Dissertação, pre-esforço

Análise e dimensionamento de um piso com

pré-esforço inserido no projeto de um edifício

Ivo Sales Henriques Miranda

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Prof. Fernando Manuel Fernandes Simões

Orientador: Prof. José Manuel Matos Noronha da Camara

Vogal: Prof. Augusto Martins Gomes

Outubro 2012

Análise e dimensionamento de um piso com pré-esforço inserido no projeto de um edifício

Instituto Superior Técnico

i

RESUMO

A presente dissertação tem como principal objetivo a análise e discussão das deformações de

uma laje fungiforme para diferentes soluções geométricas e com recurso a pré-esforço. Para

esse efeito, considerou-se o projeto de um edifício de uma discoteca com 2 pisos que requer

espaços amplos sem pilares. Estudou-se principalmente a laje do primeiro piso dado que, além

de ter grandes vãos, tem ainda a particularidade de ter que suportar diretamente 3 pilares

vindos da cobertura que não têm continuidade para o piso térreo.

Definidas as considerações iniciais relativamente aos materiais, ações e combinações,

verificou-se que uma solução sem pré-esforço não era satisfatória em termos de deformações

e que seria necessário uma solução estrutural com bandas de pré-esforço.

A avaliação das deformações com pré-esforço foi efetuada para 2 configurações geométricas

distintas e, para cada configuração, 2 tipos de traçado distintos: parabólico e poligonal. Para

esta avaliação foram definidos pontos de controlo e matrizes de influência em relação aos

mesmos. As linhas destas matrizes medem o deslocamento dos pontos para um determinado

pré-esforço aplicado numa única banda.

Para terminar, após a análise das deformações das várias soluções, adotou-se a melhor

solução das estudadas e verificou-se a segurança aos estados limites últimos condicionantes.

Palavras-Chave: Projeto de Edifícios, Betão Estrutural, Análise de Deformações, Matrizes de

Influência de Deslocamentos, Bandas Maciças, Pré-esforço.



ii

ABSTRACT

The present dissertation aims at analyzing and discussing the displacement on a flat slab

without beams with different geometries, using a prestressed solution. The analysis was

performed on a two-storey building to be used as a night club, a use that requires large open

areas without vertical elements. The investigation was performed on the slab of the first floor. It

presents large spans, and also has to support the load of 3 columns that are supporting the roof

and do not continue until the ground floor.

After defining the initial constraints, such as materials, loads and load combinations, it was

concluded that an ordinary solution with reinforced concrete did not fulfil the requirements in

serviceable limit state for the maximum admissible displacements. It was, therefore, necessary

to design a solution with prestressed bands.

The evaluation of the displacements on the slab with prestressed bands was performed

considering two different geometries, and for each geometry, two different shapes for the

cables: parabolic and polygonal. The evaluation was performed on control points, defined as the

conditioning points where maximum displacement was observed for each solution. From the

control points, influence matrices for each slab were determined. The rows of the matrices

represent the displacement of the points for the strength of prestress applied in each band.

Finally, after careful analysis of the different solutions, the best solution was selected and the

ultimate limit states were verified for that solution.

Key-words: Building design, Structural Concrete, Displacement Analysis, Matrix of Influence of

the Displacements, Prestressed Bands, Prestress.



iii

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Professor José Câmara, pela sua dedicação e disponibilidade ao longo da

realização desta dissertação.

Aos meus amigos e colegas por me apoiarem ao longo de todo o percurso académico.

Aos meus pais por acreditarem em mim, por me darem força e investirem na minha formação.

Aos meus irmãos por me motivarem quando mais precisava.

À minha namorada por todo o apoio e paciência.



v

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 OBJETIVO DA DISSERTAÇÃO 1

1.2 ENQUADRAMENTO DO TRABALHO 1

1.3 ORGANIZAÇÃO EM CAPÍTULOS 5

2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 7

2.1 DEFINIÇÃO DOS MATERIAIS 7

2.2 QUANTIFICAÇÃO DAS AÇÕES 8

2.3 COMBINAÇÕES DE AÇÕES 9

2.3.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO 10

2.3.2 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO 10

2.3.3 COEFICIENTES PARCIAIS E COEFICIENTES DE COMBINAÇÃO 11

3 AVALIAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES SEM PRÉ-ESFORÇO 13

3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO 13

3.1.1 PILARES 13

3.1.2 VIGAS 15

3.1.3 LAJES 16

3.2 ESTIMATIVA DA DEFORMAÇÃO ATRAVÉS DE CÁLCULOS SIMPLIFICADOS 18

3.3 MODELAÇÃO ESTRUTURAL 22

3.3.1 VALIDAÇÃO DO MODELO 23

3.4 DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES RECORRENDO AO SAP2000 25

4 AVALIAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES COM PRÉ-ESFORÇO 27

4.1 SOLUÇÕES DE PRÉ-ESFORÇO CONSIDERADAS 30

4.2 PONTOS DE CONTROLO 31

4.3 DEFORMADA E DESLOCAMENTOS DAS CARGAS QUASE PERMANENTES 32

4.4 TRAÇADO E ESTIMATIVA DE PRÉ-ESFORÇO A APLICAR NAS BANDAS Y1 E Y2 34



vi

4.4.1 CARGAS QUASE PERMANENTES 35

4.4.2 AVALIAÇÃO DA FLEXÃO GLOBAL E CARGA EQUIVALENTE DISTRIBUÍDA 36

4.4.3 AVALIAÇÃO DO VALOR DE PRÉ-ESFORÇO 37

4.5 TRAÇADO E ESTIMATIVA DE PRÉ-ESFORÇO NA BANDA Y3 E NA BANDA X 39

4.6 CARGAS EQUIVALENTES 46

4.7 DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES RECORRENDO AO SAP2000 51

4.7.1 CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO E MATRIZES DE INFLUÊNCIA 52

4.7.2 SOLUÇÃO DE PRÉ-ESFORÇO ADOTADA 57

4.7.3 ANÁLISE DAS MATRIZES DE INFLUÊNCIA E AS SUAS FUNCIONALIDADES 58

5 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 62

5.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO 62

5.1.1 BANDA – ELU DE FLEXÃO COM PRÉ-ESFORÇO PELO LADO DA AÇÃO 62

5.1.2 LAJE – ELU DE FLEXÃO 64

6 CONCLUSÃO 68

7 BIBLIOGRAFIA 70



vii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 – Zona de estudo assinalada a vermelho .................................................................... 2

Figura 1.2 – Planta completa do piso 1 com zona de estudo assinalada a vermelho .................. 2

Figura 1.3 – Zona de estudo do piso 1 ......................................................................................... 3

Figura 1.4 – Planta de estruturas da zona em estudo no piso 1, com indicação dos elementos

verticais .................................................................................................................................. 3

Figura 1.5 – Planta de estruturas da zona em estudo na cobertura, com indicação dos

elementos verticais ................................................................................................................ 4

Figura 1.6 – Vista tridimensional do alçado .................................................................................. 4

Figura 1.7 – Vista tridimensional da fachada ................................................................................ 4

Figura 1.8 – Vista tridimensional em perspetiva ........................................................................... 5

Figura 3.1 – Pilar condicionante para o pré-dimensionamento e respetiva área de influência no

piso 1 .................................................................................................................................... 14

Figura 3.2 – Pilar condicionante para o pré-dimensionamento e respetiva área de influência na

cobertura preenchida a verde .............................................................................................. 14

Figura 3.3 – Secção da laje aligeirada ........................................................................................ 17

Figura 3.4 – Planta da cobertura com a banda em X considerada ............................................. 18

Figura 3.5 – Zona crítica assinalada a vermelho e faixas Y1, Y2 e Y3 ...................................... 19

Figura 3.6 – Modelo de cálculo 1 para a faixa Y3 ....................................................................... 19

Figura 3.7 – Modelo de cálculo 2 para a faixa Y3 ....................................................................... 19

Figura 3.8 – Modelo de cálculo 3 para as faixas Y1 e Y2 ........................................................... 19

Figura 4.1 – Localização das bandas Y1, Y2 e Y3 ..................................................................... 28

Figura 4.2 – Localização das bandas Y e da banda X ............................................................... 28

4.3 – Secção transversal de uma banda com o máximo de cabos permitido ............................ 29

Figura 4.4 – Modelos de cálculo para as soluções A1 e A2 ....................................................... 30

Figura 4.5 – Modelos de cálculo para as soluções B1 e B2 ....................................................... 30

Figura 4.6 – Planta com pontos de controlo assinalados a vermelho ........................................ 32

Figura 4.7 – Deformada provocada pela combinação das cargas quase permanentes na

configuração B sem cabos de pré-esforço .......................................................................... 33



viii

Figura 4.8 – Traçado parabólico das bandas Y1 e Y2 para a solução A1 e B1 ......................... 35

Figura 4.9 – Traçado poligonal das bandas Y1 e Y2 para a solução A2 e B2 ........................... 35

Figura 4.10 – Traçado parabólico da banda Y3 para a solução A1 ............................................ 39

Figura 4.11 – Traçado poligonal da banda Y3 para a solução A2 .............................................. 40

Figura 4.12 – Traçado parabólico da banda Y3 para a solução B1 ............................................ 40

Figura 4.13 – Traçado poligonal da banda Y3 para a solução B2 .............................................. 40

Figura 4.14 – Traçado parabólico da banda X para a solução B1.............................................. 40

Figura 4.15 – Traçado poligonal da banda X para a solução B2 ................................................ 41

Figura 4.16 – Modelo de cálculo para a banda X com reação r vinda da banda Y3 .................. 43

Figura 4.17 – Resumo das cargas equivalentes nas bandas Y1 e Y2 – Soluções A1 e B1 ...... 47

Figura 4.18 – Resumo das cargas equivalentes nas bandas Y1 e Y2: Soluções A2 e B2 ........ 47

Figura 4.19 – Resumo das cargas equivalentes na banda Y3: Solução parabólica A1 ............. 48

Figura 4.20 – Resumo das cargas equivalentes na banda Y3: Solução poligonal A2 ............... 48

Figura 4.21 – Resumo das cargas equivalentes na banda Y3: Solução parabólica B1 ............. 49

Figura 4.22 – Resumo das cargas equivalentes na banda Y3: Solução poligonal B2 ............... 50

Figura 4.23 – Resumo das cargas equivalentes na banda X: Solução parabólica B1 ............... 50

Figura 4.24 – Resumo das cargas equivalentes na banda X: Solução poligonal B2 ................. 51

Figura 4.25 – Deformada para uma ação de pré-esforço de 1000 kN em cada banda da solução

B2 ......................................................................................................................................... 53

Figura 5.1 – Diagrama retangular simplificado com pré-esforço pelo lado da ação ................... 62

Figura 5.2 – Diagrama m22 .......................................................................................................... 65

Figura 5.3 – Diagrama m11 .......................................................................................................... 66



ix

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 2.1 – Características do betão .......................................................................................... 7

Tabela 2.2 – Características dos aços .......................................................................................... 8

Tabela 2.3 – Quantificação das ações .......................................................................................... 9

Tabela 2.4 – Coeficientes parciais .............................................................................................. 11

Tabela 2.5 – Coeficientes de combinação .................................................................................. 11

Tabela 3.1 – Esbeltezas usuais para lajes fungiformes .............................................................. 16

Tabela 3.2 – Flechas devido às cargas distribuídas nos três modelos ...................................... 21

Tabela 3.3 – Flechas devido à carga pontual nos três modelos ................................................. 21

Tabela 3.4 – Flecha total para os três modelos de cálculo ......................................................... 21

Tabela 3.5 – Reações globais da estrutura retiradas do programa SAP2000 ........................... 23

Tabela 3.6 – Reações globais verticais da estrutura devido a elementos de área .................... 24

Tabela 3.7 – Reações globais verticais da estrutura devido a elementos de barra ................... 24

Tabela 4.1 – Laje maciça de 25 cm, sem qualquer banda ......................................................... 34

Tabela 4.2 – Configuração A ....................................................................................................... 34

Tabela 4.3 – Configuração B ....................................................................................................... 34

Tabela 4.4 – Combinação das cargas quase permanentes no piso 1 e na cobertura ............... 36

Tabela 4.5 – Combinação das cargas quase permanentes nas bandas .................................... 36

Tabela 4.6 – Características da banda ....................................................................................... 41

Tabela 4.7 – Carga equivalente de pré-esforço unidades .......................................................... 42

Tabela 4.8 – Valor do pré-esforço útil ......................................................................................... 42

Tabela 4.9 – Tensão média ......................................................................................................... 43

Tabela 4.10 – Características da banda X .................................................................................. 44

Tabela 4.11 – Valor de pré-esforço útil ....................................................................................... 45

Tabela 4.12 – Tensão média ....................................................................................................... 45

Tabela 4.13 – Número de cabos a aplicar em cada banda e configuração ............................... 45

