Dissertação de Mestrado - Estudo Numérico Do Acoplamento Entre Poço Horizontal e Reservatório de Petróleo

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PS-GRADUAO

EM ENGENHARIA MECNICA

ESTUDO NUMRICO DO ACOPLAMENTO ENTRE POO HORIZONTAL E RESERVATRIO DE PETRLEO

Dissertao submetida

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

para a obteno do grau de

MESTRE EM ENGENHARIA MECNICA

ROQUE TADEU MIRANDA

Florianpolis, Julho de 2010.

Catalogao na fonte pela Biblioteca Universitria

da Universidade Federal de Santa Catarina

M672e Miranda, Roque Tadeu Estudo numrico do acoplamento entre poo horizontal e reservatrio de petrleo [dissertao] / Roque Tadeu Miranda ; orientador, Clovis Raimundo Maliska. Florianpolis, SC : 2009. 117 p.: il., grafs., tabs.

Dissertao (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnolgico. Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica.

Inclui referncias

1. Engenharia mecnica. 2. Poo horizontal. 3. Acoplamentos. 4. Simulao de reservatrios. 5. Malhas no estruturadas. 6. Mtodo dos volumes finos. I. Maliska, C. R. (Clovis Raimundo). II. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica. III. Ttulo.

CDU 621

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PS-GRADUAO

EM ENGENHARIA MECNICA

ESTUDO NUMRICO DO ACOPLAMENTO ENTRE POO HORIZONTAL E RESERVATRIO DE PETRLEO

ROQUE TADEU MIRANDA

Esta dissertao foi julgada adequada para a

obteno do ttulo de

MESTRE EM ENGENHARIA ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECNICA

sendo aprovada em sua forma final.

_________________________________________________ Prof. Clovis Raimundo Maliska, Ph. D.

Orientador

_________________________________________________ Prof. Eduardo Alberto Fancello, D. Sc.

Coordenador do Curso

Banca Examinadora

_________________________________________________ Prof. Antnio Fbio Carvalho da Silva, Dr. Eng.

Presidente

_________________________________________________ Prof. Antnio Augusto Ulson de Souza, Dr. Eng.

_________________________________________________ Prof. Jos Bellini da Cunha Neto, Dr. Eng.

De absoluto s a Relatividade Albert Einstein

minha familia e ngela, minha eterna namorada.

AGRADECIMENTOS Aos professores do POSMEC em especial ao orientador, Clovis Raimundo Maliska, pela oportunidade de fazer parte do SINMEC e pelos conhecimentos transmitidos durante esse perodo. A todos os colegas do laboratrio, que de alguma maneira contribuiram para o desenvolvimento desse trabalho, especialmente a contribuio do Fernando S. V. Hurtado, Daniel M. Plucenio e Aymar V. B. Pescador Jr.

RESUMO

A utilizao de poos horizontais na explorao de reservatrios de petrleo cada vez mais intensa. Devido caracterstica dos reservatrios de possurem grande extenso e pequena espessura, os poos horizontais tm diversas vantagens quando comparado aos verticais, especialmente pela sua maior rea de contato com o reservatrio. O presente trabalho tem o objetivo de propor uma forma de acoplamento entre poos horizontais e reservatrios de petrleo, empregando tcnicas numricas recentes e mais gerais, e que aos poucos vo incorporando-se s metodologias usadas na indstria do petrleo. Como o objetivo o estudo do acoplamento entre os sistemas poo/reservatrio, o modelo fsico empregado tem as seguintes simplificaes: fluido newtoniano, escoamento isotrmico, incompressvel, bifsico e imiscvel, alm de domnio bidimensional para o reservatrio e unidimensional para o poo horizontal. O poo considerado um duto perfurado com entrada de massa pela interface e o reservatrio recebe o tratamento usual em simuladores, isto , meio poroso. Na soluo do escoamento no poo horizontal foi adotado um procedimento de marcha no qual foi considerado velocidade nula em uma extremidade do poo e presso conhecida na outra, resultado do processo de bombeamento. O mtodo numrico utilizado o EbFVM (Element based Finite Volume Method), um mtodo conservativo, importante no caso porque o acoplamento sugerido nesse trabalho baseado na continuidade de presso e fluxo de massa na interface poo/reservatrio. A malha utilizada do tipo no-estruturada com refino ao redor do poo. Tambm foi proposto um novo mtodo para clculo do ndice de produtividade para poos horizontais quando o domnio do reservatrio bidimensional. Para a validao numrica foi utilizado o software comercial ECLIPSE e os resultados obtidos demonstram que a metodologia aqui desenvolvida pode ser estendida para problemas fisicamente mais complexos.

Palavras-chave: poo horizontal, acoplamento, simulao de reservatrios, malhas no estruturadas, mtodo dos volumes finitos, formulao baseada em elementos

ABSTRACT

The use of horizontal wells in the explotation of petroleum reservoirs is continuously growing. Due to the large dimensions of the reservoirs and the small thickness, the horizontal wells have many advantages when compared to vertical wells, especially by its larger contact area with the reservoir. This paper aims to propose a mathematical procedure for coupling horizontal wells and reservoirs. Since the main goal is the coupling procedure, some simplifications are done in the physical model. They are: Newtonian and isothermal fluids, incompressible and immiscible two-phase flow, 2D porous media flow for the reservoir and 1D for the horizontal well. The well is considered a perforated duct with mass flow entering through the interface. In the solution of flow in the horizontal well a marching procedure was adopted in which it was considered zero velocity in one extremity of the well and prescribed pressure on the other one, as a result of the pumping system. The numerical method used is the EbFVM (Element based Finite Volume Method), a conservative method, important in this case, since the coupling suggested in this paper is based on continuity of pressure and mass flow at the interface. The mesh used is non-structured, with refinement around the well. It was also proposed a new method for calculating the productivity index for horizontal wells when the reservoir is considered 2D. For the numerical validation it was used the commercial software ECLIPSE and the results show that the coupling approach proposed herein can be extended to others more complex physical problems.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Regies drenadas por um poo horizontal com reservatrio fraturado.................................................................................28

Figura 2 Representao do problema a ser resolvido ..............................31 Figura 3 Entes geomtricos utilizados no EbFVM. ..................................45 Figura 4 - Elemento em um sistema de coordenadas global e local. ..........47 Figura 5 - Vetores rea de face no elemento do plano fsico transformado

com suas orientaes. .............................................................48 Figura 6 - Tipos diferentes de completaes. .............................................53 Figura 7 Comportamento tpico do fluxo local em um poo horizontal....55 Figura 8 Esquema representativo dos modelos de escoamentos. ............56 Figura 9 Volume de controle no poo horizontal idealizado.....................57 Figura 10 Malha para a presso e velocidade, utilizada na discretizao

do poo horizontal. ..................................................................60 Figura 11 Malha para a velocidade, utilizada na discretizao do poo

horizontal................................................................................62 Figura 12 Malha do poo horizontal coincidente com malha do

reservatrio. ............................................................................66 Figura 13 Malhas coincidentes e com refino localizado...........................67 Figura 14 Poo horizontal no coincidente com malha do reservatrio. ..67 Figura 15 Hiptese de fluxo radial para clculo do ndice de

produtividade. .........................................................................70 Figura 16 Fluxo do reservatrio para o poo horizontal no modelo

proposto. .................................................................................72 Figura 17 Poo horizontal coincidente com o eixo coordenado x. ............73

Figura 18 Esquema de clculo do 0y no poo horizontal.......................74

Figura 19 Ilustrao dos procedimentos de marcha................................77 Figura 20 Fluxograma do acoplamento entre poo horizontal e

reservatrio. ............................................................................80 Figura 21 Localizao dos poos e exemplo de malha utilizada...............84 Figura 22 Diferena entre as geometrias do poo horizontal no ECLIPSE e

HWModel.................................................................................85 Figura 23 Comparao da produo total, de leo e de gua para malha

40x40......................................................................................87 Figura 24 Comparao da produo total, de leo e de gua para malha

80x80......................................................................................88 Figura 25 Comparao da produo total, de leo e de gua para malha

120x120..................................................................................88 Figura 26 Comparao do fluxo de leo e de gua para malha 40x40.....89 Figura 27 Comparao do fluxo de leo e de gua para malha 80x80.....90 Figura 28 Comparao do fluxo de leo e de gua para malha 120x120.90 Figura 29 Campo de saturao de gua no tempo 100 dias com malha

120x120 ECLIPSE. ...............................................................92 Figura 30 Campo de saturao de gua no tempo 100 dias com malha

120x120 HWModel. ..............................................................92 Figura 31 Campo de saturao de gua no tempo 500 dias com malha

120x120 ECPLISE. ...............................................................93 Figura 32 Campo de saturao de gua no tempo 500 dias com malha

120x120 HWModel. ..............................................................93

Figura 33 Campo de saturao de gua no tempo 1000 dias com malha 120x120 - ECLIPSE.................................................................94

Figura 34 Campo de saturao de gua no tempo 1000 dias com malha 120x120 HWModel................................................................94

Figura 35 Campo de presso no tempo 100 dias com malha 120x120 - ECLIPSE..................................................................................95

Figura 36 Campo de presso no tempo 100 dias com malha 120x120 HWModel.................................................................................95

Figura 37 Campo de presso no tempo 500 dias com malha 120x120 ECLIPSE..................................................................................96


Figura 39 Campo de presso no tempo 1000 dias com malha 120x120 ECLIPSE..................................................................................97


Figura 41 Produo total acumulada ao longo do poo horizontal. .........98 Figura 42 Distribuio do fluxo ao longo do poo horizontal...................99 Figura 43 Presso total e composio de cada parcela ao longo do poo

horizontal. .............................................................................100 Figura 44 Malha no estrutura com 3 poos injetores. .........................102 Figura 45 Campo de saturao de gua no tempo 100 dias. .................103 Figura 46 Campo de saturao de gua no tempo 500 dias. .................104 Figura 47 Campo de saturao de gua no tempo 1000 dias. ...............104 Figura 48 Campo de presso no tempo 100 dias...................................105 Figura 49 Campo de presso no tempo 500 dias...................................105 Figura 50 Campo de presso no tempo 1000 dias.................................106 Figura 51 Fluxo no heel do poo horizontal. .........................................106 Figura 52 Produo total acumulada ao longo do poo horizontal. .......107 Figura 53 - Distribuio do fluxo ao longo do poo horizontal. ................108 Figura 54 - Presso total e composio de cada parcela ao longo do poo

horizontal. .............................................................................108

