Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu ......Programa: Matemática Aplicada Orientador: Prof ª . Dr ª . Gleiciane da Silva Aragão Durante o desenvolvimento deste

Comportamento assintótico de

um problema parabólico

não linear com termos

concentrados na fronteira

Lucas Galhego Mendonça

Dissertação apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Mestre em Ciências

Programa: Matemática Aplicada

Orientador: Profª. Drª. Gleiciane da Silva Aragão

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio nanceiro da CAPES

São Paulo, março de 2018

Comportamento assintótico de

um problema parabólico

não linear com termos

concentrados na fronteira

Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridas

pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,

realizada em 01/03/2018. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

Profª. Drª. Gleiciane da Silva Aragão - IME - USP

Prof. Dr. Flank David Morais Bezerra - UFPB

Profª. Drª. Juliana Fernandes da Silva Pimentel - UFABC

Agradecimentos

Primeiramente, agradeço a todos que passaram na minha vida durante essa etapa, pois contri-

buiram de alguma forma no meu amadurecimento para concluir o mestrado.

Em particular, gostaria de agradecer à minha família que compreendeu minha ausência e me

auxiliou no percurso, em especial, à minha mãe, Vilma, por todas as suas contribuições a minha

vida pessoal e acadêmica, por todo carinho e exemplo; à minha namorada, Laiana, por todo carinho,

compreensão e companheirismo.

Agradeço à minha orientadora, professora Gleiciane, que me instigou e mostrou o caminho da

Matemática e, ao longo desses anos, sempre me apoiou com paciência e dedicação.

Também agradeço aos meus amigos, em especial, à Gabriela e Danilo, que fazem da distância

um detalhe.

Por m, agradeço a todos os professores, os funcionários, o IME-USP, a UNIFESP-Diadema e

a CAPES que me auxiliaram na caminhada.

i

ii

Resumo

Mendonça, L.G. Comportamento assintótico de um problema parabólico não linear com

termos concentrados na fronteira. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Esta-

tística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2017.

Neste trabalho estudamos o comportamento assintótico das soluções de um problema parabólico

não linear com condições de fronteira de Neumann homogêneas e com termos concentrados em uma

vizinhança da fronteira, que contrai-se a fronteira quando um parâmetro tende à zero. Sob certas

hipóteses de crescimento crítico das não linearidades, de sinal e dissipação, provamos que as solu-

ções existem, são únicas e convergem, num determinado espaço de Sobolev, para a única solução

de um problema parabólico não linear com condições de fronteira de Neumann não lineares. Pro-

vamos também a existência de atratores globais e que a família de atratores globais é semicontínua

superiormente. Finalmente, concluímos a semicontinuidade superior da família de equilíbrios.

Palavras-chave: problema parabólico não linear, termos concentrados, comportamento assintótico,

convergência das soluções, atratores, equilíbrios, semicontinuidade superior.

iii

iv

Abstract

Mendonça, L.G. Asymptotic behavior of a nonlinear parabolic problem with terms

concentrated in the boundary. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística,

Universidade de São Paulo, São Paulo, 2017.

In this work we study the asymptotic behavior of the solutions of a nonlinear parabolic problem

with homogeneous Neumann boundary conditions and with terms concentrating in a neighborhood

of the boundary, which shrinks to boundary as a parameter goes to zero. Under certain conditions of

critical growth of the nonlinearities, of sign and dissipativeness, we prove that the solutions exists,

are unique and converge, in a given Sobolev space, to the unique solution of a nonlinear parabolic

problem with nonlinear Neumann boundary conditions. We also prove the existence of global at-

tractors and that the family of global attractors is upper semicontinuous. Finally, we concluded the

upper semicontinuity of the family of equilibria.

Keywords: nonlinear parabolic problems, concentrated terms, asymptotic behavior, convergence

of solutions, attractors, equilibria, upper semicontinuity.

v

vi

Sumário

Lista de símbolos ix

1 Introdução 1

1.1 Contextualização histórica e motivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Notações e preliminares 7

2.1 Operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Espaços funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 O espaço das funções contínuas, C0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 O espaço das funções Hölder contínuas, C0,l (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.3 O espaço das funções de classe m-diferenciáveis, Cm (Ω) . . . . . . . . . . . . 9

2.2.4 O espaço das funções innitamente diferenciáveis, C∞ (Ω) . . . . . . . . . . . 9

2.2.5 O espaço das funções p-Lebesgue integráveis, Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.6 O espaço das distribuições, D′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.7 O espaço de Schwartz, S (Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.8 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.9 Espaços de Sobolev em Rn e Ω ⊂ Rn aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.10 Espaços Potencial de Bessel em Rn e Ω ⊂ Rn aberto . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.11 O operador traço em Hsp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Teoria de semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Escalas de interpolação e extrapolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Existência e unicidade de soluções de equações parabólicas . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Teoria de atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7 Integrais concentradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 Problemas elípticos com concentração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Existência, unicidade e limitação uniforme das soluções 31

3.1 Formulação abstrata dos problemas parabólicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Existência e unicidade de soluções locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Existência global e limitação uniforme de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

vii

viii SUMÁRIO

4 Semicontinuidade superior dos atratores e dos equilíbrios 55

4.1 Convergência das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Existência e semicontinuidade superior dos atratores globais . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3 Semicontinuidade superior dos equilíbrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.1 Formulação abstrata dos problemas elípticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3.2 Semicontinuidade superior dos equilíbrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Considerações nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A Outra abordagem para provar a condição de Lipschitz 69

Referências Bibliográcas 75

Lista de símbolos

X Fecho do conjunto X.

∂X Fronteira do conjunto X.

X ′ Dual topológico de X.

Br(x) Bola aberta centrada em x e raio r > 0.

Br(x) Bola fechada centrada em x e raio r > 0.

‖·‖X Norma associada ao espaço X.

〈·, ·〉X Produto interno associado ao espaço X.

〈·, ·〉 Dualidade induzida pelo espaço dual.

X → Y O espaço X está imerso continuamente no espaço Y .

sup Supremo.

inf Ínmo.

L(E,F ) Espaço dos operadores lineares de E em F .

L(E) Espaço dos operadores lineares de E em E.

C0(Ω) Espaço das funções contínuas em Ω.

C0,l(Ω) Espaço das funções Hölder-contínuas em Ω.

Cm(Ω) Espaço das funções m-diferenciáveis em Ω.

D(Ω) Espaço das funções innitamente diferenciáveis com suporte compacto em Ω.

D′(Ω) Espaço das distribuições em Ω.

Lp(Ω) Espaço das funções p-Lebesgue integráveis em Ω.

S(Rn) Espaço de Schwartz.

S ′(Rn) Espaço das distribuições temperadas.

W kp (Ω) Espaço de Sobolev em Ω, com k ∈ Z e 1 ≤ p <∞.

Hsp(Ω) Espaço Potencial de Bessel em Ω de ordem s ∈ R e 1 < p <∞.

ix

x LISTA DE SÍMBOLOS

Capítulo 1

Introdução

1.1 Contextualização histórica e motivações

As Equações Diferenciais é uma área da Matemática que surgiu junto com o Cálculo e suas apli-cações nas Ciências Naturais, principalmente, na Mecânica dos Corpos, enquanto, suas subáreas depesquisa, como a Teoria Geométrica de Equações Diferenciais, Sistemas Dinâmicos, Equações Dife-renciais Parciais e Funcionais (E.D.P. e E.D.F.) e outras, desenvolvem até hoje diferentes técnicase abordagens para estudar seus diversos problemas.

As Equações Diferenciais são amplamente utilizadas como ferramenta para a modelagem mate-mática de fenômenos em diversas áreas de estudo, como Engenharia, Química, Biologia, Economia,entre outras. Entender o comportamento das equações e suas soluções pode ajudar a compreendermelhor os modelos e, consequentemente, as situações modeladas.

Em geral, resolver um problema de Equações Diferenciais consiste em exibir uma solução ana-lítica, como por exemplo uma função, em termo das funções elementares, que resolve as condiçõesde fronteiras, as condições iniciais e a equação diferencial do problema. Contudo, nem sempre épossível exibir a fórmula fechada da solução, e por isso, uma outra abordagem é necessária: a teo-ria qualitativa das Equações Diferenciais. Como o próprio nome sugere, com a teoria qualitativa épossível fazer certas armações em relação às propriedades dessa solução, como o comportamentoassintótico, isto é, saber qual o comportamento da solução em tempos grandes. Assim, apesar denão ser possível exibir a solução do problema, ainda é possível responder algumas perguntas e inferirprevisões.

A teoria qualitativa obteve um grande avanço com os estudos de Henry Poincaré e outrosmatemáticos em meados do século XIX, aproximadamente em 1800, e no Século XX, a teoriadas Equações Funcionais e Sistemas Dinâmicos obtiveram grandes avanços, principalmente com ostrabalhos de Jack Hale.

Apesar de jovem, a teoria qualitativa das Equações Diferenciais Parciais está bem estruturadae subsidiada pelos resultados da Análise Funcional e Teoria de Operadores, das quais, dentro dasdiversas técnicas, utilizaremos a teoria de semigrupo (ver Carvalho (2012, 2001); Henry (1981)e Yosida (1980))para estudar o comportamento qualitativo das soluções de um tipo de EquaçãoDiferencial Parcial parabólica não linear com termos concentrados numa vizinhança da fronteira dodomínio e determinadas condições de contorno.

A teoria de Equações Diferenciais Parciais parabólicas vista do ponto da teoria de semigrupos,apesar de ser recente, possui diversos resultados quando olhamos para os problemas como umaequação de evolução em um espaço de dimensão innita, em especíco, de Banach, isto é, rees-crevemos de alguma forma o problema parabólico original com uma equação que faz sentido emalgum espaço de Banach, na qual, futuramente, denominaremos de formulação abstrata. Dentre osdiversos resultados, vale ressaltar novamente as principais bibliograas sobre este assunto usadasneste trabalho Amann (1995); Carvalho (2012, 2001); Czaja (2002); Hale (1988); Haroske e Triebel(2008); Henry (1981); Temam (1988); Triebel (1978) e Yagi (2010).

As E.D.P's parabólicas não lineares podem também possuir condições de fronteira de Neumann

1

2 INTRODUÇÃO 1.1

ou Robin não lineares e, neste caso, precisamos assegurar sob quais condições nas não linearidadesos problemas abstratos associados estão bem postos, isto é, existe uma única solução do problemaque depende continuamente do dado inicial. Em Carvalho et al. (1997), Arrieta e Carvalho (1999)e Arrieta et al. (2000) os autores assumem condições de crescimento nas não linearidades para oproblema estar bem posto no espaço de SobolevW 1

p (Ω), 1 < p <∞ e Ω ⊂ Rn, com n ≥ 1. Por outrolado, pode-se também garantir que o problema está bem posto em um espaço de potência fracionáriaque possui imersão contínua no espaço das funções contínuas, como abordado em Oliva e Pereira(2002).

Uma vez que os problemas parabólicos estão bem postos, outras questões que aparecem estãorelacionadas com a existência de atratores globais para esses problemas, bem como o comportamentoassintótico desses atratores. Para tanto, existe um amplo estudo em torno dessas questões, que podeser encontrado em Arrieta et al. (2000); Carvalho (2012); Carvalho et al. (1997) e Oliva e Pereira(2002).

Agora, uma questão mais recente, é a análise do comportamento assintótico de E.D.P's comtermos concentrados na fronteira. A técnica de concentração foi inicialmente estudada por José M.Arrieta, Aníbal Rodríguez-Bernal e Ángela Jímenez-Casas em Arrieta et al. (2008), onde os autoresanalisaram o limite das soluções de um problema elíptico, posto em um domínio Ω ⊂ Rn, n ≥ 2,quando alguns termos de reação e potencial estão concentrados em uma vizinhança ωε ⊂ Ω, ε > 0sucientemente pequeno, de uma partição Γ da fronteira e esta vizinhança contrai-se à Γ, quandoo parâmetro ε → 0. Foi provado que essas soluções convergem em certos espaços de Bessel e noespaço das funções contínuas para a solução de um problema elíptico, onde o termo de reação e opotencial concentrado são transformados em uma condição de uxo e um potencial em Γ.

As equações parabólicas não lineares com termos concentrados na fronteira foram estudadasem Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2009) e Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2011). Nessesartigos, os autores provaram que o problema limite de um problema parabólico não linear comtermos concentrados numa vizinhança da fronteira e com condições de fronteira de Neumann ho-mogêneas é dado por um problema parabólico não linear com condições de Robin (ou Neumann)não lineares, usando os resultados de Rodríguez-Bernal (2011), onde o caso linear foi estudado.Provaram também a existência e semicontinuidade superior da família de atratores e concluíram asemicontinuidade superior da família de equilíbrios. Em Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2011)e Rodríguez-Bernal (2011), é estudado o problema num espaço de Bessel Hs

p(Ω), com s ∈ R e1 < p < ∞, já em Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2009), os autores estão interessados no es-paço H1(Ω). Cabe ressaltar que em Arrieta et al. (2008), Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2009,2011) e Rodríguez-Bernal (2011) o domínio Ω é um conjunto aberto, limitado e suave em Rn, n ≥ 2,com uma fronteira C2 e ωε ⊂ Ω. Além disso, em Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2009, 2011) fo-ram assumidas condições de crescimento crítico nas não linearidades para garantir que os problemasestão bem postos.

A mesma técnica de Arrieta et al. (2008) foi utilizada em Aragao e Oliva (2011, 2012), ondeos resultados obtidos em Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2009, 2011) foram estendidos paraproblemas de reação-difusão com retardo e, além disso, a continuidade da família de equilíbrios foiprovada. Uma aplicação interessante desses problemas são os modelos de crescimento populacionalcomo, por exemplo, o modelo dado pela equação logística.

Em Aragao et al. (2012) alguns resultados de Arrieta et al. (2008) foram adaptados para pro-blemas elípticos não lineares, quando alguns termos estão concentrados em uma vizinhança ωε dafronteira e esta vizinhança apresenta um comportamento altamente oscilatório, e ainda, a fron-teira do domínio é somente Lipschitz-contínua, mais especicamente, o domínio é um quadradoaberto em R2. Depois, em Aragao et al. (2014) foi provado a continuidade dos atratores, no casoem que o domínio Ω ⊂ R2 é um conjunto aberto, limitado com fronteira C2, e ωε apresenta umcomportamento altamente oscilatório.

Em todos esses trabalhos citados com a técnica de concentração, o domínio Ω não está variando.Depois, em Aragao e Bruschi (2015), Aragao e Bruschi (2016) e Nogueira (2017), foram estudadasequações elípticas com termos concentrados na fronteira do domínio e este domínio por sua vez está

1.2 OBJETIVOS 3

variando.Recentemente, em Aragao e Bezerra (2017) foi estudado o comportamento assintótico dos atra-

tores pullback de uma equação da onda amortecida, não autônoma e não linear, com termos con-centrados. Foi provado um resultado de regularidade dos atratores pullback e sua semicontinuidadesuperior, neste caso Ω ⊂ R3 e ωε ⊂ Ω.

Apesar das diversas abordagens, os autores deixam claro a motivação do estudo desse tipo deequação: as aplicações, de forma que estudar Equações Diferenciais é de suma importância para asCiências Naturais. Anal, entender o comportamento ou encontrar a solução de um problema dessetipo é a mesma coisa que prever, sob determinadas situações, o comportamento de um fenômenonatural. Nesse caso, o problema limite do nosso problema concentrado é uma equação famosa co-nhecida como equação de reação-difusão, quando estamos trabalhando no âmbito da Química ouda dinâmica populacional, ou também, como a equação do calor, quando estamos trabalhando coma equação no âmbito da Física e termodinâmica. Além disso, os resultados de convergência envol-vendo problemas concentrados, podem ser vistos como uma ferramenta de transferir informaçõesdo domínio Ω para a fronteira ∂Ω.

Motivados pelos trabalhos citados, estamos interessados em estudar o comportamento assintó-tico de uma E.D.P parabólica não linear com condições de Neumann homogêneas e com termosconcentrados em uma vizinhança ωε ⊂ Ω da fronteira do domínio xo Ω ⊂ Rn, n ≥ 2, em H1(Ω) esob hipóteses de crescimento crítico das não linearidades. Dessa forma, nosso trabalho estará maisfocado em Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2009, 2011).

1.2 Objetivos

A seguir, apresentaremos o problema que estamos interessados em estudar e comentaremos osprincipais resultados a serem comprovados.

Considere Ω ⊂ Rn, n ≥ 2, um aberto limitado com fronteira ∂Ω de classe C2. Denimos a faixade largura ε e base ∂Ω, como

ωε = x− σ~n(x) : x ∈ ∂Ω e σ ∈ [0, ε),

para ε sucientemente pequeno, digamos 0 < ε ≤ ε0, onde ~n(x) é o vetor normal unitário exteriorem x ∈ ∂Ω. O conjunto ωε tem medida de Lebesgue |ωε| = O(ε) com |ωε| ≤ kε|∂Ω|, para algumk > 0 independente de ε. Além disso, para ε pequeno, ωε é uma vizinhança da fronteira ∂Ω no Ω,que contrai-se à ∂Ω quando o parâmetro ε→ 0. Ver Figura 1.1.

Figura 1.1: O conjunto ωε, imagem retirada de Arrieta et al. (2008).

Estudaremos o comportamento, para ε pequeno, das soluções do problema parabólico não linearcom condições de fronteira de Neumann homogêneas, dado por

4 INTRODUÇÃO 1.2

∂uε

∂t(t, x) + Lεuε(t, x) = f(x, uε(t, x)) +

1

εχωε(x)g(x, uε(t, x)), (t, x) ∈ (0,∞)× Ω

∂uε

∂~n(t, x) = 0, (t, x) ∈ (0,∞)× ∂Ω

uε(0, x) = u0(x), x ∈ Ω

(1.1)

onde χωε é a função característica do conjunto ωε e

Lεu = −∆u+ µu+1

εχωε(x)Vε(x)u, (1.2)

com u ∈ R, µ > 0 e 0 < ε ≤ ε0.Nos reremos aos termos

1

εχωε(x)g(x, uε(t, x)) e

1

εχωε(x)Vε(x)uε(t, x) como a reação e o poten-

cial concentrados na faixa ωε.Assumiremos a seguinte hipótese para o potencial:

(P) - Família de potenciais concentrados e convergentes.

Vamos assumir que existe K1 > 0 independente de ε tal que

1

ε

∫ωε

|Vε|ρdx ≤ K1,

para algum ρ > n− 1 e que existe uma função V0 ∈ Lρ(∂Ω) tal que

limε→0

1

ε

∫ωε

Vεφdx =

∫∂ΩV0φdS, ∀φ ∈ C∞(Ω).

Assumiremos também as seguintes hipóteses para as não linearidades:

(H1) - Condição de crescimento crítico.

Suponha que f, g : Ω × R → R são funções uniformemente contínuas, f(x, ·), g(x, ·) : R → Rsão localmente Lipschitzianas uniformemente em x ∈ Ω e x ∈ Ω, respectivamente, e satisfazem asseguintes condições de crescimento:i. Se n > 2, existe c > 0 tal que

|j(x, u)− j(x, v)| ≤ c|u− v|(|u|σj + |v|σj + 1),

onde j = f ou j = g com expoentes σf e σg, respectivamente, tais que

σf ≤4

n− 2e σg ≤

2

n− 2.

ii. Se n = 2, para qualquer η > 0 existe cη > 0 tal que

|j(x, u)− j(x, v)| ≤ cη|u− v|(eη|u|2

+ eη|v|2),

onde j = f ou j = g.

(H2) - Condição de sinal.

Suponha que existem funções C ∈ Lp(Ω), 0 ≤ D ∈ Lp(Ω), onde p > n2 , E ∈ L

q(Ω), 0 ≤ F ∈Lq(Ω), onde q > n− 1, tais que

sf(x, s) ≤ C(x)s2 +D(x)|s|, x ∈ Ω e s ∈ R,

sg(x, s) ≤ E(x)s2 + F (x)|s|, x ∈ Ω e s ∈ R.

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 5

Além disso, para ε ∈ (0, ε0], existem constantes K2,K3 > 0 independentes de ε tais que

1

ε

∫ωε

|E|r1dx ≤ K2, onde r1 > n− 1;

1

ε

∫ωε

|F |r2dx ≤ K3, onde r2 > max

1,

2(n− 1)

n

.

(H3) - Condição de dissipação.

Suponha que o primeiro autovalor, λ1, do problema a seguir é positivo, −∆φ(x)− C(x)φ(x) + µφ(x) = λ1φ(x), x ∈ Ω∂φ

∂~n(x) + V0(x)φ(x) = E(x)φ(x), x ∈ ∂Ω

(1.3)

onde C e E são como em (H2).

Usando essas hipóteses, provaremos que o problema limite do problema concentrado (1.1) édado pelo seguinte problema parabólico com condições de fronteira de Neumann não lineares

∂u0

∂t(t, x) + L0u0(t, x) = f(x, u0(t, x)), (t, x) ∈ (0,∞)× Ω

∂u0

∂~n(t, x) + V0(x)u0(t, x) = g(x, u0(t, x)), (t, x) ∈ (0,∞)× ∂Ω

u0(0, x) = u0(x), x ∈ Ω

(1.4)

ondeL0u = −∆u+ µu, (1.5)

com u ∈ R e µ > 0.Usando a hipótese (H1) mostraremos a existência local e unicidade de soluções uε de (1.1), 0 <

ε ≤ ε0, e u0 de (1.4) emH1(Ω) com a condição inicial u0 ∈ H1(Ω), bem como a dependência contínuadas soluções em relação aos dados iniciais. Depois, assumindo também a hipótese (H2) mostraremosque as soluções são globalmente denidas. Assumindo também a hipótese (H3) teremos uma famíliade atratores Aε em H1(Ω), 0 ≤ ε ≤ ε0, para (1.1) e (1.4), e provaremos a semicontinuidade superiordesta família em ε = 0. Por m, concluiremos que a família de equilíbrios Eε em H1(Ω), 0 ≤ ε ≤ ε0,dos problemas (1.1) e (1.4) é também semicontínua superiormente em ε = 0.

1.3 Organização do trabalho

O trabalho está organizado da seguinte forma:

No Capítulo 2:

a) Nas Seções 2.1, 2.2 e 2.3, estaremos interessados em discutir os fundamentos da Aná-lise Funcional (ver Brezis (2010); Yosida (1980)) e teoria de semigrupos (ver Brezis (2010);Carvalho (2012, 2001); Henry (1981); Yosida (1980)). Além disso, na Seção 2.4 vamos ten-tar introduzir alguns elementos e resultados da teoria de interpolação aplicados a teoria desemigrupo e operadores lineares (ver Amann (1995); Triebel (1978));

b) Na Seção 2.5, vamos introduzir resultados de existência local e unicidade de soluções deequações parabólicas, bem como resultados que garantem que essa solução é globalmentedenida (ver Carvalho et al. (1997); Czaja (2002); Henry (1981); Yagi (2010));

c) Na Seção 2.6, vamos discutir a teoria de sistemas dinâmicos, em especíco, a teoria deatratores (ver Carvalho (2012); Hale (1988); Henry (1981); Oliva e Pereira (2002); Temam(1988));

6 INTRODUÇÃO 1.3

d) Nas Seções 2.7 e 2.8 discutiremos a noção de termos concentrados e seus principais resul-tados (ver Arrieta et al. (2008)) e aplicações à problemas elípticos.

No Capítulo 3, estaremos interessados em aplicar a teoria do Capítulo 2 nos problemas (1.1)e (1.4):

a) Primeiro, na Seção 3.1, obtemos a formulação abstrata dos problemas (1.1) e (1.4);

b) Nas Seções 3.2 e 3.3, mostraremos que os problemas (1.1) e (1.4) estão bem postos assu-mindo a condição de crescimento (H1) e, utilizando (H2), mostraremos que as soluções de (1.1)e (1.4) estão globalmente denidas e, também assumindo (H3), as soluções são uniformementelimitadas em H1(Ω) e L∞(Ω) para todo t ≥ 0.

No Capítulo 4, estaremos interessados em estudar o comportamento assintótico de (1.1) e(1.4):

a) Primeiro, na Seção 4.1, mostraremos a convergência das não linearidades e do semigruponão linear associado às soluções de (1.1) e (1.4);

b) Já na Seção 4.2, estudaremos a família de atratores de (1.1) e (1.4) e a semicontinuidadesuperior dessa família;

c) Já na Seção 4.3, vamos estudar os equilíbrios de (1.1) e (1.4). Apresentaremos a formulaçãoabstrata dos problemas elípticos associados às soluções de equilíbrios de (1.1) e (1.4), bemcomo mostraremos que a família de equilíbrios de (1.1) e (1.4) é semicontínua superiormente;

d) Na última Seção 4.4, vamos fazer um resumo dos resultados obtidos e as perspectivas parafuturos trabalhos.

No Apêndice A, vamos discutir outra abordagem para provar a condição de Lipschitz.

Capítulo 2

Notações e preliminares

Ao estudar um problema de Equações Diferenciais procura-se estabelecer algumas conclusõesquanto a existência, unicidade, regularidade e propriedades dinâmicas das soluções. Assim, surge,naturalmente, a necessidade de introduzir alguns espaços no qual faz sentido buscar soluções.

Classicamente, tenta-se exibir soluções com classes de diferenciabilidade pelo menos igual aordem de diferenciabilidade do problema e que satisfazem todas as hipóteses exigidas (de contornoe/ou de valor inicial), essa é a noção de uma solução clássica.

Como exemplo, temos o problema de Laplace com condição de contorno de Dirichlet:∆u(x) = 0, x ∈ B1 (0)u(x) = g(x), x ∈ ∂B1 (0)

onde g : Rn → R é uma função contínua na bola unitária fechada B1 (0) ⊂ Rn.Nesse caso, é possível exibir uma solução clássica para esse problema usando o núcleo de Poisson

para a bola unitária e, com alguma formulação do príncipio do máximo, é possível obter a unicidadenuma determinada classe de soluções.

Contudo, nem sempre é possível encontrar uma solução no sentido clássico em problemas elíp-ticos, parabólicos ou hiperbólicos, então utiliza-se a Análise Funcional e a teoria de semigrupospara olhar o problema como uma equação de evolução em um espaço de Banach (isto é, espaçonormado completo). Para tanto, o problema é reformulado de uma forma abstrata e a escolha dealguns espaços funcionais adequados auxilia a obter soluções num sentido mais fraco e resolver oproblema.

Uma vez que o problema abstrato está bem posto, isto é, as soluções existem, são únicas edependem continuamente do dado inicial, busca-se estudar as propriedades qualitativas do problemacomo, por exemplo, a existência de equilíbrios e atratores, bem como o comportamento assintóticodos atratores.

