Exerccios de Estruturas Algebricas L2-Primeira unidade.

Graduacao em Matematica-UFPEProf. Antonio C.R. Monteiro

Recife, 14 de setembro de 2010.

1 Corpos, subcorpos, extensoes de corpos

1. Quais dos conjuntos a seguir, com as operacoes de R sao corpos?

(a) {a+ b3 : a, b Z}(b) {a+ b

13 : a, b Q}

(c) {a+ bpi : a, b Q}(d) {a+ bpi : a, b R}(e) {a3 + b5 : a, b Q}

2. Seja z R e suponha que K = {a+ bz : a, b Q} e um corpo.

(a) Mostre que z = r + st, com r, s e t racionais.

(b) Conclua que K = Q(t) = {a+ bt : a, b Q}, com t racional.

3. Mostre que {a+ b 33 + c 39 : a, b, c Q} e um corpo. Voce pode usar a identidade:

(a+ b3d+ c

3d2)((a2 dbc) + (dc2 ab) 3

d+ (b2 ac) 3

d2) = a3 + db3 + d2c3 3dabc,

depois de justifica-la.

4. Mostre que os unicos subcorpos de Q e de Zp, com p primo, sao os proprios. Encontre ossubcorpos de Q(

3).

5. Este exerccio refere-se ao corpo K = Z2[X]/(X3 +X2 + 1).

(a) Mostre que K = {aX2 + bX + c : a, b, c Z2} e que K contem 8 elementos.(b) Encontre os inversos multiplicativos dos elementos de K {0}.(c) Mostre que K{0} = {1, x, x2, x3, x4, x5, x6} com x = X sendo a classe de X no quociente

Z2[X]/(X3 +X2 + 1).(d) Defina Z : {1, 2, ..., 6} {1, 2..., 6} por 1+xj = xZ(j). Mostre que podemos calcular somas

em K usando os valores de Z.(e) Mostre que Z(Z(j)) = j, para j = 1, 2, ...6.

6. Se K e um corpo e : K K e uma funcao, dizemos que e um endomorfismo de K se(x + y) = (x) + (y), (xy) = (x)(y) e (1) = 1, para todo x, y K. O objetivo desteexerccio e calcular os endomorfismos de Q(

3).

(a) Mostre que um elemento de Q(

3), a+ b

3, com a e b racionais, fica unicamente determi-nado por a e b, ou seja, mostre que se a + b

3 = c + d

3, com a, b, c e d racionais, entao

a = c e b = d.

1

(b) Considere a funcao f : Q(

3) Q(3) definida por

f(a+ b

3) = a b

3.

Mostre que f esta bem definida e e um endomorfismo de Q(

3).

(c) Mostre que se g : Q(

3) Q(3) e um endomorfismo entao g = f ou g e a identidade.Sugestao: Calcule g(3) e da g(

3).

7. Seja K um corpo e k K tal que k 6 K.

(a) Mostre que f : K(k) K(k) definida por

f(a+ bk) = a b

k

e um endomorfismo(a, b K).(b) Mostre que se p(X) e um polinomio com coeficientes em K e c K(k) entao

f(p(c)) = p(f(c)).

(c) Conclua que se c K(k) e uma raiz de p(X) entao f(c) tambem e raiz de p(X).

8. Mostre que se p e q sao primos inteiros distintos entaop 6 Q(q).

9. Usando os dois exerccios anteriores, mostre que se p(X) e um polinomio com coeficientesracionais que tem

3 +

5 como raiz entao p(X) tambem tem

35,3 +5 e 35como razes. Deduza que o grau de p(X) e pelo menos 4.

10. Encontre um polinomio com coeficientes inteiros e de grau 4 que tem

3 +

5 como raiz.

11. Se A = Z[

3], e A finito ou infinito? E se A = Z[3]?

12. Quais das seguintes estruturas G, . sao grupos?

(a) G = (X), a colecao dos subconjuntos de um conjunto X e A.B = (A B)(B A), adiferenca simetrica entre A e B. E se A.B = A

B ou A.B = AB?

(b) G = R, x.y = xy.(c) G = conjunto dos reais positivos e x.y = xy.

(d) G = {z C : |z| = 1}, x.y = xy.(e) G = (c, c) (intervalo aberto com extremos c e c) e x.y = x+y

1+xy/c2.

