DINÂMICA DO PONTO MATERIAL

1.0 Conceitos Forças se comportam como vetores. Forças de Contato: Representam o resultado do contato físico entre dois corpos. Forças de Campo: Representam as forças que agem através do espaço vazio. Referencial Newtoniano: Os eixos de uma grandeza devem ter uma orientação constante em relação às estrelas e sua origem deve estar fixa no Sol ou deslocar-se com velocidade constante em relação a ele. Massa: Propriedade intrínseca de um corpo, independentemente do ambiente ao redor do corpo e do método utilizado para medi-la. Também é uma grandeza escalar. Princípio de Transmissibilidade: As condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo permanecerão inalteradas se uma força que atura num dado ponto do corpo rígido for substituída por outra de mesma intensidade, direção e sentido, mas que atua num ponto diferente, desde que as 2 forças tenham a mesma linha de ação. Lei Áurea da Mecânica: O que se ganha em força, perde-se em distância, ou seja, mesmo com a aplicação de uma máquina simples para alterar a força, o trabalho será mantido com uma alteração proporcional na distância.

2.0 Leis de Newton

2.1 Primeira Lei de Newton Explica o que acontece com o corpo quando não existe uma força agindo sobre ele. Na ausência de forças externas, um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movimento permanece em movimento com velocidade constante. Em termos mais simples, quando não agem forças sobre um corpo, sua aceleração é nula. Lei da Inércia: A natureza de um corpo é de resistir a mudanças em seu movimento. Fundamentação da Segunda Lei de Newton: A velocidade não muda se nenhuma força age sobre um corpo; logo, se a força age, ocorre mudança de movimento, medida pela aceleração. Portanto:

OBS.: A primeira lei de Newton não diz o que acontece com um corpo com força resultante nula, e sim, com ausência de força. Logo, a força não é aquilo que produz o movimento, e sim, o que causa mudança neste.

2.2 Segunda Lei de Newton

Explica o que acontece com o corpo quando existe uma força agindo sobre ele. Força Resultante: Soma vetorial de todas as forças externas (forças internas não são incluídas!) agindo sobre um corpo. 2.2.1 Aceleração e Massa Constante Um ponto material submetido a uma força não nula adquire uma aceleração com módulo proporcional ao módulo da força e na mesma direção e sentido desta. O valor constante para a relação entre os módulos das forças e acelerações é chamado de massa do ponto material m.

Unidade da força: Newton (kg.m/s²) Comprovação da Primeira Lei de Newton: Se a força resultante que atua sobre o ponto material for zero, a aceleração do ponto material também é zero. Logo, se o ponto material estiver inicialmente em repouso (v0 = 0) em relação a um certo sistema de referência newtoniano, ele permanecerá em repouso (v = 0); se o ponto material estiver inicialmente com velocidade v0, continuará a se mover com velocidade constante v0, numa mesma linha reta. 2.2.2 Equilíbrio Dinâmico Rearranjando os termos da equação da força com aceleração constante, temos:

O vetor –ma é chamado de vetor de inércia. O ponto material pode ser considerado em equilíbrio sob a ação das forças dadas e do vetor de inércia. O vetor de inércia mede a resistência oferecida pelos pontos materiais quando tentamos colocá-las em movimento ou quando tentamos mudar as condições de seus movimentos. Massa Inercial: medida de resistência de um corpo a uma mudança no movimento em resposta a uma força externa. 2.2.3 Força e Quantidade de Movimento Substituindo a aceleração pela derivada dv/dt, temos:

Como a massa é considerada constante, ela pode “entrar” na derivada sem qualquer alteração:

A equação mostra que a resultante das forças que atuam num ponto material é igual à derivada temporal (em relação ao tempo) da quantidade de movimento desse ponto. Este foi o enunciado original de Newton:

Princípio de Conservação da Quantidade de Movimento para um ponto material: Se a força resultante do ponto material é zero, a quantidade de movimento do ponto material permanece constante, tanto em módulo quanto em direção e sentido. 2.2.4 Resumo de casos: Aceleração e massa constante:

Velocidade constante:

Caso geral: Velocidade e massa variam:

2.2.5 Força Gravitacional A força exercida pela Terra sobre um corpo é a força gravitacional Fg, que é direcionada par ao centro da Terra. Seu módulo é chamado de peso do corpo:

A massa m agora faz um papel de determinar a intensidade da atração gravitacional entre o corpo e a Terra. Logo, m é chamado de massa gravitacional. Por conclusões experimentais na dinâmica newtoniana, diz-se que a massa inercial e a massa gravitacional têm o mesmo valor.