Este trabalho tem como objetivo investigar as questões discutidas acima. Dessa forma, estecapítulo será destinado a introduzir, de uma forma resumida, alguns resultados preliminares enotações que usaremos ao longo deste trabalho. Mais detalhes e demonstrações dos resultados queserão expostos aqui podem ser encontrados nas bibliograas citadas.

2.1 Operadores lineares

As denições e resultados a seguir são discutidas por Brezis (2010) e Yosida (1980).Como vamos trabalhar com a teoria de operadores, veremos algumas denições e notações.

Sejam E um espaço de Banach com norma ‖·‖E , A : D(A) ⊂ E → E um operador linear, isto é,

A(u+ v) = A(u) +A(v), ∀u, v ∈ D(A),

A(λu) = λA(u), ∀u ∈ D(A) e ∀λ ∈ K,

7

8 NOTAÇÕES E PRELIMINARES 2.2

onde K = R ou K = C, e denota-se por D(A), o domínio de A, G(A), o gráco de A, R(A), aimagem de A e, N(A), o núcleo de A. Dizemos que:

1. A é limitado (ou contínuo) se ∃c > 0 tal que ‖A(u)‖E ≤ c ‖u‖E , ∀u ∈ D(A), caso contrário,A é ilimitado;

2. A é fechado se G(A) ⊂ E × E é um subconjunto fechado;

3. A é densamente denido se D(A) é denso em E;

4. A é compacto se A(K) possui fecho, A(K), compacto em E, para todo subconjuntoK ⊂ D(A)limitado.

Em espaços de dimensão nita, a noção de autovalor e autovetor de uma transformação A estáassociada aos valores λ ∈ K tais que A(u) = λu, onde u 6= 0 e u ∈ D(A). Para discutir a ideia deautovalores em dimensão innita será introduzido o conjunto resolvente e o conjunto espectral.

Considere A : D(A) ⊂ E → E, um operador linear, onde E é um espaço de Banach, I o operadoridentidade, λ ∈ K e o operador

Aλ = A− λI.

Sob as condições acima, o conjunto de todos os valores λ ∈ K tais que R(Aλ) é denso em E eAλ possui uma inversa (A−λI)−1 contínua, é denido como o conjunto resolvente de A e denotadopor ρ(A).

O espectro de A é o complemento do resolvente, isto é,

σ(A) = C \ ρ(A).

O conjunto espectral σ(A) pode ser decomposto em subconjuntos disjuntos

1. Pσ(A), o espectro pontual. É o conjunto de λ ∈ K tais que Aλ não é inversível;

2. Cσ(A), o espectro contínuo. É o conjunto de λ ∈ K tais que Aλ possui inversa descontínua eR(Tλ) é denso em E;

3. Rσ(A), o espectro residual. É o conjunto de λ ∈ K tais que Aλ possui inversa e R(Aλ) não édenso em E.

Neste trabalho, vamos denotar por L(E,F ) o espaço dos operadores lineares e contínuos de Eem F , onde E e F são espaços de Banach. O espaço L(E,F ) é um espaço de Banach com a normausual

‖A‖L(E,F ) = supu ∈ E‖u‖E = 1

‖A(u)‖F .

Se E = F escreveremos L(E) para denotar L(E,E). Seja E′ o dual topológico de E, isto é,E′ = L(E,K), onde K = R ou K = C, com a topologia dada pela norma acima. Denotaremos ovalor de φ ∈ E′ em u ∈ E por 〈φ, u〉 .

2.2 Espaços funcionais

As denições e resultados a seguir são discutidas por Haroske e Triebel (2008), Adams (1975),Brezis (2010), Triebel (1978) e Yagi (2010).

Considere Ω ⊂ Rn um aberto ou Ω = Rn e quando necessário faremos a distinção. Algunsresultados enunciados aqui podem ser obtidos para domínios Ω ⊂ Rn com fronteira menos regulares,como por exemplo, Lipschitz. Como vamos trabalhar com fronteira suave, não abordaremos essaquestão aqui. Para mais detalhes ver, por exemplo, Yagi (2010).

2.2 ESPAÇOS FUNCIONAIS 9

2.2.1 O espaço das funções contínuas, C0 (Ω)

Esse espaço é formado por todas as funções u : Ω→ R que são contínuas. Escolhendo a normado supremo, isto é,

‖u‖C0(Ω) = supx∈Ω|u(x)|,

segue que C0 (Ω) é um espaço de Banach.

2.2.2 O espaço das funções Hölder contínuas, C0,l (Ω)

O espaço das funções Hölder contínuas C0,l(Ω), 0 < l ≤ 1, é constituído de todas as funções quesatisfazem

|u(x)− u(y)| ≤ K|x− y|l, ∀x, y ∈ Ω,

para algum K > 0. Se l = 1 dizemos que a função é Lipschitziana. Escolhendo a norma

‖u‖C0,l(Ω) = supx, y ∈ Ωx 6= y

|u(x)|+ supx, y ∈ Ωx 6= y

|u(x)− u(y)||x− y|l

,

segue que C0,l (Ω) é um espaço de Banach.

2.2.3 O espaço das funções de classe m-diferenciáveis, Cm (Ω)

Seja m ∈ N e considere o multi-índice α = (α1, ..., αn), isto é, uma n-upla de inteiros nãonegativos. Denimos:

|α| = α1 + ...+ αn;

α! = (α1!).(α2!)....(αn!);

xα = xα11 xα2

2 ...xαnn , onde x = (x1, ..., xn) ∈ Rn;

Dα = ∂α11 ...∂αnn , onde ∂αii =

∂αi

∂xiαi, ∀i = 1, .., n.

O espaço das funções de classe m-diferenciáveis consiste de todas as funções u : Ω→ R que sãom-diferenciáveis e as m-derivadas são contínuas. Tomando a norma

‖u‖Cm(Ω) =m∑|α|=0

supx∈Ω|Dαu(x)|,

segue que Cm (Ω) é um espaço de Banach.

2.2.4 O espaço das funções innitamente diferenciáveis, C∞ (Ω)

Quando u é innitamente diferenciável dizemos que u é uma função suave. Vamos denir for-malmente como

C∞ (Ω) =∞⋂m=0

Cm(Ω).

Sejam u uma função suave e supp(u) o suporte de u, isto é, supp(u) = x ∈ Ω : u(x) 6= 0.Vamos denotar por D (Ω), o espaço das funções suaves com suporte compacto em Ω, isto é, supp(u)é um subconjunto compacto de Ω. Vamos chamar D (Ω) por espaço das funções teste.


2.2.5 O espaço das funções p-Lebesgue integráveis, Lp (Ω)

Além desses espaços relacionados a diferenciabilidade, também dene-se, sobre as classes deequivalências das funções Lebesgue mensuráveis, o espaço de Lebesgue das funções p-integráveis.Considere o corpo K = R ou K = C.

Caso 1 ≤ p <∞:

Lp(Ω) =

u : Ω→ K Lebesgue mensurável :

∫Ω|u(x)|pdx <∞

.

Escolhendo a norma

‖u‖Lp(Ω) =

(∫Ω|u(x)|pdx

) 1p

,

segue que Lp(Ω) é um espaço de Banach.Caso p =∞, obtemos o espaço das funções Lebesgue mensuráveis essencialmente limitadas,

L∞(Ω) =

u : Ω→ K Lebesgue mensurável : sup

x∈Ω|u(x)| <∞

.

Escolhendo a norma do supremo‖u‖L∞(Ω) = sup

x∈Ω|u(x)|,

segue que L∞(Ω) também é um espaço de Banach.Em particular, o espaço L2(Ω) é um espaço de Hilbert, isto é, é possível munir o espaço com

uma aplicação 〈, 〉L2(Ω) : L2(Ω)× L2(Ω)→ K chamada de produto interno que é dada por

< u, v >L2(Ω)=

∫Ωu(x)v(x)dx, u, v ∈ L2(Ω).

Também vamos denir Lploc(Ω) como o espaço das funções Lebesgue mensuráveis que são local-mente p-integráveis em Ω, isto é, em subconjuntos K ⊂ Ω obtemos que∫

K|u(x)|pdx <∞.

Teorema 2.2.1 (Desigualdade de Hölder) Se u ∈ Lp(Ω) e v ∈ Lq(Ω), onde 1 < p, q,< ∞ e1

p+

1

q= 1, ou p = 1 e q =∞, então uv ∈ L1(Ω) e

‖uv‖L1(Ω) ≤ ‖u‖Lp(Ω) ‖v‖Lq(Ω) .

Se p = q = 2 então a desigualdade acima é chamada de desigualdade de Cauchy-Schwartz.

Teorema 2.2.2 (Desigualdade de Minkowski) Se u, v ∈ Lp(Ω), onde 1 ≤ p, q,≤ ∞, entãou+ v ∈ Lp(Ω) e

‖u+ v‖Lp(Ω) ≤ ‖u‖Lp(Ω) + ‖v‖Lp(Ω) .

2.2.6 O espaço das distribuições, D′(Ω)

Considere o corpo K = R ou K = C, D (Ω) e seu dual D′ (Ω), o espaço de todos os funcionaislineares e contínuos

T : D (Ω)→ K,

isto é, T ∈ D′ (Ω), é chamado de espaço das distribuições.A distribuição T é dita regular se existe f ∈ L1

loc(Ω) tal que T = Tf , onde

Tfφ =

∫Ωf(x)φ(x)dx, φ ∈ D (Ω) ,


caso contrário, T é dita singular.Por m, dado α, um multi-índice, dene-se a derivada de T ∈ D′(Ω) no sentido das distribuições

por(DαT )φ = (−1)|α|T (Dαφ), φ ∈ D(Ω).

2.2.7 O espaço de Schwartz, S (Rn)

O espaço de Schwartz, S (Rn), contém todas as funções u ∈ C∞ (Rn) que decaem mais rapida-mente no innito do que qualquer polinômio. O espaço S (Rn) é de Banach com a norma

‖u‖k,l = supx∈Rn

(1 + |x|2)k2

∑|α|≤l

|Dαu(x)|

, ∀k, l ∈ N.

As distribuições assumem um papel importante no espaço de Schwartz, pois seu dual topológico,denotado por S ′ (Rn), é chamado de espaço das distribuições temperadas.

O espaço de Schwartz possui algumas propriedades importantes relacionadas a transformada deFourier, que veremos a seguir.

2.2.8 Transformada de Fourier

Considere u ∈ S (Rn) e ξ ∈ Rn, a transformada de Fourier e a transformada inversa de u sãodenidas, respectivamente, por

(Fu)(ξ) = u(ξ) = (2π)−n2

∫Rne−ix·ξu(x)dx,

(F−1u)(ξ) = u(ξ) = (2π)−n2

∫Rneix·ξu(x)dx,

onde x · ξ = x1ξ1 + ...+ xnξn, isto é, o produto interno usual do espaço euclidiano.Se T ∈ S ′(Rn), podemos denir a transformada de Fourier como

FT (u) = T (F(u)), u ∈ S(Rn).

De forma análoga para a transformada inversa.

Teorema 2.2.3 (Haroske e Triebel (2008), Teorema 2.42.) Seja u ∈ S (Rn), então

u(x) = (FF−1u)(x) = (F−1Fu)(x), ∀x ∈ Rn.

Além disso, a transformada de Fourier é um automorsmo de S (Rn).

Teorema 2.2.4 (Haroske e Triebel (2008), Teorema 2.60) Seja T ∈ S ′ (Rn), então

T = FF−1T = F−1FT.

Além disso, a transformada de Fourier é um automorsmo de S ′ (Rn).

Dependendo da diculdade do problema é necessário introduzir outros espaços com menos regu-laridade, e esses serão utilizados para nosso problema: os espaços de Sobolev e os espaços Potenciaisde Bessel.

2.2.9 Espaços de Sobolev em Rn e Ω ⊂ Rn aberto

Nas denições dadas a seguir Ω ⊂ Rn é um aberto ou Ω = Rn, quando necessário faremos adistinção.


Denição 2.2.5 (Espaço de Sobolev Clássico) Seja k ∈ N, α um multi-índice e 1 ≤ p < ∞,denimos

W kp (Ω) = u ∈ Lp(Ω) : Dαu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ k

como o espaço clássico de Sobolev.

Teorema 2.2.6 (Adams (1975), Teorema 3.2) Sob a denição acima, o espaço W kp (Ω) com a

norma

‖u‖Wkp (Ω) =

∑|α|≤k

‖Dαu‖Lp(Ω)

1p

é um espaço de Banach.

Se p = 2, W k2 (Ω) é um espaço de Hilbert, munido do produto interno

〈u, v〉Wk2 (Ω) =

∑|α|≤k

〈Dαu,Dαv〉L2(Ω), u, v ∈W k2 (Ω).

Vamos estender o espaço de Sobolev clássico para s ∈ R+.

Denição 2.2.7 (Extensão do espaço de Sobolev Clássico) Seja s = k + σ, onde k ∈ N,σ ∈ (0, 1) e 1 ≤ p <∞. Então, dene-se

W sp (Ω) =

u ∈ D′(Ω) : u ∈W k

p (Ω) e

∫ ∫Ω×Ω

|Dαu(x)−Dαu(y)|p

|x− y|n+pσdxdy <∞ para |α| = k

.

Denimos a norma em W sp (Ω) que o torna Banach, como:

‖u‖W sp (Ω) =

‖u‖pWkp (Ω) +

∑|α|=k

∫ ∫Ω×Ω

|Dαu(x)−Dαu(y)|p

|x− y|n+pσdxdy

1p

.

Deniremos para s ∈ R−, nesta situação, vamos dividir em casos, pois há diferença entre Rn

e Ω ⊂ Rn aberto. Para os resultados a seguir, considere1

p+

1

q= 1, com 1 < p, q < ∞, também

vamos denotar o espaço dual (Lp(Ω))′ = Lq(Ω) (Ver Adams (1975), Lema 3.7).Para Rn segue do espaço dual, isto é,

Denição 2.2.8 Para s < 0 denotamos por W sp (Rn) o espaço dual de W−sq (Rn).

Já para o W sp (Ω), Ω ⊂ Rn aberto, primeiro denimos

Denição 2.2.9 Para s > 0 denotamos por W sp (Ω) o fecho de D(Ω) em W s

p (Ω).

Por m,

Denição 2.2.10 Para s < 0 denotamos por W sp (Ω) o espaço dual de W−sq (Ω).

Uma caracterização mais detalhada dos espaços de Sobolev com potências negativas pode servistas em Yagi (2010) e Adams (1975).


2.2.10 Espaços Potencial de Bessel em Rn e Ω ⊂ Rn aberto

Para denir o espaço de Bessel, considere ws = (1 + |x|2)s2 , onde x ∈ Rn e s ∈ R, e dena sobre

o espaço das distribuições temperadas a aplicação:

Jsu = F−1(wsFu), u ∈ S ′(Rn),

onde Js é chamado de potencial de Bessel de u de ordem s.Se s > 0 e 1 ≤ p ≤ ∞ ou, se s ≥ 0 e 1 < p < ∞, o potencial de Bessel, Js, transforma

continuamente Lp(Ω) em Lp(Ω), e o mesmo acontece para DαJs+|α|, onde α é um multi-índice (verAdams (1975), pág 220-221).

Denição 2.2.11 (Potencial de Bessel em Rn) Sejam s ∈ R e 1 < p <∞. Denimos

Hsp(Rn) =

u ∈ S ′(Rn) : Jsu ∈ Lp(Rn)

como o espaço Potencial de Bessel.

Assim como todos os espaços citados anteriormente, o Potencial de Bessel é um espaço de Banachmunido da norma

‖u‖Hsp(Rn) = ‖Jsu‖Lp(Rn).

No caso p = 2 usaremos a notação Hs(Rn) ao invés de Hs2(Rn). Neste caso, os espaços são Hilbert.

O resultado a seguir relaciona os espaços de Bessel e Sobolev, os expoentes dos espaços de Besselcom seu dual e as respectivas imersões.

Teorema 2.2.12 (Adams (1975), Teorema 7.63) Valem os seguintes resultados:

1. Se s ∈ R e 1 < p <∞, então D(Rn) é denso em Hsp(Rn);

2. Se s ∈ R, 1 < p <∞ e1

p+

1

q= 1, então (Hs

p(Rn))′ = H−sq (Rn);

3. Se t < s e 1 < p <∞, então Hsp(Rn) → Ht

p(Rn);

4. Se t ≤ s e também 1 < p ≤ q ≤ np

n− (s− t)p< ∞ ou p = 1 e 1 ≤ q <

n

n− s+ t, então

Hsp(Rn) → Ht

q(Rn);

5. Hsp(Rn) = W s

p (Rn) se, e somente se, s ∈ R e p = 2 ou, s ∈ Z e 1 < p <∞;

6. Se 0 ≤ l ≤ s− n

p< 1, então Hs

p(Rn) → C0,l(Rn);

7. Dado 1 < p <∞ e δ > 0, então para todo s ∈ R, Hs+δp (Rn) →W s

p (Rn) → Hs−δp (Rn).

Agora, iremos denir os espaços de Bessel para um Ω ⊂ Rn arbitrário por restrição. Depois,deniremos por interpolação.

Considere o operador restrição em relação à Ω, rΩ ∈ L(S ′(Rn),D′(Ω)), dado por

rΩ : S ′(Rn)→ D′(Ω)

v 7→ rΩv

tal que〈rΩv, φ〉 = 〈v, φ〉, v ∈ S ′(Rn) e φ ∈ D(Ω).

Denição 2.2.13 (Potencial de Bessel em domínios) Sejam Ω ⊂ Rn, 1 < p < ∞ e s ∈ R.Então, dene-se o espaço Potencial de Bessel como

Hsp(Ω) = rΩH

sp(Rn).


O Potencial de Bessel, Hsp(Ω), munido da norma

‖u‖Hsp(Ω) = inf

v ∈ Hsp(Rn)

u = rΩv

‖v‖Hsp(Rn)

é um espaço de Banach para todo s ∈ R. Caso p = 2, Hs2(Ω) também é um espaço de Hilbert e será

denotado por Hs(Ω).Uma forma equivalente de denir o espaço Hs

p(Ω) (ver Adams (1975)) é utilizando a teoriade interpolação (ver Triebel (1978), pág.56, ver também Yagi (2010)). Considere que E0 e E1 sãoespaços de Banach satisfazendo E1 → E0 densamente, com essas condições (E0, E1) é chamado depar de interpolação. Também denimos a faixa no plano complexo

S = z ∈ C : 0 < Re(z) < 1 .

Vamos denotar por H(E0, E1) o espaço das funções analíticas com as seguintes propriedades:

1. Se F ∈ H(E0, E1) então F (z) é analítica para z ∈ S com valores em E0 e é contínua e limitadapara z = 1 + iy com valores em E1.

2. Denindo a norma

‖F‖H(E0,E1) = maxj=0,1

supy∈R

‖F (j + iy)‖Ej

, F ∈ H(E0, E1)

segue que H(E0, E1) é um espaço de Banach.

Dado (E0, E1) um par de interpolação, para cada θ ∈ [0, 1] denimos o espaço

Eθ = [E0, E1]θ = U ∈ E0 : ∃F ∈ H(E0, E1) tal que U = F (θ) .

A norma a seguir torna Eθ um espaço de Banach

‖U‖Eθ = infF ∈ H(E0, E1)U = F (θ)

‖F‖H(E0,E1), U ∈ E.

Segue algumas propriedades:

Teorema 2.2.14 (Propriedades de interpolação, Triebel (1978), pág 58-59) Sob as nota-ções acima, são válidas:

1. [E0, E1]0 = E0 e [E0, E1]1 = E1 isometricamente;

2. Se 0 < θ < 1, E1 → Eθ → E0 densamente;

3. Se 0 < θ < 1. ‖U‖Eθ ≤ ‖U‖1−θE0‖U‖θE1

, ∀U ∈ E1;

4. Sejam (Y0, Y1) um par de interpolação e B ∈ L(Ej , Yj), j = 0, 1, então B ∈ L(Eθ, Yθ). Eainda, se ‖Bx‖Y0 ≤ c0 ‖x‖E0

e ‖Bx‖Y1 ≤ c1 ‖x‖E1, então ‖Bx‖Yθ ≤ cθ ‖x‖Eθ , onde cθ =

c1−θ0 cθ1.

Como mencionado, vamos denir o espaço de Bessel por interpolação

Teorema 2.2.15 (Triebel (1978), Teorema 1, pág. 317) Sejam Ω ⊂ Rn um domínio limitadosuave, 1 < p <∞ e 0 ≤ s0 ≤ s1 <∞. Então,

Hsp(Ω) = [Hs0

p (Ω), Hs1p (Ω)]θ,

onde 0 ≤ θ ≤ 1 e s = s0(1− θ) + θs1.

2.3 TEORIA DE SEMIGRUPOS 15

Por m, assim como foi feito para Rn, seguem os resultados de imersões e equivalências dosespaços, relacionando os respectivos expoentes:

Teorema 2.2.16 (Triebel (1978), pág.310) Sejam Ω ⊂ Rn um domínio arbitrário, s ∈ R e1 < p <∞. Então:

Hsp(Ω) = W s

p (Ω)

se, e somente se, s ∈ Z.

Teorema 2.2.17 (Triebel (1978), pág 330-332) Sejam Ω ⊂ Rn um domínio limitado suave e1 < p <∞. Então:

1. Se s ∈ (−∞, 1

p

], então D(Ω) é denso em Hs

p(Ω).

2. Se1

p− 1 < s <

1

pe

1

p+

1

q= 1, então (Hs

p(Ω))′ = H−sq (Ω).

Teorema 2.2.18 (Triebel (1978), pág 328) Sejam Ω ⊂ Rn um domínio arbitário, 1 < p, q <∞. Então:

Se l ≥ 0 e s > l + np , então H

sp(Ω) → C l(Ω).

Se além disso, Ω ⊂ Rn é limitado, temos

Se s− np ≥ t−

nq e s ≥ t, então Hs

p(Ω) → Htq(Ω);

Se s > t, p ≥ q e s > 1p , então H

sp(Ω) → Ht

q(Ω) é compacta.

2.2.11 O operador traço em Hsp(Ω)

Seja u : Ω→ K, K = R ou K = C, denotaremos o operador traço γ(u) = u|∂Ω, isto é, a restriçãode u em x ∈ ∂Ω. Em particular, vamos estudar o operador traço denido em

γ : Hsp(Ω)→ Lr(∂Ω).

Lema 2.2.19 (Triebel (1978), pág. 330) Seja Ω ⊂ Rn limitado e suave. Se 1 < p < ∞, s >1

p

e s− n

p≥ −(n− 1)

r, então o operador traço

γ : Hsp(Ω)→ Lr(∂Ω)

está bem denido e é um operador linear contínuo e sobrejetor.

2.3 Teoria de semigrupos

Quando tenta-se estabelecer propriedades das soluções de problemas parabólicos, em geral,é necessário fazer um estudo das propriedades espectrais dos operadores lineares associados aosproblemas parabólicos. Além disso, é necessário a teoria de semigrupos. Os resultados desta seçãopodem ser encontrados em Brezis (2010); Carvalho (2001); Henry (1981) e Yosida (1980).

Segundo o autor Carvalho (2001), um semigrupo é um caso particular de um sistema dinâmicoque consiste numa família de operadores lineares T (t) : t ≥ 0 denidos num espaço de Banach E,de dimensão innita ou nita, que satisfazem algumas propriedades. Em toda esta seção, E denotaum espaço de Banach e I denota o operador identidade em E.

Denição 2.3.1 (Semigrupos) Um semigrupo de operadores lineares em E é uma famíliaT (t) : t ≥ 0 ⊂ L(E) tal que


1. T (0) = I , onde I é a identidade em E;

2. T (t+ s) = T (t)T (s) para todo t, s ≥ 0;

Adicionalmente, se

‖T (t)− I‖L(E) → 0, quando t→ 0+, o semigrupo é dito uniformemente contínuo;

‖T (t)x− x‖E → 0, quando t→ 0+, ∀x ∈ E, o semigrupo é dito fortemente contínuo.

Todo semigrupo fortemente contínuo possui uma limitação exponencial, que é dada a seguir.

Teorema 2.3.2 (Carvalho (2001), Teorema 1.1.1.) Seja T (t) : t ≥ 0 ⊂ L(E) um semigrupofortemente contínuo. Então, existem constantes β ∈ R e M ≥ 1 tais que

‖T (t)‖L(E) ≤Meβt, ∀t ≥ 0.

Para qualquer l > 0 é possível escolher β ≥ 1

llog ‖T (l)‖L(E) e então escolher M .

Denição 2.3.3 (Gerador innitesimal) Se T (t) : t ≥ 0 ⊂ L(E) é um semigrupo fortementecontínuo de operadores lineares, seu gerador innitesimal é um operador denido por A : D(A) ⊂E → E, onde

D(A) =

x ∈ E : lim

t→0+

T (t)x− xt

existe

e Ax = lim

t→0+

T (t)x− xt

.

O teorema a seguir estabelece alguns resultados importantes de semigrupos fortemente contí-nuos.

Teorema 2.3.4 (Carvalho (2001), Teoremas 1.1.2. e 1.1.3.) Sejam T (t) : t ≥ 0 ⊂ L(E) umsemigrupo fortemente contínuo e A o seu gerador innitesimal. Então seguem as armativas:

1. Para qualquer x ∈ E, t 7→ T (t)x é contínuo para t ≥ 0;

2. A aplicação t 7→ ‖T (t)‖L(E) é semicontínua inferiormente e, portanto, mensurável;

3. O operador A é densamente denido e fechado. E ainda, para todo x ∈ D(A), a aplicaçãot 7→ T (t)x é continuamente diferenciável e

d

dtT (t)x = AT (t)x = T (t)Ax, t > 0;

4.⋂m≥1

D(Am) é denso em E;

5. Seja β dado pela limitação exponencial no Teorema 2.3.2. Seja λ ∈ C tal que Re(λ) > β,então λ ∈ ρ(A) e

(λI −A)−1x =

∫ ∞0

e−λtT (t)xdt, ∀x ∈ E;

6. Sejam S(t) : t ≥ 0 ⊂ L(E) um semigrupo fortemente contínuo e B o seu gerador innitesi-mal. Se A = B então T (t) = S(t), ∀t ≥ 0.

Enunciaremos o teorema de Hille-Yosida:

Teorema 2.3.5 (Carvalho (2001), Teorema 1.2.2.) Seja A : D(A) ⊂ E → E um operadorlinear. As seguintes armativas são equivalentes:

2.3 TEORIA DE SEMIGRUPOS 17

1. A é o gerador innitesimal de um semigrupo fortemente contínuo T (t) : t ≥ 0 ⊂ L(E) talque

‖T (t)‖L(E) ≤Meβt, ∀t ≥ 0;

2. A é fechado, densamente denido, (β,∞) ⊂ ρ(A) e∥∥(λI −A)−n∥∥L(E)

≤ M

(λ− β)n, ∀Re(λ) > β e n = 1, 2, ....