Tabela 4.14 – Cargas equivalentes nas bandas Y1 e Y2: Soluções parabólicas A1 e B1......... 46

Tabela 4.15 – Cargas equivalentes nas bandas Y1 e Y2: Soluções A1 e B1 ............................ 47



x

Tabela 4.16 – Cargas equivalentes na banda Y3: Solução parabólica A1 ................................. 48

Tabela 4.17 – Cargas equivalentes na banda Y3: Solução poligonal A2 ................................... 48

Tabela 4.18 – Cargas equivalentes na banda Y3: Solução parabólica B1 ................................. 49

Tabela 4.19 – Cargas equivalentes na banda Y3: Solução poligonal B2 ................................... 49

Tabela 4.20 – Cargas equivalentes na banda X: Solução parabólica B1 ................................... 50

Tabela 4.21 – Cargas equivalentes na banda X: Solução poligonal B2 ..................................... 51

Tabela 4.22 – Reações globais para um valor de pré-esforço de 1000 kN em cada banda ...... 52

Tabela 4.23 – Matriz de influência da solução A1 ...................................................................... 54

Tabela 4.24 – Matriz de influência da solução A2 ...................................................................... 54

Tabela 4.25 – Matriz de influência da solução B1 ...................................................................... 54

Tabela 4.26 – Matriz de influência da solução B2 ...................................................................... 55

Tabela 4.27 – Melhores configurações de cabos para cada solução ......................................... 57

Tabela 4.28 – Flechas máximas em todo o piso retiradas do SAP para a melhor solução B1 .. 58

Tabela 4.29 – Flechas máximas em todo o piso retiradas do SAP para a melhor solução B2 .. 58

Tabela 4.30 – Número de cabos em cada banda necessário para limitar a flecha máxima para

um certo valor na solução A1............................................................................................... 59


um certo valor na solução B1............................................................................................... 59


um certo valor na solução A2............................................................................................... 60


um certo valor na solução B2............................................................................................... 60

Tabela 5.1 – Características da secção ...................................................................................... 63



1

1 INTRODUÇÃO

1.1 OBJETIVO DA DISSERTAÇÃO

O principal objetivo da presente dissertação é o de analisar, a partir de um projeto, uma

situação particular com necessidade de recurso ao pré-esforço que, hoje em dia, ocorre com

alguma frequência no projeto de edifícios. Partiu-se da análise do projeto de uma discoteca no

Funchal com dois pisos, na qual três pilares de um piso superior descarregam diretamente num

piso intermédio, não podendo ter continuidade devido à necessidade de assegurar no piso

inferior um grande espaço livre sem elementos verticais. Refira-se ainda, que na cobertura há

que considerar uma carga significativa de uma camada de solo de 50 cm.

Neste trabalho estudam-se soluções possíveis na escolha de uma boa solução estrutural para

encaminhar naturalmente as cargas verticais e que satisfaça as verificações de segurança à

rotura e de utilização preconizadas na regulamentação em geral.

Importa referir que não é do âmbito do presente trabalho avaliar o comportamento às ações

horizontais, nomeadamente a verificação de segurança ao sismo, que de qualquer forma é

pouco condicionante, uma vez que o edifício só tem 2 pisos e a região onde se encontra

implantado é de pouca sismicidade.

1.2 ENQUADRAMENTO DO TRABALHO

O edifício que foi projetado e no qual se baseia o presente estudo localiza-se na cidade do

Funchal na Ilha da Madeira, sendo constituído pelo piso térreo, um piso intermédio com terraço

acessível e a cobertura com terreno de coberta vegetal. O piso térreo e o primeiro piso são

destinados ao funcionamento de uma discoteca.

Na figura 1.1 apresenta-se uma imagem tridimensional do edifício completo a ser construído e

da sua envolvente, que além da discoteca inclui outros elementos como um elevador de acesso

ao casino. Dado que o âmbito da dissertação se limita à discoteca, esta está assinalada a

vermelho na referida figura.



2

Figura 1.1 – Zona de estudo assinalada a vermelho

A arquitetura no presente caso requer espaços amplos sem pilares para a pistas de dança no

piso térreo, surgindo então, a necessidade de encontrar uma solução de engenharia estrutural

que de uma forma economicamente viável satisfaça os critérios de funcionalidade previstos.

Apresentam-se nas figuras 1.2 e 1.3, respetivamente, a planta de arquitetura geral do piso 1 e

da zona que será efetivamente estudada na presente dissertação.

Figura 1.2 – Planta completa do piso 1 com zona de estudo assinalada a vermelho



3

Figura 1.3 – Zona de estudo do piso 1

A geometria global da estrutura foi definida no contexto do desenvolvimento do projeto base de

arquitetura e de estruturas, os quais originaram a estrutura considerada no presente trabalho.

Para complementar a compreensão do projeto considerado apresenta-se uma planta geral ao

nível do piso 1 (figura 1.4) e ao nível da cobertura (figura 1.5) com localização dos elementos

verticais previstos para a estrutura e o modelo tridimensional em diversas perspetivas (figuras

1.6 a 1.8): Alçado, fachada e visão geral. Em todas as imagens se assinalaram com um círculo

azul os pilares sem continuidade para o piso inferior e em planta preencheram-se a vermelho

os pilares que apenas existem no piso inferior.

Figura 1.4 – Planta de estruturas da zona em estudo no piso 1, com indicação dos elementos

verticais



4

Figura 1.5 – Planta de estruturas da zona em estudo na cobertura, com indicação dos elementos

verticais

Figura 1.6 – Vista tridimensional do alçado

Figura 1.7 – Vista tridimensional da fachada



5

Figura 1.8 – Vista tridimensional em perspetiva

Como já referido anteriormente a principal questão que se coloca no projeto de estruturas do

referido edifício é o controlo das deformações na laje do piso 1, devidas essencialmente à

geometria imposta que exige vãos livres significativos na zona de discoteca e com cargas

concentradas da cobertura que se apoiam no piso intermédio.

No âmbito deste trabalho far-se-á a avaliação da deformação do piso para as ações quase

permanentes e o estudo de várias soluções com recurso a pré-esforço para as contrariar o

mais eficientemente possível. Evidentemente que neste processo se discutirá o pré-

dimensionamento, dimensionamento e verificação da segurança á rotura e disposições gerais

para a pormenorização da laje do piso e das bandas pré-esforçadas.

1.3 ORGANIZAÇÃO EM CAPÍTULOS

Com o intuito de facilitar a leitura e a compreensão da presente dissertação esta foi organizada

em 6 capítulos principais.

O primeiro capítulo designa-se “Introdução” contendo o objetivo da dissertação, o seu

enquadramento e a explicação da organização dos capítulos. Pretende-se que a informação

contida neste capítulo seja suficiente para a compreensão geral da dissertação,

nomeadamente na compreensão da estrutura e da sua envolvente, e dos aspetos que serão

abordados ao longo do documento.



6

O segundo capítulo, “Considerações iniciais”, explicita toda a informação relativamente a

materiais, ações e combinações de ações para a verificação da segurança aos estados limites

últimos e de utilização adotados na dissertação.

No terceiro capítulo designado por “Avaliação das deformações sem pré-esforço”, pretende-se

analisar a possibilidade de se adotar uma solução sem pré-esforço para a laje do piso 1. Neste

capítulo efetua-se, desde logo, o pré-dimensionamento dos pilares e vigas que serão utilizados

ao longo de todo o trabalho. Também se efetua o pré-dimensionamento de uma laje aligeirada

com capitel que é referida, pois foi a solução base proposta nos elementos de arquitetura

disponibilizados. Esta solução foi descartada atendendo à sua maior vulnerabilidade em caso

de incêndio. No entanto, verificou-se a dificuldade em garantir, com este tipo de solução, os

critérios de deformação sem pré-esforço. Desta forma foi utilizada a laje maciça com bandas

por ser a solução que se considerou ser a mais eficiente em termos de controlo das

deformações. Importa ainda referir que é neste capítulo que se inclui a validação da modelação

da estrutura, dado que é a primeira vez que é necessário recorrer ao modelo de elementos

finitos na dissertação.

O quarto capítulo designa-se “Avaliação das deformações com pré-esforço” onde se estudam

várias soluções de pré-esforço com bandas para a laje do piso 1 em termos de configurações

das bandas e traçados. Definem-se pontos de controlo para analisar as deformações no

programa de elementos finitos SAP2000, estima-se o pré-esforço a aplicar nas várias bandas e

após a definição dos traçados dos cabos determinam-se as cargas equivalentes em cada

banda e para cada solução. É ainda introduzido o conceito de matrizes de influência para o

pré-esforço, sendo utilizado não só para determinar a melhor solução para as restrições

impostas, como também para analisar a utilidade de cada traçado de cabo no estudo das

deformações.

No quinto capítulo “Verificações da segurança aos estados limites últimos”, é verificada a

segurança à rotura dos elementos pré-esforçados e da laje nas zonas mais condicionantes.

Finalmente, a dissertação termina com o capítulo das “Conclusões” onde se resumem os

principais aspetos do trabalho, comentando, em particular, a utilização das matrizes de

influência na definição dos traçados de cabo e a eficiência destes em termos da limitação das

deformações. As verificações de segurança à rotura também.



7

2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Neste capítulo referem-se todos os dados de base para a elaboração do presente trabalho.

2.1 DEFINIÇÃO DOS MATERIAIS

Os materiais considerados foram os seguintes:

Aço – A500NR: A escolha do aço das armaduras não é muito significativa em termos

de deformações em particular para elementos pré-esforçados. O A500NR é vantajoso

em relação ao A400NR pois assegura uma maior eficiência/custo assegurando as

mesmas características de ductilidade.

Betão – C30/37: Este betão confere para além da resistência, bons requisitos de

durabilidade como especificado na Norma NP EN 206-1 [1];

Aço – A1670/1860: Aço de alta resistência adotado para os cabos de pré-esforço.

Relativamente aos materiais acima referidos, apresenta-se nas Tabelas 2.1 e 2.2 uma síntese

das propriedades mais relevantes a utilizar no dimensionamento.

Tabela 2.1 – Características do betão

Materiais Propriedades

Betão C30/37

25 kN/m3

fck 30 MPa

fcd 20 MPa

fctm 2,9 MPa

fctk 2,0 MPa

Ec,28 33 GPa



8

Tabela 2.2 – Características dos aços

Materiais Propriedades

Armaduras A500NR

fyk 500 MPa

fyd 435 MPa

Es 200 GPa

Pré-Esforço A1670/1860

fpk 1860 MPa

fp0,1k 1670 MPa

2.2 QUANTIFICAÇÃO DAS AÇÕES

A análise estrutural deve considerar a influência de todas as ações que possam vir a atuar no

edifício e alterem os estados de tensão dos materiais e consequentemente os esforços nos

elementos resistentes (ações diretas) ou que gerem deformações significativas na estrutura

(ações indiretas).

Estas podem ser classificadas segundo a sua permanência e probabilidade de ocorrência,

como:

Ações Permanentes: ações de valor constante que atuam na estrutura durante toda a

sua vida útil;

Ações Variáveis: ações cujos valores sofrem uma variação significativa em torno do

seu valor médio ao longo do tempo;

Ações Acidentais: ações de duração muito curta e com muito baixa probabilidade de

ocorrência durante a vida útil do edifício (este tipo de ações não foi considerado no

dimensionamento do edifício em estudo).

Seguidamente apresenta-se uma tabela com indicação geral das ações, tendo só sido

consideradas as que apresentam valores na última coluna.

Os valores apresentados na Tabela 2.3 correspondem ao definido no Eurocódigo 1 [2].



9

Tabela 2.3 – Quantificação das ações

Ações Diretas

Permanentes

Peso Próprio:

Betão armado

Impulso do solo nas paredes

Solo

25 kN/m3

-

18 kN/m3

Restantes Cargas Permanentes:

Revestimento nos pisos

Revestimento na cobertura não acessível

Peso do solo na cobertura (espessura 50 cm)

2,5 kN/m2

1,0 kN/m2

9,0 kN/m2

Variáveis

Sobrecargas:

Pisos – Categoria C5

Cobertura não acessível – Categoria H

5,0 kN/m2

1,0 kN/m2

Vento

Neve

Ações Indiretas

Permanentes

Retração

Fluência

Variáveis

Variações de Temperatura

Sismo

2.3 COMBINAÇÕES DE AÇÕES

O dimensionamento de estruturas é realizado com base na verificação de segurança aos

estados limite último e de serviço. Estes permitem verificar, por um lado, que a capacidade

resistente assegura o nível de segurança adequado à rotura e, por outro lado, que as

condições de bom comportamento em serviço são verificadas.

As combinações de ações a considerar no dimensionamento de um edifício de betão armado

encontram-se definidas no Eurocódigo 0 [3].



