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EAD 350 Pesquisa Operacional
Aula 03 – Parte 2
Profa. Adriana Backx Noronha Viana
(Participação Prof. Cesar Alexandre de Souza)
FEA/USP
Método Simplex (item 4.1 do Hillier e Lieberman) - apenas para conhecimento
• É um procedimento algébrico iterativo de solução, baseado na solução geométrica
(FPE no livro em português)
Método Simplex
• Elaborando o modelo – variáveis auxiliares (slack variables)
(graus de liberdade)
Método Simplex
Resolvendo a PL com o EXCEL (Solver) Aula 1 Exemplo 1 (Ex Wyndor)
Fábrica 1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Lucro Por Lote
(US$ 1.000) 3 5
Produto
Tempo de Produção
(horas)
Tempo de
Produção
Disponível
por Semana
Modelo Matemático
Função Objetivo
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2
Sujeito à (restrições):
1X1 + 0X2 <= 4 0X1 + 2X2 <= 12 3X1 + 2X2 < =18 X1, X2 >= 0
X1 – número de lotes do produto 1 produzido
semanalmente (porta de vidro com esquadria de
alumínio)
X2 – número de lotes do produto 2 produzido
semanalmente (janela com esquadria de madeira
Em amarelo: Dados de entrada do problema
Em azul: Valor inicial igual a zero
Em verde: Fórmula “somarproduto”
Planilha
Planilha
Coeficientes de restrições
Totais de recursos necessários
Totais de recursos disponíveis
Valor ótimo
Coeficientes da função objetiva
Variáveis decisórias
Fórmulas
Coeficientes de restrições
Totais de recursos necessários
Totais de recursos disponíveis
Valor ótimo
Coeficientes da função objetiva
Variáveis decisórias
Parâmetros do Solver
Parâmetros do Solver - Restrições
Resultados do Solver Valor ótimo Variáveis decisórias
Opções do Solver
Relatório de Sensibilidade
Relatório de Sensibilidade
22 c
2
150 1 c
3 - 3 3 + 4,5
Relatório de Sensibilidade
Limites para Fábrica 1
Relatório de Sensibilidade
Limites para Fábrica 2
Relatório de Sensibilidade
Limites para Fábrica 3
Aula 1 – Enunciado 1 • Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de
ligas de metal. A tabela abaixo ilustra o consumo de matéria prima por unidade de liga, seus preços de venda e as disponibilidades de matéria-prima.
Itens / Atividades
Liga Tipo A LigaTipo B Matéria-prima disponível
Cobre 2 1 16
Zinco 1 2 11
Chumbo 1 3 15
Proço unitário de venda
R$30,00 R$50,00
Realize a análise de pós-otimalidade para o exercício, calculando os preços-sombra e seus limites de validade e fazendo a análise de sensibilidade dos parâmetros Ci da função Z
Análise pós Ótimo – Atv 3 – Ex1
Função Objetivo
Max Z = 30x1 + 50x2
Restrições
2x1 + x2 < 16 Cobre
x1 + 2x2 < 11 Zinco
x1 + 3x2 < 15 Chumbo
x1, x2 > 0
Análise de Sensibilidade – Ex. 1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
Cobre 2x1 + x2 < 16
x2
x1
F
602
130
252
1
50
2
2
11
cc
cc
Coeficientes da função objetivo
quando for paralela à reta
x1 + 2x2 = 11 (Zn)
Girar até ser
paralela à reta x2 = 11/2 – 1/2 x1
G
Z = 30x1 + 50x2
Z = C1x1 + C2x2
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Análise de Sensibilidade – Ex. 1
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F
151
230
1001
2
50
2
2
11
cc
cc
Coeficientes da função objetiva
quando for paralela à reta
2x1 + x2 = 16 (Cu)
Girar até ser
paralela à reta
x2 = 16 - 2x1
G
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Z = 30x1 + 50x2
Z = C1x1 + C2x2
Análise de Pós Ótimo – Ex. 1
Rel. Análise de Sensibilidade –Solver/Excel
Células ajustáveis
Valor Reduzido Objetivo Permissível Permissível
Célula Nome Final Custo Coeficiente Acréscimo Decréscimo
$B$3 Variável decisória x1 7 0 30 70 5
$C$3 Variável decisória x2 2 0 50 10 35
Restrições
Valor Sombra Restrição Permissível Permissível
Célula Nome Final Preço Lateral R.H. Acréscimo Decréscimo
$D$6 Cobre LE 16 3,333333333 16 6 6
$D$7 Zinco LE 11 23,33333333 11 1,2 3
$D$8 Chumbo LE 13 0 15 1E+30 2
33,2331033,333'
33,333)67,2(50)67,6(30'
67,23
8;67,6
3
20
(Cu) 162
(Zn) 122
21
21
21
ZZZ
Z
xx
xx
xx
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F(6,6; 2,8)
G(11; 0)
A restrição pode ser
deslocada entre os pontos
F(6,6; 2,8) e E(8; 0).