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Dados de entrada do problema para validao .........................86 Tabela 2 Dados de entrada do caso com malha no-estruturada..........101

SMBOLOGIA

Alfabeto Latino: a Coeficiente na forma discretizada de uma equao

de conservao A rea do reservatrio no plano areal ..................[m]

[ ]PA Matriz de coeficientes associada equao da presso

[ ]b Operador vetorial para a construo da equao da presso

[ ]B Vetor de termos independentes associado equao da presso

d Dimetro do poo horizontal ............................ [m] [ ]D Matriz de derivadas das funes de forma em

relao s coordenadas locais e Rugosidade ....................................................... [m] f Fator de atrito................................................... [m] F Funo fluxo fracionrio ................. [adimensional] h Espessura vertical do reservatrio .................... [m] IP ndice de poo .................................................[m] [ ]J Matriz jacobiana da transformao de coordenadas

rk Permeabilidade relativa .................. [adimensional]

K , [ ]K Tensor de permeabilidade absoluta .................[m] L Comprimento total do poo horizontal............... [m] N Funo de forma [ ]N Vetor de funes de forma p Permetro do poo horizontal............................. [m] P Presso ........................................................... [Pa] [ ]P Vetor de valores nodais da presso q Vazo volumtrica....................................... [m s-1] r Coordenada radial ............................................ [m] s Saturao ...................................... [adimensional] S Vetor rea de superfcie ...................................[m] t Tempo ............................................................... [s]

v Vetor velocidade ..........................................[m s-1] V Volume ........................................................... [m]

,x y Coordenadas cartesianas [ ],[ ]x y Vetores das coordenadas dos ns de um elemento

Alfabeto Grego: Parmetros das correlaes para permeabilidade

relativa Mobilidade ............................................... [Pa-1 s-1] Tenso cisalhante.................................. [kg m-1 s-2] Viscosidade absoluta ..................................... [Pa s] Porosidade ...................................... [adimensional] Massa especfica.........................................[kg m-3] , Coordenadas locais Subndices: ( )e Elemento

( )E Entrada

( )f Face

( )heel Local correspondente a extremidade do poo

horizontal que fechada ao fluxo ( )m Propriedade mdia

( )o Fase leo

( )p N

( )S Sada

( )T Total

( )toe Local correspondente e regio do poo horizontal

em contato com a superfcie ( )w Fase gua

( )W Poo (injetor ou produtor)

( )hw Poo horizontal

Superndices: ( )n Nvel de tempo discreto

( )r Reservatrio Grupamentos Adimensionais:

Fator de atrito de Darcy

=

28f

u

Nmero de Reynolds

=Re

ud

SUMRIO

1 INTRODUO....................................................................... 25 1.1 O PETRLEO...........................................................................25 1.2 POOS HORIZONTAIS ................................................................27 1.3 SIMULAO NUMRICA DE RESERVATRIOS DE PETRLEO ...............29 1.4 DESCRIO DO PROBLEMA .........................................................30 1.5 REVISO BIBLIOGRFICA ...........................................................32 1.6 ORGANIZAO DO TRABALHO .....................................................38

2 RESERVATRIO .................................................................. 41 2.1 INTRODUO...........................................................................41 2.2 EQUAES DO ESCOAMENTO BIFSICO IMISCVEL NO RESERVATRIO 41 2.3 DISCRETIZAO DAS EQUAES .................................................44

3 POO HORIZONTAL ............................................................. 53 3.1 INTRODUO...........................................................................53 3.2 COMPORTAMENTO DO ESCOAMENTO EM POOS HORIZONTAIS...........54 3.3 MODELO HOMOGNEO..............................................................55 3.4 EQUAES DO ESCOAMENTO NO INTERIOR DO POO HORIZONTAL .....56 3.5 DISCRETIZAO DAS EQUAES .................................................60

4 ACOPLAMENTO POO HORIZONTAL E RESERVATRIO...... 65 4.1 INTRODUO...........................................................................65 4.2 NDICE DE PRODUTIVIDADE PARA POOS VERTICAIS ........................68 4.3 NDICE DE PRODUTIVIDADE PARA POOS HORIZONTAIS ....................71 4.4 NDICE DE PRODUTIVIDADE PROPOSTO .........................................72 4.5 ALGORITMO DE SOLUO PARA O RESERVATRIO ...........................76 4.6 ALGORITMO DE SOLUO PARA O POO HORIZONTAL ......................77 4.7 CONDIO DOS POOS INJETORES ..............................................79 4.8 DESCRIO DO ACOPLAMENTO ...................................................79

5 RESULTADOS OBTIDOS....................................................... 83 5.1 INTRODUO...........................................................................83 5.2 VALIDAO NUMRICA ..............................................................84 5.3 APLICAO EMPREGANDO MALHAS NO-ESTRUTURADAS .................101 5.4 CONSIDERAES ...................................................................109

6 CONCLUSES .................................................................... 111 6.1 SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS.....................................112

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................... 113

1 INTRODUO

1.1 O Petrleo

Dentre as teorias sobre a origem do petrleo, uma das mais difundidas e aceita a teoria orgnica. Segundo ela, o petrleo tem origem a partir da matria orgnica e sedimentos inicialmente depositados no fundo de oceanos pela ao das chuvas. Com o passar do tempo e devido o aumento da carga sedimentar pela deposio de mais camadas de sedimentos, a matria orgnica inicialmente depositada fica submetida a elevadas presses e temperaturas. A combinao desses fatores (matria orgnica, sedimentos e condies termoqumicas) a base para o incio do processo que leva formao do petrleo. Esse processo de transformao da matria orgnica em petrleo conhecido como gerao e o local onde essa etapa ocorre denominado rocha geradora. Aps a gerao, devido o aumento da presso e temperatura ou micro faturamento das rochas geradoras, ou a combinao de ambos, o petrleo deixa a rocha geradora por efeito do empuxo e vai migrando pelo meio poroso at ser contido por uma rocha capeadora, ou selante, e formar o reservatrio. A rocha-reservatrio, diferente da selante, deve possuir caractersticas como elevada porosidade e permeabilidade, ou seja, necessrio que os seus poros estejam interconectados (TOMAS, 2004). No processo de recuperao do petrleo, a etapa seguinte acumulao a identificao das reservas para futura extrao do petrleo armazenado. Essa etapa denominada prospeco e envolve um longo e dispendioso estudo e anlise de dados geofsicos e geolgicos das bacias sedimentares, utilizando-se os mais variados mtodos disponveis. Dentre os vrios mtodos utilizados para identificao dos locais mais favorveis para a ocorrncia do petrleo podemos citar os geolgicos, potenciais e ssmicos (VAN DYKE, 1997). Aps a identificao do local se faz necessrio a confirmao da reserva que ocorre por meio da perfurao

CAPTULO 1 - INTRODUO

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de um poo, conhecido como poo exploratrio ou poo pioneiro. Esse poo tambm pode ser utilizado para coletar dados do subsolo e complementar as informaes geolgicas obtidas pelos mtodos de prospeco. Com os testes realizados nesse poo possvel confirmar ou no a existncia de uma reserva comercialmente explorvel. Obtido sucesso, passa-se ento para a nova etapa que a explorao propriamente dita, onde os poos so perfurados e completados. A completao consiste basicamente na colocao de todos os equipamentos necessrios para explorao. Devido presso inicial do reservatrio, quando os primeiros poos so perfurados o petrleo pode jorrar espontaneamente. Esse perodo chamado de surgncia e essa capacidade do petrleo jorrar tambm um importante parmetro na avaliao da quantidade de petrleo contido na reserva. Entretanto, essa condio de surgncia normalmente por um perodo curto, especialmente para leos pesados, na explorao de petrleo quando comparado com o tempo total de explorao de um reservatrio, que normalmente de vrios anos. Ento, quando a presso do reservatrio no mais suficiente para suplantar as perdas de carga existentes, se faz necessrio adotar mtodos para continuar a explorao. Esses mtodos podem ser: bombeio mecnico com hastes, bombeio centrfugo submerso, injeo contnua ou intermitente de gs, injeo de gua etc., e recebem o nome de mtodos de recuperao secundria1. A injeo de gua em poos denominados injetores com a retirada de petrleo pelos poos produtores um dos mtodos largamente utilizados e, o mtodo empregado neste trabalho para provocar a movimentao dos fluidos no meio poroso.

1 A quantidade de leo que pode ser retirada de um reservatrio devido prpria energia natural existente denominada recuperao primria. Toda quantidade adicional de leo recuperado por algum outro mtodo chamado na indstria do petrleo, de recuperao secundria.

