UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Aplicação da Álgebra Geométrica do Espaço-Tempo

de Minkowski à Óptica Relativista

Romeu Correia Amado

Dissertação Para a Obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Professor Doutor José Bioucas Dias

Orientador: Professor Doutor Carlos Paiva

Co-Orientador: Professor Doutor António Topa

Vogal: Professora Doutora Maria Hermínia Marcal

Novembro 2009

II

III

Agradecimentos

A dissertação de mestrado representa o terminus de uma longa caminhada, marcada por

um constante desenvolvimento pessoal, científico e social. Ao longo deste percurso, em

particular a dissertação de mestrado, muitas foram as pessoas que tornaram este

objectivo possível, como tal, desejo expressar os meus sinceros agradecimentos:

À minha família, em especial aos meus pais, que tudo fizeram em prol do meu bem-

estar e sempre me apoiaram ao longo dos anos.

Ao professor Carlos Paiva e António Topa pela amizade e preocupação mostrada ao

longo da dissertação, assim como, todo o conhecimento transmitido, quer a nível

académico quer a nível pessoal.

Por fim, agradeço a todos os meus amigos e colegas de trabalho pelo seu

companheirismo, amizade e motivação dada no decorrer deste percurso académico.

A todos eles, obrigado.

IV

V

Resumo

O estudo dos meios em movimento na óptica relativista é um ponto importante do

electromagnetismo. Como em quatro dimensões o produto externo não é valido, esse

estudo é feito, em geral, com recurso à manipulação algébrica com tensores. Nesta

dissertação introduz-se uma nova linguagem matemática, a álgebra geométrica ou de

Clifford, que dispensa o uso do complexo cálculo tensorial. Este novo tratamento

matemático foi descoberto no final do século XIX, mas só tomou notoriedade a partir do

final do século XX. A álgebra geométrica vem uniformizar a linguagem matemática.

Vamos aplicá-la ao espaço tridimensional e ao espaço quadrimensional – o espaço-

tempo de Minkowski. O seu estudo torna-se menos complexo graças a ferramentas

como o boost ou a redução à forma do vácuo. O boost ou transformação de Lorentz

activa é uma ferramenta utilizada na demonstração, com clareza, de aspectos da óptica

relativista como a adição de velocidades ou o efeito Doppler. Na álgebra do espaço-

tempo reescreve-se as equações de Maxwell em apenas duas, a homogénea e a não

homogénea, no vácuo cinge-se a uma única. No vácuo e num meio isotrópico a relação

constitutiva do espaço-tempo, em termos dos seus bivectores, é a mesma no referencial

próprio e no de laboratório, devido ao bivector de Faraday e de Maxwell serem não

relativos. A redução à forma do vácuo no estudo da propagação de ondas planas num

meio isotrópico simples torna a relação constitutiva análoga à do vácuo. Por

conseguinte, temos também uma única equação de Maxwell como no vácuo. Diminui-se

assim a complexidade do estudo destes aspectos ligados ao electromagnetismo. Os

resultados demonstrados pela álgebra geométrica vão de encontro aos estudos já

realizados por outras análises.

Palavras-chave

Álgebra geométrica; Bivector; Produto geométrico; Boost; Álgebra espaço-tempo;

Óptica relativista; Meios em movimento; Bivector Faraday; Bivector Maxwell; Redução

à forma do vácuo.

VI

Abstract

The study of relativistic optic in moving media is an important topic in

electromagnetism. As in four dimensions the cross product is not valid, this study is

done, in general, using algebraic manipulation with tensors. This dissertation introduces

a new mathematics language, the geometric algebra or Clifford algebra, which is free

from the use of the complex tensors. This new mathematic treatment has been

discovered in the late of XIX century, but only took well known from the end of the XX

century. The geometric algebra became a unify element of mathematical language. We

apply it to three dimensional space and four dimensional spacetime – the Minkowski

spacetime. The study becomes less complex due to tools such as boost or vacuum form

reduction. The boost or active Lorentz transformation allows to showing aspects of

relativistic optic such as the composition of velocities or the Doppler effect. In

spacetime algebra we reduces the Maxwell equation’s to only two, the homogeneous

and the inhomogeneous, and in vacuum it can be written as a single Maxwell equation.

In vacuum and in an isotropic medium the spacetime constitutive relation, in terms of

their bivectors, is the same in lab frame as in proper frame, due to bivector of Faraday

and bivector of Maxwell are not relative. The vacuum form reduction applied to the

study of plane wave propagation in moving isotropic media makes the spacetime

constitutive relation as in real vacuum. Therefore, we also have a single Maxwell

equation as in vacuum. It reduces the complexity of the study of issues related to

electromagnetism. The results derived by geometric algebra are in agreement with

previous studies by different analysis.

Keywords

Geometric algebra; Bivector; Geometric product; Boost; Relativistic optic; Moving

media; Faraday bivector; Maxwell bivector; Vacuum form reduction; Spacetime

algebra.

VII

Índice

Lista de Figuras .............................................................................................................. IX

Lista de Símbolos ........................................................................................................... XI

1. Introdução ..................................................................................................................... 1

1.1 Enquadramento e motivação ................................................................................... 2

1.2 Objectivos ............................................................................................................... 4

1.3 Organização e estrutura .......................................................................................... 5

1.4 Contribuições .......................................................................................................... 7

2. Álgebra Geométrica do Espaço .................................................................................... 9

2.1 Produto Geométrico ou de Clifford ...................................................................... 10

2.2 Estrutura da Álgebra Geométrica 3C .................................................................. 14

2.3 Contracções ........................................................................................................... 17

2.4 Rotor ..................................................................................................................... 21

2.5 Rotação no Plano .................................................................................................. 23

2.6 Conclusões ............................................................................................................ 25

3. Álgebra Geométrica aplicada ao Espaço-Tempo de Minkowski ............................... 27

3.1 Contradições da Métrica Euclidiana ..................................................................... 28

3.2 Estrutura da Álgebra Geométrica 1,3C ................................................................ 32

3.3 Transformações de Lorentz .................................................................................. 36

3.3.1 Transformação activa ou Boost ...................................................................... 36

3.3.2 Transformação passiva ................................................................................... 40

3.3.3 Adição de velocidades .................................................................................... 43

VIII

3.3.4 Contracção do Espaço .................................................................................... 45

3.3.4 Dilatação do tempo......................................................................................... 46

3.4 Efeito Doppler ....................................................................................................... 48

3.5 Conclusões ............................................................................................................ 51

4. Electrodinâmica Relativista ........................................................................................ 53

4.1 Equações de Maxwell em 3C ............................................................................. 54

4.2 Equações de Maxwell no espaço-tempo de Minkowski ....................................... 57

4.3 Meios em movimento ........................................................................................ 61

4.3.1 Redução à Forma do Vácuo ........................................................................... 65

4.4 Conclusões ............................................................................................................ 72

5. Conclusões .................................................................................................................. 73

Referências ..................................................................................................................... 80

Apêndice A - Factor “k” de Bondi ................................................................................. 81

A.1 – Dilatação do tempo ........................................................................................... 82

A.2 – Transformação de Lorentz passiva ................................................................... 83

A.3 – Efeito Doppler longitudinal .............................................................................. 85

A.4 – Adição de velocidades ...................................................................................... 86

Apêndice B - Paradoxo dos gémeos ............................................................................... 89

Apêndice C ..................................................................................................................... 95

Apêndice C1 ............................................................................................................... 96

Apêndice C2 ............................................................................................................... 98

Apêndice C3 ............................................................................................................. 105

IX

Lista de Figuras

Figura 1.1 - William Kingdom Clifford (1845-1879)[1]

. .................................................. 2

Figura 2.1 – Base ortonormada em 3C . ....................................................................... 10

Figura 2.3 – Representação do produto exterior entre dois vectores.............................. 13

Figura 2.4 – Representação do trivector unitário 123 1 2 3ˆ i V e e e e . .................. 15

Figura 2.5 – Interpretação geométrica da contracção a B . .......................................... 20

Figura 2.6 – Acção de um rotor sobre vector a. ............................................................. 22

Figura 3.1 – Representação de 1vs para

2 0.5 . ............................................ 31

Figura 3.2 – Cone de luz………………………………………………………………..35

Figura 3.3 – Representações paramétricas do vector u. ................................................. 38

Figura 3.4 – Representações paramétricas do vector u. ................................................. 38

Figura 3.5 – Diagrama de Minkowski. ........................................................................... 42

Figura 3.6 – Diagrama de Minkowski, a contracção do espaço. .................................... 45

Figura 3.7 – Diagrama de Minkowski, a contracção do espaço. .................................... 46

Figura 3.8 – Diagrama de Minkowski, a dilatação do tempo. ........................................ 46

Figura 3.9 – Diagrama de Minkowski, a dilatação do tempo. ........................................ 47

Figura 3.8 – Esquema representativo da passagem do emissor para o receptor. ............ 49

Figura 4.1 – Relação constitutiva de um meio isotrópico visto de diferentes referencais…....64

Figura 4.2 – Velocidade de fase normalizada para 0 4, 0.n ................................. 69

Figura 4.3 – Velocidade de fase normalizada para 0 4, 1.n .................................. 70

Figura 4.4 – Velocidade de fase normalizada para 0

0

14, n

n ................................ 70

X

Figura 4.5 – Velocidade de fase normalizada para 0

10.75 .

n ................................ 71

Figura A.1 – Esquema de emissão de um sinal de radar reflectido em S . .................... 82

Figura A.2 – Esquema de emissão de um sinal de radar reflectido em P. ...................... 83

Figura A.3 – Esquema de emissão de um sinal em intervalos de tempo T. ................... 85

Figura A.4 – Esquema de emissão de um sinal em intervalos de tempo T. ................... 86

Figura B.1 – Esquema do diagrama de Minkowski para o paradoxo dos gémeos. ........ 90

Figura B.2 – Esquema representativo da linha do universo do observador A e B. ........ 91

Figura C1.1 – Representação paramétrica elipse para b a e 2 1u . .......................... 97

Figura C1.2 – Representação paramétrica elipse para b a e 2 1u . .......................... 97

Figura C1.3 – Representação paramétrica elipse para b a e 2 1u ............................ 97

XI

Lista de Símbolos

0e vector unitário da álgebra geométrica associado à componente temporal;

1e vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial;

2e vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial;

3e vector unitário da álgebra geométrica associado à componente espacial;

ij delta de Kronecker;

base ortonormada;

F bivector unitário;

F bivector;

produto interno;

produto externo;

produto exterior;

produto geométrico;

, ,a b c vector espacial;

u elemento genérico da álgebra – multivector;

nu projecção de u em relação ao grau n ;

u involução de grau;

u dual de Clifford;

u conjugação de Clifford;

⋀2 3 bivectores no espaço tridimensional;

⋀3 3 trivectores no espaço tridimensional;

⋀2 1,3 bivectores no espaço-tempo de Minkowski;

XII

⋀3 1,3 trivectores no espaço-tempo de Minkowski;

⋀4 1,3 quadrivectores no espaço-tempo de Minkowski;

espaço unidimensional;

2 espaço bidimensional;

3 espaço tridimensional;

4 espaço quadrimensional;

1,1 espaço-tempo de Minkowski com componente espacial unidimensional;

1,3 espaço-tempo de Minkowski;

V pseudo-escalar da álgebra;

V pseudo-escalar unitário da álgebra;

2C álgebra de Clifford do plano;

3C álgebra de Clifford do espaço;

4C álgebra de Clifford do espaço euclidiano;

1,3C álgebra de Clifford do espaço-tempo de Minkowski;

1,1C álgebra de Clifford do espaço-tempo de Minkowski no espaço unidimensional;

C parte par de uma álgebra de Clifford;

C parte ímpar de uma álgebra de Clifford;

Cen() centro de uma álgebra;

contracção à esquerda;

contracção à direita;

R rotor;

,n m vectores unitários;

0R componente de grau zero do rotor;

2R componente de grau dois do rotor;

ângulo entre dois vectores;

XIII

B bivector unitário do espaço tridimensional;

componente paralela de um vector;

componente perpendicular de um vector;

v ângulo associado ao vector v;

u ângulo associado ao vector u;

u comprimento do vector u;

v comprimento do vector v;

ângulo entre dois vectores;

factor das transformações de Lorentz;

r acontecimento no espaço-tempo de Minkowski;

r componente espacial do acontecimento r;

0x ct coeficiente do versor temporal no referencial próprio;

1x coeficiente do primeiro versor espacial no referencial próprio;

2x coeficiente do segundo versor espacial no referencial próprio;

3x coeficiente do terceiro versor espacial no referencial próprio;

0U bivector;

0x ct coeficiente do versor temporal no referencial relativo;

1x coeficiente do primeiro versor espacial no referencial relativo;

2x coeficiente do segundo versor espacial no referencial relativo;

3x coeficiente do terceiro versor espacial no referencial relativo;

c velocidade da luz no vácuo;

u vector no espaço-tempo de Minkowski;

1u vector no espaço-tempo de Minkowski;

XIV

2u vector no espaço-tempo de Minkowski;

u componente espacial do vector u;

1u componente espacial do vector 1u ;

2u componente espacial do vector 2u ;

1 ângulo do vector 1u ;

2 ângulo do vector 2u ;

componente do tensor correspondente à métrica do espaço quadrático;

escalar;

T trivector;

S referencial próprio;

S referencial relativo;

I pseudo-escalar no espaço-tempo de Minkowski;

e bivector unitário e e ;

intensidade de um boost;

1 intensidade de um boost;

2 intensidade de um boost;

ângulo associado a um vector;

L distância no referencial próprio;

0L distância no referencial relativo;

T tempo decorrido no referencial próprio;

0T tempo decorrido no referencial relativo;

k vector de onda no espaço-tempo de Minkowski;

0k componente temporal associada ao vector de onda;

k componente espacial associada ao vector de onda;

XV

n índice de refracção do meio de propagação;

w frequência angular;

0n índice refracção no vácuo;

ew frequência do emissor;

rw frequência do receptor;

rs componente espacial do fotão no receptor;

es componente espacial do fotão no emissor;

s componente espacial do fotão na transmissão;

ˆeB bivector unitário do emissor;

ˆrB bivector unitário do receptor;

E intensidade do campo eléctrico;

B intensidade do campo magnético;

P vector polarização eléctrica;

M vector polarização magnética;

t densidade total de carga eléctrica;

densidade de carga eléctrica;

p densidade de carga associada à polarização;

tJ densidade total de corrente;

pJ densidade de corrente associada à polarização;

mJ densidade de corrente associada à magnetização;

J densidade de corrente;

D excitação eléctrica;

H excitação magnética;

permitividade eléctrica;

XVI

0 permitividade eléctrica no vácuo;

r permitividade eléctrica relativa;

permiabilidade magnética;

0 permiabilidade magnética no vácuo;

r permiabilidade magnética relativa;

0 impedância no vácuo;

0E intensidade do campo eléctrico numa região sem fontes;

0H excitação magnética numa região sem fontes;

0D excitação eléctrica numa região sem fontes;

0B intensidade do campo magnético numa região sem fontes;

operador de Dirac;

E intensidade do campo eléctrico no espaço quadrático 0,3 ;

B intensidade do campo magnético no espaço quadrático 0,3 ;

D excitação eléctrica no espaço quadrático 0,3 ;

H excitação magnética no espaço quadrático 0,3 ;

F bivector de Faraday;

G bivector de Maxwell;

vr operador do espaço-tempo de Minkowski;

ur operador do espaço-tempo de Minkowski;

0F bivector de Faraday numa região sem fontes;

0G bivector de Maxwell numa região sem fontes;

pv velocidade de fase.

Capítulo 1

Introdução

Neste capítulo é apresentado um enquadramento geral à álgebra geométrica: a sua

evolução histórica, uma breve apresentação dos conteúdos deste trabalho e a

especificação dos objectivos desta dissertação.

2

1.1 Enquadramento e motivação

A álgebra geométrica é uma linguagem matemática nova que tem vindo a ganhar

importância no meio científico. A sua elegância de escrita e facilidade com que expõe e

trata os problemas é notória. É uma ferramenta cuja utilidade é inegável quando se tenta

compreender as mais diversas matérias, desde o estudo da relatividade de Einstein até

ao processamento de sinais. Esta álgebra surge no século XIX e costuma designar-se por

álgebra geométrica de Clifford, devido a incluir o produto geométrico ou de Clifford. A

álgebra de Clifford surge, essencialmente, na base de duas descobertas.