10

2.3.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO

A verificação do Estado Limite Último (ELU) pretende garantir o não colapso da estrutura, com

uma probabilidade de 1x10-5

, aquando da solicitação das combinações de ações verosímeis

tanto na fase construtiva, como durante a utilização e exploração da obra, os esforços

atuantes, devidamente majorados, devem ser, em qualquer elemento estrutural, inferior às

avaliações das capacidades resistentes, considerando as resistências dos materiais

devidamente minoradas.

As combinações de ações a utilizar na análise de esforços ao ELU são as seguintes:

Combinação Fundamental:

(2.1)

Ação Sísmica:

(2.2)

É de notar que no âmbito do presente trabalho, a segunda verificação não é analisada.

2.3.2 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO

Os Estados Limites de Serviço (ELS) permitem um controlo adequado da deformação e

fendilhação dos elementos estruturais para um nível de ações espectável assegurando um

comportamento adequado e boas condições de durabilidade.

Para o efeito, considera-se:

Combinação Frequente:

(2.3)

Combinação Quase-Permanente:

(2.4)



11

2.3.3 COEFICIENTES PARCIAIS E COEFICIENTES DE COMBINAÇÃO

Os coeficientes parciais (k) e os coeficientes de combinação (i) a fletor são os apresentados

nas Tabelas 2.4 e 2.5, respetivamente. Estes valores são quantificados de acordo com o

Eurocódigo 0 [3].

Tabela 2.4 – Coeficientes parciais

G Q

Ação favorável 1,00 0

Ação desfavorável 1,35 1,50

Tabela 2.5 – Coeficientes de combinação

Sobrecargas 0 1 2

Pisos (Categoria C5) 0,7 0,7 0,6

Cobertura (Categoria H) 0 0 0



13

3 AVALIAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES SEM PRÉ-ESFORÇO

A avaliação da necessidade de aplicação de pré-esforço num piso estrutural passa, em geral,

pelo controlo das deformações para combinações de ações de utilização. Para uma melhor

avaliação das deformações consideraram-se dois níveis de análise:

1) Estimativa das deformações através de cálculos simplificados

2) Determinação das deformações em modelo analítico recorrendo ao SAP2000

A primeira análise é bastante útil para ter uma ordem de grandeza dos resultados expectáveis.

No entanto, com um modelo analítico de elementos finitos como, por exemplo, com SAP2000 é

possível obter uma avaliação do comportamento global mais rigorosa. No que se segue vai

discutir-se a definição geométrica da estrutura, para posteriormente se proceder à sua análise

e dimensionamento.

3.1 PRÉ-DIMENSIONAMENTO

O objetivo do projetista é, no essencial, procurar uma boa solução da forma mais eficiente

possível. Em geral, considera-se mais eficiente pré-dimensionar a geometria dos elementos

estruturais tendo por base critérios usuais baseados nos vãos a vencer e no tipo e valor das

cargas a que estarão sujeitos no seu período de vida. Seguidamente verifica-se a sua

segurança e pormenorizam-se as armaduras dos elementos estruturais para respeitarem os

estados limites. Caso estes não sejam assegurados em alguma fase, é necessário efetuar as

alterações pertinentes e iniciar novo ciclo até que seja atingida uma boa solução em termos de

segurança e economia.

As orientações para o pré-dimensionamento são baseadas na experiência anterior e visam a

definição de uma solução que, em princípio, não estará muito afastada da boa solução que se

procura.

3.1.1 PILARES

Para pré-dimensionar os pilares, optou-se por analisar o pilar mais condicionante para a

combinação fundamental, sendo este o pilar B1-A7, pois tem a maior área de influência em

ambos os pisos como se pode observar nas figuras 3.1 e 3.2.



14

Figura 3.1 – Pilar condicionante para o pré-dimensionamento e respetiva área de influência no

piso 1

Figura 3.2 – Pilar condicionante para o pré-dimensionamento e respetiva área de influência na

cobertura preenchida a verde

As áreas de influência calcularam-se considerando que o pilar tem uma área de influência de

1/2 do vão entre apoios contínuos e 5/8 entre apoio contínuo e de extremidade. A área de

influência do pilar referente ao piso 1 é de aproximadamente 81,7 m2

e da cobertura de 45,6

m2. Mediram-se ainda as áreas de influência dos pilares metálicos B2-A7 e B2-A8, ambas as

áreas com o valor de 20,6 m2. Considerou-se que o pilar em questão (B1-A7) recebia 50% da

carga do pilar B2-A7 e 25% da carga do pilar B2-A8. As cargas para a combinação

fundamental em cada piso são as seguintes:

(3.1)



15

(3.2)

O esforço axial do pilar para a combinação fundamental pode então ser estimado como:

(3.3)

Assumindo que os pilares se destinam essencialmente a resistir ao forço axial pode considerar-

se, no limite, uma tensão máxima de 1,0 fcd. Desta forma calcula-se a área mínima do pilar:

(3.4)

Para uma largura do pilar de 0,25 metros a outra dimensão teria que ter 0,6 pelo que por

questões de simplicidade de modelação se adotou no pré-dimensionamento que todos os

pilares teriam 0,25m x 0,6m, exceto no pilar B2-A11 em que se adota a solução proposta na

arquitetura 0,5m x 0,3m, garantindo assim uma solução bem enquadrada em termos gerais. É

de referir que as dimensões dos pilares não têm um efeito significativo na avaliação de

deformações e distribuição de esforços nas lajes, para as ações verticais.

3.1.2 VIGAS

Para o pré-dimensionamento das vigas teve-se em consideração o vão que têm de vencer, a

área de influência das cargas que nelas atuam, e as condicionantes arquitetónicas.

Posteriormente avaliou-se, com base nas orientações de limites aceitáveis de deformação e de

“máximos” valores dos esforços para a resistência aos estados limites últimos, a pertinência

das dimensões.

As referidas orientações foram estipuladas de acordo com as normas europeias EN1992 e

EN1998, e orientações usuais em engenharia de estruturas:

A altura das vigas de betão armado deve, para níveis de cargas correntes, ter valores

de esbelteza de L/h =10 a 15, em que L representa o vão da viga e h a sua altura;

Os valores de momentos reduzidos para a segurança à rotura não devem exceder

0,30. Deste modo controla-se o nível de esforços para não ter uma quantidade de

armadura muito elevada e garantem-se condições razoáveis de ductilidade à estrutura;

Os valores de esbelteza usuais são, em geral, suficientes para garantir o controlo da

deformação mas as condições de apoio e/ou o nível de carga podem ter alguma

influência pelo que deve ser efetuado um cálculo rápido de verificação;

De acordo com o REBAP, a flecha máxima a longo prazo não deverá exceder L/400

para a combinação frequente nem os 15 mm para as cargas quase permanentes.



16

No caso de estudo a arquitetura não impõe restrições significativas às vigas pelo que se adotou

de acordo com o primeiro critério uma altura de 0,6m e uma largura de 0,25m para todas as

vigas dado que têm vãos e carregamentos semelhantes. As vigas consideradas são apenas de

contorno e podem observar-se nas figuras 1.4 (piso 1) e 1.5 (cobertura).

Os cálculos simplificados efetuados e a análise posterior através do programa de elementos

finitos SAP confirmaram a adequabilidade das dimensões definidas.

3.1.3 LAJES

Prevê-se para o primeiro piso, uma solução em laje de forma a minimizar a máxima altura do

piso devido às necessidades de pé direito da discoteca do R/C. Para este tipo estrutural e com

vãos significativos, da ordem dos 11 metros, havia no projeto de arquitetura uma opção inicial

definida com uma solução de laje aligeirada. Com base nessa solução, poderia pré-

dimensionar-se a espessura, para este caso, de acordo com o critério de esbelteza L/20, que

conduziria a uma espessura de 55 cm. O motivo pelo qual se adotaria uma menor esbelteza do

que as usuais referidas na tabela 3.1, é o facto de a laje ser carregada com os pilares

descontínuos do piso superior, sendo portanto aconselhável utilizar lajes mais espessas.

Mesmo neste caso, é natural que da análise a efetuar se confirme a necessidade da aplicação

do pré-esforço. Importa referir que as lajes aligeiradas são presentemente menos utilizadas

dada a sua maior vulnerabilidade em caso de incêndio.

Tabela 3.1 – Esbeltezas usuais para lajes fungiformes

Laje fungiforme tipo L/h

h [m]

L [m]

4 5 6 7 8 9 10 12 20

Laje maciça 25 a 30 0,15 0,20 0,25

Laje maciça com capitel 35 a 40 0,15 0,20 0,25

Laje aligeirada 20 a 25 0,225 0,25 0,30 0,35

Laje aligeirada com capitel 25 a 30 0,225 0,25 0,30 0,35

Laje maciça pré-esforçada 40 0,20 0,25 0,30

Laje aligeirada pré-esforçada 35 0,225 0,25 0,30 0,35 0,60



17

Tendo por base as dimensões usuais de moldes para lajes aligeiradas concebeu-se a laje

aligeirada simplificada que se apresenta na figura 3.3.

Figura 3.3 – Secção da laje aligeirada

Seguidamente determinam-se as características mais relevantes da secção:

Área:

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Inércia em relação ao centro de gravidade:

(3.8)

(3.9)

(3.10)



18

Centro de gravidade:

(3.11)

Relativamente à laje da cobertura, indicada na figura 3.4, optou-se por uma laje maciça com

uma esbelteza de L/20 (ver tabela 3.1), pois embora seja uma cobertura não acessível tem

cerca de 0,5 metros de terra o que significa que a esbelteza terá que ser menor do que a usual.

Importa referir que se considerou uma banda no alinhamento B1 de forma a reduzir o maior vão

da laje para aproximadamente metade do seu valor original, desta forma o pré-

dimensionamento conduziu a uma laje de 25 cm para a cobertura.

Com o pré-dimensionamento dos elementos estruturais relevantes, ações e combinações de

ações definidas é possível analisar a estrutura e, em particular, estimar a deformação, em

especial para o piso 1, pelos dois métodos mencionados anteriormente.

Figura 3.4 – Planta da cobertura com a banda em X considerada

3.2 ESTIMATIVA DA DEFORMAÇÃO ATRAVÉS DE CÁLCULOS SIMPLIFICADOS

Na Figura 3.5 indica-se a zona mais suscetível a deformações e as faixas consideradas para o

modelo de cálculo simplificado. Limitou-se a análise apenas na direção Y, dado que a



19

dimensão X da zona em causa mede mais do dobro da dimensão Y, provocando uma flexão

quase cilíndrica em torno da direção X.

Figura 3.5 – Zona crítica assinalada a vermelho e faixas Y1, Y2 e Y3

Para obter uma estimativa da deformação consideraram-se os seguintes modelos de cálculo

aproximados:

Figura 3.6 – Modelo de cálculo 1 para a faixa Y3

Figura 3.7 – Modelo de cálculo 2 para a faixa Y3

Figura 3.8 – Modelo de cálculo 3 para as faixas Y1 e Y2



20

Onde,

g + q representam as cargas permanentes e as sobrecargas respetivamente,

P representa a carga transmitida à laje pelos pilares sem continuidade para o piso

inferior.

Pretende-se estimar a flecha máxima de uma forma realista avaliando se o modelo adotado

nessa estimativa é otimista ou pessimista. O modelo 1 da Figura 3.6 é claramente desfavorável

pois despreza totalmente o efeito da rigidez do alinhamento B1, podendo conduzir a resultados

pouco realistas. A tendência natural das cargas será de serem encaminhadas pelo alinhamento

mais rígido, desta forma considerou-se também um modelo 2 da faixa Y3 com um apoio no

alinhamento B1 para simular essa tendência natural, como se pode observar na figura 3.7. O

modelo 3 para as faixas Y1 e Y2 será o mais realista (figura 3.6) dado que o apoio intermédio

representa de facto um pilar tendo portanto um erro associado em relação à realidade muito

menor do que os dois modelos para a banda Y3 mencionados anteriormente.

Tomaram-se as seguintes considerações para determinar as estimativas nos vários modelos de

cálculo:

Os modelos de cálculo não têm em consideração o efeito laje, exceto no alinhamento

B1;

As cargas são distribuídas unicamente na direção y;

A carga P é aplicada de forma conservativa no meio vão.

Para calcular a flecha consideraram-se faixas de 5,52 metros de largura, os pilares

descontínuos e as cargas quase permanentes na cobertura avaliadas com base na área de

influência.

(3.12)

(3.13)

(3.14)

De acordo com Tabelas de cálculo de Betão Armado e Pré-esforçado I [4] a flecha a meio vão

de uma viga contínua para uma carga distribuída uniformemente ao longo do vão é dada por:

(3.15)

Portanto, no presente caso, a flecha devida às cargas uniformemente distribuídas seriam

estimadas de acordo com a tabela 3.2.