(f) G = {a, b} e a.a = a.b = a, b.a = b.b = b.(g) G = {a, b}, a.b = b.a = a, a.a = b.b = b.

13. Mostre que o conjunto de matrizes{[1 00 1

],

[0 11 1

],

[ 1 11 0

],

[1 01 1

],

[ 1 10 1

],

[0 11 0

]}forma um grupo com a operacao de multiplicacao. E abeliano?

2

2 Multiplicatividade do grau de extensoes, elementos algebricos epolinomios mnimos, extensoes finitas e algebricas, corpos de de-composicao

1. Sejam e elementos algebricos de uma extensao E/K com polinomios mnimos de graus n em, respectivamente.

(a) Mostre que [K(, ) : K] nm.(b) Mostre que se n e m sao coprimos entao

[K(, ) : K] = nm.

(c) Mostre que se e sao duas razes de X3 2 entao[Q(, ) : Q] 6= nm.

2. Seja E/K uma extensao de corpos de grau n. Prove que, se E: E = K() se e somente seo polinomio mnimo de em K[X] tem grau n.

3. Fatore X6 1 e X10 1 em polinomios irredutveis de Q[X] (justifique por que os supostosfatores irredutveis sao de fato irredutveis).

4. (a) Se p e q sao primos inteiros distintos, encontre tal que Q() = Q(p,q).(b) Seja

n = cos2pi

n+ isen

2pi

na primeira raiz n-esima primitiva da unidade. Mostre que

Q(35) = Q(5, 7).

5. Seja E o menor subcorpo de C onde o polinomio X7 7 se fatora como produto de fatoreslineares de E[X]. Calcule [E : Q].

6. Faca o mesmo que no item anterior para o polinomio X4 4.7. Suponha que e algebrico sobre Q e que n = [Q() : Q]. Quais as possibilidades para [Q(4) :Q]? Ilustre com exemplos concretos.

8. Encontre o polinomio mnimo em Q[X] de cada um dos numeros algebricos abaixo. Em seguidaencontre as demais razes deste polinomio.

(a) 1 +

2

(b)

2 +

3

(c)

1 +

2

(d)

3 22(e) 3

13

(f)3

1 +

2

(g)3

1 + 3

2

(h)

6 +

3 +

63(i)

4 +

7 +

479. (a) Mostre que f(X) = X3 + X + 1 Q[X] e irredutvel. Seja E = Q(), com sendo uma

raiz de f(X).

(b) Encontre os polinomio mnimos em Q[X] de = + 2, = 2 + 1 e = 2 + 1.(c) Expresse 1/, 1/, 1/, , e em termos da base {1, , 2} de Q()/Q.

10. Seja um elemento nao nulo de uma extensao E/K. Mostre que: e algebrico sobre K se esomente se 1/ = f(), para algum f(X) K[X].

3

3 Teorema do elemento primitivo, razes n-esimas de numeros com-plexos, equacoes polinomiais de grau 4 com coeficientes com-plexos

1. Responda brevemente a`s seguintes questoes:

(a) Qual o polinomio mnimo de (1 +

5)/2 sobre Q?(b) E cos 1o algebrico sobre Q? E racional?(c) Encontre o polinomio mnimo de cos 2pi7 + isen

2pi7 em Q[X].

(d) E verdade que um polinomio com coeficientes racionais e sem razes reais e irredutvel emQ[X]

2. (a) Mostre que Q( 5

2) = Q( 5

4).

(b) Mostre que X5 4 Q[X] e irredutvel.3. Suponha que e algebrico sobre Q e seja n = [Q() : Q]. Quais as possibilidades para [Q(3) :Q]? Ilustre sua resposta com exemplos concretos.

4. Encontre explicitamente (em termos de radicais) as razes n-esimas da unidade para n =1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 e seus polinomios mnimos em Q[X].

5. Quais dos numeros complexos seguintes sao razes da unidade?

3

6 + 7i

5

17,7 + 4i

2

9,

2 +

3 + i

232

6. O objetivo deste exerccio e exibir numeros complexos de modulo 1 que nao sao razes da unidade.Seja f(X) = (X2 + X + 1)2 2X2 e sejam t, u as razes reais de f e v, w as razes complexasnao reais.

(a) Mostre que f(X) e irredutvel em Q[X].(b) Mostre que v, w sao algebricos sobre Q de modulo 1 e que t, u sao algebricos sobre Q mas

com modulo diferente de 1.