A primeira descoberta foi os quaterniões de Hamilton, obtida pelo matemático William

Rowan Hamilton (1805-1865) em 1843, esta visava estender o conceito de números

complexos a outras dimensões, conseguindo-o ao tentar para quatro dimensões.

A segunda foi o produto exterior ou de Grassmann, descoberto em 1844 pelo alemão

Herman Gunther Grassmann (1809-1877) e publicado na sua primeira edição dos seus

cálculos geométricos. Grassmann mostra que uma vez relacionada a geometria com a

álgebra, esta não tem de se restringir ao número 3 de dimensão espacial. Apelidou-se

essa álgebra de álgebra exterior. Note-se que nessa altura Grassmann ainda não

conhecia além da geometria euclidiana, não tendo, de facto, uma intenção deliberada

quanto à aplicação do seu produto numa outra métrica, como a de Lorentz.

Figura 1.1 - William Kingdom Clifford (1845-1879)[1]

.

3

É então que o matemático e filósofo William Kingdom Clifford, em 1878, liga estas

duas descobertas colmatando numa nova álgebra, a álgebra geométrica ou de Clifford,

caracterizada por um produto entre vectores a que se designa produto geométrico ou de

Clifford. Em 1886 Lipschitz generaliza o conceito de Clifford para os quaterniões e

aplica-os à geometria das rotações em n-dimensões.

Estas descobertas foram subordinadas durante um longo período de tempo pelo produto

externo de Gibbs, que teve grande notoriedade face ao produto exterior. Contudo o

produto externo está confinado a três dimensões e, portanto, é limitado. O produto

externo de Gibbs só existe em três dimensões, dado que em duas dimensões não é

possível sair do plano para definir um vector perpendicular ao mesmo e em quatro

dimensões não existe uma forma de determinar uma direcção unívoca ortogonal ao

plano. Só a necessidade de ruptura na passagem do espaço tridimensional para o espaço

quadrimensional levou a questionar o produto externo de Gibbs, que obrigava ao uso do

complexo cálculo tensorial. É aqui que são reconhecidas as vantagens da álgebra

geométrica, pois não obriga ao uso desse cálculo tensorial.

Dados estes acontecimentos, desde o final do século XIX até meados do século XX,

viveu-se um período pouco fértil no avanço desta álgebra. Os estudos sobre esta matéria

começaram a surgir com mais frequência e aplicados a vários temas a partir do final do

século XX, essencialmente a partir de 1970 pelo matemático David Hestenes.

O produto geométrico é o resultado da soma do produto interno com o produto exterior,

a sua aplicação estende-se a várias métricas, logo passar de uma métrica euclidiana a

três dimensões para a métrica de Lorentz no espaço quadrimensional não apresenta

quaisquer problemas para esta álgebra. Deste modo, a álgebra geométrica de Clifford

desempenha um papel fulcral para a uniformização da linguagem matemática.

Com esta uniformização o interesse em estudar a álgebra geométrica tem sido crescente

ao longo dos anos e é, sem dúvida, tentador poder perceber as suas vantagens e as suas

consequências no universo científico. Desde já salienta-se a forma simples e elegante na

apresentação dos resultados, desde a mecânica clássica até ao electromagnetismo, onde

as equações de Maxwell se representam numa simples equação, assim como a sua

aplicação na mecânica quântica, robótica, processamento de sinal, mecânica relativista,

cristalografia, relatividade restrita, relatividade geral e até ao entendimento de imagens.

4

Todas estas áreas de aplicabilidade fazem da álgebra geométrica algo mais do que um

mero formalismo matemático. É por isso um objecto de estudo aliciante que sustenta

avanços importantes para os desenvolvimentos científicos futuros. É para o autor um

grande desafio desenvolver esta tese, onde tem como objectivos perceber a génese da

álgebra geométrica e aplicar esses conhecimentos a problemas físicos conhecidos

mostrando as vantagens trazidas por esta álgebra.

A aplicação da álgebra geométrica a estas áreas ainda se encontra em fase inicial, pelo

que os estudos realizados e as aplicações que a usam ainda não são suficientes para

fazer dela uma grande referência. Dadas as suas visíveis vantagens é necessário

continuar os estudos efectuados de forma a consolidar a sua posição. Nos últimos anos

as publicações sobre o tema têm sido diversas. Destaca-se o estudo da álgebra

geométrica por David Hestenes, Pertti Lounesto, Chris Doran and Anthony Lasenby,

Leo Dorst, Daniel Fontijne e Stephen Mann [2-5]

.

O uso de álgebra geométrica para o caso mais particular da relatividade restrita e do

electromagnetismo já tem sido alvo de estudo por parte de alguns autores. O estudo dos

meios anisotrópicos e bianisotrópicos[6-7]

, das leis de Maxwell e da aplicação da óptica

relativista nos meios em movimento [8-12]

utilizando esta álgebra são exemplos de

matérias já abordadas.

1.2 Objectivos

Como vimos a álgebra geométrica de Clifford tem diversas aplicações em problemas

científicos e de engenharia. Os estudos feitos sobre essas aplicações são relativamente

recentes e a própria álgebra geométrica ainda é, para alguns, uma ciência desconhecida.

Dado isto, falar de álgebra geométrica significa ter um vasto leque de temas passíveis de

explorar.

A realização desta dissertação de mestrado tem como objectivo inicial explicar os

princípios matemáticos base da álgebra geométrica, focando-se na álgebra do espaço e

na do espaço-tempo de Minkowski. Esses princípios básicos vão ser usados para estudar

algumas aplicações em que a álgebra geométrica é útil. Sendo esta dissertação a via para

a obtenção do grau de mestrado em engenharia electrotécnica e de computadores e

5

sendo o ramo de especialização telecomunicações surge, de modo natural, o objectivo

de compreender como é que a álgebra geométrica pode ser usada no estudo de matérias

como o electromagnetismo, a óptica relativista e a sua aplicação aos meios em

movimento. Como tal serão focados aspectos como o efeito Doppler relativista, a adição

de velocidades relativista, as leis de Maxwell e os meios em movimento, entre outros. O

estudo destes temas pode ser feito sem recurso à álgebra geométrica, utilizando para

isso as abordagens tradicionais e mais referenciadas[13-17]

.

Com este estudo esperamos contribuir para mostrar a utilidade da álgebra geométrica

como ferramenta matemática e que esta perspectiva ajude a clarificar e compreender as

equações de Maxwell e a óptica relativista dando uma nova visão sobre o tema,

complementando deste modo os conhecimentos anteriormente adquiridos.

1.3 Organização e estrutura

Tendo os objectivos definidos, a dissertação assenta em três temas principais: a

compreensão da álgebra geométrica propriamente dita no espaço e no espaço-tempo de

Minkowski; o estudo das leis de Maxwell com álgebra geométrica e o estudo da óptica

relativista em meios em movimento também com álgebra geométrica.

Este trabalho divide-se em cinco capítulos, onde o primeiro é a introdução e o quinto é a

conclusão. O corpo principal é, deste modo, constituído pelos capítulos 2, 3 e 4. No

segundo capítulo começa-se por estudar a álgebra geométrica do espaço onde é

caracterizado o produto geométrico ou de Clifford assim como o produto exterior ou de

Grassmann. Aqui surge um novo conceito muito importante, o bivector. Como tal é

necessário compreender e caracterizar este objecto geométrico. Ainda em três

dimensões estuda-se o rotor ou spinor, este operador, tem um papel preponderante na

nesta álgebra. O operador rotor permite realizar rotações em 3D de forma eficaz.

No terceiro capítulo, a passagem da métrica euclidiana para uma métrica de Lorentz é

uma das passos mais marcante desta álgebra, que vem uniformizar a linguagem

matemática. É então importante compreender e caracterizar a álgebra geométrica a

quatro dimensões, também conhecida como álgebra geométrica do espaço-tempo de

6

Minkowski. Neste espaço os rotores podem originar transformações espaciais e

transformações de Lorentz activas ou boosts.

O boost é um operador cujo estudo é fundamental na álgebra de Minkowski, pois é

desta transformação que surge o diagrama de Minkowski. Este operador é usado para

demonstrar, de forma simples e elegante, aspectos da óptica relativista como a adição de

velocidades, contracção do espaço, dilatação do tempo e efeito Doppler relativista, entre

outros.

Compreendidas as bases essenciais da álgebra geométrica do espaço e da álgebra

geométrica de Minkowski, o quarto capítulo tem como objectivo estudar as equações de

Maxwell no espaço tridimensional e no espaço-tempo de Minkowski. Em 3C

apresentam-se, com recurso à álgebra geométrica, as equações de Maxwell e as

equações de Maxwell-Boffi. Estas últimas desprezam a existência dos vectores de

excitação electromagnética, resultantes de uma abordagem reducionista que graças à

álgebra de Clifford se apresentam como uma única equação.

Já na álgebra do espaço-tempo, onde a componente temporal se relaciona com a

espacial, surgem os bivectores relativos , , , E B D H . Estes bivectores relativos tomam

um papel secundário com o aparecimento de dois novos bivectores (não relativos): o

bivector de Maxwell e o bivector de Faraday. Com estes novos bivectores as equações

de Maxwell reescrevem-se em apenas duas, a homogénea e a não homogénea.

Finalmente vamos particularizar para o vácuo onde será apenas uma.

Um último tópico, que colmata este trabalho, é o estudo dos meios em movimento em

meios isotrópicos onde, graças à redução à forma do vácuo, a relação constitutiva entre

os bivectores F e G se reduz a uma análoga à do vácuo. É assim possível descrever as

quatro equações de Maxwell numa só. A análise destes resultados é importante para

poder perceber quais as vantagens em usar álgebra geométrica e para ter uma nova

percepção sobre as leis do electromagnetismo.

Em suma, compreender a génese da álgebra geométrica a três e quatro dimensões,

aplicar esses conhecimentos à relatividade restrita de Einstein, às equações de Maxwell

e ao estudo dos meios em movimento, onde é necessário relacionar todos estes

elementos, completa os objectivos gerais desta tese.

7

1.4 Contribuições

Dentro dos objectivos aqui propostos existem estudos que abordam alguns desses

temas, sendo que o estudo da álgebra geométrica enquanto ferramenta matemática[2,3,5]

é

aquele que encontra mais análises. Quanto ao uso desta ferramenta no estudo das

equações de Maxwell e dos meios em movimento na óptica relativista[7-11]

podemos

afirmar que está agora a dar os primeiros passos. Deste modo, neste trabalho ao juntar o

estudo das equações de Maxwell com estudo de meios em movimento na óptica

relativista estamos a contribuir de forma positiva para a divulgação da álgebra

geométrica. Além da demonstração da dilatação do tempo, contracção do espaço, efeito

Doppler relativista e adição relativista de velocidades, destaca-se o aspecto geométrico

atribuído ao electromagnetismo, essencialmente o seu tratamento geométrico no espaço-

tempo de Minkowski que possibilita ter apenas uma equação de Maxwell no vácuo.

Ainda de forma mais notória, esse mesmo tratamento permite chegar à forma local da

relação constitutiva universal para um meio isotrópico e com o uso da redução à forma

de vácuo, escrever essa relação constitutiva de forma análoga à do vácuo. Deste modo,

estudar aspectos dos meios isotrópicos em movimento, como a velocidade de fase ou o

índice de refracção, torna-se uma tarefa mais simples, como a que é tida no caso

particular do vácuo.

8

9

Capítulo 2

Álgebra Geométrica do Espaço

Este capítulo faz uma introdução à álgebra geométrica do espaço, 3C , assim como

algumas analogias com a álgebra geométrica do plano, 2C . Nesta álgebra, Clifford

encontrou uma forma de unir o produto exterior ou de Grassmann com o produto

interno, ao qual se designa de produto geométrico ou de Clifford em honra do mesmo.

Introduz-se o produto geométrico, o produto exterior e a contracção assim como um

novo objecto geométrico, o bivector. Faz-se uma análise destes conceitos e caracteriza-

se a respectiva estrutura algébrica. Por fim, define-se o operador rotor, que permite

realizar rotações no plano, 2C , e rotações no espaço, 3C .

10

2.1 Produto Geométrico ou de Clifford

Para definir uma álgebra é necessário definir o produto entre vectores, neste caso, é o

produto geométrico. Considere-se a álgebra geométrica euclidiana do espaço, 3C ,

onde 1 2 3| | | | | | 1 e e e e a sua base ortonormada é 1 2 3{ , , } e e e onde

j

1,, {1, 2, 3}

0,k j k

j kj k

j k

e e . (2.1)

Figura 2.1 – Base ortonormada em 3C .

Um vector desta álgebra é 1 2 3x y z r e e e ℝ3. O seu comprimento é dado por

(2.2)

Define-se o axioma fundamental de 3C como o produto entre vectores (produto

geométrico), tal que, a multiplicação do vector r por ele próprio origina o quadrado do

seu comprimento, ou seja,

2 2| |r r . (2.3)

O produto geométrico é associativo

( ) ( )ab c a bc , onde cba ,, ℝ3, (2.4)

no entanto, não goza da propriedade comutativa, para o demonstrar basta considerar um

vector 1 2 3x y z r e e e e aplicar-lhe o axioma fundamental da álgebra 3C , pelo que,

2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3| | ( ) ( )x y z x y z x y z r r e e e e e e (2.5)

2 2 2 2

1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2| | ( ) ( ) ( )x y z x y x z y z r e e e e e e e e e e e e (2.6)

2 2 2| | 0.x y z r r r

11

2 1 1 2

2 2

3 1 1 3

3 2 2 3

| |

e e e e

r r e e e e

e e e e

. (2.7)

Conclui-se que para verificar o axioma fundamental da álgebra o produto geométrico

não é, no caso geral, comutativo. Esta propriedade vem trazer consequências

importantes na álgebra geométrica:

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1. e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e (2.8)

2

1 2( ) 1. e e (2.9)

A análise deste resultado indica-nos que o objecto geométrico 1 2e e não pode ser nem

um escalar nem um vector, pois, o seu quadrado é um número negativo. Este novo

objecto geométrico designa-se de bivector. Um bivector define-se como sendo um

segmento de plano orientado. Na figura 2.2 representa-se o bivector unitário

12 1 2ˆ F e e e , onde o sentido é de

1 2 para e e .

12 1 2ˆ F e e e

2e

1e

Figura 2.2 – Representação do bivector unitário F .

Nota: O segmento de plano orientado representativo de um bivector unitário não é

necessariamente um quadrado, este apenas tem de ser um plano com área unitária.

Finalmente o produto geométrico entre dois vectores a, b ℝ3 é

. ab a b a b (2.10)

12

Onde,

1 1 2 2 3 3

23 31 12

1 2 3

1 2 3

produto interno

produto exterior ou de Grassmann

a b a b a b

a a a

b b b

a b

e e e

F a b

. (2.11)

O produto interno é conhecido da álgebra tradicional, no entanto, o produto exterior

surge como um novo produto e é usado para definir o produto geométrico.

O produto exterior é anti-simétrico, associativo e gera um bivector .baF

2 3 3 2 23 3 1 1 3 31 1 2 2 1 12( ) ( ) ( ) a b a b a b a b a b a b F a b e e e ⋀2 ℝ3. (2.12)

Nota: O produto exterior não deve ser confundido com o produto externo de Gibbs pois,

o produto externo de Gibbs é válido apenas em ℝ3, o que não acontece com o produto

exterior. O produto externo depende da métrica enquanto o exterior não. No espaço

euclidiano é possível relacioná-los em ℝ3 como

(2.13)

Conclui-se que o produto geométrico será a soma directa de um escalar com um

bivector, i.e.,

ab a b a b ℝ ⨁ ⋀2ℝ3. (2.14)

Considerando a propriedade de simetria do produto interno e de anti-simetria do

produto exterior tem-se

a b b a

a b b a, (2.15)

e pode escrever-se

2 2 2 2

1( )

2( ) ( )

1( )

2

a b ab baab a b a b

a b a b a bba a b a b

a b ab ba

. (2.16)

123( ) . a b a b e

13

Sendo ( , ) a b , escreve-se o produto interno como | || | cos a b a b e conclui-se

que

2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) cos sin a b a b a b a b (2.17)

| | | | | | sin . a b a b (2.18)

Figura 2.3 – Representação do produto exterior entre dois vectores.

