.
Continuamos apontando para os cubos enfileirados, a fim de que os alunos
percebessem a regularidade:
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P: Eu posso pensar, então, olha só: se eu enfileiro 3 cubinhos, cada um desses 3 sempre não
vai ter 2 faces expostas?
A7: Aham...
A4: Ou 3!
P: Com a que tá aqui do ladinho (apontando para a face exposta da esquerda do último
cubo)... eu também posso pensar nessa regra?
A7: Pode!
P: Então, pra 3 cubos...
A7: Vai ser 7 faces.
P: Serão 7...
A7: Faces.
P: 7 faces.
Neste momento, o que fizemos foi tentar mostrar aos alunos que uma
regularidade e uma possível generalização poderia estar fortemente relacionada à
disposição física das faces expostas. Ressaltamos que a regra ainda não havia
sido pronunciada, apenas sugerida pela professora/pesquisadora a partir dos
elementos disponíveis até então.
Em seguida, voltamos ao quadro para continuar completando a relação
entre o número de cubos e o número de faces exposta, a qual já havíamos
começado a construir, ficando registrado:
Ao acabar de completar essa escrita no quadro, voltamo-nos para os alunos
com a pergunta:
P: E pra 4 cubos?
A4, A6 e A18 : 9, 9 faces!
P: 9 faces...
E continuamos registrando no quadro:
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E logo perguntamos:
P: Por quê?
A6: É só adicionar 2.
A7: É...
P: Ah, daqui (apontando para o registro no quadro) vocês já perceberam um padrão...
daquilo que eu estou escrevendo no quadro. Porque é 3, 5, 7, 9. Mas, por que, então, que
está adicionando só de 2 em 2? Por que quando eu aumento 1 cubo, só aumentam 2 faces?
A4: Porque você... você desconsidera a do lado!
A6: Por que subtrai 1!
A partir das falas acima, percebemos que os alunos A4 e A10 entenderam
que o número de faces expostas estava aumentando de dois em dois, visto que, ao
acrescentarmos um novo cubo na fileira, teríamos três faces expostas a mais,
pertencentes a esse novo cubo, porém, diminuiríamos a face do lado do último
cubo que já estava na fila.
Dessa forma, tais alunos conseguiram fazer a ligação entre os diversos
recursos utilizados até então. Ou seja, eles relacionaram o registro escrito no
quadro com o processo de desenvolvimento da tarefa realizada, à medida que
fomos enfileirando os cubos na mesa.
Contudo, sabemos da possibilidade de nem todos os alunos terem
acompanhado a ideia da mesma forma que A4 e A6. Assim sentimos necessidade
de esclarecer para toda a turma por que estava aumentando de 2 em 2:
P: Porque essa aqui (apontando para a face da esquerda) que fica exposta ela é constante.
Essa aqui não sempre vai ficar exposta? Quando eu aumento um cubinho, então, eu estou
aumentando só essas duas faces? (Apontando para a face voltada para cima e a face voltada
para frente). Olha só, tira esse (retirando o terceiro cubo que estava enfileirado). Eu tinha
quantas (faces): 1, 2, 3, 4, 5! (Faço a contagem das faces, apontando-as com o dedo
indicados direito). Essa aqui (apontando para a face da esquerda do segundo cubo) vai
continuar aqui (apontando para a face da esquerda do terceiro cubo), não vai? Na hora que
eu encaixo? E vão aumentar só essas 2. (Apontando para a face voltada para cima e a face
voltada para frente do terceiro cubo a ser enfileirado). Então, vão aumentar só essas 2?
A6 e A7: Sim!
P: Então essa é a explicação porque tá aumentando de 2 em 2 ali? (Apontando para o
registro do quadro). Vocês entenderam?
A7: Eu entendi!
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Assim, até o caso de 5 cubos enfileirados, as respostas dos alunos estavam
relacionadas ao pensamento recursivo, em que eles tomavam os valores
registrados no quadro e somavam 2.
Contudo, nosso objetivo era propor à turma uma situação em que essa
tática de ir somando dois não fosse tão conveniente, sendo necessário recorrer à
elaboração de outra estratégia de cálculo.
A ideia é fazer com que os alunos saiam do que podemos chamar de “zona
de conforto”, em que eles estão facilmente respondendo às questões propostas, e
tenham que lidar com uma situação em que o número dado de cubos enfileirados
represente uma quantidade, que apesar de conhecida, não pode ser tratada de
maneira simples. Na verdade, o intuito é que os alunos lidem com essa quantidade
como se ela fosse desconhecida, no sentido de que eles sintam a necessidade da
elaboração de uma fórmula, independente da quantidade de cubos enfileirados que
eles tem em mente.
Nesse sentido, pedimos à turma que
encontrasse o número de faces expostas para
10 cubos enfileirados. Nesse caso, como já
havíamos explorado bastante a formação da
sequência de faces expostas nos cubos
enfileirados sobre a mesa, esperávamos que
os alunos desenvolvessem uma generalização
algébrica, utilizando as descobertas realizadas
até então, para elaborar uma regra eficaz para
o cálculo do número de faces expostas, sabendo-se o número de cubos
enfileirados.
O alunos A4 responde de imediato e em tom alto:
A4: 22! 22! 22 faces!
P: 22?
A4: É porque você pega o número de 5 cubos e multiplica por 2 que vai dar 22!
O aluno A4 sugere que para encontrar o número de faces expostas quando
temos 10 cubos enfileirados, basta pegar o número de faces expostas quando
temos 5 cubos enfileirados, que é igual a 11, e multiplicar por 2, para encontrarmos
o resultado desejado. Em nossa experiência, conferimos que esse tipo de
estratégia, em que os estudantes assumem que a sequência numérica formada
Definição: De acordo com Radford(2010a), a generalização
algébrica de um padrão está baseada na percepção de uma regularidade de uma sequência, estando
ciente de que essa regularidade aplica-se a todos os termos dessa sequência e ser capaz de usá-la para
formulação de uma regra geral e válida para se encontrar qualquer termo da sequência.
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obedece a uma proporcionalidade direta, é comum entre os alunos. Em outras
palavras, eles recorrem aos múltiplos de um termo para determinar elementos em
posição mais avançadas na sequência.
Nesse sentido, ressaltamos que é interessante que o professor, ao trabalhar
com tarefas que envolvam o estudo e a exploração de sequências em suas
classes, esteja munido de artifícios para contornar esse tipo de situação junto à
turma e mostrar para os alunos por que esse tipo de resolução está incorreta.
Diante dessa responta de A4, nós o perguntamos:
P: Mas e a face que a gente sempre tampa?
A4: Ela não é considerada. Ela, ela não é considerada...
A12: Aí você subtrai!
Todos falavam muito alto e a discussão continuou fervorosa. O aluno A4
continuou falando da face que não é considerada e A12, levanta-se empolgado
explicando que devemos subtrair algo de 22 para encontrar a resposta correta. Os
alunos falam ao mesmo tempo:
A4: Ela não é considerada, então...
A12: Aí você subtrai 22 por 1! Não! Por 2...
A7: Não, 22 por 2...
P: Mas, então...
A7: Não, 22 por...
