E X E R C C I O S

1. Na figura abaixo esto representadas os vetores , e A B C . Determine, em termos de vetores unitrios,

e como um mdulo, direo e sentido os vetores resultantes R : Dados mdulo dos vetores: A = 9 cm; B = 8 cm; C = 6 cm

a) A B

b) A C

c) B C

d) A B C

RESPOSTA:

a). R = (0,27i +7,25j)cm; 7,25cm1

b). R = (4,79i - 0,7j)cm; 4,84cm2

c). R = (-10,52i - 2,46j)cm; 10,80cm3

d). R = (-2,73i +2,04j)cm; 3,41cm4

y

x

87,87

R1

y

x

8,3

2R

y

36,77 x

4R

y

13,16

x

3R

2. O esquema abaixo mostra trs cargas puntiformes fixas, no vcuo. Determine o mdulo, a direo e o

sentido da fora eltrica resultante: (a) Que atua na carga Q2 (b) Que atua na carga Q3.

Q1 =36C Q2= 16C Q3= 2C

2m 4 m horizontal

2a) Inicialmente devemos repersentar as duas foras que atuam em .

Como as duas foras tm a mesma direo e sentidos contrrios a fora

resultante tem um valor que dado pela diferena entre as duas

q

foras e o sentido no sentido de maior valor.

Todas as grandezas devem estar no S.I.

9 6 6

1 2

12 0 2 2

12

9 10 36 10 16 101,296

2

q qF K N

d

9 6 63 2

32 0 2 2

32

9 10 2 10 16 100,018

4

q qF K N

d

12 32 1,296 0,018 1,278

a fora resultante na direo horizontal e sentido para a direita.

R

R

F F F N

F

b) A resoluo feia de maneira semelhante ao item (a).Como as duas foras tm a mesma direo e sentido,

a fora resultante tem um valor que dado pela soma entre as duas foras. Todas as grandezas devem estar no S.I.

9 6 61 3

13 0 2 2

13

9 10 36 10 2 100,018

6

q qF K N

d

9 6 62 3

23 0 2 2

23

9 10 16 10 2 100,018

4

q qF K N

d

13 23 0,018 0,018 0,036

a fora resultante na direo horizontal e sentido para a direita.

R

R

F F F N

F

3. A figura abaixo mostra duas cargas, q1 e q2, mantidas a uma distncia fixa d uma da outra. (a) Qual

o mdulo da Fora eletrosttica que atua sobre q1? Suponha q1 = q2 = 20,0 C e d = 1,50 m. (b) Uma

terceira carga q3 = 20,0 C trazida e colocada na posio mostrada na Fig.01b. Qual agora o mdulo da fora eletrosttica que atua sobre q1?

1

2

26

91 20 2 2

1,5

20

20

)

20 108,99 10

1,5

1,6

d m

q C

q C

a

q qF K

r

F N

b) Como a distncia entre a carga q3 e a carga q1 a mesma do item a, e o valor da carga igual, temos que o mdulo da fora individual de cada carga o mesmo, no entanto temos agora duas

foras atuando na carga q1 e, portanto, a fora resultante ser:

2 2 2 2

31 21 31 212 cos60 1,6 1,6 2 1,6 1,6 cos60

2,77

o o

R

R

F F F F F

F N

4. Trs partculas carregadas, localizadas sobre uma linha reta, esto separadas pela distncia d, como

mostra a figura abaixo. As cargas q1 e q2 so mantidas fixas. A carga q3, que livre para mover-se,

encontra-se em equilbrio (nenhuma fora eletrosttica lquida atua sobre ela). Determine q1 em termos de q2.

32 31

3 2 3 10 02 2

3 13 2 1 2

0

04

44

F F

q q q qK K

d d

q qq q q q

Como as foras possuem sentidos opostos, as cargas tambm devem possuir sinais opostos.

5. As cargas q1 e q2 se encontram sobre o eixo dos x, nos pontos x = -a e x =+a, respectivamente. (a)

qual deve ser a relao entre q1 e q2 para que a fora eletrosttica lquida sobre a carga + Q, colocada

no ponto x = +a/2, seja nula? (b) Repita o item (a) com a carga +Q colocada no ponto x =+3a/2.

