DOMINÂNCIA ESTOCÁSTICA_PPT

Anlise de investimentoSProfessor Engenheiro Armando Gonalves [email protected]

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO PROGRAMA DE ENGENHARIA DE PRODUO - COPPE

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DOMINNCIA ESTOCSTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO PROGRAMA DE ENGENHARIA DE PRODUO - COPPE ANLISE DE INVESTIMENTOS


Esta tcnica de escolha de ativos em condies de incerteza ser estudada com base no livro Portfolio Selection dos autores Haim Levy e Marshall Sarnat. Na sequncia, apresentamos um resumo dos captulos 6, 7 e 8 do referido livro. 6.1 Resumo Captulo 6 Portfolio and Investment Selection Haim Levy & Marshall Sarnat A Anlise de Eficincia sobre investimentos incertos: Regras de Dominncia Estocstica



1.Introduo Primeiramente foi assumido que no h nenhuma informao sobre a forma da curva de utilidade, apenas que ela no-decrescente: U(R) pode ser totalmente cncava, ou pode ter trechos cncavos e convexos. Agora iremos assumir a disponibilidade de informao adicional e desenvolver um critrio apropriado para decisores avessos ao risco, no qual a funo cncava para todo seu domnio.



Finalizando o captulo, acrescentaremos a Assumpo de que a 3 derivada da funo de utilidade positiva. Neste caso, obtemos um terceiro critrio que apropriado para todos avessos ao risco com uma valor absoluto de averso ao risco decrescente.



O conceito de Critrio de Eficincia Um critrio de eficincia uma regra de deciso para classificar todas as potenciais opes de investimento em 2 conjuntos mutuamente exclusivos: um conjunto eficiente e um conjunto ou grupo no eficiente. O ltimo contm todas as alternativas desejveis para um tipo particular de investidor.



O conceito de Critrio de Eficincia O conceito de Critrio de Eficincia suficientemente importante (e talvez suficientemente vago ao mesmo tempo) para garantir certo grau de esclarecimento. Consideremos o seguinte critrio seguinte bastante irreal e bem atpico. Suponha um tipo de investidor (O mais cinco) que prefere uma opo com risco F a uma opo com risco G, se e somente se: EF(R) EG(R) + 5



Considere a seguinte alternativa de investimento, a luz do critrio de eficincia MAIS CINCO:



Podemos inferir algumas concluses: A claramente menos prefervel que B A prefervel a C j que EA(R) = 9 > 3 + 5 =EC(R) C faz parte do grupo ineficiente Pelo critrio mais cinco, no podemos eliminar nem A nem D. O mesmo acontece na comparao entre E e A onde o spread da diferena de somente 2 pontos.



A claramente menos prefervel que B; A prefervel a C j que EA(R) = 9 > 3 + 5 =EC(R) C faz parte do grupo ineficiente; Pelo critrio mais cinco, no podemos eliminar nem A nem D. O mesmo acontece na comparao entre E e A onde o spread da diferena de somente 2 pontos.



Continuando a comparao das opes duas a duas, chegamos a seguinte repartio: (a) o conjunto eficiente contm as opes A, B e E, enquanto que (b) o conjunto ineficiente formado pelas alternativas C e D (que aunica informao absolutamente certa, sem que sejam dadas informaes adicionais sobre as preferncias do investidor. Sem tais informaes, no se consegue estabelecer a prioridade entre A, B e E. Mais ainda, no existe razo para que todos os avessos ao risco escolham a mesma opo



Por exemplo, considere as seguintes formas, todas elas obedecendo aos requisitos de averso ao risco (todas so cncavas se assumirmos a > 0 e b < 0): U(R) = aR; U(R) = aR + bR2 ; U(R) = a log R Uma vez que a escolha entre as opes eficientes obedecero o critrio de maximizao da utilidade esperada entre as alternativas, possvel, e de fato mais provvel, que a opo que maximiza a utilidade esperada para um investidor com uma funo de utilidade