2.3 Terceira Lei de Newton

Se dois corpos se interagem, a força F1 exercida pelo corpo 1 sobre o corpo 2 é igual em módulo, mas oposta em direção à força F2 exercida pelo corpo 2 sobre o corpo 1.

Força F1 que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2: Força de ação. Força F2 que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1: Força de reação. A força de ação é igual à força de reação em módulo, agem sobre corpos diferentes, e são do mesmo tipo. Forças são sempre interações entre dois corpos, ou seja, ela sempre ocorre em pares, e uma força única isolada não existe. Força Normal n: Força originária da superfície, sempre perpendicular a esta. Portanto, ela não é uma reação da força gravitacional, até porque estas duas forças são exercidas sobre corpos iguais.

3.0 Torque O torque é definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto que é efetivamente utilizada para fazer ele girar em torno de um eixo ou ponto central, conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância d do ponto pivô ao ponto onde atua uma força F é chamada braço do momento. Sua unidade é N.m. Simplificando, torque é uma grandeza vetorial que tende a rodar ou virar objetos. O torque é definido pela relação:

Pela Segunda Lei de Newton, L’ = F e, considerando a distância do pivô constante, temos:

Fazendo o módulo do produto vetorial, temos:

Sendo θ o ângulo entre o braço do momento e a força aplicada.

4.0 Centro de Massa O centro de massa de um objeto qualquer é na verdade uma posição definida matematicamente. Esta posição pode ser encontrada a partir da massa do objeto e da atuação de uma força externa resultante sobre ele. Podemos pensar no centro de massa de um corpo qualquer como sendo um ponto que se comporta como se simplesmente toda a massa do corpo estivesse concentrada nele. Considere um sistema de coordenadas com origem em O e um corpo qualquer feito de muitas partes menores cuja massa total é M. A posição de uma das partes em relação a O é dada pelo vetor ri e sua massa é mi, onde i representa o índice que define a partícula. A força resultante é definida por:

O torque produzido pela gravidade em cada ponto é:

O toque produzido pela força resultante é:

Igualando os torques, temos:

Decompondo R, temos:

Para corpos de massas simétricas, o centro de gravidade de uma figura estará localizado sobre os eixos de simetria de um corpo, ou seja, no cruzamento ou interseção dos eixos de simetria. Elipse e Circunferência: CG = Centro. Quadriláteros:

Triângulo Equilátero:

Triângulo Isósceles:

Triângulo Retângulo:

OBS.: Considerando um triângulo retângulo na posição como o da figura abaixo:

5.0 Aplicações Quando um corpo está sendo puxado por uma corda ou fio ligado a ele, a corda exerce uma força sobre o corpo. O módulo dessa força é chamado de tensão na corda, tendo sua direção ao longo da corda, afastando-se do corpo. Partícula em Equilíbrio Translacional: Estão em equilíbrio translacional os corpos que estão em repouso ou em movimento com velocidade constante, logo:

Partícula em Equilíbrio Rotacional: Estão em equilíbrio rotacional os corpos que possuírem um torque nulo:

Partícula Acelerada: A força resultante não é nula e está agindo sobre, um corpo, logo este acelera.

5.1 Máquina Simples

Toda máquina simples é um dispositivo, tecnicamente uma única peça, capaz de alterar uma força (seja em intensidade e/ou direção e/ou sentido) com o intuito de ajudar o homem a cumprir uma determinada tarefa com um mínimo de esforço muscular. De modo geral, o objetivo da máquina é multiplicar a intensidade de uma força. 5.1.1 Vantagem Mecânica A vantagem mecânica (VM) de uma máquina simples traduz a 'economia' de força proporcionada pela máquina, isto é, o número pela qual a força aplicada pelo operador está sendo multiplicada. Sendo F a intensidade da força aplicada pelo operador e R a intensidade da força transmitida pela máquina à carga, temos:

Obedecendo à Lei Áurea da Mecânica, a vantagem mecânica pode ser expressa em termos de deslocamentos:

5.1.2 Planos Inclinados São superfícies planas, rígidas, inclinadas em relação à horizontal. Sendo P o peso da carga, para elevá-la diretamente, na vertical e, lentamente, o operador deveria aplicar uma força vertical de intensidade igual a P, ou seja, deveríamos ter Po = R para uma elevação vertical direta no deslocamento H. Se a carga for empurrada ao longo do plano inclinado, a intensidade da força F a ser aplicada, paralela ao plano inclinado, será menor do que R. Isto significa que, para cumprir a mesma tarefa de levantar lentamente uma carga a uma altura H, o plano inclinado permite uma 'economia de força' (F < P) e um 'acréscimo de distância' (L > H).