A4: Professora! Professora! Ó, 5 cubos deu 11 faces, não deu? (Apontando para o registro
do quadro).
P: Sim!
A4: Então, você vai botar 5 cubos de novo, vai dar mais 11 faces, não vai?
P: É?
A4: É!
A7: Não vai não!
P: Olha só: quanto eu ponho 2 cubos, tem quantas faces?
A4 e A6: 5!
A7: 6! Não, 5!
P: 5. Se eu colocar 4 cubos, então, vai ser 5 vezes 2 que são 10?
A7: Não, claro que não!
A4: Não.
P: É só fazer o dobro?
A6 e A7: Não.
P: Porque não?
A6: Porque tem que subtrair...
A7: Porque tem que subtrair com mais 2! Porque tem que subtrair com mais 2!
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A12: Mas eu já falei isso!
P: Se eu coloco 2 cubinhos, eu tenho 5 faces expostas!
A7: Mas se você botar mais 2, você vai subtrair!
P: Se eu colocar mais 2, que é o dobro, eu tampo aquela (indicando a face esquerda do
segundo cubo), essa aqui compensa... (Indicando a face esquerda do quarto cubo que será
enfileirado juntamente com o terceiro).
A7: Compensa a face que você tampou.
Nossa opção para explicar a incorreção da resolução do aluno A4 foi
mostrando um exemplo com um número menor de cubos, como vimos no diálogo
acima. Contudo, outra forma seria pedir que os próprios alunos verificassem –
utilizando a contagem ou qualquer outra estratégia – que a resposta apresentada
estava incorreta e investigassem o porquê disso.
No meio de nossa explicação, o aluno A10, que estava bem próximo a mim,
voltando ao problema dos 10 cubos enfileirados, disse em tom moderado:
A10: Vai dá 21. 21! 21!
P: Por quê 21?
A10: Por que eu fui contando de 2 em 2.
A4: Porque você tira a face do lado! Você tira a face do lado!
A7: É!
P: Basta multiplicar essa quantidade aqui por 2 (apontando para o registro no quadro, em
tínhamos o caso de 5 cubos enfileirados) e tirar 1, né?
Pela fala do aluno A10, percebemos que
ele não desenvolveu uma estratégia de cálculo
que facilitasse a resolução da tarefa, mas,
recorreu à regularidade que já havia sido
percebida na sequência formada pelos números
de faces expostas nos cubos enfileirados – é
uma sequência numérica equivalente a uma
progressão aritmética em que o primeiro termo é
3 e a razão é 2 –, a qual estava registrada no
quadro, e foi contando de 2 em 2 até chegar ao resultado desejado. Consideramos
que tal procedimento de resolução é característico de um pensamento aritmético e
não algébrico.
Neste momento, chamamos novamente a atenção para o papel do
professor em desafiar os alunos. Apesar de ter sido essa nossa intenção ao lançar
Curiosidade: Segundo Radford (2010a), quando os alunos
apreendem uma regularidade nos termos dados de uma sequência, mas não a utilizam para a elaboração de uma regra que lhes permita encontrar qualquer
termo dessa sequência, eles ainda não estão trabalhando em um campo algébrico. Na verdade, uma generalização desse tipo é considerada pelo
autor como uma generalização aritmética.
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a questão sobre os 10 cubos enfileirados, notamos que essa quantia permitiu que
A4 continuasse utilizando uma estratégia aritmética. Portanto, talvez teria sido mais
interessante ter lançado um pergunta que envolvesse um número maior de cubos
para verificar se surgiria uma tática de resolução diferente das apresentadas pelos
estudantes até o momento e que fosse correta. E foi exatamente o que tentamos
fazer adiante:
P: Ah, então vou pegar uma quantidade (de cubos) que vocês não vão saber!
A6 e A7: Ah não!
P: E se forem 17 cubos?
O aluno A10 diz a gíria ‘marca aí!’, pedindo que eu esperasse um tempo
para que ele fizesse os cálculos. Os alunos A4 e A7 também pedem para esperar.
O aluno A14 começa a fazer registros em seu caderno. Eles pensam e 15
segundos depois a aluna A15 pergunta:
A15: 35?
P: Por que 35?
A4: Porque você soma!
A10: É só contar de 2 em 2. Você conta de 2 em 2!
Percebemos, a partir do trecho acima, que os argumentos utilizados pelos
alunos A4 e A10 ainda eram característicos de estratégias aritméticas.
Neste momento, a turma estava muito agitada, devido ao desafio lançado.
O mais interessante seria que nós tivéssemos pedido para que a aluna A15
esplicasse como ela havia encontrado sua resposta. Porém, diante de sua timidez
e da agitação da sala de aula, ficamos mais preocupadas em tentar retomar a
concentração dos alunos. Dessa forma, recomeçamos a explicar:
P: Você conta de 2 em 2 cubos... Cada cubo, presta atenção.... cada cubo tem 2 faces
expostas (apontando para as faces voltadas para cima e as faces voltadas para frente dos
cubos que estavam enfileirados sobre a mesa). Então, para cada um desses 17 cubos, eu
tenho quantas faces expostas?
A7: Duas.
P: Duas! Só que o último cubo sempre tem uma a mais! Não é isso?
A10: É!
P: Não é essa ‘uminha’ a mais aqui? (Apontando para a face esquerda do último cubo
enfileirado sobre a mesa). Então basta eu fazer o que? Pegar o 17, vezes 2, que dá?
Ao mesmo tempo em que pergunto, vou registrando no quadro o cálculo (17
x 2) e os alunos respondendo:
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A4 e A7: 34! A4: E tem que tirar 1!
P: Não é somar?
A14: É somar mais 1!
O aluno A4 confundiu-se com as operações que ele havia realizado
anteriormente para o cálculo do número de faces expostas, no caso de 10 cubos
enfileirados. Naquela ocasião, ele havia tomado o número de faces expostas em
cinco cubos enfileirados, multiplicado por 2 e subtraído 1 do resultado, encontrando
a resposta correta. Porém, o procedimento que estávamos discutindo agora era
diferente, visto que tomamos o número de cubos dado (17), multiplicamos por 2 e,
em seguida, deveríamos adicionar 1. Mas o aluno A10 parece não ter notado que a
estratégia era outra e sugeriu que, depois de encontrarmos o resultado da
multiplicação de 17 por 2, precisaríamos subtrair 1, que era o que ele havia feito na
situação anterior, correspondente aos 10 cubos enfileirados.
Durante o desenvolvimento da atividade, não notamos esse fato e
simplesmente neguamos sua sugestão. O mais adequado seria termos aproveitado
essa situação para esclarecer para tal aluno o porquê da diferença entre os dois
procedimentos.
Em seguida, retomamos discussão:
P: Não seria somar 1 aqui? (Indicando o resultado da multiplicação 2 x 17).
A7: Então é 34 mais 1!
P: Que vai dar?
A4 e A7: 35!
P: 35...
A7: faces!
P: Então, existe um segredo que eu possa descobrir o número de faces se eu tiver qualquer
quantidade de cubos enfileirados?
A7: Sim, claro!
A10: Sim!
P: É só eu fazer o que?
A10: Multiplicar por 2 mais 1!