Assim como o produto exterior entre dois vectores dá um segmento de plano orientado,

o produto exterior de 3 vectores origina um trivector ou volume orientado.

Uma característica importante do produto geométrico é ser invertível, ao contrário do

produto exterior. Depende assim de uma métrica:2 2| | a aa a a a .

11

1

1 1 1 1

Invertibilidade

u

u u

u

2

2

aa ba

aab b a

bb b a

b

(2.19)

A Invertibilidade é uma propriedade que não está presente no produto interno nem no

produto externo pois, para ambos não é possível uma caracterização unívoca, isto é, não

é possível determinar apenas uma única solução, apenas podemos determinar um

conjunto de soluções, no caso de ℝ 3 um plano e uma linha, respectivamente.

O produto geométrico é uma soma graduada do produto interno e do produto

exterior, o que resulta na possibilidade de invertibilidade. Por exemplo, no caso de ℝ 3 o

plano de soluções da inversão do produto interno cruza-se com a linha do produto

exterior originando um único ponto, unívoco, que caracteriza a inversão do produto

geométrico. Logo o produto geométrico é invertível.

14

2.2 Estrutura da Álgebra Geométrica 3C

A álgebra geométrica 3C está definida no espaço tridimensional euclidiano ℝ3. Esta

álgebra compreende quatro subespaços. Esses subespaços formam a chamada soma

graduada, são eles:

Escalares ℝ;

Vectores ℝ3; Cl3 = ℝ ⨁ ℝ3 ⨁ ⋀2ℝ3 ⨁ ⋀3ℝ3

.

Bivectores ⋀2ℝ3;

Trivectores ⋀3ℝ3.

Pelo triângulo de pascal conclui-se que esta álgebra tem uma dimensão de 8.

dim( 3C ) = 1 3 1 1 8

1 escalar

3 vectores

3 bivectores

1 trivector

.

Base 1 2 3 12 23 31 123{1, , , , , , , }. e e e e e e e

Multivector – Dá-se o nome de multivector a um elemento genérico u da

álgebra. É habitual chamar-se pseudoescalar a qualquer multivector homogéneo

da álgebra com o maior grau possível.

0

13

2

3

escalar

vectormultivector: .

bivector

trivector

u

uu C

u

u

aa F V

F

V

(2.20)

Dualidade – Dado um multivector genérico 3u C define-se o correspondente

dual de Clifford como sendo o novo multivector 123 3v u C e tal que

123 123 123 123 123 .u v u a be e e b ae e (2.21)

15

Reverso ⇒ 123 123 3 2 1 1 3 2 1 2 3 123

.u u

e e e e e e e e e e e e

ab ba (2.22)

2 2 2 2 2

123 123 123 123 123 1 2 3 3 2 1 1 2 3( )( ) 1. i e e e e e e e e e e e e e e (2.23)

Trivector ou pseudoescalar

1 2 3

1 2 3 123

1 2 3

ˆ

a a a

b b b

c c c

V a b c e V i ⋀3ℝ3.

Figura 2.4 – Representação do trivector unitário 123 1 2 3ˆ i V e e e e .

2 2 2 2 2( ) ( ) . V a b c i (2.24)

Lâmina- k : Uma lâmina-k da álgebra de Clifford é um elemento ku tal que

k k ku u , onde k ku é um elemento homogéneo de grau k e resulta do

produto exterior de um ou mais vectores.

Grau máximo: Em 3C não podem existir lâminas-4, ou seja, dados quatro vectores

a, b, c, d 3 tem-se necessariamente 0. a b c d Significa que só três

vectores é que podem ser linearmente independentes, se existir um quarto vector

este é necessariamente uma combinação linear dos outros três. O grau máximo de

uma lâmina em 3C é, portanto, 3.

Involução de grau ⇒ 0 1 2 3

u u u u u .

Conjugação de Clifford ⇒ 0 1 2 3

u u u u u .

16

Dadas as considerações tomadas na caracterização da estrutura algébrica de 3C ,

associa-se a esta estrutura uma parte par, uma ímpar e um centro da álgebra.

Parte par 2 3

3C ;

Parte ímpar 3 3 3

3C ;

Centro da álgebra Cen( 3C ) = 3 3 .

A parte par resulta do produto geométrico de um número par de vectores, enquanto a

ímpar resulta do produto geométrico de um número ímpar. O centro de uma álgebra é o

conjunto dos seus elementos que comutam com todos os elementos dessa álgebra.

A parte par e o centro da álgebra constituem duas subálgebras, a parte ímpar como não

é fechada em relação ao seu produto geométrico não constitui. Sem o demonstrar, é

importante referir a existência de um isomorfismo da parte par e do centro da álgebra

com o anel de divisão dos quaterniões de Hamilton e com o corpo dos complexos,

respectivamente.

Define-se spinor ou rotor a um elemento u da parte par da álgebra, tal que:

Spin (3 ) ↦ u 3C : 1uu . (2.25)

Na álgebra geométrica do plano temos

Parte par: 2C

= 2 2 ;

Parte ímpar: 2C

= 2 ;

Centro da álgebra: Cen( 2C ) = .

Spin( 2 ) ↦ u 2C : 1uu . (2.26)

Os elementos spin (2) e spin (3) são os responsáveis pelas rotações no plano e no

espaço, respectivamente.

17

2.3 Contracções

A contracção é uma operação importante na álgebra geométrica, pode aplicar-se a

contracção à esquerda ou a contracção à direita. A operação contracção de um vector

com um bivector faz com que o grau dois do bivector se reduza ao grau do vector.

Para chegar à forma da contracção à esquerda começa-se por determinar o resultado do

produto geométrico do vector a por um bivector cbB .

3( ) .u C aB a b c (2.27)

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

a b c a bc cb ab c ac b (2.28)

1 1

[2( ) ] [2( ) ]2 2

a b ba c a c ca b (2.29)

1

( ) ( ) ( ).2

a b c a c b bac cab (2.30)

Como

1

( ) ( ) ( ) ( ) ,2

bac cab a c b a b c b c a (2.31)

pode-se escrever

( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ] a b c a b c a c b a c b a b c b c a (2.32)

( ) ( ) 2( ) 2( ) . a b c b c a a b c a c b (2.33)

Conclui-se

2( ) 2( ) aB Ba a b c a c b ℝ3. (2.34)

Podemos então definir a contracção à esquerda como:

1

( ).2

a B aB Ba (2.35)

18

Define-se a regra fundamental da contracção à esquerda:

( ) ( ) ( ) . a b c a b c a c b (2.36)

Como referido esta operação faz baixar um grau ao bivector B, reduzindo-se assim ao

grau do vector a. Analogamente temos a contracção à direita:

1

( )2

B a Ba aB . (2.37)

A contracção à esquerda relaciona-se com a contracção à direita de forma anti-

simétrica, i.e.,

a B B a . (2.38)

Representa-se abaixo alguns casos particulares de contracções:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

a b c d a d b c a c b d

a b c d a b c d a c b d a d b c (2.39)

Pode chegar-se a outras conclusões relativas ao produto geométrico entre um vector e

um bivector e uma contracção. Para isso escreve-se o produto geométrico de um vector

por um bivector como resultado da soma da parte ímpar com a parte par

1 1( ) ( )

2 2u aB aB Ba aB Ba . (2.40)

Ao decompor a a a , em que, a está definido no plano B, e sendo b um vector

perpendicular a / /a também contido no plano B, temos que

0 a b (2.41)

B a b a b (2.42)

2 É um vector. a B a b (2.43)

Por outro lado

( ) É um trivector a B a a b a a b . (2.44)

19

2( ) aB a a B a b a a b 3 3 3 . (2.45)

Concluí-se, deste modo, que o produto geométrico de um vector por um bivector origina

a soma graduada de um vector com um trivector.

Como vimos

1 1

( ) ( ).2 2

u aB aB Ba aB Ba (2.46)

pelo que, podemos concluir

3

3 3

1( ) Parte ímpar é um vector

2.

1( ) Parte par é um trivector

2

aB Ba a B

aB Ba a B

(2.47)

É de notar que o produto exterior entre um vector e um bivector é simétrico,isto é,

( ) ( ) ( ) ( ) a B a b c a b c b a c b c a B a (2.48)

aBBa . (2.49)

.

aB a B a B

Ba B a B a (2.50)

Para interpretar geometricamente a operação contracção considere-se

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) . a a B B aB B a B B a B B (2.51)

1

1

ˆ ˆ( ) ( ).ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )

ˆ ˆ

a B a B

a B a Ba a B B a B B

a B a Ba a B B a B B

a B a B

(2.52)

20

Representa-se agora o vector a 3 e as suas componentes paralelas e perpendiculares.

Sendo que a componente paralela esta contida no plano B e a perpendicular é

perpendicular a esse mesmo plano. O vector b a é a contracção à esquerda de

a B a B , que é diametralmente oposta à contracção à direita.

Figura 2.5 – Interpretação geométrica da contracção a B .

21

2.4 Rotor

Os rotores são operadores da álgebra geométrica que permitem gerar rotações. Estas

rotações podem ser rotações espaciais no caso de uma álgebra euclidiana 3C ou

rotações espaciais e transformações de Lorentz para a álgebra do espaço-tempo de

Minkowski, 1,3C . De seguida foca-se os rotores em 3C .

Considere-se um rotor como sendo o produto geométrico R nm . Sendo que

n, m 3 são dois vectores unitários, i.e., tais que 122 mn .

O grupo de spin que gera rotações espaciais é escrito como 3spin (3) { : 1}R C R R

e o rotor R verifica: 2 2( )( ) 1 1.RR RR nm mn n m (2.53)

Pode escrever-se, também, 20

RRR , ou seja, a soma de um escalar com um

bivector, onde , 2n m .

0

2

cos 2.

ˆ sin 2

R

R

n m

n m m n B (2.54)

Como nesta álgebra o quadrado do bivector unitário é negativo, 1ˆ 2 B , obtém-se a

generalização da forma de Euler para a álgebra geométrica:

ˆ ˆexp( ) cos sin2 2 2

B B (2.55)

3ˆrotor em exp( ).

2C R

nm B (2.56)

Demonstração:

2

12ˆ 1 B 2ˆ 1k k B 2 1ˆ ˆ1 .

kk B B

2 2 1

0 0 0

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆexp( )! ( 2 )! (2 1)!

k k k

k k kk k k

B B B

B (2.57)

2 2 1

2

0 0

ˆ ˆ ˆexp( ) 1 1 cos sin .(2 )! (2 1)!

k kkk

k kk k

B B B (2.58)

22

É importante compreender a acção de um rotor sobre um vector, para isso, faz-se

ˆ sin2

m n B e considera-se

θ θˆ( , ) cos sin

2 2 2

θR n m nm n m m n B (2.59)

3 3 ˆ: : , exp( ).2

R R R

a b a a BR R (2.60)

É de notar que a aplicação de um rotor é o mesmo que uma simples rotação no plano

apenas na álgebra euclidiana do plano.

Podemos escrever

( )R R R R R R a a a a b a a a a . (2.61)

Como

2 ˆexp( ) ˆexp( ) .R R R

R R

b a a B ab b b B a a

b a a (2.62)

Podemos concluir que a componente perpendicular do vector a se mantém enquanto a

componente perpendicular sofre uma rotação θ no plano do bivector B , como nos

mostra a figura abaixo representada. 123 u Be

a b

Figura 2.6 – Acção de um rotor sobre vector a.

a b

B m n

23

2.5 Rotação no Plano

Uma rotação resulta da aplicação de um rotor R a um vector. A álgebra euclidiana 2C

é o caso mais simples de se estudar, pois, visto ser uma álgebra do plano a aplicação do

rotor equivale a uma rotação nesse mesmo plano. Neste caso uma rotação pode

escrever-se sem recorrer à definição de rotor, como

12exp( )θu v e u (2.63)

em que

1 1 2 2

1 1 2 2

.u u

v v

u e e

v e e (2.64)

Numa álgebra euclidiana Cl2 temos

2 2

1 2 1 e e 1 2 12{1, , , } e e e 2

12 1. e (2.65)

Considera-se que o vector u é um vector unitário, logo,

1 1

2 2

sintan .

cos

u

u

u

u u

u u

(2.66)

Dado que a métrica é euclidiana, ℝ2,0, o quadrado do comprimento do vector u é

2 2 2

1 2| | .ul u u (2.67)

Numa rotação o vector unitário u, no âmbito de uma transformação passiva, é descrito

segundo elipsóides. No apêndice C1 estão as seguintes representações paramétricas

1

2

c a cos

bsin

u t

u x

(2.68)

1

2

c a cos

bsin

u t

u x

(2.69)

24

Pela fórmula de Euler temos

12 1 2

12 12

12 2 1

exp( ) cos sin ,

e e ee e

e e e. (2.70)

Aplicando a transformação

12exp( )u v e u , (2.71)

obtém-se

1 1

2 2

cos sin

sin cos

v u

v u

. (2.72)

Conclui-se:

1

2

tan tantan .

1 tan

uv

v

v

(2.73)

O comprimento do vector u mantém-se após a rotação.

2 2 2 2

1 2| | | | | | .u vu u v u (2.74)

Infere-se que o ângulo do vector v é a soma do ângulo do vector u com o ângulo de

rotação θ, para isso considere-se que

| || | cos u v u v (2.75)

por outro lado

2 2

1 2( )cosu u u v (2.76)

.v u (2.77)

Mostra-se através do “produto externo” que a rotação se efectua no sentido directo, ou

seja, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

01221 vuvuvu ⇒ Sentido directo. (2.78)

1 1 2

2 1 2

cos sin

sin cos

v u u

v u u

25

Como exemplo representa-se no Apêndice C2 os gráficos para rotações de diversas

intensidades sobre um vector u com u =30º.

2.6 Conclusões

Neste capítulo estudaram-se os fundamentos base da álgebra geométrica do espaço

3.C Definiu-se e estudou-se o produto que caracteriza esta álgebra, o produto

geométrico ou de Clifford. Este produto geométrico resulta da soma do produto interno

com o produto exterior. Tal como o produto geométrico o produto exterior é um

elemento novo, diferente do produto externo. Concluiu-se que o uso destes novos

elementos origina um novo objecto geométrico, o bivector. Mostrou-se que os

bivectores quadram negativamente e geram rotações espaciais em 3C . A estrutura

graduada dos subespaços da álgebra geométrica é um aspecto muito particular desta

álgebra. Ao contrário do produto exterior e do produto interno, o produto geométrico é

invertível.

Este capítulo sobre a álgebra geométrica do espaço forneceu-nos ferramentas

importantes para aplicar nos capítulos seguintes.

26

27

Capítulo 3

Álgebra Geométrica aplicada

ao Espaço-Tempo de Minkowski

Este capítulo faz a passagem da álgebra geométrica do espaço a três dimensões para a

álgebra do espaço-tempo a quatro dimensões – a álgebra geométrica do espaço-tempo

de Minkowski. Esta corresponde à passagem de uma métrica euclidiana para uma não-

euclidiana, a métrica de Lorentz.

No início do capítulo mostram-se algumas das contradições da métrica euclidiana a

quatro dimensões, de seguida caracteriza-se a nova estrutura algébrica do espaço-tempo

com a métrica de Lorentz onde surgem conceitos importantes como o quadrivector,

vectores do tipo luz, espaço e tempo assim como bivectores hiperbólicos, elípticos e

parabólicos. Por fim analisam-se as transformações de Lorentz na forma activa (boost) e

na sua forma passiva. Analisa-se a acção do operador boost sobre um vector e

demonstra-se a adição de velocidades, a contracção do espaço e dilatação do tempo e

finalmente, o efeito Doppler relativista.

28

3.1 Contradições da Métrica Euclidiana

As leis de Newton consideram que tempo e espaço são os mesmos para os diferentes

observadores dum mesmo fenómeno físico, no entanto, Lorentz e outros verificaram

que as leis do electromagnetismo não respeitavam esses princípios. Lorentz surge com a

teoria do éter onde afirmava que objectos e observadores estariam imersos num fluído

imaginário, o éter, dando-se assim um encurtamento físico e mudanças na duração do

tempo: a contracção de Lorentz e a dilatação do tempo respectivamente. Esta teoria

permitia manter intactas as leis de Newton, no entanto, foi muito criticada inclusive pelo

próprio Lorentz, sendo mais tarde descartada.

