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https://periodicos.utfpr.edu.br/rbect

Dissociação Cognitia PogPamação: a dicotomia ntP conceitos matemátcos algoritmos de cálculo com uma pPoposta paPa sua sup Pação

RESUMONão identifique os autores Defnimos dissociação cognitia pela situação em que a memorização e execução de um

algoritmo de cálculo não requerem e nem contribuem para a compreensão dos conceitossubjacentes. Defendemos que a programação de algoritmos consttui recurso para oensino da matemátca favorável à compreensão conceitual, podendo contribuir para asuperação da dissociação cognitva. A tese é ilustrada pela discussão da operação deadição e do conceito de máximo diiisor comum, com algoritmos programados nosoftware Scratch. O texto termina com sugestões de atvidades para a sala de aula. ALAVRAS-CHAVE: Ensino de Matemátca. onceitos. Algoritmos. Programação. Scratch.

R. bras. Ens. Ci. Tecnol., Ponta Grossa, v. 9, n. 1, p. 1-7, jan./abr. 2016.

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INTRODUÇÃO

A matemátca apresenta um fenômeno que merece a consideração de todos osenvolvidos no seu ensino ou aprendizagem, aqui denominado dissociaçãocognitia: situação em que a memorização e execução de um algoritmo nãorequerem e nem contribuem para a compreensão dos conceitos subjacentes ( i.e.,que lhe conferem validade e signifcação). Nesse caso, dizemos que o algoritmo eos conceitos estão cognitiamente dissociados: sua relação lógico-semântca nãoé evidente, pelo que depende de um argumento relatvamente sofstcado.

A dissociação cognitva é a causa fundamental deste fenômeno comumenteencontrado no ensino da matemátca: estudantes que sabem calcular sem sabero que calculam – ou que sabem fazer um cálculo sem saber o que o cálculo faz.Nesse caso, ensina-se/aprende-se a executar um algoritmo sem que seensine/aprenda o signifcado dos resultados obtdos com sua execução.

Evidência de que a compreensão de um conceito não é necessária para sememorizar ou executar algoritmos tpicos da matemátca está no fato de que taisalgoritmos podem ser programados num computador – que não possui o atributoda compreensão. Embora compreender um conceito e ser capaz de justfcar umalgoritmo derivado dele não sejam a mesma coisa, também é sugestvo que, porexemplo, os estudantes comumente saibam somar e subtrair números naturais,mas não consigam aplicar os conceitos em situações contextualizadas – menosainda, justfcar a validade do algoritmo que empregam, apesar disso não sercomplicado:

Não é incomum que um estudante consiga realizar com destreza osalgoritmos tradicionais da adição e da subtração quando exigidos comoobjetvos em si, mas que, diante de um problema, precise da interferênciado professor para conseguir decidir, por exemplo, se a operação que deveser efetuada é “de mais” ou “de menos”, ou então que aplique diretamente(e sem pensar) a adição porque a pergunta do problema envolve o termo“quanto tem a mais?”. (RIPOLL et al., 2015: p.82)

Agora, se memorização e execução de algoritmos não contribuem para acompreensão dos conceitos subjacentes, a elaboração de algoritmos e suaprogramação em computadores podem contribuir signifcatvamente – pelo queisso possui um valor didátco que pode ser utlizado pelos professores e deve serinvestgado pelos que pesquisam o processo de ensino e aprendizagem damatemátca.

Realmente, a ideia de inserir a programação na educação em geral e noensino da matemátca em partcular não é nova, já possuindo diversosdefensores, dentre os quais cabe destacar o pioneiro Seymour Papert (1928-2006), desenvolvedor da linguagem LOGO:

[Quando uma criança programa o computador, ela] simultaneamenteadquire um senso de domínio sobre algo da mais moderna e poderosatecnologia e estabelece um contato íntmo com uma das ideias maisprofundas da ciência, da matemátca e da arte da construção de modelosintelectuais. (…) Quando a programação é vista da perspectva adequada,não há nada demasiado surpreendente no fato disso acontecer. [Afnal,]programar um computador signifca nada mais ou nada menos que secomunicar com ele, numa linguagem que ele e o ser humano podem,ambos, compreender. E aprender linguagens é uma das coisas que as

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crianças fazem melhor. Toda criança normal aprende a falar. Por que umacriança não deveria aprender a “falar” com um computador? (PAPERT, 1980,pp.5-6. Tradução nossa.)