A Aceleração com que o bloco desce o plano inclinado independe da sua massa m:

5.1.3 Polias ou Roldanas Polia é um disco que pode girar em torno de um eixo que passa por seu centro. Além disso, na periferia desse disco existe um sulco, chamado gola, no qual passa uma corda contornando-o parcialmente. As polias classificam-se em fixas e móveis. Nas fixas os mancais de seus eixos permanecem em repouso em relação ao suporte onde foram fixados. Nas móveis tais mancais se movimentam juntamente com a carga que está sendo deslocada pela máquina. Na polia fixa a VM = 1, sua função é apenas a de inverter o sentido da força aplicada. Como conseqüência, temos que F = R e dF = dR.

A polia móvel comporta-se como alavanca inter-resistente cujo braço da potência é o dobro do braço da resistência (VM = 2). Como conseqüência, temos que:

Associação de Polias ou Talha Exponencial é o acréscimo sucessivo de polias móveis, em que:

5.1.4 Máquina de Atwood A Máquina de Atwood consiste em dois corpos com massas desiguais que são pendurados verticalmente por uma polia leve, sem atrito. Se considerarmos que o corpo 2 desce, temos:

Como os fios são iguais, temos que T1 = T2 = T. Adicionando estas equações, T1 e T2 se cancelam:

Substituindo esta equação na primeira, temos:

Se m1 = m2, teríamos a = 0 e T = m1g = m2g.

5.1.5 Alavancas São peças rígidas, tais capazes de girar ao redor de um ponto ou eixo, denominado fulcro ou ponto de apoio. Em uma das extremidades da alavanca o operador aplica seu esforço F e ela transfere para a outra extremidade (ou região) uma força R para a carga aí colocada. Alavancas do primeiro gênero ou interfixas: O fulcro localiza-se entre a força aplicada (potência) e a força transmitida (resistência). Alavancas do segundo gênero ou inter-resistentes: A força transmitida (resistência) localiza-se entre o fulcro e a força aplicada (potência). Alavancas do terceiro gênero ou interpotentes: A força aplicada (potência) localiza-se entre o fulcro e a força transmitida (resistência).

As alavancas interpotentes têm VM < 1. Sob o ponto de vista mecânico isso seria uma desvantagem, pois é preciso usar um grande esforço para vencer uma pequena carga (resistência pequena). Entretanto, nessas situações em que "se perde em força", ganha-se em deslocamento (e portanto em velocidade).

5.2 Forças de Atrito

Quando duas superfícies estão em contato, sempre aparecem forças tangenciais, chamadas de forças de atrito, ao tentar mover uma em relação a outra. O atrito que acontece entre superfícies ásperas é chamado de atrito seco ou atrito de Coulomb. O atrito que acontece em superfícies fluidas é chamado de atrito fluido. A força que se opõe à tração F e que impede o corpo de se mover é chamada de força de atrito estático fae. Se o corpo está parado, esta força, por regra de equilíbrio, se equipara à F. Se esta cresce e o corpo permanece parado, quer dizer q fae cresce na mesma proporção. Quando o módulo de F é aumentado até a eminência do movimento, obtém-se FaeM (Máxima). Quando F o ultrapassa, o corpo move-se, enfrentando uma nova força de atrito, menor que faeM, a força de atrito cinético fak. A força resultante F – fak produz uma aceleração. Se F – fak = 0, a aceleração é nula, e o corpo move-se com velocidade constante.

Forças aplicadas não tendem a mover o corpo sobre as superfícies de contato:

Forças aplicadas tendem a mover o corpo mas não o coloca em movimento:

Movimento iminente:

Módulo da força de atrito dinâmico entre duas superfícies quaisquer:

As constantes adimensionais μe e μk são chamados de coeficientes de atrito estático e dinâmico, respectivamente. Estes dependem da natureza das superfícies, e, geralmente, μe > μk. A direção da força de atrito é sempre oposta ao movimento real ou iminente do corpo em relação à superfície.