21

Tabela 3.2 – Flechas devido às cargas distribuídas nos três modelos

p [kN/m] L [m] I faixa [m4] M1 [kN.m] M2 [kN.m] δdist [mm]

Modelo 1 62,1 17 2,92E-02 0 0 70,04

Modelo 2 62,1 10,67 2,92E-02 0 -681,79 5,84

Modelo 3 62,1 10,67 2,92E-02 0 -717,03 5,58

Ainda de acordo com as Tabelas de cálculo de Betão Armado e Pré-esforçado I [5] a flecha a

meio vão de uma viga simplesmente apoiada provocada por uma carga pontual aplicada

também a meio vão é dada por:

(3.16)

Sendo k um coeficiente que depende das condições de apoio da viga. Portanto no presente

caso a flecha devida à carga pontual é a indicada na tabela 3.3.

Tabela 3.3 – Flechas devido à carga pontual nos três modelos

k P [kN] L [m] I faixa [m4] δpontual [mm]

Modelo 1 2,08E-02 346,67 17 2,92E-02 36,8

Modelo 2 9,32E-03 346,67 10,67 2,92E-02 4,07

Modelo 3 9,32E-03 346,67 10,67 2,92E-02 4,07

Aplicando a sobreposição de efeitos obtém-se a flecha total tal indicada na tabela 3.4.

(3.17)

Tabela 3.4 – Flecha total para os três modelos de cálculo

δtotal [mm]

Modelo 1 106,8

Modelo 2 9,9

Modelo 3 9,7



22

Como seria de esperar a flecha de acordo com o primeiro modelo de cálculo é muito superior

às restantes e mesmo irrealista apesar de chamar a atenção para a previsível maior

deformação naquele alinhamento. A diferença entre o modelo 2 e 3 é também relativamente

pequena já que apenas se altera ligeiramente o segundo vão, que é o menos relevante. É

expectável que a flecha obtida através da análise dos elementos finitos se aproxime destes

valores dado que são mais realista. Dessa forma embora não haja um pilar no cruzamento dos

eixos A8 e B1, é natural que o alinhamento B1 desempenhe o papel de um “apoio elástico”.

Seria irrealista considerar que as cargas nesse alinhamento não se transmitem parcialmente

para os pilares B1-A7 e B1-A9.

3.3 MODELAÇÃO ESTRUTURAL

Para obter uma melhor avaliação do comportamento é necessário modelar a estrutura com

elementos finitos recorrendo a um programa de cálculo automático, sendo que no presente

caso se optou pelo programa SAP2000 Advanced v14.1.0.

Ao definir um modelo estrutural é fundamental compreender a estrutura, as simplificações que

podem ser feitas e em que sentidos afetarão o seu comportamento. No presente caso,

adotaram-se as seguintes simplificações:

A grelha auxiliar tridimensional foi criada com base nos alinhamentos de estruturas

tendo sido adicionados alguns alinhamentos extra para minimizar desvios entre o

modelo e a estrutura real. Considerou-se que, no cômputo geral, foi feita uma boa

aproximação da geometria da estrutura;

Não foram consideradas aberturas na laje dado que não afetariam significativamente

os resultados que se discutem no presente trabalho;

Embora a secção dos elementos verticais não seja muito relevante para o estudo das

deformações e dimensionamento da laje, estes foram pré-dimensionados e inseridos

com as dimensões corretas exceto o núcleo que foi modelado por um elemento vertical

único simples com área e inércia equivalente;

Adotou-se uma rigidez de torção nula para as vigas, como é usual.

Utilizaram-se elementos de barra para simular os pilares, as vigas e o núcleo central.

Relativamente aos muros de suporte e às lajes foram simuladas através de elementos finitos

do tipo Shell-Thick, cujas relações constitutivas prevêem o equilíbrio através de momentos e

esforço transverso. A malha de elementos finitos das lajes foi criada de forma a se adaptar à

irregularidade da estrutura em planta. No entanto apenas foram utilizados elementos de forma



23

quadrangular e triangular, nunca com dimensões superiores a 60 cm e respeitando sempre as

condições de compatibilidade entre elementos finitos.

As fundações foram simuladas por encastramentos em todos os elementos verticais.

Definido o modelo, foram efetuadas várias verificações de modo a validá-lo. Importa referir que

o modelo foi adaptado para modelar as diversas hipóteses de geometria da laje (aligeirada,

maciça com e sem bandas) e dos respetivos cabos de pré-esforço nas hipóteses em que eram

inseridos. Em cada nova modelação foram efetuadas as mesmas verificações de modo a

garantir a validação de todos os modelos.

3.3.1 VALIDAÇÃO DO MODELO

Para a validação de cada modelo, procedeu-se à verificação dos seguintes pontos:

Equilíbrio das cargas verticais

Modos de vibração e participação de massas

Exemplifica-se a validação para o caso da laje aligeirada sem qualquer banda de pré-esforço.

Equilíbrio

Esta verificação tem como principal objetivo confirmar se as ações foram inseridas

corretamente no modelo e se as características dos materiais estão bem distribuídas pelos

elementos. Para tal consultou-se a tabela 3.5 que contém as reações globais da estrutura:

Tabela 3.5 – Reações globais da estrutura retiradas do programa SAP2000

Combinação GlobalFX [kN] GlobalFY [kN] GlobalFZ [kN]

CQP 1,482E-10 1,953E-09 22231,34

Pode-se desde já concluir que, relativamente às reações horizontais, se obteve o valor

esperado, pois não existem forças horizontais aplicadas.

Quanto às reações verticais, é necessário comparar com uma estimativa da carga quase

permanente total aplicada à estrutura. Aplicando os coeficientes da combinação quase

permanente às ações da estrutura obtém-se a reação global vertical da estrutura indicadas nas

tabelas 3.6 e 3.7.



24

Tabela 3.6 – Reações globais verticais da estrutura devido a elementos de área

Elementos área Área [m2] CPQ [kN/m

2] Força vertical [kN]

Laje piso 625,80 11,25 7040,28

Laje cobertura 424,90 16,85 7159,58

Muro 494,77 13,50 6679,42

Total 20879,28

Tabela 3.7 – Reações globais verticais da estrutura devido a elementos de barra

Elementos barra Volume [m3] CPQ [kN/m3] Força vertical [kN]

Vigas 31,94 25,00 798,57

Pilares 24,81 25,00 620,16

Total 1418,73

(3.18)

Observa-se que o somatório das reações é praticamente igual ao somatório das cargas

aplicadas com uma percentagem de diferença insignificativa:

(3.19)

Modos de vibração e participação de massas

Como já foi mencionado anteriormente não será estudada a combinação sísmica portanto a

verificação dos modos de vibração não tem especial relevância. Verificou-se apenas que no

cômputo geral os modos de vibração eram os expectáveis. O primeiro modo tem uma

participação de massa maioritariamente na direção x, o segundo modo na direção y e o terceiro

modo é essencialmente de rotação, embora também com alguma translação segundo y.

Embora não se encontre no âmbito da presente dissertação, por forma a controlar o nível das

vibrações no piso 1, provocadas pelas pessoas na discoteca, seria necessário, na conceção,

ter em consideração a regulamentação, em particular, os critérios de utilização, evitando a



25

coincidência entre as frequências das vibrações com componentes verticais e as dos ritmos de

dança.

3.4 DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES RECORRENDO AO SAP2000

Na modelação da estrutura foi necessário modificar a secção de laje maciça para laje aligeirada

através da aplicação de um coeficiente de redução para a sua área e outro para a sua inércia,

sendo que a deformação depende essencialmente destas duas características da laje.

Considerou-se no SAP2000 uma laje com 55 cm e calculou-se a sua área e inércia por metro:

(3.20)

(3.21)

Seguidamente determinam-se os coeficientes a aplicar à área e à inércia através dos seguintes

quocientes:

(3.22)

(3.23)

Por fim verificou-se que a flecha elástica mais desfavorável, para a combinação quase

permanente, era de aproximadamente 10 mm.

Tendo em conta o efeito de fluência a flecha a longo prazo seria de aproximadamente 35 mm o

que poderia ser aceitável de acordo com o critério de L/250 que corresponderia a uma flecha

máxima de aproximadamente 40 mm. No entanto, dado que a laje não é pré-esforçada a

deformação será superior pois, para além da fluência há que ter em consideração a perda de

rigidez por fendilhação. Utilizando um coeficiente de amplificação global da flecha elástica de 6,

para consideração da fluência e fendilhação, a flecha a longo prazo seria da ordem de 60 mm,

o que já não seria aceitável. Ao aumentar a espessura da laje aligeirada poder-se-ia atingir um

valor de deformação aceitável, no entanto, dificilmente seria eficiente e competitiva

economicamente



27

4 AVALIAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES COM PRÉ-ESFORÇO

No âmbito do presente documento pretende-se analisar, em particular o controlo da

deformação de uma laje pré-esforçada com um sistema de controlo eficiente e de fácil

aplicação. O processo desenvolvido permite compreender melhor o funcionamento da estrutura

e o impacto de cada distribuição de cabos em termos de deformações e economia. A influência

que erros de execução, aparentemente pequenos, possam ter no desempenho estrutural

podem também ser, assim, facilmente avaliados.

A principal vantagem da utilização do pré-esforço é a de permitir a limitação das deformações

em elementos esbeltos. No presente caso, não se podem utilizar vigas para assegurar o pé-

direito necessário, surgindo naturalmente a necessidade de aplicação de pré-esforço, já que

com a laje aligeirada se verificou que as deformações não são aceitáveis.

É necessário ainda garantir a segurança ao estado limite último, no entanto a limitação das

deformações é geralmente mais condicionante do que as restantes verificações, na definição

do valor do pré-esforço.

Importa referir que ao aplicar pré-esforço é necessário ter em consideração erros de execução

pelo que se adotam critérios mais exigentes de limitação das deformações, nomeadamente na

exigência de uma flecha entre L/750 a L/1000, tendo sido considerado no presente caso uma

flecha máxima de 15 mm que corresponde a aproximadamente L/750 do vão mais

condicionante de 11 metros. Estes valores são usualmente garantidos caso se equilibre com o

pré-esforço aproximadamente 70% a 90% do efeito das cargas quase-permanentes e ao que

corresponde, em geral, uma tensão média em bandas de pré-esforço da ordem de 3 a 5 MPa.

Como já foi referido anteriormente existem várias soluções que se podem considerar

aceitáveis, no entanto pretende-se analisar neste trabalho várias opções que pudessem ser

viáveis e discutir se os resultados obtidos correspondem ao esperado. Finalmente pretende-se

elaborar uma metodologia que permita chegar a uma solução cuja eficiência pudesse ser

melhorada com facilidade pelo projetista. Primeiramente é necessário definir as zonas de

aplicação do pré-esforço. No caso em estudo a arquitetura não permite vigas interiores,

portanto optou-se por uma solução com bandas de pré-esforço. Dado que a zona crítica para a

deformação da laje tem uma dimensão segundo a direção x que excede em mais do dobro a

dimensão segundo a direção y, conclui-se que o pré-esforço será mais eficiente se for aplicado

na menor direção, ou seja, na direção y.

No entanto, na direção X seria, como referido anteriormente, vantajoso criar uma banda no

alinhamento B1 cuja função seria a de simular uma viga e contrariar a deformação do vão de

11 metros permitindo uma eficiente interação entre a banda Y3 e a banda X.

Consideraram-se então 2 configurações distintas para as zonas onde se colocariam as bandas

de pré-esforço:



28

Configuração A

Figura 4.1 – Localização das bandas Y1, Y2 e Y3

Considerando bandas só na direção Y, como apresentado na figura 4.1. Estas fariam sentido

mesmo na ausência de cargas do piso superior a descarregar na laje. Estas bandas de pré-

esforço podem ser requeridas em alinhamentos onde os pilares distem mais de 8 a 9 metros de

acordo com a tabela 3.1.

Configuração B

Figura 4.2 – Localização das bandas Y e da banda X

A adição de uma banda em X, como indicado na figura 4.2, é certamente bastante benéfica em

termos de eficiência já que a ausência do pilar B1-A8 provoca um vão livre de 11 metros entre



29

os pilares B1-A7 e B1-A9. A aplicação desta banda permite compensar a ausência deste pilar e

também permite a alteração do traçado de cabo da banda Y3 para um traçado muito mais

eficiente. Aparentemente esta configuração de bandas será aquela que contraria as cargas da

forma mais homogénea possível o que também é bastante relevante.

Das duas possíveis configurações consideraram-se quatro soluções de traçado de cabos de

pré-esforço.

Solução A1: 3 bandas de pré-esforço na direção Y com traçado parabólico;

Solução A2: 3 bandas de pré-esforço na direção Y com trançado poligonal;

Solução B1: 3 bandas de pré-esforço na direção Y e uma banda de pré-esforço na

direção X com traçado parabólico;

Solução B2: 3 bandas de pré-esforço na direção Y e uma banda de pré-esforço na

direção X com trançado poligonal.

Importa referir que para a eficiência do modelo de bandas estas devem ter uma largura

limitada, pelo que o valor adotado deverá estar contido num intervalo de 1,0 a 2,0 metros. No

presente caso optou-se por bandas de 1,6 metros pois valores inferiores a esse viriam a

verificar margens demasiado curtas para a colocação dos cabos de pré-esforço.