Aqui, defendemos a tese de que a programação de algoritmos é um recursodidátco para o ensino da matemátca, pelo que contribui para a compreensãoconceitual e sendo especialmente útl para minimizar as consequências dadissociação cognitia. (Esclarecemos que neste texto o termo programação dealgoritmos pode signifcar tanto a elaboração de algoritmos quanto suaprogramação num computador. Embora sejam tarefas distntas, estãointmamente relacionadas e podem até ser realizadas simultaneamente, quandose elabora um algoritmo já o escrevendo numa linguagem de programação.)

Para sustentar essa ideia, o texto segue com a seguinte estrutura. A Seção 1discute a dissociação cognitia a partr de um breve digressão acerca do uso decomputadores e da programação no ensino da matemátca. Na Seção 2, adissociação cognitia e a programação são discutdas na operação de adição e noconceito de máximo diiisor comum. A últma seção traz considerações sobreaspectos pertnentes não desenvolvidos. O Anexo 1 consiste de uma lista decálculos para serem realizados via programação, apresentada como exemplo deatvidade para o ensino e fxação da aprendizagem de programação matemátca.O Anexo 2 traz uma sequência de problemas que podem ser resolvidos comprogramação numa perspectva mais desfadora ou investgatva, indicados paraaqueles já familiarizados com a programação de algoritmos matemátcos.

1. ROGRAMAÇÃO NO ENSINO DA MATEMÁTICA

“Todos neste país deveriam aprender a programar umcomputador, porque isso ensina você a pensar”. (Fraseatribuída a Steve Jobs (1955-2011), ex-fundador e executvoda Apple Inc.)1

Primeiramente, programar deve ser entendido como uma habilidadeimportante do currículo escolar contemporâneo devido à ampla difusão dainformátca nas atvidades produtvas, comerciais e recreatvas, as quais têmempregado progressivamente computadores e dispositvos móveis comfuncionalidades múltplas, dentre as quais comunicação e automação. Santos(2017, p.11) compartlha desse ponto de vista:

“A programação de computadores é uma competência com uma crescenteimportância na formação de uma pessoa, em partcular nos joiens. Mais doque habilitar para uma melhor utlização da enorme capacidade efuncionalidades computacionais hoje disponíveis, permite por si sódesenvolver o raciocínio lógico agregado à capacidade de resolução deproblemas”. (Destaque acrescentado.)

Discutndo a Educação Matemátca, Pais (2011, p.70) comenta:

“ om a utlização da informátca na educação, surge a indagação sobrequanto o computador pode liberar o aluno do exercício da memorizaçãoinexpressiva e incrementar as prátcas criatvas de resolução de problemas.(…) O conhecimento exigido na era tecnológica é muito mais do que apenascolecionar informações. om essa concepção, o aluno deie ser leiado aprocessar informações.” (Destaque acrescentado.)

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Especifcamente em relação à matemátca, o uso de calculadoras ecomputadores reduz a necessidade de memorizar e executar algoritmos decálculo tediosos, viabilizando os professores considerarem na sala de aulaproblemas mais realístcos, bem como buscarem mais facilmente equilibrar oensino da matemátca em relação às dimensões conceitual, procedimental eaplicações:3

Exatamente agora, graças à abundância de computadores baratos, nóstemos a oportunidade de melhorar a instrução matemátca numa fronteiraiastamente maior e mais interessante, que aumentará a importância damatemátca aprendida pelos estudantes. Por exemplo, com a ajuda demétodos de Monte arlo, e programas tais como o Mathematca, aprobabilidade pode subir para o topo da matemátca escolar.[Simplesmente] desaparece a difculdade obstrutva que a combinatória temna probabilidade escolar. Importantes medidas relacionadas às distribuiçõesnormais (gaussianas) e exponenciais podem ser manipuladas pelo métodode Monte arlo, tornando esta porção da matemátca não mais complicadado que contar.” (LI et al., 2007. Destaque acrescentado.)

