EAD 350Pesquisa Operacional

Aula 04 – Parte 1Resolução de Exercícios

Profa. Adriana Backx Noronha Viana

(Adapt. Material Prof. Cesar Alexandre de Souza)

backx@usp.br

FEA/USP

Aula 3 – Enunciado 4

• Uma pequena manufatura produz dois modelos, Standard e Luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo Standard requer 3 horas de polimento e 1 hora de pintura. Cada unidade do modelo Luxo exige 1 hora de polimento e 4 horas de pintura. A fábrica dispõe de 2 polidores, numa base de 40 horas semanais e de um pintor, numa base de 20 horas semanais. As margens de lucro são R$24,00 e R$32,00, respectivamente, para cada unidade de Standard e Luxo. Não existem restrições de demanda para ambos os modelos. Encontre a produção semanal que maximize o lucro do fabricante.

Uso de Solver - Excel

Max Z = 24x1 + 32x2

xj 0 j=1, 2

Função Objetivo

Restrições

3x1 + 1x2 80Tempo de mão-de-obrasemanal para polimento

Tempo de mão-de-obrasemanal para pintura

Variáveis Decisórias

1x1 + 4x2 20

x1: quantidade a ser produzida de Standard por semana

x2: quantidade a ser produzida de Luxo por semana

Planilha

Coeficientes derestrições

Totais de recursosnecessários

Totais de recursosdisponíveis

Valorótimo

Coeficientes da função objetiva

Variáveisdecisórias

LE – Lado Esquerdo

LD – Lado Direito

Fórmulas

Coeficientes derestrições

Totais de recursosnecessários

Totais de recursosdisponíveis

Valorótimo

Coeficientes da função objetiva

Variáveisdecisórias

Parâmetros do Solver

Parâmetros do Solver - Restrições

Opções do Solver

Resultados do SolverValor ótimoVariáveis decisórias

Relatório de Sensibilidade

Resultado Final: x1= 20 (quantidade a ser produzida de

Standard por semana); x2= 0 (quantidade a ser produzida

de Luxo por semana); Valor do lucro é R$480,00; o valor

de mão-de-obra para polimento não foi utilizado no

máximo (sobra de 20 horas), enquanto que para pintura

está sendo utilizado no máximo.

Aula 3 – Enunciado 5• Uma empresa pretende fabricar dois produtos, A e B. O volume de

vendas de A será de no mínimo 80% do total de vendas de ambos (A e B). Contudo, a empresa não poderá vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma matéria prima cuja disponibilidade máxima diária é 240 quilos. As taxas de utilização da matéria prima são 2 quilos por unidade de A e 4 quilos por unidade de B. Os preços unitários de venda estimados pelo departamento de marketing para A e B são $20 e $ 50 respectivamente. Determine o mix de produto que otimize o faturamento da empresa

a) Elabore o modelo matemático para o problema descrito.

b) Determine a solução pelo método gráfico.

c) O departamento de marketing estima que há uma margem de erro de 20% para mais ou menos em relação aos preços unitários estimados. A solução encontrada é robusta relativamente a essa margem de erro? Porque sim ou porque não? (para esse item, é necessário fazer a análise de sensibilidade para os parâmetros da função Z)

Aula 3 – Enunciado 5

Max Z = 20xA + 50xB

xA 0

xB 0

Função Objetivo

Restrições

2 xA + 4 xB 240Matéria-prima disponívelpor dia

Venda máxima de XA

Variáveis Decisórias

xA 100

xA: quantidade a ser vendida de A por dia

xB: quantidade a ser vendida de B por dia

0,2xA- 0,8 xB ≥ 0 Venda mínima de de XA

Modelo

matemático

Aula 3 – Enunciado 5Solução pelo

método

gráfico

80; 20

0

10

20

30

40

50

60

70

0 20 40 60 80 100 120 140

y: B

x: A

região de soluções viáveis

Solução

2xA + 4xB=240

xA =100

0,2xA- 0,8 xB =0

Aula 3 – Enunciado 5Análise

de

sensibilidade

Valor ótimoVariáveis decisórias

Uma empresa de engenharia está considerando o tempo

disponível de máquinas para a produção de três produtos:

1, 2 e 3. As horas requeridas para cada unidade de produto

e o tempo disponível em uma semana por máquina são:

Máquina 1 2 3

Tempo

horas/semana

Produto

A 4 h 1 h 1,5 h 100 h

B 2 h 1,5 h - 50 h

C 1 h - 0,5 h 25 h

Os produtos 1 e 2 podem ser vendidos em qualquer quantidade,

mas o produto 3 pode ser vendido até no máximo 10 unidades

por semana. O lucro unitário é de R$10, R$3 e R$4 para os

produtos 1, 2 e 3 respectivamente. Qual será o mix de produtos que

a empresa deve fabricar para obter o lucro máximo?