A escolha final de um investidor a partir de um grupo eficiente ser denominada INVESTIMENTO TIMO, que a opo que maximiza a utilidade esperada daquele indivduo. Resumindo, o processo de escolha entre alternativas de investimento com risco pode ser dividido em 2 passos: (1) Reduzir o nmero de alternativas de investimento estabelecendo um grupo eficiente, utilizando um critrio de eficincia apropriado para certa classe de investidores;



2. Primeiro Grau de Dominncia Estocstica (PDE): Um critrio geral (First Degree Stochastic Dominance FSD) O nvel de reduo que um critrio de eficincia pode causar no conjunto de alternativas possveis depender do montante de informao disponvel sobre a s preferncias do indivduo. Frequentemente, no entanto, possui pouqussima informao a respeito dos gostos do indivduo e, como resultado disso, deve-se construir nosso critrio de eficincia com base em presunes sobre as preferncias do investidor, mais do que



Nesse caso, possvel que apenas alguns poucos investidores iro preencher as assunes que foram feitas. Claramente, a validade geral e a aplicabilidade de um critrio dependero da adequacidade das assunes subjacentes feitas a respeito das preferncias do investidor. O critrio PDE equivale ao requisito de que 2 funes cumulativa de probabilidade no se interceptem, ou seja, a condio necessria e suficiente para que uma opo domine a outra.



Onde: Fi(R) Funo cumulativa de probabilidade da opo i Fa(R) Fb (R) a domina b, qualquer que seja R F(R) = Prob (R R0) probabilidade de R no



D figura acima podemos inferir que: As opes c e d tambm so preferveis a opo a; A opo c prefervel opo a; Sobre a comparao entre as opes d e c e a comparao entre as opes a e d nada se pode afirmar luz do critrio PDE.



Nota importante: a maneira mais intuitiva de interpretar o critrio PDE pode ser elucidada da seguinte forma: Se F domina G F(R) F(G). Isto significa dizer que a probabilidade de receber um retorno menor que a quantia certa k ser sempre menor para F do que para G, isto : ProbF

(R k) Prob

G

(R k)

Que pode ser reescrita da forma abaixo: 1 F(R) 1 F(G)



A relao entre o critrio PDE e os dois primeiros momentos de uma Distribuio Uma das mais importantes caractersticas das distribuies de probabilidades das opes de investimentos o retorno esperado, ou primeiro momento central da distribuio (quando nos referimos a lucratividade fazemos referncia ao retorno esperado).



Analisemos a relao entre o critrio PDE e o retorno esperado. Como j foi dito, F dominar G pelo critrio PDE se e somente se: F(R) G(R) A interpretao econmica desta relao simples: para a famlia de todas as funes de utilidade monotonicamente no-decrescentes, o preenchimento do critrio citado acima tambm implica que: EF U(R) EGU(R)



Portanto, se uma opo de investimento domina a outra pelo critrio PDE, a utilidade esperada de F no ser menor que a utilidade esperada de G para todos os investidores, independentemente de sua atitude em relao ao risco. A nfase aqui se d sobre todos investidores, ou seja, esta relao deve permanecer para todas as funes de utilidade no-decrescentes, no importando qual seja a forma de cada uma. A questo que surge quase que imediatamente a de que semelhante metodologia poderia ser



Considere o grfico abaixo:FCumulativa 1

1/2 C B A Retorno 3 6 9 10 18

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO PROGRAMA DE ENGENHARIA DE PRODUO - COPPE ANLISE DE INVESTIMENTOSFCumulativa 1


1/2 C B A Retorno 3 6 9 10 18

Pelo critrio PDE podemos deduzir da figura que: B domina A A prefervel a C O retorno esperado de C menor que os retornos esperados A e B, conforme o requisito do PDE