A programação de algoritmos também é um recurso para a abordagem deproblemas matemátcos no sentdo de que amplia o conjunto das estratégias deresolução possíveis, como ilustra o uso de simulações computacionais deexperimentos aleatórios para o cálculo de probabilidades apresentado em(FASSARELLA, 2015).

ontudo, para além do ialor pragmátco, a programação naturalmentepossui um ialor epistêmico relevante para a compreensão conceitual:

O ialor pragmátco diz respeito às possibilidades de realização de tarefaspropiciadas pelas ferramentas. O ialor epistêmico refere-se ao fato de que,além disso, as ferramentas têm a potencialidade de alterar a própriaconcepção do sujeito sobre o objeto das tarefas em questão. (…) [Algunsestudos] sugerem que o valor epistêmico das ferramentas computacionaisestá relacionado à experiência dos estudantes com um olhar para osconceitos diferente daquele usualmente apresentado em sala de aula. Esteefeito não se deve apenas ao aspecto transitório de novidade dasrepresentações computacionais (isto é, ao fato de elas ainda serem novasem relação àquelas usualmente empregadas em sala de aula), mas tambéma certas característcas partculares à sua própria natureza, que as diferemdas demais. (GIRALDO; ROQUE, 2014, pp.23-24)

Tais considerações podem ser ampliadas lembrando que a programação éum elemento importante do chamado pensamento computacional:

Pensamento computacional é uma habilidade fundamental para todos, nãosomente para cientstas da computação. À leitura, escrita e aritmétca,deveríamos incluir pensamento computacional na habilidade analítca detodas as crianças. (…) Pensamento computacional envolve a resolução deproblemas, projeção de sistemas, e compreensão do comportamentohumano, através da extração de conceitos fundamentais da ciência dacomputação. O pensamento computacional inclui uma série de ferramentasmentais que refetem a vastdão do campo da ciência da computação.(WING, 2016, p.2)

Especifcamente quanto à compreensão conceitual, elaborar e programaralgoritmos contribui para minimizar as difculdades decorrentes da dissociaçãosemântca pela simples razão de que requerem que se pense nos conceitos esignifcados enioliidos, incentiando uma refexão que promoie o entendimentoou mesmo gera a compreensão. Na elaboração ou programação de um algoritmo,cada elemento deve ser artculado com os demais elementos numa dinâmica

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integratva que conecta os signifcados das partes com o signifcado do todo.Nesse caso, a atvidade mental é mais profunda e holístca do que a mera atençãonecessária para se executar algoritmos já memorizados. Realmente,

O computador é até mais revolucionário como ideia, do que comoum dispositvo prátco que modifca a sociedade – e todos nóssabemos o quanto ele mudou nossas vidas. Por que digo isso? Bem, ocomputador mudou a epistemologia, mudou o signifcado do‘entender’. Para mim, você entende algo se você puder programá-lo.(Você, não qualquer outra pessoa!). Do contrário, você efetvamentenão entendeu a coisa, você apenas pensa que entendeu. ( HAITIN,2009, p.12).2

2. DISSOCIAÇÃO COGNITIVA E ROGRAMAÇÃO EM DUAS SITUAÇÕES

Nesta seção, discutmos a operação de adição de números naturais e o conceitode máximo diiisor comum de números inteiros na perspectva de ilustrar adissociação cognitva e as possíveis contribuição da programação de algoritmospara a compreensão conceitual.

Em cada caso, são apresentados algoritmos de cálculo elaborados na formade pseudocódigos e programados nos Scratch, software concebido para o ensinode programação para crianças, com versão em Língua Portuguesa edisponibilizado na Internet no seguinte endereço (acesso em 14/05/2018):<https://www.scratch.com/>.