Já foi denido que o semigrupo é uma família de operadores lineares com determinadas proprie-dades e pelo Teorema 2.3.4 é observado que, se A é o gerador innitesimal do semigrupo fortementecontínuo T (t) : t ≥ 0 então vale a relação

ddtT (t)x = AT (t)x = T (t)Ax, t > 0.

Da mesma forma que as soluções de Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) do tipo,

dx(t)

dt= Ax(t),

onde A era uma matriz em dimensão nita, eram dadas por uma fórmula exponencial eAt, os semi-grupos motivam a ideia de procurar semigrupos fortemente contínuos como soluções de problemas.O resultado a seguir relaciona semigrupos fortemente contínuos, seu gerador innitesimal e umafórmula exponencial.

Teorema 2.3.6 (Carvalho (2001), Teorema 1.4.1) Seja T (t) : t ≥ 0 ⊂ L(E) um semigrupofortemente contínuo. Se

A(h)x =T (h)x− x

h,

então para todo x ∈ E temos

T (t)x = limh→0+

etA(h)x,

e o limite é uniforme para t em intervalos limitado de R.

Em geral, esse limite será denotado por T (t)x = eAtx.

Denição 2.3.7 (Operador setorial) Um operador linear A ∈ L(E) é dito setorial, se é fechado,densamente denido e existem M ≥ 1, a ∈ R e φ ∈ (0, π2 ) tais que o setor

Σa,φ = λ ∈ C : φ ≤ |arg(λ− a)| ≤ π, λ 6= a ⊂ ρ(A),

e, além disso, ∥∥(λI −A)−1∥∥L(E)

≤ M

|λ− a|, ∀λ ∈ Σa,φ.

Denição 2.3.8 (Semigrupo analítico) Um semigrupo analítico é uma família de operadoreslineares contínuos em E, T (t) : t ≥ 0 ⊂ L(E), satisfazendo

1. T (0) = I, T (t)T (s) = T (t+ s) para t, s ≥ 0;

2. T (t)x→ x quando t→ 0+, para cada x ∈ E;

3. t→ T (t)x é analítica real em 0 < t <∞, para cada x ∈ E.

Vamos denotar T (t) = eAt, onde A é o gerador innitesimal desse semigrupo.


Teorema 2.3.9 (Henry (1981), Teorema 1.3.4) Seja A : D(A) ⊂ E → E um operador seto-rial. Então, −A é o gerador innitesimal de um semigrupo analítico

e−At : t ≥ 0

, onde

e−At =1

2πi

∫Γeλt(λI +A)−1dλ,

onde Γ é a fronteira em ρ(−A) com arg(λ)→ ±θ quando |λ| → ∞ para algum θ ∈ (π2 , π).Além disso, e−At se estende analiticamente em um setor t 6= 0 : |arg(t)| < c, c > 0, contendo

o eixo real positivo, e se Re(σ(A)) > a, isto é, Re(λ) > a onde λ ∈ σ(A), então para todo t > 0∥∥e−At∥∥L(E)≤ Ke−at e

∥∥Ae−At∥∥L(E)≤ Kt−1e−at,

para alguma constante K > 0. Por m,

d

dte−At = −Ae−At, t > 0.

Denição 2.3.10 (Operador positivo) Um operador linear A ∈ L(E) é dito tipo positivo comconstante M ≥ 1, se é fechado, densamente denido, R+ ⊂ ρ(−A) e∥∥(λI +A)−1

∥∥L(E)

≤ M

(λ+ 1), λ ∈ R+.

Observação 2.3.11 Se A é um operador positivo é possível construir um setor ΣM ⊂ ρ(−A), eportanto, −A é setorial e dene um semigrupo fortemente contínuo, ver Carvalho (2001), pág. 27.

2.4 Escalas de interpolação e extrapolação

Os resultados a seguir podem ser vistos em Amann (1995); Arrieta e Carvalho (1999); Brezis(2010) e Triebel (1978) e é uma continuação da teoria de interpolação mencionada na Subseção2.2.10.

Seja A0 : D(A0) ⊂ E0 → E0 o gerador innitesimal de um semigrupo analítico, com (E0, D(A0))um par de interpolação (sob essas hipóteses, ∃ω ≥ 0 tal que Re(σ(ωI +A0)) > 0).

Denotemos o espaçoE1 = D(A0) induzido pela norma do gráco, isto é, ‖u‖E1= ‖(ωI +A0)u‖E0

,u ∈ E1, e o operador

A1 : D(A1) ⊂ E1 → E1.

Note que E1 = D(A0) é um espaço de Banach, pois A0 é fechado.O operador A1 é chamado de E1-realização do operador A0, ou a restrição do operador A0 em

E1. Indutivamente para k ∈ N, se os pares (Ek, Ek+1) ainda são pares de interpolação é possíveldenir uma escala de espaços de Banach discreta

Ek+1 = D(Ak) induzido pela norma ‖(ωI +Ak)u‖Ek , u ∈ Ek+1;

Ak+1 é a Ek+1-realização do operador A0;

Ak+1x = A0x, para todo x em Ek+1.

Por m, utilizando a teoria de interpolação complexa com 0 ≤ θ ≤ 1 e k ∈ N, dene-se

Ek+θ = [Ek, Ek+1]θ

e, consequentemente, uma escala de espaços de Banach contínua e positiva:

Eα : α ∈ R+.

E ainda, Aα : Eα+1 ⊂ Eα → Eα denota a realização de A0 em Eα.

2.4 ESCALAS DE INTERPOLAÇÃO E EXTRAPOLAÇÃO 19

Em geral, a realização do operador é necessária para que as aplicações do problema estejam bemdenidas abstratamente, contudo, uma escala positiva de espaço de Banach nem sempre satisfaz anecessidade de determinados problemas, pois as aplicações precisam estar em um ambiente maior emenos regular, mesmo que algumas propriedades de regularidade da solução sejam perdida. Dessaforma, sob as hipóteses anteriores, claramente, ω ∈ ρ(A0), e portanto, o operador resolvente teminversa bem denida, contínua (limitada) e densamenta denida. Logo, essas propriedades motivamdenir

X = E1 induzido pela norma∥∥(ωI +A1)−1(·)

∥∥E1.

Como X é um subespaço linear denso de E0 com normas equivalentes, pode-se resgatar as infor-mações de A0, E0, então, de fato, essa ideia não apenas motiva, E0 é o completamento de X e A0

uma extensão contínua de A1 em E0.Assim, intuitivamente, essa construção sugere que, sob certas hipóteses, A0 admite uma extensão

contínua A−1 em algum espaço maior E−1, isto é, A−1 = A0 em E0, e assim dene-se E−1 = E0 coma norma do gráco

∥∥(ωI +A0)−1(·)∥∥E0. Desde que os espaços continuem satisfazendo a denição

de par de interpolação, também de forma indutiva e usando o interpolador, é possível estender aescala contínua de espaços de Banach para valores negativos de α

Eα : α ∈ R.

Para uma melhor descrição desses espaços de potências negativas utilizaremos a escala dual.Considere que os espaços de Banach utilizados a partir de agora são reexivos, isto é, existe

uma bijeção canônica bem denida entre o espaço e o seu bidual. Seja A0 : D(A0) ⊂ E0 → E0 umoperador com as mesmas hipóteses anteriores e A′0 : D(A′0) ⊂ (E0)′ → (E0)′ o operador dual de A0.

De forma análoga, é possível construir uma escala de espaços de Banach relacionados ao operadorA′0, (Eα)′ : α ∈ [−k,∞). Para construir a parte negativa da escala contínua utilizaremos o espaçodual dos espaços interpolados.

Teorema 2.4.1 (Triebel (1978), pág.72) Seja (Ek, Ek+1), k ∈ N, um par de interpolação, ondeEk ∩ Ek+1 é denso tanto em Ek quanto em Ek+1. Se Ek ou Ek+1 é reexivo, então

[Ek, Ek+1]′θ = [E′k+1, E′k]θ, 0 ≤ θ ≤ 1.

Assim, conseguimos uma melhor identicação dessa escala contínua denindo

E−(k+θ) = [Ek, Ek+1]′θ = [E′k+1, E′k]θ, 0 ≤ θ ≤ 1.

Os resultados abaixo condensam essa discussão:

Teorema 2.4.2 (Amann (1995), Teorema 1.4.12) Sejam E0 um espaço de Banach reexivo eA0 um operador tipo positivo em E0. Então, a escala de espaços de Banach gerados por (E0, A0):

(Eα, Aα) : α ∈ R

e sua escala dual(E′α, A′α) : α ∈ R

são escalas continuamente e densamente denidas satisfazendo as desigualdades de interpolação.Mais ainda,

E−α = (Eα)′ e A−α = (Aα)′, ∀α ∈ R,

com respeito a dualidade induzida por 〈·, ·〉.Uma escala de ordem m > 0 de (E0, A0) será denotada por:

(Eα, Aα) : α ∈ [−m,∞).


Teorema 2.4.3 (Amann (1995), Teorema 2.1.3) Assuma as hipóteses do Teorema 2.4.2 e seja(Eα, Aα) a escala de espaços de Banach de ordem m gerada por (E0, A0).

Suponha que A0 é o gerador innitesimal de um semigrupo analítico e existe um n ∈ N tal que

D(Ak0) = Ek, 0 ≤ k ≤ n;

D((A′0)k) = E′k, 0 ≤ k ≤ m.

Então, Aα é um gerador innitesimal de um semigrupo analítico com −m ≤ α ≤ n − 1, n ∈ N, eρ(Aα) = ρ(A0).

2.5 Existência e unicidade de soluções de equações parabólicas

Nesta seção veremos alguns resultados abstratos sobre existência e unicidade de soluções paraproblemas parabólicos. Os resultados desta seção podem ser encontrados em Carvalho et al. (1997);Czaja (2002) e Henry (1981).

Considere Ω ⊂ Rn um domínio limitado e suave. Seja L um operador linear diferencial desegunda ordem:

Lu(x) =∑|α|≤2

aα(x)Dαu(x), x ∈ Ω,

onde α é um multi-índice e aα(x), u(x) são regulares o suciente. Dizemos que L é um operadorelíptico se existe uma constante d > 0 tal que∑

|α|=2

aα(x)xα ≥ d ‖x‖2Rn , x ∈ Ω.

Introduzimos o problema parabólico não linear associado ao operador elíptico L:∂u

∂t(t, x) + Lu(t, x) = f(x, u(t, x)), (t, x) ∈ (0,∞)× Ω

Bu(t, x) = g(x, u(t, x)), (t, x) ∈ (0,∞)× ∂Ω

u(0, x) = u0(x), x ∈ Ω

(2.1)

onde denimos o operador de condição de contorno B da seguinte forma: se B =∂

∂~ndizemos que

a condição de contorno é de Von Neumann, se B = I dizemos que a condição de contorno é de

Dirichlet e se B =∂

∂~n+ V0(x)I dizemos que a condição de contorno é de Robin, com a função V0

satisfazendo certas condições, ou então, podemos ver a condição de Robin como uma condição deVon Neumann com uma pertubação V0(x).

Em especíco, neste trabalho, em (1.4) temos

L = L0 = −∆ + µI e B =∂

∂~n+ V0(x)I.

E ainda, no caso de (1.1) temos uma família de operadores perturbados

Lε = −∆ + µI +1

εχωε(x)Vε(x) = L0 +

1

εχωε(x)Vε(x) e B =

∂

∂~n,

com 0 < ε ≤ ε0.Com o objetivo de estudar o problema parabólico (2.1), olhamos o mesmo como uma equação

de evolução em um espaço de Banach. Veremos alguns resultados a seguir relacionados a formaabstrata do problema (2.1).

Assuma que A é um operador setorial em um espaço de Hilbert E com Re(σ(A)) > 0. Nóspodemos denir as potências fracionárias Aα de A, e os espaços de potências fracionárias Eα =D(Aα) induzido com a norma do gráco ‖x‖Eα = ‖Aαx‖E , α ≥ 0. Agora, denimos E−α = (Eα)′

2.5 EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES PARABÓLICAS 21

para α > 0. E ainda, as realizações de A nesta escala, isto é, Aα : Eα+1 ⊂ Eα → Eα, α ∈ R,são setoriais. Com abuso de notação, usaremos A para todas as realizações do operador A. ComoE é um espaço de Hilbert, a escala de espaços (Eα, Aα) : α ∈ R construída por interpolação naSeção 2.4 coincide com os espaços de potências fracionárias. Para mais detalhes ver Amann (1995);Carvalho et al. (1997) e Henry (1981).

O teorema a seguir garante existência local, unicidade e dependência contínua das soluções

Teorema 2.5.1 Sejam A um operador setorial, Re(σ(A)) > 0, com e h : Eα → Eβ localmenteLipschitziana, isto é, para todo limitado B ⊂ Eα, existe uma constante kB > 0 tal que

‖h(u)− h(v)‖Eβ ≤ kB ‖u− v‖Eα , ∀u, v ∈ Eα,

onde 0 ≤ α − β ≤ 1. Então, dado u0 ∈ Eα, existe T = T (u0) > 0 tal que o problema parabólicoabstrato

du

dt+Au = h(u), t > 0

u(0) = u0

(2.2)

tem um única solução u : [0, T )→ Eα contínua dada pela fórmula da variação das constantes

u(t) = e−Atu0 +

∫ t

0e−A(t−s)h(u(s))ds, t ∈ [0, T ),

onde e−At denota o semigrupo analítico gerado por −A. E ainda, essa solução depende continua-mente do dado inicial u0.

Demonstração: Ver Teorema 6.2.1 Carvalho (2001), Teorema 3.1 em Carvalho et al. (1997) eTeorema 3.3.3 em Henry (1981).

E ainda, temos o seguinte resultado

Teorema 2.5.2 Sejam A, h e u0 como no Teorema 2.5.1 e u : [0, T ) → Eα a solução maximal de(2.2). Se T <∞ então

limt→T−

sup‖h(u(t))‖Eβ1 + ‖u(t)‖Eα

=∞.

Demonstração: Ver Teorema 6.2.2 Carvalho (2001), Teorema 3.1 em Carvalho et al. (1997) ouTeorema 3.3.4 em Henry (1981).

Como consequência temos a existência global de soluções.

Corolário 2.5.3 Sejam A, h e u0 como no Teorema 2.5.1 e u : [0, T )→ Eα a solução maximal de(2.2). Suponha que h(B) é um subconjunto limitado em Eβ, para todo conjunto limitado B ⊂ Eα.Se T <∞ então

limt→T−

‖u(t)‖Eα =∞.

Consequentemente, se ‖u(t)‖Eα <∞, para t em intervalos nitos, então a solução u(t) de (2.2)existe para todo t ≥ 0.

Demonstração: Consequência do Corolário 3.3.5 em Henry (1981).


Observação 2.5.4 No caso especíco dos nossos problemas parabólicos (1.1) e (1.4), no Capítulo3, usaremos as condições de crescimento (H1) e de sinal (H2), para vericar as condições dosteoremas abstratos e garantir que os problemas parabólicos (1.1) e (1.4) estão bem postos para todot ≥ 0.

Por m, é importante destacar que ao trabalhar com equações parabólicas é necessário fazeralgumas estimativas sobre a fórmula da variação das constantes, fato que torna indispensável o usoda desigualdade de Gronwall. Essa versão da desigualdade de Gronwall pode ser encontrada commais detalhes no Lema 6.2.1 de Carvalho (2001).

Lema 2.5.5 Assuma que a, b ≥ 0, 0 ≤ α, β < 1 e u : [0, T ]→ R é integrável com

0 ≤ u(t) ≤ at−α + b

∫ t

0(t− s)−βu(s)ds,

quase sempre em (0, T ). Então, existe uma constante K = K(b, β, T ) > 0 tal que

u(t) ≤ K

1− αat−α,

quase sempre em (0, T ).

2.6 Teoria de atratores

Os resultados desta seção podem ser encontrados em Carvalho (2012); Hale (1988) e Temam(1988).

Sejam E um espaço de Banach com norma ‖·‖E , T (t) : t ≥ 0 ⊂ C(E) um semigrupo e B ⊂ Eum subconjunto, denimos:

Para cada t ≥ 0, a imagem de B sob T (t),

T (t)B = T (t)x : x ∈ B ;

A órbita positiva de B,γ+(B) =

⋃t≥0

T (t)B;

A órbita parcial de B entre dois número 0 ≤ t0 < t1 <∞,

γ+[t0,t1](B) =

⋃t0≤t≤t1

T (t)B;

A órbita positiva de T (t)B,

γ+t (B) =

⋃s≥0

T (t+ s)B =⋃s≥t

T (s)B;

O conjunto ω-limite de B,ω(B) =

⋂t≥0

γ+t (B).

Com base nas notações anteriores, temos

Denição 2.6.1 Um semigrupo T (t) : t ≥ 0 ⊂ C(E) é dito eventualmente limitado se paracada B ⊂ E limitado, existe tB ≥ 0 tal que γ+

tB(B) é limitada. Se γ+(B) for limitada sempre que

B for limitado iremos dizer que o semigrupo é limitado.

2.6 TEORIA DE ATRATORES 23

Além disso, dados dois subconjuntos A,B ⊂ E, denotaremos por dE(A,B) a semi distância deHausdor entre A e B

dE(A,B) = supx∈A

d(x,B) = supx∈A

infy∈B‖x− y‖E .

A seguir denimos as noções de atração, absorção e invariância sob a ação do semigrupo T (t) :t ≥ 0

Denição 2.6.2 Sejam A,B ⊂ E. Diremos que A atrai B sob a ação de um semigrupo T (t) : t ≥0 ⊂ C(E), se

limt→∞

dE(T (t)B,A) = 0.

Se existir um t0 = t0(B) > 0 tal que T (t)B ⊂ A para todo t ≥ t0, diremos que A absorve B.Também iremos dizer que um subconjunto A ⊂ E é invariante por T (t), se T (t)A = A para todot ≥ 0.

Observação 2.6.3 Se A absorve B, então A atrai B. Contudo, a recíproca não é válida.

Observação 2.6.4 Um conjunto unitário formado por um ponto de equilíbrio u∗ de T (t) : t ≥ 0,isto é, um ponto u∗ ∈ E tal que T (t)u∗ = u∗, para todo t ≥ 0, é invariante por T (t) : t ≥ 0.

Assim, podemos denir os atratores globais

Denição 2.6.5 (Atratores globais) Um conjunto A ⊂ E é chamado de atrator global paraT (t) : t ≥ 0 ⊂ C(E) se é compacto, invariante, maximal e atrai subconjuntos limitados de E soba ação de T (t).

Observação 2.6.6 Note que pela denição de atração de conjuntos, se um atrator existe, ele éúnico. De fato, se A e A∗ são atratores globais para T (t) : t ≥ 0, então

dE(A,A∗) = dE(T (t)A,A∗)→ 0, quando t→∞,

e assim, A ⊂ A∗. Analogamente, A∗ ⊂ A.

Denição 2.6.7 Um semigrupo T (t) : t ≥ 0 ⊂ C(E) é dito:

1. assintoticamente compacto se para qualquer subconjunto B ⊂ E fechado, limitado e nãovazio, para o qual T (t)B ⊂ B, para todo t ≥ 0, existe um conjunto compacto J ⊂ B que atraiB;

2. condicionalmente eventualmente compacto se dado B ⊂ E limitado e invariante, existetB > 0 tal que T (tB)B é compacto;

3. eventualmente compacto se dado B ⊂ E limitado, existe tB > 0 tal que T (tB)B é com-pacto;

4. ponto (limitado ou compacto) dissipativo se existir um subconjunto limitado B ⊂ E queatrai pontos (subconjuntos limitado ou subconjuntos compactos) de E.

Teorema 2.6.8 (Carvalho (2012), Teorema 1.0.22) Se T (t) : t ≥ 0 ⊂ C(E) é um semi-grupo condicionalmente eventualmente compacto, então é assintoticamente compacto.

Com as denições postas é possível enunciar o teorema que garante a existência de um atratorglobal para um semigrupo.

Teorema 2.6.9 (Hale (1988), Teorema 3.4.6.) Se T (t) : t ≥ 0 ⊂ C(E) é um semigrupoeventualmente limitado, ponto dissipativo e assintoticamente compacto, então T (t) possui um atratorglobal A.


Além de estudar a existência de atratores, vamos tentar entender a relação entre os atratoresde cada problema e a convergência da família de atratores, isto é, estamos também interessadosem saber se os atratores se comportam continuamente com relação a algum parâmetro. Para tanto,precisamos da seguinte denição

Denição 2.6.10 (Continuidade da família de atratores) Sejam Λ um espaço topológico eAλλ∈Λ uma família de subconjuntos de E.

1. Diremos que Aλλ∈Λ é semicontínua superiormente em λ0 ∈ Λ se

dE(Aλ,Aλ0)→ 0 quando λ→ λ0;

2. Diremos que Aλλ∈Λ é semicontínua inferiormente em λ0 ∈ Λ se

dE(Aλ0 ,Aλ)→ 0 quando λ→ λ0;

3. Diremos que Aλλ∈Λ é contínua em λ0 ∈ Λ se é semicontínua superiormente e inferiormenteem λ0.

Para provar as semicontinuidades superior e inferior, podemos usar o seguinte resultado

Lema 2.6.11 (Carvalho (2012), Lema 1.2.2.) Sejam Λ um espaço topológico e Aλλ∈Λ umafamília de subconjuntos de E.

1. Se qualquer sequência xλnn∈N com xλn ∈ Aλn, λn → λ0 quando n → ∞, tem uma sub-sequência convergente com limite pertencendo a Aλ0, então Aλλ∈Λ é semicontínua superi-ormente em λ0 ∈ Λ;

2. Se Aλ0 é compacto e para qualquer x ∈ Aλ0, existe uma sequência xλnn∈N com xλn ∈ Aλn,λn → λ0 quando n→∞, que converge para x, então Aλλ∈Λ é semicontínua inferiormenteem λ0 ∈ Λ.

2.7 Integrais concentradas

Uma vez que estamos interessados no comportamento das soluções do problema parabólico comtermos concentrados, nesta seção, faremos um resumo com os principais resultados sobre integraisconcentradas que serão utilizados posteriormente. Os resultados expostos aqui podem ser encontra-dos com mais detalhes em Arrieta et al. (2008) e Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2011).

Para δ ≥ 0 denimos a fronteira interior paralela Γδ = x− δ~n(x) : x ∈ ∂Ω, onde ~n(x) é vetornormal unitário exterior em x ∈ ∂Ω. Em particular, Γ0 = ∂Ω. Assim é possível reescrever a faixade largura ε e base ∂Ω como:

ωε = x− δ~n(x) : x ∈ ∂Ω e δ ∈ [0, ε) =⋃

0≤δ<εΓδ,

para ε sucientemente pequeno, digamos 0 < ε ≤ ε0.Portanto, para qualquer função integrável, f , denida em ωε, 0 < ε ≤ ε0, segue que∫

ωε

fdx =

∫ ε

0

∫Γδ

fdSδdδ, (2.3)

onde dSδ é a medida associada a superfície Γδ.Para ε0 sucientemente pequeno, se 0 < δ < ε0 e Ωδ = Ω \ ωδ, então podemos construir um

difeomorsmo C2, τδ : Ω→ Ωδ, da seguinte forma

τδ(x) =

x, se d(x, ∂Ω) ≥ ε0z − ψδ(σ)~n(z), se x = z − σ~n(z), σ ∈ [0, ε0)

2.7 INTEGRAIS CONCENTRADAS 25

onde ψδ : [0, ε0]→ [δ, ε0] é uma função crescente C2 satisfazendo ψδ(0) = δ e ψδ(ε0) = ε0 e

d(x, ∂Ω) = infy∈∂Ω

‖x− y‖Rn , x ∈ Ω.

Com essa construção, temos que a aplicação δ 7→ τδ ∈ C2(Ω) é contínua para δ ∈ [0, ε0] e

‖τδ − I‖C2(Ω) → 0 quando δ → 0.

E ainda, τδ é um difeormorsmo de classe C2 entre ∂Ω e Γδ, e como ψδ(0) = δ, então, τδ(x) =x− δ~n(x), para x ∈ ∂Ω.

Realizando a mudança de variável na integral (2.3), com o difeormorsmo τδ, para f denidaem ωε segue que ∫

ωε

fdx =

∫ ε

0

∫∂Ωγ(f(τδ(x)))J(τδ(x))dSdδ, (2.4)

onde denotaremos por dS a medida associada a superfície Γ0 = ∂Ω, J(τδ(x)) o jacobiano datransformação τδ e γ o operador traço.

Por m, temos que existem constantes 0 < J1 ≤ J2 tais que

J1 ≤ J(τδ(x)) ≤ J2 e ‖J(τδ)− 1‖L∞(∂Ω) → 0 quando δ → 0, ∀x ∈ ∂Ω e δ ∈ [0, ε0].

Com base nessa construção, vamos enunciar alguns resultados e dar uma ideia de suas respectivasdemonstrações.

Lema 2.7.1 (Arrieta et al. (2008), Lema 2.1.) Seja v ∈ Hsp(Ω) com 1

p < s ≤ 2 e s−np ≥ −

n−1q .

Então, para ε0 sucientemente pequeno temos

1. A aplicação

δ 7→∫

Γδ

|v(x)|qdSδ, δ ∈ [0, ε0],

é contínua;

2. Existe uma constante C > 0 independente de ε e v tal que, para todo ε ≤ ε0,

supδ∈[0,ε)

‖v‖Lq(Γδ) ≤ C ‖v‖Hsp(Ω) .

3.

∫ωε

|v(x)|qdx =

∫ ε

0

∫Γδ

|v(x)|qdSδdδ.

Em particular,

1

ε

∫ωε

|v(x)|qdx ≤ C ‖v‖qHsp(Ω) e lim

ε→0

1

ε

∫ωε

|v(x)|qdx =

∫∂Ω|γ(v(x))|qdS.

Demonstração:

Para essa prova precisaremos da construção do difeormorsmo τδ, portanto, considere as nota-ções acima, principalmente a mudança de variável∫

Γδ

|v(x)|qdSδ =

∫∂Ω|γ(v(τδ(x)))|qJ(τδ(x))dS.

1. Para concluir essa etapa da demonstração é suciente que para qualquer δ0 ∈ [0, ε0], ε0 xado,temos

limδ→δ0

∫Γδ

|v(x)|qdSδ −∫

Γδ0

|v(x)|qdSδ0 = 0,


ou ainda,∣∣∣∣∫∂Ω|γ(v(τδ(x)))|qJ(τδ(x))dS −

∫∂Ω|γ(v(τδ0(x)))|qJ(τδ0(x))dS

∣∣∣∣→ 0, quando δ → δ0.

Primeiro, vamos observar que a restrição τδ : ∂Ω→ Γδ, δ ∈ [0, ε0] ainda é um difeomorsmo declasse C2 e, portanto, seu Jacobiano, J(τδ(x)), computado utilizando as primeiras derivadas de τδ,ainda é pelo menos C1 em x. E ainda, a aplicação δ 7→ J(τδ(·)) ∈ C1 é uma função contínua.