1 2

1 20 02 2

1 2

)

0

3

2 2

9

R

Q Q

a

F

F F

q Q q QK K

a a

q q

1 2

1 20 02 2

1 2

1 2

)

0

3

2 2

2

,

5

25

R

Q Q

Como as foras possuem sentidos opostos

as cargas tambm devem

po

b

F

F F

q Q q QK K

a aa

ssuir sinais opos s

q

to

q

q q

6. Na figura abaixo, quais so os componentes horizontal e vertical da fora eletrosttica resultante que

atua sobre a carga no vrtice inferior esquerdo do quadrado, sendo q = 1,0 x 10-7 C e a = 5,0 cm?

2

7 791 4

1 0 22 2

793 4

3 0 2

2 2 diagonal do quadrado 7,07

inicialmente devemos representar as trs foras que atuam na carga considerada.

1,0 10 2 108,99 10 0,072

5 10

2,0 10 28,99 10

d a a d cm

q qF K N

a

q qF K

a

7

22

7 794 2

2 0 222

100,144

5 10

2,0 10 1 108,99 10 0,036

5 10 2

Nx

q qF K N

d

Temos que decompor a fora 2 em suas componentes x e y.

2 2 2 2cos45 0,036 0,707 0,025 45o o

x yF F N F F sen

Como temos agora quatro foras, somamos as foras nas mesmas direes e depois usamos o

teorema de Pitgoras para achar a resultante, com isso, temos

2 3

1 2

2 2 2 2

0,025 0,144 0,169

0,072 0,025 0,047

se quisermos encontrar o mdulo da fora resultante, temos:

0,169 0,047

0,239

h x

v y

R h v

R

F F F N

F F F N

F F F

F N

7. Duas cargas puntiformes livres +q e +4q esto a uma distncia L uma da outra. Uma terceira carga e

colocada de tal modo que todo o sistema fica em equilbrio. Determine a posio, o mdulo e sinal da

terceira carga.

3

A nica maneira de todo o sistema ficar em equilbrio, ou seja, cada uma das cargas estar sob ao

de duas foras de mesmo mdulo, mesma direo e sentidos opostos se uma carga negativa

for colocad

q

1 2a entre as cargas e .q q

3

1 3 2 3 3 313 23 0 0 0 02 22 2

1

2 1 3 1 3

21 31 0 0 0 02 2 2 2

Usando a condio de equilbrio na carga temos que:

4

3

usando a condio de equilbrio na carga temos que:

4

q

q q q q qq qq LF F K K K K x

x xL x L x

q

q q q q q qqqF F K K K K

L x L x

3

3 3

3 1 2 1

4

9

4como a carga negativa, temos

9

A carga deve ser colocada entre e , a uma distncia de 3

qq

qq q

Lq q q q

8. Uma carga Q dividida em duas partes q e (Q q), que so, a seguir, afastadas por certa distncia entre si. Qual deve ser o valor de q em termos de Q, de modo que a repulso eletrosttica entre as

duas cargas seja mxima.

2

0 02 2

0 2

Quando a fora for mxima a sua derivada em relao a carga ser nula.

20 2 0

2

Como a derivada segunda da fora em relao carga negativa, podemos

afirmar

qQ qq Q qF K K

r r

q

Q qdF QK Q q q

dq r

q

que a fora ser mxima quando dividirmos a carga total ao meio.

9. Duas pequenas bolas condutoras idnticas, de massa m e carga q, esto suspensas por fios no

condutores de comprimento L como mostra a figura. Suponha to pequeno que tan possa ser substituda por sen com erro desprezvel. (a) Mostre que, para o equilbrio,

,2

3/1

0

2

mg

Lqx

Onde x a separao entre as bolas. (b) Sendo L = 120 cm, m = 10 g, e x = 5,0 cm. Qual o valor de q?

a)

Inicialmente devemos representar as foras que atuam em uma das cargas.

Como cada bola est em equilbrio a resultante das foras em cada eixo e ser nula.