2. 1. A op Pação d Adição com Núm Pos NatuPais

Intuitvamente, a operação de adição com números naturais “identfca otodo obtdo a partr de duas partes que se unem” e possui duas interpretaçõesprincipais: “juntaP duas quantdades dadas; acP sc ntaP uma quantdadeinicialmente conhecida a outra dada” (RIPOLL et al., 2015: p.89, p.90. Destaquesno original).

omo pré-requisito para o ensino em sala de aula, é necessário e sufcienteque os alunos conheçam a sequência dos números naturais em suarepresentação num sistema de numeração, para que se possa comunicar asquantdades envolvidas nas operações (parcelas e soma). Assumindo isso,podemos defnir informalmente a operação de adição entre números naturais doseguinte modo:3

A adição de dois números naturais m e n (chamados parcelas) é onúmero natural s (chamado soma) que corresponde à totalidade daunião das quantdades que podem ser representadas por m e n.

Embora a defnição informal de adição não dependa do conhecimento de umalgoritmo para se calcular a soma de dois números naturais, ao ensinar o tópico érecomendável apelar para um procedimento efetvo. Há diversas alternatvas, dasquais descrevo uma bastante simples que serve tanto para estabelecer oprimeiro contato com a operação de adição, quanto como referência paraprogramar seu algoritmo numa linguagem computacional (conforme segueapresentado subsequentemente).

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Disponha três recipientes um ao lado do outro na horizontal, denominadosprimeira parcela (Parcela-I), segunda parcela (Parcela-II) e soma; entre osrecipientes, disponha os símbolos da operação de adição “+” e igualdade “=”,conforme a Figura 1:

Figura 1 – Material concreto para o ensino da operação de adição, com a primeira esegunda parcelas contendo 5 e 7 unidades, respectvamente.

(Fonte: Arquivos do autor.)

Para adicionar dois números n e m (5 e 7, no caso da Figura 1), o aluno deve proceder de um destes dois modos possíveis:

1. olocar n contas na primeira parcela e m contas na segundaparcela; depois, transportar todas as contas para o recipiente soma econtar a quantdade total.

2. olocar n contas na primeira parcela e m contas na segundaparcela; em seguida, transportar as contas da primeira parcela parao recipiente soma; fnalmente, transportar sucessivamente uma auma cada conta da segunda parcela para o recipiente somapronunciando o total em cada movimento.

A equivalência dos dois procedimentos é evidente, mas há diferenças sutsrelevantes, razão pela qual ambos devem ser trabalhados pelo professor comseus alunos: enquanto o primeiro corresponde mais diretamente à defniçãoinformal dada previamente, o segundo é mais facilmente programável.

No Algoritmo 1 descrito abaixo na forma de pseudocódigo (Quadro 1), asvariáveis correspondem aos recipientes dos procedimentos com materialconcreto e a etapa 4 do algoritmo (iteração) corresponde à últma etapa dosegundo procedimento (contagem sucessiva):

Quadro 1 – Algoritmo para adição escrito na forma de pseudocódigo.

Algoritmo 1: operação de adição

1. Variáveis: Parcela-I, Parcela-II, Soma;2. Entradas: Parcela-I, Parcela-II;3. Faça: Soma = Parcela-I;4. Repita Parcela-II vezes: Soma = Soma + 1;5. Retorne: Soma.

O Algoritmo 1 pode ser programado num software adequado, com o qual osalunos estejam já familiarizados ou estejam se familiarizando. A Figura 2 mostra aprogramação do algoritmo no Scratch, com a primeira parcela sendo 5 e a

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segunda sendo 7. Nesse software, o resultado da adição é exibido quandoclicamos duas vezes no algoritmo:

Figura 2 – ódigo Scratch do Algoritmo 1 para a operação de adição.

(Fonte: <https://scratch.mit.edu/projects/221227987/>. Acesso em: 12/05/2018.)

A questão fundamental relatva à dissociação cognitva relatva à operação deadição é esta: a programação de um algoritmo para o cálculo da adição dependeda apreensão do signifcado do conceito. omo se pode perceber, a tarefa vinculaexplicitamente o algoritmo ao conceito, algo que não ocorre com a meraexecução de um algoritmo dado pronto.