Surge, então, Einstein com a relatividade restrita que troca a ideia de espaço e tempo

independentes pela ideia de uma interdependência entre eles, passam a ser vistos como

uma entidade geométrica. Einstein assenta a sua teoria da relatividade em dois

postulados:

i. Todos os referenciais de inércia são equivalentes;

ii. A velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais de inércia.

A esta interdependência entre espaço e tempo designa-se espaço-tempo de Minkowski e

é assim que se consegue superar a aparente contradição entre a mecânica newtoniana e

as leis do electromagnetismo.

A álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski necessita assim de um espaço

linear de quatros dimensões, ℝ4, sendo três para as componentes espaciais e uma para a

componente temporal.

A primeira ideia para definir um espaço linear para esta álgebra seria continuar com a

álgebra geométrica com métrica euclidiana, 4C , tendo como base 0 1 2 3{ , , , } e e e e

em que, 2 2 2 2

0 1 2 3 1 e e e e . Veremos que esta métrica euclidiana conduz a problemas

físicos inaceitáveis, logo, a utilização de uma relatividade euclidiana não é válida.

29

Para perceber os problemas da relatividade euclidiana começa-se por considerar uma

trajectória como sendo

0

1 2 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

t k t r t

r t x t y t z t

r e

e e eℝ4

, (3.1)

onde k tem dimensões de velocidade e é uma constante universal, caso contrário,

haveria diferentes factores de conversão consoante o referencial de inércia. Uma

partícula pode ser descrita no seu referencial próprio, 0( ) ( )t kr f , ou por outro

referencial, 0( ) ( ) ( ).t k t r t r e

Sendo

Velocidade

Própria

d d dt

d dt d

r ru . (3.2)

Fazendo

0 0

( )

( ) ( )

dtt

dt k u k

d ru

dt

u e f , (3.3)

temos u em função de cada um dos referenciais, de laboratório e próprio. Como

2 2 2 2 2( )k u k u , onde | |u u e v

k conclui-se que:

2

1

1

. (3.4)

Escolhe-se a raiz positiva de modo a que quando 0 se tenha 1. Ao fazer

cos

tansin

(3.5)

0

02

0

cos sin ( ).

( ) 1

u k uk u

u

u v (3.6)

30

Sendo U0 um bivector, tal que, 0 0 0 0 0u u U e e facilmente se conclui que numa

álgebra euclidiana a velocidade de uma partícula vista de um dado referencial resulta da

aplicação de uma rotação 0exp( ) U à velocidade própria dessa mesma partícula, i.e,

0 0cos sin ( ) (cos sin )U u v U v v (3.7)

0 exp( ) . u U v (3.8)

Portanto se considerarmos duas velocidades

1 1 0

2 2 0 1 0 0

2 2 0 1 0

exp( ) exp( )exp( ) exp( )

exp( ) exp( )

u U vu U U v U v

u U u U v,(3.9)

podemos afirmar que a velocidade vista do referencial de laboratório, 2u , é o resultado

da aplicação de duas rotações sucessivas a uma partícula com velocidade própria v.

1 2 0 0exp[( ) ] exp( ) U U (3.10)

1 2 . (3.11)

Então, sendo k

u , 1 1 1| |u k u , 2 2 2| |u k u e | |u k u conclui-se que

1 2 1 2 1 21 2

1 21 2 1 22

tan tan utan( ) u .

1 tan tan 11

u

u u

k

(3.12)

Para compreender melhor estas expressões representa-se na figura 3.1 a variação de β

com 1 para 2 1/ 2 .

31

Figura 3.1 – Representação de 1vs para

2 0.5 .

Pode concluir-se que a aplicação de uma relatividade euclidiana não é aplicável, esta

não apresenta limite máximo para a velocidade. No exemplo vemos β → quando

1 21 . Outra conclusão fisicamente inadmissível pode ser observada quando duas

velocidades positivas, 1 0 e 2 0 , dão origem a uma velocidade negativa, 0 ,

para 1 21 .

São estes resultados que levam à impossibilidade de aplicar uma métrica euclidiana no

espaço-tempo de Minkowski, sendo portanto necessário entrar com uma métrica não

euclidiana que estabeleça um limite máximo para a velocidade, limite esse igual ao da

velocidade da luz. Esta imposição de o limite máximo ser o da velocidade da luz não é,

necessariamente, uma conclusão imposta pelo electromagnetismo, podendo também

advir pelas outras interacções fundamentais da física.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

1

32

3.2 Estrutura da Álgebra Geométrica 1,3C

Concluímos que o uso de uma relatividade euclidiana conduz a problemas físicos

inadmissíveis, outras métricas como a definida positiva e definida negativa iriam

também levar a contradições físicas. Os modelos físicos que nos vão levar a obter

conclusões físicas aceitáveis são os espaços quadráticos com métricas semi-definidas

positivas e negativas. Com estas métricas podemos aplicar a física da relatividade

restrita de Einstein sem quaisquer problemas.

Métrica semi-definida positiva ↦ ℝ3,1 →

3,1C → 2 2 2 2

0 1 2 31, 1 e e e e ; (3.13)

Métrica semi-definida negativa ↦ ℝ1,3 →

1,3C → 2 2 2 2

0 1 2 31, 1 e e e e . (3.14)

Como convenção usa-se a métrica semi-definida negativa como modelo matemático

para a relatividade restrita de Einstein, ou seja, para o espaço-tempo Minkowski. A

álgebra 1,3C está definida no espaço quadrático ℝ1,3

e a sua métrica corresponde ao

tensor cujas componentes são onde }3 ,2 ,1 ,0{, .

0 1 2 3

Base{ , , , }

ortonormada e e e e ee ⇒

1000

0100

0010

0001

Esta álgebra compreende cinco subespaços que originam entre si uma soma graduada.

escalares – α ℝ

vectores – a ℝ1,3

Subespaços bivectores – F ⋀2ℝ1,3 ⇒ 1,3u C a F T V . (3.15)

trivectores – T ⋀3ℝ1,3

quadrivectores – V ⋀4ℝ1,3

33

0 1 2 3 01 02 03 12 13 23 012 013 023 123 0123{1, , , , , , , , , , , , , , , } e e e e e e e e e e e e e e e ; (3.16)

Esta álgebra é composta por 1 escalar, 4 vectores, 6

bivectores, 4 trivectores e 1 quadrivector ou pseudoescalar,

num total de 16 elementos como podemos ver pelo triângulo

de pascal.

dim(1,3C ) = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2

4 = 16 (3.17)

É usual representar-se o pseudoescalar pela letra 0123I e . É importante ter presente

algumas definições e cálculos que ajudam a caracterizar esta álgebra:

Reverso: 123 3 2 1 1 2 3 123 e e e e e e e e ; (3.18)

3 2 1 0 0 3 2 1 0 1 3 2 0 1 2 3 I e e e e e e e e e e e e e e e e I ; (3.19)

.u u a F bI I a F bI I (3.20)

Quadrado: 2 2 2 2 2

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3( )( ) 1 I I I I I e e e e e e e e e e e e ; (3.21)

Produto geométrico:

0 0 e I Ie 10 10e I Ie 123 123 e I Ie ; (3.22)

Dualidade: Dado um multivector genérico 1,3u C define-se o dual de Clifford como

sendo o novo multivector 0123 1,3v u u C e I .

u v u a F bI I I b FI aI I . (3.23)

Involução de grau: 0 1 2 3 4

u u u u u u .

Conjugação de Clifford: 0 1 2 3 4

u u u u u u .

34

À estrutura algébrica do espaço-tempo de Minkowski também se associa uma parte par

e outra ímpar.

Parte par: 2 1,3 4 1,3

1,3C

Parte ímpar: 1,3 3 1,3

1,3C

Dentro desta álgebra é importante realçar o spin 1,3 . Este grupo de Lorentz especial

ortócrono preserva a orientação do espaço-tempo e é o responsável pelos rotores em

1,3C , à semelhança do spin ( 3 ) em 3C .

1,3Spin (1,3) { : 1}u C u u

(3.24)

Spin (1,3) Rotor.u (3.25)

Um acontecimento no espaço-tempo de Minkowski vai ter características diferentes das

que tinha na álgebra euclidiana devido à métrica semi-definida negativa. Escreve-se um

acontecimento no espaço-tempo Minkowski como

0 1 2 3 0 0 1 1 2 2 3 3( , , , )x x x x x x x x r e e e e ℝ1,3; (3.26)

e sabendo que 0 cx t representa a componente temporal enquanto que

1 1 2 2 3 3r x x x e e e representa a componente espacial, podemos escrever

0(c )t r r e . (3.27)

Temos que

2 22

2 2

c

r | |

t r

r

r. (3.28)

Deste modo o quadrado dos vectores no espaço-tempo de Minkowski pode ser positivo,

zero ou negativo, sendo classificados como

2 2 20 (c ) ( )t r r ↦ vector parabólico ou do tipo luz;

2 2 20 (c ) ( )t r r ↦ vector hiperbólico ou do tipo tempo; (3.29)

2 2 20 ( ) ( )ct r r ↦ vector elíptico ou do tipo espaço;

35

Se desprezarmos uma coordenada espacial

ficamos num espaço tridimensional, podemos

assim representar o conhecido cone de luz que

ajuda a descrever a evolução temporal de uma

partícula no espaço-tempo de Minkowski. A

origem é o ponto onde se encontra o

observador – o presente. Os pontos exteriores

ao cone designam-se de algures absoluto, para

serem atingidos seria necessário uma

velocidade superior a c. Em quatro dimensões

este cone designa-se de hipercone. Figura 3.2 – Cone de luz.

Ao contrário da álgebra euclidiana do espaço onde todos os bivectores são simples com

quadrado negativo, na álgebra do espaço-tempo de Minkowski isso não acontece.

Consideremos, por exemplo, o bivector

0 1 2 3 F e e e e (3.30)

2 2 2 2

01 23 01 0123 2301 23( ) 1 1 F e e e e e e I I (3.31)

⇒ 2 4 1,32 F I ⇒ bivector não simples. (3.32)

Dentro dos bivectores simples, estes podem ser classificados como

Parabólicos ↦ ;02 F

Elípticos ↦ geram rotações → 23 23exp( ) cos sin . e e (3.33)

Hiperbólicos ↦ geram boosts → 10 10exp( ) cosh sinh . e e

As rotações já são conhecidas da álgebra euclidiana do espaço. Surge uma nova

ferramenta muito importante na álgebra do espaço-tempo de Minkowski, o boost, que

vai ser estudado com pormenor no capítulo 3.3.1.

36

3.3 Transformações de Lorentz

3.3.1 Transformação activa ou Boost

Na álgebra do espaço-tempo de Minkowski os bivectores simples podem ser

parabólicos, elípticos ou hiperbólicos, estes dois últimos vão gerar rotações e boosts,

respectivamente. A acção de um rotor sobre um vector já foi estudada na álgebra

euclidiana 3C . A acção de um boost ou transformação activa de Lorentz sobre um

vector é agora analisada.

Perceber a acção de um boost em 1,3C é equivalente a fazê-lo na álgebra

1,1C .

Considera-se duas das componentes espaciais nulas, de modo a tornar a análise mais

intuitiva.

Em 1,1C tem-se

0 1 10{1, , , } e e e

2

0

2

1

1

1

e

e 2

10 1e (3.34)

Sendo u e v dois vectores tais que

0 0 1 1

0 0 1 1

.u u

v v

u e e

v e e (3.35)

Vamos analisar o boost

10exp( )δu v e u (3.36)

onde 0 c u t é a componente temporal e 1 xu é a componente espacial.

Nesta análise considera-se que o vector u é unitário, i.e.,

2 2 2

0 1| | 1u u u . (3.37)

37

Como esta métrica é indefinida do tipo 111,1 é necessário normalizar as

componentes do vector u, de modo a ser sempre unitário. Faz-se

02 2

0

11

2 2

sin

| sin cos |tan

cos

| sin cos |

uu

uu

. (3.38)

Como o bivector é tal que, 2

10 1e , estamos perante uma geometria hiperbólica, logo

2 2cosh sinh 1. (3.39)

Pode assim descrever-se o vector unitário u, no âmbito de uma transformação passiva,

usando as seguintes representações paramétricas, quando , ,

0 2 2 2 2

1

c coshc 1

sinh

u tt x

u x

u (3.40)

0 2 2 2 2

1

c coshc 1

sinh

u tt x

u x

u (3.41)

0 2 2 2 2

1

c sinhc 1

cosh

u tt x

u x

u (3.42)

0 2 2 2 2

1

c sinhc 1

cosh

u tt x

u x

u . (3.43)

38

Figura 3.3 – Representações paramétricas do vector u.

Figura 3.4 – Representações paramétricas do vector u.

As representações paramétricas das figuras 3.3 e 3.4 mostram que, ao contrário da

métrica euclidiana, estas não geram circunferências de raio unitário mas sim parábolas.

Este facto deve-se à métrica semi-definida negativa, esta obriga ao uso de

parametrizações hiperbólicas, enquanto na métrica euclidiana essas parametrizações são

elípticas. No espaço quadrimensional teríamos os chamados hipercones.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

ct

u2 = - 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

ct

u2 = 1

39

É de notar que o comprimento do vector u é unitário entre a origem e qualquer ponto da

parábola.

A aplicação do boost

10 10exp( ) cosh sinh e e (3.44)

origina um vector v, tal que

0 0 0 10

1 1 0 11

cosh sinh cosh sinh.

sinh cosh sinh cosh

v v u uu

v v u uu

(3.45)

Demonstração:

2

10 1e 2

10 1k e 2 1

10 10

k e e

2 2 1

10 10 10

10

0 0 0

( ) ( ) ( )exp( )

! ( 2 !) ( 2 1)!

k k k

k k kk k k

e e e

e (3.46)

2 2 1

10 10 10

0 0

exp( ) cosh sinh(2 !) (2 1)!

k k

k kk k

e e e (3.47)

Sendo o ângulo do vector v, tem-se

0

1

v tan tanh ζtan .

v 1 tanh ζ tan

(3.48)

Em resumo, aplicar um boost de intensidade a um vector unitário u com um ângulo

origina um novo vector unitário v com um ângulo .

O comprimento do vector v é igual ao do vector u, pelo que, é unitário.

2 2 2 2

0 1 0 1| | | | 1.v uv v u u (3.49)

Apenas para 4/ o comprimento não se mantém unitário, tendo-se 0u , logo,

não é possível definir a direcção de um vector nulo. É de notar que se considera

, e 0, . Quando 0 tem-se a transformação identidade e quanto

temos 4/ .

40

Um caso particular é quando 0eu , ou seja, 2/ , ou quando 1u e onde 0 ,

aplicando sobre estes vectores o boost 10exp( ) e obtém-se

0 0 1 0

1 0 1 1

cosh sinh .

sinh cosh

u e v e e f

u e v e e f (3.50)

Podemos ainda escrever

0 0 0 0

1 1 1 1

cosh sinh cosh sinh

sinh cosh sinh cosh

f e e f

f e e f (3.51)

0 0

0 1 0 1

1 1

cosh sinh

sinh coshv v v v

e fv

e f (3.52)

0

0 1 0 0 1 1

1

u u u u

fv v f f

f (3.53)

Em Apêndice C3 representa-se a aplicação de um boost de intensidade 2/1 a um

vector unitário u com ângulos: (i) º180 ; (ii) º150 ; (iii) º120 ; (iv)

º90 ; (v) º60 ; (vi) º30 ; (vii) º0 ; (viii) º30 ; (ix) º60 ; (x)

º90 ; (xi) º120 ; (xii) º150 ; (xiii) º180 .

3.3.2 Transformação passiva

Para compreender a transformação de Lorentz segundo a sua interpretação passiva usa-

se o primeiro postulado de Einstein, o princípio da relatividade e prescinde-se do

segundo sobre as velocidades.

1º Postulado – Princípio da relatividade restrita – As leis da física são equivalentes em

todos os referenciais de inércia. Referenciais de inércia são aqueles que não se

encontram sujeitos a qualquer tipo de aceleração.