Optou-se por uma solução de laje maciça, pois como já foi referido anteriormente, as soluções

aligeiradas são muito pouco eficientes em caso de incêndio. Para pré-dimensionar a espessura

da laje optou-se pelo critério de esbelteza L/40 que conduziu a uma espessura de 25 cm. De

modo análogo definiu-se uma espessura para as bandas de 65 cm, tomando uma esbelteza

entre L/15 a L/20 (ver figuras 4.1 e 4.2).

Para uma melhor compreensão das bandas pré-esforçadas, apresenta-se na figura 4.3 a

secção transversal com o número máximo de cabos permitido por banda.

4.3 – Secção transversal de uma banda com o máximo de cabos permitido



30

4.1 SOLUÇÕES DE PRÉ-ESFORÇO CONSIDERADAS

Para obter uma estimativa do pré-esforço a aplicar consideraram-se os modelos de cálculo

indicados nas figuras 4.4 e 4.5.

Figura 4.4 – Modelos de cálculo para as soluções A1 e A2

Onde,

g + q – representam as cargas permanentes e as sobrecargas, respetivamente;

P – representa a carga transmitida à laje pelos pilares descontínuos.

Importa referir que o traçado dos cabos não tem influência no modelo de cálculo, apenas a

configuração das bandas pode afetar o modelo de cálculo. Como já foi dito anteriormente a

banda Y3 não deve ser considerada como simplesmente apoiada ao longo de um vão de

17 metros, já que a tendência natural da laje é que o alinhamento B1 se comporte como

uma viga com alguma rigidez. Consequentemente mesmo na ausência de uma banda pré-

esforçada essa zona teria que ser mais armada para melhor transmitir as cargas aos

pilares adjacentes. Em termos de avaliação do valor de pré-esforço foi utilizado o modelo

simplesmente apoiado, admitindo uma participação de carga de 60%.

Figura 4.5 – Modelos de cálculo para as soluções B1 e B2



31

Onde,

g + q – representam as cargas permanentes e as sobrecargas respetivamente

P – representa a carga transmitida à laje pelos pilares descontínuos

R – representa o par ação-reação entre a banda y3 e a banda x1

Uma vez definidos os modelos de cálculo para as bandas define-se o traçado dos cabos de

pré-esforço que tiveram como base os seguintes princípios:

1) O traçado de pré-esforço deve ter a forma do diagrama de momento fletor devido às

cargas quase permanentes para que as cargas equivalentes geradas pelos cabos

contrariem o efeito das cargas quase permanentes principalmente nas zonas mais

condicionantes;

2) O traçado deve ser composto por combinações de troços parabólicos e retos;

3) Os pontos das extremidades terminam com excentricidade nula;

4) A excentricidade máxima deve ser utilizada nas secções onde a flecha é máxima e é

definida em função do recobrimento, do diâmetro dos varões utilizados na face inferior

e o diâmetro das bainhas. Para o pré-dimensionamento considerou-se um

recobrimento de 3 cm, varões de 12 mm e uma bainha de 21 mm;

Através destas considerações estimou-se a quantidade de pré-esforço a aplicar nas bandas

nos capítulos 4.4 e 4.5.

4.2 PONTOS DE CONTROLO

Os pontos de controlo da deformação têm uma importância fundamental já que a avaliação das

soluções e da quantidade de pré-esforço a utilizar por banda são função destes

deslocamentos. Portanto com base na deformada das cargas quase permanentes

consideraram-se como pontos condicionantes, aqueles que apresentavam maior deslocamento

em cada banda, que coincidem com os pilares descontínuos (figura 4.6). Selecionaram-se

ainda, dois pontos de especial relevância: um na intersecção do alinhamento B1 com o

alinhamento A8, e outro ponto entre a banda Y2 e Y3 que apresenta o maior deslocamento da

laje.



32

Figura 4.6 – Planta com pontos de controlo assinalados a vermelho

4.3 DEFORMADA E DESLOCAMENTOS DAS CARGAS QUASE PERMANENTES

Antes da aplicação do pré-esforço é importante determinar os deslocamentos nos vários pontos

de controlo para as geometrias definidas. Desta forma foi possível analisar a importância das

bandas e a eficiência dos cabos de pré-esforço separadamente.

Consideram-se três hipóteses distintas para a combinação quase permanente antes da

aplicação dos cabos de pré-esforço:

Laje maciça de 25 cm sem qualquer banda,

Configuração A: Laje maciça de 25 cm com espessamento para 65 cm nas bandas Y1,

Y2 e Y3,

Configuração B: Laje maciça com 25 cm com espessamento para 65 cm nas bandas

Y1,Y2, Y3 e X.

Visualmente a forma da deformada da combinação das cargas quase permanentes é

semelhante para as três hipóteses apresentando-se na figura 4.7 a deformada da configuração

B.



33

Figura 4.7 – Deformada provocada pela combinação das cargas quase permanentes na

configuração B sem cabos de pré-esforço



34

Nas tabelas seguintes (4.1 a 4.3) apresentam-se os deslocamentos nos pontos de controlo

para cada uma das três hipóteses supracitadas:

Tabela 4.1 – Laje maciça de 25 cm, sem qualquer banda

Ponto 27 21 22 941 705

δCQP [mm] 19,6 29,4 28,2 14,3 30,7

Tabela 4.2 – Configuração A

Ponto 27 21 22 941 705

δCQP [mm] 9,6 12,9 15,5 8,5 15,7

Tabela 4.3 – Configuração B

Ponto 27 21 22 941 705

δCQP [mm] 9,3 12,2 13,4 6,5 14,1

Como seria de esperar a laje de 25 cm sem bandas é muito pouco rígida pelo que apresenta

deslocamentos elásticos excessivos. Com a configuração A têm-se 3 bandas em Y conferindo

uma rigidez bastante significativa que reduz em aproximadamente 50% os deslocamentos dos

pontos de controlo para a mesma laje sem bandas. A configuração B apresenta deslocamentos

inferiores face à configuração A como seria expectável já que o espessamento da laje na

banda X confere maior rigidez ao alinhamento B1, o que melhora o comportamento da banda

Y3, e consequentemente, os deslocamentos dos pontos 22, 941 e 705, que são reduzidos

entre 10% a 20%.

4.4 TRAÇADO E ESTIMATIVA DE PRÉ-ESFORÇO A APLICAR NAS BANDAS Y1 E Y2

Para analisar as deformações da laje no modelo analítico é importante partir de um número de

cabos adequado, para se ter à partida uma avaliação dos critérios de pré-dimensionamento.

Adotou-se como critério para a avaliação do número de cabos de pré-esforço que a ação do

pré-esforço deveria anular aproximadamente 80% das cargas quase permanentes. Dado que o



35

carregamento envolve cargas distribuídas e cargas pontuais optou-se por um método

aproximado que consiste em avaliar o efeito equivalente, em termos de cargas distribuídas,

correspondente a uma força aplicada pontualmente.

De seguida adota-se um traçado (figura 4.8 e 4.9) de acordo com as regras mencionadas

anteriormente e calcula-se, de forma detalhada, a estimativa de pré-esforço a aplicar para as

bandas Y1 e Y2, apresentando-se a mesma estimativa para as restantes bandas em forma de

tabela. Importa referir que o valor de pré-esforço para as bandas Y1 e Y2 será igual para

ambas as configurações de acordo com os modelos de cálculo utilizados. Importa referir que os

traçados parabólicos e poligonais são equivalentes na estimativa de pré-esforço a utilizar

diferindo apenas nas cargas equivalentes devido ao traçado.

Figura 4.8 – Traçado parabólico das bandas Y1 e Y2 para a solução A1 e B1

Figura 4.9 – Traçado poligonal das bandas Y1 e Y2 para a solução A2 e B2

4.4.1 CARGAS QUASE PERMANENTES

Em primeiro lugar é necessário avaliar a resposta da estrutura para a combinação quase

permanente. Apresentam-se nas tabelas 4.4 e 4.5 as ações consideradas.



36

Tabela 4.4 – Combinação das cargas quase permanentes no piso 1 e na cobertura

Piso 1 Cobertura

PP [kN/m3] 25,00 25,00

RCP [kN/m3] 2,50 10,00

SC [kN/m3] 5,00 1,00

H [m] 0,25 0,25

CQP [kN/m3] 11,75 16,85

Tabela 4.5 – Combinação das cargas quase permanentes nas bandas

CQP bandas

h [m] 0,65

CQP [kN/m2] 21,75

4.4.2 AVALIAÇÃO DA FLEXÃO GLOBAL E CARGA EQUIVALENTE DISTRIBUÍDA

Momento fletor provocado pela carga pontual

(4.1)

Considerando o caso mais desfavorável da carga pontual a atuar a meio de um vão

simplesmente apoiado:

(4.2)

Momento fletor provocado pela carga distribuída

(4.3)



37

O momento máximo considerando o caso desfavorável simplesmente apoiado:

(4.4)

Momento fletor total a equilibrar

De acordo com o critério definido anteriormente pretende-se equilibrar 80% das cargas quase

permanentes, dado que se irá determinar o valor da carga a equilibrar através do momento

fletor, optou-se por afetar a percentagem de 80% no momento total:

(4.5)

Carga equivalente de pré-esforço

(4.6)

4.4.3 AVALIAÇÃO DO VALOR DE PRÉ-ESFORÇO

Excentricidade média

Para determinar a excentricidade média f, utilizam-se 3 excentricidades: A excentricidade dos

cabos de pré-esforço no início do troço (e1), a excentricidade a meio do troço (e2), e a

excentricidade no final do troço (e3).

No presente caso a excentricidade e1 é nula visto que geralmente é o valor recomendado para

as extremidades dos cabos de pré-esforço. O valor de e2 e e3 devem ser máximos para o pré-

esforço ser o mais eficiente possível.

Adotando um recobrimento de 3 cm, uma malha de armadura ordinária de 12 mm e uma

bainha de 21 mm determina-se a excentricidade máxima em e2:

(4.7)

Determinadas as excentricidades máximas calcula-se o valor da excentricidade média:

(4.8)



38

Valor de pré-esforço útil

(4.9)

Valor de tensionamento

Para calcular o valor de tensionamento estimou-se 10% de perdas imediatas e 15% de perdas

diferidas:

(4.10)

Área de pré-esforço

É necessário ter em atenção que a tensão inicial só poderá representar 75% da tensão

resistente dos cabos de pré-esforço:

(4.11)

Número de cordões, de cabos e valor de pré-esforço útil final

Considerando cordões de 1,4 cm2 e cabos de 4 cordões tem-se:

Aproveitando os cabos ao máximo devem ser colocados 32 cordões o que significa que se terá

um valor de pré-esforço útil de:

(4.12)

Pré-esforço útil por cabo

(4.13)



39

Tensão média

Nas soluções correntes é usual ter como referência para valores de tensão média de

compressão no betão os seguintes valores:

Lajes: 1,5 MPa a 3 MPa

Bandas: 3 MPa a 5 MPa

Vigas: 5 MPa a 7 MPa

Assim, nas bandas Y1 e Y2, ter-se-ia um valor de tensão média, sem consideração da

dispersão de compressão para as lajes adjacentes, de:

(4.14)

Verifica-se assim, que o valor está contido no intervalo das tensões previstas para bandas pré-

esforçadas.

Importa também referir que foi considerada uma largura de banda suficiente para conter os 8

cabos espaçados de 20 cm.

4.5 TRAÇADO E ESTIMATIVA DE PRÉ-ESFORÇO NA BANDA Y3 E NA BANDA X

A estimativa de pré-esforço das bandas Y1 e Y2 não variam para cada solução estrutural (A e

B) de acordo com o modelo de cálculo utilizado e por isso foram escolhidas para exemplificar

os cálculos mais detalhadamente. A banda Y3 terá obviamente um traçado diferente nas

configurações A (figuras 4.10 e 4.11) e B (figuras 4.12 e 4.13), sendo que na configuração A o

traçado será muito menos eficiente do que na configuração B. Nas imagens seguintes podem

observar-se os traçados da banda Y3 para cada configuração.

Figura 4.10 – Traçado parabólico da banda Y3 para a solução A1



40

Figura 4.11 – Traçado poligonal da banda Y3 para a solução A2

Figura 4.12 – Traçado parabólico da banda Y3 para a solução B1

Figura 4.13 – Traçado poligonal da banda Y3 para a solução B2

O traçado da banda Y3 para a configuração B é feito pressupondo a existência da banda X que

irá contrariar as cargas equivalentes negativas da banda Y3 no cruzamento dos alinhamentos

B1 e A8. Apresenta-se seguidamente o traçado da banda X nas figuras 4.14 e 4.15.