Enfm, a tarefa de programar um algoritmo para a operação de adição podeser proposta para estudantes familiarizados o que estejam se familiarizando comprogramação, servindo tanto como subsídio para eles compreenderem oconceito matemátco quanto como atvidade avaliatva sobre o conhecimentoacerca desse conceito ou mesmo acerca de programação.

2. 2. O conc ito d Máximo DiiisoP Comum

O máximo divisor comum pode ser defnido assim:

O máximo diiisor comum (MD ) de dois números inteiros a e b é onúmero inteiro positvo n tal que (i) n divide a, (ii) n divide b e (iii) n émaior ou igual a qualquer outro número que divida ambos a e b.

Essa defnição caracteriza do MD de um par de números inteiros, mas nãoespecifca como calculá-lo. Dois métodos populares para calcular o MD são oAlgoritmo de Euclides e o Método da Fatoração Simultânea, mas ambos sãosemantcamente dissociados do conceito de MD .

Agora, a própria defnição do MD já subentende um procedimento simplespara o cálculo: dados números inteiros a e b, basta (i) testar todos os númerosinteiros entre 1 e |a| (ou |b|) quanto à propriedade de ser simultaneamentedivisor de a e b, e (ii) identfcar o MD deles com o maior dos números quesatsfzer o teste. om base nessa ideia, elaboramos o Algoritmo 2 (Quadro 2):

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Quadro 2 – Algoritmo para o cálculo do MD , escrito na forma de pseudocódigo.

Algoritmo 2: cálculo do MD

1. Variáveis: Num-a, Num-b, MDC, n;2. Entradas: Num-a, Num-b;3. Faça MD = 1;4. Faça n = 1;4. Repita até que n = |Num-a|;5. Se n divide Num-a e n divide Num-b, então:6. MD = n;7. Mude n para n + 1;8. Retorne: MD .

A Figura 3 mostra a programação do Algoritmo 2 no Scratch com valores deentrada 180 e 150. (Destacamos que o Scratch possui pré-programada a função“módulo”, que retorna o valor absoluto de um número real. Eventualmente, taisfunções são necessárias mas não estão disponíveis, caso em que precisam serprogramadas como blocos pelo próprio usuário ou obtdas de terceiros.)

Figura 3 – ódigo Scratch do Algoritmo 2 para o cálculo do MD .

(Fonte: <https://scratch.mit.edu/projects/222514452/>. Acesso em: 12/05/2018.)

omo no caso da operação de adição, a tarefa de programar um algoritmopara o cálculo do MD pode ser proposta para qualquer aluno que dominenoções básicas de programação, familiarizado com o uso de recorrência econdicionais. O Algoritmo 2 é mais complexo do que o Algoritmo 1 por conteruma recorrência indexada e uma condicional embutda, além de ser mais longo eusar uma função e comparações.

omo no caso anterior, a tarefa de programar um algoritmo para o cálculodo MD serve tanto como subsídio para a compreensão do conceito matemátcoquanto como atvidade avaliatva. Nesse caso, a tarefa também pode servir paraos professores problematzarem o conceito a partr de algumas sutlezas doalgoritmo: Por que delimitar a recorrência pelo número Num-a, em vez de pelonúmero Num-b? Num-a ou Num-b podem ser iguais a zero? omo modifcar oalgoritmo para que possa admitr entradas nulas?

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3. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A dissociação cognitva é uma característca tpica da relação entre osalgoritmos de cálculo e os conceitos subjacentes. onsiderando que isso podegerar difculdades para a aprendizagem da matemátca, os professores devemtomar o devido cuidado no ensino dessa disciplina. A programação de algoritmospode ser aplicada como recurso para promover a compreensão de um conceitose sua relação com algoritmos subjacentes. Evidentemente, não é a únicaalternatva.