Para simplificar consideramos y = z = 0. Escreve-se

0 1

0 1

(c ) Referencial S

(c ) Referencial S

t x

t x

r e e

r f f. (3.54)

41

Pela acção de um boost, R, temos

2

0 0 0 10 0 10 0exp( ) (cosh sinh ) .R R R f e e e e e e (3.55)

Logo

0 0

1 1

1 cosh, onde

1 tanh

β γ δγ

β β δ

f e

f e. (3.56)

Pelo que

0 1 0 1 0 1 1 0( ) (c ) (c )( ) ( )ct x t x γ t β γ x β e e f f e e e e (3.57)

0 1 0 1(c ) γ (c ) (c )t x t β x γ x β t e e e e . (3.58)

Conclui-se que a transformação passiva de Lorentz é

c (c ) c (c )

(c ) (c )

t γ t β x t γ t β x

x γ x β t x γ x β t

. (3.59)

A transformação passiva permite analisar a construção dos eixos c t e x de forma

simples. Basta ver que estar sobre o eixo c t corresponde a ter-se 0x , logo:

0 0 [ ( )] ( )x x ct x ct . (3.60)

Pelo que

eixo tan .x

c tct

(3.61)

Do mesmo modo, sobre o eixo x corresponde a ter 0ct , logo:

0 0 [( ) ]ct ct x ct x . (3.62)

Pelo que

eixo tanct

xx

. (3.63)

42

De uma forma esquemática representar-se os resultados mostrados pelas transformações

de Lorentz. Essa interpretação origina o diagrama de Minkowski.

Figura 3.5 – Diagrama de Minkowski.

Com as transformações passivas e activas de Lorentz é possível chegar a algumas

conclusões importantes na álgebra do espaço-tempo. É o caso da adição de velocidades,

da contracção do espaço e da dilatação do tempo. Antes é importante concluir sobre as

consequências relativas ao diagrama de Minkowski (Figura 3.5):

O conceito de simultaneidade passa a ser um conceito relativo, ou seja, depende

do observador. Por exemplo, se considerarmos dois pontos

1 1 1 2A( , ), B( , )ct x ct x , onde 2 1x x , simultâneos em S, do ponto de vista do

referencial S o acontecimento B vai ser anterior ao acontecimento A.

Devido à nova métrica não euclidiana, surge uma inclinação entre os eixos

como se observa no diagrama de Minkowski, no entanto, os referenciais

continuam ortogonais. Apenas não são rectangulares, no sentido em que os seus

eixos formam um ângulo de 90º. Dois casos particulares são:

o 0 - Acontece quando a velocidade relativa entre os referenciais é

nula, ou seja, 0.

o 4

- Acontece quando a velocidade relativa entre os referenciais se

aproxima de c, ou seja, 1 .

43

3.3.3 Adição de velocidades

Um acontecimento pode ser descrito no seu referencial próprio como 0( )c r f , ou

noutro referencial, de laboratório, como 0(c ) rt r e composto pela soma da

componente temporal com a espacial. A velocidade própria dos referenciais é 0cv e

para o de laboratório e 0cu f para o referencial próprio, sendo que, neste caso

coincide com a velocidade própria da partícula. Podemos escrever:

0 0( ) , onde

d d dt dt dc u c u

d dt d d dt

r r ru e f . (3.64)

Onde

2

2 2 2 2( )dt

c u cd

u . (3.65)

Conclui-se que

2

1, onde

1

dt v

d c

. (3.66)

Logo a velocidade da partícula vista de um referencial de laboratório é

0( )u c u v f (3.67)

0 0 0( 1 )( )u c u e e (3.68)

0 0 0 0 0(1 ) , onde .c u u f U v U e (3.69)

Como 2

0 0exp ( ) (1 )R U U , conclui-se que a passagem do referencial

próprio para o de laboratório faz-se através de um boost.

Considera-se, agora, duas velocidades

1 1 0 1 1 10

2 2 0 2 2 10 1

(c ) exp( )

( ) exp( )

u

c u

u e e v

u e e u. (3.70)

44

Por outro lado

2 0 10(c ) exp( ) .u u e e v (3.71)

Tem-se portanto

2 2 10 1 10 10exp( ) exp( ) exp ( ) u e e v e v (3.72)

2 1 2 10 10exp ( ) exp ( ) u e v e v (3.73)

21 . (3.74)

Este resultado mostra-nos que aplicar um boost com intensidade 1 seguido de outro

com intensidade 2 é equivalente a aplicar um boost com intensidade 21 .

Nota: estes resultados são válidos considerando que as velocidades estão segundo a

mesma direcção, ou seja, que os dois boosts são colineares. Quando se aplicam

sucessivamente dois boosts não colineares obtemos uma transformação que combina

uma rotação com um único boost, a chamada rotação de Thomas[11]

.

Como

tanh ( )

v

c , (3.75)

pode escrever-se

1 21 2

1 2

tanh tanhtanh tanh ( )

1 tanh tanh

. (3.76)

Sendo 1 1 1 2

2 2 1 2

tanh.

tanh 1

(3.77)

1 2

1 2

2

.

1

v vv

v v

c

(3.78)

Obtém-se a fórmula da adição relativista de velocidades. Esta deixa de ser uma simples

soma vectorial e caracteriza-se por definir um limite superior de velocidade, a

velocidade da luz.

45

3.3.4 Contracção do Espaço

A interdependência entre espaço e tempo e consequentemente a existência de um limite

superior de velocidade resulta em conclusões que não são expectáveis do ponto de vista

do senso comum. Duas delas são a contracção do espaço e a dilatação do tempo, na

álgebra geométrica do espaço-tempo são simples de demonstrar, basta recorrer a um

diagrama de Minkowski.

Figura 3.6 – Diagrama de Minkowski, a contracção do espaço.

Por um lado sabe-se que

0 0

1 1

1

1

β

β

f e

f e

0 0

0 1

1 0

1 1

f e

f e

f e

f e

. (3.79)

Consideremos o ponto B representado no diagrama de Minkowski, este é visto do

referencial 0 0S B( , )L L e do referencial S B(0, )L . Assim, podemos escrever

0 1 0 0 1 ( ) ( ) ( )OC CB OB L L L e e f . (3.80)

Ao fazer o produto interno de ambos os membros pelo vector de base 1e , obtemos a

conhecida forma da contracção do espaço.

0 1 1 0 0 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )( )L L L e e e e f e (3.81)

0L

L . (3.82)

46

Do mesmo modo, pode considerar-se que a fotografia é tirada no referencial S , tendo

em 0ct um comprimento L. Temos assim: C (0, )S L e 0 0C ( , )S L L .

Figura 3.7 – Diagrama de Minkowski, a contracção do espaço.

Pela análise do diagrama de Minkowski escreve-se

0 1 0 0 1 ( ) ( ) ( )OC CB OB L L L e e f (3.83)

0 1 1 0 0 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )( )L L L e e e e f e (3.84)

0 / .L L (3.85)

3.3.4 Dilatação do tempo

Analogamente à contracção do espaço recorre-se ao diagrama de Minkowski para

chegar à dilatação do tempo.

Figura 3.8 – Diagrama de Minkowski, a dilatação do tempo.

47

O ponto B pode ser escrito visto do referencial S B ( , )cT vT e do referencial

0S B ( ,0)CT , isto significa que o ponto B está em repouso no referencial S .

0 1 0 0 ( ) ( ) ( )OC CB OB cT vT cT e e f (3.86)

Ao fazer o produto interno de ambos os membros pelo vector de base 0e , obtemos a

conhecida forma da contracção do espaço:

0 0 1 0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )cT v T c T e e e e f e (3.87)

0T T (3.88)

Do mesmo modo, pode considerar-se que o ponto que se encontra em repouso é o ponto

C no referencial S . Temos assim: 0C ( T , 0)S c e C ( T, T)S c .

Figura 3.9 – Diagrama de Minkowski, a dilatação do tempo.

Pela análise do diagrama de Minkowski escreve-se

0 0 1 0 ( ) ( ) ( )OC CB OB cT vT cT e f f (3.89)

0 0 0 1 0 0 0( )( ) ( )( ) ( )( )cT vT cT e f f f f f (3.90)

0.T T

Portanto se existir velocidade relativa entre dois quaisquer referenciais, ao passar de um

para outro é necessário ter em conta a dilatação do tempo. Estes conceitos conduziram,

durante algumas décadas, a contradições face ao senso comum. No anexo B analisa-se

um caso muito conhecido, o paradoxo dos gémeos.

48

3.4 Efeito Doppler

A álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski na óptica relativista evita o uso

de uma matemática tensorial bastante complexa. Apesar de ser uma ciência recente já

demonstrou trazer grandes vantagens e simplicidade para a matemática, esta álgebra

permite, por exemplo, demonstrar o efeito Doppler. Definindo um novo objecto

geométrico: o quadrivector 1,3k , que representa o vector de onda correspondente a

uma harmónica temporal de uma onda electromagnética. O objecto geométrico k pode

ser descrito como 0 0k k k e , onde 0k

c

é a componente temporal e k k s a

componente espacial. Pode escrever-se 0k nk , onde n é o índice de refracção do meio

onde a onda se propaga.

Dado o espaço tempo de Minkowski ter uma métrica semi-definida negativa temos

2 2 2 2 2

0 0 0( ) ( )k k k nk k . (3.91)

No vácuo 0kk pelo que o vector 02 k é o vector nulo, ou seja, reside no cone de

luz.

O efeito Doppler relativista surge naturalmente utilizando a álgebra do espaço-tempo,

para isso consideremos um acontecimento em 1,3C como 0( )ct r r e ℝ1,3 e que o

vector de onda é

0( )c k k e ℝ1,3

. (3.92)

Considera-se a propagação de ondas planas com a forma:

exp[ ( )]i k r , onde t k r k r . (3.93)

Se estivermos perante um meio estacionário caracterizado por um índice de refracção

0n em que 0 0 0 0 0( / )k k s n k s n c s temos

0 0 0( / ) ( )c n s k e . (3.94)

Note-se que 0s ℝ0,3 é um vector unitário, tal que,

2

0( ) 1s .

49

Para chegar ao efeito Doppler consideramos a emissão de uma onda plana entre dois

observadores aos quais designamos de receptor e de emissor. Os vectores de onda

associados a cada referencial são:

Emissor → 0( )c

e

es

k e , (3.95)

Receptor → 0( )c

r

rs

k f . (3.96)

O emissor é caracterizado por uma base 0 1 2 3{ , , , } e e e e enquanto o receptor tem

uma base '

0 1 2 3{ , , , } f f f f .

O vector k é igual visto de ambos os referenciais e a frequência do emissor é e k v

e a do receptor é r k u , onde 0cv e e

0cu f . Esta situação pode ser descrita de

um modo esquemático:

Emissor Receptor

U L

Figura 3.8 – Esquema que representa a relação entre o emissor e receptor, através de uma rotação e um

boost.

A relação entre os dois referencias surge aplicando um boost simples, tal que

0 0 0 0 0ˆ ˆexp( ) cosh sinh ( )r r e f B e e B e , (3.97)

onde o bivector 0 0ˆ

r s s B e e é um bivector hiperbólico, i.e., 2ˆ 1r B .

No entanto, sendo a velocidade relativa da partícula que vai do emissor para o receptor

.u c s (3.98)

0cv e

0ˆ

e esB e

e k v

0cv e

0ˆ

r sB e

coses s

0cu f

0ˆ

r rsB f

r k u

50

É necessário considerar que podemos ter es s , logo define-se que c o ses s .

Apenas para 0 temos es s . A aplicação de um simples boost não é suficiente, é

também necessário aplicar uma rotação. Logo, para relacionar com e rw w realizamos a

operação rotação e de seguida a operação boost.

2

0

2

2

2

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆRotação:

ˆ ˆcos sin exp( )

ˆ ˆ ˆ ( ) ( )

e e r e e

e e e e e

e e e

e r e e e

s U U U

s s s s s U s U U s

U s s s s s s

U s s s s

B e B B B

B B

B B B e e

(3.99)

2

0 0 0 0 0 0 0 0

2

0 0

0 0 0 0

0 0

Boost : ( )

ˆ ˆcosh sinh exp( )

ˆ ˆ ( ) ( ) ( )

ˆ

r r

r r r

r r

L L L

L

s L s L L L L s L s

s s

e f f e e e e e

f e B B

B f B e e e

B f e

L

(3.100)

Em suma a rotação espacial transforma o bivector ˆeB no bivector ˆ

rB . O boost

transforma 0 0e f e o bivector ˆ

rB fica inalterado.

Deste modo, podemos escrever

0 0c c ( ).s u f u e (3.101)

Portanto

0 0[c ( ) ] [ ( ) ] (1 cos )

c

ee es s

k u e e (3.102)

e como r k u conclui-se que a relação entre as frequências é

2

1 cos(1 cos )

1

r

e

. (3.103)

No caso particular de termos 0 , ou seja, os vectores são colineares, ess

, temos a

conhecida forma do efeito Doppler longitudinal:

51

1

1

r

e

. (3.104)

No caso do efeito longitudinal quando r e obtém-se um desvio para o azul, quando

r e temos um desvio para o vermelho. Quando as bases não são colineares é

necessário utilizar a transformação de Thomas[11]

.

3.5 Conclusões

Foi com distinção que álgebra geométrica com o uso da métrica de Lorentz superou os

problemas da métrica euclidiana. Concluímos que não é necessário um “corte” entre o

espaço tridimensional e o espaço-tempo de Minkowski. O uso dos complexos tensores é

desnecessário no estudo deste espaço-tempo e consequentemente no estudo da

relatividade restrita de Einstein. Tal como em 3C , 1,3C é caracterizado pela soma

graduada dos seus subespaços. Devido à métrica não euclidiana vimos que os vectores

podem ser do tipo espaço, tipo tempo e tipo luz, e que os bivectores além das rotações

permitem gerar os boosts ou transformações activas de Lorentz.

Verificou-se que a álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski é uma

ferramenta que trata os problemas de forma simples e concisa. O diagrama de

Minkowski, o boost e a rotação foram ferramentas que permitiram mostrar a dilatação

do tempo, contracção do espaço, efeito Doppler e adição de velocidades de um modo

bastante intuitivo.

52

53

Capítulo 4

Electrodinâmica Relativista

Neste capítulo aplicam-se as bases da álgebra geométrica do plano, espaço e espaço-

tempo compreendidas nos capítulos anteriores às leis do electromagnetismo, mais

especificamente às equações de Maxwell.

Para começar reescreve-se as equações de Maxwell em 3C e em 1,3C . Define-se os

dois bivectores fundamentais do campo electromagnético, o bivector de Maxwell e o

bivector de Faraday. Graças a eles, pode reescreve-se as quatro equações iniciais de

Maxwell a apenas duas equações, a homogénea e a não homogénea, onde, no vácuo, é

apenas uma equação. Estudam-se as relações constitutivas dos meios vistas de

diferentes referenciais. Por fim usa-se a ferramenta da redução à forma do vácuo nesse

estudo de modo a facilitar a análise dos meios em movimento, como o caso dos meios

isotrópicos.

54

4.1 Equações de Maxwell em 3C

As equações de Maxwell, assim chamadas em honra de James Clark Maxwell,

descrevem o comportamento dos campos eléctricos e magnéticos assim como as suas

interacções com a matéria. Antes de as escrever é necessário ter em conta algumas

considerações matemáticas. Duas das operações matemáticas usadas nessas

representações são a divergência e o rotacional. Estas operações sobre um dado vector

3F escrevem-se como

Rotacional →

ˆ ˆ ˆ

.

x y z

x y z

F F F

x y z

F (4.1)

Divergência → yx z

FF F

x y z

F . (4.2)

É importante ter presente que

Eℝ3 – representa a intensidade do campo eléctrico;

Bℝ3 – representa a intensidade do campo magnético;

Pℝ3 – representa o vector polarização eléctrica;

Mℝ3 – representa o vector polarização magnética;

A densidade total de carga eléctrica é t p , e a densidade total de corrente é

t p m J J J J ℝ3, onde

p

p

m

t

P

PJ

J M

. (4.3)

55

Os vectores D e H representam a excitação eléctrica e a excitação magnética,

respectivamente, onde

0 . D E P (4.4)

MBH 0

1

. (4.5)

Pode finalmente escrever-se as equações de Maxwell:

lei de Gauss

lei de Gauss Magnética 0

equação de Maxwell-Faraday

equação de Maxwell-Ampère

t

t

D

B

BE

EH J

. (4.6)

Estas podem ser escritas como as equações de Maxwell-Boffi. Estas equações não usam

os campos D e H, ou seja, ignoram a existência de meios materiais. Portanto, é dada

uma perspectiva reducionista onde o único meio a ter em conta é o vácuo. Para a

perspectiva reducionista o meio não varia, o que varia é a quantidade de cargas que lá

existem.

