Segundo Exame de Estruturas Algebricas L2

Graduacao em Matematica-UFPE

Prof. Antonio C.R. Monteiro

Recife, 8 de novembro de 2010

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Observacoes:

Reflita sobre cada questao antes de comecar a resolve-la: encontrar uma estrategia para aresolucao pode economizar tempo. Justifique os passos da resolucao: um calculo desconexo,

sem aparente relacao com o argumento da resolucao, nao sera considerado.

Nao e permitida consulta ao professor fiscal nem o uso de calculadora de qualquer especie.

A prova deve ser resolvida com lapis ou caneta azul ou preta.

As solucoes devem ser escritas no espaco designado para tal.

Os telefones celulares devem estar desligados durante o exame.

Resultado

Questao Nota

Primeira

Segunda

Terceira

Quarta

Nota do Teste

Nota do Exame

1

1. (2,5 pontos) Seja D = Z[

11i] = {a+ b11i : a, b Z}.

(a) (0,2 ponto) Mostre que D e um subdomnio de C.

(b) (0,5 ponto) Mostre que : D N dada por (a + b11i) = a2 + 11b2 preserva multiti-plicacao, ou seja, (uv) = (u)(v) para todo u, v D. Mostre que (u) 4 para u Dexceto se u = 0, 1,1.

(c) (0,3 ponto) Mostre que D = {1}.(d) (0,5 ponto) Mostre que 2, 3, 1 +

11i e 1 11i sao irredutveis mas nao sao primos em

D. Deduza que D nao e um DFU.

(e) (0,5 ponto) Mostre que o ideal (2, 1 +

11i) nao e principal.

(f) (0,5 ponto) Mostre que 6 e 2(1 +

11i) nao admitem um mdc em D.

Solucao:

2

2. (2,5 pontos)

(a) (0,5 ponto) Defina primo e irredutvel em um domnio. Mostre que todo primo e irredutvel.

(b) (0,5 ponto) Mostre que em um DFU (domnio de fatoracao unica) temos que irredutvel =

primo.

(c) (0,5 ponto) Defina extensao normal. Enuncie um teorema que relaciona extensoes normais

e corpos de decomposicao de polinomios.

(d) (0,5 ponto) De exemplo de extensoes de corpos E/K e F/E que sao normais normais mas

temos que F/K nao e normal.

(e) (0,5 ponto) Defina K-automorfismo de uma extensao E/K. De exemplo de uma extensao

E/K de grau 5 e que tem um unico k-automorfismo.

Solucao:

3

3. (2,5 pontos) Seja D = Z[

2] = {a+ b2 : a, b Z}.

(a) (0,5 ponto) Mostre que : D N dada por (a+b2) = |a22b2| preserva multitiplicacao,ou seja, (uv) = (u)(v) para todo u, v D.

(b) (0,5 ponto) Mostre que (u) = 1 para u D se e somente se u D. Mostre que D einfinito.

(c) (0,5 ponto) Mostre que D e um DE (domnio euclidiano): dados e em D com 6= 0existem , D tais que = + com () < (). Sugestao: escreva

= r + s

2

com r, s Q e escolha o quociente e o resto .(d) (0,5 ponto) Calcule mdc(5 + 2

2, 3 +

2) e expresse-o como uma combinacao linear de

5 + 2

2 e 3 +

2 com coeficientes em D.

(e) (0,5 ponto) Explique por que D e um DFU.

Solucao:

4

4. (2,5 pontos)

(a) (1,0 ponto) Defina K-automorfismo de uma extensao de corpos E/K. Mostre que se E/K

e finita e E C entao o numero de K-automorfismos de E/K e no maximo [E : K]. ParaE C, quando temos que o numero de automorfismos de E/K e igual ao grau de E/K?

(b) (0,5 ponto) Encontre a menor extensao normal de Q, E/Q, contendo 3

2 + ( = (1 +3i)/2). E E = Q( 3

2, )? E E = Q( 3

2,

3i)?

(c) (0,5 ponto) Descreva os automorfismos de E/Q( 3

2) e de E/Q().

(d) (0,5 ponto) Quantos sao os automorfismos de E/Q? Descreva os automorfismos de E/Qem termos de suas acoes nos geradores de E/Q.

Solucao:

5