(c) Conclua que v, w nao sao razes da unidade.

7. Sejam , , as razes complexas da cubica f(X) = X3 + X + 1 e E = Q(, , ) o corpo dedecomposicao de f(X).

(a) Mostre que E = Q(, ). Mostre que [E : Q] e divisvel por 3.(b) Mostre que f(X) = (X )(X2 + X + (2 + 1)) Q()[X]. Conclua que + = e

que = 2 + 1(= 1 ).

(c) Seja = ( )( )( ) E. Mostre, usando as relacoes do item anterior, que2 Q mas 6 Q. Conclua que [E : Q] e divisvel por 2.

(d) Mostre que [E : Q] = 6.

8. Irredutibilidade, irredutibilidade, irredutibilidade...

(a) Mostre que X4 + 1 Q[X] e irredutvel (troque X por X + 1). Fatore este polinomio emQ()[X], com sendo uma raiz deste polinomio.

(b) Mostre que X5 X + 1 Q[X] e irredutvel (mostre que nao tem fator irredutvel de grau1; para um fator irredutvel de grau 2, p(X), calcule p(1), p(0) e p(1) para concluir).

(c) Estudar a irredutibilidade de X4 15X3 + 7 Q[X] (reduza modulo 2).

4

(d) Mostre que se p e primo e n 2 entao Xn + pX + p2 Q[X] e irredutvel (reduza modulop).

(e) Encontre um polinomio f(X) Q[X] de grau 2 e irredutvel tal que f(X2) e redutvel emQ[X].

9. Seja E/K uma extensao de corpos e , E algebricos sobre K de graus n, m, respectivamente.Se m,n sao coprimos, calcule [K(, ) : K] e mostre que o polinomio mnimo de sobre K eirredutvel em K()[X]. Determine K()

K().

10. Se e algebrico sobre K e de grau mpar, mostre que 2 e algebrico sobre K e que K() = K(2).

11. (a) Mostre que f(X) = X3 + 2X + 2 Q[X] e irredutvel. Seja E = Q(), com sendo umaraiz de f(X).

(b) Expresse 1/, 1/(2 + + 1), 6 + 34 + 23 + 6 em termos da base 1, , 2 de Q()/Q.(c) Encontre o polinomio mnimo em Q[X] de 6 + 34 + 23 + 6

12. Elementos primitivos.

(a) Seja K um subcorpo de C e , K. Mostre que se = + e nao nulo entao ele eum elemento primitivo de K(

,)/K.

(b) Mostre que

5 e um elemento primitivo de Q(,

5).

(c) Encontre infinitos elementos primitivos de Q( 3

3,

3)/Q. Mostre que 6

3 e um elementoprimitivo desta extensao.

(d) Encontre um elemento primitivo de Q(, ), com sendo raiz de X3X+1 (tente +).

4 Resolucao usando radicais das equacoes cubica e quartica, corposde decomposicao de polinomios

1. Determine o corpo de decomposicao do polinomio aX2 + bX + c C[X] , com a 6= 0, sobre ocorpo Q(a, b, c).

2. Descreva os corpos de decomposicao E/Q dos polinomios seguintes e calcule [E : Q] e fatore opolinomio em E[X].

(a) X3 1(b) X6 1(c) X4 7(d) X3 X2 X 2(e) X6 10X4 + 31X2 30(f) X5 +X4 +X3 +X2 +X + 1

(g) X4 + 1

3. Mostre que toda extensao de grau 2 de um corpo K e o corpo de decomposicao de algumpolinomio.

4. Mostre que as extensoes geradas sobre Q por cada um dos numeros algebricos seguintes e ocorpo de decomposicao de algum polinomio em Q[X]:

3 +

2,

3 + i, 3

2 +

2, sen2pi5 , = cos2pin + isen

2pin .

5. Sejam a, b e c as razes complexas de f(X) = X3 3X + 1.

(a) Mostre que Q(a) e um corpo de decomposicao de f(X).

5

(b) Escreva b e c como combinacoes lineares com coeficientes racionais de {1, a, a2}.