A15: É só multiplicar por 2 e depois adicionar 1!
Durante toda nossa explicação, o que fizemos foi induzir a turma à
percepção de uma regra para o cálculo do número de faces expostas em função do
número de cubos enfileirados. Para tal, usamos a regularidade percebida até então
– cada cubo enfileirado tem sempre duas faces expostas, então basta tomar o
número de cubos desejado e multiplicar por 2 – retomando, novamente, a situação
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concreta em sala de aula, e direcionamos a discussão para que os alunos fossem
deduzindo o restante, fazendo as devidas intervenções – além de multiplicar por 2,
devemos somar 1 ao produto encontrado.
Nesse sentido, para explicar a regra, utilizando como caso particular os 17
cubos enfileirados, lançamos mão de gestos (apontando para as faces dos cubos
que estavam enfileirados sobre a mesa), e de registro escrito no quadro, a fim de
estabelecer uma comunição matemática com os alunos de forma que eles
entendessem o porquê de cada termo e de cada operação realizada em nossos
cálculos para encontrar o número de faces expostas desejado.
Os alunos A10 e A15 finalizaram a discussão, mostrando que eles haviam
apreendido o almejado por nós naquele momento e apresentando qual seria a
regra para o cálculo do número de faces em função do número de cubos
enfileirados.
Vale destacar que quando perguntamos qual seria “o segredo” para
encontrar o número de faces expostas, fizemos menção de maneira explícita ao
objeto indeterminado através da expressão “qualquer quantidade”. Apesar disso, ao
expressarem a regra encontrada, os alunos A10 e A15 apenas falaram as
operações que deveriam ser feitas com o número de cubos que fossem dados em
cada caso, para o cálculo do número de faces expostas, sem se referirem a uma
quantidade indeterminada de maneira explícita.
Percebemos, assim, que o que interessava aos alunos até o momento eram
as operações que eles deveriam realizar com a quantidade de cubos que nós lhes
dávamos para que descobrissem a quantidade de faces expostas.
Dando sequência à situação em sala de aula, o aluno A4 ficou ansioso e
irritado por não conseguir falar de modo que todos o ouvissem. Pedi à turma que se
acalmasse e que falasse um de cada vez. O aluno A4 levantou-se e falou:
A4: Você tem que pegar o número de cubos, multiplicar por 2 e adicionar 1 que é a face do
lado!
Nessa frase, o aluno explicou qual foi a regra encontrada durante nossa
discussão, sem atribuir valor ao número de cubos. Destacamos que tal regra,
apesar de expressa na linguagem corrente, trata-se de uma fórmula algébrica, em
que a indeterminação está expressa com auxílio da expressão “número de cubos”.
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Além de fazer menção ao objeto indeterminado, o aluno recorre ao termo
dêitico “do lado”, a fim de explicar de modo contextual a qual face ele está se
referindo, quando diz que devemos adicionar 1 ao produto do número de cubos por
2.
Preocupadas no sentido de que todos da turma entendessem a fórmula
encontrada, fizemos um pedido ao aluno A4:
P: Então explica para os seus colegas, porque que você tem que pegar o número de cubos,
multiplicar por 2 e depois somar 1. Explica pra eles!
O aluno pega o pincel, vai em direção ao quadro e fala:
A4: Tem que pegar o número de cubos e multiplicar por 2, porque cada cubo apresenta 2
faces... e tem que somar mais 1 por causa da face do lado.
P: Então a gente descobriu o segredo? Então agora eu posso perguntar pra vocês, se eu
tiver 1000 cubos...
A12: Eu! Pode!
A7: Não, isso não!
P: 100 cubos! A regra não vai ser a mesma?
A4: 201 cubos!
P: 201? Faces!
A4: É! Isso mesmo!
Apesar de A4 ter apresentado contextualmente e de maneira correta a regra
encontrada, teria sido interessante que instigássemos os alunos a verificar a
validade da fórmula, recorrendo a exemplos de quantidades pequenas de cubos, as
quais eles poderiam fazer a contagem, antes que pedíssemos o número de faces
no caso de 100 cubos enfileirados.
Consideramos importante abordar quantidades variadas – grandes e
pequenas – de cubos enfileirados, para que os alunos percebam que a fórmula é
aplicável em qualquer situação e comecem a desenvolver a ideia de variável.
Visto que já havíamos gastado algum tempo com a discussão e que a
maioria dos alunos mostrou ter entendido a regularidade da sequência trabalhada,
pedimos à turma que se organizasse em duplas, a fim de que eles respondessem
algumas questões escritas, as quais seguem adiante:
Primeiramente, os alunos completaram uma tabela em que tínhamos, na
primeira coluna, o número de cubos enfileirados e, na segunda coluna, o número
de faces expostas. O objetivo de tal tabela foi verificar se os alunos realmente
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haviam apreendido a regra para calcular o número de faces em função do número
de cubos dados.
Número de cubos enfileirados Número de faces expostas
1
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3
5
10
15
50 Tabela 1: Tabela de relação entre o número de cubos enfileirados e o número de faces expostas.
Depois de completada a tabela, os alunos deveriam expor sobre a seguinte
questão:
A partir de tal questão, gostaríamos de verificar se todos os grupos haviam
apreendido a regra discutida coletivamente e, em caso afirmativo, de que forma
eles expressariam tal regra: se utilizando a linguagem corrente ou a linguagem
simbólica, se fariam menção ao objeto indeterminado (número de cubos
enfileirados) e de que forma isso se daria, ou se recorreriam a um número
específico de cubos.
Nessa perspectiva, consideramos importante deixar os alunos à vontade
para expressarem suas descobertas e seus pensamentos, do modo que lhes seja
natural, sem que haja, ainda, a exigência de uma escrita simbólica. Dessa forma,
eles precisam organizar o raciocínio para externalizá-lo, sem ainda haver uma
preocupação com uma linguagem específica para tal.
Quando todos os grupos já haviam finalizado a atividade escrita,
aproveitamos os minutos restantes da aula para lançar mão da discussão sobre o
tipo de linguagem que estávamos utilizando para expressar nossas “descobertas”:
P: Pessoal, a gente tá escrevendo essas nossas descobertas sobre as sequências... nós
estamos escrevendo, usando a linguagem corrente... A gente tá escrevendo as descobertas,
sem usar uma linguagem matemática. Será que existiria um jeito de eu expressar esse
Escrevam abaixo o que vocês descobriram sobre o número de faces expostas de acordo com o número de cubinhos enfileirados.
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número de faces, de acordo com o número de cubinhos usando uma linguagem só
matemática? Porque a gente escreve: ‘multiplicando o número por 2 e adicionando 1 ao
resultado’. A gente escreve isso tudo por extenso. Será que tem um jeit. da gente usar a
linguagem matemática pra escrever isso?
A7: Eu não sei não...
A4: Posso escrever no quadro? Eu posso escrever no quadro?
P: Como seria possível isso?
A4: Posso escrever no quadro?
Depois de A4 pedir repetidas vezes, entregamos o pincel a ele, que disse
que iria usar um número “imaginário”, registrando o seguinte cálculo:
Os demais alunos acompanharam seus cálculos, ajudando-o. Destaquei
que o resultado encontrado seria o número de faces se tivéssemos 20 cubos
enfileirados e volto a perguntar:
P: E se for uma quantidade de cubos qualquer? Que eu não sei quanto. Como que eu vou
representar isso com a linguagem matemática?
