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EAD 350 Pesquisa Operacional
Aula 03 – Parte 1 Revisão Preço-Sombra e Análise de Sensibilidade
Profa. Adriana Backx Noronha Viana
(Participação Prof. Cesar Alexandre de Souza)
FEA/USP
Bibliografia para Estudo
• Programação Linear
– Solução pelo método gráfico item 3.1 Livro Hillier e Lieberman
• Análise de Pós-Ótimo
– Preços-Sombra e Análise de Sensibilidade item 4.7 Livro Hillier e Lieberman
Revisão de Geometria Analítica
• Para esse processo, considere a utilização do geogebra
• Considere a seguinte inequação:
X1 + X2 ≤ 4
que em geral são as restrições apresentadas nos problemas de PO
• Para construir no gráfico, consideramos a igualdade:
X1 + X2 = 4
Ou ainda, podemos fazer como uma função, colocando X1 no eixo x e X2 no eixo Y; temos:
X2 = 4 – X1, ou ainda
f(x) = 4 – x
x
f(x)
Plotando o
gráfico com
GeoGebra
Equação da Reta
• Observe que uma função linear tem duas partes:
f(x) = 4 – x
– onde 4 é a ordenada do ponto onde cruza o eixo y ou f(x)
– e o -1 (valor que está multiplicando a variável x) é o coeficiente angular da reta, ou ainda, o valor que fornece base para cálculo da inclinação da reta.
Equação da Reta
• Observe que uma função linear tem duas partes:
f(x) = 4 – x
– onde 4 é a ordenada do ponto onde cruza o eixo y ou f(x)
– e o -1 (valor que está multiplicando a variável x) é o coeficiente angular da reta, ou ainda, o valor que fornece base para cálculo da inclinação da reta.
O que acontece quando
variamos esses parâmetros ??
Equação da Reta • Modificações
no valor da ordenada (igual a 4)
• Cria retas paralelas
g(x) = 6 – x
h(x) = 2 – x
• Valor da ordenada aumenta, a reta “sobe”
• Quando diminui, a reta “desce”
Equação da Reta • Modificações no
coeficiente angular da reta (igual a -1)
• Muda a inclinação da reta
g(x) = 4 – 0,5*x
h(x) = 4 – 2*x
• Valor coef.ang aumenta, a reta “inclina” para esquerda
• Quando diminui, a reta “inclina” para direita
• Rotaciona no ponto 4
Análise de “Pós-Ótimo”
• Preço-Sombra
– Analisa até que ponto é interessante aumentar a restrição de um recurso (escasso)
– Análises são feitas na ordenada (retas paralelas às das restrições)
Preços-Sombra
• Os valores bi (quantidades máximas de recursos) podem ter sido definidos a partir de valores iniciais, mas com possível flexibilidade
• Parte dos valores bi então poderia ser alterada (aumentando o consumo de recursos) se houver justificativa econômica para isso
• O preço-sombra para o recurso bi mede o valor marginal desse recurso, isso é, a taxa em que Z poderia ser aumentada elevando-se ligeiramente o valor de bi
ii
ib
Z
b
Zy
Relembrando…. Aula 1 – Exemplo 1 Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 2010)
Fábrica 1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Lucro Por Lote
(US$ 1.000) 3 5
Produto
Tempo de Produção
(horas)
Tempo de
Produção
Disponível
por Semana
Modelo Matemático
Função Objetivo
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2
Sujeito à (restrições):
1X1 + 0X2 <= 4 0X1 + 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 < =18 X1, X2 >= 0
X1 – número de lotes do produto 1 produzido
semanalmente (porta de vidro com esquadria de
alumínio)
X2 – número de lotes do produto 2 produzido
semanalmente (janela com esquadria de madeira
41 X
122 2 X
X2
Preço Sombra: O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(Fábrica 1)
(Fábrica 2)
(Fábrica 3)
36ZC (2;6)
i
ib
Zy
122 2 X
X2
X1 A
B C
D
E
(b2=12) 36Z
C
?´ZC´ (?;?) B´
132 2 X (b2'=13)
Preço Sombra: O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e: i
ib
Zy
Resolvendo para C´: 0X1 + 2X2 = 13 3X1 + 2X2 =18
2X2 = 13 X2 = 13/2 3X1 + 2(6,5) =18
X1 = (18-13)/3 = 5/3
Z´ = 3X1 + 5X2 = 3.(5/3)+5.(13/2)=37,5
2
2b
Zy
C´ (5/3;6,5)
B´
5,11213
365,37
2
2
b
Zy
1923 21 XX (b´3=19)
X2
Preço Sombra: O preço sombra deve ser analisado considerando-se uma restrição limitante por vez, e:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(b3=18)
36ZC
i
ib
Zy
D´
C´ (?;?)