6. Sejam a, b e c as razes da cubica f(X) = X3 + pX + q K[X], K C, e u e v os complexosque aparecem na determinacao das razes de f(X), ou seja u3 + v3 = q e uv = p/3, e u euma raiz cubica de

q +q2 + 4p3/272

e v = p3u . As razes da cubica sao

a = u+ v, b = u+ v, c = u+ v

(a) Mostre quea b = (1 )[u v],a c = (1 )[u+ v],b c = (1 )[u v]

e conclua qued = (a b)(a c)(b c) = 3(1 )(u3 v3)

(b) Mostre que d2 = 4p3 27q2 (este e o discriminante de f(X)). Observe que as razes def(X) sao distintas se e somente se d 6= 0.

(c) Mostre que o corpo de decomposicao de f(X) sobre K e E = K(u, ) = K(a, d). Sugestao:use que b + c = a e que (a b)(a c) = a2 a(b + c) + bc = 2a2 q/a, logo b c =d/[(a b)(a c)] = d/[2a2 q/a] e b, c K(a, d).

(d) Conclua que, se f(X) K[X] e irredutvel, temos [E : K] = 3 ou 6 conforme d seja ou naoum quadrado em K.

7. Resolva x3 + 3x = 10, x3 + 21x = 9x2 + 5 e x3 = 7x+ 7 (na primeira, u e v sao reais; a segunda,depois de transformada, tem uma raiz inteira e a terceira e equisita mesmo: u e v sao complexosnao reais).

8. Simplifique3

10 +

108+3

10108 e 3

1 + 23

73+

3

1 23

73 . Sugestao: use que (u+v)

3 =

u3 + v3 + 3uv(u+ v).

9. Resolva x4 4x2 8x+ 35 = 0 e x4 17x2 20x 6 = 0.10. Na resolucao da equacao de grau 4, x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, mostre que se a, b, c e d sao

reais podemos escolher , o coeficiente de x de um dos divisores da quartica, real.

11. Sejam = cos2pi7 + isen2pi7 e = 2cos

2pi7 .

(a) Encontre o polinomio mnimo de sobre Q().(b) Encontre o polinomio mnimo de em Q[X].

12. Se a e uma das razes de x3 + px + q = 0, calcule as duas outras razes em termos de a e de p.Resolva x3 46x+ 60 = 0.

13. (a) Mostre que se p, q, r e s sao racionais com q e s positivos e q nao quadrado perfeito em Qentao, se p+

q = r +

s, entao p = r e q = s.

(b) Mostre que se a e b sao racionais com b > 0 nao sendo um quadrado perfeito em Q esuponha que existem racionais y e z tais que

3a+b = y +

z.

i. Mostre que3ab = y z.

ii. Mostre que c = 3a2 b e racional.

6

iii. Mostre que x3 3cx 2a = 0 tem uma unica raiz racional e calcule y e z em termosdesta raiz e de c.

(c) Reciprocamente, mostre que se a equacao x33cx2a = 0 tem coeficientes racionais, umaraiz racional e duas razes nao reais, entao existem racionais y e z tais que

3a+b =

y +z, com b = a2 c3 > 0.

(d) Simplifique

3

10 +

108,

3

10

108,

3

1 +

2

3

7

3,

3

1 2

3

7

3

onde as razes sao reais.

14. Encontre um corpo de decomposicao de X6 2 Q()[X].15. Encontre um corpo de decomposicao E/Q() de (X2 2)(X3 2) Q()[X]. Mostre que

E = Q()(), com sendo uma potencia adequada de 2. Calcule [E : Q()].

16. Seja p primo e f(X) = Xp X + a Zp[X].

(a) Mostre que se e uma raiz de f(X), entao as razes de f(X) sao + b com b Zp.(b) Mostre que f(X) nao tem raiz em Zp e e irredutvel em Zp[X].(c) Mostre que um corpo de decomposicao E/Zp de f(X) tem grau p.(d) Mostre que Xp X + n Q[X] e irredutvel para infinitos valores de n.

17. Encontre os polinomios de grau 4 e irredutveis em Z2[X] (eles sao X4 +X3 +X2 +X + 1, X4 +X3 + 1 e X4 +X + 1). Construa um corpo com 16 elementos.

18. Seja = cos2pi5 + isen2pi5 . Resolva a equacao x

4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 fazendo a mudanca de

variaveis y = x+ 1/x. Calcule k para k = 1, 2, 3 e 4. Mostre que cos2pi5 =1+5

2 .

7