A7: Aí é impossível!
A4: Se você tiver só o número de faces e... é... se você tiver o número de faces tem como...
É interessante notar que, até o momento, a solicitação de se escrever
matematicamente a regra encontrada para um número qualquer de cubos
enfileirados não fazia sentido para os alunos. Na verdade, tendo em vista que a
turma ainda estava dentro de um universo quase que estritamente aritmético,
faltava-lhe amadurecimento e instrumentos em seu vocabulário matemático para
responder a tal questão.
Em seguida, entramos na discussão de que, se tivéssemos o número de
faces expostas, poderíamos calcular a quantidade de cubinhos. Nesse sentido,
perguntamos:
P: Se temos 231 faces expostas, quantos cubos estão enfileirados?
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A partir de tal pergunta, os alunos
deveriam trabalhar com a ideia de equação do
primeiro grau, em que o objeto indeterminado
representa um valor específico e possível de ser
determinado. Em outras palavras, tal objeto agora
apresenta a ideia de incógnita e não mais de
variável. Nesse caso, esperávamos que a turma
utilizasse os conceitos das operações inversas,
conteúdo já trabalhado em outras situações.
Assim, de acordo com nossas expectativas, o aluno A4 vai ao quadro e
calcula:
Destacamos que o trabalho com esse tipo de questão, em que os alunos
lidam com a relação entre as operações entre outras coisas, também é importante
para o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos e é interessante de
ser trabalhada pelo professor de maneira explícita, não apenas como consequência
de uma discussão como ocorreu aqui. A questão da reversibilidade das operações
não é algo natural para os alunos e tem que ser abordada e trabalhada junto ao
professor.
Retomamos a discussão sobre como expressar a regra encontrada para
uma quantia qualquer de cubos enfileirados em uma linguagem matemática. Nosso
objetivo era que os alunos criassem uma linguagem simbólica (desenho ou
qualquer outro registro escrito diferente da linguagem corrente) para responder à
nossa pergunta.
Percebendo a dificuldade dos estudantes em entender o que eu estava
solicitando, fui ao quadro, escrevi a sentença “o número de cubos vezes dois mais
um” e expliquei-lhes que eu gostaria que eles escrevessem tal frase usando
apenas símbolos matemáticos. Nesse momento, A4 vai novamente ao quadro e
registra:
Curiosidade: De acordo com Usiskin (1995), as letras assumem
caráter diferente dependendo do contexto algébrico em que estão empregadas. Dessa forma, temos as
icógnitas, que é a letra que apresenta um valor único e possível de ser determinado. Temos também as variáveis, as quais representam um conjunto de
valores, dependendo do contexto que está sendo empregada.
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Figura 6: Registro do aluno A4 no quadro.
Observando o contexto em que o aluno A4 realizou tal registro,
concordamos que houve, na verdade, uma mudança de representação, em que tal
aluno tomou a sentença que eu havia escrito no quadro – “o número de cubos
vezes dois mais um” – utilizando a linguagem corrente, e a traduziu para uma
linguagem simbólica.
É interessante notar que foi solicitado à turma um registro utilizando apenas
símbolos matemáticos, que foi exatamente o que A4 realizou: utilizou a figura de
um cubo, objeto matemático já conhecido por ele, para representar o número de
cubos, os símbolos das operações de multiplicação e de adição e os números 2 e
1.
Nesse sentido, a fórmula simbólica apresentada pelo aluno está ligada ao
contexto da tarefa, visto que a variável (número de cubos enfileirados) foi
representada por um objeto (desenho de um cubo) relacionado à sequência
trabalhada. Em outras palavras, essa fórmula provavelmente ainda não apresenta
um sentido abstrato para a turma.
Vale destacar que, apesar de nosso esforço, não houve o aparecimento da
linguagem algébrica padrão (linguagem relacionada ao uso de letras) nas respostas
dos alunos. Tal fato vem reforçar a ideia de vários autores de que tal linguagem
não é algo que surge naturalmente nas soluções dos estudantes e sua introdução
depende da intervenção do professor.
Porém, por se tratar de algo artificial, no sentido de que a linguagem
algébrica não é aprendida espontâneamente pelos indivíduos como ocorre com a
linguagem falada, acreditamos que deve haver uma preocupação do professor no
momento de abordá-la junto aos alunos. Acreditamos que deve haver a construção
de um sentido, para que não ocorra, principalmente entre os iniciantes no estudo
da álgebra, um sentimento de inutilidade em sua utilização.
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A seguir, detalharemos mais uma tarefa aplicada à turma durante nosso
trabalho de campo, em que notamos um avanço da turma, principalmente no que
tange à construção de uma linguagem simbólica para expressão do pensamento
algébrico. Confira adiante!
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Tarefa II: Lembretes
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A tarefa em questão figurou-se como a quarta atividade trabalhada junto
aos alunos e envolvia a organização de um painel com lembretes confeccionados
pelos alunos, seguindo um padrão.
Figura 7: Exemplo de 3 lembretes no painel. Fonte: Barbosa,Vale e Palhares (2008).
Nosso principal objetivo era que os alunos percebessem uma regularidade
na quantidade de ímãs necessários para afixar um número dado de lembretes,
seguindo a disposição mostrada na figura acima, encontrassem uma regra geral
que relacionasse essas duas grandezas – o número de ímãs e a quantidade de
bilhetes afixados –, e, por fim, observar de que forma eles expressariam essa regra
geral encontrada.
Ao iniciar a tarefa, comentamos que gostaríamos que cada aluno
confeccionasse seus lembretes e tivesse seu próprio painel de metal para afixá-los.
Porém, como não tinha sido possível disponibilizar um painel para cada aluno,
usaríamos folhas de papel A4 e colas em alto relevo coloridas. Dessa forma, cada
folha de papel A4 representaria um painel e os pingos de cola coloridas, formando
pontos sobre os lembretes, representariam os ímãs.
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A execução da tarefa foi similar à da tarefa anteriror: ir acrescentando um
lembrete de cada vez, para observarmos o número de imãs necessários (pingos de
cola) para afixá-los.
Nesse sentido, mostrando a eles uma folha com um lembrete afixado,
conforme mostra a figura 8, comentamos:
P: O meu primeiro lembrete, olha só... Meu lembrete de terça-feira, eu coloquei que eu
queria fazer o que? A atividade do 6º dos lembretes com vocês! Esse era o meu primeiro
lembrete.
Figura 8: Exemplo de um lembrete afixado no painel.
Em seguida, perguntamos a eles quantos pingos de cola (ímãs) haviam sido
necessários para afixar esse primeiro lembrete. Os alunos A7 e A12 rapidamente
apresentaram a resposta correta e, antes que terminássemos de perguntar o
número de ímãs que seriam necessários para afixar o segundo lembrete, os alunos
A10 e A11 deram seus palpites:
A10: 8!
A11: 8!