Voltando a mencionar Papert (1980), acreditamos que ele atribuiu poucarelevância à possível contribuição da programação ao processo de ensino-aprendizagem da matemátca por ter estabelecido outras prioridades:

Por que deveriam os computadores nas escolas estarem limitados a calculara soma dos quadrados dos primeiros vinte números pares ou a usos do tpo“resolução de problemas”? Por que não usá-los para produzir alguma ação?Não há melhor explicação disso do que a tmidez intelectual da comunidadedos que defendem o uso de computadores na educação [computers-in-educaton comunitn], a qual parece ser notavelmente relutante em usar oscomputadores para qualquer propósito que não seja muito parecido com oque tem sido ensinado nas escolas desde os séculos passados. Isso é tãomais notável porque os familiarizados com a computação [computerists] sãoos responsáveis por uma momentosa revolução intelectual e tecnológica. onceitos da ciência da computação – ‘cibernétca’, ‘teoria da informação’,‘inteligência artfcial’ e todos os seus outros nomes – têm afetadoprofundamente o pensamento na biologia, psicologia e até mesmo naflosofa da matemátca. Máquinas surgidas de suas ramifcações estãomudando nosso modo de vida. Quão estranho, então, que os“computadores na educação” devam ser frequentemente reduzidos a“novos aparelhos brilhantes para ensinar as mesmas velhas coisas, numamal disfarçada versão do mesmo velho jeito”. (PAPERT, 1980, pp.1-2.Tradução nossa.)

Não é o caso de discordar de Papert, mas de perceber que estamos tratandode problemas diferentes; afnal, se devemos incorporar computadores no ensinopara fazer tantas coisas, por que não incorporar também a programação dealgoritmos como subsídio para a compreensão de conceitos matemátcos?

Naturalmente, a possibilidade de se aplicar a programação como recursodidátco em sala de aula depende da familiaridade dos professores e alunos comalgoritmos e programação de computadores – questão que nos remete adimensões mais amplas, incluindo a necessidade de infraestrutura de informátcaadequada nas escolas e às novas demandas para as formações inicial econtnuada de professores de matemátca. ontudo, esperamos ter mostradoque noções básicas de programação são sufcientes para viabilizar seu empregono ensino da matemátca, bem como indicar que programação e matemátcapodem ser aprendidos simultaneamente.

oncordando com a tese de Papert (1980) mencionada na Introdução, cabeafrmar que programar é uma habilidade ao alcance de todos, sendo tão naturalquanto aprender uma linguagem diferente da materna. Sob tal convicção foramdesenvolvidas várias iniciatvas para ensinar programação a crianças e jovens,dentre as quais destacamos estas três:5

• O Scratch é um ambiente de programação desenvolvido Massachusets Insttute of eechnologn para ser utlizado por crianças que “ajuda os jovens a

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pensar criatvamente, a raciocinar sistematcamente e a trabalhar colaboratvamente – habilidades essenciais para a vida no século 21.”6

• O Code é uma organização sem fns lucratvos dedicada à difusão da ciência da computação, cujos organizadores defendem que “todos os alunos de todas as escolas deveriam ter a oportunidade de aprender ciência da computação, exatamente como biologia, química e álgebra.”7

• O Computer-Based Math é um projeto fundado com o objetvo de modifcar o ensino de matemátca nas escolas, de modo a que

realmente refita os atuais tópicos de matemátca do mundo real, com suas aplicações vitalmente importantes. Isso pode acontecer somente se nós engendrarmos o pensamento computacional – usando computadores nas escolas como os usamos no mundo real: substtuindo as pessoas nos cálculos. (Disponível em:<http://www.computerbasedmath.org/ about.php >.Acesso em: 15/01/2018. Tradução nossa.)

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Cogniti Dissociaton and PogPamming: a dichotomy b tw n mathematcal conceptsand calculaton algorithms with a pPoposal foP oi Pcoming it

ABSTRACTWe defne cognitie dissociaton by the situaton in which the memorizaton and executonof a calculaton algorithm does not require or contribute to the understanding of theunderlying concepts. We argue that algorithm programming is a resource formathematcal teaching that favors conceptual understanding and can contribute toovercoming cognitve dissociaton. The thesis is illustrated by the discussion of theadditon operaton and the concept of maximum common diiisor, with algorithmsprogrammed in the Scratch software. The text ends with suggestons for actvites for theclassroom. KEYWORDS: Teaching Mathematcs. oncepts. Algorithms. Programming. Scratch.