0

0 2

lei de Gaus

0 lei de Gauss Magnética

equação de Maxwell-Faraday

1equação de Maxwell-Ampère

t

t

t

c t

E

B

BE

EB J

. (4.7)

Com o recurso à álgebra geométrica é possível apresentar uma escrita mais “elegante”

na medida em que reescrevem as quatro equações de Maxwell-Boffi numa única

equação. Para o fazer na álgebra geométrica do plano consideramos que estamos no

vácuo e que:

0 0

1c

1 2 3x y z

e e e

(4.8)

56

123( ) E E e 123( ) . B e B

Aplicando estas equações às equações de Maxwell de imediato obtemos as chamadas

equações de Maxwell-Boffi em 3C :

0

123 0

123

123

10

1 11

1 12 0

3 0

t

t

c

Jc t c

c t c

E

E B e

B e E

B e

(4.9)

É de notar que cada uma das quatro equações de Maxwell-Boffi em 3C apresenta um

grau distinto, de zero a três, ou seja, escalar, vector, bivector e trivector,

respectivamente. Deste modo, pode fazer-se uma soma graduada das quatro equações,

logo, obtemos uma única equação para representar as equações de Maxwell-Boffi em

3C :

123 0

1 1 1t t

c t c c

E B e J . (4.10)

Também as equações de Maxwell como as conhecemos podem ser escritas com recurso

à álgebra geométrica do espaço:

123equação de Maxwell-Faraday 0

.

lei de Gauss magnética 0

t

B e E

B

(4.11)

123equação de Maxwell-Ampère ( )

.

lei de Gauss

t

DHe J

D

(4.12)

57

Se considerarmos uma região sem fontes, 0 e 0 J , e que estamos na presença de

ondas planas e monocrómaticas, i.e.,

0

( , ) { ( )exp( )}

( ) exp[ ( )]

w

w

r t r i wt

i

E E

E r E k r (4.13)

as equações de Maxwell tomam a seguinte forma:

0 0 123

0 0 123

0

0

( )

( )

0

0

w

w

k E B e

k H D e

k D

k B

. (4.14)

4.2 Equações de Maxwell no espaço-tempo de Minkowski

Até aqui apresentou-se as equações de Maxwell e seus resultados utilizando a álgebra

geométrica do espaço tridimensional, no entanto, para aplicar as leis da electrodinâmica

sem contrariar as leis da mecânica newtoniana é necessário considerar a

interdependência entre espaço e tempo, designado como espaço-tempo de Minkowski.

Surge a necessidade de reescrever essas equações de Maxwell com recurso à álgebra

1,3C . Um dos objectivos deste passo é mostrar que a álgebra geométrica permite

estudar as equações de Maxwell aplicadas à relatividade restrita com menor

complexidade e apresentar os resultados com recurso a equações mais simples. Por fim

é importante aplicar esses conhecimentos aos meios em movimento.

Para chegar às equações de Maxwell em quatro dimensões começa-se por escrever as

equações vectoriais na álgebra do espaço, onde se considera o espaço quadrático 0,3 ,

sendo que, as grandezas vectoriais eE, B, D, H J pertencem a esse espaço e temos:

0,3

1 2 3

1 2 3

.x x x

e e e (4.15)

58

2 2 22

2 2 2

1 2 3x x x

. (4.16)

Então, as quatro equações de Maxwell são na forma:

grupo de Faraday

0

BE

t

B

(4.17)

grupo de Maxwell

DH J

t

D

(4.18)

Escritas as quatro equações no espaço 0,3 , é necessário introduzir os vectores relativos

(bivectores) que relacionam o espaço com o tempo. Estes bivectores são hiperbólicos ou

do tipo tempo, dado que o seu quadrado é positivo. Define-se:

2 1,3

0 0

2 1,3

0 0

2 1,3

0 0

2 1,3

0 0

bivectores

E E

B B

D D

H H

E e e

B e e

D e e

H e e

, (4.19)

a densidade de carga-corrente

1,3

0

1.J

c J e (4.20)

e o operador de Dirac

1,3

0

1.

c t

e (4.21)

59

Além destes aspectos, para chegar às equações de Maxwell no espaço-tempo de

Minkowski é necessário definir dois bivectores, F e G, o de Faraday (ou da intensidade

electromagnética) e o de Maxwell (ou da excitação electromagnética), respectivamente.

Estes bivectores são chamados de bivectores fundamentais do campo electromagnético:

1

1

c

c

F E I B

G D I H

. (4.22)

Sabendo que:

10 23

20 31

30 12

I e e

Ie e

Ie e

, (4.23)

0 1 10 2 20 3 30

0 1 10 2 20 3 30

E E E E

B B B B

E e e e e

B e e e e, (4.24)

escrevem-se os bivectores de Faraday e de Maxwell como

1 10 2 20 3 30 1 23 2 31 3 12

1 10 2 20 3 30 1 23 2 31 3 12

1( ) ( )

1( ) ( )

E E E B B Bc

D D D H H Hc

F e e e e e e

G e e e e e e

. (4.25)

Por fim, chegamos às duas equações de Maxwell no espaço-tempo de Minkowski:

(i) Equação homogénea 0

(ii) Equação não-homogénea

F

G J. (4.26)

Estes dois bivectores representativos das equações de Maxwell são deveras os dois

bivectores fundamentais do campo electromagnético, pois ao contrário dos outros

quatro, estes não são relativos, isto é, não dependem do observador, colocando-se assim

num patamar superior. Por exemplo, os bivectores auxiliares 0E E e e 0B B e

são relativos, dependem do observador, o que não acontece com F e G. Dois

observadores distintos vêm os mesmos valores de F e G, no entanto, a decomposição

destes em função dos seus vectores relativos é diferente.

60

A equação homogénea descreve a conservação do fluxo magnético enquanto a não-

homogénea descreve a conservação da carga eléctrica.

No caso particular do vácuo é possível escrever as duas equações numa só. A relação

constitutiva do espaço-tempo no vácuo, sabendo que 00

0

, é

0

1

G F . (4.27)

E como podemos escrever o produto geométrico

. F F F (4.28)

escrevem-se as duas equações de Maxwell como uma só, à qual se designa, a equação

de Maxwell no vácuo em 1,3C :

0 . F J (4.29)

Nota: As duas equações de Maxwell acima descritas ao desenvolverem-se tomam a

forma:

1 2 3

023 031 012

2 3 1

012 031 123

1 1 1

1 3 2

012 023 123

2 2 2

1 2 3

031 023 123

3 3 3

1 1 1

1 1

1 1

1 1

B B B

c t c t c t

E E B

c x c x x

E E B

c x c x x

E E B

c x c x x

F e e e

e e e

e e e

e e e

(4.30)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 3 2

1 1 1

2 1 3

0 3 1

2 2 2

23 10 2 1

3 3 3

1 1 1

1 1

.1 1

1 1

D D D

c t c t c t

D H H

x c x c x

D H H

x c x c x

HD H

x c x c x

G e e e

e e e

e e e

e e e

(4.31)

61

4.3 Meios em movimento

Até ao momento descreveu-se as equações de Maxwell no espaço-tempo de Minkowski

recorrendo a dois novos bivectores, o bivector de Faraday e o bivector de Maxwell, o

que permitiu apresentar as quatro equações iniciais de Maxwell com recurso a apenas

duas. A essas duas equações designamos de homogénea e não homogénea. De seguida

particularizou-se para o caso da propagação no vácuo onde concluímos que as duas

equações iniciais se apresentam numa única, a equação de Maxwell no vácuo.

Para dar seguimento ao estudo das equações de Maxwell no espaço-tempo de

Minkowski vamos estudar os meios em movimento num meio diferente do vácuo, mais

propriamente um meio isotrópico simples, ou seja, um meio ilimitado, linear e sem

perdas onde não existe acoplamento magnetoeléctrico ( 0M ), logo, D E .

Num meio isotrópico simples as relações constitutivas são escritas no espaço

tridimensional como

0

0

.D E

B H

(4.32)

Considerando a componente temporal, as relações escrevem-se:

0

0

.1

D E

H B (4.33)

Sendo 1

0

e

2

0

1

, o bivector de Maxwell escrito em termos das relações

constitutivas do meio isotrópico simples é então

1

2

1.

c c

G D I H E I B (4.34)

62

Ao considerar 0cv e a velocidade no referencial próprio do meio, ou seja, onde este

se encontra em repouso, temos

0 0 0 0 0 0 0 0

1 1E B

c c

-1

vF v F v e Fe e E I B e e e I e e (4.35)

0 0

1 1.E B

c c vF e I e E I B (4.36)

Por outro lado, fazendo uma combinação linear de F com vF , surge

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1( ) ( )

c c c

vF F I B E I B E I B ,(4.37)

onde por comparação com o bivector de Maxwell escrito em termos das relações

constitutivas do meio isotrópico simples conclui-se que

1 1 2

01 2 1

1 2 2

2 1 2

1 1 1( )

2 2

1 1( )

2

. (4.38)

Deste modo escrevemos a chamada relação constitutiva do espaço-tempo de

Minkowski, que permite relacionar o bivector de Faraday com o bivector de Maxwell

utilizando as relações constitutivas do meio:

0 0

1 1 1 1

2 2

vG F F . (4.39)

No entanto, esta fórmula pode ser apresentada de um modo mais simples permitindo

uma passagem de forma imediata de um referencial próprio para um referencial de

laboratório. Para isso, considera-se 0n como o índice de refracção do meio e

define-se

2

0

0

2

0

0

11 1cosh

2 2

11 1sinh

2 2

n

n

n

n

. (4.40)

63

Temos desta forma que

2 2

0

0

cosh sinh 1 ln ( )

cosh sinh exp( )n

n

. (4.41)

Por fim, ao definir-se 0

0

0

e ( ) -1

vF F v F vvr pode simplificar-se

a relação constitutiva:

0 0

1 1 1 1

2 2

1 ( cosh sinh )

1 ( cosh sinh )

1 exp( )

v

v

G F F

F F

F

F

v

v

r

r

(4.42)

1

exp( ) .

G Fvr (4.43)

Nota: O operador vr é idempotente, ou seja, [ ( )]w wv vr r e 12

vr . A aplicação deste

operador a um bivector F pode ser escrita como:

2 2 2 1 2

0 0 0( ) , onde ( )( )v c c c c c -1F F v F v v v e e e v vvr

2

1( )

c F v F vvr . (4.44)

A equação 4.43 pode designar-se de forma invariante da relação constitutiva e permite

passar de forma imediata do referencial próprio do meio para o referencial de

laboratório. Tanto o bivector de Faraday como o de Maxwell não são relativos, logo a

relação constitutiva é vista do mesmo modo por ambos os referenciais. Estes vão-se

diferenciar apenas na velocidade: no referencial próprio é vista como 0cv e enquanto

no referencial de laboratório é vista como 0( )c v v f . A velocidade vista do

referencial de laboratório resulta de uma transformação de Lorentz passiva, onde, à

64

velocidade é adicionada a componente relativa v , e de um boost que transforma

0 0e f .

Figura 4.1 – Relação constitutiva de um meio isotrópico visto de diferentes referenciais.

A forma invariante da relação constitutiva no referencial de laboratório ( )G FG

neste espaço-tempo pode ser decomposta em duas relações constitutivas:

( , ) e ( , )D D E B H H E B . Daqui podemos constatar que se trata de um meio

bianisotrópico pois ambos os campos e D H dependem simultaneamente de e E B .

Conclui-se, deste modo, que um meio isotrópico simples no seu referencial é visto como

um meio bianisotrópico no referencial de laboratório, ou seja, onde este é visto em

movimento. Para estudar os meios em movimento não vai ser necessário trabalhar de

forma explícita com as relações constitutivas ( , ) e ( , )D D E B H H E B caso se

utilize um novo método: a redução à forma de vácuo.

Referencial próprio

do meio

0cv e

1exp ( )

vG Fr

Referencial de

laboratório

0( )c v v f

1exp( )

vG Fr

65

4.3.1 Redução à Forma do Vácuo

Para poder escrever as relações constitutivas do meio de forma análoga às do vácuo

realizam-se as seguintes transformações:

exp exp2 2

exp exp2 2

F F' F' F

G G' G' G

u u

u u

r r

r r

, (4.45)

daqui resulta

1

exp exp( ) exp2 2

G' F'u u ur r r (4.46)

1

G' F' . (4.47)

Deste modo conseguimos reduzir a relação constitutiva de um meio isotrópico simples à

forma da relação constitutiva no vácuo. Note-se que, com esta transformação dá-se uma

alteração no espaço-tempo de Minkowski, agora o espaço-tempo é fictício, diferente do

original. Com esta nova relação constitutiva do meio e sabendo que a estrutura do

espaço-tempo de Minkowski já não é a original é importante perceber o que acontece às

equações de Maxwell. Para isso neste novo espaço temos:

0 1 2 3 0 1 2 3{ , , , } { , , , } e e e e e e e e (4.48)

0 0

1 1.

c t c t

e e (4.49)

0

F FF

G GG J

J J

. (4.50)

66

Sendo F F F aplica-se a nova relação constitutiva às duas equações de

Maxwell e obtemos uma única resultado da estrutura graduada da álgebra geométrica:

0 Soma

graduada

FF F J

F J

F J . (4.51)

No caso mais simples, ou seja, na ausência de fontes temos:

0 F . (4.52)

O estudo da propagação de ondas planas monocromáticas neste meio é feito

considerando uma onda do tipo:

0{ exp [ ( )]}i F F k r . (4.53)

Para uma zona sem fontes as equações de Maxwell surgem na forma

0 0

0

0 0

0 00

0 0

k F k Fk F

k G k F, (4.54)

onde o vector de onda resulta da transformação, já conhecida, exp2

k kur . Ao

multiplicar ambos os membros da equação pelo vector de onda, k , obtém-se

2

0( ) 0 k F . (4.55)

Portanto, para soluções diferentes do bivector de Faraday nulo, obtemos um resultado

extremamente importante:

2( ) 0 k . (4.56)

Com este resultado concluímos que no espaço-tempo de Minkowski equivalente o

vector de onda é nulo. Este resultado é igual ao que se verifica no vácuo, no entanto, é

importante não esquecer que apesar de o vector de onda ser nulo não estamos no vácuo.

Este resultado apenas surge fazendo as transformações que resultam na redução à forma

do vácuo.

67

Para tirar algumas conclusões do facto de o vector de onda ser nulo, faz-se

exp 2 cosh 2 sinh 2 .u k k k k kur (4.57)

Atendendo à forma anterior e ao definir

0

0

0

0

1cosh 1cosh

2 2 2

1cosh 1sinh

2 2 2

n

n

n

n

, escrever-se 0 0

0

1[( 1) ( 1) ]

2un n

n k k k . (4.58)

Como o vector de onda é nulo tem-se 2( ) 0 k , logo

2

2

0 0

0

1( ) [( 1) ( 1) ] 0

2un n

n

k k k (4.59)

2 2 2 2 2

0 0 0( 1) ( 1) 2( 1)( ) 0u un n n k k k k . (4.60)

De modo a ter uma equação sem depender de uk , sabe-se que:

2 2 2

2 2

2 2

2

1 1 1( ) ( ) ( )

1 1 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]

1 2 [ ( ) ( ) ( ) ] ( )

2 ( )

uc c c

c c

c c

c

k k uk u u k u u k u k u

k u u u k u k u u u k u

k u u u k u u u k u k u k

u k u k

ur

(4.61)

2 1 1 2

2 2

2 2

( ) ( )

2 2( ) ( )

u

uc c

k u k u u k u k

k k k u k u k u k k. (4.62)

Logo, fazer 2( ) 0 k corresponde a:

2 2 2 2

02

1( ) 0 ( 1) ( ) 0.n

c k k u k (4.63)

68

Note-se que esta equação aplica-se a uma onda plana monocromática no espaço-tempo

de Minkowski equivalente, isto é, quando se faz a redução à forma do vácuo.