Os alunos A10 e A11 parecem já imaginar o que seria explorado em tal
tarefa. A resposta apresentada por eles corresponde ao número de pingos de cola
que utilizaríamos, caso adicionássemos o segundo lembrete à situação
apresentada na figura 8, visto que um pingo de cola não poderia ser removido do
painel para em seguida ser recolocado, como no caso de um ímã.
Dessa maneira, no caso de um painel real, se tivéssemos o primeiro
lembrete afixado e quiséssemos adicionar o segundo, poderíamos aproveitar um
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dos ímãs que já estava auxiliando na afixação do primeiro lembrete para afixar uma
das pontas do segundo lembrete. Em outras palavras, um mesmo ímã serviria para
afixar, ao mesmo tempo, as pontas de dois lembretes distintos, conforme
destacado na figura abaixo:
Figura 9: Ímãs comuns a mais de um lembrete.
Dessa forma, destacamos, desde já, que o material utilizado para o
desenvolvimento dessa proposta, de forma mais específica, os pingos de cola
colorida fazendo papel dos ímãs, não representou de maneira fiel a situação real e
pode ter dificultado a percepção do padrão pelos alunos.
Assim, não podemos considerar que as respostas proferidas pelos alunos
A10 e A11, no diálogo acima, estavam incorretas. Na verdade, a forma como foi
confeccionado o lembrete apresentado em sala levou-os à conclusão de que seria
necessário um total de oitos pingos de cola para afixar dois lembretes no mural.
Apesar desse impasse, ao apresentar para a turma a segunda imagem, em
que havia dois lembretes afixados, os alunos A14 e A17 compreenderam a ideia
dos pingos de cola apenas como representação dos ímãs:
A12: Ah não, são 6!
A17: São 7.
A14: São 7, tá certo
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Os alunos A17 e A14 proferiram tais falas entre eles em tom baixo. Nós
prosseguimos:
P: De quantos pinguinhos de cola eu precisaria? (Para o caso de dois lembretes afixados)
A10 e A14: 7!
P: 1, 2, 3... 4, 5, 6... 7!
Enquanto eu contava, com a aluna A7 acompanhando-me, fui apontando
com o dedo indicador para cada um dos pontinhos correspondentes em um gesto
rítmico que seguiu a sequência das setas e da numeração apresentadas na figura
abaixo:
Figura 10: Esquema representativo dos gestos durante contagem dos pontinhos de cola necessários para afixar 2
lembretes.
A partir dos gestos, do ritmo e entonação de voz durante a contagem, nossa
intuito foi sugerir a regularidade em que percebemos que para afixar cada lembrete
precisamos de 3 imãs, mais 1 último imã para prender a ponta - que na figura 10
está indicada com o número 7 – do último lembrete afixado.
É importante que nós professores mostremos formas avançadas e
organizadas de raciocínio sobre as figuras que temos, de modo a auxiliar os alunos
a desenvolver a domesticação do olhar, para que eles comecem a perceber que
alguns atributos dos termos da sequência são interessados de serem
considerados.
Para que não restassem dúvidas quanto ao número de imãs, esclarecemos
por que não são 8 imãs:
P: Eu não preciso colar a pontinha aqui de baixo... (apontando para a ponta do primeiro
lembrete que fica escondida de baixo do segundo) ... do rosa... (o primeiro lembrete do
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exemplo era feito com papel cor de rosa)... concordam? Basta eu colar o amarelinho (o
segundo lembrete era feito com papel amarelo) aqui (apontando para a ponta do segundo
lembrete que está sobre a ponta do primeiro lembrete), né? Então pra cada lembretizinho, eu
coloco 3 pinguinhos de cola e como eu não quero essa pontinha final aqui solta (mostrando
a ponta que está indicada com o número 7 na figura 10), eu ponho um pinguinho de cola
aqui também! Então, pra 2 lembretes eu gastei 7 pinguinhos de cola.
Em seguida, ao sugerir que fosse acrescentado o terceiro lembrete, antes
que eu mostrasse a situação concreta para a turma – uma folha representando os
três lembretes afixados –, os alunos A10, A14 e A6 falaram corretamente quantos
ímãs – 10 ímãs – seriam necessários para afixar três lembretes, e A10 e A14
explicaram:
A10: Porque 7 menos 1 mais 4!
A14: Porque 6 mais 4 é 10!
Essas duas falas revelam a forma como está sendo percebida a formação
da sequência de ímãs pelos alunos A10 e A14. Além disso, elas estão ligadas ao
contexto e à forma como a discussão sobre a tarefa estava sendo conduzida, visto
que, durante nossos diálogos, tentei deixar claro que, ao acrescentar um novo
lembrete, um dos ímãs que auxiliava na afixação do último lembrete que já estava
no painel poderia ser recolocado, de modo a auxiliar na afixação de uma das
pontas do novo lembrete a ser adicionado – ideia da figura 9.
Nesse sentido, entendemos que a resposta do aluno A10 apresenta a forma
como ele percebeu e visualizou a sequência de ímãs sendo formada, de acordo
com sua disposição espacial no mural e nos lembretes. Desse modo, para
apresentar a resposta, primeiramente ele visualiza os dois primeiros lembretes com
os 7 ímãs necessários para afixá-los. Em seguida, ele retira o ímã que seria
tampado, ao ser adicionado o terceiro lembrete (por isso, em suas respostas, a
operação “7 menos 1”). E, por último, ele imagina o terceiro lembrete já afixado no
painel, juntamente com os dois primeiros, no qual são utilizados 4 ímãs (por isso,
depois da operação “7 menos 1”, ele coloca o “mais 4”).
Já a fala do aluno A14 indica que ele considerou os três lembretes no painel
simultaneamente, visto que sua resposta é um pouco mais direta que a
apresentada pelo aluno A10 e sugere que deve ser efetuada a soma dos 6 ímãs
dos dois primeiros lembretes com os 4 ímãs necessários para afixar o terceiro
lembrete.
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Porém, apesar de visualizar os três lembretes simultaneamente no painel,
para contabilizar o total de ímãs nessa situação, ele teve uma percepção
diferenciada para os dois primeiros lembretes, de forma a considerar a
numerosidade e a disposição espacial dos ímãs – em cada um desses dois
lembretes temos 3 ímãs dispostos de maneira semelhante, conforme apresentado
na figura abaixo:
Figura 11: Disposição dos ímãs nos dois primeiros lembretes antes de adicionar o terceiro lembrete.
Dessa forma, depois de considerar os dois primeiros lembretes – 6 ímãs –
ele preocupou-se com o terceiro, no qual havia 4 ímãs. Daí seu argumento de se
ter que somar 6 com 4 para encontrar a solução da questão proposta.
Nesse sentido, a partir de sua reposta, consideramos que o aluno A14
apreendeu uma regularidade na sequência, ligada à ideia de que para afixar cada
lembrete no painel são necessários três ímãs, com exceção do último lembrete da
sequência, no qual haverá quatro ímãs.
É interessante perceber a forma como estava sendo organizada a
percepção da sequência pelos alunos. Eles já estavam domesticando o olhar, no
sentido de não focar apenas a numerosidade e tirar proveito da disposição espacial
dos elementos da sequência para encontrar uma resposta.