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NOTAS

1 Fonte: <https://www.youtube.com/watch?v=nwIu9yen5nc>. Acesso em:12/05/2018.

2 Gregori haitn é cientsta da computação nascido em 1947, pioneiro da teoriada complexidade e responsável por uma versão computacional do teorema deincompletude de Gödel.

3 Segundo (LIMA, 2003), a conceituação diz respeito à defnição e signifcação dosconceitos, bem como suas relações e propriedades formais; a manipulaçãoconsiste essencialmente da memorização e execução de algoritmos de cálculo; jáas aplicações signifcam o emprego dos conceitos e técnicas de cálculo emsituações contextualizadas, quer seja na descrição de fenômenos ou na resoluçãode situações-problema.

4 onsideramos que no nível da Educação Básica, não é razoável abordar umadefnição rigorosa da operação de adição, posto que isso requer algumasofstcação técnica e o amparo de um sistema axiomátco, tal o proposto porGiusepe Peano no contexto da teoria dos conjuntos – iide (RIPOLL et al., 2015,pp.52ss).

5 Veja outras iniciatvas em Santos (2017) ou no síto eletrônico da BB (empresade comunicação inglesa) dedicado à promoção do ensino da computação nasescolas: <http://www.bbc.co.u//schools/0/computng/>. Acesso em:15/01/2018.

6 Disponível em: <https://scratch.mit.edu/about/>. Acesso em: 15/01/2018.Tradução nossa.

7 Disponível em: <https://code.org/about/>. Acesso em: 15/01/2018. Traduçãonossa.

REFERÊNCIAS

HAITIN, G. J. M taMat!: em busca do ômega. São Paulo: Perspectva, 2009.

FASSARELLA, L. S. Resolução omputacional de Problemas de Probabilidade. Poc dings S Pi s of th BPazilian Soci ty of Computatonal and Appli d Math matcs, v.3, n.2 (2015): 020129 [6 pages]. DOI:10.5540/03.2015.003.02. 0129. Disponível em: <https://proceedings.sbmac.org.br/sbmac/artcle/view/ 1020/ 1033 >. Acesso em: 14/05/2018.

GIRALDO, V. A.; ROQUE, Tatana M. O Sab P do Pof ssoP d Mat mátca: Ultrapassando a Dicotomia entre Didátca e onteúdo. Rio de Janeiro: Editora iência Moderna, 2014.

LI, Shangzhi; WANG, Dongming; ZHANG, Jing-Zhong. Symbolic Computaton and Educaton. Singapura: World Scientfc, 2007.

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LIMA, Elon L. (2003). Mat mátca Ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2003.

PAIS, L. . Didátca da Mat mátca: uma análise da infuência francesa. 3° edição Belo Horizonte: Autêntca, 2011.

PAPERT, Seymour. MindstoPms: hildren, omputers, and Powerful Ideas. New Yor/: Basic Boo/s, 1980.

RIPOLL, ydara; RANGEL, Letcia; GIRALDO, Victor. LiiPo do Pof ssoP d Mat mátca na Educação Básica iolum I: Números Naturais. Rio de Janeiro: SBM, 2015.

SANTOS, Nuno F. Gomes dos. PogPamação paPa Joi ns: onteúdos, Atvidades, Estratégias e Ferramentas. Dissertação. (Mestrado Integrado em Engenharia e Informátca) – Universidade do Porto, Porto, 2017. Disponível em: <https://repositorio-aberto.up.pt/ bitstream/10216/102443/2/178783.pdf>. Acesso em: 12/05/2018.

WING, J. PENSAMENTO OMPUTA IONAL – Um conjunto de attudes e habilidades que todos, não só cientstas da computação, fcaram ansiosos para aprender e usar. R iista BPasil iPa d Ensino d Ciência T cnologia, v. 9, n. 2, 2016. Disponível em: <https://periodicos.uupr.edu.br/rbect/artcle/view/4711>. Acesso em: 15 jan. 2018.

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ANEXO 1 – ATIVIDADES ARA O ENSINO DE ROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

Esta lista pode ser usada para ensinar sobre a programação de algoritmosmatemátcos. Os professores fazer os exercícios da Seção (I) como exemplos e osda Seção (II) como exercícios de fxação.