Figura 4.14 – Traçado parabólico da banda X para a solução B1



41

Figura 4.15 – Traçado poligonal da banda X para a solução B2

Relativamente à banda Y3 é de esperar que conduza a um número de cabos muito superior

nas soluções A1 e A2 já que devido à ausência da banda X o valor da excentricidade média

diminui e o comprimento do vão de pré-esforço aumenta consideravelmente face aos valores

das soluções B1 e B2. Apresentam-se seguidamente as tabelas 4.6 a 4.8 para determinação

do pré-esforço na banda Y3 na configuração A.

Banda Y3 – Configuração A

Tabela 4.6 – Características da banda

Faixas de PE [m] 1,60

Largura de influência das faixas [m] 5,52

e1 [mm] 0,00

e2 [mm] 260,5

e3 [mm] 0,00

f [mm] 260,50



42

Tabela 4.7 – Carga equivalente de pré-esforço unidades

CQP Pontual [kN] 356,07

CQP Distribuída [kN/m] 80,83

0,6 x CQP Pontual [kN] 213,64

0,6 x CQP Distribuída [kN/m] 48,50

Momento CQP Pontual [kN.m] 831,94

Momento CQP Distribuída [kN.m] 1752,00

Momento CQP Pontual + CQP Distribuída [kN.m] 2583,94

% M+ a equilibrar 80

M+ a equilibrar [kN.m] 2067,15

q* equivalente de PE [kN/m] 145,26

Tabela 4.8 – Valor do pré-esforço útil

Força de PE útil - P∞ [kN] 13428,97

Perdas imediatas 0,10

Perdas diferidas 0,15

Força de tensionamento - P0' [kN] 17554,21

Área de PE [cm2] 125,84

Nº Cordões [de 1,4 cm2] 90,00

Nº Cabos [de 4 cordões] 23,00

Área de PE ' [cm2] 128,80

P'0 [kN] 17967,60

P'∞ [kN] 13745,21

P∞ por cabo [kN] 597,62



43

Tabela 4.9 – Tensão média

Tensão média [MPa] 13,2

Como se pode observar na tabela 4.9 a tensão média tem um valor bastante elevado face aos

usuais em bandas, o que significa que o pré-esforço é muito elevado para as dimensões da

banda. Caso se pretendessem dispor 23 cabos na banda Y3 seria necessário aumentar

bastante largura da banda. Embora o cálculo seja apenas uma aproximação, mostra

claramente que esta solução não seria adequada, aliás como se verifica seguidamente nos

resultados do programa de elementos finitos.

Banda Y3 – Configuração B

Por outro lado a configuração B da banda Y3 tem por base os mesmos valores das bandas Y1

e Y2 da configuração A e consequentemente originam os mesmos resultados: 8 cabos de 4

cordões.

Banda X – Configuração B

A banda X tem a particularidade de receber carga da banda Y3 através do seu apoio contínuo

como indicado na figura 4.16.

Figura 4.16 – Modelo de cálculo para a banda X com reação r vinda da banda Y3

Através da página 148 das Tabelas de Cálculo de Betão Armado e Pré-Esforçado I [5]

determinou-se uma estimativa conservativa do valor da reação ao longo do comprimento da

banda X (ver tabela 4.7, figuras 4.11 e 4.15):

(4.15)



44

(4.16)

Considerou-se ainda o espessamento da banda X:

(4.17)

Dado que se pretende anular 80% das cargas quase permanentes considera-se uma carga

equivalente de pré-esforço de:

(4.18)

Apresentam-se seguidamente as tabelas 4.10 e 4.11 para determinação do pré-esforço na

banda X.

Banda X

Tabela 4.10 – Características da banda X

Faixa de PE [m] 1,60

Largura de influência da faixa [m] 5,52

e1 [mm] 260,50

e2 [mm] 260,50

e3 [mm] 260,50

f [mm] 521,00



45

Tabela 4.11 – Valor de pré-esforço útil

q* [kN/m] 94,64

Força de PE útil - P∞ [kN] 2764,97

Perdas imediatas 0,10

Perdas diferidas 0,15

Força de tensionamento - P0' [kN] 3614,34

Área de PE [cm2] 25,91

Nº Cordões [de 1,4 cm2] 19,00

Nº Cabos [de 4 cordões] 5,00

Área de PE ' [cm2] 28,00

P'0 [kN] 3906,00

P'∞ [kN] 2988,09

P∞ por cabo [kN] 597,62

Tabela 4.12 – Tensão média

Tensão média [MPa] 2,87

A tensão média indicada na tabela 4.12 pode considerar-se relativamente baixa mas é ainda

um valor perfeitamente satisfatório.

Comparação do número de cabos utilizados em cada configuração

Tabela 4.13 – Número de cabos a aplicar em cada banda e configuração

Configuração A Configuração B

Bandas Y1 Y2 Y3 Total Y1 Y2 Y3 X Total

Número de cabos 8 8 23 39 8 8 8 5 29



46

De acordo com a tabela 4.13 a configuração B será mais eficiente dado que requer menos 10

cabos do que a solução A e que os cabos têm todos aproximadamente o mesmo comprimento.

Importa referir que a maior aproximação foi feita para a banda Y3 na configuração A devido ao

facto do modelo não poder ser considerado nem simplesmente apoiado, nem com um apoio

contínuo. Optou-se então por aplicar um coeficiente de repartição de cargas de 0,60 e utilizar o

modelo simplesmente apoiado.

Considera-se a aproximação lógica e razoável, sendo espectável que o programa de elementos

finitos confirme que a configuração B seja de facto muito mais eficiente.

4.6 CARGAS EQUIVALENTES

Para simular os cabos de pré-esforço no programa de elementos finitos é necessário calcular

as cargas equivalentes ao longo de cada banda e para cada traçado, adotando um

determinado valor de pré-esforço a tempo infinito. Seguidamente apresentam-se as cargas

equivalentes para cada banda, calculadas através do respetivo traçado para um nível de pré-

esforço de 1000 kN (figuras 4.17 a 4.24 e tabelas 4.14 a 4.21).

Tabela 4.14 – Cargas equivalentes nas bandas Y1 e Y2: Soluções parabólicas A1 e B1

Bandas Tramos L [m] f [m] q [kN/m] Q [kN] aparabola tg(α) P*tg(α) [kN] P∞ [kN]

Y1 e Y2

Parábola 1 6,04 0,26 14,28 86,26 0,01 0,09 -86,26

1000

Parábola 2 3,43 0,39 65,61 225,05

Parábola 3 1,2 0,14 187,54 -225,05

Parábola 4 4,92 0,26 21,51 -105,87 0,01 0,11 105,87



47

Figura 4.17 – Resumo das cargas equivalentes nas bandas Y1 e Y2 – Soluções A1 e B1

Tabela 4.15 – Cargas equivalentes nas bandas Y1 e Y2: Soluções A1 e B1

Bandas Tramos L [m] f [m] tg β Q [kN] P*tg(α) [kN] P∞ [kN]

Y1 e Y2

Reta 1 3,02 0,26 0,09 86,26 -86,26

1000

Reta 2 3,02

Reta 3 2,32 0,52 0,29 292,45

Reta 4 1,78 0,52 0,29 -292,45

Reta 5 0,53

Reta 6 0,74

Reta 7 4,18 0,26 0,06 -62,27 62,27

Figura 4.18 – Resumo das cargas equivalentes nas bandas Y1 e Y2: Soluções A2 e B2



48

Tabela 4.16 – Cargas equivalentes na banda Y3: Solução parabólica A1


Y3

Parábola 1 6,04 0,26 14,28 86,26 0,01 0,09 -86,26

1000

Parábola 2 10,96 0,26 4,33 -47,52 0 0,05 47,52

Figura 4.19 – Resumo das cargas equivalentes na banda Y3: Solução parabólica A1

Tabela 4.17 – Cargas equivalentes na banda Y3: Solução poligonal A2


Y3

Reta 1 3,02 0,26 0,09 86,26 -86,26

1000

Reta 2 3,02

Reta 3 5,48

Reta 4 5,48 0,26 0,05 47,52 -47,52

Figura 4.20 – Resumo das cargas equivalentes na banda Y3: Solução poligonal A2



49

Tabela 4.18 – Cargas equivalentes na banda Y3: Solução parabólica B1


Y3

Parábola 1 6,04 0,26 14,28 86,26 0,01 0,09 -86,26

1000

Parábola 2 3,43 0,39 65,61 225,05

Parábola 3 1,2 0,14 187,54 -225,05

Parábola 4 6,33 0,26 12,99 -82,25 0,01 0,08 82,25

Figura 4.21 – Resumo das cargas equivalentes na banda Y3: Solução parabólica B1

Tabela 4.19 – Cargas equivalentes na banda Y3: Solução poligonal B2


Y3

Reta 1 3,02 0,26 0,09 86,26 -86,26

1000

Reta 2 3,02

Reta 3 2,32 0,52 0,29 292,45

Reta 4 1,78 0,52 0,29 -292,45

Reta 5 0,53

Reta 6 0,95

Reta 7 5,38 0,26 0,05 -48,38 48,38



50

Figura 4.22 – Resumo das cargas equivalentes na banda Y3: Solução poligonal B2

Tabela 4.20 – Cargas equivalentes na banda X: Solução parabólica B1

Bandas Tramos L [m] f [m] q [kN/m] Q [kN] aParábola tg(α) P*tg(α)

[kN] P∞ [kN]

X

Parábola 1 4,71 0,22 20,05 94,5 0 0 0

1000

Parábola 2 0,8 0,04 -118,1 -94,5

Parábola 3 0,8 0,08 -236,1 -188,85

Parábola 4 4,72 0,45 40,03 188,85

Parábola 5 4,72 0,45 40,03 188,85

Parábola 6 0,8 0,08 -236,1 -188,85

Parábola 7 0,8 0,04 -122 -97,56

Parábola 8 4,54 0,22 21,49 97,56 0 0 0

Figura 4.23 – Resumo das cargas equivalentes na banda X: Solução parabólica B1



51

Tabela 4.21 – Cargas equivalentes na banda X: Solução poligonal B2


X

Reta 1 4,69 0,26 0,06 -55,59 55,59

1000

Reta 2 0,83

Reta 3 0,55 0,52 0,15 -145,27

Reta 4 3,59 0,52 0,15 145,27

Reta 5 1,38 0,52 0,15 145,27

Reta 6 1,38 0,52 0,15 -145,27

Reta 7 3,59

Reta 8 0,55

Reta 9 0,8

Reta 10 4,54 0,26 0,06 -57,39 57,39

Figura 4.24 – Resumo das cargas equivalentes na banda X: Solução poligonal B2

O critério para a seleção da solução mais eficiente será aquela que se apresentar mais

económica contrariando de forma satisfatória as deformações das cargas quase-permanentes.

4.7 DETERMINAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES RECORRENDO AO SAP2000

Recorrendo ao programa de elementos finitos SAP2000 v14.1.0 Advanced é possível avaliar as

deformações na laje para cada ação separadamente e para qualquer combinação que se



52

pretenda introduzir, nomeadamente, cargas aplicadas ou cargas equivalentes de cada traçado

de pré-esforço.

Desta forma determinou-se para as várias soluções os deslocamentos nos pontos de controlo

para a combinação quase permanente e arbitrou-se um valor de pré-esforço a tempo infinito de

1000 kN para cada banda separadamente para que seja possível determinar a influência do

pré-esforço de cada banda no deslocamento dos vários pontos de controlo da laje. Tendo em

conta que os deslocamentos serão proporcionais, é só necessário determinar qual o valor de

pré-esforço a aplicar em cada uma das bandas de forma a ter a contra-flecha pretendida, tal

que a flecha total, a longo prazo, se encontre nos valores pretendidos.

4.7.1 CARGAS EQUIVALENTES DE PRÉ-ESFORÇO E MATRIZES DE INFLUÊNCIA

Após a conceção do traçado dos cabos e a determinação das respetivas cargas equivalentes,

introduz-se para cada solução esse carregamento como ação de pré-esforço em cada banda

separadamente e registam-se os efeitos nos deslocamentos da laje nos pontos de controlo

provocados por essa banda, desta forma é possível construir uma matriz de influência que

indica os deslocamentos dos pontos de controlo da laje em função do pré-esforço aplicado.

Importa referir que os valores das cargas equivalentes anteriores eram por metro e foram

adaptados à largura da banda introduzida no programa de elementos finitos.

Para cada solução foi elaborada uma matriz de influência, onde cada linha representa o

deslocamento nos pontos de controlo da laje correspondentes a um pré-esforço de 1000 kN

aplicados numa única banda.

Importa referir que antes de iniciar este processo é recomendável que se verifique no modelo

se o efeito das cargas equivalentes dos vários cabos de pré-esforço resulta em reações totais

nulas na estrutura. Na tabela 4.22 podem observar-se as reações globais na estrutura para

cada solução assumindo um pré-esforço de 1000 kN por banda.