Aula 3 – Enunciado 6 Programação da Produção

Aula 3 – Enunciado 6 (Modelo)

Max Lucro = 10x1 + 3x2 + 4x3

Função Objetiva

Restrições

Variáveis Decisóriasx1: produto 1 vendido em unidades por semana

x2: produto 2 vendido em unidades por semana

x3: produto 3 vendido em unidades por semana

4x1 + x2 + 1,5x3 100 máquina A

2x1 + 1,5x2 50 máquina B

x1 + 0,5x3 25 máquina C

xj 0 j=1, 2, 3

x3 10 produto 3

Resultados do SolverValor ótimoVariáveis decisórias

Sabe-se que os alimentos, leite, carne e ovo fornecem

as quantidades de vitaminas dadas abaixo:

Vitamina Leite (l) Carne (kg) Ovo (dúzia)Quantidade

diária mínima

A 0,25mg 2,00mg 10,00mg 1,00mg

C 25,00mg 20,00mg 10,00mg 50,00mg

D 2,50mg 200,00mg 10,00mg 10,00mg

Custounitário

R$2,20 R$17,00 R$4,20

Deseja-se calcular quais as quantidades de leite, carne e

ovo, a fim de satisfazer as quantidades diárias mínimas

de vitaminas a um custo mínimo.

Aula 4 – Enunciado 7: Problema da Mistura

Min Custo = 2,20x1 + 17,00x2 + 4,20x3

xj 0 j=1, 2, 3

Função Objetiva

Restrições

Variáveis Decisóriasx1: quantidade diária de leite

x2: quantidade diária de carne

x3: quantidade diária de ovo

0,25x1 + 2,00x2 + 10,00x3 1,00 (Vitamina A)

25,00x1 + 20,00x2 + 10,00x3 50,00 (Vitamina C)

2,50x1 + 200,00x2 + 10,00x3 10,00 (Vitamina D)

Aula 4 – Enunciado 7: Problema da Mistura

Aula 4 – Enunciado 8: Problema da Mistura

Petróleo

Máxima

quantidade

disponível

Custo

unitário

A 100 6

B 200 3

Gasolina

Mínima

% A

requerida

Preço de

venda

unitária

1 60 8

2 30 5

Deseja-se saber a quantidade de cada gasolina que deve

ser fabricada de tal maneira que o lucro seja máximo.

Uma refinaria fabrica dois tipos de gasolina (1 e 2) a

partir de dois tipos de petróleo bruto (A e B).

Os custos, os preços de venda e matéria-prima

para fabricar as gasolinas são:

Aula 4 – Enunciado 8

PA

PB

G1

G2

xA1+xA2 < 100

xB1+xB2 < 200

xA1+xB1

xA2+xB2

60%

30%

XA1

XA2

XB1

XB2

(Preço: 8)

(Preço: 5)

(Custo: 6)

(Custo: 3)

xA1: quantidade de petróleo A p/ produzir gasolina 1

xA2: quantidade de petróleo A p/ produzir gasolina 2

xB1: quantidade de petróleo B p/ produzir gasolina 1

xB2: quantidade de petróleo B p/ produzir gasolina 2

Variáveis decisórias

Aula 4 – Enunciado 8: Modelo

Função Objetiva

Max L= 8(xA1+xB1) + 5(xA2+xB2)

- 6(xA1+xA2) - 3(xB1+xB2)

Restrições

xA1 + xA2 < 100

xB1 + xB2 < 200

xA1 / (xA1 + xB1) > 0,6 → 0,4 xA1- 0,6 xB1 > 0

xA2 / (xA2 + xB2) > 0,3 → 0,7 xA2 - 0,3 xB2 > 0

xij > 0

Atividade Virtual 3

• Identifique um problema de P.O dentro do contexto estudado (com no mínimo três variáveis);

• Pode ser um problema criado ou adaptado de livro de PO; Pode ser feito individualmente, em duplas ou trios.

• Apresente:

– Nome dos integrantes

– Enunciado

– Modelo matemático

– Resolução (Solver)

– Crie pelo menos cinco questões I2

• INTELIGENTES & INTERESSANTES;

– Apresente o gabarito COM EXPLICAÇÃO e RESOLUÇÃO