8 < zinco < 12,2
Restrição Zinco
Restrições Laterais – Ex. 1
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Cobre: 2x1 + x2 < 16
33,331033,313'
33,313)66,1(50)66,7(30'
67,13
5;67,7
3
23
172
112
21
21
21
ZZZ
Z
xx
xx
xx
5
10
15
5 10 15 A
B
C
D
E
x2
x1
F(6,6; 2,8)
G(11; 0)
A restrição pode ser
deslocada até os pontos
C(3; 4) e G(11; 0).
10 < cobre < 22
Restrição Cobre
Cobre: 2x1 + x2 < 16
Restrições Laterais – Ex. 1
Zinco: x1 + 2x2 < 11
Aula 3 – Enunciado 4
• Uma pequena manufatura produz dois modelos, Standard e Luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo Standard requer 3 horas de polimento e 1 hora de pintura. Cada unidade do modelo Luxo exige 1 hora de polimento e 4 horas de pintura. A fábrica dispõe de 2 polidores, numa base de 40 horas semanais e de um pintor, numa base de 20 horas semanais. As margens de lucro são R$24,00 e R$32,00, respectivamente, para cada unidade de Standard e Luxo. Não existem restrições de demanda para ambos os modelos. Encontre a produção semanal que maximize o lucro do fabricante.
Aula 3 – Enunciado 5 • Uma empresa pretende fabricar dois produtos, A e B. O volume de
vendas de A será de no mínimo 80% do total de vendas de ambos (A e B). Contudo, a empresa não poderá vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma matéria prima cuja disponibilidade máxima diária é 240 quilos. As taxas de utilização da matéria prima são 2 quilos por unidade de A e 4 quilos por unidade de B. Os preços unitários de venda estimados pelo departamento de marketing para A e B são $20 e $ 50 respectivamente. Determine o mix de produto que otimize o faturamento da empresa (total da questão: 4,0 pontos)
a) Elabore o modelo matemático para o problema descrito.
b) Determine a solução pelo método gráfico.
c) O departamento de marketing estima que há uma margem de erro de 20% para mais ou menos em relação aos preços unitários estimados. A solução encontrada é robusta relativamente a essa margem de erro? Porque sim ou porque não? (para esse item, é necessário fazer a análise de sensibilidade para os parâmetros da função Z)
Uma empresa de engenharia está considerando o tempo
disponível de máquinas para a produção de três produtos:
1, 2 e 3. As horas requeridas para cada unidade de produto
e o tempo disponível em uma semana por máquina são:
Máquina 1 2 3
Tempo
horas/semana
Produto
A 4 h 1 h 1,5 h 100 h
B 2 h 1,5 h - 50 h
C 1 h - 0,5 h 25 h
Os produtos 1 e 2 podem ser vendidos em qualquer quantidade,
mas o produto 3 pode ser vendido até no máximo 10 unidades
por semana. O lucro unitário é de R$10, R$3 e R$4 para os
produtos 1, 2 e 3 respectivamente. Qual será o mix de produtos que
a empresa deve fabricar para obter o lucro máximo?
Aula 3 – Enunciado 6