No referencial de laboratório u e k podem ser vistos como:

2 2 2

00

22 2 2 2

0 0 0

(1 ) ( ).

( ) ( ) 1

k nc

k n c k n

ku e

k e u k (4.64)

Sendo

2 2

0

( , )

( 1)

n

n

, (4.65)

e como cosn n temos

2 2 2cos 1 2 cos (1 ) 0.n n (4.66)

Resolvendo a equação em ordem ao índice de refracção do meio no referencial do

laboratório, n , as duas soluções obtidas são

2 2

2 2

cos 1 (1 cos ).

cos 1n

(4.67)

Um caso particular é ter 0 , acontece quando no referencial de laboratório a

velocidade do meio em análise em relação ao laboratório é nula, pelo que, o índice de

refracção efectivo do meio no referencial de laboratório é igual ao índice de refracção

do meio no seu referencial próprio, ou seja, 0nn . Para que isso aconteça é necessário

escolher a parte negativa da raiz, logo

2 2

2 2

1 (1 cos ) cos( ) .

1 cosn

(4.68)

Mais uma vez, para simplificar a escrita, faz-se

2 21 (1 cos )

cos

a

b

, (4.69)

69

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

1

( ) 1

a b

n

. (4.70)

A velocidade de fase normalizada sendo o seu vector relativo correspondente

00 sn

cs

k

wv p

, onde 2

0( ) 1s , é então dada por

2 2( ) 1 (1 cos ) cos

1

pv

c

. (4.71)

É importante analisar 4 casos distintos:

i. 0

( ) 10

pv

c n

.Verifica-se a situação estacionária, como seria de esperar.

Figura 4.2 – Velocidade de fase normalizada para 0 4, 0.n

ii. ( )

1 cospv

c

. Neste caso e no anterior as suas representações em

função de resultam em duas esferas.

70

Figura 4.3 – Velocidade de fase normalizada para 0 4, 1.n

iii. 2 2

0 0

2

0 0

( ) sin cos1

1

pv n n

n c n

. Aqui a velocidade do meio, em

relação ao laboratório, tem o mesmo valor que a velocidade de fase da onda no

seu referencial próprio do meio, 0n

cv p .

Figura 4.4 – Velocidade de fase normalizada para 0

0

14, .n

n

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

71

Um quarto caso também importante acontece quando a velocidade vista do referencial

de laboratório é superior à velocidade de fase da onda no referencial próprio do meio,

0

1

n , entra-se na chamada zona de Cerenkov, onde passa a existir uma superfície de

velocidade dupla que se auto-intersecta na origem.

Figura 4.5 – Velocidade de fase normalizada para 0

10.75 .

n

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

72

4.4 Conclusões

A escrita das equações de Maxwell com recurso à álgebra geométrica foi mostrada neste

capítulo. Vimos, em 3C , as quatro equações de Maxwell-Boffi serem reescritas como

uma única graças à soma graduada característica da álgebra geométrica. Já no espaço-

tempo de Minkowski definiram-se dois novos bivectores não relativos, F e G, que

possibilitaram a escrita das equações em apenas duas e no vácuo a apenas uma. Como F

e G são não relativos tornam-se independentes do observador, isto é, diferentes

observadores vêem os mesmos bivectores. No estudo dos meios em movimento para um

meio isotrópico demonstrou-se a relação constitutiva desse meio, onde se concluiu que é

a mesma independentemente do observador, ou seja, um meio em movimento é visto

pela mesma relação constitutiva. No que diz respeito à decomposição nos seus

bivectores relativos, um meio isotrópico simples no seu referencial próprio é visto como

um meio bianisotrópico no referencial de laboratório. Este facto torna os cálculos

complexos mas, mais uma vez, a álgebra geométrica permitiu apresentar uma solução: a

redução à forma do vácuo. Esta ferramenta reduziu a relação constitutiva do meio

isotrópico a uma análoga à do vácuo e, por conseguinte, as equações de Maxwell

apresentam-se como uma única equação. Ficou, neste capítulo, mostrado uma forte

contribuição da álgebra geométrica para a clarificação do estudo do electromagnetismo

no contexto da óptica relativista.

73

Capítulo 5

Conclusões

Neste quinto e último capítulo apresentam-se as conclusões essenciais desta dissertação

de mestrado, juntando as conclusões dos capítulos dois, três e quatro.

74

Nos três capítulos centrais da dissertação foi possível compreender as bases da álgebra

geométrica, assim como perceber que existem vantagens em aplicar esta ferramenta

matemática ao estudo do electromagnetismo. Vimos que, com a relatividade restrita de

Einstein a relação entre a mecânica e o electromagnetismo é clarificada, e que a

ferramenta indicada para esse estudo é a álgebra do espaço-tempo de Minkowski.

No segundo capítulo concluiu-se que, o produto geométrico ou de Clifford é o produto

entre vectores que define a álgebra geométrica. Este produto define-se de modo a que

2 2| | r r , generalizando-se como o resultado da soma do produto interno com um novo

produto, o produto exterior ou de Grassmann, tal que ab a b a b . Devido à sua

propriedade não comutativa surge um novo objecto geométrico, o bivector, que é um

segmento de plano orientado.

Quanto ao produto exterior concluiu-se que é diferente do produto externo e apenas

pode ser relacionado com ele em 3. Este produto goza da propriedade associativa e

anti-simétrica. O resultado da aplicação do produto externo entre dois vectores resulta

num segmento de plano orientado, o bivector. No caso de se realizar entre três vectores,

resulta num volume orientado, o trivector. É importante notar que ao contrário do

produto exterior e do produto interno o produto geométrico é invertível.

A análise da estrutura algébrica do espaço permitiu perceber que esta é composta por

uma soma graduada, ou directa, de escalares, com vectores, com bivectores e com

trivectores, sendo a sua dimensão igual a 8. A sua estrutura permitiu dividir a álgebra

em parte par e parte ímpar, sendo a parte par composta pelos escalares e bivectores e a

parte ímpar composta por vectores e trivectores. Dentro da parte par concluiu-se que

existem elementos tais que 1uu . Estes elementos formam o chamado grupo de

3spin(3) { : 1}C R R e permitem realizar rotações espaciais. É importante reter

que a aplicação de um rotor a um dado vector a,

ˆ, exp( )2

R R R

a b a B ,

origina um novo vector ˆexp( ) b B a a , concluindo-se que acontece uma

rotação no plano do bivector B da componente paralela de a, sendo que a

componente perpendicular se mantém.

Por fim verificou-se que, a operação contracção entre dois elementos origina um novo

elemento cujo grau resulta da diferença entre os dois elementos iniciais.

75

Compreendidas as bases essenciais para lidar com esta ferramenta o terceiro capítulo vai

um pouco mais além. Este capítulo veio fazer a ponte entre o espaço tridimensional e o

espaço a quadrimensional, espaço este, próprio para o estudo da relatividade restrita de

Einstein.

Começou-se por verificar que no espaço-tempo de Minkowski da relatividade restrita a

métrica euclidiana não é válida. Dados os problemas físicos que ela comporta, como

não estabelecer um limite máximo de velocidade para a propagação de sinais, foi

necessário definir uma nova métrica. Concluiu-se que as métricas de Lorentz semi-

definidas eram aceitáveis. Por convenção usa-se a semi-definida negativa – 1,3C . A

esta métrica associam-se quatro vectores de base, 0 1 2 3{ , , , } e e e e , que ao contrário

da métrica euclidiana não quadram todos positivamente: 2 2 2 2

0 1 2 31; 1 e e e e .

Percebemos que os escalares, vectores, bivectores, trivectores e quadrivectores são os

subespaços que caracterizam esta álgebra do espaço-tempo e que a sua dimensão é 16.

Um acontecimento é descrito como 0(c )t r r e , onde

2 2 2 2c | |t r r . Deste modo,

concluiu-se que os vectores podem ser descritos por uma parametrização hiperbólica e

que se classificam como vectores parabólicos ou do tipo luz, 2 0r , hiperbólicos ou do

tipo tempo, 2 0r e elípticos ou do tipo espaço, 2 0r . Neste espaço também vimos

que os bivectores, F, podem ser, ou não, simples. Dentro dos simples, classificam-se

como parabólicos, 2 0F , hiperbólicos, 2 0F e elípticos, 2 0F , estes dois últimos

permitem gerar rotações e boosts, respectivamente. O grupo responsável pelos rotores

designa-se de 1,3Spin (1, 3) { : 1}u C u u

.

O operador boost ou transformação de Lorentz activa tem um papel preponderante na

álgebra de Minkowski. Para começar viu-se o caso geral da aplicação de um boost,

10exp( ) e , sobre um vector unitário com ângulo e concluiu-se que o novo vector

mantém-se unitário, agora com um novo ângulo onde 0

1

v tan tanhζtan

v 1 tanhζ tan

.

Ao particularizar a aplicação do boost para 0 e 2 obteve-se a transformação

0 1 0 1, ,e e f f . Até aqui construiu-se um conjunto de ferramentas eficazes para o

estudo de fenómenos físicos com recurso à álgebra do espaço-tempo. Com elas, ainda

76

neste capítulo, foi possível perceber que dados dois referenciais, S e S , estes podem

relacionar-se, pela sua interpretação passiva como

c (c ) c (c )

(c ) (c )

t γ t β x t γ t β x

x γ x β t x γ x β t

.

Estas transformações permitiram-nos chegar ao conhecido Diagrama de Minkowski.

Neste diagrama interpretou-se, facilmente, que o conceito de simultaneidade é relativo,

isto é, depende do observador. E que os dois eixos dum referencial só são

perpendiculares entre si caso a sua velocidade, , for nula.

Também com recurso ao diagrama de Minkowski concluiu-se que o tempo e o espaço

não são invariantes. O espaço contrai, 0L L e o tempo dilata,

0T T . Por fim,

aplicamos esta álgebra geométrica a um conceito conhecido da óptica relativista,

nomeadamente, o efeito Doppler relativista, onde se concluiu que a relação de

frequências entre um emissor e um receptor colocados em referenciais diferentes se

obtém aplicando uma rotação simples, U, seguida de um boost, L e é dada por

2

1 cos(1 cos )

1

r

e

. Como caso particular, quando 0 temos o

conhecido efeito Doppler longitudinal: 1

1

r

e

.

No quarto capítulo fez-se a aplicação da álgebra geométrica ao estudo equações de

Maxwell, e por conseguinte, ao estudo dos meios em movimento na óptica relativista.

Aqui, a álgebra geométrica veio trazer vantagens, pois, permite clarificar e uniformizar

os conceitos tanto no espaço tridimensional como no espaço a quatro dimensões. Essas

vantagens reflectem-se, essencialmente, no estudo da relatividade restrita aplicada ao

electromagnetismo, como é o caso dos meios em movimento, onde, a álgebra do

espaço-tempo encaixa perfeitamente.

O estudo das equações de Maxwell-Boffi mostrou-nos uma perspectiva reducionista do

electromagnetismo. Esta perspectiva ignora os campos D e H, ou seja, apenas considera

a existência do vácuo, ignorando a existência de outros meios materiais. A sua escrita

com a álgebra geométrica do espaço origina quatro equações, cada uma com um grau

77

distinto entre zero e três. Devido à estrutura graduada desta álgebra vimos que essas

quatro equações podem agregar-se numa só:123 0

1 1 1.t t

c t c c

E Be J

A álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski serve de ferramenta unificadora

da matemática pois, ao contrário da álgebra baseada no produto externo de Gibbs, não

separa o tempo do espaço. Com a álgebra do espaço-tempo foi possível reescrever as

equações de Maxwell e torná-las mais gerais. Definiu-se o bivector de Faraday ou da

intensidade electromagnética, (1/ )c F E IB , e o bivector de Maxwell ou da

excitação electromagnética, (1/ )c G D I H . Estes dois, são os bivectores

fundamentais do campo electromagnético. Deste modo, reduziu-se as equações de

Maxwell a apenas duas: a equação homogénea, 0 F , e a equação não-homogénea,

G J . A equação homogénea expressa a conservação do fluxo magnético, enquanto

a não-homogénea expressa a conservação das cargas eléctricas. No caso particular do

vácuo foi simples relacionar-se os bivectores F e G através da relação constitutiva do

vácuo em 1,3C :

0(1/ )G F . Vimos também que os bivectores F e G não são

bivectores relativos, ou seja, estes representam o campo electromagnético de forma

independente do observador considerado.

Um ponto importante deste capítulo foi o estudo dos meios em movimento na óptica

relativista, onde a utilização da álgebra geométrica teve um papel importante na sua

simplificação. No caso de um meio isotrópico simples concluiu-se que, a relação

constitutiva entre os bivectores do campo electromagnetico é dada pela forma invariante

da relação constitutiva:

(1/ ) exp( ) G Fvr . Esta relação é a mesma vista do

referencial próprio do meio ou do referencial de laboratório, devido aos bivectores de

Faraday e Maxwell não serem relativos, apenas a velocidade no referencial de

laboratório é vista como 0( )c v v f , resultado de uma transformação passiva de

Lorentz e de um boost.

Concluiu-se que a redução à forma do vácuo permite reescrever a forma invariante da

relação constitutiva para um meio isotrópico como se estivéssemos no vácuo:

(1/ )G' F' , deste modo, evitamos os cálculos complexos da linguagem tensorial.

Esta transformação altera o espaço-tempo de Minkowski original, pelo que, foi

necessário rever as equações de Maxwell. Reescreveu-se, de novo, as equações de

78

Maxwell como: ' ' 0 F e

' ' ' G J . Atendendo à nova relação constitutiva entre

' ' e F G essas equações reduzem-se a apenas uma: ' ' ' F J .

Por fim, particularizou-se o estudo da equação de Maxwell para um meio isotrópico

com ausência de fontes do campo: ' ' 0 F . Obteve-se para uma onda plana e

monocromática que, a solução do campo corresponde a um vector de onda nulo, isto é,

2( ) 0 k . Por manipulação algébrica concluiu-se: o referencial de laboratório é visto

com um índice de refracção efectivo do meio 2 2

2 2

1 (1 cos ) cos( )

1 cosn

e com uma velocidade de fase normalizada dada por

2 2( ) 1 (1 cos ) cos

1

pv

c

.

De um modo geral esta dissertação permitiu, para o autor, aprofundar o estudo

inicializado na cadeira de Fotónica sobre esta nova forma de encarar os problemas

físicos. O estudo realizado possibilitou compreender a álgebra geométrica desde a sua

génese e mostrar que esta ferramenta leva a conclusões úteis, ajudando a clarificar os

conceitos do electromagnetismo.

Com os resultados obtidos nesta dissertação é possível afirmar que a álgebra geométrica

está a dar um passo importante para os desenvolvimentos científicos. A forma como foi

possível demonstrar problemas da óptica relativista foi bastante clara. Além disso, a

álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski usando a métrica de Lorentz trata o

problema dos meios em movimento na óptica relativista com uma simplicidade notória.

O estudo de aspectos ligados ao electromagnetismo não deve descartar as abordagens

mais tradicionais, contudo a abordagem feita pela álgebra geométrica confere uma

análise mais elegante e clara. Deste modo é possível ter uma perspectiva mais focada

sobre os problemas físicos propriamente ditos e menos sobre os cálculos matemáticos, e

como tal, a álgebra geométrica é a ferramenta indicada para lidar com problemas como

os estudados nesta dissertação.

79

Como perspectivas de trabalho futuro alguns são os caminhos que se podem seguir:

A continuação do estudo de fenómenos da óptica relativista com álgebra

geométrica, nomeadamente, a aberração e o estudo do efeito Doppler com a

rotação de Thomas;

Utilização da álgebra geométrica no estudo dos meios em movimento para

meios não isotrópicos.

Estes dois assuntos estão directamente relacionados com os que foram tratados nesta

dissertação, além disso, a aplicação da álgebra geométrica a outras questões do

electromagnetismo e propagação são, com certeza, objectos de estudo que trarão

conclusões importantes.

80

Referências

1. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Clifford_William_Kingdon.jpg, 6/07/2009.

2. David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics, Dordrecht: Kluwer

Academic Publishers, 2nd ed., 1999;

3. Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists,

Cambridge: Cambridge University press, 2003.