5.3 Forças Resistivas Dependentes da Velocidade

5.3.1 Proporcional à Velocidade do Corpo Em baixas velocidades escalares, a força resistiva R agindo sobre um corpo que está em movimento através de um meio viscoso é dado por:

Sendo b uma constante que depende das propriedades do meio, da forma e dimensões do corpo. O sinal negativo representa o fato de que a força resistiva é oposta à velocidade. Quando a aceleração torna-se nula, a força resistiva equilibra-se com as outras forças, atingindo a velocidade terminal vt, que é inalcançável.

5.3.2 Proporcional ao Quadrado da Velocidade do Corpo Em altas velocidades escalares, a força resistiva R agindo sobre um corpo que está em movimento através de um meio viscoso é dado por:

Sendo ρ a densidade do ar, A a área de seção reta do corpo em movimento medida em um plano perpendicular a sua velocidade e D uma grandeza empírica adimensional chamada de coeficiente de arrasto.

5.4 Lei de Hooke

Para deformações elásticas, dizemos que é constante a razão entre a intensidade F da força aplicada numa mola e a deformação Δx que ela experimenta. A constante de proporcionalidade k é uma característica da mola e denomina-se constante elástica da mola.

5.5 Forças em Movimento Circular Uniforme

A partícula em trajetória circular uniforme de raio r com velocidade uniforme v tem aceleração centrípeta de módulo:

Se há aceleração, então existe uma força. Como a aceleração é em direção ao centro do círculo, a força resultante tem de ser direcionada para o centro também. Esta força resultante é caracterizada por:

OBS.: A expressão força centrípeta é errônea, pois ela não é um tipo de força, e sim uma nova função para a força. Não se adiciona num diagrama de forças a força centrípeta; ela é uma equação para a força resultante. OBS.: A força centrífuga existe em relação a referenciais não-inerciais, não sendo uma reação da força centrípeta, e sim uma força de inércia.

5.6 Forças em Movimento Circular Não Uniforme A partícula em trajetória circular não uniforme de raio r tem uma aceleração tangencial de módulo dv/dt e uma aceleração radial de módulo –ac. Se há várias acelerações, então existem várias forças. Se, neste caso, a aceleração total é dada por a = at + ar, então a força resultante é caracterizada por:

O vetor componente Fr aponta em direção ao centro do círculo e é responsável pela aceleração centrípeta. O vetor componente Ft é responsável pela aceleração tangencial, que faz com que a velocidade escalar se altere com o tempo.

5.7 Forças Fundamentais da Natureza [Ordem decrescente de intensidade] 5.7.1 Força Nuclear Forte Sinônimo: Força hadrônica, pois só se manifesta entre hádrons (grupo de partículas que engloba prótons e nêutrons). Força que mantém a coesão do núcleo atômico. Garante a união dos quarks para formarem prótons e nêutrons, além da ligação entre eles. É também a força mais forte de todas, mas sua intensidade, só se manifesta para distâncias muito pequenas (inferiores ao de um núcleo atômico). Os elétrons não são afetados pela força nuclear forte. 5.7.2 Força Eletromagnética Força que se manifesta em partículas eletrizadas. Garante a ligação entre elétrons e os núcleos atômicos e a união de átomos para a formação das moléculas, e a emissão das ondas eletromagnéticas pelos átomos quando seus elétrons mudam de nível energético. Essencialmente, todas as forças que atuam no mundo macroscópico, exceto a força gravitacional, são manifestações da força eletromagnética. A lei de Coulomb expressa o módulo da força eletrostática:

Sendo k a constante de Coulomb, que é igual à 8,99.109 N.m²/C².

5.7.3 Força Nuclear Fraca Força que se manifesta entre os hádrons e os léptons (grupo de partículas que engloba os elétrons). Ela garante a emissão dos elétrons pelos núcleos de algumas substâncias radioativas (decaimento beta). A força eletromagnética e a força nuclear fraca são manifestações diferentes de uma mesma interação fundamental, a Força eletrofraca. 5.7.4 Força Gravitacional Força mútua de atração entre corpos quaisquer. Apesar de ser a menos intensa das outras três forças, ela pode atingir valores elevados – a massa é proporcional à intensidade da força – em planetas e estrelas. Através da lei da gravitação universal de Newton, este provou que:

Sendo G a constante gravitacional universal, que é igual a 6,67.10-¹¹ N.m²/kg².

6.0 Exemplos de Diagramas de Força