0considerando:

0 cos

x

y

x y

R Tsen F

R T mg

mas

Ftg

mg

tg sen F mgsen

2

0

1

2 2 2 33

2

0 0 0

mas

/ 2 1 e

2 4

2

4 2 4 2

tg sen F mgsen

x x qqsen F

L L x

q x q L q Lmg x x

x L mg mg

1

2 3

0

8

b)

substituindo os valores em 2

temos: 2,4 10

q Lx

mg

q C

10. Um nutron consiste em um quark up de carga +2e/3 e dois quarks down cada um tendo carga de e/3. Se os quarks down estiverem a uma distncia de 2,6 x 10-15 m um do outro, dentro do nutron, qual ser o mdulo da fora eletrosttica entre eles?

15

9

1 20 22 15

29 19

215

2(1)

3

1(2)

3

2,6 10

1 28,99 10

3 3

2,6 10

10 2 1,6 107,57

2,6 10

q e

e

r m

e eq q

F Kr

F F N

11. Qual deve ser a distncia entre dois prtons pra que o mdulo da fora eletrosttica atuando sobre

qualquer um deles seja igual ao seu peso na superfcie da Terra? Massa do prton = 1,67 x 10-27 kg.

27

29 19

261 20 2 26

1,67 10 9,78

8,99 10 1,6 101,63 10

1,63 10

0,12 12

F P mg

q qK r

r

r m r cm

12. Qual o modulo de uma carga puntiforme cujo campo eltrico, a uma distncia de 50 cm, tem mdulo igual a 2,0 N/C?

02 2

222

9

0

11

?

50

2,0 /

1

4

2 50 10

8,99 10

5,6 10

o

q

r cm

E N C

q qE K

r r

Erq

K

q C

13. O esquema abaixo mostra duas cargas fixas, no vcuo. Determine o mdulo, a direo e o sentido do

campo eltrico resultante: R: a) zero; b) 4,5 x 108 N/C, na direo horizontal e sentido para a direita.

a) No ponto A.

b) No ponto B.

Q1 = 64 .10- 6 C A Q2 = 64 . 10

- 6 C B

2 cm 2 cm 4 cm horizontal

6 61 2 9

1 2 0 2 22 2 2 21 2

64 10 64 10) 8,99 10

2,0 10 2,0 10

0 /

T

T

q qa E E E K

r r

E N C

6 61 2 9

1 2 1 2 0 2 22 2 2 21 2

8

64 10 64 10) 8,99 10

8,0 10 4,0 10

4,5 10 / , na direo horizontal e sentido para a direita

T T

T

q qb E E E E E E K

r r

E N C

14. Duas cargas puntiformes de mdulos Q1 = 2,0 x 10-7 C e Q2 = 8,5 x 10

-8 C esto separadas por uma

distncia de 12 cm. (a) Qual o mdulo do campo eltrico que cada uma cria no local onde est a

outra? (b) Qual o mdulo da fora que atua sobre cada uma delas?

7

1

8

2

79 31 1

1 0 22 2 2

89 32 2

2 0 22 2 2

1 1 2 2 1 2

3 8 3

2 10

8,5 10

12

)

1 2 108,99 10 125 10 /

4 12 10

1 8,5 108,99 10 53,1 10 /

4 12 10

)

125 10 8,5 10 10,6 10

o

o

q C

q C

r cm

a

q qE K N C

r r

q qE K N C

r r

b

F E q E q F F

F N

15. Duas cargas iguais, mas de sinais postos (de mdulo 2,010-7 C) so mantidas a uma distncia de 15

cm uma da outra. (a) Quais so o mdulo, a direo e o sentido de E no ponto situado a meia distncia entre as cargas? (b) Qual o mdulo, a direo e o sentido da fora que atuaria sobre um

eltron colocado nesse ponto?

7

1

7

2

2 10

2 10

15

q C

q C

r cm

1 2

1 2 0 2 2

1 2

7 79

2 22 2

3

)

2 10 2 108,99 10

7,5 10 7,5 10

640 10

/

T

T

T

a

q qE E E K

r r

E

E N

na direo da carga ne a iva

C

g t

3 19

13

)

640 10 1,6 10

1,02

4 10

T

na direo

b

F E q

F

na carga pos iv

N

it a

16. Na figura abaixo, localize o ponto (ou os pontos) onde o campo eltrico resultante nulo. (b) Esboce,

qualitativamente, as linhas do campo eltrico.