ROQUE TADEU MIRANDA DISSERTAO DE MESTRADO

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1.2 Poos Horizontais

At o incio da dcada de 1980, tanto os poos exploratrios como os posteriormente perfurados para extrao do petrleo eram predominantemente verticais, devido s limitaes das tcnicas de perfurao existentes at ento. Esse cenrio comeou a mudar com o desenvolvimento de uma nova tecnologia de perfurao, que permite perfuraes direcionais e assim os poos horizontais passaram a ser, cada vez mais, empregados. Pela caracterstica dos reservatrios de petrleo possuirem espessura reduzida quando comparados a sua extenso areal, a maneira de reduzir a quantidade de poos perfurados e ao mesmo tempo aumentar a rea de contato com o reservatrio utilizando este tipo de poo. Com a utilizao de poos horizontais possvel atingir reservatrios situados em guas profundas a partir de uma plataforma localizada em guas mais rasas, por exemplo, e tambm reduzir a velocidade do escoamento nas imediaes do poo, cuja tendncia danificar a estrutura porososa da interface poo/reservatrio, especialmente em casos de reservatrios de alta permeabilidade, quando comparados a poos verticais. Alm do aumento da rea de contato, os poos horizontais tambm podem drenar regies de diferentes alturas e localizadas distantes entre si, a partir de um mesmo trecho inicialmente vertical, os chamados poos ps-de-galinha. Outra importante caracterstica que a rea horizontal drenada pode mudar com o aumento do comprimento do poo horizontal, enquanto que a do poo vertical fixa. Com o decorrer do tempo de explotao, ou devido a algumas caractersticas do reservatrio, especialmente aqueles de baixa permeabilidade, se faz necessrio aumentar o ndice de produtividade dos poos a fim de aumentar a quantidade de petrleo retirada do reservatrio e viabilizar a continuidade de operao do campo petrolfero. Nesses casos, uma operao bastante utilizada o fraturamento hidrulico, que consiste em provocar fraturas ao longo do reservatrio atravs da injeo controlada de fluido sob alta presso. Essas fraturas


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tornam-se um canal de alta permeabilidade, facilitando o escoamento dos fluidos em direo ao poo. A tendncia que essas fraturas ocorram nas direes perpendiculares s direes de menor tenso. Assim, com exceo dos casos de poos pouco profundos, em que as tenses verticais so pequenas, as fraturas artificiais geralmente so verticais (ROSA; CARVALHO; XAVIER, 2006). Os altos custos de implantao desses poos, que segundo Joshi (1991), em 1986, quando os primeiros poos horizontais comearam a ser utilizados eram de duas at quatro vezes maior que um poo vertical, j se reduziram para cerca de 1,4 vezes at o fim da dcada de 1980. Com o auxlio da Figura 1 possvel observar as vantagens da utilizao de poos horizontais em reservatrios com fraturas e, tambm a possibilidade de drenar diferentes regies a partir de um mesmo trecho vertical.

Figura 1 Regies drenadas por um poo horizontal com reservatrio fraturado

Uma desvantagem dos poos horizontais comparado aos verticais que uma vez inundados pela gua proveniente de um contato leo/gua, tero


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necessariamente que ser fechados ou transformados em poos injetores, no sendo possveis recompletaes. As recompletaes so o fechamento da parte em contato com a gua/gs deixando aberto para produo somente os intervalos em contato com a camada produtora. Entretanto, nos ltimos anos tm surgido vrios trabalhos na literatura buscando o melhor entendimento do fluxo do reservatrio para o poo horizontal com o objetivo de minimizar essa desvantagem.

1.3 Simulao Numrica de Reservatrios de Petrleo

As etapas envolvidas durante a vida til de um campo de petrleo so classificadas em prospeco, desenvolvimento e abandono. A etapa do desenvolvimento ou explorao, que consiste na perfurao de poos produtores aps a confirmao da existncia da reserva, a que demanda mais tempo e tem merecido crescentes esforos. A simulao tem um importante papel na determinao da quantidade e localizao dos poos que devem ser perfurados para a explorao de uma reserva. Alm disso, tambm importante estimar o fluido existente em uma jazida de petrleo, assim como a quantidade que pode ser comercialmente extrada. A estimativa do fluido no reservatrio pode ser realizada, por exemplo, utilizando curvas de declnio de produo, ou por meio de solues do modelo da fonte linear e da equao de balano de matrias etc. Diferente do mtodo de balano de materiais, que utiliza uma nica equao descrevendo o comportamento2 do reservatrio como se fosse um nico bloco com propriedades uniformes, a simulao numrica permite a subdiviso em clulas com propriedades diferentes, pois envolve a soluo

2 O uso do termo comportamento se refere em como o petrleo contido no reservatrio vai se comportar diante da localizao e quantidade de poos injetores e produtores da reserva e tambm em relao s presses e fluxo nos poos.


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simultnea de um conjunto de equaes que representam o fluxo no meio poroso. Essa tecnologia se encontra em constante evoluo pelo crescente desenvolvimento de computadores de alta velocidade, versatilidade e generalidade dos mtodos numricos aliados simplicidade de aplicao das tcnicas de simulao. Soma-se a isso o fato que a experimentao nos campos petrolferos ser extremamente difcil e onerosa (MALISKA, 2004).

1.4 Descrio do problema

Atualmente, uma grande quantidade de solues numricas para auxiliar nos processos de recuperao secundria de petrleo consiste na discretizao de um domnio bidimensional para o reservatrio com fronteira impermevel. Tanto os poos injetores como produtores so verticais e nesses casos so tratados como pontos com fluxo de massa ou presso conhecida. Somente o escoamento no interior do reservatrio avaliado, pois o interesse no comportamento do escoamento no meio poroso onde a gua injetada desloca o leo inicialmente contido no reservatrio em direo aos poos produtores. Mas, logicamente, o escoamento no reservatrio infuencia o escoamento no poo e vice-versa, exigindo o tratamento acoplado. A existncia de poos horizontais nos reservatrios, mesmo em formulaes 2D, no permite que seja utilizada na simulao numrica a aborgadem de fontes ou sumidouros de massa como so tratados os poos verticais. Existe tambm a diferena de escalas entre o poo horizontal e o reservatrio, que merece ateno especial na malha utilizada na simulao, pois no computacionalmente possvel refinar a malha em todo o domnio. Uma tcnica utilizada o refino localizado (somente ao redor do poo horizontal) para captar as alteraes das propriedades do escoamento na interface. Mesmo com esse refino localizado ainda necessrio a utilizao de modelos de poos.


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A proposta desse trabalho realizar um estudo numrico do acoplamento entre o reservatrio e o poo horizontal, conforme mostrado esquematicamente pela Figura 2 abaixo.

Figura 2 Representao do problema a ser resolvido

Para isso, algumas simplificaes foram realizadas, que so:

Toda a rea lateral do poo horizontal foi considerada em contato com o reservatrio, mesmo que em situaes reais podem existir entre o poo e o reservatrio telas de conteno de areia, por exemplo, causando uma resistncia adicional no contato poo/reservatrio.

O reservatrio foi considerado homogneo com escoamento 2D enquanto que no poo horizontal o escoamento considerado 1D. O escoamento tanto no poo como no reservatrio ser tratado como bifsico imiscvel e o fluido incompressvel.

Os efeitos da gravidade foram desconsiderados, ou seja, nesse trabalho o reservatrio e o poo horizontal esto em um plano horizontal.

Na obteno das equaes do escoamento foi considerado modelo de escoamento bifsico (gua e leo) imiscvel, que uma simplificao do modelo Black-Oil utilizado para reservatrios que possuem leos pesados e com baixa volatilidade. Nesse modelo, as propriedades podem ser caracterizadas


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com maior facilidade quando comparado aos modelos denominados composicionais, pois o fluido assumido isotrmico e no existe transferncia de massa entre as fases.

Para o escoamento no reservatrio foi utilizado um simulador desenvolvido no SINMEC (Laboratrio de Simulao Numrica e Mecnica dos Fluidos e Transferncia de Calor) e para o poo horizontal foi desenvolvido um cdigo em linguagem de programao C++, juntamente com todo o procedimento de acoplamento entre o poo e o reservatrio.

O mtodo numrico utilizado foi o EbFVM (Element Based Finite Volume Method), devido a possibilidade de discretizao utilizando malhas no-estruturadas e tambm por se tratar de um mtodo conservativo. Alm disso, a formulao numrica permite que sejam utilizadas no simulador tanto malhas estruturadas como no-estruturadas, sendo possvel representar com mais fidelidade a complexa geometria dos reservatrios de petrleo, condio essencial para reproduzir numericamente os problemas reais, alm de permitir refinamentos localizados ao longo do poo horizontal.

O uso de malhas no-estruturadas e EbFVM em simulao de reservatrios uma rea de trabalho atual e de fronteira na pesquisa, e este trabalho traz como contribuio importante estas tecnologias agora empregadas em mais um tpico avanado, o acoplamento poo/reservatrio.

1.5 Reviso Bibliogrfica

Devido ao recente desenvolvimento das tecnologias de utilizao de poos horizontais em campos de explorao de petrleo, a literatura disponvel tem aumentado bastante nos ltimos anos. A seguir esto relacionados os trabalhos que consideraram o escoamento


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monofsico, ordenados cronologicamente. Salienta-se, mais uma vez, que nenhum tipo de contribuio previsto com relao ao aumento de complexidade nos modelos fsicos empregados em relao aos disponveis na literatura. Mesmo assim, ao relatar a literatura feita meno aos modelos fsicos empregados pelos diversos autores. Um dos primeiros trabalhos sobre o assunto foi o proposto por Dikken (1989). Segundo o autor no interior do poo horizontal o regime laminar ocorre em uma situao particular e para dimetros pequenos, portanto, ele admitiu em seu trabalho somente o regime turbulento para o fluido que entra no poo horizontal. O autor considerou que todo o intervalo do poo estivesse aberto ao fluxo e props uma relao para descrever o gradiente ao longo do poo horizontal. O gradiente de presso no reservatrio na direo do poo horizontal foi negligenciado comparando com o gradiente de presso ao longo do poo, assim, o reservatrio pode ser dividido em finas camadas perpendiculares direo do poo horizontal. Com isso, ele considerou o reservatrio com propriedades homogneas e desconsiderou as variaes com o tempo e posio do poo e do reservatrio. Landman (1991) estendeu o modelo de Dikken (1989) tratando o poo horizontal com um tubo perfurado com entrada de massa e relacionou o ndice de produtividade do poo com a permeabilidade e a densidade das perfuraes. O autor tambm desenvolveu uma metodologia para calcular a quantidade tima de perfuraes para que o fluxo ao longo do poo seja uniforme. A uniformidade do fluxo ao longo do poo requerida em casos de reservatrios com alta permeabilidade combinado com existncia de capa de gs ou cone de gua, pois com essa combinao pode ocorrer o breaktrhough3. Novy (1992) tambm utilizou como base o modelo proposto por Dikken (1989), porm o autor utilizou

3 Breakthrough a entrada de fluidos indesejveis (gua ou gs) para dentro do poo que consequentemente diminui a produo de petrleo.