Segundo, pela denição de Γδ e como ∂Ω é C2, sabemos que existem constantes 0 < J1 ≤ J2,tais que

J1 ≤ J(τδ(x)) ≤ J2, ∀δ ∈ [0, ε0] e ∀x ∈ ∂Ω.

Além disso, se v ∈ Hsp(Ω) pela continuidade de τδ obtemos que v(τδ) ∈ Hs

p(Ω) e δ 7→ v(τδ)ainda é uma aplicação contínua. Por último, dado f ∈ Lq(∂Ω) denimos a norma com peso J(τδ0)e δ0 ∈ [0, ε0],

‖f‖Lqδ0 (∂Ω) =

∫∂Ω|f(x)|qJ(τδ0(x))dS.

Note que essa norma é equivalente a norma usual de Lq(∂Ω), pois

J1

∫∂Ω|f(x)|qdS ≤

∫∂Ω|f(x)|qJ(τδ0(x))dS ≤ J2

∫∂Ω|f(x)|qdS.

Pela equivalência das normas e pelo Lema 2.2.19), obtemos que o operador traço

γ : Hsp(Ω)→ Lqδ0(∂Ω),

é continuo, linear e sobrejetor para cada δ0 ∈ [0, ε0] xo.Em particular, para cada δ0 ∈ [0, ε0] xo, a aplicação

δ 7→∫∂Ω|γ(v(τδ(x)))|qJ(τδ0(x))dS (2.5)

é contínua.

Somando e subtraindo∫∂Ω|γ(v(τδ))|qJ(τδ0(x))dS, obtemos que

∣∣∣∣∫∂Ω|γ(v(τδ(x)))|qJ(τδ(x))dS −


∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫∂Ω|γ(v(τδ(x)))|qJ(τδ0(x))dS −


∣∣∣∣+

∫∂Ω|γ(v(τδ(x)))|q|J(τδ(x))− J(τδ0(x))|dS → 0,

quando δ → δ0, onde usamos a continuidade em (2.5) e a continuidade da aplicação δ 7→ J(τδ).2. A demonstração desse resultado foge do escopo do nosso trabalho, portanto, omitiremos

maiores detalhes, os quais podem ser encontrados em Arrieta et al. (2008), Lema 2.1.3. A primeira parte do item 3. segue direto do Teorema de Fubbini.Em particular, da continuidade no item 1 e do item 2, obtemos

1

ε

∫ωε

|v(x)|qdx =1

ε

∫ ε

0

∫Γδ

|v(x)|qdSδdδ ≤ supδ∈[0,ε)

‖v‖Lq(Γδ) ≤ C ‖v‖Hsp(Ω) .

Por m, da primeira parte do item 3. sabemos que∣∣∣∣1ε∫ωε

|v(x)|qdx−∫∂Ω|γ(v(x))|qdS

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1ε∫ ε

0

(∫Γδ

|v(x)|qdSδ −∫∂Ω|γ(v(x))|qdS

)dδ

∣∣∣∣

2.8 INTEGRAIS CONCENTRADAS 27

≤ supδ∈[0,ε)

∣∣∣∣∫Γδ

|v(x)|qdSδ −∫∂Ω|γ(v(x))|qdS

∣∣∣∣ .Agora, como Γ0 = ∂Ω, pela continuidade do item 1,

limδ→0

∣∣∣∣∫Γδ

|v(x)|qdx−∫∂Ω|v(x)|qdS

∣∣∣∣ = 0,

quando δ → 0.

O lema a seguir é enunciado e demonstrado em Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2011).

Lema 2.7.2 (Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2011), Lema 5.1) Sob as notações acima,se ε0 > 0 é sucientemente pequeno e 0 ≤ δ < ε0, então para todo 1 < q <∞, existe uma constanteM > 0 independente de δ tal que para toda v ∈ H1

q (Ω), temos

‖γ(v(τδ)− v)‖Lq(∂Ω) ≤Mδ1− 1

q ‖∇v‖Lq(ωδ) .

Demonstração:

Primeiramente, seja v ∈ C1(Ω) e considere a função φ(t) = v(x−tδ~n(x)) com t ∈ [0, 1] e x ∈ ∂Ω.Então, para todo x ∈ ∂Ω e 1 < q < ∞, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e a integração sobsinal, obtemos

|v(τδ(x))− v(x)|q = |φ(1)− φ(0)|q =

∣∣∣∣∫ 1

0φ′(t)dt

∣∣∣∣q ,e ∣∣∣∣∫ 1

0φ′(t)dt

∣∣∣∣q ≤ ∫ 1

0|∇v(x− tδ~n(x))|q|δ~n(x)|qdt ≤ δq

∫ 1

0|∇v(x− tδ~n(x))|qdt.

Logo, ∫∂Ω|v(τδ(x))− v(x)|qdS ≤ δq

∫ 1

0

∫∂Ω|∇v(x− tδ~n(x))|qdSdt.

Multiplicando o argumento da integral por

∣∣∣∣J(τtδ(x))

J(τtδ(x))

∣∣∣∣ e utilizando que 0 < J1 ≤ J(τtδ(x)) ≤ J2,

t ∈ [0, 1] e δ ∈ [0, ε0], obtemos∫∂Ω|v(τδ(x))− v(x)|qdS ≤ δq

J1

∫ 1

0

∫∂Ω|∇v(x− tδ~n(x))|q|J(τtδ(x))|dSdt.

Utilizando a mudança de variável com τtδ e a outra mudança s = tδ∫∂Ω|v(τδ(x))− v(x)|qdS ≤ δq

J1

∫ 1

0

∫Γtδ

|∇v(x)|qdStδdt =δq−1

J1

∫ δ

0

∫Γs

|∇v(x)|qdSsds.

Portanto, do item 3 do Lema 2.7.1,

‖v(τδ)− v‖qLq(∂Ω) ≤δq−1

J1‖∇φ‖qLq(ωδ) .

Para v ∈ H1q (Ω) a prova segue por argumentos de densidade e da continuidade do operador

traço γ : H1q (Ω)→ Lq(∂Ω).


2.8 Problemas elípticos com concentração

Um problema elíptico em Ω é uma equação diferencial parcial associada a um operador dife-rencial elíptico com determinadas condições sobre a fronteira de Ω. Como estamos interessados emestudar o comportamento das soluções, quando ε→ 0, do problema parabólico com termos concen-trados (1.1), então precisaremos entender o que ocorre com as soluções de problemas elípticos comtermos concentrados, e isto foi analisado em Arrieta et al. (2008).

Mais especicadamente, nesta seção trataremos de um problema elíptico importante na con-clusão da limitação uniforme das soluções e da existência dos atratores globais dos problemasparabólicos que estamos estudando. Utilizando a mesma notação do Capítulo 1 e considerando asfunções C,D,E e F como em (H2), vamos analisar o limite das soluções do seguinte problemaelíptico

LεΦε(x) = C(x)Φε(x) +D(x) +

1

εχωε(x)[E(x)Φε(x) + F (x)], x ∈ Ω

∂Φε

∂~n(x) = 0, x ∈ ∂Ω

(2.6)

onde

LεΦε(x) = −∆Φε(x) + µΦε(x) +1

εχωε(x)Vε(x)Φε(x),

com µ > 0 e 0 < ε ≤ ε0. Veremos que o problema limite de (2.6) é dado por L0Φ0(x) = C(x)Φ0(x) +D(x), x ∈ Ω∂Φ0

∂~n(x) + V0(x)Φ0(x) = E(x)Φ0(x) + F (x), x ∈ ∂Ω

(2.7)

ondeL0Φ0(x) = −∆Φ0(x) + µΦ0(x).

Teorema 2.8.1 Suponha que as hipóteses (H2) e (P) valem e que µ > 0 é sucientemente grande.Então, para cada ε ∈ (0, ε0], existe uma única solução fraca Φε ∈ H1(Ω) do problema concentrado(2.6) e uma única solução fraca Φ0 ∈ H1(Ω) do problema limite (2.7) que satisfazem:

1. Φε → Φ0 em H1(Ω), quando ε→ 0;

2. Para cada 0 ≤ ε ≤ ε0, Φε ∈ L∞(Ω) e existe K > 0 independente de ε tal que

‖Φε‖L∞(Ω) ≤ K;

3. Φε → Φ0 em L∞(Ω), quando ε→ 0.

Demonstração:

1. Teorema 4.1. em Arrieta et al. (2008);

2. Teorema 4.4. em Arrieta et al. (2008);

3. Teorema 4.6. em Arrieta et al. (2008).

É importante também estudar os autovalores do operador elíptico para obter limitações unifor-mes das soluções dos problemas parabólicos e entender o comportamente da família de atratores.Dessa forma, considere os seguintes problemas de autovalores

2.8 PROBLEMAS ELÍPTICOS COM CONCENTRAÇÃO 29

−∆φεi(x) + [µ− C(x)]φεi(x) +

1

εχωε(x)[Vε(x)− E(x)]φεi(x) = λεiφ

εi(x), x ∈ Ω

∂φεi∂~n

(x) = 0, x ∈ ∂Ω

e −∆φ0i (x) + [µ− C(x)]φ0

i (x) = λ0iφ

0i (x), x ∈ Ω

∂φ0i

∂~n(x) + V0(x)φ0

i (x) = E(x)φ0i (x), x ∈ ∂Ω

com i = 1, 2, .... Como consequência do Teorema 2.8.1 temos o seguinte resultado

Corolário 2.8.2 Suponha que as hipóteses (H2) e (P) valem e que µ > 0 é sucientemente grande.Então, para cada i = 1, 2, 3, ...,

1. λεi → λ0i , quando ε→ 0;

2. φεi → φ0i em H1(Ω) e L∞(Ω), quando ε→ 0.

Demonstração: Ver Corolário 4.2. e Observação 4.3 em Arrieta et al. (2008).

Observação 2.8.3 Denotemos por λ1 o primeiro autovalor do problema elíptico (1.3), isto é, doseguinte problema

−∆φ01(x) + [µ− C(x)]φ0

1(x) = λ1φ01(x), x ∈ Ω

∂φ01

∂~n(x) + V0(x)φ0

1(x) = E(x)φ01(x), x ∈ ∂Ω

e, para cada 0 < ε ≤ ε0, denotemos por λε1 o primeiro autovalor do problema−∆φε1(x) + [µ− C(x)]φε1(x) +

1

εχωε(x)[Vε(x)− E(x)]φε1(x) = λε1φ

ε1(x), x ∈ Ω

∂φε1∂~n

(x) = 0, x ∈ ∂Ω.

Em particular, do Corolário 2.8.2, temos que λε1 → λ1, quando ε→ 0. Logo, se vale a condição dedissipatividade (H3), então λ1 > 0 e, para ε0 sucientemente pequeno, obtemos λε1 > 0, 0 < ε ≤ ε0.


Capítulo 3

Existência, unicidade e limitação

uniforme das soluções

Antes de realizarmos qualquer um dos nossos objetivos neste trabalho, primeiramente, precisa-mos vericar se existem soluções para os problemas (1.1) e (1.4) e se essas soluções são únicas. Paratanto, o método que iremos utilizar é a teoria de semigrupos, vamos escrever (1.1) e (1.4) de umaforma abstrata. Uma vez que temos uma fórmula abstrata para os problemas (1.1) e (1.4), usaremosos resultados abstratos da Seção 2.5 para mostrar que os problemas estão bem postos, isto é, assoluções fracas existem, são únicas e dependem continuamente do dado inicial. A seguir, daremosuma ideia de algumas maneiras de denirmos a formulação abstrata de problemas parabólicos.

Para denirmos os problemas abstratos associados a (1.1) e (1.4) e mostrarmos que são bempostos, uma maneira é usarmos o espaço L2(Ω) e as propriedades dos operadores elípticos comcondições de fronteira (Neumann ou Robin) homogêneas associados a (1.1) e (1.4) neste espaço.Uma vez que isso é feito, precisamos escolher o espaço de fase, se escolhermos o L2(Ω) então asaplicações abstratas associadas as não linearidades que aparecem nos problemas (1.1) e (1.4) podemnão estar bem denidas de L2(Ω) em L2(Ω) e, consequentemente, os problemas abstratos podemnão estar bem denidos no espaço ambiente L2(Ω). Logo, precisamos diminuir o espaço de fasepara abordar um maior número de não linearidades, e assim o uso do espaço H1(Ω) como o espaçode fase, torna-se natural. Como estamos usando os operadores elípticos com condições de fronteirahomogêneas, para denirmos somente a equação abstrata associada a (1.1), podemos escolher oL2(Ω) como espaço ambiente. Entretanto, uma vez que (1.4) possui termos não lineares sobre afronteira, então para denirmos a equação abstrata associada a (1.4), precisamos escolher um espaço

de Bessel de ordem negativa, isto é, H−α(Ω),1

2< α ≤ 1, para introduzir esses termos não lineares

na equação abstrata. Neste caso, precisamos ainda impor algumas restrições no crescimento e sinal,dadas por (H1) e (H2), das não linearidades nos problemas (1.1) e (1.4), para garantirmos queos problemas abstratos estão bem denidos no espaço ambiente H−α(Ω) e que temos existência eunicidade de soluções para esses problemas, bem como impor condições de dissipação, (H3), para queo semigrupo não linear associado às soluções seja limitado e dissipativo. Essas restrições cam maisrigorosas quando a dimensão n do espaço aumenta. Neste trabalho, vamos utilizar essa abordagemdo problema e a mesma pode ser encontrada em Arrieta e Carvalho (1999); Carvalho et al. (1997);Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2009, 2011).

Uma outra maneira é denirmos o operador elíptico em Lp(Ω), 1 < p < ∞, e usarmos comoespaços de fase, os espaços das potências fracionárias Eα, α ≥ 0, e esses espaços possuem imersãono espaço das funções contínuas C0(Ω), para alguns valores de α, o que é uma grande vantagemneste caso, pois não precisamos impor restrições sobre o crescimento das não linearidades. Note quea exigência de imersão contínua do H1(Ω) em C0(Ω) restringe o estudo para o caso unidimensionaln = 1. Além disso, os espaços de potências fracionárias estão relacionados com os espaços de Bessel,e essa relação é dada usando a teoria de inteporlação. Mais detalhes podem ser encontrados emHenry (1981); Oliva e Pereira (2002).

31

32 EXISTÊNCIA, UNICIDADE E LIMITAÇÃO UNIFORME DAS SOLUÇÕES 3.1

A seguir veremos a formulação abstrata dos problemas (1.1) e (1.4), bem como o estudo daexistência, unicidade e limitação uniforme das soluções desses problemas.

3.1 Formulação abstrata dos problemas parabólicos

Nesta seção vamos introduzir uma formulação abstrata para o problema parabólico concentrado(1.1) e o seu candidato a problema limite (1.4). Vamos introduzir uma fórmula variacional e umasolução num sentido mais fraco para esses problemas.

Inicialmente, suponhamos que os problemas (1.1) e (1.4) possuam soluções clássicas uε e u0,respectivamente, e seja φ ∈ C∞(Ω). Multiplicando os problemas (1.1) e (1.4) por φ, integrando emΩ e usando a Fórmula de Green, obtemos

∫Ω

[uεt(t, x)φ(x) + µuε(t, x)φ(x) +∇uε(t, x)∇φ(x)]dx+1

ε

∫ωε

Vε(x)uε(t, x)φ(x)dx =∫Ωf(x, uε(t, x))φ(x)dx+

1

ε

∫ωε

g(x, uε(t, x))φ(x)dx,(3.1)

para 0 < ε ≤ ε0, e∫Ω

[u0t (t, x) + µu0(t, x)φ(x) +∇u0(t, x)∇φ(x)]dx+

∫∂ΩV0(x)u0(t, x)φ(x)dS =∫

Ωf(x, u0(t, x))φ(x)dx+

∫∂Ωg(x, u0(t, x))φ(x)dS.

(3.2)

Estamos interessados em encontrar soluções fracas de (1.1) e (1.4), isto é, funções uε e u0 quesatisfazem os problemas variacionais (3.1) e (3.2), respectivamente, em espaços adequados menosregulares. Além disso, em (3.2) temos integrais na fronteira ∂Ω do domínio Ω, logo as funçõesenvolvidas precisam ter traço. Dessa forma, como nosso espaço de fase será o H1(Ω) temos aseguinte denição (Ver Denição 3.1 em Arrieta e Carvalho (1999)).

Denição 3.1.1 (Solução fraca) Para u0 ∈ H1(Ω) as soluções fracas de (1.1) e (1.4) são funcõesuε ∈ C([0, T ε), H1(Ω)), 0 < ε ≤ ε0, e u0 ∈ C([0, T 0), H1(Ω)), respectivamente, para algum T ε, T 0 >0, tais que as fórmulas variacionais (3.1) e (3.2) são satisfeitas para toda φ ∈ H1(Ω).

Observação 3.1.2 Usamos as seguintes notações para as soluções

uε : [0, T ε) → H1(Ω)t 7→ uε(t) : Ω → R

x 7→ uε(t)(x) = uε(t, x)

com 0 ≤ ε ≤ ε0.Quando necessário, explicitaremos a dependência da condição inicial, isto é, uε(t, x, u0).

Agora, vamos escrever as formulações abstratas para (1.1) e (1.4), ou ainda, para (3.1) e (3.2).Seja E0 = L2(Ω) e considere o operador linear elíptico A : D(A) ⊂ L2(Ω)→ L2(Ω) dado por

Au = −∆u+ µu, ∀u ∈ D(A),

onde

D(A) =

u ∈ H2(Ω) :

∂u

∂~n= 0 sobre ∂Ω

. (3.3)

Considere também o operador linear elíptico A0 : D(A0) ⊂ L2(Ω)→ L2(Ω) dado por

A0u = −∆u+ µu, ∀u ∈ D(A0),

3.1 FORMULAÇÃO ABSTRATA DOS PROBLEMAS PARABÓLICOS 33

onde

D(A0) =

u ∈ H2(Ω) :

∂u

∂~n+ V0(x)u = 0 sobre ∂Ω

. (3.4)

Temos o seguinte resultado, cuja prova pode ser encontrada nos Exemplos 5.1.5, 5.1.6 e 5.1.7de Czaja (2002) ou Proposição 2.1 em Carvalho et al. (1997).

Proposição 3.1.3 (Resultados sobre o Laplaciano) Para algum µ > 0 e V0 ∈ Lρ(∂Ω), ρ >n− 1, os operadores A e A0 denidos em (3.3) e (3.4), respectivamente, são fechados, densamentedenidos, setoriais, positivos e com resolvente compacto em L2(Ω).

Como E0 = L2(Ω) é reexivo e tomando E1 = D(A) ou E1 = D(A0), podemos usar as técni-cas de interpolação-extrapolação vistas na Seção 2.4 para os pares (E0, D(A)) e (E0, D(A0)), ouainda as técnicas da Seção 2.5. Pelo Teorema 2.4.2 construímos uma escala de espaços de Banach(Eα, Aα) : α ∈ R ou

(Eα, A

0α) : α ∈ R

. Em particular, para α ≥ 0,

Eα → H2α(Ω).

E ainda,E 1

2= H1(Ω), E− 1

2= H−1(Ω) e E0 = L2(Ω),

onde estamos denindo H−1(Ω) := (H1(Ω))′. Pelo Teorema 2.4.3, os operadores A e A0 podem serestendidos nesta escala de tal maneira que suas realizações Aα, A0

α : Eα+1 ⊂ Eα → Eα são tambémoperadores fechados, densamente denidos, setoriais, positivos e com resolventes compactos, e em

particular, −Aα e −A0α geram semigrupos analíticos

e−Aαt : t ≥ 0

ee−A

0αt : t ≥ 0

em Eα. E

ainda, para α = −1

2, temos que os operadores A− 1

2, A0− 1

2

: E 12⊂ E− 1

2→ E− 1

2, são dados por

〈A− 12u, φ〉 =

∫Ω∇u(x)∇φ(x)dx+

∫Ωµu(x)φ(x)dx, ∀u, φ ∈ H1(Ω),

e

〈A0− 1

2

u, φ〉 =


∫Ωµu(x)φ(x)dx+

∫∂ΩV0(x)u(x)φ(x)dS, ∀u, φ ∈ H1(Ω).

Mais detalhes podem ser encontrados em Arrieta e Carvalho (1999) e na Proposição 2.1. deCarvalho et al. (1997) .

Para cada 0 < ε ≤ ε0, denimos o operador linear Aε : D(Aε) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) da seguinteforma

Aεu = Au+1

εχωε(x)Vε(x)u, ∀u ∈ D(Aε), (3.5)

onde D(Aε) = D(A).Note que, para cada 0 < ε ≤ ε0,Aε é uma perturbação do operadorA, e usando resultados de per-

turbação (Teorema 1.4.8 em Henry (1981)), temos o seguinte resultado, cuja prova pode ser encon-trada na Proposição 2.2 em Carvalho et al. (1997), no Teorema 2.2 em Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal(2011) e Lema 2.1 e Teorema 2.2 em Rodríguez-Bernal (2011).

Proposição 3.1.4 Suponha que existe K1 > 0 independente de ε tal que

1

ε

∫ωε

|Vε(x)|ρdx ≤ K1,

para algum ρ > n−1. Se µ > 0 e 0 < ε ≤ ε0, o operador Aε denido em (3.5) é fechado, densamentedenido, setorial, positivo e com resolvente compacto em L2(Ω). Como antes, existe uma escalade espaços de Banach (Eα, Aεα) : α ∈ R , com as realizações Aεα fechadas, densamente denidas,


setoriais, positivas e com resolvente compacto em Eα. Em particular, −Aεα gera um semigrupo

analíticoe−A

εαt : t ≥ 0

em Eα. E ainda, se α = −1

2, Aε− 1

2

: E 12⊂ E− 1

2→ E− 1

2é dado por

〈Aε− 12

u, φ〉 =


∫Ωµu(x)φ(x)dx+

1

ε

∫ωε

Vε(x)u(x)φ(x)dx, ∀u, φ ∈ H1(Ω).

Por abuso de notação, omitiremos o α ∈ R nas realizações dos operadores A0α e Aεα, 0 < ε ≤ ε0,

identicaremos todas as realizações e escreveremos somente A0 e Aε. Além disso, temos o seguinteresultado para o semigrupo analítico

e−A

εt : t ≥ 0, 0 ≤ ε ≤ ε0, gerado pelas realizações, onde

estamos denotando H−α(Ω) := (Hα(Ω))′,1

2< α ≤ 1.

A estimativa de semigrupo enunciada a seguir pode ser encontrada em Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal(2011), Proposição 2.4. e Observação 2.7.1.

Proposição 3.1.5 Assuma que as funções C e E são como na hipótese (H2), a hipótese (P) ésatisfeita e seja λ1 o primeiro autovalor do problema elíptico (1.3). Então, para ε0 sucientementepequeno e para qualquer −β < λ1 e 1

2 < α < 1, temos que existem constantes M1,M2,M3 > 0independentes de ε tais que∥∥e−Aεtu0

∥∥H1(Ω)

≤M1eβt ‖u0‖H1(Ω) , t > 0 e u0 ∈ H1(Ω)∥∥e−Aεtu0

∥∥H1(Ω)

≤M2t−( 1+α

2 )eβt ‖u0‖H−α(Ω) , t > 0 e u0 ∈ H−α(Ω)∥∥e−Aεtu0

∥∥L∞(Ω)

≤M3t−n

4 eβt ‖u0‖L2(Ω) , t > 0 e u0 ∈ L2(Ω)

. (3.6)

Se além disso, a condição de dissipatividade (H3) é satisfeita, então podemos tomar as estima-tivas ∥∥e−Aεtu0

∥∥H1(Ω)

≤M1e−βt ‖u0‖H1(Ω) , t > 0 e u0 ∈ H1(Ω)∥∥e−Aεtu0

∥∥H1(Ω)

≤M2t−( 1+α

2 )e−βt ‖u0‖H−α(Ω) , t > 0 e u0 ∈ H−α(Ω)∥∥e−Aεtu0

∥∥L∞(Ω)

≤M3t−n

4 e−βt ‖u0‖L2(Ω) , t > 0 e u0 ∈ L2(Ω)

. (3.7)

para algum β > 0, isto é, o semigrupo e−Aεt : t ≥ 0 possui decaimento exponencial.

Finalmente, denimos as não linearidades abstratas associadas ao problema (1.1) e (1.4). Inici-

almente, denimos F,G0 : H1(Ω)→ H−α(Ω), com1

2< α ≤ 1, por

〈F (u), φ〉 =

∫Ωf(x, u(x))φ(x)dx, ∀u ∈ H1(Ω) e ∀φ ∈ Hα(Ω), (3.8)

e

〈G0(u), φ〉 =

∫∂Ωγ(g(x, u(x)))γ(φ(x))dS, ∀u ∈ H1(Ω) e ∀φ ∈ Hα(Ω), (3.9)

onde γ é o operador traço dado no Lema 2.2.19. Para cada 0 < ε ≤ ε0, denimos Gε : H1(Ω) →H−α(Ω), com

1

2< α ≤ 1, por

〈Gε(u), φ〉 =1

ε

∫ωε

g(x, u(x))φ(x)dx, ∀u ∈ H1(Ω) e ∀φ ∈ Hα(Ω). (3.10)

Denotando por h0 = F + G0 e hε = F + Gε, 0 < ε ≤ ε0, os problemas (1.1) e (1.4) podem serescritos da seguinte forma abstrata

uεt +Aεuε = hε(u), t > 0uε(0) = u0 ∈ H1(Ω)

. (3.11)

3.1 FORMULAÇÃO ABSTRATA DOS PROBLEMAS PARABÓLICOS 35

Agora, vamos provar que as aplicações hε, 0 ≤ ε ≤ ε0, estão bem denidas.

Proposição 3.1.6 Suponha que f, g : Ω×R→ R são funções contínuas. Então, para cada 0 ≤ ε ≤ε0, a aplicação hε : H1(Ω)→ H−α(Ω), com

1

2< α ≤ 1, está bem denida.

Demonstração:

Como h0 = F + G0 e hε = F + Gε, 0 < ε ≤ ε0 é suciente mostrarmos que F,G0 e Gε estãobem denidas em (3.8), (3.9) e (3.10).1. Para F :

Para cada u ∈ H1(Ω), vamos mostrar que F (u) ∈ H−α(Ω) = (Hα(Ω))′, isto é,

F (u) : Hα(Ω) → Rφ 7→ 〈F (u), φ〉,

onde

〈F (u), φ〉 =

∫Ωf(x, u(x))φ(x)dx,

é uma aplicação linear contínua.A linearidade segue da linearidade da integral. Agora, seja φ ∈ Hα(Ω), pelo Teorema 2.2.18

temos a seguinte imersão contínua Hα(Ω) → L2(Ω),1

2< α ≤ 1. E ainda, como u ∈ H1(Ω) e f é

contínua, então a composta f(·, u(·)) ∈ H1(Ω) → L2(Ω).Usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz, obtemos

|〈F (u), φ〉| ≤∫

Ω|f(x, u(x))φ(x)|dx ≤ ‖f(·, u(·))‖L2(Ω) ‖φ‖L2(Ω)

≤ c1 ‖f(·, u(·))‖L2(Ω) ‖φ‖Hα(Ω) .