1

2

2 1 1

1 2

1 21 2 1 2

22 2 2

1 2

2

5

0 prximo de q

2 5 5

2 5 5

2 5 5

5 2 5

52,7

5 2

q q

q q

r a

q q E

E E

q qq q q q

r r x x a xx a

x q x q a q

x q q a q

x q q a q

x q q a q

x a a

17. Na figura abaixo, as cargas +1,0q e 2,0q esto fixas a uma distncia d uma da outra. (a) Determine

E nos pontos A, B e C. (b) Esboce as linhas do campo eltrico.

1 2

1 2 1 2 0 02 2 2 2

1 2

0 0

2 2

2)

4

.1 1

1 2 2

A A

T para a esqu

q q q qa E E E E E E K K

r r d d

K q K qE r

de da

d

1 2

1 2 1 2 0 0 2 22 2

1 2

0 0

2 2

2)

2 2

41 2 12 .

B B

B

q q q qb E E E E E E K K

r r d d

K q K qE

d dpara a direita

c) 02

7

4C

K qE

d , para a esquerda.

18. Duas cargas q1 = 2,1x10-8 C e q2 = -4 q1 esto fixas a uma distncia de 50 cm uma da outra.

Determine, ao longo da linha reta que passa pelas duas cargas, o ponto onde o campo eltrico zero.

Para que o campo eltrico resultante seja nulo, os campos gerados pelas duas cargas devem ter

mesma direo, mesmo mdulo e sentidos opostos, portanto o ponto deve estar fora do segmento que

une as cargas e mais prximo da carga de menor mdulo ( q1 ).

1 2

8 80 1 0 2

22 2 2

1 2

2,1 10 8,4 10

0,5

0,5

E E

K q K q

d d x x

x m

O campo eltrico resultante ser nulo num ponto fora do segmento que une as cargas a uma

distncia de 0,5 m de q2 e a 1,0 m de q1.

19. Na figura abaixo, qual o campo eltrico no ponto P criado pelas quatro cargas mostradas? Onde q1 =

+5q, q2 = +5q, q3 = +3q e q4 = -12q,

Inicialmente devemos representar no ponto P os campos gerados para cada uma das quatro cargas.

Em seguida determinamos o valor de cada campo neste ponto.

01 2 2

03 2

0 04 2 2

5

3

12 32

K qE E

d

K qE

d

K q K qE

dd

Os campos gerados pelas cargas q1 e q2 tm a mesma direo, mesmo mdulo e sentidos opostos,

portanto se anulam. O mesmo acontece com os campos gerados por q3 e q4, portanto o campo

resultante no ponto P nulo.

20. Determine o mdulo do campo eltrico no ponto P da figura abaixo. Adote 66,00 10 ma

Por simetria vemos que as contribuies das duas cargas q1 = q2 = +e se cancelam, ento calculamos

apenas a contribuio de q3 = +2e. A magnitude do campo eltrico :

2 220 0 0

199 2 2

6 2

1 2 1 2 1 4| |

4 4 4( / 2)

4(1,60 10 C)(8,99 10 N m C ) 160 N/C.

(6,00 10 m)

T

e e eE

r aa

Este campo aponta em 45, em relao ao eixo x.

21. Determine o mdulo, a direo e o sentido do campo eltrico no centro do quadrado da figura abaixo,

sabendo que q1 =+1,010-8 C, q2 =-2,010

-8 C, q3 =+2,010-8 C e q4 = -1,010

-8 C e a = 5,0 cm.

2 4 1 3

Adotamos o centro do quadrado como sendo o ponto zero de nosso sistema cartesiano.

pelas cargas e passa o eixo e pelas cargas e passa o eixo .