34

coordenadas cilndricas no poo horizontal e assumiu reservatrio homogneo e isotrpico. O autor introduziu no modelo uma opo que analisa a importncia do atrito na queda de presso ao longo do poo horizontal. Utilizando diferenas finitas e com base no comprimento do poo, vazo de produo e dimetro do poo, o autor verificou que o atrito pode ser responsvel pela reduo de produtividade na ordem de 10% ao longo do poo horizontal. Suzuki (1992) apresentou uma soluo transiente e de condutividade finita para poos horizontais utilizando um mtodo semi-analtico. No poo o autor considerou escoamento monofsico e incompressvel. Para o reservatrio utilizou a lei de Darcy e considerou o escoamento monofsico e fluido levemente compressvel. Os resultados foram comparados com os modelos de condutividade infinita. Ozkan, Sarica e Haiislamoglu (1995) apresentaram um modelo semi-analtico para acoplamento de poo reservatrio onde os efeitos de escoamento laminar e turbulento no poo foram considerados. Eles assumiram que o reservatrio infinito e a condio transiente no foi considerada no modelo proposto. Dickstein et al. (1997) propuseram um modelo numrico totalmente implcito, com refinamento local ao redor do poo para solucionar o acoplamento poo reservatrio em escoamento monofsico levemente compressvel. Foram consideradas as perdas de carga devido ao atrito, efeitos inerciais e de acelerao e para o acoplamento foi considerado a continuidade de fluxo na interface e continuidade da presso. As equaes foram resolvidas pelo mtodo dos volumes finitos. Cho (2001) apresentou um modelo para estimar o melhor comprimento do poo, baseado em fatores econmicos e tambm em um ndice de produtividade modificado. Esse novo ndice difere do ndice de produtividade introduzido por Peaceman (1977), pois considera alm do gradiente de presso entre o poo e o reservatrio, o gradiente devido perda de carga no interior do poo.


35

Os trabalhos recentes na literatura, quase na sua totalidade, esto voltados para os escoamentos multifsicos e, a seguir, esto listados os trabalhos com escoamento bifsico que apresentam as consideraes mais recentes e de alguma forma tambm foram teis no desenvolvimento desse trabalho. Stone e Kristoff (1989) desenvolveram um modelo totalmente implcito e tridimensional, para simulao de escoamento multifsico no poo e reservatrio, incluindo os efeitos trmicos. A lei de Darcy, juntamente com a equao do balano de energia foi utilizada para o meio poroso. Para o modelo do poo, as equaes da conservao da massa, energia e quantidade de movimento foram aplicadas em todas as fases. Os autores apresentaram um modelo de equaes juntamente com condies de contorno e tcnicas de solues. O conceito de ndice de produtividade introduzido por Peaceman (1977) foi utilizado para determinar o fluxo do reservatrio para o poo. Islam e Chakma (1990) desenvolveram um modelo para disperso de bolhas utilizando a equao da conservao da massa e conservao da quantidade de movimento. O poo foi acoplado com um modelo composicional para o reservatrio por meio de uma discretizao hbrida. Uma srie de testes de laboratrio foi realizada com leo, gua e ar em um tubo de ao inoxidvel com 1 m de comprimento e dimetros de 2,54 cm e 7,6 cm, para avaliar o comportamento do escoamento atravs das perfuraes. Os autores concluram que a queda de presso em poos horizontais pode ter papel significativo na determinao do escoamento para elevados ndices de produtividade, pequenos raios e longos intervalos de perfurao. Collins et al. (1991) descreveram um mtodo diferente para acoplamento entre poo e reservatrio, considerando o poo como um meio poroso de altssima permeabilidade. O simulador utilizou um sistema de discretizao hibrida e as equaes da presso e saturao foram resolvidas simultaneamente.


36

Folefac, Archer e Issa (1991) desenvolveram um modelo numrico para escoamento unidimensional bifsico (lquido e gs) para descrever o escoamento em poos horizontais. As equaes governantes da conservao da massa e conservao da quantidade de movimento foram utilizadas para representar o escoamento no poo e no reservatrio, e foram resolvidas simultaneamente em um regime pseudopermanente4 negligenciando os termos de inrcia. Os autores mostraram que, sob as mesmas condies, a queda de presso no poo quando o escoamento bifsico (lquido-gs) pode ser maior que duas vezes a observada quando o escoamento monofsico. Ihara, Brill e Shoham (1992) realizaram avaliao terica e experimental para poos horizontais e o acoplamento com o reservatrio. No modelo experimental, foi utilizado um poo horizontal de aproximadamente 7,92 m de comprimento, com ar e gua escoando atravs de furos ou ranhuras. Para o acoplamento entre perda de carga no poo e fluxo, os autores utilizaram as curvas de IPR (Inflow Performance Relationship), que relaciona a presso de fundo de poo com a vazo de fluido no meio poroso. O modelo foi desenvolvido para avaliar escoamento bifsico e regime permanente ou pseudopermanente e de acordo com os autores, obtiveram resultados aceitveis quando compararam os resultados tericos e experimentais. Ouyang (1998) apresentou um estudo do escoamento no interior do poo que inclui perdas de carga devido a quatro fatores: variao da energia cintica, atrito, fluxo de massa pelas perfuraes e efeitos gravitacionais. Considerando escoamento isotrmico e incompressvel, o autor realizou um balano de quantidade de movimento relacionando o gradiente de presso ao longo do poo

4 possvel destacar quatro regimes de fluxos que se referem a quatro perodos distintos de tempo, que so: a) curtssimo; b) curto; c) intermedirio e d) longo. O regime pseudopermanente corresponde ao tempo longo, mencionado no ltimo item. Isso equivalente a dizer que esse regime ocorre quando a massa de fluido localizada na fronteira externa do reservatrio ou nos limites de drenagem, comea a fluir em direo ao poo produtor.


37

horizontal aos fatores acima descritos. O autor introduziu trs nmeros adimensionais para relacionar os gradientes devido presso, variao da energia cintica, atrito e variao da presso devido a entrada de massa. Ele tambm demonstrou que a queda de presso devido ao fluxo de massa na interface sofre alteraes com o regime de escoamento do fluido. Tambm, os efeitos da variao da energia cintica podem ser to importantes quanto o atrito, dependendo da geometria do poo, propriedades dos fluidos e condies de fluxo. Vicente (2000) props um modelo totalmente implcito para acoplamento de um reservatrio tridimensional com um poo horizontal unidimensional. Ele combinou as equaes de conservao da massa e quantidade de movimento para o meio poroso (equao de Darcy) e equaes de estado para descrever as propriedades PVT (Presso-Volume-Temperatura) do fluido. O autor considerou continuidade de presso e preservou o balano de massa na interface do poo com o reservatrio, como forma de acoplamento. Ele utilizou discretizao hbrida no domnio com malha cartesiana no reservatrio, radial ao redor do poo e refinamento local. Tambm assumiu condies isotrmicas e props a soluo para escoamento monofsico levemente compressvel e compressvel, e tambm para escoamento bifsico (leo e gs). Gui e Cunha (2007) desenvolveram um modelo numrico acoplado para resolver o escoamento tanto no reservatrio como no poo horizontal. Os autores utilizaram uma discretizao hbrida e a continuidade de presso e o balano de massa na interface foram as condies utilizadas no acoplamento. Todas as variveis foram resolvidas simultaneamente e os autores comprovaram que o fluxo ao longo do poo no uniforme, demonstrando assim os efeitos da perda de carga ao longo do poo. No decorrer da reviso bibliogrfica, alguns fatores so mencionados com frequncia nos mtodos descritos e/ou devem ser observados em trabalhos que tratam de simulao de reservatrio com poo horizontal, so eles:


38

Utilizao de discretizao hbrida do domnio sendo o reservatrio representado por malhas cartesianas estruturadas e o poo horizontal com malhas radiais;

Alm da discretizao hbrida a necessidade de refinamento local devido diferena de ordem de grandeza entre as malhas utilizadas no reservatrio e no poo horizontal;

Alguns trabalhos diferenciam os mtodos de solues do reservatrio e poo horizontal como segregados e acoplados;

Hiptese de condutividade infinita no vlida na grande maioria dos casos reais, pois o fluxo de massa do reservatrio ao longo do poo horizontal no constante;

Necessidade de avaliar o fluxo ao longo do poo para evitar o indesejvel breaktrhough em casos de reservatrios com cone de gua ou capa de gs;

O poo horizontal tratado com um tubo perfurado com entrada de massa;

A densidade de perfuraes pode ser utilizada para controlar o fluxo ao longo do poo horizontal reduzindo a possibilidade de breaktrhough;

No existe um nico padro de escoamento do reservatrio para o poo horizontal, com isso necessrio identificar os diferentes regimes de escoamento nos casos reais;

Continuidade de presso e de fluxo de massa so as condies de acoplamento consistentes, pois no escoamento real no existe descontinuidade e sim a continuidade do processo fsico. A interface entre poo e reservatrio resultado do procedimento matemtico adotado.

1.6 Organizao do Trabalho

O captulo 2 apresenta as equaes de conservao para o escoamento bifsico com a discretizao utilizando o mtodo numrico EbFVM. Os conceitos relacionados ao


39

mtodo numrico e suas particularidades so tambm apresentadas. O comportamento tpico de um escoamento no interior do poo horizontal ilustrado no captulo 3, assim como o tipo de completao utilizada no presente trabalho. Nesse captulo tambm so descritas as equaes de conservao para o poo com suas respectivas aproximaes numricas, assim como o modelo homogneo de escoamento que ser utilizado. O captulo 4 aborda como foi equacionado o acoplamento entre o poo horizontal e o reservatrio. Inclui comentrios sobre ndice de poo5 e tambm descreve o ndice de poo proposto nesse trabalho. O algoritmo de soluo utilizado no trabalho tambm est descrito nesse captulo. A primeira parte do captulo 5 destinada validao numrica, onde o cdigo desenvolvido comparado com o software comercial ECLIPSE (2006). So ilustrados campos de saturao, presso, produo total acumulada, dentre outros. Com o objetivo de explorar as generalidades do cdigo, na segunda parte desse captulo apresentado um caso de malha no-estruturada com refino ao redor do poo horizontal e 3 (trs) poos injetores. No captulo 6 esto contidas as consideraes finas sobre o trabalho desenvolvido e os resultados obtidos, assim como sugestes para desenvolvimentos futuros.

5 Na literatura o ndice de poo ou Well Index (WI) utilizado devido aos gradientes acentuados no reservatrio existentes na interface e que no so captados pela malha empregada. Um refino que consiga bem captar a fsica da interface elimina a necessidade do uso do ndice de poo.