4. Leo Dorst, Daniel Fontijne and Stephen Mann, Geometric Algebra for Computer

Science – An Object-oriented Approach to Geometry, San Francisco, CA:

Morgan Kaufmann/Elsevier, 2007.

5. Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge: Cambridge

University Press, 2nd ed., 2001.

6. Sérgio A. Matos, Marco A. Ribeiro and Carlos R. Paiva, “Anisotropy without

tensors: a novel approach using geometric algebra,” Opt. Express, Vol. 15, No.

23, 155175-15186, 2007.

7. Carlos R. Paiva, “Aspectos Geométricos do Electromagnetismo,” Departamento

de Engenharia Electrotécnica e de Computadores, Instituto Superior Técnico,

2008.

8. Carlos R. Paiva and Marco A. Ribeiro, “Generalized relativistic velocity

addition with spacetime algebra,” at

http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0511/0511247.pdf.

9. Carlos R. Paiva, “Passive Lorentz transformations with spacetime algebra,” at

http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0508/0508225.pdf.

10. Carlos R. Paiva and Marco. A. Ribeiro, “Doppler shift from a composition of

boosts with Thomas rotation: A spacetime algebra approach,” J. Electromagn.

Waves Appl. 20, 941-953, 2006.

11. Marco A. Ribeiro and Carlos. R. Paiva, “Relativistic optics in moving media

with spacetime algebra,” 2009.(In press)

12. Hamm C. Chen, Theory of Electromagnetic Waves – A Coordinate-free

Approach, McGraw-Hill, Singapore, 1985.

13. Jean Hladik et Michel Chrysos, Introduction à la Relativité Restreinte, Paris:

Dunod, 2001.

14. Wolfgang Rindler, Introduction to special relativity, Oxford: Oxford University

Press, 2nd ed., 1991.

15. David K. Cheng, Field and Wave Electromagnetics, Reading, MA: Addison-

Wesley, 2nd ed., 1989.

16. John David Jackson, Classical Electrodynamics, New York: Wiley, 3rd ed.,

1999.

17. Friedrich W. Hehl and Yuri N. Obukov, Foundations of Classical

Electrodynamics: Charge, Flux, and Metric, Boston: Birkhauser, 2003.

81

Apêndice A

Factor “k” de Bondi

O estudo efectuado por Herman Bondi permite demonstrar aspectos como a dilatação do

tempo, efeito Doppler longitudinal, adição de velocidades e transformação de Lorentz

usando uma interpretação exclusivamente geométrica. Os resultados obtidos são

coincidentes com os obtidos com a álgebra geométrica.

82

A.1 – Dilatação do tempo

Para começar vamos considerar dois referenciais, S e S . Do referencial S é emitido um

sinal electromagnético em A, que chega ao referencial S no ponto D, este sinal é

reflectido e volta de novo ao referencial S no ponto B. Os dois referenciais têm uma

velocidade relativa v .

Figura A.1 – Esquema de emissão de um sinal de radar reflectido em S .

Sendo o sinal emitido um sinal electromagnético a sua velocidade de propagação é c.

Podemos afirmar que CA CB e que AD DB , onde estes últimos segmentos têm

uma inclinação de 45º. Como 0T Ta é admissível considerar que existe um factor de

conversão, k , que os relaciona. Este factor vai depender da velocidade relativa, , de

S em relação a S e de acordo com o principio da relatividade é o mesmo quando se

passa de S para S , pelo que

0

0

a

b

T k T

T k T

(A.1)

2 .b aT k T (A.2)

Por um lado, T é dado por

21 1 1( ) ( ) ( 1)

2 2 2a b a b a aT T T T T T T k . (A.3)

e como

CD CB CA T (A.4)

83

2( ) 2b a a aT T T T T T (A.5)

1

2 ( )2

b a a bT T T T (A.6)

1

.1

b aT T

(A.7)

Conclui-se, por comparação da equação (A.2) com (A.7), que

Factor de 1

.Bondi 1

k

(A.8)

Estes resultados sugerem, de imediato, o conceito de dilatação do tempo. Como

0 aT k T e 21( 1)

2aT T k , relaciona-se facilmente T e 0T :

0

02

Dilatação do.

tempo 1

TT T

(A.9)

A.2 – Transformação de Lorentz passiva

Neste caso considera-se a emissão no referencial S de um sinal electromagnético que

parte do ponto A no instante 1T , passa no referencial S no ponto M e instante 1T , é

reflectido no ponto P e volta a cruzar o eixo ct no ponto N e instante 2T e por fim volta

ao referencial S no ponto B e instante 2T . Ao ponto intermédio entre M e N designa-se

de S.

Figura A.2 – Esquema de emissão de um sinal de radar reflectido em P.

84

Com a ajuda da figura A.2 interpretamos as coordenadas do ponto de reflexão P visto

do referencial S e S :

1 2 1 2 1

2 1

1 1( ) ( )

2 2( , )

1( )

2

c t OC OA AC cT c T T c T T

S P ct x

x CP AC c T T

(A.10)

1 2 1 2 1

2 1

1 1( ) ( )

2 2( , )

1( )

2

c t OM MS cT c T T c T T

S P c t x

x SP MS c T T

(A.11)

De (A.1) sabe-se que

1 1

2 2

T k T

T k T

. (A.12)

Por outro lado temos

2 2

1 1

xc t x cT T t

c

xc t x cT T t

c

. (A.13)

Substituindo (A.13) em (A.12) conclui-se que

1 1 1 1

2 2.

1 1 1 1

2 2

c t k c t k xk k

x k x k c tk k

(A.14)

Como

2

2

1 12

1

1 22

1

kk

kk

, (A.15)

85

Pode escrever-se, tal como deduzido com álgebra geométrica, a transformação de

Lorentz passiva:

( )

( )

c t c t x

x x c t

. (A.16)

A.3 – Efeito Doppler longitudinal

Considera-se que são enviados sinais electromagnéticos espaçados de T no referencial

S. Como estes têm velocidade c, fazem ângulos de 45º.

Figura A.3 – Esquema de emissão de um sinal em intervalos de tempo T.

Com o factor k de Bondi pode escrever-se:

T k T . (A.17)

Sendo a frequência angular

2 2

;w wT T

. (A.18)

De (A.17) e (A.18) conclui-se que

2 2 w

wT k T k

(A.19)

Efeito Doppler 1

.longitudinal 1

w w

(A.20)

86

Mais uma vez a análise feita por esta perspectiva geométrica vai de encontro aos

resultados obtidos na álgebra geométrica, no entanto, apenas se aplica ao caso

longitudinal. Como vimos em 3.4, com a álgebra geométrica não existe essa limitação.

A.4 – Adição de velocidades

Outro aspecto passível de demonstrar com o estudo feito por Bondi é a adição de

velocidades.

Figura A.4 – Esquema de emissão de um sinal em intervalos de tempo T.

A figura representa a emissão de um sinal electromagnético no referencial S. A emissão

desse sinal faz-se com intervalos de tempo T nesse referencial. Os sinais emitidos vão

cruzar dois referencias, 1 2 e S S , onde são vistos com intervalos de tempo 1 2 e T T . A

velocidade relativa de 1S face a S é 1 . A velocidade relativa de 2S face a 1S é 2 .

Ao utilizar o factor k de Bondi escreve-se:

1

1 1

1

1, onde

1T k T k

(A.21)

2

2 2 1 1

2

1

1T k T T

. (A.22)

Então

2 1 2 1 2T kT k k T k k k . (A.23)

87

Por conseguinte temos

1 2

1 2

1 2

1 11

1 1 1k k k

(A.24)

1 2

1 2

Adição de.

velocidades 1

(A.25)

Todos estes resultados obtidos sob uma perspectiva unicamente geométrica conduzem

aos mesmos resultados da álgebra geométrica. Deste modo, consolida-se a veracidade

da álgebra do espaço-tempo.

88

89

Apêndice B

Paradoxo dos gémeos

90

O paradoxo dos gémeos surge em 1911 e foi durante algumas décadas um caso

inexplicável. Está relacionado com a dilatação do tempo. Considere-se dois gémeos em

solo terrestre, onde um dos gémeos resolve fazer uma viagem pelo espaço com uma

nave que se desloca a uma velocidade constante próxima da velocidade da luz. O

percurso feito pelo gémeo terrestre é dado pela linha do universo ABC , enquanto o

gémeo astronauta descreve a linha ADC . A questão que se coloca é, qual a idade dos

gémeos quando estes se voltam a encontrar em solo terrestre, ponto C.

Figura B.1 – Esquema do diagrama de Minkowski para o paradoxo dos gémeos.

A dilatação do tempo provoca uma quebra de simultaneidade e faz com que o gémeo

terrestre esteja mais velho que o gémeo astronauta, embora cada um deles tenha vivido

normalmente. Para ver a dilatação do tempo até ao ponto D basta escrever

2 2 2 2 2

0 0 0 .c t c t x (B.1)

E como 0 0x vt temos

2

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 2(1 )

vc t c t v t c t

c (B.2)

0

0 02

.1

tt t

(B.3)

Conclui-se, do ponto de vista de S, que 0t é maior que 0t , logo o gémeo terrestre

encontra-se com mais idade que o gémeo astronauta no ponto D. Então mas para voltar

ao ponto C o gémeo astronauta vai viajar com uma velocidade simétrica à inicial o que

91

faria com que no encontro eles tivessem a mesma idade. Isso não acontece, o gémeo

terrestre é de facto mais velho. Embora o gémeo astronauta se desloque com velocidade

contrária, é necessário ter em conta que houve uma mudança de referencial no ponto D,

passou de S para um outro referencial, S , dada esta mudança de referencial a

reciprocidade deixa de ser válida e por isso o gémeo terrestre é mais velho.

O estudo deste caso nestes moldes tem sentido físico, pois, para passar de uma

velocidade constante positiva para uma velocidade constante negativa implica ter uma

aceleração infinita, pelo que, o gémeo iria morrer.

Ao problema anterior adicione-se a emissão de sinais entre os observadores, A e B. O

observador B fica em terra e o observador A viaja numa nave com velocidade v c e

ao fim de algum tempo inverte o sentido voltando para a terra. Eles enviam um ao outro

sinais electromagnéticos uniformemente espaçados no seu tempo próprio, a frequência

dessa emissão é f. Ao usar o efeito Doppler vai-se determinar o tempo que dura a

viagem para cada observador.

Figura B.2 – Esquema representativo da linha do universo do observador A e B.

92

Do ponto de vista do observador B a viagem efectuada por A até uma distância L

demorou 2 /T L v . Para o observador B a viagem durou um total de T, logo enviou

para A um total de ( )eN sinais:

( ) 2

2

e f LN f T . (B.1)

O observador B detecta a inversão de marcha de A ao fim do tempo 1t . Este tempo

corresponde ao tempo que A demora a percorrer a distância L mais o tempo que o sinal

demora a chegar a B:

1 (1 ) .

L L Lt

v c v (B.2)

Deste modo, na viagem de ida o observador B recebe 1 1f t sinais. Onde 1f é a frequência

de emissão de A vista do observador B. Do efeito Doppler relativista temos que

1

1.

1f f

(B.3)

Logo, o observador B recebe

2

1 1

1(1 ) 1

1

f L f Lf t

v v

. (B.4)

No que diz respeito à viagem de volta, o tempo 2t visto por B é

2 (1 ) .

L L Lt

v c v (B.5)

Então, na viagem de volta, o observador B recebe

2

2 2

1(1 ) 1 .

1

L f Lf t f

v v

(B.6)

O número total de sinais recebido por B é

( ) 2

1 1 2 2

2 21 .r f L f L

N f t f tv v

(B.7)

O observador B como recebeu ( )rN sinais vindos de A e como sabe que a frequência

própria de A é f, conclui que a viagem de A do ponto de vista de A durou

( )

1 1 2 2

0

2.

r f t f tN L TT

f f v

(B.8)

93

Veja-se, agora, a viagem do ponto de vista de A. O tempo total da viagem para A é

0

2 LT

v . Durante este tempo ele envia para B um total de ( )

0

eN sinais. Tal que

( ) ( )

0 0

2.e rf L

N f T Nv

(B.9)

Este número coincide com o número de sinais recebido por B, como seria de esperar.

Para A, a inversão do movimento ocorre em 1t :

1 .

Lt

v (B.10)

De novo, pelo efeito Doppler relativista a frequência de emissão de B vista de A é dada

por 1

1

1f f

, logo, até à inversão, o número de sinais recebidos por A é

1 1

1(1 )

1

f L f Lf t

v v

. (B.11)

A viagem de volta para A dura 2 /t L v , logo, o número de sinais recebidos é

2 2

1(1 ) .

1

f L f Lf t

v v

(B.12)

Deste modo, o observador A recebe um total de sinais dado por

( ) ( )

0 1 1 2 2

2.r ef L

N f t f t Nv

(B.13)

Conclui-se que o numero de sinais emitidos por B está de acordo com o numero de

sinais recebidos por A. Do mesmo modo, o numero de sinais recebidos por B está de

acordo com o numero de sinais emitidos por A.

O observador A como recebeu ( )

0

rN sinais vindos de B e como sabe que a frequência

própria de B é f, conclui que para o observador B a viagem demorou

( )

1 1 2 20 2.

r f t f tN LT

f f v

(B.14)

Este resultado mostra que quando A e B se voltam a encontrar ambos concluíram que

para B decorreu um tempo T e para A decorreu um tempo 0 /T T . Também se

verificou que o número de sinais recebidos por A coincide com o número de sinais

emitidos por B e vice-versa. Então pode afirmar-se, de modo ainda mais claro, que este

paradoxo não existe. A dilatação do tempo é um efeito recíproco, mas, mais uma vez o

94

viajante A passa por dois referenciais distintos criando uma assimetria. Devido a essa

mudança de referenciais durante a viagem o tempo real vivido por A e B é diferente.

95

Apêndice C

96

Apêndice C1

As figuras seguintes são as representações paramétricas de uma elipse para três casos

diferentes.

Figura C1.1 – Representação paramétrica da elipse para b a e 2 1u .

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

ct

u2 = 1, b=a

97

Figura C1.2 – Representação paramétrica elipse para b a e 2 1u .

Figura C1.3 – Representação paramétrica elipse para b a e 2 1u

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

ct

u2 = 1, b>a

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

ct

u2 = 1, b<a

98

Apêndice C2

Representa-se o resultado da aplicação de uma rotação, , a um vector, u, com um

ângulo inicial 30ºu . Os valores de rotação aplicados são: (i) º180 ; (ii)

º150 ; (iii) º120 ; (iv) º90 ; (v) º60 ; (vi) º30 ; (vii) º0 ;

(viii) º30 ; (ix) º60 ; (x) º90 ; (xi) º120 ; (xii) º150 ; (xiii) º180 .

(i) 30º , 180ºu

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

99

(ii) 30º , 150ºu

(iii) 30º , 120ºu

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

100

(iv) 30º , 90ºu

(v) 30º , 60ºu

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

101

(vi) 30º , 30ºu

(vii) 30º , 0ºu

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

102

(viii) 30º , 30ºu

(ix) 30º , 60ºu

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

103

(x) 30º , 90ºu

(xi) 30º , 120ºu

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

104

(xii) 30º , 150ºu

(xiii) 30º , 180ºu

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

105

Apêndice C3

Representa-se o resultado da aplicação de um boost com intensidade, 2/1 , a um

vector, u, com um ângulo inicial: (i) º180 ; (ii) º150 ; (iii) º120 ; (iv)

º90 ; (v) º60 ; (vi) º30 ; (vii) º0 ; (viii) º30 ; (ix) º60 ; (x)

º90 ; (xi) º120 ; (xii) º150 ; (xiii) º180 .

(i) 1/ 2, 180º

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

106

(ii) 1/ 2, 150º

(iii) 1/ 2, 120º

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

107

(iv) 1/ 2, 90º

(v) 1/ 2, 60º

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.5

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

108

(vi) 1/ 2, 30º

(vii) 1/ 2, 0º

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

109

(viii) 1/ 2, 30º

(ix) 1/ 2, 60º

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.5

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

110

(x) 1/ 2, 90º

(xi) 1/ 2, 120º

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

111

(xii) 1/ 2, 150º

(xiii) 1/ 2, 180º

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0