Com isso a distncia de cada carga at o pon

q q x q q y

to de interesse . com isso:2

ad

9 84

0 02 2 2 2

9 84

0 02 2 2 2

2 2

2 9 10 1 107,19 10 /

/ 2 / 2 / 2 0,05 / 2

de mesma forma temos

2 9 10 1 107,19 10 /

/ 2 / 2 / 2 0,05 / 2

O mdulo do campo dado por:

7,1

x

y

x y

q q qE K K N C

a a a

q q qE K K N C

a a a

E E E

2 24 4 5

1 1

9 10 7,19 10 1,02 10 /

o ngulo feito com o eixo :

tan tan 1 45y o

x

N C

x

E

E

22. Um eltron liberado a partir do repouso num campo eltrico uniforme de mdulo 2,00 x 102 N/C. Calcule a acelerao do eltron. (Ignore a gravidade.) me = 9,11 x 10

-31 kg. 31

19

19 17

1713 2

31

9,11 10

1,6 10

200 /

200 1,6 10 3,2 10

3,2 103,5 10 /

9,11 10

e

e

m kg

q C

E N C

F Eq N

FF ma a m s

m

23. Ar mido sofre ruptura eltrica (suas molculas tornam-se ionizadas) num campo eltrico de 3,0 x

106 N/C. Nesse campo, qual o mdulo da fora eletrosttica que atua sobre (a) um eltron e (b) um

on em que falta um eltron?

6 19 13

6

6 19 13

3 10 1,6 10 4,8 103 10 /

3 10 1,6 10 4,8 10

eltron eltron

prton prton

F Eq NE N C

F Eq x N

24. Uma barra fina, no condutora, de comprimento L, tem uma carga positiva +q uniformemente

distribuda ao longo dela. Mostre que o mdulo do campo eltrico no ponto P sobre a mediatriz da

barra (como est representado na figura abaixo) dado por:

E = q / [2oR(L2 + 4R

2)

Vamos usar um recurso muito til na resoluo de exerccios, a simetria. Se pensarmos na barra dividida

ao meio, percebemos que as componentes horizontais do campo eltrico, geradas por cada metade da

barra, se anulam e as componentes verticais se somam.

Vamos determinar a componente vertical do campo gerado pela metade esquerda da barra.

0 0

2 2

0

32 2 2

/2 /2

003 3

2 2 2 20 02 2

cos cos

1

y

y

L L

y

K dq K dx RdE dE

r r r

K RdE dx

x R

K RdE dx K R dx

x R x R

Para resolver a integral vamos usar substituio trigonomtrica. Fazendo:

3

2 2 2

1I dx

x R

e

2 2 2x R tg temos:

2 2 2

3 3 322 2 2 2 2 2 22 2 2

2 2

32 2 3 2 22 2

122 2 2 2

sec sec 1 sec

1

1 sec 1 sec 1 1cos

sec secsec

R d d dI R

RR tg R R tg R tg

d d dI d

R R R R

sen xI

RR x R

Portanto,

/2

00 1 1

2 2 2 2 22 2

0

L

y y

K LxE K R E

R x R R L R

Temos que:0

0

1;

4L q K

Finalmente podemos escrever:

1

2 2 20

1

4 4

y

qE

R L R

.

Lembrando que yE a componente vertical do campo gerado pela metade esquerda da barra. O campo

resultante :

1

2 2 20

2

2 4

y

qE E

R L R

25. Uma barra fina no condutora, de comprimento L, tem uma carga q uniformemente distribuda ao

longo de seu comprimento. Mostre que o campo eltrico no ponto P, sobre o eixo da barra, a uma

distncia a de sua extremidade dado por: E = q / [4oa(L+a)]

0 0

2 2

2002

0 0

L L

K dq K dxdE

x a x a

KE dx K x a dx

x a

Calculando a integral:u x a du dx

2 2 11

0

L

I x a dx u du u x a

1 0 0 00

0

L K K K LE K x a

L a a a L a

Temos que: 0

0

1 K

4L q e

Portanto:

04q

Ea L a

26. Uma barra fina de plstico encurvada na forma de um crculo de raio R. Uma carga +Q est

uniformemente distribuda ao longo do crculo. (a) Mostre que o campo eltrico no centro do crculo,

gerado pelo semicrculo que se encontra esquerda do eixo y, dado por: E = Ko Q/ R2. (observe

que a carga de cada semicrculo +Q/2 ). (b) Determine o valor do campo eltrico gerado por toda

barra circular no centro do crculo.

a) Se pensarmos no semicrculo dividido ao meio, pela simetria, percebemos que as componentes

verticais do campo eltrico, gerado por cada metade do semicrculo, se anulam e as

componentes horizontais se somam.