2 RESERVATRIO

2.1 Introduo

possvel descrever o escoamento de um fluido no meio poroso utilizando uma abordagem microscpica, onde as equaes de conservao so utilizadas para descrever o comportamento do fluido no espao vazio, isto , nas regies no ocupadas pela matriz slida. Para isso necessrio conhecer detalhadamente a estrutura geomtrica do meio poroso e as ligaes entre os poros, o que no uma tarefa fcil, ou podemos dizer, impossvel atualmente. Outra forma um tratamento macroscpico possibilitando assim a utilizao de variveis mdias para descrever o comportamento do fluido no meio. Esta a abordagem utilizada nesse e nos demais trabalhos que simulam o escoamento em meios porosos de reservatrios de petrleo. Inicialmente uma propriedade macroscpica importante deve ser definida, a porosidade ( ). Essa propriedade a relao entre o volume de poros e o volume total, para um determinado volume de referncia6, representado por

p

T

V

V = (2.1)

onde pV o volume de poros ou volume de vazios e TV o

volume total de referncia do meio poroso.

2.2 Equaes do Escoamento Bifsico Imiscvel no Reservatrio

O mtodo de recuperao secundria utilizado nesse trabalho consiste na injeo de gua em poos preestabelecidos para coletar o leo no poo produtor

6 O volume de referncia ou volume elementar representativo o mnimo volume de rocha considerado representativo do meio poroso.

42 CAPTULO 2 RESERVATRIO

horizontal, inicialmente contido no reservatrio. O fluido que escoa no meio poroso considerado como sendo composto de duas fases com a hiptese que cada fase composta somente de um nico fluido, ou seja, a fase gua tem apenas gua e a fase leo apenas leo. Para obtermos a equao da conservao da massa para escoamentos bifsicos em meios porosos necessrio introduzir o conceito de saturao (s ). A saturao definida como a razo entre o volume ocupado por uma das fases do escoamento e o volume total disponvel no meio poroso, definida como

=

volume ocupado pela fase

volume poroso s (2.2)

Considerando escoamento bidimensional, fluidos imiscveis, cada fase composta somente de um componente e fazendo um balano de massa em um volume de controle, obtm-se a seguinte equao para cada fase

( ) ( ) + = i 0s v

t (2.3)

Na equao acima, alm da saturao e porosidade definidas anteriormente, e

v que representam

respectivamente a massa especfica e a velocidade mdia associadas fase genrica , podendo ser leo ou gua. A lei de Darcy estendida para escoamentos bifsicos definida como

= rkv K P (2.4)

onde P a presso, rk e so respectivamente a

permeabilidade relativa e a viscosidade da fase , e K o

tensor permeabilidade absoluta do meio sendo representado pela matriz

=

xx xy

yx yy

K KK

K K (2.5)


43

Alm disso, temos a definio da mobilidade da fase , denominada por , dada por

=rk (2.6)

Para o escoamento bifsico em meios porosos, tem-se at o momento disponvel duas equaes, uma para a fase gua e outra para a fase leo. Embora a permeabilidade relativa rk funo da saturao da fase e

da temperatura, possvel assumir dependncia somente da saturao, assim as incgnitas para soluo do problema so a presso e as saturaes de cada fase. Dessa forma, alm da equao da conservao da massa, para concluir a formulao, utilizada a equao da restrio volumtrica, dada por

+ = 1o ws s (2.7)

Introduzindo a definio de mobilidade e com a hiptese de escoamento incompressvel, podemos escrever a equao da conservao da massa para cada fase e depois de combinadas algebricamente possvel obter as seguintes equaes

( ) = i 0Tv (2.8)

( ) + = i 0T

sF v

t (2.9)

=

T Tv K P (2.10)

Nas equaes, Tv e a velocidade total, que a soma

das velocidades de cada fase e T a mobilidade total. A saturao (s ) j foi anteriormente definida e F representa a funo fluxo fracionrio, definida por

=w

T

F (2.11)

Neste caso estamos admitindo a inexistncia de presso capilar entre as fases e, portanto, a presso a


mesma para ambas as fases. A equao (2.9) a chamada equao de Buckley-Leverett sendo escrita em funo da velocidade total. Admitindo que as viscosidades das fases gua e leo so constantes, tanto o fluxo fracionrio quanto a mobilidade total so funes apenas da saturao. A formulao numrica bsica utilizada para descrever o comportamento do fluido no meio poroso obtida por meio das equaes (2.8), (2.9) e (2.10). Aps a integrao das mesmas em um volume arbitrrio V e utilizando o teorema da divergncia, obtm-se

=

0TV

v dS (2.12)

+ =

0TV V

sdV F v dS

t (2.13)

Dessa forma, utilizando as curvas de permeabilidade relativas e as equaes acima descritas possvel conhecer o comportamento do escoamento dos fluidos em um reservatrio de petrleo. Maiores detalhes podem ser encontrados em Hurtado (2005).

2.3 Discretizao das Equaes

Antes da aproximao das equaes, convm mencionar os aspectos geomtricos do mtodo numrico utilizado, o EbFVM. A ilustrao da Figura 3 representa um exemplo de reservatrio bidimensional com malha no-estruturada de elementos quadrilteros. possvel observar os elementos que cobrem completamente o domnio e que nos vrtices de cada elemento esto localizados os ns, locais onde s variveis so calculadas. Ao redor do n, esto representados os respectivos volumes de controle que so compostos de vrios subvolumes de diferentes elementos. Os volumes de controle so delimitados pelas faces em cujo centride esto localizados os pontos de integrao, locais onde so calculados os fluxos. A disposio dos elementos no domnio pode ser completamente arbitrria, pois se trata de malhas no-


45

estruturadas e cada elemento representado utilizando sistema de coordenadas locais. Maiores detalhes sobre os aspectos geomtricos do mtodo podem ser observados em Maliska (2004) e Hurtado (2005).

Figura 3 Entes geomtricos utilizados no EbFVM.

Aps a identificao das propriedades geomtricas necessrio realizar a aproximao numrica das equaes. Assim, integrando no tempo e no espao as equaes (2.12) e (2.13) com auxlio da regra do ponto mdio para aproximao das integrais de superfcie e uma expresso de diferenas finitas para frente na aproximao do termo temporal, obtm-se respectivamente

( )

=

0

p p

nT ff

e fe

v S (2.14)

( )+

+ =

1

0p p

n nnp p n

p p f T ffne f

e

s sV F v S

t (2.15)

As equaes acima se referem a um volume de controle obtido ao redor do n analisado (denominado p ),

constitudas, portanto, de subvolumes de diferentes elementos. Alm das grandezas j definidas anteriormente,


saturao (s ), porosidade ( ) e velocidade total ( Tv ), e sabendo que ( t ) representa o intervalo de tempo, define-se tambm Subindice - indica local de avaliao da varivel; Superindice - representa o nvel de tempo; pV - Magnitude do volume de controle ao redor do ponto p ;

p - Elemento ao redor do ponto p ;

p - Conjunto de faces sobre as superfcies de

controle;

fS - Vetor rea de direo normal face e sentido

apontando para fora do volume. Utilizando a forma matricial do tensor permeabilidade absoluta e fazendo uma aproximao da velocidade total no centride de uma face, podemos reescrever a equao (2.10) da seguinte forma

( ) ( )= [ ] [ ]n n nT T e ff fv K P (2.16) Para a aproximao numrica do gradiente de

presso no centride da face f ,

[ ]nfP , so utilizadas as

conhecidas funes de forma, que para elementos quadrilteros so dadas pela expresso

[ ] [ ]T eP N P (2.17)

onde [ ]eP o vetor de valores nodais da presso no

elemento e . O vetor de funes de forma [ ]TN definido

por

= + + + + [ ] 0,25[(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )]Te

N (2.18)

As funes de forma tambm so utilizadas na transformao entre as coordenadas do sistema global ( , )x y e local ( , ) , da seguinte forma:


47

=

=

[ ] [ ]

[ ] [ ]

Te

Te

x N x

y N y (2.19)

onde os vetores [ ]ex e [ ]ey representam as coordenadas

globais dos ns localizadas nos vrtices dos elementos. A Figura 4 ilustra a transformao de um elemento quadriltero de um plano fsico para o plano transformado.

Figura 4 - Elemento em um sistema de coordenadas global e local.

Utilizando as definies da matriz jacobiana da

transformao [ ]TJ , da matriz das derivadas parciais das

funes de forma [ ]TD , da matriz de coordenadas dos ns

que definem um elemento da malha [ ]eZ , e a partir da

aproximao da variao da presso no elemento dada pela equao (2.17), possvel escrever o gradiente de presso como

( ) 1 [ ] [ ] [ ]T T eP J D P (2.20) onde =[ ] [ ] [ ]T T eJ D Z ;

+ + = + +

1 1 1 1[ ] 0,25

1 1 1 1TD ;


=

1 1

2 2

3 3

4 4

[ ]

e

x y

x yZ

x y

x y

.