?Z
Resolvendo para C´: 0X1 + 2X2 = 12 3X1 + 2X2 =19
2X2 = 12 X2 = 6 3X1 + 2(6) =19
X1 = (19-12)/3 = 7/3
Z´ = 3X1 + 5X2 = 3.(7/3)+5.(6)=37
11819
3637
3
3
b
Zy
Preço-Sombra: Resumo Descrição Restrições
Solução ótima (2, 6) Z = 36
Fábrica 2 Fábrica 3
Aumentando uma unidade de recurso na fábrica 2 Nova solução ótima: (5/3, 6,5) Z = 37,5
Fábrica 2 Fábrica 3
Aumentando uma unidade de recurso na fábrica 3 Nova solução ótima: (7/3, 6) Z = 37
Fábrica 2 Fábrica 3
122 2 X
1823 21 XX
132 2 X
1823 21 XX
5,11213
365,37
2
2
b
Zy
122 2 X
1923 21 XX
11819
3637
3
3
b
Zy
Acrescentar uma hora de tempo de produção por semana na Fábrica 2
para esses dois produtos novos incrementaria o lucro total em U$1500
por semana.
Análise de Sensibilidade da P.O.
• Trata-se de verificar se variações nos valores dos parâmetros ci podem modificar a solução ótima
• Para essa análise utilizando o gráfico, considere que duas retas são paralelas se elas tiverem o mesmo coeficiente angular
• No caso da Reta Z, reescrevendo em função de X2, o coeficiente angular é:
21 53 XXZ
1
2
1
2
2 Xc
c
c
ZX
2
1
c
c
2211 XcXcZ
No nosso exemplo
125
3
5X
ZX
Plotando no gráfico a função
Diminuindo o coeficiente angular
Reta gira no sentido
horário
Rotaciona em Oy
Diminuindo o coeficiente angular
Para deslocar
para o ponto
ótimo (2,6)
Diminuindo o coeficiente angular
Aumentando o coeficiente angular
Reta gira no sentido
anti-horário
Rotaciona em Oy
Retornando a reta para o ponto ótimo (2,6)
Para deslocar
para o ponto
ótimo (2,6)
Aumentando o coeficiente angular
Relembrando…. Aula 1 – Exemplo 1 Wyndor Glass Co. (Hillier e Lieberman, 2010)
Fábrica 1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Lucro Por Lote
(US$ 1.000) 3 5
Produto
Tempo de Produção
(horas)
Tempo de
Produção
Disponível
por Semana
Modelo Matemático
Função Objetivo
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2
Sujeito à (restrições):
1X1 + 0X2 <= 4 0X1 + 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 < =18 X1, X2 >= 0 Vamor aplicar a
Análise de sensibilidade
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parâmetros ci um de cada vez
36Z
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parâmetros ci um de cada vez
36Z
Observar que os limites de rotação são as retas de recurso da Fábrica 2 (rotação anti-horário) e Fábrica 3 (rotação horário)
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(Fábrica 3)
C (2;6)
122
3
2
18XX
a) “Girando” no sentido horário, a reta limite será a da Fábrica 3
Ou seja, o coef. Angular é -3/2
No limite, teremos as duas retas (Z e fábrica 3) praticamente paralelas e os coef. angulares muito próximos
2
3
2
1 c
c36Z
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
Variando um ci de cada vez, ou seja, c1 = 3 e c2 =5 na desigualdade acima teremos os valores de ci
Calculando….
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(Fábrica 3)
C (2;6)
122
3
2
18XX
a) “Girando” no sentido horário, a reta limite será a da Fábrica 3
Ou seja, o coef. Angular é -3/2
No limite, teremos as duas retas (Z e fábrica 3) praticamente paralelas e os coef. angulares muito próximos
2
3
2
1 c
c36Z
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
Segue-se que:
2
151 c 22 ce
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
A
B C
D
E
122 2 X (Fábrica 2)
C (2;6)
b) “Girando” agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica 2
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
A
B C
D
E
C (2;6)
b) “Girando” agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica 2
12 02
12XX
Ou seja, o coef. Angular é 0
No limite, teremos as duas retas (Z e fáb. 2) paralelas e os coeficientes angulares muito próximos
02
1 c
c
122 2 X (Fábrica 2)
Segue-se que:
01 c 02 ce
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
Calculando….
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
Sintetizando os limites da análise de sensibilidade:
A solução permanece inalterada enquanto
2
150 1 c 22 ce
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
Análise de Sensibilidade: Resumo Descrição Restrições Coeficientes
Solução ótima (2, 6) Z = 36
Fábrica 2 Fábrica 3
Z = 3X1 + 5X2
Rotacionando a reta no sentido horário
A reta limite será a restrição da Fábrica 3
Rotacionando a reta no sentido anti-horário
A reta limite será a restrição da Fábrica 2
122 2 X
1823 21 XX
A solução ótima continuará no ponto (2,6), desde que sejam
considerados os limites acima. O valor de Z poderá modificar.
2
151 c 22 c
Veja a planilha em Excel para visualizar as modificações
2
150 1 c 22 c
Aula 1 – Enunciado 1 • Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de
ligas de metal. A tabela abaixo ilustra o consumo de matéria prima por unidade de liga, seus preços de venda e as disponibilidades de matéria-prima.