(Aqui, “a ÷ b” denota o quociente da divisão inteira de “a” por “b”; “a modb” denota o resto da divisão inteira de “a” por “b”. O Scratch não possui umafunção que retorna o quociente da divisão inteira; portanto, eventualmente,precisa ser fornecida ao aluno pré-programada pelo professor como um bloco.)

Atvidades para Programação no Scratch

(1) álculos com uma operação

Seção (I)a) 7 + 8b) 81 – 75c) 7 × 8d) 81 ÷ 7e) 81 mod 7

Seção (II)a) 75 + 814b) 814 – 75c) 75 × 814d) 814 ÷ 75e) 814 mod 75

(2) álculos com múltplas operações

Seção (I)a) 7 + (8 – 3)b) (8 – 3) × 7c) (8 × 3) ÷ (7 mod 3)d) (8 – (7 mod 3)) + 7

Seção (II)a) 75 + (814 – 32)b) (814 – 32) × 75c) (814 × 32) ÷ (75 mod 3)d) (814 – (75 mod 3)) + 7

(3) ondicionais

Seção (I)a) Se “6 > 15”, então calcule “15 ÷ 6”.b) Se “6 < 15”, então calcule “15 ÷ 6”.c) Se “6 > 15”, então calcule “15 ÷ 6”; se

não, então escreva “6 > 15”.d) Se “6 < 15”, então calcule “15 ÷ 6”; se

não, então escreva “6 > 15”.

Seção (II)a) Se “6 + 15” for par, então escreva “6

+ 15 é par”; se não for, então escreva“6 + 15 é ímpar”.

b) Entre com sua idade “N”. Se “N” for par, então escreva “Sua idade é par”;se “N” for ímpar, então escreva “Sua idade é ímpar”.

c) Entre com dois números, “M” e “N”. Se “M divide N”, então escreva “O quociente de M por N é ‘M ÷ N’”; se não divide, então escreva “O resto da divisão de N por M é ‘M mod N’”.

(4) Recursões

Seção (I)a) Seja M = 3. Repita 5 vezes: “multplique

M por 2 e tome o resultado como novo valor de M”. Retorne o valor fnal de M.

b) Sejam M = 83, N = 11. Repita até obter resto zero: “Divida M por N, troque o valor de M pelo valor de N e o valor de N pelo resto dessa divisão”. Retorne o valor fnal de M.

Seção (II)a) alcule a soma 1 + 2 + 3 + 4 + 5.b) Sejam M = 83, N = 11. “Divida M por

N, troque o valor de M pelo valor de N e o valor de N pelo resto da divisãoefetuada. Repita essa operação até obter uma divisão com resto zero”. Retorne o valor fnal de M.

R. bras. Ens. Ci. Tecnol., Ponta Grossa, v. 9, n. 1, p. 1-7, jan./abr. 2016.

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ANEXO 2 – ROBLEMAS

Esta lista pode ser usada para desenvolver a habilidade de programaralgoritmos matemátcos, sendo proposta como problemas para investgação.

1. Verifque qual é maior: 12345 × 678 ou 1234 × 5678.

2. Dados números X e Y, verifque se X divide Y.

3. Dados números X e Y, determine o MD de X e Y.

4. Dados números X e Y, determine o MM de X e Y.

5. Dado um número Z, verifque se Z é número primo.

6. Dados números X e Y, verifque se X e Y são primos entre si.

7. alcule a soma dos números inteiros entre 1 a 1000 (inclusive).

8. alcule a soma dos números primos entre 1 a 1000 (inclusive).

9. Quantos números múltplos de 7 existem entre 1 e 1000?

10. Quantos números primos existem entre 1 e 1000?

11. Pesquise sobre Índice de Massa Corporal (IM ) e elabore um programapara calcular esse índice para cada pessoa e também retornar sua classifcação(magreza graie, magreza moderada, magreza leie, saudáiel, sobrepeso,obesidade, obesidade mórbida).

R. bras. Ens. Ci. Tecnol., Ponta Grossa, v. 9, n. 1, p. 1-7, jan./abr. 2016.