Portanto, F (u) ∈ H−α(Ω).2. Para G0 :

Para cada u ∈ H1(Ω), vamos mostrar que G0(u) ∈ H−α(Ω) = (Hα(Ω))′, isto é,

G0(u) : Hα(Ω) → Rφ 7→ 〈G0(u), φ〉,

onde

〈G0(u), φ〉 =

∫∂Ωγ(g(x, u(x)))γ(φ(x))dS,

é uma aplicação linear contínua.

Pelo Lema 2.2.19 temos que o traço γ : Hα(Ω) → L2(∂Ω),1

2< α ≤ 1, é um operador linear

contínuo, assim, a linearidade segue da linearidade da integral e do operador traço. E ainda, paracada φ ∈ Hα(Ω) temos que γ(φ) ∈ L2(∂Ω). Como u ∈ H1(Ω) e g é contínua, então a compostag(·, u(·)) ∈ H1(Ω) e γ(g(·, u(·))) ∈ L2(∂Ω).

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz, obtemos

|〈G0(u), φ〉| ≤∫∂Ω|γ(g(x, u(x)))γ(φ(x))|dS ≤ ‖γ(g(·, u(·)))‖L2(∂Ω) ‖γ(φ)‖L2(∂Ω)

≤ c2 ‖γ(g(·, u(·)))‖L2(∂Ω) ‖φ‖Hα(Ω) .

Portanto, G0(u) ∈ H−α(Ω).3. Para Gε :


Para cada u ∈ H1(Ω) e 0 < ε ≤ ε0, vamos mostrar que Gε(u) ∈ H−α(Ω) = (Hα(Ω))′, isto é,

Gε(u) : Hα(Ω) → Rφ 7→ 〈Gε(u), φ〉,

onde

〈Gε(u), φ〉 =1

ε

∫ωε

g(x, u(x))φ(x)dx,

é uma aplicação linear contínua.Novamente, a linearidade segue da linearidade da integral. Pelo Lema 2.7.1, temos que, dado

φ ∈ Hα(Ω) e u ∈ H1(Ω), e como g é contínua, então a composta g(·, u(·)) ∈ L2(ωε) e φ ∈ L2(ωε).Usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz, obtemos

|〈Gε(u), φ〉| ≤ 1

ε

∫ωε

|g(x, u(x))φ(x)|dx ≤(

1

ε

∫ωε

|g(x, u(x))|2dx) 1

2(

1

ε

∫ωε

|φ(x)|2dx) 1

2

≤ 1

ε‖g(·, u(·))‖L2(ωε)

‖φ‖L2(ωε)≤ C

(1

ε

) 12

‖g(·, u(·))‖L2(ωε)‖φ‖Hα(Ω) .

Portanto, Gε(u) ∈ H−α(Ω).

Na próxima seção, sob as condições de crescimento (H1), mostraremos que as aplicações hε,0 ≤ ε ≤ ε0, são localmente Lipschitzianas e o problema está bem posto.

3.2 Existência e unicidade de soluções locais

Nesta seção, vamos discutir a existência e unicidade de soluções para os problemas (1.1) e(1.4), ou ainda, para o problema abstrato (3.11). Para tanto, vamos usar as condições de cres-cimento dadas na hipótese (H1), esta abordagem foi proposta em Arrieta e Carvalho (1999) eJiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2009).

Pelo Teorema 2.5.1, para garantir que existe apenas uma única solução local do problema (3.11),basta checar que as aplicações F,Gε, 0 ≤ ε ≤ ε0, dadas por (3.8), (3.9) e (3.10), são localmenteLipschitziana.

Vamos enunciar, novamente, a hipótese (H1):

(H1) - Condições de crescimento crítico.

Suponha que f, g : Ω × R → R são funções uniformemente contínuas, f(x, ·), g(x, ·) : R → Rsão localmente Lipschitzianas uniformemente em x ∈ Ω e x ∈ Ω, respectivamente, e satisfazem asseguintes condições de crescimento:i. Se n > 2, existe c > 0 tal que



σf ≤4

n− 2e σg ≤

2

n− 2.


|j(x, u)− j(x, v)| ≤ cη|u− v|(eη|u|2

+ eη|v|2),


3.2 EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES LOCAIS 37

Para o caso n = 2, iremos precisar do seguinte resultado que pode ser encontrado em Carvalho et al.(1997) (ver Lema 3.1.) ou como a desigualdade de Trudinger (19) em Trudinger (1967).

Lema 3.2.1 (Desigualdade de Moser-Trudinger) Se ‖u‖H1(O) ≤ R, para algum R > 0, entãoexistem duas constantes σ,K > 0 tais que∫

O

(eσ|u(x)|2

)2dx ≤ K|O|,

onde O é um domínio limitado de R2.

Proposição 3.2.2 Suponha que f satisfaz (H1). Então, a aplicação

F : H1(Ω)→ H−1(Ω),

dada por (3.8) é localmente Lipschitziana.

Demonstração:Sejam u, v ∈ H1(Ω) com ‖u‖H1(Ω) , ‖v‖H1(Ω) ≤ R, para algum R > 0. Por denição,

‖F (u)− F (v)‖H−1(Ω) = supφ ∈ H1(Ω)‖φ‖H1(Ω) = 1

|〈F (u)− F (v), φ〉|.

Para cada φ ∈ H1(Ω), vamos estimar |〈F (u)− F (v), φ〉|:

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤∫

Ω|f(x, u(x))− f(x, v(x))||φ(x)|dx.

Para n = 2:Dado η = σ > 0 do Lema 3.2.1, existe cη > 0, tal que

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ cη∫

Ω|u(x)− v(x)|

(eη|u(x)|2 + eη|v(x)|2

)|φ(x)|dx.

Pelo Teorema de imersão (Teorema 2.2.18), temos que H1(Ω) → L4(Ω). Usando as desigualdadesde Cauchy-Schwartz e Minkwoski, obtemos

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ cη ‖(u− v)φ‖L2(Ω)

(∥∥∥eη|u|2∥∥∥L2(Ω)

+∥∥∥eη|v|2∥∥∥

L2(Ω)

)≤ cη ‖u− v‖L4(Ω)

(∥∥∥eη|u|2∥∥∥L2(Ω)

+∥∥∥eη|v|2∥∥∥

L2(Ω)

)‖φ‖L4(Ω)

≤ cη ‖u− v‖H1(Ω)

(∥∥∥eη|u|2∥∥∥L2(Ω)

+∥∥∥eη|v|2∥∥∥

L2(Ω)

)‖φ‖H1(Ω) .

Utilizando o Lema 3.2.1, existe uma constante K > 0 tal que

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ cη2(K|Ω|)12 ‖u− v‖H1(Ω) ‖φ‖H1(Ω) .

Assim, tomando o supremo com ‖φ‖H1(Ω) = 1, obtemos que existe uma constante K1 =K1(|Ω|, η, R) > 0 tal que

‖F (u)− F (v)‖H−1(Ω) ≤ K1 ‖u− v‖H1(Ω) .

Para n > 2:Por (H1),


|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ c∫

Ω|u(x)− v(x)| (|u(x)|σf + |v(x)|σf + 1) |φ(x)|dx.

Utilizando a desigualdade de Hölder, com1

q+

1

r+

1

p= 1, e a desigualdade de Minkwoski, temos

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ c ‖u− v‖Lr(Ω)

(‖uσf ‖Lp(Ω) + ‖vσf ‖Lp(Ω) + |Ω|

1p

)‖φ‖Lq(Ω) .

Primeiro, note que

‖uσf ‖Lp(Ω) =

(∫Ω|u(x)|pσfdx

) 1p

=

(∫Ω|u(x)|pσfdx

) 1pσf

σf

= ‖u‖σfLpσf (Ω)

.

Assim, precisamos que

H1(Ω) → Lq(Ω), H1(Ω) → Lr(Ω) e H1(Ω) → Lpσf (Ω).

Pelo Teorema 2.2.18, devemos ter:

1 < r ≤ 2n

n− 2;

1 < q ≤ 2n

n− 2;

pσf ≤2n

n− 2.

Assim,1

r+

1

q≥ n− 2

n.

Porém, por outro lado,1

r+

1

q= 1− 1

p≥ n− 2

n.

Portanto, se H1(Ω) → Lq(Ω) e H1(Ω) → Lr(Ω), segue que p ≥ n

2.

Por m, basta que∫

Ω|u(x)|pσfdx < ∞, mas isso decorre se tomarmos p tal que H1(Ω) →

Lpσf (Ω), isto é, pelo Teorema 2.2.18 precisamos

pσf ≤2n

n− 2.

Porém, pela hipótese (H1) e das imersões acima,

σf ≤4

n− 2e p ≥ n

2.

Logo, basta escolher, por exemplo, p = n2 e que teremos

∫Ω|u(x)|pσfdx <∞, para vσf segue da

mesma forma. Portanto,

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ c ‖u− v‖H1(Ω)

(‖u‖σf

H1(Ω)+ ‖v‖σf

H1(Ω)+ |Ω|

1p

)‖φ‖H1(Ω) .

Tomando o supremo com ‖φ‖H1(Ω) = 1, temos que existe uma constante K2 = K2(|Ω|, R) > 0 talque

‖F (u)− F (v)‖H−1(Ω) ≤ K2 ‖u− v‖H1(Ω) .


Proposição 3.2.3 Suponha que g satisfaz (H1). Então, para ε ∈ [0, ε0], a aplicação

Gε : H1(Ω)→ H−1(Ω),

dada por (3.9) e (3.10) é localmente Lipschitziana, uniformemente em ε.

Demonstração:

Sejam u, v ∈ H1(Ω) com ‖u‖H1(Ω) , ‖v‖H1(Ω) ≤ R, para algum R > 0.Por denição, para cada ε ∈ [0, ε0],

‖Gε(u)−Gε(v)‖H−1(Ω) = supφ ∈ H1(Ω)‖φ‖H1(Ω) = 1

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉|.

Para cada φ ∈ H1(Ω) e 0 < ε ≤ ε0, vamos estimar |〈Gε(u)−Gε(v), φ〉|:

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ 1

ε

∫ωε

|g(x, u(x))− g(x, v(x))||φ(x)|dx

Para n = 2:Dado η = σ > 0 dado em Lema 3.2.1, pela hipótese (H1) existe cη > 0, tal que

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ cη1

ε

∫ωε

|u(x)− v(x)|(eη|u(x)|2 + eη|v(x)|2)|φ(x)|dx.

Note que podemos utilizar o Lema 2.7.1 com 1 < q <∞ quando Hsp(Ω) = H1(Ω) e n = 2, pois

1

2< 1 e 1− n

2≥ −n− 1

q⇒ 0 ≥ −1

q. Vamos usar q = 4.

Dessa forma, utilizando as desigualdades de Cauchy-Schwartz e Minkwoski e o Lema 2.7.1,obtemos

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ cη(

1

ε

∫ωε

|u(x)− v(x)|4dx) 1

4(

1

ε

∫ωε

|φ(x)|4dx) 1

4

[(1

ε

∫ωε

|eη|u(x)|2 |2dx) 1

2

+

(1

ε

∫ωε

|eη|v(x)|2 |2dx) 1

2

]

≤ cηc∗ ‖u− v‖H1(Ω) ‖φ‖H1(Ω)

[(1

ε

∫ωε

|eη|u(x)|2 |2dx) 1

2

+

(1

ε

∫ωε

|eη|v(x)|2 |2dx) 1

2

].

Utilizando o Lema 3.2.1, existe K > 0 tal que

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ cηC(K|ωε|ε

) 12

‖u− v‖H1(Ω) ‖φ‖H1(Ω) .

Utilizando que a medida de ωε é da ordem de ε com |ωε| ≤ kε|∂Ω|, para algum k > 0 indepen-dente de ε, então

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ 2cηC(Kk|∂Ω|)12 ‖u− v‖H1(Ω) ‖φ‖H1(Ω) .

Tomando o supremo com ‖φ‖H1(Ω) = 1, temos que existe uma constate K3 = K3(η, |∂Ω|, R) > 0independente de ε tal que

‖Gε(u)−Gε(v)‖H1(Ω) ≤ K3 ‖u− v‖H1(Ω) .



|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ c1

ε

∫ωε

|u(x)− v(x)|(|u(x)|σg + |v(x)|σg + 1)|φ(x)|dx.


q+

1

r+

1

p= 1, temos

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ c(

1

ε

∫ωε

|u(x)− v(x)|rdx) 1r(

1

ε

∫ωε

|φ(x)|qdx) 1q

(1

ε

∫ωε

(|u(x)|σg + |v(x)|σg + 1)p dx

) 1p

.

Usando também a desigualdade de Minkwoski, obtemos

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ c(

1

ε

) 1r

‖u− v‖Lr(ωε)(

1

ε

) 1q

‖φ‖Lq(ωε)[(1

ε

) 1p

‖uσg‖Lp(ωε)+

(1

ε

) 1p

‖vσg‖Lp(ωε)+

(|ωε|ε

) 1p

].

Primeiro, note que

(1

ε

) 1p

‖uσg‖Lp(ωε)=

[(1

ε

) 1pσg

‖u‖Lpσg (ωε)

]σg, análogo para vσg .

Para aplicarmos o Lema 2.7.1 com u ∈ Hsp(Ω) = H1(Ω), vamos precisar que

1− n

2≥ −n− 1

q, 1− n

2≥ −n− 1

re 1− n

2≥ −n− 1

σgp.

Portanto, basta escolher 1 < r, q ≤ 2(n− 1)

n− 2. Somando o inverso das duas parcelas, obtemos

que1

r+

1

q≥ n− 2

n− 1.

Por outro lado,1

r+

1

q= 1− 1

p, logo

1

p≤ 1

n− 1ou p ≥ n− 1.

Assim, se 1 < r, q ≤ 2(n− 1)

n− 2. concluímos que p ≥ n− 1 e vale o Lema 2.7.1, isto é, existe c > 0

independente de ε tal que(1

ε

) 1r

‖u− v‖Lr(ωε) ≤ C ‖u− v‖H1(Ω) e

(1

ε

) 1q

‖φ‖Lq(ωε) ≤ C ‖φ‖H1(Ω) .

Por m, também precisamos que pσg ≤2(n− 1)

n− 2. Porém pela hipótese (H1) e pela imersão

acima,

σg ≤2

n− 2e p ≥ n− 1.


Portanto, basta escolher, por exemplo, p = n− 1 que teremos(1

ε

) 1p

‖uσg‖Lp(ωε)≤ C ‖u‖σg

H1(Ω),

analogamente para vσg . Assim, utilizando que |ωε| ≤ kε|∂Ω|, para algum k > 0 independente de ε,obtemos

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ c ‖u− v‖H1(Ω)

(‖u‖σg

H1(Ω)+ ‖v‖σg

H1(Ω)+ 1)‖φ‖H1(Ω) ,

onde c = c(|∂Ω|) > 0 independe de ε.Tomando o supremo com ‖φ‖H1(Ω) = 1, temos que existe K4 = K4(|∂Ω|, R) > 0 independente

de ε tal que‖Gε(u)−Gε(v)‖H−1(Ω) ≤ K4 ‖u− v‖H1(Ω) .

Até então mostramos que para cada 0 < ε ≤ ε0, Gε é uma aplicação localmente Lipschitziana,uniformemente em ε.

Agora, para cada φ ∈ H1(Ω), vamos estimar |〈G0(u)−G0(v), φ〉|:

|〈G0(u)−G0(v), φ〉| ≤∫∂Ω|[γ(g(x, u(x)))− γ(g(x, v(x)))]γ(φ(x))|dS

=

∫∂Ω|[γ(g(x, u(x))− g(x, v(x)))]γ(φ(x))|dS.

Para n = 2:Dado η = σ > 0 do Lema 3.2.1, pela hipótese (H1), existe cη > 0, tal que

|〈G0(u)−G0(v), φ〉| ≤ cη∫∂Ω|γ(u(x)− v(x))|γ(eη|u(x)|2 + eη|v(x)|2)|γ(φ(x))|dS.

Utilizando as desigualdades de Cauchy-Schwartz e Minkwoski, temos

|〈G0(u)−G0(v), φ〉| ≤ cη ‖γ(u− v)‖L4(∂Ω)

[(∫∂Ω|γ(eη|u|

2)|2dS

) 12

+

(∫∂Ω|γ(eη|v|

2)|2dS

) 12

]‖γ(φ)‖L4(∂Ω) .

Pelo Lema 2.2.19, o operador traço γ : H1(Ω)→ L4(∂Ω) é linear contínuo.Utilizando novamente a desigualdade do Lema 3.2.1 e substituindo,

|〈G0(u)−G0(v), φ〉| ≤ cη ‖u− v‖H1(Ω) 2 (K|∂Ω|)12 ‖φ‖H1(Ω) .

Sob essas condições, tomando o supremo com ‖φ‖H1(Ω) = 1, segue que existe uma constanteK5 = K5(|∂Ω|, η, R) > 0 tal que∥∥G0(u)−G0(v)

∥∥H−1(Ω)

≤ K5 ‖u− v‖H1(Ω) .


|〈G0(u)−G0(v), φ〉| ≤ c∫∂Ω|γ(u(x)− v(x))|γ(|u(x)|σg + |v(x)|σg + 1)|γ(φ(x))|dS.


q+

1

r+

1

p= 1, e a desigualdade de Minkwoski, obtemos

|〈G0(u)−G0(v), φ〉| ≤ c ‖γ(u− v)‖Lr(∂Ω)

[‖γ(u)‖σgLσgp(∂Ω) + ‖γ(v)‖σgLσgp(∂Ω) + |∂Ω|

1p

]‖γ(φ)‖Lq(∂Ω) .


Neste caso também precisamos que o operador traço seja contínuo se denido em

H1(Ω)→ Lq(∂Ω), H1(Ω)→ Lr(∂Ω) e H1(Ω)→ Lpσg(∂Ω).

Então, pelo Lema 2.2.19, é suciente que:

1− n

2≥ −n− 1

q, 1− n

2≥ −n− 1

re 1− n

2≥ −n− 1

pσg.

Escolhendo 1 < r, q ≤ 2(n− 1)

n− 2. Somando o inverso das duas parcelas, obtemos que

1

r+

1

q≥ n− 2

n− 1.

Por outro lado,1

r+

1

q= 1− 1

p, logo

1

p≤ 1

n− 1ou p ≥ n− 1.

Assim, se 1 < r, q ≤ 2(n− 1)

n− 2. concluímos que p ≥ n− 1 e que o traço é contínuo, isto é,

‖γ(u− v)‖Lr(∂Ω) ≤ c ‖u− v‖H1(Ω) e ‖γ(φ)‖Lq(∂Ω) ≤ c ‖φ‖H1(Ω) .

Por m, precisamos analisar ‖γ(u)‖Lσgp(∂Ω).Pelo Lema 2.2.19 sabemos que

‖γ(u)‖Lpσg (∂Ω) ≤ k ‖u‖H1(Ω) ,

desde que

1− n

2≥ −n− 1

pσg⇒ pσg ≤

2(n− 1)

n− 2.

Por (H1), sabemos que

σg ≤2

n− 2,

portanto, basta escolher, por exemplo, p = n− 1, logo

|〈G0(u)−G0(v), φ〉| ≤ c ‖u− v‖H1(Ω)

(‖u‖σg

H1(Ω)+ ‖v‖σg

H1(Ω)+ 1)‖φ‖H1(Ω) ,

onde c = c(|∂Ω|) > 0.Tomando o supremo com ‖φ‖H1(Ω) = 1, temos que existe uma constante K6 = K6(|∂Ω|, R) > 0

tal que ∥∥G0(u)−G0(v)∥∥H−1(Ω)

≤ K6 ‖u− v‖H1(Ω) .

Como estamos estudando um problema no qual as não-linearidades podem ter a mesma ordemdo operador, enunciamos o teorema a seguir, no qual garante a existência local de soluções fracasdos problemas (1.1) e (1.4), ou ainda (3.11), e sua prova é uma consequência imediata dos resultadosdiscutidos em Arrieta e Carvalho (1999).

Teorema 3.2.4 [Existência, unicidade e dependência contínua]Suponha que as hipóteses (H1) e (P) sejam satisfeitas. Então, para cada 0 ≤ ε ≤ ε0 e u0 ∈

H1(Ω), existem T ε = T ε(u0) > 0 e uma única função contínua uε : [0, T ε) → H1(Ω) solução de

3.3 EXISTÊNCIA GLOBAL E LIMITAÇÃO UNIFORME DE SOLUÇÕES 43

(3.11), ou ainda uε solução de (1.1) e u0 de solução de (1.4), tal que

uε(t) = e−Aεtu0 +

∫ t

0e−A

ε(t−s)hε(uε(s))ds, t ∈ [0, T ε),

onde [0, T ε) é o intervalo maximal de existência da solução. E ainda, essa solução depende conti-nuamente do dado inicial.

Observação 3.2.5 A existência e unicidade de equações diferenciais estão condicionadas, no geral,a vericar que as funções envolvidas nas equação satisfazem a condição de Lipschtz, contudo, nemsempre é possível concluir essa demostração para qualquer espaço. Discutiremos no Apêndice Aoutra forma de obter essa condição de Lipschitz para as não linearidades abstratas.

3.3 Existência global e limitação uniforme de soluções

Nesta seção vamos concluir que as soluções de (1.1) e (1.4), ou ainda de (3.11) são global-mente denidas e uniformemente limitadas em H1(Ω) e L∞(Ω) para todo tempo. Vamos uti-lizar resultados de comparação para comparar as soluções de (1.1) e (1.4) com as soluções deproblemas parabólicos lineares com termos concentrados. A vantagem dessa comparação é que ocomportamento de problemas parabólicos lineares já foi analisado em Rodríguez-Bernal (2011) eJiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2011). Para tanto, além da hipótese (H1), vamos precisar dacondição de sinal (H2) para mostrarmos que as soluções de (1.1) e (1.4) são uniformemente limi-tadas em intervalos compactos de R+ e consequentemente concluir que são globalmente denidas.Agora, para obtermos a limitação uniforme das soluções de (1.1) e (1.4), para todo tempo, as hi-póteses (H1) e (H2) não serão sucientes, precisamos também da condição de dissipatividade (H3).Novamente, vamos enunciar aqui as hipóteses (H2) e (H3).

(H2) - Condição de sinal.

Suponha que existem funções C ∈ Lp(Ω), 0 ≤ D ∈ Lp(Ω), onde p > n2 , E ∈ L

q(Ω), 0 ≤ F ∈Lq(Ω), onde q > n− 1, tais que

sf(x, s) ≤ C(x)s2 +D(x)|s|, x ∈ Ω e s ∈ R,

sg(x, s) ≤ E(x)s2 + F (x)|s|, x ∈ Ω e s ∈ R.

Além disso, para ε ∈ (0, ε0], existem constantes K2,K3 > 0 independentes de ε tais que

1

ε

∫ωε

|E|r1dx ≤ K2, onde r1 > n− 1;

1

ε

∫ωε

|F |r2dx ≤ K3, onde r2 > max

1,

2(n− 1)

n

.

(H3) - Condição de dissipação.

Suponha que o primeiro autovalor, λ1, do problema a seguir é positivo −∆φ(x)− C(x)φ(x) + µφ(x) = λ1φ(x), x ∈ Ω∂φ

∂~n(x) + V0(x)φ(x) = E(x)φ(x), x ∈ ∂Ω

onde C e E são como em (H2).

Usaremos a (H2) para comparar as soluções de (1.1) e (1.4) com as soluções dos seguintesproblemas parabólicos lineares:


∂wε

∂t+ Lεwε = C(x)wε +D(x) +

1

εχωε(x)[E(x)wε + F (x)], (t, x) ∈ (0,∞)× Ω

∂wε

∂~n= 0, (t, x) ∈ (0,∞)× ∂Ω

wε(0) = |u0|, Ω

(3.12)

onde Lε é dado por (1.2), e

∂w0

∂t+ L0w0 = C(x)w0 +D(x), (t, x) ∈ (0,∞)× Ω,

∂w0

∂~n+ V0(x)w0 = E(x)w0 + F (x), (t, x) ∈ (0,∞)× ∂Ω

w0(0) = |u0|, Ω

(3.13)

onde L0 é dado por (1.5).De forma análoga aos problemas (1.1) e (1.4), vamos escrever as formas abstratas de (3.12) e

(3.13) assoaciadas, respectivamente, às suas fórmulas variacionais:

∫Ω

[∂wε

∂t(t, x)φ(x) + µwε(t, x)φ(x) +∇wε(t, x)∇φ(x)

]dx+

1

ε

∫ωε

Vε(x)wε(t, x)φ(x)dx =∫Ω

[C(x)wε(t, x) +D(x)]φ(x)dx+1

ε

∫ωε

[E(x)wε(t, x) + F (x)]φ(x)dx,

∫Ω

[∂w0

∂t(t, x)φ(x) + µw0(t, x)φ(x) +∇w0(t, x)∇φ(x)

]dx+

∫∂ΩV0(x)w0(t, x)φ(x)dS =∫

Ω[C(x)w0(t, x) +D(x)]φ(x)dx+

∫∂Ω

[E(x)w0(t, x) + F (x)]φ(x)dS.

Denimos H0 : H1(Ω)→ H−α(Ω),1

2< α ≤ 1, por

〈H0(w), φ〉 =

∫Ω

[C(x)w(x) +D(x)]φ(x)dx+

∫∂Ωγ(E(x)w(x) + F (x))γ(φ(x))dS,

para w ∈ H1(Ω) e φ ∈ Hα(Ω).

Para cada 0 < ε ≤ ε0, denimos Hε : H1(Ω)→ H−α(Ω),1

2< α ≤ 1, por

〈Hε(w), φ〉 =

∫Ω

[C(x)w(x) +D(x)]φ(x)dx+1

ε

∫ωε

[E(x)w(x) + F (x)]φ(x)dx,

para w ∈ H1(Ω) e φ ∈ Hα(Ω).Procedendo de maneira análoga a Seção 3.1, a fórmula abstrata dos problemas (3.12) e (3.13) é

dada por

wεt +Aεwε = Hε(wε), t > 0wε(0) = |u0| ∈ H1(Ω)

(3.14)

com 0 ≤ ε ≤ ε0.A existência global e unicidade de soluções fracas dos problemas parabólicos lineares (3.12) e

(3.13), ou ainda (3.14), em H1(Ω) seguem dos resultados de Rodríguez-Bernal (2011) (Corolário2.6) ou Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2011) (Teorema 3.2).