Itens / Atividades
Liga Tipo A LigaTipo B Matéria-prima disponível
Cobre 2 1 16
Zinco 1 2 11
Chumbo 1 3 15
Proço unitário de venda
R$30,00 R$50,00
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
Análise pós-Otimo – Aula 1 En 1
Função Objetivo
Max R = 30x1 + 50x2
Restrições
2x1 + x2 < 16 Cobre
x1 + 2x2 < 11 Zinco
x1 + 3x2 < 15 Chumbo
x1, x2 > 0
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
x2
x1
F
G
Z = 30x1 + 50x2
Z = 310
O ponto D (7; 2) é o ponto de máximo.
As coordenadas (x1=7; x2=2) podem ser
verificadas graficamente
Ou, podem ser obtidas a partir da
solução do par de equações das retas
limites das restrições de Cobre e Zinco:
x1 + 2x2 = 11 (Zn)
2x1 + x2 = 16 (Cu)
Solução Gráfica – Aula 1 En 1
Preço Sombra – Aula 1 En 1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
x2
x1
F
G
(Cu) 162
(Zn) 112
21
21
xx
xx
Preço Sombra – Aula 1 En 1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
x2
x1
F
G
(Cu) 162
(Zn) 112
21
21
xx
xx Restrição Zinco
Preço Sombra – Aula 1 En 1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
x2
x1
F
G
(Cu) 162
(Zn) 122
21
21
xx
xx Restrição Zinco
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
Restrição Cobre
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Preço Sombra – Aula 1 En 1
(Cu) 162
(Zn) 112
21
21
xx
xx
Zinco: x1 + 2x2 < 11
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
Restrição Cobre
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Preço Sombra – Aula 1 En 1
(Cu) 172
(Zn) 112
21
21
xx
xx
Zinco: x1 + 2x2 < 11
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Preço Sombra – Limites de Validade da Análise
Zinco: x1 + 2x2 < 11
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Preço Sombra – Limites de Validade da Análise
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
D´
Preço Sombra – Limites de Validade da Análise
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
D´
Preço Sombra – Limites de Validade da Análise
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
D´
Preço Sombra – Limites de Validade da Análise
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
D´
0;11
0
112
21
2
21
xx
x
xx
No ponto G:
Preço Sombra – Limites de Validade da Análise
(Cobre) 22
2201122
1
21
b
xx
Substituindo os valores na
restrição do Cobre:
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
D´
Preço Sombra – Limites de Validade da Análise
4;3
153
112
21
21
21
xx
xx
xx
No ponto C:
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
Zinco: x1 + 2x2 < 11
(Cobre) 10
104322
1
21
b
xx
Substituindo os valores na
restrição do Cobre:
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
D´
Preço Sombra – Limites de Validade da Análise
2210 1 b
Sintetizando, o intervalo
para o parâmetro b1 para o
qual o preço sombra do
Cobre identificado pode ser
considerado é:
Chumbo: x1 + 3x2 < 15
Zinco: x1 + 2x2 < 11
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D (4,3)
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
36Z
Z = 3X1 + 5X2
X2 = Z/5 -3/5 X1
C1=3 ; C2 = 5
X2
X1
1823 21 XX
A
B C
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
51Z
Z = 9X1 + 5X2
X2 = Z/5 -9/5 X1
C1=9 ; C2 = 5
D (4,3)
Imaginando uma situação em que C1 tivesse outro valor:
A pergunta da Análise de sensibilidade é então: quais os limites para o valor de C1 (e C2) que ainda manteriam a mesma solução (X1=2; X2=6)
Análise de Sensibilidade da PO:
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
(Fábrica 3)
C (2;6)
122
3
2
18XX
a) “Girando” no sentido horário, a reta limite será a da Fábrica 3
Ou seja, o coef. Angular é -3/2
No limite, teremos as duas retas (Z e fábrica 3) praticamente paralelas e os coef. angulares muito próximos
2
3
2
1 c
c12
5
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
122 2 X (Fábrica 2)
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
Segue-se que:
2
151 c 22 ce
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
A
B C
D
E
122 2 X (Fábrica 2)
1823 21 XX (Fábrica 3)
C (2;6)
b) “Girando” agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica 2
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
A
B C
D
E
C (2;6)
b) “Girando” agora no sentido anti-horário, a reta limite será a da Fábrica 2
12 02
12XX
Ou seja, o coef. Angular é 0
No limite, teremos as duas retas (Z e fáb. 2) paralelas e os coeficientes angulares muito próximos
02
1 c
c
122 2 X (Fábrica 2)
Segue-se que:
01 c 02 ce
125
3
5X
ZX
Ou seja, o coef.
Angular é: -3/5
ou
2
1
c
c
Verificam-se os limites de “rotação” para a reta Z, considerando as retas limite e variando os parametros ci um de cada vez
1823 21 XX (Fábrica 3)
X2
Análise de Sensibilidade da PO:
X1
1823 21 XX
A
B C
D
E
122 2 X (Fábrica 2)
(Fábrica 3)
C (2;6)
Sintetizando os limites da análise de sensibilidade:
A solução permanece inalterada enquanto
2
150 1 c 22 ce