Os valores das coordenadas locais e da matriz das derivadas, correspondem aos valores nos pontos 1, 2, 3 e 4 representados na Figura 5, (b). Dessa forma, a vazo da face f , de cada elemento

pode ser descrita pela equao

( ) ( ) ( ) = 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n n T T TT f T f e ef fv S S K J D P (2.21)

Figura 5 - Vetores rea de face no elemento do plano fsico transformado com suas orientaes.

onde [ ]TfS representa o vetor rea da face f com

orientao definida em relao ao elemento em que se encontra essa face, sendo obtido pela equao

= [ ] [ ] [ ] [ ]Tf f fS h R J (2.22)

onde h a espessura do reservatrio, [ ]R a matriz de

rotao, [ ]f , o vetor de componentes e . A matriz de rotao e o vetor de componentes so definidos por

=

0 1[ ]

1 0R (2.23)


49

= =

= =

1 2

3 4

1 0[ ] ; [ ] ;

0 1

1 0[ ] [ ] ;

0 1e

(2.24)

Precisamos agora definir o volume de controle, que a soma dos quatro subvolumes de cada elemento ao redor do n, pois os elementos so todos quadrilteros, assim,

{ }

= p

p s ee

V V (2.25)

onde s representa cada subvolume que contribui para o volume de controle analisado. Pode-se concluir que cada subvolume possui volume numericamente igual ao jacobiano da transformao, avaliado no centride do subvolume (HURTADO, 2005). Devido geometria do domnio no mudar com o tempo, assim como a permeabilidade do meio, possvel definir um operador a ser calculado no incio da simulao para ser utilizado ao longo do processo. Esse operador

( )[ ]fb definido por ( ) 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]T T T Tf f eb S K J D (2.26) Reescrevendo a equao (2.21) utilizando o operador geomtrico, tem-se

( ) ( ) = [ ] [ ]n n TT f T f ef fv S b P (2.27) Assim, a contribuio de cada elemento na equao (2.14) pode ser aproximada por

( ) ( ) ( ){ }

[ ] [ ] [ ]p p

n n nT TT f T a T b ef a b ee f

e

v S b b P (2.28)

onde a e b so os ndices locais das faces em que o vetor [ ]S aponta para fora do volume de controle e para dentro,

respectivamente. Utilizando a forma matricial para o lado


direito da equao acima para um elemento quadriltero, tem-se

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 21 21

2 32 3 2

33 43 4

44 14 1

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

n nT TnT T

n nT TT TP n

e e n nT TT T

n nT T eT T e

b bP

b b PA P

Pb b

Pb b

(2.29)

Com a definio da matriz global [ ]PA , podemos

definir o sistema de equaes lineares que permite calcular o campo de presso no domnio da soluo para cada nvel

de tempo n . Sendo [ ]PB o vetor global de termos

independentes, podemos escrever o sistema na seguinte forma

=[ ][ ] [ ]P n PA P B (2.30)

Assumindo conhecido o campo de saturao no tempo n e depois de resolvido a campo de presso, podemos obter o campo de saturao no tempo +1n utilizando a equao (2.15), que pode ser reescrita como

( ) ( )+

=

1 p p

nnn n n

p p f T fep p f

e

ts s F q

V (2.31)

onde ( )nT fq a vazo que atravessa uma face. Utilizando o operador geomtrico anteriormente definido esta quantidade pode ser expressa por

( ) ( )= [ ] [ ]n n T nT T f ef fq b P (2.32) Para obteno dos valores da funo fluxo

fracionrio ( )nfF nos centrides das faces dos subvolumes de controle utilizado o esquema de um ponto a montante, assim,

= nf puF F (2.33)


51

Na obteno dos valores da mobilidade empregada a interpolao linear. Assim, com auxlio das funes de forma

( ) = [ ] [ ]n T nT f T ef N (2.34) Maiores detalhes sobre esses esquemas de interpolao, assim como as etapas de discretizao utilizados podem ser verificados em Hurtado (2005) e Maliska et al. (2008). No EbFVM, os elementos so tratados individualmente atravs das coordenadas locais, assim necessrio utilizar um sistema de numerao que permita identificar cada elemento na matriz global de coeficientes. Os detalhes da formao dessa matriz podem ser encontrados em Hurtado (2005) e Cordazzo (2006). Esses itens no esto sendo abordados nesse captulo devido existncia de trabalhos utilizando o EbFVM em meios porosos. A formulao do problema para a determinao do comportamento do escoamento no reservatrio, com os cuidados devidos ao acoplamento, este sim, novidade neste trabalho, pode ser considerado resolvido e no se constitui em contribuies deste trabalho. O foco principal do trabalho analisar o escoamento no interior do poo horizontal e seu acoplamento com o reservatrio, o que ser abordado nos captulos seguintes. Estando equacionado o problema do escoamento no reservatrio, o prximo captulo dedicado ao problema do escoamento no interior do poo horizontal.

3 POO HORIZONTAL

3.1 Introduo

Existem na literatura diversos mtodos de completao do poo produtor e vrios os fatores que determinam a escolha da completao a ser utilizada, como, propriedades fsicas da rocha reservatrio, presena de areia etc. Dentre os diversos mtodos possvel destacar 03 (trs) tipos bsicos, ilustrados na Figura 6, que so: completao a poo aberto, liner rasgado e revestimento canhoneado (GARCIA, 1997).

Figura 6 - Tipos diferentes de completaes.

Nesse trabalho no importante o mtodo de completao empregado, pois independente do mtodo fsico de completao, o resultado na simulao sempre ser uma entrada de massa no poo, vinda do reservatrio. As telas, pedras especiais e canhoneio que possam ser adicionadas na interface, podem ser representados por

54 CAPTULO 3 POO HORIZONTAL

coeficientes hidrulicos distintos na formulao deste trabalho. Mesmo assim, alguns comentrios so aqui tecidos sobre estes mtodos, mesmo sendo utilizado neste trabalho a completao a poo aberto, onde toda a rea do poo fica em contato com o reservatrio. Diferente dos demais mtodos, nessa completao no so necessrios revestimento e cimentao, tampouco canhoneio. Entretanto, esse mtodo recomendado em alguns casos, por exemplo, onde a rocha reservatrio do tipo bem consolidada ou quando no existe excesso de areia na formao. O segundo e o terceiro tipo descritos na figura tm aplicaes especficas de acordo com a caracterstica de cada tipo de rocha onde o petrleo encontrado. O revestimento com liner rasgado utilizado em casos que pode ocorrer desmoronamento da rocha onde o poo perfurado e tambm onde existe risco de obstruo do poo devido a presena de areia. Nesse caso juntamente com o liner so utilizadas telas de conteno. O mtodo mais comum de completao envolve cimentao do revestimento na rea de interesse, onde a comunicao entre poo e reservatrio realizada atravs de buracos perfurados no revestimento e no cimento, denominados canhoneados.

3.2 Comportamento do Escoamento em Poos Horizontais

Analisando os histricos de produo de poos horizontais, possvel estabelecer um padro de comportamento para algumas variveis, como fluxo na interface do reservatrio e poo, produo de leo e variao da presso ao longo do poo horizontal. Para o caso especfico de reservatrio e poo horizontal com completao do tipo poo aberto, o comportamento esperado dessas variveis ilustrado na Figura 7.


55

Figura 7 Comportamento tpico do fluxo local em um poo horizontal.

A configurao descrita na Figura 7 uma situao idealizada que considera um reservatrio de propriedades constantes onde o fluxo local no incio do poo tem maior magnitude em funo da rea de drenagem ser maior naquela posio. Outra observao sobre a figura anterior com referncia a nomenclatura. No desenvolvimento desse trabalho foi seguida a mesma nomenclatura utilizada na literatura para se referir a duas localizaes nos poos horizontais. A extremidade do poo convencionalmente chamada de toe e o oposto, que coincide com o local prximo curva onde o fluido ir escoar na vertical at a cabea do poo, denominado heel. Desse ponto em diante, nesse trabalho tambm sero utilizadas essas mesmas denominaes quando o item em questo estiver se referindo a poos horizontais.

3.3 Modelo Homogneo

Uma das hipteses consideradas no presente trabalho que o escoamento no interior do poo bifsico e imiscvel. Portanto, necessrio utilizar um modelo para descrever o comportamento das duas fases (gua e leo) no


interior do poo. A Figura 8 ilustra de uma maneira geral, as diferentes abordagens encontradas na literatura para descrever o comportamento dos escoamentos multifsicos.

Figura 8 Esquema representativo dos modelos de escoamentos.

No presente trabalho o modelo escolhido foi o modelo homogneo. Este modelo baseado na hiptese de que determinadas variveis de escoamento podem ser consideradas as mesmas para todas as fases. Se a hiptese de homogeneidade pode ser adotada, ento pode-se utilizar uma nica equao de conservao para todas as fases, como se fosse uma mistura perfeita (PALADINO, 2001). Utilizando a definio da saturao j mencionada nesse texto possvel encontrar uma relao para a velocidade mdia, como

= +m w w o ou u s u s (3.1)

3.4 Equaes do Escoamento no Interior do Poo Horizontal

O escoamento ao longo de um poo horizontal pode ser modelado considerando o poo como um duto perfurado com entrada de massa pela parede lateral. Na determinao das equaes que regem esse escoamento, o poo horizontal foi tratado como ilustrado na Figura 9.


57

Figura 9 Volume de controle no poo horizontal idealizado.

O balano de massa para a fase gua no volume de controle de comprimento x ilustrado na Figura 9 dado por

( ) ( ) ( )rw w w w w w w w w wE SA u q A u S Vt

+ =

(3.2)

onde o subindice e e s representam entrada e sada de massa pelas extremidades do poo horizontal e w indica a fase gua. Os termos w , wA e wu so a massa especfica, a rea da seco transversal ocupada pela fase no poo horizontal e a velocidade da fase gua. A saturao da gua representada por wS ,V a magnitude do volume

de controle e rwq a vazo volumtrica da fase gua do

reservatrio que entra no poo horizontal. Se x o comprimento do volume de controle, o seu volume ser dado por = V A x . Substituindo a rea da fase gua pelo produto da saturao pela rea total =( )w wA S A , resulta em

( ) ( ) ( )r rw w w w w w w w w wE SS Au q S Au S A xt

+ =

(3.3)

Admitindo constante a seco do poo horizontal e tambm a massa especfica da gua, possvel dividir a equao por wA x obtendo uma equao para a fase gua.

( ) ( ) ( )

rw w w w wE S

w

S u S u qS

x V t

+ =

(3.4)


Com as mesmas consideraes obtida a equao para a fase leo, representada por

( ) ( ) ( )

ro o o o oE S

o

S u S u qS

x V t

+ =

(3.5)

Somando as equaes de cada fase, obtm-se uma expresso para a conservao da massa total.