Agora, para garantirmos existência global de soluções de (1.1) e (1.4), vamos usar o Corolário2.5.3, mas para tanto, primeiramente, precisamos provar que as aplicações hε : H1(Ω)→ H−α(Ω),

com1

2< α ≤ 1 são uniformemente limitadas sob limitados, onde hε = F +Gε, ε ∈ [0, ε0], com F e

Gε dadas em (3.8), (3.10) e (3.9).

Lema 3.3.1 Suponha que f, g : Ω×R→ R são funções uniformemente contínuas. Se u ∈ H1(Ω)∩L∞(Ω) e ‖u‖L∞(Ω) ≤ R, para alguma constante R > 0, e 1

2 < α ≤ 1, então existe uma constanteC = C(R) > 0 independente de ε tal que

‖hε(u)‖H−α(Ω) ≤ C, 0 ≤ ε ≤ ε0.

Demonstração:

Como hε = F + Gε, ε ∈ (0, ε0], e h0 = F + G0, vamos mostrar que F e Gε, 0 ≤ ε ≤ ε0, ondeF,Gε são dadas por (3.8), (3.9) e (3.10), são uniformemente limitadas sob limitados de L∞(Ω).

Primeiro para F . Por denição,

‖F (u)‖H−α(Ω) = supφ ∈ Hα(Ω)‖φ‖Hα(Ω) = 1

|〈F (u), φ〉|.

Para cada φ ∈ Hα(Ω),

|〈F (u), φ〉| ≤∫

Ω|f(x, u(x))φ(x)|dx.

Como f é uniformemente contínua em Ω × R e ‖u‖L∞(Ω) ≤ R, então existe uma constanteL1 = L1(R) > 0 tal que ‖f(·, u(·))‖L∞(Ω) ≤ L1. Logo,

|〈F (u), φ〉| ≤ ‖f(·, u(·))‖L∞(Ω)

∫Ω|φ(x)|dx ≤ L1

∫Ω|φ(x)|dx.

Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwartz,

|〈F (u), φ〉| ≤ |Ω|12L1 ‖φ‖L2(Ω) .

Pelo Teorema 2.2.18, Hα(Ω) → L2(Ω), com1

2< α ≤ 1. Logo,

|〈F (u), φ〉| ≤ |Ω|12 L1 ‖φ‖Hα(Ω) .

Tomando o supremo com ‖φ‖Hα(Ω) = 1, obtemos

‖F (u)‖H−α(Ω) ≤ C1,

onde C1 depende apenas de R, uma vez que Ω é limitado.Considere 0 ≤ ε ≤ ε0. Por denição,

‖Gε(u)‖H−α(Ω) = supφ ∈ Hα(Ω)‖φ‖Hα(Ω) = 1

|〈Gε(u), φ〉|.

Para cada φ ∈ Hα(Ω) e 0 < ε ≤ ε0, vamos estimar |〈Gε(u), φ〉|:

|〈Gε(u), φ〉| ≤ 1

ε

∫ωε

|g(x, u(x))φ(x)|dx.

Como g é uniformemente contínua em Ω × R e ‖u‖L∞(Ω) ≤ R, então existe uma constanteL2 = L2(R) > 0 tal que ‖g(·, u(·))‖L∞(Ω) ≤ L2. Logo,


|〈Gε(u), φ〉| ≤ ‖g(·, u(·))‖L∞(ωε)

1

ε

∫ωε

|φ(x)|dx ≤ ‖g(·, u(·))‖L∞(Ω)

1

ε

∫ωε

|φ(x)|dx

≤ L21

ε

∫ωε

|φ(x)|dx.

Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwartz e |ωε| ≤ kε|∂Ω|, para algum k > 0 independentede ε, obtemos

|〈Gε(u), φ〉| ≤ L2 (k|∂Ω|)12

(1

ε

∫ωε

|φ(x)|2dx) 1

2

.

Utilizando o Lema 2.7.1, existe C > 0 independente de ε tal que

|〈Gε(u), φ〉| ≤ L2 (k|∂Ω|)12 C ‖φ‖Hα(Ω) .

Agora, tomando o supremo com ‖φ‖Hα(Ω) = 1, obtemos

‖Gε(u)‖H−α(Ω) ≤ C2,

onde C2 = C2(R) > 0 independe de ε.Por m, para ε = 0 e φ ∈ Hα(Ω), temos

|〈G0(u), φ〉| ≤∫∂Ω|γ(g(x, u(x)))γ(φ(x))|dS.

Como g é uniformemente contínua em Ω × R e ‖u‖L∞(Ω) ≤ R, então existe uma constanteL3 = L3(R) > 0 tal que ‖γ(g(·, u(·)))‖L∞(∂Ω) ≤ L3. Assim, utilizando a desigualdade de Cauchy-

Schwartz e o Lema 2.2.19 para garantir que o traço é um operador contínuo de Hα(Ω) em L2(∂Ω),obtemos

|〈G0(u), φ〉| ≤ ‖γ(g(·, u(·)))‖L∞(∂Ω) (|∂Ω|)12 ‖γ(φ)‖L2(∂Ω) ≤ L3 (|∂Ω|)

12 ‖φ‖Hα(Ω) .

Tomando o supremo com ‖φ‖Hα(Ω) = 1, temos∥∥G0(u)∥∥H−α(Ω)

≤ C3,

onde C3 = C3(R) > 0 independe de ε.

Lema 3.3.2 Suponha que f, g : Ω× R → R são funções uniformemente contínuas, f(x, ·), g(x, ·) :R → R são localmente Lipschitzianas uniformemente em x ∈ Ω e x ∈ Ω, respectivamente, e seja1

2< α ≤ 1. Se u, v ∈ L∞(Ω) ∩ H1(Ω), ‖u‖L∞(Ω) ≤ R e ‖v‖L∞(Ω) ≤ R, para alguma constante

R > 0. Então, existe uma constante L = L(R) > 0 independente de ε tal que

‖hε(u)− hε(v)‖H−α(Ω) ≤ L ‖u− v‖H1(Ω) , 0 ≤ ε ≤ ε0.

Demonstração:

Vamos dividir a demonstração em etapas. Primeiramente, para F , por denição,

‖F (u)− F (v)‖H−α(Ω) = supφ ∈ Hα(Ω)‖φ‖Hα(Ω) = 1

|〈F (u)− F (v), φ〉|.

Para cada φ ∈ Hα(Ω), vamos estimar |〈F (u)− F (v), φ〉|:


|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤∫

Ω| (f(x, u(x))− f(x, v(x)))φ(x)|dx.

Como f(x, ·) : R → R é localmente Lipschitz uniformemente em x ∈ Ω e u ∈ L∞(Ω) com‖u‖L∞(Ω) ≤ R, então existe uma constante L1 = L1(R) > 0 tal que

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ L1

∫Ω|u(x)− v(x)||φ(x)|dx.

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz, obtemos

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ L1 ‖u− v‖L2(Ω) ‖φ‖L2(Ω) .

Pelo Teorema 2.2.18, Hα(Ω) → L2(Ω), com1

2< α ≤ 1. Logo,

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ L1 ‖u− v‖H1(Ω) ‖φ‖Hα(Ω) .

Tomando o supremo com ‖φ‖Hα(Ω) = 1, obtemos que existe uma constante L = L(R) > 0 talque

‖F (u)− F (v)‖H−α(Ω) ≤ L ‖u− v‖H1(Ω) .

Agora mostremos para Gε. Considere ε ∈ [0, ε0], por denição,

‖Gε(u)−Gε(v)‖H−α(Ω) = supφ ∈ Hα(Ω)‖φ‖Hα(Ω) = 1

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉|.

Para cada φ ∈ Hα(Ω), vamos estimar |〈Gε(u)−Gε(v), φ〉:

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ 1

ε

∫ωε

|g(x, u(x))− g(x, v(x))||φ(x)|dx.

Como g(x, ·) : R → R é localmente Lipschitz uniformemente em x ∈ Ω e u ∈ L∞(Ω) com‖u‖L∞(Ω) ≤ R, então existe uma constante L2 = L2(R) > 0 tal que

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ L21

ε

∫ωε

|u(x)− v(x)||φ(x)|dx.

Usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ L2

(1

ε

∫ωε

|u(x)− v(x)|2dx) 1

2(

1

ε

∫ωε

|φ(x)|2dx) 1

2

,

ou ainda,

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ L2

(1

ε

) 12

‖u− v‖L2(ωε)

(1

ε

) 12

‖φ‖L2(ωε).

Pelo Lema 2.7.1, com q = 2, obtemos que existe uma constante C > 0, independente de ε, talque

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ L2C ‖u− v‖H1(Ω) ‖φ‖Hα(Ω) .

Tomando o supremo com ‖φ‖Hα(Ω) = 1, obtemos que existe uma constante L = L(R) > 0,independente de ε, tal que

‖Gε(u)−Gε(v)‖H−α(Ω) ≤ L ‖u− v‖H1(Ω) .


Para ε = 0, as contas seguem análogas, contudo, em vez de usar o Lema 2.7.1, usamos que otraço denido em

γ : Hα(Ω)→ L2(∂Ω)

é contínuo para1

2< α ≤ 1. Portanto, segue que existe uma constante L = L(R) > 0 tal que

∥∥G0(u)−G0(v)∥∥H−α(Ω)

≤ L ‖u− v‖H1(Ω) .

Como usaremos resultados abstratos de comparação, então precisamos de uma ordem nos espa-ços abstratos que estamos trabalhando. Com base nos resultados de Amann (1995) e pelo TeoremaA.13. de Arrieta et al. (2008), podemos armar que H1(Ω) e H−α(Ω) são espaços de Banach orde-nados, respectivamente, com a ordem induzida por L2(Ω) e a ordem canônica do dual, denidas aseguir.

Denição 3.3.3 (Relação de ordem) Sejam 1 < p < ∞, f, g ∈ Lp(Ω) e α ≥ 0, dizemos quef ≤ g em Lp(Ω) se, e somente, se f(x) ≤ g(x) para quase todo x ∈ Ω. E ainda, para f, g ∈ (Hα

p (Ω))′

denimos a ordem canonica do dual por: f ≤ g em (Hαp (Ω))′ se 〈f, φ〉 ≤ 〈g, φ〉 para toda 0 ≤ φ ∈

Hαp (Ω).

A seguir, daremos um resultado de comparação para problemas parabólicos com condições defronteira não linear cuja prova pode ser encontrada no Corolário A.14 em Arrieta et al. (2000).

Lema 3.3.4 (Primeiro critério de comparação) Considere o problema parabólico:

∂w

∂t− div(a(x)∇w) + c(x)w = f(x,w), (0,∞)× Ω

a(x)∂w∂~n + b(x)w = g(x,w), (0,∞)× ∂Ω

w(0) = w0, Ω

(3.15)

onde f, g : Ω × R → R são funções localmente Lipschitz em w uniformemente em x ∈ Ω e x ∈ Ω,respectivamente. Suponha que as funções a, b, c e w0 satisfazem condições para o problema (3.15)ser bem posto, por exemplo, em Lp(Ω). Então, enquanto as soluções existirem, temos:

1. Se w0 ≥ 0, f(x, 0) ≥ 0 e g(0, x) ≥ 0, ∀x ∈ Ω, então w(t) ≥ 0;

2. Se w1 ≥ w0, então w(t, w1, f, g) ≥ w(t, w0, f, g);

3. Se f1(x,w) ≥ f0(x,w), g1(x,w) ≥ g0(x,w) e w1 ≥ w0, então w(t, w1, f1, g1) ≥ w(t, w0, f0, g0),onde w(t, wi, fi, gi) denota a solução de (3.15) com condição inicial wi e não linearidades fi, gi,i = 1, 2.

Agora, podemos provar o resultado principal desta seção.

Teorema 3.3.5 Assuma que as hipóteses (H1), (H2) e (P) são satisfeitas. Seja B ⊂ H1(Ω) umsubconjunto limitado e suponha que u0 ∈ B, temos:

1. Dado T > 0, existe uma constante K(T,B) > 0 independente de ε tal que

‖uε(t, u0)‖L∞(Ω)∩H1(Ω) ≤ K(T,B), ∀t ∈ [0, T ] e 0 ≤ ε ≤ ε0,

onde para cada 0 ≤ ε ≤ ε0, uε é a solução maximal de (1.1) e (1.4), ou ainda (3.11).


2. As soluções uε de (1.1) e (1.4) são globalmente denidas. Em particular, para cada 0 ≤ ε ≤ ε0,temos um semigrupo não linear associado a essas soluções, dado por -

T ε(t) : H1(Ω) → H1(Ω)u0 7→ T ε(t)u0 = uε(t, u0).

3. Se (H3) também vale, então existem constantes K∞, C∞ > 0 independentes de ε tais que

limt→∞

sup ‖uε(t, u0)‖L∞(Ω) ≤ K∞

elimt→∞

sup ‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤ C∞,

e os limites acima são uniformes para u0 ∈ B.

4. Se (H3) também vale e, para cada 0 ≤ ε ≤ ε0, Φε é a solução dos seguintes problemas elípticos−∆Φε + (µ− C(x))Φε +

1

εχωε(x)[Vε(x)− E(x)]Φε = D(x) +

1

εχωε(x)F (x), Ω

∂Φε

∂~n= 0, ∂Ω

(3.16)

e −∆Φ0 + (µ− C(x))Φ0 = D(x), Ω∂Φ0

∂~n+ V0(x)Φ0 = E(x)Φ0 + F (x), ∂Ω

. (3.17)

Então, 0 ≤ Φε ∈ L∞(Ω) e limt→∞

sup |uε(t, x, u0)| ≤ Φε(x), uniformemente em x ∈ Ω e para

u0 ∈ B.

Demonstração:

Item 1.

Para cada 0 ≤ ε ≤ ε0, seja wε+(t, |u0|) as soluções dos problemas parabólicos lineares (3.12) e(3.13).

Uma vez que vale a hipótese (H2), então F,D ≥ 0. Logo, considerando as funções

f ε1(x,w) = C(x)w +D(x) +1

εχωε(x)[E(x)w + F (x)], x ∈ Ω, w ∈ R e 0 < ε ≤ ε0;

f01 (x,w) = C(x)w +D(x), x ∈ Ω e w ∈ R;

g1(x,w) = E(x)w + F (x), x ∈ Ω e w ∈ R;

obtemos, para quase todo x ∈ Ω e 0 < ε ≤ ε0,

f ε1(x, 0) = D(x) +1

εχωε(x)F (x) ≥ 0;

f01 (x, 0) = D(x) ≥ 0;g1(x, 0) = F (x) ≥ 0.

Além disso, |u0(x)| ≥ 0, para quase todo x ∈ Ω. Logo, pelo item 1. do Lema 3.3.4 temos quewε+(t, |u0|) ≥ 0, ∀0 ≤ ε ≤ ε0.

Agora, u0(x) ≤ |u0(x)|, para quase todo x ∈ Ω, e pela hipótese (H2) sabemos que:

f(x,w) ≤ f01 (x,w), ∀x ∈ Ω e w ≥ 0;

g(x,w) ≤ g1(x,w), ∀x ∈ Ω e w ≥ 0;

f(x,w) +1

εχωε(x)g(x,w) ≤ f ε1(x,w), ∀x ∈ Ω, w ≥ 0 e 0 < ε ≤ ε0.


Usando o item 3. do Lema 3.3.4, para cada 0 ≤ ε ≤ ε0, obtemos que uε(t, u0) ≤ wε+(t, |u0|) tãolongo quanto a solução uε(t, u0) existir.

Por outro lado, podemos considerar os problemas parabólicos lineares

∂wε

∂t+ Lεwε = C(x)wε −D(x) +

1

εχωε(x)[E(x)wε − F (x)], (0,∞)× Ω

∂wε

∂~n= 0, (0,∞)× ∂Ω

wε(0) = −|u0|, Ω

(3.18)

onde Lε é dado por (1.2).

∂w0

∂t+ L0w0 = C(x)w0 −D(x), (0,∞)× Ω,

∂w0

∂~n+ V0(x)w0 = E(x)w0 − F (x), (0,∞)× ∂Ω

w0(0) = −|u0|, Ω

(3.19)

onde Lε é dado por (1.5).Seja wε−(t,−|u0|) a solução de (3.18) e (3.19), pela unicidade de soluções, temos que wε−(t,−|u0|) =

−wε+(t, |u0|) é a única solução dos problemas (3.18) e (3.19).Analogamente ao que zemos anteriormente, denindo as funções

f ε2(x,w) = C(x)w −D(x) +1

εχωε(x)[E(x)w − F (x)], x ∈ Ω, w ∈ R e 0 < ε ≤ ε0;

f02 (x,w) = C(x)w −D(x), x ∈ Ω e w ∈ R;

g2(x,w) = E(x)w − F (x), x ∈ Ω e w ∈ R,

e obtemos que wε−(t,−|u0|) ≤ 0, 0 ≤ ε ≤ ε0.Agora, −|u0(x)| ≤ u0(x), para quase todo x ∈ Ω, e pela hipótese (H2) sabemos que:

f(x,w) ≥ f02 (x,w), ∀x ∈ Ω e w ≤ 0,

g(x,w) ≥ g2(x,w), ∀x ∈ Ω e w ≤ 0,

f(x,w) +1

εχωε(x)g(x,w) ≥ f ε2(x,w), ∀x ∈ Ω, w ≤ 0 e 0 < ε ≤ ε0.

Assim, de forma análoga, pelo item 3. do Lema 3.3.4 obtemos que uε(t, u0) ≥ wε−(t,−|u0|) =−wε+(t, |u0|) tão longo quanto uε(t, u0) existir.

Portanto, concluímos que |uε(t, u0)| ≤ wε+(t, |u0|) tão longo quanto a solução uε(t, u0) existir.Para cada 0 ≤ ε ≤ ε0, seja Φε a única solução de (3.16) e (3.17), o qual é a única solução de

equilíbrio de (3.12) e (3.13). Pelo resultado de convergência e limitação obtido no Teorema 2.8.1,temos que Φε → Φ0 em L∞(Ω), quando ε→ 0 e

‖Φε‖L∞(Ω) ≤ K, ∀0 ≤ ε ≤ ε0,

onde K > 0 independe de ε. Além disso, pelo Corolário 2.6 de Rodríguez-Bernal (2011) ou provado Teorema 3.5 de Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2011), wε+(t, |u0|) ∈ L∞(Ω).

Denimos agoravε(t, x) = wε+(t, x)− Φε(x), 0 ≤ ε ≤ ε0,

que satisfaz uma equação parabólica linear semelhante a (3.12) e (3.13), mas com condição inicial

v(0, x) = wε+(0, x)− Φε(x) = |u0(x)| − Φε(x), x ∈ Ω.

Vamos usarvε(t) := vε(t, |u0| − Φε).


Utilizando a estimativa do semigrupo, (3.6), para t > 0 temos

‖vε(t)‖L∞(Ω) ≤M3eβtt−

n4 ‖|u0| − Φε‖L2(Ω) ≤ M3e

βtt−n4

(‖|u0|‖H1(Ω) + ‖Φε‖L∞(Ω)

),

para qualquer −β < λ01, onde λ1 é o primeiro autovalor do problema elíptico (1.3).

Dado T > 0 no intervalo maximal de existência de uε(t, u0), temos que existe uma constanteK1(T,B,K) > 0, independente de ε, tal que

‖vε(t)‖L∞(Ω) ≤ K1(T,B,C), ∀t ∈ [0, T ].

Portanto, para t ∈ [0, T ],∥∥wε+(t, |u0|)∥∥L∞(Ω)

≤ ‖vε(t)‖L∞(Ω) + ‖Φε‖L∞(Ω) ≤ K1(T,B,K) +K.

Utilizando que |uε(t, u0)| ≤ wε+(t, |u0|), obtemos que uε(t, u0) ∈ L∞(Ω) e

‖uε(t, u0)‖L∞(Ω) ≤ K2(T,B,K), ∀t ∈ [0, T ], (3.20)

onde K2(T,B,K) > 0 independe de ε.Agora, para t ∈ [t0, T ]. Pela fórmula da variação das constantes

uε(t, u0) = e−Aεtu0 +

∫ t

t0

e−Aε(t−s)hε(uε(s, u0))ds.

Tomando a norma H1(Ω) e utilizando a estimativa de semigrupo (3.6) com1

2< α < 1, temos

‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤M1eβt ‖u0‖H1(Ω) +

∫ t

t0

M2eβ(t−s)(t− s)−( 1+α

2) ‖hε(uε(s, u0))‖H−α(Ω) ds,

para qualquer −β < λ1. Além disso, como uε(t, u0) ∈ H1(Ω) ∩ L∞(Ω) e vale (3.20), então peloLema 3.3.1 existe uma constante C = C(T,B,K) > 0 que não depende de ε tal que

‖hε(uε(s, u0))‖H−α(Ω) ≤ C, ∀s ∈ [t0, T ].

Logo,

‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤M1eβt ‖u0‖H1(Ω) +M2C

∫ t

t0

eβ(t−s)(t− s)−( 1+α2

)ds.

Agora, o lado direito da desigualdade acima é limitado para t ∈ [t0, T ]. Logo, existe umaconstante K(T,B) > 0 independente de ε tal que

‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤ K(T,B), ∀t ∈ [0, T ] e ∀0 ≤ ε ≤ ε0.

Item 2.No item 1., provamos que para cada 0 ≤ ε ≤ ε0 , uε(t, u0) ∈ H1(Ω) ∩ L∞(Ω) e que a norma

de uε(t, u0) permanece uniformemente limitada em H1(Ω)∩L∞(Ω), para t em intervalos de temponito. Logo, usando o Corolário 2.5.3 e os Lemas 3.3.1 e 3.3.2, obtemos que as soluções uε(t, u0) de(1.1) e (1.4) são denidas para todo t ≥ 0 e temos um semigrupo não linear em H1(Ω) dado porT ε(t)u0 = uε(t, u0).

Note que as constantes obtidas no item 1. poderiam depender de ε, pois para a existência globalbastaria que para cada 0 ≤ ε ≤ ε0, uε(t, u0) permaneça limitada em intervalos de tempo nito.Item 3.

Quando a condição (H3) vale, então em (3.16) e (3.17), o operador elíptico é positivo, logo temosum decaimento exponencial do semigrupo linear (como visto na discussão anterior). Mais ainda,se vale (H2), D,F ≥ 0, e portanto, Φε ≥ 0. Novamente, tomando vε(t, x) = wε+(t, x) − Φε(x) e


utilizando a estimativa (3.7), temos que

‖vε(t)‖L∞(Ω) ≤Me−βtt−n4

(‖|u0|‖H1(Ω) + ‖Φε‖L∞(Ω)

),

para algum β > 0.Note que ‖vε(t)‖L∞(Ω) → 0 se t→∞. Consequentemente,

∥∥wε+(t, |u0|)∥∥L∞(Ω)

≤ ‖vε(t)‖L∞(Ω) + ‖Φε‖L∞(Ω) → ‖Φε‖L∞(Ω) , quando t→∞,

uniformemente para u0 ∈ B.Por outro lado, sabemos que |uε(t, u0)| ≤ wε+(t, |u0|). Portanto, existe uma constante K∞ > 0

independente de ε tal quelimt→∞

sup ‖uε(t, u0)‖L∞(Ω) ≤ K∞,

uniformemente para u0 ∈ B.Para t ≥ t0, onde t0 > 0 é sucientemente grande, tal que

‖uε(s, u0)‖L∞(Ω) ≤ K∞ + η, ∀s ≥ t0,

para algum η > 0. Agora, utilizando a fórmula da variação das constantes e a estimativa (3.7),1

2< α < 1, temos

‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤∥∥e−Aεtu0

∥∥H1(Ω)

+

∫ t

t0

∥∥∥e−Aε(t−s)hε(uε(s, u0))∥∥∥H1(Ω)

ds

≤M1e−βt ‖u0‖H1(Ω) +M2

∫ t

t0

e−β(t−s)(t− s)−( 1+α2 ) ‖hε(uε(s, u0))‖H−α(Ω) ds,

para algum β > 0.Pelo Lema 3.3.1, existe uma constante positiva C > 0 independente de ε tal que

‖hε(uε(s, u0))‖H−α(Ω) ≤ C, ∀s ≥ t0.

Logo,

‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤M1e−βt ‖u0‖H1(Ω) +M2C

∫ t

t0

e−β(t−s)(t− s)−( 1+α2 )ds.

Tomando w = t−s temos que dw = −ds, se s = t0 ⇒ w = t−t0 e s = t⇒ w = 0. Substituindo,∫ t

t0

e−β(t−s)(t− s)−( 1+α2 )ds = −

∫ 0

t−t0e−βw(w)−( 1+α

2 )dw =

∫ t−t0

0e−βw(w)−( 1+α

2 )dw

<

∫ ∞0

e−βw(w)−( 1+α2 )dw = β( 1+α

2 )−1Γ

(1− 1 + α

2

),

(3.21)

onde Γ(z) =

∫ ∞0

xz−1e−xdx, com Re(z) > 0, é a função Gama. Note que

1

2< α < 1⇒ 3

4<

1 + α

2< 1⇒ 0 < 1− 1 + α

2<

1

4.

Logo, tomamos z = 1− 1 + α

2, temos

‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤M1e−βt ‖u0‖H1(Ω) +M2Cβ

( 1+α2 )−1Γ

(1− 1 + α

2

).


Portanto, existe uma constante C∞ > 0 independente de ε tal que

limt→∞

sup ‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤ C∞,

independente para u0 ∈ B.Item 4.

Nos itens anteriores, já obtemos que, para cada 0 ≤ ε ≤ ε0, 0 ≤ Φε ∈ L∞(Ω). E ainda,

|uε(t, x, u0)| ≤ wε+(t, x, |u0|) = vε(t, x, |u0| − Φε) + Φε(x) ≤ ‖vε(t)‖L∞(Ω) + Φε(x).

Como ‖vε(t)‖L∞(Ω) → 0 se t→∞, obtemos que

limt→∞

sup |uε(t, x, u0)| ≤ Φε(x), ∀x ∈ Ω,

uniformemente para u0 ∈ B.

Observação 3.3.6 A limitação uniforme das soluções para todo t ≥ 0 é importante na prova deexistência e limitação uniforme dos atratores, para garantirmos que o semigrupo não linear levaconjuntos limitados de H1(Ω) em órbitas limitadas de H1(Ω).

Entretanto, apenas a Observação 3.3.6 não é o suciente para provar a existência de atratores,pois precisamos que o semigrupo não linear seja assintoticamente compacto e, para isso, é necessáriomais suavidade. Dessa forma, vamos enunciar um resultado que garante a limitação uniforme dassoluções em um espaço um pouco mais regular que H1(Ω). A prova desse resultado pode ser obtidaseguindo os mesmos passos da prova do Teorema 3.3.5, porém trabalhando nas escalas de espaçosde Banach construídas anteriormente na Seção 3.1. Essa prova pode ser encontrada no Lema 4.5em Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2011).