Ressaltamos que o professor deve ouvir e tentar compreender, da melhor
maneira possível, todas as repostas apresentadas pelos alunos. É entendendo
suas dúvidas e dificuldades que poderemos desenvolver estratégias para ajudá-los.
Nessa perspectiva, não ignoramos nenhuma das respostas, concordando com
ambas.
Em seguida, encerramos a discussão dizendo aos alunos que seriam eles
que iriam fazer um ‘painel’ com 4 lembretes afixados. Diferentemente da tarefa
anterior, preferimos não continuar a explanação e não comentar sobre a
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regularidade envolvida nessa sequência, a fim de que os próprios alunos
chegassem às conclusões desejadas.
Dessa forma, entreguei à turma material para que cada um deles fizesse
esse trabalho. Cada estudante recebeu uma folha de papel A4 colorida – os alunos
escolheram entre a cor amarela, azul, branca ou cor-de-rosa -, 4 pedaços de papel,
também coloridos, cortados na forma de retângulo para escreverem os lembretes e
tubos de colas coloridas para fazerem os pontinhos simulando os imãs em cada um
dos lembretes.
Todos adoraram a ideia de confeccionar seus próprios lembretes e ficaram
muito empolgados. Entretanto, inicialmente, eles não sabiam o que escrever. Eu
disse a eles para escreverem qualquer coisa que quisessem se lembrar nos
próximos dias e expliquei que era importante que pensassem na relação entre o
número de pinguinhos de cola e a quantidade de lembretes que desejamos afixar,
para que, no dia seguinte, eles pudessem responder à atividade escrita.
Porém, durante a tarefa, a preocupação dos estudantes ficou voltada para a
questão estética dos ‘murais’. Eles quiseram produzir trabalhos bonitos e
enfeitados, o que acabou por prejudicar uma das principais características da
sequência de lembretes afixados, a saber a disposição destes e dos imãs –
pinguinhos de cola - no ‘mural’. Como exemplo, citamos os trabalhos do aluno
A10, que colocou vários pinguinhos de cola em volta de cada lembrete, e da aluna
A2, que contornou os lembretes com um risco de cola, deixando os pontinhos
pouco definidos. Veja abaixo a produção dos alunos A10 e A2:
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Figura 12: Sequência de lembretes do aluno A10.
Figura 13: Sequência de lembretes da aluna A2.
Conversamos com ambos os alunos sobre essa questão. O aluno A10
argumentou que os pontinhos que representavam os imãs eram os vermelhos e os
demais eram verdes. A aluna A2 comentou que, mesmo sem os pontinhos
definidos, ela sabia onde eles estavam e me mostrou, corretamente, contando e
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apontando para o seu trabalho os pontos em que os imãs deveriam estar em cada
um dos lembretes.
Nesse caso, foi importante o questionamento da professora pesquisadora
acerca do trabalho produzido pelos alunos. Ressaltamos que a escolha do material
para a produção dos lembretes não foi o mais adequado e acabou por gerar vários
problemas e por se configurar como possível fonte de confusão para a
compreensão da sequência pelos alunos.
Dessa maneira, destacamos a importância de planejar e refletir sobre cada
atividade, antes que ela seja abordada em sala de aula.
Depois de produzirem os lembretes, os alunos receberam uma tarefa
escrita, em que deveriam responder às duas questões abaixo:
Apresentaremos as respostas de alguns alunos, as quais foram escolhidas
com o intuito de mostrar as regras encontradas, a forma como eles expressaram tal
regra em cada uma das questões e o modo como a representação simbólica
construída por eles está em conexão com o contexto da tarefa.
Vejamos, como exemplo, as respostas apresentadas por algumas das
duplas:
Questão 1) Seguindo a mesma lógica observada em nossa discussão, escrevam, da forma que vocês preferirem, como podemos calcular o número de ímãs necessários
para afixar um número qualquer de lembretes no mural.
Questão 2) Se fosse pedido a vocês para representar a descoberta do item anterior utilizando apenas linguagem simbólica (símbolos e operações matemáticas), de que
modo vocês o fariam?
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Grupos Resposta apresentada à
questão 1
Resposta apresentada à questão 2
Dupla 1 “Diminuímos 1 ao
número de
lembretes,
multiplicamos por 3
e somamos 4, e
dará o resultado”
Dupla 2 Nós multiplicamos
o número de
lembretes vezes 3 +
1”
Dupla 3 “Você coloca o
número de
lembretes vezes 3
pontinhos que cada
um tem e mais um
no último”
Dupla 4 “As regras são as
mesmas dos
exercícios
anteriores ex:
exercícios dos
cubos e etc, que é
botar 4 e tirar 1”
Tabela 2: Respostas das duplas à tarefa II escrita.
A partir das respostas acima, percebemos que durante o trabalho em sala
de aula, cada grupo e, mais especificamente cada aluno, passa por um processo
de percepção da sequência, no qual o envolvimento com a tarefa e a compreensão
de um padrão constituíram-se em importantes bases responder principalmente à
primeira questão.
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Em vista disso, a regra encontrada pela dupla 1 foi diferente da regra
encontrada pelas duplas 2 e 3. Nesse sentido, de acordo com a dupla 1, para
encontrarmos o número de ímãs necessários para afixar uma quantidade qualquer
de lembretes devemos tomar o número de lembretes, subtrair 1, multiplicar o
resultado por 3 e depois adicionar 4, visto que para afixar os lembretes são
necessários 3 ímãs, com exceção do último lembrete, para o qual precisamos de 4
ímãs.
Já as duplas 2 e 3 apresentaram a regra em que devemos tomar o número
de lembretes, multiplicar por 3 e ao resultado somar 1, visto que em todos os
lembretes afixados temos sempre 3 ímãs e, além disso, no último lembrete temos 1
ímã a mais.
Dessa forma, entendemos que a dupla 1, para perceber uma regularidade,
considerou de maneira separada o último lembrete da sequência, que tem 4 ímãs,
dos demais que têm 3 ímãs. Já as duplas 2 e 3 perceberam um traço comum em
todos os lembretes, considerando-os simultaneamente.
Quanto ao desenvolvimento de tais duplas na questão 2, não percebemos,
em nenhuma das três respostas, o uso da linguagem algébrica padrão para
representar a descoberta apresentada na questão 1.
Assim como na primeira questão os alunos recorreram à linguagem escrita
corrente para expor sua descoberta, na questão 2 eles continuaram a lançar mão
de recursos – desenhos, operações matemáticas e números –, com os quais eles
já tinham familiaridade e surgiram naturalmente durante a realização da tarefa.
Em vista disso, destacamos novamente a ideia de que a linguagem
algébrica simbólica padrão não é algo construído naturalmente pelos estudantes.
Pelo contrário, a passagem das respostas escritas na linguagem corrente para a
linguagem algébrica padrão não é algo trivial. Constitui uma mudança significativa e
complicada na forma de designação dos objetos indeterminados do discurso, pois o
que antes poderia ser expresso com o auxílio de termos que surgiram
espontaneamente no contexto da tarefa – no caso, o termo utilizado pelos alunos
foi “número de lembretes” –, agora teria que ser substituído por letras com ideia de
variáveis.