( ) ( ) ( )

rw w o o w w o o TE S

w o

S u S u S u S u qS S

x V t

+ + + = +

(3.6)

Utilizando a equao de restrio volumtrica, onde a soma das saturaes igual a unidade, tem-se

( ) ( )

0r

w w o o w w o o TE SS u S u S u S u q

x V

+ ++ =

(3.7)

Introduzindo a definio de velocidade mdia, da seo anterior, possvel reescrever a equao (3.7) da seguinte maneira

( ) ( )

0r

m m TE Su u q

x V

+ =

(3.8)

Considerando o limite 0x obtm-se a equao da conservao da massa em sua forma diferencial

=

r

m Tu q

x V (3.9)

O balano de quantidade de movimento para o volume de controle pode ser escrito, para o caso unidimensional considerado, como

( ) ( ) ( ) + =

xentra sai VCm u m u F mu

t (3.10)

Com base no volume de controle na ilustrao da Figura 9, possvel escrever os primeiros dois termos do

lado esquerdo como 2 2( ) ( )E Su A u A . O somatrio das foras, representado pelo terceiro termo, compreende as foras devidas presso ( ) ( )E SP A P A e tambm a fora de

atrito na parede, dada por p x , onde representa a


59

tenso cisalhante e p o permetro da seo do poo.

Substituindo essas expresses na equao (3.10), tem-se

[ ]

( )

2 2( ) ( ) ( ) ( )E S E Su A u A P A P A p x

u A xt

+ =

(3.11)

O sinal negativo do termo que representa a fora viscosa devido ao atrito ser contrrio ao movimento. Dividindo a equao por x e considerando os limites 0x e 0t , obtm-se a equao em sua forma diferencial

( ) ( ) ( ) + = 2u A u A P A pt x x (3.12) Admitindo que a seco do poo horizontal constante, a equao anterior pode ser dividida pela rea, assim

( ) ( ) + = 2 P pu ut x x A (3.13) Considerando tambm que alm de constante o poo horizontal possui seo circular, tem-se que

pi= 2/4A d e pi=p d . Alm disso, o fator de atrito de Darcy

dado por = 28 /f u . Introduzindo essas definies possvel reescrever a equao (3.13) da seguinte forma

( ) ( ) + = 2

2

2

P f uu u

t x x d (3.14)

Considerando que ambas as fases escoam com a mesma velocidade e utilizando o subindice m para indicar as variveis mdias, a equao de conservao da quantidade de movimento para a mistura pode ser escrita da seguinte forma

( ) ( ) + = 2

2

2m m m

m m m m

P f uu u

t x x d (3.15)


Para o caso da fase gua, a equao evolutiva da saturao proveniente da equao (3.4), que depois de fazer o limite de 0x e 0t e rearranjar os termos tem a seguinte forma

( ) ( ) + = rw

w w w

qS S u

t x V (3.16)

Na obteno da saturao da fase leo utilizada a equao de restrio volumtrica.

3.5 Discretizao das Equaes

Como j mencionado anteriormente, o modelo de escoamento considerado para o poo horizontal 1D, portanto, na aproximao numrica das equaes diferenciais, o poo horizontal pode ser idealizado como uma linha segmentada em que cada segmento corresponde a um volume de controle. Ainda, dada a estrutura das equaes do modelo considerado, um arranjo de variveis desencontrado simplifica significativamente a soluo do conjunto de equaes discretizadas. Neste arranjo, a presso calculada nos centros dos volumes de controle, enquanto que a velocidade calculada nas interfaces entre volumes. A Figura 10 representa a malha utilizada para a discretizao da equao da conservao da massa. Alm da presso, a saturao tambm est armazenada no centro dos volumes de controle do poo horizontal.

Figura 10 Malha para a presso e velocidade, utilizada na discretizao do poo horizontal.


61

A integrao no espao para a equao da conservao da massa (3.9) resulta

=

r

m Tu qdx dxx V

(3.17)

+

=[ ] [ ]

[ 1] [ ][ ]

rT i p i

m i m ii

q xu u

V (3.18)

A equao acima pode ser reescrita numa forma mais conveniente, isolando a velocidade +[ 1]m iu

+

= +[ ] [ ]

[ 1] [ ][ ]

rT i p i

m i m ii

q xu u

V (3.19)

A simplificao de domnio 1D para o poo horizontal permite que a velocidade em uma face possa ser calculada com os valores da velocidade da face vizinha. Essa condio possibilita a utilizao de um procedimento de marcha para o clculo das velocidades ao longo do poo. Mais detalhes desse procedimento ser abordado no prximo captulo. Conforme mencionado anteriormente, alm da equao da conservao da massa necessria tambm uma equao para saturao no interior do poo horizontal, para isso a integrao da equao (3.16), que representa a saturao da fase gua, resulta em

( ) ( ) + = rw

w w w

qS dtdx S u dtdx dtdx

t x V (3.20)

( ) ( )+ + + =

0[ ] [ ] [ ] [ 1] [ 1] [ ] [ ]

[ ][ ]

[ ]

w i w i p i w i w i w i w i

rw i

p ii

S S x S u S u t

qx t

V

(3.21)

Isolando [ ]w iS , obtm-se


+ +

=

+

[ ][ ] [ ]

[ ] 0[ ] [ ] [ ] [ 1] [ 1]

[ ]

1w i

p i w i

rw i

p i w i p i w i w ii

Sx u t

qx t S x S u t

V

(3.22)

A malha para a discretizao da equao da quantidade de movimento mostrada na figura abaixo.

Figura 11 Malha para a velocidade, utilizada na discretizao do poo horizontal.

Integrando no tempo e no espao a equao (3.15), obtm-se

( ) ( )

+ =

2

2

2

m m m m

m m m

u dt dx u dt dxt x

P f udtdx dt dx

x d

(3.23)

Utilizando esquema de interpolao do tipo upwind para o termo advectivo e diferenas centrais para o termo da presso, j que o primeiro parablico e o segundo elptico, tem-se

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ] [ ]

+ +

+ =

2 21 1

2[ ] [ ]

1 2

o om m m mm i i i m i u i m i i m i i

m i m im i

i i u i

u u x u u t

f uP P t x t

d

(3.24)


63

Dividindo a equao por t e isolando [ ]1iP , tem-se

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

[ ]

+ +

= + +

+

21 1 1

2[ ] [ ]2

2

io om m mi i m i i i m i m i i

m i m im imm i i i

xP P u u u

t

f uu x

d

(3.25)

Assim como no caso da equao de conservao da massa, esta equao mostra que para o clculo da presso ao longo do poo pode ser adotado um procedimento de marcha. Portanto, a resoluo das equaes discretizadas no precisa da soluo de sistemas lineares de equaes. Para finalizar a formulao necessrio adotar alguma correlao para o clculo do fator de atrito. Diferentemente de alguns modelos propostos na literatura que calculam esse fator para o regime laminar atravs de uma expresso analtica e uma correlao para o regime turbulento, nesse trabalho utilizada uma nica correlao vlida para todos os regimes, a correlao de Churchill (CHURCHILL, 1977), dada pela relao matemtica

= + +

1/1212

3/2

8 18

Re ( )mf

A B (3.26)

onde os parmetros A e B so dados, respectivamente, por

= +

1610,97

2,457ln 0,27Re

eA

d (3.27)

=

1637530

ReB (3.28)

Nas equaes acima, alm do dimetro (d ), e a rugosidade, Re o nmero de Reynolds ( =Re /ud ) e a relao /e d representa a rugosidade relativa.

Duas resalvas devem ser mencionadas sobre a correlao na obteno do fator de atrito. A primeira delas


que a correlao de Churchill foi desenvolvida para escoamentos monofsicos e a segunda, que o tratamento dado nesse trabalho ao poo horizontal de duto perfurado com entrada de massa diferente da situao de duto fechado para o qual a correlao foi estabelecida. No um objetivo deste trabalho escolher ou empregar a melhor correlao para o fator de atrito, mas sim desenvolver uma metodologia que, depois, possa ser testada com diferentes coeficientes de atrito. importante salientar que a determinao do coeficiente de atrito para escoamentos em dutos com entrada lateral de massa um assunto de vanguarda na literatura. Sua determinao requer medies experimentais ou simulaes numricas precisas considerando escoamentos multifsicos e possivelmente turbulentos.

4 ACOPLAMENTO POO HORIZONTAL E RESERVATRIO

4.1 Introduo

Na literatura so relacionados dois mtodos de soluo para o problema que envolve poos horizontais e reservatrios de petrleo, os acoplados e os segregados. Nos mtodos denominados acoplados, todas as equaes so resolvidas simultaneamente em um nico sistema linear, enquanto que para os mtodos segregados necessrio estabelecer uma forma de acoplamento entre as equaes que descrevem o comportamento do fluido no meio poroso (reservatrio) e as equaes de Navier-Stokes (poo horizontal). Esse trabalho enquadrado no segundo tipo, pois se prope a estabelecer um mtodo de acoplamento entre o poo horizontal e o reservatrio de forma segregada, procurando evitar os problemas de mal-condicionamento da matriz de coeficientes quando a forma acoplada empregada devido as diferentes escalas dos problemas do reservatrio e do poo. Esse acoplamento fortalecido pela utilizao de um mtodo numrico conservativo, sendo possvel garantir que todo fluxo que atravessa a fronteira do poo seja proveniente do reservatrio, sem gerao ou sumidouro de fluxo. Quanto ao tamanho do domnio em estudo, so encontrados na literatura trabalhos que dividem o mesmo em partes simtricas. Essa diviso permite resolver com melhor preciso cada parte com a vantagem de reduo do tempo computacional, visto que esses tempos na simulao de reservatrios so elevados. Considerando uma diviso do dominio em 04 partes, possvel chegar soluo com quase um quarto do tempo comparando com o domnio completo, entretanto, a desvantagem desse tratamento que a condio de simetria difcil de ser encontrada em problemas reais. A escolha do domnio de soluo depende sempre da anlise do problema em questo e no pode ser uma regra. Conforme as exigncias

66 CAPTULO 4 ACOPLAMENTO POO HORIZONTAL E RESERVATRIO

e requisitos do problema esta hiptese (simetria) pode ser feita ou no. Outra importante questo que surge na discretizao do domnio a diferena na ordem de grandeza entre as malhas utilizadas no reservatrio e no poo horizontal. Utilizando malhas no-estruturadas possvel discretizar o domnio de trs diferentes maneiras, que so: poo horizontal coincidente com a malha do reservatrio, poo coincidente com a malha do reservatrio, mas com refino localizado e poo no coicidente com a malha do reservatrio. Essas trs maneiras esto ilustradas nas figuras seguintes. Na Figura 12 ilustrado o primeiro caso mencionado, quando as malhas do poo horizontal e do reservatrio so coincidentes. Tratando-se de solues segregadas, nessa e nas demais situaes necessrio encontrar uma forma de relacionar as presses dos ns do reservatrio com as presses do poo horizontal e tambm uma forma de relacionar os fluxos ao longo da interface.