Teorema 3.3.7 Assuma que as hipóteses (H1), (H2), (H3) e (P) são satisfeitas. Para qualquer

1 < γ < 1 +1

2=

3

2existe uma constante Kγ > 0 independente de ε tal que as soluções globais dos

problemas (1.1) e (1.4) no Teorema 3.3.5 satisfazem

limt→∞

sup ‖uε(t, u0)‖Hγ(Ω) ≤ Kγ ,

e este limite é uniforme para u0 ∈ B, onde B ⊂ L2(Ω) é um subconjunto limitado.


Capítulo 4

Semicontinuidade superior dos atratores

e dos equilíbrios

Neste capítulo vamos provar a existência e semicontinuidade superior da família de atratoresAεε∈[0,ε0], em ε = 0, bem como a semicontinuidade superior da família de equilíbrios Eεε∈[0,ε0],em ε = 0. Para tanto, inicialmente, vamos obter a convergência das soluções, isto é, vamos provarque (1.4) é o problema limite de (1.1). Estaremos assumindo todas as hipóteses (H1), (H2), (H3) e(P) dadas anteriormente.

4.1 Convergência das soluções

Vamos provar que as soluções dos problemas concentrado (1.1) convergem para a única soluçãodo problema (1.4) uniformemente em intervalos compactos de R+ e para a condição inicial emsubconjuntos limitados de H1(Ω), isto é, a convergência dos semigrupos não lineares,∥∥T ε(t)u0 − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

→ 0, quando ε→ 0,

uniformemente para u0 ∈ B e t ∈ [0, T ], onde B ⊂ H1(Ω) é limitado e T > 0. Logo, o problemalimite de (1.1) é o problema parabólico (1.4). Para concluir esse resultado, vamos dividir as contasem etapas. Primeiro, vamos mostrar a convergência das não linearidades concentradas.

Lema 4.1.1 Suponha que (H1) seja satisfeita. Se ‖u‖H1(Ω)∩L∞(Ω) ≤ R, para algum R > 0, e1

2< α ≤ 1, então existe M(ε, R)→ 0 quando ε→ 0 tal que∥∥hε(u)− h0(u)

∥∥H−α(Ω)

≤M(ε, R).

Demonstração:

Primeiramente, vamos mostrar o caso α = 1. Observe que∥∥hε(u)− h0(u)∥∥H−1(Ω)

=∥∥(F +Gε)(u)− (F +G0)(u)

∥∥H−1(Ω)

=∥∥Gε(u)−G0(u)

∥∥H−1(Ω)

.

Por denição, ∥∥Gε(u)−G0(u)∥∥H−1(Ω)

= supφ ∈ H1(Ω)‖φ‖H1(Ω) = 1

|〈Gε(u)−G0(u), φ〉|,

onde para cada φ ∈ H1(Ω) e usando (3.9) e (3.10), temos

|〈Gε(u)−G0(u), φ〉| =∣∣∣∣1ε∫ωε

g(x, u(x))φ(x)dx−∫∂Ωγ(g(x, u(x)))γ(φ(x))dS

∣∣∣∣ .55

56 SEMICONTINUIDADE SUPERIOR DOS ATRATORES E DOS EQUILÍBRIOS 4.1

Seja 0 ≤ δ < ε, utilizando as notações da Seção 2.7 temos que ωε =⋃

0≤δ<εΓδ. Logo, usando

(2.3),

|〈Gε(u)−G0(u), φ〉| =∣∣∣∣1ε∫ ε

0

∫Γδ

g(x, u(x))φ(x)dSδdδ −∫∂Ωγ(g(x, u(x)))γ(φ(x))dS

∣∣∣∣ .Pela continuidade da aplicação dada no item 1. do Lema 2.7.1, podemos tomar o supremo na

igualdade acima e obter

|〈Gε(u)−G0(u), φ〉| ≤ supδ∈[0,ε]

∣∣∣∣∫Γδ

g(x, u(x))φ(x)dSδ −∫∂Ωγ(g(x, u(x)))γ(φ(x))dS

∣∣∣∣ = supδ∈[0,ε]

|I(δ)|.

Vamos estimar |I(δ)|.Fazendo a mudança de variável com o difeomorsmo, τδ, denido na Seção 2.7 e usando (2.4),

temos

|I(δ)| =∣∣∣∣∫∂Ωγ(g(τδ(x), u(τδ(x))))γ(φ(τδ(x)))J(τδ(x))− γ(g(x, u(x)))γ(φ(x))dS

∣∣∣∣ ,com 0 < J1 ≤ J(τδ(x)) ≤ J2 e ‖J(τδ)− I‖L∞(∂Ω) → 0 quando δ → 0, ∀x ∈ ∂Ω e δ ∈ [0, ε). Vamossomar e subtrair dentro da integral em ∂Ω os termos:

1. γ(g(τδ(x), u(τδ(x))))γ(φ(x))J(τδ(x));

2. γ(g(τδ(x), u(τδ(x))))γ(φ(x));

3. γ(g(τδ(x), u(x)))γ(φ(x)).

Divideremos o problema em 4 integrais, |I(δ)| = |I1 + I2 + I3 + I4|, onde:I1 =

∫∂Ωγ(g(τδ(x), u(τδ(x))))J(τδ(x))γ(φ(τδ(x))− φ(x))dS;

I2 =

∫∂Ωγ(g(τδ(x), u(τδ(x))))γ(φ(x))(J(τδ(x))− 1)dS;

I3 =

∫∂Ωγ(g(τδ(x), u(τδ(x)))− g(τδ(x), u(x)))γ(φ(x))dS;

I4 =

∫∂Ωγ(g(τδ(x), u(x))− g(x, u(x)))γ(φ(x))dS.

Vamos estimar separadamente |I1|, |I2|, |I3| e |I4|.Estimando I1 :

|I1| ≤∫∂Ω|γ(g(τδ(x), u(τδ(x))))||J(τδ(x))||γ(φ(τδ(x))− φ(x))|dS.

Como J1 ≤ J(τδ(x)) ≤ J2, ∀x ∈ ∂Ω, u ∈ L∞(Ω), g é uniformemente contínua em Ω × R e τδdifeomorsmo, então

|I1| ≤ J2 ‖γ(g(τδ, u(τδ)))‖L∞(∂Ω)

∫∂Ω|γ(φ(τδ(x))− φ(x))|dS.


|I1| ≤ J2 ‖γ(g(τδ, u(τδ)))‖L∞(∂Ω) |∂Ω|12 ‖γ(φ(τδ)− φ)‖L2(∂Ω) .

Pelo Lema 2.7.2 com q = 2:

‖γ(φ(τδ)− φ)‖L2(∂Ω) ≤Mδ12 ‖∇φ‖L2(ωδ)

≤Mδ12 ‖∇φ‖L2(Ω) ≤Mδ

12 ‖φ‖H1(Ω) .

4.1 CONVERGÊNCIA DAS SOLUÇÕES 57

E ainda, como ‖u‖L∞(Ω) ≤ R, então existe uma constante L1 = L1(R) > 0 tal que

‖γ(g(τδ, u(τδ))‖L∞(∂Ω) ≤ L1.

Usando as considerações acima e para qualquer δ < ε, temos

|I1| ≤ J2L1Mε12 |∂Ω|

12 ‖φ‖H1(Ω) .

Logo, existe M1(ε, R)→ 0 quando ε→ 0 tal que

|I1| ≤M1(ε, R) ‖φ‖H1(Ω) .

Estimando I2 :

|I2| ≤∫∂Ω|γ(g(τδ(x), u(τδ(x))))||γ(φ(x))||J(τδ(x))− 1|dS.

De forma análoga à I1,

|I2| ≤ ‖J(τδ)− 1‖L∞(∂Ω) ‖γ(g(τδ, u(τδ)))‖L∞(∂Ω)

∫∂Ω|γ(φ)|dS

≤ L1 ‖J(τδ)− 1‖L∞(∂Ω) |∂Ω|12 ‖γ(φ)‖L2(∂Ω) .

Pelo Lema 2.2.19, o operador traço γ : H1(Ω)→ L2(∂Ω) é contínuo, logo

|I2| ≤ L1|∂Ω|12 ‖J(τδ)− 1‖L∞(∂Ω) ‖φ‖H1(Ω) .

Quando ε → 0 temos que δ → 0 e ‖J(τδ)− 1‖L∞(∂Ω) → 0. Logo, existe M2(ε, R) → 0 quandoε→ 0 tal que

|I2| ≤M2(ε, R) ‖φ‖H1(Ω) .

Estimando I3 :

|I3| ≤∫∂Ω|γ(g(τδ(x), u(τδ(x)))− g(τδ(x), u(x)))||γ(φ(x))|dS.

Como g(x, ·) : R → R é localmente Lipschitz uniformemente em x ∈ Ω e u ∈ L∞(Ω), com‖u‖L∞(Ω) ≤ R, então existe uma constante L2 = L2(R) > 0 tal que

|I3| ≤ L2

∫∂Ω|γ(u(τδ(x))− u(x))||γ(φ(x))|dS.


|I3| ≤ L2 ‖γ(u(τδ)− u)‖L2(∂Ω) ‖γ(φ)‖L2(∂Ω) .

Pelo Lema 2.2.19, o traço é um operador contínuo de H1(Ω) em L2(∂Ω), além disso, utilizandoo Lema 2.7.2 e para qualquer δ < ε, obtemos

|I3| ≤ L2Mδ12 ‖∇u‖L2(ωδ)

‖φ‖H1(Ω) ≤ L2Mδ12 ‖∇u‖L2(Ω) ‖φ‖H1(Ω)

≤ L2Mε12 ‖u‖H1(Ω) ‖φ‖H1(Ω) .

Como ‖u‖H1(Ω) ≤ R, segue que existe M3(ε, R)→ 0 quando ε→ 0 tal que

|I3| ≤M3(ε, R) ‖φ‖H1(Ω) .

Estimando I4 :


De forma análoga as outras integrais,

|I4| ≤ ‖γ(g(τδ, u)− g(·, u))‖L∞(∂Ω)

∫∂Ω|γ(φ(x))|dS.


|I4| ≤ ‖γ(g(τδ, u)− g(·, u))‖L∞(∂Ω) |∂Ω|12 ‖γ(φ)‖L2(∂Ω) .

Como o traço é um operador contínuo de H1(Ω) em L2(∂Ω), então

|I4| ≤ ‖γ(g(τδ, u)− g(·, u))‖L∞(∂Ω) |∂Ω|12 ‖φ‖H1(Ω) .

Como g é uniformemente contínua na primeira variável, τδ é um difeomorsmo de classe C2

com ‖τδ − I‖C2(Ω) → 0 quando δ → 0, mas se δ → 0 segue que ε → 0. Logo, existe M4(ε, R) → 0quando ε→ 0 tal que

|I4| ≤M4(ε, R) ‖φ‖H1(Ω) .

Substituindo em I(δ),

|I(δ)| ≤ (M1(ε, R) +M2(ε, R) +M3(ε, R) +M4(ε, R)) ‖φ‖H1(Ω) = M(ε, R) ‖φ‖H1(Ω) ,

com M(ε, R)→ 0 quando ε→ 0. Portanto, para qualquer φ ∈ H1(Ω),

|〈Gε(u)−G0(u), φ〉| ≤M(ε, R) ‖φ‖H1(Ω) .

Tomando o supremo de ‖φ‖H1(Ω) = 1, obtemos∥∥Gε(u)−G0(u)∥∥H−1(Ω)

≤M(ε, R), (4.1)

onde M(ε, R)→ 0 quando ε→ 0.

Agora, vamos mostrar que o resultado ainda vale para qualquer α tal que1

2< α < 1 usando

inteporlação. Inicialmente, note que∥∥hε(u)− h0(u)

∥∥H−α(Ω)

=∥∥Gε(u)−G0(u)

∥∥H−α(Ω)

. Seja 0 ≤

θ ≤ 1 e1

2< α0 < 1 xo tal que −1 < −α < −α0 < −

1

2. Pelo Teorema 2.2.15, temos

∥∥Gε(u)−G0(u)∥∥H−α(Ω)

≤∥∥Gε(u)−G0(u)

∥∥θH−α0 (Ω)

∥∥Gε(u)−G0(u)∥∥1−θH−1(Ω)

.

Pelo Lema 3.3.1,∥∥Gε(u)−G0(u)

∥∥H−α0 (Ω)

≤ C, onde C = C(R) > 0 independe de ε. Usando

(4.1), obtemos ∥∥Gε(u)−G0(u)∥∥H−α(Ω)

≤M(ε, R),

onde M(ε, R)→ 0 quando ε→ 0.Assim, concluimos a demonstração.

E nalmente, vamos demonstrar a convergência dos semigrupos não lineares, ou ainda, que oproblema limite de (1.1) é dado por (1.4). Porém, para isso é importante destacar que a convergênciados operadores resolventes (Aε)−1 para (A0)−1 já foi provado no Corolário 4.2 em Arrieta et al.(2008). Usando isso e o Teorema 2.3.9 é possível obter a convergência do semigrupo linear e−A

εt

para e−A0t, como enunciaremos a seguir (ver Lema 2.5. de Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2009)

ou Teorema 2.3 em Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal (2011)).

4.1 CONVERGÊNCIA DAS SOLUÇÕES 59

Lema 4.1.2 Suponha que vale a hipótese (P). Seja1

2< α < 1 e T > 0 qualquer. Então, existe

uma função positiva C(ε)→ 0 quando ε→ 0 tal que, para toda h ∈ H−α(Ω), temos∥∥∥e−Aεth− e−A0th∥∥∥H1(Ω)

≤ C(ε)t−( 1+α2 ) ‖h‖H−α(Ω) , t ∈ (0, T ].

Teorema 4.1.3 (Convergência das soluções) Suponha que as hipóteses (H1), (H2), (H3) e (P)

são satisfeitas. Sejam T > 0,1

2< α < 1, B ⊂ H1(Ω) um subconjunto limitado e u0 ∈ B. Então,

existe uma função positiva C(T,B, ε)→ 0 quando ε→ 0, tal que∥∥T ε(t)u0 − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

≤ C(T,B, ε)t−( 1+α2 ), ∀t ∈ (0, T ].

Em particular,T ε(t)u0 → T 0(t)u0 em H1(Ω), quando ε→ 0,

uniformemente para u0 ∈ B e t ∈ [0, T ].

Demonstração:

Sabemos que sob essas hipóteses uε(t, u0) = T ε(t)u0 e u0(t, u0) = T 0(t)u0 são globalmente de-nidas e uniformemente limitadas em H1(Ω)∩L∞(Ω) em intervalos compactos de R+ (ver Teorema3.3.5). Pela fórmula da variação das constantes, obtemos que, para 0 < ε ≤ ε0 e t ∈ (0, T ],∥∥T ε(t)u0 − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

=∥∥∥(e−Aεt − e−A0t

)u0

+

∫ t

0

[e−A

ε(t−s)hε(T ε(s)u0)− e−A0(t−s)h0(T 0(s)u0)]ds

∥∥∥∥H1(Ω)

.

Pela desigualdade triangular,

∥∥T ε(t)u0 − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

≤ N1 +

∫ t

0N2ds,

onde

N1 =∥∥∥e−Aεtu0 − e−A

0tu0

∥∥∥H1(Ω)

e N2 =∥∥∥e−Aε(t−s)hε(T ε(s)u0)− e−A0(t−s)h0(T 0(s)u0)

∥∥∥H1(Ω)

.

Vamos estimar N1 e N2.Caso N1

Aplicando o Lema 4.1.2, existe uma função positiva C(ε)→ 0 quando ε→ 0 tal que∥∥∥e−Aεtu0 − e−A0tu0

∥∥∥H1(Ω)

≤ C(ε)t−( 1+α2 ) ‖u0‖H−α(Ω) , ∀t ∈ (0, T ].

Pela imersão H1(Ω) → H−α(Ω) e por u0 ∈ B, existe C1(B, ε)→ 0, quando ε→ 0, tal que

N1 ≤ C1(B, ε)t−( 1+α2 ), ∀t ∈ (0, T ].

Caso N2

Somando e subtraindo os termos

e−Aε(t−s)h0(T ε(s)u0);

e−A0(t−s)h0(T ε(s)u0).

Dividimos N2 em 3 parcelas N2 ≤ I1 + I2 + I3, onde

1. I1 =∥∥∥e−Aε(t−s)hε(T ε(s)u0)− e−Aε(t−s)h0(T ε(s)u0)

∥∥∥H1(Ω)

;


2. I2 =∥∥∥e−Aε(t−s)h0(T ε(s)u0)− e−A0(t−s)h0(T ε(s)u0)

∥∥∥H1(Ω)

;

3. I3 =∥∥∥e−A0(t−s)h0(T ε(s)u0)− e−A0(t−s)h0(T 0(s)u0)

∥∥∥H1(Ω)

.

Vamos estimar I1: usando a estimativa do semigrupo (3.7) para t ∈ (0, T ] e s ∈ [0, t], temos

I1 ≤∥∥∥e−Aε(t−s)[hε(T ε(s)u0)− h0(T ε(s)u0)]

∥∥∥H1(Ω)

⇒ I1 ≤M2e−β(t−s)(t− s)−( 1+α

2 ) ∥∥hε(T ε(s)u0)− h0(T ε(s)u0)∥∥H−α(Ω)

.

Pelo Teorema 3.3.5 existe K(T,B) > 0 independente de ε tal que

‖T ε(s)u0‖H1(Ω)∩L∞(Ω) ≤ K(T,B), ∀s ∈ [0, T ] e 0 ≤ ε ≤ ε0. (4.2)

Agora, usando o Lema 4.1.1, existe M(T,B, ε)→ 0, quando ε→ 0, tal que∥∥hε(T ε(s)u0)− h0(T ε(s)u0)∥∥H−α(Ω)

≤M(T,B, ε).

Portanto, para t ∈ (0, T ] e s ∈ [0, t],

I1 ≤M2M(T,B, ε)e−β(t−s)(t− s)−( 1+α2 ).

Vamos estimar I2: usando a convergência do semigrupo linear (Lema 4.1.2), existe C(ε) → 0,quando ε→ 0, tal que para t ∈ (0, T ] e s ∈ [0, t], temos

I2 ≤∥∥∥[e−A

ε(t−s) − e−A0(t−s)]h0(T ε(s)u0)∥∥∥H1(Ω)

≤ C(ε)(t− s)−( 1+α2 ) ∥∥h0(T ε(s)u0)

∥∥H−α(Ω)

.

Usando (4.2) e o Lema 3.3.1, temos que existe C(T,B) > 0, independente de ε, tal que∥∥h0(T ε(s)u0)∥∥H−α(Ω)

≤ C(T,B), ∀s ∈ [0, T ].

Portanto, para t ∈ (0, T ] e s ∈ [0, t], temos

I2 ≤ C(ε)C(T,B)(t− s)−( 1+α2 ).

Vamos estimar I3: usando a estimativa do semigrupo (3.7), para t ∈ (0, T ] e s ∈ [0, t], temos

I3 ≤∥∥∥e−A0(t−s)[h0(T ε(s)u0)− h0(T 0(s)u0)]

∥∥∥H1(Ω)

≤ M2e−β(t−s)(t− s)−( 1+α

2 ) ∥∥h0(T ε(s)u0)− h0(T 0(s)u0)∥∥H−α(Ω)

.

Agora por (4.2) e usando o Lema 3.3.2, obtemos que existe uma constante L(T,B) > 0 inde-pendente de ε tal que∥∥h0(T ε(s)u0)− h0(T 0(s)u0)

∥∥H−α(Ω)

≤ L(T,B)∥∥T ε(s)u0 − T 0(s)u0

∥∥H1(Ω)

.


I3 ≤M2L(T,B)e−β(t−s)(t− s)−( 1+α2 ) ∥∥T ε(s)u0 − T 0(s)u0

∥∥H1(Ω)

.

Usando todas as estimativas, para t ∈ (0, T ], e o fato de e−β(t−s) < 1, obtemos

4.2 EXISTÊNCIA E SEMICONTINUIDADE SUPERIOR DOS ATRATORES GLOBAIS 61

∥∥T ε(s)u0 − T 0(s)u0

∥∥H1(Ω)

≤ C1(B, ε)t−( 1+α2 ) + [M2M(T,B, ε) + C(ε)C(T,B)]

∫ t

0(t− s)−( 1+α

2 )ds

+M2L(T,B)

∫ t

0(t− s)−( 1+α

2 ) ∥∥T ε(s)u0 − T 0(s)u0

∥∥H1(Ω)

ds.

Note que, t ∈ (0, T ],∫ t

0(t− s)−( 1+α

2 )ds =t1−( 1+α

2)

1− (1+α2 )

=t

1− (1+α2 )

t−( 1+α2

) ≤ T

1− (1+α2 )

t−( 1+α2

).

Logo, existem constantes positivas C2(B, ε) e C3(T,B), com C2(B, ε) → 0, quando ε → 0, taisque

∥∥T ε(s)u0 − T 0(s)u0

∥∥H1(Ω)

≤ C2(B, ε)t−( 1+α2

)+C3(T,B)

∫ t

0(t− s)−( 1+α

2 ) ∥∥T ε(s)u0 − T 0(s)u0

∥∥H1(Ω)

ds.

Aplicando a desigualdade de Gronwall (Lema 2.5.5), temos que existe uma função positivaC(T,B, ε)→ 0, quando ε→ 0, tal que∥∥T ε(t)u0 − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

≤ C(T,B, ε)t−( 1+α2

), ∀t ∈ (0, T ].

Em particular,T ε(t)u0 → T 0(t)u0 em H1(Ω), quando ε→ 0,

uniformemente para u0 ∈ B e t ∈ [0, T ] .Por m, note que o caso t = 0 é imediato, pois T ε(0)u0 = u0 = T 0(0)u0.

Observação 4.1.4 Como o resultado de convergência no Teorema 4.1.3 é obtido em intervaloscompactos de R+, então podemos também provar o resultado sem a hipótese (H3), para tanto, bastausar as estimativas do semigrupo (3.6) e os itens 1 e 2 do Teorema 3.3.5.

4.2 Existência e semicontinuidade superior dos atratores globais

Nesta seção, mostraremos a existência de uma família de atratores globais dos problemas (1.1)e (1.4) e sua semicontinuidade superior.

Para mostrarmos a existência dos atratores é suciente que o semigrupo T ε(t) : t ≥ 0 sejaassintoticamente compacto, ponto dissipativo e eventualmente limitado em H1(Ω) (ver Teorema2.6.9). Para tanto, é essencial assumirmos a condição de dissipatividade (H3) para garantirmos a

limitação uniforme das soluções de (1.1) e (1.4) em Hγ(Ω), com 1 ≤ γ <3

2, para todo o tempo

(vide os Teoremas 3.3.5 e 3.3.7).A seguir, provamos a existência dos atratores e sua limitação uniforme em H1(Ω) ∩ L∞(Ω).

Teorema 4.2.1 (Existência e limitação dos atratores) Suponha que valem as hipóteses (H1),(H2), (H3) e (P). Então, para cada ε ∈ [0, ε0], os problemas (1.1) e (1.4) possuem um atrator globalAε em H1(Ω).

Além disso, existe K > 0 independente de ε tal que

supε∈[0,ε0]

supuε∈Aε

‖uε‖H1(Ω)∩L∞(Ω) ≤ K.

Em particular, A0 atrai⋃

0<ε≤ε0

Aε em H1(Ω).


Demonstração:

Vamos dividir a demonstração em etapas:

Parte I - Eventualmente limitado.

Pelo Teorema 3.3.5 sabemos que o semigrupo não linear T ε(t) leva conjuntos limitados de H1(Ω)em limitados deH1(Ω), para todo ε ∈ [0, ε0]. Logo, a órbita positiva de conjuntos limitados deH1(Ω)é limitada em H1(Ω) e concluímos que o semigrupo não linear é eventualmente limitado.

Parte II - Ponto dissipativo.

Na verdade, vamos mostrar que, para cada ε ∈ [0, ε0], T ε(t), é limitado dissipativo em H1(Ω),isto é, existe um subconjunto limitado B ⊂ H1(Ω) que atrai subconjuntos limitados de H1(Ω) porT ε(t).

Considere B ⊂ H1(Ω) um subconjunto limitado qualquer e u0 ∈ B, pelo Teorema 3.3.5 sabemosque existe C∞ > 0 independente de ε tal que

limt→∞

sup ‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤ C∞, ∀0 ≤ ε ≤ ε0,

uniformemente em u0 ∈ B.Assim, para algum t0 > 0 sucientemente grande, existe η > 0 tal que

‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤ C∞ + η, ∀t ≥ t0, ∀0 ≤ ε ≤ ε0 e ∀u0 ∈ B.

Tomando a bola fechada em H1(Ω) centrada em zero e raio C∞ + η > 0,

BC∞+η(0) =u ∈ H1(Ω) : ‖u‖H1(Ω) ≤ C∞ + η

,

é claro que para t ≥ t0, T ε(t)u0 ∈ BC∞+η(0), ∀u0 ∈ B. Logo, BC∞+η(0) absorve B e, consequente-mente também atrai B. Portanto, T ε(t) é limitado dissipativo em H1(Ω).

Parte III - Assintoticamente compacto.

Na verdade, vamos provar que o semigrupo é condicionalmente eventualmente compacto.Dado um subconjunto B ⊂ H1(Ω) limitado, temos pelo Teorema 3.3.7 que, para algum t0 > 0

sucientemente grande e 1 < γ <3

2xo, existem η > 0 e Cγ > 0 independentes de ε tais que

supε∈[0,ε0]

supu0∈B

‖uε(t, u0)‖Hγ(Ω) ≤ Cγ + η, ∀t ≥ t0,

o que implica que T ε(t)B é um conjunto limitado em Hγ(Ω), ∀t ≥ t0.Agora, pelo Teorema 2.2.18, a imersão Hγ(Ω) → H1(Ω) é compacta. Portanto, T ε(t)B é rela-

tivamente compacto em H1(Ω), para todo t ≥ t0, isto é, T ε(t)B é compacto em H1(Ω), para todot ≥ t0.

Portanto, o semigrupo T ε(t) : t ≥ 0 é condicionalmente eventualmente compacto. Agora,usando o Teorema 2.6.8, segue que T ε(t) : t ≥ 0 é assintoticamente compacto.

Com isso concluímos a existência dos atratores globais Aε, para cada ε ∈ [0, ε0], dos problemas(1.1) e (1.4).

Parte IV - Limitação uniforme dos atratores em H1(Ω) ∩ L∞(Ω).

Segue do Teorema 3.3.5, que existem constantes K∞, C∞ > 0 independentes de ε tais que

limt→∞

sup ‖uε(t, u0)‖L∞(Ω) ≤ K∞ e limt→∞

sup ‖uε(t, u0)‖H1(Ω) ≤ C∞,

onde os limites são uniformes para u0 em subconjuntos limitados de H1(Ω). Logo, como na parteII, existe um conjunto absorvente uniformemente limitado em L∞(Ω) e H1(Ω).