Com respeito a varincia, no entanto, nenhuma relao sistemtica pode ser encontrada: a varincia de A menor que a de C, enquanto que a de B maior que a de C. Assim, no se pode estabelecer um critrio de dominncia para o segundo momento central (varincia). Vide tabela na sequncia que resume estas observaes. A varincia um indicador de disperso, e, portanto, todos os demais fatores permanecendo constantes, o investidor avesso ao risco preferir



Uma vez que o critrio PDE foi estabelecido para descobrir a o conjunto eficiente, no importando se o investidor avesso ou propenso ao risco, a varincia no tem um papel fundamental na determinao da ordem de preferncias do decisor para o caso mais geral.Opo A Opo B Probabilidade Retorno Probabilidade Retorno 1 10 0,5 0,5 ERA =10 ERB=12 VARA =0 VARB=36 Opo C Probabilidade Retorno 6 0,5 18 0,5 ERC=6 VARC=9

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3. Segundo Grau de Dominncia Estocstica (SDE): um critrio para os Avessos ao Risco Duas coisas devem ser enfatizadas: O desenvolvimento de um critrio adicional no quer dizer que a regra PDE deve ser abandonada. Pelo contrrio, ela quase sempre uma primeira forma de eliminar vrios projetos de investimento (opes de investimento) que so ineficientes para todos os investidores;



As fortes assumpes que permeiam o critrio de averso ao risco, permitiro uma pr-seleo mais sensitiva das opes de investimento, de forma que espera-se o conjunto eficiente para os avessos ao risco seja menor, e em muitos casos sensivelmente menor, que o conjunto eficiente obtido usando o PDE.



Regra SDE: Uma condio necessria e suficiente para que uma opo F seja prefervel a uma opo G, para todos os avessos ao risco, que se mantenha, para todos os valores de R, a relao abaixo:

Ou de forma equivalente:

Com a inequalidade permanecendo vlida ao



Esta regra chamada de Segundo Grau de Dominncia Estocstica, pois a hiptese averso ao risco uma Assumpo de segunda ordem a respeito das preferncias do investidor, usando tanto a primeira quanto a segunda derivadas da funo utilidade (U0 pelo PDE).



Outra formulao do SDE: A opo F dominar a opo G para todos os avessos ao risco se e somente se a rea sob a funo cumulativa de probabilidade de F exceder a rea sob a funo de densidade de probabilidade de G, para todos os valores de R, ou colocando em outros termos equivalentes, se a rea da distribuio acumulada entre as duas distribuies F e G permanecer nonegativa, para quaisquer valores de R.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO PROGRAMA DE ENGENHARIA DE PRODUO - COPPE ANLISE DE INVESTIMENTOSG Funo Cumulativa+


F

_

+

R0

R1

Retorno

Algumas propriedades do critrio SDE Se F domina G, podemos dizer que: EFU(R) EGU(R) EF(R) EG(R)



4. Terceiro Grau de Dominncia Estocstica A regra do PDE derivada assumindo simplesmente a hiptese da funo de utilidade no-decrescente (U 0). Quando acrescentamos a assumpo que U 0 (averso ao risco), o critrio do SDE obtido. Se, tambm, acrescentarmos a Hiptese U 0 (a qual sempre verdadeira uma vez que aceitamos a noo de averso absoluta ao risco decrescente), obtemos uma regra de deciso mais consistente ainda denominada Terceiro Grau



A regra do PDE requer que F(R) G(R), para todo R. Com intuito de introduzir o critrio TDE de maneira simples definimos:

e de forma semelhante:



Pelo critrio do SDE, as equaes acima podem ser reescritas de forma simples usando uma nova notao:

F1(R) G1 (R), para todo R. De maneira semelhante, podemos definir o critrio TDE da seguinte forma: Regra do TDE: dadas duas opes distintas F e G, F prefervel a G luz do critrio TDE, para todos avessos ao risco com averso ao risco absoluta decrescente, se e somente F2(R) G2(R) para quaisquer valores de R (com a inequalidade

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