Diante dessa perspectiva, ressaltamos nas respostas dos alunos a
dificuldade de expressar simbolicamente a indeterminação – número qualquer de
lembretes.
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De forma mais clara, as duplas 1 e 3, para representar suas descobertas já
escritas na questão 1, recorreram a exemplos de valores específicos de lembretes.
No caso da dupla 1, foi feito o cálculo do número de ímãs necessários para afixar 5
lembretes no mural, visto que os alunos tomaram 4 lembretes (representados por
desenhos), multiplicaram por 3, encontrando 12 como resposta, e a esse produto
somaram 4 ímãs (também representados por desenhos), encontrando o resultado
final igual a 16.
Destacamos na resposta de tal dupla a incorreção da escrita contínua, em
que as alunas apresentaram a ideia de que 4 x 3 = 12 + 4 = 16, levando-nos ao
raciocínio de que se 4 x 3 é igual a 12 + 4 e 12 + 4 é igual a 16, então 4 x 3 = 16.
Nesse caso, chamamos atenção para o papel do professor que em sala de aula,
muitas vezes, aborda o sinal de igualdade apenas como um “comando” para se
encontrar um resultado, ignorando ou desconhecendo o fato de que tal símbolo
representa também uma relação de equivalência entre os membros relacionados.
A dupla 3 recorreu ao exemplo de 20 lembretes afixados no painel.
Destacamos que, mesmo quando os alunos de tal dupla tentaram expressar sua
regra apenas usando desenhos, eles não deixaram de atribuir um valor específico
ao que na figura eles estavam considerando o número de lembretes (atribuíram o
valor de 20 lembretes). Mas é interessante notar como eles utilizaram os desenhos
e as operações matemáticas para traduzir de maneira fiel a regra apresentada na
questão 1. Na figura abaixo tentamos mostrar essa tradução:
Figura 14: Relação entre as respostas da dupla 5 às questões 1 e 2 da tarefa IV.
Já a resposta apresentada pela dupla 2 foi a única que não esteve
vinculada a um número específico de lembretes. Os alunos dessa dupla
representaram o objeto indeterminado (número de lembretes) a partir da imagem
abaixo:
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Figura 15: Imagem utilizada pela dupla 2 para representar o número de lembretes, na questão 2.
Novamente, destacamos que tal registro é uma tradução fiel do termo
“número de lembretes”, escrito na linguagem corrente, para um recurso que mistura
a abreviação de uma palavra (letra), forma (seta) e desenho.
Quanto à dupla 4, Na resposta da questão 1, percebemos que a dupla,
primeiramente, fez uma analogia da tarefa que estava sendo trabalhada com as
tarefas anteriores e, em seguida, expressou a regularidade da sequência de
número de ímãs a partir da expressão “botar 4 e tirar 1”. Em outras palavras, com
essa expressão, a dupla quis mostrar que a cada novo lembrete acrescentado
devemos adicionar 4 ímãs – nesse novo lembrete – e retirar 1 correspondente
àquele da ponta do último lembrete da sequência que seria escondida.
Em sua resposta à questão 2, a dupla mostra, com um desenho, o que
significa a expressão “botar 4 e tirar 1”. Novamente, percebemos uma tradução do
que foi desenvolvido na questão 1 para um desenho na questão 2, a partir de um
exemplo com dois lembretes no painel.
Nesse desenho, os alunos assinalaram com um “X” o ímã que seria retirado
da ponta do lembrete que seria tampado e, ao lado, escreveram a operação a ser
realizada para se descobrir o número de ímãs necessários para afixar os dois
lembretes no painel.
Mais uma vez, chamamos a atenção para a incorreção da escrita (4 + 4 = 8
– 1 = 7), pois, para uma mesma sentença matemática, os alunos utilizaram dois
sinais de igualdade para representar operações/resultados que não são
equivalentes.
Consideramos interessante abordar essas respostas para mostrar a vocês
como é delicada para os alunos iniciantes no estudo da álgebra a questão de ter
que lidar com o objeto indeterminado e com a escrita simbólica. Para eles, é difícil a
ideia de compactar algo que não assume um único valor (no caso, o número de
lembretes que é variável) com a utilização de um símbolo. Quando tratamos do uso
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das letras, a situação é ainda pior, visto que, como já foi dito, o uso de letras na
matemática não é algo que surge naturalmente no desenvolvimento das tarefas
pelos alunos.
Portanto, destacamos o cuidado que nós professores devemos ter na
introdução das letras no estudo matemática em alunos que não tem experiência
com a linguagem algébrica. Acreditamos que as letras devem ser introduzidas em
contextos que façam sentido para os alunos, como no caso das tarefas citadas, e
que os possibilite o desenvolvimento da noção de variável e incógnita.
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Tarefa III: Caminhada no Pátio!
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Decidimos apresentar tal tarefa, que foi a sexta desenvolvida durante a
proposta, por dois motivos. Primeiro, pelo fato de ela apresentar natureza diferente
das demais, visto que não tínhamos uma sequência de figuras em que a
característica geométrica ou disposição física dos termos poderia ser um
importante aliado na descoberta da regularidade e elaboração de uma fórmula.
Segundo, por tratar-se do estudo de uma sequência que foi construída a partir de
experiências dos próprios alunos e que eles adoraram realizar.
Nesse sentido, os estudantes foram convidados a ir até o pátio do colégio
para caminhar durante um minuto, contando o número de passos dados durante
esse tempo. Em seguida, supondo que continuassem a andar no mesmo ritmo,
eles deveriam cumprir a tarefa escrita que contou com uma tabela em que
relacionamos o tempo de caminhada e o número de passos. Além disso, algumas
perguntas foram elaboradas com o intuito de que os alunos escrevessem uma
expressão simbólica, representando o número de passos em função do tempo de
caminhada.
A tarefa escrita contou com as seguintes questões:
Caminhada no pátio!
Vamos fazer uma atividade prática. Vá até o pátio do colégio e caminhe durante 1 minuto contando o número de passos que você dará durante esse tempo. Em seguida, supondo que você continuasse a andar no mesmo ritmo, complete a tabela com o número de passos que você daria à medida que o tempo passasse.
Tempo (min) 1 2 3 4 ...
Número de
Passos
a) Quantos passos você dará se caminhar 10 min sem mudar o ritmo? Explique como você
descobriu.
b) E 25 minutos? Explique como você descobriu.
c) E 1 hora? Explique como você descobriu.
d) Dessa forma, sabendo o número de minutos de caminhada, como você faz para descobrir
o número de passos?
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De modo geral, os alunos não apresentaram dificuldades em completar a
tabela e em responder da questão “a” à “c”. Porém, a questão “d” gerou inquietação
na turma que não entendeu o que estava sendo pedido.
Dessa forma, foi necessária a nossa intervenção:
P: Cada um aí sabe o número de passos que deu em 1 minuto.
A12: Sim!
P: Se eu peço para vocês calcularem o número de passos que vocês vão dar em um número
qualquer de minutos... em um tempo qualquer, como vocês vão fazer para calcular o
número de passos?
A12: Uai...
P: Ó! Quando eu perguntei quantos passos vocês deram em 10 minutos, o que que vocês
fizeram?