Agora, como, para cada ε ∈ [0, ε0], o atrator Aε é limitado e invariante para T ε(t), isto é,T ε(t)Aε = Aε, t ≥ 0, então segue a limitação uniforme dos atratores em H1(Ω) ∩ L∞(Ω).

Além disso,⋃

0<ε≤ε0

Aε ⊂ H1(Ω) é uniformemente limitado e A0 é atrator global para T 0(t), logo

A0 atrai cada subconjunto limitado de H1(Ω), em particular, A0 atrai⋃

0<ε≤ε0

Aε em H1(Ω).

Na Seção 4.1, obtemos um resultado importante, provamos que as soluções de (1.1) convergempara a única solução de (1.4) em H1(Ω) uniformemente para condição inicial u0 em limitadosde H1(Ω) e t em intervalos compactos de R+. Contudo, para concluir que a família de atratoresAεε∈[0,ε0] de (1.1) e (1.4) é semicontínua superiormente em ε = 0 precisamos de um resultadoparecido da convergência do semigrupo não linear sobre os elementos dos atratores, que será dadoa seguir.

Lema 4.2.2 Suponha que as hipóteses (H1), (H2), (H3) e (P) são satisfeitas. Sejam T > 0,1

2<

α < 1 e Aε, 0 < ε ≤ ε0, o atrator de (1.1) dado no Teorema 4.2.1. Então, se uε ∈ Aε, 0 < ε ≤ ε0,existe uma constante positiva C(T, ε)→ 0 quando ε→ 0 tal que∥∥T ε(t)uε − T 0(t)uε

∥∥H1(Ω)

≤ C(T, ε)t−( 1+α2 ), ∀t ∈ (0, T ].

Demonstração:

Esta demonstração é técnicamente parecida com a demonstração do Teorema 4.1.3 mudandoapenas algumas justicativas, portanto, alguns passos que já foram realizados no Teorema 4.1.3serão omitidos.

Sejam uε ∈ Aε, 0 < ε ≤ ε0, e T > 0, pela fórmula da variação das constantes, obtemos que, parat ∈ (0, T ], ∥∥T ε(t)uε − T 0(t)uε

∥∥H1(Ω)

=∥∥∥e−Aεtuε − e−A0tuε

+

∫ t

0

[e−A

ε(t−s)hε(T ε(s)uε)− e−A0(t−s)h0(T 0(s)uε)]ds

∥∥∥∥H1(Ω)

.

Pela desigualdade triangular,

∥∥T ε(t)uε − T 0(t)uε∥∥H1(Ω)

≤ N1 +

∫ t

0N2ds,

onde

N1 =∥∥∥e−Aεtuε − e−A0tuε

∥∥∥H1(Ω)

e N2 =∥∥∥e−Aε(t−s)hε(T ε(s)uε)− e−A0(t−s)h0(T 0(s)uε)

∥∥∥H1(Ω)

.

Vamos estimar N1 e N2.Caso N1

Aplicando o Lema 4.1.2, existe uma constante C(ε)→ 0 quando ε→ 0 tal que∥∥∥e−Aεtuε − e−A0tuε∥∥∥H1(Ω)

≤ C(ε)t−( 1+α2 ) ‖uε‖H−α(Ω) , ∀t ∈ (0, T ].

Pelo Teorema 4.2.1 Aε, 0 < ε ≤ ε0, é uniformemente limitado em H1(Ω) ∩ L∞(Ω). Portanto,uε ∈ Aε também é uniformemente limitada emH1(Ω)∩L∞(Ω). Além disso, comoH1(Ω) → H−α(Ω)(vide o Teorema 2.2.18), temos que existe uma constante C1(ε)→ 0, quando ε→ 0, tal que

N1 ≤ C1(ε)t−( 1+α2 ).

Caso N2


Somando e subtraindo os termos

e−Aε(t−s)h0(T ε(s)uε);

e−A0(t−s)h0(T ε(s)uε);

dividimos N2 em 3 parcelas N2 ≤ I1 + I2 + I3, onde

1. I1 =∥∥∥e−Aε(t−s)hε(T ε(s)uε)− e−Aε(t−s)h0(T ε(s)uε)

∥∥∥H1(Ω)

;

2. I2 =∥∥∥e−Aε(t−s)h0(T ε(s)uε)− e−A0(t−s)h0(T ε(s)uε)

∥∥∥H1(Ω)

;

3. I3 =∥∥∥e−A0(t−s)h0(T ε(s)uε)− e−A0(t−s)h0(T 0(s)uε)

∥∥∥H1(Ω)

.

Primeiro, vamos fazer uma observação: pela invariância de Aε por T ε(t) temos que, se uε ∈ Aε,então T ε(t)uε ∈ Aε, e ainda, pelo Teorema 4.2.1 Aε é uniformemente limitado em H1(Ω)∩L∞(Ω),portanto T ε(t)uε ∈ Aε também é uniformemente limitado em H1(Ω) ∩ L∞(Ω). Logo, existe umaconstante K > 0 independente de ε tal que

‖T ε(s)uε‖H1(Ω)∩L∞(Ω) ≤ K, ∀s ∈ [0, T ] e 0 ≤ ε ≤ ε0. (4.3)

Agora, vamos estimar I1: usando a estimativa do semigrupo (3.7) para t ∈ (0, T ] e s ∈ [0, t],temos

I1 ≤M2e−β(t−s)(t− s)−( 1+α

2 ) ∥∥hε(T ε(s)uε)− h0(T ε(s)uε)∥∥H−α(Ω)

.

Usando (4.3) e o Lema 4.1.1, existe M(T,K, ε)→ 0, quando ε→ 0, tal que∥∥hε(T ε(s)uε)− h0(T ε(s)uε)∥∥H−α(Ω)

≤M(T,K, ε).

Portanto, para t ∈ (0, T ] e s ∈ [0, t],

I1 ≤M2M(T,K, ε)e−β(t−s)(t− s)−( 1+α2 ) ≤M2M(T,K, ε)(t− s)−( 1+α

2 ).

Vamos estimar I2: usando a convergência do semigrupo linear (Lema 4.1.2), existe C(ε) → 0,quando ε→ 0, tal que para t ∈ (0, T ] e s ∈ [0, t], temos

I2 ≤∥∥∥[e−A

ε(t−s) − e−A0(t−s)]h0(T ε(s)uε)∥∥∥H1(Ω)

≤ C(ε)(t− s)−( 1+α2 ) ∥∥h0(T ε(s)uε)

∥∥H−α(Ω)

.

Usando (4.3) e o Lema 3.3.1, temos que existe C(T,K) > 0, independente de ε, tal que∥∥h0(T ε(s)uε)∥∥H−α(Ω)

≤ C(T,K), ∀s ∈ [0, T ].


I2 ≤ C(ε)C(T,K)(t− s)−( 1+α2 ).

Vamos estimar I3: usando a estimativa do semigrupo (3.7), para t ∈ (0, T ] e s ∈ [0, t], temos

I3 ≤∥∥∥e−A0(t−s)[h0(T ε(s)uε)− h0(T 0(s)uε)]

∥∥∥H1(Ω)

≤ M2e−β(t−s)(t− s)−( 1+α

2 ) ∥∥h0(T ε(s)uε)− h0(T 0(s)uε)∥∥H−α(Ω)

.

Agora por (4.3) e usando o Lema 3.3.2, obtemos que existe uma constante L(T,K) > 0 inde-pendente de ε tal que∥∥h0(T ε(s)uε)− h0(T 0(s)uε)

∥∥H−α(Ω)

≤ L(T,K)∥∥T ε(s)uε − T 0(s)uε

∥∥H1(Ω)

.



I3 ≤M2L(T,K)(t− s)−( 1+α2 ) ∥∥T ε(s)uε − T 0(s)uε

∥∥H1(Ω)

.

Procedendo de forma análoga ao Teorema 4.1.3, para t ∈ (0, T ], existem constantes positivasC2(K, ε) e C3(T,K), com C2(K, ε)→ 0, quando ε→ 0, tais que

∥∥T ε(s)uε − T 0(s)uε∥∥H1(Ω)

≤ C2(K, ε)t−( 1+α2

)+C3(T,K)

∫ t

0(t− s)−( 1+α

2 ) ∥∥T ε(s)uε − T 0(s)uε∥∥H1(Ω)

ds.

Aplicando a desigualdade de Gronwall (Lema 2.5.5), temos que existe uma constante positivaC(T,K, ε)→ 0, quando ε→ 0, tal que∥∥T ε(t)uε − T 0(t)uε

∥∥H1(Ω)

≤ C(T,K, ε)t−( 1+α2

), ∀t ∈ (0, T ].

Teorema 4.2.3 Suponha que valem as hipóteses (H1), (H2), (H3) e (P). Então, a família deatratores globais Aεε∈[0,ε0] de (1.1), 0 < ε ≤ ε0, e (1.4), ε = 0, é semicontínua superiormente emε = 0, isto é,

dH1(Ω)(Aε,A0) = supuε∈Aε

d(uε,A0) = supuε∈Aε

infu0∈A0

∥∥uε − u0∥∥H1(Ω)

→ 0, quando ε→ 0.

Demonstração:Pelo Teorema 4.2.1, A0 atrai

⋃0<ε≤ε0

Aε. Logo, dado η > 0, existe τ∗ = τ∗(η) > 0 independente

de ε tal que

d(T 0(τ∗)uε,A0) = inf

u0∈A0

∥∥T 0(τ∗)uε − u0

∥∥H1(Ω)

≤ η

2, ∀uε ∈ Aε e ε ∈ (0, ε0].

Como Aε é invariante por T ε(t), ε ∈ (0, ε0], então, T ε(t)Aε = Aε, ∀t ≥ 0. Assim, dado vε ∈ Aε,existe uε ∈ Aε tal que T ε(τ∗)uε = vε. Logo,

d(vε,A0) = infu0∈A0

∥∥vε − u0∥∥H1(Ω)

≤ infu0∈A0

∥∥vε − T 0(τ∗)uε∥∥H1(Ω)

+∥∥T 0(τ∗)u

ε − u0∥∥H1(Ω)

=

∥∥vε − T 0(τ∗)uε∥∥H1(Ω)

+ d(T 0(τ∗)uε,A0)

=∥∥T ε(τ∗)uε − T 0(τ∗)u

ε∥∥H1(Ω)

+ d(T 0(τ∗)uε,A0)

≤∥∥T ε(τ∗)uε − T 0(τ∗)u

ε∥∥H1(Ω)

+ η2 .

Agora, como uε ∈ Aε, 0 < ε ≤ ε0, então usando o Lema 4.2.2, obtemos∥∥T ε(τ∗)uε − T 0(τ∗)uε∥∥H1(Ω)

≤ η

2,

para ε sucientemente pequeno. Portanto

d(vε,A0) ≤ η, ∀vε ∈ Aε.

Assim, para ε sucientemente pequeno,

dH1(Ω)(Aε,A0) = supvε∈Aε

d(vε,A0) ≤ η.


4.3 Semicontinuidade superior dos equilíbrios

Na Seção 4.2, supondo as hipóteses (H1), (H2), (H3) e (P), mostramos a existência e semi-continuidade superior da família de atratores Aεε∈[0,ε0] de (1.1) e (1.4) em ε = 0. Um primeiropasso para estudarmos a semicontinuidade inferior dessa família de atratores é estudar os elementosmais simples dos atratores, as soluções de equilíbrios. As soluções de equilíbrios de (1.1) e (1.4) sãoaquelas que independem do tempo, isto é, para cada ε ∈ [0, ε0],

T ε(t)uε = uε, ∀t ≥ 0,

ou ainda, são as soluções dos respectivos problemas elípticosLεuε(x) = f(x, uε(x)) +

1

εχωε(x)g(x, uε(x)), x ∈ Ω

∂uε∂~n

(x) = 0, x ∈ ∂Ω(4.4)

onde Lε é dado por (1.2).L0u0(x) = f(x, u0(x)), x ∈ Ω∂u0

∂~n(x) + V0(x)u0(x) = g(x, u0(x)), x ∈ ∂Ω

(4.5)

onde L0 é dado por (1.5).Nesta seção, vamos provar a semicontinuidade superior do conjunto de equilíbrios de (1.1) e

(1.4) em ε = 0.

4.3.1 Formulação abstrata dos problemas elípticos

Inicialmente, vamos escrever os problemas elípticos (4.4) e (4.5) na forma abstrata. Usando asnotações e procedendo de maneira análoga a Seção 3.1, podemos reescrever (4.4) e (4.5) da seguinteforma:

Aεuε = hε(uε), 0 ≤ ε ≤ ε0, (4.6)

onde h0 = F + G0 e hε = F + Gε, 0 < ε ≤ ε0, com F , G0 e Gε dadas por (3.8), (3.9) e (3.10),respectivamente.

Denotemos por Eε, 0 ≤ ε ≤ ε0, o conjunto das soluções de (4.6), ou seja, o conjunto de pontosde equilíbrios de (1.1) e (1.4),

Eε =uε ∈ H1(Ω) : Aεuε − hε(uε) = 0

, 0 ≤ ε ≤ ε0.

4.3.2 Semicontinuidade superior dos equilíbrios

Agora, vamos provar a semicontinuidade superior da família de equilíbrios Eεε∈[0,ε0] em ε = 0.Para tanto, usaremos o fato que Eε ⊂ Aε e que a família de atratores Aεε∈[0,ε0] é semicontínuasuperiormente em ε = 0.

Teorema 4.3.1 Suponha que valem as hipóteses (H1), (H2), (H3) e (P). Então, a família deequilíbrios Eεε∈[0,ε0] de (1.1), 0 < ε ≤ ε0, e (1.4), ε = 0, é semicontínua superiormente em ε = 0.

Demonstração:

Para provarmos a semicontinuidade superior em H1(Ω) da família Eεε∈[0,ε0] em ε = 0, peloLema 2.6.11, é suciente mostrarmos que para qualquer sequência ε→ 0 e para qualquer sequênciade equilíbrios uε ∈ Eε, existe uma subsequência convergente com limite pertencendo a E0.

Como uε ∈ Eε ⊂ Aε, e pelo Teorema 4.2.3, temos a semicontinuidade superior da família deatratores, então usando o Lema 2.6.11, podemos extrair uma subsequência, que denotaremos por

CONSIDERAÇÕES FINAIS 67

uεkk∈N, e obter u0 ∈ A0 tal que

‖uεk − u0‖H1(Ω) → 0, quando k →∞.

Agora, precisamos mostrar que u0 ∈ E0, isto é, T 0(t)u0 = u0, ∀t ≥ 0.Primeiramente, observe que para todo t > 0,

∥∥uεk − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

≤ ‖uεk − u0‖H1(Ω) +∥∥u0 − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

→∥∥u0 − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

,

quando k →∞.Por outro lado, para um τ∗ > 0 xo e para todo t ∈ (0, τ∗), temos∥∥uεk − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

=∥∥T εk(t)uεk − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

≤∥∥T εk(t)uεk − T 0(t)uεk

∥∥H1(Ω)

+∥∥T 0(t)uεk − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)

.

Pelo Lema 4.2.2, temos que∥∥T εk(t)uεk − T0(t)uεk

∥∥H1(Ω)

→ 0, quando k →∞.

E ainda, como T 0(t) ∈ L(H1(Ω)) e uεk → u0 em H1(Ω), quando k →∞, então∥∥T 0(t)uεk − T0(t)u0

∥∥H1(Ω)


Portanto, para todo t ∈ (0, τ∗), obtemos∥∥uεk − T 0(t)u0

∥∥H1(Ω)


Logo, para cada t > 0, u0 = T 0(t)u0, o que implica que u0 ∈ E0.

4.4 Considerações nais

Neste trabalho, procuramos explorar alguns resultados de Jiménes-Casas e Rodríguez-Bernal(2009, 2011) tendo como objetivo analisar o comportamento assintótico do problema parabóliconão linear concentrado (1.1). Mostramos que o problema limite de (1.1) é dado pelo problema pa-rabólico não linear (1.4). Esse resultado de convergência pode ser visto como uma ferramenta paratransferir informações do interior para a fronteira. Mostramos também a existência e semiconti-nuidade superior da família de atratores e, com isso, concluímos a semicontinuidade da família deequilíbrios.

Com base nos resultados obtidos aqui, atualmente, estamos estudando a semicontinuidade infe-rior da família de equilíbrios. Os próximos passos serão obter a semicontinuidade inferior da famíliade atratores.

68 SEMICONTINUIDADE SUPERIOR DOS ATRATORES E DOS EQUILÍBRIOS

Apêndice A

Outra abordagem para provar a

condição de Lipschitz

A existência e unicidade de equações diferenciais estão condicionadas, no geral, as funçõesLipschitzianas, contudo, nem sempre é possível concluir essa condição para qualquer espaço. Discu-tiremos aqui outras formas de obter essa condição de Lipschitz para as não linearidades abstratas.

Note que até então, com a hipótese (H1), na Seção 3.2, só foi possível mostrar que as aplicaçõesabstratas são Lipschitz de H1(Ω) em H−1(Ω), contudo, podemos exigir mais das funções, comopor exemplo, alterar os coecientes σf e σg para também concluir de H1(Ω) em H−α(Ω), com1

2< α ≤ 1. Considere a nova hipótese (H1*)

(H1*) - Nova condição de crescimento.

Suponha que f, g : Ω × R → R são funções uniformemente contínuas, f(x, ·), g(x, ·) : R → Rsão localmente Lipschitzianas uniformemente em x ∈ Ω e x ∈ Ω, respectivamente, e satisfazem asseguintes condições de crescimento:

i. Se n > 2, existe c > 0 tal que



σf ≤3

n− 2e σg ≤

1

n− 2.


|j(x, u)− j(x, v)| ≤ cη|u− v|(eη|u|2

+ eη|v|2),


Cabe ressaltar que não encontramos esta condição para n ≥ 2 de forma explícita nos artigos estu-dados, no quais abordam problemas de existência e unicidade de soluções. Apenas em Carvalho et al.(1997) encontramos um estudo para n ≤ 3 (Lema 3.4) e em Aragao e Bezerra (2017) um caso n = 3.

Proposição A.0.1 Suponha que f satisfaz (H1*) e1

2< α ≤ 1. Então, a aplicação

F : H1(Ω)→ H−α(Ω)

dada por (3.8) é localmente Lipschitziana.

Demonstração:

69

70 APÊNDICE A

Sejam u, v ∈ H1(Ω) com ‖u‖H1(Ω) , ‖v‖H1(Ω) ≤ R, para algum R > 0. Por denição,

‖F (u)− F (v)‖H−α(Ω) = supφ ∈ Hα(Ω)‖φ‖Hα(Ω) = 1

|〈F (u)− F (v), φ〉|,

com

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤∫

Ω|f(x, u(x))− f(x, v(x))||φ(x)|dx, ∀φ ∈ Hα(Ω).

Para n = 2:

Como vale a imersão Hα(Ω) → L4(Ω), com1

2< α ≤ 1, a demonstração segue exatamente igual

a Proposição 3.2.2.Assim, temos que existe uma constante K7 = K7(η, |Ω|, R) > 0 tal que

‖F (u)− F (v)‖H−α(Ω) ≤ K7 ‖u− v‖H1(Ω) ,

com1

2< α ≤ 1.

Para n > 2:Por (H1*),

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ c∫

Ω|u(x)− v(x)| (|u(x)|σf + |v(x)|σf + 1) |φ(x)|dx.

Utilizando a desigualdade de Hölder com1

q+

1

r+

1

p= 1, e a desigualdade de Minkwoski, temos

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ c ‖u− v‖Lr(Ω)

(‖uσf ‖Lp(Ω) + ‖vσf ‖Lp(Ω) + 1

)‖φ‖Lq(Ω) ,

onde c = c(|Ω|) > 0, ou ainda,

|〈F (u)− F (v), φ〉| ≤ c ‖u− v‖Lr(Ω)

(‖u‖σf

Lσf p(Ω)

+ ‖v‖σfLσf p(Ω)

+ 1)‖φ‖Lq(Ω)

≤ c ‖u− v‖H1(Ω)

(‖u‖σf

H1(Ω)+ ‖v‖σf

H1(Ω)+ 1)‖φ‖Hα(Ω) ,

onde precisamos que

Hα(Ω) → Lq(Ω), H1(Ω) → Lr(Ω) e H1(Ω) → Lpσf (Ω).

Pelo Teorema 2.2.18, devemos ter:

1 < r ≤ 2n

n− 2;

1 < q ≤ 2n

n− 1;

pσf ≤2n

n− 2.

Assim,1

r+

1

q≥ n− 2

2n+n− 1

2n=

2n− 3

2n.

Por outro lado,1

r+

1

q= 1− 1

p≥ 2n− 3

2n.

Portanto, se Hα(Ω) → Lq(Ω) e H1(Ω) → Lr(Ω), segue que p ≥ 2n

3.

OUTRA ABORDAGEM PARA PROVAR A CONDIÇÃO DE LIPSCHITZ 71

Por m, basta que∫

Ω|u(x)|pσfdx < ∞, mas isso decorre se tomarmos p tal que H1(Ω) →

Lpσf (Ω), isto é,

pσf ≤2n

n− 2.

Porém, pela (H1*) e das imersões acima,

σf ≤3

n− 2e p ≥ 2n

3.

Logo, basta escolher, por exemplo p =2n

3e segue que

∫Ω|u(x)|pσfdx <∞, analogamente para

v.Sob essas condições, tomando o supremo com ‖φ‖Hα(Ω) = 1, temos que existe uma constante

K8 = K8(|Ω|, R) > 0 tal que

‖F (u)− F (v)‖H−α(Ω) ≤ K8 ‖u− v‖H1(Ω) ,

com1

2< α ≤ 1.

Proposição A.0.2 Suponha que g satisfaz (H1*) e1

2< α ≤ 1. Então, para cada ε ∈ [0, ε0], a

aplicaçãoGε : H1(Ω)→ H−α(Ω),

dada por (3.9) e (3.10) é localmente Lipschitziana, uniformemente em ε.

Demonstração:

Sejam u, v ∈ H1(Ω) com ‖u‖H1(Ω) , ‖v‖H1(Ω) ≤ R, para algum R > 0. Por denição, para cadaε ∈ [0, ε0],

‖Gε(u)−Gε(v)‖H−α(Ω) = supφ ∈ Hα(Ω)‖φ‖Hα(Ω) = 1

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉|.

Para cada φ ∈ Hα(Ω) e 0 < ε ≤ ε0, vamos estimar |〈Gε(u)−Gε(v), φ〉:

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ 1

ε

∫ωε

|[g(x, u(x))− g(x, v(x))]φ(x)|dx.

Para n = 2:

Considere Hαp (Ω) = Hα(Ω),

1

2< α ≤ 1, e n = 2, sob essas condições o Lema 2.7.1 valeu para

algum Lq(Ω), com 1 < q ≤ 4, portanto, esse caso segue análago a demonstração da Proposição3.2.3. Assim, existe uma constante K9 = K9(η, |∂Ω|, R) > 0, independente de ε, tal que

‖Gε(u)−Gε(v)‖H−α(Ω) ≤ K9 ‖u− v‖H1(Ω) ,

com1

2< α ≤ 1.

Para n > 2:Por (H1*),

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ c1

ε

∫ωε

|u(x)− v(x)|(|u(x)|σg + |v(x)|σg + 1)|φ(x)|dx.

72 APÊNDICE A


q+

1

r+

1

p= 1, temos

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ c(

1

ε

∫ωε

|u(x)− v(x)|rdx) 1r(

1

ε

∫ωε

|φ(x)|qdx) 1q

(1

ε

∫ωε

(|u(x)|σg + |v(x)|σg + 1)pdx

) 1p

.

Usando também a desigualdade de Minkwoski, obtemos

|〈Gε(u)−Gε(v), φ〉| ≤ c(

1

ε

) 1r

‖u− v‖Lr(ωε)(

1

ε

) 1q

‖φ‖Lq(ωε)[(1

ε

) 1p

‖uσg‖Lp(ωε)+

(1

ε

) 1p

‖vσg‖Lp(ωε)+

(|ωε|ε

) 1p

].

Primeiro, note que

(1

ε

) 1p

‖uσg‖Lp(ωε)=

[(1

ε

) 1pσg

‖u‖Lpσg (ωε)

]σg, o mesmo vale para v.

Assim, considerando que u ∈ H1(Ω) e φ ∈ Hα(Ω),1

2< α ≤ 1, podemos usar o Lema 2.7.1 para

algum Lr(Ω), respectivamente para q e pσg, onde basta tomar os expoentes:

1 < r ≤ 2(n− 1)

n− 2;

1 < q ≤ 2;

1 < pσg ≤2(n− 1)

n− 2.

Assim,1

r+

1

q≥ n− 2

2(n− 1)+

1

2=

2n− 3

2(n− 1).

Por outro lado,1

r+

1

q= 1− 1

p≥ 2n− 3

2(n− 1).

Portanto, se vale o Lema 2.7.1, para r, q nos intervalos acima, respectivamente, então p ≥2(n− 1).

Já por (H1*), σg ≤1

n− 2, portanto, escolhendo, por exemplo, p = 2(n− 1), segue que

pσg ≤2(n− 1)

n− 2.

Assim, escolhendo r, q, pσg desta forma, a demonstração segue análogo a Proposição 3.2.3. Logo,existe uma constante K10 = K10(|∂Ω|, R) > 0, independente de ε, tal que

‖Gε(u)−Gε(v)‖H−α(Ω) ≤ K10 ‖u− v‖H1(Ω) ,

com1

2< α ≤ 1.

Para ε = 0 a demonstração e as contas são exatamente iguais, pois note que as restrições sobreos expoentes da desigualdade de Hölder no Lema 2.7.1 e para que o traço seja um operador contínuode Hα(Ω)→ Lr(∂Ω), para algum r devem ser as mesmas, isto é,

α− n

2≥ −n− 1

r

OUTRA ABORDAGEM PARA PROVAR A CONDIÇÃO DE LIPSCHITZ 73

e1

2< α ≤ 1. Assim, desde que o traço seja um operador contínuo de

γ : H1(Ω)→ Lr(∂Ω), γ : H1(Ω)→ Lpσg(∂Ω) e γ : H1(Ω)→ Lq(∂Ω),

as demonstrações seguem análogas as demonstrações na Seção 3.2.

Entretanto, como comentamos anteriormente, não encontramos a hipótese (H1*) da forma comocolocamos aqui. Na prática, quando já sabemos que as soluções dos problemas estudados são li-mitadas em L∞(Ω), o que é comum é supor que as funções f e g são limitadas com derivadaslimitadas.

74 APÊNDICE A

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75

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Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu ......Programa: Matemática Aplicada Orientador: Prof ª . Dr ª . Gleiciane da Silva Aragão Durante o desenvolvimento deste