Vamos determinar a componente horizontal do campo gerado pela metade de cima do

semicrculo.

0 0

2 2

0 0

2

x

x

K dq K dsdE dEsen sen sen

R R

s R ds Rd

K Rd K sen ddE sen

RR

2 2

0 0

0 0

/20 0

0

0 0

2

cos

2 2 2

x

x

x x

K sen d KE sen d

R R

K KE

R R

K K QQ QE E

R R R R

xE a componente horizontal do campo eltrico gerado pela metade superior do semicrculo. O

campo resultante :

0

22 x

K QE E

R

b) Devemos observar, pela simetria, que o campo resultante neste caso ser nulo.

27. Uma barra fina de vidro encurvada na forma de um semicrculo de raio r. uma carga +q est

uniformemente distribuda ao longo da metade superior e uma carga q est uniformemente

distribuda ao longo da metade inferior, como mostra a figura abaixo. Determine o campo eltrico Eem P, o centro do semicrculo.

0 02 2

Para a metade superior:

2onde e . Portanto:

2

4

dq dldE K K

r r

Q Qdl rd

r r

0 02 2

/2

0 2

0

/2

0 02 20

2

2

o mdulo da componente horizontal do campo total positivo , portanto:

2cos cos

2 2

x x

x x

Qrd

QrdE K K dr r

QE dE dE K d

r

Q QE K sen E K

r r

/2

0 2

0

/2

0 02 20

Analogamente:

2

2 2cos

y y

y y

QE dE dE sen K sen d

r

Q QE K E K

r r

0

2

usando a simetria do problema vemos facilmente que as componentes horizontais cancelam-se

enquanto que as verticais reforam-se. Assim sendo, o mdulo do compo total simplesmente:

42 com o y

K QE E

r vetor correspondente apontando para baixo.

28. Na experincia de Millikan, uma gota de raio 1,6410-6 m e densidade de 0,851 g/cm3 fica suspensa na cmara inferior quando o campo eltrico aplicado tem mdulo igual a 1,92105 N/C e aponta verticalmente para baixo. Determine a carga da gota em termos de e.

Para a gota estar em equilbrio necessrio que a fora gravitacional esteja contrabalanada

pela fora eletrosttica associada ao campo eltrico, ou seja, preciso ter ,

onde a massa da go

mg qE

m

ta, a carga sobre a gora e a magnitude do compo eltrico

no qual a gota est imersa.

q E

34A massa da gora dada por , com isso temos:3

m V r

3

63

5

19

19

19

44 1,64 10 851 9,843

3 3 1,92 10

8,0 10

e, portanto,

8,0 105 ou seja, 5

1,6 10

r gmg r g

qE E E

q C

qn n q e

e

29. Determine o campo eltrico (mdulo, direo e sentido) devido a um dipolo eltrico em um ponto

localizado a uma distncia r >>d sobre a mediatriz do segmento que une as cargas como na figura

abaixo. Expresse sua resposta em termos do momento de dipolo p .

0 2 2

Obtm-se o campo eltrico resultante no ponto P somando-se vetorialmente

o mdulo dos vetores dado por:

/ 4

As componentes sobre a mediatriz se cancelam

enquanto as co

E E E

qE E K

z d

2 2

mponentes perpendiculares a ela somam-se. Com isso temos:

2 cos

/ 2com: cos

/ 4

E E

d

z d

0 2 2 2 2

00 3 3 3

2 2 2 2 22 2 2

2 2

/ 22

/ 4 / 4

/ 4 1 / 4

como: / 4 0

q dE K

z d z d

Kqd qdE K

z d z d z

z d d z

0

3

K qdE

z

0 3

Em termos do momento de dipolo , uma vez que e tem sentidos opostos, temos:

p qd E p

pE K

z