Figura 12 Malha do poo horizontal coincidente com malha do reservatrio.

A outra possibilidade, com as malhas coincidentes, realizar um refino na malha do reservatrio ao longo do poo horizontal como demonstrado na Figura 13.


67

Figura 13 Malhas coincidentes e com refino localizado.

A terceira situao, quando o poo no coicidente com a malha do reservatrio, est ilustrada na Figura 14.

Figura 14 Poo horizontal no coincidente com malha do reservatrio.

Nos trs casos existe a necessidade de um modelo de poo que conecte as presses do poo com as do reservatrio. No segundo caso, se a malha for extremamente refinada no reservatrio nas vizinhanas do poo, ento a soluo local estar sendo satisfeita e o


modelo de poo no requerido. Os modelos de poos diferem quando o poo coincide com os ns da malha do reservatrio ou no, e esta uma questo importante na literatura e em aberto. A segunda situao descrita a que ser abordada nesse trabalho. Entretanto, mesmo com a opo de refino localizado ao redor do poo horizontal, a dimenso das malhas utilizadas no suficiente para captar os altos gradientes de presso que ocorrem ao redor do poo. Como a velocidade de escoamento proporcional ao gradiente de presso, um possvel erro nos valores da presso pode provocar erros na avaliao do fluxo na interface. Para contornar isso, usual utilizar os chamados modelos de poo, que relacionam as presses dos ns ao longo do poo com os ns dos elementos vizinhos. Modelos de poos nada mais so do que solues locais que fazem a ligao entre as presses do poo e reservatrio. Em geral essas solues locais so analticas e definem um ndice de produtividade do poo, assunto abordado na prxima seo.

4.2 ndice de Produtividade para Poos Verticais

Os reservatrios possuem, em geral, extensas reas, que podem variar de centenas de metros at quilmetros, diferentemente do dimetro dos poos horizontais que variam na ordem de centmetros. Devido a essa acentuada diferena de dimenses, uma malha normalmente utilizada na discretizao dos reservatrios no capaz de captar as variaes das propriedades do escoamento nas proximidades do poo. Atualmente, mesmo que um refino localizado seja realizado ao redor do poo, no possvel avaliar os gradientes de presso prximos ao poo e consequentemente o escoamento pode no ser bem resolvido na interface. Nesses casos, um modelo baseado em solues analticas simplificadas para o escoamento ao redor do poo, tem sido largamente utilizado. Desde o surgimento dos poos horizontais vrias publicaes foram realizadas utilizando maneiras diferentes para o clculo do ndice de poo. Esses ndices consideram que o escoamento ortogonal ao eixo do poo


69

horizontal, pode ser circular, elptico, retangular ou mistos. Alguns autores inicialmente consideraram ndices de poo constante para poos horizontais, mas essa aproximao no representa a realidade, principalmente em casos de reservatrio com baixa permeabilidade. Nessas situaes ocorre um aumento acentuado do fluxo proveniente do reservatrio na regio prxima ao heel e esse aumento responsvel pelo breaktrhough. O problema do breaktrhough de tal importncia em casos de poos horizontais que alguns autores tm proposto tcnicas diferentes de completao, a fim de corrigir o perfil do fluxo ao longo do poo, tornando-o mais uniforme. Essas tcnicas vo desde a diminuio do intervalo de perfurao prximo ao heel, em casos de completaes canhoneadas, at a colocao de um revestimento interno para controlar o fluxo nessa regio (BREKKE, 1994). Anklam e Wiggins (2005) realizaram uma reviso de vrios mtodos para clculo do ndice de produtividade de poos horizontais publicados at ento. Os autores concluram o que esperado para a maioria das situaes, que a aproximao de condutividade infinita, onde a presso considerada constante ao longo do poo no vlida para poos horizontais, pois ocorre variao de presso ao longo do mesmo. Os autores tambm desenvolveram um novo modelo para avaliar o ndice de produtividade. Hill e Zhu (2006) propuseram um mtodo para clculo do ndice de poo e introduziram um novo nmero adimensional (Horizontal Well Number). Essa grandeza relaciona a permeabilidade do reservatrio, comprimento e dimetro do poo horizontal e tambm um fator de geometria do reservatrio. Com a utilizao de dois nmeros adimensionais, (Nmero de Reynolds e Horizontal Well Number), os autores relacionaram a queda de presso ao longo do poo horizontal com a queda de presso no reservatrio e tambm demonstraram a influncia do aumento da permeabilidade do reservatrio no comportamento do ndice de produtividade. Um dos modelos largamente utilizado em simulaes de reservatrios o desenvolvido por Peaceman


(1977). Em seu trabalho, o autor realizou algumas simplificaes, que so: escoamento incompressvel e monofsico, fluxo radial permanente e meio isotrpico (ROSA; CARVALHO; XAVIER, 2006). A Figura 15 ilustra o problema formulado por Peaceman (1977).

Figura 15 Hiptese de fluxo radial para clculo do ndice de produtividade.

Utilizando a equao de Darcy em coordenadas cilndricas,

= r

k dPv

dr (4.1)

Assim, escrevendo a velocidade em funo do fluxo e da rea, e integrando entre o raio do poo ( Wr ) e um raio

genrico (r ), possvel obter uma expresso para a variao da presso, por

pi

= +

( ) ln

2W W

q rP r P

hK r (4.2)

Peaceman (1977) introduziu o conceito de raio equivalente 0r , definido como a posio radial onde a

presso nodal calculada numericamente tem o mesmo valor da presso calculada pela expresso analtica. Assim possvel obter uma relao entre vazo e queda de presso

( ) ( )pi

=

0

2

ln / p WW

hKq P P

r r (4.3)


71

onde o pP representa a presso nodal. A partir da equao

(4.3) pode-se definir o ndice de produtividade (IP), por

( )pi

=

0

2

ln / W

hKIP

r r (4.4)

Esse ndice de produtividade descrito, obtido atravs das simplificaes, utilizado em casos de poos verticais e domnios tridimensionais. Entretanto, para o problema em estudo, que considera o reservatrio bidimensional, algumas modificaes devem ser realizadas.

4.3 ndice de Produtividade para Poos Horizontais

O ndice de produtividade descrito por Peaceman (1977) utilizado em casos de poos verticais. Com a crescente utilizao dos poos horizontais vrios ndices de produtividade foram propostos na literatura e um desses modelos descrito por Joshi (JOSHI, 1991), calculado por

( ) ( ) ( )pi

=

+ + +

22

2

/2ln / ln / 2

/2 W

khIP

a a Lh L h r

L

(4.5)

onde ( ) ( ) = + + 0,5

4/2 0,5 0,25 2 /eha L r L , Wr representa o

raio do poo, ehr o raio de drenagem do poo horizontal, h

a espessura do reservatrio e L o comprimento total do poo horizontal. O raio de drenagem o raio de um crculo de rea equivalente a rea de drenagem ou de influncia de um poo horizontal. Foi obtido no presente trabalho um ndice de produtividade para cada segmento entre os ns do poo horizontal, por isso no valor do comprimento total L foi atribudo o valor da distncia entre os ns do poo horizontal. Para a espessura do reservatrio foi considerado o valor unitrio e para o valor do raio de drenagem ehr foi atribudo o valor do raio equivalente 0r ,

descrito na seco anterior.


Nesse momento importante enfatizar as adaptaes no clculo do ndice de produtividade proposto por Joshi com o utilizado nesse trabalho. Os modelos analticos e o descrito acima fornecem um valor nico de ndice de produtividade enquanto que o mtodo proposto nesse trabalho fornece um valor de ndice de produtividade para cada n em que o poo discretizado. Essas adaptaes foram necessrias para possibilitar a comparao do ndice de produtividade proposto com um modelo descrito na literatura.

4.4 ndice de Produtividade Proposto

Como estamos trabalhando com uma situao idealizada 2D, mas que suficiente para testar o algoritmo de acoplamento, objeto deste tabalho, necessrio desenvolver um modelo de poo cujo comportamento nas vizinhanas do poo no seja radial. Considerando um domnio bidimensional para o reservatrio e unidimensional para o poo horizontal, o comportamento esperado do fluxo do reservatrio para o poo ilustrado na Figura 16. A espessura do reservatrio nessa situao considerada unitria.

Figura 16 Fluxo do reservatrio para o poo horizontal no modelo proposto.

Representando o poo horizontal em um sistema de coordenadas ortogonal, sendo o poo coincidente com o eixo coordenado x (Figura 17), e utilizando a lei de Darcy para fluxo no meio poroso, possvel escrever o fluxo no poo para um elemento infinitesimal dx , como


73

Figura 17 Poo horizontal coincidente com o eixo coordenado x.

=

k dP q

dy x (4.6)

Assim como para poos verticais, a presso considerada apenas varivel com a coordenada y , e

estamos tambm considerando que o fluxo nesse trecho infinitesimal depende somente dessa coordenada. Integrando a equao (4.6) de hwy at um y qualquer,

obtemos uma expresso para a variao da presso

= +

( )( ) hwW

q y yP y P

K x (4.7)

Utilizando o mesmo conceito de raio equivalente (posio onde a presso nodal calculada numericamente tem o mesmo valor da presso analtica) de Peaceman, com a diferena que nesse caso a coordenada equivalente ( 0y )

leva em considerao apenas um lado do poo horizontal, e admitindo somente o sentido positivo do eixo coordenado, podemos escrever a equao para a vazo como

( )

=

0( )p W

hw

K xq P P

y y (4.8)

Onde o pP representa a presso nodal e, assim

como no caso de poos verticais, o ndice de produtividade definido por

=

0( )hw

K xIP

y y (4.9)

A diferena entre o ndice de produtividade proposto acima que nesse caso a variao da presso possui


comportamento linear, diferente do comportamento exponencial do ndice de produtividade de Peaceman. Para determinar a coordenada equivalente ( 0y )

necessrio tornar compatveis as solues analtica e n

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Dissertação de Mestrado - Estudo Numérico Do Acoplamento Entre Poço Horizontal e Reservatório de Petróleo