A12: A conta.
P: Qual conta?
A6: Multiplicando os nossos passos de 1 minuto por 10!
A12: A multiplicação... aí depois nós tínhamos que fazer divisão?
P: Pegou o número de passos e multiplicou por... 10! Quando eu perguntei em 25 minutos,
vocês pegaram o tempo e multiplicaram pelo número de passos. Não foi isso? Uma hora
também foi. Pegou o número de minutos e multiplicou pelo número de passos. Então, para
descobrir o número de passos, o que a gente sempre está fazendo?
(...)
A14: Pega o seu número de passos e multiplica vezes a quantia de minutos...
A partir de suas respostas, verificamos que os alunos, para manifestar suas
descobertas, recorreram aos meios semióticos que surgem naturalmente do
desenvolvimento da tarefa ou que são espontâneos e de fácil entendimento, como,
no caso, a linguagem corrente. Mais uma vez, destacamos a não naturalidade no
surgimento da linguagem simbólica ou algébrica padrão.
Notamos que a turma voltou a mostrar dificuldade no entendimento da
questão que envolvia a ideia de expressar uma regra geral e válida para qualquer
termo da sequência em questão, no caso para o cálculo do número de passos em
função do tempo de caminhada. Essa dificuldade não vinha sendo manifestada
desde a terceira tarefa do projeto. Em vista disso, entendemos que um possível
motivo para sua ocorrência pode ter sido a diferença entre essa tarefa e as demais,
comentada anteriormente.
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Mesmo aqueles alunos que já vinham apresentando avanço considerável no
trabalho com sequências que tinham fortes componentes de visualização, não
mostraram uma continuidade de desenvolvimento.
Dessa forma, ressaltamos a importância de se trabalhar com diversos tipos
de situações envolvendo padrões, pois notamos que o desenvolvimento da turma
em tarefas envolvendo sequências com importantes características geométricas e
de disposição espacial não implicou em dar continuidade ao progresso dos alunos
no desenvolvimento e manifestação das generalizações e do pensamento algébrico
em uma sequência que não contava com componentes de visualização.
Adiante, apresentamos algumas considerações acerca dos resultados
obtido em nosso trabalho e pequenas recomendações para aqueles que gostaram
da proposta e desejam realizar, com suas turmas, atividades similares.
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A título de conclusão
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A álgebra representa para o aluno um importante suporte conceitual para os
demais conteúdos que ele estudará em sua vida acadêmica. No entanto, propiciar
o desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébricos em alunos do 6º ano
do Ensino Fundamental não foi uma tarefa fácil.
A análise do processo desenvolvido com a turma evidenciou que o tipo de
tarefa abordada – sequências e padrões - foi adequada e interessante, contribuindo
para a percepção do objeto indeterminado e sua representação simbólica por parte
dos alunos.
Avaliamos ainda que houve uma contribuição para que os alunos
explorassem diversos meios de representação das descobertas realizadas acerca
das sequências trabalhadas em cada tarefa. Diversos recursos – fala, gestos,
registros escritos – foram utilizados na manifestação do pensamento algébrico e os
alunos transitaram entre eles, tendo a oportunidade de fazer ligação entre os
diferentes modos de se representar uma fórmula.
Dessa forma, ressaltamos a possibilidade do desenvolvimento do
pensamento algébrico antes do 7º ano do Ensino Fundamental e independente do
conhecimento da linguagem algébrica formal por parte da turma.
Destacamos a importância de se trabalhar com diferentes tipos de
sequência, em busca da exploração de diversos tipos de situações que envolvem
padrões e generalizações. Porém, não se trata apenas de abordar sequências de
diferentes naturezas. Devemos estar atentos para que possamos explorar ao
máximo a sequência trabalhada.
Dessa forma, o trabalho com sequências e padrões não está restrito apenas
ao desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébricos em alunos do 6º
ano, no âmbito da percepção de regularidades e realização de padrões. Ele
também pode ser abordado para o estudo e análise de estruturas algébricas,
resolução de problemos, no estudo de equações e funções, entre outros.
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Nesse sentido, as tarefa podem ser reorganizadas, tanto em sua estrutura,
quanto à dinâmica em sala de aula, de acordo com o perfil e anseios do
professor(a) que irá adotá-las e de seus alunos.
Por fim, acreditamos que um embasamento teórico sempre vem a
enriquecer a nossa prática. Nessa perspectiva, àqueles que gostaram de nossa
proposta e desejam aprofundar um pouco mais no estudo sobre ensino e
aprendizagem da Álgebra, recomendamos a leitura dos artigos organizados no
livros “As ideias da Álgebra”, o qual apresenta diversas atividades aplicadas a
diferentes níveis de ensino, Fiorentini, Miorim e Miguel (1992, 1993), artigos
relacionados à história da Educação Algébrica e ensino da Álgebra na escola
básica, e a revista Educação e Matemática (2005), que apresenta vários estudos
sobre o ensino da Álgebra de diversos níveis. Todos esses trabalhos citados
encontram-se em nossa referências bibliográficas.
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Referências
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COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Albert P. As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.
BARBOSA, A; VALE, I.; PALHARES, P. (2008). A resolução de problemas e a generalização de padrões: estratégias e dificuldades emergentes. En Luengo, Ricardo; Gómez, Bernardo; Camacho, Matías; Blanco, Lorenzo (Eds.), Investigación en educación matemática XII (pp. 477-494). Badajoz: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM. EDUCAÇÃO E MATEMÁTICA. Revista da Associação de Professores de Matemática. Lisboa: Editorial: N1m3r0s para todos, n. 85, novembro/dezembro, 2005. FIORENTINI, D. (docente), 2005. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. CIBEM, V – Congresso Íbero Americano de Educação Matemática: CIBEM, V – Congresso Íbero Americano de Educação Matemática, 1, Porto, p. inicial 1, p. final 13, Meio Digital. FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Álgebra ou Geometria: para onde Pende o Pêndulo? Pro-Posições, v. 3, no 1[7], p. 39-53, março de 1992. FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Contribuições para um Repensar... a Educação Algébrica Elementar. Pro-Posições, v. 4, no 1[10], p. 78-91, março de 1993. RADFORD, L. (2009). Signs, gestures, meanings: Algebraic thinking from a cultural semiotic perspective. Plenary Lecture presented at the Sixth Conference of European Research em Mathematics Education (CERME 6). Université Claude Bernard, Lyon, France, January 28-February 1, 2009. RADFORD, L. (2010a). Layers of generality and types of generalization in pattern activities. PNA, 4(2), 37 – 62. RADFORD, L. (2010b). The eye as a theoretician: seeing structures in generalizing activities. For the Learning of Mathematics, 30(2), 2-7.
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RADFORD, L. (2011). Grade 2 students’ non-symbolic algebraic thiking. In J. Cai & E. Knuth (Eds.), Early Algebraization. Berlin: Springer-Verlag.
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Este trabalho foi composto na fonte Myriad Pro e Ottawa. Impresso na Coordenadoria de Imprensa e Editora | CIED
Da Universidade Federal de Ouro Preto, em mês de ano
sobre papel 100% reciclato (miolo) 90g/m2 e (capa) 300 g/m
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