Tabela 4.22 – Reações globais para um valor de pré-esforço de 1000 kN em cada banda

Solução GlobalFX [kN] GlobalFY [kN] GlobalFZ [kN]

A1 6,694E-11 -3,568E-10 -35,331

A2 6,648E-11 -3,708E-10 1,149E-10

B1 3,315E-11 1,498E-10 -138,838

B2 3,341E-11 1,76E-10 5,271E-09



53

Verificou-se que para as soluções com traçados poligonais A2 e B2 as reações globais

exteriores são praticamente nulas. Já relativamente às soluções com traçados parabólicos A1 e

B1 nota-se que existe uma reação global vertical diferente de zero. Esta diferença é explicada

dado que os traçados poligonais provocam cargas equivalentes pontuais que são facilmente

introduzidos no programa, enquanto que os traçados parabólicos envolvem cargas distribuídas

ao longo das bandas que têm de ser introduzidas de forma aproximada nos elementos finitos

que não têm as dimensões adaptadas para o traçado do cabo. Considerando a globalidade de

forças equivalentes envolvidas, o erro da resultante é sempre inferior a 5%, pelo que se

consideram os modelos de pré-esforço válidos. É de salientar que poder-se-ia reduzir este erro

através de um refinamento dos elementos finitos, ou pela definição do traçado dos cabos

diretamente no programa de análise.

Efetuaram-se ainda outras verificações adicionais para confirmar que o pré-esforço tinha sido

simulado corretamente, nomeadamente através de uma avaliação qualitativa das deformadas

provocadas apenas pela ação do pré-esforço de cada banda. Seguidamente pode observar-se

a deformada da ação do pré-esforço na figura 4.25 para uma força de 1000 kN em cada uma

das bandas da solução B2.

Figura 4.25 – Deformada para uma ação de pré-esforço de 1000 kN em cada banda da solução B2

As matrizes de influência anteriormente referidas apresentam-se seguidamente nas tabelas

4.23 a 4.26.



54

Tabela 4.23 – Matriz de influência da solução A1

Solução A1 [mm]

Banda 941 705 27 21 22

PE-Y1 0,019 0,109 1,095 0,366 0,064

PE-Y2 0,203 0,732 0,37 1,222 0,509

PE-Y3 0,352 0,638 0,023 0,222 0,689

Tabela 4.24 – Matriz de influência da solução A2

Solução A2 [mm]

Banda 941 705 27 21 22

PE-Y1 0,019 0,111 1,103 0,376 0,065

PE-Y2 0,213 0,751 0,379 1,231 0,525

PE-Y3 0,393 0,622 0,023 0,218 0,659

Tabela 4.25 – Matriz de influência da solução B1

Solução B1 [mm]

Banda 941 705 27 21 22

PE-Y1 0,021 0,115 1,047 0,353 0,07

PE-Y2 0,137 0,639 0,349 1,116 0,433

PE-Y3 -0,015 1,026 0,055 0,355 1,089

PE-X 0,777 0,516 0,00308 0,126 0,608



55

Tabela 4.26 – Matriz de influência da solução B2

Solução B2 [mm]

Banda 941 705 27 21 22

PE-Y1 0,022 0,119 1,044 0,362 0,073

PE-Y2 0,146 0,65 0,356 1,104 0,445

PE-Y3 -0,048 1,012 0,058 0,361 1,069

PE-X 0,814 0,511 0,00872 0,106 0,615

Pode desde já concluir-se que as soluções com a mesma configuração de bandas e que

apenas diferem no traçado têm deslocamentos muito semelhantes como seria expectável já

que o efeito do cabo é semelhante devido à sua excentricidade ser equivalente.

Desta forma podem definir-se mais soluções em função do número de cabos de pré-esforço a

aplicar em cada banda com base no deslocamento total dos pontos de controlo selecionados e

para os objetivos que se considerem adequados.

Pode então considerar-se o critério de limitação de deformação para poder formular o problema

em causa. Adotou-se como critério para a determinação do número de cabos de pré-esforço

que a diferença entre a flecha induzida pelas cargas quase permanentes e a flecha provocada

pelo pré-esforço no ponto mais condicionante seria de 15 mm a longo prazo. Esta condição

pode ser expressa na forma de uma equação que se apresenta seguidamente:

(4.19)

Onde,

– É a flecha elástica provocada pelas cargas quase permanentes em milímetros,

– É a flecha elástica provocada pelo pré-esforço em milímetros,

– É o coeficiente de fluência que tomou o valor de 2,5;

O valor de 15 mm supracitado é o máximo admissível para zonas com paredes divisórias e

equivale a aproximadamente L/750 no presente caso.

Admitiu-se também como restrição que as cargas quase permanentes, incluindo o pré-esforço,

não deveriam provocar flechas positivas em nenhum dos pontos de controlo. Como é natural o

pré-esforço é aplicado na forma de cabos pelo que o número de cabos terá que ser um número

inteiro, desta forma, aplicou-se um coeficiente de 0,5976 a todos os deslocamentos



56

provenientes do pré-esforço convertendo assim o valor de pré-esforço de 1000 kN introduzido

no SAP2000 para os 597,6 kN de cada cabo.

Como última restrição temos o número de cabos por banda que se limitou a 8 devido ao

espaçamento mínimo necessário.

Pode-se então descrever a situação através de um problema de programação linear. Para a

configuração A:

(4.20)

Sujeito a:

Onde,

– representa o número de cabos a aplicar na banda i;

– representa o comprimento de um cabo na banda i;

– representa o deslocamento do ponto j, em milímetros, para um valor de pré-

esforço de 597,6 kN aplicado na banda i;

– representa o deslocamento do ponto j, em milímetros, para a combinação

quase permanente.

Analogamente tem-se para a configuração B:

(4.21)

Sujeito a:



57

Onde,

– representa o número de cabos a aplicar na banda i;

– representa o comprimento de um cabo na banda i;

– representa o deslocamento do ponto j, em milímetros, para um valor de pré-

esforço de 597,6 kN aplicado na banda i;

– representa o deslocamento do ponto j, em milímetros, para a combinação

quase permanente.

Obviamente que a solução poderia ser encontrada de forma imediata através da aplicação de

um algoritmo como o SIMPLEX, no entanto, como os critérios de limitação da deformação não

são totalmente inflexíveis considera-se mais interessante efetuar uma análise manual, por

etapas, para compreender as deformações à medida que se aumenta o número de cabos a

aplicar.

4.7.2 SOLUÇÃO DE PRÉ-ESFORÇO ADOTADA

Através da resolução do problema de programação linear determinam-se as melhores soluções

para os quatro casos como indicado na tabela 4.27.

Tabela 4.27 – Melhores configurações de cabos para cada solução

Solução Cabos Y1 Cabos Y2 Cabos Y3 Cabos X Total de cabos δ máx. [mm]

A1 8 8 8 - 24 32,987

A2 8 8 8 - 24 33,205

B1 5 8 8 5 26 14,914

B2 5 8 8 5 26 14,953



58

Como se pode observar as soluções A não conseguem cumprir os critérios de deformação

mesmo com 8 cabos em cada banda, como seria de esperar através da avaliação anterior.

Relativamente à variação dos tipos de traçado, como também seria de esperar, as soluções do

tipo 1 e 2 diferem muito pouco nos resultados dos pontos de controlo. Determinaram-se ainda,

as flechas máximas para as melhores soluções B1 e B2, aplicando um coeficiente às ações do

pré-esforço nas várias bandas que simulam os cabos de pré-esforço.

Tabela 4.28 – Flechas máximas em todo o piso retiradas do SAP para a melhor solução B1

Flecha máxima a longo prazo [mm] -15,77

Flecha para cima máxima a longo prazo [mm] 0,28

Tabela 4.29 – Flechas máximas em todo o piso retiradas do SAP para a melhor solução B2

Flecha máxima a longo prazo [mm] -15,64

Flecha para cima máxima a longo prazo [mm] 0,28

Como se pode observar nas tabelas 4.28 e 4.29, a diferença entre as soluções é desprezável e

confirma-se também que as flechas máximas não apresentam uma diferença muito significativa

face aos pontos de controlo. Embora ambas as soluções sejam boas optou-se pela solução

parabólica por se julgar que contraria o carregamento de uma forma mais uniforme.

4.7.3 ANÁLISE DAS MATRIZES DE INFLUÊNCIA E AS SUAS FUNCIONALIDADES

Como já foi mencionado anteriormente uma das principais funções das matrizes de influência é

a de permitir determinar matematicamente a melhor solução face a restrições previamente

definidas. No entanto, as matrizes de influência permitem ainda o estudo das deformações em

outros importantes aspetos, nomeadamente no estudo da importância relativa entre as várias

bandas de pré-esforço, sendo também especialmente importantes no caso de se pretenderem

alterar algumas restrições. Por exemplo, modificar a exigência da deformação global ou aceitar

valores diferentes em zonas específicas. Importa ainda referir que as matrizes de influência

juntamente com a análise incremental manual contribuem significativamente para a

minimização dos erros e confirmação/validação do modelo.



59

Melhor solução sem restrição de número de cabos

Sem a restrição do número máximo de cabos pretende-se determinar qual a importância

relativa de cada banda pré-esforçada tendo em consideração que a inversão dos sinais dos

deslocamentos devido às cargas quase permanentes se mantém pois isso significa, em geral,

que o pré-esforço não está a ser utilizado de uma forma racional.

Nas tabelas seguintes (tabelas 4.30 a 4.33) indicam-se, para cada solução, a evolução do

número de cabos de forma a limitar a deformação máxima das cargas quase permanentes,

incluindo o pré-esforço, para valores de 30 a 10 mm.

Tabela 4.30 – Número de cabos em cada banda necessário para limitar a flecha máxima para um

certo valor na solução A1

Flecha máxima 30 25 20 15 10

#/% de cabos # % # % # % # % # %

Nº de cabos y1 0 0.0 1 4.2 2 6.9 4 11.4 7 17.5

Nº de cabos y2 5 26.3 8 33.3 11 37.9 13 37.1 11 27.5

Nº de cabos y3 14 73.7 15 62.5 16 55.2 18 51.4 22 55.0

Total 19 100 24 100 29 100 35 100 40 100


certo valor na solução B1

Flecha Máxima 30 25 20 15 10

#/% de cabos # % # % # % # % # %

banda y1 0 0.0 2 12.5 3 15.0 5 18.5 6 18.2

banda y2 4 36.4 5 31.3 7 35.0 9 33.3 12 36.4

banda y3 7 63.6 9 56.3 9 45.0 9 33.3 9 27.3

banda x 0 0.0 0 0.0 1 5.0 4 14.8 6 18.2

Total 11 100 16 100 20 100 27 100 33 100



60


certo valor na solução A2

Flecha máxima 30 25 20 15

#/% de cabos # % # % # % # %

Nº de cabos y1 0 0.0 1 4.2 2 6.9 4 11.4

Nº de cabos y2 5 26.3 9 37.5 12 41.4 13 37.1

Nº de cabos y3 14 73.7 14 58.3 15 51.7 18 51.4

Total 19 100.0 24 100.0 29 100.0 35 100.0


certo valor na solução B2

Flecha Máxima 30 25 20 15 10

#/% de cabos # % # % # % # % # %

banda y1 0 0.0 1 6.7 1 4.8 3 11.1 6 18.2

banda y2 4 36.4 7 46.7 13 61.9 14 51.9 13 39.4

banda y3 7 63.6 7 46.7 7 33.3 7 25.9 8 24.2

banda x 0 0.0 0 0.0 0 0.0 3 11.1 6 18.2

Total 11 100 15 100 21 100 27 100 33 100

Da análise das tabelas 4.36 a 4.39, pode concluir-se que as bandas Y2 e Y3 são fundamentais

no controlo da deformação dado que têm sempre uma maior percentagem de número de cabos

face ao total. Importa referir que, naturalmente, verifica-se que a importância das bandas Y1 e

X aumenta de acordo com a exigência imposta na deformação. No entanto, a análise da

deformação desta forma deixa de ser válida a partir de um grau de exigência elevado dado que

os pontos de controlo podem deixar de ser condicionantes.

A importância relativa das bandas é natural dado que a banda Y2 é a banda central na direção

y e a banda Y3 é a banda que passa pelo cruzamento do alinhamento B1 e A8, e se encontrem

na zona das maiores deformações devido às cargas. Relativamente à banda Y1, esta encontra-

se bastante afastada da zona mais desfavorável, o que justifica a sua menor importância. A

banda X tem como principal função contrariar a deformação provocada pela banda Y3 no



61

alinhamento B1 e compensar a ausência do pilar B1-A8, pelo que a sua contribuição é difícil de

prever sabendo apenas que dependerá em certa medida do pré-esforço aplicado na banda Y3.

Relativamente ao traçado conclui-se que os traçados parabólicos das soluções do tipo 1

permitem uma distribuição mais uniforme dos cabos face às soluções do tipo 2, o que também

é plausível dado que o traçado parabólico provoca uma distribuição de cargas equivalentes de

pré-esforço que mais se aproxima à distribuição das cargas quase permanentes quando

comparada às soluções poligonais do tipo 1. Esta conclusão requer a análise cuidada das

tabelas 4.36 a 4.39:

- Na tabela 4.36 (solução A1 – traçado parabólico), as colunas a laranja representam as

soluções onde a adição de cabos na banda mais eficaz começava a provocar deslocamentos

para cima, no entanto, distribuindo os cabos por outras bandas é possível chegar aos 10 mm

de flecha máxima sem o aparecimento de deslocamentos para cima.

- Na tabela 4.38 (solução A2 – traçado poligonal), as conclusões são semelhantes com a

diferença que não é possível obter uma flecha com 10 mm sem obter deslocamentos para

cima.

- Na tabela 4.37 (solução B1 – traçado parabólico), é possível obter uma flecha máxima de 10

mm adicionando sempre cabos às bandas mais eficazes sem surgirem deslocamentos para

cima.

- Na tabela 4.39 (solução B2 – traçado poligonal), é também possível obter uma flecha máxima

de 10 mm, no entanto a partir dos 20 mm já não é possível adicionar cabos à banda mais

eficiente pois começam a surgir deslocamentos para cima.

Importa ainda observar que no traçado parabólico a solução para a limitação de uma flecha

máxima de 15 mm é bastante mais uniforme e próxima da solução real adotada do que a

solução poligonal. Embora com a limitação do número máximo de cabos por banda as

melhores soluções sejam iguais para ambos os traçados, sem esta restrição, é visível uma

certa diferença.



62



63

5 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES

ÚLTIMOS

5.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO

Existem duas formas equivalentes de verificar a segurança ao estado limite último de flexão

(ELU) dependendo da consideração do pré-esforço pelo lado da resistência ou pelo lado da

ação. Para estruturas tridimensionais, como as lajes, é mais comum e eficiente efetuar esta

verificação pelo lado da ação dado que evita diferenciar as parcelas hiperestáticas e isostáticas

do pré-esforço.

5.1.1 BANDA – ELU DE FLEXÃO COM PRÉ-ESFORÇO PELO LADO DA AÇÃO

Consideram-se todas as ações atuantes na combinação fundamental e determina-se o valor de

armadura ordinária necessário para verificar a segurança à flexão composta através do método

do diagrama retangular simplificado indicado na figura 5.1.

(5.1)

Figura 5.1 – Diagrama retangular simplificado com pré-esforço pelo lado da ação

(5.2)

(5.3)

(5.4)

Aplicando a combinação fundamental no SAP2000 retiram-se os valores de Msd e Nsd na

secção mais desfavorável da banda Y2 que se encontra aproximadamente a meio vão. Para

este efeito foi necessário retirar informação de três pontos ao longo da secção, calcular a



64

média dos valores por metro e multiplicar pela largura da banda para obter o valor de Msd e Nsd

total na banda. As características da secção apresentam-se na tabela 5.1.

Tabela 5.1 – Características da secção

Largura da banda [m] 1,6

Altura da banda [m] 0,65

Área [cm2] 44,8

c [m] 0,03

d [m] 0,608

Distância entre As e Ap [m] 0,0225

e [m] 0,2605

No presente caso tem-se então:

para um

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

Através das equações de equilíbrio é possível determinar a posição da linha neutra e da

armadura ordinária necessária para a verificação de segurança.

1) Equilíbrio de momentos

(5.10)

A solução de 1,5 m foi ignorada por não ter sentido físico.



65

2) Equilíbrio de forças

(5.11)

(5.12)

Pelo que se conclui não ser necessária armadura de ordinária além da armadura mínima que

se calcula seguidamente.

3) Armadura mínima

De acordo com a EN1992 1-1, o valor da armadura mínima de flexão é dado pela seguinte

expressão:

(5.13)

Na banda de pré-esforço tem-se então a seguinte armadura mínima:

(5.14)

Adotaram-se 16//0,2 que correspondem a uma armadura de 10,05 cm2 / m

5.1.2 LAJE – ELU DE FLEXÃO

Para as lajes de piso é, em geral, adequado considerar duas malhas de armadura nas faces

superior e inferior da laje, colocando uma armadura adicional apenas nas zonas onde seja

necessário efetuar algum reforço. Deste modo, resolvem-se os problemas de compatibilização

de armaduras diferentes e diminui-se a probabilidade da existência de erros em obra, ao

mesmo tempo que se satisfazem as necessidades em termos de armaduras mínimas de flexão

e outras armaduras complementares como armaduras de bordo simplesmente apoiado,

armaduras de bordo livre, armaduras de canto e armaduras de distribuição.

De acordo com o definido aquando do pré-dimensionamento analisou-se a laje para uma

espessura constante de 25 centímetros o que resulta numa altura útil de 22,5 centímetros,

preconizando um recobrimento de armaduras de 2,5 centímetros.

O valor da armadura mínima de flexão como indicado no ponto 9.2.1.1 da EN1992 1-1, é de:

(5.15)



66

Adotaram-se 10//0,2 que correspondem a uma armadura de 3,93 cm2/m.

A esta armadura de malha corresponde o momento resistente por metro tal que:

(5.16)

(5.17)

Da percentagem mecânica de armadura calcula-se o momento fletor reduzido:

(5.18)

(5.19)

Por fim obtém-se o valor do momento resistente por metro da armadura mínima:

(5.20)

Este valor de momento resistente é importante pois permite verificar quais as localizações a

reforçar de forma a verificar a segurança à flexão em toda a laje. Em termos de cálculo,

procedeu-se de modo análogo para determinar a armadura necessária nos locais da laje que

exigem reforço a partir do momento atuante da combinação fundamental.

Da análise do modelo determinam-se os momentos fletores em torno da direção x (m22) e da

direção y (m11) em toda a laje no intervalo de -37 kN.m/m a 37 kN.m/m como se pode observar

nas figuras 5.2 e 5.3:

Figura 5.2 – Diagrama m22



67

Figura 5.3 – Diagrama m11

Desta forma conclui-se que todos os momentos que não se encontram nas extremidades da

escala, verificam a segurança com a malha de armadura adotada.

Como se pode observar os maiores momentos fletores encontram-se na direção das bandas

onde a verificação ao estado limite último de flexão já foi assegurada.

Os valores de maior momento fletor fora das bandas são de aproximadamente 150 kN.m / m, o

que corresponde a uma armadura de 15,7 cm2 / m para a qual se adotaram 16//0,2 + 12//0,2.



69

6 CONCLUSÃO

Na presente dissertação analisou-se em particular as deformações de um piso intermédio

pertencente a uma estrutura de um edifício concebido para uma discoteca, na cidade do

Funchal. Para diversas soluções de laje, o estudo teve como objetivo principal satisfazer os

critérios de deformação para um piso estrutural em laje, com um vão menor de 11 metros, e

que deve suportar ainda, 3 pilares vindos da cobertura que não têm continuação para o piso

inferior.

Primeiramente estudou-se um modelo de laje aligeirada com 55 cm de altura tendo-se obtido

uma flecha elástica máxima no programa de elementos finitos SAP2000 de aproximadamente

10 mm. No entanto, para ter em conta os efeitos da fluência e fendilhação, avaliou-se um fator

de amplificação obtendo-se a longo prazo uma flecha de 60 mm, claramente inaceitável. Assim,

a necessidade de recorrer a uma solução pré-esforçada, era, como esperado, necessária.

Aqui importa referir uma vantagem das soluções pré-esforçadas, sendo esta a capacidade que

o pré-esforço tem de garantir a não ocorrência de fendas nas zonas críticas da laje reduzindo

assim a flecha.

Dado que a solução a desenvolver deveria ser maciça, por garantir desde logo, uma melhor

segurança ao fogo, não se estudaram soluções aligeiradas pré-esforçadas. Desta forma,

conceberam-se duas configurações de bandas para pré-esforço, a configuração A com bandas

apenas em Y e a configuração B que corresponde à solução A com a adição de uma banda em

X no alinhamento B1. A laje maciça foi concebida com uma altura de 25 cm e as bandas com

uma altura de 65 cm e uma largura de 1,6 m.

A flecha elástica máxima que se obteve para uma laje maciça de 25 cm sem bandas foi de 30,7

mm enquanto que para a solução A era de 15,7 mm e para a solução B 14,1 mm. Estes valores

revelam que as bandas mesmo sem pré-esforço conferem uma redução de flecha máxima na

ordem dos 50%.

Para cada configuração foram estabelecidas duas soluções de traçado de cabos, sendo um

poligonal e outro parabólico. Ambos os traçados aproveitam as excentricidades máximas pelo

que se esperava que conduzissem a resultados semelhantes. Após o cálculo da estimativa de

pré-esforço a aplicar em cada banda foram construídas matrizes de influências para melhor

estudar as deformações e para determinar a melhor solução de cabos para o problema em

questão.

Através destas matrizes, concluiu-se que a configuração A não permite uma flecha a longo

prazo inferior a 32 mm para nenhum dos traçados, mesmo com o número máximo de cabos (24

cabos). As configurações B permitem uma flecha a longo prazo de 15 mm para um total de 26

cabos pelo que se conclui que as soluções do tipo B são claramente mais eficientes do que as



70

do tipo A como seria de esperar dado que a banda X permite um traçado muito mais eficiente

da banda Y3 permitindo corrigir a deformação no cruzamento dos eixos B1 e A8.

Como já foi referido anteriormente a flecha elástica máxima da configuração B1 sem pré-

esforço é de 14,1 mm, o que significa que a flecha a longo prazo tendo em conta o efeito da

fluência e fendilhação seria da ordem dos 70 mm. Pode então concluir-se que os cabos de pré-

esforço reduziram a flecha em cerca de 80%, o que revela uma eficácia muito elevada do pré-

esforço na atenuação das deformações.

Pode concluir-se ainda que os pontos de controlo selecionados foram adequados ao caso em

estudo dado que, para a solução adotada, se obtiveram flechas máximas em toda a laje

inferiores às dos pontos de controlo, e que praticamente não se geraram deformações para

cima.

Importa referir que também se utilizaram as matrizes de influência para determinar várias

soluções intermédias de flecha máxima maior que 15 mm com o intuito de observar a evolução

do número de cabos a colocar em cada banda. Esta análise permitiu confirmar a importância

das bandas Y2 e Y3 nas deformações, sendo a primeira importante devido a ser a banda

central e a última por se encontrar ao longo do alinhamento A8 cuja ausência de um pilar (B1-

A8) agrava consideravelmente as deformações nesse mesmo alinhamento.

Ainda relativamente a esta última análise foi possível concluir que os cabos parabólicos

permitiam uma mais uniforme distribuição dos efeitos do pré-esforço verificando-se que,

matematicamente, na configuração B se chegam às várias soluções sem ativar a restrição dos

deslocamentos para cima.

Por fim conclui-se que a solução B1 verifica a segurança aos estados limites últimos, sendo

que na verificação ao estado limite último de flexão nas bandas, se observa que a solução está

com uma certa folga, o que é normal já que a limitação das deformações é em geral mais

condicionante quando existe a necessidade da aplicação de pré-esforço. No entanto, seria

interessante determinar soluções que satisfizessem ambos os critérios com menor folga o que

significaria que, em princípio, a solução seria mais eficiente. Neste sentido, a conceção de

bandas com menor largura e maior altura conduziriam a aplicação de menos cabos, o que

significa que caso satisfizessem os critérios de deformação, iriam possivelmente verificar com

menor folga as verificações à rotura.

A procura das soluções mais eficientes em engenharia é útil mas pode ser complexa. Na

presente dissertação foi dada especial importância às várias configurações e traçados,

tentando sistematizar e tornar mais eficiente o processo de avaliação de cada solução. Deixa-

se ainda em aberto para uma futura dissertação uma análise semelhante incluindo a variação

de altura e de largura das várias bandas.



71

7 BIBLIOGRAFIA

[1] Instituto Português da Qualidade, Norma Portuguesa 206 - Parte 1: Especificação,

desempenho, produção e conformidade, 2007.

[2] Comité Europeu de Normalização, Eurocódigo 1 - Acções em estruturas, Bruxelas, 2002.

[3] Comité Europeu de Normalização, Eurocódigo 0 - Bases para o projecto de estruturas,

Bruxelas, 2002.

[4] A. Gomes e J. Vinagre, Tabelas de Cálculo de Betão Armado e Pré-Esforçado I, vol. III,

Instituto Superior Técnico, 1997.

[5] J. F. Almeida e A. Costa, Apresentação: Projectos de edifícios em zonas sísmicas, 2011.

[6] Comité Europeu de Normalização, Eurocódigo 2 - Projecto de Estruturas de Betão,

Bruxelas, 2004.

[7] Comité Europeu de Normalização, Eurocódigo 8 - Projecto de estruturas para resistência

aos sismos, Bruxelas, 2002.

Documents

Dissertação, pre-esforço